Stochastische Signaltheorie/Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften - Versionsgeschichte

Guenter am 29. Januar 2022 um 16:35 Uhr

2022-01-29T16:35:11Z

Guenter am 9. Dezember 2019 um 10:07 Uhr

2019-12-09T10:07:27Z

Guenter am 9. Dezember 2019 um 10:06 Uhr

2019-12-09T10:06:25Z

Guenter am 9. Dezember 2019 um 10:05 Uhr

2019-12-09T10:05:10Z

Guenter am 9. Dezember 2019 um 10:04 Uhr

2019-12-09T10:04:20Z

Guenter am 24. August 2018 um 07:56 Uhr

2018-08-24T07:56:07Z

Guenter am 13. April 2018 um 14:57 Uhr

2018-04-13T14:57:51Z

Wael am 28. Dezember 2017 um 18:59 Uhr

2017-12-28T18:59:18Z

Guenter am 19. April 2017 um 14:12 Uhr

2017-04-19T14:12:49Z

Guenter am 19. April 2017 um 13:17 Uhr

2017-04-19T13:17:21Z

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 Die zeitdiskrete Eingangsgröße&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; ist
 * mittelwertfrei&nbsp; $(m_x = 0)$,
-*gaußverteilt&nbsp; (mit&nbsp; Streuung&nbsp; $σ_x)$,&nbsp; und
+*gaußverteilt&nbsp; $($mit&nbsp; Streuung&nbsp; $σ_x)$,&nbsp; und
 * ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”) &nbsp; &rArr; &nbsp; statistisch unabhängige Abtastwerte.
 Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:
-*Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion (AKF) am Eingang lautet:
+*Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion:&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; am Eingang lautet:
 :$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,}  \\   0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.}  \\\end{array}} \right.$$
 *Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; ist wie folgt gegeben:
 :$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - k} {a_\mu   \cdot a_{\mu  + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
-*Alle AKF–Werte mit&nbsp; $k > M$&nbsp; sind Null, und alle AKF–Werte mit&nbsp; $k < M$&nbsp; sind symmetrisch zu&nbsp; $k = 0$:
+*Alle AKF–Werte mit&nbsp; $k > M$&nbsp; sind Null,&nbsp; und alle AKF–Werte mit&nbsp; $k < M$&nbsp; sind symmetrisch zu&nbsp; $k = 0$:
 :$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$
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 <br>
 Nun soll folgende Frage beantwortet werden: &nbsp; Wie können die Koeffizienten&nbsp; $a_0$, ... , $a_M$&nbsp; eines nichtrekursiven Filters&nbsp; $M$&ndash;ter Ordnung ermittelt werden,
-*wenn die gewünschten AKF-Werte&nbsp; $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$&nbsp; gegeben sind, und
+*wenn die gewünschten AKF-Werte&nbsp; $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$&nbsp; gegeben sind,&nbsp; und
 * außerhalb des Bereiches von&nbsp;  $-M · T_{\rm A}$&nbsp; bis&nbsp; $+M · T_{\rm A}$&nbsp; alle AKF-Werte Null sein sollen.
-Für&nbsp; $σ_x = 1$&nbsp; ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem, wobei zur Vereinfachung der Schreibweise&nbsp; $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$&nbsp; verwendet wird:
+Für&nbsp; $σ_x = 1$&nbsp; ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem,&nbsp; wobei zur Vereinfachung der Schreibweise&nbsp; $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$&nbsp; verwendet wird:
 :$$\begin{align*}\varphi _0 & = \sum\limits_{\mu  = 0}^M {a_\mu^2  ,}\\ \varphi _1 &  = \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - 1} {a_\mu   \cdot a_{\mu  + 1} ,}  \\ & ... &\\  \varphi _{M - 1} & = a_0  \cdot a_{M - 1}  + a_1  \cdot a_M ,  \\ \varphi _M  & =  a_0  \cdot a_M .\end{align*}$$
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten die folgende Konstellation:
-*ein rekursives Filter erster Ordnung  &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 1$,
+#ein rekursives Filter erster Ordnung  &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 1$,
-*eine zeitdiskrete Eingangsfolge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $m_x =$ 0 &nbsp; und&nbsp; Streuung&nbsp; $σ_x = 1$,
+#eine zeitdiskrete Eingangsfolge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $m_x =$ 0 &nbsp; und&nbsp; Streuung&nbsp; $σ_x = 1$,
-*gewünschte AKF-Werte der Folge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$: &nbsp; $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$&nbsp; und&nbsp; $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.
+#gewünschte AKF&ndash;Werte der Folge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$: &nbsp; $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$&nbsp; und&nbsp; $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.
-Damit lautet das obige Gleichungssystem:
+*Damit lautet das obige Gleichungssystem:
 :$$\varphi _0  = a_0 ^2  + a_1 ^2  = 0.58,$$
 :$$\varphi _1  = a_0  \cdot a_1  = 0.21.$$
-Dies führt zu einer Gleichung vom Grad&nbsp; $4$, nämlich
+*Dies führt zu einer Gleichung vom Grad&nbsp; $4$,&nbsp; nämlich
 :$$a_0 ^2  + \left( { { {0.21} }/{ {a_0 } } } \right)^2  = 0.58\quad  \Rightarrow \quad a_0 ^4  - 0.58 \cdot a_0 ^2  + 0.21^2  = 0.$$
-Eine Lösung stellt&nbsp; $a_0 = 0.7$&nbsp; dar.&nbsp; Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man&nbsp; $a_1 = 0.3$. }}
+*Eine Lösung stellt&nbsp; $a_0 = 0.7$&nbsp; dar.&nbsp; Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man&nbsp; $a_1 = 0.3$.
-Man erkennt aus diesem Beispiel, dass sich schon im einfachsten Fall &nbsp;  ⇒ &nbsp;  $M = 1$&nbsp;  für&nbsp; $a_0$&nbsp; eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad&nbsp; $4$&nbsp; ergibt.
+Man erkennt aus diesem Beispiel,&nbsp; dass sich schon im einfachsten Fall&nbsp;   $(M = 1)$&nbsp;  für&nbsp; $a_0$&nbsp; eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad&nbsp; $4$&nbsp; ergibt.}}
 ==Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung==
 <br>
-Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit&nbsp; $M = 1$&nbsp; die Bestimmungsgleichung für&nbsp; $a_0$&nbsp; vom Grad&nbsp; $4$.&nbsp; Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen.
+Wie das letzte Beispiel gezeigt hat,&nbsp; ist mit&nbsp; $M = 1$&nbsp; die Bestimmungsgleichung für&nbsp; $a_0$&nbsp; vom Grad&nbsp; $4$.&nbsp; Dies bedeutet gleichzeitig,&nbsp; dass es auch vier Koeffizientensätze gibt,&nbsp; die alle zur gleichen AKF führen.
 Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:
-*Die Koeffizienten&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_1$&nbsp; können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.
+*Die Koeffizienten&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_1$&nbsp; können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern,&nbsp; ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.
-*Ersetzt man&nbsp; $a_0$&nbsp; durch&nbsp; $a_1$&nbsp; und umgekehrt, so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.
+*Ersetzt man&nbsp; $a_0$&nbsp; durch&nbsp; $a_1$&nbsp; und umgekehrt,&nbsp; so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.
 *Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.

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 [[Aufgaben:5.6 Filterdimensionierung|Aufgabe 5.6: Filterdimensionierung]]
-[[Aufgaben:5.6Z Nochmals FIlterdimensionierung|Aufgabe 5.6Z: Nochmals FIlterdimensionierung]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_5.6Z:_Nochmals_Filterdimensionierung|Aufgabe 5.6Z: Nochmals FIlterdimensionierung]]
 {{Display}}

@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 :$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A})
 + 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$
 Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten

@@ Zeile 40: / Zeile 40: @@
 *wenn die gewünschten AKF-Werte&nbsp; $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$&nbsp; gegeben sind, und
 * außerhalb des Bereiches von&nbsp;  $-M · T_{\rm A}$&nbsp; bis&nbsp; $+M · T_{\rm A}$&nbsp; alle AKF-Werte Null sein sollen.
 Für&nbsp; $σ_x = 1$&nbsp; ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem, wobei zur Vereinfachung der Schreibweise&nbsp; $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$&nbsp; verwendet wird:

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 ==AKF am Ausgang eines nichtrekursiven Filters==
 <br>
-Wir betrachten ein ''nichtrekursives Laufzeitfilter M-ter Ordnung''&nbsp; gemäß der folgenden Grafik.
+Wir betrachten ein&nbsp; nichtrekursives Laufzeitfilter&nbsp; $M$&ndash;ter Ordnung&nbsp; gemäß der folgenden Grafik.
 [[Datei:P_ID555__Sto_T_5_3_S1_neu.png |frame| Nichtrekursives Filter $M$-ter Ordnung]]
-Die zeitdiskrete Eingangsgröße $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ ist
+Die zeitdiskrete Eingangsgröße&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; ist
-* mittelwertfrei $(m_x = 0)$,
+* mittelwertfrei&nbsp; $(m_x = 0)$,
-*gaußverteilt (mit Streuung $σ_x$), und
+*gaußverteilt&nbsp; (mit&nbsp; Streuung&nbsp; $σ_x)$,&nbsp; und
-* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”) <br>&rArr; &nbsp; statistisch unabhängige Abtastwerte.
+* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”) &nbsp; &rArr; &nbsp; statistisch unabhängige Abtastwerte.
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 *Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion (AKF) am Eingang lautet:
 :$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,}  \\   0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.}  \\\end{array}} \right.$$
-*Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$ ist wie folgt gegeben:
+*Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; ist wie folgt gegeben:
 :$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - k} {a_\mu   \cdot a_{\mu  + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
-*Alle AKF–Werte mit $k > M$ sind Null, und alle AKF–Werte mit $k < M$ sind symmetrisch zu $k = 0$:
+*Alle AKF–Werte mit&nbsp; $k > M$&nbsp; sind Null, und alle AKF–Werte mit&nbsp; $k < M$&nbsp; sind symmetrisch zu&nbsp; $k = 0$:
 :$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Liegt am Eingang eines nichtrekursiven Filters erster Ordnung (Filterkoeffizienten $a_0 = 0.6$, $a_1 = 0.8$) zeitdiskretes weißes Rauschen mit der Streuung $σ_x = 2$ an, so lauten die diskreten AKF-Werte des Ausgangssignals (alle anderen AKF-Werte sind $0$):
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Liegt am Eingang eines nichtrekursiven Filters erster Ordnung&nbsp; $($Filterkoeffizienten&nbsp; $a_0 = 0.6$,&nbsp; $a_1 = 0.8)$&nbsp; zeitdiskretes weißes Rauschen mit der Streuung&nbsp; $σ_x = 2$&nbsp; an, so lauten die diskreten AKF-Werte des Ausgangssignals (alle anderen AKF-Werte sind Null):
 [[Datei:P_ID597__Sto_T_5_3_S1_b_neu.png |frame| AKF am Ausgang eines Filters erster Ordnung|right]]
@@ Zeile 32: / Zeile 31: @@
 Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:
-*Wegen $a_0^2 + a_1^2 = 1$  besitzt das Ausgangssignal $y(t)$ genau die gleiche Varianz $σ_y^2 = φ_y(0)$ wie das Eingangssignal: &nbsp;  $σ_x^2 = φ_x(0) = 4$.
+*Wegen&nbsp; $a_0^2 + a_1^2 = 1$&nbsp;  besitzt das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; genau die gleiche Varianz&nbsp; $σ_y^2 = φ_y(0) = 0.4$&nbsp; wie das Eingangssignal: &nbsp;  $σ_x^2 = φ_x(0)$.
-*Im Gegensatz zur Eingangsfolge $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ gibt es bei der Ausgangsfolge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$ statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten. }}
+*Im Gegensatz zur Eingangsfolge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; gibt es bei der Ausgangsfolge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten. }}
 ==Zur Koeffizientenbestimmung==
 <br>
-Nun soll folgende Frage beantwortet werden: &nbsp; Wie können die Koeffizienten $a_0$, ... , $a_M$ eines nichtrekursiven Filters $M$&ndash;ter Ordnung ermittelt werden,
+Nun soll folgende Frage beantwortet werden: &nbsp; Wie können die Koeffizienten&nbsp; $a_0$, ... , $a_M$&nbsp; eines nichtrekursiven Filters&nbsp; $M$&ndash;ter Ordnung ermittelt werden,
-*wenn die gewünschten AKF-Werte $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$ gegeben sind, und
+*wenn die gewünschten AKF-Werte&nbsp; $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$&nbsp; gegeben sind, und
-* außerhalb des Bereiches von  $-M · T_{\rm A}$ bis $+M · T_{\rm A}$ alle AKF-Werte Null sein sollen.
+* außerhalb des Bereiches von&nbsp;  $-M · T_{\rm A}$&nbsp; bis&nbsp; $+M · T_{\rm A}$&nbsp; alle AKF-Werte Null sein sollen.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Man erhält somit für die $M + 1$  Koeffizienten auch $M + 1$  unabhängige Gleichungen.
+*Man erhält somit für die&nbsp; $M + 1$&nbsp;  Koeffizienten auch&nbsp; $M + 1$&nbsp;  unabhängige Gleichungen.
-*Durch sukzessives Eliminieren der Koeffizienten $a_1$, ... , $a_M$ bleibt für $a_0$ schließlich eine nichtlineare Gleichung höherer Ordnung übrig.}}
+*Durch sukzessives Eliminieren der Koeffizienten&nbsp; $a_1$, ... , $a_M$&nbsp; bleibt für&nbsp; $a_0$&nbsp; schließlich eine nichtlineare Gleichung höherer Ordnung übrig.}}
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten die folgende Konstellation:
-*ein rekursives Filter erster Ordnung  &nbsp;⇒  &nbsp; $M = 1$,
+*ein rekursives Filter erster Ordnung  &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 1$,
-*eine zeitdiskrete Eingangsfolge $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ mit Mittelwert $m_x =$ 0 und Streuung $σ_x = 1$,
+*eine zeitdiskrete Eingangsfolge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $m_x =$ 0 &nbsp; und&nbsp; Streuung&nbsp; $σ_x = 1$,
-*gewünschte AKF-Werte der Folge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$: &nbsp; $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$ und $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.
+*gewünschte AKF-Werte der Folge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$: &nbsp; $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$&nbsp; und&nbsp; $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.
@@ Zeile 63: / Zeile 60: @@
 :$$\varphi _0  = a_0 ^2  + a_1 ^2  = 0.58,$$
 :$$\varphi _1  = a_0  \cdot a_1  = 0.21.$$
-Dies führt zu einer Gleichung vom Grad $4$, nämlich
+Dies führt zu einer Gleichung vom Grad&nbsp; $4$, nämlich
 :$$a_0 ^2  + \left( { { {0.21} }/{ {a_0 } } } \right)^2  = 0.58\quad  \Rightarrow \quad a_0 ^4  - 0.58 \cdot a_0 ^2  + 0.21^2  = 0.$$
-Eine Lösung stellt $a_0 = 0.7$ dar. Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man $a_1 = 0.3$. }}
+Eine Lösung stellt&nbsp; $a_0 = 0.7$&nbsp; dar.&nbsp; Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man&nbsp; $a_1 = 0.3$. }}
-Man erkennt aus diesem Beispiel, dass sich schon im einfachsten Fall &nbsp;  ⇒ &nbsp;  $M = 1$  für $a_0$ eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad $4$ ergibt.
+Man erkennt aus diesem Beispiel, dass sich schon im einfachsten Fall &nbsp;  ⇒ &nbsp;  $M = 1$&nbsp;  für&nbsp; $a_0$&nbsp; eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad&nbsp; $4$&nbsp; ergibt.
 ==Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung==
 <br>
-Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit $M = 1$ die Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad $4$. Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen. Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:
+Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit&nbsp; $M = 1$&nbsp; die Bestimmungsgleichung für&nbsp; $a_0$&nbsp; vom Grad&nbsp; $4$.&nbsp; Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen.
 *Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.
-*Ersetzt man $a_0$ durch $a_1$ und umgekehrt, so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.
+Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:
 *Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften#Zur_Koeffizientenbestimmung|letzten Abschnitt]] gezeigt wurde, ist der Parametersatz &nbsp;$a_0 = 0.7$, &nbsp;$a_1 = 0.3$&nbsp; geeignet, die AKF-Werte &nbsp;$φ_0 = 0.58$&nbsp; und &nbsp;$φ_1 = 0.21$&nbsp; zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wie im&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften#Zur_Koeffizientenbestimmung|letzten Abschnitt]]&nbsp; gezeigt wurde, ist der Parametersatz &nbsp;$a_0 = 0.7$, &nbsp;$a_1 = 0.3$&nbsp; geeignet, die AKF-Werte &nbsp;$φ_0 = 0.58$&nbsp; und &nbsp;$φ_1 = 0.21$&nbsp; zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:
 [[Datei:P_ID557__Sto_T_5_3_S2_b_neu_100.png |frame| Beispiel zur AKF-Berechnung|right]]
 :$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A})
@@ Zeile 92: / Zeile 91: @@
 Diese Konfigurationen ergeben sich durch
-*gleichzeitiges Multiplizieren aller Koeffizienten mit $-1$, sowie
+*gleichzeitiges Multiplizieren aller Koeffizienten mit&nbsp; $-1$,&nbsp; sowie
-*Vertauschen der Zahlenwerte von $a_0$ und $a_1$.
+*Vertauschen der Zahlenwerte von&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_1$.

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 }}
 ==AKF am Ausgang eines nichtrekursiven Filters==
-Wir betrachten ein ''nichtrekursives Laufzeitfilter M-ter Ordnung'' gemäß der folgenden Grafik. Die zeitdiskrete Eingangsgröße $〈x_ν〉$ ist
+<br>
 * mittelwertfrei ($m_x = 0$),
 *gaußverteilt (mit Streuung $σ_x$), und
-* ohne Gedächtnis(„Weißes Rauschen”) &nbsp; &rArr; &nbsp; statistisch unabhängige Abtastwerte.
+* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”) <br>&rArr; &nbsp; statistisch unabhängige Abtastwerte.
 Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:
@@ Zeile 17: / Zeile 20: @@
 :$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,}  \\   0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.}  \\\end{array}} \right.$$
 *Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ ist wie folgt gegeben:
-:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - k} {a_\mu   \cdot a_{\mu  + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,...\,,\,{\it M}.$$
+:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - k} {a_\mu   \cdot a_{\mu  + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
-*Alle AKF–Werte mit $k > M$ sind $0$, und alle AKF–Werte mit $k < M$ sind symmetrisch um $0$:
+*Alle AKF–Werte mit $k > M$ sind $0$, und alle AKF–Werte mit $k < M$ sind symmetrisch zu $k = 0$:
 :$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$
-{{Beispiel}}''':'''&nbsp; Liegt am Eingang eines nichtrekursiven Filters erster Ordnung (Filterkoeffizienten $a_0 = 0.6$, $a_1 = 0.8$) zeitdiskretes weißes Rauschen mit der Streuung $σ_x = 2$ an, so lauten die diskreten AKF-Werte des Ausgangssignals (alle anderen AKF-Werte sind $0$):
+{{GraueBox|TEXT=
 [[Datei:P_ID597__Sto_T_5_3_S1_b_neu.png |frame| AKF am Ausgang eines Filters erster Ordnung|right]]
 :$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2  \cdot ( {a_0 ^2  + a_1 ^2 }) = 4,$$
 :$$\varphi _y ( { - T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot a_0  \cdot a_1  = 1.92.$$
-Für $σ_x = 1$ ergibt sich das folgende ''nichtlineare Gleichungssystem'', wobei zur Vereinfachung der Schreibweise $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$ verwendet wird:
+{{BlaueBox|TEXT=
-$$\begin{align*}\varphi _0 & = \sum\limits_{\mu  = 0}^M {a_\mu^2  ,}\\ \varphi _1 &  = \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - 1} {a_\mu   \cdot a_{\mu  + 1} ,} \\ & . & \\ & . &\\ & . &\\ \varphi _{M - 1} & = a_0  \cdot a_{M - 1}  + a_1  \cdot a_M , \\ \varphi _M  & =  a_0  \cdot a_M .\end{align*}$$
+$\text{Fazit:}$&nbsp;
-Man erhält somit für die $M +$ 1 Koeffizienten auch $M +$ 1 unabhängige Gleichungen. Durch sukzessives Eliminieren der Koeffizienten $a_1, ... , a_M$ bleibt für $a_0$ eine nichtlineare Gleichung höherer Ordnung übrig.
+*Man erhält somit für die $M + 1$  Koeffizienten auch $M + 1$  unabhängige Gleichungen.
-{{Beispiel}}''':'''&nbsp; Wir betrachten die folgende Konstellation:
+{{GraueBox|TEXT=
-*ein rekursives Filter erster Ordnung  ⇒  $M = 1$,
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten die folgende Konstellation:
 *eine zeitdiskrete Eingangsfolge $〈x_ν〉$ mit Mittelwert $m_x =$ 0 und Streuung $σ_x = 1$,
-*gewünschte AKF-Werte der Folge $〈y_ν〉: φ_y(0) = φ_0 =0.58$ und $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.
+*gewünschte AKF-Werte der Folge $〈y_ν〉$: &nbsp; $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$ und $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.
 Damit lautet das obige Gleichungssystem:
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 Dies führt zu einer Gleichung vom Grad $4$, nämlich
 :$$a_0 ^2  + \left( { { {0.21} }/{ {a_0 } } } \right)^2  = 0.58\quad  \Rightarrow \quad a_0 ^4  - 0.58 \cdot a_0 ^2  + 0.21^2  = 0.$$
-Eine Lösung stellt $a_0 = 0.7$ dar. Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man $a_1 = 0.3$. {{end}}
+Eine Lösung stellt $a_0 = 0.7$ dar. Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man $a_1 = 0.3$. }}
-Man erkennt aus diesem Beispiel, dass sich schon im einfachsten Fall  ⇒  $M = 1$ eine nichtlineare Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad $4$ ergibt.
+Man erkennt aus diesem Beispiel, dass sich schon im einfachsten Fall &nbsp;  ⇒ &nbsp;  $M = 1$  für $a_0$ eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad $4$ ergibt.
 ==Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung==
 Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit $M = 1$ die Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad $4$. Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen. Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:
 *Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.
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-{{Beispiel}}''':'''&nbsp; Wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften#Zur_Koeffizientenbestimmung|letzten Abschnitt]] gezeigt wurde, ist der Parametersatz $a_0 = 0.7$, $a_1 = 0.3$ geeignet, die AKF-Werte $φ_0 = 0.58$ und $φ_1 = 0.21$ zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:
+{{GraueBox|TEXT=
 :$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A})
 + 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$
 [[Datei:P_ID557__Sto_T_5_3_S2_b_neu_100.png |frame| Beispiel zur AKF-Berechnung|right]]
-Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizientenpaaren
+Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten
 *$a_0 = - 0.7,\quad a_1  = -0.3,$
 *$a_0  = +0.3,\quad a_1  = +0.7,$
 *$a_0  =  - 0.3,\quad a_1 = -0.7.$
 Diese Konfigurationen ergeben sich durch
-*gleichzeitiges Multiplizieren aller Koeffizienten mit $–1$, sowie
+*gleichzeitiges Multiplizieren aller Koeffizienten mit $-1$, sowie
 *Vertauschen der Zahlenwerte von $a_0$ und $a_1$.
-Die Grafik zeigt die entsprechenden Impulsantworten, die zur gewünschten AKF führen.
+Die Grafik zeigt die entsprechenden Impulsantworten, die zur gewünschten AKF führen.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:5.5 AKF-äquivalente Filter|Aufgabe 5.5: &nbsp; AKF-äquivalente Filter]]
+[[Aufgaben:5.5Z AKF nach Filter 1. Ordnung|Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung]]
-[[Aufgaben:5.6 Filterdimensionierung|Aufgabe 5.6: &nbsp; Filterdimensionierung]]
+[[Aufgaben:5.6 Filterdimensionierung|Aufgabe 5.6: Filterdimensionierung]]
-[[Aufgaben:5.6Z Nochmals FIlterdimensionierung|Zusatzaufgabe 5.6Z: &nbsp; Nochmals FIlterdimensionierung]]
+[[Aufgaben:5.6Z Nochmals FIlterdimensionierung|Aufgabe 5.6Z: Nochmals FIlterdimensionierung]]
 {{Display}}

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 }}
 ==AKF am Ausgang eines nichtrekursiven Filters==
-Wir betrachten ein ''nichtrekursives Laufzeitfilter M-ter Ordnung'' gemäß der folgenden Grafik. Die zeitdiskrete Eingangsgröße $〈x_ν〉$ ist mittelwertfrei $(m_x =$ 0), gaußverteilt (mit Streuung $σ_x$) und statistisch unabhängig („Weißes Rauschen”).
+Wir betrachten ein ''nichtrekursives Laufzeitfilter M-ter Ordnung'' gemäß der folgenden Grafik. Die zeitdiskrete Eingangsgröße $〈x_ν〉$ ist
-[[Datei:P_ID555__Sto_T_5_3_S1_neu.png | Nichtrekursives Filter M-ter Ordnung]]
+Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:
-*Somit gilt für die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion am Eingang:
+{{Beispiel}}''':'''&nbsp; Liegt am Eingang eines nichtrekursiven Filters erster Ordnung (Filterkoeffizienten $a_0 = 0.6$, $a_1 = 0.8$) zeitdiskretes weißes Rauschen mit der Streuung $σ_x = 2$ an, so lauten die diskreten AKF-Werte des Ausgangssignals (alle anderen AKF-Werte sind $0$):
 Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:
-*Wegen $a_0^2 + a_1^2 =$ 1 besitzt das Ausgangssignal $y(t)$ genau die gleiche Varianz $σ_y^2 = φ_y(0)$ wie das Eingangssignal: $σ_x^2 = φ_x(0) =$ 4.
+*Wegen $a_0^2 + a_1^2 =$ 1 besitzt das Ausgangssignal $y(t)$ genau die gleiche Varianz $σ_y^2 = φ_y(0)$ wie das Eingangssignal: $σ_x^2 = φ_x(0) = 4$.
-*Im Gegensatz zur Eingangsfolge $〈x_ν〉$ gibt es bei der Folge $〈y_ν〉$ am Filterausgang statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten.
+*Im Gegensatz zur Eingangsfolge $〈x_ν〉$ gibt es bei der Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten. {{end}}
-==Koeffizientenbestimmung (1)==
+==Zur Koeffizientenbestimmung==
 Nun soll die Frage geklärt werden, wie die Koeffizienten $a_0, ... , a_M$ eines nichtrekursiven Filters $M$-ter Ordnung ermittelt werden können, wenn die gewünschten AKF-Werte $φ_y(0), ... , φ_y(M · T_{\rm A})$ gegeben sind. Außerhalb des Bereiches $–M · T_{\rm A} ... M · T_{\rm A}$ sollen alle AKF-Werte gleich 0 sein.
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 Man erkennt aus diesem Beispiel, dass sich schon im einfachsten Fall  ⇒  $M =$ 1 eine nichtlineare Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad 4 ergibt.
-==Koeffizientenbestimmung (2)==
+==Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung==
 Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit $M =$ 1 die Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad 4. Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen. Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:
 *Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.
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 Diese Konfigurationen ergeben sich durch gleichzeitiges Multiplizieren aller Koeffizienten mit –1 sowie durch Vertauschen der Zahlenwerte von $a_0$ und $a_1$.
 {{end}}
 {{Display}}