Stochastische Signaltheorie/Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:43Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Creation_of_Predefined_ACF_Properties]]

Maintenance script: Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

2026-02-27T14:00:09Z

Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

← Nächstältere Version		Version vom 27. Februar 2026, 16:00 Uhr
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	$\text{Beispiel 3:}$  Wie im  [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften#Zur_Koeffizientenbestimmung\|letzten Abschnitt]]  gezeigt wurde, ist der Parametersatz  $a_0 = 0.7$,  $a_1 = 0.3$  geeignet, die AKF-Werte  $φ_0 = 0.58$  und  $φ_1 = 0.21$  zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:		$\text{Beispiel 3:}$  Wie im  [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften#Zur_Koeffizientenbestimmung\|letzten Abschnitt]]  gezeigt wurde, ist der Parametersatz  $a_0 = 0.7$,  $a_1 = 0.3$  geeignet, die AKF-Werte  $φ_0 = 0.58$  und  $φ_1 = 0.21$  zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:
	[[Datei:P_ID557__Sto_T_5_3_S2_b_neu_100.png \|frame\| Beispiel zur AKF-Berechnung\|right]]		[[Datei:P_ID557__Sto_T_5_3_S2_b_neu_100.png \|frame\| Beispiel zur AKF-Berechnung\|right]]
	:$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A})		:$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A}) + 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$
	+ 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$

	Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten		Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten

Guenter am 29. Januar 2022 um 16:35 Uhr

2022-01-29T16:35:11Z

Guenter am 9. Dezember 2019 um 10:07 Uhr

2019-12-09T10:07:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2019, 12:07 Uhr
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	[[Aufgaben:5.6 Filterdimensionierung\|Aufgabe 5.6: Filterdimensionierung]]		[[Aufgaben:5.6 Filterdimensionierung\|Aufgabe 5.6: Filterdimensionierung]]

	[[Aufgaben:5.6Z ~~Nochmals FIlterdimensionierung~~\|Aufgabe 5.6Z: Nochmals FIlterdimensionierung]]		[[Aufgaben:Aufgabe_5.6Z:_Nochmals_Filterdimensionierung\|Aufgabe 5.6Z: Nochmals FIlterdimensionierung]]


	{{Display}}		{{Display}}

Guenter am 9. Dezember 2019 um 10:06 Uhr

2019-12-09T10:06:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2019, 12:06 Uhr
Zeile 83:		Zeile 83:
	:$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A})		:$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A})
	+ 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$		+ 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$


	Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten		Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten

Guenter am 9. Dezember 2019 um 10:05 Uhr

2019-12-09T10:05:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2019, 12:05 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	*wenn die gewünschten AKF-Werte  $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$  gegeben sind, und		*wenn die gewünschten AKF-Werte  $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$  gegeben sind, und
	* außerhalb des Bereiches von  $-M · T_{\rm A}$  bis  $+M · T_{\rm A}$  alle AKF-Werte Null sein sollen.		* außerhalb des Bereiches von  $-M · T_{\rm A}$  bis  $+M · T_{\rm A}$  alle AKF-Werte Null sein sollen.


	Für  $σ_x = 1$  ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem, wobei zur Vereinfachung der Schreibweise  $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$  verwendet wird:		Für  $σ_x = 1$  ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem, wobei zur Vereinfachung der Schreibweise  $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$  verwendet wird:

Guenter am 9. Dezember 2019 um 10:04 Uhr

2019-12-09T10:04:20Z

Änderungen zeigen

Guenter am 24. August 2018 um 07:56 Uhr

2018-08-24T07:56:07Z

Guenter am 13. April 2018 um 14:57 Uhr

2018-04-13T14:57:51Z

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Wael am 28. Dezember 2017 um 18:59 Uhr

2017-12-28T18:59:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. Januar 2022, 18:35 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	Die zeitdiskrete Eingangsgröße  $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$  ist		Die zeitdiskrete Eingangsgröße  $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$  ist
	* mittelwertfrei  $(m_x = 0)$,		* mittelwertfrei  $(m_x = 0)$,
	*gaußverteilt  (mit  Streuung  $σ_x)$,  und		*gaußverteilt  $($mit  Streuung  $σ_x)$,  und
	* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”)   ⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.		* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”)   ⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.


	Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:		Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:
	*Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion (AKF) am Eingang lautet:		*Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion:  $\rm (AKF)$  am Eingang lautet:
	:$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,} \\ 0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.} \\\end{array}} \right.$$		:$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,} \\ 0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.} \\\end{array}} \right.$$
	*Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge  $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$  ist wie folgt gegeben:		*Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge  $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$  ist wie folgt gegeben:
	:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$		:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
	*Alle AKF–Werte mit  $k > M$  sind Null, und alle AKF–Werte mit  $k < M$  sind symmetrisch zu  $k = 0$:		*Alle AKF–Werte mit  $k > M$  sind Null,  und alle AKF–Werte mit  $k < M$  sind symmetrisch zu  $k = 0$:
	:$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$		:$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$

Zeile 38:		Zeile 38:
	<br>		<br>
	Nun soll folgende Frage beantwortet werden:   Wie können die Koeffizienten  $a_0$, ... , $a_M$  eines nichtrekursiven Filters  $M$–ter Ordnung ermittelt werden,		Nun soll folgende Frage beantwortet werden:   Wie können die Koeffizienten  $a_0$, ... , $a_M$  eines nichtrekursiven Filters  $M$–ter Ordnung ermittelt werden,
	*wenn die gewünschten AKF-Werte  $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$  gegeben sind, und		*wenn die gewünschten AKF-Werte  $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$  gegeben sind,  und
	* außerhalb des Bereiches von  $-M · T_{\rm A}$  bis  $+M · T_{\rm A}$  alle AKF-Werte Null sein sollen.		* außerhalb des Bereiches von  $-M · T_{\rm A}$  bis  $+M · T_{\rm A}$  alle AKF-Werte Null sein sollen.


	Für  $σ_x = 1$  ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem, wobei zur Vereinfachung der Schreibweise  $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$  verwendet wird:		Für  $σ_x = 1$  ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem,  wobei zur Vereinfachung der Schreibweise  $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$  verwendet wird:
	:$$\begin{align}\varphi _0 & = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu^2 ,}\\ \varphi _1 & = \sum\limits_{\mu = 0}^{M - 1} {a_\mu \cdot a_{\mu + 1} ,} \\ & ... &\\ \varphi _{M - 1} & = a_0 \cdot a_{M - 1} + a_1 \cdot a_M , \\ \varphi _M & = a_0 \cdot a_M .\end{align}$$		:$$\begin{align}\varphi _0 & = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu^2 ,}\\ \varphi _1 & = \sum\limits_{\mu = 0}^{M - 1} {a_\mu \cdot a_{\mu + 1} ,} \\ & ... &\\ \varphi _{M - 1} & = a_0 \cdot a_{M - 1} + a_1 \cdot a_M , \\ \varphi _M & = a_0 \cdot a_M .\end{align}$$

Zeile 53:		Zeile 53:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die folgende Konstellation:		$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die folgende Konstellation:
	*ein rekursives Filter erster Ordnung   ⇒   $M = 1$,		#ein rekursives Filter erster Ordnung   ⇒   $M = 1$,
	*eine zeitdiskrete Eingangsfolge  $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$  mit Mittelwert  $m_x =$ 0   und  Streuung  $σ_x = 1$,		#eine zeitdiskrete Eingangsfolge  $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$  mit Mittelwert  $m_x =$ 0   und  Streuung  $σ_x = 1$,
	*gewünschte AKF-Werte der Folge  $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$:   $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$  und  $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.		#gewünschte AKF–Werte der Folge  $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$:   $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$  und  $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.


	Damit lautet das obige Gleichungssystem:		*Damit lautet das obige Gleichungssystem:
	:$$\varphi _0 = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.58,$$		:$$\varphi _0 = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.58,$$
	:$$\varphi _1 = a_0 \cdot a_1 = 0.21.$$		:$$\varphi _1 = a_0 \cdot a_1 = 0.21.$$
	Dies führt zu einer Gleichung vom Grad  $4$, nämlich		*Dies führt zu einer Gleichung vom Grad  $4$,  nämlich
	:$$a_0 ^2 + \left( { { {0.21} }/{ {a_0 } } } \right)^2 = 0.58\quad \Rightarrow \quad a_0 ^4 - 0.58 \cdot a_0 ^2 + 0.21^2 = 0.$$		:$$a_0 ^2 + \left( { { {0.21} }/{ {a_0 } } } \right)^2 = 0.58\quad \Rightarrow \quad a_0 ^4 - 0.58 \cdot a_0 ^2 + 0.21^2 = 0.$$
	Eine Lösung stellt  $a_0 = 0.7$  dar.  Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man  $a_1 = 0.3$. }}		*Eine Lösung stellt  $a_0 = 0.7$  dar.  Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man  $a_1 = 0.3$.


	Man erkennt aus diesem Beispiel, dass sich schon im einfachsten Fall   ~~⇒  ~~ $M = 1$  für  $a_0$  eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad  $4$  ergibt.		Man erkennt aus diesem Beispiel,  dass sich schon im einfachsten Fall  $(M = 1)$  für  $a_0$  eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad  $4$  ergibt.}}

	==Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung==		==Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung==
	<br>		<br>
	Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit  $M = 1$  die Bestimmungsgleichung für  $a_0$  vom Grad  $4$.  Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen.		Wie das letzte Beispiel gezeigt hat,  ist mit  $M = 1$  die Bestimmungsgleichung für  $a_0$  vom Grad  $4$.  Dies bedeutet gleichzeitig,  dass es auch vier Koeffizientensätze gibt,  die alle zur gleichen AKF führen.

	Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:		Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:
	*Die Koeffizienten  $a_0$  und  $a_1$  können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.		*Die Koeffizienten  $a_0$  und  $a_1$  können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern,  ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.
	*Ersetzt man  $a_0$  durch  $a_1$  und umgekehrt, so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.		*Ersetzt man  $a_0$  durch  $a_1$  und umgekehrt,  so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.
	*Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.		*Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2018, 09:56 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	==AKF am Ausgang eines nichtrekursiven Filters==		==AKF am Ausgang eines nichtrekursiven Filters==
	<br>		<br>
	Wir betrachten ein ''nichtrekursives Laufzeitfilter M-ter Ordnung'' gemäß der folgenden Grafik.		Wir betrachten ein ''nichtrekursives Laufzeitfilter M-ter Ordnung''  gemäß der folgenden Grafik.
	[[Datei:P_ID555__Sto_T_5_3_S1_neu.png \|frame\| Nichtrekursives Filter ''M''-ter Ordnung]]		[[Datei:P_ID555__Sto_T_5_3_S1_neu.png \|frame\| Nichtrekursives Filter $M$-ter Ordnung]]
	Die zeitdiskrete Eingangsgröße $~~〈x_ν〉~~$ ist		Die zeitdiskrete Eingangsgröße $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ ist
	* mittelwertfrei ($m_x = 0$),		* mittelwertfrei $(m_x = 0)$,
	*gaußverteilt (mit Streuung $σ_x$), und		*gaußverteilt (mit Streuung $σ_x$), und
	* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”) <br>⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.		* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”) <br>⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.



Zeile 19:		Zeile 18:
	*Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion (AKF) am Eingang lautet:		*Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion (AKF) am Eingang lautet:
	:$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,} \\ 0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.} \\\end{array}} \right.$$		:$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,} \\ 0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.} \\\end{array}} \right.$$
	*Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge $~~〈y_ν〉~~$ ist wie folgt gegeben:		*Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$ ist wie folgt gegeben:
	:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$		:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
	*Alle AKF–Werte mit $k > M$ sind ~~$0$~~, und alle AKF–Werte mit $k < M$ sind symmetrisch zu $k = 0$:		*Alle AKF–Werte mit $k > M$ sind Null, und alle AKF–Werte mit $k < M$ sind symmetrisch zu $k = 0$:
	:$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$		:$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$

Zeile 31:		Zeile 30:
	:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot ( {a_0 ^2 + a_1 ^2 }) = 4,$$		:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot ( {a_0 ^2 + a_1 ^2 }) = 4,$$
	:$$\varphi _y ( { - T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot a_0 \cdot a_1 = 1.92.$$		:$$\varphi _y ( { - T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot a_0 \cdot a_1 = 1.92.$$
	~~<br clear=all>~~
	Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:		Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:
	*Wegen $a_0^2 + a_1^2 = 1$ besitzt das Ausgangssignal $y(t)$ genau die gleiche Varianz $σ_y^2 = φ_y(0)$ wie das Eingangssignal:   $σ_x^2 = φ_x(0) = 4$.		*Wegen $a_0^2 + a_1^2 = 1$ besitzt das Ausgangssignal $y(t)$ genau die gleiche Varianz $σ_y^2 = φ_y(0)$ wie das Eingangssignal:   $σ_x^2 = φ_x(0) = 4$.
	*Im Gegensatz zur Eingangsfolge $~~〈x_ν〉~~$ gibt es bei der Ausgangsfolge $~~〈y_ν〉~~$ statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten. }}		*Im Gegensatz zur Eingangsfolge $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ gibt es bei der Ausgangsfolge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$ statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten. }}


	==Zur Koeffizientenbestimmung==		==Zur Koeffizientenbestimmung==
	<br>		<br>
	Nun soll folgende ~~Fragebeantwortet~~ werden:		Nun soll folgende Frage beantwortet werden:   Wie können die Koeffizienten $a_0$, ... , $a_M$ eines nichtrekursiven Filters $M$–ter Ordnung ermittelt werden,

	Wie können die Koeffizienten $a_0$, ... , $a_M$ eines nichtrekursiven Filters $M$–ter Ordnung ermittelt werden,
	*wenn die gewünschten AKF-Werte $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$ gegeben sind, und		*wenn die gewünschten AKF-Werte $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$ gegeben sind, und
	* außerhalb des Bereiches von $-M · T_{\rm A}$ bis $+M · T_{\rm A}$ alle AKF-Werte Null sein sollen.		* außerhalb des Bereiches von $-M · T_{\rm A}$ bis $+M · T_{\rm A}$ alle AKF-Werte Null sein sollen.
Zeile 59:		Zeile 56:
	$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die folgende Konstellation:		$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die folgende Konstellation:
	*ein rekursives Filter erster Ordnung  ⇒   $M = 1$,		*ein rekursives Filter erster Ordnung  ⇒   $M = 1$,
	*eine zeitdiskrete Eingangsfolge $~~〈x_ν〉~~$ mit Mittelwert $m_x =$ 0 und Streuung $σ_x = 1$,		*eine zeitdiskrete Eingangsfolge $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ mit Mittelwert $m_x =$ 0 und Streuung $σ_x = 1$,
	*gewünschte AKF-Werte der Folge $~~〈y_ν〉~~$:   $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$ und $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.		*gewünschte AKF-Werte der Folge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$:   $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$ und $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.


Zeile 77:		Zeile 74:
	Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit $M = 1$ die Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad $4$. Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen. Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:		Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit $M = 1$ die Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad $4$. Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen. Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:
	*Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.		*Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.
	*Ersetzt man $a_0$ durch $a_1$ und umgekehrt, so ergibt sich die ~~gleiche~~ Bestimmungsgleichung. Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.		*Ersetzt man $a_0$ durch $a_1$ und umgekehrt, so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.
			*Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$  Wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften#Zur_Koeffizientenbestimmung\|letzten Abschnitt]] gezeigt wurde, ist der Parametersatz $a_0 = 0.7$, $a_1 = 0.3$ geeignet, die AKF-Werte $φ_0 = 0.58$ und $φ_1 = 0.21$ zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:		$\text{Beispiel 3:}$  Wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften#Zur_Koeffizientenbestimmung\|letzten Abschnitt]] gezeigt wurde, ist der Parametersatz  $a_0 = 0.7$,  $a_1 = 0.3$  geeignet, die AKF-Werte  $φ_0 = 0.58$  und  $φ_1 = 0.21$  zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:
			[[Datei:P_ID557__Sto_T_5_3_S2_b_neu_100.png \|frame\| Beispiel zur AKF-Berechnung\|right]]
	:$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A})		:$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A})
	+ 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$		+ 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$

	~~[[Datei:P_ID557__Sto_T_5_3_S2_b_neu_100.png \|frame\| Beispiel zur AKF-Berechnung\|right]]~~
	Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten		Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten
	*$a_0 = - 0.7,\quad a_1 = -0.3,$		*$a_0 = - 0.7,\quad a_1 = -0.3,$
Zeile 97:		Zeile 96:


	Die Grafik zeigt die ~~entsprechenden~~ Impulsantworten, die zur gewünschten AKF führen.}}		Die Grafik zeigt die jeweiligen Impulsantworten, die zur gewünschten AKF führen.}}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

← Nächstältere Version		Version vom 28. Dezember 2017, 20:59 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	* ohne Gedächtnis(„Weißes Rauschen”)   ⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.		* ohne Gedächtnis(„Weißes Rauschen”)   ⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.

	[[Datei:P_ID555__Sto_T_5_3_S1_neu.png \| Nichtrekursives Filter ''M''-ter Ordnung]]		[[Datei:P_ID555__Sto_T_5_3_S1_neu.png \|frame\| Nichtrekursives Filter ''M''-ter Ordnung]]

	Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:		Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:
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	{{Beispiel}}''':'''  Liegt am Eingang eines nichtrekursiven Filters erster Ordnung (Filterkoeffizienten $a_0 = 0.6$, $a_1 = 0.8$) zeitdiskretes weißes Rauschen mit der Streuung $σ_x = 2$ an, so lauten die diskreten AKF-Werte des Ausgangssignals (alle anderen AKF-Werte sind $0$):		{{Beispiel}}''':'''  Liegt am Eingang eines nichtrekursiven Filters erster Ordnung (Filterkoeffizienten $a_0 = 0.6$, $a_1 = 0.8$) zeitdiskretes weißes Rauschen mit der Streuung $σ_x = 2$ an, so lauten die diskreten AKF-Werte des Ausgangssignals (alle anderen AKF-Werte sind $0$):

	[[Datei:P_ID597__Sto_T_5_3_S1_b_neu.png \| AKF am Ausgang eines Filters erster Ordnung\|right]]		[[Datei:P_ID597__Sto_T_5_3_S1_b_neu.png \|frame\| AKF am Ausgang eines Filters erster Ordnung\|right]]
	:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot ( {a_0 ^2 + a_1 ^2 }) = 4,$$		:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot ( {a_0 ^2 + a_1 ^2 }) = 4,$$
	:$$\varphi _y ( { - T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot a_0 \cdot a_1 = 1.92.$$		:$$\varphi _y ( { - T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot a_0 \cdot a_1 = 1.92.$$
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	+ 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$		+ 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$

	[[Datei:P_ID557__Sto_T_5_3_S2_b_neu_100.png \| Beispiel zur AKF-Berechnung\|right]]		[[Datei:P_ID557__Sto_T_5_3_S2_b_neu_100.png \|frame\| Beispiel zur AKF-Berechnung\|right]]
	Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizientenpaaren		Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizientenpaaren
	*$a_0 = - 0.7,\quad a_1 = -0.3,$		*$a_0 = - 0.7,\quad a_1 = -0.3,$