Stochastische Signaltheorie/Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:43Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Generation_of_Discrete_Random_Variables]]

Guenter am 28. Dezember 2021 um 14:21 Uhr

2021-12-28T14:21:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Dezember 2021, 16:21 Uhr
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	Die Grafik zeigt das Prinzip für den Sonderfall  $M = 3$   ⇒   ternäre Zufallsfolge  $〈z_{\rm ν}〉$  mit  $z_{\rm ν} ∈ \{0,\ 1,\ 2\}$.  Ausgegangen wird hierbei von der zwischen  $0$  und  $1$  gleichverteilten Zufallsgröße  $x$.		Die Grafik zeigt das Prinzip für den Sonderfall  $M = 3$   ⇒   ternäre Zufallsfolge  $〈z_{\rm ν}〉$  mit  $z_{\rm ν} ∈ \{0,\ 1,\ 2\}$.  Ausgegangen wird hierbei von der zwischen  $0$  und  $1$  gleichverteilten Zufallsgröße  $x$.
	[[Datei:P_ID457__Sto_T_2_5_S6neu.png\|right\|frame\|Zur Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen]]		[[Datei:P_ID457__Sto_T_2_5_S6neu.png\|right\|frame\|Zur Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen]]
	Die gewünschten Auftrittswahrscheinlichkeiten sind wie folgt bezeichnet.		Die gewünschten Auftrittswahrscheinlichkeiten sind wie folgt bezeichnet:
	*$p_0 = {\rm Pr}(z_{\rm ν} =0)$,		*$p_0 = {\rm Pr}(z_{\rm ν} =0)$,
	*$p_1 = {\rm Pr}(z_{\rm ν} =1)$,		*$p_1 = {\rm Pr}(z_{\rm ν} =1)$,

Guenter am 28. Dezember 2021 um 14:06 Uhr

2021-12-28T14:06:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Dezember 2021, 16:06 Uhr
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	In  [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen#Folgen_maximaler_L.C3.A4nge_.28M-Sequenzen.29\|obiger Tabelle]]  sind in der dritten Spalte die zu  $G(D)$  zugehörigen reziproken Polynome  $G_{\rm R}(D)$  bis zum Registergrad  $L = 31$  angegeben.		In  [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen#Folgen_maximaler_L.C3.A4nge_.28M-Sequenzen.29\|obiger Tabelle]]  sind in der dritten Spalte die zu  $G(D)$  zugehörigen reziproken Polynome  $G_{\rm R}(D)$  bis zum Registergrad  $L = 31$  angegeben.   <br>Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo  [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)\|"Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel"]]  zusammengefasst.

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
Zeile 110:		Zeile 110:
	Wir betrachten wieder den Grad  $L = 4$.		Wir betrachten wieder den Grad  $L = 4$.

	*Ausgehend von der Schieberegisterstruktur  $(31)_{\rm ~~oct~~}$  erhält man für das reziproke Polynom		*Ausgehend von der Schieberegisterstruktur  $(31)_{\rm okt}$  erhält man für das reziproke Polynom
	:$$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 4}\cdot (1+D^{-3} + D^{ -4})=D^{ 4}+D^{1}+\rm 1$$		:$$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 4}\cdot (1+D^{-3} + D^{ -4})=D^{ 4}+D^{1}+\rm 1$$

Zeile 118:		Zeile 118:
	** ... $0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$ ...		** ... $0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$ ...

	*Das bedeutet, dass die obere Ausgangsfolge von  $(31)$, von rechts nach links gelesen, die unten angegebene Folge der reziproken Anordnung  $(23)$  ergibt.		*Das bedeutet,  dass die obere Ausgangsfolge von  $(31)$,  von rechts nach links gelesen,  die unten angegebene Folge der reziproken Anordnung  $(23)$  ergibt.
	*Zu erkennen ist allerdings eine zyklische Phasenverschiebung um vier Binärstellen. }}		*Zu erkennen ist allerdings eine zyklische Phasenverschiebung um vier Binärstellen. }}


	Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo  [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)\|Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel]]  zusammengefasst.


Zeile 131:		Zeile 130:
	:$$x = \text{random()}.$$		:$$x = \text{random()}.$$

	Durch sukzessives Aufrufen ~~der~~ &bdquo;Random-Funktion” entsteht eine periodisch sich wiederholende Folge reeller Zahlen, wobei alle Funktionswerte  $0 \le x < 1$  gleichwahrscheinlich sind   ⇒   siehe Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilte Zufallsgrößen]].		Durch sukzessives Aufrufen dieser  &bdquo;Random-Funktion”  entsteht eine periodisch sich wiederholende Folge reeller Zahlen,  wobei alle Funktionswerte  $0 \le x < 1$  gleichwahrscheinlich sind   ⇒   siehe Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilte Zufallsgrößen]].
	* Da die Periodendauer  $P$  jedoch sehr groß ist, kann diese Folge als  ''pseudozufällig''  angesehen werden.		* Da die Periodendauer  $P$  jedoch sehr groß ist,  kann diese Folge als  "pseudozufällig"  angesehen werden.
	*Durch Angabe eines Startwertes wird an bestimmten Stellen der Pseudozufallsfolge begonnen.		*Durch Angabe eines Startwertes wird an bestimmten Stellen der Pseudozufallsfolge begonnen.

Zeile 140:		Zeile 139:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 5:}$		$\text{Beispiel 5:}$
	Die Grafik zeigt das Prinzip für den Sonderfall  $M = 3$~~, wobei die gewünschten Auftrittswahrscheinlichkeiten~~ mit  $~~p_0~~$,  $~~p_1~~$  und  $~~p_2~~$  bezeichnet ~~sind~~.		Die Grafik zeigt das Prinzip für den Sonderfall  $M = 3$   ⇒   ternäre Zufallsfolge  $〈z_{\rm ν}〉$  mit  $z_{\rm ν} ∈ \{0,\ 1,\ 2\}$.  Ausgegangen wird hierbei von der zwischen  $0$  und  $1$  gleichverteilten Zufallsgröße  $x$.
			[[Datei:P_ID457__Sto_T_2_5_S6neu.png\|right\|frame\|Zur Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen]]
			Die gewünschten Auftrittswahrscheinlichkeiten sind wie folgt bezeichnet.
			*$p_0 = {\rm Pr}(z_{\rm ν} =0)$,
			*$p_1 = {\rm Pr}(z_{\rm ν} =1)$,
			*$p_2 = {\rm Pr}(z_{\rm ν} =2)$.

	~~binären Zufallsfolge  $〈z_{\rm ν}〉 ∈ \{0, 1\}$ ~~

	~~[[Datei:P_ID457__Sto_T_2_5_S6neu.png\|right\|frame\|Zur Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen]]~~

	Dann gilt:		Dann gilt:
	*Ist ~~der~~ aktuelle ~~Wert~~  $~~x$  der zwischen  $0$  und  $1~~$  ~~gleichverteilten Zufallsgröße kleiner als  $p_0$,~~ so wird die ternäre Zufallsgröße  $z = 0$  gesetzt.		*Ist das aktuelle  $x_{\rm ν} <p_0$,  so wird die ternäre Zufallsgröße  $z_{\rm ν} = 0$  gesetzt.
	*Im Bereich  $p_0 ≤ x < p_0 + p_1$  wird  $z = 1$  ausgegeben.		*Im Bereich  $p_0 ≤ x_{\rm ν} < p_0 + p_1$  wird  $z_{\rm ν} = 1$  ausgegeben.
	*Für  $x \ge p_0 + p_1$  wird die Zufallsgröße zu  $z =2$.		*Für  $x_{\rm ν} \ge p_0 + p_1$  wird die ternäre Zufallsgröße zu  $z_{\rm ν} =2$.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	Im aufgeführten C-Programm ergibt sich für  $M = 3$  und für den aktuellen Zufallswert  $x = 0.57$  für das Produkt  $x · M = 0.57 · 3 = 1.71$  und somit die ~~diskrete~~ Zufallsgröße  $z = 1$. Für einen ~~zweiten~~ Zufallswert  $x = 0.95$  würde die Funktion dagegen das Ergebnis  $z = 2$  liefern.		Im aufgeführten C-Programm ergibt sich für  $M = 3$  und für den aktuellen Zufallswert  $x = {\rm random()}=0.57$  für das Produkt  $x · M = 0.57 · 3 = 1.71$  und somit die ternäre Zufallsgröße  $z = 1$.  Für einen anderenen Zufallswert  $x = 0.95$  würde die Funktion dagegen das Ergebnis  $z = 2$  liefern.

	Aus Verständnisgründen wurde hier eine umständliche Programmierung gewählt.  Der angegebene C-Programmteil könnte auch kompakter geschrieben werden:		Aus Verständnisgründen wurde hier eine umständliche Programmierung gewählt.  Der angegebene C-Programmteil könnte auch kompakter geschrieben werden:

Guenter am 28. Dezember 2021 um 13:31 Uhr

2021-12-28T13:31:34Z

Änderungen zeigen

Guenter am 13. November 2019 um 17:42 Uhr

2019-11-13T17:42:51Z

Änderungen zeigen

Guenter am 13. November 2019 um 16:21 Uhr

2019-11-13T16:21:07Z

Guenter am 7. August 2018 um 14:42 Uhr

2018-08-07T14:42:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. August 2018, 16:42 Uhr
Zeile 136:		Zeile 136:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 5:}$		$\text{Beispiel 5:}$
	Die folgende Grafik zeigt das Prinzip für den Sonderfall $M = 3$, wobei die gewünschten Auftrittswahrscheinlichkeiten mit $p_0$, $p_1$ und $p_2$ bezeichnet sind. ~~Dann gilt:~~		Die folgende Grafik zeigt das Prinzip für den Sonderfall $M = 3$, wobei die gewünschten Auftrittswahrscheinlichkeiten mit $p_0$, $p_1$ und $p_2$ bezeichnet sind.

			[[Datei:P_ID457__Sto_T_2_5_S6neu.png\|right\|frame\|Zur Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen]]

			Dann gilt:
	*Ist der aktuelle Wert $x$ der zwischen $0$ und $1$ gleichverteilten Zufallsgröße kleiner als $p_0$, so wird die ternäre Zufallsgröße $z =$ 0 gesetzt.		*Ist der aktuelle Wert $x$ der zwischen $0$ und $1$ gleichverteilten Zufallsgröße kleiner als $p_0$, so wird die ternäre Zufallsgröße $z =$ 0 gesetzt.
	*Im Bereich $p_0 ≤ x < p_0 + p_1$ wird $z = 1$ gesetzt.		*Im Bereich $p_0 ≤ x < p_0 + p_1$ wird $z = 1$ gesetzt.
	*Für $x > p_0 + p_1$ wird die Zufallsgröße zu $z =2$.		*Für $x \ge p_0 + p_1$ wird die Zufallsgröße zu $z =2$.
			<br clear=all>
	~~[[Datei:P_ID457__Sto_T_2_5_S6neu.png\|center\|frame\|Zur Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen]]~~


	Im aufgeführten C-Programm ergibt sich für $M = 3$ und für den aktuellen Zufallswert $x = 0.57$ für das Produkt $x · M = 0.57 · 3 = 1.71$ und somit die diskrete Zufallsgröße $z = 1$. Für einen zweiten Zufallswert $x = 0.95$ würde die Funktion dagegen das Ergebnis $z = 2$ liefern.		Im aufgeführten C-Programm ergibt sich für $M = 3$ und für den aktuellen Zufallswert $x = 0.57$ für das Produkt $x · M = 0.57 · 3 = 1.71$ und somit die diskrete Zufallsgröße $z = 1$. Für einen zweiten Zufallswert $x = 0.95$ würde die Funktion dagegen das Ergebnis $z = 2$ liefern.

	Aus Darstellungsgründen wurde hier eine ~~etwas~~ umständliche Programmierung gewählt. Der ~~oben~~ angegebene C-Programmteil könnte auch ~~sehr viel~~ kompakter geschrieben werden:		Aus Darstellungsgründen wurde hier eine umständliche Programmierung gewählt. Der angegebene C-Programmteil könnte auch kompakter geschrieben werden:
	:$$\text{\{ float random(); return((long) (random()*M)); \} }$$}}		:$$\text{\{ float random(); return((long) (random()*M)); \} }$$}}

Guenter am 7. August 2018 um 14:33 Uhr

2018-08-07T14:33:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. August 2018, 16:33 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	Diese besitzen folgende Eigenschaften:		Diese besitzen folgende Eigenschaften:
	*Die durch einen solchen Generator erzeugte Binärfolge ist im strengen Sinne nicht stochastisch, sondern weist periodische und damit deterministische Eigenschaften auf.		*Die durch einen solchen Generator erzeugte Binärfolge ist im strengen Sinne nicht stochastisch, sondern weist periodische und damit deterministische Eigenschaften auf.
	*Ist die Periodenlänge $P$ ~~jedoch~~ hinreichend groß, so erscheint die Folge für einen Betrachter als zufällig mit für viele Anwendungsfälle hinreichend guten statistischen Eigenschaften.		*Ist jedoch die Periodenlänge $P$ hinreichend groß, so erscheint die Folge für einen Betrachter als zufällig mit für viele Anwendungsfälle hinreichend guten statistischen Eigenschaften.
	*Der Vorteil eines Pseudozufallsgenerators gegenüber einer „echten” stochastischen Quelle ist, dass die Zufallsfolge bei Kenntnis einiger weniger Parameter reproduzierbar ist.		*Der Vorteil eines Pseudozufallsgenerators gegenüber einer „echten” stochastischen Quelle ist, dass die Zufallsfolge bei Kenntnis einiger weniger Parameter reproduzierbar ist.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$  Aus der zuletzt genannten Eigenschaft heraus ergeben sich auch die wichtigsten Anwendungen der Pseudonoise-Generatoren:
	Aus der zuletzt genannten Eigenschaft heraus ergeben sich auch die wichtigsten Anwendungen der Pseudonoise-Generatoren:
	*zum einen die ''Fehlerhäufigkeitsmessung'' bei der Digitalsignalübertragung,		*zum einen die ''Fehlerhäufigkeitsmessung'' bei der Digitalsignalübertragung,
	*zum zweiten zur Bandspreizung bei CDMA (''Code Division Multiple Access'').		*zum zweiten zur Bandspreizung bei CDMA (''Code Division Multiple Access'').
Zeile 29:		Zeile 28:
	<br>		<br>
	Pseudozufallsgeneratoren werden meist durch rückgekoppelte Schieberegister realisiert, wobei zu jedem Taktzeitpunkt der Inhalt des Registers um eine Stelle nach rechts geschoben wird (siehe Grafik). Für das aktuell erzeugte Symbol gilt mit $g_l ∈ \{0, 1\}$ und $l = 1$, ... , $L–1$:		Pseudozufallsgeneratoren werden meist durch rückgekoppelte Schieberegister realisiert, wobei zu jedem Taktzeitpunkt der Inhalt des Registers um eine Stelle nach rechts geschoben wird (siehe Grafik). Für das aktuell erzeugte Symbol gilt mit $g_l ∈ \{0, 1\}$ und $l = 1$, ... , $L–1$:
	:$$z_\nu = (g_1\cdot z_{\nu-1}+g_2\cdot z_{\nu-2}+...+g_l\cdot z_{\nu-l}+\hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}+g_{L-1}\cdot z_{\nu-L+1}+ z_{\nu-L})\hspace{0.1cm} \rm mod \hspace{0.2cm}2.$$		:$$z_\nu = (g_1\cdot z_{\nu-1}+g_2\cdot z_{\nu-2}+\hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}+g_l\cdot z_{\nu-l}+\hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}+g_{L-1}\cdot z_{\nu-L+1}+ z_{\nu-L})\hspace{0.1cm} \rm mod \hspace{0.2cm}2.$$

	*Die zu vorherigen Zeitpunkten generierten Binärwerte $z_{~~ν–1~~}$ bis $z_{~~ν–L~~}$ sind in den Speicherzellen des Schieberegisters abgelegt.		*Die zu vorherigen Zeitpunkten generierten Binärwerte $z_{ν-1}$ bis $z_{ν-L}$ sind in den Speicherzellen des Schieberegisters abgelegt.
	*Die Koeffizienten $g_1$, ... , $g_{L–1}$ sind ebenfalls Binärwerte, wobei eine $1$ eine Rückkopplung an der entsprechenden Stelle kennzeichnet und eine $0$ keine Rückführung.		*Die Koeffizienten $g_1$, ... , $g_{L–1}$ sind ebenfalls Binärwerte, wobei eine $1$ eine Rückkopplung an der entsprechenden Stelle kennzeichnet und eine $0$ keine Rückführung.
	*Die Modulo-2-Addition kann zum Beispiel durch eine XOR-Verknüpfung realisiert werden:		*Die Modulo-2-Addition kann zum Beispiel durch eine XOR-Verknüpfung realisiert werden:
			[[Datei:P_ID34__Sto_T_2_5_S2_neu.png \|right\|frame\| Pseudo-Noise-Generator]]
	:$$(x + y)\hspace{0.1cm} \rm mod\hspace{0.1cm}2 = \it x\hspace{0.1cm}\rm XOR\hspace{0.1cm} \it y = \left\{\begin{array}{*{2}{c}} \rm 0 & \rm falls\hspace{0.1cm} \it x= y,\\ 1 & \rm falls\hspace{0.1cm} \it x\neq y. \\ \end{array} \right.$$		:$$(x + y)\hspace{0.1cm} \rm mod\hspace{0.1cm}2 = \it x\hspace{0.1cm}\rm XOR\hspace{0.1cm} \it y = \left\{\begin{array}{*{2}{c}} \rm 0 & \rm falls\hspace{0.1cm} \it x= y,\\ 1 & \rm falls\hspace{0.1cm} \it x\neq y. \\ \end{array} \right.$$
	*Die statistischen Eigenschaften der erzeugten Zufallsfolge werden im Wesentlichen durch den '''Grad''' $L$ und die '''Rückführungskoeffizienten''' $~~g_l~~$ (mit $l = 1$, ... , $~~L–1~~$) ~~bestimmt~~.
			Die statistischen Eigenschaften der erzeugten Pseudonoise-Zufallsfolge $〈z_{\rm ν}〉$ werden im Wesentlichen bestimmt durch
			*den '''Grad''' $L$, und
			*die '''Rückführungskoeffizienten''' $g_{\hspace{0.05cm}l}$ (mit $l = 1$, ... , $L-1$).


	Voraussetzung für die Entstehung einer PN-Folge ist, dass nicht alle Speicherelemente mit Nullen vorbelegt sind, da sonst die Modulo-2-Addition immer nur das Symbol $0$ erzeugen würde.		Voraussetzung für die Entstehung einer PN-Folge ist, dass nicht alle Speicherelemente mit Nullen vorbelegt sind, da sonst die Modulo-2-Addition immer nur das Symbol $0$ erzeugen würde.

	~~[[Datei:P_ID34__Sto_T_2_5_S2_neu.png \|center\|frame\| Pseudo-Noise-Generator]]~~

	Zur Kennzeichnung unterschiedlicher PN-Generatoren verwendet man in der Literatur alternativ:		Zur Kennzeichnung unterschiedlicher PN-Generatoren verwendet man in der Literatur alternativ:
	*die sogenannten '''Generatorpolynome''' von der Art		*die sogenannten '''Generatorpolynome''' von der Art
	:$$G(D) = g_L\cdot D^L+g_{L-1}\cdot D^{L-1}+...+g_1\cdot D+g_0 .$$		:$$G(D) = g_L\cdot D^L+g_{L-1}\cdot D^{L-1}+ \ \text{...} \ +g_1\cdot D+g_0 .$$
	:Hierbei ist stets $g_0 = g_L = 1$ zu setzen und $D$ ein formaler Parameter, der eine Verzögerung um einen Takt angibt. $D^L$ kennzeichnet ~~dann~~ eine Verzögerung um $L$ Takte.		:Hierbei ist stets $g_0 = g_L = 1$ zu setzen und $D$ ein formaler Parameter, der eine Verzögerung um einen Takt angibt ($D^L$ kennzeichnet eine Verzögerung um $L$ Takte);
	*die '''Oktaldarstellung''' der Binärzahl $(g_L\ \text{ ...} \ g_2 \ g_1 \ g_0).$ Wichtig ist, dass hierbei die Rückkopplungskoeffizienten – von rechts mit $g_0$ beginnend – zu Tripeln zusammengefasst und diese oktal (0 ... 7) geschrieben werden.		*die '''Oktaldarstellung''' der Binärzahl $(g_L\ \text{ ...} \ g_2 \ g_1 \ g_0).$ Wichtig ist, dass hierbei die Rückkopplungskoeffizienten – von rechts mit $g_0$ beginnend – zu Tripeln zusammengefasst und diese oktal $(0 \ \text{...}\ 7)$ geschrieben werden.


Zeile 63:		Zeile 65:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Vorerst ohne Beweis:}$		$\text{Vorerst ohne Beweis:}$  Eine M-Sequenz kann man daran erkennen, dass das Generatorpolynom $G(D)$ primitiv ist. Wie im Buch [[Kanalcodierung]] noch ausführlich dargelegt werden wird, bezeichnet man ein Polynom $G(D)$ vom Grad $L$ dann als '''primitiv''', wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
	Eine M-Sequenz kann man daran erkennen, dass das Generatorpolynom $G(D)$ primitiv ist. Wie im Buch [[Kanalcodierung]] noch ausführlich dargelegt werden wird, bezeichnet man ein Polynom $G(D)$ vom Grad $L$ dann als '''primitiv''', wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
	:$$\frac{(D^n+\rm 1)}{\it G(D)} \neq 0\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.5cm}\it n<P_{\rm max} \rm = \rm 2^{\it L}-\rm 1.$$}}		:$$\frac{(D^n+\rm 1)}{\it G(D)} \neq 0\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.5cm}\it n<P_{\rm max} \rm = \rm 2^{\it L}-\rm 1.$$}}


	In der Tabelle sind einige PN-Generatoren maximaler Länge bis zum Grad $L = 31$ aufgeführt. Die Auswahl ist auf Konfigurationen mit nur einer Anzapfung – also mit zwei Rückführungen – beschränkt. Das bedeutet, dass die zugehörigen Polynome jeweils aus drei Summanden bestehen. Für Applikationen, die eine hohe Geschwindigkeit erfordern, sind solche Generatoren sehr nützlich.		[[Datei: P_ID35__Sto_T_2_5_S5.png\|right\|frame\|Zusammenstellung einiger günstiger Generatorpolynome]]
			In der Tabelle sind einige PN-Generatoren maximaler Länge bis zum Grad $L = 31$ aufgeführt.
	~~[[Datei: P_ID35__Sto_T_2_5_S5.png\|center\|frame\|Zusammenstellung einiger günstiger Generatorpolynome]]~~		*Die Auswahl ist auf Konfigurationen mit nur einer Anzapfung – also mit zwei Rückführungen – beschränkt.
			*Das bedeutet, dass die zugehörigen Polynome jeweils aus drei Summanden bestehen.
			*Für Applikationen, die eine hohe Geschwindigkeit erfordern, sind solche Generatoren sehr nützlich.
			<br clear=all>
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$		$\text{Beispiel 3:}$  Ein Schieberegister vom Grad $L = 4$ mit Oktalkennung $(31)$ und Generatorpolynom $G(D) = D^4 + D^3 + 1$ führt zu einer Folge maximaler Länge:
	Ein Schieberegister vom Grad $L = 4$ mit Oktalkennung $(31)$ und Generatorpolynom $G(D) = D^4 + D^3 + 1$ führt zu einer Folge maximaler Länge: $P_{\rm max} = 2^4 – 1 = 15.$ Der mathematische Nachweis hierfür ist aufwändig:		:$$P_{\rm max} = 2^4 - 1 = 15.$$
	*Man muss anhand obiger Polynomdivision für $n = 1$, ... , $14$ zeigen, dass der Quotient stets ungleich $0$ ist. Erst die Division $(D^{15} + 1)/G(D)$ darf ein Ergebnis ohne Rest liefern.		Der mathematische Nachweis hierfür ist aufwändig:
			*Man muss anhand obiger Polynomdivision für $n = 1$,  ...  , $14$ zeigen, dass der Quotient stets ungleich $0$ ist.
			*Erst die Division $(D^{15} + 1)/G(D)$ darf ein Ergebnis ohne Rest liefern.
	*Hierbei ist zu berücksichtigen, dass in der Modulo-2-Algebra $+1$ und $–1$ identisch sind. }}		*Hierbei ist zu berücksichtigen, dass in der Modulo-2-Algebra $+1$ und $–1$ identisch sind. }}

Zeile 90:		Zeile 95:

	Zwischen den beiden Schiebregistern mit den Polynomen $G(D)$ bzw. $G_{\rm R}(D)$ bestehen folgende Zusammenhänge:		Zwischen den beiden Schiebregistern mit den Polynomen $G(D)$ bzw. $G_{\rm R}(D)$ bestehen folgende Zusammenhänge:
	*Liefert $G(D)$ eine Folge maximaler Länge ⇒ $P_{\rm max} = 2^L – 1$, so ist auch die Periodenlänge des reziproken Polynoms $G_{\rm R}(D)$ maximal.		*Liefert $G(D)$ eine Folge maximaler Länge   ⇒   $P_{\rm max} = 2^L - 1$, so ist auch die Periodenlänge des reziproken Polynoms $G_{\rm R}(D)$ maximal.
	*Die Ausgangsfolgen reziproker Konfigurationen sind zueinander invers: Die Folge von $G(D)$ – von rechts nach links gelesen – ergibt die Folge der reziproken Anordnung $G_{\rm R}(D)$.		*Die Ausgangsfolgen reziproker Konfigurationen sind zueinander invers:
			*Die Folge von $G(D)$ – von rechts nach links gelesen – ergibt die Folge der reziproken Anordnung $G_{\rm R}(D)$.


Zeile 103:		Zeile 109:
	:$$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 4}\cdot (1+D^{-3} + D^{ -4})=D^{ 4}+D^{1}+\rm 1$$		:$$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 4}\cdot (1+D^{-3} + D^{ -4})=D^{ 4}+D^{1}+\rm 1$$

	:und damit die Konfiguration mit der Oktalkennung (23).		:und damit die Konfiguration mit der Oktalkennung $(23)$.
	*Die entsprechenden Ausgangsfolgen haben jeweils die maximale Periodenlänge $P_{\rm max} = 15$ und sind zueinander invers:		*Die entsprechenden Ausgangsfolgen haben jeweils die maximale Periodenlänge $P_{\rm max} = 15$ und sind zueinander invers:
	:* ... $0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$ ...		:* ... $0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$ ...
	:* ... $0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$ ...		:* ... $0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$ ...

	*Das bedeutet, dass die Ausgangsfolge von $(31)$, von rechts nach links gelesen, die Folge der reziproken Anordnung $(23)$ ergibt. Zu erkennen ist allerdings eine zyklische Phasenverschiebung um vier Binärstellen. }}		*Das bedeutet, dass die obere Ausgangsfolge von $(31)$, von rechts nach links gelesen, die unten angegebene Folge der reziproken Anordnung $(23)$ ergibt.
			*Zu erkennen ist allerdings eine zyklische Phasenverschiebung um vier Binärstellen. }}

Guenter am 5. April 2018 um 13:56 Uhr

2018-04-05T13:56:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. April 2018, 15:56 Uhr
Zeile 120:		Zeile 120:
	:$$x = \text{random()}.$$		:$$x = \text{random()}.$$

	Durch sukzessives Aufrufen der &bdquo;Random-Funktion” entsteht eine periodisch sich wiederholende Folge reeller Zahlen, wobei alle Funktionswerte $0 \le x < 1$ gleichwahrscheinlich sind   ⇒   siehe Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/~~Gleichverteilte_Zufallsgröße~~\|Gleichverteilte ~~Zufallsgröße~~]].		Durch sukzessives Aufrufen der &bdquo;Random-Funktion” entsteht eine periodisch sich wiederholende Folge reeller Zahlen, wobei alle Funktionswerte $0 \le x < 1$ gleichwahrscheinlich sind   ⇒   siehe Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilte Zufallsgrößen]].
	* Da die Periodendauer $P$ jedoch sehr groß ist, kann diese Folge als ''pseudozufällig'' angesehen werden.		* Da die Periodendauer $P$ jedoch sehr groß ist, kann diese Folge als ''pseudozufällig'' angesehen werden.
	*Durch Angabe eines Startwertes wird an bestimmten Stellen der Pseudozufallsfolge begonnen.		*Durch Angabe eines Startwertes wird an bestimmten Stellen der Pseudozufallsfolge begonnen.

Guenter am 5. April 2018 um 13:54 Uhr

2018-04-05T13:54:26Z

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{~~Bitte beachten Sie~~:}$		$\text{Vorerst ohne Beweis:}$
	Eine M-Sequenz kann man daran erkennen, dass das Generatorpolynom $G(D)$ primitiv ist. Wie im Buch [[Kanalcodierung]] noch ausführlich dargelegt werden wird, bezeichnet man ein Polynom $G(D)$ vom Grad $L$ dann als primitiv, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:		Eine M-Sequenz kann man daran erkennen, dass das Generatorpolynom $G(D)$ primitiv ist. Wie im Buch [[Kanalcodierung]] noch ausführlich dargelegt werden wird, bezeichnet man ein Polynom $G(D)$ vom Grad $L$ dann als '''primitiv''', wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
	:$$\frac{(D^n+\rm 1)}{\it G(D)} \neq 0\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.5cm}\it n<P_{\rm max} \rm = \rm 2^{\it L}-\rm 1.$$}}		:$$\frac{(D^n+\rm 1)}{\it G(D)} \neq 0\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.5cm}\it n<P_{\rm max} \rm = \rm 2^{\it L}-\rm 1.$$}}


			In der Tabelle sind einige PN-Generatoren maximaler Länge bis zum Grad $L = 31$ aufgeführt. Die Auswahl ist auf Konfigurationen mit nur einer Anzapfung – also mit zwei Rückführungen – beschränkt. Das bedeutet, dass die zugehörigen Polynome jeweils aus drei Summanden bestehen. Für Applikationen, die eine hohe Geschwindigkeit erfordern, sind solche Generatoren sehr nützlich.

			[[Datei: P_ID35__Sto_T_2_5_S5.png\|center\|frame\|Zusammenstellung einiger günstiger Generatorpolynome]]

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 3:}$
	Ein Schieberegister vom Grad $L = 4$ mit Oktalkennung $(31)$ und Generatorpolynom $G(D) = D^4 + D^3 + 1$ führt zu einer Folge maximaler Länge: $P_{\rm max} = 2^4 – 1 = 15.$ Der mathematische Nachweis hierfür ist aufwändig:		Ein Schieberegister vom Grad $L = 4$ mit Oktalkennung $(31)$ und Generatorpolynom $G(D) = D^4 + D^3 + 1$ führt zu einer Folge maximaler Länge: $P_{\rm max} = 2^4 – 1 = 15.$ Der mathematische Nachweis hierfür ist aufwändig:
	*Man muss anhand obiger Polynomdivision für $n = 1$, ... , $14$ zeigen, dass der Quotient stets ungleich $0$ ist. Erst die Division $(D^{15} + 1)/G(D)$ darf ein Ergebnis ohne Rest liefern.		*Man muss anhand obiger Polynomdivision für $n = 1$, ... , $14$ zeigen, dass der Quotient stets ungleich $0$ ist. Erst die Division $(D^{15} + 1)/G(D)$ darf ein Ergebnis ohne Rest liefern.
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	~~[[Datei: P_ID35__Sto_T_2_5_S5.png\|center\|frame\|Zusammenstellung einiger günstiger Generatorpolynome]]~~


	In der Tabelle sind einige PN-Generatoren maximaler Länge bis zum Grad $L = 31$ aufgeführt. Die Auswahl ist auf Konfigurationen mit nur einer Anzapfung – also mit zwei Rückführungen – beschränkt. Das bedeutet, dass die zugehörigen Polynome jeweils aus drei Summanden bestehen. Für Applikationen, die eine hohe Geschwindigkeit erfordern, sind solche Generatoren sehr nützlich.

	==Reziproke Polynome==		==Reziproke Polynome==
	<br>		<br>
	{{Definition}}		{{BlaueBox\|TEXT=
			$\text{Definition:}$
	Das zum Generatorpolynom $G(D)$ gehörige '''reziproke Polynom''' lautet:		Das zum Generatorpolynom $G(D)$ gehörige '''reziproke Polynom''' lautet:
	$$G_{\rm R}(D)=D^{L}\cdot G(D^{-1}).$$		:$$G_{\rm R}(D)=D^{L}\cdot G(D^{-1}).$$}}
	~~{{end~~}}


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	In ~~der~~ [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen#Folgen_maximaler_L.C3.A4nge_.28M-Sequenzen.29\|Tabelle ~~im vorherigen Abschnitt~~]] sind in der ~~dreiten~~ Spalte die zu $G(D)$ zugehörigen reziproken Polynome $G_{\rm R}(D)$ bis zum Registergrad $L = 31$ angegeben.		In [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen#Folgen_maximaler_L.C3.A4nge_.28M-Sequenzen.29\|obiger Tabelle]] sind in der dritten Spalte die zu $G(D)$ zugehörigen reziproken Polynome $G_{\rm R}(D)$ bis zum Registergrad $L = 31$ angegeben.

	{{Beispiel}}		{{GraueBox\|TEXT=
	~~Betrachten wir~~ wieder den Grad $L = 4$. ~~Ausgehend von der Schieberegisterstruktur $(31)_{\rm oct}$ erhält man für das reziproke Polynom~~		$\text{Beispiel 4:}$
	~~$$G_{\rm R}(\it D) \rm = D^{\rm 4}\cdot (\rm 1+\it D^{\rm -3} \rm + D^{\rm -4})=D^{\rm 4}+D^{\rm 1}+\rm 1$$~~		Wir betrachten wieder den Grad $L = 4$.

	~~und damit die Konfiguration mit~~ der ~~Oktalkennung~~ (23)~~. Die entsprechenden Ausgangsfolgen~~		*Ausgehend von der Schieberegisterstruktur $(31)_{\rm oct}$ erhält man für das reziproke Polynom
	* ... $0 \ 0 \ 0 \ 1 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$ ~~...~~		:$$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 4}\cdot (1+D^{-3} + D^{ -4})=D^{ 4}+D^{1}+\rm 1$$
	* ... $0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 ~~\ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1~~ \ 1$ ~~...~~

			:und damit die Konfiguration mit der Oktalkennung (23).
			*Die entsprechenden Ausgangsfolgen haben jeweils die maximale Periodenlänge $P_{\rm max} = 15$ und sind zueinander invers:
			:* ... $0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$ ...
			:* ... $0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$ ...

	~~haben jeweils die maximale Periodenlänge $P_{\rm max} = 15$ und sind zueinander invers.~~ Das bedeutet, dass die Ausgangsfolge von $(31)$, von rechts nach links gelesen, die Folge der reziproken Anordnung $(23)$ ergibt. Zu erkennen ist allerdings eine zyklische Phasenverschiebung um vier Binärstellen.		*Das bedeutet, dass die Ausgangsfolge von $(31)$, von rechts nach links gelesen, die Folge der reziproken Anordnung $(23)$ ergibt. Zu erkennen ist allerdings eine zyklische Phasenverschiebung um vier Binärstellen. }}
	~~{{end~~}}


	Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist in einem ~~Lernvideo~~ zusammengefasst:		Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)\|Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel]] zusammengefasst.

	~~[[Verdeutlichung der PN-Generatoren am Beispiel ''L'' = 4]]~~

	==Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen==		==Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen==
			<br>
	Viele höhere Programmiersprachen bieten Pseudo-Zufallsgeneratoren an, die reelle, zwischen $0$ und $1$ gleichverteilte Zufallszahlen $x$ liefern. Beispielsweise lautet ein entsprechender C-Funktionsaufruf:		Viele höhere Programmiersprachen bieten Pseudo-Zufallsgeneratoren an, die reelle, zwischen $0$ und $1$ gleichverteilte Zufallszahlen $x$ liefern. Beispielsweise lautet ein entsprechender C-Funktionsaufruf:

	:~~'''~~x = random()'''		:$$x = \text{random()}.$$

			Durch sukzessives Aufrufen der &bdquo;Random-Funktion” entsteht eine periodisch sich wiederholende Folge reeller Zahlen, wobei alle Funktionswerte $0 \le x < 1$ gleichwahrscheinlich sind   ⇒   siehe Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgröße\|Gleichverteilte Zufallsgröße]].
			* Da die Periodendauer $P$ jedoch sehr groß ist, kann diese Folge als ''pseudozufällig'' angesehen werden.
			*Durch Angabe eines Startwertes wird an bestimmten Stellen der Pseudozufallsfolge begonnen.

	Durch sukzessives Aufrufen der &bdquo;Random-Funktion” entsteht eine periodisch sich wiederholende Folge reeller Zahlen – vgl. Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgröße\|Gleichverteilte Zufallsgröße]]. Da die Periodendauer $P$ jedoch sehr groß ist, kann diese Folge als ''pseudozufällig'' angesehen werden. Durch Angabe eines Startwertes wird an bestimmten Stellen der Pseudozufallsfolge begonnen.

	Bei der Generierung einer ~~diskreten~~ mehrstufigen Zufallsgröße $z$ wird zweckmäßigerweise von einer solchen gleichverteilten Zufallsgröße $x$ ausgegangen.		Bei der Generierung einer wertdiskreten mehrstufigen Zufallsgröße $z$ wird zweckmäßigerweise von einer solchen wertkontinuierlichen, gleichverteilten Zufallsgröße $x$ ausgegangen.

	{{Beispiel}}		{{GraueBox\|TEXT=
	Die ~~nachfolgende~~ Grafik zeigt das Prinzip für den Sonderfall $M = 3$, wobei die gewünschten Auftrittswahrscheinlichkeiten mit $p_0$, $p_1$ und $p_2$ bezeichnet sind. Dann gilt:		$\text{Beispiel 5:}$
			Die folgende Grafik zeigt das Prinzip für den Sonderfall $M = 3$, wobei die gewünschten Auftrittswahrscheinlichkeiten mit $p_0$, $p_1$ und $p_2$ bezeichnet sind. Dann gilt:

	*Ist der aktuelle Wert $x$ der zwischen 0 und 1 gleichverteilten Zufallsgröße kleiner als $p_0$, so wird die ternäre Zufallsgröße $z =$ 0 gesetzt.		*Ist der aktuelle Wert $x$ der zwischen $0$ und $1$ gleichverteilten Zufallsgröße kleiner als $p_0$, so wird die ternäre Zufallsgröße $z =$ 0 gesetzt.
	*Im Bereich $p_0 ≤ x < p_0 + p_1$ wird $z = 1$ gesetzt.		*Im Bereich $p_0 ≤ x < p_0 + p_1$ wird $z = 1$ gesetzt.
	*Für $x > p_0 + p_1$ wird die Zufallsgröße zu $z =2$.		*Für $x > p_0 + p_1$ wird die Zufallsgröße zu $z =2$.
Zeile 133:		Zeile 141:

	Aus Darstellungsgründen wurde hier eine etwas umständliche Programmierung gewählt. Der oben angegebene C-Programmteil könnte auch sehr viel kompakter geschrieben werden:		Aus Darstellungsgründen wurde hier eine etwas umständliche Programmierung gewählt. Der oben angegebene C-Programmteil könnte auch sehr viel kompakter geschrieben werden:
	:~~'''~~{ float random(); return((long) (random()*M)); }~~'''~~		:$$\text{\{ float random(); return((long) (random()*M)); \} }$$}}
	~~{{end~~}}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

← Nächstältere Version		Version vom 13. November 2019, 18:21 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	==Pseudozufallsgrößen==		==Pseudozufallsgrößen==
	<br>		<br>
	Eine Möglichkeit zur Erzeugung einer binären Zufallsfolge $〈z_{\rm ν}〉 ∈ \{0, 1\}$ mit guten statistischen Eigenschaften bieten die so genannten Pseudozufallsgeneratoren, auch bekannt unter dem Namen '''PN-Generatoren''', wobei „PN” für ''Pseudonoise'' steht.		Eine Möglichkeit zur Erzeugung einer binären Zufallsfolge  $〈z_{\rm ν}〉 ∈ \{0, 1\}$  mit guten statistischen Eigenschaften bieten die so genannten  '''Pseudozufallsgeneratoren''', auch bekannt unter dem Namen  '''PN-Generatoren''', wobei „PN” für  ''Pseudonoise''  steht.

	Diese besitzen folgende Eigenschaften:		Diese besitzen folgende Eigenschaften:
	*Die durch einen solchen Generator erzeugte Binärfolge ist im strengen Sinne nicht stochastisch, sondern weist periodische und damit deterministische Eigenschaften auf.		*Die durch einen solchen Generator erzeugte Binärfolge ist im strengen Sinne nicht stochastisch, sondern weist periodische und damit deterministische Eigenschaften auf.
	*Ist ~~jedoch~~ die Periodenlänge $P$ hinreichend groß, so erscheint die Folge für einen Betrachter als zufällig mit für viele ~~Anwendungsfälle~~ hinreichend guten statistischen Eigenschaften.		*Ist die Periodenlänge  $P$  hinreichend groß, erscheint die Folge für einen Betrachter als zufällig mit für viele Anwendungen hinreichend guten statistischen Eigenschaften.
	*~~Der~~ Vorteil eines Pseudozufallsgenerators gegenüber einer „echten” stochastischen Quelle ist, dass die Zufallsfolge bei Kenntnis einiger weniger Parameter reproduzierbar ist.		*Vorteil eines Pseudozufallsgenerators gegenüber einer „echten” stochastischen Quelle ist, dass die Zufallsfolge bei Kenntnis einiger weniger Parameter reproduzierbar ist.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$  Aus der zuletzt genannten Eigenschaft heraus ergeben sich auch die wichtigsten Anwendungen der Pseudonoise-Generatoren:		$\text{Beispiel 1:}$  Aus der zuletzt genannten Eigenschaft heraus ergeben sich auch die wichtigsten Anwendungen der Pseudonoise-Generatoren:
	*zum einen die ''Fehlerhäufigkeitsmessung'' bei der Digitalsignalübertragung,		*zum einen die  ''Fehlerhäufigkeitsmessung''  bei der Digitalsignalübertragung,
	*zum zweiten zur Bandspreizung bei CDMA (''Code Division Multiple Access'').		*zum zweiten zur Bandspreizung bei CDMA (''Code Division Multiple Access'').


	Bei einem solchen ''Spread Spectrum System'' wird das Sendesignal mit einer binären Zufallsfolge moduliert, deren Symbolfolgefrequenz deutlich größer als die Bitfrequenz ist. Dadurch bietet sich die Möglichkeit der Mehrfachausnutzung von Kanälen. Da am Empfänger die gleiche Folge phasenrichtig zugesetzt werden muss, ist auch hier der Einsatz von reproduzierbaren PN-Sequenzen üblich.		Bei einem solchen  ''Spread Spectrum System''  wird das Sendesignal mit einer binären Zufallsfolge moduliert, deren Symbolfolgefrequenz deutlich größer als die Bitfrequenz ist.  Dadurch bietet sich die Möglichkeit der Mehrfachausnutzung von Kanälen.  Da am Empfänger die gleiche Folge phasenrichtig zugesetzt werden muss, ist auch hier der Einsatz von reproduzierbaren PN-Sequenzen üblich.

	Ausführliche Informationen zu den Bandspreizverfahren finden Sie im Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS\|UMTS – Universal Mobile Telecommunications System]] des Buches &bdquo;Beispiele von Nachrichtensystemen” .}}		Ausführliche Informationen zu den Bandspreizverfahren finden Sie im Kapitel  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS\|UMTS – Universal Mobile Telecommunications System]]  des Buches &bdquo;Beispiele von Nachrichtensystemen” .}}

	==Realisierung von PN-Generatoren==		==Realisierung von PN-Generatoren==