Stochastische Signaltheorie/Erwartungswerte und Momente - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Januar 2022 um 13:18 Uhr

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Guenter am 15. November 2019 um 14:20 Uhr

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Guenter am 15. November 2019 um 14:18 Uhr

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Guenter am 15. November 2019 um 14:17 Uhr

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Guenter am 15. November 2019 um 14:03 Uhr

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Guenter am 15. November 2019 um 13:31 Uhr

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Guenter am 8. August 2018 um 10:04 Uhr

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Guenter am 7. April 2018 um 14:24 Uhr

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 Die Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; können aber auch als&nbsp; '''Zeitmittelwerte'''&nbsp; bestimmt werden, wenn der die Zufallsgröße erzeugende stochastische Prozess stationär und ergodisch ist:
-*Die genaue Definition für einen solchen Zufallsprozess finden Sie im&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29|Kapitel 4.4]].
+*Die genaue Definition für einen solchen stationären und ergodischen Zufallsprozess finden Sie im&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29|Kapitel 4.4]].
 *Eine Zeitmittelung wird im Folgenden stets durch eine überstreichende Linie gekennzeichnet.
 *Bei zeitdiskreter Betrachtung wird das Zufallssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; durch die Zufallsfolge&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; ersetzt.

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 *Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis&nbsp; $K < 3$.&nbsp; Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen|Gleichverteilung]]&nbsp; $K = 1.8$&nbsp; &rArr; &nbsp; $\gamma = - 1.2$.
 *Dagegen weist&nbsp; $K > 3$&nbsp; darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter sind als bei der Gaußverteilung.&nbsp;Zum Beispiel gilt für die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]&nbsp;&nbsp; $K = 9$.
-*Für die&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung]]&nbsp;   ⇒ &nbsp; zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich eine etwas kleinere Kurtosis&nbsp; $K = 6$&nbsp; und der Exzess $\gamma = 3$.}}
+*Für die&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung|Laplaceverteilung]]&nbsp;   ⇒ &nbsp; zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich eine etwas kleinere Kurtosis&nbsp; $K = 6$&nbsp; und der Exzess $\gamma = 3$.}}
 ==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==

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 *Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis&nbsp; $K < 3$.&nbsp; Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen|Gleichverteilung]]&nbsp; $K = 1.8$&nbsp; &rArr; &nbsp; $\gamma = - 1.2$.
 *Dagegen weist&nbsp; $K > 3$&nbsp; darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter sind als bei der Gaußverteilung.&nbsp;Zum Beispiel gilt für die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]&nbsp;&nbsp; $K = 9$.
-*Für die&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Erzeugung_einer_exponentialverteilten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fe|Laplaceverteilung]]&nbsp;   ⇒ &nbsp; zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich eine etwas kleinere Kurtosis&nbsp; $K = 6$&nbsp; und der Exzess $\gamma = 3$.}}
+*Für die&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung]]&nbsp;   ⇒ &nbsp; zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich eine etwas kleinere Kurtosis&nbsp; $K = 6$&nbsp; und der Exzess $\gamma = 3$.}}
 ==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==

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 ==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==
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-Die Erwartungswertberechnung nach den bisherigen Gleichungen dieses Abschnitts entspricht einer ''Scharmittelung,'' das heißt einer Mittelung über alle möglichen Werte $x_\mu$.
+Die Erwartungswertberechnung nach den bisherigen Gleichungen dieses Abschnitts entspricht einer&nbsp; ''Scharmittelung,'' das heißt der Mittelung über alle möglichen Werte&nbsp; $x_\mu$.
-Die Momente $m_k$ können aber auch als '''Zeitmittelwerte''' bestimmt werden, wenn der die Zufallsgröße erzeugende stochastische Prozess stationär und ergodisch ist:
+Die Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; können aber auch als&nbsp; '''Zeitmittelwerte'''&nbsp; bestimmt werden, wenn der die Zufallsgröße erzeugende stochastische Prozess stationär und ergodisch ist:
-*Die genaue Definition für einen solchen Zufallsprozess finden Sie in [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29|Kapitel 4.4]].
+*Die genaue Definition für einen solchen Zufallsprozess finden Sie im&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29|Kapitel 4.4]].
 *Eine Zeitmittelung wird im Folgenden stets durch eine überstreichende Linie gekennzeichnet.
-*Bei zeitdiskreter Betrachtung wird das Zufallssignal $x(t)$ durch die Zufallsfolge $〈x_ν〉$ ersetzt.
+*Bei zeitdiskreter Betrachtung wird das Zufallssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; durch die Zufallsfolge&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; ersetzt.
-*Bei endlicher Folgenlänge lauten diese Zeitmittelwerte mit $ν = 1, 2,\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , N$:
+*Bei endlicher Folgenlänge lauten diese Zeitmittelwerte mit&nbsp; $ν = 1, 2,\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , N$:
 :$$m_k=\overline{x_{\nu}^{k}}=\frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{\nu=1}^{N}x_{\nu}^{k},$$
 :$$m_1=\overline{x_{\nu}}=\frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{\nu=1}^{N}x_{\nu},$$
 :$$m_2=\overline{x_{\nu}^{2}}=\frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{\nu=1}^{N}x_{\nu}^{2}.$$
-Sollen die Momente (oder Erwartungswerte) per Simulation bestimmt werden, so geschieht dies in der Praxis meist durch Zeitmittelung. Der entsprechende Berechnungsalgorithmus unterscheidet sich bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen nur mariginal.
+Sollen die Momente (oder Erwartungswerte) per Simulation bestimmt werden, so geschieht dies in der Praxis meist durch Zeitmittelung.&nbsp; Der entsprechende Berechnungsalgorithmus unterscheidet sich bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen nur mariginal.
-Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]]  zusammengefasst.
+Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo&nbsp; [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]]&nbsp;  zusammengefasst.
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Ein weiterer Sonderfall eines Erwartungswertes ist die '''charakteristische Funktion''', wobei hier für die Bewertungsfunktion $g(x) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}{\it Ω}\hspace{0.05cm}x}$ zu setzen ist:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Ein weiterer Sonderfall eines Erwartungswertes ist die&nbsp; '''charakteristische Funktion''', wobei hier für die Bewertungsfunktion&nbsp; $g(x) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}{\it Ω}\hspace{0.05cm}x}$&nbsp; zu setzen ist:
 :$$C_x({\it \Omega}) = {\rm E}\big[{\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} x}\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} x}\cdot f_{\rm x}(x)  \hspace{0.1cm}{\rm d}x.$$
-Ein Vergleich mit dem Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und Fourierrücktransformation]]  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; zeigt, dass die charakteristische Funktion als die Fourierrücktransformierte der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion interpretiert werden kann:
+Ein Vergleich mit dem Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und Fourierrücktransformation]]&nbsp;  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; zeigt, dass die charakteristische Funktion als die Fourierrücktransformierte der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion interpretiert werden kann:
 :$$C_x ({\it \Omega}) \hspace{0.3cm}  \circ \!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\! \bullet  \hspace{0.3cm} f_{x}(x).$$}}
-Ist die Zufallsgröße $x$ dimensionslos, so ist auch das Argument $\it Ω$ der charakteristischen Funktion ohne Einheit.
+Ist die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; dimensionslos, so ist auch das Argument&nbsp; $\it Ω$&nbsp; der charakteristischen Funktion ohne Einheit.
-*Das Symbol $\it Ω$ wurde gewählt, da das Argument hier einen gewissen Bezug zur Kreisfrequenz beim zweiten Fourierintegral aufweist (gegenüber der Darstellung im $f$&ndash;Bereich fehlt allerdings der Faktor $2\pi$ im Exponenten).
+*Das Symbol&nbsp; $\it Ω$&nbsp; wurde gewählt, da das Argument hier einen gewissen Bezug zur Kreisfrequenz beim zweiten Fourierintegral aufweist&nbsp; (gegenüber der Darstellung im&nbsp; $f$&ndash;Bereich fehlt allerdings der Faktor&nbsp; $2\pi$&nbsp; im Exponenten).
-*Es wird aber nochmals eindringlich darauf hingewiesen, dass – wenn man einen Bezug zur Systemtheorie herstellen will – $C_x({\it Ω})$ der „Zeitfunktion” und $f_{x}(x)$ der „Spektralfunktion” entsprechen würde.
+*Es wird aber nochmals eindringlich darauf hingewiesen, dass – wenn man einen Bezug zur Systemtheorie herstellen will – $C_x({\it Ω})$&nbsp; der „Zeitfunktion” und&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; der „Spektralfunktion” entsprechen würde.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Berechnungsmöglichkeit:}$&nbsp; Entwickelt man die komplexe Funktion ${\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}{\it Ω}\hspace{0.05cm}x}$  in eine ''Potenzreihe'' und vertauscht Erwartungswertbildung und Summation, so folgt die Reihendarstellung der charakteristischen Funktion:
+$\text{Berechnungsmöglichkeit:}$&nbsp; Entwickelt man die komplexe Funktion&nbsp; ${\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}{\it Ω}\hspace{0.05cm}x}$&nbsp;  in eine ''Potenzreihe''&nbsp; und vertauscht Erwartungswertbildung und Summation, so folgt die Reihendarstellung der charakteristischen Funktion:
 :$$C_x ( {\it \Omega}) = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\hspace{0.2cm}\frac{m_k}{k!} \cdot ({\rm j} \hspace{0.01cm}{\it \Omega})^k .$$
-Die [[Aufgaben:3.4_Charakteristische_Funktion|Aufgabe 3.4]]  zeigt weitere Eigenschaften der charakteristischen Funktion auf. }}
+Die&nbsp; [[Aufgaben:3.4_Charakteristische_Funktion|Aufgabe 3.4]]&nbsp;  zeigt weitere Eigenschaften der charakteristischen Funktion auf. }}
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-*Bei einer symmetrischen binären (zweipunktverteilten) Zufallsgröße $x ∈ \{\pm1\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(–1) = {\rm Pr}(+1) = 1/2$ verläuft die charakteristische Funktion cosinusförmig.
+*Bei einer symmetrischen binären (zweipunktverteilten) Zufallsgröße&nbsp; $x ∈ \{\pm1\}$&nbsp; mit den Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(–1) = {\rm Pr}(+1) = 1/2$&nbsp; verläuft die charakteristische Funktion cosinusförmig.
-*Das Analogon in der Systemtheorie ist, dass das Spektrum eines Cosinussignals mit der Kreisfrequenz ${\it Ω}_{\hspace{0.03cm}0}$ aus zwei Diracfunktionen bei $±{\it Ω}_{\hspace{0.03cm}0}$ besteht. }}
+*Das Analogon in der Systemtheorie ist, dass das Spektrum eines Cosinussignals mit der Kreisfrequenz&nbsp; ${\it Ω}_{\hspace{0.03cm}0}$&nbsp; aus zwei Diracfunktionen bei&nbsp; $±{\it Ω}_{\hspace{0.03cm}0}$&nbsp; besteht. }}
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;
-*Eine Gleichverteilung zwischen $±y_0$ besitzt nach den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzen der Fouriertransformation]]  folgende charakteristische Funktion:
+*Eine Gleichverteilung zwischen&nbsp; $±y_0$&nbsp; besitzt nach den&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzen der Fouriertransformation]]&nbsp;  folgende charakteristische Funktion:
 :$$C_y({\it \Omega}) = \frac{1}{2 y_0} \cdot \int_{-y_0}^{+y_0} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} y} \,{\rm d}y = \frac{ {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} y_0 \hspace{0.05cm}{\it \Omega} } - {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm} y_0 \hspace{0.05cm} {\it \Omega} } }{2 {\rm j} \cdot y_0 \cdot {\it \Omega} }  =  \frac{ {\rm sin}(y_0 \cdot {\it \Omega})}{ y_0 \cdot {\it \Omega} } = {\rm si}(y_0 \cdot {\it \Omega}).
 $$
-*Die Funktion ${\rm si}(x) = \sin(x)/x$ kennen wir bereits aus dem Buch [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Signaldarstellung]].
+*Die Funktion&nbsp; ${\rm si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; kennen wir bereits aus dem Buch&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Signaldarstellung]].
-*Sie ist auch unter dem Namen ''Spaltfunktion'' bekannt. }}
+*Sie ist auch unter dem Namen&nbsp; ''Spaltfunktion''&nbsp; bekannt. }}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp; Auch das Zentralmoment vierter Ordnung wird für  statistische Analysen herangezogen.&nbsp; Als&nbsp; '''Kurtosis'''&nbsp; bezeichnet man den Quotienten&nbsp; $K = \mu_4/σ^4.$
-*Bei einer&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|gaußverteilten Zufallsgröße]]&nbsp;  ergibt sich hierfür immer der Wert $K = 3$.
+*Bei einer&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|gaußverteilten Zufallsgröße]]&nbsp;  ergibt sich hierfür immer der Wert&nbsp; $K = 3$.
-*Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße tatsächlich gaußisch ist. }}
+*Verwendet wird auch der sogenannte&nbsp;  '''Exzess'''&nbsp; $\gamma = K - 3$&nbsp;,&nbsp; auch bekannt unter dem Begriff &bdquo;Überkurtosis&rdquo;.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis&nbsp; $K < 3$.&nbsp; Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen|Gleichverteilung]]&nbsp; $K = 1.8$.
+*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis&nbsp; $K < 3$.&nbsp; Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen|Gleichverteilung]]&nbsp; $K = 1.8$&nbsp; &rArr; &nbsp; $\gamma = - 1.2$.
-*Dagegen weist&nbsp; $K > 3$&nbsp; darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter als bei der Gaußverteilung sind.&nbsp;Zum Beispiel gilt für die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]&nbsp;&nbsp; $K = 9$.
+*Dagegen weist&nbsp; $K > 3$&nbsp; darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter sind als bei der Gaußverteilung.&nbsp;Zum Beispiel gilt für die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]&nbsp;&nbsp; $K = 9$.
-*Für die&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Erzeugung_einer_exponentialverteilten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fe|Laplaceverteilung]]&nbsp;   ⇒ &nbsp; zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich ein etwas kleinerer Wert:&nbsp; $K = 6$.}}
+*Für die&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Erzeugung_einer_exponentialverteilten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fe|Laplaceverteilung]]&nbsp;   ⇒ &nbsp; zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich eine etwas kleinere Kurtosis&nbsp; $K = 6$&nbsp; und der Exzess $\gamma = 3$.}}
 ==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==

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-Bezeichnet&nbsp; $x$&nbsp; beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen&nbsp; $m_1$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}$&nbsp; und&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$.&nbsp; Will man die Leistung in „Watt”&nbsp; $\rm (W)$&nbsp; angeben, so muss&nbsp; $m_2$&nbsp; noch durch den Widerstandswert&nbsp; $R$&nbsp; dividiert werden.
+Bezeichnet&nbsp; $x$&nbsp; beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen&nbsp;
 ==Zentralmomente==
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Besonders große Bedeutung haben in der Statistik die '''Zentralmomente''', die im Gegensatz zu den herkömmlichen Momenten jeweils auf den Mittelwert $m_1$ bezogen sind:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Besonders große Bedeutung haben in der Statistik die&nbsp; '''Zentralmomente''', die im Gegensatz zu den herkömmlichen Momenten jeweils auf den Mittelwert&nbsp; $m_1$&nbsp; bezogen sind:
 :$$\mu_k = {\rm E}\big[(x-m_{\rm 1})^k\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{\rm 1})^k\cdot f_x(x) \,\rm d \it x.$$}}
@@ Zeile 48: / Zeile 53: @@
-Die nichtzentrierten Momente $m_k$ kann man direkt in die zentrierten Momente $\mu_k$ umrechnen:
+Die nichtzentrierten Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; kann man direkt in die zentrierten Momente&nbsp; $\mu_k$&nbsp; umrechnen:
 :$$\mu_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot m_\kappa \cdot (-m_1)^{k-\kappa}.$$
-Nach den allgemein gültigen Gleichungen der [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert|letzten Seite]] ergeben sich die formalen Größen $m_0 = 1$ und $\mu_0 = 1$. Für das Zentralmoment erster Ordnung gilt nach obiger Definition stets $\mu_1 = 0$.
+Nach den allgemein gültigen Gleichungen der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert|letzten Seite]]&nbsp; ergeben sich die formalen Größen&nbsp; $m_0 = 1$&nbsp; und&nbsp; $\mu_0 = 1$. Für das Zentralmoment erster Ordnung gilt nach obiger Definition stets&nbsp; $\mu_1 = 0$.
-In der Gegenrichtung gelten folgende Gleichungen für $k = 1$, $k = 2$, usw.:
+In der Gegenrichtung gelten folgende Gleichungen für&nbsp; $k = 1$,&nbsp; $k = 2$,&nbsp; usw.:
 :$$m_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}}  k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot \mu_\kappa \cdot {m_1}^{k-\kappa}.$$
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Alle Momente  einer binären Zufallsgröße mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(0) = 1 – p$ &nbsp;und&nbsp; ${\rm Pr}(1) = p$&nbsp; sind gleich groß:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Alle Momente  einer binären Zufallsgröße mit den Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(0) = 1 – p$&nbsp; &nbsp;und&nbsp; ${\rm Pr}(1) = p$&nbsp; sind gleich groß:
 :$$m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}= p.$$
 Mit obigen Gleichungen erhält man dann für die ersten drei Zentralmomente:
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 ==Einige häufig benutzte Zentralmomente==
 <br>
-Aus der [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Zentralmomente|letzten Definition]] können folgende weitere Kenngrößen abgeleitet werden:
+Aus der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Zentralmomente|letzten Definition]]&nbsp; können folgende weitere Kenngrößen abgeleitet werden:
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Varianz''' $σ^2$ der betrachteten Zufallsgröße ist das Zentralmoment zweiter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; $\mu_2.$
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Varianz'''&nbsp; $σ^2$&nbsp; der betrachteten Zufallsgröße ist das Zentralmoment zweiter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; $\mu_2.$
-*Die Varianz $σ^2$ entspricht physikalisch der ''Wechselleistung''&nbsp; und die Streuung $σ$ gibt den ''Effektivwert''&nbsp; an.
+*Die Varianz&nbsp; $σ^2$&nbsp; entspricht physikalisch der ''Wechselleistung''&nbsp; und die Streuung&nbsp; $σ$&nbsp; gibt den ''Effektivwert''&nbsp; an.
 *Aus dem linearen und dem quadratischen Mittelwert ist die Varianz nach dem ''Satz von Steiner''&nbsp; in folgender Weise berechenbar:
 :$$\sigma^{2} = m_2 - m_1^{2}.$$}}
@@ Zeile 76: / Zeile 81: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Charliersche Schiefe''' $S$ bezeichnet das auf $σ^3$ bezogene dritte Zentralmoment.
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Charliersche Schiefe'''&nbsp; $S$ bezeichnet das auf&nbsp; $σ^3$&nbsp; bezogene dritte Zentralmoment.
-*Bei symmetrischer Dichtefunktion ist diese Kenngröße immer $S=0$.
+*Bei symmetrischer Dichtefunktion ist diese Kenngröße immer&nbsp; $S=0$.
-*Je größer $S = \mu_3/σ^3$ ist, um so unsymmetrischer verläuft die WDF um den Mittelwert $m_1$.
+*Je größer&nbsp; $S = \mu_3/σ^3$&nbsp; ist, um so unsymmetrischer verläuft die WDF um den Mittelwert&nbsp; $m_1$.
-*Beispielsweise ergibt sich für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] die Schiefe $S =2$, und zwar unabhängig vom Verteilungsparameter $λ$.}}
+*Beispielsweise ergibt sich für die&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]&nbsp; die (positive) Schiefe $S =2$, und zwar unabhängig vom Verteilungsparameter&nbsp; $λ$.
+*Bei positiver Schiefe&nbsp; $(S > 0)$&nbsp; spricht man von &bdquo;einer rechtsschiefen oder linkssteilen Verteilung&rdquo;;&nbsp; diese fällt auf der rechten Seite flacher ab als auf der linken.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Auch das Zentralmoment vierter Ordnung spielt für die Analyse statistischer Größen eine Rolle. Als '''Kurtosis''' bezeichnet man den Quotienten $K = \mu_4/σ^4.$
+$\text{Definition:}$&nbsp; Auch das Zentralmoment vierter Ordnung wird für  statistische Analysen herangezogen.&nbsp; Als&nbsp; '''Kurtosis'''&nbsp; bezeichnet man den Quotienten&nbsp; $K = \mu_4/σ^4.$
-*Bei einer [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|gaußverteilten Zufallsgröße]]  ergibt sich hierfür immer der Wert $K = 3$.
+*Bei einer&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|gaußverteilten Zufallsgröße]]&nbsp;  ergibt sich hierfür immer der Wert $K = 3$.
 *Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße tatsächlich gaußisch ist. }}
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis $K < 3$. Zum Beispiel gilt für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen|Gleichverteilung]] $K = 1.8$.
+*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis&nbsp; $K < 3$.&nbsp; Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen|Gleichverteilung]]&nbsp; $K = 1.8$.
-*Dagegen weist $K > 3$ darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter als bei der Gaußverteilung sind. Für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Erzeugung_einer_exponentialverteilten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fe|Laplaceverteilung]]   ⇒  zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich beispielsweise der Wert $K = 6$.}}
+*Dagegen weist&nbsp; $K > 3$&nbsp; darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter als bei der Gaußverteilung sind.&nbsp;Zum Beispiel gilt für die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]&nbsp;&nbsp; $K = 9$.
 ==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==

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 ==Momentenberechnung als Scharmittelwert==
 <br>
-Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion (VTF) sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße. Weniger, aber dafür kompaktere  Informationen liefern die so genannten ''Erwartungswerte'' und ''Momente.''
+Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion (VTF) sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße.&nbsp; Weniger, aber dafür kompaktere  Informationen liefern die so genannten&nbsp; ''Erwartungswerte''&nbsp; und&nbsp; ''Momente.''
-*Deren Berechnungsmöglichkeiten wurden für diskrete Zufallsgrößen  bereits im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]  angegeben.
+*Deren Berechnungsmöglichkeiten wurden für diskrete Zufallsgrößen  bereits im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]&nbsp;  angegeben.
 *Nun werden diese integrativen Beschreibungsgrößen &bdquo;Erwartungswert&rdquo; und &bdquo;Moment&rdquo; im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) kontinuierlicher Zufallsgrößen betrachtet und dadurch allgemeiner formuliert.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Der '''Erwartungswert''' bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion $g(x)$ kann mit der WDF $f_{\rm x}(x)$ in folgender Weise berechnet werden:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Der&nbsp; '''Erwartungswert'''&nbsp; bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion $g(x)$ kann mit der WDF&nbsp; $f_{\rm x}(x)$&nbsp; in folgender Weise berechnet werden:
 :$${\rm E}\big[g (x ) \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{x}(x) \,{\rm d}x.$$
-Setzt man in diese Gleichung für $g(x) = x^k$ ein, so erhält man das '''Moment $k$-ter Ordnung''':
+Setzt man in diese Gleichung für&nbsp; $g(x) = x^k$&nbsp; ein, so erhält man das&nbsp; '''Moment $k$-ter Ordnung''':
 :$$m_k = {\rm E}\big[x^k  \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k\cdot f_{x} (x ) \, {\rm d}x.$$}}
 Aus dieser Gleichung folgt
-*mit $k = 1$ für den ''linearen Mittelwert:''
+*mit&nbsp; $k = 1$&nbsp; für den&nbsp; ''linearen Mittelwert'':
 :$$m_1 = {\rm E}\big[x \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x\cdot f_{x} (x ) \,{\rm d}x,$$
-*mit $k = 2$  für den ''quadratischen Mittelwert:''
+*mit&nbsp; $k = 2$&nbsp;  für den&nbsp; ''quadratischen Mittelwert'':
 :$$m_2 = {\rm E}\big[x^{\rm 2} \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x^{ 2}\cdot f_{ x} (x) \,{\rm d}x.$$
 Bei einer diskreten, $M$&ndash;stufigen Zufallsgröße erhält man auch mit den hier angegebenen Formeln wieder die bereits im zweiten  Kapitel angegebenen Gleichungen (Berechnung als Scharmittelwert):
-:$$m_1 = \sum\limits_{\mu=1}^{ M}\hspace{0.15cm}p_\mu\cdot x_\mu,\hspace{0.5cm}
+:$$m_1 = \sum\limits_{\mu=1}^{ M}\hspace{0.15cm}p_\mu\cdot x_\mu,$$
-m_2 = \sum\limits_{\mu= 1}^{ M}\hspace{0.15cm}p_\mu\cdot x_\mu^2.$$
+:$$m_2 = \sum\limits_{\mu= 1}^{ M}\hspace{0.15cm}p_\mu\cdot x_\mu^2.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass das Integral über die Diracfunktion $δ(x)$ gleich $1$ ist.
+Hierbei ist berücksichtigt, dass das Integral über die Diracfunktion&nbsp; $δ(x)$&nbsp; gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist.
 In Zusammenhang mit Signalen sind auch folgende Bezeichnungen üblich:
-* $m_1$ gibt den ''Gleichanteil''&nbsp; an,
+* $m_1$&nbsp; gibt den ''Gleichanteil''&nbsp; an,
-* $m_2$ entspricht der (auf den Einheitswiderstand $1 \ Ω$ bezogenen) ''Signalleistung''.
+* $m_2$&nbsp; entspricht der&nbsp; (auf den Einheitswiderstand&nbsp; $1 \ Ω$&nbsp; bezogenen)&nbsp; ''Signalleistung''.
-Bezeichnet $x$ beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen $m_1$ die Einheit ${\rm V}$ und $m_2$ die Einheit ${\rm V}^2.$ Will man die Leistung in „Watt” $\rm (W)$ angeben, so muss $m_2$ noch durch den Widerstandswert $R$ dividiert werden.
+Bezeichnet&nbsp; $x$&nbsp; beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen&nbsp; $m_1$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}$&nbsp; und&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$.&nbsp; Will man die Leistung in „Watt”&nbsp; $\rm (W)$&nbsp; angeben, so muss&nbsp; $m_2$&nbsp; noch durch den Widerstandswert&nbsp; $R$&nbsp; dividiert werden.
 ==Zentralmomente==

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
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-[[Aufgaben:3.3 Momente bei cos²-WDF|Aufgabe 3.3: &nbsp; Momente bei cos²-WDF]]
+[[Aufgaben:3.3 Momente bei cos²-WDF|Aufgabe 3.3: Momente bei $\cos^2$&ndash;WDF]]
-[[Aufgaben:3.3Z Momente bei Dreieck-WDF|Zusatzaufgabe 3.3Z: &nbsp; Momente bei Dreieck-WDF]]
+[[Aufgaben:3.3Z Momente bei Dreieck-WDF|Aufgabe 3.3Z: Momente bei Dreieck&ndash;WDF]]
-[[Aufgaben:3.4 Charakteristische Funktion|Aufgabe 3.4: &nbsp; Charakteristische Funktion]]
+[[Aufgaben:3.4 Charakteristische Funktion|Aufgabe 3.4: Charakteristische Funktion]]
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