Stochastische Signaltheorie/Erwartungswerte und Momente - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Expected_Values_and_Moments]]

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	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	*Eine Gleichverteilung zwischen  $±y_0$  besitzt nach den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzen der Fouriertransformation]]  folgende charakteristische Funktion:		*Eine Gleichverteilung zwischen  $±y_0$  besitzt nach den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzen der Fouriertransformation]]  folgende charakteristische Funktion:
	:$$C_y({\it \Omega}) = \frac{1}{2 y_0} \cdot \int_{-y_0}^{+y_0} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} y} \,{\rm d}y = \frac{ {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} y_0 \hspace{0.05cm}{\it \Omega} } - {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm} y_0 \hspace{0.05cm} {\it \Omega} } }{2 {\rm j} \cdot y_0 \cdot {\it \Omega} } = \frac{ {\rm sin}(y_0 \cdot {\it \Omega})}{ y_0 \cdot {\it \Omega} } = {\rm si}(y_0 \cdot {\it \Omega}).		:$$C_y({\it \Omega}) = \frac{1}{2 y_0} \cdot \int_{-y_0}^{+y_0} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} y} \,{\rm d}y = \frac{ {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} y_0 \hspace{0.05cm}{\it \Omega} } - {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm} y_0 \hspace{0.05cm} {\it \Omega} } }{2 {\rm j} \cdot y_0 \cdot {\it \Omega} } = \frac{ {\rm sin}(y_0 \cdot {\it \Omega})}{ y_0 \cdot {\it \Omega} } = {\rm si}(y_0 \cdot {\it \Omega}). $$
	$$
	*Die Funktion  ${\rm si}(x) = \sin(x)/x= {\rm sinc}(x/\pi)$  kennen wir bereits aus dem Buch  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls\|Signaldarstellung]].		*Die Funktion  ${\rm si}(x) = \sin(x)/x= {\rm sinc}(x/\pi)$  kennen wir bereits aus dem Buch  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls\|Signaldarstellung]].
	*Sie ist auch unter dem Namen  "Spaltfunktion"  bekannt. }}		*Sie ist auch unter dem Namen  "Spaltfunktion"  bekannt. }}

Guenter am 5. Januar 2022 um 13:18 Uhr

2022-01-05T13:18:24Z

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Guenter am 15. November 2019 um 14:20 Uhr

2019-11-15T14:20:03Z

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	Die Momente  $m_k$  können aber auch als  '''Zeitmittelwerte'''  bestimmt werden, wenn der die Zufallsgröße erzeugende stochastische Prozess stationär und ergodisch ist:		Die Momente  $m_k$  können aber auch als  '''Zeitmittelwerte'''  bestimmt werden, wenn der die Zufallsgröße erzeugende stochastische Prozess stationär und ergodisch ist:
	*Die genaue Definition für einen solchen Zufallsprozess finden Sie im  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29\|Kapitel 4.4]].		*Die genaue Definition für einen solchen stationären und ergodischen Zufallsprozess finden Sie im  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29\|Kapitel 4.4]].
	*Eine Zeitmittelung wird im Folgenden stets durch eine überstreichende Linie gekennzeichnet.		*Eine Zeitmittelung wird im Folgenden stets durch eine überstreichende Linie gekennzeichnet.
	*Bei zeitdiskreter Betrachtung wird das Zufallssignal  $x(t)$  durch die Zufallsfolge  $〈x_ν〉$  ersetzt.		*Bei zeitdiskreter Betrachtung wird das Zufallssignal  $x(t)$  durch die Zufallsfolge  $〈x_ν〉$  ersetzt.

Guenter am 15. November 2019 um 14:18 Uhr

2019-11-15T14:18:23Z

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	*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis  $K < 3$.  Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilung]]  $K = 1.8$  ⇒   $\gamma = - 1.2$.		*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis  $K < 3$.  Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilung]]  $K = 1.8$  ⇒   $\gamma = - 1.2$.
	*Dagegen weist  $K > 3$  darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter sind als bei der Gaußverteilung. Zum Beispiel gilt für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung\|Exponentialverteilung]]   $K = 9$.		*Dagegen weist  $K > 3$  darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter sind als bei der Gaußverteilung. Zum Beispiel gilt für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung\|Exponentialverteilung]]   $K = 9$.
	*Für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung]]  ⇒   zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich eine etwas kleinere Kurtosis  $K = 6$  und der Exzess $\gamma = 3$.}}		*Für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung\|Laplaceverteilung]]  ⇒   zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich eine etwas kleinere Kurtosis  $K = 6$  und der Exzess $\gamma = 3$.}}

	==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==		==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==

Guenter am 15. November 2019 um 14:17 Uhr

2019-11-15T14:17:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. November 2019, 16:17 Uhr
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	*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis  $K < 3$.  Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilung]]  $K = 1.8$  ⇒   $\gamma = - 1.2$.		*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis  $K < 3$.  Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilung]]  $K = 1.8$  ⇒   $\gamma = - 1.2$.
	*Dagegen weist  $K > 3$  darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter sind als bei der Gaußverteilung. Zum Beispiel gilt für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung\|Exponentialverteilung]]   $K = 9$.		*Dagegen weist  $K > 3$  darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter sind als bei der Gaußverteilung. Zum Beispiel gilt für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung\|Exponentialverteilung]]   $K = 9$.
	*Für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#~~Erzeugung_einer_exponentialverteilten_Zufallsgr~~.C3.B6.~~C3.9Fe\|Laplaceverteilung~~]]  ⇒   zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich eine etwas kleinere Kurtosis  $K = 6$  und der Exzess $\gamma = 3$.}}		*Für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung]]  ⇒   zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich eine etwas kleinere Kurtosis  $K = 6$  und der Exzess $\gamma = 3$.}}

	==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==		==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==

Guenter am 15. November 2019 um 14:14 Uhr

2019-11-15T14:14:33Z

Guenter am 15. November 2019 um 14:03 Uhr

2019-11-15T14:03:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. November 2019, 16:03 Uhr
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Auch das Zentralmoment vierter Ordnung wird für statistische Analysen herangezogen.  Als  '''Kurtosis'''  bezeichnet man den Quotienten  $K = \mu_4/σ^4.$		$\text{Definition:}$  Auch das Zentralmoment vierter Ordnung wird für statistische Analysen herangezogen.  Als  '''Kurtosis'''  bezeichnet man den Quotienten  $K = \mu_4/σ^4.$
	*Bei einer  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion\|gaußverteilten Zufallsgröße]]  ergibt sich hierfür immer der Wert $K = 3$.		*Bei einer  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion\|gaußverteilten Zufallsgröße]]  ergibt sich hierfür immer der Wert  $K = 3$.
	*Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße ~~tatsächlich~~ gaußisch ist. }}		*Verwendet wird auch der sogenannte  '''Exzess'''  $\gamma = K - 3$ ,  auch bekannt unter dem Begriff &bdquo;Überkurtosis”.
			*Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße näherungsweise gaußisch ist:  $\gamma \approx 0$. }}


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis  $K < 3$.  Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilung]]  $K = 1.8$.		*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis  $K < 3$.  Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilung]]  $K = 1.8$  ⇒   $\gamma = - 1.2$.
	*Dagegen weist  $K > 3$  darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter als bei der Gaußverteilung ~~sind~~. Zum Beispiel gilt für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung\|Exponentialverteilung]]   $K = 9$.		*Dagegen weist  $K > 3$  darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter sind als bei der Gaußverteilung. Zum Beispiel gilt für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung\|Exponentialverteilung]]   $K = 9$.
	*Für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Erzeugung_einer_exponentialverteilten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fe\|Laplaceverteilung]]  ⇒   zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich ~~ein~~ etwas ~~kleinerer Wert:~~  $K = 6$.}}		*Für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Erzeugung_einer_exponentialverteilten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fe\|Laplaceverteilung]]  ⇒   zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich eine etwas kleinere Kurtosis  $K = 6$  und der Exzess $\gamma = 3$.}}

	==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==		==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==

Guenter am 15. November 2019 um 13:31 Uhr

2019-11-15T13:31:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. November 2019, 15:31 Uhr
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	Bezeichnet  $x$  beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen  $m_1$  die Einheit  ${\rm V}$  und  $m_2$  die Einheit  ${\rm V}^2$.  Will man die Leistung in „Watt”  $\rm (W)$  angeben, so muss  $m_2$  noch durch den Widerstandswert  $R$  dividiert werden.		Bezeichnet  $x$  beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen
			* $m_1$  die Einheit  ${\rm V}$  und
			*$m_2$  die Einheit  ${\rm V}^2$.


			Will man die Leistung in „Watt”  $\rm (W)$  angeben, so muss  $m_2$  noch durch den Widerstandswert  $R$  dividiert werden.

	==Zentralmomente==		==Zentralmomente==
	<br>		<br>
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Besonders große Bedeutung haben in der Statistik die '''Zentralmomente''', die im Gegensatz zu den herkömmlichen Momenten jeweils auf den Mittelwert $m_1$ bezogen sind:		$\text{Definition:}$  Besonders große Bedeutung haben in der Statistik die  '''Zentralmomente''', die im Gegensatz zu den herkömmlichen Momenten jeweils auf den Mittelwert  $m_1$  bezogen sind:

	:$$\mu_k = {\rm E}\big[(x-m_{\rm 1})^k\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{\rm 1})^k\cdot f_x(x) \,\rm d \it x.$$}}		:$$\mu_k = {\rm E}\big[(x-m_{\rm 1})^k\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{\rm 1})^k\cdot f_x(x) \,\rm d \it x.$$}}
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	Die nichtzentrierten Momente $m_k$ kann man direkt in die zentrierten Momente $\mu_k$ umrechnen:		Die nichtzentrierten Momente  $m_k$  kann man direkt in die zentrierten Momente  $\mu_k$  umrechnen:
	:$$\mu_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot m_\kappa \cdot (-m_1)^{k-\kappa}.$$		:$$\mu_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot m_\kappa \cdot (-m_1)^{k-\kappa}.$$

	Nach den allgemein gültigen Gleichungen der [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert\|letzten Seite]] ergeben sich die formalen Größen $m_0 = 1$ und $\mu_0 = 1$. Für das Zentralmoment erster Ordnung gilt nach obiger Definition stets $\mu_1 = 0$.		Nach den allgemein gültigen Gleichungen der  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert\|letzten Seite]]  ergeben sich die formalen Größen  $m_0 = 1$  und  $\mu_0 = 1$. Für das Zentralmoment erster Ordnung gilt nach obiger Definition stets  $\mu_1 = 0$.

	In der Gegenrichtung gelten folgende Gleichungen für $k = 1$, $k = 2$, usw.:		In der Gegenrichtung gelten folgende Gleichungen für  $k = 1$,  $k = 2$,  usw.:
	:$$m_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot \mu_\kappa \cdot {m_1}^{k-\kappa}.$$		:$$m_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot \mu_\kappa \cdot {m_1}^{k-\kappa}.$$

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$  Alle Momente einer binären Zufallsgröße mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(0) = 1 – p$  und  ${\rm Pr}(1) = p$  sind gleich groß:		$\text{Beispiel 1:}$  Alle Momente einer binären Zufallsgröße mit den Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(0) = 1 – p$   und  ${\rm Pr}(1) = p$  sind gleich groß:
	:$$m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}= p.$$		:$$m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}= p.$$
	Mit obigen Gleichungen erhält man dann für die ersten drei Zentralmomente:		Mit obigen Gleichungen erhält man dann für die ersten drei Zentralmomente:
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	==Einige häufig benutzte Zentralmomente==		==Einige häufig benutzte Zentralmomente==
	<br>		<br>
	Aus der [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Zentralmomente\|letzten Definition]] können folgende weitere Kenngrößen abgeleitet werden:		Aus der  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Zentralmomente\|letzten Definition]]  können folgende weitere Kenngrößen abgeleitet werden:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Die '''Varianz''' $σ^2$ der betrachteten Zufallsgröße ist das Zentralmoment zweiter Ordnung   ⇒   $\mu_2.$		$\text{Definition:}$  Die  '''Varianz'''  $σ^2$  der betrachteten Zufallsgröße ist das Zentralmoment zweiter Ordnung   ⇒   $\mu_2.$
	*Die Varianz $σ^2$ entspricht physikalisch der ''Wechselleistung''  und die Streuung $σ$ gibt den ''Effektivwert''  an.		*Die Varianz  $σ^2$  entspricht physikalisch der ''Wechselleistung''  und die Streuung  $σ$  gibt den ''Effektivwert''  an.
	*Aus dem linearen und dem quadratischen Mittelwert ist die Varianz nach dem ''Satz von Steiner''  in folgender Weise berechenbar:		*Aus dem linearen und dem quadratischen Mittelwert ist die Varianz nach dem ''Satz von Steiner''  in folgender Weise berechenbar:
	:$$\sigma^{2} = m_2 - m_1^{2}.$$}}		:$$\sigma^{2} = m_2 - m_1^{2}.$$}}
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Die '''Charliersche Schiefe''' $S$ bezeichnet das auf $σ^3$ bezogene dritte Zentralmoment.		$\text{Definition:}$  Die  '''Charliersche Schiefe'''  $S$ bezeichnet das auf  $σ^3$  bezogene dritte Zentralmoment.
	*Bei symmetrischer Dichtefunktion ist diese Kenngröße immer $S=0$.		*Bei symmetrischer Dichtefunktion ist diese Kenngröße immer  $S=0$.
	*Je größer $S = \mu_3/σ^3$ ist, um so unsymmetrischer verläuft die WDF um den Mittelwert $m_1$.		*Je größer  $S = \mu_3/σ^3$  ist, um so unsymmetrischer verläuft die WDF um den Mittelwert  $m_1$.
	*Beispielsweise ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung\|Exponentialverteilung]] die Schiefe $S =2$, und zwar unabhängig vom Verteilungsparameter $λ$.}}		*Beispielsweise ergibt sich für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung\|Exponentialverteilung]]  die (positive) Schiefe $S =2$, und zwar unabhängig vom Verteilungsparameter  $λ$.
			*Bei positiver Schiefe  $(S > 0)$  spricht man von &bdquo;einer rechtsschiefen oder linkssteilen Verteilung”;  diese fällt auf der rechten Seite flacher ab als auf der linken.
			*Bei negativer Schiefe  $(S < 0)$  liegt eine &bdquo;linksschiefe oder rechtssteile Verteilung” vor;  eine solche fällt auf der linken Seite flacher ab als auf der rechten.}}


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Auch das Zentralmoment vierter Ordnung ~~spielt~~ für ~~die Analyse statistischer Größen eine Rolle~~. Als '''Kurtosis''' bezeichnet man den Quotienten $K = \mu_4/σ^4.$		$\text{Definition:}$  Auch das Zentralmoment vierter Ordnung wird für statistische Analysen herangezogen.  Als  '''Kurtosis'''  bezeichnet man den Quotienten  $K = \mu_4/σ^4.$
	*Bei einer [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion\|gaußverteilten Zufallsgröße]] ergibt sich hierfür immer der Wert $K = 3$.		*Bei einer  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion\|gaußverteilten Zufallsgröße]]  ergibt sich hierfür immer der Wert $K = 3$.
	*Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße tatsächlich gaußisch ist. }}		*Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße tatsächlich gaußisch ist. }}

Zeile 90:		Zeile 97:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis $K < 3$. Zum Beispiel ~~gilt~~ für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilung]] $K = 1.8$.		*Weist die WDF weniger Ausläufer auf als die Gaußverteilung, so ist die Kurtosis  $K < 3$.  Zum Beispiel ergibt sich für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen\|Gleichverteilung]]  $K = 1.8$.
	*Dagegen weist $K > 3$ darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter als bei der Gaußverteilung sind. Für die [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Erzeugung_einer_exponentialverteilten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fe\|Laplaceverteilung]] ⇒ zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich ~~beispielsweise der~~ Wert $K = 6$.}}		*Dagegen weist  $K > 3$  darauf hin, dass die Ausläufer ausgeprägter als bei der Gaußverteilung sind. Zum Beispiel gilt für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung\|Exponentialverteilung]]   $K = 9$.
			*Für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Erzeugung_einer_exponentialverteilten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fe\|Laplaceverteilung]]  ⇒   zweiseitige Exponentialverteilung ergibt sich ein etwas kleinerer Wert:  $K = 6$.}}

	==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==		==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==

Guenter am 15. November 2019 um 12:34 Uhr

2019-11-15T12:34:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. November 2019, 14:34 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	==Momentenberechnung als Scharmittelwert==		==Momentenberechnung als Scharmittelwert==
	<br>		<br>
	Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion (VTF) sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße. Weniger, aber dafür kompaktere Informationen liefern die so genannten ''Erwartungswerte'' und ''Momente.''		Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion (VTF) sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße.  Weniger, aber dafür kompaktere Informationen liefern die so genannten  ''Erwartungswerte''  und  ''Momente.''

	*Deren Berechnungsmöglichkeiten wurden für diskrete Zufallsgrößen bereits im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße\|Momente einer diskreten Zufallsgröße]] angegeben.		*Deren Berechnungsmöglichkeiten wurden für diskrete Zufallsgrößen bereits im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße\|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]  angegeben.
	*Nun werden diese integrativen Beschreibungsgrößen &bdquo;Erwartungswert” und &bdquo;Moment” im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) kontinuierlicher Zufallsgrößen betrachtet und dadurch allgemeiner formuliert.		*Nun werden diese integrativen Beschreibungsgrößen &bdquo;Erwartungswert” und &bdquo;Moment” im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) kontinuierlicher Zufallsgrößen betrachtet und dadurch allgemeiner formuliert.


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Der '''Erwartungswert''' bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion $g(x)$ kann mit der WDF $f_{\rm x}(x)$ in folgender Weise berechnet werden:		$\text{Definition:}$  Der  '''Erwartungswert'''  bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion $g(x)$ kann mit der WDF  $f_{\rm x}(x)$  in folgender Weise berechnet werden:
	:$${\rm E}\big[g (x ) \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{x}(x) \,{\rm d}x.$$		:$${\rm E}\big[g (x ) \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{x}(x) \,{\rm d}x.$$
	Setzt man in diese Gleichung für $g(x) = x^k$ ein, so erhält man das '''Moment $k$-ter Ordnung''':		Setzt man in diese Gleichung für  $g(x) = x^k$  ein, so erhält man das  '''Moment $k$-ter Ordnung''':
	:$$m_k = {\rm E}\big[x^k \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k\cdot f_{x} (x ) \, {\rm d}x.$$}}		:$$m_k = {\rm E}\big[x^k \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k\cdot f_{x} (x ) \, {\rm d}x.$$}}


	Aus dieser Gleichung folgt		Aus dieser Gleichung folgt
	*mit $k = 1$ für den ''linearen Mittelwert:''		*mit  $k = 1$  für den  ''linearen Mittelwert'':
	:$$m_1 = {\rm E}\big[x \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x\cdot f_{x} (x ) \,{\rm d}x,$$		:$$m_1 = {\rm E}\big[x \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x\cdot f_{x} (x ) \,{\rm d}x,$$
	*mit $k = 2$ für den ''quadratischen Mittelwert:''		*mit  $k = 2$  für den  ''quadratischen Mittelwert'':
	:$$m_2 = {\rm E}\big[x^{\rm 2} \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x^{ 2}\cdot f_{ x} (x) \,{\rm d}x.$$		:$$m_2 = {\rm E}\big[x^{\rm 2} \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x^{ 2}\cdot f_{ x} (x) \,{\rm d}x.$$

	Bei einer diskreten, $M$–stufigen Zufallsgröße erhält man auch mit den hier angegebenen Formeln wieder die bereits im zweiten Kapitel angegebenen Gleichungen (Berechnung als Scharmittelwert):		Bei einer diskreten, $M$–stufigen Zufallsgröße erhält man auch mit den hier angegebenen Formeln wieder die bereits im zweiten Kapitel angegebenen Gleichungen (Berechnung als Scharmittelwert):
	:$$m_1 = \sum\limits_{\mu=1}^{ M}\hspace{0.15cm}p_\mu\cdot x_\mu,~~\hspace{0.5cm}~~		:$$m_1 = \sum\limits_{\mu=1}^{ M}\hspace{0.15cm}p_\mu\cdot x_\mu,$$
	m_2 = \sum\limits_{\mu= 1}^{ M}\hspace{0.15cm}p_\mu\cdot x_\mu^2.$$		:$$m_2 = \sum\limits_{\mu= 1}^{ M}\hspace{0.15cm}p_\mu\cdot x_\mu^2.$$

	Hierbei ist berücksichtigt, dass das Integral über die Diracfunktion $δ(x)$ gleich $1$ ist.		Hierbei ist berücksichtigt, dass das Integral über die Diracfunktion  $δ(x)$  gleich  $1$  ist.

	In Zusammenhang mit Signalen sind auch folgende Bezeichnungen üblich:		In Zusammenhang mit Signalen sind auch folgende Bezeichnungen üblich:
	* $m_1$ gibt den ''Gleichanteil''  an,		* $m_1$  gibt den ''Gleichanteil''  an,
	* $m_2$ entspricht der (auf den Einheitswiderstand $1 \ Ω$ bezogenen) ''Signalleistung''.		* $m_2$  entspricht der  (auf den Einheitswiderstand  $1 \ Ω$  bezogenen)  ''Signalleistung''.


	Bezeichnet $x$ beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen $m_1$ die Einheit ${\rm V}$ und $m_2$ die Einheit ${\rm V}^2.$ Will man die Leistung in „Watt” $\rm (W)$ angeben, so muss $m_2$ noch durch den Widerstandswert $R$ dividiert werden.		Bezeichnet  $x$  beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen  $m_1$  die Einheit  ${\rm V}$  und  $m_2$  die Einheit  ${\rm V}^2$.  Will man die Leistung in „Watt”  $\rm (W)$  angeben, so muss  $m_2$  noch durch den Widerstandswert  $R$  dividiert werden.

	==Zentralmomente==		==Zentralmomente==

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	==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==		==Momentenberechnung als Zeitmittelwert==
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	Die Erwartungswertberechnung nach den bisherigen Gleichungen dieses Abschnitts entspricht einer ''Scharmittelung,'' das heißt ~~einer~~ Mittelung über alle möglichen Werte $x_\mu$.		Die Erwartungswertberechnung nach den bisherigen Gleichungen dieses Abschnitts entspricht einer  ''Scharmittelung,'' das heißt der Mittelung über alle möglichen Werte  $x_\mu$.

	Die Momente $m_k$ können aber auch als '''Zeitmittelwerte''' bestimmt werden, wenn der die Zufallsgröße erzeugende stochastische Prozess stationär und ergodisch ist:		Die Momente  $m_k$  können aber auch als  '''Zeitmittelwerte'''  bestimmt werden, wenn der die Zufallsgröße erzeugende stochastische Prozess stationär und ergodisch ist:
	*Die genaue Definition für einen solchen Zufallsprozess finden Sie in [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29\|Kapitel 4.4]].		*Die genaue Definition für einen solchen Zufallsprozess finden Sie im  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29\|Kapitel 4.4]].
	*Eine Zeitmittelung wird im Folgenden stets durch eine überstreichende Linie gekennzeichnet.		*Eine Zeitmittelung wird im Folgenden stets durch eine überstreichende Linie gekennzeichnet.
	*Bei zeitdiskreter Betrachtung wird das Zufallssignal $x(t)$ durch die Zufallsfolge $〈x_ν〉$ ersetzt.		*Bei zeitdiskreter Betrachtung wird das Zufallssignal  $x(t)$  durch die Zufallsfolge  $〈x_ν〉$  ersetzt.
	*Bei endlicher Folgenlänge lauten diese Zeitmittelwerte mit $ν = 1, 2,\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , N$:		*Bei endlicher Folgenlänge lauten diese Zeitmittelwerte mit  $ν = 1, 2,\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , N$:
	:$$m_k=\overline{x_{\nu}^{k}}=\frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{\nu=1}^{N}x_{\nu}^{k},$$		:$$m_k=\overline{x_{\nu}^{k}}=\frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{\nu=1}^{N}x_{\nu}^{k},$$
	:$$m_1=\overline{x_{\nu}}=\frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{\nu=1}^{N}x_{\nu},$$		:$$m_1=\overline{x_{\nu}}=\frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{\nu=1}^{N}x_{\nu},$$
	:$$m_2=\overline{x_{\nu}^{2}}=\frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{\nu=1}^{N}x_{\nu}^{2}.$$		:$$m_2=\overline{x_{\nu}^{2}}=\frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{\nu=1}^{N}x_{\nu}^{2}.$$

	Sollen die Momente (oder Erwartungswerte) per Simulation bestimmt werden, so geschieht dies in der Praxis meist durch Zeitmittelung. Der entsprechende Berechnungsalgorithmus unterscheidet sich bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen nur mariginal.		Sollen die Momente (oder Erwartungswerte) per Simulation bestimmt werden, so geschieht dies in der Praxis meist durch Zeitmittelung.  Der entsprechende Berechnungsalgorithmus unterscheidet sich bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen nur mariginal.

	Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)\|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]] zusammengefasst.		Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo  [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)\|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]]  zusammengefasst.


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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Ein weiterer Sonderfall eines Erwartungswertes ist die '''charakteristische Funktion''', wobei hier für die Bewertungsfunktion $g(x) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}{\it Ω}\hspace{0.05cm}x}$ zu setzen ist:		$\text{Definition:}$  Ein weiterer Sonderfall eines Erwartungswertes ist die  '''charakteristische Funktion''', wobei hier für die Bewertungsfunktion  $g(x) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}{\it Ω}\hspace{0.05cm}x}$  zu setzen ist:
	:$$C_x({\it \Omega}) = {\rm E}\big[{\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} x}\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} x}\cdot f_{\rm x}(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x.$$		:$$C_x({\it \Omega}) = {\rm E}\big[{\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} x}\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} x}\cdot f_{\rm x}(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x.$$

	Ein Vergleich mit dem Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und Fourierrücktransformation]] im Buch &bdquo;Signaldarstellung” zeigt, dass die charakteristische Funktion als die Fourierrücktransformierte der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion interpretiert werden kann:		Ein Vergleich mit dem Kapitel  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und Fourierrücktransformation]]  im Buch &bdquo;Signaldarstellung” zeigt, dass die charakteristische Funktion als die Fourierrücktransformierte der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion interpretiert werden kann:
	:$$C_x ({\it \Omega}) \hspace{0.3cm} \circ \!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\! \bullet \hspace{0.3cm} f_{x}(x).$$}}		:$$C_x ({\it \Omega}) \hspace{0.3cm} \circ \!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\! \bullet \hspace{0.3cm} f_{x}(x).$$}}


	Ist die Zufallsgröße $x$ dimensionslos, so ist auch das Argument $\it Ω$ der charakteristischen Funktion ohne Einheit.		Ist die Zufallsgröße  $x$  dimensionslos, so ist auch das Argument  $\it Ω$  der charakteristischen Funktion ohne Einheit.
	*Das Symbol $\it Ω$ wurde gewählt, da das Argument hier einen gewissen Bezug zur Kreisfrequenz beim zweiten Fourierintegral aufweist (gegenüber der Darstellung im $f$–Bereich fehlt allerdings der Faktor $2\pi$ im Exponenten).		*Das Symbol  $\it Ω$  wurde gewählt, da das Argument hier einen gewissen Bezug zur Kreisfrequenz beim zweiten Fourierintegral aufweist  (gegenüber der Darstellung im  $f$–Bereich fehlt allerdings der Faktor  $2\pi$  im Exponenten).
	*Es wird aber nochmals eindringlich darauf hingewiesen, dass – wenn man einen Bezug zur Systemtheorie herstellen will – $C_x({\it Ω})$ der „Zeitfunktion” und $f_{x}(x)$ der „Spektralfunktion” entsprechen würde.		*Es wird aber nochmals eindringlich darauf hingewiesen, dass – wenn man einen Bezug zur Systemtheorie herstellen will – $C_x({\it Ω})$  der „Zeitfunktion” und  $f_{x}(x)$  der „Spektralfunktion” entsprechen würde.


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Berechnungsmöglichkeit:}$  Entwickelt man die komplexe Funktion ${\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}{\it Ω}\hspace{0.05cm}x}$ in eine ''Potenzreihe'' und vertauscht Erwartungswertbildung und Summation, so folgt die Reihendarstellung der charakteristischen Funktion:		$\text{Berechnungsmöglichkeit:}$  Entwickelt man die komplexe Funktion  ${\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}{\it Ω}\hspace{0.05cm}x}$  in eine ''Potenzreihe''  und vertauscht Erwartungswertbildung und Summation, so folgt die Reihendarstellung der charakteristischen Funktion:
	:$$C_x ( {\it \Omega}) = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\hspace{0.2cm}\frac{m_k}{k!} \cdot ({\rm j} \hspace{0.01cm}{\it \Omega})^k .$$		:$$C_x ( {\it \Omega}) = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\hspace{0.2cm}\frac{m_k}{k!} \cdot ({\rm j} \hspace{0.01cm}{\it \Omega})^k .$$
	Die [[Aufgaben:3.4_Charakteristische_Funktion\|Aufgabe 3.4]] zeigt weitere Eigenschaften der charakteristischen Funktion auf. }}		Die  [[Aufgaben:3.4_Charakteristische_Funktion\|Aufgabe 3.4]]  zeigt weitere Eigenschaften der charakteristischen Funktion auf. }}


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$		$\text{Beispiel 3:}$
	*Bei einer symmetrischen binären (zweipunktverteilten) Zufallsgröße $x ∈ \{\pm1\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(–1) = {\rm Pr}(+1) = 1/2$ verläuft die charakteristische Funktion cosinusförmig.		*Bei einer symmetrischen binären (zweipunktverteilten) Zufallsgröße  $x ∈ \{\pm1\}$  mit den Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(–1) = {\rm Pr}(+1) = 1/2$  verläuft die charakteristische Funktion cosinusförmig.
	*Das Analogon in der Systemtheorie ist, dass das Spektrum eines Cosinussignals mit der Kreisfrequenz ${\it Ω}_{\hspace{0.03cm}0}$ aus zwei Diracfunktionen bei $±{\it Ω}_{\hspace{0.03cm}0}$ besteht. }}		*Das Analogon in der Systemtheorie ist, dass das Spektrum eines Cosinussignals mit der Kreisfrequenz  ${\it Ω}_{\hspace{0.03cm}0}$  aus zwei Diracfunktionen bei  $±{\it Ω}_{\hspace{0.03cm}0}$  besteht. }}


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	*Eine Gleichverteilung zwischen $±y_0$ besitzt nach den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzen der Fouriertransformation]] folgende charakteristische Funktion:		*Eine Gleichverteilung zwischen  $±y_0$  besitzt nach den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzen der Fouriertransformation]]  folgende charakteristische Funktion:
	:$$C_y({\it \Omega}) = \frac{1}{2 y_0} \cdot \int_{-y_0}^{+y_0} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} y} \,{\rm d}y = \frac{ {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} y_0 \hspace{0.05cm}{\it \Omega} } - {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm} y_0 \hspace{0.05cm} {\it \Omega} } }{2 {\rm j} \cdot y_0 \cdot {\it \Omega} } = \frac{ {\rm sin}(y_0 \cdot {\it \Omega})}{ y_0 \cdot {\it \Omega} } = {\rm si}(y_0 \cdot {\it \Omega}).		:$$C_y({\it \Omega}) = \frac{1}{2 y_0} \cdot \int_{-y_0}^{+y_0} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} {\it \Omega} \hspace{0.05cm} y} \,{\rm d}y = \frac{ {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} y_0 \hspace{0.05cm}{\it \Omega} } - {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm} y_0 \hspace{0.05cm} {\it \Omega} } }{2 {\rm j} \cdot y_0 \cdot {\it \Omega} } = \frac{ {\rm sin}(y_0 \cdot {\it \Omega})}{ y_0 \cdot {\it \Omega} } = {\rm si}(y_0 \cdot {\it \Omega}).
	$$		$$
	*Die Funktion ${\rm si}(x) = \sin(x)/x$ kennen wir bereits aus dem Buch [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls\|Signaldarstellung]].		*Die Funktion  ${\rm si}(x) = \sin(x)/x$  kennen wir bereits aus dem Buch  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls\|Signaldarstellung]].
	*Sie ist auch unter dem Namen ''Spaltfunktion'' bekannt. }}		*Sie ist auch unter dem Namen  ''Spaltfunktion''  bekannt. }}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==