Stochastische Signaltheorie/Einige grundlegende Definitionen - Versionsgeschichte

Guenter am 14. November 2021 um 12:41 Uhr

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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Wir betrachten wieder das Experiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo;. Die möglichen Ergebnisse sind somit&nbsp;  $E_μ ∈ G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
+Wir betrachten wieder das Experiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo;.&nbsp; Die möglichen Ergebnisse sind somit&nbsp;  $E_μ ∈ G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
 Definieren wir nun zwei Ereignisse&nbsp; $(I = 2)$, nämlich
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-so ist die Ereignismenge&nbsp;  $\{A_1, A_2\}$&nbsp; gleich der Grundmenge&nbsp; $G$.&nbsp; Die Ereignisse&nbsp; $A_1$&nbsp; und&nbsp; $A_2$&nbsp; stellen für dieses Beispiel ein so genanntes&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Vollst.C3.A4ndiges_System|vollständiges System]]&nbsp;  dar.
+so ist die Ereignismenge&nbsp;  $\{A_1, A_2\}$&nbsp; gleich der Grundmenge&nbsp; $G$.&nbsp; Die Ereignisse&nbsp; $A_1$&nbsp; und&nbsp; $A_2$&nbsp; stellen für dieses Beispiel ein so genanntes&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Vollst.C3.A4ndiges_System|"Vollständiges System"]]&nbsp;  dar.
-Dagegen ist die weitere Ereignismenge&nbsp;  $\{A_3, A_4\}$&nbsp; ungleich der Grundmenge&nbsp; $G$, wenn man die Einzelereignisse wie folgt definiert:
+Dagegen ist die weitere Ereignismenge&nbsp;  $\{A_3, A_4\}$&nbsp; ungleich der Grundmenge&nbsp; $G$,&nbsp; wenn man die Einzelereignisse wie folgt definiert:
 * $A_3 = \big[$die Augenzahl ist kleiner als 3$\big] = \{1, 2\}$,
 * $A_4 =\big[$die Augenzahl ist größer als 3$\big] = \{4, 5, 6\}$.

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 == # ÜBERBLICK ZUM ERSTEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Dieses erste Kapitel bringt eine kurze Zusammenfassung der&nbsp; '''Wahrscheinlichkeitsrechnung''', die sicher viele von Ihnen bereits aus der Schulzeit kennen und die eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel darstellt.
+Dieses erste Kapitel bringt eine kurze Zusammenfassung der&nbsp; '''Wahrscheinlichkeitsrechnung''',&nbsp; die sicher viele von Ihnen bereits aus der Schulzeit kennen und die eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel darstellt.
 Dieses Kapitel beinhaltet
-* einige&nbsp; ''Definitionen''&nbsp; wie Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit,
+* einige&nbsp; &raquo;Definitionen&laquo;&nbsp; wie&nbsp; &raquo;Zufallsexperiment&laquo;&nbsp;, &raquo;Ergebnis&laquo;&nbsp;,&nbsp; &raquo;Ereignis&laquo;&nbsp; und&nbsp; &raquo;Wahrscheinlichkeit&laquo;,
-* die für die Wahrscheinlichkeitsrechnung relevanten&nbsp; ''mengentheoretischen Grundlagen'',
+* die für die Wahrscheinlichkeitsrechnung relevanten&nbsp; &raquo;mengentheoretischen Grundlagen&laquo;&nbsp;,
-* die Verdeutlichung von&nbsp; ''Statistischer Abhängigkeit''&nbsp; bzw.&nbsp; ''Statistischer Unabhängigkeit'',
+* die Verdeutlichung von&nbsp; &raquo;Statistischer Abhängigkeit&laquo;&nbsp; bzw.&nbsp; &raquo;Statistischer Unabhängigkeit&laquo;&nbsp;,
-* die mathematische Behandlung von statistischen Abhängigkeiten durch&nbsp; ''Markovketten''.
+* die mathematische Behandlung von statistischen Abhängigkeiten durch&nbsp; &raquo;Markovketten&laquo;.
 ==Experiment und Ergebnis==
 <br>
-Ausgangspunkt einer jeden statistischen Untersuchung ist ein&nbsp; '''Zufallsexperiment'''. Darunter versteht man
+Ausgangspunkt einer jeden statistischen Untersuchung ist ein&nbsp; '''Zufallsexperiment'''.&nbsp; Darunter versteht man
 *einen unter stets gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbaren Versuch mit ungewissem&nbsp; '''Ergebnis'''&nbsp; $E$,
 *bei dem jedoch die Menge&nbsp;  $ \{E_μ \}$&nbsp; der möglichen Ergebnisse angebbar ist.
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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Beim Experiment &bdquo;Münzwurf&rdquo; gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, nämlich &bdquo;Zahl&rdquo; und &bdquo;Bild&rdquo;  &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 2$.&nbsp; Dagegen sind beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; insgesamt&nbsp; $M = 37$&nbsp; verschiedene Ergebnisse möglich, und es gilt in diesem Fall für die Grundmenge:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Beim Experiment &bdquo;Münzwurf&rdquo; gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse,&nbsp; nämlich &bdquo;Zahl&rdquo; und &bdquo;Bild&rdquo;  &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 2$.&nbsp; Dagegen sind beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; insgesamt&nbsp; $M = 37$&nbsp; verschiedene Ergebnisse möglich,&nbsp; und es gilt in diesem Fall für die Grundmenge:
 :$$G = \{E_\mu\} = \{0, 1, 2, \text{...} \hspace{0.1cm} , 36\}.$$}}
 ==Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit==
 <br>
-Wir setzen zunächst voraus, dass jeder Versuch genau ein einziges Ergebnis aus&nbsp; $G$&nbsp; zur Folge hat und dass jedes dieser&nbsp; $M$&nbsp; Ergebnisse in gleicher Weise (ohne Bevorzugung oder Benachteiligung) möglich ist.
+Wir setzen zunächst voraus,&nbsp; dass jeder Versuch genau ein einziges Ergebnis aus&nbsp; $G$&nbsp; zur Folge hat und dass jedes dieser&nbsp; $M$&nbsp; Ergebnisse in gleicher Weise&nbsp; (ohne Bevorzugung oder Benachteiligung)&nbsp; möglich ist.
 {{BlaueBox|TEXT=
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-Dies ist die&nbsp; ''klassische Definition der Wahrscheinlichkeit''.&nbsp; ${\rm Pr}(\text{...} )$&nbsp; steht  für&nbsp; ''Probability''&nbsp; und ist als eine mathematische Funktion zu verstehen.
+Dies ist die&nbsp; "klassische Definition der Wahrscheinlichkeit".&nbsp; ${\rm Pr}(\text{...} )$&nbsp; steht  für&nbsp; "Probability".&nbsp; Dies ist als eine mathematische Funktion zu verstehen.
 {{GraueBox|TEXT=
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 :$$\rm Pr(&bdquo;Zahl&rdquo;)=Pr(&bdquo;Bild&rdquo;)=1/2.$$
-Dies setzt voraus, dass jeder Versuch entweder mit &bdquo;Zahl&rdquo; oder mit &bdquo;Bild&rdquo; ausgeht und dass nicht bei einem Versuch die Münze auf ihrem Rand zu stehen kommen kann.
+Dies setzt voraus,&nbsp; dass jeder Versuch entweder mit &bdquo;Zahl&rdquo; oder mit &bdquo;Bild&rdquo; ausgeht und dass nicht bei einem Versuch die Münze auf ihrem Rand zu stehen kommen kann.
-Auch beim Versuch &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; sind die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}( E_μ) = 1/37$&nbsp; nur dann für alle Zahlen von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $36$&nbsp; gleich, wenn der Roulettetisch nicht manipuliert wurde.}}
+Auch beim Versuch &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; sind die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}( E_μ) = 1/37$&nbsp; nur dann für alle Zahlen von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $36$&nbsp; gleich,&nbsp; wenn der Roulettetisch nicht manipuliert wurde.}}
-''Anmerkung:'' &nbsp; Die Wahrscheinlichkeitsrechnung – und die darauf aufbauende Statistik – kann nur dann fundierte Aussagen liefern, wenn alle implizit vereinbarten Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind.&nbsp;
+Bitte beachten Sie:
 *Diese Bedingungen zu überprüfen ist nicht Aufgabe der Statistik, sondern von denjenigen, die diese nutzen.&nbsp;
-*Da gegen diese Grundregel oft verstoßen wird, hat die Statistik in der Gesellschaft einen viel schlechteren Ruf, als es ihr eigentlich zustehen würde.
+'''Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik können nur dann fundierte Aussagen liefern,&nbsp; wenn alle implizit vereinbarten Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind'''.
 ==Ereignis und Ereignismenge==
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definitionen:}$&nbsp;
 Unter einem&nbsp; '''Ereignis'''&nbsp; verstehen wir eine Menge bzw. die Zusammenfassung von Ergebnissen.
 *Die Menge aller Ereignisse bezeichnen wir als die&nbsp; '''Ereignismenge'''&nbsp; $\{A_i \}$.
-*Da die Anzahl&nbsp; $I$&nbsp; der möglichen Ereignisse&nbsp; $\{A_i \}$&nbsp; im Allgemeinen nicht mit der Anzahl&nbsp; $M$&nbsp; der möglichen Ergebnisse – also der Elemente von&nbsp; $G = \{ E_μ \}$&nbsp; – übereinstimmt, werden hier unterschiedliche Indizes gewählt.
+*Da die Anzahl&nbsp; $I$&nbsp; der möglichen Ereignisse&nbsp; $\{A_i \}$&nbsp; im Allgemeinen nicht mit der Anzahl&nbsp; $M$&nbsp; der möglichen Ergebnisse&nbsp;  – also der Elemente von&nbsp; $G = \{ E_μ \}$&nbsp; –&nbsp; übereinstimmt,&nbsp;  werden hier unterschiedliche Indizes gewählt.
-Setzt sich ein Ereignis&nbsp; $A_i$&nbsp; aus&nbsp; $K$&nbsp; (elementaren) Ergebnissen zusammen, so wird die&nbsp; '''Ereigniswahrscheinlichkeit'''&nbsp; wie folgt definiert:
+'''(2)''' &nbsp; Setzt sich ein Ereignis&nbsp; $A_i$&nbsp; aus&nbsp; $K$&nbsp; (elementaren)&nbsp;  Ergebnissen zusammen,&nbsp;  so wird die&nbsp; '''Ereigniswahrscheinlichkeit'''&nbsp; wie folgt definiert:
 :$${\rm Pr} (A_i) = \frac{K}{M} = \frac{\rm Anzahl\hspace{0.1cm}der\hspace{0.1cm}g\ddot{u}nstigen\hspace{0.1cm}Ergebnisse}{\rm Anzahl\hspace{0.1cm}der\hspace{0.1cm}m\ddot{o}glichen\hspace{0.1cm}Ergebnisse}.$$}}
 Diese Gleichung nennt man die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace Laplace].
-*Als &bdquo;günstige Ergebnisse&rdquo;  werden dabei solche Ergebnisse bezeichnet, die zum zusammengesetzten Ereignis&nbsp; $A_i$&nbsp; gehören.
+*Als &bdquo;günstige Ergebnisse&rdquo;  werden dabei solche Ergebnisse bezeichnet,&nbsp; die zum zusammengesetzten Ereignis&nbsp; $A_i$&nbsp; gehören.
 *Aus dieser Definition geht bereits hervor, dass eine Wahrscheinlichkeit stets zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; liegen muss&nbsp; (einschließlich dieser beiden Grenzen).

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 == # ÜBERBLICK ZUM ERSTEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Dieses erste Kapitel bringt eine kurze Zusammenfassung der ''Wahrscheinlichkeitsrechnung'', die sicher viele von Ihnen bereits aus der Schulzeit kennen und die eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel darstellt.
+Dieses erste Kapitel bringt eine kurze Zusammenfassung der&nbsp; '''Wahrscheinlichkeitsrechnung''', die sicher viele von Ihnen bereits aus der Schulzeit kennen und die eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel darstellt.
 Dieses Kapitel beinhaltet
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-''Anmerkung:'' &nbsp; Die Wahrscheinlichkeitsrechnung – und die darauf aufbauende Statistik – kann nur dann fundierte Aussagen liefern, wenn alle implizit vereinbarten Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind.&nbsp; Diese Bedingungen zu überprüfen ist nicht Aufgabe der Statistik, sondern von denjenigen, die diese nutzen.&nbsp; Da gegen diese Grundregel oft verstoßen wird, hat die Statistik in der Gesellschaft einen viel schlechteren Ruf, als es ihr eigentlich zustehen würde.
+''Anmerkung:'' &nbsp; Die Wahrscheinlichkeitsrechnung – und die darauf aufbauende Statistik – kann nur dann fundierte Aussagen liefern, wenn alle implizit vereinbarten Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind.&nbsp;
 ==Ereignis und Ereignismenge==

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−	Die Thematik dieses Kapitels wird im Lernvideo  [[~~Applets:Würfel~~\|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]  anhand von Beispielen verdeutlicht.	+	Die Thematik dieses Kapitels wird im Lernvideo  [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)\|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]  anhand von Beispielen verdeutlicht.

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 Dieses Kapitel beinhaltet
-* einige ''Definitionen'' wie Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit,
+* einige&nbsp; ''Definitionen''&nbsp; wie Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit,
-* die für die Wahrscheinlichkeitsrechnung relevanten ''mengentheoretischen Grundlagen'',
+* die für die Wahrscheinlichkeitsrechnung relevanten&nbsp; ''mengentheoretischen Grundlagen'',
-* die Verdeutlichung von ''Statistischer Abhängigkeit'' bzw. ''Statistischer Unabhängigkeit'',
+* die Verdeutlichung von&nbsp; ''Statistischer Abhängigkeit''&nbsp; bzw.&nbsp; ''Statistischer Unabhängigkeit'',
-* die mathematische Behandlung von statistischen Abhängigkeiten durch ''Markovketten''.
+* die mathematische Behandlung von statistischen Abhängigkeiten durch&nbsp; ''Markovketten''.
 ==Experiment und Ergebnis==
 <br>
-Ausgangspunkt einer jeden statistischen Untersuchung ist ein '''Zufallsexperiment'''. Darunter versteht man
+Ausgangspunkt einer jeden statistischen Untersuchung ist ein&nbsp; '''Zufallsexperiment'''. Darunter versteht man
-*einen unter stets gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbaren Versuch mit ungewissem '''Ergebnis''' $E$,
+*einen unter stets gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbaren Versuch mit ungewissem&nbsp; '''Ergebnis'''&nbsp; $E$,
-*bei dem jedoch die Menge  $ \{E_μ \}$ der möglichen Ergebnisse angebbar ist.
+*bei dem jedoch die Menge&nbsp;  $ \{E_μ \}$&nbsp; der möglichen Ergebnisse angebbar ist.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die Anzahl der möglichen Ergebnisse bezeichnet man als den '''Ergebnisumfang''' $M$. Dann gilt:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die Anzahl der möglichen Ergebnisse bezeichnet man als den&nbsp; '''Ergebnisumfang'''&nbsp; $M$.&nbsp; Dann gilt:
 :$$E_\mu \in G = \{E_\mu\}=  \{E_1, \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, E_M \} .$$
-Die Laufvariable $μ$ kann alle ganzzahligen Werte zwischen $1$ und $M$ annehmen.  $G$ nennt man den Ereignisraum oder die '''Grundmenge'''.}}
+Die Laufvariable&nbsp; $μ$&nbsp; kann alle ganzzahligen Werte zwischen&nbsp; $1$&nbsp; und&nbsp; $M$&nbsp; annehmen.&nbsp;  $G$&nbsp; nennt man den Ereignisraum oder die&nbsp; '''Grundmenge'''.}}
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Beim Experiment &bdquo;Münzwurf&rdquo; gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, nämlich &bdquo;Zahl&rdquo; und &bdquo;Bild&rdquo;  &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 2$. Dagegen sind beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; insgesamt $M = 37$ verschiedene Ergebnisse möglich, und es gilt in diesem Fall für die Grundmenge:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Beim Experiment &bdquo;Münzwurf&rdquo; gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, nämlich &bdquo;Zahl&rdquo; und &bdquo;Bild&rdquo;  &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 2$.&nbsp; Dagegen sind beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; insgesamt&nbsp; $M = 37$&nbsp; verschiedene Ergebnisse möglich, und es gilt in diesem Fall für die Grundmenge:
 :$$G = \{E_\mu\} = \{0, 1, 2, \text{...} \hspace{0.1cm} , 36\}.$$}}
 ==Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit==
 <br>
-Wir setzen zunächst voraus, dass jeder Versuch genau ein einziges Ergebnis aus $G$ zur Folge hat und dass jedes dieser $M$ Ergebnisse in gleicher Weise (ohne Bevorzugung oder Benachteiligung) möglich ist.
+Wir setzen zunächst voraus, dass jeder Versuch genau ein einziges Ergebnis aus&nbsp; $G$&nbsp; zur Folge hat und dass jedes dieser&nbsp; $M$&nbsp; Ergebnisse in gleicher Weise (ohne Bevorzugung oder Benachteiligung) möglich ist.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Mit dieser Annahme gilt für die '''Wahrscheinlichkeit''' (englisch: ''Probability'') eines jeden Ergebnisses $E_μ$ gleichermaßen:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Mit dieser Annahme gilt für die&nbsp; '''Wahrscheinlichkeit'''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Probability'')&nbsp; eines jeden Ergebnisses&nbsp; $E_μ$&nbsp; gleichermaßen:
 :$$\Pr (E_\mu) = 1/{M}.$$}}
-Dies ist die ''klassische Definition der Wahrscheinlichkeit''. ${\rm Pr}(\text{...} )$ steht  für ''Probability'' und ist als eine mathematische Funktion zu verstehen.
+Dies ist die&nbsp; ''klassische Definition der Wahrscheinlichkeit''.&nbsp; ${\rm Pr}(\text{...} )$&nbsp; steht  für&nbsp; ''Probability''&nbsp; und ist als eine mathematische Funktion zu verstehen.
 {{GraueBox|TEXT=
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 Dies setzt voraus, dass jeder Versuch entweder mit &bdquo;Zahl&rdquo; oder mit &bdquo;Bild&rdquo; ausgeht und dass nicht bei einem Versuch die Münze auf ihrem Rand zu stehen kommen kann.
-Auch beim Versuch &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}( E_μ) = 1/37$ nur dann für alle Zahlen von $0$ bis $36$ gleich, wenn der Roulettetisch nicht manipuliert wurde.}}
+Auch beim Versuch &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; sind die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}( E_μ) = 1/37$&nbsp; nur dann für alle Zahlen von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $36$&nbsp; gleich, wenn der Roulettetisch nicht manipuliert wurde.}}
-''Anmerkung:'' &nbsp; Die Wahrscheinlichkeitsrechnung – und die darauf aufbauende Statistik – kann nur dann fundierte Aussagen liefern, wenn alle implizit vereinbarten Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind. Diese Bedingungen zu überprüfen ist nicht Aufgabe der Statistik, sondern von denjenigen, die diese nutzen. Da gegen diese Grundregel oft verstoßen wird, hat die Statistik in der Gesellschaft einen viel schlechteren Ruf, als es ihr eigentlich zustehen würde.
+''Anmerkung:'' &nbsp; Die Wahrscheinlichkeitsrechnung – und die darauf aufbauende Statistik – kann nur dann fundierte Aussagen liefern, wenn alle implizit vereinbarten Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind.&nbsp; Diese Bedingungen zu überprüfen ist nicht Aufgabe der Statistik, sondern von denjenigen, die diese nutzen.&nbsp; Da gegen diese Grundregel oft verstoßen wird, hat die Statistik in der Gesellschaft einen viel schlechteren Ruf, als es ihr eigentlich zustehen würde.
 ==Ereignis und Ereignismenge==
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definitionen:}$&nbsp;
-Unter einem '''Ereignis''' verstehen wir eine Menge bzw. die Zusammenfassung von Ergebnissen.
+Unter einem&nbsp; '''Ereignis'''&nbsp; verstehen wir eine Menge bzw. die Zusammenfassung von Ergebnissen.
-*Die Menge aller Ereignisse bezeichnen wir als die '''Ereignismenge''' $\{A_i \}$.
+*Die Menge aller Ereignisse bezeichnen wir als die&nbsp; '''Ereignismenge'''&nbsp; $\{A_i \}$.
-*Da die Anzahl $I$ der möglichen Ereignisse $\{A_i \}$ im Allgemeinen nicht mit der Anzahl $M$ der möglichen Ergebnisse – also der Elemente von $G = \{ E_μ \}$ – übereinstimmt, werden hier unterschiedliche Indizes gewählt.
+*Da die Anzahl&nbsp; $I$&nbsp; der möglichen Ereignisse&nbsp; $\{A_i \}$&nbsp; im Allgemeinen nicht mit der Anzahl&nbsp; $M$&nbsp; der möglichen Ergebnisse – also der Elemente von&nbsp; $G = \{ E_μ \}$&nbsp; – übereinstimmt, werden hier unterschiedliche Indizes gewählt.
-Setzt sich ein Ereignis $A_i$ aus $K$ (elementaren) Ergebnissen zusammen, so wird die '''Ereigniswahrscheinlichkeit''' wie folgt definiert:
+Setzt sich ein Ereignis&nbsp; $A_i$&nbsp; aus&nbsp; $K$&nbsp; (elementaren) Ergebnissen zusammen, so wird die&nbsp; '''Ereigniswahrscheinlichkeit'''&nbsp; wie folgt definiert:
 :$${\rm Pr} (A_i) = \frac{K}{M} = \frac{\rm Anzahl\hspace{0.1cm}der\hspace{0.1cm}g\ddot{u}nstigen\hspace{0.1cm}Ergebnisse}{\rm Anzahl\hspace{0.1cm}der\hspace{0.1cm}m\ddot{o}glichen\hspace{0.1cm}Ergebnisse}.$$}}
-Diese Gleichung nennt man die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach [https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace Laplace].
+Diese Gleichung nennt man die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace Laplace].
-*Als &bdquo;günstige Ergebnisse&rdquo;  werden dabei solche Ergebnisse bezeichnet, die zum zusammengesetzten Ereignis $A_i$ gehören.
+*Als &bdquo;günstige Ergebnisse&rdquo;  werden dabei solche Ergebnisse bezeichnet, die zum zusammengesetzten Ereignis&nbsp; $A_i$&nbsp; gehören.
-*Aus dieser Definition geht bereits hervor, dass eine Wahrscheinlichkeit stets zwischen $0$ und $1$ liegen muss (einschließlich dieser beiden Grenzen).
+*Aus dieser Definition geht bereits hervor, dass eine Wahrscheinlichkeit stets zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; liegen muss&nbsp; (einschließlich dieser beiden Grenzen).
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Wir betrachten wieder das Experiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo;. Die möglichen Ergebnisse sind somit  $E_μ ∈ G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
+Wir betrachten wieder das Experiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo;. Die möglichen Ergebnisse sind somit&nbsp;  $E_μ ∈ G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
-Definieren wir nun zwei Ereignisse $(I = 2)$, nämlich
+Definieren wir nun zwei Ereignisse&nbsp; $(I = 2)$, nämlich
-* $A_1 = \big[$die Augenzahl ist geradzahlig$\big] = \{2, 4, 6\}$, und
+* $A_1 = \big[$die Augenzahl ist geradzahlig$\big] = \{2, 4, 6\}$,&nbsp; und
 * $A_2 = \big[$die Augenzahl ist ungeradzahlig$\big] = \{1, 3, 5\}$,
-so ist die Ereignismenge  $\{A_1, A_2\}$ gleich der Grundmenge $G$. Die Ereignisse $A_1$ und $A_2$ stellen für dieses Beispiel ein so genanntes [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Vollst.C3.A4ndiges_System|vollständiges System]]  dar.
+so ist die Ereignismenge&nbsp;  $\{A_1, A_2\}$&nbsp; gleich der Grundmenge&nbsp; $G$.&nbsp; Die Ereignisse&nbsp; $A_1$&nbsp; und&nbsp; $A_2$&nbsp; stellen für dieses Beispiel ein so genanntes&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Vollst.C3.A4ndiges_System|vollständiges System]]&nbsp;  dar.
-Dagegen ist die weitere Ereignismenge  $\{A_3, A_4\}$ ungleich der Grundmenge $G$, wenn man die Einzelereignisse wie folgt definiert:
+Dagegen ist die weitere Ereignismenge&nbsp;  $\{A_3, A_4\}$&nbsp; ungleich der Grundmenge&nbsp; $G$, wenn man die Einzelereignisse wie folgt definiert:
 * $A_3 = \big[$die Augenzahl ist kleiner als 3$\big] = \{1, 2\}$,
 * $A_4 =\big[$die Augenzahl ist größer als 3$\big] = \{4, 5, 6\}$.
-Hier beinhaltet die Ereignismenge $\{A_3, A_4\}$ nicht das Element „3”. Die Wahrscheinlichkeiten der hier definierten Ereignisse sind ${\rm Pr}( A_3) = 1/3$ und ${\rm Pr}( A_1) ={\rm Pr}(A_2) = {\rm Pr}(A_4) = 1/2$.}}
+Hier beinhaltet die Ereignismenge&nbsp; $\{A_3, A_4\}$&nbsp; nicht das Element „3”.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeiten der hier definierten Ereignisse sind&nbsp; ${\rm Pr}( A_3) = 1/3$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}( A_1) ={\rm Pr}(A_2) = {\rm Pr}(A_4) = 1/2$.}}
-Die Thematik dieses Kapitels  wird im Lernvideo [[Applets:Würfel|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]] anhand von Beispielen verdeutlicht.
+Die Thematik dieses Kapitels  wird im Lernvideo&nbsp; [[Applets:Würfel|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]&nbsp; anhand von Beispielen verdeutlicht.

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−	Dieses erste Kapitel bringt eine kurze Zusammenfassung der ''Wahrscheinlichkeitsrechnung'', die sicher viele von Ihnen bereits aus der Schulzeit kennen und die eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel darstellt. ~~Wir beginnen mit einigen grundlegenden~~ Definitionen.	+	Dieses erste Kapitel bringt eine kurze Zusammenfassung der ''Wahrscheinlichkeitsrechnung'', die sicher viele von Ihnen bereits aus der Schulzeit kennen und die eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel darstellt.
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		+	Dieses Kapitel beinhaltet
		+	* einige ''Definitionen'' wie Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit,
		+	* die für die Wahrscheinlichkeitsrechnung relevanten ''mengentheoretischen Grundlagen'',
		+	* die Verdeutlichung von ''Statistischer Abhängigkeit'' bzw. ''Statistischer Unabhängigkeit'',
		+	* die mathematische Behandlung von statistischen Abhängigkeiten durch ''Markovketten''.

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 Dieses erste Kapitel bringt eine kurze Zusammenfassung der ''Wahrscheinlichkeitsrechnung'', die sicher viele von Ihnen bereits aus der Schulzeit kennen und die eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel darstellt. Wir beginnen mit einigen grundlegenden Definitionen.

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-Die Thematik dieses Kapitels  wird im Lernvideo [[Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]] anhand von Beispielen behandelt.
+Die Thematik dieses Kapitels  wird im Lernvideo [[Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]] anhand von Beispielen verdeutlicht.
 ==Aufgaben zum Kapitel==
 {{Display}}