Stochastische Signaltheorie/Binomialverteilung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:41Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Binomial_Distribution]]

Maintenance script: Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

2026-02-27T14:00:07Z

Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

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	:$$m_2 ={\rm E}\big[z^2\big]= (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p.$$		:$$m_2 ={\rm E}\big[z^2\big]= (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p.$$
	Die Varianz und die Streuung erhält man durch Anwendung des &bdquo;Steinerschen Satzes”:		Die Varianz und die Streuung erhält man durch Anwendung des &bdquo;Steinerschen Satzes”:
	:$$\sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$\sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma = \sqrt{I \cdot p\cdot (1-p)}.$$}}
	\sigma = \sqrt{I \cdot p\cdot (1-p)}.$$}}

Guenter am 15. Dezember 2021 um 12:18 Uhr

2021-12-15T12:18:38Z

Guenter am 11. Dezember 2021 um 12:53 Uhr

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	Die  '''Binomialverteilung'''  stellt einen wichtigen Sonderfall für die Auftrittswahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsgröße dar.		Die  '''Binomialverteilung'''  stellt einen wichtigen Sonderfall für die Auftrittswahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsgröße dar.

	Zur Herleitung der Binomialverteilung gehen wir davon aus, dass  $I$  binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen  $b_i$  jeweils		Zur Herleitung der Binomialverteilung gehen wir davon aus,  dass  $I$  binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen  $b_i$  jeweils
	*den Wert  $1$  mit der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$,  und		*den Wert  $1$  mit der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$,  und
	*den Wert  $0$  mit der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$		*den Wert  $0$  mit der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$
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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung sind für  $I =6$  und  $p =0.4$.  Von Null verschieden sind somit  $M = I+1=7$  Wahrscheinlichkeiten.		Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung sind für  $I =6$  und  $p =0.4$.
			*Von Null verschieden sind somit  $M = I+1=7$  Wahrscheinlichkeiten.

	Dagegen ergeben sich für  $I = 6$  und  $p = 0.5$ die folgenden Binomialwahrscheinlichkeiten:		*Dagegen ergeben sich für  $I = 6$  und  $p = 0.5$ die folgenden Binomialwahrscheinlichkeiten:
	:$$\begin{align}{\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}0) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}6)\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} 1/64\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}0.015625 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}5) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}6/64 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.09375,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}2) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}4)\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}15/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.234375 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}3) & = 20/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} 0.3125 .\end{align}$$		:$$\begin{align}{\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}0) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}6)\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} 1/64\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}0.015625 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}5) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}6/64 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.09375,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}2) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}4)\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}15/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.234375 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}3) & = 20/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} 0.3125 .\end{align}$$

	Diese sind symmetrisch bezüglich des Abszissenwertes  $\mu = I/2 = 3$.}}		*Diese sind symmetrisch bezüglich des Abszissenwertes  $\mu = I/2 = 3$.}}


Zeile 68:		Zeile 69:
	:$$f=\sum_{i=1}^{I}e_i.$$		:$$f=\sum_{i=1}^{I}e_i.$$

	Diese Zufallsgröße  $f$  kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen  $0$  (kein Symbol verfälscht)  und  $I$  (alle Symbole falsch)  annehmen.  Die Wahrscheinlichkeiten für  $\mu$  Verfälschungen bezeichnen wir mit  $p_μ$.		Diese Zufallsgröße  $f$  kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen  $0$  (kein Symbol verfälscht)  und  $I$  (alle Symbole falsch)  annehmen.
	*Der Fall, dass alle  $I$  Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit  $p_0 = 0.99^{10} ≈ 0.9044$  ein. Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für  $μ = 0$  unter Berücksichtigung der Definition  $10\, \text{ über }\, 0 = 1$.		*Die Wahrscheinlichkeiten für  $\mu$  Verfälschungen bezeichnen wir mit  $p_μ$.
			*Der Fall, dass alle  $I$  Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit  $p_0 = 0.99^{10} ≈ 0.9044$  ein.
			*Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für  $μ = 0$  unter Berücksichtigung der Definition  $10\, \text{ über }\, 0 = 1$.
	*Ein einziger Symbolfehler  $(f = 1)$  tritt mit folgender Wahrscheinlichkeit auf:		*Ein einziger Symbolfehler  $(f = 1)$  tritt mit folgender Wahrscheinlichkeit auf:
	:$$p_1 = \rm 10\cdot 0.01\cdot 0.99^9\approx 0.0914.$$		:$$p_1 = \rm 10\cdot 0.01\cdot 0.99^9\approx 0.0914.$$
	:Der erste Faktor berücksichtigt, dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau  $10\, \text{ über }\, 1 = 10$  Möglichkeiten gibt.  Die beiden weiteren Faktoren ~~beücksichtigen~~, dass ein Symbol verfälscht und neun richtig übertragen werden müssen, wenn  $f =1$  gelten soll.		::Der erste Faktor berücksichtigt,  dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau  $10\, \text{ über }\, 1 = 10$  Möglichkeiten gibt.
			::Die beiden weiteren Faktoren berücksichtigen,  dass ein Symbol verfälscht und neun richtig übertragen werden müssen,  wenn  $f =1$  gelten soll.
	*Für  $f =2$  gibt es deutlich mehr Kombinationen, nämlich  $10\, \text{ über }\, 2 = 45$,  und man erhält		*Für  $f =2$  gibt es deutlich mehr Kombinationen, nämlich  $10\, \text{ über }\, 2 = 45$,  und man erhält
	:$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$		:$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$

	Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehler korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit		Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehler korrigieren,  so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit
	:$$p_{\rm R} = \it p_{\rm 3} \rm +\hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} \rm + \it p_{\rm 10}\approx \rm 10^{-4},$$		:$$p_{\rm R} = \it p_{\rm 3} \rm +\hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} \rm + \it p_{\rm 10}\approx \rm 10^{-4},$$
	oder		oder
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	*Man erkennt, dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement für große Werte von  $I$  schneller zum Ziel führt.		*Man erkennt, dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement für große Werte von  $I$  schneller zum Ziel führt.
	*Man könnte aber auch als Näherung berücksichtigen, dass bei diesen Zahlenwerten  $p_{\rm R} ≈ p_3$  gilt. }}		*Man könnte aber auch als Näherung berücksichtigen,  dass bei diesen Zahlenwerten  $p_{\rm R} ≈ p_3$  gilt. }}


	Mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)\|Binomial– und Poissonverteilung]]  können Sie die Binomialwahrscheinlichkeiten für beliebige  $I$  und  $p$  ermitteln.		Mit dem interaktiven HTML5/JavaScript–Applet  [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)\|Binomial– und Poissonverteilung]]  können Sie die Binomialwahrscheinlichkeiten für beliebige  $I$  und  $p$  ermitteln.


Zeile 115:		Zeile 119:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	Wir betrachten wie im  $\text{Beispiel 3}$  einen Block von  $I =10$  Binärsymbolen, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit  $p = 0.01$  unabhängig voneinander verfälscht werden.  Dann gilt:		Wir betrachten wie im  $\text{Beispiel 3}$  einen Block von  $I =10$  Binärsymbolen,  die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit  $p = 0.01$  unabhängig voneinander verfälscht werden.  Dann gilt:
	*Die mittlere Anzahl von Fehlern pro Block ist gleich  $m_f = {\rm E}\big[ f\big] = I · p = 0.1$.		*Die mittlere Anzahl von Fehlern pro Block ist gleich  $m_f = {\rm E}\big[ f\big] = I · p = 0.1$.
	*Die Streuung (Standardabweichung) der Zufallsgröße  $f$  beträgt  $σ_f = \sqrt{0.1 \cdot 0.99}≈ 0.315$.		*Die Streuung (Standardabweichung) der Zufallsgröße  $f$  beträgt  $σ_f = \sqrt{0.1 \cdot 0.99}≈ 0.315$.

Guenter am 13. November 2019 um 11:38 Uhr

2019-11-13T11:38:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. November 2019, 13:38 Uhr
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	Die maximale Varianz  $σ^2 = I/4$  ergibt sich für die charakteristische Wahrscheinlichkeit  $p = 1/2$.  In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeiten symmetrisch um den Mittelwert  $m_1 = I/2 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}$.		Die maximale Varianz  $σ^2 = I/4$  ergibt sich für die &bdquo;charakteristische Wahrscheinlichkeit”  $p = 1/2$.  In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeiten symmetrisch um den Mittelwert  $m_1 = I/2 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}$.

	Je mehr die charakteristische Wahrscheinlichkeit  $p$  vom Wert  $1/2$  abweicht,		Je mehr die charakteristische Wahrscheinlichkeit  $p$  vom Wert  $1/2$  abweicht,

Guenter am 13. November 2019 um 11:35 Uhr

2019-11-13T11:35:26Z

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Guenter am 7. August 2018 um 08:04 Uhr

2018-08-07T08:04:33Z

Guenter am 4. April 2018 um 15:53 Uhr

2018-04-04T15:53:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. April 2018, 17:53 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Berechnungsvorschrift:}$		$\text{Berechnungsvorschrift:}$
	Für die '''Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung''' gilt mit $μ = 0, ... , I$:		Für die '''Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung''' gilt mit $μ = 0, \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, I$:
	:$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$		:$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$
	Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen (sprich: $I\text{ über }μ$) an:		Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen (sprich: $I\text{ über }μ$) an:

Guenter am 4. April 2018 um 14:55 Uhr

2018-04-04T14:55:51Z

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Wael am 28. Dezember 2017 um 18:43 Uhr

2017-12-28T18:43:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Dezember 2017, 20:43 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:

	{{Beispiel}}		{{Beispiel}}
	[[Datei:P_ID203__Sto_T_2_3_S2_neu.png \| Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung \| rechts]]		[[Datei:P_ID203__Sto_T_2_3_S2_neu.png \|frame\| Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung \| rechts]]
	Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung sind für $I =6$ und $p =0.4$. Von Null verschieden sind somit $M = I+1=7$ Wahrscheinlichkeiten.		Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung sind für $I =6$ und $p =0.4$. Von Null verschieden sind somit $M = I+1=7$ Wahrscheinlichkeiten.

← Nächstältere Version		Version vom 15. Dezember 2021, 14:18 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$		$\text{Beispiel 3:}$
	Überträgt man jeweils Blöcke von  $I =10$  Binärsymbolen über einen Kanal, der		Überträgt man jeweils Blöcke von  $I =10$  Binärsymbolen über einen Kanal,  der
	*mit der Wahrscheinlichkeit  $p = 0.01$  ein Symbol verfälscht   ⇒   Zufallsgröße  $e_i = 1$,  und		*mit der Wahrscheinlichkeit  $p = 0.01$  ein Symbol verfälscht   ⇒   Zufallsgröße  $e_i = 1$,  und
	*entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit  $1 - p = 0.99$  das Symbol unverfälscht überträgt   ⇒   Zufallsgröße  $e_i = 0$,		*entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit  $1 - p = 0.99$  das Symbol unverfälscht überträgt   ⇒   Zufallsgröße  $e_i = 0$,
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	Diese Zufallsgröße  $f$  kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen  $0$  (kein Symbol verfälscht)  und  $I$  (alle Symbole falsch)  annehmen.		Diese Zufallsgröße  $f$  kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen  $0$  (kein Symbol verfälscht)  und  $I$  (alle Symbole falsch)  annehmen.
	*Die Wahrscheinlichkeiten für  $\mu$  Verfälschungen bezeichnen wir mit  $p_μ$.		*Die Wahrscheinlichkeiten für  $\mu$   Verfälschungen bezeichnen wir mit  $p_μ$.
	*Der Fall, dass alle  $I$  Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit  $p_0 = 0.99^{10} ≈ 0.9044$  ein.		*Der Fall,  dass alle  $I$  Symbole richtig übertragen werden,  tritt mit der Wahrscheinlichkeit  $p_0 = 0.99^{10} ≈ 0.9044$  ein.
	*Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für  $μ = 0$  unter Berücksichtigung der Definition  $10\, \text{ über }\, 0 = 1$.		*Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für  $μ = 0$  unter Berücksichtigung der Definition  $10\, \text{ über }\, 0 = 1$.
	*Ein einziger Symbolfehler  $(f = 1)$  tritt mit folgender Wahrscheinlichkeit auf:		*Ein einziger Symbolfehler  $(f = 1)$  tritt mit folgender Wahrscheinlichkeit auf:
Zeile 77:		Zeile 77:
	::Der erste Faktor berücksichtigt,  dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau  $10\, \text{ über }\, 1 = 10$  Möglichkeiten gibt.		::Der erste Faktor berücksichtigt,  dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau  $10\, \text{ über }\, 1 = 10$  Möglichkeiten gibt.
	::Die beiden weiteren Faktoren berücksichtigen,  dass ein Symbol verfälscht und neun richtig übertragen werden müssen,  wenn  $f =1$  gelten soll.		::Die beiden weiteren Faktoren berücksichtigen,  dass ein Symbol verfälscht und neun richtig übertragen werden müssen,  wenn  $f =1$  gelten soll.
	*Für  $f =2$  gibt es deutlich mehr Kombinationen, nämlich  $10\, \text{ über }\, 2 = 45$,  und man erhält		*Für  $f =2$  gibt es deutlich mehr Kombinationen, nämlich  "$10\, \text{ über }\, 2 = 45$",  und man erhält
	:$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$		:$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$

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	:$$p_{\rm R} = \rm 1-\it p_{\rm 0}-\it p_{\rm 1}-p_{\rm 2}\approx \rm 10^{-4}.$$		:$$p_{\rm R} = \rm 1-\it p_{\rm 0}-\it p_{\rm 1}-p_{\rm 2}\approx \rm 10^{-4}.$$

	*Man erkennt, dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement für große Werte von  $I$  schneller zum Ziel führt.		*Man erkennt,  dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement für große Werte von  $I$  schneller zum Ziel führt.
	*Man könnte aber auch als Näherung berücksichtigen,  dass bei diesen Zahlenwerten  $p_{\rm R} ≈ p_3$  gilt. }}		*Man könnte aber auch als Näherung berücksichtigen,  dass bei diesen Zahlenwerten  $p_{\rm R} ≈ p_3$  gilt. }}

← Nächstältere Version		Version vom 7. August 2018, 10:04 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	Zur Herleitung der Binomialverteilung gehen wir davon aus, dass $I$ binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen $b_i$ jeweils		Zur Herleitung der Binomialverteilung gehen wir davon aus, dass $I$ binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen $b_i$ jeweils
	*den Wert $1$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$, und		*den Wert $1$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$, und
	*den Wert $0$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$ ~~annehmen können.~~		*den Wert $0$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$

			annehmen können.

	Dann ist die Summe $z$ ebenfalls eine diskrete Zufallsgröße mit dem Symbolvorrat $\{0, 1, 2,\hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, I\}$, die man als binomialverteilt bezeichnet:		Dann ist die Summe $z$ ebenfalls eine diskrete Zufallsgröße mit dem Symbolvorrat $\{0, 1, 2,\hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, I\}$, die man als binomialverteilt bezeichnet:
Zeile 33:		Zeile 34:
	$\text{Berechnungsvorschrift:}$		$\text{Berechnungsvorschrift:}$
	Für die '''Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung''' gilt mit $μ = 0, \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, I$:		Für die '''Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung''' gilt mit $μ = 0, \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, I$:
	:$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$		:$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p\hspace{0.05cm}^\mu\cdot ({\rm 1}-p)\hspace{0.05cm}^{I-\mu}.$$
	Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen (sprich: $I\text{ über }μ$) an:		Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen an  (sprich: $I\text{ über }μ$):
	:$${I \choose \mu}=\frac{I !}{\mu !\cdot (I-\mu) !}=\frac{ {I\cdot (I- 1) \cdot \ \cdots \ \cdot (I-\mu+ 1)} }{ 1\cdot 2\cdot \ \cdots \ \cdot \mu}.$$}}		:$${I \choose \mu}=\frac{I !}{\mu !\cdot (I-\mu) !}=\frac{ {I\cdot (I- 1) \cdot \ \cdots \ \cdot (I-\mu+ 1)} }{ 1\cdot 2\cdot \ \cdots \ \cdot \mu}.$$}}

Zeile 49:		Zeile 50:

	Dagegen ergeben sich für $I = 6$ und $p = 0.5$ die folgenden Binomialwahrscheinlichkeiten:		Dagegen ergeben sich für $I = 6$ und $p = 0.5$ die folgenden Binomialwahrscheinlichkeiten:
	$$\begin{align}{\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}0) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}6)\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} 1/64\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}0.015625 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}5) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}6/64 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.09375,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}2) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}4)\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}15/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.234375 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}3) & = 20/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} 0.3125 .\end{align}$$		:$$\begin{align}{\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}0) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}6)\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} 1/64\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}0.015625 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}5) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}6/64 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.09375,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}2) & = {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}4)\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}15/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.234375 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}3) & = 20/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} 0.3125 .\end{align}$$

	Diese sind symmetrisch bezüglich des Abszissenwertes $\mu = I/2$.}}		Diese sind symmetrisch bezüglich des Abszissenwertes $\mu = I/2 = 3$.}}


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	:$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$		:$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$

	Kann ein Blockcode bis zu zwei ~~Fehlern~~ korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit		Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehler korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit
	:$$p_{\rm R} = \it p_{\rm 3} \rm +\hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} \rm + \it p_{\rm 10}\approx \rm 10^{-4},$$		:$$p_{\rm R} = \it p_{\rm 3} \rm +\hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} \rm + \it p_{\rm 10}\approx \rm 10^{-4},$$
	oder		oder
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	*Man erkennt, dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement für große Werte vin $I$ schneller zum Ziel führt.		*Man erkennt, dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement für große Werte vin $I$ schneller zum Ziel führt.
	*Man könnte aber auch berücksichtigen, dass bei diesen Zahlenwerten $p_{\rm R} ≈ p_3$ gilt. }}		*Man könnte aber auch als Näherung berücksichtigen, dass bei diesen Zahlenwerten $p_{\rm R} ≈ p_3$ gilt. }}


	Mit dem ~~Berechnungstool~~ [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)\|Binomial– und Poissonverteilung]] können Sie die Binomialwahrscheinlichkeiten für beliebige $I$ und $p$ ermitteln.		Mit dem interaktiven Applet [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)\|Binomial– und Poissonverteilung]] können Sie die Binomialwahrscheinlichkeiten für beliebige $I$ und $p$ ermitteln.


	==Momente der Binomialverteilung==		==Momente der Binomialverteilung==
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	Die Momente ~~können~~ mit den Gleichungen ~~im Kapitel~~ [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße\|Momente einer diskreten Zufallsgröße]] und ~~den~~ [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeiten_der_Binomialverteilung\|Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]] allgemein ~~berechnet werden~~.		Die Momente kann man mit den Gleichungen in den Kapiteln [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße\|Momente einer diskreten Zufallsgröße]] und [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeiten_der_Binomialverteilung\|Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]] allgemein berechnen.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Berechnungsvorschriften:}$		$\text{Berechnungsvorschriften:} $  Für das '''Moment $k$-ter Ordnung''' einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt allgemein:
	Für das '''Moment $k$-ter Ordnung''' einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt allgemein:		:$$m_k={\rm E}\big[z^k\big]=\sum_{\mu={\rm 0} }^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p\hspace{0.05cm}^\mu\cdot ({\rm 1}-p)\hspace{0.05cm}^{I-\mu}.$$
	:$$m_k={\rm E}[z^k]=\sum_{\mu={\rm 0} }^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$

	Daraus erhält man nach einigen Umformungen für		Daraus erhält man nach einigen Umformungen für
	*den linearen Mittelwert:		*den linearen Mittelwert:
	:$$m_1 = I\cdot p,$$		:$$m_1 ={\rm E}\big[z\big]= I\cdot p,$$
	*den quadratischen Mittelwert:		*den quadratischen Mittelwert:
	:$$m_2 = (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p.$$		:$$m_2 ={\rm E}\big[z^2\big]= (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p.$$
	Die Varianz und die Streuung erhält man durch Anwendung des &bdquo;Steinerschen Satzes”:		Die Varianz und die Streuung erhält man durch Anwendung des &bdquo;Steinerschen Satzes”:
	:$$\sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$\sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	Wir betrachten wie im $\text{Beispiel 3}$ einen Block von $I =10$ Binärsymbolen, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ unabhängig voneinander verfälscht werden. Dann gilt:		Wir betrachten wie im $\text{Beispiel 3}$ einen Block von $I =10$ Binärsymbolen, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ unabhängig voneinander verfälscht werden. Dann gilt:
	*Die mittlere Anzahl von Fehlern pro Block ist gleich $m_f = {\rm E}[ f] = I · p = 0.1$.		*Die mittlere Anzahl von Fehlern pro Block ist gleich $m_f = {\rm E}\big[ f\big] = I · p = 0.1$.
	*Die Streuung (Standardabweichung) der Zufallsgröße $f$ beträgt $σ_f = \sqrt{0.1 \cdot 0.99}≈ 0.315$.		*Die Streuung (Standardabweichung) der Zufallsgröße $f$ beträgt $σ_f = \sqrt{0.1 \cdot 0.99}≈ 0.315$.