Stochastische Signaltheorie/Binomialverteilung - Versionsgeschichte

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2021-12-15T12:18:38Z

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2018-04-04T15:53:50Z

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2017-12-28T18:43:44Z

Guenter am 3. März 2017 um 14:51 Uhr

2017-03-03T14:51:16Z

Guenter am 3. März 2017 um 12:47 Uhr

2017-03-03T12:47:53Z

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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Überträgt man jeweils Blöcke von&nbsp; $I =10$&nbsp; Binärsymbolen über einen Kanal, der
+Überträgt man jeweils Blöcke von&nbsp; $I =10$&nbsp; Binärsymbolen über einen Kanal,&nbsp; der
 *mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p = 0.01$&nbsp; ein Symbol verfälscht &nbsp; &rArr; &nbsp; Zufallsgröße&nbsp; $e_i = 1$,&nbsp; und
 *entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $1 - p = 0.99$&nbsp; das Symbol unverfälscht überträgt  &nbsp; &rArr; &nbsp; Zufallsgröße&nbsp; $e_i = 0$,
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 Diese Zufallsgröße&nbsp; $f$&nbsp; kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; (kein Symbol verfälscht)&nbsp; und&nbsp; $I$&nbsp; (alle Symbole falsch)&nbsp; annehmen.&nbsp;
-*Die Wahrscheinlichkeiten für&nbsp; $\mu$&nbsp; Verfälschungen bezeichnen wir mit&nbsp; $p_μ$.
+*Die Wahrscheinlichkeiten für&nbsp; $\mu$ &nbsp; Verfälschungen bezeichnen wir mit&nbsp; $p_μ$.
-*Der Fall, dass alle&nbsp; $I$&nbsp; Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_0 = 0.99^{10} ≈ 0.9044$&nbsp; ein.
+*Der Fall,&nbsp; dass alle&nbsp; $I$&nbsp; Symbole richtig übertragen werden,&nbsp; tritt mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_0 = 0.99^{10} ≈ 0.9044$&nbsp; ein.
 *Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für&nbsp; $μ = 0$&nbsp; unter Berücksichtigung der Definition&nbsp; $10\, \text{ über }\, 0 = 1$.
 *Ein einziger Symbolfehler&nbsp; $(f = 1)$&nbsp; tritt mit folgender Wahrscheinlichkeit auf:
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 ::Der erste Faktor berücksichtigt,&nbsp; dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau&nbsp; $10\, \text{ über }\, 1 = 10$&nbsp; Möglichkeiten gibt.&nbsp;
 ::Die beiden weiteren Faktoren berücksichtigen,&nbsp; dass ein Symbol verfälscht und neun richtig übertragen werden müssen,&nbsp; wenn&nbsp; $f =1$&nbsp; gelten soll.
-*Für&nbsp; $f =2$&nbsp; gibt es deutlich mehr Kombinationen, nämlich&nbsp; $10\, \text{ über }\, 2 = 45$,&nbsp; und man erhält
+*Für&nbsp; $f =2$&nbsp; gibt es deutlich mehr Kombinationen, nämlich&nbsp; "$10\, \text{ über }\, 2 = 45$",&nbsp; und man erhält
 :$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$
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 :$$p_{\rm R} = \rm 1-\it p_{\rm 0}-\it p_{\rm 1}-p_{\rm 2}\approx \rm 10^{-4}.$$
-*Man erkennt, dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement für große Werte von&nbsp; $I$&nbsp; schneller zum Ziel führt.
+*Man erkennt,&nbsp; dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement für große Werte von&nbsp; $I$&nbsp; schneller zum Ziel führt.
 *Man könnte aber auch als Näherung berücksichtigen,&nbsp; dass bei diesen Zahlenwerten&nbsp; $p_{\rm R} ≈ p_3$&nbsp; gilt. }}

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 Die&nbsp; '''Binomialverteilung'''&nbsp; stellt einen wichtigen Sonderfall für die Auftrittswahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsgröße dar.
-Zur Herleitung der Binomialverteilung gehen wir davon aus, dass&nbsp; $I$&nbsp; binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen&nbsp; $b_i$&nbsp; jeweils
+Zur Herleitung der Binomialverteilung gehen wir davon aus,&nbsp; dass&nbsp; $I$&nbsp; binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen&nbsp; $b_i$&nbsp; jeweils
 *den Wert&nbsp; $1$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$,&nbsp; und
 *den Wert&nbsp;  $0$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung sind für&nbsp; $I =6$&nbsp;  und&nbsp; $p =0.4$.&nbsp; Von Null verschieden sind somit&nbsp; $M = I+1=7$&nbsp; Wahrscheinlichkeiten.
+Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung sind für&nbsp; $I =6$&nbsp;  und&nbsp; $p =0.4$.&nbsp;
-Dagegen ergeben sich für&nbsp; $I = 6$&nbsp; und&nbsp; $p = 0.5$ die folgenden Binomialwahrscheinlichkeiten:
+*Dagegen ergeben sich für&nbsp; $I = 6$&nbsp; und&nbsp; $p = 0.5$ die folgenden Binomialwahrscheinlichkeiten:
 :$$\begin{align*}{\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}0)  & =  {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}6)\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} 1/64\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}0.015625 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1)  & =  {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}5) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}6/64 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.09375,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}2)  & =  {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}4)\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}15/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.234375 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}3)  & =  20/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} 0.3125 .\end{align*}$$
-Diese sind symmetrisch bezüglich des Abszissenwertes&nbsp;  $\mu = I/2 = 3$.}}
+*Diese sind symmetrisch bezüglich des Abszissenwertes&nbsp;  $\mu = I/2 = 3$.}}
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 :$$f=\sum_{i=1}^{I}e_i.$$
-Diese Zufallsgröße&nbsp; $f$&nbsp; kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; (kein Symbol verfälscht)&nbsp; und&nbsp; $I$&nbsp; (alle Symbole falsch)&nbsp; annehmen.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeiten für&nbsp; $\mu$&nbsp; Verfälschungen bezeichnen wir mit&nbsp; $p_μ$.
+Diese Zufallsgröße&nbsp; $f$&nbsp; kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; (kein Symbol verfälscht)&nbsp; und&nbsp; $I$&nbsp; (alle Symbole falsch)&nbsp; annehmen.&nbsp;
-*Der Fall, dass alle&nbsp; $I$&nbsp; Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_0 = 0.99^{10} ≈ 0.9044$&nbsp; ein. Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für&nbsp; $μ = 0$&nbsp; unter Berücksichtigung der Definition&nbsp; $10\, \text{ über }\, 0 = 1$.
+*Die Wahrscheinlichkeiten für&nbsp; $\mu$&nbsp; Verfälschungen bezeichnen wir mit&nbsp; $p_μ$.
 *Ein einziger Symbolfehler&nbsp; $(f = 1)$&nbsp; tritt mit folgender Wahrscheinlichkeit auf:
 :$$p_1 = \rm 10\cdot 0.01\cdot 0.99^9\approx 0.0914.$$
-:Der erste Faktor berücksichtigt, dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau&nbsp; $10\, \text{ über }\, 1 = 10$&nbsp; Möglichkeiten gibt.&nbsp; Die beiden weiteren Faktoren beücksichtigen, dass ein Symbol verfälscht und neun richtig übertragen werden müssen, wenn&nbsp; $f =1$&nbsp; gelten soll.
+::Der erste Faktor berücksichtigt,&nbsp; dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau&nbsp; $10\, \text{ über }\, 1 = 10$&nbsp; Möglichkeiten gibt.&nbsp;
 *Für&nbsp; $f =2$&nbsp; gibt es deutlich mehr Kombinationen, nämlich&nbsp; $10\, \text{ über }\, 2 = 45$,&nbsp; und man erhält
 :$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$
-Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehler korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit
+Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehler korrigieren,&nbsp; so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit
 :$$p_{\rm R} = \it p_{\rm 3} \rm +\hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} \rm + \it p_{\rm 10}\approx \rm 10^{-4},$$
 oder
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 *Man erkennt, dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement für große Werte von&nbsp; $I$&nbsp; schneller zum Ziel führt.
-*Man könnte aber auch als Näherung berücksichtigen, dass bei diesen Zahlenwerten&nbsp; $p_{\rm R} ≈ p_3$&nbsp; gilt. }}
+*Man könnte aber auch als Näherung berücksichtigen,&nbsp; dass bei diesen Zahlenwerten&nbsp; $p_{\rm R} ≈ p_3$&nbsp; gilt. }}
-Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial&ndash; und Poissonverteilung]]&nbsp; können Sie die Binomialwahrscheinlichkeiten für beliebige&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $p$&nbsp; ermitteln.
+Mit dem interaktiven HTML5/JavaScript&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial&ndash; und Poissonverteilung]]&nbsp; können Sie die Binomialwahrscheinlichkeiten für beliebige&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $p$&nbsp; ermitteln.
@@ Zeile 115: / Zeile 119: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;
-Wir betrachten wie im&nbsp; $\text{Beispiel 3}$&nbsp; einen Block von&nbsp; $I =10$&nbsp; Binärsymbolen, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p = 0.01$&nbsp; unabhängig voneinander verfälscht werden.&nbsp; Dann gilt:
+Wir betrachten wie im&nbsp; $\text{Beispiel 3}$&nbsp; einen Block von&nbsp; $I =10$&nbsp; Binärsymbolen,&nbsp; die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p = 0.01$&nbsp; unabhängig voneinander verfälscht werden.&nbsp; Dann gilt:
 *Die mittlere Anzahl von Fehlern pro Block ist gleich&nbsp; $m_f  = {\rm E}\big[ f\big] = I · p = 0.1$.
 *Die Streuung (Standardabweichung) der Zufallsgröße&nbsp; $f$&nbsp;  beträgt&nbsp; $σ_f  = \sqrt{0.1 \cdot 0.99}≈ 0.315$.

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−	Die maximale Varianz  $σ^2 = I/4$  ergibt sich für die charakteristische Wahrscheinlichkeit  $p = 1/2$.  In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeiten symmetrisch um den Mittelwert  $m_1 = I/2 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}$.	+	Die maximale Varianz  $σ^2 = I/4$  ergibt sich für die &bdquo;charakteristische Wahrscheinlichkeit”  $p = 1/2$.  In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeiten symmetrisch um den Mittelwert  $m_1 = I/2 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}$.

	Je mehr die charakteristische Wahrscheinlichkeit  $p$  vom Wert  $1/2$  abweicht,		Je mehr die charakteristische Wahrscheinlichkeit  $p$  vom Wert  $1/2$  abweicht,

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 Zur Herleitung der Binomialverteilung gehen wir davon aus, dass $I$ binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen $b_i$ jeweils
 *den Wert $1$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$, und
-*den Wert  $0$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$ annehmen können.
+*den Wert  $0$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$
 Dann ist die Summe $z$ ebenfalls eine diskrete Zufallsgröße mit dem Symbolvorrat $\{0, 1, 2,\hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, I\}$, die man als binomialverteilt bezeichnet:
@@ Zeile 33: / Zeile 34: @@
 $\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp;
 Für die '''Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung''' gilt mit $μ = 0, \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, I$:
-:$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$
+:$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p\hspace{0.05cm}^\mu\cdot ({\rm 1}-p)\hspace{0.05cm}^{I-\mu}.$$
-Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen (sprich: $I\text{ über }μ$) an:
+Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen an &nbsp;(sprich: $I\text{ über }μ$):
 :$${I \choose \mu}=\frac{I !}{\mu !\cdot (I-\mu) !}=\frac{ {I\cdot (I- 1) \cdot \ \cdots \ \cdot (I-\mu+ 1)} }{ 1\cdot  2\cdot \ \cdots \ \cdot   \mu}.$$}}
@@ Zeile 49: / Zeile 50: @@
 Dagegen ergeben sich für $I = 6$ und $p = 0.5$ die folgenden Binomialwahrscheinlichkeiten:
-$$\begin{align*}{\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}0)  & =  {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}6)\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} 1/64\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}0.015625 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1)  & =  {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}5) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}6/64 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.09375,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}2)  & =  {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}4)\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}15/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.234375 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}3)  & =  20/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} 0.3125 .\end{align*}$$
+:$$\begin{align*}{\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}0)  & =  {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}6)\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} 1/64\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}0.015625 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1)  & =  {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}5) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}6/64 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.09375,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}2)  & =  {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}4)\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}15/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.234375 ,\\ {\rm Pr}(z\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}3)  & =  20/64 \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} 0.3125 .\end{align*}$$
-Diese sind symmetrisch bezüglich des Abszissenwertes  $\mu = I/2$.}}
+Diese sind symmetrisch bezüglich des Abszissenwertes  $\mu = I/2 = 3$.}}
@@ Zeile 74: / Zeile 75: @@
 :$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$
-Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehlern korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit
+Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehler korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit
 :$$p_{\rm R} = \it p_{\rm 3} \rm +\hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} \rm + \it p_{\rm 10}\approx \rm 10^{-4},$$
 oder
@@ Zeile 80: / Zeile 81: @@
 *Man erkennt, dass die zweite Berechnungsmöglichkeit über das Komplement für große Werte vin $I$ schneller zum Ziel führt.
-*Man könnte aber auch berücksichtigen, dass bei diesen Zahlenwerten $p_{\rm R} ≈ p_3$ gilt. }}
+*Man könnte aber auch als Näherung berücksichtigen, dass bei diesen Zahlenwerten $p_{\rm R} ≈ p_3$ gilt. }}
-Mit dem Berechnungstool [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial&ndash; und Poissonverteilung]] können Sie die Binomialwahrscheinlichkeiten für beliebige $I$ und $p$ ermitteln.
+Mit dem interaktiven Applet [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial&ndash; und Poissonverteilung]] können Sie die Binomialwahrscheinlichkeiten für beliebige $I$ und $p$ ermitteln.
 ==Momente der Binomialverteilung==
 <br>
-Die Momente können mit den Gleichungen im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]  und den  [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeiten_der_Binomialverteilung|Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]]  allgemein berechnet werden.
+Die Momente kann man mit den Gleichungen in den Kapiteln [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]  und [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeiten_der_Binomialverteilung|Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]]  allgemein berechnen.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Berechnungsvorschriften:}$&nbsp;
+$\text{Berechnungsvorschriften:} $&nbsp; Für das '''Moment $k$-ter Ordnung''' einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt allgemein:
-Für das '''Moment $k$-ter Ordnung''' einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt allgemein:
+:$$m_k={\rm E}\big[z^k\big]=\sum_{\mu={\rm 0} }^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p\hspace{0.05cm}^\mu\cdot ({\rm 1}-p)\hspace{0.05cm}^{I-\mu}.$$
 Daraus erhält man nach einigen Umformungen für
 *den linearen Mittelwert:
-:$$m_1 = I\cdot p,$$
+:$$m_1 ={\rm E}\big[z\big]= I\cdot p,$$
 *den quadratischen Mittelwert:
-:$$m_2 = (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p.$$
+:$$m_2 ={\rm E}\big[z^2\big]= (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p.$$
 Die Varianz und die Streuung erhält man durch Anwendung des &bdquo;Steinerschen Satzes&rdquo;:
 :$$\sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 115: / Zeile 115: @@
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;
 Wir betrachten wie im $\text{Beispiel 3}$ einen Block von $I =10$ Binärsymbolen, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ unabhängig voneinander verfälscht werden. Dann gilt:
-*Die mittlere Anzahl von Fehlern pro Block ist gleich $m_f  = {\rm E}[ f] = I · p = 0.1$.
+*Die mittlere Anzahl von Fehlern pro Block ist gleich $m_f  = {\rm E}\big[ f\big] = I · p = 0.1$.
 *Die Streuung (Standardabweichung) der Zufallsgröße $f$  beträgt $σ_f  = \sqrt{0.1 \cdot 0.99}≈ 0.315$.

@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp;
-Für die '''Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung''' gilt mit $μ = 0, ... , I$:
+Für die '''Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung''' gilt mit $μ = 0, \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, I$:
 :$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$
 Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen (sprich: $I\text{ über }μ$) an:

@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 {{Beispiel}}
-[[Datei:P_ID203__Sto_T_2_3_S2_neu.png | Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung | rechts]]
+[[Datei:P_ID203__Sto_T_2_3_S2_neu.png |frame| Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung | rechts]]
 Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung sind für $I =6$  und $p =0.4$. Von Null verschieden sind somit $M = I+1=7$ Wahrscheinlichkeiten.

@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 ==Momente der Binomialverteilung==
-Die Momente können mit den Gleichungen im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]  und den  Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung  allgemein berechnet werden.
+Die Momente können mit den Gleichungen im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]  und den  [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeiten_der_Binomialverteilung|Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]]  allgemein berechnet werden.
-Für das '''Moment $k$-ter Ordnung''' gilt:
+{{Definition}}
 $$m_k=\rm E[\it z^k \rm ]=\sum_{\mu={\rm 0}}^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$
 Daraus erhält man nach einigen Umformungen für
 *den linearen Mittelwert:
-$$m_1 = I\cdot p,$$
+:$$m_1 = I\cdot p,$$
 *den quadratischen Mittelwert:
-$$m_2 = (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p.$$
+:$$m_2 = (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p.$$
-Die Varianz und die Streuung erhält man durch Anwendung des Steinerschen Satzes:
+Die Varianz und die Streuung erhält man durch Anwendung des &bdquo;Steinerschen Satzes&rdquo;:
-$$\sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+:$$\sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \sigma =  \sqrt{I \cdot p\cdot (1-p)}.$$
-Die maximale Varianz $σ_2 = I/4$ ergibt sich für die charakteristische Wahrscheinlichkeit $p =$ 1/2. In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeit symmetrisch um den Mittelwert $m_1 = I/2  ⇒  p_μ = p_{I–μ}$.
+Die maximale Varianz $σ^2 = I/4$ ergibt sich für die charakteristische Wahrscheinlichkeit $p = 1/2$. In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeit symmetrisch um den Mittelwert $m_1 = I/2  \ ⇒  \ p_μ = p_{I–μ}$.
-Je mehr die charakteristische Wahrscheinlichkeit $p$ vom Wert 1/2 abweicht,
+Je mehr die charakteristische Wahrscheinlichkeit $p$ vom Wert $1/2$ abweicht,
 *um so kleiner ist die Streuung $σ$, und
 *um so unsymmetrischer werden die Wahrscheinlichkeiten um den Mittelwert $m_1 = I · p$.
 {{Beispiel}}
-Wir betrachten wie im letzten Beispiel einen Block von $I =$ 10 Symbolen, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p =$ 0.01 unabhängig voneinander verfälscht werden. Dann ist
+Wir betrachten wie im letzten Beispiel einen Block von $I =10$ Binärsymbolen, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ unabhängig voneinander verfälscht werden. Dann gilt:
-*ist die mittlere Anzahl von Fehlern pro Block gleich $m_f  =$ E[ $f$] $= I · p =$ 0.1, und
+*Die mittlere Anzahl von Fehlern pro Block ist gleich $m_f  = {\rm E}[ f] = I · p = 0.1$.
-*die Streuung (Standardabweichung) der Zufallsgröße $f$  beträgt $σ_f  ≈$ 0.315.
+*Die Streuung (Standardabweichung) der Zufallsgröße $f$  beträgt $σ_f  = \sqrt{0.1 \cdot 0.99}≈ 0.315$.
-Im vollständig gestörten Kanal  ⇒  charakteristische Wahrscheinlichkeit $p =$ 1/2 ergeben sich demgegenüber die Werte $m_f  =$ 5 und $σ_f  ≈$ 1.581.
+Im vollständig gestörten Kanal  ⇒  Verfälschungswahrscheinlichkeit $p = 1/2$ ergeben sich demgegenüber die Werte
 {{end}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:2.3 Mehrstufensignale|Aufgabe 2.3: &nbsp; Mehrstufensignale]]
+[[Aufgaben:2.3 Summe von Binärzahlen|Aufgabe 2.3: &nbsp; Summe von Binärzahlen]]
 {{Display}}

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 Für die '''Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung''' gilt mit $μ = 0, ... , I$:
 $$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$
-Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen („$I$ über $μ$”) an:
+Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen („$I$ '''über''' $μ$”) an:
 $${I \choose \mu}=\frac{I !}{\mu !\cdot (I-\mu) !}=\frac{ {I\cdot (I- 1) \cdot \ \cdots \ \cdot (I-\mu+ 1)} }{ 1\cdot  2\cdot \ \cdots \ \cdot   \mu}.$$
 {{end}}
@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
-==Beispiel „Blockfehlerwahrscheinlichkeit”==
+==Blockfehlerwahrscheinlichkeit==
 {{Beispiel}}
-Überträgt man jeweils Blöcke von $I =$ 10 Binärsymbolen über einen Kanal, der mit der Wahrscheinlichkeit $p =$ 0.01 das Symbol verfälscht $(e_i = 1)$ und entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit $1 – p = 0.99$ das Symbol unverfälscht überträgt $(e_i = 0)$, so gilt für die neue Zufallsgröße $f$  (Fehler pro Block):
+Überträgt man jeweils Blöcke von $I =10$ Binärsymbolen über einen Kanal, der
 $$f=\sum_{i=1}^{I}e_i.$$
-Die Zufallsgröße $f$ kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen 0 (kein Symbol verfälscht) und $I$ (alle Symbole falsch) annehmen; die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind $p_μ$.
+Die Zufallsgröße $f$ kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ (kein Symbol verfälscht) und $I$ (alle Symbole falsch) annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten für $\mu$ Verfälschungen bezeichnen wir mit $p_μ$.
-*Der Fall, dass alle $I$ Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.99^{10} ≈ 0.9044$ ein. Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für $μ =$ 0 unter Berücksichtigung der Definition „10 über 0“ = 1.
+*Der Fall, dass alle $I$ Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.99^{10} ≈ 0.9044$ ein. Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für $μ = 0$ unter Berücksichtigung der Definition „10 über 0“ = 1.
 *Ein einziger Symbolfehler $(f = 1)$ tritt mit folgender Wahrscheinlichkeit auf:
-$$p_1 = \rm 10\cdot 0.01\cdot 0.99^9\approx 0.0914.$$
+:$$p_1 = \rm 10\cdot 0.01\cdot 0.99^9\approx 0.0914.$$
-Der erste Faktor berücksichtigt, dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau „10 über 1“ = 10 Möglichkeiten gibt. Die beiden weiteren Faktoren beücksichtigen, dass ein Symbol verfälscht und neun richtig übertragen werden müssen, wenn $f =$ 1 gelten soll.
+Der erste Faktor berücksichtigt, dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau „10 über 1“ = $10$ Möglichkeiten gibt. Die beiden weiteren Faktoren beücksichtigen, dass ein Symbol verfälscht und neun richtig übertragen werden müssen, wenn $f =1$ gelten soll.
-*Für $f =$ 2 gibt es deutlich mehr Kombinationen, nämlich „10 über 2“ = 45, und man erhält
+*Für $f =2$ gibt es deutlich mehr Kombinationen, nämlich „10 über 2“ = $45$, und man erhält
-$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$
+:$$p_2 = \rm 45\cdot 0.01^2\cdot 0.99^8\approx 0.0041.$$
 Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehlern korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit
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 ==Momente der Binomialverteilung==
-Die Momente können mit den Gleichungen von [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Kapitel 2.2]]  und den  Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung  allgemein berechnet werden. Für das Moment $k$-ter Ordnung gilt:
+Die Momente können mit den Gleichungen im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]  und den  Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung  allgemein berechnet werden.
 $$m_k=\rm E[\it z^k \rm ]=\sum_{\mu={\rm 0}}^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$