Stochastische Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion (AKF) - Versionsgeschichte

Guenter am 5. März 2022 um 16:03 Uhr

2022-03-05T16:03:51Z

Änderungen zeigen

Guenter am 3. März 2022 um 13:50 Uhr

2022-03-03T13:50:41Z

Änderungen zeigen

Guenter am 29. November 2019 um 14:10 Uhr

2019-11-29T14:10:23Z

Guenter am 29. November 2019 um 13:57 Uhr

2019-11-29T13:57:35Z

Guenter am 28. November 2019 um 17:41 Uhr

2019-11-28T17:41:21Z

Änderungen zeigen

Guenter am 28. November 2019 um 16:42 Uhr

2019-11-28T16:42:40Z

Guenter am 18. August 2018 um 12:14 Uhr

2018-08-18T12:14:41Z

Guenter am 18. August 2018 um 12:10 Uhr

2018-08-18T12:10:59Z

Guenter am 17. August 2018 um 13:10 Uhr

2018-08-17T13:10:31Z

Änderungen zeigen

Guenter am 17. August 2018 um 12:21 Uhr

2018-08-17T12:21:36Z

@@ Zeile 271: / Zeile 271: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 5:}$&nbsp;
-Der entscheidende Parameter für die Qualität der numerischen AKF&ndash;Berechnung ist die Anzahl $N$ der berücksichtigten Abtastwerte.
+Der entscheidende Parameter für die Qualität der numerischen AKF&ndash;Berechnung ist die Anzahl&nbsp; $N$&nbsp; der berücksichtigten Abtastwerte.
-*In der oberen Grafik sehen Sie das Ergebnis der numerischen AKF-Berechnung für $N = 1000$.
+*In der oberen Grafik sehen Sie das Ergebnis der numerischen AKF-Berechnung für&nbsp; $N = 1000$.
-* Die untere Grafik gilt für $N = 10000$ Zufallsgrößen.
+* Die untere Grafik gilt für&nbsp; $N = 10000$&nbsp; Abtastwerte.
 [[Datei:P_ID639__Sto_T_4_4_S9a_Ganz_neu.png |right|frame| AKF bei statistisch unabhängigen Abtastwerten]]
 <br>
-Die betrachteten Zufallsgrößen sind hier voneinander statistisch unabhängig. Somit sollten eigentlich alle AKF–Werte mit Ausnahme des Wertes bei $k = 0$ identisch Null sein.
+Die betrachteten Zufallsgrößen sind hier voneinander statistisch unabhängig.&nbsp; Somit sollten eigentlich alle AKF–Werte mit Ausnahme des Wertes bei&nbsp; $k = 0$&nbsp; identisch Null sein.
-*Bei $N = 10000$ (untere Grafik) beträgt der maximale Fehler nur etwa $1\%$ und ist bei dieser Darstellung fast nicht mehr sichtbar.
+*Bei&nbsp; $N = 10000$&nbsp; (untere Grafik) beträgt der maximale Fehler nur noch etwa&nbsp; $1\%$&nbsp; und ist bei dieser Darstellung fast nicht mehr sichtbar.
-*Dagegen wächst der Fehler bei $N = 1000$ (obere Grafik) bis auf $±6\%$ an. }}
+*Dagegen wächst der Fehler bei&nbsp; $N = 1000$&nbsp; (obere Grafik) bis auf $±6\%$&nbsp; an. }}
 <br clear = all>
 [[Datei:P_ID640__Sto_T_4_4_S9b_Ganz_neu.png|right|frame| AKF bei korrelierten Abtastwerten]]
@@ Zeile 289: / Zeile 288: @@
-Betrachten wir beispielsweise eine dreieckförmige AKF mit $φ_x(k) ≠ 0$  für $\vert k \vert ≤ 10$, so erkennt man deutlich größere Abweichungen, nämlich
+Betrachten wir beispielsweise eine dreieckförmige AKF mit&nbsp; $φ_x(k) ≠ 0$&nbsp;  für&nbsp; $\vert k \vert ≤ 10$, so erkennt man deutlich größere Abweichungen, nämlich
-* Fehler bis zu etwa $±15\%$ bei $N = 1000$,
+* Fehler bis zu etwa&nbsp; $±15\%$&nbsp; bei&nbsp; $N = 1000$,
-* Fehler bis zu etwa &nbsp; $±5\%$ bei $N = 10000$.
+* Fehler bis zu etwa&nbsp; $±5\%$&nbsp; bei&nbsp; $N = 10000$.
 <br clear = all>
-Begründung des schlechteren Ergebnisses gemäß $\text{Beispiel 6}$:
+Begründung des schlechteren Ergebnisses gemäß&nbsp; $\text{Beispiel 6}$:
 *Aufgrund der inneren statistischen Bindungen liefern nun nicht mehr alle Abtastwerte die volle Information über den zugrundeliegenden Zufallsprozess.
 *Außerdem lassen die Bilder erkennen, dass bei der numerischen AKF–Berechnung einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen auch die Fehler korreliert sind.
-*Ist – wie beispielsweise im oberen Bild zu sehen – der AKF-Wert $φ_x({\rm 26})$ fälschlicherweise positiv und groß, so ergeben sich auch die benachbarten AKF-Werte $φ_x({\rm 25})$ und $φ_x({\rm 27})$ als positiv und mit ähnlichen Zahlenwerten. Dieser Bereich ist in der Grafik durch das Rechteck markiert.}}
+*Ist – wie beispielsweise im oberen Bild zu sehen – der AKF-Wert&nbsp; $φ_x({\rm 26})$&nbsp; fälschlicherweise positiv und groß, so ergeben sich auch die benachbarten AKF-Werte&nbsp; $φ_x({\rm 25})$&nbsp; und&nbsp; $φ_x({\rm 27})$&nbsp; als positiv und mit ähnlichen Zahlenwerten.&nbsp; Dieser Bereich ist in der oberen Grafik durch das Rechteck markiert.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 209: / Zeile 209: @@
 ==Numerische AKF-Ermittlung==
 <br>
-Bisher haben wir stets zeitkontinuierliche Signale $x(t)$ betrachtet, die für die Darstellung und Simulation mittels Digitalrechner ungeeignet sind. Hierzu ist vielmehr eine zeitdiskrete Signaldarstellung $〈x_ν〉$ erforderlich, wie im Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]] unseres ersten Buches dargelegt.
+Bisher haben wir stets zeitkontinuierliche Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; betrachtet, die für die Darstellung und Simulation mittels Digitalrechner ungeeignet sind.&nbsp; Hierzu ist vielmehr eine zeitdiskrete Signaldarstellung&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; erforderlich, wie im Kapitel&nbsp;  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp; unseres ersten Buches dargelegt.
 Hier eine kurze Zusammenfassung:
-*Das zeitdiskrete Signal $〈x_ν〉$ ist die Folge der Abtastwerte $x_ν = x(ν · T_{\rm A}).$ Das zeitkontinuierliche Signal $x(t)$ wird durch die Folge $〈x_ν〉$ vollständig beschrieben, wenn das Abtasttheorem erfüllt ist:
+*Das zeitdiskrete Signal&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; ist die Folge der Abtastwerte&nbsp; $x_ν = x(ν · T_{\rm A}).$&nbsp; Das zeitkontinuierliche Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; wird durch die Folge&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; vollständig beschrieben, wenn das Abtasttheorem erfüllt ist:
 :$$T_{\rm A} \le \frac{1}{2 \cdot B_x}.$$
-*$B_x$ bezeichnet die absolute (einseitige) Bandbreite des Analogsignals $x(t)$. Diese sagt aus, dass die Spektralfunktion $X(f)$ für alle Frequenzen $| f | > B_x$ gleich Null ist.
+*$B_x$&nbsp; bezeichnet die absolute (einseitige) Bandbreite des Analogsignals&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Diese sagt aus, dass die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; für alle Frequenzen&nbsp; $| f | > B_x$&nbsp;  Null ist.
@@ Zeile 223: / Zeile 223: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;
-Das Bild zeigt einen Ausschnitt eines Audiosignals der Dauer 10 Millisekunden.
+Das Bild zeigt einen Ausschnitt eines Audiosignals der Dauer&nbsp; $10$&nbsp; Millisekunden.
-Obwohl das gesamte Signal ein breites Spektrum mit der Mittenfrequenz bei etwa $500 \hspace{0.05cm} \rm Hz$ besitzt, ist während des betrachteten Zeitintervalls ein (nahezu) periodisches Signal mit etwa der Periodendauer $T_0 = 4.3 \hspace{0.05cm} \rm ms$ zu erkennen. Daraus ergibt sich die Grundfrequenz zu  $f_0 \approx 230 \hspace{0.05cm} \rm Hz$.
+Obwohl das gesamte Signal ein breites Spektrum mit der Mittenfrequenz bei etwa&nbsp; $500 \hspace{0.05cm} \rm Hz$&nbsp; besitzt, ist im betrachteten (kurzen) Zeitintervall ein (nahezu) periodisches Signal mit etwa der Periodendauer&nbsp; $T_0 = 4.3 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; zu erkennen.&nbsp; Daraus ergibt sich die Grundfrequenz zu&nbsp;
-Blau eingezeichnet sind die Abtastwerte im Abstand $T_{\rm A} = 0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$.
+Blau eingezeichnet sind die Abtastwerte im Abstand&nbsp; $T_{\rm A} = 0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$.
-*Diese Folge $〈x_ν〉$ von Abtastwerten würde allerdings nur dann die gesamte Information über das Analogsignal $x(t)$ beinhalten, wenn dieses auf den Frequenzbereich bis $1 \hspace{0.05cm} \rm kHz$ begrenzt wäre.
+*Diese Folge&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; von Abtastwerten würde allerdings nur dann die gesamte Information über das Analogsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; beinhalten, wenn dieses auf den Frequenzbereich bis&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm kHz$&nbsp; begrenzt wäre.
-*Sind im Signal $x(t)$ höhere Frequenzanteile enthalten, so muss $T_{\rm A}$ entsprechend kleiner gewählt werden.}}
+*Sind im Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; höhere Frequenzanteile enthalten, so muss&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; entsprechend kleiner gewählt werden.}}
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-* Wenn die Signalwerte nur zu diskreten Zeitpunkten (bei Vielfachen von $T_{\rm A}$) vorliegen, kann man auch die Autokorrelationsfunktion nur zu ganzzahligen Vielfachen von $T_{\rm A}$ bestimmen.
+* Wenn die Signalwerte nur zu diskreten Zeitpunkten&nbsp; $($bei Vielfachen von&nbsp; $T_{\rm A})$&nbsp; vorliegen, kann man auch die Autokorrelationsfunktion nur zu ganzzahligen Vielfachen von&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; bestimmen.
-*Mit den zeitdiskreten Signalwerten &nbsp;$x_ν = x(ν · T_{\rm A})$&nbsp; und &nbsp;$x_{ν+k} = x((ν+k) · T_{\rm A})$&nbsp; sowie der zeitdiskreten AKF $φ_k = φ_x(k · T_{\rm A})$ lässt sich somit die AKF–Berechnung wie folgt dargestellen:
+*Mit den zeitdiskreten Signalwerten &nbsp;$x_ν = x(ν · T_{\rm A})$&nbsp; und &nbsp;$x_{ν+k} = x((ν+k) · T_{\rm A})$&nbsp; sowie der zeitdiskreten AKF&nbsp; $φ_k = φ_x(k · T_{\rm A})$&nbsp; lässt sich somit die AKF–Berechnung wie folgt dargestellen:
 :$$\varphi_k = \overline {x_\nu \cdot x_{\nu + k} }.$$
-Die überstreichende Linie kennzeichnet  die Zeitmittelung.}}
+Die überstreichende Linie kennzeichnet wieder  die Zeitmittelung.}}
-Wir stellen uns nun die Aufgabe, die AKF-Stützstellen $φ_0, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , φ_l$ aus $N$ Abtastwerten $(x_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_N)$ zu ermitteln, wobei der Parameter $l \ll N$ vorausgesetzt wird. Beispielsweise gelte $l = 100$ und $N = 100000$.
+Wir stellen uns nun die Aufgabe, die AKF-Stützstellen&nbsp; $φ_0, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , φ_l$ aus&nbsp; $N$&nbsp; Abtastwerten&nbsp; $(x_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_N)$&nbsp; zu ermitteln, wobei der Parameter&nbsp; $l \ll N$&nbsp; vorausgesetzt wird.&nbsp; Beispielsweise gelte&nbsp; $l = 100$&nbsp; und&nbsp; $N = 100000$.
-Die AKF-Berechnungsvorschrift lautet nun (mit $0 ≤ k ≤ l$):
+Die AKF-Berechnungsvorschrift lautet nun&nbsp; $($mit&nbsp; $0 ≤ k ≤ l)$:
-:$$\varphi_k = \frac{1}{N- k} \cdot \sum_{\nu = 1}^{N - \lambda} x_{\nu} \cdot x_{\nu + k}.$$
+:$$\varphi_k = \frac{1}{N- k} \cdot \sum_{\nu = 1}^{N - k} x_{\nu} \cdot x_{\nu + k}.$$
-Bringen wir $N - k$ auf die linke Seite, so erhalten wir daraus $l + 1$ Gleichungen, nämlich:
+Bringen wir den Faktor&nbsp; $(N - k)$&nbsp; auf die linke Seite, so erhalten wir daraus&nbsp; $l + 1$&nbsp; Gleichungen, nämlich:
 :$$k = 0\text{:} \hspace{0.4cm}N \cdot \varphi_0 \hspace{1.03cm}=\hspace{0.1cm} x_{\rm 1} \cdot x_{\rm 1} \hspace{0.35cm}+ x_{\rm 2} \cdot x_{\rm 2} \hspace{0.3cm}+\text{ ...} \hspace{0.25cm}+x_{\nu} \cdot x_{\nu}\hspace{0.35cm}+\text{ ...} \hspace{0.05cm}+x_{N} \cdot x_{N},$$
 :$$k= 1\text{:}  \hspace{0.3cm}(N-1) \cdot \varphi_1 \hspace{0.08cm}=\hspace{0.1cm} x_{\rm 1} \cdot x_{\rm 2} \hspace{0.4cm}+ x_{\rm 2} \cdot x_{\rm 3} \hspace{0.3cm}+ \text{ ...} \hspace{0.18cm}+x_{\nu} \cdot x_{\nu + 1}\hspace{0.01cm}+\text{ ...}\hspace{0.08cm}+x_{N-1} \cdot x_{N},$$
@@ Zeile 256: / Zeile 257: @@
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
 Nach diesem Schema ergibt sich der folgende Algorithmus:
-*Man definiert das Feld $\rm AKF\big[\hspace{0.05cm}0 : {\it l}\hspace{0.1cm}\big]$ vom Typ ''float'' und belegt alle Elemente mit Nullen vor.
+*Man definiert das Feld&nbsp; $\rm AKF\big[\hspace{0.05cm}0 : {\it l}\hspace{0.1cm}\big]$&nbsp; vom Typ&nbsp; &bdquo;float&rdquo;&nbsp; und belegt alle Elemente mit Nullen vor.
-*Bei jedem Schleifendurchlauf (indiziert mit der Variablen $k$) werden die $l + 1$ Feldelemente $\rm AKF\big[\hspace{0.03cm}k\hspace{0.03cm}\big]$ jeweils um den Betrag &nbsp;$x_ν · x_{ν+k}$&nbsp; erhöht.
+*Bei jedem Schleifendurchlauf&nbsp; $($indiziert mit der Variablen&nbsp; $k)$&nbsp; werden die&nbsp; $l + 1$&nbsp; Feldelemente&nbsp; ${\rm AKF}\big[\hspace{0.03cm}k\hspace{0.03cm}\big]$&nbsp; jeweils um den Beitrag &nbsp;$x_ν · x_{ν+k}$&nbsp; erhöht.
-*Alle $l+1$ Feldelemente werden allerdings nur dann bearbeitet, so lange die Laufvariable $k$ nicht größer als $N - l$ ist.
+*Alle&nbsp; $l+1$&nbsp; Feldelemente werden allerdings nur dann bearbeitet, so lange die Laufvariable&nbsp; $k$&nbsp; nicht größer als&nbsp; $N - l$&nbsp; ist.
-*Es ist stets zu berücksichtigen, dass $ν + k ≤ N$ gelten muss. Das bedeutet, dass die Mittelung in den unterschiedlichen Feldern $\rm AKF\big[\hspace{0.03cm}0\hspace{0.03cm}\big]$ ... $\rm AKF\big[\hspace{0.03cm}l\hspace{0.03cm}\big]$ über eine unterschiedliche Anzahl von Summanden erfolgt.
+*Es ist stets zu berücksichtigen, dass&nbsp; $ν + k ≤ N$&nbsp; gelten muss.&nbsp; Das bedeutet, dass die Mittelung in den unterschiedlichen Feldern&nbsp; $\rm AKF\big[\hspace{0.03cm}0\hspace{0.03cm}\big]$ ... ${\rm AKF}\big[\hspace{0.03cm}l\hspace{0.03cm}\big]$&nbsp; über eine unterschiedliche Anzahl von Summanden erfolgen muss.
-*Werden am Ende der Berechnung noch die in $\rm AKF\big[\hspace{0.03cm}k\hspace{0.03cm}\big]$ gespeicherten Werte durch die Anzahl der Summanden $(N - k)$ dividiert, so enthält dieses Feld die gesuchten diskreten AKF-Werte:
+*Werden am Ende der Berechnung noch die in&nbsp; ${\rm AKF}\big[\hspace{0.03cm}k\hspace{0.03cm}\big]$&nbsp; gespeicherten Werte durch die Anzahl der Summanden&nbsp; $(N - k)$&nbsp; dividiert, so enthält dieses Feld die gesuchten diskreten AKF-Werte:
 :$$\varphi_x(k \cdot T_A)= {\rm AKF} \big[\hspace{0.03cm}k\hspace{0.03cm}\big].$$
-''Anmerkung:'' &nbsp; Bei $l \ll N$ kann man den Algorithmus vereinfachen, indem die Anzahl der Summanden für alle $k$&ndash;Werte gleich gewählt werden:
+''Anmerkung:'' &nbsp; Bei&nbsp; $l \ll N$&nbsp; kann man den Algorithmus vereinfachen, indem die Anzahl der Summanden für alle&nbsp; $k$&ndash;Werte gleich gewählt werden:
 :$$\varphi_k = \frac{1}{N- l} \cdot \sum_{\nu = 1}^{N - l} x_{\nu} \cdot x_{\nu + k}.$$}}

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 ==Zufallsprozesse==
 <br>
-Ein wichtiger Begriff der stochastischen Signaltheorie ist der ''Zufallsprozess''. Nachfolgend sind einige Charakteristika eines solchen ''stochastischen Prozesses'' – diese Bezeichnungen werden sowohl in der Literatur als auch in unserem Tutorial synonym verwendet – zusammengestellt.
+Ein wichtiger Begriff der stochastischen Signaltheorie ist der&nbsp; ''Zufallsprozess''.&nbsp; Nachfolgend sind einige Charakteristika eines solchen ''stochastischen Prozesses'' – diese Bezeichnungen werden sowohl in der Literatur als auch in unserem Tutorial synonym verwendet – zusammengestellt.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definitionen:}$&nbsp; Unter einem '''Zufallsprozess'''  $\{x_i(t)\}$ verstehen wir ein ''mathematisches Modell''&nbsp; für ein Ensemble von (vielen) Zufallssignalen, die sich zwar im Detail durchaus voneinander unterscheiden können und auch werden, trotzdem aber gewisse gemeinsame Eigenschaften aufweisen.
+$\text{Definitionen:}$&nbsp; Unter einem&nbsp; '''Zufallsprozess'''&nbsp;  $\{x_i(t)\}$&nbsp; verstehen wir ein ''mathematisches Modell'' &nbsp; für ein Ensemble von (vielen) Zufallssignalen, die sich zwar im Detail durchaus voneinander unterscheiden können und auch werden, trotzdem aber gewisse gemeinsame Eigenschaften aufweisen.
-*Zur Beschreibung eines Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ gehen wir von der Vorstellung aus, dass beliebig viele, in ihren physikalischen und statistischen Eigenschaften völlig gleiche Zufallsgeneratoren vorhanden sind, von denen jeder ein Zufallssignal $x_i(t)$ liefert.
+*Zur Beschreibung eines Zufallsprozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; gehen wir von der Vorstellung aus, dass beliebig viele, in ihren physikalischen und statistischen Eigenschaften völlig gleiche Zufallsgeneratoren vorhanden sind, von denen jeder ein Zufallssignal&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; liefert.
-*Jeder Zufallsgenerator gibt trotz gleicher physikalischer Realisierung ein anderes Zeitsignal $x_i(t)$ ab, das für alle Zeiten von $–∞$ bis $+∞$ existiert. Man bezeichnet dieses spezifische Zufallssignal als das  '''$i$-te Mustersignal'''.
+*Jeder Zufallsgenerator gibt trotz gleicher physikalischer Realisierung ein anderes Zeitsignal&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; ab, das für alle Zeiten von&nbsp; $–∞$&nbsp; bis&nbsp; $+∞$&nbsp; existiert.&nbsp; Man bezeichnet dieses spezifische Zufallssignal als das&nbsp;  '''$i$-te Mustersignal'''.
 *Jeder Zufallsprozess beinhaltet mindestens eine stochastische Komponente – zum Beispiel die Amplitude, Frequenz oder Phase eines Nachrichtensignals – und kann daher von einem Beobachter nicht exakt vorausgesagt werden.
-*Der Zufallsprozess unterscheidet sich von den sonst in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. der Statistik üblichen Zufallsexperimenten dadurch, dass das Ergebnis kein ''Ereignis''&nbsp; ist, sondern ein ''Funktionsverlauf''&nbsp; (Zeitsignal).
+*Der Zufallsprozess unterscheidet sich von den sonst in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. der Statistik üblichen Zufallsexperimenten dadurch, dass das Ergebnis kein&nbsp; ''Ereignis''&nbsp; ist, sondern ein&nbsp; ''Funktionsverlauf''&nbsp; (Zeitsignal).
-*Betrachtet man den Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ zu einem festen Zeitpunkt, so gelangt man wieder zu dem einfacheren Modell aus dem Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]],  nach dem das Versuchsergebnis ein Ereignis ist, das einer Zufallsgröße zugeordnet werden kann.}}
+*Betrachtet man den Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; zu einem festen Zeitpunkt, so gelangt man wieder zu dem einfacheren Modell aus dem Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]],  nach dem das Versuchsergebnis ein Ereignis ist, das einer Zufallsgröße zugeordnet werden kann.}}
@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 [[Datei:Sto_T_4_4_S1.png|450px|right|frame| Zur Definition eines Zufallsprozesses]]
-*Der hier vorliegende Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ besteht aus einem Ensemble rechteckförmiger Musterfunktionen, die wie folgt beschrieben werden können:
+*Der hier vorliegende Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; besteht aus einem Ensemble rechteckförmiger Musterfunktionen, die wie folgt beschrieben werden können:
 :$$x_i(t)=\sum^{+\infty}_{\nu=-\infty} (a_\nu)_i\cdot g(t-\nu \cdot T ).$$
-*Der Grundimpuls $g(t)$ besitzt im Bereich von $–T/2$ bis $+T/2$ den Wert $2\hspace{0.03cm}\rm V$; außerhalb ist er $0$. Ein Impuls ist gemäß der Definition im Kapitel [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]] im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; ein sowohl ''deterministisches''&nbsp; als auch ''energiebegrenztes''&nbsp;  Signal.
+*Der Grundimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; besitzt im Bereich von&nbsp; $–T/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T/2$&nbsp; den Wert&nbsp; $2\hspace{0.03cm}\rm V$; außerhalb ist er Null und exakt  bei&nbsp; $\pm T/2$&nbsp; nur halb so groß&nbsp; $(1\hspace{0.03cm}\rm V)$.&nbsp;
-*Die Statistik des hier betrachteten Zufallsprozesses ist allein auf die dimensionslosen Amplitudenkoeffizienten $(a_ν)_i ∈ \{0, 1\}$ zurückzuführen, die bei der $i$-ten Musterfunktion mit dem Zeitindex $ν$&nbsp; versehen sind.
+*Erinnern wir uns:&nbsp; Ein Impuls ist gemäß der Definition im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]]&nbsp; im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; ein sowohl ''deterministisches''&nbsp; als auch ''energiebegrenztes''&nbsp;  Signal.
-*Trotz der im Detail unterschiedlichen Signalverläufe weisen die skizzierten Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$ und auch alle weiteren Mustersignale $x_4(t)$, $x_5(t)$, $x_6(t)$,  ... gewisse Gemeinsamkeiten auf, die nachfolgend herausgearbeitet werden sollen. }}
+*Die Statistik des betrachteten Zufallsprozesses ist allein auf die dimensionslosen Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $(a_ν)_i ∈ \{0, 1\}$&nbsp; zurückzuführen, die bei der&nbsp; $i$-ten Musterfunktion mit dem Zeitindex&nbsp; $ν$&nbsp;&nbsp; versehen sind.
 ==Stationäre Zufallsprozesse==
 <br>
-Definiert man den Momentanwert aller Musterfunktionen $x_i(t)$ zu einem festen Zeitpunkt $t = t_1$ als eine neue Zufallsgröße $x_1 = \{ x_i(t_1)\}$, so lassen sich deren statistische Eigenschaften nach den Aussagen
+Definiert man den Momentanwert aller Musterfunktionen&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; zu einem festen Zeitpunkt&nbsp; $t = t_1$&nbsp; als eine neue Zufallsgröße&nbsp; $x_1 = \{ x_i(t_1)\}$, so lassen sich deren statistische Eigenschaften nach den Aussagen
 [[Datei:Sto_T_4_4_S2.png|450px |right|frame| Zur Definition stationärer Zufallsprozesse]]
 *des zweiten Kapitels &bdquo;Diskrete Zufallsgrößen&rdquo;  und
@@ Zeile 40: / Zeile 41: @@
 in diesem Buch beschreiben.
-In gleicher Weise erhalten wir für den Betrachtungszeitpunkt $t = t_2$ die Zufallsgröße $x_2 = \{ x_i(t_2)\}$.
+In gleicher Weise erhalten wir für den Betrachtungszeitpunkt&nbsp; $t = t_2$&nbsp; die Zufallsgröße&nbsp; $x_2 = \{ x_i(t_2)\}$.
-<br><br><br><br>
-''Hinweis zur Nomenklatur:'' Beachten Sie bitte, dass
+''Hinweis zur Nomenklatur:''&nbsp; Beachten Sie bitte, dass
-*$x_1(t)$ und $x_2(t)$ Musterfunktionen des Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$ sind,
+*$x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; Musterfunktionen des Zufallsprozesses&nbsp;  $\{x_i(t)\}$&nbsp; sind,
-*während die Zufallsgrößen $x_1$ und $x_2$ den Prozess zu den Zeiten $t_1$ und $t_2$ charakterisieren.
+*während die Zufallsgrößen&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2$&nbsp; den gesamten Prozess zu den Zeiten&nbsp; $t_1$&nbsp; und&nbsp; $t_2$&nbsp; charakterisieren.
 <br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-*Bei einem '''stationären Zufallsprozess''' $\{x_i(t)\}$ sind alle statistischen Kenngrößen (Mittelwert, Streuung, Momente höherer Ordnung, Auftrittswahrscheinlichkeiten, etc.) der Zufallsgrößen $x_1 = \{ x_i(t_1)\}$ und $x_2 = \{ x_i(t_2)\}$ gleich.
+*Bei einem&nbsp; '''stationären Zufallsprozess'''&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; sind alle statistischen Kenngrößen&nbsp; $($Mittelwert, Streuung, Momente höherer Ordnung, Auftrittswahrscheinlichkeiten, etc.$)$&nbsp; der Zufallsgrößen&nbsp; $x_1 = \{ x_i(t_1)\}$&nbsp; und&nbsp; $x_2 = \{ x_i(t_2)\}$&nbsp; gleich.
 *Auch zu anderen Zeitpunkten ergeben sich genau gleiche Werte.
-Die Umkehrung lautet: &nbsp; Man bezeichnet einen Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ als ''nichtstationär,'' wenn er zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedliche statistische Eigenschaften aufweist. }}
+Die Umkehrung lautet: &nbsp; Man bezeichnet einen Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; als&nbsp; ''nichtstationär''&nbsp;, wenn er zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedliche statistische Eigenschaften aufweist. }}
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Eine große Anzahl von Mess-Stationen am Äquator ermitteln täglich um 12 Uhr Ortszeit die Temperatur. Mittelt man über all diese Messwerte, so kann man den Einfluss lokaler Indikatoren (z. B. Golfstrom) eliminieren. Trägt man die Mittelwerte (Scharmittelung) über der Zeit auf, so wird sich nahezu eine Konstante ergeben, und man kann von einem ''stationären Prozess'' sprechen.
+Eine große Anzahl von Mess-Stationen am Äquator ermitteln täglich um 12 Uhr Ortszeit die Temperatur.&nbsp; Mittelt man über all diese Messwerte, so kann man den Einfluss lokaler Indikatoren (z. B. Golfstrom) eliminieren.&nbsp; Trägt man die Mittelwerte (Scharmittelung) über der Zeit auf, so wird sich nahezu eine Konstante ergeben, und man kann von einem ''stationären Prozess''&nbsp; sprechen.
-Eine vergleichbare Messreihe am 50. Breitengrad würde aufgrund der jahreszeitlichen Schwankungen auf einen ''nichtstationären Prozess'' hinweisen mit deutlichen Unterschieden hinsichtlich Mittelwert und Varianz der Mittagstemperatur zwischen Januar und Juli.
+Eine vergleichbare Messreihe am 50. Breitengrad würde aufgrund der jahreszeitlichen Schwankungen auf einen ''nichtstationären Prozess''&nbsp; hinweisen mit deutlichen Unterschieden hinsichtlich Mittelwert und Varianz der Mittagstemperatur zwischen Januar und Juli.
 }}

@@ Zeile 172: / Zeile 172: @@
 Hier werden wichtige Eigenschaften der Autokorrelationsfunktion (AKF) zusammengestellt, wobei wir von der ergodischen AKF&ndash;Form $φ_x(τ)$ ausgehen:
 *Ist der betrachtete Zufallsprozess reell, so gilt dies auch für seine Autokorrelationsfunktion.
-*Die AKF besitzt die Einheit einer Leistung, beispielsweise Watt $\rm (W)$. Häufig bezieht man diese auf den Einheitswiderstand $1\hspace{0.03cm} Ω$; in diesem Fall hat $φ_x(τ)$ die Einheit $\rm V^2$ bzw. $\rm A^2$.
+*Die AKF besitzt die Einheit einer Leistung, zum Beispiel &bdquo;Watt&rdquo; $\rm (W)$. Häufig bezieht man diese auf den Widerstand $1\hspace{0.03cm} Ω$; in diesem Fall hat $φ_x(τ)$ die Einheit $\rm V^2$ bzw. $\rm A^2$.
 *Die AKF ist immer eine gerade Funktion  &nbsp; ⇒ &nbsp;  $φ_x(–τ) = φ_x(τ)$. &nbsp; Alle Phasenbeziehungen des Zufallsprozesses gehen in der AKF verloren.
 *Die AKF an der Stelle $τ =$ 0 gibt den quadratischen Mittelwert $m_2$ (Moment zweiter Ordnung) und damit die gesamte Signalleistung (Gleich– und Wechselanteil) an:

@@ Zeile 231: / Zeile 231: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp;  Da nun die Signalwerte nur zu diskreten Zeitpunkten (bei Vielfachen von $T_{\rm A}$) vorliegen, kann man auch die Autokorrelationsfunktion nur zu ganzzahligen Vielfachen von $T_{\rm A}$ bestimmen. Mit den zeitdiskreten Signalwerten $x_ν = x(ν · T_{\rm A})$ und $x_{ν+k} = x((ν+k) · T_{\rm A})$ sowie der zeitdiskreten AKF $φ_k = φ_x(k · T_{\rm A})$ lässt sich somit die AKF–Berechnung wie folgt dargestellen:
+$\text{Fazit:}$&nbsp;
 :$$\varphi_k = \overline {x_\nu \cdot x_{\nu + k} }.$$
-Die überstreichende Linie kennzeichnet hierbei wieder die Zeitmittelung.}}
+Die überstreichende Linie kennzeichnet  die Zeitmittelung.}}
-Wir stellen uns nun die Aufgabe, die AKF-Stützstellen $φ_0, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , φ_l$ aus $N$ Abtastwerten $(x_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_N)$ zu ermitteln, wobei der Parameter $l$ sehr viel kleiner als $N$ vorausgesetzt wird. Beispielsweise gelte $l = 100$ und $N = 100000$.
 Die AKF-Berechnungsvorschrift lautet nun (mit $0 ≤ k ≤ l$):
 :$$\varphi_k = \frac{1}{N- k} \cdot \sum_{\nu = 1}^{N - \lambda} x_{\nu} \cdot x_{\nu + k}.$$
-Bringen wir $N – k$ auf die linke Seite, so erhalten wir daraus $l + 1$ Gleichungen, nämlich:
+Bringen wir $N - k$ auf die linke Seite, so erhalten wir daraus $l + 1$ Gleichungen, nämlich:
 :$$k = 0\text{:} \hspace{0.4cm}N \cdot \varphi_0 \hspace{1.03cm}=\hspace{0.1cm} x_{\rm 1} \cdot x_{\rm 1} \hspace{0.35cm}+ x_{\rm 2} \cdot x_{\rm 2} \hspace{0.3cm}+\text{ ...} \hspace{0.25cm}+x_{\nu} \cdot x_{\nu}\hspace{0.35cm}+\text{ ...} \hspace{0.05cm}+x_{N} \cdot x_{N},$$
 :$$k= 1\text{:}  \hspace{0.3cm}(N-1) \cdot \varphi_1 \hspace{0.08cm}=\hspace{0.1cm} x_{\rm 1} \cdot x_{\rm 2} \hspace{0.4cm}+ x_{\rm 2} \cdot x_{\rm 3} \hspace{0.3cm}+ \text{ ...} \hspace{0.18cm}+x_{\nu} \cdot x_{\nu + 1}\hspace{0.01cm}+\text{ ...}\hspace{0.08cm}+x_{N-1} \cdot x_{N},$$
@@ Zeile 250: / Zeile 253: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-Hieraus ergibt sich der folgende Algorithmus:
+Nach diesem Schema ergibt sich der folgende Algorithmus:
-*Man definiert das Feld $\rm AKF[0 : {\it l}]$ vom Typ ''float'' und belegt alle Elemente mit Nullen vor.
+*Man definiert das Feld $\rm AKF\big[\hspace{0.05cm}0 : {\it l}\hspace{0.1cm}\big]$ vom Typ ''float'' und belegt alle Elemente mit Nullen vor.
-*Bei jedem Schleifendurchlauf (indiziert mit der Variablen $k$) werden die $l + 1$ Feldelemente ${\rm AKF}[k]$ jeweils um den Betrag $x_ν · x_{ν+k}$ erhöht.
+*Bei jedem Schleifendurchlauf (indiziert mit der Variablen $k$) werden die $l + 1$ Feldelemente $\rm AKF\big[\hspace{0.03cm}k\hspace{0.03cm}\big]$ jeweils um den Betrag &nbsp;$x_ν · x_{ν+k}$&nbsp; erhöht.
-*Alle $l+1$ Feldelemente werden allerdings nur dann bearbeitet, so lange die Laufvariable $k$ nicht größer als $N - l$ ist. Es ist stets zu berücksichtigen, dass $ν + k ≤ N$ gelten muss. Das bedeutet, dass die Mittelung in den unterschiedlichen Feldern $\rm AKF[0]$ ... ${\rm AKF}[l]$ über eine unterschiedliche Anzahl von Summanden erfolgt.
+*Alle $l+1$ Feldelemente werden allerdings nur dann bearbeitet, so lange die Laufvariable $k$ nicht größer als $N - l$ ist.
-*Werden am Ende der Berechnung noch die in ${\rm AKF}[k]$ gespeicherten Werte durch die Anzahl der Summanden $(N - k)$ dividiert, so enthält dieses Feld die gesuchten diskreten AKF-Werte:
+*Es ist stets zu berücksichtigen, dass $ν + k ≤ N$ gelten muss. Das bedeutet, dass die Mittelung in den unterschiedlichen Feldern $\rm AKF\big[\hspace{0.03cm}0\hspace{0.03cm}\big]$ ... $\rm AKF\big[\hspace{0.03cm}l\hspace{0.03cm}\big]$ über eine unterschiedliche Anzahl von Summanden erfolgt.
-:$$\varphi_x(k \cdot T_A)= {\rm AKF} \left[k \right].$$
+*Werden am Ende der Berechnung noch die in $\rm AKF\big[\hspace{0.03cm}k\hspace{0.03cm}\big]$ gespeicherten Werte durch die Anzahl der Summanden $(N - k)$ dividiert, so enthält dieses Feld die gesuchten diskreten AKF-Werte:
-''Anmerkung:'' Bei $l \ll N$ kann man den Algorithmus vereinfachen, indem die Anzahl der Summanden für alle $k$-Werte gleich gewählt werden:
+''Anmerkung:'' &nbsp; Bei $l \ll N$ kann man den Algorithmus vereinfachen, indem die Anzahl der Summanden für alle $k$&ndash;Werte gleich gewählt werden:
 :$$\varphi_k = \frac{1}{N- l} \cdot \sum_{\nu = 1}^{N - l} x_{\nu} \cdot x_{\nu + k}.$$}}
 ==Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung==
 <br>
-Der entscheidende Parameter für die Qualität der numerischen AKF-Berechnung ist die Anzahl $N$ der berücksichtigten Abtastwerte. Im oberen Bild sehen Sie das Ergebnis der numerischen AKF-Berechnung für $N = 1000$ und darunten für $N = 10000$ Zufallsgrößen.
+{{GraueBox|TEXT=
 [[Datei:P_ID639__Sto_T_4_4_S9a_Ganz_neu.png |right|frame| AKF bei statistisch unabhängigen Abtastwerten]]
-Die betrachteten Zufallsgrößen sind hier voneinander statistisch unabhängig. Somit sollten eigentlich alle AKF-Werte mit Ausnahme des Wertes bei $k = 0$ identisch Null sein.
-*Bei $N = 10000$ (untere Grafik) beträgt der maximale Fehler nur etwa $1\%$ und ist bei dieser Darstellung fast nicht mehr sichtbar.
+*Dagegen wächst der Fehler bei $N = 1000$ (obere Grafik) bis auf $±6\%$ an. }}
 <br clear = all>
 [[Datei:P_ID640__Sto_T_4_4_S9b_Ganz_neu.png|right|frame| AKF bei korrelierten Abtastwerten]]
-Betrachten wir beispielsweise eine dreieckförmige AKF mit $φ_x(k) ≠ 0$  für $|k| ≤ 10$, so erkennt man deutlich größere Abweichungen, nämlich Fehler
+{{GraueBox|TEXT=
-* bis zu etwa $±15\%$ bei $N = 1000$,
+$\text{Beispiel 6:}$&nbsp;
-* bis zu etwa &nbsp; $±5\%$ bei $N = 10000$.
+Die Ergebnisse ändern sich, wenn eine Zufallsgröße mit inneren statistischen Bindungen vorliegt.
 <br clear = all>
-{{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp;
+Betrachten wir beispielsweise eine dreieckförmige AKF mit $φ_x(k) ≠ 0$  für $\vert k \vert ≤ 10$, so erkennt man deutlich größere Abweichungen, nämlich
-Begründung des schlechteren Ergebnisses:
+* Fehler bis zu etwa $±15\%$ bei $N = 1000$,
 *Aufgrund der inneren statistischen Bindungen liefern nun nicht mehr alle Abtastwerte die volle Information über den zugrundeliegenden Zufallsprozess.
-*Außerdem lassen die Bilder erkennen, dass bei der numerischen AKF-Berechnung einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen auch die Fehler korreliert sind.
+*Außerdem lassen die Bilder erkennen, dass bei der numerischen AKF–Berechnung einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen auch die Fehler korreliert sind.
 *Ist – wie beispielsweise im oberen Bild zu sehen – der AKF-Wert $φ_x({\rm 26})$ fälschlicherweise positiv und groß, so ergeben sich auch die benachbarten AKF-Werte $φ_x({\rm 25})$ und $φ_x({\rm 27})$ als positiv und mit ähnlichen Zahlenwerten. Dieser Bereich ist in der Grafik durch das Rechteck markiert.}}