Signaldarstellung/Zum Rechnen mit komplexen Zahlen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:38Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Signal_Representation/Calculating_with_Complex_Numbers]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:06Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 105:		Zeile 105:
	*Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion lautet:		*Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion lautet:

	:$${\rm e}^{x} = 1 + \frac{x}{1!}+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}		:$${\rm e}^{x} = 1 + \frac{x}{1!}+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} +\text{ ...} \hspace{0.15cm}.$$
	+ \frac{x^4}{4!} +\text{ ...} \hspace{0.15cm}.$$

	*Mit imaginärem Argument kann hierfür auch geschrieben werden:		*Mit imaginärem Argument kann hierfür auch geschrieben werden:

	:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = 1 + {\rm j} \cdot \frac{x}{1!}+ {\rm j}^2 \cdot \frac{x^2}{2!}+ {\rm j}^3 \cdot \frac{x^3}{3!}		:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = 1 + {\rm j} \cdot \frac{x}{1!}+ {\rm j}^2 \cdot \frac{x^2}{2!}+ {\rm j}^3 \cdot \frac{x^3}{3!}+ {\rm j}^4 \cdot \frac{x^4}{4!} + \text{ ...} \hspace{0.15cm}.$$
	+ {\rm j}^4 \cdot \frac{x^4}{4!} + \text{ ...} \hspace{0.15cm}.$$

	*Berücksichtigt man  <math>{\rm j}^{2}=-1, \ \ {\rm j}^{3} = -{\rm j},\ \ {\rm j}^{4} = 1, \ \ {\rm j}^{5} = {\rm j}, \text{ ...} \hspace{0.15cm}</math>  und fasst die reellen und die imaginären Terme zusammen, so erhält man		*Berücksichtigt man  <math>{\rm j}^{2}=-1, \ \ {\rm j}^{3} = -{\rm j},\ \ {\rm j}^{4} = 1, \ \ {\rm j}^{5} = {\rm j}, \text{ ...} \hspace{0.15cm}</math>  und fasst die reellen und die imaginären Terme zusammen, so erhält man
Zeile 118:		Zeile 116:

	* Für die beiden Reihen gilt dabei:		* Für die beiden Reihen gilt dabei:
	:$$A(x) = 1 - \frac{x^2}{2!}		:$$A(x) = 1 - \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}+\text{ ...} \hspace{0.1cm}=\cos(x),\hspace{0.5cm}B(x) = \frac{x}{1!}- \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\text{ ...}=\sin(x).$$
	+ \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}+
	\text{ ...} \hspace{0.1cm}=
	\cos(x),\hspace{0.5cm}
	B(x) = \frac{x}{1!}- \frac{x^3}{3!}
	+ \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+
	\text{ ...}=
	\sin(x).$$

	*Daraus folgt direkt der  $\text{Satz von Euler}$:		*Daraus folgt direkt der  $\text{Satz von Euler}$:

	:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = \cos (x) + {\rm j} \cdot \sin (x) \hspace{2cm}		:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = \cos (x) + {\rm j} \cdot \sin (x) \hspace{2cm} \rm q.e.d.$$}}
	\rm q.e.d.$$}}


Zeile 137:		Zeile 127:
	Die Rechengesetze für zwei komplexe Zahlen		Die Rechengesetze für zwei komplexe Zahlen

	:$$z_1 = x_1 + {\rm j} \cdot y_1 = \|z_1\| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace {0.05cm}\cdot		:$$z_1 = x_1 + {\rm j} \cdot y_1 = \|z_1\| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace {0.05cm}\cdot\hspace {0.05cm} \phi_1}, \hspace{0.5cm}z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = \|z_2\| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace {0.05cm}\cdot\hspace {0.05cm} \phi_2}$$
	\hspace {0.05cm} \phi_1}, \hspace{0.5cm}
	z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = \|z_2\| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace {0.05cm}\cdot
	\hspace {0.05cm} \phi_2}$$

	sind derart definiert, dass sich für den Sonderfall eines verschwindenden Imaginärteils die Rechenregeln der reellen Zahlen ergeben. Man spricht vom so genannten  &bdquo;Permanenzprinzip”.		sind derart definiert, dass sich für den Sonderfall eines verschwindenden Imaginärteils die Rechenregeln der reellen Zahlen ergeben. Man spricht vom so genannten  &bdquo;Permanenzprinzip”.

Guenter am 9. April 2021 um 14:22 Uhr

2021-04-09T14:22:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. April 2021, 16:22 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:


	''Anmerkung'':   ~~In der Literatur~~ werden komplexe Größen ~~oft~~ durch Unterstreichung gekennzeichnet. Hierauf ~~wird in den~~  $\rm LNTwww$~~–Büchern verzichtet~~.		''Anmerkung'':   Manchmal werden komplexe Größen durch Unterstreichung gekennzeichnet. Hierauf verzichten wir bei  $\rm LNTwww$.

Guenter am 9. April 2021 um 14:19 Uhr

2021-04-09T14:19:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. April 2021, 16:19 Uhr
Zeile 142:		Zeile 142:
	\hspace {0.05cm} \phi_2}$$		\hspace {0.05cm} \phi_2}$$

	sind derart definiert, dass sich für den Sonderfall eines verschwindenden Imaginärteils die Rechenregeln der reellen Zahlen ergeben. Man spricht vom so genannten  ''Permanenzprinzip''.		sind derart definiert, dass sich für den Sonderfall eines verschwindenden Imaginärteils die Rechenregeln der reellen Zahlen ergeben. Man spricht vom so genannten  &bdquo;Permanenzprinzip”.

	Für die Grundrechenarten gelten folgende Regeln:		Für die Grundrechenarten gelten folgende Regeln:
	*Die Summe zweier komplexer Zahlen  (bzw. deren Differenz)  wird gebildet, indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert  (bzw. subtrahiert):		*Die Summe zweier komplexer Zahlen  $($bzw. deren Differenz$)$  wird gebildet, indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert  $($bzw. subtrahiert$)$:

	::<math>z_3 = z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 + y_2),</math>		::<math>z_3 = z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 + y_2),</math>
Zeile 151:		Zeile 151:
	::<math>z_4 = z_1 - z_2 = (x_1-x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 - y_2).</math>		::<math>z_4 = z_1 - z_2 = (x_1-x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 - y_2).</math>

	*Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann in der Realteil- und Imaginärteildarstellung durch Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung von  <math>{\rm j}^{2}=-1</math>  gebildet werden. Einfacher gestaltet sich die Multiplikation allerdings, wenn  <math>z_1</math>  und  <math>z_2</math>  mit Betrag und Phase geschrieben werden:		*Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann in der Realteil– und Imaginärteildarstellung durch Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung von  <math>{\rm j}^{2}=-1</math>  gebildet werden.  Einfacher gestaltet sich die Multiplikation allerdings, wenn  <math>z_1</math>  und  <math>z_2</math>  mit Betrag und Phase geschrieben werden:

	::<math>z_5 = z_1 \cdot z_2 = (x_1\cdot x_2 - y_1\cdot y_2) + {\rm j}\cdot (x_1\cdot y_2 + x_2\cdot y_1),</math>		::<math>z_5 = z_1 \cdot z_2 = (x_1\cdot x_2 - y_1\cdot y_2) + {\rm j}\cdot (x_1\cdot y_2 + x_2\cdot y_1),</math>
Zeile 163:		Zeile 163:
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \|z_5\| = \|z_1\| \cdot \|z_2\| , \hspace{0.3cm}\phi_5 = \phi_1 + \phi_2 .</math>		\Rightarrow \hspace{0.3cm} \|z_5\| = \|z_1\| \cdot \|z_2\| , \hspace{0.3cm}\phi_5 = \phi_1 + \phi_2 .</math>

	*Die Division ist in der Exponentialschreibweise ebenfalls überschaubarer. Die beiden Beträge werden dividiert und die Phasen im Exponenten subtrahiert:		*Die Division ist in der Exponentialschreibweise ebenfalls überschaubarer.  Die beiden Beträge werden dividiert und die Phasen im Exponenten subtrahiert:

	::<math>z_6 = \frac{z_1}{z_2} = \|z_6\| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace {0.05cm}\cdot		::<math>z_6 = \frac{z_1}{z_2} = \|z_6\| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace {0.05cm}\cdot
Zeile 175:		Zeile 175:
	In der Grafik sind als Punkte innerhalb der komplexen Ebene dargestellt:		In der Grafik sind als Punkte innerhalb der komplexen Ebene dargestellt:

	*die komplexe Zahl  <math>z=0.75 + {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}53.1^{\circ} }</math>,		#die komplexe Zahl  <math>z=0.75 + {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}53.1^{\circ} }</math>,
			#deren Konjugiert-Komplexe  <math>z^{\ast} = 0.75 - {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}53.1^{\circ} }</math>,
			#die Summe  <math>s=z+z^{\ast}=1.5</math>  (rein reell),
			#die Differenz  <math>d=z-z^{\ast}=2 \cdot {\rm j}</math>  (rein imaginär),
			#das Produkt  <math>p=z \cdot z^{\ast} = 1.25^{2} \approx 1.5625</math>  (rein reell),
			#der Quotient  <math>q= {z}/{z^{\ast} }={\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}106.2^{\circ} }</math>  mit Betrag  $1$  und doppeltem Phasenwinkel von  $z$.}}


	*deren Konjugiert-Komplexe  <math>z^{\ast} = 0.75 - {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}53.1^{\circ} }</math>,		Die Thematik dieses Kapitels wird im Lernvideo  [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)\|Rechnen mit komplexen Zahlen]]  ausführlich behandelt.


	*die Summe  <math>s=z+z^{\ast}=1.5</math>  (rein reell),


	*die Differenz  <math>d=z-z^{\ast}=2 \cdot {\rm j}</math>  (rein imaginär),


	*das Produkt  <math>p=z \cdot z^{\ast} = 1.25^{2} \approx 1.5625</math>  (ebenfalls rein reell),


	*der Quotient  <math>q= {z}/{z^{\ast} }={\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}106.2^{\circ} }</math>  mit Betrag  $1$  und dem doppelten Phasenwinkel von  $z$.}}


	Die Thematik dieses Kapitels wird ~~ausführlich~~ im Lernvideo  [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)\|Rechnen mit komplexen Zahlen]]  behandelt.

Guenter am 9. April 2021 um 13:32 Uhr

2021-04-09T13:32:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. April 2021, 15:32 Uhr
Zeile 82:		Zeile 82:
	==Darstellung nach Betrag und Phase==		==Darstellung nach Betrag und Phase==
	<br>		<br>
	Eine komplexe Zahl  $z$  kann außer durch ~~den~~ Realteil  $x$  und ~~den~~ Imaginärteil  $y$  auch durch ihren Betrag  $\|z\|$  und die Phase  $\phi$  beschrieben werden.		Eine komplexe Zahl  $z$  kann außer durch Realteil  $x$  und Imaginärteil  $y$  auch durch ihren Betrag  $\|z\|$  und die Phase  $\phi$  beschrieben werden.

	[[Datei:P_ID1246__Sig_T_1_3_S3_neu.png\|right\|frame\|Konjugiert-Komplexe einer Zahl]]		[[Datei:P_ID1246__Sig_T_1_3_S3_neu.png\|right\|frame\|Konjugiert-Komplexe einer Zahl]]
Zeile 95:		Zeile 95:
	:$$z = \|z\| \cdot \cos (\phi) + {\rm j} \cdot \|z\| \cdot \sin (\phi) = \|z\| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}.$$		:$$z = \|z\| \cdot \cos (\phi) + {\rm j} \cdot \|z\| \cdot \sin (\phi) = \|z\| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}.$$

	Hierbei wurde der  ~~'''~~Satz von Euler~~'''~~  verwendet, der unten bewiesen wird.  Dieser besagt, dass die komplexe Größe  $ {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}$  den Realteil  $\cos(\phi)$  und den Imaginärteil  $\sin(\phi)$  aufweist.		Hierbei wurde der  $\text{Satz von Euler}$  verwendet, der unten bewiesen wird.  Dieser besagt, dass die komplexe Größe  $ {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}$  den Realteil  $\cos(\phi)$  und den Imaginärteil  $\sin(\phi)$  aufweist.

	Weiter erkennt man aus der Grafik, dass für die  ~~'''~~Konjugiert-Komplexe~~'''~~  von  $z = x + {\rm j}\cdot y$  gilt:		Weiter erkennt man aus der Grafik, dass für die  &bdquo;Konjugiert-Komplexe”  von  $z = x + {\rm j}\cdot y$  gilt:

	:$$z^{\star} = x - {\rm j} \cdot y = \|z\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi}.$$		:$$z^{\star} = x - {\rm j} \cdot y = \|z\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi}.$$
Zeile 127:		Zeile 127:
	\sin(x).$$		\sin(x).$$

	*Daraus folgt direkt der  ~~'''~~Satz von Euler~~'''~~:		*Daraus folgt direkt der  $\text{Satz von Euler}$:

	:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = \cos (x) + {\rm j} \cdot \sin (x) \hspace{2cm}		:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = \cos (x) + {\rm j} \cdot \sin (x) \hspace{2cm}

Guenter am 9. April 2021 um 13:25 Uhr

2021-04-09T13:25:40Z

Guenter am 22. August 2019 um 15:18 Uhr

2019-08-22T15:18:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2019, 17:18 Uhr
Zeile 141:		Zeile 141:
	\hspace {0.05cm} \phi_2}$$		\hspace {0.05cm} \phi_2}$$

	sind derart definiert, dass sich für den Sonderfall eines verschwindenden Imaginärteils die Rechenregeln der reellen Zahlen ergeben. Man spricht vom so genannten ''Permanenzprinzip''.		sind derart definiert, dass sich für den Sonderfall eines verschwindenden Imaginärteils die Rechenregeln der reellen Zahlen ergeben. Man spricht vom so genannten  ''Permanenzprinzip''.

	Für die Grundrechenarten gelten folgende Regeln:		Für die Grundrechenarten gelten folgende Regeln:
	*Die Summe zweier komplexer Zahlen (bzw. deren Differenz) wird gebildet, indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert (bzw. subtrahiert):		*Die Summe zweier komplexer Zahlen  (bzw. deren Differenz)  wird gebildet, indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert  (bzw. subtrahiert):

	::<math>z_3 = z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 + y_2),</math>		::<math>z_3 = z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 + y_2),</math>
Zeile 150:		Zeile 150:
	::<math>z_4 = z_1 - z_2 = (x_1-x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 - y_2).</math>		::<math>z_4 = z_1 - z_2 = (x_1-x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 - y_2).</math>

	*Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann in der Realteil- und Imaginärteildarstellung durch Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung von <math>{\rm j}^{2}=-1</math> gebildet werden. Einfacher gestaltet sich die Multiplikation allerdings, wenn <math>z_1</math> und <math>z_2</math> mit Betrag und Phase geschrieben werden:		*Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann in der Realteil- und Imaginärteildarstellung durch Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung von  <math>{\rm j}^{2}=-1</math>  gebildet werden. Einfacher gestaltet sich die Multiplikation allerdings, wenn  <math>z_1</math>  und  <math>z_2</math>  mit Betrag und Phase geschrieben werden:

	::<math>z_5 = z_1 \cdot z_2 = (x_1\cdot x_2 - y_1\cdot y_2) + {\rm j}\cdot (x_1\cdot y_2 + x_2\cdot y_1),</math>		::<math>z_5 = z_1 \cdot z_2 = (x_1\cdot x_2 - y_1\cdot y_2) + {\rm j}\cdot (x_1\cdot y_2 + x_2\cdot y_1),</math>
Zeile 168:		Zeile 168:
	\hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \|z_6\| = \frac{\|z_1\|}{\|z_2\|}, \hspace{0.3cm}\phi_6 = \phi_1 - \phi_2 .</math>		\Rightarrow \hspace{0.3cm} \|z_6\| = \frac{\|z_1\|}{\|z_2\|}, \hspace{0.3cm}\phi_6 = \phi_1 - \phi_2 .</math>


	[[Datei:P_ID825_Sig_T_1_3_S4_neu.png\|right\|frame\|Summe, Differenz, Produkt & Quotient komplexer Zahlen]]		[[Datei:P_ID825_Sig_T_1_3_S4_neu.png\|right\|frame\|Summe, Differenz, Produkt & Quotient komplexer Zahlen]]
Zeile 174:		Zeile 173:
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	In der Grafik sind als Punkte innerhalb der komplexen Ebene dargestellt:		In der Grafik sind als Punkte innerhalb der komplexen Ebene dargestellt:
	*die komplexe Zahl <math>z=0.75 + {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.~~05cm~~}{\rm j}\hspace{0.~~05cm~~} \cdot \hspace{0.05cm}53.1^{\circ} }</math>,
			*die komplexe Zahl  <math>z=0.75 + {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}53.1^{\circ} }</math>,


	*deren Konjugiert-Komplexe <math>z^{\ast} = 0.75 - {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.~~05cm~~}\cdot \hspace{0.~~05cm~~}53.1^{\circ} }</math>,		*deren Konjugiert-Komplexe  <math>z^{\ast} = 0.75 - {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}53.1^{\circ} }</math>,


	*die Summe <math>s=z+z^{\ast}=1.5</math> (rein reell),		*die Summe  <math>s=z+z^{\ast}=1.5</math>  (rein reell),


	*die Differenz <math>d=z-z^{\ast}=2{\rm j}</math> (rein imaginär).		*die Differenz  <math>d=z-z^{\ast}=2 \cdot {\rm j}</math>  (rein imaginär),


	*das Produkt <math>p=z \cdot z^{\ast} = 1.25^{2} \approx 1.5625</math> (ebenfalls rein reell)		*das Produkt  <math>p=z \cdot z^{\ast} = 1.25^{2} \approx 1.5625</math>  (ebenfalls rein reell),


	*der Quotient <math>q= {z}/{z^{\ast} }={\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.~~05cm~~}\cdot \hspace{0.~~05cm~~}106.2^{\circ} }</math> mit Betrag $1$ und dem doppelten Phasenwinkel von $z$.}}		*der Quotient  <math>q= {z}/{z^{\ast} }={\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}106.2^{\circ} }</math>  mit Betrag  $1$  und dem doppelten Phasenwinkel von  $z$.}}


	Die Thematik dieses Kapitels wird ~~auch~~ im Lernvideo [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)\|Rechnen mit komplexen Zahlen]] behandelt.		Die Thematik dieses Kapitels wird ausführlich im Lernvideo  [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)\|Rechnen mit komplexen Zahlen]]  behandelt.

Guenter am 22. August 2019 um 15:09 Uhr

2019-08-22T15:09:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2019, 17:09 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	==Darstellung nach Betrag und Phase==		==Darstellung nach Betrag und Phase==
	<br>		<br>
	Eine komplexe Zahl $z$ kann außer durch den Realteil $x$ und den Imaginärteil $y$ auch durch ihren Betrag $\|z\|$ und die Phase $\phi$ beschrieben werden. ~~Es gelten folgende Umrechnungen:~~		Eine komplexe Zahl  $z$  kann außer durch den Realteil  $x$  und den Imaginärteil  $y$  auch durch ihren Betrag  $\|z\|$  und die Phase  $\phi$  beschrieben werden.

	[[Datei:P_ID1246__Sig_T_1_3_S3_neu.png\|right\|frame\|Konjugiert-Komplexe einer Zahl]]		[[Datei:P_ID1246__Sig_T_1_3_S3_neu.png\|right\|frame\|Konjugiert-Komplexe einer Zahl]]
	:$$\left \| z \right \| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \;\phi = \arctan ({y}/{x}),$$		Es gelten folgende Umrechnungen:

			:$$\left \| z \right \| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \hspace{0.6cm}\phi = \arctan ({y}/{x}),$$

	:$$x = \|z\| \cdot \cos(\phi), \; y = \|z\| \cdot \sin(\phi ).$$		:$$x = \|z\| \cdot \cos(\phi), \hspace{0.6cm} y = \|z\| \cdot \sin(\phi ).$$

	Somit kann die komplexe Größe $z$ auch in folgender Form dargestellt werden:		Somit kann die komplexe Größe  $z$  auch in folgender Form dargestellt werden:

	:$$z = \|z\| \cdot \cos (\phi) + {\rm j} \cdot \|z\| \cdot \sin (\phi) = \|z\| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}.$$		:$$z = \|z\| \cdot \cos (\phi) + {\rm j} \cdot \|z\| \cdot \sin (\phi) = \|z\| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}.$$

	Hierbei ~~ist~~ der '''Satz von Euler''' verwendet, der unten bewiesen wird. Dieser besagt, dass die komplexe Größe $ {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}$ den Realteil $\cos(\phi)$ und den Imaginärteil $\sin(\phi)$ aufweist.		Hierbei wurde der  '''Satz von Euler'''  verwendet, der unten bewiesen wird.  Dieser besagt, dass die komplexe Größe  $ {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}$  den Realteil  $\cos(\phi)$  und den Imaginärteil  $\sin(\phi)$  aufweist.

	Weiter erkennt man aus der Grafik, dass für die '''Konjugiert-Komplexe''' von $z = x + {\rm j}\cdot y$ gilt:		Weiter erkennt man aus der Grafik, dass für die  '''Konjugiert-Komplexe'''  von  $z = x + {\rm j}\cdot y$  gilt:

	:$$z^{\star} = x - {\rm j} \cdot y = \|z\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.~~02cm~~} \cdot \hspace{0.~~02cm~~}\phi}.$$		:$$z^{\star} = x - {\rm j} \cdot y = \|z\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi}.$$

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
Zeile 106:		Zeile 109:
	*Mit imaginärem Argument kann hierfür auch geschrieben werden:		*Mit imaginärem Argument kann hierfür auch geschrieben werden:

	:$${\rm e}^{ {\rm j}x} = 1 + {\rm j} \cdot \frac{x}{1!}+ {\rm j}^2 \cdot \frac{x^2}{2!}+ {\rm j}^3 \cdot \frac{x^3}{3!}		:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = 1 + {\rm j} \cdot \frac{x}{1!}+ {\rm j}^2 \cdot \frac{x^2}{2!}+ {\rm j}^3 \cdot \frac{x^3}{3!}
	+ {\rm j}^4 \cdot \frac{x^4}{4!} + \text{ ...} \hspace{0.15cm}.$$		+ {\rm j}^4 \cdot \frac{x^4}{4!} + \text{ ...} \hspace{0.15cm}.$$

	*Berücksichtigt man <math>{\rm j}^{2}=-1, \ {\rm j}^{3} = -{\rm j},\ {\rm j}^{4} = 1, \ {\rm j}^{5} = {\rm j}, \text{ ...} \hspace{0.15cm}</math> und fasst die reellen und die imaginären Terme zusammen, so erhält man		*Berücksichtigt man  <math>{\rm j}^{2}=-1, \ \ {\rm j}^{3} = -{\rm j},\ \ {\rm j}^{4} = 1, \ \ {\rm j}^{5} = {\rm j}, \text{ ...} \hspace{0.15cm}</math>  und fasst die reellen und die imaginären Terme zusammen, so erhält man

	:$${\rm e}^{ {\rm j}x} = A(x) + {\rm j}\cdot B(x).$$		:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = A(x) + {\rm j}\cdot B(x).$$

	* Für die beiden Reihen gilt dabei:		* Für die beiden Reihen gilt dabei:
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	\sin(x).$$		\sin(x).$$

	*Daraus folgt direkt der '''Satz von Euler''':		*Daraus folgt direkt der  '''Satz von Euler''':

	:$${\rm e}^{ {\rm j}x} = \cos (x) + {\rm j} \cdot \sin (x) \hspace{2cm}		:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = \cos (x) + {\rm j} \cdot \sin (x) \hspace{2cm}
	\rm q.e.d.$$}}		\rm q.e.d.$$}}

Guenter am 22. August 2019 um 14:51 Uhr

2019-08-22T14:51:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2019, 16:51 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Die komplexe Zahl  $z_1 = 2{\rm j}$  ist eine der zwei möglichen Lösungen der Gleichung  $z^2+4=0$. Die andere Lösung ist  $z_2 = -2{\rm j}$.		Die komplexe Zahl  $z_1 = 2 \cdot {\rm j}$  ist eine der zwei möglichen Lösungen der Gleichung  $z^2+4=0$. Die andere Lösung ist  $z_2 = -2 \cdot {\rm j}$.

	Dagegen geben  $z_3 = 2 + {\rm j}$  und  $z_4 = 2 -{\rm j}$  die beiden Lösungen zu folgender Gleichung an:		Dagegen geben  $z_3 = 2 + {\rm j}$  und  $z_4 = 2 -{\rm j}$  die beiden Lösungen zu folgender Gleichung an:

	:$$(z-2- {\rm j})(z-2+ {\rm j}) = 0 \;\Rightarrow \;z^{2}-4 \cdot z+5=0.$$		:$$(z-2- {\rm j})(z-2+ {\rm j}) = 0 \; \ \Rightarrow \;\ z^{2}-4 \cdot z+5=0.$$

	Man bezeichnet  $z_4 = z_3^\ast$  auch als die  '''Konjugiert-Komplexe'''  von  $z_3$.		Man bezeichnet  $z_4 = z_3^\ast$  auch als die  '''Konjugiert-Komplexe'''  von  $z_3$.
	*Die Summe  $z_3 + z_4$  ist rein reell:		*Die Summe  $z_3 + z_4$  ist rein reell:

	:$$z_3 + z_4 = 2 \cdot {\rm Re}[z_3]=2 \cdot {\rm Re}[z_4]$$.		:$$z_3 + z_4 = 2 \cdot {\rm Re}[z_3]=2 \cdot {\rm Re}[z_4].$$

	*Die Differenz  $z_3 - z_4$  ist rein imaginär:		*Die Differenz  $z_3 - z_4$  ist rein imaginär:
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	''Anmerkung'': In der Literatur werden komplexe Größen oft durch Unterstreichung gekennzeichnet. Hierauf wird in den  $\rm LNTwww$–Büchern verzichtet.		''Anmerkung'':   In der Literatur werden komplexe Größen oft durch Unterstreichung gekennzeichnet. Hierauf wird in den  $\rm LNTwww$–Büchern verzichtet.

Guenter am 22. August 2019 um 14:48 Uhr

2019-08-22T14:48:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2019, 16:48 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	==Imaginäre und komplexe Zahlen==		==Imaginäre und komplexe Zahlen==
	<br>		<br>
	Mit der Einführung der irrationalen Zahlen war zwar die Lösung der Gleichung $a^2-2=0$ möglich, nicht jedoch die Lösung der Gleichung $a^2+1=0$. Der Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler] löste dieses Problem, indem er den Körper der reellen Zahlen um die ''imaginären Zahlen'' erweiterte. Er definierte dazu die '''imaginäre Einheit''' wie folgt:		Mit der Einführung der irrationalen Zahlen war zwar die Lösung der Gleichung  $a^2-2=0$  möglich, nicht jedoch die Lösung der Gleichung  $a^2+1=0$.

			Der Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]  löste dieses Problem, indem er den Körper der reellen Zahlen um die  ''imaginären Zahlen''  erweiterte. Er definierte dazu die  '''imaginäre Einheit'''  wie folgt:

	:$${\rm j}=\sqrt{-1} \ \Rightarrow \ {\rm j}^{2}=-1.$$		:$${\rm j}=\sqrt{-1} \ \Rightarrow \ {\rm j}^{2}=-1.$$

	Anzumerken ist, dass Euler diese Größe mit ~~„i”~~ bezeichnet hat und dies auch heute noch in der Mathematik so üblich ist. In der Elektrotechnik hat sich dagegen die Bezeichnung ~~„j”~~ durchgesetzt, da ~~„i”~~ bereits mit dem zeitabhängigen Strom belegt ist.		Anzumerken ist, dass Euler diese Größe mit  &bdquo;$\rm i$”  bezeichnet hat und dies auch heute noch in der Mathematik so üblich ist. In der Elektrotechnik hat sich dagegen die Bezeichnung  &bdquo;$\rm j$”  durchgesetzt, da  &bdquo;$\rm i$”  bereits mit dem zeitabhängigen Strom belegt ist.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Die '''komplexe Zahl''' $z$ ist im allgemeinen die Summe einer reellen Zahl $x$ und einer imaginären Zahl ${\rm j} \cdot y$:		Die  '''komplexe Zahl'''  $z$  ist im allgemeinen die Summe einer reellen Zahl  $x$  und einer imaginären Zahl  ${\rm j} \cdot y$:

	:$$z=x+{\rm j}\cdot y.$$		:$$z=x+{\rm j}\cdot y.$$

	$x$ und $y$ entstammen hierbei der Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen. Die Menge aller möglichen komplexen Zahlen bezeichnet man als den Körper $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen.}}		$x$  und  $y$  entstammen hierbei der Menge  $\mathbb{R}$  der reellen Zahlen. Die Menge aller möglichen komplexen Zahlen bezeichnet man als den Körper  $\mathbb{C}$  der komplexen Zahlen.}}


	Aus dem Zahlenstrahl der reellen Zahlen wird nun die komplexe Ebene, die durch zwei um $90^\circ$ verdrehte Zahlenstränge für Real– und Imaginärteil aufgespannt wird.		Aus dem Zahlenstrahl der reellen Zahlen wird nun die komplexe Ebene, die durch zwei um  $90^\circ$  verdrehte Zahlenstränge für Real– und Imaginärteil aufgespannt wird.

	[[Datei:P_ID823_Sig_T_1_3_S2_neu.png\|right\|frame\|Zahlen in der komplexen Ebene]]		[[Datei:P_ID823_Sig_T_1_3_S2_neu.png\|right\|frame\|Zahlen in der komplexen Ebene]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Die komplexe Zahl $z_1 = 2{\rm j}$ ist eine der zwei möglichen Lösungen der Gleichung $z^2+4=0$. Die andere Lösung ist $z_2 = -2{\rm j}$.		Die komplexe Zahl  $z_1 = 2{\rm j}$  ist eine der zwei möglichen Lösungen der Gleichung  $z^2+4=0$. Die andere Lösung ist  $z_2 = -2{\rm j}$.

	Dagegen geben $z_3 = 2 + {\rm j}$ und $z_4 = 2 -{\rm j}$ die beiden Lösungen zu folgender Gleichung an:		Dagegen geben  $z_3 = 2 + {\rm j}$  und  $z_4 = 2 -{\rm j}$  die beiden Lösungen zu folgender Gleichung an:

	:$$(z-2- {\rm j})(z-2+ {\rm j}) = 0 \;\Rightarrow \;z^{2}-4 \cdot z+5=0.$$		:$$(z-2- {\rm j})(z-2+ {\rm j}) = 0 \;\Rightarrow \;z^{2}-4 \cdot z+5=0.$$

	Man bezeichnet $z_4 = z_3^\ast$ auch als die '''Konjugiert-Komplexe''' von $z_3$.		Man bezeichnet  $z_4 = z_3^\ast$  auch als die  '''Konjugiert-Komplexe'''  von  $z_3$.
	*Die Summe $z_3 + z_4$ ist rein reell:		*Die Summe  $z_3 + z_4$  ist rein reell:

	:$$z_3 + z_4 = 2 \cdot {\rm Re}[z_3]=2 \cdot {\rm Re}[z_4]$$.		:$$z_3 + z_4 = 2 \cdot {\rm Re}[z_3]=2 \cdot {\rm Re}[z_4]$$.

	*Die Differenz $z_3 - z_4$ ist rein imaginär:		*Die Differenz  $z_3 - z_4$  ist rein imaginär:

	:$$z_3 - z_4 = {\rm j} \cdot \big [2 \cdot {\rm Im}[z_3] \big ] ={\rm j} \cdot \big [-2 \cdot {\rm Im}[z_4] \big ].$$}}		:$$z_3 - z_4 = {\rm j} \cdot \big [2 \cdot {\rm Im}[z_3] \big ] ={\rm j} \cdot \big [-2 \cdot {\rm Im}[z_4] \big ].$$}}


	''Anmerkung'': In der Literatur werden komplexe Größen oft durch Unterstreichung gekennzeichnet. Hierauf wird in den $\rm LNTwww$–Büchern verzichtet.		''Anmerkung'': In der Literatur werden komplexe Größen oft durch Unterstreichung gekennzeichnet. Hierauf wird in den  $\rm LNTwww$–Büchern verzichtet.

← Nächstältere Version		Version vom 9. April 2021, 15:25 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Reelle Zahlenmengen==		==Reelle Zahlenmengen==
	<br>		<br>
	In den folgenden Kapiteln dieses Buches spielen komplexe Größen stets eine wichtige Rolle. Obwohl das Rechnen mit komplexen Zahlen bereits in der Schulmathematik behandelt und geübt wird, haben unsere Erfahrungen gezeigt, dass auch Studierende von naturwissenschaftlichen und technischen Fachgebieten damit durchaus Probleme haben. Vielleicht hängen diese Schwierigkeiten auch damit zusammen, dass „komplex” im Alltag oft als Synonym für „kompliziert” verwendet wird, während „reell” laut Duden für „zuverlässig, ehrlich und redlich” steht.		In den folgenden Kapiteln dieses Buches spielen komplexe Größen stets eine wichtige Rolle.  Obwohl das Rechnen mit komplexen Zahlen bereits in der Schulmathematik behandelt und geübt wird, haben unsere Erfahrungen gezeigt, dass auch Studierende von naturwissenschaftlichen und technischen Fachgebieten damit durchaus Probleme haben.  Vielleicht hängen diese Schwierigkeiten auch damit zusammen, dass „komplex” im Alltag oft als Synonym für „kompliziert” verwendet wird, während „reell” laut Duden für „zuverlässig, ehrlich und redlich” steht.

	Deshalb werden hier am Ende dieses ersten Grundlagenkapitels die Rechenregeln für komplexe Zahlen kurz zusammengefasst.		Deshalb werden hier am Ende dieses ersten Grundlagenkapitels die Rechenregeln für komplexe Zahlen kurz zusammengefasst.

	Zunächst folgen einige Anmerkungen über reelle Zahlenmengen, für die im strengen mathematischen Sinne die Bezeichnung „Zahlenkörper” richtiger wäre. Hierzu gehören:		Zunächst folgen einige Anmerkungen über reelle Zahlenmengen, für die im strengen mathematischen Sinne die Bezeichnung „Zahlenkörper” richtiger wäre.  Hierzu gehören:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definitionen:}$		$\text{Definitionen:}$
	*~~'''~~Natürliche Zahlen~~'''~~  $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \text{...}\hspace{0.05cm} \}$.   Mit diesen Zahlen sind für  $n, \ k \in \mathbb{N}$  die Rechenoperationen &bdquo;Addition”  $(m = n +k)$,  &bdquo;Multiplikation”  $(m = n \cdot k)$  und &bdquo;Potenzbildung”  $(m = n^k)$  möglich. Das jeweilige Ergebnis einer Rechenoperation ist wieder eine natürliche Zahl:   $m \in \mathbb{N}$.		*$\text{Natürliche Zahlen}$  $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \text{...}\hspace{0.05cm} \}$.   Mit diesen Zahlen sind für  $n, \ k \in \mathbb{N}$  die Rechenoperationen &bdquo;Addition”  $(m = n +k)$,  &bdquo;Multiplikation”  $(m = n \cdot k)$  und &bdquo;Potenzbildung”  $(m = n^k)$  möglich.  Das jeweilige Ergebnis einer Rechenoperation ist wieder eine natürliche Zahl:   $m \in \mathbb{N}$.


	*~~'''~~Ganze Zahlen~~'''~~  $\mathbb{Z} = \{\text{...}\hspace{0.05cm} , -3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3, \text{...}\hspace{0.05cm}\}$.   Diese Zahlenmenge ist eine Erweiterung der natürlichen Zahlen  $\mathbb{N}$. Die Einführung der Menge  $\mathbb{Z}$  war notwendig, um die Ergebnismenge einer Substraktion  $(m = n -k)$  zu erfassen, zum Beispiel  $5 - 7 = - 2$.		*$\text{Ganze Zahlen}$  $\mathbb{Z} = \{\text{...}\hspace{0.05cm} , -3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3, \text{...}\hspace{0.05cm}\}$.   Diese Zahlenmenge ist eine Erweiterung der natürlichen Zahlen  $\mathbb{N}$.  Die Einführung der Menge  $\mathbb{Z}$  war notwendig, um die Ergebnismenge einer Substraktion  $(m = n -k)$  zu erfassen, zum Beispiel  $5 - 7 = - 2$.


	*~~'''~~Rationale Zahlen~~'''~~  $\mathbb{Q} = \{z/n\}$  mit  $z \in \mathbb{Z}$  und  $n \in \mathbb{N}$.   Mit dieser auch als Bruchzahlen bekannten Zahlenmenge liegt auch für jede Division ein definiertes Ergebnis vor. Schreibt man eine rationale Zahl in Dezimalschreibweise, so treten ab einer gewissen Dezimalstelle nur Nullen auf  $($Beispiel:  $-2/5 = -0.400\text{...}\hspace{0.05cm})$  oder es ergeben sich Periodizitäten  $($Beispiel:  $2/7 = 0.285714285\text{...}\hspace{0.05cm})$. Da  $n = 1$  erlaubt ist, sind die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen:   $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.		*$\text{Rationale Zahlen}$  $\mathbb{Q} = \{z/n\}$  mit  $z \in \mathbb{Z}$  und  $n \in \mathbb{N}$.   Mit dieser auch als Bruchzahlen bekannten Zahlenmenge liegt auch für jede Division ein definiertes Ergebnis vor.  Schreibt man eine rationale Zahl in Dezimalschreibweise, so treten ab einer gewissen Dezimalstelle nur Nullen auf  $($Beispiel:  $-2/5 = -0.400\text{...}\hspace{0.05cm})$  oder es ergeben sich Periodizitäten  $($Beispiel:  $2/7 = 0.285714285\text{...}\hspace{0.05cm})$.  Da  $n = 1$  erlaubt ist, sind die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen:   $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.


	*~~'''~~Irrationale Zahlen~~'''~~  $\mathbb{I} \neq {z/n}$  mit  $z \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$.   Obwohl es unendlich viele rationale Zahlen gibt, verbleiben ebenfalls unendlich viele Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. Beispiele hierfür sind die Zahl  $\pi = 3.141592654\text{...}\hspace{0.05cm}$  (wobei es auch bei mehr Dezimalstellen keine Perioden gibt)  oder das Ergebnis der Gleichung   $a^{2}=2 \,\,\Rightarrow \;\;a=\pm \sqrt{2}=\pm1.414213562\text{...}\hspace{0.05cm}$. Auch dieses Ergebnis ist irrational, was bereits  [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid Euklid]  in der Antike bewiesen hat.		*$\text{Irrationale Zahlen}$  $\mathbb{I} \neq {z/n}$  mit  $z \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$.   Obwohl es unendlich viele rationale Zahlen gibt, verbleiben ebenfalls unendlich viele Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können.  Beispiele hierfür sind die Zahl  $\pi = 3.141592654\text{...}\hspace{0.05cm}$  (wobei es auch bei mehr Dezimalstellen keine Perioden gibt)  oder das Ergebnis der Gleichung   $a^{2}=2 \,\,\Rightarrow \;\;a=\pm \sqrt{2}=\pm1.414213562\text{...}\hspace{0.05cm}$.  Auch dieses Ergebnis ist irrational, was bereits  [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid Euklid]  in der Antike bewiesen hat.

	[[Datei:P_ID821_Sig_T_1_3_S1_rah.png \|right\|frame\|Reelle Zahlen auf dem Zahlenstrahl]]		[[Datei:P_ID821_Sig_T_1_3_S1_rah.png \|right\|frame\|Reelle Zahlen auf dem Zahlenstrahl]]


	*~~'''~~Reelle Zahlen~~'''~~  $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ als die Gesamtheit aller rationalen und irrationalen Zahlen.		*$\text{Reelle Zahlen}$  $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ als die Gesamtheit aller rationalen und irrationalen Zahlen.
	:Diese können entsprechend ihren Zahlenwerten geordnet und auf dem so genannten  ''Zahlenstrahl''  eingezeichnet werden, wie die nebenstehende Grafik verdeutlicht.}}		:Diese können entsprechend ihren Zahlenwerten geordnet und auf dem so genannten  &bdquo;Zahlenstrahl”  eingezeichnet werden, wie die nebenstehende Grafik verdeutlicht.}}


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	Mit der Einführung der irrationalen Zahlen war zwar die Lösung der Gleichung  $a^2-2=0$  möglich, nicht jedoch die Lösung der Gleichung  $a^2+1=0$.		Mit der Einführung der irrationalen Zahlen war zwar die Lösung der Gleichung  $a^2-2=0$  möglich, nicht jedoch die Lösung der Gleichung  $a^2+1=0$.

	Der Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]  löste dieses Problem, indem er den Körper der reellen Zahlen um die  ''imaginären Zahlen''  erweiterte. Er definierte dazu die  '''imaginäre Einheit'''  wie folgt:		Der Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]  löste dieses Problem, indem er den Körper der reellen Zahlen um die  &bdquo;imaginären Zahlen”  erweiterte.  <br>Er definierte dazu die  '''imaginäre Einheit'''  wie folgt:

	:$${\rm j}=\sqrt{-1} \ \Rightarrow \ {\rm j}^{2}=-1.$$		:$${\rm j}=\sqrt{-1} \ \Rightarrow \ {\rm j}^{2}=-1.$$

	Anzumerken ist, dass Euler diese Größe mit  &bdquo;$\rm i$”  bezeichnet hat und dies auch heute noch in der Mathematik so üblich ist. In der Elektrotechnik hat sich dagegen die Bezeichnung  &bdquo;$\rm j$”  durchgesetzt, da  &bdquo;$\rm i$”  bereits mit dem zeitabhängigen Strom belegt ist.		Anzumerken ist, dass Euler diese Größe mit  &bdquo;$\rm i$”  bezeichnet hat und dies auch heute noch in der Mathematik so üblich ist.  In der Elektrotechnik hat sich dagegen die Bezeichnung  &bdquo;$\rm j$”  durchgesetzt, da  &bdquo;$\rm i$”  bereits mit dem zeitabhängigen Strom belegt ist.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Die  ~~'''~~komplexe Zahl~~'''~~  $z$  ist im allgemeinen die Summe einer reellen Zahl  $x$  und einer imaginären Zahl  ${\rm j} \cdot y$:		Die  $\text{komplexe Zahl}$  $z$  ist im allgemeinen die Summe einer reellen Zahl  $x$  und einer imaginären Zahl  ${\rm j} \cdot y$:

	:$$z=x+{\rm j}\cdot y.$$		:$$z=x+{\rm j}\cdot y.$$

	$x$  und  $y$  entstammen hierbei der Menge  $\mathbb{R}$  der reellen Zahlen. Die Menge aller möglichen komplexen Zahlen bezeichnet man als den Körper  $\mathbb{C}$  der komplexen Zahlen.}}		*$x$  und  $y$  entstammen hierbei der Menge  $\mathbb{R}$  der reellen Zahlen.
			* Die Menge aller möglichen komplexen Zahlen bezeichnet man als den Körper  $\mathbb{C}$  der komplexen Zahlen.}}


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	:$$(z-2- {\rm j})(z-2+ {\rm j}) = 0 \; \ \Rightarrow \;\ z^{2}-4 \cdot z+5=0.$$		:$$(z-2- {\rm j})(z-2+ {\rm j}) = 0 \; \ \Rightarrow \;\ z^{2}-4 \cdot z+5=0.$$

	Man bezeichnet  $z_4 = z_3^\ast$  auch als die  ~~'''~~Konjugiert-Komplexe~~'''~~  von  $z_3$.		Man bezeichnet  $z_4 = z_3^\ast$  auch als die  $\text{Konjugiert–Komplexe}$  von  $z_3$.
	*Die Summe  $z_3 + z_4$  ist rein reell:		*Die Summe  $z_3 + z_4$  ist rein reell: