Signaldarstellung/Zum Rechnen mit komplexen Zahlen - Versionsgeschichte

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−	''Anmerkung'':   ~~In der Literatur~~ werden komplexe Größen ~~oft~~ durch Unterstreichung gekennzeichnet. Hierauf ~~wird in den~~  $\rm LNTwww$~~–Büchern verzichtet~~.	+	''Anmerkung'':   Manchmal werden komplexe Größen durch Unterstreichung gekennzeichnet. Hierauf verzichten wir bei  $\rm LNTwww$.

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 \hspace {0.05cm} \phi_2}$$
-sind derart definiert, dass sich für den Sonderfall eines verschwindenden Imaginärteils die Rechenregeln der reellen Zahlen ergeben. Man spricht vom so genannten&nbsp; ''Permanenzprinzip''.
+sind derart definiert, dass sich für den Sonderfall eines verschwindenden Imaginärteils die Rechenregeln der reellen Zahlen ergeben. Man spricht vom so genannten&nbsp; &bdquo;Permanenzprinzip&rdquo;.
 Für die Grundrechenarten gelten folgende Regeln:&nbsp;
-*Die Summe zweier komplexer Zahlen&nbsp; (bzw. deren Differenz)&nbsp; wird gebildet, indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert &nbsp;(bzw. subtrahiert):&nbsp;
+*Die Summe zweier komplexer Zahlen&nbsp; $($bzw. deren Differenz$)$&nbsp; wird gebildet, indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert &nbsp;$($bzw. subtrahiert$)$:&nbsp;
 ::<math>z_3 = z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 + y_2),</math>
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 ::<math>z_4 = z_1 - z_2 = (x_1-x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 - y_2).</math>
-*Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann in der Realteil- und Imaginärteildarstellung durch Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung von&nbsp; <math>{\rm j}^{2}=-1</math>&nbsp; gebildet werden. Einfacher gestaltet sich die Multiplikation allerdings, wenn&nbsp; <math>z_1</math>&nbsp; und&nbsp; <math>z_2</math>&nbsp; mit Betrag und Phase geschrieben werden:&nbsp;
+*Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann in der Realteil&ndash; und Imaginärteildarstellung durch Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung von&nbsp; <math>{\rm j}^{2}=-1</math>&nbsp; gebildet werden.&nbsp; Einfacher gestaltet sich die Multiplikation allerdings, wenn&nbsp; <math>z_1</math>&nbsp; und&nbsp; <math>z_2</math>&nbsp; mit Betrag und Phase geschrieben werden:&nbsp;
 ::<math>z_5 = z_1 \cdot z_2 = (x_1\cdot x_2 - y_1\cdot y_2) + {\rm j}\cdot (x_1\cdot y_2 + x_2\cdot y_1),</math>
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   \Rightarrow \hspace{0.3cm} |z_5|  = |z_1|  \cdot |z_2| , \hspace{0.3cm}\phi_5 = \phi_1 + \phi_2 .</math>
-*Die Division ist in der Exponentialschreibweise ebenfalls überschaubarer. Die beiden Beträge werden dividiert und die Phasen im Exponenten subtrahiert:&nbsp;
+*Die Division ist in der Exponentialschreibweise ebenfalls überschaubarer.&nbsp; Die beiden Beträge werden dividiert und die Phasen im Exponenten subtrahiert:&nbsp;
 ::<math>z_6 =  \frac{z_1}{z_2} = |z_6| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace {0.05cm}\cdot
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 In der Grafik sind als Punkte innerhalb der komplexen Ebene dargestellt:
-*die komplexe Zahl&nbsp; <math>z=0.75 + {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}53.1^{\circ} }</math>,
+#die komplexe Zahl&nbsp; <math>z=0.75 + {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}53.1^{\circ} }</math>,
-*deren Konjugiert-Komplexe&nbsp; <math>z^{\ast} = 0.75 - {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}53.1^{\circ} }</math>,
+Die Thematik dieses Kapitels wird im Lernvideo&nbsp; [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen]]&nbsp; ausführlich behandelt.

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 ==Darstellung nach Betrag und Phase==
 <br>
-Eine komplexe Zahl&nbsp; $z$&nbsp; kann außer durch den Realteil&nbsp; $x$&nbsp; und den Imaginärteil&nbsp; $y$&nbsp; auch durch ihren Betrag&nbsp; $|z|$&nbsp; und die Phase&nbsp; $\phi$&nbsp; beschrieben werden.
+Eine komplexe Zahl&nbsp; $z$&nbsp; kann außer durch Realteil&nbsp; $x$&nbsp; und Imaginärteil&nbsp; $y$&nbsp; auch durch ihren Betrag&nbsp; $|z|$&nbsp; und die Phase&nbsp; $\phi$&nbsp; beschrieben werden.
 [[Datei:P_ID1246__Sig_T_1_3_S3_neu.png|right|frame|Konjugiert-Komplexe einer Zahl]]
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 :$$z = |z| \cdot \cos (\phi) + {\rm j} \cdot |z| \cdot \sin (\phi) = |z| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}.$$
-Hierbei  wurde der&nbsp; '''Satz von Euler'''&nbsp; verwendet, der unten bewiesen wird. &nbsp;Dieser besagt, dass die komplexe Größe&nbsp; $ {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}$&nbsp; den Realteil&nbsp; $\cos(\phi)$&nbsp; und den Imaginärteil&nbsp; $\sin(\phi)$&nbsp; aufweist.
+Hierbei  wurde der&nbsp; $\text{Satz von Euler}$&nbsp; verwendet, der unten bewiesen wird. &nbsp;Dieser besagt, dass die komplexe Größe&nbsp; $ {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}$&nbsp; den Realteil&nbsp; $\cos(\phi)$&nbsp; und den Imaginärteil&nbsp; $\sin(\phi)$&nbsp; aufweist.
-Weiter erkennt man aus der  Grafik, dass für die&nbsp; '''Konjugiert-Komplexe'''&nbsp; von&nbsp; $z = x + {\rm j}\cdot y$&nbsp; gilt:&nbsp;
+Weiter erkennt man aus der  Grafik, dass für die&nbsp; &bdquo;Konjugiert-Komplexe&rdquo;&nbsp; von&nbsp; $z = x + {\rm j}\cdot y$&nbsp; gilt:&nbsp;
 :$$z^{\star} = x - {\rm j} \cdot y = |z| \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi}.$$
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 \sin(x).$$
-*Daraus folgt direkt der&nbsp; '''Satz von Euler''':&nbsp;
+*Daraus folgt direkt der&nbsp; $\text{Satz von Euler}$:&nbsp;
 :$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = \cos (x) +  {\rm j} \cdot \sin (x) \hspace{2cm}

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 ==Reelle Zahlenmengen==
 <br>
-In den folgenden Kapiteln dieses Buches spielen komplexe Größen stets eine wichtige Rolle. Obwohl das Rechnen mit komplexen Zahlen bereits in der Schulmathematik behandelt und geübt wird, haben unsere Erfahrungen gezeigt, dass auch Studierende von naturwissenschaftlichen und technischen Fachgebieten damit durchaus Probleme haben. Vielleicht hängen diese Schwierigkeiten auch damit zusammen, dass „komplex” im Alltag oft als Synonym für „kompliziert” verwendet wird, während „reell” laut Duden für „zuverlässig, ehrlich und redlich” steht.
+In den folgenden Kapiteln dieses Buches spielen komplexe Größen stets eine wichtige Rolle.&nbsp; Obwohl das Rechnen mit komplexen Zahlen bereits in der Schulmathematik behandelt und geübt wird, haben unsere Erfahrungen gezeigt, dass auch Studierende von naturwissenschaftlichen und technischen Fachgebieten damit durchaus Probleme haben.&nbsp; Vielleicht hängen diese Schwierigkeiten auch damit zusammen, dass „komplex” im Alltag oft als Synonym für „kompliziert” verwendet wird, während „reell” laut Duden für „zuverlässig, ehrlich und redlich” steht.
 Deshalb werden hier am Ende dieses ersten Grundlagenkapitels die Rechenregeln für komplexe Zahlen kurz zusammengefasst.
-Zunächst folgen einige Anmerkungen über reelle Zahlenmengen, für die im strengen mathematischen Sinne die Bezeichnung „Zahlenkörper” richtiger wäre. Hierzu gehören:
+Zunächst folgen einige Anmerkungen über reelle Zahlenmengen, für die im strengen mathematischen Sinne die Bezeichnung „Zahlenkörper” richtiger wäre.&nbsp; Hierzu gehören:
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definitionen:}$&nbsp;
-*'''Natürliche Zahlen'''&nbsp; $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \text{...}\hspace{0.05cm} \}$. &nbsp; Mit diesen Zahlen sind für&nbsp; $n, \ k \in \mathbb{N}$&nbsp; die Rechenoperationen &bdquo;Addition&rdquo;&nbsp; $(m = n +k)$,&nbsp; &bdquo;Multiplikation&rdquo;&nbsp; $(m = n \cdot k)$&nbsp; und &bdquo;Potenzbildung&rdquo;&nbsp; $(m = n^k)$&nbsp; möglich. Das jeweilige Ergebnis einer Rechenoperation ist wieder eine natürliche Zahl: &nbsp; $m \in \mathbb{N}$.
+*$\text{Natürliche Zahlen}$&nbsp; $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \text{...}\hspace{0.05cm} \}$. &nbsp; Mit diesen Zahlen sind für&nbsp; $n, \ k \in \mathbb{N}$&nbsp; die Rechenoperationen &bdquo;Addition&rdquo;&nbsp; $(m = n +k)$,&nbsp; &bdquo;Multiplikation&rdquo;&nbsp; $(m = n \cdot k)$&nbsp; und &bdquo;Potenzbildung&rdquo;&nbsp; $(m = n^k)$&nbsp; möglich.&nbsp; Das jeweilige Ergebnis einer Rechenoperation ist wieder eine natürliche Zahl: &nbsp; $m \in \mathbb{N}$.
-*'''Ganze Zahlen'''&nbsp; $\mathbb{Z} = \{\text{...}\hspace{0.05cm} , -3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3, \text{...}\hspace{0.05cm}\}$. &nbsp; Diese Zahlenmenge ist eine Erweiterung der natürlichen Zahlen&nbsp; $\mathbb{N}$. Die Einführung der Menge&nbsp; $\mathbb{Z}$&nbsp; war notwendig, um die Ergebnismenge einer Substraktion&nbsp; $(m = n -k)$&nbsp; zu erfassen, zum Beispiel&nbsp; $5 - 7 = - 2$.
+*$\text{Ganze Zahlen}$&nbsp; $\mathbb{Z} = \{\text{...}\hspace{0.05cm} , -3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3, \text{...}\hspace{0.05cm}\}$. &nbsp; Diese Zahlenmenge ist eine Erweiterung der natürlichen Zahlen&nbsp; $\mathbb{N}$.&nbsp; Die Einführung der Menge&nbsp; $\mathbb{Z}$&nbsp; war notwendig, um die Ergebnismenge einer Substraktion&nbsp; $(m = n -k)$&nbsp; zu erfassen, zum Beispiel&nbsp; $5 - 7 = - 2$.
-*'''Rationale Zahlen'''&nbsp; $\mathbb{Q} = \{z/n\}$&nbsp; mit&nbsp; $z \in \mathbb{Z}$&nbsp; und&nbsp; $n \in \mathbb{N}$. &nbsp; Mit dieser auch als Bruchzahlen bekannten Zahlenmenge liegt auch für jede Division ein definiertes Ergebnis vor. Schreibt man eine rationale Zahl in Dezimalschreibweise, so treten ab einer gewissen Dezimalstelle nur Nullen auf&nbsp; $($Beispiel:&nbsp; $-2/5 = -0.400\text{...}\hspace{0.05cm})$&nbsp; oder es ergeben sich Periodizitäten&nbsp; $($Beispiel:&nbsp; $2/7 = 0.285714285\text{...}\hspace{0.05cm})$. Da&nbsp; $n = 1$&nbsp; erlaubt ist, sind die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen: &nbsp; $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
+*$\text{Rationale Zahlen}$&nbsp; $\mathbb{Q} = \{z/n\}$&nbsp; mit&nbsp; $z \in \mathbb{Z}$&nbsp; und&nbsp; $n \in \mathbb{N}$. &nbsp; Mit dieser auch als Bruchzahlen bekannten Zahlenmenge liegt auch für jede Division ein definiertes Ergebnis vor.&nbsp; Schreibt man eine rationale Zahl in Dezimalschreibweise, so treten ab einer gewissen Dezimalstelle nur Nullen auf&nbsp; $($Beispiel:&nbsp; $-2/5 = -0.400\text{...}\hspace{0.05cm})$&nbsp; oder es ergeben sich Periodizitäten&nbsp; $($Beispiel:&nbsp; $2/7 = 0.285714285\text{...}\hspace{0.05cm})$.&nbsp; Da&nbsp; $n = 1$&nbsp; erlaubt ist, sind die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen: &nbsp; $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
-*'''Irrationale Zahlen'''&nbsp; $\mathbb{I} \neq {z/n}$&nbsp; mit&nbsp; $z \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$. &nbsp; Obwohl es unendlich viele rationale Zahlen gibt, verbleiben ebenfalls unendlich viele Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. Beispiele hierfür sind die Zahl&nbsp;  $\pi = 3.141592654\text{...}\hspace{0.05cm}$&nbsp;  (wobei es auch bei mehr Dezimalstellen keine Perioden gibt)&nbsp;  oder das Ergebnis der Gleichung &nbsp; $a^{2}=2 \,\,\Rightarrow \;\;a=\pm \sqrt{2}=\pm1.414213562\text{...}\hspace{0.05cm}$. Auch dieses Ergebnis ist irrational, was bereits&nbsp;  [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid Euklid]&nbsp;  in der Antike bewiesen hat.
+*$\text{Irrationale Zahlen}$&nbsp; $\mathbb{I} \neq {z/n}$&nbsp; mit&nbsp; $z \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$. &nbsp; Obwohl es unendlich viele rationale Zahlen gibt, verbleiben ebenfalls unendlich viele Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können.&nbsp; Beispiele hierfür sind die Zahl&nbsp;  $\pi = 3.141592654\text{...}\hspace{0.05cm}$&nbsp;  (wobei es auch bei mehr Dezimalstellen keine Perioden gibt)&nbsp;  oder das Ergebnis der Gleichung &nbsp; $a^{2}=2 \,\,\Rightarrow \;\;a=\pm \sqrt{2}=\pm1.414213562\text{...}\hspace{0.05cm}$.&nbsp; Auch dieses Ergebnis ist irrational, was bereits&nbsp;  [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid Euklid]&nbsp;  in der Antike bewiesen hat.
 [[Datei:P_ID821_Sig_T_1_3_S1_rah.png |right|frame|Reelle Zahlen auf dem Zahlenstrahl]]
-*'''Reelle Zahlen'''&nbsp; $\mathbb{R} = \mathbb{Q}  \cup  \mathbb{I}$ als die Gesamtheit aller rationalen und irrationalen Zahlen.
+*$\text{Reelle Zahlen}$&nbsp; $\mathbb{R} = \mathbb{Q}  \cup  \mathbb{I}$ als die Gesamtheit aller rationalen und irrationalen Zahlen.
-:Diese können entsprechend ihren Zahlenwerten geordnet und auf dem so genannten&nbsp; ''Zahlenstrahl''&nbsp; eingezeichnet werden, wie die nebenstehende Grafik verdeutlicht.}}
+:Diese können entsprechend ihren Zahlenwerten geordnet und auf dem so genannten&nbsp; &bdquo;Zahlenstrahl&rdquo;&nbsp; eingezeichnet werden, wie die nebenstehende Grafik verdeutlicht.}}
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 Mit der Einführung der irrationalen Zahlen war zwar die Lösung der Gleichung&nbsp; $a^2-2=0$&nbsp; möglich, nicht jedoch die Lösung der Gleichung&nbsp;  $a^2+1=0$.
-Der Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]&nbsp; löste dieses Problem, indem er den Körper der reellen Zahlen um die&nbsp; ''imaginären Zahlen''&nbsp; erweiterte. Er definierte dazu die&nbsp; '''imaginäre Einheit'''&nbsp; wie folgt:
+Der Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]&nbsp; löste dieses Problem, indem er den Körper der reellen Zahlen um die&nbsp; &bdquo;imaginären Zahlen&rdquo;&nbsp; erweiterte.&nbsp; <br>Er definierte dazu die&nbsp; '''imaginäre Einheit'''&nbsp; wie folgt:
 :$${\rm j}=\sqrt{-1} \ \Rightarrow \ {\rm j}^{2}=-1.$$
-Anzumerken ist, dass Euler diese Größe mit&nbsp; &bdquo;$\rm i$&rdquo;&nbsp; bezeichnet hat und dies auch heute noch in der Mathematik so üblich ist. In der Elektrotechnik hat sich dagegen die Bezeichnung&nbsp; &bdquo;$\rm j$&rdquo;&nbsp; durchgesetzt, da&nbsp; &bdquo;$\rm i$&rdquo;&nbsp; bereits mit dem zeitabhängigen Strom belegt ist.
+Anzumerken ist, dass Euler diese Größe mit&nbsp; &bdquo;$\rm i$&rdquo;&nbsp; bezeichnet hat und dies auch heute noch in der Mathematik so üblich ist.&nbsp; In der Elektrotechnik hat sich dagegen die Bezeichnung&nbsp; &bdquo;$\rm j$&rdquo;&nbsp; durchgesetzt, da&nbsp; &bdquo;$\rm i$&rdquo;&nbsp; bereits mit dem zeitabhängigen Strom belegt ist.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die&nbsp; '''komplexe Zahl'''&nbsp;  $z$&nbsp;  ist im allgemeinen die Summe einer reellen Zahl&nbsp;  $x$&nbsp;  und einer imaginären Zahl&nbsp;  ${\rm j} \cdot y$:
+Die&nbsp; $\text{komplexe Zahl}$&nbsp;  $z$&nbsp;  ist im allgemeinen die Summe einer reellen Zahl&nbsp;  $x$&nbsp;  und einer imaginären Zahl&nbsp;  ${\rm j} \cdot y$:
 :$$z=x+{\rm j}\cdot y.$$
-$x$&nbsp;  und&nbsp;  $y$&nbsp;  entstammen hierbei der Menge&nbsp;  $\mathbb{R}$&nbsp;  der reellen Zahlen. Die Menge aller möglichen komplexen Zahlen bezeichnet man als den Körper&nbsp;  $\mathbb{C}$&nbsp;  der komplexen Zahlen.}}
+*$x$&nbsp;  und&nbsp;  $y$&nbsp;  entstammen hierbei der Menge&nbsp;  $\mathbb{R}$&nbsp;  der reellen Zahlen.&nbsp;
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 :$$(z-2- {\rm j})(z-2+ {\rm j}) = 0 \; \ \Rightarrow \;\ z^{2}-4 \cdot z+5=0.$$
-Man bezeichnet&nbsp; $z_4 = z_3^\ast$&nbsp; auch als die&nbsp; '''Konjugiert-Komplexe'''&nbsp; von&nbsp; $z_3$.
+Man bezeichnet&nbsp; $z_4 = z_3^\ast$&nbsp; auch als die&nbsp; $\text{Konjugiert&ndash;Komplexe}$&nbsp; von&nbsp; $z_3$.
 *Die Summe&nbsp; $z_3 + z_4$&nbsp; ist rein reell:&nbsp;

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 \hspace {0.05cm} \phi_2}$$
-sind derart definiert, dass sich für den Sonderfall eines verschwindenden Imaginärteils die Rechenregeln der reellen Zahlen ergeben. Man spricht vom so genannten ''Permanenzprinzip''.
+sind derart definiert, dass sich für den Sonderfall eines verschwindenden Imaginärteils die Rechenregeln der reellen Zahlen ergeben. Man spricht vom so genannten&nbsp; ''Permanenzprinzip''.
 Für die Grundrechenarten gelten folgende Regeln:&nbsp;
-*Die Summe zweier komplexer Zahlen (bzw. deren Differenz) wird gebildet, indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert (bzw. subtrahiert):&nbsp;
+*Die Summe zweier komplexer Zahlen&nbsp; (bzw. deren Differenz)&nbsp; wird gebildet, indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert &nbsp;(bzw. subtrahiert):&nbsp;
 ::<math>z_3 = z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 + y_2),</math>
@@ Zeile 150: / Zeile 150: @@
 ::<math>z_4 = z_1 - z_2 = (x_1-x_2) + {\rm j}\cdot (y_1 - y_2).</math>
-*Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann in der Realteil- und Imaginärteildarstellung durch Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung von <math>{\rm j}^{2}=-1</math> gebildet werden. Einfacher gestaltet sich die Multiplikation allerdings, wenn <math>z_1</math> und <math>z_2</math> mit Betrag und Phase geschrieben werden:&nbsp;
+*Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann in der Realteil- und Imaginärteildarstellung durch Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung von&nbsp; <math>{\rm j}^{2}=-1</math>&nbsp; gebildet werden. Einfacher gestaltet sich die Multiplikation allerdings, wenn&nbsp; <math>z_1</math>&nbsp; und&nbsp; <math>z_2</math>&nbsp; mit Betrag und Phase geschrieben werden:&nbsp;
 ::<math>z_5 = z_1 \cdot z_2 = (x_1\cdot x_2 - y_1\cdot y_2) + {\rm j}\cdot (x_1\cdot y_2 + x_2\cdot y_1),</math>
@@ Zeile 168: / Zeile 168: @@
   \hspace{0.3cm}
   \Rightarrow \hspace{0.3cm} |z_6| =  \frac{|z_1|}{|z_2|}, \hspace{0.3cm}\phi_6 = \phi_1 - \phi_2 .</math>
 [[Datei:P_ID825_Sig_T_1_3_S4_neu.png|right|frame|Summe, Differenz, Produkt & Quotient komplexer Zahlen]]
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 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
 In der Grafik sind als Punkte innerhalb der komplexen Ebene dargestellt:
-*die komplexe Zahl <math>z=0.75 + {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}53.1^{\circ} }</math>,
-*deren Konjugiert-Komplexe <math>z^{\ast} = 0.75 - {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}53.1^{\circ} }</math>,
+*deren Konjugiert-Komplexe&nbsp; <math>z^{\ast} = 0.75 - {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}53.1^{\circ} }</math>,
-*die Summe <math>s=z+z^{\ast}=1.5</math> (rein reell),
+*die Summe&nbsp; <math>s=z+z^{\ast}=1.5</math>&nbsp; (rein reell),
-*die Differenz <math>d=z-z^{\ast}=2{\rm j}</math> (rein imaginär).
+*die Differenz&nbsp; <math>d=z-z^{\ast}=2 \cdot {\rm j}</math>&nbsp; (rein imaginär),
-*das Produkt <math>p=z \cdot z^{\ast} = 1.25^{2} \approx 1.5625</math> (ebenfalls rein reell)
+*das Produkt&nbsp; <math>p=z \cdot z^{\ast} = 1.25^{2} \approx 1.5625</math>&nbsp; (ebenfalls rein reell),
-*der Quotient <math>q= {z}/{z^{\ast} }={\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}106.2^{\circ} }</math> mit Betrag $1$ und dem doppelten Phasenwinkel von $z$.}}
+*der Quotient&nbsp; <math>q= {z}/{z^{\ast} }={\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}106.2^{\circ} }</math>&nbsp; mit Betrag&nbsp; $1$&nbsp; und dem doppelten Phasenwinkel von&nbsp; $z$.}}
-Die Thematik dieses Kapitels wird auch im Lernvideo [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen]] behandelt.
+Die Thematik dieses Kapitels wird ausführlich im Lernvideo&nbsp; [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen]]&nbsp; behandelt.

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 ==Darstellung nach Betrag und Phase==
 <br>
-Eine komplexe Zahl $z$ kann außer durch den Realteil $x$ und den Imaginärteil $y$ auch durch ihren Betrag $|z|$ und die Phase $\phi$ beschrieben werden. Es gelten folgende Umrechnungen:
+Eine komplexe Zahl&nbsp; $z$&nbsp; kann außer durch den Realteil&nbsp; $x$&nbsp; und den Imaginärteil&nbsp; $y$&nbsp; auch durch ihren Betrag&nbsp; $|z|$&nbsp; und die Phase&nbsp; $\phi$&nbsp; beschrieben werden.
 [[Datei:P_ID1246__Sig_T_1_3_S3_neu.png|right|frame|Konjugiert-Komplexe einer Zahl]]
-:$$\left | z \right | = \sqrt{x^{2}+y^{2}},  \;\phi = \arctan ({y}/{x}),$$
+Es gelten folgende Umrechnungen:
-:$$x = |z| \cdot \cos(\phi), \; y = |z| \cdot \sin(\phi ).$$
+:$$x = |z| \cdot \cos(\phi), \hspace{0.6cm} y = |z| \cdot \sin(\phi ).$$
-Somit kann die komplexe Größe $z$ auch in folgender Form dargestellt werden:
+Somit kann die komplexe Größe&nbsp; $z$&nbsp; auch in folgender Form dargestellt werden:
 :$$z = |z| \cdot \cos (\phi) + {\rm j} \cdot |z| \cdot \sin (\phi) = |z| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}.$$
-Hierbei  ist der '''Satz von Euler''' verwendet, der unten bewiesen wird. Dieser besagt, dass die komplexe Größe $ {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}$ den Realteil $\cos(\phi)$ und den Imaginärteil $\sin(\phi)$ aufweist.
+Hierbei  wurde der&nbsp; '''Satz von Euler'''&nbsp; verwendet, der unten bewiesen wird. &nbsp;Dieser besagt, dass die komplexe Größe&nbsp; $ {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}$&nbsp; den Realteil&nbsp; $\cos(\phi)$&nbsp; und den Imaginärteil&nbsp; $\sin(\phi)$&nbsp; aufweist.
-Weiter erkennt man aus der  Grafik, dass für die '''Konjugiert-Komplexe''' von $z = x + {\rm j}\cdot y$ gilt:&nbsp;
+Weiter erkennt man aus der  Grafik, dass für die&nbsp; '''Konjugiert-Komplexe'''&nbsp; von&nbsp; $z = x + {\rm j}\cdot y$&nbsp; gilt:&nbsp;
-:$$z^{\star} = x - {\rm j} \cdot y = |z| \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}\phi}.$$
+:$$z^{\star} = x - {\rm j} \cdot y = |z| \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi}.$$
 {{BlaueBox|TEXT=
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 *Mit imaginärem Argument kann hierfür auch geschrieben werden:&nbsp;
-:$${\rm e}^{ {\rm j}x} = 1 +  {\rm j} \cdot \frac{x}{1!}+ {\rm j}^2 \cdot \frac{x^2}{2!}+ {\rm j}^3 \cdot \frac{x^3}{3!}
+:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = 1 +  {\rm j} \cdot \frac{x}{1!}+ {\rm j}^2 \cdot \frac{x^2}{2!}+ {\rm j}^3 \cdot \frac{x^3}{3!}
 + {\rm j}^4 \cdot \frac{x^4}{4!} + \text{ ...}  \hspace{0.15cm}.$$
-*Berücksichtigt man <math>{\rm j}^{2}=-1, \ {\rm j}^{3} = -{\rm j},\  {\rm j}^{4} = 1, \ {\rm j}^{5} = {\rm j},  \text{ ...} \hspace{0.15cm}</math> und fasst die reellen und die imaginären Terme zusammen, so erhält man
+*Berücksichtigt man&nbsp; <math>{\rm j}^{2}=-1, \ \ {\rm j}^{3} = -{\rm j},\ \ {\rm j}^{4} = 1, \ \ {\rm j}^{5} = {\rm j},  \text{ ...} \hspace{0.15cm}</math>&nbsp; und fasst die reellen und die imaginären Terme zusammen, so erhält man
-:$${\rm e}^{ {\rm j}x} = A(x) +  {\rm j}\cdot B(x).$$
+:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = A(x) +  {\rm j}\cdot B(x).$$
 * Für die beiden Reihen gilt dabei:
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 \sin(x).$$
-*Daraus folgt direkt der '''Satz von Euler''':&nbsp;
+*Daraus folgt direkt der&nbsp; '''Satz von Euler''':&nbsp;
-:$${\rm e}^{ {\rm j}x} = \cos (x) +  {\rm j} \cdot \sin (x) \hspace{2cm}
+:$${\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}x} = \cos (x) +  {\rm j} \cdot \sin (x) \hspace{2cm}
 \rm q.e.d.$$}}

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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Die komplexe Zahl&nbsp; $z_1 = 2{\rm j}$&nbsp; ist eine der zwei möglichen Lösungen der Gleichung&nbsp; $z^2+4=0$. Die andere Lösung ist&nbsp;  $z_2 = -2{\rm j}$.
+Die komplexe Zahl&nbsp; $z_1 = 2 \cdot {\rm j}$&nbsp; ist eine der zwei möglichen Lösungen der Gleichung&nbsp; $z^2+4=0$. Die andere Lösung ist&nbsp;  $z_2 = -2 \cdot {\rm j}$.
 Dagegen geben&nbsp; $z_3 = 2 + {\rm j}$&nbsp; und&nbsp;  $z_4 = 2 -{\rm j}$&nbsp; die beiden Lösungen zu folgender Gleichung an:&nbsp;
-:$$(z-2- {\rm j})(z-2+ {\rm j}) = 0 \;\Rightarrow \;z^{2}-4 \cdot z+5=0.$$
+:$$(z-2- {\rm j})(z-2+ {\rm j}) = 0 \; \ \Rightarrow \;\ z^{2}-4 \cdot z+5=0.$$
 Man bezeichnet&nbsp; $z_4 = z_3^\ast$&nbsp; auch als die&nbsp; '''Konjugiert-Komplexe'''&nbsp; von&nbsp; $z_3$.
 *Die Summe&nbsp; $z_3 + z_4$&nbsp; ist rein reell:&nbsp;
-:$$z_3 + z_4 = 2 \cdot {\rm Re}[z_3]=2 \cdot {\rm Re}[z_4]$$.
+:$$z_3 + z_4 = 2 \cdot {\rm Re}[z_3]=2 \cdot {\rm Re}[z_4].$$
 *Die Differenz&nbsp; $z_3 - z_4$&nbsp; ist rein imaginär:&nbsp;
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-''Anmerkung'': In der Literatur werden komplexe Größen oft durch Unterstreichung gekennzeichnet. Hierauf wird in den&nbsp; $\rm LNTwww$&ndash;Büchern  verzichtet.
+''Anmerkung'': &nbsp; In der Literatur werden komplexe Größen oft durch Unterstreichung gekennzeichnet. Hierauf wird in den&nbsp; $\rm LNTwww$&ndash;Büchern  verzichtet.

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definitionen:}$&nbsp;
-*'''Natürliche Zahlen''' $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \text{...}\hspace{0.05cm} \}$. Mit diesen Zahlen sind die Rechenoperationen Addition, Multiplikation und „$x^y$” möglich. Das jeweilige Ergebnis einer Rechenoperation ist wieder eine natürliche Zahl.
+*'''Natürliche Zahlen''' $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \text{...}\hspace{0.05cm} \}$. Mit diesen Zahlen sind für $n, \ k \in \mathbb{N}$ die Rechenoperationen Addition $(m = n +k)$, Multiplikation $(m = n \cdot k)$ und $m = n^k$ möglich. Das jeweilige Ergebnis einer Rechenoperation ist wieder eine natürliche Zahl: &nbsp; $m \in \mathbb{N}$.
-*'''Ganze Zahlen''' $\mathbb{Z} = \{\text{...}\hspace{0.05cm} , -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \text{...}\hspace{0.05cm}\}$. Diese Zahlenmenge ist eine Erweiterung der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$. Die Einführung der Menge $\mathbb{Z}$ war notwendig, um die Ergebnismenge einer Substraktion zu erfassen, zum Beispiel $5 - 7 = - 2$.
+*'''Ganze Zahlen''' $\mathbb{Z} = \{\text{...}\hspace{0.05cm} , -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \text{...}\hspace{0.05cm}\}$. Diese Zahlenmenge ist eine Erweiterung der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$. Die Einführung der Menge $\mathbb{Z}$ war notwendig, um die Ergebnismenge einer Substraktion $(m = n -k)$ zu erfassen, zum Beispiel $5 - 7 = - 2$.
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-[[Datei:P_ID821_Sig_T_1_3_S1_rah.png |right|frame|Zahlenstrahl]]
+[[Datei:P_ID821_Sig_T_1_3_S1_rah.png |right|frame|Reelle Zahlen auf dem Zahlenstrahl]]
 *'''Reelle Zahlen''' $\mathbb{R} = \mathbb{Q}  \cup  \mathbb{I}$ als die Gesamtheit aller rationalen und irrationalen Zahlen.
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 Mit der Einführung der irrationalen Zahlen war zwar die Lösung der Gleichung $a^2-2=0$ möglich, nicht jedoch die Lösung der Gleichung  $a^2+1=0$. Der Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler] löste dieses Problem, indem er den Körper der reellen Zahlen um die ''imaginären Zahlen'' erweiterte. Er definierte dazu die '''imaginäre Einheit''' wie folgt:
-:$${\rm j}=\sqrt{-1} \Rightarrow {\rm j}^{2}=-1.$$
+:$${\rm j}=\sqrt{-1} \ \Rightarrow \ {\rm j}^{2}=-1.$$
 Anzumerken ist, dass Euler diese Größe mit „i” bezeichnet hat und dies auch heute noch in der Mathematik so üblich ist. In der Elektrotechnik hat sich dagegen die Bezeichnung „j” durchgesetzt, da „i” bereits mit dem zeitabhängigen Strom belegt ist.
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 :$$(z-2- {\rm j})(z-2+ {\rm j}) = 0 \;\Rightarrow \;z^{2}-4 \cdot z+5=0.$$
-Man bezeichnet $z_4 = z_3^\ast$ auch als die '''Konjugiert-Komplexe''' von $z_3$. Die Summe $z_3 + z_4$ ist rein reell:&nbsp;
+Man bezeichnet $z_4 = z_3^\ast$ auch als die '''Konjugiert-Komplexe''' von $z_3$.
-:$$z_3 + z_4 = 2 \cdot {\rm Re}[z_3]=2 \cdot {\rm Re}[z_4]$$}}
+:$$z_3 + z_4 = 2 \cdot {\rm Re}[z_3]=2 \cdot {\rm Re}[z_4]$$.
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 :$$z = |z| \cdot \cos (\phi) + {\rm j} \cdot |z| \cdot \sin (\phi) = |z| \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}.$$
-Hierbei  ist der '''Satz von Euler''' verwendet, der unten bewiesen wird. Dieser besagt, dass die komplexe Größe $ {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}$ den Realteil $\cos(\phi)$ und den Imaginärteil $\sin(\phi)$) aufweist.
+Hierbei  ist der '''Satz von Euler''' verwendet, der unten bewiesen wird. Dieser besagt, dass die komplexe Größe $ {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi}$ den Realteil $\cos(\phi)$ und den Imaginärteil $\sin(\phi)$ aufweist.
 Weiter erkennt man aus der  Grafik, dass für die '''Konjugiert-Komplexe''' von $z = x + {\rm j}\cdot y$ gilt:&nbsp;
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-In der Grafik als Punkte innerhalb der komplexen Ebene dargestellt:
+In der Grafik sind als Punkte innerhalb der komplexen Ebene dargestellt:
 *die komplexe Zahl <math>z=0.75 + {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}53.1^{\circ} }</math>,
 *deren Konjugiert-Komplexe <math>z^{\ast} = 0.75 - {\rm j} = 1.25 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}53.1^{\circ} }</math>,
 *die Summe <math>s=z+z^{\ast}=1.5</math> (rein reell),
 *die Differenz <math>d=z-z^{\ast}=2{\rm j}</math> (rein imaginär).
 *das Produkt <math>p=z \cdot z^{\ast} = 1.25^{2} \approx 1.5625</math> (ebenfalls rein reell)
 *der Quotient <math>q= {z}/{z^{\ast} }={\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}106.2^{\circ} }</math> mit Betrag $1$ und dem doppelten Phasenwinkel von $z$.}}