Signaldarstellung/Zeitdiskrete Signaldarstellung - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Mai 2021 um 15:59 Uhr

2021-05-12T15:59:56Z

Guenter am 12. Mai 2021 um 13:29 Uhr

2021-05-12T13:29:10Z

Guenter am 12. Mai 2021 um 13:27 Uhr

2021-05-12T13:27:50Z

Guenter am 12. Mai 2021 um 13:23 Uhr

2021-05-12T13:23:23Z

Änderungen zeigen

Guenter am 12. Mai 2021 um 11:09 Uhr

2021-05-12T11:09:53Z

Guenter am 10. Oktober 2019 um 09:43 Uhr

2019-10-10T09:43:41Z

Änderungen zeigen

Guenter am 27. Juli 2018 um 09:15 Uhr

2018-07-27T09:15:17Z

Guenter am 27. Juli 2018 um 08:24 Uhr

2018-07-27T08:24:49Z

Änderungen zeigen

Guenter am 31. Januar 2018 um 09:16 Uhr

2018-01-31T09:16:24Z

Guenter am 31. Januar 2018 um 09:15 Uhr

2018-01-31T09:15:05Z

@@ Zeile 50: / Zeile 50: @@
 *Das zeitkontinuierliche Signal sei&nbsp; $x(t)$.
 *Das in äquidistanten Abständen&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; abgetastete Signal sei&nbsp; $x_{\rm A}(t)$.
-*Die Laufvariable&nbsp; $\nu$&nbsp; der Abtastung sei&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen|ganzzahlig]]:  :$$\nu \in \mathbb{Z} =  \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} .$$
+*Die Laufvariable&nbsp; $\nu$&nbsp; der Abtastung sei&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen|ganzzahlig]]:
 *Außerhalb der Abtastzeitpunkte&nbsp; $\nu \cdot T_{\rm A}$&nbsp; gilt stets&nbsp; $x_{\rm A}(t) = 0$.

← Nächstältere Version		Version vom 12. Mai 2021, 13:29 Uhr
Zeile 264:		Zeile 264:

	''Hinweis'':   Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:		''Hinweis'':   Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:
−	[[Applets:~~Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)~~\|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]	+	[[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion\|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]

@@ Zeile 208: / Zeile 208: @@
 *Das Analogsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der  Bandbreite&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; wird wie oben beschrieben abgetastet.
 *Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal&nbsp; $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$&nbsp; vor.
-*Die Frage ist nun, wie der Block&nbsp; '''Signalrekonstruktion'''&nbsp; zu gestalten ist, damit auch&nbsp; $y(t) = x(t)$&nbsp; gilt.
+*Die Frage ist nun, wie der Block&nbsp; $\text{Signalrekonstruktion}$&nbsp; zu gestalten ist, damit auch&nbsp; $y(t) = x(t)$&nbsp; gilt.
 <br clear=all>
 [[Datei:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der Signalrekonstruktion]]

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 == # ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Voraussetzung für die systemtheoretische Untersuchung von Digitalsystemen oder für deren Computersimulation ist eine geeignete zeitdiskrete Signalbeschreibung. Dieses Kapitel verdeutlicht den mathematischen Übergang von zeitkontinuierlichen auf zeitdiskrete Signale, wobei von&nbsp;  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und  Fourierrücktransformation]]&nbsp;  ausgegangen wird.
+Voraussetzung für die systemtheoretische Untersuchung von Digitalsystemen oder für deren Computersimulation ist eine geeignete zeitdiskrete Signalbeschreibung.
 Das Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
-*die ''Zeit- und Frequenzbereichsdarstellung''&nbsp; zeitdiskreter Signale,
+*die Zeit- und Frequenzbereichsdarstellung zeitdiskreter Signale,
-*das ''Abtasttheorem'', das bei der Zeitdiskretisierung unbedingt zu beachten ist,
+*das Abtasttheorem, das bei der Zeitdiskretisierung unbedingt zu beachten ist,
-*die ''Rekonstruktion des Analogsignals''&nbsp; aus der zeitdiskreten Repräsentation,
+*die Rekonstruktion des Analogsignals aus der zeitdiskreten Repräsentation,
-*die ''Diskrete Fouriertransformation''&nbsp; (DFT) und deren Inverse (IDFT),
+*die Diskrete Fouriertransformation (DFT) und deren Inverse (IDFT),
-*die ''Fehlermöglichkeiten''&nbsp; bei Anwendung von DFT und IDFT,
+*die Fehlermöglichkeiten bei Anwendung von DFT und IDFT,
-*die Anwendung der ''Spektralanalyse''&nbsp; zur Verbesserung messtechnischer Verfahren, und
+*die Anwendung der Spektralanalyse zur Verbesserung messtechnischer Verfahren, und
-*den für eine Rechnerimplementierung besonders geeigneten ''FFT-Algorithmus''.
+*den für eine Rechnerimplementierung besonders geeigneten FFT-Algorithmus.
@@ Zeile 23: / Zeile 25: @@
 Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im
-*Kapitel 7: &nbsp; &nbsp; ''Diskrete Fouriertransformation'', Programm dft,
+*Kapitel 7: &nbsp; &nbsp; Diskrete Fouriertransformation, Programm dft,
-*Kapitel 8: &nbsp; &nbsp; ''Spektralanalyse'', Programm stp, und
+*Kapitel 8: &nbsp; &nbsp; Spektralanalyse, Programm stp, und
-*Kapitel 12: &nbsp; ''Pulscodemodulation'', Programm pcm
+*Kapitel 12: &nbsp; Pulscodemodulation, Programm pcm
-des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik&rdquo;. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
+des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik&rdquo;.&nbsp; Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
 *dem Lehrsoftwarepaket&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,
 *der&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung - Teil A]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 7: Seite 119-144, Kapitel 8: Seite 145-164, und

@@ Zeile 161: / Zeile 161: @@
 ==Frequenzbereichsdarstellung==
 <br>
-Zum Spektrum von $x_{\rm A}(t)$ kommt man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltungsoperation im Spektralbereich entspricht:
+Zum Spektrum von $x_{\rm A}(t)$ kommt man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:
 :$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
@@ Zeile 186: / Zeile 186: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Die obere Grafik zeigt schematisch das Spektrum $X(f)$ eines analogen Signals $x(t)$, das Frequenzen bis 5 kHz beinhaltet.
+Die obere Grafik zeigt schematisch das Spektrum $X(f)$ eines Analogsignals $x(t)$, das Frequenzen bis $5 \text{ kHz}$ beinhaltet.
 [[Datei:P_ID1122__Sig_T_5_1_S4_neu.png|center|frame|Spektrum des abgetasteten Signals]]
 Tastet man das Signal mit der Abtastrate $f_{\rm A}\,\text{ = 20 kHz}$, also im jeweiligen Abstand $T_{\rm A}\, = {\rm 50 \, &micro;s}$ ab, so erhält man das unten skizzierte periodische Spektrum $X_{\rm A}(f)$.
-*Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet $x_{\rm A}(t)$ auch beliebig hochfrequente Anteile.
+*Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet das abgetastete Signal  $x_{\rm A}(t)$ auch beliebig hochfrequente Anteile.
 *Dementsprechend ist die Spektralfunktion $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals bis ins Unendliche ausgedehnt.}}
@@ Zeile 197: / Zeile 197: @@
 ==Signalrekonstruktion==
 <br>
-Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Nachrichtenübertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden. Betrachten wir zum Beispiel das folgende System:
+[[Datei:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|right|frame|Signalabtastung und &ndash;rekonstruktion]]
-Das Analogsignal $x(t)$ mit Bandbreite $B_{\rm NF}$ wird wie oben beschrieben abgetastet. Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ vor. Die Frage ist nun, wie der Block '''Signalrekonstruktion''' zu gestalten ist, damit auch $y(t) = x(t)$ gilt.
+Die Lösung ist relativ einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet: &nbsp; Man erhält aus $Y_{\rm A}(f)$ das Spektrum $Y(f) = X(f)$ durch einen Tiefpass mit dem [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Frequenzgang]] $H(f)$, der
+[[Datei:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der Signalrekonstruktion]]
 *die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
 :$$H(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \le B_{\rm
@@ Zeile 212: / Zeile 212: @@
 :$$H(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \ge f_{\rm A} - B_{\rm
    NF}\hspace{0.05cm}.$$
-Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang $H(f)$ im Bereich von $B_{\rm NF}$ bis $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$ beliebig geformt sein kann, beispielsweise linear abfallend (gestrichelter Verlauf) oder auch rechteckförmig, solange die zwei oben genannten Bedingungen erfüllt sind.
+Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang $H(f)$ im Bereich von $B_{\rm NF}$ bis $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$ beliebig geformt sein kann,
 ==Das Abtasttheorem==
 <br>
-Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals $y(t)$ aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ ist nur möglich, wenn die Abtastrate $f_{\rm A}$ entsprechend der Bandbreite $B_{\rm NF}$ des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde. Aus der Grafik der [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Signalrekonstruktion|letzten Seite]] erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:
+Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals $y(t)$ aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ ist nur möglich, wenn die Abtastrate $f_{\rm A}$ entsprechend der Bandbreite $B_{\rm NF}$ des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde.
-$$f_{\rm A} - B_{\rm   NF} > B_{\rm   NF} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A} > 2 \cdot  B_{\rm   NF}\hspace{0.05cm}.$$
+Aus der Grafik der [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Signalrekonstruktion|letzten Seite]] erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Abtasttheorem:}$&nbsp; Besitzt ein Analogsignal $x(t)$ nur Spektralanteile im Bereich $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate $f_{\rm A} ≥ 2 \cdot B_{\rm NF}$ beträgt. Für den Abstand zweier Abtastwerte muss demnach gelten:
+$\text{Abtasttheorem:}$&nbsp; Besitzt ein Analogsignal $x(t)$ Spektralanteile im Bereich $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate hinreichend groß ist:
 :$$T_{\rm A} \le \frac{1}{ 2 \cdot B_{\rm   NF} }\hspace{0.05cm}.$$}}
-Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert  ⇒  $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$ herangezogen, so muss zur Signalrekonstruktion des Analogsignals aus seinen Abtastwerten ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 1/(2T_{\rm A})$ verwendet werden.
+Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert &nbsp; ⇒ &nbsp; $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$ herangezogen,
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Die Grafik zeigt oben das auf $\pm\,\text{ 5 kHz}$ begrenzte Spektrum $X(f)$ eines Analogsignals, unten das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des im Abstand $T_{\rm A} =\,\text{ 100 μs}$ abgetasteten Signals  ⇒  $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$. Zusätzlich eingezeichnet ist der Frequenzgang $H(f)$ des Tiefpasses zur Signalrekonstruktion, dessen Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5\,\text{ kHz}$ betragen muss.
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Die Grafik zeigt oben das auf $\pm\text{ 5 kHz}$ begrenzte Spektrum $X(f)$ eines Analogsignals, unten das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des im Abstand $T_{\rm A} =\,\text{ 100 &micro; s}$ abgetasteten Signals &nbsp; ⇒ &nbsp; $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$.
-*Mit jedem anderen $f_{\rm G}$–Wert ergibt sich $Y(f) \neq X(f)$.
 *Bei $f_{\rm G} < 5\,\text{ kHz}$ fehlen die oberen $X(f)$–Anteile.
 * Bei $f_{\rm G} > 5\,\text{ kHz}$ kommt es aufgrund von Faltungsprodukten zu unerwünschten Spektralanteilen in $Y(f)$.
+<br clear=all>
 Wäre die Abtastung beim Sender mit einer Abtastrate $f_{\rm A} < 10\,\text{ kHz}$  erfolgt  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $T_{\rm A} >100 \,{\rm &micro;  s}$, so wäre das Analogsignal $y(t) = x(t)$ aus den Abtastwerten $y_{\rm A}(t)$ auf keinen Fall rekonstruierbar.}}

@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
 *Das in äquidistanten Abständen $T_{\rm A}$abgetastete zeitdiskretisierte Signal sei $x_{\rm A}(t)$.
 *Außerhalb der Abtastzeitpunkte $\nu \cdot T_{\rm A}$ gilt stets $x_{\rm A}(t) = 0$.
-*Die Laufvariable $\nu$ sei [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen|ganzzahlig]]:  &nbsp; &nbsp; $\nu \in \mathbb{Z} =  \{\hspace{0.05cm} \text{...} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} $.
+*Die Laufvariable $\nu$ sei [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen|ganzzahlig]]:  &nbsp; &nbsp; $\nu \in \mathbb{Z} =  \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} $.
 *Dagegen ergibt sich zu den äquidistanten Abtastzeitpunkten mit der Konstanten $K$: