Signaldarstellung/Zeitdiskrete Signaldarstellung - Versionsgeschichte

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	Man erhält aus  $Y_{\rm A}(f)$  das Spektrum  $Y(f) = X(f)$  durch einen Tiefpass mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang\|Frequenzgang]]  $H(f)$, der		Man erhält aus  $Y_{\rm A}(f)$  das Spektrum  $Y(f) = X(f)$  durch einen Tiefpass mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang\|Frequenzgang]]  $H(f)$, der
	*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:		*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
	:$$H(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \le B_{\~~rmNF~~}\hspace{0.05cm},$$		:$$H(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \le B_{\rm NF}\hspace{0.05cm},$$
	*die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:		*die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:
	:$$H(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \ge f_{\rm A} - B_{\~~rmNF~~}\hspace{0.05cm}.$$		:$$H(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \ge f_{\rm A} - B_{\rm NF}\hspace{0.05cm}.$$

	Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang  $H(f)$  im Bereich von  $B_{\rm NF}$  bis  $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$  beliebig geformt sein kann, solange die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt sind,		Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang  $H(f)$  im Bereich von  $B_{\rm NF}$  bis  $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$  beliebig geformt sein kann, solange die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt sind,
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Signal_Representation/Discrete-Time_Signal_Representation]]

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Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	$\text{Definition:}$  Der  $\text{Diracpuls}$  (im Zeitbereich)  besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand  $T_{\rm A}$  und alle mit gleichem Impulsgewicht  $T_{\rm A}$:		$\text{Definition:}$  Der  $\text{Diracpuls}$  (im Zeitbereich)  besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand  $T_{\rm A}$  und alle mit gleichem Impulsgewicht  $T_{\rm A}$:

	:$$p_{\delta}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot		:$$p_{\delta}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot\delta(t- \nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$}}
	\delta(t- \nu \cdot T_{\rm A}
	)\hspace{0.05cm}.$$}}


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	*Die Abtastwerte von  $x(t)$  erscheinen in den Impulsgewichten der Diracfunktionen:		*Die Abtastwerte von  $x(t)$  erscheinen in den Impulsgewichten der Diracfunktionen:

	:$$x_{\rm A}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot		:$$x_{\rm A}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot\delta (t- \nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
	\delta (t- \nu \cdot T_{\rm A}
	)\hspace{0.05cm}.$$

	*Die zusätzliche Multiplikation mit  $T_{\rm A}$  ist erforderlich, damit  $x(t)$  und  $x_{\rm A}(t)$  gleiche Einheit besitzen.  Beachten Sie, dass  $\delta (t)$  selbst die Einheit „1/s” aufweist.		*Die zusätzliche Multiplikation mit  $T_{\rm A}$  ist erforderlich, damit  $x(t)$  und  $x_{\rm A}(t)$  gleiche Einheit besitzen.  Beachten Sie, dass  $\delta (t)$  selbst die Einheit „1/s” aufweist.
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	$\text{Satz:}$  Entwickelt man den  $\text{Diracpuls}$  in eine  [[Signaldarstellung/Fourierreihe\|Fourierreihe]]  und transformiert diese unter Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]  in den Frequenzbereich, so ergibt sich folgende Korrespondenz:		$\text{Satz:}$  Entwickelt man den  $\text{Diracpuls}$  in eine  [[Signaldarstellung/Fourierreihe\|Fourierreihe]]  und transformiert diese unter Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]  in den Frequenzbereich, so ergibt sich folgende Korrespondenz:

	:$$p_{\delta}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot		:$$p_{\delta}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot\delta(t- \nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} P_{\delta}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta(f- \mu \cdot f_{\rm A} ).$$
	\delta(t- \nu \cdot T_{\rm A}
	)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} P_{\delta}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta
	(f- \mu \cdot f_{\rm A} ).$$

	Hierbei gibt  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  den Abstand zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich an. }}		Hierbei gibt  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  den Abstand zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich an. }}
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	'''(1)'''   Da  $p_{\delta}(t)$  periodisch mit dem konstanten Abstand  $T_{\rm A}$  zwischen zwei Diraclinien ist, kann die  [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe\|(komplexe) Fourierreihendarstellung]]  angewendet werden:		'''(1)'''   Da  $p_{\delta}(t)$  periodisch mit dem konstanten Abstand  $T_{\rm A}$  zwischen zwei Diraclinien ist, kann die  [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe\|(komplexe) Fourierreihendarstellung]]  angewendet werden:

	:$$p_{\delta}(t) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} D_{\mu} \cdot		:$$p_{\delta}(t) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} D_{\mu} \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}D_{\mu} = \frac{1}{T_{\rm A} } \cdot \int_{-T_{\rm A}/2}^{+T_{\rm A}/2}p_{\delta}(t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }
	\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
	D_{\mu} = \frac{1}{T_{\rm A} } \cdot \int_{-T_{\rm A}/2
	}^{+T_{\rm A}/2}p_{\delta}(t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}
	\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''   Im Bereich von  $–T_{\rm A}/2$  bis  $+T_{\rm A}/2$  gilt für den Diracpuls im Zeitbereich:   $p_{\delta}(t) = T_{\rm A} \cdot \delta(t)$.  Damit kann man für die komplexen Fourierkoeffizienten schreiben:		'''(2)'''   Im Bereich von  $–T_{\rm A}/2$  bis  $+T_{\rm A}/2$  gilt für den Diracpuls im Zeitbereich:   $p_{\delta}(t) = T_{\rm A} \cdot \delta(t)$.  Damit kann man für die komplexen Fourierkoeffizienten schreiben:
	:$$D_{\mu} = \int_{-T_{\rm A}/2		:$$D_{\mu} = \int_{-T_{\rm A}/2}^{+T_{\rm A}/2}{\delta}(t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
	}^{+T_{\rm A}/2}{\delta}(t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}
	\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
	'''(3)'''   Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass für  $t \neq 0$  der Diracimpuls Null ist und für  $t = 0$  der komplexe Drehfaktor gleich  $1$, gilt weiter:		'''(3)'''   Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass für  $t \neq 0$  der Diracimpuls Null ist und für  $t = 0$  der komplexe Drehfaktor gleich  $1$, gilt weiter:
	:$$D_{\mu} = \int_{- T_{\rm A}/2		:$$D_{\mu} = \int_{- T_{\rm A}/2}^{+T_{\rm A}/2}{\delta}(t) \hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1\hspace{0.5cm}{\Rightarrow}\hspace{0.5cm}p_{\delta}(t) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.05cm}.$$
	}^{+T_{\rm A}/2}{\delta}(t) \hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1\hspace{0.5cm}{\Rightarrow}\hspace{0.5cm}
	p_{\delta}(t) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}
	\cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.05cm}.
	$$
	'''(4)'''   Der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz im Frequenzbereich]]  lautet mit  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$:		'''(4)'''   Der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz im Frequenzbereich]]  lautet mit  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$:
	:$${\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}		:$${\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}\delta(f- \mu \cdot f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
	f_{\rm A}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
	\delta
	(f- \mu \cdot f_{\rm A}
	)\hspace{0.05cm}.$$
	'''(5)'''   Wendet man das Ergebnis auf jeden einzelnen Summanden an, so erhält man schließlich:		'''(5)'''   Wendet man das Ergebnis auf jeden einzelnen Summanden an, so erhält man schließlich:

	:$$P_{\delta}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta		:$$P_{\delta}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta(f- \mu \cdot f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
	(f- \mu \cdot f_{\rm A}
	)\hspace{0.05cm}.$$
	<div align="right">q.e.d.</div>}}		<div align="right">q.e.d.</div>}}

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	Zum Spektrum des abgetasteten Signals  $x_{\rm A}(t)$  kommt man durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich\|Faltungssatzes]].  Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:		Zum Spektrum des abgetasteten Signals  $x_{\rm A}(t)$  kommt man durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich\|Faltungssatzes]].  Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:

	:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}		:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$
	X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$

	Aus dem Spektrum  $X(f)$  wird durch Faltung mit der um  $\mu \cdot f_{\rm A}$  verschobenen Diraclinie:		Aus dem Spektrum  $X(f)$  wird durch Faltung mit der um  $\mu \cdot f_{\rm A}$  verschobenen Diraclinie:

	:$$X(f) \star \delta		:$$X(f) \star \delta(f- \mu \cdot f_{\rm A})= X (f- \mu \cdot f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
	(f- \mu \cdot f_{\rm A}
	)= X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
	)\hspace{0.05cm}.$$

	Wendet man dieses Ergebnis auf alle Diraclinien des Diracpulses an, so erhält man schließlich:		Wendet man dieses Ergebnis auf alle Diraclinien des Diracpulses an, so erhält man schließlich:

	:$$X_{\rm A}(f) = X(f) \star \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta		:$$X_{\rm A}(f) = X(f) \star \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta(f- \mu \cdot f_{\rm A}) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
	(f- \mu \cdot f_{\rm A}
	) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
	)\hspace{0.05cm}.$$

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
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	Man erhält aus  $Y_{\rm A}(f)$  das Spektrum  $Y(f) = X(f)$  durch einen Tiefpass mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang\|Frequenzgang]]  $H(f)$, der		Man erhält aus  $Y_{\rm A}(f)$  das Spektrum  $Y(f) = X(f)$  durch einen Tiefpass mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang\|Frequenzgang]]  $H(f)$, der
	*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:		*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
	:$$H(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \le B_{\rm		:$$H(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \le B_{\rmNF}\hspace{0.05cm},$$
	NF}\hspace{0.05cm},$$
	*die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:		*die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:
	:$$H(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \ge f_{\rm A} - B_{\rm		:$$H(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \ge f_{\rm A} - B_{\rmNF}\hspace{0.05cm}.$$
	NF}\hspace{0.05cm}.$$

	Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang  $H(f)$  im Bereich von  $B_{\rm NF}$  bis  $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$  beliebig geformt sein kann, solange die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt sind,		Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang  $H(f)$  im Bereich von  $B_{\rm NF}$  bis  $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$  beliebig geformt sein kann, solange die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt sind,

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	des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Lehrsoftwarepaket  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,		*dem Lehrsoftwarepaket  [/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,
	*der  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung - Teil A]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 7: Seite 119-144, Kapitel 8: Seite 145-164, und		*der  [/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung - Teil A]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 7: Seite 119-144, Kapitel 8: Seite 145-164, und
	*der  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung - Teil B]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 12: Seite 271-294.		*der  [/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung - Teil B]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 12: Seite 271-294.

Guenter am 12. Mai 2021 um 15:59 Uhr

2021-05-12T15:59:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Mai 2021, 17:59 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	*Das zeitkontinuierliche Signal sei  $x(t)$.		*Das zeitkontinuierliche Signal sei  $x(t)$.
	*Das in äquidistanten Abständen  $T_{\rm A}$  abgetastete Signal sei  $x_{\rm A}(t)$.		*Das in äquidistanten Abständen  $T_{\rm A}$  abgetastete Signal sei  $x_{\rm A}(t)$.
	*Die Laufvariable  $\nu$  der Abtastung sei  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen\|ganzzahlig]]: :$$\nu \in \mathbb{Z} = \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} .$$		*Die Laufvariable  $\nu$  der Abtastung sei  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen\|ganzzahlig]]:
			:$$\nu \in \mathbb{Z} = \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} .$$
	*Außerhalb der Abtastzeitpunkte  $\nu \cdot T_{\rm A}$  gilt stets  $x_{\rm A}(t) = 0$.		*Außerhalb der Abtastzeitpunkte  $\nu \cdot T_{\rm A}$  gilt stets  $x_{\rm A}(t) = 0$.

Guenter am 12. Mai 2021 um 13:29 Uhr

2021-05-12T13:29:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Mai 2021, 15:29 Uhr
Zeile 264:		Zeile 264:

	''Hinweis'':   Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:		''Hinweis'':   Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:
	[[Applets:~~Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)~~\|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]		[[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion\|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]

Guenter am 12. Mai 2021 um 13:27 Uhr

2021-05-12T13:27:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Mai 2021, 15:27 Uhr
Zeile 208:		Zeile 208:
	*Das Analogsignal  $x(t)$  mit der Bandbreite  $B_{\rm NF}$  wird wie oben beschrieben abgetastet.		*Das Analogsignal  $x(t)$  mit der Bandbreite  $B_{\rm NF}$  wird wie oben beschrieben abgetastet.
	*Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  vor.		*Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  vor.
	*Die Frage ist nun, wie der Block  ~~'''~~Signalrekonstruktion~~'''~~  zu gestalten ist, damit auch  $y(t) = x(t)$  gilt.		*Die Frage ist nun, wie der Block  $\text{Signalrekonstruktion}$  zu gestalten ist, damit auch  $y(t) = x(t)$  gilt.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	[[Datei:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png\|right\|frame\|Frequenzbereichsdarstellung der Signalrekonstruktion]]		[[Datei:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png\|right\|frame\|Frequenzbereichsdarstellung der Signalrekonstruktion]]

Guenter am 12. Mai 2021 um 13:23 Uhr

2021-05-12T13:23:23Z

Änderungen zeigen

Guenter am 12. Mai 2021 um 11:09 Uhr

2021-05-12T11:09:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Mai 2021, 13:09 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	== # ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL # ==		== # ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL # ==
	<br>		<br>
	Voraussetzung für die systemtheoretische Untersuchung von Digitalsystemen oder für deren Computersimulation ist eine geeignete zeitdiskrete Signalbeschreibung. Dieses Kapitel verdeutlicht den mathematischen Übergang von zeitkontinuierlichen auf zeitdiskrete Signale, wobei von  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und Fourierrücktransformation]]  ausgegangen wird.		Voraussetzung für die systemtheoretische Untersuchung von Digitalsystemen oder für deren Computersimulation ist eine geeignete zeitdiskrete Signalbeschreibung.

			Dieses Kapitel verdeutlicht den mathematischen Übergang von zeitkontinuierlichen auf zeitdiskrete Signale, wobei von  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und Fourierrücktransformation]]  ausgegangen wird.

	Das Kapitel beinhaltet im Einzelnen:		Das Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
	*die ''Zeit- und Frequenzbereichsdarstellung~~'' ~~ zeitdiskreter Signale,		*die Zeit- und Frequenzbereichsdarstellung zeitdiskreter Signale,
	*das ''Abtasttheorem'', das bei der Zeitdiskretisierung unbedingt zu beachten ist,		*das Abtasttheorem, das bei der Zeitdiskretisierung unbedingt zu beachten ist,
	*die ''Rekonstruktion des Analogsignals~~'' ~~ aus der zeitdiskreten Repräsentation,		*die Rekonstruktion des Analogsignals aus der zeitdiskreten Repräsentation,
	*die ''Diskrete Fouriertransformation~~'' ~~ (DFT) und deren Inverse (IDFT),		*die Diskrete Fouriertransformation (DFT) und deren Inverse (IDFT),
	*die ''Fehlermöglichkeiten~~'' ~~ bei Anwendung von DFT und IDFT,		*die Fehlermöglichkeiten bei Anwendung von DFT und IDFT,
	*die Anwendung der ''Spektralanalyse~~'' ~~ zur Verbesserung messtechnischer Verfahren, und		*die Anwendung der Spektralanalyse zur Verbesserung messtechnischer Verfahren, und
	*den für eine Rechnerimplementierung besonders geeigneten ''FFT-Algorithmus''.		*den für eine Rechnerimplementierung besonders geeigneten FFT-Algorithmus.


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	Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im		Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

	*Kapitel 7:     ''Diskrete Fouriertransformation'', Programm dft,		*Kapitel 7:     Diskrete Fouriertransformation, Programm dft,
	*Kapitel 8:     ''Spektralanalyse'', Programm stp, und		*Kapitel 8:     Spektralanalyse, Programm stp, und
	*Kapitel 12:   ''Pulscodemodulation'', Programm pcm		*Kapitel 12:   Pulscodemodulation, Programm pcm


	des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Lehrsoftwarepaket  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,		*dem Lehrsoftwarepaket  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,
	*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung - Teil A]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 7: Seite 119-144, Kapitel 8: Seite 145-164, und		*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung - Teil A]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 7: Seite 119-144, Kapitel 8: Seite 145-164, und

Guenter am 10. Oktober 2019 um 09:43 Uhr

2019-10-10T09:43:41Z

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Guenter am 27. Juli 2018 um 09:15 Uhr

2018-07-27T09:15:17Z

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	==Frequenzbereichsdarstellung==		==Frequenzbereichsdarstellung==
	<br>		<br>
	Zum Spektrum von $x_{\rm A}(t)$ kommt man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich\|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die ~~Faltungsoperation~~ im Spektralbereich entspricht:		Zum Spektrum von $x_{\rm A}(t)$ kommt man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich\|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:

	:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}		:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Die obere Grafik zeigt schematisch das Spektrum $X(f)$ eines ~~analogen Signals~~ $x(t)$, das Frequenzen bis 5 kHz beinhaltet.		Die obere Grafik zeigt schematisch das Spektrum $X(f)$ eines Analogsignals $x(t)$, das Frequenzen bis $5 \text{ kHz}$ beinhaltet.

	[[Datei:P_ID1122__Sig_T_5_1_S4_neu.png\|center\|frame\|Spektrum des abgetasteten Signals]]		[[Datei:P_ID1122__Sig_T_5_1_S4_neu.png\|center\|frame\|Spektrum des abgetasteten Signals]]

	Tastet man das Signal mit der Abtastrate $f_{\rm A}\,\text{ = 20 kHz}$, also im jeweiligen Abstand $T_{\rm A}\, = {\rm 50 \, µs}$ ab, so erhält man das unten skizzierte periodische Spektrum $X_{\rm A}(f)$.		Tastet man das Signal mit der Abtastrate $f_{\rm A}\,\text{ = 20 kHz}$, also im jeweiligen Abstand $T_{\rm A}\, = {\rm 50 \, µs}$ ab, so erhält man das unten skizzierte periodische Spektrum $X_{\rm A}(f)$.
	*Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet $x_{\rm A}(t)$ auch beliebig hochfrequente Anteile.		*Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet das abgetastete Signal $x_{\rm A}(t)$ auch beliebig hochfrequente Anteile.
	*Dementsprechend ist die Spektralfunktion $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals bis ins Unendliche ausgedehnt.}}		*Dementsprechend ist die Spektralfunktion $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals bis ins Unendliche ausgedehnt.}}

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	==Signalrekonstruktion==		==Signalrekonstruktion==
	<br>		<br>
	Die Signalabtastung ist bei einem digitalen ~~Nachrichtenübertragungssystem~~ kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden. Betrachten wir zum Beispiel das folgende System:		[[Datei:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png\|right\|frame\|Signalabtastung und –rekonstruktion]]
			Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Übertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden. Betrachten wir zum Beispiel das folgende System:
			*Das Analogsignal $x(t)$ mit Bandbreite $B_{\rm NF}$ wird wie oben beschrieben abgetastet.
			*Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ vor.
			*Die Frage ist nun, wie der Block '''Signalrekonstruktion''' zu gestalten ist, damit auch $y(t) = x(t)$ gilt.

	~~[[Datei:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png\|center\|frame\|Signalabtastung und -rekonstruktion]]~~

	Das Analogsignal $x(t)$ mit Bandbreite $B_{\rm NF}$ wird wie oben beschrieben abgetastet. Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ vor. Die Frage ist nun, wie der Block '''Signalrekonstruktion''' zu gestalten ist, damit auch $y(t) = x(t)$ gilt.		Die Lösung ist relativ einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet:   Man erhält aus $Y_{\rm A}(f)$ das Spektrum $Y(f) = X(f)$ durch einen Tiefpass mit dem [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang\|Frequenzgang]] $H(f)$, der
			[[Datei:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png\|right\|frame\|Frequenzbereichsdarstellung der Signalrekonstruktion]]
	~~[[Datei:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png\|center\|frame\|Frequenzbereichsdarstellung der Signalrekonstruktion]]~~

	Die Lösung ist relativ einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet: Man erhält aus $Y_{\rm A}(f)$ das Spektrum $Y(f) = X(f)$ durch einen Tiefpass mit dem [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang\|Frequenzgang]] $H(f)$, der
	*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:		*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
	:$$H(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \le B_{\rm		:$$H(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \le B_{\rm
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	:$$H(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \ge f_{\rm A} - B_{\rm		:$$H(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} \|f\| \ge f_{\rm A} - B_{\rm
	NF}\hspace{0.05cm}.$$		NF}\hspace{0.05cm}.$$
	Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang $H(f)$ im Bereich von $B_{\rm NF}$ bis $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$ beliebig geformt sein kann, beispielsweise linear abfallend (gestrichelter Verlauf) oder auch rechteckförmig, ~~solange die zwei oben genannten Bedingungen erfüllt sind.~~		Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang $H(f)$ im Bereich von $B_{\rm NF}$ bis $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$ beliebig geformt sein kann,
			*beispielsweise linear abfallend (gestrichelter Verlauf)
			*oder auch rechteckförmig,


			solange die zwei oben genannten Bedingungen erfüllt sind.
			<br clear=all>
	==Das Abtasttheorem==		==Das Abtasttheorem==
	<br>		<br>
	Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals $y(t)$ aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ ist nur möglich, wenn die Abtastrate $f_{\rm A}$ entsprechend der Bandbreite $B_{\rm NF}$ des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde. ~~Aus der Grafik der [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Signalrekonstruktion\|letzten Seite]] erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:~~		Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals $y(t)$ aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ ist nur möglich, wenn die Abtastrate $f_{\rm A}$ entsprechend der Bandbreite $B_{\rm NF}$ des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde.

	$$f_{\rm A} - B_{\rm NF} > B_{\rm NF} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A} > 2 \cdot B_{\rm NF}\hspace{0.05cm}.$$		Aus der Grafik der [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Signalrekonstruktion\|letzten Seite]] erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:

			:$$f_{\rm A} - B_{\rm NF} > B_{\rm NF} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A} > 2 \cdot B_{\rm NF}\hspace{0.05cm}.$$

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Abtasttheorem:}$  Besitzt ein Analogsignal $x(t)$ ~~nur~~ Spektralanteile im Bereich $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate $f_{\rm A} ≥ 2 \cdot B_{\rm NF}$ ~~beträgt.~~ Für den Abstand zweier Abtastwerte muss demnach gelten:		$\text{Abtasttheorem:}$  Besitzt ein Analogsignal $x(t)$ Spektralanteile im Bereich $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate hinreichend groß ist:
			:$$f_{\rm A} ≥ 2 \cdot B_{\rm NF}.$$

			Für den Abstand zweier Abtastwerte muss demnach gelten:

	:$$T_{\rm A} \le \frac{1}{ 2 \cdot B_{\rm NF} }\hspace{0.05cm}.$$}}		:$$T_{\rm A} \le \frac{1}{ 2 \cdot B_{\rm NF} }\hspace{0.05cm}.$$}}


	Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert ⇒ $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$ herangezogen, so muss zur Signalrekonstruktion des Analogsignals aus seinen Abtastwerten ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 1/(2T_{\rm A})$ verwendet werden.		Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert   ⇒   $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$ herangezogen,
			*so muss zur Signalrekonstruktion des Analogsignals aus seinen Abtastwerten
			*ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 1/(2T_{\rm A})$ verwendet werden.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik zeigt oben das auf $\pm\,\text{ 5 kHz}$ begrenzte Spektrum $X(f)$ eines Analogsignals, unten das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des im Abstand $T_{\rm A} =\,\text{ 100 μs}$ abgetasteten Signals ⇒ $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$. Zusätzlich eingezeichnet ist der Frequenzgang $H(f)$ des Tiefpasses zur Signalrekonstruktion, dessen Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5\,\text{ kHz}$ betragen muss.		$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik zeigt oben das auf $\pm\text{ 5 kHz}$ begrenzte Spektrum $X(f)$ eines Analogsignals, unten das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des im Abstand $T_{\rm A} =\,\text{ 100 µ s}$ abgetasteten Signals   ⇒   $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$.
	*Mit jedem anderen $f_{\rm G}$–Wert ~~ergibt~~ sich $Y(f) \neq X(f)$.
			Zusätzlich eingezeichnet ist der Frequenzgang $H(f)$ des Tiefpasses zur Signalrekonstruktion, dessen Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5\,\text{ kHz}$ betragen muss.
			[[Datei:P_ID1125__Sig_T_5_1_S6_neu.png\|right\|frame\|Abtasttheorem im Frequenzbereich]]
			<br><br>
			*Mit jedem anderen $f_{\rm G}$–Wert ergäbe sich $Y(f) \neq X(f)$.
	*Bei $f_{\rm G} < 5\,\text{ kHz}$ fehlen die oberen $X(f)$–Anteile.		*Bei $f_{\rm G} < 5\,\text{ kHz}$ fehlen die oberen $X(f)$–Anteile.
	* Bei $f_{\rm G} > 5\,\text{ kHz}$ kommt es aufgrund von Faltungsprodukten zu unerwünschten Spektralanteilen in $Y(f)$.		* Bei $f_{\rm G} > 5\,\text{ kHz}$ kommt es aufgrund von Faltungsprodukten zu unerwünschten Spektralanteilen in $Y(f)$.
			<br clear=all>

	~~[[Datei:P_ID1125__Sig_T_5_1_S6_neu.png\|center\|frame\|Abtasttheorem im Frequenzbereich]]~~

	Wäre die Abtastung beim Sender mit einer Abtastrate $f_{\rm A} < 10\,\text{ kHz}$ erfolgt   ⇒   $T_{\rm A} >100 \,{\rm µ s}$, so wäre das Analogsignal $y(t) = x(t)$ aus den Abtastwerten $y_{\rm A}(t)$ auf keinen Fall rekonstruierbar.}}		Wäre die Abtastung beim Sender mit einer Abtastrate $f_{\rm A} < 10\,\text{ kHz}$ erfolgt   ⇒   $T_{\rm A} >100 \,{\rm µ s}$, so wäre das Analogsignal $y(t) = x(t)$ aus den Abtastwerten $y_{\rm A}(t)$ auf keinen Fall rekonstruierbar.}}