Signaldarstellung/Harmonische Schwingung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:34Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Signal_Representation/Harmonic_Oscillation]]

Guenter am 9. Juni 2023 um 15:43 Uhr

2023-06-09T15:43:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juni 2023, 17:43 Uhr
Zeile 118:		Zeile 118:
	Die in der linken Grafik als Zeitverlauf dargestellte Schwingung ist gekennzeichnet durch die Parameter		Die in der linken Grafik als Zeitverlauf dargestellte Schwingung ist gekennzeichnet durch die Parameter
	[[Datei:Sig_T_2_3_S3_version2.png\|right\|frame\|Harmonische Schwingung, dargestellt in der komplexen Ebene]]		[[Datei:Sig_T_2_3_S3_version2.png\|right\|frame\|Harmonische Schwingung, dargestellt in der komplexen Ebene]]
			:*$C=0,$
	:*$f_0 = 125 \;{\rm Hz}$,		:*$f_0 = 125 \;{\rm Hz}$,
	:*$\varphi = +135^{\circ}$   ⇒   $\phi = -135^{\circ}$ .		:*$\varphi = +135^{\circ}$   ⇒   $\phi = -135^{\circ}$ .

Guenter am 13. April 2021 um 13:07 Uhr

2021-04-13T13:07:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. April 2021, 15:07 Uhr
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	[[Datei:Sig_T_2_3_S6_version2.png\|right\|frame\|~~Allgemeine Spektralfunktion einer harmonischen~~ Schwingung]]		[[Datei:Sig_T_2_3_S6_version2.png\|right\|frame\|Spektrum der Schwingung mit  $\varphi=30^{\circ}$]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 5:}$		$\text{Beispiel 5:}$
	Mit den Parametern  $C = 5 \;{\rm V}$,  $f_0 = 5\;{\rm kHz}$  und  $\varphi=90^{\circ}$  $($im Bogenmaß $\pi/6)$  ergibt sich wegen		Mit den Parametern  $C = 5 \;{\rm V}$,  $f_0 = 5\;{\rm kHz}$  und  $\varphi=30^{\circ}$  $($im Bogenmaß $\pi/6)$  ergibt sich wegen

	:$$2.5 · \cos(30^{\circ}) = 2.165, \hspace{0.3cm} 2.5 · \sin(30^{\circ}) = 1.25$$		:$$2.5 · \cos(30^{\circ}) = 2.165, \hspace{0.3cm} 2.5 · \sin(30^{\circ}) = 1.25$$

Guenter am 13. April 2021 um 11:00 Uhr

2021-04-13T11:00:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. April 2021, 13:00 Uhr
Zeile 180:		Zeile 180:
	*Diese Tatsache, die Studienanfängern oft Probleme bereitet, ergibt sich ganz formal aus dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]] .		*Diese Tatsache, die Studienanfängern oft Probleme bereitet, ergibt sich ganz formal aus dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]] .
	*Durch Erweiterung des Frequenzwertebereichs von  $f \ge 0$  auf die Menge der reellen Zahlen kommt man von der physikalischen zur &bdquo;mathematischen&bdquo; Frequenz.		*Durch Erweiterung des Frequenzwertebereichs von  $f \ge 0$  auf die Menge der reellen Zahlen kommt man von der physikalischen zur &bdquo;mathematischen&bdquo; Frequenz.
	*Allerdings ist für eine negative Frequenz die vorne angegebene  [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Definition_und_Eigenschaften\|Definition]]  nicht mehr anwendbar:   <br>Man kann &bdquo;–5 kHz” nicht als „minus 5000 Schwingungen pro Sekunde” interpretieren.		*Allerdings ist für eine negative Frequenz die vorne angegebene  [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Definition_und_Eigenschaften\|Definition]]  nicht mehr anwendbar:   <br>     Man kann &bdquo;–5 kHz” nicht als „minus 5000 Schwingungen pro Sekunde” interpretieren.

Guenter am 13. April 2021 um 10:56 Uhr

2021-04-13T10:56:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. April 2021, 12:56 Uhr
Zeile 205:		Zeile 205:
	<br>$\text{Bitte beachten Sie}$:		<br>$\text{Bitte beachten Sie}$:

	*Bei der positiven Frequenz $(f = +f_0)$ ist der Imaginärteil negativ.		*Bei der positiven Frequenz  $(f = +f_0)$  ist der Imaginärteil negativ.

	*Bei der negativen Frequenz $(f = -f_0)$ ergibt sich ein positiver Imaginärteil.}}		*Bei der negativen Frequenz  $(f = -f_0)$  ergibt sich ein positiver Imaginärteil.}}

Guenter am 13. April 2021 um 10:00 Uhr

2021-04-13T10:00:18Z

Guenter am 13. April 2021 um 09:45 Uhr

2021-04-13T09:45:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. April 2021, 11:45 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Definition und Eigenschaften==		==Definition und Eigenschaften==
	<br>		<br>
	~~Besondere Bedeutung für die Nachrichtentechnik – aber auch in vielen Naturwissenschaften – haben harmonische Schwingungen. Die folgende Grafik zeigt einen beispielhaften Signalverlauf~~.		[[Datei:Sig_T_2_3_S1_Version3.png\|right\|frame\|Beispiel einer harmonischen Schwingung]]

	~~[[Datei:Sig_T_2_3_S1_Version3~~.~~png\|right\|frame\|Beispiel einer harmonischen Schwingung]]~~		Besondere Bedeutung für die Nachrichtentechnik – aber auch in vielen Naturwissenschaften – haben harmonische Schwingungen.  Die Grafik zeigt einen beispielhaften Signalverlauf.

	Ihre Bedeutung hängt auch damit zusammen, dass die harmonische Schwingung die Lösung einer in vielen Disziplinen vorkommenden  ''Differentialgleichung''  darstellt, die wie folgt lautet:		Ihre Bedeutung hängt auch damit zusammen, dass die harmonische Schwingung die Lösung einer in vielen Disziplinen vorkommenden  Differentialgleichung  darstellt, die wie folgt lautet:

	:$$ x(t) + k \cdot\ddot{x} (t) = 0.$$		:$$ x(t) + k \cdot\ddot{x} (t) = 0.$$
Zeile 21:		Zeile 21:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Eine jede  ~~'''~~harmonische Schwingung~~'''~~  kann man in allgemeinster Form wie folgt darstellen:		Eine jede  $\text{harmonische Schwingung}$  kann man in allgemeinster Form wie folgt darstellen:

	:$$x(t)= C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi).$$		:$$x(t)= C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi).$$

	Hierbei sind folgende Signalparameter verwendet:		Hierbei sind folgende Signalparameter verwendet:
	*die  ~~'''~~Amplitude~~'''~~  $C$  – gleichzeitig der Maximalwert des Signals,		*die  $\text{Amplitude}$  $C$  – gleichzeitig der Maximalwert des Signals,
	*die  ~~'''~~Signalfrequenz~~'''~~  $f_{0}$   ⇒   der Kehrwert der Periodendauer  $T_{0}$, und		*die  $\text{Signalfrequenz}$  $f_{0}$   ⇒   der Kehrwert der Periodendauer  $T_{0}$, und
	*der  ~~'''~~Nullphasenwinkel~~'''~~  (oder kurz die ''Phase'')  $\varphi$  der Schwingung.}}		*der  $\text{Nullphasenwinkel}$  (oder kurz die Phase)  $\varphi$  der Schwingung.}}


Zeile 36:		Zeile 36:
	$\text{Anmerkung zur Nomenklatur:}$		$\text{Anmerkung zur Nomenklatur:}$
	*In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischen Schwingungen, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit allen Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.		*In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischen Schwingungen, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit allen Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.
	*Zur Unterscheidung der beiden Varianten benutzen wir in  $\rm LNTwww$  $\varphi$  und  $\phi$. Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise  $\varphi$  vorwiegend im deutschen und  $\phi$  im anglo–amerikanischen Sprachraum angewandt wird.		*Zur Unterscheidung der beiden Varianten benutzen wir in  $\rm LNTwww$  $\varphi$  und  $\phi$.  Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise  $\varphi$  vorwiegend im deutschen und  $\phi$  im anglo–amerikanischen Sprachraum angewandt wird.
	*Die Angaben  $\varphi = 90^{\circ}$  und  $\phi = -90^{\circ}$  sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion:		*Die Angaben  $\varphi = 90^{\circ}$  und  $\phi = -90^{\circ}$  sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion:

	:$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi) = \cos(2 \pi f_0 t + \phi) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$}}		:$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi) = \cos(2 \pi f_0 t + \phi) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$}}

Zeile 45:		Zeile 44:
	<br>		<br>
	[[Datei:P_ID129__Sig_T_2_3_S2a.png\|right\|frame\|Signalparameter einer harmonischen Schwingung]]		[[Datei:P_ID129__Sig_T_2_3_S2a.png\|right\|frame\|Signalparameter einer harmonischen Schwingung]]
	Die Amplitude  $C$  kann aus nebenstehender Grafik direkt abgelesen werden. Die Signalfrequenz  $f_0$  ist gleich dem Kehrwert der Periodendauer  $T_0$. Schreibt man die obige Gleichung in der Form		Die Amplitude  $C$  kann aus nebenstehender Grafik direkt abgelesen werden.  Die Signalfrequenz  $f_0$  ist gleich dem Kehrwert der Periodendauer  $T_0$.  Schreibt man die obige Gleichung in der Form

	:$$x(t) = C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi) = C \cdot \cos \big(2\pi f_0 (t - \tau) \big), $$		:$$x(t) = C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi) = C \cdot \cos \big(2\pi f_0 (t - \tau) \big), $$
Zeile 53:		Zeile 52:
	:$$\varphi = \frac{\tau}{T_0} \cdot 2{\pi}. $$		:$$\varphi = \frac{\tau}{T_0} \cdot 2{\pi}. $$

	*Bei einem ''Cosinussignal''  sind die Kenngrößen  $\tau$  und  $\varphi$  jeweils Null.		*Bei einem  $\text{Cosinussignal}$  sind die Kenngrößen  $\tau$  und  $\varphi$  jeweils Null.
	*Demgegenüber ist ein ''Sinussignal''  um  $\tau = T_0/4$  verschoben und entsprechend gilt für den Nullphasenwinkel  $\varphi = \pi/2$  (im Bogenmaß) bzw.  $90^{\circ}$.		*Demgegenüber ist ein  $\text{Sinussignal}$  um  $\tau = T_0/4$  verschoben und entsprechend gilt für den Nullphasenwinkel  $\varphi = \pi/2$  (im Bogenmaß) bzw.  $90^{\circ}$.


	Es ist also festzustellen, dass – wie für die obige Skizze vorausgesetzt – bei einem positiven Wert von  $\tau$  bzw.  $\varphi$  das $($bezüglich  $t = 0)$  nächstgelegene Signalmaximum später kommt als beim Cosinussignal und bei negativen Werten früher. Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal an und ist das Ausgangssignal demgegenüber um einen Wert  $\tau$  verzögert, so bezeichnet man  $\tau$  auch als die  ~~'''~~Laufzeit~~'''~~  des Systems.		Es ist also festzustellen, dass – wie für die obige Skizze vorausgesetzt – bei einem positiven Wert von  $\tau$  bzw.  $\varphi$  das $($bezüglich  $t = 0)$  nächstgelegene Signalmaximum später kommt als beim Cosinussignal und bei negativen Werten früher.  Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal an und ist das Ausgangssignal demgegenüber um einen Wert  $\tau$  verzögert, so bezeichnet man  $\tau$  auch als die  $\text{Laufzeit}$  des Systems.

	Da eine harmonische Schwingung durch lediglich drei Signalparameter eindeutig festliegt, kann der gesamte Zeitverlauf von  $-\infty$  bis  $+\infty$  aus nur drei Signalwerten  $x_1=x(t_1)$,  $x_2=x(t_2)$,  $x_3=x(t_3)$  analytisch beschrieben werden, wenn die Zeiten  $t_1$,  $t_2$  und  $t_3$  geeignet festgelegt wurden.		Da eine harmonische Schwingung durch lediglich drei Signalparameter eindeutig festliegt, kann der gesamte Zeitverlauf von  $-\infty$  bis  $+\infty$  aus nur drei Signalwerten  $x_1=x(t_1)$,  $x_2=x(t_2)$,  $x_3=x(t_3)$  analytisch beschrieben werden, wenn die Zeiten  $t_1$,  $t_2$  und  $t_3$  geeignet festgelegt wurden.

	[[Datei:P_ID2717__Sig_T_2_3_S2b_neu.png\|right\|frame\|Harmonische Schwingung, ~~festgelegt durch~~ <br>drei Abtastwerte]]		[[Datei:P_ID2717__Sig_T_2_3_S2b_neu.png\|right\|frame\|Harmonische Schwingung, <br>festgelegt durch nur drei Abtastwerte]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
Zeile 81:		Zeile 80:


	~~''Hinweis'':  ~~ Legt man alle Abtastzeitpunkte  $t_1$,  $t_2$,  $t_3$  in Maxima, Minima und/oder Nullstellen, so gibt es für das nichtlineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.}}		Legt man alle Abtastzeitpunkte  $t_1$,  $t_2$,  $t_3$  allerdings in Maxima, Minima und/oder Nullstellen, so gibt es für das nichtlineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.}}


Zeile 90:		Zeile 89:
	:$$x(t)=A\cdot\cos(2\pi f_0 t)+ B\cdot\sin(2\pi f_0 t).$$		:$$x(t)=A\cdot\cos(2\pi f_0 t)+ B\cdot\sin(2\pi f_0 t).$$

	*Die Bezeichnungen  $A$  und  $B$  für die Amplituden von ~~Cosinus–~~ und Sinusanteil sind so gewählt, dass sie mit der Nomenklatur des folgenden Kapitels  [[Signaldarstellung/Fourierreihe\| Fourierreihe]]  übereinstimmen.		*Die Bezeichnungen  $A$  und  $B$  für die Amplituden von Cosinus–  und Sinusanteil sind so gewählt, dass sie mit der Nomenklatur des folgenden Kapitels  [[Signaldarstellung/Fourierreihe\| Fourierreihe]]  übereinstimmen.

	*Durch Anwendung trigonometrischer Umformungen erhalten wir aus der Darstellung auf der letzten Seite:		*Durch Anwendung trigonometrischer Umformungen erhalten wir aus der Darstellung auf der letzten Seite:
Zeile 106:		Zeile 105:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Bitte beachten Sie:}$		$\text{Bitte beachten Sie:}$
	~~Das Minuszeichen bei der Berechnung des Nullphasenwinkels  $\varphi$  hängt damit zusammen, dass  $\varphi$  in das Argument der Cosinusfunktion mit negativem Vorzeichen eingeht.~~

	Würde man statt  „$\cos(2\pi f_0 t - \varphi)$”  die Schreibweise  „$\cos(2\pi f_0 t + \phi)$”  verwenden, so wäre  $\phi= \arctan(B/A)$. Hier noch folgender Hinweis:		Das Minuszeichen bei der Berechnung des Phasenwinkels  $\varphi$  hängt damit zusammen, dass  $\varphi$  in das Argument der Cosinusfunktion mit negativem Vorzeichen eingeht.

			Würde man statt  „$\cos(2\pi f_0 t - \varphi)$”  die Schreibweise  „$\cos(2\pi f_0 t + \phi)$”  verwenden, so wäre  $\phi= \arctan(B/A)$.  Hier noch folgender Hinweis:

	*Bei Fourierreihe und Fourierintegral ist in der Literatur die  $\varphi$–Darstellung üblich.		*Bei Fourierreihe und Fourierintegral ist in der Literatur die  $\varphi$–Darstellung üblich.
Zeile 114:		Zeile 114:


	~~[[Datei:Sig_T_2_3_S3_version2.png\|right\|frame\|Harmonische Schwingung, dargestellt in der komplexen Ebene]]~~
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Die in der linken Grafik als Zeitverlauf dargestellte Schwingung ist gekennzeichnet durch die Parameter		Die in der linken Grafik als Zeitverlauf dargestellte Schwingung ist gekennzeichnet durch die Parameter
	*$f_0 = 125 \;{\rm Hz}$,		[[Datei:Sig_T_2_3_S3_version2.png\|right\|frame\|Harmonische Schwingung, dargestellt in der komplexen Ebene]]
	*$\varphi = +135^{\circ}$   ⇒   $\phi = -135^{\circ}$ .
			:*$f_0 = 125 \;{\rm Hz}$,
			:*$\varphi = +135^{\circ}$   ⇒   $\phi = -135^{\circ}$ .

Guenter am 2. September 2019 um 15:50 Uhr

2019-09-02T15:50:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. September 2019, 17:50 Uhr
Zeile 244:		Zeile 244:
	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:2.3 cos- und sin-Anteil\|Aufgabe 2.3: ~~cos~~- und ~~sin-Anteil~~]]		[[Aufgaben:2.3 cos- und sin-Anteil\|Aufgabe 2.3: Cosinus- und Sinusanteil]]

	[[Aufgaben:Aufgabe 2.3Z:_ Schwingungsparameter\|Aufgabe 2.3: Schwingungsparameter]]		[[Aufgaben:Aufgabe 2.3Z:_ Schwingungsparameter\|Aufgabe 2.3: Schwingungsparameter]]

Guenter am 2. September 2019 um 15:47 Uhr

2019-09-02T15:47:38Z

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Guenter am 12. Juli 2018 um 13:09 Uhr

2018-07-12T13:09:17Z

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← Nächstältere Version		Version vom 13. April 2021, 12:00 Uhr
Zeile 136:		Zeile 136:
	==Spektraldarstellung eines Cosinussignals==		==Spektraldarstellung eines Cosinussignals==
	<br>		<br>
	Zur Herleitung der Spektralfunktion beschränken wir uns zunächst auf ein Cosinussignal, das mit der ''komplexen Exponentialfunktion~~'' ~~ und dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  auch in folgender Weise geschrieben werden kann:		Zur Herleitung der Spektralfunktion beschränken wir uns zunächst auf ein Cosinussignal, das mit der komplexen Exponentialfunktion und dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  auch in folgender Weise geschrieben werden kann:

	:$$x(t)=A \cdot \cos(2\pi f_0 t)={A}/{2}\cdot \big [{\rm e}^{\rm -j2 \pi \it f_{\rm 0} t} + {\rm e}^{\rm j2\pi \it f_{\rm 0} t} \big ].$$		:$$x(t)=A \cdot \cos(2\pi f_0 t)={A}/{2}\cdot \big [{\rm e}^{\rm -j2 \pi \it f_{\rm 0} t} + {\rm e}^{\rm j2\pi \it f_{\rm 0} t} \big ].$$

	Bereits aus dieser ~~Zeitbereichsdarstellung~~ ist ersichtlich, dass das Cosinussignal – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz~~ ~~ $f_0$.		Bereits aus dieser Darstellung ist ersichtlich, dass das Cosinussignal – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz $f_0$.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
Zeile 162:		Zeile 162:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$		$\text{Beispiel 3:}$
	Die Grafik zeigt das Spektrum einer Cosinusschwingung		Die Grafik zeigt das Spektrum einer Cosinusschwingung

	*mit der Amplitude  $A = 4 \;{\rm V}$  und		*mit der Amplitude  $A = 4 \;{\rm V}$  und
	*der Frequenz  $f_0 = 5 \;{\rm kHz}$   ⇒   $T_0 = 200 \;{\rm µ s}$.		*der Frequenz  $f_0 = 5 \;{\rm kHz}$   ⇒   $T_0 = 200 \;{\rm µ s}$.
Zeile 168:		Zeile 169:

	Dann gilt folgender Zusammenhang mit obiger Gleichung:		Dann gilt folgender Zusammenhang mit obiger Gleichung:
	*Die Diracfunktion bei  $-f_0$  gehört zum ersten Term $($ableitbar aus der Bedingung  $f + f_0 = 0)$.		*Die Diracfunktion bei  $-f_0$  gehört zum ersten Term  $($ableitbar aus der Bedingung  $f + f_0 = 0)$.
	*Die Diracfunktion bei  $+f_0$  gehört zum zweiten Term $($ableitbar aus der Bedingung $f - f_0 = 0)$.		*Die Diracfunktion bei  $+f_0$  gehört zum zweiten Term  $($ableitbar aus der Bedingung  $f - f_0 = 0)$.
	*Die Impulsgewichte sind jeweils  $A/2 = 2 \;{\rm V}$.}}		*Die Impulsgewichte sind jeweils  $A/2 = 2 \;{\rm V}$.}}


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Bitte beachten Sie:}$		$\text{Bitte beachten Sie:}$

	Die Spektralfunktion einer jeden reellen Zeitfunktion mit Ausnahme des Gleichsignals weist sowohl Anteile bei positiven als auch bei negativen Frequenzen auf.		Die Spektralfunktion einer jeden reellen Zeitfunktion mit Ausnahme des Gleichsignals weist sowohl Anteile bei positiven als auch bei negativen Frequenzen auf.
	*Diese Tatsache, die Studienanfängern oft Probleme bereitet, ergibt sich ganz formal aus dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]] .		*Diese Tatsache, die Studienanfängern oft Probleme bereitet, ergibt sich ganz formal aus dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]] .
	*Durch ~~die~~ Erweiterung des Frequenzwertebereichs von  $f \ge 0$  auf die Menge der reellen Zahlen kommt man von der physikalischen zur ''mathematischen Frequenz''.		*Durch Erweiterung des Frequenzwertebereichs von  $f \ge 0$  auf die Menge der reellen Zahlen kommt man von der physikalischen zur &bdquo;mathematischen&bdquo; Frequenz.
	*Allerdings ist für eine negative Frequenz die vorne angegebene  [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Definition_und_Eigenschaften\|Definition]]  nicht mehr anwendbar:   Man kann &bdquo;–5 kHz” nicht als „minus 5000 Schwingungen pro Sekunde” interpretieren.		*Allerdings ist für eine negative Frequenz die vorne angegebene  [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Definition_und_Eigenschaften\|Definition]]  nicht mehr anwendbar:   <br>Man kann &bdquo;–5 kHz” nicht als „minus 5000 Schwingungen pro Sekunde” interpretieren.