Signaldarstellung/Harmonische Schwingung - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Juni 2023 um 15:43 Uhr

2023-06-09T15:43:36Z

Guenter am 13. April 2021 um 13:07 Uhr

2021-04-13T13:07:59Z

Guenter am 13. April 2021 um 11:00 Uhr

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Guenter am 13. April 2021 um 10:56 Uhr

2021-04-13T10:56:29Z

Guenter am 13. April 2021 um 10:00 Uhr

2021-04-13T10:00:18Z

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2018-07-12T13:09:17Z

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Guenter am 21. Dezember 2017 um 14:17 Uhr

2017-12-21T14:17:26Z

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 Die in der linken Grafik als Zeitverlauf dargestellte Schwingung ist gekennzeichnet durch die Parameter
 [[Datei:Sig_T_2_3_S3_version2.png|right|frame|Harmonische Schwingung, dargestellt in der komplexen Ebene]]
+:*$C=0,$
 :*$f_0 = 125 \;{\rm Hz}$,
 :*$\varphi = +135^{\circ}$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $\phi = -135^{\circ}$ .

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-[[Datei:Sig_T_2_3_S6_version2.png|right|frame|Allgemeine Spektralfunktion einer harmonischen Schwingung]]
+[[Datei:Sig_T_2_3_S6_version2.png|right|frame|Spektrum der Schwingung mit&nbsp; $\varphi=30^{\circ}$]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 5:}$&nbsp;
-Mit den Parametern&nbsp; $C = 5 \;{\rm V}$,&nbsp; $f_0 = 5\;{\rm kHz}$&nbsp; und&nbsp; $\varphi=90^{\circ}$&nbsp; $($im Bogenmaß $\pi/6)$&nbsp; ergibt sich wegen
+Mit den Parametern&nbsp; $C = 5 \;{\rm V}$,&nbsp; $f_0 = 5\;{\rm kHz}$&nbsp; und&nbsp; $\varphi=30^{\circ}$&nbsp; $($im Bogenmaß $\pi/6)$&nbsp; ergibt sich wegen
 :$$2.5 · \cos(30^{\circ}) = 2.165,  \hspace{0.3cm} 2.5 · \sin(30^{\circ}) = 1.25$$

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 *Diese Tatsache, die Studienanfängern oft Probleme bereitet, ergibt sich ganz formal aus dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] .
 *Durch Erweiterung des Frequenzwertebereichs von&nbsp; $f \ge 0$&nbsp; auf die Menge der reellen Zahlen kommt man von der physikalischen zur &bdquo;mathematischen&bdquo; Frequenz.
-*Allerdings ist für eine negative Frequenz die vorne angegebene&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Definition_und_Eigenschaften|Definition]]&nbsp; nicht mehr anwendbar: &nbsp; <br>Man kann &bdquo;–5 kHz&rdquo; nicht als „minus 5000 Schwingungen pro Sekunde” interpretieren.
+*Allerdings ist für eine negative Frequenz die vorne angegebene&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Definition_und_Eigenschaften|Definition]]&nbsp; nicht mehr anwendbar: &nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; Man kann &bdquo;–5 kHz&rdquo; nicht als „minus 5000 Schwingungen pro Sekunde” interpretieren.

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 <br>$\text{Bitte beachten Sie}$:
-*Bei der positiven Frequenz $(f = +f_0)$ ist der Imaginärteil negativ.
+*Bei der positiven Frequenz&nbsp; $(f = +f_0)$&nbsp; ist der Imaginärteil negativ.
-*Bei der negativen Frequenz $(f = -f_0)$ ergibt sich ein positiver Imaginärteil.}}
+*Bei der negativen Frequenz&nbsp; $(f = -f_0)$&nbsp; ergibt sich ein positiver Imaginärteil.}}

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 ==Spektraldarstellung eines Cosinussignals==
 <br>
-Zur Herleitung der Spektralfunktion beschränken wir uns zunächst auf ein Cosinussignal, das mit der ''komplexen Exponentialfunktion''&nbsp; und dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; auch in folgender Weise geschrieben werden kann:
+Zur Herleitung der Spektralfunktion beschränken wir uns zunächst auf ein Cosinussignal, das mit der komplexen Exponentialfunktion und dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; auch in folgender Weise geschrieben werden kann:
 :$$x(t)=A \cdot \cos(2\pi f_0 t)={A}/{2}\cdot \big [{\rm e}^{\rm -j2 \pi \it f_{\rm 0} t} + {\rm e}^{\rm j2\pi \it f_{\rm 0} t} \big ].$$
-Bereits aus dieser Zeitbereichsdarstellung ist ersichtlich, dass das Cosinussignal – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz&nbsp; $f_0$.
+Bereits aus dieser Darstellung ist ersichtlich, dass das Cosinussignal – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz $f_0$.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
 Die Grafik zeigt das Spektrum einer Cosinusschwingung
 *mit der Amplitude&nbsp; $A = 4 \;{\rm V}$&nbsp; und
 *der Frequenz&nbsp; $f_0 = 5 \;{\rm kHz}$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  $T_0 = 200 \;{\rm &micro; s}$.
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 Dann gilt folgender Zusammenhang mit obiger Gleichung:
-*Die Diracfunktion bei&nbsp;  $-f_0$&nbsp; gehört zum ersten Term $($ableitbar aus der Bedingung&nbsp; $f + f_0 = 0)$.
+*Die Diracfunktion bei&nbsp;  $-f_0$&nbsp; gehört zum ersten Term&nbsp; $($ableitbar aus der Bedingung&nbsp; $f + f_0 = 0)$.
-*Die Diracfunktion bei&nbsp;  $+f_0$&nbsp; gehört zum zweiten Term $($ableitbar aus der Bedingung $f - f_0 = 0)$.
+*Die Diracfunktion bei&nbsp;  $+f_0$&nbsp; gehört zum zweiten Term&nbsp; $($ableitbar aus der Bedingung&nbsp; $f - f_0 = 0)$.
 *Die Impulsgewichte sind jeweils&nbsp; $A/2 = 2 \;{\rm V}$.}}
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp;
 Die Spektralfunktion einer jeden reellen Zeitfunktion mit Ausnahme des Gleichsignals weist sowohl Anteile bei positiven als auch bei negativen Frequenzen auf.
 *Diese Tatsache, die Studienanfängern oft Probleme bereitet, ergibt sich ganz formal aus dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] .
-*Durch die Erweiterung des Frequenzwertebereichs von&nbsp; $f \ge 0$&nbsp; auf die Menge der reellen Zahlen kommt man von der physikalischen zur ''mathematischen Frequenz''.
+*Durch Erweiterung des Frequenzwertebereichs von&nbsp; $f \ge 0$&nbsp; auf die Menge der reellen Zahlen kommt man von der physikalischen zur &bdquo;mathematischen&bdquo; Frequenz.
-*Allerdings ist für eine negative Frequenz die vorne angegebene&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Definition_und_Eigenschaften|Definition]]&nbsp; nicht mehr anwendbar: &nbsp; Man kann &bdquo;–5 kHz&rdquo; nicht als „minus 5000 Schwingungen pro Sekunde” interpretieren.
+*Allerdings ist für eine negative Frequenz die vorne angegebene&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Definition_und_Eigenschaften|Definition]]&nbsp; nicht mehr anwendbar: &nbsp; <br>Man kann &bdquo;–5 kHz&rdquo; nicht als „minus 5000 Schwingungen pro Sekunde” interpretieren.

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 ==Definition und Eigenschaften==
 <br>
-Besondere Bedeutung für die Nachrichtentechnik – aber auch in vielen Naturwissenschaften – haben harmonische Schwingungen. Die folgende Grafik zeigt einen beispielhaften Signalverlauf.
+[[Datei:Sig_T_2_3_S1_Version3.png|right|frame|Beispiel einer harmonischen Schwingung]]
-[[Datei:Sig_T_2_3_S1_Version3.png|right|frame|Beispiel einer harmonischen Schwingung]]
+Besondere Bedeutung für die Nachrichtentechnik – aber auch in vielen Naturwissenschaften – haben harmonische Schwingungen.&nbsp; Die Grafik zeigt einen beispielhaften Signalverlauf.
-Ihre Bedeutung hängt auch damit zusammen, dass die harmonische Schwingung die Lösung einer in vielen Disziplinen vorkommenden&nbsp; ''Differentialgleichung''&nbsp; darstellt, die wie folgt lautet:
+Ihre Bedeutung hängt auch damit zusammen, dass die harmonische Schwingung die Lösung einer in vielen Disziplinen vorkommenden&nbsp; Differentialgleichung&nbsp; darstellt, die wie folgt lautet:
 :$$ x(t) + k \cdot\ddot{x} (t) = 0.$$
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Eine jede&nbsp; '''harmonische Schwingung'''&nbsp; kann man in allgemeinster Form wie folgt darstellen:
+Eine jede&nbsp; $\text{harmonische Schwingung}$&nbsp; kann man in allgemeinster Form wie folgt darstellen:
 :$$x(t)= C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi).$$
 Hierbei sind folgende Signalparameter verwendet:
-*die&nbsp; '''Amplitude'''&nbsp; $C$&nbsp; &ndash; gleichzeitig der Maximalwert des Signals,
+*die&nbsp; $\text{Amplitude}$&nbsp; $C$&nbsp; &ndash; gleichzeitig der Maximalwert des Signals,
-*die&nbsp; '''Signalfrequenz'''&nbsp; $f_{0}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; der Kehrwert der Periodendauer&nbsp; $T_{0}$, und
+*die&nbsp; $\text{Signalfrequenz}$&nbsp; $f_{0}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; der Kehrwert der Periodendauer&nbsp; $T_{0}$, und
-*der&nbsp; '''Nullphasenwinkel'''&nbsp; (oder kurz die ''Phase'')&nbsp; $\varphi$&nbsp; der Schwingung.}}
+*der&nbsp; $\text{Nullphasenwinkel}$&nbsp; (oder kurz die Phase)&nbsp; $\varphi$&nbsp; der Schwingung.}}
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 $\text{Anmerkung zur Nomenklatur:}$&nbsp;
 *In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischen Schwingungen, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit allen Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.
-*Zur Unterscheidung der beiden Varianten benutzen wir in&nbsp; $\rm LNTwww$&nbsp; $\varphi$&nbsp; und&nbsp; $\phi$. Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise&nbsp; $\varphi$&nbsp; vorwiegend im deutschen und&nbsp; $\phi$&nbsp; im anglo&ndash;amerikanischen Sprachraum angewandt wird.
+*Zur Unterscheidung der beiden Varianten benutzen wir in&nbsp; $\rm LNTwww$&nbsp; $\varphi$&nbsp; und&nbsp; $\phi$.&nbsp; Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise&nbsp; $\varphi$&nbsp; vorwiegend im deutschen und&nbsp; $\phi$&nbsp; im anglo&ndash;amerikanischen Sprachraum angewandt wird.
 *Die Angaben&nbsp; $\varphi = 90^{\circ}$&nbsp; und&nbsp; $\phi = -90^{\circ}$&nbsp; sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion:
 :$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi)  = \cos(2 \pi f_0 t + \phi) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$}}
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 <br>
 [[Datei:P_ID129__Sig_T_2_3_S2a.png|right|frame|Signalparameter einer harmonischen Schwingung]]
-Die Amplitude&nbsp; $C$&nbsp; kann aus nebenstehender Grafik direkt abgelesen werden. Die Signalfrequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; ist gleich dem Kehrwert der Periodendauer&nbsp; $T_0$. Schreibt man die obige Gleichung in der Form
+Die Amplitude&nbsp; $C$&nbsp; kann aus nebenstehender Grafik direkt abgelesen werden.&nbsp; Die Signalfrequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; ist gleich dem Kehrwert der Periodendauer&nbsp; $T_0$.&nbsp; Schreibt man die obige Gleichung in der Form
 :$$x(t)  =  C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi) =   C \cdot \cos \big(2\pi f_0  (t - \tau) \big), $$
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 :$$\varphi  =  \frac{\tau}{T_0} \cdot 2{\pi}. $$
-*Bei einem ''Cosinussignal''&nbsp; sind die Kenngrößen&nbsp; $\tau$&nbsp; und&nbsp; $\varphi$&nbsp; jeweils Null.
+*Bei einem&nbsp; $\text{Cosinussignal}$&nbsp; sind die Kenngrößen&nbsp; $\tau$&nbsp; und&nbsp; $\varphi$&nbsp; jeweils Null.
-*Demgegenüber ist ein ''Sinussignal''&nbsp; um&nbsp; $\tau = T_0/4$&nbsp; verschoben und entsprechend gilt für den Nullphasenwinkel&nbsp; $\varphi = \pi/2$&nbsp; (im Bogenmaß) bzw.&nbsp; $90^{\circ}$.
+*Demgegenüber ist ein&nbsp; $\text{Sinussignal}$&nbsp; um&nbsp; $\tau = T_0/4$&nbsp; verschoben und entsprechend gilt für den Nullphasenwinkel&nbsp; $\varphi = \pi/2$&nbsp; (im Bogenmaß) bzw.&nbsp; $90^{\circ}$.
-Es ist also festzustellen, dass – wie für die obige Skizze vorausgesetzt – bei einem positiven Wert von&nbsp; $\tau$&nbsp; bzw.&nbsp; $\varphi$&nbsp; das $($bezüglich&nbsp; $t = 0)$&nbsp; nächstgelegene Signalmaximum später kommt als beim Cosinussignal und bei negativen Werten früher. Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal an und ist das Ausgangssignal demgegenüber um einen Wert&nbsp; $\tau$&nbsp; verzögert, so bezeichnet man&nbsp; $\tau$&nbsp; auch als die&nbsp; '''Laufzeit'''&nbsp; des Systems.
+Es ist also festzustellen, dass – wie für die obige Skizze vorausgesetzt – bei einem positiven Wert von&nbsp; $\tau$&nbsp; bzw.&nbsp; $\varphi$&nbsp; das $($bezüglich&nbsp; $t = 0)$&nbsp; nächstgelegene Signalmaximum später kommt als beim Cosinussignal und bei negativen Werten früher.&nbsp; Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal an und ist das Ausgangssignal demgegenüber um einen Wert&nbsp; $\tau$&nbsp; verzögert, so bezeichnet man&nbsp; $\tau$&nbsp; auch als die&nbsp; $\text{Laufzeit}$&nbsp; des Systems.
 Da eine harmonische Schwingung durch lediglich drei Signalparameter eindeutig festliegt, kann der gesamte Zeitverlauf von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$&nbsp; aus nur drei Signalwerten&nbsp; $x_1=x(t_1)$,&nbsp; $x_2=x(t_2)$,&nbsp; $x_3=x(t_3)$&nbsp; analytisch beschrieben werden, wenn die Zeiten&nbsp; $t_1$,&nbsp; $t_2$&nbsp; und&nbsp; $t_3$&nbsp; geeignet festgelegt wurden.
-[[Datei:P_ID2717__Sig_T_2_3_S2b_neu.png|right|frame|Harmonische Schwingung, festgelegt durch <br>drei Abtastwerte]]
+[[Datei:P_ID2717__Sig_T_2_3_S2b_neu.png|right|frame|Harmonische Schwingung, <br>festgelegt durch nur drei Abtastwerte]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
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-''Hinweis'': &nbsp; Legt man alle Abtastzeitpunkte&nbsp; $t_1$,&nbsp; $t_2$,&nbsp; $t_3$&nbsp; in Maxima, Minima und/oder Nullstellen, so gibt es für das nichtlineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.}}
+Legt man alle Abtastzeitpunkte&nbsp; $t_1$,&nbsp; $t_2$,&nbsp; $t_3$&nbsp; allerdings in Maxima, Minima und/oder Nullstellen, so gibt es für das nichtlineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.}}
@@ Zeile 90: / Zeile 89: @@
 :$$x(t)=A\cdot\cos(2\pi  f_0 t)+ B\cdot\sin(2\pi f_0 t).$$
-*Die Bezeichnungen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; für die Amplituden von Cosinus– und Sinusanteil sind so gewählt, dass sie mit der Nomenklatur des folgenden Kapitels&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe| Fourierreihe]]&nbsp; übereinstimmen.
+*Die Bezeichnungen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; für die Amplituden von Cosinus&ndash;&nbsp; und Sinusanteil sind so gewählt, dass sie mit der Nomenklatur des folgenden Kapitels&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe| Fourierreihe]]&nbsp; übereinstimmen.
 *Durch Anwendung trigonometrischer Umformungen erhalten wir aus der Darstellung auf der letzten Seite:
@@ Zeile 106: / Zeile 105: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp;
-Würde man statt&nbsp; „$\cos(2\pi f_0 t - \varphi)$”&nbsp; die Schreibweise&nbsp; „$\cos(2\pi f_0 t + \phi)$”&nbsp; verwenden, so wäre&nbsp; $\phi= \arctan(B/A)$. Hier noch folgender Hinweis:
+Das Minuszeichen bei der Berechnung des Phasenwinkels&nbsp; $\varphi$&nbsp; hängt damit zusammen, dass&nbsp; $\varphi$&nbsp; in das Argument der Cosinusfunktion mit negativem Vorzeichen eingeht.
 *Bei Fourierreihe und Fourierintegral ist in der Literatur die&nbsp; $\varphi$–Darstellung üblich.
@@ Zeile 114: / Zeile 114: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
 Die in der linken Grafik als Zeitverlauf dargestellte Schwingung ist gekennzeichnet durch die Parameter
-*$f_0 = 125 \;{\rm Hz}$,
+[[Datei:Sig_T_2_3_S3_version2.png|right|frame|Harmonische Schwingung, dargestellt in der komplexen Ebene]]
 *$\varphi = +135^{\circ}$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $\phi = -135^{\circ}$ .

@@ Zeile 244: / Zeile 244: @@
 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:2.3 cos- und sin-Anteil|Aufgabe 2.3: cos- und sin-Anteil]]
+[[Aufgaben:2.3 cos- und sin-Anteil|Aufgabe 2.3: Cosinus- und Sinusanteil]]
 [[Aufgaben:Aufgabe 2.3Z:_ Schwingungsparameter|Aufgabe 2.3: Schwingungsparameter]]

@@ Zeile 161: / Zeile 161: @@
 *mit der Amplitude $A = 4 \;{\rm V}$ und
 *der Frequenz $f_0 = 5 \;{\rm kHz}$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  $T_0 = 200 \;{\rm \mu s}$.
 Dann gilt: