Signaldarstellung/Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen - Versionsgeschichte

Maintenance script: Fix MathJax: add space after \cdot before letter

2026-02-25T13:19:23Z

Fix MathJax: add space after \cdot before letter

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:05Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 103:		Zeile 103:
	:$$x_{\rm BP}(t) = x_1(t) - x_2(t).$$		:$$x_{\rm BP}(t) = x_1(t) - x_2(t).$$
	*Aus der Fouriertransformation folgt allgemein, dass das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$  ist.  Bei jedem Bandpass–Signal ist demzufolge dieses Integral stets Null:		*Aus der Fouriertransformation folgt allgemein, dass das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$  ist.  Bei jedem Bandpass–Signal ist demzufolge dieses Integral stets Null:
	:$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rm		:$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rmd}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$
	d}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
Zeile 110:		Zeile 109:
	Die roten Kurven in den beiden Grafiken zeigen das Bandpass–Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  und die zugehörige Zeitfunktion		Die roten Kurven in den beiden Grafiken zeigen das Bandpass–Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  und die zugehörige Zeitfunktion

	:$$x_{\rm BP}(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm		:$$x_{\rm BP}(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rmV} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 10 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t)\cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) -2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t).$$
	V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 10 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t)
	\cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) -
	2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2
	\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t).$$

	Ebenfalls dargestellt sind die zwei Tiefpass–Spektren und –Signale.		Ebenfalls dargestellt sind die zwei Tiefpass–Spektren und –Signale.
Zeile 128:		Zeile 123:
	*Die rote Kurve für das bandpassartige Signal ergibt sich links wie rechts als Differenz zwischen blauer und grüner Kurve.  Entsprechend ist		*Die rote Kurve für das bandpassartige Signal ergibt sich links wie rechts als Differenz zwischen blauer und grüner Kurve.  Entsprechend ist
	:$$x_{\rm BP}(t = 0) = x_1(t = 0) - x_2(t = 0) = 8 \,\text{V},$$		:$$x_{\rm BP}(t = 0) = x_1(t = 0) - x_2(t = 0) = 8 \,\text{V},$$
	:$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rm		:$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rmd}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$}}
	d}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$}}


Zeile 140:		Zeile 134:
	Multipliziert man dieses Signal mit einer (dimensionslosen) harmonischen Schwingung		Multipliziert man dieses Signal mit einer (dimensionslosen) harmonischen Schwingung

	:$$z(t) = {\cos} ( 2\pi \cdot f_{\rm T} \~~cdot~~		:$$z(t) = {\cos} ( 2\pi \cdot f_{\rm T} \cdott)\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} Z(f) = {1}/{2}\cdot\delta (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot \delta (f + f_{\rm T}),$$
	t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} Z(f) = {1}/{2}\cdot
	\delta (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot \delta (f + f_{\rm T}),$$

	so ergibt sich nach dem Faltungssatz für das Spektrum des Signals  $x_{\rm BP}(t) = x_{\rm TP}(t) \cdot z(t)$:		so ergibt sich nach dem Faltungssatz für das Spektrum des Signals  $x_{\rm BP}(t) = x_{\rm TP}(t) \cdot z(t)$:

	:$$X_{\rm BP}(f) = X_{\rm TP}(f)\star Z(f) = {1}/{2}\cdot X_{\rm		:$$X_{\rm BP}(f) = X_{\rm TP}(f)\star Z(f) = {1}/{2}\cdot X_{\rmTP} (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot X_{\rm TP}(f + f_{\rm T}).$$
	TP} (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot X_{\rm TP}(f + f_{\rm T}).$$

	Hierbei ist berücksichtigt, dass die  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltung]]  der Spektralfunktion  $X_{\rm TP}(f)$  mit der verschobenen Diracfunktion  $\delta (f - f_\rm {T})$  die um  $f_\rm {T}$  nach rechts verschobene Funktion  $X_{\rm TP}(f-f_\rm {T})$  ergibt.		Hierbei ist berücksichtigt, dass die  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltung]]  der Spektralfunktion  $X_{\rm TP}(f)$  mit der verschobenen Diracfunktion  $\delta (f - f_\rm {T})$  die um  $f_\rm {T}$  nach rechts verschobene Funktion  $X_{\rm TP}(f-f_\rm {T})$  ergibt.
Zeile 166:		Zeile 157:

	:$$x_{\rm TP}(t) = 0.26\cdot {\cos} ( \omega_1 \hspace{0.05cm} t + 20^{ \circ}) \hspace{0.18cm}+ 0.54\cdot {\cos} ( \omega_2 \hspace{0.05cm} t - 180^{ \circ}) + $$		:$$x_{\rm TP}(t) = 0.26\cdot {\cos} ( \omega_1 \hspace{0.05cm} t + 20^{ \circ}) \hspace{0.18cm}+ 0.54\cdot {\cos} ( \omega_2 \hspace{0.05cm} t - 180^{ \circ}) + $$
	:$$\hspace{1.5cm}+ \ 0.30\cdot {\cos} ( \omega_3 \hspace{0.05cm} t +		:$$\hspace{1.5cm}+ \ 0.30\cdot {\cos} ( \omega_3 \hspace{0.05cm} t +120^{ \circ}) +0.14\cdot {\cos} ( \omega_4 \hspace{0.05cm} t -40^{\circ}).$$
	120^{ \circ}) +0.14\cdot {\cos} ( \omega_4 \hspace{0.05cm} t -40^{
	\circ}).$$

	Das dazugehörige Spektrum  $X_{\rm TP}(f)$  ist wegen der von Null verschiedenen Phasenlagen komplex.		Das dazugehörige Spektrum  $X_{\rm TP}(f)$  ist wegen der von Null verschiedenen Phasenlagen komplex.

Maintenance script: Domain migration: replace www.lntwww.de with relative paths

2026-02-24T13:11:38Z

Domain migration: replace www.lntwww.de with relative paths

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:11 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:

	Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch &bdquo;Analoge Modulationsverfahren”  des Praktikums &bdquo;Simulation Digitaller Übertragungssysteme”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch &bdquo;Analoge Modulationsverfahren”  des Praktikums &bdquo;Simulation Digitaller Übertragungssysteme”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Windows-Programm  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/AMV.zip AMV]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und		*dem Windows-Programm  [/downloads/Sonstiges/Programme/AMV.zip AMV]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
	*der zugehörigen  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Analoge_Modulationsverfahren.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒  Link verweist auf die PDF-Version (Insgesamt 86 Seiten).		*der zugehörigen  [/downloads/Sonstiges/Texte/Analoge_Modulationsverfahren.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒  Link verweist auf die PDF-Version (Insgesamt 86 Seiten).


Zeile 180:		Zeile 180:

	Weitere Informationen zum Thema, zahlreiche Aufgaben und Simulationen finden Sie im Versuch &bdquo;Analoge Modulationsverfahren” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		Weitere Informationen zum Thema, zahlreiche Aufgaben und Simulationen finden Sie im Versuch &bdquo;Analoge Modulationsverfahren” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Windows-Programm  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/AMV.zip AMV]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und		*dem Windows-Programm  [/downloads/Sonstiges/Programme/AMV.zip AMV]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
	*der zugehörigen  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Analoge_Modulationsverfahren.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; insgesamt 86 Seiten.		*der zugehörigen  [/downloads/Sonstiges/Texte/Analoge_Modulationsverfahren.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; insgesamt 86 Seiten.

Guenter am 4. Mai 2021 um 16:58 Uhr

2021-05-04T16:58:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Mai 2021, 18:58 Uhr
Zeile 126:		Zeile 126:
	*Die grüne Kurve gilt für das Rechteckspektrum  $X_2(f)$  mit der äquivalenten Bandbreite  $\Delta f_2= 2 \,\text{kHz}$.  Das dazugehörige Zeitsignal  $x_2(t)$  verläuft  $\sin(x)/x$–förmig und es gilt:		*Die grüne Kurve gilt für das Rechteckspektrum  $X_2(f)$  mit der äquivalenten Bandbreite  $\Delta f_2= 2 \,\text{kHz}$.  Das dazugehörige Zeitsignal  $x_2(t)$  verläuft  $\sin(x)/x$–förmig und es gilt:
	:$$x_2(t = 0) = 2 \,\text{V}.$$		:$$x_2(t = 0) = 2 \,\text{V}.$$
	Die rote Kurve für das bandpassartige Signal ergibt sich links wie rechts als Differenz zwischen blauer und grüner Kurve.  Entsprechend ist		*Die rote Kurve für das bandpassartige Signal ergibt sich links wie rechts als Differenz zwischen blauer und grüner Kurve.  Entsprechend ist
	:$$x_{\rm BP}(t = 0) = x_1(t = 0) - x_2(t = 0) = 8 \,\text{V},$$		:$$x_{\rm BP}(t = 0) = x_1(t = 0) - x_2(t = 0) = 8 \,\text{V},$$
	:$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rm		:$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rm

Guenter am 3. Mai 2021 um 12:27 Uhr

2021-05-03T12:27:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2021, 14:27 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==		== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
	<br>		<br>
	Im dritten Hauptkapitel:   [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation\|Aperiodische Signale – Impulse]]  wurden meist stillschweigend tiefpassartige Signale vorausgesetzt, das heißt solche Signale, deren Spektralfunktionen im Bereich um die Frequenz  $f = 0$  liegen.  Insbesondere bei optischer Übertragung und bei Funkübertragungssystemen – aber nicht nur bei diesen – liegen die Sendesignale jedoch im Bereich um eine Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.  Solche Signale bezeichnet man als  $\text{Bandpass-Signale}$.		Im dritten Hauptkapitel:   [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation\|"Aperiodische Signale – Impulse"]]  wurden meist stillschweigend tiefpassartige Signale vorausgesetzt, das heißt solche Signale, deren Spektralfunktionen im Bereich um die Frequenz  $f = 0$  liegen.  Insbesondere bei optischer Übertragung und bei Funkübertragungssystemen – aber nicht nur bei diesen – liegen die Sendesignale jedoch im Bereich um eine Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.  Solche Signale bezeichnet man als  $\text{Bandpass-Signale}$.

	Alle im letzten Kapitel dargelegten Gesetze der Fouriertransformation und –rücktransformation gelten für bandpassartige Signale in gleicher Weise.  Daneben gibt es aber auch einige Besonderheiten der Bandpass-Signale, deren Beachtung zu einer einfacheren Beschreibung führen können.		Alle im letzten Kapitel dargelegten Gesetze der Fouriertransformation und –rücktransformation gelten für bandpassartige Signale in gleicher Weise.  Daneben gibt es aber auch einige Besonderheiten der Bandpass-Signale, deren Beachtung zu einer einfacheren Beschreibung führen können.

Guenter am 3. Mai 2021 um 12:26 Uhr

2021-05-03T12:26:12Z

Änderungen zeigen

Guenter am 3. Mai 2021 um 11:46 Uhr

2021-05-03T11:46:57Z

Guenter am 3. Mai 2021 um 11:29 Uhr

2021-05-03T11:29:51Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Signaldarstellung/Unterschiede & Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen nach Signaldarstellung/Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen

2021-05-03T11:11:49Z

Guenter verschob die Seite Signaldarstellung/Unterschiede & Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen nach Signaldarstellung/Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen

← Nächstältere Version	Version vom 3. Mai 2021, 13:11 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter: Guenter verschob die Seite Signaldarstellung/Unterschiede und Gemeinsamkeiten von TP- und BP-Signalen nach Signaldarstellung/Unterschiede & Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen

2021-05-03T11:07:23Z

Guenter verschob die Seite Signaldarstellung/Unterschiede und Gemeinsamkeiten von TP- und BP-Signalen nach Signaldarstellung/Unterschiede & Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen

← Nächstältere Version	Version vom 3. Mai 2021, 13:07 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 25. Februar 2026, 15:19 Uhr
Zeile 103:		Zeile 103:
	:$$x_{\rm BP}(t) = x_1(t) - x_2(t).$$		:$$x_{\rm BP}(t) = x_1(t) - x_2(t).$$
	*Aus der Fouriertransformation folgt allgemein, dass das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$  ist.  Bei jedem Bandpass–Signal ist demzufolge dieses Integral stets Null:		*Aus der Fouriertransformation folgt allgemein, dass das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$  ist.  Bei jedem Bandpass–Signal ist demzufolge dieses Integral stets Null:
	:$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$		:$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
Zeile 109:		Zeile 109:
	Die roten Kurven in den beiden Grafiken zeigen das Bandpass–Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  und die zugehörige Zeitfunktion		Die roten Kurven in den beiden Grafiken zeigen das Bandpass–Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  und die zugehörige Zeitfunktion

	:$$x_{\rm BP}(t) = 10\hspace{0.05cm}{\~~rmV~~} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 10 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t)\cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) -2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t).$$		:$$x_{\rm BP}(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 10 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t)\cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) -2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t).$$

	Ebenfalls dargestellt sind die zwei Tiefpass–Spektren und –Signale.		Ebenfalls dargestellt sind die zwei Tiefpass–Spektren und –Signale.
Zeile 123:		Zeile 123:
	*Die rote Kurve für das bandpassartige Signal ergibt sich links wie rechts als Differenz zwischen blauer und grüner Kurve.  Entsprechend ist		*Die rote Kurve für das bandpassartige Signal ergibt sich links wie rechts als Differenz zwischen blauer und grüner Kurve.  Entsprechend ist
	:$$x_{\rm BP}(t = 0) = x_1(t = 0) - x_2(t = 0) = 8 \,\text{V},$$		:$$x_{\rm BP}(t = 0) = x_1(t = 0) - x_2(t = 0) = 8 \,\text{V},$$
	:$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$}}		:$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$}}


Zeile 134:		Zeile 134:
	Multipliziert man dieses Signal mit einer (dimensionslosen) harmonischen Schwingung		Multipliziert man dieses Signal mit einer (dimensionslosen) harmonischen Schwingung

	:$$z(t) = {\cos} ( 2\pi \cdot f_{\rm T} \~~cdott~~)\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} Z(f) = {1}/{2}\cdot\delta (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot \delta (f + f_{\rm T}),$$		:$$z(t) = {\cos} ( 2\pi \cdot f_{\rm T} \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} Z(f) = {1}/{2}\cdot\delta (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot \delta (f + f_{\rm T}),$$

	so ergibt sich nach dem Faltungssatz für das Spektrum des Signals  $x_{\rm BP}(t) = x_{\rm TP}(t) \cdot z(t)$:		so ergibt sich nach dem Faltungssatz für das Spektrum des Signals  $x_{\rm BP}(t) = x_{\rm TP}(t) \cdot z(t)$:

	:$$X_{\rm BP}(f) = X_{\rm TP}(f)\star Z(f) = {1}/{2}\cdot X_{\~~rmTP~~} (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot X_{\rm TP}(f + f_{\rm T}).$$		:$$X_{\rm BP}(f) = X_{\rm TP}(f)\star Z(f) = {1}/{2}\cdot X_{\rm TP} (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot X_{\rm TP}(f + f_{\rm T}).$$

	Hierbei ist berücksichtigt, dass die  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltung]]  der Spektralfunktion  $X_{\rm TP}(f)$  mit der verschobenen Diracfunktion  $\delta (f - f_\rm {T})$  die um  $f_\rm {T}$  nach rechts verschobene Funktion  $X_{\rm TP}(f-f_\rm {T})$  ergibt.		Hierbei ist berücksichtigt, dass die  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltung]]  der Spektralfunktion  $X_{\rm TP}(f)$  mit der verschobenen Diracfunktion  $\delta (f - f_\rm {T})$  die um  $f_\rm {T}$  nach rechts verschobene Funktion  $X_{\rm TP}(f-f_\rm {T})$  ergibt.

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2021, 13:46 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	$\text{Beispiel 1: Zur Klassifizierung von Signalen hinsichtlich &bdquo;Tiefpass” und &bdquo;Bandpass”}$		$\text{Beispiel 1: Zur Klassifizierung von Signalen hinsichtlich &bdquo;Tiefpass” und &bdquo;Bandpass”}$

	'''(a)'''     ''Sprache''  und ''Musik''  sind Tiefpass–Signale mit einer Bandbreite von  $\text{20 kHz}$  (bei sehr guter Qualität). Da eine Funkübertragung aber erst ab ca.  $\text{100 kHz}$  möglich ist, erfolgt bei Analogsystemen vor der Übertragung eine Umsetzung auf Trägerfrequenzen zwischen		'''(a)'''     "Sprache"  und  "Musik"  sind Tiefpass–Signale mit einer Bandbreite von  $\text{20 kHz}$  (bei sehr guter Qualität).  Da eine Funkübertragung aber erst ab ca.  $\text{100 kHz}$  möglich ist, erfolgt bei Analogsystemen vor der Übertragung eine Umsetzung auf Trägerfrequenzen zwischen
	*$\text{0.525 ... 1.61 MHz}$  $($Mittelwellenrundfunk, Amplitudenmodulation, Kanalabstand  $\text{9 kHz})$,		*$\text{0.525 ... 1.61 MHz}$  $($Mittelwellenrundfunk, Amplitudenmodulation, Kanalabstand  $\text{9 kHz})$,
	*$\text{87.5 ... 108 MHz}$  $($Rundfunk auf UKW, Frequenzmodulation, Kanalabstand  $\text{300 kHz})$.		*$\text{87.5 ... 108 MHz}$  $($Rundfunk auf UKW, Frequenzmodulation, Kanalabstand  $\text{300 kHz})$.


	'''(b)'''     ''TV-Bildsignale''  weisen eine größere Bandbreite auf, zum Beispiel  $\text{5 MHz}$ . Auch hier erfolgt vor der Ton– und Bildübertragung eine Frequenzbandverschiebung durch Trägerfrequenzen zwischen		'''(b)'''     "TV-Bildsignale"  weisen eine größere Bandbreite auf, zum Beispiel  $\text{5 MHz}$.  Auch hier erfolgt vor der Ton– und Bildübertragung eine Frequenzbandverschiebung durch Trägerfrequenzen zwischen
	*$\text{41 ... 68 / 174 ... 230 MHz}$  (Fernsehen, VHF-Band, Kanalabstand  $\text{7 MHz})$,		*$\text{41 ... 68 / 174 ... 230 MHz}$  (Fernsehen, VHF-Band, Kanalabstand  $\text{7 MHz})$,
	*$\text{470 ... 850 MHz}$  $($Fernsehen, UHF-Band, Kanalabstand  $\text{8 MHz})$.		*$\text{470 ... 850 MHz}$  $($Fernsehen, UHF-Band, Kanalabstand  $\text{8 MHz})$.


	'''(c)'''    Beim ''GSM-Mobilfunk''  liegen die Trägerfrequenzen im D-Band bei  $\text{900 MHz}$  und im D-Band bei  $\text{1800 MHz}$.		'''(c)'''    Beim  "GSM-Mobilfunk"  liegen die Trägerfrequenzen im D-Band bei  $\text{900 MHz}$  und im E-Band bei  $\text{1800 MHz}$.

	'''(d)'''     Bei ''optischer Übertragung''  werden die elektrischen Signale in Licht gewandelt, also auf Frequenzen zwischen ca.  $\text{200 THz}$  und  $\text{350 THz}$  $($entsprechend  $\text{1.55 µm ... 0.85 µm}$  Wellenlänge).}}		'''(d)'''     Bei  "optischer Übertragung"  werden die elektrischen Signale in Licht gewandelt, also auf Frequenzen zwischen ca.  $\text{200 THz}$  und  $\text{350 THz}$  $($entsprechend  $\text{1.55 µm ... 0.85 µm}$  Wellenlänge).}}


	==Eigenschaften von BP-Signalen==		==Eigenschaften von Bandpass-Signalen==
	<br>		<br>
	Auf dieser Seite werden – ohne Anspruch auf Vollständigkeit – einige Eigenschaften von Bandpass–Signalen zusammengestellt und den Tiefpass–Signalen vergleichend gegenübergestellt. Dabei gehen wir von den Spektralfunktionen  $X_{\rm TP}(f)$  und  $X_{\rm BP}(f)$  gemäß der folgenden Skizze aus.		Auf dieser Seite werden – ohne Anspruch auf Vollständigkeit – einige Eigenschaften von Bandpass–Signalen zusammengestellt und den Tiefpass–Signalen vergleichend gegenübergestellt.  Dabei gehen wir von den Spektralfunktionen  $X_{\rm TP}(f)$  und  $X_{\rm BP}(f)$  gemäß der folgenden Skizze aus.

	[[Datei:P_ID679__Sig_T_4_1_S2a_neu.png\|center\|frame\|Tiefpass- und Bandpass-Spektrum]]		[[Datei:P_ID679__Sig_T_4_1_S2a_neu.png\|center\|frame\|Tiefpass- und Bandpass-Spektrum]]

	Zu der Grafik ist anzumerken:		Zu der Grafik ist anzumerken:
	*Die Dreiecksform der dargestellten Spektren ist schematisch zu verstehen und soll nur das belegte Frequenzband kennzeichnen. Daraus sollte also nicht geschlossen werden, dass alle Frequenzen innerhalb des Bandes tatsächlich belegt sind und dass alle Spektralfunktionen linear mit der Frequenz  $f$  zunehmen.		*Die Dreiecksform der dargestellten Spektren ist schematisch zu verstehen und soll nur das belegte Frequenzband kennzeichnen.  Daraus sollte also nicht geschlossen werden, dass alle Frequenzen innerhalb des Bandes tatsächlich belegt sind und dass alle Spektralfunktionen linear mit der Frequenz  $f$  zunehmen.
	*Die zugehörigen Zeitfunktionen  $x_{\rm TP}(t)$  und  $x_{\rm BP}(t)$  seien vorerst reell. Das bedeutet, dass nach dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  die Spektralfunktionen  $X_{\rm TP}(f)$  und  $X_{\rm BP}(f)$  – bezogen auf die Frequenz  $f = 0$  – jeweils einen geraden Realteil und einen ungeraden Imaginärteil besitzen.		*Die zugehörigen Zeitfunktionen  $x_{\rm TP}(t)$  und  $x_{\rm BP}(t)$  seien vorerst reell.  Das bedeutet, dass nach dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  die Spektralfunktionen  $X_{\rm TP}(f)$  und  $X_{\rm BP}(f)$  – bezogen auf die Frequenz  $f = 0$  – jeweils einen geraden Realteil und einen ungeraden Imaginärteil besitzen.
	*Als Bandbreite  $B_{\rm TP}$  bzw.  $B_{\rm BP}$  bezeichnen wir für Tiefpass und Bandpass gleichermaßen das belegte Frequenzband bei den positiven Frequenzen (in der Grafik:   durchgezogene Kurvenverläufe).		*Als Bandbreite  $B_{\rm TP}$  bzw.  $B_{\rm BP}$  bezeichnen wir für Tiefpass und Bandpass gleichermaßen das belegte Frequenzband bei den positiven Frequenzen  (in der Grafik:   durchgezogene Kurvenverläufe).


			[[Datei:P_ID698__Sig_T_4_1_S2b_neu.png\|right\|frame\|Beispiel von Tiefpass- und Bandpass-Spektrum]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$  Es folgt ein Beispiel mit diskreten Spektrallinien. Die linke Grafik zeigt das Spektrum  $Q(f)$  des Nachrichtensignals		$\text{Beispiel 2:}$  Es folgt ein Beispiel mit diskreten Spektrallinien.

			Die linke Grafik zeigt das Spektrum  $Q(f)$  des Nachrichtensignals

	:$$q(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} + 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 3\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) + 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot 4\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t). $$		:$$q(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} + 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 3\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) + 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot 4\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t). $$

	Die diskreten Spektrallinien des Realteils   ⇒   ${\rm Re}\big[Q(f)\big]$  sind blau dargestellt und diejenigen des Imaginärteils   ⇒   ${\rm Im}\big[Q(f)\big]$  rot.		Die diskreten Spektrallinien des Realteils   ⇒   ${\rm Re}\big[Q(f)\big]$  sind blau dargestellt und diejenigen des Imaginärteils   ⇒   ${\rm Im}\big[Q(f)\big]$  rot.
			<br clear=all>
	~~[[Datei:P_ID698__Sig_T_4_1_S2b_neu.png\|center\|frame\|Beispiel von Tiefpass- und Bandpass-Spektrum]]~~		Rechts dargestellt ist das Spektrum  $S(f)$  nach Einseitenband–Amplitudenmodulation  $\text{(ESB–AM)}$  mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \,\text{kHz}$.  Eine Beschreibung dieses Übertragungssystems finden Sie im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation\|Hüllkurvendemodulation]]  des Buches „Modulationsverfahren”.
			*Nach dieser Beschreibung ist  $q(t)$  eindeutig ein Tiefpass–Signal und  $s(t)$  ein Bandpass–Signal.  Die Bandbreiten sind jeweils  $B_{\rm TP} = B_{\rm BP} = 4 \,\text{kHz}$.
	Rechts dargestellt ist das Spektrum  $S(f)$  nach Einseitenband–Amplitudenmodulation (ESB–AM) mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \,\text{kHz}$. Eine Beschreibung dieses Übertragungssystems finden Sie im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation\|Hüllkurvendemodulation]]  des Buches „Modulationsverfahren”.
	*Nach dieser Beschreibung ist  $q(t)$  eindeutig ein Tiefpass–Signal und  $s(t)$  ein Bandpass–Signal. Die Bandbreiten sind jeweils  $B_{\rm TP} = B_{\rm BP} = 4 \,\text{kHz}$.
	*Die Signale  $q(t)$  und  $s(t)$  sind zudem reell, da sowohl  $Q(f)$  als auch  $S(f)$  einen geraden Real- und einen ungeraden Imaginärteil aufweisen.		*Die Signale  $q(t)$  und  $s(t)$  sind zudem reell, da sowohl  $Q(f)$  als auch  $S(f)$  einen geraden Real- und einen ungeraden Imaginärteil aufweisen.
	*Würde beim Quellensignal der Gleichanteil  $(3 \,\text{V})$  fehlen, so würde man sinnvollerweise  $q(t)$  noch immer als tiefpassartig bezeichnen.		*Würde beim Quellensignal der Gleichanteil  $(3 \,\text{V})$  fehlen, so würde man sinnvollerweise  $q(t)$  noch immer als tiefpassartig bezeichnen.

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2021, 13:29 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==		== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
	<br>		<br>
	Im dritten Hauptkapitel:   [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation\|Aperiodische Signale – Impulse]]  wurden meist stillschweigend tiefpassartige Signale vorausgesetzt, das heißt solche Signale, deren Spektralfunktionen im Bereich um die Frequenz  $f = 0$  liegen. Insbesondere bei optischer Übertragung und bei Funkübertragungssystemen – aber nicht nur bei diesen – liegen die Sendesignale jedoch im Bereich um eine Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$. Solche Signale bezeichnet man als  ~~'''~~Bandpass-Signale~~'''~~.		Im dritten Hauptkapitel:   [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation\|Aperiodische Signale – Impulse]]  wurden meist stillschweigend tiefpassartige Signale vorausgesetzt, das heißt solche Signale, deren Spektralfunktionen im Bereich um die Frequenz  $f = 0$  liegen.  Insbesondere bei optischer Übertragung und bei Funkübertragungssystemen – aber nicht nur bei diesen – liegen die Sendesignale jedoch im Bereich um eine Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.  Solche Signale bezeichnet man als  $\text{Bandpass-Signale}$.

	Alle im letzten Kapitel dargelegten Gesetze der Fouriertransformation und –rücktransformation gelten für bandpassartige Signale in gleicher Weise. Daneben gibt es aber auch einige Besonderheiten der Bandpass-Signale, deren Beachtung zu einer einfacheren Beschreibung führen können.		Alle im letzten Kapitel dargelegten Gesetze der Fouriertransformation und –rücktransformation gelten für bandpassartige Signale in gleicher Weise.  Daneben gibt es aber auch einige Besonderheiten der Bandpass-Signale, deren Beachtung zu einer einfacheren Beschreibung führen können.

	Dieses Kapitel beinhaltet im Einzelnen:		Dieses Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
	*die Aufzählung von ''Unterschieden''  und ''Gemeinsamkeiten''  von Tiefpass– und Bandpass–Signalen,		*die Aufzählung von  Unterschieden  und  Gemeinsamkeiten  von Tiefpass– und Bandpass–Signalen,
	*die ''Synthese''  von Bandpass–Signalen aus dem äquivalenten Tiefpass–Signal,		*die  Synthese  von Bandpass–Signalen aus dem äquivalenten Tiefpass–Signal,
	*das ''analytische Signal''  und die zugehörige Spektralfunktion,		*das  analytische Signal  und die zugehörige Spektralfunktion,
	*das ''äquivalente Tiefpass–Signal''  im Zeit– und Frequenzbereich, und schließlich		*das  äquivalente Tiefpass–Signal  im Zeit– und Frequenzbereich, und schließlich
	*die Darstellung von analytischem Signal/äquivalentem Tiefpass–Signal in der ''komplexen Ebene''.		*die Darstellung von  analytischem Signal/äquivalentem Tiefpass–Signal  in der komplexen Ebene.


	Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch ''Analoge Modulationsverfahren''  des Praktikums &bdquo;Simulation Digitaller Übertragungssysteme”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch &bdquo;Analoge Modulationsverfahren”  des Praktikums &bdquo;Simulation Digitaller Übertragungssysteme”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Windows-Programm  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/AMV.zip AMV]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und		*dem Windows-Programm  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/AMV.zip AMV]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
	*der zugehörigen  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Analoge_Modulationsverfahren.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒  Link verweist auf die PDF-Version (Insgesamt 86 Seiten).		*der zugehörigen  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Analoge_Modulationsverfahren.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒  Link verweist auf die PDF-Version (Insgesamt 86 Seiten).
Zeile 27:		Zeile 27:
	==Bedeutung der Bandpass-Signale für die Nachrichentechnik==		==Bedeutung der Bandpass-Signale für die Nachrichentechnik==
	<br>		<br>
	In den bisherigen Kapiteln dieses Buches wurden bisher fast nur Signale betrachtet, deren Spektren in einem engen Bereich um die Frequenz  $f = 0$  liegen. Beispiele hierfür sind analoge Sprach–, Musik– und Bildsignale, die man alle – trotz ihrer unterschiedlichen Bandbreiten – als  ~~'''~~Tiefpass-Signale~~'''~~  bezeichnen kann.		In den bisherigen Kapiteln dieses Buches wurden bisher fast nur Signale betrachtet, deren Spektren in einem engen Bereich um die Frequenz  $f = 0$  liegen.  Beispiele hierfür sind analoge Sprach–, Musik– und Bildsignale, die man alle – trotz ihrer unterschiedlichen Bandbreiten – als  $\text{Tiefpass-Signale}$  bezeichnen kann.

	Will man ein solches Tiefpass-Signal zu einer räumlich entfernten Sinke übertragen, so muss das Signal unter Umständen in eine andere Frequenzlage umgesetzt werden. Dafür kann es mehrere Gründe geben:		Will man ein solches Tiefpass-Signal zu einer räumlich entfernten Sinke übertragen, so muss das Signal unter Umständen in eine andere Frequenzlage umgesetzt werden.  Dafür kann es mehrere Gründe geben:
	*Häufig ist der Übertragungskanal für die direkte Übertragung des Quellensignals im originalen Frequenzband ungeeignet, da dieses für ihn ungünstige Frequenzen beinhaltet. Erst durch eine Frequenzverschiebung mittels eines so genannten ''Modulators''  wird eine Übertragung ermöglicht.		*Häufig ist der Übertragungskanal für die direkte Übertragung des Quellensignals im originalen Frequenzband ungeeignet, da dieses für ihn ungünstige Frequenzen beinhaltet.  Erst durch eine Frequenzverschiebung mittels eines so genannten "Modulators"  wird eine Übertragung ermöglicht.
	*Man kann einen einzigen Übertragungskanal auch zur gleichzeitigen Übertragung mehrerer Signale nutzen, wenn diese sendeseitig mit verschiedenen Trägerfrequenzen moduliert werden. Man nennt dieses Verfahren  [[Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#B.C3.BCndelung_von_Kan.C3.A4len_.E2.80.93_Frequenzmultiplex\|Frequenzmultiplex]]  (englisch:  ''Frequency Division Multiple Access'', FDMA).		*Man kann einen einzigen Übertragungskanal auch zur gleichzeitigen Übertragung mehrerer Signale nutzen, wenn diese sendeseitig mit verschiedenen Trägerfrequenzen moduliert werden.  Man nennt dieses Verfahren  [[Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#B.C3.BCndelung_von_Kan.C3.A4len_.E2.80.93_Frequenzmultiplex\|Frequenzmultiplex]]  (englisch:  "Frequency Division Multiple Access",  $\text{FDMA)}$.
	*Die Übertragungsqualität kann gegenüber dem einfachsten analogen Verfahren  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation\|Amplitudenmodulation]]  auf Kosten einer größeren Bandbreite verbessert und somit ein größeres ''Signal-zu-Rauschverhältnis''  erzielt werden. Beispiele sind die  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)\|Frequenzmodulation]]  (FM) ~~als analoges Verfahren~~ und die digitale  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]]  (PCM).		*Die Übertragungsqualität kann gegenüber dem einfachsten analogen Verfahren  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation\|Amplitudenmodulation]]  $\text{(AM)}$  auf Kosten einer größeren Bandbreite verbessert und somit ein größeres "Signal-zu-Rauschverhältnis"  erzielt werden.  Beispiele sind die analoge  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)\|Frequenzmodulation]]  $\text{(FM)}$  und die digitale  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]]  $\text{(PCM)}$.


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Festzuhalten ist:}$  Die Sendesignale vieler Übertragungsverfahren sind  ~~'''~~Bandpass-Signale~~'''~~.}}		$\text{Festzuhalten ist:}$  Die Sendesignale vieler Übertragungsverfahren sind  $\text{Bandpass-Signale}$.}}


	''Hinweis:''   Dem Autor ist durchaus bewusst, dass es nach der letzten Rechtschreibreform „Tiefpasssignal” und „Bandpasssignal” heißen müsste. Um diese unschönen Konstrukte zu vermeiden, verwenden wir im Folgenden meist die Schreibweisen „Tiefpass–Signal” und „Bandpass–Signal”, manchmal auch „TP–Signal” und „BP–Signal”.		''Hinweis:''   Dem Autor ist durchaus bewusst, dass es nach der letzten Rechtschreibreform „Tiefpasssignal” und „Bandpasssignal” heißen müsste.  Um diese unschönen Konstrukte zu vermeiden, verwenden wir im Folgenden meist die Schreibweisen „Tiefpass–Signal” und „Bandpass–Signal”, manchmal auch „TP–Signal” und „BP–Signal”.

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=