Signaldarstellung/Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals - Versionsgeschichte

Guenter am 12. April 2021 um 13:27 Uhr

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2018-07-12T12:21:01Z

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2017-12-20T16:56:32Z

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2017-01-20T09:42:09Z

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2017-01-16T13:57:00Z

Guenter am 13. Januar 2017 um 16:02 Uhr

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Guenter am 13. Januar 2017 um 15:10 Uhr

2017-01-13T15:10:26Z

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 :$$X_\varepsilon (f)=\frac{1}{\varepsilon -\rm  j \cdot 2\pi \it f} + \frac{1}{\varepsilon+\rm j \cdot 2\pi \it  f} = \frac{2\varepsilon}{\varepsilon^2 + (\rm 2\pi {\it f}\hspace{0.05cm} ) \rm ^2} \, .$$
-*Die Fläche unter der&nbsp; $X_\varepsilon (f)$&ndash;Kurve ist unabhängig vom Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; gleich&nbsp; $1$. Je kleiner&nbsp; $ε$&nbsp; gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das Lernvideo&nbsp; [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]]&nbsp; zeigt.
+*Die Fläche unter der&nbsp; $X_\varepsilon (f)$&ndash;Kurve ist unabhängig vom Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; gleich&nbsp; $1$.&nbsp; Je kleiner&nbsp; $ε$&nbsp; gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das Lernvideo&nbsp; [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]]&nbsp; zeigt.
 *Der Grenzübergang für&nbsp; $\varepsilon \to 0$&nbsp; liefert die Diracfunktion mit dem Gewicht&nbsp; $1$:

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Ein&nbsp; '''Gleichsignal'''&nbsp; ist ein deterministisches Signal, dessen Augenblickswerte für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$&nbsp; konstant sind. Ein solches Signal ist der Grenzfall einer&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingung]], wobei die Periodendauer&nbsp; $T_{0}$&nbsp; einen unendlich großen Wert besitzt.}}
+Ein&nbsp; $\text{Gleichsignal}$&nbsp; ist ein deterministisches Signal, dessen Augenblickswerte für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$&nbsp; konstant sind.&nbsp; Ein solches Signal ist der Grenzfall einer&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingung]], wobei die Periodendauer&nbsp; $T_{0}$&nbsp; einen unendlich großen Wert besitzt.}}
 [[Datei:Sig_T_2_2_S1a_Version2.png|right|frame|Gleichsignal im Zeitbereich]]
-Entsprechend dieser Definition reicht ein Gleichsignal immer von&nbsp; $t = -\infty$&nbsp; bis&nbsp; $t = +\infty$.
+Entsprechend dieser Definition reicht ein Gleichsignal immer von&nbsp; $t = -\infty$&nbsp; bis&nbsp; $t = +\infty$.&nbsp;
-Wird das Signal erst zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; eingeschaltet, so liegt kein Gleichsignal vor.
+Wird das Signal erst zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; eingeschaltet, so liegt also kein Gleichsignal vor.
-*Ein Gleichsignal kann niemals Träger von Information im nachrichtentechnischen Sinne sein, doch können Nachrichtensignale durchaus einen&nbsp; ''Gleichsignalanteil''&nbsp; besitzen.
+*Ein Gleichsignal kann niemals Träger von Information im nachrichtentechnischen Sinne sein, doch können Nachrichtensignale durchaus einen&nbsp; &bdquo;Gleichsignalanteil&rdquo;&nbsp; besitzen.
 *Alle im Folgenden für das Gleichsignal getroffenen Aussagen gelten in gleicher Weise auch für einen solchen Gleichsignalanteil.
 <br clear=all>
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Für den&nbsp; '''Gleichsignalanteil'''&nbsp; $A_{0}$ eines beliebigen Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; gilt:
+Für den&nbsp; $\text{Gleichsignalanteil}$&nbsp; $A_{0}$ eines beliebigen Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; gilt:
 :$$A_0  =  \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\,{\rm d} t. $$
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 ==Spektraldarstellung==
 <br>
-Wir betrachten nun den Sachverhalt im Frequenzbereich. Aus der Zeitfunktion ist bereits ersichtlich, dass diese – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz&nbsp; $f=0$.
+Wir betrachten nun den Sachverhalt im Frequenzbereich.&nbsp; Aus der Zeitfunktion ist bereits ersichtlich, dass diese – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz&nbsp; $f=0$.
-Dieses Ergebnis soll nun mathematisch hergeleitet werden.
+Dieses Ergebnis soll nun mathematisch hergeleitet werden.&nbsp;
 Im Vorgriff auf das Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformation]]&nbsp;  wird bereits hier der Zusammenhang zwischen dem Zeitsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem korrespondierenden Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; angegeben:
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 mit folgenden Eigenschaften:
-*Das Integral divergiert für&nbsp; $f=0$, das heißt, es liefert einen unendlich großen Wert (Integration über den konstanten Wert 1).
+*Das Integral divergiert für&nbsp; $f=0$, das heißt, es liefert einen unendlich großen Wert&nbsp; $($Integration über den konstanten Wert&nbsp; $1)$.
-*Für eine Frequenz&nbsp; $f\ne 0$&nbsp; ist das Integral dagegen Null; der dazugehörige Beweis ist allerdings nicht trivial (siehe nächste Seite).
+*Für eine Frequenz&nbsp; $f\ne 0$&nbsp; ist das Integral dagegen Null; der dazugehörige Beweis ist allerdings nicht trivial&nbsp; $($siehe nächste Seite$)$.
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 :$$X(f) = A_0 \, \cdot \, \rm \delta(\it f).$$
-*Man bezeichnet&nbsp; $\delta(f)$&nbsp; als&nbsp; '''Diracfunktion''', auch bekannt unter dem Namen „Distribution”.
+*Man bezeichnet&nbsp; $\delta(f)$&nbsp; als&nbsp; $\text{Diracfunktion}$, auch bekannt unter dem Namen „Distribution”.
-*$\delta(f)$&nbsp; ist eine mathematisch komplizierte Funktion; die Herleitung finden Sie auf der nächsten Seite.}}
+*$\delta(f)$&nbsp; ist eine mathematisch komplizierte Funktion;&nbsp; die Herleitung finden Sie auf der nächsten Seite.}}
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die für die funktionale Beschreibung von nachrichtentechnischen Systemen äußerst wichtige&nbsp; '''Diracfunktion'''&nbsp; weist folgende Eigenschaften auf:
+Die für die funktionale Beschreibung von nachrichtentechnischen Systemen äußerst wichtige&nbsp; $\text{Diracfunktion}$&nbsp; weist folgende Eigenschaften auf:
 *Die Diracfunktion ist unendlich schmal, das heißt, es ist&nbsp; $\delta(f)=0$&nbsp; für&nbsp; $f \neq 0$.
 *Die Diracfunktion&nbsp; $\delta(f)$&nbsp; ist bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; unendlich hoch.
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 Zur mathematischen Herleitung obiger Eigenschaften gehen wir von einem dimensionslosen Gleichsignal aus.
-Um die Konvergenz des Fourierintegrals zu erzwingen, wird das nicht energiebegrenzte Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit einer beidseitig abfallenden Exponentialfunktion multipliziert. Die Grafik zeigt das Signal&nbsp; $x(t)=1$&nbsp; und das energiebegrenzte Signal
+*Um die Konvergenz des Fourierintegrals zu erzwingen, wird das nicht energiebegrenzte Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit einer beidseitig abfallenden Exponentialfunktion multipliziert.&nbsp; Die Grafik zeigt das Signal&nbsp; $x(t)=1$&nbsp; und das energiebegrenzte Signal
 :$$x_{\varepsilon} (t) = \rm e^{\it -\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm}\vert}{.}$$
-Hierbei gelte&nbsp; $\varepsilon > 0$. Im Grenzübergang&nbsp; $\varepsilon \to 0$&nbsp; geht&nbsp; $x_{\varepsilon}(t)$&nbsp; in&nbsp; $x(t)=1$&nbsp; über.
+:Hierbei gelte&nbsp; $\varepsilon > 0$.&nbsp; Im Grenzübergang&nbsp; $\varepsilon \to 0$&nbsp; geht&nbsp; $x_{\varepsilon}(t)$&nbsp; in&nbsp; $x(t)=1$&nbsp; über.
-Zur Spektraldarstellung kommt man durch Anwendung des vorne angegebenen Fourierintegrals:
+*Zur Spektraldarstellung kommt man durch Anwendung des vorne angegebenen Fourierintegrals:
 :$$X_\varepsilon (f)=\int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{\varepsilon{t} }\, {\cdot}\, {\rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.2cm} \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{-\varepsilon t} \,{\cdot}\, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$
-Nach Integration und Zusammenfassen beider Anteile erhalten wir die rein reelle Spektralfunktion des energiebegrenzten Signals&nbsp; $x_{\varepsilon}(t)$:
+*Nach Integration und Zusammenfassen beider Anteile erhalten wir die rein reelle Spektralfunktion des energiebegrenzten Signals&nbsp; $x_{\varepsilon}(t)$:
 :$$X_\varepsilon (f)=\frac{1}{\varepsilon -\rm  j \cdot 2\pi \it f} + \frac{1}{\varepsilon+\rm j \cdot 2\pi \it  f} = \frac{2\varepsilon}{\varepsilon^2 + (\rm 2\pi {\it f}\hspace{0.05cm} ) \rm ^2} \, .$$
-Die Fläche unter der&nbsp; $X_\varepsilon (f)$&ndash;Kurve ist unabhängig vom Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; gleich&nbsp; $1$. Je kleiner&nbsp; $ε$&nbsp; gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das Lernvideo&nbsp; [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]]&nbsp; zeigt.
+*Die Fläche unter der&nbsp; $X_\varepsilon (f)$&ndash;Kurve ist unabhängig vom Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; gleich&nbsp; $1$. Je kleiner&nbsp; $ε$&nbsp; gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das Lernvideo&nbsp; [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]]&nbsp; zeigt.
-Der Grenzübergang für&nbsp; $\varepsilon \to 0$&nbsp; liefert die Diracfunktion mit dem Gewicht&nbsp; $1$:
+*Der Grenzübergang für&nbsp; $\varepsilon \to 0$&nbsp; liefert die Diracfunktion mit dem Gewicht&nbsp; $1$:
 :$$\lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm} 0}X_\varepsilon (f)= \delta(f).$$}}

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 Wird das Signal erst zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet, so liegt kein Gleichsignal vor.
-*Ein Gleichsignal kann niemals Träger von Information im nachrichtentechnischen Sinne sein, doch können Nachrichtensignale durchaus einen ''Gleichsignalanteil'' besitzen.
+*Ein Gleichsignal kann niemals Träger von Information im nachrichtentechnischen Sinne sein, doch können Nachrichtensignale durchaus einen ''Gleichsignalanteil''&nbsp; besitzen.
 *Alle im Folgenden für das Gleichsignal getroffenen Aussagen gelten in gleicher Weise auch für einen solchen Gleichsignalanteil.
 <br clear=all>
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 :$$A_0  =  \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\,{\rm d} t. $$
-Die Messdauer  $T_{\rm M}$ sollte stets möglichst groß  gewählt werden (im Grenzfall unendlich).  Die angegebene Gleichung gilt allerdings nur dann, wenn $T_{\rm M}$ symmetrisch um den Zeitpunkt $t=0$ liegt.}}
+*Die Messdauer  $T_{\rm M}$ sollte stets möglichst groß  gewählt werden (im Grenzfall unendlich).
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 ==Spektraldarstellung==
 Wir betrachten nun den Sachverhalt im Frequenzbereich. Aus der Zeitfunktion ist bereits ersichtlich, dass diese – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz $f=0$.
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 Man bezeichnet die so berechnete Spektralfunktion $X(f)$ nach dem französischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier] als die Fouriertransformierte von $x(t)$ und verwendet als Kurzbezeichnung für diesen Funktionalzusammenhang
-:$$X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,x(t).$$
+:$$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t).$$
 Beschreibt $x(t)$ beispielsweise einen Spannungsverlauf, so hat $X(f)$ die Einheit „V/Hz“.
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 :$$X(f) = A_0 \, \cdot \, \rm \delta(\it f).$$
-Man bezeichnet $\delta(f)$ als '''Diracfunktion''', auch bekannt unter dem Namen „Distribution”. $\delta(f)$ ist eine mathematisch komplizierte Funktion; die Herleitung finden Sie auf der nächsten Seite.}}
+*Man bezeichnet $\delta(f)$ als '''Diracfunktion''', auch bekannt unter dem Namen „Distribution”.
-[[Datei:Sig_T_2_2_S2_Version2.png|right|frame|Gleichsignal und Spektralfunktion]]
+[[Datei:Sig_T_2_2_S2_Version2.png|right|frame|Gleichsignal und dessen Spektralfunktion]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
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 ==Diracfunktion im Frequenzbereich==
+<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
@@ Zeile 101: / Zeile 103: @@
 :$$x_{\varepsilon} (t) = \rm e^{\it -\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm}\vert}{.}$$
-Hierbei gelte $\varepsilon > 0$. Im Grenzübergang $\varepsilon \to 0$ geht $x_{\varepsilon}(t)$ in $(t)=1$ über.
+Hierbei gelte $\varepsilon > 0$. Im Grenzübergang $\varepsilon \to 0$ geht $x_{\varepsilon}(t)$ in $x(t)=1$ über.
 Zur Spektraldarstellung kommt man durch Anwendung des vorne angegebenen Fourierintegrals:
@@ Zeile 110: / Zeile 112: @@
 :$$X_\varepsilon (f)=\frac{1}{\varepsilon -\rm  j \cdot 2\pi \it f} + \frac{1}{\varepsilon+\rm j \cdot 2\pi \it  f} = \frac{2\varepsilon}{\varepsilon^2 + (\rm 2\pi {\it f}\hspace{0.05cm} ) \rm ^2} \, .$$
 Der Grenzübergang für $\varepsilon \to 0$ liefert die Diracfunktion mit dem Gewicht $1$:
@@ Zeile 115: / Zeile 119: @@
 :$$\lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm} 0}X_\varepsilon (f)= \delta(f).$$}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==
+<br>
 [[Aufgaben: 2.2 Gleichsignalanteile|Aufgabe 2.2: Gleichsignalanteile]]

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	\|Nächste Seite=Harmonische Schwingung		\|Nächste Seite=Harmonische Schwingung
	}}		}}
−
−	~~==Test von Lernvideos==~~
−
−	~~{{Definition}}~~
−	Ein '''Gleichsignal''' ist ein deterministisches Signal, dessen Augenblickswerte für alle Zeiten $t$ von $-\infty$ bis $+\infty$ konstant sind. Ein solches Signal ist der Grenzfall einer [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|harmonischen Schwingung]], wobei die Periodendauer $T_{0}$ einen unendlich großen Wert besitzt.
−	~~{{end}}~~

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 |Nächste Seite=Harmonische Schwingung
 }}
 ==Zeitsignaldarstellung==
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 $$\lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm} 0}X_\varepsilon (f)= \delta(f).$$
-Die Fläche unter der Kurve ist unabhängig vom Parameter $\epsilon$ gleich 1. Je kleiner ε gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das Lernvideo [[Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion (Dauer 2:50)]] zeigt.
+Die Fläche unter der Kurve ist unabhängig vom Parameter $\varepsilon$ gleich $\varepsilon$. Je kleiner ε gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das Lernvideo [[Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion (Dauer 2:50)]] zeigt.

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-[[Datei:P_ID251__Sig_T_2_2_S1_a_rah.png|right|Gleichsignal]]
+[[Datei:Sig_T_2_2_S1a_Version2.png|right|Gleichsignal]]
 Entsprechend dieser Definition reicht ein Gleichsignal immer von $t = -\infty$ bis $t = +\infty$.
 Wird das Signal erst zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet, so liegt kein Gleichsignal vor.
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 Man bezeichnet $\delta(f)$ als Diracfunktion, auch bekannt unter dem Namen „Distribution”. $\delta(f)$ ist eine mathematisch komplizierte Funktion; die Herleitung finden Sie auf der nächsten Seite.
-[[Datei:P_ID118__Sig_T_2_2_S2_rah.png|right|Gleichsignal und Spektralfunktion]]
+[[Datei:Sig_T_2_2_S2_Version2.png|right|Gleichsignal und Spektralfunktion]]
 Die Grafik zeigt nochmals den Funktionalzusammenhang

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 [[Aufgaben: 2.2 Gleichsignalanteile|Aufgabe 2.2: &nbsp;  Gleichsignalanteile]]
-[[Aufgaben: 2.2Z Nichtlinearitäten|Zusatzaufgabe 2.2Z &nbsp;  Nichtlinearitäten]]
+[[Aufgaben: 2.2Z Nichtlinearitäten|Zusatzaufgabe 2.2Z: &nbsp;  Nichtlinearitäten]]
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