Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:33Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
Zeile 397:		Zeile 397:

	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Signal_Representation/The_Fourier_Transform_Theorems]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:04Z

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← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 210:		Zeile 210:
	$\text{Beweis:}$  Das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|erste Fourierintegral]]  lautet nach sukzessiver Umbenennung  $t \to u$  bzw.  $f \to t$:		$\text{Beweis:}$  Das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|erste Fourierintegral]]  lautet nach sukzessiver Umbenennung  $t \to u$  bzw.  $f \to t$:

	:$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( u )} \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u, \hspace{1cm}		:$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( u )} \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u, \hspace{1cm}X(t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( u )} \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}u}\hspace{0.1cm} {\rm d}u.$$
	X(t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( u )} \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}u}\hspace{0.1cm} {\rm d}u.$$

	Ändert man das Vorzeichen in den Exponenten, so muss man  $X(t)$  durch  $X^(t)$  und  $x(u)$  durch  $x^*(u)$  ersetzen:		Ändert man das Vorzeichen in den Exponenten, so muss man  $X(t)$  durch  $X^(t)$  und  $x(u)$  durch  $x^*(u)$  ersetzen:
Zeile 256:		Zeile 255:
	Das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|erste Fourierintegral]]  für das um  $t_0$  nach rechts verschobene Signal  $x_{\rm V}(t) = x(t-t_0)$  lautet mit der Substitution  $\tau = t - t_0$:		Das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|erste Fourierintegral]]  für das um  $t_0$  nach rechts verschobene Signal  $x_{\rm V}(t) = x(t-t_0)$  lautet mit der Substitution  $\tau = t - t_0$:

	:$$X_{\rm V} ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( {t - t_0 } ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}{\rm d}t}		:$$X_{\rm V} ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( {t - t_0 } ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}{\rm d}t}= \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( {\tau + t_0 } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau .}$$
	= \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( {\tau + t_0 } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau .}$$

	Der von der Integrationsvariablen  $\tau$  unabhängige Term kann vor das Integral gezogen werden. Mit der Umbennung  $\tau \to t$  erhält man dann:		Der von der Integrationsvariablen  $\tau$  unabhängige Term kann vor das Integral gezogen werden. Mit der Umbennung  $\tau \to t$  erhält man dann:
Zeile 319:		Zeile 317:
	Die Spektren der Signale  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  wurden bereits in früheren Beispielen wie folgt berechnet:		Die Spektren der Signale  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  wurden bereits in früheren Beispielen wie folgt berechnet:

	:$$X_1( f ) = \frac{1 }{ {\rm j\cdot \pi} f}, \hspace{1cm}		:$$X_1( f ) = \frac{1 }{ {\rm j\cdot \pi} f}, \hspace{1cm}X_2( f ) = 2 = {\rm const.}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} X_2(f) = X_1(f) \cdot {\rm j}\cdot 2\pi f.$$
	X_2( f ) = 2 = {\rm const.}\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} X_2(f) = X_1(f) \cdot {\rm j}\cdot 2\pi f.$$
	*Aus dem Differentiationssatz folgt somit, dass  $x_2(t)$  gleich der Ableitung von  $x_1(t)$  nach der Zeit ist.		*Aus dem Differentiationssatz folgt somit, dass  $x_2(t)$  gleich der Ableitung von  $x_1(t)$  nach der Zeit ist.
	*Dies stimmt tatsächlich:  Für  $t \neq 0$  ist  $x_1(t)$  konstant, also die Ableitung Null.		*Dies stimmt tatsächlich:  Für  $t \neq 0$  ist  $x_1(t)$  konstant, also die Ableitung Null.

Guenter am 26. April 2021 um 13:07 Uhr

2021-04-26T13:07:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. April 2021, 15:07 Uhr
Zeile 146:		Zeile 146:
	Dieses Gesetz folgt direkt aus dem  [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#.C3.84hnlichkeitssatz\|Ähnlichkeitssatz]]:   Je breiter ein Impuls in seiner Ausdehnung ist, desto schmäler und höher ist das zugehörige Spektrum und umgekehrt.		Dieses Gesetz folgt direkt aus dem  [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#.C3.84hnlichkeitssatz\|Ähnlichkeitssatz]]:   Je breiter ein Impuls in seiner Ausdehnung ist, desto schmäler und höher ist das zugehörige Spektrum und umgekehrt.

	Um quantitative Aussagen treffen zu können, definieren wir zwei Kenngrößen für energiebegrenzte Signale   ⇒   Impulse. Beide Größen ~~werden~~ sind in der Grafik zum  $\text{Beispiel 4}$  für einen Gaußimpuls und dessen ebenfalls gaußförmiges Spektrum dargestellt.		Um quantitative Aussagen treffen zu können, definieren wir zwei Kenngrößen für energiebegrenzte Signale   ⇒   Impulse.  Beide Größen sind in der Grafik zum  $\text{Beispiel 4}$  für einen Gaußimpuls und dessen ebenfalls gaußförmiges Spektrum dargestellt.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Die  ~~'''~~äquivalente Impulsdauer~~'''~~  wird aus dem Zeitverlauf abgeleitet. Sie ist gleich der Breite eines flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie  $x(t)$:		Die  $\text{äquivalente Impulsdauer}$  wird aus dem Zeitverlauf abgeleitet. Sie ist gleich der Breite eines flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie  $x(t)$:

	:$$\Delta t = \frac{1}{{x( {t = 0} )}} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$}}		:$$\Delta t = \frac{1}{{x( {t = 0} )}} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$}}
Zeile 157:		Zeile 157:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Die  ~~'''~~äquivalente Bandbreite~~'''~~  kennzeichnet den Impuls im Frequenzbereich. Sie gibt die Breite des flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie das Spektrum  $X(f)$ an:		Die  $\text{äquivalente Bandbreite}$  kennzeichnet den Impuls im Frequenzbereich. Sie gibt die Breite des flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie das Spektrum  $X(f)$ an:

	:$$\Delta f = \frac{1}{{X( {f = 0} )}}\cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )} \hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$}}		:$$\Delta f = \frac{1}{{X( {f = 0} )}}\cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )} \hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$}}
Zeile 325:		Zeile 325:
	*Dies stimmt tatsächlich:  Für  $t \neq 0$  ist  $x_1(t)$  konstant, also die Ableitung Null.		*Dies stimmt tatsächlich:  Für  $t \neq 0$  ist  $x_1(t)$  konstant, also die Ableitung Null.
	*Bei  $t=0$  ist die Steigung unendlich groß, was sich auch in der Gleichung  $x_2(t) = 2 \cdot \delta(t)$  ausdrückt.		*Bei  $t=0$  ist die Steigung unendlich groß, was sich auch in der Gleichung  $x_2(t) = 2 \cdot \delta(t)$  ausdrückt.
	*Das Impulsgewicht ~~„2”~~ der Diracfunktion berücksichtigt, dass der Sprung innerhalb der Funktion  $x_1(t)$  bei  $t = 0$  die Höhe  $2$  hat.}}		*Das Impulsgewicht  $2$  der Diracfunktion berücksichtigt, dass der Sprung innerhalb der Funktion  $x_1(t)$  bei  $t = 0$  die Höhe  $2$  hat.}}

Guenter am 23. April 2021 um 12:53 Uhr

2021-04-23T12:53:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. April 2021, 14:53 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Multiplikation mit Faktor - Additionssatz==		==Multiplikation mit Faktor - Additionssatz==
	<br>		<br>
	In diesem Abschnitt sind die  ~~'''~~Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation~~'''~~  zusammengestellt. Diese können beispielsweise dazu genutzt werden, um mit möglichst geringem Rechenaufwand aus bereits bekannten Transformationen		In diesem Abschnitt sind die  $\text{Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation}$  zusammengestellt.  Diese können beispielsweise dazu genutzt werden, um mit möglichst geringem Rechenaufwand aus bereits bekannten Transformationen

	:$$x( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X( f ),\quad x_1 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 ( f ),\quad x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_2 ( f )$$		:$$x( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X( f ),\quad x_1 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 ( f ),\quad x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_2 ( f )$$

	neue Funktionszusammenhänge abzuleiten. Wir beschränken uns hier auf reelle Zeitfunktionen.		neue Funktionszusammenhänge abzuleiten.  Wir beschränken uns hier auf reelle Zeitfunktionen.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Satz:}$  Ein  ~~'''~~konstanter Faktor~~'''~~  $k$  wirkt sich auf die Zeit– und die Spektralfunktion in gleicher Weise aus:		$\text{Satz:}$  Ein  $\text{konstanter Faktor}$  $k$  wirkt sich auf die Zeit– und die Spektralfunktion in gleicher Weise aus:

	:$$k \cdot x(t)\ \;\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ k \cdot X(f).$$}}		:$$k \cdot x(t)\ \;\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ k \cdot X(f).$$}}


	Diesen Zusammenhang kann man zum Beispiel zur Vereinfachung nutzen, indem man die Konstante  $k$  (die sowohl ein Verstärkungs–, ein Dämpfungs- oder ein Einheitenfaktor sein kann) zunächst weglässt und erst später dem Ergebnis wieder hinzufügt.		Diesen Zusammenhang kann man zum Beispiel zur Vereinfachung nutzen, indem man die Konstante  $k$  $($die sowohl ein Verstärkungs–, ein Dämpfungs- oder ein Einheitenfaktor sein kann$)$  zunächst weglässt und erst später dem Ergebnis wieder hinzufügt.

	Obiger Satz folgt unmittelbar aus der Definition des  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegrals]], ebenso wie der Additionssatz, der die Grundlage für das  ~~'''~~Superpositionsprinzip~~'''~~  darstellt.		Obiger Satz folgt unmittelbar aus der Definition des  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegrals]], ebenso wie der Additionssatz, der die Grundlage für das  $\text{Superpositionsprinzip}$  darstellt.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
Zeile 30:		Zeile 30:


	[[Datei:P_ID2722__Sig_T_3_3_S1.png\|right\|frame\|Rechteckimpuls, Dreieckimpuls und Kombination]]		[[Datei:P_ID2722__Sig_T_3_3_S1.png\|right\|frame\|Rechteckimpuls, Dreieckimpuls und Kombination von beidem]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$  Bekannt sind die Fourierkorrespondenzen		$\text{Beispiel 1:}$  Bekannt sind die Fourierkorrespondenzen
Zeile 37:		Zeile 37:
	:$$x_1 ( t )\hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X_1 ( f )=T \cdot {\rm si}(\pi f T),$$		:$$x_1 ( t )\hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X_1 ( f )=T \cdot {\rm si}(\pi f T),$$
	*des Dreiecksignals:		*des Dreiecksignals:
	:$$ x_2 ( t )\hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X_2 ( f )=T /2\cdot {\rm si}(\pi f T/2).$$		:$$ x_2 ( t )\hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X_2 ( f )=T /2\cdot {\rm si}^2(\pi f T/2).$$

	Diese beiden ~~impulsförmigen Signale~~ sind als rote bzw. blaue Kurve skizziert.		Diese beiden Impulse sind als rote bzw. blaue Kurve skizziert.

	Dann gilt für das grün gezeichnete (gewichtete) Summensignal:		Dann gilt für das grün gezeichnete (gewichtete) Summensignal:
Zeile 51:		Zeile 51:
	==Zuordnungssatz==		==Zuordnungssatz==
	<br>		<br>
	Bereits bei der  [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe\|komplexen Fourierreihe]]  zur Beschreibung periodischer Signale haben wir festgestellt, dass eine gerade Funktion stets zu reellen und eine ungerade Funktion ausschließlich zu imaginären Fourierkoeffizienten führt. Die Fouriertransformation zeigt ähnliche Eigenschaften.		Bereits bei der  [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe\|komplexen Fourierreihe]]  zur Beschreibung periodischer Signale haben wir festgestellt, dass eine gerade Funktion stets zu reellen und eine ungerade Funktion ausschließlich zu imaginären Fourierkoeffizienten führt.  Die Fouriertransformation zeigt ähnliche Eigenschaften.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
Zeile 72:		Zeile 72:
	:$$x_{\rm u} (t) = {1}/{2}\big[ {x(t) - x(-t)} \big].$$		:$$x_{\rm u} (t) = {1}/{2}\big[ {x(t) - x(-t)} \big].$$

	[[Datei:P_ID472__Sig_T_3_3_S2.png\|right\|frame\|Spektrum der Sprungfunktion]]		[[Datei:P_ID472__Sig_T_3_3_S2.png\|right\|frame\|Spektrum der (roten) Sprungfunktion]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Wir betrachten die  ''Sprungfunktion''		Wir betrachten die  $\text{Sprungfunktion}$

	:$$x(t) = \gamma (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} 0\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0 \\ 1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0 \\ \end{array} ,$$		:$$x(t) = \gamma (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} 0\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0 \\ 1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0 \\ \end{array} ,$$
Zeile 83:		Zeile 83:
	:$$\gamma (t) = {1}/{2} +{1}/{2} \cdot {\rm sign}(t).$$		:$$\gamma (t) = {1}/{2} +{1}/{2} \cdot {\rm sign}(t).$$

	Hierbei wurde die  ''Signum-Funktion''  verwendet:		Hierbei wurde die  $\text{Signum-Funktion}$  verwendet:

	:$${\rm sign} (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} -1\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0, \\ +1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0. \\ \end{array} $$		:$${\rm sign} (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} -1\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0, \\ +1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0. \\ \end{array} $$
Zeile 111:		Zeile 111:

	*Für negatives  $k$  würden sich die Integrationsgrenzen vertauschen und man erhält  $-1/k \cdot X(f/k)$.		*Für negatives  $k$  würden sich die Integrationsgrenzen vertauschen und man erhält  $-1/k \cdot X(f/k)$.
	*Da in der Gleichung  $\vert k \vert$  verwendet wird, gilt das Ergebnis für beide Vorzeichen.		*Da in der Gleichung  $\vert k \vert$  verwendet wird, gilt das obige Ergebnis für beide Vorzeichen.
	<div align="right">q.e.d.</div>}}		<div align="right">q.e.d.</div>}}


	Die Auswirkungen des Ähnlichkeitssatzes kann man sich zum Beispiel mit einem Tonband verdeutlichen. Spielt man ein solches Band mit doppelter Geschwindigkeit ab, so entspricht dies einer Stauchung des Zeitsignals  $(k = 2)$. Dadurch erscheinen die Frequenzen doppelt so hoch.		Die Auswirkungen des Ähnlichkeitssatzes kann man sich zum Beispiel mit einem Tonband verdeutlichen.  Spielt man ein solches Band mit doppelter Geschwindigkeit ab, so entspricht dies einer Stauchung des Zeitsignals  $(k = 2)$.  Dadurch erscheinen die Frequenzen doppelt so hoch.

	[[Datei:P_ID473__Sig_T_3_3_S3_neu.png\|right\|frame\|Zwei Rechtecke unterschiedlicher Breite]]		[[Datei:P_ID473__Sig_T_3_3_S3_neu.png\|right\|frame\|Zwei Rechtecke unterschiedlicher Breite]]
Zeile 134:		Zeile 134:
	:$$X_2 (f) = \frac{1}{2} \cdot X_1 ( { - {f}/{2}} ) = \frac{A \cdot T_1 }{2} \cdot {\rm si}( { - \pi f {T_1 }/{2} } ) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\pi fT_1 /2} .$$		:$$X_2 (f) = \frac{1}{2} \cdot X_1 ( { - {f}/{2}} ) = \frac{A \cdot T_1 }{2} \cdot {\rm si}( { - \pi f {T_1 }/{2} } ) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\pi fT_1 /2} .$$

	*Die  $\text{si}$–Funktion ist gerade:  $\text{si}(-x) = \text{si}(x)$. Deshalb kann man auf das Vorzeichen im Argument der  $\text{si}$–Funktion verzichten.		*Die  $\text{si}$–Funktion ist gerade:  $\text{si}(-x) = \text{si}(x)$.  Deshalb kann man auf das Vorzeichen im Argument der  $\text{si}$–Funktion verzichten.

Guenter am 26. September 2019 um 14:05 Uhr

2019-09-26T14:05:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. September 2019, 16:05 Uhr
Zeile 307:		Zeile 307:
	*Gleichzeitig gilt aber auch:		*Gleichzeitig gilt aber auch:

	:$$y( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {Y( f )} \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.~~03cm~~}2\hspace{0.03cm}\pi \hspace{0.~~03cm~~}f\hspace{0.~~03cm~~}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$		:$$y( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {Y( f )} \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\hspace{0.03cm}\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$

	*Durch Vergleich der Integranden erhält man die Variante $\mathbf{(1)}$ des Differentiationssatzes.		*Durch Vergleich der Integranden erhält man die Variante  $\mathbf{(1)}$  des Differentiationssatzes.
	*Zur Herleitung der zweiten Variante geht man ausgehend vom [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]] in analoger Weise vor.		*Zur Herleitung der zweiten Variante geht man ausgehend vom  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]]  in analoger Weise vor.
	*Der negative Exponent im ersten Fourierintegral führt zum Minuszeichen in der Zeitfunktion. <div align="right">q.e.d.</div>}}		*Der negative Exponent im ersten Fourierintegral führt zum Minuszeichen in der Zeitfunktion. <div align="right">q.e.d.</div>}}

Zeile 317:		Zeile 317:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 7:}$		$\text{Beispiel 7:}$
	Die Spektren der Signale $x_1(t)$ und $x_2(t)$ wurden bereits in früheren Beispielen wie folgt berechnet:		Die Spektren der Signale  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  wurden bereits in früheren Beispielen wie folgt berechnet:

	:$$X_1( f ) = \frac{1 }{ {\rm j\pi} f}, \hspace{1cm}		:$$X_1( f ) = \frac{1 }{ {\rm j\cdot \pi} f}, \hspace{1cm}
	X_2( f ) = 2 = {\rm const.}\hspace{0.3cm}		X_2( f ) = 2 = {\rm const.}\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} X_2(f) = X_1(f) \cdot {\rm j}\cdot 2\pi f.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} X_2(f) = X_1(f) \cdot {\rm j}\cdot 2\pi f.$$
	*Aus dem Differentiationssatz folgt somit, dass $x_2(t)$ gleich der Ableitung von $x_1(t)$ nach der Zeit ist.		*Aus dem Differentiationssatz folgt somit, dass  $x_2(t)$  gleich der Ableitung von  $x_1(t)$  nach der Zeit ist.
	*Dies stimmt tatsächlich: Für $t \neq 0$ ist $x_1(t)$ konstant, also die Ableitung Null.		*Dies stimmt tatsächlich:  Für  $t \neq 0$  ist  $x_1(t)$  konstant, also die Ableitung Null.
	*Bei $t=0$ ist die Steigung unendlich groß, was sich auch in der Gleichung $x_2(t) = 2 \cdot \delta(t)$ ausdrückt.		*Bei  $t=0$  ist die Steigung unendlich groß, was sich auch in der Gleichung  $x_2(t) = 2 \cdot \delta(t)$  ausdrückt.
	*Das Impulsgewicht „2” der Diracfunktion berücksichtigt, dass der Sprung innerhalb der Funktion $x_1(t)$ bei $t = 0$ die Höhe $2$ hat.}}		*Das Impulsgewicht „2” der Diracfunktion berücksichtigt, dass der Sprung innerhalb der Funktion  $x_1(t)$  bei  $t = 0$  die Höhe  $2$  hat.}}


Zeile 333:		Zeile 333:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Integrationssatz:}$  Ist $X(f)$ die Fouriertransformierte (Spektralfunktion) von $x(t)$, so gelten auch die folgenden Fourierkorrespondenzen:		$\text{Integrationssatz:}$  Ist  $X(f)$  die Fouriertransformierte (Spektralfunktion) von  $x(t)$, so gelten auch die folgenden Fourierkorrespondenzen:

	$$\mathbf{(1)}\hspace{0.5cm}\int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f )\left( {\frac{1}{{{\rm j}\cdot 2\pi f}} + \frac{1}{2}\cdot \delta ( f )} \right),$$		$$\mathbf{(1)}\hspace{0.5cm}\int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f )\left( {\frac{1}{{{\rm j}\cdot 2\pi f}} + \frac{1}{2}\cdot \delta ( f )} \right),$$
Zeile 343:		Zeile 343:
	$\text{Veranschaulichung – kein exakter Beweis:}$		$\text{Veranschaulichung – kein exakter Beweis:}$

	Der Integrationssatz stellt genau die Umkehrung des [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Differentiationssatz\|Differentiationssatzes]] dar. Wendet man auf die obere Gleichung $\mathbf{(1)}$ den Differentiationssatz an, so erhält man:		Der Integrationssatz stellt genau die Umkehrung des  [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Differentiationssatz\|Differentiationssatzes]]  dar. Wendet man auf die obere Gleichung  $\mathbf{(1)}$  den Differentiationssatz an, so erhält man:

	:$$\frac{ {\rm d} }{ {\rm d}t} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X( f )\cdot \left( {\frac{1}{ { {\rm j}\cdot 2\pi f} } + \frac{1}{2}\cdot \delta ( f )} \right) \cdot {\rm j}\cdot 2\pi f.$$		:$$\frac{ {\rm d} }{ {\rm d}t} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X( f )\cdot \left( {\frac{1}{ { {\rm j}\cdot 2\pi f} } + \frac{1}{2}\cdot \delta ( f )} \right) \cdot {\rm j}\cdot 2\pi f.$$

	An diesem Beispiel zeigt sich die Gültigkeit des Integrationssatzes:		An diesem Beispiel zeigt sich die Gültigkeit des Integrationssatzes:
	*Die Differentiation nach der oberen Grenze auf der linken Seite liefert genau den Integranden $x(t)$.		*Die Differentiation nach der oberen Grenze auf der linken Seite liefert genau den Integranden  $x(t)$.
	*Auf der rechten Seite der Korrespondenz ergibt sich richtigerweise $X(f)$, da die Diracfunktion bei $f=0$ wegen der Multiplikation mit $\text{j}\cdot 2\pi f$ ausgeblendet wird.}}		*Auf der rechten Seite der Korrespondenz ergibt sich richtigerweise  $X(f)$, da die Diracfunktion bei  $f=0$  wegen der Multiplikation mit  $\text{j}\cdot 2\pi f$  ausgeblendet wird.}}


	''Hinweis:''   Alle in diesem Kapitel dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der Differentiations– und der Integrationssatz – werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.		''Hinweis:''   Alle in diesem Kapitel dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der Differentiations– und der Integrationssatz – werden im Lernvideo  [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  an Beispielen verdeutlicht.

	[[Datei:P_ID2725__Sig_T_3_3_S8_neu.png\|right\|frame\|Zusammenhang Rechteck $ \ \leftrightarrow \ $ Rampe]]		[[Datei:P_ID2725__Sig_T_3_3_S8_neu.png\|right\|frame\|Zusammenhang Rechteck $ \ \leftrightarrow \ $ Rampe]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 8:}$		$\text{Beispiel 8:}$
	Die skizzierten Signale $x_1(t)$ und $x_2(t)$ hängen wie folgt zusammen:		Die skizzierten Signale  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  hängen wie folgt zusammen:

	:$$x_2( t ) = \frac{1}{T}\cdot \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x_1 } ( \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$		:$$x_2( t ) = \frac{1}{T}\cdot \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x_1 } ( \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
Zeile 367:		Zeile 367:
	Mit der Spektralfunktion		Mit der Spektralfunktion

	:$$X_1 ( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}( {\pi fT} ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\pi fT}$$		:$$X_1 ( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}( {\pi fT} ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi fT}$$

	erhält man somit		erhält man somit

	:$$X_2 ( f ) = \frac{ {A } }{2}\cdot \delta ( f ) + \frac{ {A \cdot T} }{ {2{\rm j} } } \cdot \frac{ {\sin( {\pi fT}) } }{ {\left( {\pi fT} \right)^2 } } \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\pi fT},$$		:$$X_2 ( f ) = \frac{ {A } }{2}\cdot \delta ( f ) + \frac{ {A \cdot T} }{ {2{\rm j} } } \cdot \frac{ {\sin( {\pi fT}) } }{ {\left( {\pi fT} \right)^2 } } \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi fT},$$

	bzw. nach trigonometrischen Umformungen:		bzw. nach trigonometrischen Umformungen:
Zeile 378:		Zeile 378:

	Hierzu ist anzumerken:		Hierzu ist anzumerken:
	*Die Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $A/2$ berücksichtigt den Gleichanteil der Rampenfunktion $x_2(t)$.		*Die Diracfunktion bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $A/2$  berücksichtigt den Gleichanteil der Rampenfunktion  $x_2(t)$.
	*Das bedeutet auch: nbsp; Der Gleichanteil der Rampenfunktion ist genau so groß wie der Gleichanteil der Sprungfunktion.		*Das bedeutet auch:   Der Gleichanteil der Rampenfunktion ist genau so groß wie der Gleichanteil der Sprungfunktion.
	*Das fehlende Dreieck mit den Eckpunkt–Koordinaten $(0, 0)$, $(T, A)$ und $(0, A)$ ändert am Gleichanteil nichts.		*Das fehlende Dreieck mit den Eckpunkt–Koordinaten  $(0, 0)$, $(T, A)$  und  $(0, A)$  ändert am Gleichanteil nichts.
	*Diese Dreieckfläche wirkt sich gegenüber der unendlich großen Restfläche (bis ins Unendliche gehend) nicht aus.}}		*Diese Dreieckfläche wirkt sich gegenüber der unendlich großen Restfläche (bis ins Unendliche gehend) nicht aus.}}

Guenter am 26. September 2019 um 13:22 Uhr

2019-09-26T13:22:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. September 2019, 15:22 Uhr
Zeile 288:		Zeile 288:
	==Differentiationssatz==		==Differentiationssatz==
	<br>		<br>
	Dieser Satz zeigt, wie sich die Differentiation einer Funktion $x(t)$ bzw. $X(f)$ in der korrespondierenden Fouriertransformierten auswirkt; er ist auch mehrfach anwendbar.		Dieser Satz zeigt, wie sich die Differentiation einer Funktion  $x(t)$  bzw.  $X(f)$  in der korrespondierenden Fouriertransformierten auswirkt; er ist auch mehrfach anwendbar.

	Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Differentiationsssatzes ist der Zusammenhang zwischen dem Strom  $i(t)$  und der Spannung  $u(t)$  einer Kapazität $C$ entsprechend der Gleichung   $i(t) = C \cdot \text{d}u(t)/\text{d}t$.		Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Differentiationsssatzes ist der Zusammenhang zwischen dem Strom  $i(t)$  und der Spannung  $u(t)$  einer Kapazität  $C$  entsprechend der Gleichung   $i(t) = C \cdot \text{d}u(t)/\text{d}t$.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Differentiationsssatz:}$  Ist $X(f)$ die Fouriertransformierte von $x(t)$, so gelten auch die beiden folgenden Korrespondenzen:		$\text{Differentiationsssatz:}$  Ist  $X(f)$  die Fouriertransformierte von  $x(t)$, so gelten auch die beiden folgenden Korrespondenzen:

	$$\mathbf{(1)}\hspace{0.5cm}\frac{{{\rm d}x( t )}}{{{\rm d}t}}\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}{\rm j}2\pi f \cdot X( f ),$$		$$\mathbf{(1)}\hspace{0.5cm}\frac{{{\rm d}x( t )}}{{{\rm d}t}}\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \cdot X( f ),$$

	$$\mathbf{(2)}\hspace{0.5cm}- t \cdot x( t )\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}\frac{1}{{{\rm j}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}X( f )}}{{{\rm d}f}}.$$}}		$$\mathbf{(2)}\hspace{0.5cm}- t \cdot x( t )\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}\frac{1}{{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}X( f )}}{{{\rm d}f}}.$$}}


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Beweis von Gleichung (1):}$  Die erste Gleichung ergibt sich durch Differentiation des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|zweiten Fourierintegrals]]:		$\text{Beweis von Gleichung (1):}$  Die erste Gleichung ergibt sich durch Differentiation des  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|zweiten Fourierintegrals]]:

	:$$y(t) = \frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} = \frac{\text{d} }{\text{d}t}\int_{ - \infty }^{ + \infty } X( f ) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.~~03cm~~}2\hspace{0.03cm}\pi\hspace{0.~~03cm~~} f\hspace{0.~~03cm~~}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )} \cdot {\rm j}2\pi f \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2\pi ft} {\rm d}f.$$		:$$y(t) = \frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} = \frac{\text{d} }{\text{d}t}\int_{ - \infty }^{ + \infty } X( f ) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\hspace{0.03cm}\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )} \cdot {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} {\rm d}f.$$

	*Gleichzeitig gilt aber auch:		*Gleichzeitig gilt aber auch:

Guenter am 26. September 2019 um 13:16 Uhr

2019-09-26T13:16:43Z

Änderungen zeigen

Guenter am 26. September 2019 um 12:07 Uhr

2019-09-26T12:07:03Z

Änderungen zeigen

Guenter am 26. September 2019 um 11:32 Uhr

2019-09-26T11:32:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. September 2019, 13:32 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Multiplikation mit Faktor - Additionssatz==		==Multiplikation mit Faktor - Additionssatz==
	<br>		<br>
	In diesem Abschnitt sind die '''Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation''' zusammengestellt. Diese können beispielsweise dazu genutzt werden, um mit möglichst geringem Rechenaufwand aus bereits bekannten Transformationen		In diesem Abschnitt sind die  '''Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation'''  zusammengestellt. Diese können beispielsweise dazu genutzt werden, um mit möglichst geringem Rechenaufwand aus bereits bekannten Transformationen

	:$$x( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X( f ),\quad x_1 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 ( f ),\quad x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_2 ( f )$$		:$$x( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X( f ),\quad x_1 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 ( f ),\quad x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_2 ( f )$$
Zeile 15:		Zeile 15:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Satz:}$  Ein '''konstanter Faktor''' $k$ wirkt sich auf die Zeit– und die Spektralfunktion in gleicher Weise aus:		$\text{Satz:}$  Ein  '''konstanter Faktor'''  $k$  wirkt sich auf die Zeit– und die Spektralfunktion in gleicher Weise aus:

	:$$k \cdot x(t)\ \;\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ k \cdot X(f).$$}}		:$$k \cdot x(t)\ \;\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ k \cdot X(f).$$}}


	Diesen Zusammenhang kann man zum Beispiel zur Vereinfachung nutzen, indem man die Konstante $k$ (die sowohl ein Verstärkungs–, ein Dämpfungs- oder ein Einheitenfaktor sein kann) zunächst weglässt und erst später dem Ergebnis wieder hinzufügt.		Diesen Zusammenhang kann man zum Beispiel zur Vereinfachung nutzen, indem man die Konstante  $k$  (die sowohl ein Verstärkungs–, ein Dämpfungs- oder ein Einheitenfaktor sein kann) zunächst weglässt und erst später dem Ergebnis wieder hinzufügt.

	Obiger Satz folgt unmittelbar aus der Definition des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegrals]], ebenso wie der Additionssatz, der die Grundlage für das '''Superpositionsprinzip''' darstellt.		Obiger Satz folgt unmittelbar aus der Definition des  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegrals]], ebenso wie der Additionssatz, der die Grundlage für das  '''Superpositionsprinzip'''  darstellt.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
Zeile 46:		Zeile 46:


	''Hinweis:''   Alle in diesem Kapitel dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.		''Hinweis:''   Alle in diesem Kapitel dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo  [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  an Beispielen verdeutlicht.


	==Zuordnungssatz==		==Zuordnungssatz==
	<br>		<br>
	Bereits bei der [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe\|komplexen Fourierreihe]] zur Beschreibung periodischer Signale haben wir festgestellt, dass eine gerade Funktion stets zu reellen und eine ungerade Funktion ausschließlich zu imaginären Fourierkoeffizienten führt. Die Fouriertransformation zeigt ähnliche Eigenschaften.		Bereits bei der  [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe\|komplexen Fourierreihe]]  zur Beschreibung periodischer Signale haben wir festgestellt, dass eine gerade Funktion stets zu reellen und eine ungerade Funktion ausschließlich zu imaginären Fourierkoeffizienten führt. Die Fouriertransformation zeigt ähnliche Eigenschaften.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
Zeile 60:		Zeile 60:
	so gilt für die dazugehörige Spektralfunktion:		so gilt für die dazugehörige Spektralfunktion:

	:$$X(f) = X_{\rm R}(f) + {\rm j}\cdot X_{\rm I}(f), \hspace{0.5cm}\text{mit}~~\hspace{0.2cm}~~ x_{\rm g} (t) \hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X_{\rm R}(f)~~\hspace{0.2cm}\text{und}\hspace{0.2cm}~~ x_{\rm u} (t) \hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} {\rm j} \cdot X_{\rm I} (f).$$		:$$X(f) = X_{\rm R}(f) + {\rm j}\cdot X_{\rm I}(f), \hspace{0.5cm}\text{mit}$$
			::$$ x_{\rm g} (t) \hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X_{\rm R}(f),$$
			::$$x_{\rm u} (t) \hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} {\rm j} \cdot X_{\rm I} (f).$$

	Der Realteil  $X_{\rm R}(f)$  des Spektrums ist dann ebenfalls gerade, während  $X_{\rm I}(f)$  eine ungerade Funktion der Frequenz beschreibt.}}		Der Realteil  $X_{\rm R}(f)$  des Spektrums ist dann ebenfalls gerade, während  $X_{\rm I}(f)$  eine ungerade Funktion der Frequenz beschreibt.}}


	Der Zuordnungssatz lässt sich einfach beweisen, wenn man den Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]   ⇒   ${\rm e}^{ - {\rm j}\omega _0 t} = \cos ( {\omega _0 t} ) - {\rm j}\cdot \sin ( {\omega _0 t} )$ berücksichtigt. Den geraden und ungeraden Anteil einer Funktion $x(t)$ kann man mit folgenden Gleichungen berechnen:		Der Zuordnungssatz lässt sich einfach beweisen, wenn man den Satz von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]    ⇒   ${\rm e}^{ - {\rm j}\omega _0 t} = \cos ( {\omega _0 t} ) - {\rm j}\cdot \sin ( {\omega _0 t} )$  berücksichtigt. Den geraden und ungeraden Anteil einer Funktion  $x(t)$  kann man mit folgenden Gleichungen berechnen:

	:$$x_{\rm g} (t) = {1}/{2}\big[ {x(t) + x(-t)} \big], ~~\hspace{0.5cm}~~x_{\rm u} (t) = {1}/{2}\big[ {x(t) - x(-t)} \big].$$		:$$x_{\rm g} (t) = {1}/{2}\big[ {x(t) + x(-t)} \big],$$
			:$$x_{\rm u} (t) = {1}/{2}\big[ {x(t) - x(-t)} \big].$$

	[[Datei:P_ID472__Sig_T_3_3_S2.png\|right\|frame\|Spektrum der Sprungfunktion]]		[[Datei:P_ID472__Sig_T_3_3_S2.png\|right\|frame\|Spektrum der Sprungfunktion]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Wir betrachten die ''Sprungfunktion''		Wir betrachten die  ''Sprungfunktion''

	:$$x(t) = \gamma (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} 0\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0 \\ 1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0 \\ \end{array} ,$$		:$$x(t) = \gamma (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} 0\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0 \\ 1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0 \\ \end{array} ,$$

	die wie folgt aufgeteilt werden kann:   ~~$\gamma (t) = {1}/{2} +{1}/{2} \cdot {\rm sign}(t).$~~		die wie folgt aufgeteilt werden kann:

	:$$\gamma (t) = {1}/{2} +{1}/{2} \cdot {\rm sign}(t).$$		:$$\gamma (t) = {1}/{2} +{1}/{2} \cdot {\rm sign}(t).$$

	Hierbei wurde die ''Signum-Funktion'' verwendet:		Hierbei wurde die  ''Signum-Funktion''  verwendet:

	:$${\rm sign} (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} -1\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0, \\ +1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0. \\ \end{array} $$		:$${\rm sign} (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} -1\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0, \\ +1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0. \\ \end{array} $$

	Somit gilt:		Somit gilt:
	*Der gerade (blaue) Signalanteil $x_{\rm g} (t) = {1}/{2}$ ist eine Konstante mit der reellen Spektralfunktion $X_{\rm R}(f) = {1}/{2} \cdot \delta(f)$.		*Der gerade (blaue) Signalanteil  $x_{\rm g} (t) = {1}/{2}$  ist eine Konstante mit der reellen Spektralfunktion  $X_{\rm R}(f) = {1}/{2} \cdot \delta(f)$.
	*Das Spektrum ${\rm j} \cdot X_{\rm I}(f)$ der ungeraden (grünen) Signumfunktion $x_{\rm u} (t)$ wurde bereits im früheren [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Fouriertransformation\|Beispiel 3]] auf der Seite &bdquo;Fouriertransformation” berechnet.		*Das Spektrum  ${\rm j} \cdot X_{\rm I}(f)$  der ungeraden (grünen) Signumfunktion  $x_{\rm u} (t)$  wurde bereits im früheren  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Fouriertransformation\|$\text{Beispiel 3}$]]  auf der Seite &bdquo;Fouriertransformation” berechnet.
	*Damit erhält man für das resultierende Spektrum der rot skizzierten Sprungfunktion $x(t) = \gamma (t)$:		*Damit erhält man für das resultierende Spektrum der rot skizzierten Sprungfunktion  $x(t) = \gamma (t)$:

	:$$X(f) = X_{\rm R}(f) + {\rm j}\cdot X_{\rm I}(f)= {1}/{2} \cdot \delta (f) - {\rm j}\cdot \frac{1}{2\pi f}.$$}}		:$$X(f) = X_{\rm R}(f) + {\rm j}\cdot X_{\rm I}(f)= {1}/{2} \cdot \delta (f) - {\rm j}\cdot \frac{1}{2\pi f}.$$}}

Guenter am 24. Juli 2018 um 08:52 Uhr

2018-07-24T08:52:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Juli 2018, 10:52 Uhr
Zeile 382:		Zeile 382:
	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:Aufgabe_3.4:_Trapezspektrum_bzw._-impuls\|Aufgabe 3.4: Trapezspektrum bzw. -impuls]]		[[Aufgaben:Aufgabe_3.4:_Trapezspektrum_bzw._-impuls\|Aufgabe 3.4: Trapezspektrum bzw. –impuls]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_3.4Z:_Trapez,_Rechteck_und_Dreieck\|Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck]]		[[Aufgaben:Aufgabe_3.4Z:_Trapez,_Rechteck_und_Dreieck\|Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck]]