Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation - Versionsgeschichte

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Änderungen zeigen

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 Dieses Gesetz folgt direkt aus dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#.C3.84hnlichkeitssatz|Ähnlichkeitssatz]]: &nbsp; Je breiter ein Impuls in seiner  Ausdehnung ist, desto schmäler und höher ist das zugehörige Spektrum und umgekehrt.
-Um quantitative Aussagen treffen zu können, definieren wir zwei Kenngrößen für energiebegrenzte Signale  &nbsp; ⇒  &nbsp; Impulse. Beide Größen werden sind in der Grafik zum&nbsp; $\text{Beispiel 4}$&nbsp; für einen Gaußimpuls und dessen ebenfalls gaußförmiges Spektrum dargestellt.
+Um quantitative Aussagen treffen zu können, definieren wir zwei Kenngrößen für energiebegrenzte Signale  &nbsp; ⇒  &nbsp; Impulse.&nbsp; Beide Größen sind in der Grafik zum&nbsp; $\text{Beispiel 4}$&nbsp; für einen Gaußimpuls und dessen ebenfalls gaußförmiges Spektrum dargestellt.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die&nbsp; '''äquivalente Impulsdauer'''&nbsp; wird aus dem Zeitverlauf abgeleitet. Sie ist gleich der Breite eines flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie&nbsp; $x(t)$:
+Die&nbsp; $\text{äquivalente Impulsdauer}$&nbsp; wird aus dem Zeitverlauf abgeleitet. Sie ist gleich der Breite eines flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie&nbsp; $x(t)$:
 :$$\Delta t = \frac{1}{{x( {t = 0} )}} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$}}
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die&nbsp; '''äquivalente Bandbreite'''&nbsp; kennzeichnet den Impuls im Frequenzbereich. Sie gibt die Breite des flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie das Spektrum&nbsp; $X(f)$ an:
+Die&nbsp; $\text{äquivalente Bandbreite}$&nbsp; kennzeichnet den Impuls im Frequenzbereich. Sie gibt die Breite des flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie das Spektrum&nbsp; $X(f)$ an:
 :$$\Delta f = \frac{1}{{X( {f = 0} )}}\cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )} \hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$}}
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 *Dies stimmt tatsächlich:&nbsp; Für&nbsp; $t \neq 0$&nbsp; ist&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; konstant, also die Ableitung Null.
 *Bei&nbsp; $t=0$&nbsp; ist die Steigung unendlich groß, was sich auch in der Gleichung&nbsp; $x_2(t) = 2 \cdot \delta(t)$&nbsp; ausdrückt.
-*Das Impulsgewicht „2” der Diracfunktion berücksichtigt, dass der Sprung innerhalb der Funktion&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; die Höhe&nbsp; $2$&nbsp; hat.}}
+*Das Impulsgewicht&nbsp; $2$&nbsp; der Diracfunktion berücksichtigt, dass der Sprung innerhalb der Funktion&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; die Höhe&nbsp; $2$&nbsp; hat.}}

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 ==Multiplikation mit Faktor - Additionssatz==
 <br>
-In diesem Abschnitt sind die&nbsp; '''Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation'''&nbsp; zusammengestellt. Diese können beispielsweise dazu genutzt werden, um mit möglichst geringem Rechenaufwand aus bereits bekannten Transformationen
+In diesem Abschnitt sind die&nbsp; $\text{Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation}$&nbsp; zusammengestellt.&nbsp; Diese können beispielsweise dazu genutzt werden, um mit möglichst geringem Rechenaufwand aus bereits bekannten Transformationen
 :$$x( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X( f ),\quad x_1 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 ( f ),\quad x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_2 ( f )$$
-neue Funktionszusammenhänge abzuleiten. Wir beschränken uns hier auf reelle Zeitfunktionen.
+neue Funktionszusammenhänge abzuleiten.&nbsp; Wir beschränken uns hier auf reelle Zeitfunktionen.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Satz:}$&nbsp; Ein&nbsp; '''konstanter Faktor'''&nbsp; $k$&nbsp; wirkt sich auf die Zeit– und die Spektralfunktion in gleicher Weise aus:
+$\text{Satz:}$&nbsp; Ein&nbsp; $\text{konstanter Faktor}$&nbsp; $k$&nbsp; wirkt sich auf die Zeit– und die Spektralfunktion in gleicher Weise aus:
 :$$k \cdot x(t)\ \;\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ k \cdot X(f).$$}}
-Diesen Zusammenhang kann man zum Beispiel zur Vereinfachung nutzen, indem man die Konstante&nbsp; $k$&nbsp; (die sowohl ein Verstärkungs–, ein Dämpfungs- oder ein Einheitenfaktor sein kann) zunächst weglässt und erst später dem Ergebnis wieder hinzufügt.
+Diesen Zusammenhang kann man zum Beispiel zur Vereinfachung nutzen, indem man die Konstante&nbsp; $k$&nbsp; $($die sowohl ein Verstärkungs–, ein Dämpfungs- oder ein Einheitenfaktor sein kann$)$&nbsp; zunächst weglässt und erst später dem Ergebnis wieder hinzufügt.
-Obiger Satz folgt unmittelbar aus der Definition des&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]], ebenso wie der Additionssatz, der die Grundlage für das&nbsp;  '''Superpositionsprinzip'''&nbsp; darstellt.
+Obiger Satz folgt unmittelbar aus der Definition des&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]], ebenso wie der Additionssatz, der die Grundlage für das&nbsp;  $\text{Superpositionsprinzip}$&nbsp; darstellt.
 {{BlaueBox|TEXT=
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-[[Datei:P_ID2722__Sig_T_3_3_S1.png|right|frame|Rechteckimpuls, Dreieckimpuls und Kombination]]
+[[Datei:P_ID2722__Sig_T_3_3_S1.png|right|frame|Rechteckimpuls, Dreieckimpuls und Kombination von beidem]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Bekannt sind die Fourierkorrespondenzen
@@ Zeile 37: / Zeile 37: @@
 :$$x_1 ( t )\hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X_1 ( f )=T \cdot {\rm si}(\pi f T),$$
 *des Dreiecksignals:
-:$$ x_2 ( t )\hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X_2 ( f )=T /2\cdot {\rm si}(\pi f T/2).$$
+:$$ x_2 ( t )\hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X_2 ( f )=T /2\cdot {\rm si}^2(\pi f T/2).$$
-Diese beiden impulsförmigen Signale sind als rote bzw. blaue Kurve skizziert.
+Diese beiden Impulse sind als rote bzw. blaue Kurve skizziert.
 Dann gilt für das grün gezeichnete (gewichtete) Summensignal:
@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 ==Zuordnungssatz==
 <br>
-Bereits bei der&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe|komplexen Fourierreihe]]&nbsp; zur Beschreibung periodischer Signale haben wir festgestellt, dass eine gerade Funktion stets zu reellen und eine ungerade Funktion ausschließlich zu imaginären Fourierkoeffizienten führt. Die Fouriertransformation zeigt ähnliche Eigenschaften.
+Bereits bei der&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe|komplexen Fourierreihe]]&nbsp; zur Beschreibung periodischer Signale haben wir festgestellt, dass eine gerade Funktion stets zu reellen und eine ungerade Funktion ausschließlich zu imaginären Fourierkoeffizienten führt.&nbsp; Die Fouriertransformation zeigt ähnliche Eigenschaften.
 {{BlaueBox|TEXT=
@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 :$$x_{\rm u} (t) = {1}/{2}\big[ {x(t) - x(-t)} \big].$$
-[[Datei:P_ID472__Sig_T_3_3_S2.png|right|frame|Spektrum der Sprungfunktion]]
+[[Datei:P_ID472__Sig_T_3_3_S2.png|right|frame|Spektrum der (roten) Sprungfunktion]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Wir betrachten die&nbsp; ''Sprungfunktion''
+Wir betrachten die&nbsp; $\text{Sprungfunktion}$
 :$$x(t) = \gamma (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} 0\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0 \\ 1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0 \\  \end{array} ,$$
@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 :$$\gamma (t) =  {1}/{2} +{1}/{2} \cdot {\rm  sign}(t).$$
-Hierbei wurde die&nbsp; ''Signum-Funktion''&nbsp; verwendet:
+Hierbei wurde die&nbsp; $\text{Signum-Funktion}$&nbsp; verwendet:
 :$${\rm sign} (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} -1\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0, \\ +1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0. \\  \end{array} $$
@@ Zeile 111: / Zeile 111: @@
 *Für negatives&nbsp; $k$&nbsp; würden sich die Integrationsgrenzen vertauschen und man erhält&nbsp; $-1/k \cdot X(f/k)$.
-*Da in der Gleichung&nbsp; $\vert k \vert$&nbsp; verwendet wird, gilt das Ergebnis für beide Vorzeichen.
+*Da in der Gleichung&nbsp; $\vert k \vert$&nbsp; verwendet wird, gilt das obige Ergebnis für beide Vorzeichen.
 <div align="right">q.e.d.</div>}}
-Die Auswirkungen des Ähnlichkeitssatzes kann man sich zum Beispiel mit einem Tonband verdeutlichen. Spielt man ein solches Band mit doppelter Geschwindigkeit ab, so entspricht dies einer Stauchung des Zeitsignals&nbsp; $(k = 2)$. Dadurch erscheinen die Frequenzen doppelt so hoch.
+Die Auswirkungen des Ähnlichkeitssatzes kann man sich zum Beispiel mit einem Tonband verdeutlichen.&nbsp; Spielt man ein solches Band mit doppelter Geschwindigkeit ab, so entspricht dies einer Stauchung des Zeitsignals&nbsp; $(k = 2)$.&nbsp; Dadurch erscheinen die Frequenzen doppelt so hoch.
 [[Datei:P_ID473__Sig_T_3_3_S3_neu.png|right|frame|Zwei Rechtecke unterschiedlicher Breite]]
@@ Zeile 134: / Zeile 134: @@
 :$$X_2 (f) = \frac{1}{2} \cdot X_1 ( { - {f}/{2}} ) = \frac{A \cdot T_1 }{2} \cdot {\rm si}( { - \pi f {T_1 }/{2} } ) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\pi fT_1 /2} .$$
-*Die&nbsp; $\text{si}$&ndash;Funktion ist gerade:&nbsp; $\text{si}(-x) = \text{si}(x)$. Deshalb kann man auf das Vorzeichen im Argument der&nbsp; $\text{si}$&ndash;Funktion verzichten.
+*Die&nbsp; $\text{si}$&ndash;Funktion ist gerade:&nbsp; $\text{si}(-x) = \text{si}(x)$.&nbsp; Deshalb kann man auf das Vorzeichen im Argument der&nbsp; $\text{si}$&ndash;Funktion verzichten.

@@ Zeile 307: / Zeile 307: @@
 *Gleichzeitig gilt aber auch:
-:$$y( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {Y( f )}  \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}\pi \hspace{0.03cm}f\hspace{0.03cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$
+:$$y( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {Y( f )}  \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\hspace{0.03cm}\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$
-*Durch Vergleich der Integranden erhält man die Variante $\mathbf{(1)}$ des Differentiationssatzes.
+*Durch Vergleich der Integranden erhält man die Variante&nbsp; $\mathbf{(1)}$&nbsp; des Differentiationssatzes.
-*Zur Herleitung der zweiten Variante geht man ausgehend vom [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]] in analoger Weise vor.
+*Zur Herleitung der zweiten Variante geht man ausgehend vom&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]]&nbsp; in analoger Weise vor.
 *Der negative Exponent im ersten Fourierintegral führt zum Minuszeichen in der Zeitfunktion.                                                                                                                        <div align="right">q.e.d.</div>}}
@@ Zeile 317: / Zeile 317: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 7:}$&nbsp;
-Die Spektren der Signale $x_1(t)$ und $x_2(t)$ wurden bereits in früheren Beispielen wie folgt berechnet:
+Die Spektren der Signale&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; wurden bereits in früheren Beispielen wie folgt berechnet:
-:$$X_1( f ) =   \frac{1 }{ {\rm j\pi} f}, \hspace{1cm}
+:$$X_1( f ) =   \frac{1 }{ {\rm j\cdot \pi} f}, \hspace{1cm}
 X_2( f )  =   2 = {\rm const.}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} X_2(f) = X_1(f) \cdot {\rm j}\cdot 2\pi f.$$
-*Aus dem Differentiationssatz folgt somit, dass $x_2(t)$ gleich der Ableitung von $x_1(t)$ nach der Zeit ist.
+*Aus dem Differentiationssatz folgt somit, dass&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; gleich der Ableitung von&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; nach der Zeit ist.
-*Dies stimmt tatsächlich: Für $t \neq 0$ ist $x_1(t)$ konstant, also die Ableitung Null.
+*Dies stimmt tatsächlich:&nbsp; Für&nbsp; $t \neq 0$&nbsp; ist&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; konstant, also die Ableitung Null.
-*Bei $t=0$ ist die Steigung unendlich groß, was sich auch in der Gleichung $x_2(t) = 2 \cdot \delta(t)$ ausdrückt.
+*Bei&nbsp; $t=0$&nbsp; ist die Steigung unendlich groß, was sich auch in der Gleichung&nbsp; $x_2(t) = 2 \cdot \delta(t)$&nbsp; ausdrückt.
-*Das Impulsgewicht „2” der Diracfunktion berücksichtigt, dass der Sprung innerhalb der Funktion $x_1(t)$ bei $t = 0$ die Höhe $2$ hat.}}
+*Das Impulsgewicht „2” der Diracfunktion berücksichtigt, dass der Sprung innerhalb der Funktion&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; die Höhe&nbsp; $2$&nbsp; hat.}}
@@ Zeile 333: / Zeile 333: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Integrationssatz:}$&nbsp; Ist $X(f)$ die Fouriertransformierte (Spektralfunktion) von $x(t)$, so gelten auch die folgenden Fourierkorrespondenzen:
+$\text{Integrationssatz:}$&nbsp; Ist&nbsp; $X(f)$&nbsp; die Fouriertransformierte (Spektralfunktion) von&nbsp; $x(t)$, so gelten auch die folgenden Fourierkorrespondenzen:
 $$\mathbf{(1)}\hspace{0.5cm}\int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f )\left( {\frac{1}{{{\rm j}\cdot 2\pi f}} + \frac{1}{2}\cdot \delta ( f )} \right),$$
@@ Zeile 343: / Zeile 343: @@
 $\text{Veranschaulichung &ndash; kein exakter Beweis:}$&nbsp;
-Der Integrationssatz stellt genau die Umkehrung des [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Differentiationssatz|Differentiationssatzes]] dar. Wendet man auf die obere Gleichung $\mathbf{(1)}$ den Differentiationssatz an, so erhält man:
+Der Integrationssatz stellt genau die Umkehrung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Differentiationssatz|Differentiationssatzes]]&nbsp; dar. Wendet man auf die obere Gleichung&nbsp; $\mathbf{(1)}$&nbsp; den Differentiationssatz an, so erhält man:
 :$$\frac{ {\rm d} }{ {\rm d}t} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X( f )\cdot \left( {\frac{1}{ { {\rm j}\cdot 2\pi f} } + \frac{1}{2}\cdot \delta ( f )} \right) \cdot {\rm j}\cdot 2\pi f.$$
 An diesem Beispiel zeigt sich die Gültigkeit des Integrationssatzes:
-*Die Differentiation nach der oberen Grenze auf der linken Seite liefert genau den Integranden $x(t)$.
+*Die Differentiation nach der oberen Grenze auf der linken Seite liefert genau den Integranden&nbsp; $x(t)$.
-*Auf der rechten Seite der Korrespondenz ergibt sich richtigerweise $X(f)$, da die Diracfunktion bei $f=0$ wegen der Multiplikation mit $\text{j}\cdot 2\pi f$ ausgeblendet wird.}}
+*Auf der rechten Seite der Korrespondenz ergibt sich richtigerweise&nbsp; $X(f)$, da die Diracfunktion bei&nbsp; $f=0$&nbsp; wegen der Multiplikation mit&nbsp; $\text{j}\cdot 2\pi f$&nbsp; ausgeblendet wird.}}
-''Hinweis:'' &nbsp; Alle in diesem Kapitel dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der Differentiations– und der Integrationssatz – werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.
+''Hinweis:'' &nbsp; Alle in diesem Kapitel dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der Differentiations– und der Integrationssatz – werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; an Beispielen verdeutlicht.
 [[Datei:P_ID2725__Sig_T_3_3_S8_neu.png|right|frame|Zusammenhang Rechteck $ \ \leftrightarrow  \ $ Rampe]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 8:}$&nbsp;
-Die skizzierten Signale $x_1(t)$ und $x_2(t)$ hängen wie folgt zusammen:
+Die skizzierten Signale&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; hängen wie folgt zusammen:
 :$$x_2( t ) = \frac{1}{T}\cdot \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x_1 } ( \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
@@ Zeile 367: / Zeile 367: @@
 Mit der Spektralfunktion
-:$$X_1 ( f ) = A  \cdot T \cdot {\rm si}( {\pi fT} ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\pi fT}$$
+:$$X_1 ( f ) = A  \cdot T \cdot {\rm si}( {\pi fT} ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi  fT}$$
 erhält man somit
-:$$X_2 ( f ) = \frac{ {A } }{2}\cdot \delta ( f ) + \frac{ {A  \cdot T} }{ {2{\rm j} } } \cdot \frac{ {\sin( {\pi fT}) } }{ {\left( {\pi fT} \right)^2 } } \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\pi fT},$$
+:$$X_2 ( f ) = \frac{ {A } }{2}\cdot \delta ( f ) + \frac{ {A  \cdot T} }{ {2{\rm j} } } \cdot \frac{ {\sin( {\pi fT}) } }{ {\left( {\pi fT} \right)^2 } } \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi fT},$$
 bzw. nach trigonometrischen Umformungen:
@@ Zeile 378: / Zeile 378: @@
 Hierzu ist anzumerken:
-*Die Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $A/2$ berücksichtigt den Gleichanteil der Rampenfunktion $x_2(t)$.
+*Die Diracfunktion bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $A/2$&nbsp; berücksichtigt den Gleichanteil der Rampenfunktion&nbsp; $x_2(t)$.
-*Das bedeutet auch: nbsp; Der Gleichanteil der Rampenfunktion ist genau so groß wie der Gleichanteil der Sprungfunktion.
+*Das bedeutet auch: &nbsp; Der Gleichanteil der Rampenfunktion ist genau so groß wie der Gleichanteil der Sprungfunktion.
-*Das fehlende Dreieck mit den Eckpunkt–Koordinaten $(0, 0)$, $(T, A)$ und $(0, A)$ ändert am Gleichanteil nichts.
+*Das fehlende Dreieck mit den Eckpunkt–Koordinaten&nbsp; $(0, 0)$, $(T, A)$&nbsp; und&nbsp; $(0, A)$&nbsp; ändert am Gleichanteil nichts.
 *Diese Dreieckfläche wirkt sich gegenüber der unendlich großen Restfläche (bis ins Unendliche gehend) nicht aus.}}

@@ Zeile 288: / Zeile 288: @@
 ==Differentiationssatz==
 <br>
-Dieser Satz zeigt, wie sich die Differentiation einer Funktion $x(t)$ bzw. $X(f)$ in der korrespondierenden Fouriertransformierten auswirkt; er ist auch mehrfach anwendbar.
+Dieser Satz zeigt, wie sich die Differentiation einer Funktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; bzw.&nbsp; $X(f)$&nbsp; in der korrespondierenden Fouriertransformierten auswirkt; er ist auch mehrfach anwendbar.
-Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Differentiationsssatzes ist der Zusammenhang zwischen dem Strom &nbsp;$i(t)$&nbsp; und der Spannung &nbsp;$u(t)$&nbsp; einer Kapazität $C$ entsprechend der Gleichung  &nbsp; $i(t) = C \cdot \text{d}u(t)/\text{d}t$.
+Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Differentiationsssatzes ist der Zusammenhang zwischen dem Strom &nbsp;$i(t)$&nbsp; und der Spannung &nbsp;$u(t)$&nbsp; einer Kapazität&nbsp; $C$&nbsp; entsprechend der Gleichung  &nbsp; $i(t) = C \cdot \text{d}u(t)/\text{d}t$.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Differentiationsssatz:}$&nbsp; Ist $X(f)$ die Fouriertransformierte von $x(t)$, so gelten auch die beiden folgenden Korrespondenzen:
+$\text{Differentiationsssatz:}$&nbsp; Ist&nbsp; $X(f)$&nbsp; die Fouriertransformierte von&nbsp; $x(t)$, so gelten auch die beiden folgenden Korrespondenzen:
-$$\mathbf{(1)}\hspace{0.5cm}\frac{{{\rm d}x( t )}}{{{\rm d}t}}\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}{\rm j}2\pi f \cdot X( f ),$$
+$$\mathbf{(1)}\hspace{0.5cm}\frac{{{\rm d}x( t )}}{{{\rm d}t}}\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \cdot X( f ),$$
-$$\mathbf{(2)}\hspace{0.5cm}- t \cdot x( t )\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}\frac{1}{{{\rm j}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}X( f )}}{{{\rm d}f}}.$$}}
+$$\mathbf{(2)}\hspace{0.5cm}- t \cdot x( t )\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}\frac{1}{{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}X( f )}}{{{\rm d}f}}.$$}}
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Beweis von Gleichung (1):}$&nbsp; Die erste Gleichung ergibt sich durch Differentiation des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweiten Fourierintegrals]]:
+$\text{Beweis von Gleichung (1):}$&nbsp; Die erste Gleichung ergibt sich durch Differentiation des&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweiten Fourierintegrals]]:
-:$$y(t) = \frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} = \frac{\text{d} }{\text{d}t}\int_{ - \infty }^{ + \infty } X( f )  \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}\pi\hspace{0.03cm} f\hspace{0.03cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )}  \cdot {\rm j}2\pi f \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2\pi ft} {\rm d}f.$$
+:$$y(t) = \frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} = \frac{\text{d} }{\text{d}t}\int_{ - \infty }^{ + \infty } X( f )  \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\hspace{0.03cm}\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )}  \cdot {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} {\rm d}f.$$
 *Gleichzeitig gilt aber auch:

@@ Zeile 200: / Zeile 200: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Vertauschungssatz:}$&nbsp; Ist $X(f)$ die Fouriertransformierte von $x(t)$, dann gilt auch:
+$\text{Vertauschungssatz:}$&nbsp; Ist&nbsp; $X(f)$&nbsp; die Fouriertransformierte von&nbsp; $x(t)$, dann gilt auch:
 :$$X^{\star}(t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}x^{\star}( f ).$$
@@ Zeile 208: / Zeile 208: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Beweis:}$&nbsp; Das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]  lautet nach sukzessiver Umbenennung &nbsp;$t \to u$&nbsp; bzw. &nbsp;$f \to t$:
+$\text{Beweis:}$&nbsp; Das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]&nbsp;  lautet nach sukzessiver Umbenennung &nbsp;$t \to u$&nbsp; bzw. &nbsp;$f \to t$:
-:$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( u )}  \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi fu} \hspace{0.1cm}{\rm d}u, \hspace{1cm}
+:$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( u )}  \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u, \hspace{1cm}
-X(t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( u )}  \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi tu}\hspace{0.1cm} {\rm d}u.$$
+X(t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( u )}  \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}u}\hspace{0.1cm} {\rm d}u.$$
-Ändert man das Vorzeichen in den Exponenten, so muss man $X(t)$ durch $X^*(t)$ und $x(u)$ durch $x^*(u)$ ersetzen:
+*Ändert man das Vorzeichen in den Exponenten, so muss man&nbsp; $X(t)$&nbsp; durch&nbsp; $X^*(t)$&nbsp; und&nbsp; $x(u)$&nbsp; durch&nbsp; $x^*(u)$&nbsp; ersetzen:
-:$$X^{\star}(t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x^{\star}( u )}  \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2\pi tu}\hspace{0.1cm} {\rm d}u.$$
+:$$X^{\star}(t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x^{\star}( u )}  \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}u}\hspace{0.1cm} {\rm d}u.$$
-Mit der weiteren Umbennung &nbsp;$u \to f$&nbsp; kommt man zum [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweiten Fourierintegral]]:
+*Mit der weiteren Umbennung &nbsp;$u \to f$&nbsp; kommt man zum [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweiten Fourierintegral]]:
-:$$X^{\star}(t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x^{\star}( f )}  \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2\pi ft}\hspace{0.1cm} {\rm d}f.\hspace{7.9cm}$$
+:$$X^{\star}(t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x^{\star}( f )}  \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f.\hspace{7.9cm}$$
 <div align="right">q.e.d.</div>}}
-[[Datei:P_ID475__Sig_T_3_3_S5_neu.png|right|frame|Rechteck $ \ \leftrightarrow  \ $ $\rm si$&ndash;Funktion]]
+[[Datei:P_ID475__Sig_T_3_3_S5_neu.png|right|frame|Rechteck &nbsp;$ \ \leftrightarrow  \ \ \rm si$&ndash;Funktion]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 5:}$&nbsp;
-Das Spektrum $X(f) = \delta(f)$ des Gleichsignals $x(t) = 1$ wird als bekannt vorausgesetzt.
+Das Spektrum&nbsp; $X(f) = \delta(f)$&nbsp; des Gleichsignals&nbsp; $x(t) = 1$&nbsp; wird als bekannt vorausgesetzt.
-Nach dem Vertauschungssatz lautet deshalb die Spektralfunktion des Diracimpulses $x(t) = \delta(t)$:
+Nach dem Vertauschungssatz lautet deshalb die Spektralfunktion des Diracimpulses&nbsp; $x(t) = \delta(t)$:
 :$$ x(t) = \delta(t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X(f)= 1.$$
 Die Grafik zeigt eine weitere Anwendung des Vertauschungssatzes, nämlich die Funktionalzusammenhänge zwischen
-* einem Signal  $x_1(t)$ mit rechteckförmiger Zeitfunktion,
+* einem Signal&nbsp;  $x_1(t)$&nbsp; mit rechteckförmiger Zeitfunktion, und
-* einem Signal  $x_2(t)$ mit rechteckförmiger Spektralfunktion.}}
+* einem Signal&nbsp;  $x_2(t)$&nbsp; mit rechteckförmiger Spektralfunktion.}}
 ==Verschiebungssatz==
 <br>
-Wir betrachten nun eine Verschiebung der Zeitfunktion – zum Beispiel verursacht durch eine Laufzeit – oder eine Frequenzverschiebung, wie sie beispielsweise bei der (analogen)  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Zweiseitenband&ndash;Amplitudenmodulation]] auftritt.
+Wir betrachten nun eine Verschiebung der Zeitfunktion – zum Beispiel verursacht durch eine Laufzeit – oder eine Frequenzverschiebung, wie sie beispielsweise bei der (analogen)&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Zweiseitenband&ndash;Amplitudenmodulation]]&nbsp; auftritt.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Verschiebungssatz:}$&nbsp; Ist $X(f)$ die Fouriertransformierte (Spektralfunktion) der Zeitfunktion $x(t)$, so gelten auch folgende Zusammenhänge:
+$\text{Verschiebungssatz:}$&nbsp; Ist&nbsp; $X(f)$&nbsp; die Fouriertransformierte (Spektralfunktion) der Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$, so gelten auch folgende Zusammenhänge:
-$$\mathbf{(1)}\hspace{0.5cm}x( {t - t_0 } )\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X( f ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi ft_0 },$$
+$$\mathbf{(1)}\hspace{0.5cm}x( {t - t_0 } )\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X( f ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t_0 },$$
-$$\mathbf{(2)}\hspace{0.5cm}x( t ) \cdot {\rm e}^{  {\rm j}2\pi f_0 t}\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X( {f - f_0 } ).$$
+$$\mathbf{(2)}\hspace{0.5cm}x( t ) \cdot {\rm e}^{  {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X( {f - f_0 } ).$$
-Hierbei sind $t_0$ und $f_0$ beliebige Zeit– bzw. Frequenzgrößen.}}
+Hierbei sind&nbsp; $t_0$&nbsp; und&nbsp; $f_0$&nbsp; beliebige Zeit– bzw. Frequenzgrößen.}}
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Beweis von Gleichung (1):}$&nbsp;
-Das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]   für das um $t_0$ nach rechts verschobene Signal $x_{\rm V}(t) = x(t-t_0)$ lautet mit der Substitution $\tau = t - t_0$:
+Das&nbsp;  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]&nbsp;   für das um&nbsp; $t_0$&nbsp; nach rechts verschobene Signal&nbsp; $x_{\rm V}(t) = x(t-t_0)$&nbsp; lautet mit der Substitution&nbsp; $\tau = t - t_0$:
-:$$X_{\rm V} ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( {t - t_0 } ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi ft}\hspace{0.1cm}{\rm d}t}
+:$$X_{\rm V} ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( {t - t_0 } ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}{\rm d}t}
-= \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau  ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi f( {\tau  + t_0 } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau .}$$
+= \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau  ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( {\tau  + t_0 } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau .}$$
-Der von der Integrationsvariablen $\tau$ unabhängige Term kann vor das Integral gezogen werden. Mit der Umbennung $\tau \to t$ erhält man dann:
+Der von der Integrationsvariablen&nbsp; $\tau$&nbsp; unabhängige Term kann vor das Integral gezogen werden. Mit der Umbennung&nbsp; $\tau \to t$&nbsp; erhält man dann:
-:$$X_{\rm V}( f ) = {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi ft_0 }  \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}  \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi ft}\hspace{0.1cm} {\rm d}t  = {\rm e}^{ - {\rm j}2 \pi ft_0 }  \cdot X( f).$$
+:$$X_{\rm V}( f ) = {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t_0 }  \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}  \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t  = {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t_0 }  \cdot X( f).$$
 <div align="right">q.e.d.</div>}}
@@ Zeile 267: / Zeile 267: @@
 [[Datei:P_ID478__Sig_T_3_3_S6_neu.png|right|frame|Beispiel zum Verschiebungssatz]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 6:}$&nbsp; Wie bereits erwähnt, besitzt der symmetrische Rechteckimpuls $x_1(t)$ das folgende Spektrum:
+$\text{Beispiel 6:}$&nbsp; Wie bereits erwähnt, besitzt der symmetrische Rechteckimpuls&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; das folgende Spektrum:
 :$$X_1 ( f ) = A  \cdot T \cdot {\rm si}( {\pi fT} ).$$
-Der unten dargestellte Rechteckimpuls $x_2(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ um $T/2$ nach rechts verschoben: &nbsp; $x_2(t) = x_1(t-T/2)$. Somit lautet sein Spektrum:
+Der unten dargestellte Rechteckimpuls&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; um&nbsp; $T/2$&nbsp; nach rechts verschoben: &nbsp;
-:$$X_2( f ) = A  \cdot T \cdot {\rm si}( {\pi fT} ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\pi fT} .$$
+:$$X_2( f ) = A  \cdot T \cdot {\rm si}( {\pi fT} ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T} .$$
-Diese Spektralfunktion kann mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] und einigen einfachen trigonometrischen Umformungen auch wie folgt geschrieben werden:
+Diese Spektralfunktion kann mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; und einigen einfachen trigonometrischen Umformungen auch wie folgt geschrieben werden:
 :$$X_2( f ) =  \frac{A }{2\pi f} \cdot \sin ( 2\pi fT) +  {\rm j}\cdot  \frac{A }{2\pi f} \cdot \big[ {\cos ( {2\pi fT} ) - 1} \big] .$$
-Das gleiche Ergebnis erhält man auch mit dem [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]:
+Das gleiche Ergebnis erhält man auch mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]:
-*Der Realteil des Spektrums gehört zum geraden Signalanteil $x_{\rm g}(t)$, der Imaginärteil zum ungeraden Anteil $x_{\rm u}(t)$.}}
+*Der Realteil des Spektrums gehört zum geraden Signalanteil&nbsp; $x_{\rm g}(t)$, der Imaginärteil zum ungeraden Anteil&nbsp; $x_{\rm u}(t)$.}}

@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Ähnlichkeitssatz:}$&nbsp; Ist $X(f)$ die Fouriertransformierte von $x(t)$, so gilt mit der reellen Konstanten $k$ auch folgenderZusammenhang:
+$\text{Ähnlichkeitssatz:}$&nbsp; Ist&nbsp; $X(f)$&nbsp; die Fouriertransformierte von&nbsp; $x(t)$, so gilt mit der reellen Konstanten&nbsp; $k$&nbsp; auch folgenderZusammenhang:
 :$$x( {k \cdot t} )\hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} \frac{1}{\left \vert k \right \vert} \cdot X( {f}/{k} ).$$}}
@@ Zeile 106: / Zeile 106: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Beweis:}$&nbsp; Für positives $k$ folgt aus dem Fourierintegral mit der Substitution $\tau = k \cdot t$:
+$\text{Beweis:}$&nbsp; Für positives&nbsp; $k$&nbsp; folgt aus dem Fourierintegral mit der Substitution&nbsp; $\tau = k \cdot t$:
-:$$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( {k \cdot t})}  \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi ft} \hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{1}{k} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau  )}  \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi \cdot  f/k \hspace{0.03cm}\cdot \tau } \hspace{0.1cm}{\rm d} \tau = \frac{1}{k}\cdot X( {{f}/{k}}).$$
+:$$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( {k \cdot t})}  \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}ft} \hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{1}{k} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau  )}  \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}  f/k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau } \hspace{0.1cm}{\rm d} \tau = \frac{1}{k}\cdot X( {{f}/{k}}).$$
-*Für negatives $k$ würden sich die Integrationsgrenzen vertauschen und man erhält $-1/k \cdot X(f/k)$.
+*Für negatives&nbsp; $k$&nbsp; würden sich die Integrationsgrenzen vertauschen und man erhält&nbsp; $-1/k \cdot X(f/k)$.
-*Da in der Gleichung $\vert k \vert$ verwendet wird, gilt das Ergebnis für beide Vorzeichen.
+*Da in der Gleichung&nbsp; $\vert k \vert$&nbsp; verwendet wird, gilt das Ergebnis für beide Vorzeichen.
 <div align="right">q.e.d.</div>}}
-Die Auswirkungen des Ähnlichkeitssatzes kann man sich zum Beispiel mit einem Tonband verdeutlichen. Spielt man ein solches Band mit doppelter Geschwindigkeit ab, so entspricht dies einer Stauchung des Zeitsignals $(k = 2)$. Dadurch erscheinen die Frequenzen doppelt so hoch.
+Die Auswirkungen des Ähnlichkeitssatzes kann man sich zum Beispiel mit einem Tonband verdeutlichen. Spielt man ein solches Band mit doppelter Geschwindigkeit ab, so entspricht dies einer Stauchung des Zeitsignals&nbsp; $(k = 2)$. Dadurch erscheinen die Frequenzen doppelt so hoch.
 [[Datei:P_ID473__Sig_T_3_3_S3_neu.png|right|frame|Zwei Rechtecke unterschiedlicher Breite]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Wir betrachten zwei Rechtecke gleicher Höhe, wobei $T_2 = T_1/2$ gilt.
+Wir betrachten zwei Rechtecke gleicher Höhe, wobei&nbsp; $T_2 = T_1/2$&nbsp; gilt.
-*Die Spektralfunktion von $x_1(t)$ ergibt sich nach dem [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]] zu
+*Die Spektralfunktion von&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; ergibt sich nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]]&nbsp; zu
-:$$X_1 (f) = A  \cdot \frac{ {1 - {\rm e}^{ - {\rm j}2\pi fT_1 } } }{ { {\rm j}2\pi f} } .$$
+:$$X_1 (f) = A  \cdot \frac{ {1 - {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}fT_1 } } }{ { {\rm j}2\pi f} } .$$
 *Dafür kann auch geschrieben werden:
-:$$X_1 (f)  = A  \cdot T_1  \cdot \frac{{{\rm e}^{{\rm j}\pi fT_1 }  - {\rm e}^{ - {\rm j}\pi fT_1 } }}{{{\rm j}2\pi fT_1 }} \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\pi fT_1 } = A  \cdot T_1  \cdot {\rm si}( {\pi f T_1 } ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\pi fT_1 }.$$
+:$$X_1 (f)  = A  \cdot T_1  \cdot \frac{{{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}fT_1 }  - {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}fT_1 } }}{{{\rm j}2\pi fT_1 }} \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}fT_1 } = A  \cdot T_1  \cdot {\rm si}( {\pi f T_1 } ) \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}fT_1 }.$$
-*Für die Spektralfunktion von $x_2(t)$ folgt aus dem Ähnlichkeitssatz mit $k = -2$:
+*Für die Spektralfunktion von&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; folgt aus dem Ähnlichkeitssatz mit&nbsp; $k = -2$:
 :$$X_2 (f) = \frac{1}{2} \cdot X_1 ( { - {f}/{2}} ) = \frac{A \cdot T_1 }{2} \cdot {\rm si}( { - \pi f {T_1 }/{2} } ) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\pi fT_1 /2} .$$
-*Die $\text{si}$&ndash;Funktion ist gerade: $\text{si}(-x) = \text{si}(x)$. Deshalb kann man auf das Vorzeichen im Argument der $\text{si}$&ndash;Funktion verzichten.
+*Die&nbsp; $\text{si}$&ndash;Funktion ist gerade:&nbsp; $\text{si}(-x) = \text{si}(x)$. Deshalb kann man auf das Vorzeichen im Argument der&nbsp; $\text{si}$&ndash;Funktion verzichten.
-*Mit $T_2 = T_1/2$ erhält man schließlich:
+*Mit&nbsp; $T_2 = T_1/2$&nbsp; erhält man schließlich:
-:$$X_2 (f) = A \cdot T_2  \cdot {\rm si}( {\pi fT_2 } ) \cdot {\rm e}^{  {\rm j}\pi fT_2 } .$$}}
+:$$X_2 (f) = A \cdot T_2  \cdot {\rm si}( {\pi fT_2 } ) \cdot {\rm e}^{  {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}fT_2 } .$$}}
 ==Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite==
 <br>
-Dieses Gesetz folgt direkt aus dem [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#.C3.84hnlichkeitssatz|Ähnlichkeitssatz]]: &nbsp; Je breiter ein Impuls in seiner zeitlichen Ausdehnung ist, desto schmäler und höher ist das zugehörige Spektrum und umgekehrt. Um quantitative Aussagen treffen zu können, definieren wir zwei Kenngrößen für energiebegrenzte Signale  &nbsp; ⇒  &nbsp; Impulse:
+Dieses Gesetz folgt direkt aus dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#.C3.84hnlichkeitssatz|Ähnlichkeitssatz]]: &nbsp; Je breiter ein Impuls in seiner  Ausdehnung ist, desto schmäler und höher ist das zugehörige Spektrum und umgekehrt.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die '''äquivalente Impulsdauer''' wird aus dem Zeitverlauf abgeleitet. Sie ist gleich der Breite eines flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie $x(t)$:
+Die&nbsp; '''äquivalente Impulsdauer'''&nbsp; wird aus dem Zeitverlauf abgeleitet. Sie ist gleich der Breite eines flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie&nbsp; $x(t)$:
 :$$\Delta t = \frac{1}{{x( {t = 0} )}} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$}}
@@ Zeile 155: / Zeile 157: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die '''äquivalente Bandbreite''' kennzeichnet den Impuls im $f$–Bereich. Sie gibt die Breite des flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie das Spektrum $X(f)$ an:
+Die&nbsp; '''äquivalente Bandbreite'''&nbsp; kennzeichnet den Impuls im Frequenzbereich. Sie gibt die Breite des flächengleichen Rechtecks mit gleicher Höhe wie das Spektrum&nbsp; $X(f)$ an:
 :$$\Delta f = \frac{1}{{X( {f = 0} )}}\cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )} \hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$}}
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Reziprozitätsgesetz:}$&nbsp; Das Produkt aus äquivalenter Impulsdauer und äquivalenter Bandbreite ist stets gleich $1$:
+$\text{Reziprozitätsgesetz:}$&nbsp; Das Produkt aus äquivalenter Impulsdauer und äquivalenter Bandbreite ist stets gleich&nbsp; $1$:
 :$$\Delta t \cdot \Delta f = 1$$}}
@@ Zeile 172: / Zeile 170: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Beweis:}$&nbsp;
-Ausgehend von den beiden Fourierintegralen erhält man für $f = 0$ bzw. $t = 0$:
+Ausgehend von den beiden Fourierintegralen erhält man für&nbsp; $f = 0$&nbsp; bzw.&nbsp; $t = 0$:
 :$$X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t,} \hspace{0.5cm}x( {t = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X(f)\hspace{0.1cm}{\rm d}f.}$$
@@ Zeile 180: / Zeile 178: @@
 :$$\Delta t = \frac{{X( {f = 0} )}}{{x( {t = 0} )}},  \hspace{0.5cm}\Delta f = \frac{{x( {t = 0} )}}{{X( {f = 0} )}}.$$
-Daraus folgt direkt $\Delta t \cdot \Delta f = 1$.                                                                                                <div align="right">q.e.d.</div>}}
+Daraus folgt direkt&nbsp; $\Delta t \cdot \Delta f = 1$.                                                                                                <div align="right">q.e.d.</div>}}
-Anzumerken ist, dass $\Delta f$ über das tatsächliche Spektrum $X(f)$ und nicht über $|X(f)|$ definiert ist.
+Anzumerken ist, dass&nbsp; $\Delta f$&nbsp; über das tatsächliche Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; und nicht über&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; definiert ist.
-*Bei reellen Funktionen genügt die Integration über den geraden Funktionsanteil, da das Integral über den ungeraden Anteil wegen des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]] stets Null ist.
+*Bei reellen Funktionen genügt die Integration über den geraden Funktionsanteil, da das Integral über den ungeraden Anteil wegen des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]]&nbsp; stets Null ist.
-*Bei ungeraden Zeitfunktionen und damit rein imaginären Spektren versagen die beiden Definitionen von $\Delta t$ bzw. $\Delta f$.
+*Bei ungeraden Zeitfunktionen und damit rein imaginären Spektren versagen die beiden Definitionen von&nbsp; $\Delta t$&nbsp; bzw.&nbsp; $\Delta f$.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;
-Ausgehend von obiger Grafik gilt:
+Die Grafik verdeutlicht die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t$&nbsp; und die äquivalente Bandbreite&nbsp; $\Delta f$&nbsp; beispielhaft für den Gaußimpuls.  Weiter gilt:
-*Verbreitert man den Gaußimpuls um den Faktor $3$, so wird die äquivalente Bandbreite um den gleichen Faktor kleiner.
+*Verbreitert man den Gaußimpuls um den Faktor&nbsp; $3$, so wird die äquivalente Bandbreite um den gleichen Faktor kleiner.
-*Da die Impulsamplitude $x(t = 0)$ nicht verändert wird, bleibt auch die Integralfläche über $X(f)$ konstant.
+*Wenn hierbei die Impulsamplitude&nbsp; $x(t = 0)$&nbsp; nicht verändert wird, bleibt auch die Integralfläche über&nbsp; $X(f)$&nbsp; konstant.
-*Das heißt, dass $X(f=0)$ gleichzeitig um den Faktor $3$ größer wird.}}
+*Das heißt, dass&nbsp; $X(f=0)$&nbsp; gleichzeitig um den Faktor&nbsp; $3$&nbsp; größer wird.}}

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 ==Multiplikation mit Faktor - Additionssatz==
 <br>
-In diesem Abschnitt sind die '''Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation''' zusammengestellt. Diese können beispielsweise dazu genutzt werden, um mit möglichst geringem Rechenaufwand aus bereits bekannten Transformationen
+In diesem Abschnitt sind die&nbsp; '''Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation'''&nbsp; zusammengestellt. Diese können beispielsweise dazu genutzt werden, um mit möglichst geringem Rechenaufwand aus bereits bekannten Transformationen
 :$$x( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X( f ),\quad x_1 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 ( f ),\quad x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_2 ( f )$$
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-$\text{Satz:}$&nbsp; Ein '''konstanter Faktor''' $k$ wirkt sich auf die Zeit– und die Spektralfunktion in gleicher Weise aus:
+$\text{Satz:}$&nbsp; Ein&nbsp; '''konstanter Faktor'''&nbsp; $k$&nbsp; wirkt sich auf die Zeit– und die Spektralfunktion in gleicher Weise aus:
 :$$k \cdot x(t)\ \;\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ k \cdot X(f).$$}}
-Diesen Zusammenhang kann man zum Beispiel zur Vereinfachung nutzen, indem man die Konstante $k$ (die sowohl ein Verstärkungs–, ein Dämpfungs- oder ein Einheitenfaktor sein kann) zunächst weglässt und erst später dem Ergebnis wieder hinzufügt.
+Diesen Zusammenhang kann man zum Beispiel zur Vereinfachung nutzen, indem man die Konstante&nbsp; $k$&nbsp; (die sowohl ein Verstärkungs–, ein Dämpfungs- oder ein Einheitenfaktor sein kann) zunächst weglässt und erst später dem Ergebnis wieder hinzufügt.
-Obiger Satz folgt unmittelbar aus der Definition des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]], ebenso wie der Additionssatz, der die Grundlage für das  '''Superpositionsprinzip''' darstellt.
+Obiger Satz folgt unmittelbar aus der Definition des&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]], ebenso wie der Additionssatz, der die Grundlage für das&nbsp;  '''Superpositionsprinzip'''&nbsp; darstellt.
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-''Hinweis:'' &nbsp; Alle in diesem Kapitel dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.
+''Hinweis:'' &nbsp; Alle in diesem Kapitel dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; an Beispielen verdeutlicht.
 ==Zuordnungssatz==
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-Bereits bei der [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe|komplexen Fourierreihe]] zur Beschreibung periodischer Signale haben wir festgestellt, dass eine gerade Funktion stets zu reellen und eine ungerade Funktion ausschließlich zu imaginären Fourierkoeffizienten führt. Die Fouriertransformation zeigt ähnliche Eigenschaften.
+Bereits bei der&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe|komplexen Fourierreihe]]&nbsp; zur Beschreibung periodischer Signale haben wir festgestellt, dass eine gerade Funktion stets zu reellen und eine ungerade Funktion ausschließlich zu imaginären Fourierkoeffizienten führt. Die Fouriertransformation zeigt ähnliche Eigenschaften.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 so gilt für die dazugehörige Spektralfunktion:
-:$$X(f) = X_{\rm R}(f)  + {\rm j}\cdot X_{\rm I}(f), \hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.2cm} x_{\rm g} (t) \hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X_{\rm R}(f)\hspace{0.2cm}\text{und}\hspace{0.2cm} x_{\rm u} (t) \hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} {\rm j} \cdot X_{\rm I} (f).$$
+:$$X(f) = X_{\rm R}(f)  + {\rm j}\cdot X_{\rm I}(f), \hspace{0.5cm}\text{mit}$$
 Der Realteil &nbsp;$X_{\rm R}(f)$&nbsp; des Spektrums ist dann ebenfalls gerade, während &nbsp;$X_{\rm I}(f)$&nbsp; eine ungerade Funktion der Frequenz beschreibt.}}
-Der Zuordnungssatz lässt sich einfach beweisen, wenn man den Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler] &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm e}^{ - {\rm j}\omega _0 t}  = \cos ( {\omega _0 t} ) - {\rm j}\cdot \sin ( {\omega _0 t} )$ berücksichtigt. Den geraden und ungeraden Anteil einer Funktion $x(t)$ kann man mit folgenden Gleichungen berechnen:
+Der Zuordnungssatz lässt sich einfach beweisen, wenn man den Satz von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm e}^{ - {\rm j}\omega _0 t}  = \cos ( {\omega _0 t} ) - {\rm j}\cdot \sin ( {\omega _0 t} )$&nbsp; berücksichtigt. Den geraden und ungeraden Anteil einer Funktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; kann man mit folgenden Gleichungen berechnen:
-:$$x_{\rm g} (t) = {1}/{2}\big[ {x(t) + x(-t)} \big], \hspace{0.5cm}x_{\rm u} (t) = {1}/{2}\big[ {x(t) - x(-t)} \big].$$
+:$$x_{\rm g} (t) = {1}/{2}\big[ {x(t) + x(-t)} \big],$$
 [[Datei:P_ID472__Sig_T_3_3_S2.png|right|frame|Spektrum der Sprungfunktion]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Wir betrachten die ''Sprungfunktion''
+Wir betrachten die&nbsp; ''Sprungfunktion''
 :$$x(t) = \gamma (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} 0\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0 \\ 1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0 \\  \end{array} ,$$
-die wie folgt aufgeteilt werden kann: &nbsp; $\gamma (t) =  {1}/{2} +{1}/{2} \cdot {\rm  sign}(t).$
+die wie folgt aufgeteilt werden kann: &nbsp;
 :$$\gamma (t) =  {1}/{2} +{1}/{2} \cdot {\rm  sign}(t).$$
-Hierbei wurde die ''Signum-Funktion'' verwendet:
+Hierbei wurde die&nbsp; ''Signum-Funktion''&nbsp; verwendet:
 :$${\rm sign} (t) = \bigg\{ \begin{array}{l} -1\quad \quad {\rm f\ddot{u} r}\;t < 0, \\ +1\quad \quad{\rm f\ddot{u} r}\; t > 0. \\  \end{array} $$
 Somit gilt:
-*Der gerade (blaue) Signalanteil $x_{\rm g} (t) = {1}/{2}$ ist eine Konstante mit der reellen Spektralfunktion $X_{\rm R}(f) = {1}/{2} \cdot \delta(f)$.
+*Der gerade (blaue) Signalanteil&nbsp; $x_{\rm g} (t) = {1}/{2}$&nbsp; ist eine Konstante mit der reellen Spektralfunktion&nbsp; $X_{\rm R}(f) = {1}/{2} \cdot \delta(f)$.
-*Das Spektrum ${\rm j} \cdot X_{\rm I}(f)$ der ungeraden (grünen) Signumfunktion $x_{\rm u} (t)$ wurde bereits im früheren  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Fouriertransformation|Beispiel 3]] auf der Seite &bdquo;Fouriertransformation&rdquo; berechnet.
+*Das Spektrum&nbsp; ${\rm j} \cdot X_{\rm I}(f)$&nbsp; der ungeraden (grünen) Signumfunktion&nbsp; $x_{\rm u} (t)$&nbsp; wurde bereits im früheren&nbsp;  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Fouriertransformation|$\text{Beispiel 3}$]]&nbsp; auf der Seite &bdquo;Fouriertransformation&rdquo; berechnet.
-*Damit erhält man für das resultierende Spektrum der rot skizzierten Sprungfunktion $x(t)  = \gamma (t)$:
+*Damit erhält man für das resultierende Spektrum der rot skizzierten Sprungfunktion&nbsp; $x(t)  = \gamma (t)$:
 :$$X(f) =  X_{\rm R}(f)  + {\rm j}\cdot X_{\rm I}(f)= {1}/{2} \cdot \delta (f) - {\rm j}\cdot \frac{1}{2\pi f}.$$}}

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
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-[[Aufgaben:Aufgabe_3.4:_Trapezspektrum_bzw._-impuls|Aufgabe 3.4: Trapezspektrum bzw. -impuls]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_3.4:_Trapezspektrum_bzw._-impuls|Aufgabe 3.4: Trapezspektrum bzw. &ndash;impuls]]
 [[Aufgaben:Aufgabe_3.4Z:_Trapez,_Rechteck_und_Dreieck|Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck]]

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	:$$X_2 (f) = \frac{1}{2} \cdot X_1 ( { - {f}/{2}} ) = \frac{A \cdot T_1 }{2} \cdot {\rm si}( { - \pi f {T_1 }/{2} } ) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\pi fT_1 /2} .$$		:$$X_2 (f) = \frac{1}{2} \cdot X_1 ( { - {f}/{2}} ) = \frac{A \cdot T_1 }{2} \cdot {\rm si}( { - \pi f {T_1 }/{2} } ) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\pi fT_1 /2} .$$

−	*Die si-Funktion ist gerade: $\text{si}(-x) = \text{si}(x)$. Deshalb kann man auf das Vorzeichen im Argument der si-Funktion verzichten.	+	*Die $\text{si}$–Funktion ist gerade: $\text{si}(-x) = \text{si}(x)$. Deshalb kann man auf das Vorzeichen im Argument der $\text{si}$–Funktion verzichten.