Signaldarstellung/Fouriertransformation und -rücktransformation - Versionsgeschichte

Guenter am 19. April 2021 um 16:24 Uhr

2021-04-19T16:24:34Z

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2019-09-25T09:50:53Z

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2018-07-23T14:17:40Z

Guenter am 23. Juli 2018 um 14:15 Uhr

2018-07-23T14:15:36Z

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 :$$x(t)=\lim_{{f_{\rm 0}}'  \hspace{0.05cm}\to  \hspace{0.05cm}0} \sum^{+\infty}_{\nu = -\infty}{D_{\it \nu}}' \cdot \rm e^{j\hspace{0.03cm} 2  \hspace{0.03cm}\pi  \hspace{0.03cm}\it\nu \hspace{0.03cm} {f_{\rm 0}}' t}.$$
-Erweitert man nun sowohl den Zähler als auch den Nenner um&nbsp; ${f_0}'$, so erhält man:
+Erweitert man nun den Zähler und den Nenner um&nbsp; ${f_0}'$,&nbsp; so erhält man:
 :$$x(t)=\lim_{{f_{\rm 0}}'  \hspace{0.05cm}\to  \hspace{0.05cm}0} \sum^{+\infty}_{\nu = -\infty}  ({{D_{\it \nu}}'}/{{f_{\rm 0}}'}) \cdot \rm e^{j \hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm} \pi  \hspace{0.03cm} \it \nu  \hspace{0.03cm}{f_{\rm 0}}' t} \cdot {\it f_{\rm 0}}'.$$
 Der Grenzübergang&nbsp;  ${f_0}' \to 0$&nbsp; hat folgende Auswirkungen:
-*Die (unendliche) Summe wird zu einem Integral, wobei&nbsp;  ${f_0}'$&nbsp; formal durch die differenzielle Größe&nbsp; $\text{d}f$&nbsp; (Integrationsvariable) zu ersetzen ist.
+*Die (unendliche) Summe wird zum Integral, wobei&nbsp;  ${f_0}'$&nbsp; formal durch die differenzielle Größe&nbsp; $\text{d}f$&nbsp; (Integrationsvariable) zu ersetzen ist.
 *Die Größe&nbsp;  $\nu \cdot{f_0}'$&nbsp; im Exponenten beschreibt die physikalische Frequenz&nbsp; $f$.
 *Der Quotient&nbsp; ${D_{\nu}}'/{f_0}'$&nbsp; ergibt die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; bei der Frequenz&nbsp; $f$.
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Zweites Fourierintegral:}$&nbsp;
-Ist die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines aperiodischen und energiebegrenzten Signals gegeben, so lautet die dazugehörige '''Zeitfunktion''':
+Ist die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines aperiodischen und energiebegrenzten Signals gegeben, so lautet die dazugehörige&nbsp; $\text{Zeitfunktion}$:
 :$$x(t) = \hspace{0.01cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} X(f) \, \cdot \, { \rm e}^{\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}f.$$}}

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-Damit erhält man eine fundamentale Definition, welche die Berechnung der Spektralfunktion einer aperiodischen Zeitfunktion ermöglicht. Der Name dieser Spektraltransformation geht auf den französischen Physiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Jean-Baptiste-Joseph Fourier]&nbsp; zurück.
+Damit erhält man eine fundamentale Definition, welche die Berechnung der Spektralfunktion einer aperiodischen Zeitfunktion ermöglicht.&nbsp; Der Name dieser Spektraltransformation geht auf den französischen Physiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Jean-Baptiste-Joseph Fourier]&nbsp; zurück.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Erstes Fourierintegral:}$&nbsp;
-Die '''Spektralfunktion''' (oder kurz:&nbsp; das ''Spektrum''&nbsp;) eines aperiodischen und gleichzeitig energiebegrenzten Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist wie folgt zu berechnen:
+Die&nbsp; $\text{Spektralfunktion}$&nbsp; (oder kurz:&nbsp; das&nbsp; $\text{Spektrum})$&nbsp; eines aperiodischen und gleichzeitig energiebegrenzten Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist wie folgt zu berechnen:
 :$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$}}
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Gegeben ist der skizzierte Zeitverlauf&nbsp; $x(t)$. Gesucht ist das zugehörige Spektrum&nbsp; $X(f)$.
+Gegeben ist der skizzierte Zeitverlauf&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Gesucht ist das zugehörige Spektrum&nbsp; $X(f)$.
 Wir wenden dazu das erste Fourierintegral an.
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 *Erweitert man Zähler und Nenner mit&nbsp; $T$, so erhält man:
-:$$X(f)=A\cdot T \cdot\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} = A\cdot T \cdot{\rm si }(\pi fT) .$$
+:$$X(f)=A\cdot T \cdot\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} = A\cdot T \cdot{\rm si }(\pi fT).$$
 Die Funktion&nbsp; $\text{si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; wird auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckimpuls]]&nbsp; eingehend analysiert. Man bezeichnet diese &bdquo;si–Funktion&rdquo; manchmal  auch als &bdquo;Spaltfunktion&rdquo;.}}
@@ Zeile 196: / Zeile 196: @@
 :$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int _{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$
-Wie auf der letzten Seite an einem einfachen Beispiel gezeigt wurde, ist dieses Integral bei einem energiebegrenzten Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; problemlos lösbar. Bei nicht energiebegrenzten Signalen, zum Beispiel
+Wie auf der letzten Seite an einem einfachen Beispiel gezeigt wurde, ist dieses Integral bei einem energiebegrenzten Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; problemlos lösbar.&nbsp; Bei nicht energiebegrenzten Signalen, zum Beispiel
 *einem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal]] ,
 *einer&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingung]], oder
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-divergiert aber das Fourierintegral. Unter Einbeziehung einer beidseitig abfallenden Hilfsfunkion&nbsp; $\varepsilon (t)$&nbsp; kann allerdings die Konvergenz erzwungen werden:
+divergiert aber das Fourierintegral.&nbsp; Unter Einbeziehung einer beidseitig abfallenden Hilfsfunkion&nbsp; $\varepsilon (t)$&nbsp; kann allerdings die Konvergenz erzwungen werden:
 :$$X(f) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int _{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \cdot {\rm e}^{\it -\varepsilon  | \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm} |} \cdot {\rm e}^{{-\rm j 2  \pi}\it  ft} \,{\rm d}t.$$
-Solche nicht energiebegrenzten Signale führen im Spektrum zu so genannten &bdquo;Diracfunktionen&rdquo;, manchmal auch „Distributionen” genannt.
+Solche nicht energiebegrenzten Signale führen im Spektrum zu so genannten&nbsp; &bdquo;Diracfunktionen&rdquo;, manchmal auch&nbsp; „Distributionen”&nbsp; genannt.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Man bezeichnet den allgemein gültigen Funktionalzusammenhang&nbsp; $X(f) = F\big [x(t) \big ]$&nbsp; als&nbsp; '''Fouriertransformation'''. Für die Kurzschreibweise verwenden wir (mit dem &bdquo;weißen&rdquo; Punkt für den Zeitbereich und dem ausgefüllten Punkt für den Spektralbereich):
+Man bezeichnet den allgemein gültigen Funktionalzusammenhang&nbsp; $X(f) = F\big [x(t) \big ]$&nbsp; als&nbsp; $\text{Fouriertransformation}$.&nbsp; Für die Kurzschreibweise verwenden wir (mit dem &bdquo;weißen&rdquo; Punkt für den Zeitbereich und dem ausgefüllten Punkt für den Spektralbereich):
 :$$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t).$$
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 Dieses Signal ist in der linken Skizze in blauer Farbe dargestellt.
-Da das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; nach beiden Seiten bis ins Unendliche reicht, muss zur Berechnung der Fouriertransformierten für beide Abschnitte zunächst ein geeigneter Konvergenzfaktor&nbsp; $\text{e}^{-\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert}$&nbsp; hinzugefügt werden $($es gelte&nbsp; $\varepsilon > 0)$. Die resultierende Zeitfunktion lautet dann:
+Da das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; nach beiden Seiten bis ins Unendliche reicht, muss zur Berechnung der Fouriertransformierten für beide Abschnitte zunächst ein geeigneter Konvergenzfaktor&nbsp; $\text{e}^{-\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert}$&nbsp; hinzugefügt werden $($es gelte&nbsp; $\varepsilon > 0)$.&nbsp; Die resultierende Zeitfunktion lautet dann:
 :$$x_\varepsilon  (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   { {\rm{e} }^{ - \varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t > 0,}  \\   { {\rm{ - e} }^{\hspace{0.05cm}\varepsilon\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}  t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t < 0.}  \\\end{array} } \right.$$
@@ Zeile 240: / Zeile 240: @@
 :$$X(f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm}0 } X_\varepsilon  (f) = \frac{ { - {\rm{j} } } }{ { {\rm{\pi } }f} } = \frac{1}{ { {\rm{j\pi } }f} }.$$
-In der rechten Grafik ist die imaginäre Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; als blaue Kurve dargestellt. Man erkennt, dass&nbsp; $\vert X(f) \vert$&nbsp; mit steigender Frequenz kontinuierlich abnimmt.
+In der rechten Grafik ist die imaginäre Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; als blaue Kurve dargestellt.&nbsp; Man erkennt, dass&nbsp; $\vert X(f) \vert$&nbsp; mit steigender Frequenz kontinuierlich abnimmt.
 Der grüne Kurvenzug in der linken Grafik zeigt das Signal&nbsp; $y(t)$, das sich von&nbsp; $x(t)$&nbsp; nur bei den negativen Zeiten unterscheidet.
-*In diesem Bereich gilt&nbsp; $y(t) = 0$. Die zugehörige Spektralfunktion&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ist im gesamten Bereich nur halb so groß wie&nbsp; $X(f)$. Dies zeigt die nachfolgende Rechnung:
+*In diesem Bereich gilt&nbsp; $y(t) = 0$.&nbsp; Die zugehörige Spektralfunktion&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ist im gesamten Bereich nur halb so groß wie&nbsp; $X(f)$.&nbsp; Dies zeigt die folgende Rechnung:
 :$$Y(f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon  \to 0 } Y_\varepsilon  (f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm}0 }\frac{1}{ {\varepsilon  + {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f} } = \frac{1}{ { {\rm{j2\pi } }f} }.$$
-*Zudem ergibt sich auf Grund des Gleichanteils nun noch eine Diracfunktion bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $1/2$. Hierauf wird im Beispiel zum Abschnitt&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp; noch im Detail eingegangen.}}
+*Zudem ergibt sich auf Grund des Gleichanteils nun noch eine Diracfunktion bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $1/2$.&nbsp; Hierauf wird im Beispiel zum Abschnitt&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp; noch im Detail eingegangen.}}
 ==Das zweite Fourierintegral==
 <br>
-Bisher wurde lediglich gezeigt, wie man für ein aperiodisches, impulsförmiges Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; die zugehörige Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; berechnet. Nun wenden wir uns der umgekehrten Aufgabenstellung zu, nämlich: &nbsp; Wie ermittelt man die Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; aus der Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$?
+Bisher wurde lediglich gezeigt, wie man für ein aperiodisches, impulsförmiges Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; die zugehörige Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; berechnet.&nbsp; Nun wenden wir uns der umgekehrten Aufgabenstellung zu, nämlich: &nbsp; Wie ermittelt man die Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; aus der Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$?
-[[Datei:P_ID399__Sig_T_3_1_S7_rah.png|center|frame|Zum zweiten Fourierintegral]]
+[[Datei:P_ID399__Sig_T_3_1_S7_rah.png|right|frame|Zum zweiten Fourierintegral]]
 Mit den gleichen Bezeichnungen wie auf den ersten Seiten dieses Kapitels kann man das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; als Fourierreihe schreiben, wobei nun der Grenzübergang&nbsp; ${f_0}' \to 0$&nbsp; zu berücksichtigen ist:

@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 ==Eigenschaften aperiodischer Signale==
 <br>
-Im letzten Kapitel wurden&nbsp; ''periodische Signale''&nbsp; betrachtet. Das wesentliche Charakteristikum dieser Signale ist, dass man für sie eine&nbsp; ''Periodendauer''&nbsp; $T_0$&nbsp; angeben kann. Ist eine solche Periodendauer nicht angebbar oder – was in der Praxis das gleiche ist – hat&nbsp; $T_0$&nbsp; einen unendlich großen Wert, so spricht man von einem&nbsp; '''aperiodischen Signal'''.
+Im letzten Kapitel wurden&nbsp; periodische Signale&nbsp; betrachtet.&nbsp;  Das wesentliche Charakteristikum dieser Signale ist, dass man für sie eine&nbsp; Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; angeben kann.&nbsp;  Ist eine solche Periodendauer nicht angebbar oder – was in der Praxis das gleiche ist – hat&nbsp; $T_0$&nbsp; einen unendlich großen Wert, so spricht man von einem&nbsp; $\text{aperiodischen Signal}$.
 Für das vorliegende  Kapitel &bdquo;Aperiodische Signale  &ndash; Impulse&rdquo; sollen folgende Voraussetzungen gelten:
-*Die betrachteten Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; sind&nbsp; ''aperiodisch''&nbsp; und&nbsp; ''energiebegrenzt'': &nbsp; Sie besitzen eine endliche Energie&nbsp; $E_x$&nbsp; und eine vernachlässigbar kleine (mittlere) Leistung&nbsp; $P_x$.
+*Die Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; sind&nbsp; '''aperiodisch'''&nbsp; und&nbsp; '''energiebegrenzt''': &nbsp; Sie besitzen eine endliche Energie&nbsp; $E_x$&nbsp; und eine vernachlässigbar kleine (mittlere) Leistung&nbsp; $P_x$.
-*Oft konzentriert sich die Energie dieser Signale auf einen relativ kurzen Zeitbereich, so dass man auch von&nbsp; ''impulsförmigen Signalen''&nbsp; spricht.
+*Oft konzentriert sich die Energie dieser Signale auf einen relativ kurzen Zeitbereich, so dass man auch von&nbsp; '''impulsförmigen Signalen'''&nbsp; spricht.
@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Die Grafik zeigt oben einen Rechteckimpuls&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T$&nbsp; als Beispiel eines aperiodischen und zeitlich begrenzten Signals. Dieser Impuls besitzt
+Die Grafik zeigt oben einen Rechteckimpuls&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T$&nbsp; als Beispiel eines aperiodischen und zeitlich begrenzten Signals.&nbsp;  Dieser Impuls besitzt
-*die endliche Signalenergie &nbsp; &rArr; &nbsp; hier: &nbsp; $E_1=A^2 \cdot T$, und
+*die endliche Signalenergie &nbsp; &rArr; &nbsp; hier: &nbsp; $E_1=A^2 \cdot T$,&nbsp;  und
 *die Leistung&nbsp; $P_1$ = 0.
 Ein leistungsbegrenztes Signal, zum Beispiel das unten dargestellte Cosinussignal&nbsp; $x_2(t)$, besitzt dagegen
-*stets eine endliche Leistung &nbsp; &rArr; &nbsp; hier: &nbsp; $P_2=A^2/2$, und
+*stets eine endliche Leistung &nbsp; &rArr; &nbsp; hier: &nbsp; $P_2=A^2/2$,&nbsp;  und
 *damit auch eine unendlich große Signalenergie: &nbsp; $E_2 \to \infty$.}}
@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 :$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x_{\rm P}(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{0.01cm}{\it  n} \it t / T_{\rm 0}}\, {\rm d}t.$$
-*Die dazugehörige Spektralfunktion&nbsp; $X_{\rm P}(f)$&nbsp; ist ein so genanntes&nbsp; ''Linienspektrum''&nbsp; mit Spektrallinien im Abstand&nbsp; $f_0=1/T_0$:
+*Die dazugehörige Spektralfunktion&nbsp; $X_{\rm P}(f)$&nbsp; ist ein so genanntes&nbsp; &bdquo;Linienspektrum&rdquo;&nbsp; mit Spektrallinien im Abstand&nbsp; $f_0=1/T_0$:
 :$$X_{\rm P}(f)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_n\cdot\delta(f-n\cdot f_0).$$
-Die obere Grafik zeigt links das periodische Zeitsignal&nbsp; $x_{\rm P}(t)$&nbsp; und rechts das zugehörige Betragsspektrum&nbsp; $|X_{\rm P}(f)|$. Es handelt sich hierbei lediglich um eine schematische Skizze:
+Die obere Grafik zeigt links das periodische Zeitsignal&nbsp; $x_{\rm P}(t)$&nbsp; und rechts das zugehörige Betragsspektrum&nbsp; $|X_{\rm P}(f)|$.&nbsp;
-<br clear=all>
-''Weitere Anmerkungen:'' &nbsp;
+Es handelt sich hierbei lediglich um schematische Skizzen:
 *Ist&nbsp; $x_{\rm P}(t)$&nbsp; eine reelle und gerade Funktion, so ist&nbsp; $X_{\rm P}(f)$&nbsp; ebenfalls reell und gerade.
 *Die Gleichung&nbsp; $X_{\rm P}(f) = |X_{\rm P}(f)|$&nbsp; gilt allerdings nur dann, wenn alle Spektrallinien zudem auch positiv sind.
-<br clear=all>
 In der unteren Grafik ist links ein weiteres periodisches Signal&nbsp; ${x_{\rm P}}\hspace{0.01cm}'(t)$&nbsp; mit doppelter Periodendauer&nbsp; ${T_0}\hspace{0.01cm}' = 2 \cdot T_0$&nbsp; dargestellt. Für dieses Signals gilt:
 :$${x_{\rm P}}'(t)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{\it D_n}'\cdot {\rm e}^{{\rm j}  2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n t / T}_{\rm 0}\hspace{0.01cm}'} \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\it D_n}'=\frac{1}{{T_0}\hspace{0.01cm}'}\cdot \int^{{+T_0}'/2}_{-{T_0}'/2}{x_{\rm P}}'(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n t / T}_{\rm 0}\hspace{0.01cm}'}\, {\rm d}\it t.$$
-Im Bereich von&nbsp; $-T_0/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T_0/2$&nbsp; sind die beiden Signale identisch.
+Im Bereich von&nbsp; $-T_0/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T_0/2$&nbsp; sind die beiden Signale identisch.&nbsp;
 Wir betrachten auch hier die Spektralfunktion&nbsp; ${X_{\rm P} }'(f)$&nbsp; entsprechend der rechten Skizze:
 *Aufgrund der doppelten Periodendauer&nbsp; $({T_0}' = 2 \cdot T_0)$&nbsp; liegen nun die Spektrallinien enger beisammen&nbsp; $({f_0}' = f_0/2)$.
-*Die beiden Koeffizienten&nbsp; $D_n$&nbsp; und&nbsp; ${D_{2n}}'$ – im Bild rot hervorgehoben – gehören zur gleichen physikalischen Frequenz&nbsp; $f = n \cdot  f_0 = 2n \cdot {f_0}'$.
+*Die beiden Koeffizienten&nbsp; $D_n$&nbsp; und&nbsp; ${D_{2n}}'$ &nbsp; – &nbsp; im Bild rot hervorgehoben &nbsp; – &nbsp; gehören zur gleichen physikalischen Frequenz&nbsp; $f = n \cdot  f_0 = 2n \cdot {f_0}'$.
-Wir erkennen durch einen Vergleich der beiden Koeffizienten
+Durch den Vergleich dieser beiden Koeffizienten erkennen wir:
 :$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x_{\rm P}(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it  n} \it t / T_{\rm 0}}\, {\rm d}t \hspace{0.5cm}\text{und} \hspace{0.5cm} {D_{2n}}'=\frac{1}{{T_0}'}\cdot \int^{+{T_0}'/2}_{-{T_0}'/2}{x_{\rm P}}'(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j   4 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n} \it t / {T_{\rm 0}}'}\, {\rm d}t  \text{:} $$
@@ Zeile 103: / Zeile 106: @@
 *Die Spektrallinie des Signals&nbsp; ${x_{\rm P} }'(t)$&nbsp; bei der Frequenz&nbsp; $f = n \cdot {f_0}'$&nbsp; wird mit&nbsp; ${D_{2n} }'$&nbsp; bezeichnet (untere Grafik).
 *Diese Linie ist genau halb so groß wie die Spektrallinie&nbsp; $D_n$&nbsp; des Signals&nbsp; $x_{\rm P}(t)$&nbsp; bei der gleichen physikalischen Frequenz&nbsp; $f$&nbsp; (obere Grafik).
-*Die Spektralfunktion&nbsp; ${X_{\rm P} }'(f)$&nbsp; weist gegenüber&nbsp; $X_P(f)$&nbsp; zusätzliche Spektrallinien bei&nbsp; $(n + 1/2) \cdot f_0$&nbsp; auf.
+*Die Spektralfunktion&nbsp; ${X_{\rm P} }'(f)$&nbsp; weist gegenüber&nbsp; $X_{\rm P}(f)$&nbsp; zusätzliche Spektrallinien bei&nbsp; $(n + 1/2) \cdot f_0$&nbsp; auf.
 *Diese führen dazu, dass im Zeitbereich jeder zweite &bdquo;Impuls&rdquo; von&nbsp; $x_{\rm P}(t)$&nbsp; um&nbsp; $n \cdot T_0$&nbsp; gelegen&nbsp; $(n$ ungeradzahlig$)$&nbsp; ausgelöscht wird.}}
@@ Zeile 110: / Zeile 113: @@
 ==Vom periodischen zum aperiodischen Signal==
 <br>
-Wir greifen nun die Überlegungen der vorherigen Seite auf und wählen die Periodendauer&nbsp; ${T_0}'$&nbsp; von&nbsp; ${x_{\rm P}}'(t)$&nbsp; allgemein um einen ganzzahligen Faktor&nbsp; $k$&nbsp; größer als die Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; von&nbsp; ${x_{\rm P}}(t)$. Dann können die bisherigen Aussagen verallgemeinert werden:
+Wir greifen nun die Überlegungen der vorherigen Seite auf und wählen die Periodendauer&nbsp; ${T_0}'$&nbsp; von&nbsp; ${x_{\rm P}}'(t)$&nbsp; allgemein um einen ganzzahligen Faktor&nbsp; $k$&nbsp; größer als die Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; von&nbsp; ${x_{\rm P}}(t)$.&nbsp; Dann können die bisherigen Aussagen verallgemeinert werden:
 [[Datei:P_ID398__Sig_T_3_1_S3_rah.png|right|frame|Vom periodischen zum aperiodischen Signal]]
 *Der Linienabstand ist bei&nbsp; ${X_{\rm P}}'(f)$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $k$&nbsp; geringer als beim Spektrum&nbsp; ${X_{\rm P}}(f)$.
-*Um diesen Sachverhalt hervorzuheben, bezeichnen wir die Frequenz&ndash;Laufvariable der Funktion&nbsp; ${X_{\rm P}}'(f)$&nbsp; mit&nbsp; $\nu$&nbsp; anstelle von&nbsp; $n$. Es gilt: &nbsp; $\nu=k \cdot n$.
 *Für die Spektrallinie des Signals&nbsp; ${x_{\rm P}}'(t)$&nbsp; bei der Frequenz&nbsp; $f=n \cdot f_0 =\nu \cdot {f_0}'$&nbsp; gilt:
 :$${D_\nu}' = {1}/{k} \cdot D_n, \hspace{0.5cm} {\rm wobei} \hspace{0.5cm} \nu = k \cdot n.$$
+<br><br><br><br>
+Wählt man nun – wie im unteren Bild schematisch dargestellt – den Faktor&nbsp; $k$&nbsp; und damit die Periodendauer&nbsp; ${T_0}'$&nbsp; immer größer und lässt sie schließlich nach unendlich gehen, so
 *geht das periodische Signal&nbsp; ${x_{\rm P}}(t)$&nbsp; in das aperiodische Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; über,
 *kann man das Linienspektrum&nbsp; ${X_{\rm P}}(f)$&nbsp; durch das kontinuierliche Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; ersetzen.

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 == # ÜBERBLICK ZUM DRITTEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Im zweiten Kapitel wurden periodische Signale durch verschiedene harmonische Schwingungen (&bdquo;Fourierreihe&rdquo;) beschrieben. Verringert man &ndash; zumindest gedanklich &ndash; die Wiederholfrequenz eines periodischen Signals immer mehr, das heißt, die Periodendauer wird immer länger, so kommt man vom periodischen Signal&nbsp; (<i>Puls</i>)&nbsp; zum einmaligen&nbsp; '''aperiodischen Signal'''&nbsp; &ndash; häufig auch als&nbsp; '''Impuls'''&nbsp; bezeichnet.
+Im zweiten Kapitel wurden periodische Signale durch verschiedene harmonische Schwingungen (&bdquo;Fourierreihe&rdquo;) beschrieben.&nbsp; Verringert man &ndash; zumindest gedanklich &ndash; die Wiederholfrequenz eines periodischen Signals immer mehr, das heißt, die Periodendauer wird immer länger, so kommt man vom periodischen Signal&nbsp; (Puls)&nbsp; zum einmaligen&nbsp; '''aperiodischen Signal'''&nbsp; &ndash; häufig auch als&nbsp; '''Impuls'''&nbsp; bezeichnet.
 Im Folgenden werden solche aperiodischen, impulsförmigen Signale betrachtet und im Zeit&ndash; und Frequenzbereich mathematisch beschrieben.
 Das Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
-* die Herleitung der beiden&nbsp; <i>Fourierintegrale</i>&nbsp; aus der Fourierreihe,
+* die Herleitung der beiden&nbsp; Fourierintegrale&nbsp; aus der Fourierreihe,
-* die Erweiterung des Fourierintegrals zur&nbsp; <i>Fouriertransformation</i>&nbsp; mittels Distributionen,
+* die Erweiterung des Fourierintegrals zur&nbsp; Fouriertransformation&nbsp; mittels Distributionen,
-* einige&nbsp; <i>Sonderfälle</i>&nbsp; impulsartiger Signale wie Rechteck&ndash;, Gauß&ndash; und Diracimpuls,
+* einige&nbsp; Sonderfälle&nbsp; impulsartiger Signale wie Rechteck&ndash;, Gauß&ndash; und Diracimpuls,
-* die&nbsp; <i>Gesetzmäßigkeiten</i>&nbsp; der Fouriertransformation, und schließlich
+* die&nbsp; Gesetzmäßigkeiten&nbsp; der Fouriertransformation, und schließlich
-* die Bedeutung der&nbsp; <i>Faltungsoperation</i>&nbsp; und deren vielfältige Anwendungen.
+* die Bedeutung der&nbsp; Faltungsoperation&nbsp; und deren vielfältige Anwendungen.
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 Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im
-*Kapitel 6:  ''Lineare zeitinvariante Systeme'', Programm lzi
+*Kapitel 6:&nbsp;  Lineare zeitinvariante Systeme, Programm lzi
-des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik&rdquo;. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
+des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik&rdquo;.&nbsp; Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
 *dem Lehrsoftwarepaket&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
 *der zugehörigen&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version;&nbsp; Kapitel 6:&nbsp; Seite 99-118.

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 ==Fouriertransformation==
 <br>
-Das Spektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ lautet gemäß dem „Ersten Fourierintegral”:
+Das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; lautet gemäß dem „Ersten Fourierintegral”:
 :$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int _{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$
-Wie auf der letzten Seite an einem einfachen Beispiel gezeigt wurde, ist dieses Integral bei einem energiebegrenzten Signal $x(t)$ problemlos lösbar. Bei nicht energiebegrenzten Signalen, zum Beispiel
+Wie auf der letzten Seite an einem einfachen Beispiel gezeigt wurde, ist dieses Integral bei einem energiebegrenzten Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; problemlos lösbar. Bei nicht energiebegrenzten Signalen, zum Beispiel
-*einem [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal]] ,
+*einem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal]] ,
-*einer [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingung]], oder
+*einer&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingung]], oder
 *einem anklingenden Signal,
-divergiert aber das Fourierintegral. Unter Einbeziehung einer beidseitig abfallenden Hilfsfunkion $\varepsilon (t)$ kann allerdings die Konvergenz erzwungen werden:
+divergiert aber das Fourierintegral. Unter Einbeziehung einer beidseitig abfallenden Hilfsfunkion&nbsp; $\varepsilon (t)$&nbsp; kann allerdings die Konvergenz erzwungen werden:
 :$$X(f) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int _{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \cdot {\rm e}^{\it -\varepsilon  | \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm} |} \cdot {\rm e}^{{-\rm j 2  \pi}\it  ft} \,{\rm d}t.$$
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Man bezeichnet den allgemein gültigen Funktionalzusammenhang $X(f) = F\big [x(t) \big ]$ als '''Fouriertransformation'''. Für die Kurzschreibweise verwenden wir (mit dem &bdquo;weißen&rdquo; Punkt für den Zeitbereich und dem ausgefüllten Punkt für den Spektralbereich):
+Man bezeichnet den allgemein gültigen Funktionalzusammenhang&nbsp; $X(f) = F\big [x(t) \big ]$&nbsp; als&nbsp; '''Fouriertransformation'''. Für die Kurzschreibweise verwenden wir (mit dem &bdquo;weißen&rdquo; Punkt für den Zeitbereich und dem ausgefüllten Punkt für den Spektralbereich):
 :$$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t).$$
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 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
 Wir betrachten eine akausale Sprungfunktion
-:$$x_\varepsilon  (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   { +1 } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t > 0,}  \\   {-1 } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t < 0.}  \\\end{array} } \right.$$
+:$$x  (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   { +1 } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t > 0,}  \\   {-1 } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t < 0.}  \\\end{array} } \right.$$
 Dieses Signal ist in der linken Skizze in blauer Farbe dargestellt.
-Da das Signal $x(t)$ nach beiden Seiten bis ins Unendliche reicht, muss zur Berechnung der Fouriertransformierten für beide Abschnitte zunächst ein geeigneter Konvergenzfaktor $\text{e}^{-\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert t \vert}$ hinzugefügt werden (es gelte $\varepsilon > 0$). Die resultierende Zeitfunktion lautet dann:
+Da das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; nach beiden Seiten bis ins Unendliche reicht, muss zur Berechnung der Fouriertransformierten für beide Abschnitte zunächst ein geeigneter Konvergenzfaktor&nbsp; $\text{e}^{-\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert}$&nbsp; hinzugefügt werden $($es gelte&nbsp; $\varepsilon > 0)$. Die resultierende Zeitfunktion lautet dann:
-:$$x_\varepsilon  (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   { {\rm{e} }^{ - \varepsilon t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t > 0,}  \\   { {\rm{ - e} }^{\varepsilon t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t < 0.}  \\\end{array} } \right.$$
+:$$x_\varepsilon  (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   { {\rm{e} }^{ - \varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t > 0,}  \\   { {\rm{ - e} }^{\hspace{0.05cm}\varepsilon\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}  t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t < 0.}  \\\end{array} } \right.$$
-Nach ähnlicher Vorgehensweise wie auf der Seite [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion im Frequenzbereich]] ergibt sich für die zugehörige Spektralfunktion:
+Nach ähnlicher Vorgehensweise wie auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion im Frequenzbereich]]&nbsp; ergibt sich für die zugehörige Spektralfunktion:
 :$$X_\varepsilon  (f) = \frac{1}{ {\varepsilon  + {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f} } - \frac{1}{ {\varepsilon  - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f} } = \frac{ { - {\rm{j4\pi } }f} }{ {\varepsilon ^2  + \left( {2{\rm{\pi } }f} \right)^2 } }.$$
-Eigentlich interessieren wir uns aber für das Spektrum der tatsächlichen Sprungfunktion. Für dieses gilt:
+Eigentlich interessieren wir uns aber für das Spektrum der tatsächlichen Sprungfunktion
 :$$x(t) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon  \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0 } x_\varepsilon  (t).$$
-Deshalb ist auch die Spektralfunktion $X(f) =\text{F}\big[x(t)\big]$ als Grenzwert von $X_\varepsilon(f)$ für $\varepsilon \to 0$ zu bestimmen:
+Deshalb ist auch die Spektralfunktion&nbsp; $X(f) =\text{F}\big[x(t)\big]$&nbsp; als Grenzwert von&nbsp; $X_\varepsilon(f)$&nbsp; für&nbsp; $\varepsilon \to 0$&nbsp; zu bestimmen:
 :$$X(f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm}0 } X_\varepsilon  (f) = \frac{ { - {\rm{j} } } }{ { {\rm{\pi } }f} } = \frac{1}{ { {\rm{j\pi } }f} }.$$
-In der rechten Grafik ist die imaginäre Spektralfunktion $X(f)$ als blaue Kurve dargestellt. Man erkennt, dass $\vert X(f) \vert$ mit steigender Frequenz kontinuierlich abnimmt.
+In der rechten Grafik ist die imaginäre Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; als blaue Kurve dargestellt. Man erkennt, dass&nbsp; $\vert X(f) \vert$&nbsp; mit steigender Frequenz kontinuierlich abnimmt.
-Der grüne Kurvenzug in der linken Grafik zeigt das Signal $y(t)$, das sich von $x(t)$ nur bei den negativen Zeiten unterscheidet.
+Der grüne Kurvenzug in der linken Grafik zeigt das Signal&nbsp; $y(t)$, das sich von&nbsp; $x(t)$&nbsp; nur bei den negativen Zeiten unterscheidet.
-*In diesem Bereich gilt $y(t) = 0$. Die zugehörige Spektralfunktion $Y(f)$ ist im gesamten Bereich nur halb so groß wie $X(f)$. Dies zeigt die nachfolgende Rechnung:
+*In diesem Bereich gilt&nbsp; $y(t) = 0$. Die zugehörige Spektralfunktion&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ist im gesamten Bereich nur halb so groß wie&nbsp; $X(f)$. Dies zeigt die nachfolgende Rechnung:
 :$$Y(f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon  \to 0 } Y_\varepsilon  (f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm}0 }\frac{1}{ {\varepsilon  + {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f} } = \frac{1}{ { {\rm{j2\pi } }f} }.$$
-*Zudem ergibt sich auf Grund des Gleichanteils nun noch eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $1/2$. Hierauf wird im Beispiel zum Abschnitt [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]] noch im Detail eingegangen.}}
+*Zudem ergibt sich auf Grund des Gleichanteils nun noch eine Diracfunktion bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $1/2$. Hierauf wird im Beispiel zum Abschnitt&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp; noch im Detail eingegangen.}}
 ==Das zweite Fourierintegral==
 <br>
-Bisher wurde lediglich gezeigt, wie man für ein aperiodisches, impulsförmiges Signal $x(t)$ die zugehörige Spektralfunktion $X(f)$ berechnet. Nun wenden wir uns der umgekehrten Aufgabenstellung zu, nämlich: &nbsp; Wie ermittelt man die Zeitfunktion $x(t)$ aus der Spektralfunktion $X(f)$?
+Bisher wurde lediglich gezeigt, wie man für ein aperiodisches, impulsförmiges Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; die zugehörige Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; berechnet. Nun wenden wir uns der umgekehrten Aufgabenstellung zu, nämlich: &nbsp; Wie ermittelt man die Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; aus der Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$?
 [[Datei:P_ID399__Sig_T_3_1_S7_rah.png|center|frame|Zum zweiten Fourierintegral]]
-Mit den gleichen Bezeichnungen wie auf den ersten Seiten dieses Kapitels kann man das Signal $x(t)$ als Fourierreihe schreiben, wobei nun der Grenzübergang ${f_0}' \to 0$ zu berücksichtigen ist:
+Mit den gleichen Bezeichnungen wie auf den ersten Seiten dieses Kapitels kann man das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; als Fourierreihe schreiben, wobei nun der Grenzübergang&nbsp; ${f_0}' \to 0$&nbsp; zu berücksichtigen ist:
 :$$x(t)=\lim_{{f_{\rm 0}}'  \hspace{0.05cm}\to  \hspace{0.05cm}0} \sum^{+\infty}_{\nu = -\infty}{D_{\it \nu}}' \cdot \rm e^{j\hspace{0.03cm} 2  \hspace{0.03cm}\pi  \hspace{0.03cm}\it\nu \hspace{0.03cm} {f_{\rm 0}}' t}.$$
-Erweitert man nun sowohl den Zähler als auch den Nenner um ${f_0}'$, so erhält man:
+Erweitert man nun sowohl den Zähler als auch den Nenner um&nbsp; ${f_0}'$, so erhält man:
 :$$x(t)=\lim_{{f_{\rm 0}}'  \hspace{0.05cm}\to  \hspace{0.05cm}0} \sum^{+\infty}_{\nu = -\infty}  ({{D_{\it \nu}}'}/{{f_{\rm 0}}'}) \cdot \rm e^{j \hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm} \pi  \hspace{0.03cm} \it \nu  \hspace{0.03cm}{f_{\rm 0}}' t} \cdot {\it f_{\rm 0}}'.$$
-Der Grenzübergang  ${f_0}' \to 0$ hat nun folgende Auswirkungen:
+Der Grenzübergang&nbsp;  ${f_0}' \to 0$&nbsp; hat folgende Auswirkungen:
-*Die (unendliche) Summe wird zu einem Integral, wobei  ${f_0}'$ formal durch die differenzielle Größe $\text{d}f$ (Integrationsvariable) zu ersetzen ist.
+*Die (unendliche) Summe wird zu einem Integral, wobei&nbsp;  ${f_0}'$&nbsp; formal durch die differenzielle Größe&nbsp; $\text{d}f$&nbsp; (Integrationsvariable) zu ersetzen ist.
-*Die Größe  $\nu \cdot{f_0}'$ im Exponenten beschreibt die physikalische Frequenz $f$.
+*Die Größe&nbsp;  $\nu \cdot{f_0}'$&nbsp; im Exponenten beschreibt die physikalische Frequenz&nbsp; $f$.
-*Der Quotient ${D_{\nu}}'/{f_0}'$ ergibt die Spektralfunktion $X(f)$ bei der Frequenz $f$.
+*Der Quotient&nbsp; ${D_{\nu}}'/{f_0}'$&nbsp; ergibt die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; bei der Frequenz&nbsp; $f$.
-Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften kommt man zum ''zweiten Fourierintegral''.
+Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften kommt man zum &bdquo;zweiten Fourierintegral&rdquo;.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Zweites Fourierintegral:}$&nbsp;
-Ist die Spektralfunktion $X(f)$ eines aperiodischen und energiebegrenzten Signals gegeben, so lautet die dazugehörige '''Zeitfunktion:
+Ist die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines aperiodischen und energiebegrenzten Signals gegeben, so lautet die dazugehörige '''Zeitfunktion''':
 :$$x(t) = \hspace{0.01cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} X(f) \, \cdot \, { \rm e}^{\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}f.$$}}

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 ==Das erste Fourierintegral==
 <br>
-Bezüglich den Spektralfunktion $X_{\rm P}(f)$ und $X(f)$ lassen sich somit folgende Aussagen machen:
+Bezüglich den Spektralfunktion&nbsp; $X_{\rm P}(f)$&nbsp; und&nbsp; $X(f)$&nbsp; lassen sich somit folgende Aussagen machen:
-*Die einzelnen Spektrallinien liegen nun beliebig eng beieinander (${f_0}'=1/{T_0}' \to 0$).
+*Die einzelnen Spektrallinien liegen nun beliebig eng beieinander&nbsp; $({f_0}'=1/{T_0}' \to 0)$.
-*In der Spektralfunktion $X(f)$ treten nun innerhalb bestimmter Intervalle alle möglichen (nicht nur diskrete) Frequenzen auf. Damit ist $X(f)$ kein Linienspektrum mehr.
+*In der Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; treten nun innerhalb bestimmter Intervalle alle möglichen (nicht nur diskrete) Frequenzen auf &nbsp; &rArr; &nbsp; $X(f)$&nbsp; ist kein Linienspektrum mehr.
-*Der Beitrag einer jeden einzelnen Frequenz $f$ zum Signal ist nur verschwindend gering ($k \to \infty, {D_{\nu}}' \to 0$). Aufgrund der unendlich vielen Frequenzen ergibt sich jedoch insgesamt ein endliches Resultat.
+*Der Beitrag einer jeden einzelnen Frequenz&nbsp; $f$&nbsp; zum Signal ist nur verschwindend gering&nbsp; $(k \to \infty, {D_{\nu}}' \to 0)$.
-*Anstatt die Fourierkoeffizienten ${D_{\nu}}'$ zu berechnen, wird nun eine spektrale Dichte $X(f)$ ermittelt. Bei der Frequenz $f=\nu\cdot {f_0}'$ gilt dann:
+*Aufgrund der unendlich vielen Frequenzen ergibt sich jedoch insgesamt ein endliches Resultat.
 : $$X(f = {\rm \nu} {f_{\rm 0}}') = \lim_{{f_{\rm 0}}' \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0} ({{D_{\rm \nu}}'}/{{f_{\rm 0}}'}) = \lim_{{T_{\rm 0}}' \to \infty} ({D_{\rm \nu}}' \cdot {T_{\rm 0}}').$$
-*Die Spektralfunktion $X(f)$ des aperiodischen Signals $x(t)$ ist im Spektrum $X_{\rm P}(f)$ des periodischen Signals $x_{\rm P}(t)$ als Einhüllende erkennbar (siehe Grafiken).
+*Die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; des aperiodischen Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist im Spektrum&nbsp; $X_{\rm P}(f)$&nbsp; des periodischen Signals&nbsp; $x_{\rm P}(t)$ als Einhüllende erkennbar&nbsp; (siehe Grafiken).
-*In der unteren Grafik auf der letzten Seite entspricht ${D_{\nu}}'$ der rot hinterlegten Fläche des Frequenzintervalls um $\nu \cdot {f_0}'$ mit der Breite ${f_0}'$.
+*In der unteren Grafik auf der letzten Seite entspricht&nbsp; ${D_{\nu}}'$&nbsp; der rot hinterlegten Fläche des Frequenzintervalls um&nbsp; $\nu \cdot {f_0}'$&nbsp; mit der Breite&nbsp; ${f_0}'$.
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 :$$X(f = {\rm \nu} \cdot {f_{\rm 0}}') = \lim_{{T_{\rm 0}'} \to \infty} \int ^{{T_{\rm 0}}'/2} _{-{T_{\rm 0}}'/2} x_{\rm P}(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi\nu \it {f_{\rm 0}}' t} \,{\rm d}t.$$
-Durch den gemeinsamen Grenzübergang (${T_0}' \to \infty, {f_0}' \to 0$) wird nun
+Durch den gemeinsamen Grenzübergang&nbsp; $({T_0}' \to \infty, \ {f_0}' \to 0)$&nbsp; wird nun
-*aus dem periodischen Signal $x_{\rm P}(t)$ das aperiodische Signal $x(t)$, und
+*aus dem periodischen Signal&nbsp; $x_{\rm P}(t)$&nbsp; das aperiodische Signal&nbsp; $x(t)$, und
-*aus der diskreten Frequenz $\nu \cdot {f_0}'$ die kontinuierliche Frequenzvariable $f$.
+*aus der diskreten Frequenz&nbsp; $\nu \cdot {f_0}'$&nbsp; die kontinuierliche Frequenzvariable&nbsp; $f$.
-Damit erhält man eine fundamentale Definition, welche die Berechnung der Spektralfunktion einer aperiodischen Zeitfunktion ermöglicht. Der Name dieser Spektraltransformation geht auf den französischen Physiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Jean-Baptiste-Joseph Fourier] zurück.
+Damit erhält man eine fundamentale Definition, welche die Berechnung der Spektralfunktion einer aperiodischen Zeitfunktion ermöglicht. Der Name dieser Spektraltransformation geht auf den französischen Physiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Jean-Baptiste-Joseph Fourier]&nbsp; zurück.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Erstes Fourierintegral:}$&nbsp;
-Die Spektralfunktion (oder kurz: das Spektrum) eines aperiodischen und gleichzeitig energiebegrenzten Signals $x(t)$ ist wie folgt zu berechnen:
+Die '''Spektralfunktion''' (oder kurz:&nbsp; das ''Spektrum''&nbsp;) eines aperiodischen und gleichzeitig energiebegrenzten Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist wie folgt zu berechnen:
 :$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$}}
-Das Lernvideo [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)|Kontinuierliche und diskrete Spektren]] soll die Aussagen der letzten Seiten nochmals verdeutlichen.
+Das Lernvideo&nbsp; [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)|Kontinuierliche und diskrete Spektren]]&nbsp; soll die Aussagen der letzten Seiten nochmals verdeutlichen.
-[[Datei:P_ID330__Sig_T_3_1_S5_neu.png|right|frame|Betrachteter Rechteckimpuls $x(t)$]]
+[[Datei:P_ID330__Sig_T_3_1_S5_neu.png|right|frame|Betrachteter Rechteckimpuls&nbsp; $x(t)$]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Gegeben ist der skizzierte Zeitverlauf $x(t)$. Gesucht ist das zugehörige Spektrum $X(f)$. Wir wenden dazu das erste Fourierintegral an.
+Gegeben ist der skizzierte Zeitverlauf&nbsp; $x(t)$. Gesucht ist das zugehörige Spektrum&nbsp; $X(f)$.
 *Aus obiger Darstellung ist zu erkennen, dass für $\vert t \vert > T/2$ das Signal $x(t) = 0$  ist.
-*Das bedeutet, dass das Integrationsintervall auf den Bereich $\pm T/2$ begrenzt werden kann.
+Wir wenden dazu das erste Fourierintegral an.
 *Damit erhält man den Ansatz:
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 :$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}X(f)=A\cdot \frac{\sin({\rm \pi} fT)}{ {\rm \pi} f}.$$
-*Erweitert man Zähler und Nenner mit $T$, so erhält man:
+*Erweitert man Zähler und Nenner mit&nbsp; $T$, so erhält man:
 :$$X(f)=A\cdot T \cdot\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} = A\cdot T \cdot{\rm si }(\pi fT) .$$
-Die Funktion $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ wird auf der Seite [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckimpuls]] eingehend analysiert. Man bezeichnet diese &bdquo;si–Funktion&rdquo; manchmal  auch als &bdquo;Spaltfunktion&rdquo;.}}
+Die Funktion&nbsp; $\text{si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; wird auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckimpuls]]&nbsp; eingehend analysiert. Man bezeichnet diese &bdquo;si–Funktion&rdquo; manchmal  auch als &bdquo;Spaltfunktion&rdquo;.}}
 Betrachten wir noch die Einheiten der beiden Funktionen im Zeit- und Frequenzbereich:
-*Ist $x(t)$ beispielsweise eine Spannung, so hat die Impulsamplitude $A$ die Einheit „Volt”.
+*Ist&nbsp; $x(t)$&nbsp; beispielsweise eine Spannung, so hat die Impulsamplitude&nbsp; $A$&nbsp; die Einheit „Volt”.
-*Die Dimension der Größe $T$ ist häufig die Zeit, zum Beispiel mit der Einheit „Sekunde”.
+*Die Dimension der Größe&nbsp; $T$&nbsp; ist häufig die Zeit, zum Beispiel mit der Einheit „Sekunde”.
 *Der Kehrwert der Zeit entspricht der Frequenz mit der Einheit „Hertz”.
-*Das Argument $f \cdot T$ ist dimensionslos.
+*Das Argument&nbsp; $f \cdot T$&nbsp; ist dimensionslos.
-*Die Spektralfunktion $X(f)$ hat somit beispielsweise die Einheit „V/Hz”.
+*Die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; hat somit beispielsweise die Einheit „V/Hz”.

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 *Der Linienabstand ist bei ${X_{\rm P}}'(f)$ um den Faktor $k$ geringer als beim Spektrum ${X_{\rm P}}(f)$.
 *Um diesen Sachverhalt hervorzuheben, bezeichnen wir die Frequenz&ndash;Laufvariable der Funktion ${X_{\rm P}}'(f)$ mit $\nu$ anstelle von $n$. Es gilt: &nbsp; $\nu=k \cdot n$.
-*Für die Spektrallinie des Signals ${X_{\rm P}}'(f)$ bei der Frequenz $f=n \cdot f_0 =\nu \cdot {f_0}'$ gilt:
+*Für die Spektrallinie des Signals ${X_{\rm P}}'(f)$ bei der Frequenz $f=n \cdot f_0 =\nu \cdot {f_0}'$ gilt: &nbsp; &nbsp; ${D_\nu}' = {1}/{k} \cdot D_n, \hspace{0.5cm} {\rm wobei} \hspace{0.5cm} \nu = k \cdot n.$
-:$${D_\nu}' = {1}/{k} \cdot D_n, \hspace{0.5cm} {\rm wobei} \hspace{0.5cm} \nu = k \cdot n .$$
 [[Datei:P_ID398__Sig_T_3_1_S3_rah.png|center|frame|Vom periodischen zum aperiodischen Signal]]