Signaldarstellung/Fouriertransformation und -rücktransformation - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Signal_Representation/The_Fourier_Transform_and_its_Inverse]]

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	des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Lehrsoftwarepaket  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und		*dem Lehrsoftwarepaket  [/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
	*der zugehörigen  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version;  Kapitel 6:  Seite 99-118.		*der zugehörigen  [/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version;  Kapitel 6:  Seite 99-118.

Guenter am 19. April 2021 um 16:24 Uhr

2021-04-19T16:24:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. April 2021, 18:24 Uhr
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	:$$x(t)=\lim_{{f_{\rm 0}}' \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0} \sum^{+\infty}_{\nu = -\infty}{D_{\it \nu}}' \cdot \rm e^{j\hspace{0.03cm} 2 \hspace{0.03cm}\pi \hspace{0.03cm}\it\nu \hspace{0.03cm} {f_{\rm 0}}' t}.$$		:$$x(t)=\lim_{{f_{\rm 0}}' \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0} \sum^{+\infty}_{\nu = -\infty}{D_{\it \nu}}' \cdot \rm e^{j\hspace{0.03cm} 2 \hspace{0.03cm}\pi \hspace{0.03cm}\it\nu \hspace{0.03cm} {f_{\rm 0}}' t}.$$

	Erweitert man nun ~~sowohl~~ den Zähler ~~als auch~~ den Nenner um  ${f_0}'$, so erhält man:		Erweitert man nun den Zähler und den Nenner um  ${f_0}'$,  so erhält man:

	:$$x(t)=\lim_{{f_{\rm 0}}' \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0} \sum^{+\infty}_{\nu = -\infty} ({{D_{\it \nu}}'}/{{f_{\rm 0}}'}) \cdot \rm e^{j \hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm} \it \nu \hspace{0.03cm}{f_{\rm 0}}' t} \cdot {\it f_{\rm 0}}'.$$		:$$x(t)=\lim_{{f_{\rm 0}}' \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0} \sum^{+\infty}_{\nu = -\infty} ({{D_{\it \nu}}'}/{{f_{\rm 0}}'}) \cdot \rm e^{j \hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm} \it \nu \hspace{0.03cm}{f_{\rm 0}}' t} \cdot {\it f_{\rm 0}}'.$$

	Der Grenzübergang  ${f_0}' \to 0$  hat folgende Auswirkungen:		Der Grenzübergang  ${f_0}' \to 0$  hat folgende Auswirkungen:
	*Die (unendliche) Summe wird ~~zu einem~~ Integral, wobei  ${f_0}'$  formal durch die differenzielle Größe  $\text{d}f$  (Integrationsvariable) zu ersetzen ist.		*Die (unendliche) Summe wird zum Integral, wobei  ${f_0}'$  formal durch die differenzielle Größe  $\text{d}f$  (Integrationsvariable) zu ersetzen ist.
	*Die Größe  $\nu \cdot{f_0}'$  im Exponenten beschreibt die physikalische Frequenz  $f$.		*Die Größe  $\nu \cdot{f_0}'$  im Exponenten beschreibt die physikalische Frequenz  $f$.
	*Der Quotient  ${D_{\nu}}'/{f_0}'$  ergibt die Spektralfunktion  $X(f)$  bei der Frequenz  $f$.		*Der Quotient  ${D_{\nu}}'/{f_0}'$  ergibt die Spektralfunktion  $X(f)$  bei der Frequenz  $f$.
Zeile 275:		Zeile 275:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Zweites Fourierintegral:}$		$\text{Zweites Fourierintegral:}$
	Ist die Spektralfunktion  $X(f)$  eines aperiodischen und energiebegrenzten Signals gegeben, so lautet die dazugehörige ~~'''~~Zeitfunktion~~'''~~:		Ist die Spektralfunktion  $X(f)$  eines aperiodischen und energiebegrenzten Signals gegeben, so lautet die dazugehörige  $\text{Zeitfunktion}$:

	:$$x(t) = \hspace{0.01cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} X(f) \, \cdot \, { \rm e}^{\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}f.$$}}		:$$x(t) = \hspace{0.01cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} X(f) \, \cdot \, { \rm e}^{\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}f.$$}}

Guenter am 19. April 2021 um 15:41 Uhr

2021-04-19T15:41:56Z

Guenter am 19. April 2021 um 12:20 Uhr

2021-04-19T12:20:56Z

Guenter am 19. April 2021 um 11:45 Uhr

2021-04-19T11:45:13Z

Guenter am 25. September 2019 um 09:50 Uhr

2019-09-25T09:50:53Z

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Guenter am 25. September 2019 um 09:26 Uhr

2019-09-25T09:26:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2019, 11:26 Uhr
Zeile 125:		Zeile 125:
	==Das erste Fourierintegral==		==Das erste Fourierintegral==
	<br>		<br>
	Bezüglich den Spektralfunktion $X_{\rm P}(f)$ und $X(f)$ lassen sich somit folgende Aussagen machen:		Bezüglich den Spektralfunktion  $X_{\rm P}(f)$  und  $X(f)$  lassen sich somit folgende Aussagen machen:
	*Die einzelnen Spektrallinien liegen nun beliebig eng beieinander (${f_0}'=1/{T_0}' \to 0$).		*Die einzelnen Spektrallinien liegen nun beliebig eng beieinander  $({f_0}'=1/{T_0}' \to 0)$.
	*In der Spektralfunktion $X(f)$ treten nun innerhalb bestimmter Intervalle alle möglichen (nicht nur diskrete) Frequenzen auf~~. Damit ist~~ $X(f)$ kein Linienspektrum mehr.		*In der Spektralfunktion  $X(f)$  treten nun innerhalb bestimmter Intervalle alle möglichen (nicht nur diskrete) Frequenzen auf   ⇒   $X(f)$  ist kein Linienspektrum mehr.
	*Der Beitrag einer jeden einzelnen Frequenz $f$ zum Signal ist nur verschwindend gering ($k \to \infty, {D_{\nu}}' \to 0$). Aufgrund der unendlich vielen Frequenzen ergibt sich jedoch insgesamt ein endliches Resultat.		*Der Beitrag einer jeden einzelnen Frequenz  $f$  zum Signal ist nur verschwindend gering  $(k \to \infty, {D_{\nu}}' \to 0)$.
	*Anstatt die Fourierkoeffizienten ${D_{\nu}}'$ zu berechnen, wird nun eine spektrale Dichte $X(f)$ ermittelt. Bei der Frequenz $f=\nu\cdot {f_0}'$ gilt dann:		*Aufgrund der unendlich vielen Frequenzen ergibt sich jedoch insgesamt ein endliches Resultat.
			*Anstatt die Fourierkoeffizienten  ${D_{\nu}}'$  zu berechnen, wird nun eine spektrale Dichte  $X(f)$  ermittelt. Bei der Frequenz  $f=\nu\cdot {f_0}'$  gilt dann:

	: $$X(f = {\rm \nu} {f_{\rm 0}}') = \lim_{{f_{\rm 0}}' \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0} ({{D_{\rm \nu}}'}/{{f_{\rm 0}}'}) = \lim_{{T_{\rm 0}}' \to \infty} ({D_{\rm \nu}}' \cdot {T_{\rm 0}}').$$		: $$X(f = {\rm \nu} {f_{\rm 0}}') = \lim_{{f_{\rm 0}}' \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0} ({{D_{\rm \nu}}'}/{{f_{\rm 0}}'}) = \lim_{{T_{\rm 0}}' \to \infty} ({D_{\rm \nu}}' \cdot {T_{\rm 0}}').$$
	*Die Spektralfunktion $X(f)$ des aperiodischen Signals $x(t)$ ist im Spektrum $X_{\rm P}(f)$ des periodischen Signals $x_{\rm P}(t)$ als Einhüllende erkennbar (siehe Grafiken).		*Die Spektralfunktion  $X(f)$  des aperiodischen Signals  $x(t)$  ist im Spektrum  $X_{\rm P}(f)$  des periodischen Signals  $x_{\rm P}(t)$ als Einhüllende erkennbar  (siehe Grafiken).
	*In der unteren Grafik auf der letzten Seite entspricht ${D_{\nu}}'$ der rot hinterlegten Fläche des Frequenzintervalls um $\nu \cdot {f_0}'$ mit der Breite ${f_0}'$.		*In der unteren Grafik auf der letzten Seite entspricht  ${D_{\nu}}'$  der rot hinterlegten Fläche des Frequenzintervalls um  $\nu \cdot {f_0}'$  mit der Breite  ${f_0}'$.


Zeile 140:		Zeile 141:
	:$$X(f = {\rm \nu} \cdot {f_{\rm 0}}') = \lim_{{T_{\rm 0}'} \to \infty} \int ^{{T_{\rm 0}}'/2} _{-{T_{\rm 0}}'/2} x_{\rm P}(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi\nu \it {f_{\rm 0}}' t} \,{\rm d}t.$$		:$$X(f = {\rm \nu} \cdot {f_{\rm 0}}') = \lim_{{T_{\rm 0}'} \to \infty} \int ^{{T_{\rm 0}}'/2} _{-{T_{\rm 0}}'/2} x_{\rm P}(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi\nu \it {f_{\rm 0}}' t} \,{\rm d}t.$$

	Durch den gemeinsamen Grenzübergang (${T_0}' \to \infty, {f_0}' \to 0$) wird nun		Durch den gemeinsamen Grenzübergang  $({T_0}' \to \infty, \ {f_0}' \to 0)$  wird nun
	*aus dem periodischen Signal $x_{\rm P}(t)$ das aperiodische Signal $x(t)$, und		*aus dem periodischen Signal  $x_{\rm P}(t)$  das aperiodische Signal  $x(t)$, und
	*aus der diskreten Frequenz $\nu \cdot {f_0}'$ die kontinuierliche Frequenzvariable $f$.		*aus der diskreten Frequenz  $\nu \cdot {f_0}'$  die kontinuierliche Frequenzvariable  $f$.


	Damit erhält man eine fundamentale Definition, welche die Berechnung der Spektralfunktion einer aperiodischen Zeitfunktion ermöglicht. Der Name dieser Spektraltransformation geht auf den französischen Physiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Jean-Baptiste-Joseph Fourier] zurück.		Damit erhält man eine fundamentale Definition, welche die Berechnung der Spektralfunktion einer aperiodischen Zeitfunktion ermöglicht. Der Name dieser Spektraltransformation geht auf den französischen Physiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Jean-Baptiste-Joseph Fourier]  zurück.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Erstes Fourierintegral:}$		$\text{Erstes Fourierintegral:}$

	Die Spektralfunktion (oder kurz: das Spektrum) eines aperiodischen und gleichzeitig energiebegrenzten Signals $x(t)$ ist wie folgt zu berechnen:		Die '''Spektralfunktion''' (oder kurz:  das ''Spektrum'' ) eines aperiodischen und gleichzeitig energiebegrenzten Signals  $x(t)$  ist wie folgt zu berechnen:

	:$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$}}		:$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$}}


	Das Lernvideo [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)\|Kontinuierliche und diskrete Spektren]] soll die Aussagen der letzten Seiten nochmals verdeutlichen.		Das Lernvideo  [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)\|Kontinuierliche und diskrete Spektren]]  soll die Aussagen der letzten Seiten nochmals verdeutlichen.

	[[Datei:P_ID330__Sig_T_3_1_S5_neu.png\|right\|frame\|Betrachteter Rechteckimpuls $x(t)$]]		[[Datei:P_ID330__Sig_T_3_1_S5_neu.png\|right\|frame\|Betrachteter Rechteckimpuls  $x(t)$]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Gegeben ist der skizzierte Zeitverlauf $x(t)$. Gesucht ist das zugehörige Spektrum $X(f)$. Wir wenden dazu das erste Fourierintegral an.		Gegeben ist der skizzierte Zeitverlauf  $x(t)$. Gesucht ist das zugehörige Spektrum  $X(f)$.
	*Aus obiger Darstellung ist zu erkennen, dass für $\vert t \vert > T/2$ das Signal $x(t) = 0$ ist.
	*Das bedeutet, dass das Integrationsintervall auf den Bereich $\pm T/2$ begrenzt werden kann.		Wir wenden dazu das erste Fourierintegral an.
			*Aus obiger Darstellung ist zu erkennen, dass für  $\vert t \vert > T/2$  das Signal  $x(t) = 0$  ist.
			*Das bedeutet, dass das Integrationsintervall auf den Bereich  $\pm T/2$  begrenzt werden kann.
	*Damit erhält man den Ansatz:		*Damit erhält man den Ansatz:

Zeile 169:		Zeile 172:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}X(f)=A\cdot \frac{\sin({\rm \pi} fT)}{ {\rm \pi} f}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}X(f)=A\cdot \frac{\sin({\rm \pi} fT)}{ {\rm \pi} f}.$$

	*Erweitert man Zähler und Nenner mit $T$, so erhält man:		*Erweitert man Zähler und Nenner mit  $T$, so erhält man:

	:$$X(f)=A\cdot T \cdot\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} = A\cdot T \cdot{\rm si }(\pi fT) .$$		:$$X(f)=A\cdot T \cdot\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} = A\cdot T \cdot{\rm si }(\pi fT) .$$

	Die Funktion $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ wird auf der Seite [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls\|Rechteckimpuls]] eingehend analysiert. Man bezeichnet diese &bdquo;si–Funktion” manchmal auch als &bdquo;Spaltfunktion”.}}		Die Funktion  $\text{si}(x) = \sin(x)/x$  wird auf der Seite  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls\|Rechteckimpuls]]  eingehend analysiert. Man bezeichnet diese &bdquo;si–Funktion” manchmal auch als &bdquo;Spaltfunktion”.}}


	Betrachten wir noch die Einheiten der beiden Funktionen im Zeit- und Frequenzbereich:		Betrachten wir noch die Einheiten der beiden Funktionen im Zeit- und Frequenzbereich:
	*Ist $x(t)$ beispielsweise eine Spannung, so hat die Impulsamplitude $A$ die Einheit „Volt”.		*Ist  $x(t)$  beispielsweise eine Spannung, so hat die Impulsamplitude  $A$  die Einheit „Volt”.
	*Die Dimension der Größe $T$ ist häufig die Zeit, zum Beispiel mit der Einheit „Sekunde”.		*Die Dimension der Größe  $T$  ist häufig die Zeit, zum Beispiel mit der Einheit „Sekunde”.
	*Der Kehrwert der Zeit entspricht der Frequenz mit der Einheit „Hertz”.		*Der Kehrwert der Zeit entspricht der Frequenz mit der Einheit „Hertz”.
	*Das Argument $f \cdot T$ ist dimensionslos.		*Das Argument  $f \cdot T$  ist dimensionslos.
	*Die Spektralfunktion $X(f)$ hat somit beispielsweise die Einheit „V/Hz”.		*Die Spektralfunktion  $X(f)$  hat somit beispielsweise die Einheit „V/Hz”.

Guenter am 5. September 2019 um 15:25 Uhr

2019-09-05T15:25:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2019, 17:25 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	:$$X_{\rm P}(f)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_n\cdot\delta(f-n\cdot f_0).$$		:$$X_{\rm P}(f)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_n\cdot\delta(f-n\cdot f_0).$$

	Die obere Grafik zeigt links das periodische Zeitsignal  $x_{\rm P}(t)$  und rechts das zugehörige Betragsspektrum  $\|X_{\rm P}(f)\|$.		Die obere Grafik zeigt links das periodische Zeitsignal  $x_{\rm P}(t)$  und rechts das zugehörige Betragsspektrum  $\|X_{\rm P}(f)\|$. Es handelt sich hierbei lediglich um eine schematische Skizze:
			<br clear=all>
	''~~Anmerkung~~:''   ~~Es handelt sich hierbei lediglich um eine schematische Skizze:~~		''Weitere Anmerkungen:''
	*Ist  $x_{\rm P}(t)$  eine reelle und gerade Funktion, so ist  $X_{\rm P}(f)$  ebenfalls reell und gerade.		*Ist  $x_{\rm P}(t)$  eine reelle und gerade Funktion, so ist  $X_{\rm P}(f)$  ebenfalls reell und gerade.
	*Die Gleichung  $X_{\rm P}(f) = \|X_{\rm P}(f)\|$  gilt allerdings nur dann, wenn alle Spektrallinien zudem auch positiv sind.		*Die Gleichung  $X_{\rm P}(f) = \|X_{\rm P}(f)\|$  gilt allerdings nur dann, wenn alle Spektrallinien zudem auch positiv sind.
Zeile 110:		Zeile 110:
	==Vom periodischen zum aperiodischen Signal==		==Vom periodischen zum aperiodischen Signal==
	<br>		<br>
	Wir greifen nun die Überlegungen der vorherigen Seite auf und wählen die Periodendauer ${T_0}'$ von ${x_{\rm P}}'(t)$ allgemein um einen ganzzahligen Faktor $k$ größer als die Periodendauer $T_0$ von ${x_{\rm P}}(t)$. Dann können die bisherigen Aussagen verallgemeinert werden:		Wir greifen nun die Überlegungen der vorherigen Seite auf und wählen die Periodendauer  ${T_0}'$  von  ${x_{\rm P}}'(t)$  allgemein um einen ganzzahligen Faktor  $k$  größer als die Periodendauer  $T_0$  von  ${x_{\rm P}}(t)$. Dann können die bisherigen Aussagen verallgemeinert werden:
	*Der Linienabstand ist bei ${X_{\rm P}}'(f)$ um den Faktor $k$ geringer als beim Spektrum ${X_{\rm P}}(f)$.
	*Um diesen Sachverhalt hervorzuheben, bezeichnen wir die Frequenz–Laufvariable der Funktion ${X_{\rm P}}'(f)$ mit $\nu$ anstelle von $n$. Es gilt:   $\nu=k \cdot n$.
	*Für die Spektrallinie des Signals ${X_{\rm P}}'(f)$ bei der Frequenz $f=n \cdot f_0 =\nu \cdot {f_0}'$ gilt:     ${D_\nu}' = {1}/{k} \cdot D_n, \hspace{0.5cm} {\rm wobei} \hspace{0.5cm} \nu = k \cdot n.$

			[[Datei:P_ID398__Sig_T_3_1_S3_rah.png\|right\|frame\|Vom periodischen zum aperiodischen Signal]]
			*Der Linienabstand ist bei  ${X_{\rm P}}'(f)$  um den Faktor  $k$  geringer als beim Spektrum  ${X_{\rm P}}(f)$.
			*Um diesen Sachverhalt hervorzuheben, bezeichnen wir die Frequenz–Laufvariable der Funktion  ${X_{\rm P}}'(f)$  mit  $\nu$  anstelle von  $n$. Es gilt:   $\nu=k \cdot n$.
			*Für die Spektrallinie des Signals  ${x_{\rm P}}'(t)$  bei der Frequenz  $f=n \cdot f_0 =\nu \cdot {f_0}'$  gilt:
			:$${D_\nu}' = {1}/{k} \cdot D_n, \hspace{0.5cm} {\rm wobei} \hspace{0.5cm} \nu = k \cdot n.$$

	~~[[Datei:P_ID398__Sig_T_3_1_S3_rah.png\|center\|frame\|Vom periodischen zum aperiodischen Signal]]~~

	~~Wählt man nun – wie im Bild schematisch dargestellt – den Faktor $k$ und damit die Periodendauer ${T_0}'$ immer größer und lässt sie schließlich nach unendlich gehen, so~~
	*geht das periodische Signal ${x_{\rm P}}(t)$ in das aperiodische Signal $x(t)$ über,
	*kann man das Linienspektrum ${X_{\rm P}}(f)$ durch das kontinuierliche Spektrum $X(f)$ ersetzen.

			Wählt man nun – wie im Bild schematisch dargestellt – den Faktor  $k$  und damit die Periodendauer  ${T_0}'$  immer größer und lässt sie schließlich nach unendlich gehen, so
			*geht das periodische Signal  ${x_{\rm P}}(t)$  in das aperiodische Signal  $x(t)$  über,
			*kann man das Linienspektrum  ${X_{\rm P}}(f)$  durch das kontinuierliche Spektrum  $X(f)$  ersetzen.
			<br clear=all>
	==Das erste Fourierintegral==		==Das erste Fourierintegral==
	<br>		<br>

Guenter am 4. September 2019 um 16:40 Uhr

2019-09-04T16:40:18Z

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← Nächstältere Version		Version vom 19. April 2021, 17:41 Uhr
Zeile 149:		Zeile 149:


	Damit erhält man eine fundamentale Definition, welche die Berechnung der Spektralfunktion einer aperiodischen Zeitfunktion ermöglicht. Der Name dieser Spektraltransformation geht auf den französischen Physiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Jean-Baptiste-Joseph Fourier]  zurück.		Damit erhält man eine fundamentale Definition, welche die Berechnung der Spektralfunktion einer aperiodischen Zeitfunktion ermöglicht.  Der Name dieser Spektraltransformation geht auf den französischen Physiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Jean-Baptiste-Joseph Fourier]  zurück.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Erstes Fourierintegral:}$		$\text{Erstes Fourierintegral:}$

	Die ~~'''~~Spektralfunktion~~'''~~ (oder kurz:  das ''Spektrum'' ) eines aperiodischen und gleichzeitig energiebegrenzten Signals  $x(t)$  ist wie folgt zu berechnen:		Die  $\text{Spektralfunktion}$  (oder kurz:  das  $\text{Spektrum})$  eines aperiodischen und gleichzeitig energiebegrenzten Signals  $x(t)$  ist wie folgt zu berechnen:

	:$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$}}		:$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{ {+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$}}
Zeile 164:		Zeile 164:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Gegeben ist der skizzierte Zeitverlauf  $x(t)$. Gesucht ist das zugehörige Spektrum  $X(f)$.		Gegeben ist der skizzierte Zeitverlauf  $x(t)$.  Gesucht ist das zugehörige Spektrum  $X(f)$.

	Wir wenden dazu das erste Fourierintegral an.		Wir wenden dazu das erste Fourierintegral an.
Zeile 177:		Zeile 177:
	*Erweitert man Zähler und Nenner mit  $T$, so erhält man:		*Erweitert man Zähler und Nenner mit  $T$, so erhält man:

	:$$X(f)=A\cdot T \cdot\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} = A\cdot T \cdot{\rm si }(\pi fT) .$$		:$$X(f)=A\cdot T \cdot\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} = A\cdot T \cdot{\rm si }(\pi fT).$$

	Die Funktion  $\text{si}(x) = \sin(x)/x$  wird auf der Seite  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls\|Rechteckimpuls]]  eingehend analysiert. Man bezeichnet diese &bdquo;si–Funktion” manchmal auch als &bdquo;Spaltfunktion”.}}		Die Funktion  $\text{si}(x) = \sin(x)/x$  wird auf der Seite  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls\|Rechteckimpuls]]  eingehend analysiert. Man bezeichnet diese &bdquo;si–Funktion” manchmal auch als &bdquo;Spaltfunktion”.}}
Zeile 196:		Zeile 196:
	:$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int _{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$		:$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int _{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$

	Wie auf der letzten Seite an einem einfachen Beispiel gezeigt wurde, ist dieses Integral bei einem energiebegrenzten Signal  $x(t)$  problemlos lösbar. Bei nicht energiebegrenzten Signalen, zum Beispiel		Wie auf der letzten Seite an einem einfachen Beispiel gezeigt wurde, ist dieses Integral bei einem energiebegrenzten Signal  $x(t)$  problemlos lösbar.  Bei nicht energiebegrenzten Signalen, zum Beispiel
	*einem  [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals\|Gleichsignal]] ,		*einem  [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals\|Gleichsignal]] ,
	*einer  [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|harmonischen Schwingung]], oder		*einer  [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|harmonischen Schwingung]], oder
Zeile 202:		Zeile 202:


	divergiert aber das Fourierintegral. Unter Einbeziehung einer beidseitig abfallenden Hilfsfunkion  $\varepsilon (t)$  kann allerdings die Konvergenz erzwungen werden:		divergiert aber das Fourierintegral.  Unter Einbeziehung einer beidseitig abfallenden Hilfsfunkion  $\varepsilon (t)$  kann allerdings die Konvergenz erzwungen werden:

	:$$X(f) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int _{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \cdot {\rm e}^{\it -\varepsilon \| \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm} \|} \cdot {\rm e}^{{-\rm j 2 \pi}\it ft} \,{\rm d}t.$$		:$$X(f) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int _{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \cdot {\rm e}^{\it -\varepsilon \| \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm} \|} \cdot {\rm e}^{{-\rm j 2 \pi}\it ft} \,{\rm d}t.$$

	Solche nicht energiebegrenzten Signale führen im Spektrum zu so genannten &bdquo;Diracfunktionen”, manchmal auch „Distributionen” genannt.		Solche nicht energiebegrenzten Signale führen im Spektrum zu so genannten  &bdquo;Diracfunktionen”, manchmal auch  „Distributionen”  genannt.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Man bezeichnet den allgemein gültigen Funktionalzusammenhang  $X(f) = F\big [x(t) \big ]$  als  ~~'''~~Fouriertransformation~~'''~~. Für die Kurzschreibweise verwenden wir (mit dem &bdquo;weißen” Punkt für den Zeitbereich und dem ausgefüllten Punkt für den Spektralbereich):		Man bezeichnet den allgemein gültigen Funktionalzusammenhang  $X(f) = F\big [x(t) \big ]$  als  $\text{Fouriertransformation}$.  Für die Kurzschreibweise verwenden wir (mit dem &bdquo;weißen” Punkt für den Zeitbereich und dem ausgefüllten Punkt für den Spektralbereich):

	:$$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t).$$		:$$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t).$$
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	Dieses Signal ist in der linken Skizze in blauer Farbe dargestellt.		Dieses Signal ist in der linken Skizze in blauer Farbe dargestellt.

	Da das Signal  $x(t)$  nach beiden Seiten bis ins Unendliche reicht, muss zur Berechnung der Fouriertransformierten für beide Abschnitte zunächst ein geeigneter Konvergenzfaktor  $\text{e}^{-\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert}$  hinzugefügt werden $($es gelte  $\varepsilon > 0)$. Die resultierende Zeitfunktion lautet dann:		Da das Signal  $x(t)$  nach beiden Seiten bis ins Unendliche reicht, muss zur Berechnung der Fouriertransformierten für beide Abschnitte zunächst ein geeigneter Konvergenzfaktor  $\text{e}^{-\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert}$  hinzugefügt werden $($es gelte  $\varepsilon > 0)$.  Die resultierende Zeitfunktion lautet dann:

	:$$x_\varepsilon (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { {\rm{e} }^{ - \varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t > 0,} \\ { {\rm{ - e} }^{\hspace{0.05cm}\varepsilon\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t < 0.} \\\end{array} } \right.$$		:$$x_\varepsilon (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { {\rm{e} }^{ - \varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t > 0,} \\ { {\rm{ - e} }^{\hspace{0.05cm}\varepsilon\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t} } & { {\rm{f\ddot{u}r} }\quad t < 0.} \\\end{array} } \right.$$
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	:$$X(f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm}0 } X_\varepsilon (f) = \frac{ { - {\rm{j} } } }{ { {\rm{\pi } }f} } = \frac{1}{ { {\rm{j\pi } }f} }.$$		:$$X(f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm}0 } X_\varepsilon (f) = \frac{ { - {\rm{j} } } }{ { {\rm{\pi } }f} } = \frac{1}{ { {\rm{j\pi } }f} }.$$

	In der rechten Grafik ist die imaginäre Spektralfunktion  $X(f)$  als blaue Kurve dargestellt. Man erkennt, dass  $\vert X(f) \vert$  mit steigender Frequenz kontinuierlich abnimmt.		In der rechten Grafik ist die imaginäre Spektralfunktion  $X(f)$  als blaue Kurve dargestellt.  Man erkennt, dass  $\vert X(f) \vert$  mit steigender Frequenz kontinuierlich abnimmt.

	Der grüne Kurvenzug in der linken Grafik zeigt das Signal  $y(t)$, das sich von  $x(t)$  nur bei den negativen Zeiten unterscheidet.		Der grüne Kurvenzug in der linken Grafik zeigt das Signal  $y(t)$, das sich von  $x(t)$  nur bei den negativen Zeiten unterscheidet.

	*In diesem Bereich gilt  $y(t) = 0$. Die zugehörige Spektralfunktion  $Y(f)$  ist im gesamten Bereich nur halb so groß wie  $X(f)$. Dies zeigt die ~~nachfolgende~~ Rechnung:		*In diesem Bereich gilt  $y(t) = 0$.  Die zugehörige Spektralfunktion  $Y(f)$  ist im gesamten Bereich nur halb so groß wie  $X(f)$.  Dies zeigt die folgende Rechnung:

	:$$Y(f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0 } Y_\varepsilon (f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm}0 }\frac{1}{ {\varepsilon + {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f} } = \frac{1}{ { {\rm{j2\pi } }f} }.$$		:$$Y(f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0 } Y_\varepsilon (f) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm}0 }\frac{1}{ {\varepsilon + {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f} } = \frac{1}{ { {\rm{j2\pi } }f} }.$$

	*Zudem ergibt sich auf Grund des Gleichanteils nun noch eine Diracfunktion bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $1/2$. Hierauf wird im Beispiel zum Abschnitt  [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  noch im Detail eingegangen.}}		*Zudem ergibt sich auf Grund des Gleichanteils nun noch eine Diracfunktion bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $1/2$.  Hierauf wird im Beispiel zum Abschnitt  [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  noch im Detail eingegangen.}}


	==Das zweite Fourierintegral==		==Das zweite Fourierintegral==
	<br>		<br>
	Bisher wurde lediglich gezeigt, wie man für ein aperiodisches, impulsförmiges Signal  $x(t)$  die zugehörige Spektralfunktion  $X(f)$  berechnet. Nun wenden wir uns der umgekehrten Aufgabenstellung zu, nämlich:   Wie ermittelt man die Zeitfunktion  $x(t)$  aus der Spektralfunktion  $X(f)$?		Bisher wurde lediglich gezeigt, wie man für ein aperiodisches, impulsförmiges Signal  $x(t)$  die zugehörige Spektralfunktion  $X(f)$  berechnet.  Nun wenden wir uns der umgekehrten Aufgabenstellung zu, nämlich:   Wie ermittelt man die Zeitfunktion  $x(t)$  aus der Spektralfunktion  $X(f)$?

	[[Datei:P_ID399__Sig_T_3_1_S7_rah.png\|~~center~~\|frame\|Zum zweiten Fourierintegral]]		[[Datei:P_ID399__Sig_T_3_1_S7_rah.png\|right\|frame\|Zum zweiten Fourierintegral]]

	Mit den gleichen Bezeichnungen wie auf den ersten Seiten dieses Kapitels kann man das Signal  $x(t)$  als Fourierreihe schreiben, wobei nun der Grenzübergang  ${f_0}' \to 0$  zu berücksichtigen ist:		Mit den gleichen Bezeichnungen wie auf den ersten Seiten dieses Kapitels kann man das Signal  $x(t)$  als Fourierreihe schreiben, wobei nun der Grenzübergang  ${f_0}' \to 0$  zu berücksichtigen ist:

← Nächstältere Version		Version vom 19. April 2021, 14:20 Uhr
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	==Eigenschaften aperiodischer Signale==		==Eigenschaften aperiodischer Signale==
	<br>		<br>
	Im letzten Kapitel wurden  ''periodische Signale''  betrachtet. Das wesentliche Charakteristikum dieser Signale ist, dass man für sie eine  ''Periodendauer''  $T_0$  angeben kann. Ist eine solche Periodendauer nicht angebbar oder – was in der Praxis das gleiche ist – hat  $T_0$  einen unendlich großen Wert, so spricht man von einem  ~~'''~~aperiodischen Signal~~'''~~.		Im letzten Kapitel wurden  periodische Signale  betrachtet.  Das wesentliche Charakteristikum dieser Signale ist, dass man für sie eine  Periodendauer  $T_0$  angeben kann.  Ist eine solche Periodendauer nicht angebbar oder – was in der Praxis das gleiche ist – hat  $T_0$  einen unendlich großen Wert, so spricht man von einem  $\text{aperiodischen Signal}$.

	Für das vorliegende Kapitel &bdquo;Aperiodische Signale – Impulse” sollen folgende Voraussetzungen gelten:		Für das vorliegende Kapitel &bdquo;Aperiodische Signale – Impulse” sollen folgende Voraussetzungen gelten:
	*Die ~~betrachteten~~ Signale  $x(t)$  sind  ''aperiodisch''  und  ''energiebegrenzt'':   Sie besitzen eine endliche Energie  $E_x$  und eine vernachlässigbar kleine (mittlere) Leistung  $P_x$.		*Die Signale  $x(t)$  sind  '''aperiodisch'''  und  '''energiebegrenzt''':   Sie besitzen eine endliche Energie  $E_x$  und eine vernachlässigbar kleine (mittlere) Leistung  $P_x$.
	*Oft konzentriert sich die Energie dieser Signale auf einen relativ kurzen Zeitbereich, so dass man auch von  ''impulsförmigen Signalen''  spricht.		*Oft konzentriert sich die Energie dieser Signale auf einen relativ kurzen Zeitbereich, so dass man auch von  '''impulsförmigen Signalen'''  spricht.


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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Die Grafik zeigt oben einen Rechteckimpuls  $x_1(t)$  mit Amplitude  $A$  und Dauer  $T$  als Beispiel eines aperiodischen und zeitlich begrenzten Signals. Dieser Impuls besitzt		Die Grafik zeigt oben einen Rechteckimpuls  $x_1(t)$  mit Amplitude  $A$  und Dauer  $T$  als Beispiel eines aperiodischen und zeitlich begrenzten Signals.  Dieser Impuls besitzt
	*die endliche Signalenergie   ⇒   hier:   $E_1=A^2 \cdot T$, und		*die endliche Signalenergie   ⇒   hier:   $E_1=A^2 \cdot T$,  und
	*die Leistung  $P_1$ = 0.		*die Leistung  $P_1$ = 0.


	Ein leistungsbegrenztes Signal, zum Beispiel das unten dargestellte Cosinussignal  $x_2(t)$, besitzt dagegen		Ein leistungsbegrenztes Signal, zum Beispiel das unten dargestellte Cosinussignal  $x_2(t)$, besitzt dagegen
	*stets eine endliche Leistung   ⇒   hier:   $P_2=A^2/2$, und		*stets eine endliche Leistung   ⇒   hier:   $P_2=A^2/2$,  und
	*damit auch eine unendlich große Signalenergie:   $E_2 \to \infty$.}}		*damit auch eine unendlich große Signalenergie:   $E_2 \to \infty$.}}

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	:$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x_{\rm P}(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{0.01cm}{\it n} \it t / T_{\rm 0}}\, {\rm d}t.$$		:$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x_{\rm P}(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{0.01cm}{\it n} \it t / T_{\rm 0}}\, {\rm d}t.$$

	*Die dazugehörige Spektralfunktion  $X_{\rm P}(f)$  ist ein so genanntes  ''Linienspektrum''  mit Spektrallinien im Abstand  $f_0=1/T_0$:		*Die dazugehörige Spektralfunktion  $X_{\rm P}(f)$  ist ein so genanntes  &bdquo;Linienspektrum”  mit Spektrallinien im Abstand  $f_0=1/T_0$:

	:$$X_{\rm P}(f)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_n\cdot\delta(f-n\cdot f_0).$$		:$$X_{\rm P}(f)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_n\cdot\delta(f-n\cdot f_0).$$

	Die obere Grafik zeigt links das periodische Zeitsignal  $x_{\rm P}(t)$  und rechts das zugehörige Betragsspektrum  $\|X_{\rm P}(f)\|$. Es handelt sich hierbei lediglich um ~~eine~~ schematische ~~Skizze~~:		Die obere Grafik zeigt links das periodische Zeitsignal  $x_{\rm P}(t)$  und rechts das zugehörige Betragsspektrum  $\|X_{\rm P}(f)\|$.
	~~<br clear=all>~~
	~~''Weitere Anmerkungen:''  ~~		Es handelt sich hierbei lediglich um schematische Skizzen:

	*Ist  $x_{\rm P}(t)$  eine reelle und gerade Funktion, so ist  $X_{\rm P}(f)$  ebenfalls reell und gerade.		*Ist  $x_{\rm P}(t)$  eine reelle und gerade Funktion, so ist  $X_{\rm P}(f)$  ebenfalls reell und gerade.
	*Die Gleichung  $X_{\rm P}(f) = \|X_{\rm P}(f)\|$  gilt allerdings nur dann, wenn alle Spektrallinien zudem auch positiv sind.		*Die Gleichung  $X_{\rm P}(f) = \|X_{\rm P}(f)\|$  gilt allerdings nur dann, wenn alle Spektrallinien zudem auch positiv sind.
	~~<br clear=all>~~
	In der unteren Grafik ist links ein weiteres periodisches Signal  ${x_{\rm P}}\hspace{0.01cm}'(t)$  mit doppelter Periodendauer  ${T_0}\hspace{0.01cm}' = 2 \cdot T_0$  dargestellt. Für dieses Signals gilt:

			In der unteren Grafik ist links ein weiteres periodisches Signal  ${x_{\rm P}}\hspace{0.01cm}'(t)$  mit doppelter Periodendauer  ${T_0}\hspace{0.01cm}' = 2 \cdot T_0$  dargestellt.  Für dieses Signals gilt:

	:$${x_{\rm P}}'(t)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{\it D_n}'\cdot {\rm e}^{{\rm j} 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n t / T}_{\rm 0}\hspace{0.01cm}'} \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\it D_n}'=\frac{1}{{T_0}\hspace{0.01cm}'}\cdot \int^{{+T_0}'/2}_{-{T_0}'/2}{x_{\rm P}}'(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n t / T}_{\rm 0}\hspace{0.01cm}'}\, {\rm d}\it t.$$		:$${x_{\rm P}}'(t)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{\it D_n}'\cdot {\rm e}^{{\rm j} 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n t / T}_{\rm 0}\hspace{0.01cm}'} \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\it D_n}'=\frac{1}{{T_0}\hspace{0.01cm}'}\cdot \int^{{+T_0}'/2}_{-{T_0}'/2}{x_{\rm P}}'(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n t / T}_{\rm 0}\hspace{0.01cm}'}\, {\rm d}\it t.$$

	Im Bereich von  $-T_0/2$  bis  $+T_0/2$  sind die beiden Signale identisch.		Im Bereich von  $-T_0/2$  bis  $+T_0/2$  sind die beiden Signale identisch.
	Wir betrachten auch hier die Spektralfunktion  ${X_{\rm P} }'(f)$  entsprechend der rechten Skizze:		Wir betrachten auch hier die Spektralfunktion  ${X_{\rm P} }'(f)$  entsprechend der rechten Skizze:
	*Aufgrund der doppelten Periodendauer  $({T_0}' = 2 \cdot T_0)$  liegen nun die Spektrallinien enger beisammen  $({f_0}' = f_0/2)$.		*Aufgrund der doppelten Periodendauer  $({T_0}' = 2 \cdot T_0)$  liegen nun die Spektrallinien enger beisammen  $({f_0}' = f_0/2)$.
	*Die beiden Koeffizienten  $D_n$  und  ${D_{2n}}'$ – im Bild rot hervorgehoben – gehören zur gleichen physikalischen Frequenz  $f = n \cdot f_0 = 2n \cdot {f_0}'$.		*Die beiden Koeffizienten  $D_n$  und  ${D_{2n}}'$   –   im Bild rot hervorgehoben   –   gehören zur gleichen physikalischen Frequenz  $f = n \cdot f_0 = 2n \cdot {f_0}'$.


	~~Wir erkennen durch einen~~ Vergleich ~~der~~ beiden Koeffizienten		Durch den Vergleich dieser beiden Koeffizienten erkennen wir:

	:$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x_{\rm P}(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n} \it t / T_{\rm 0}}\, {\rm d}t \hspace{0.5cm}\text{und} \hspace{0.5cm} {D_{2n}}'=\frac{1}{{T_0}'}\cdot \int^{+{T_0}'/2}_{-{T_0}'/2}{x_{\rm P}}'(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 4 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n} \it t / {T_{\rm 0}}'}\, {\rm d}t \text{:} $$		:$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x_{\rm P}(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 2 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n} \it t / T_{\rm 0}}\, {\rm d}t \hspace{0.5cm}\text{und} \hspace{0.5cm} {D_{2n}}'=\frac{1}{{T_0}'}\cdot \int^{+{T_0}'/2}_{-{T_0}'/2}{x_{\rm P}}'(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j 4 \pi \hspace{-0.05cm}{\it n} \it t / {T_{\rm 0}}'}\, {\rm d}t \text{:} $$
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	*Die Spektrallinie des Signals  ${x_{\rm P} }'(t)$  bei der Frequenz  $f = n \cdot {f_0}'$  wird mit  ${D_{2n} }'$  bezeichnet (untere Grafik).		*Die Spektrallinie des Signals  ${x_{\rm P} }'(t)$  bei der Frequenz  $f = n \cdot {f_0}'$  wird mit  ${D_{2n} }'$  bezeichnet (untere Grafik).
	*Diese Linie ist genau halb so groß wie die Spektrallinie  $D_n$  des Signals  $x_{\rm P}(t)$  bei der gleichen physikalischen Frequenz  $f$  (obere Grafik).		*Diese Linie ist genau halb so groß wie die Spektrallinie  $D_n$  des Signals  $x_{\rm P}(t)$  bei der gleichen physikalischen Frequenz  $f$  (obere Grafik).
	*Die Spektralfunktion  ${X_{\rm P} }'(f)$  weist gegenüber  $~~X_P~~(f)$  zusätzliche Spektrallinien bei  $(n + 1/2) \cdot f_0$  auf.		*Die Spektralfunktion  ${X_{\rm P} }'(f)$  weist gegenüber  $X_{\rm P}(f)$  zusätzliche Spektrallinien bei  $(n + 1/2) \cdot f_0$  auf.
	*Diese führen dazu, dass im Zeitbereich jeder zweite &bdquo;Impuls” von  $x_{\rm P}(t)$  um  $n \cdot T_0$  gelegen  $(n$ ungeradzahlig$)$  ausgelöscht wird.}}		*Diese führen dazu, dass im Zeitbereich jeder zweite &bdquo;Impuls” von  $x_{\rm P}(t)$  um  $n \cdot T_0$  gelegen  $(n$ ungeradzahlig$)$  ausgelöscht wird.}}

Zeile 110:		Zeile 113:
	==Vom periodischen zum aperiodischen Signal==		==Vom periodischen zum aperiodischen Signal==
	<br>		<br>
	Wir greifen nun die Überlegungen der vorherigen Seite auf und wählen die Periodendauer  ${T_0}'$  von  ${x_{\rm P}}'(t)$  allgemein um einen ganzzahligen Faktor  $k$  größer als die Periodendauer  $T_0$  von  ${x_{\rm P}}(t)$. Dann können die bisherigen Aussagen verallgemeinert werden:		Wir greifen nun die Überlegungen der vorherigen Seite auf und wählen die Periodendauer  ${T_0}'$  von  ${x_{\rm P}}'(t)$  allgemein um einen ganzzahligen Faktor  $k$  größer als die Periodendauer  $T_0$  von  ${x_{\rm P}}(t)$.  Dann können die bisherigen Aussagen verallgemeinert werden:

	[[Datei:P_ID398__Sig_T_3_1_S3_rah.png\|right\|frame\|Vom periodischen zum aperiodischen Signal]]		[[Datei:P_ID398__Sig_T_3_1_S3_rah.png\|right\|frame\|Vom periodischen zum aperiodischen Signal]]
	*Der Linienabstand ist bei  ${X_{\rm P}}'(f)$  um den Faktor  $k$  geringer als beim Spektrum  ${X_{\rm P}}(f)$.		*Der Linienabstand ist bei  ${X_{\rm P}}'(f)$  um den Faktor  $k$  geringer als beim Spektrum  ${X_{\rm P}}(f)$.
	*Um ~~diesen Sachverhalt~~ hervorzuheben, bezeichnen wir die Frequenz–Laufvariable der Funktion  ${X_{\rm P}}'(f)$  mit  $\nu$  anstelle von  $n$. Es gilt:   $\nu=k \cdot n$.
			*Um dies hervorzuheben, bezeichnen wir die Frequenz–Laufvariable der Funktion  ${X_{\rm P}}'(f)$  mit  $\nu$  anstelle von  $n$.  Es gilt:   $\nu=k \cdot n$.
	*Für die Spektrallinie des Signals  ${x_{\rm P}}'(t)$  bei der Frequenz  $f=n \cdot f_0 =\nu \cdot {f_0}'$  gilt:		*Für die Spektrallinie des Signals  ${x_{\rm P}}'(t)$  bei der Frequenz  $f=n \cdot f_0 =\nu \cdot {f_0}'$  gilt:
	:$${D_\nu}' = {1}/{k} \cdot D_n, \hspace{0.5cm} {\rm wobei} \hspace{0.5cm} \nu = k \cdot n.$$		:$${D_\nu}' = {1}/{k} \cdot D_n, \hspace{0.5cm} {\rm wobei} \hspace{0.5cm} \nu = k \cdot n.$$
			<br><br><br><br>
			Wählt man nun – wie im unteren Bild schematisch dargestellt – den Faktor  $k$  und damit die Periodendauer  ${T_0}'$  immer größer und lässt sie schließlich nach unendlich gehen, so
	Wählt man nun – wie im Bild schematisch dargestellt – den Faktor  $k$  und damit die Periodendauer  ${T_0}'$  immer größer und lässt sie schließlich nach unendlich gehen, so
	*geht das periodische Signal  ${x_{\rm P}}(t)$  in das aperiodische Signal  $x(t)$  über,		*geht das periodische Signal  ${x_{\rm P}}(t)$  in das aperiodische Signal  $x(t)$  über,
	*kann man das Linienspektrum  ${X_{\rm P}}(f)$  durch das kontinuierliche Spektrum  $X(f)$  ersetzen.		*kann man das Linienspektrum  ${X_{\rm P}}(f)$  durch das kontinuierliche Spektrum  $X(f)$  ersetzen.

← Nächstältere Version		Version vom 19. April 2021, 13:45 Uhr
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	== # ÜBERBLICK ZUM DRITTEN HAUPTKAPITEL # ==		== # ÜBERBLICK ZUM DRITTEN HAUPTKAPITEL # ==
	<br>		<br>
	Im zweiten Kapitel wurden periodische Signale durch verschiedene harmonische Schwingungen (&bdquo;Fourierreihe”) beschrieben. Verringert man – zumindest gedanklich – die Wiederholfrequenz eines periodischen Signals immer mehr, das heißt, die Periodendauer wird immer länger, so kommt man vom periodischen Signal  (~~<i>~~Puls~~</i>~~)  zum einmaligen  '''aperiodischen Signal'''  – häufig auch als  '''Impuls'''  bezeichnet.		Im zweiten Kapitel wurden periodische Signale durch verschiedene harmonische Schwingungen (&bdquo;Fourierreihe”) beschrieben.  Verringert man – zumindest gedanklich – die Wiederholfrequenz eines periodischen Signals immer mehr, das heißt, die Periodendauer wird immer länger, so kommt man vom periodischen Signal  (Puls)  zum einmaligen  '''aperiodischen Signal'''  – häufig auch als  '''Impuls'''  bezeichnet.

	Im Folgenden werden solche aperiodischen, impulsförmigen Signale betrachtet und im Zeit– und Frequenzbereich mathematisch beschrieben.		Im Folgenden werden solche aperiodischen, impulsförmigen Signale betrachtet und im Zeit– und Frequenzbereich mathematisch beschrieben.

	Das Kapitel beinhaltet im Einzelnen:		Das Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
	* die Herleitung der beiden  ~~<i>~~Fourierintegrale~~</i>~~  aus der Fourierreihe,		* die Herleitung der beiden  Fourierintegrale  aus der Fourierreihe,
	* die Erweiterung des Fourierintegrals zur  ~~<i>~~Fouriertransformation~~</i>~~  mittels Distributionen,		* die Erweiterung des Fourierintegrals zur  Fouriertransformation  mittels Distributionen,
	* einige  ~~<i>~~Sonderfälle~~</i>~~  impulsartiger Signale wie Rechteck–, Gauß– und Diracimpuls,		* einige  Sonderfälle  impulsartiger Signale wie Rechteck–, Gauß– und Diracimpuls,
	* die  ~~<i>~~Gesetzmäßigkeiten~~</i>~~  der Fouriertransformation, und schließlich		* die  Gesetzmäßigkeiten  der Fouriertransformation, und schließlich
	* die Bedeutung der  ~~<i>~~Faltungsoperation~~</i>~~  und deren vielfältige Anwendungen.		* die Bedeutung der  Faltungsoperation  und deren vielfältige Anwendungen.


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	Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im		Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

	*Kapitel 6: ''Lineare zeitinvariante Systeme'', Programm lzi		*Kapitel 6:  Lineare zeitinvariante Systeme, Programm lzi


	des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Lehrsoftwarepaket  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und		*dem Lehrsoftwarepaket  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
	*der zugehörigen  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version;  Kapitel 6:  Seite 99-118.		*der zugehörigen  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version;  Kapitel 6:  Seite 99-118.