Signaldarstellung/Fourierreihe - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Signal_Representation/Fourier_Series]]

Guenter am 14. April 2021 um 10:14 Uhr

2021-04-14T10:14:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. April 2021, 12:14 Uhr
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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	Wir betrachten – wie im  [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Allgemeine_Beschreibung\|$\text{Beispiel 1}$]]  ~~zu Beginn dieses Abschnitts -~~ zwei periodische Rechtecksignale, jeweils mit Periodendauer  $T_0$  und Grundfrequenz  $f_0=1/T_0$.  Das obere Signal		Wir betrachten wie im  [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Allgemeine_Beschreibung\|$\text{Beispiel 1}$]]  zwei periodische Rechtecksignale, jeweils mit Periodendauer  $T_0$  und Grundfrequenz  $f_0=1/T_0$.  Das obere Signal

	:$$x_{\rm g}(t)={4}/{\pi} \cdot \big[\cos(\omega_0 t) - {1}/{3} \cdot \cos(3\omega_0 t)+{1}/{5}\cdot \cos(5\omega_0 t) - \, \text{...} \, + \, \text{...} \big]$$		:$$x_{\rm g}(t)={4}/{\pi} \cdot \big[\cos(\omega_0 t) - {1}/{3} \cdot \cos(3\omega_0 t)+{1}/{5}\cdot \cos(5\omega_0 t) - \, \text{...} \, + \, \text{...} \big]$$

Guenter am 14. April 2021 um 10:11 Uhr

2021-04-14T10:11:49Z

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Guenter am 13. April 2021 um 14:46 Uhr

2021-04-13T14:46:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. April 2021, 16:46 Uhr
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Die  ~~'''~~Fourierreihe~~'''~~  eines periodischen Signals  $x(t)$  lautet wie folgt:		Die  $\text{Fourierreihe}$  eines periodischen Signals  $x(t)$  lautet wie folgt:

	:$$x(t) =A_0+\sum^{\infty}_{n=1}A_{\it n} \cdot\cos(n \omega_0 t)+\sum^{\infty}_{n=1} B_n \cdot \sin(n \omega_0 t).$$		:$$x(t) =A_0+\sum^{\infty}_{n=1}A_{\it n} \cdot\cos(n \omega_0 t)+\sum^{\infty}_{n=1} B_n \cdot \sin(n \omega_0 t).$$

	Hierbei bezeichnen:		Hierbei bezeichnen:
	*$A_0$  den  ~~'''~~Gleichanteil~~'''~~  von  $x(t)$,		*$A_0$  den  $\text{Gleichanteil}$  von  $x(t)$,
	*$A_n$  die  ~~'''~~Cosinuskoeffizienten~~'''~~  mit  $n \ge 1$,		*$A_n$  die  $\text{Cosinuskoeffizienten}$  mit  $n \ge 1$,
	*$B_n$  die  ~~'''~~Sinuskoeffizienten~~'''~~  mit  $n \ge 1$,		*$B_n$  die  $\text{Sinuskoeffizienten}$  mit  $n \ge 1$,
	*$\omega_0 = 2\pi/T_0$  die  ~~'''~~Grundkreisfrequenz~~'''~~  des periodischen Signals  $(T_0$ ist die Periodendauer$)$.}}		*$\omega_0 = 2\pi/T_0$  die  $\text{Grundkreisfrequenz}$  des periodischen Signals  $(T_0$  ist die Periodendauer$)$.}}


	Soll die Fourierreihe mit dem tatsächlichen periodischen Signal  $x(t)$  exakt übereinstimmen, so müssen im Allgemeinen unendlich viele Cosinus– und Sinuskoeffizienten zur Berechnung herangezogen werden.		Soll die Fourierreihe mit dem tatsächlichen periodischen Signal  $x(t)$  exakt übereinstimmen, so müssen im Allgemeinen unendlich viele Cosinus– und Sinuskoeffizienten zur Berechnung herangezogen werden.

	*Bricht man die Fourierreihe ab und verwendet jeweils nur  $N$  ~~dieser~~ Koeffizienten  $A_n$  und  $B_n$, so ergibt sich bis auf einige Sonderfälle ein etwas anderer Funktionsverlauf:		*Bricht man die Fourierreihe ab und verwendet jeweils nur  $N$  Koeffizienten  $A_n$  und  $B_n$, so ergibt sich bis auf einige Sonderfälle ein etwas anderer Funktionsverlauf:

	:$$x_ N(t) =A_0+\sum^N_{n=1}A_ n \cdot \cos(n \omega_0 t)+\sum^N_{n=1} B_{n} \cdot \sin(n \omega_0 t).$$		:$$x_ N(t) =A_0+\sum^N_{n=1}A_ n \cdot \cos(n \omega_0 t)+\sum^N_{n=1} B_{n} \cdot \sin(n \omega_0 t).$$

Guenter am 3. September 2019 um 13:49 Uhr

2019-09-03T13:49:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2019, 15:49 Uhr
Zeile 203:		Zeile 203:
	:$$x(t)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_{\it n}\cdot \rm e^{j \it n \omega_{\rm 0} t}$$		:$$x(t)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_{\it n}\cdot \rm e^{j \it n \omega_{\rm 0} t}$$

	und dem [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]] (für den Frequenzbereich) erhält man für das Spektrum eines periodischen Signals $x(t)$:		und dem  [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  (für den Frequenzbereich) erhält man für das Spektrum eines periodischen Signals  $x(t)$:

	:$$X(f)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_n\cdot\delta(f-n\cdot f_0).$$		:$$X(f)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_n\cdot\delta(f-n\cdot f_0).$$

	Dies bedeutet:		Dies bedeutet:
	*Das Spektrum eines mit $T_0$ periodischen Signals ist ein '''Linienspektrum''' bei ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz $f_0 = 1/T_0$.		*Das Spektrum eines mit  $T_0$  periodischen Signals ist ein  '''Linienspektrum'''  bei ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz  $f_0 = 1/T_0$.
	*Der '''Gleichanteil''' liefert eine Diracfunktion bei $f=0$ mit dem Impulsgewicht $A_0$.		*Der  '''Gleichanteil'''  liefert eine Diracfunktion bei  $f=0$  mit dem Impulsgewicht  $A_0$.
	*Daneben gibt es '''Diracfunktionen''' $\delta(f \pm n \cdot f_0)$ bei Vielfachen von $f_0$, wobei $\delta(f - n \cdot f_0)$ eine Diracfunktion bei $f= n \cdot f_0$ (also im positiven Frequenzbereich) und $\delta(f + n \cdot f_0)$ eine solche bei der Frequenz $f= -n \cdot f_0$ (im negativen Frequenzbereich) kennzeichnet.		*Daneben gibt es  '''Diracfunktionen'''  $\delta(f \pm n \cdot f_0)$  bei Vielfachen von  $f_0$, wobei  $\delta(f - n \cdot f_0)$  eine Diracfunktion bei  $f= n \cdot f_0$  (also im positiven Frequenzbereich) und  $\delta(f + n \cdot f_0)$  eine solche bei der Frequenz  $f= -n \cdot f_0$  (im negativen Frequenzbereich) kennzeichnet.
	*Die '''Impulsgewichte''' sind im allgemeinen komplex.		*Die  '''Impulsgewichte'''  sind im allgemeinen komplex.


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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	Wir betrachten – wie im [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Allgemeine_Beschreibung\|$\text{Beispiel 1}$]] zu Beginn dieses Abschnitts - zwei periodische Rechtecksignale, jeweils mit Periodendauer $T_0$ und Grundfrequenz $f_0=1/T_0$.		Wir betrachten – wie im  [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Allgemeine_Beschreibung\|$\text{Beispiel 1}$]]  zu Beginn dieses Abschnitts - zwei periodische Rechtecksignale, jeweils mit Periodendauer  $T_0$  und Grundfrequenz  $f_0=1/T_0$.
	*Das obere Signal		Das obere Signal

	:$$x_{\rm g}(t)={4}/{\pi} \cdot \big[\cos(\omega_0 t) - {1}/{3} \cdot \cos(3\omega_0 t)+{1}/{5}\cdot \cos(5\omega_0 t) - \, \text{...} \, + \, \text{...} \big]$$		:$$x_{\rm g}(t)={4}/{\pi} \cdot \big[\cos(\omega_0 t) - {1}/{3} \cdot \cos(3\omega_0 t)+{1}/{5}\cdot \cos(5\omega_0 t) - \, \text{...} \, + \, \text{...} \big]$$

	:ist eine gerade, aus verschiedenen Cosinusanteilen zusammengesetzte Funktion. Die zugehörige Spektralfunktion $X_{\rm g}(f)$ ist damit rein reell.		ist eine gerade, aus verschiedenen Cosinusanteilen zusammengesetzte Funktion. Die zugehörige Spektralfunktion  $X_{\rm g}(f)$  ist damit rein reell.

	:''Begründung:''  Wie auf der Seite [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Spektraldarstellung_eines_Cosinussignals\|Spektraldarstellung eines Cosinussignals]] bereits beschrieben wurde, liefert die Grundwelle zwei Diracfunktionen bei $\pm f_0$, jeweils gewichtet mit $2/\pi$.		''Begründung:''  Wie auf der Seite  [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Spektraldarstellung_eines_Cosinussignals\|Spektraldarstellung eines Cosinussignals]]  bereits beschrieben wurde, liefert die Grundwelle zwei Diracfunktionen bei  $\pm f_0$, jeweils gewichtet mit  $2/\pi$.
	*Dieses Gewicht entspricht den (im Allgemeinen komplexen) Fourierkoeffizienten $D_1 = D_{ - 1}^\ast$, die nur im Sonderfall einer geraden Funktion reell sind.		*Dieses Gewicht entspricht den (im Allgemeinen komplexen) Fourierkoeffizienten  $D_1 = D_{ - 1}^\ast$, die nur im Sonderfall einer geraden Funktion reell sind.
	*Weitere Diracfunktionen gibt es bei $\pm 3f_0$ (negativ), $\pm 5f_0$ (positiv), $\pm 7f_0$ (negativ) usw.		*Weitere Diracfunktionen gibt es bei  $\pm 3f_0$ (negativ),  $\pm 5f_0$ (positiv),  $\pm 7f_0$ (negativ) usw.
	*Alle Phasenwerte $\varphi_n$ sind aufgrund der alternierenden Vorzeichen entweder 0 oder $\pi$.		*Alle Phasenwerte  $\varphi_n$  sind aufgrund der alternierenden Vorzeichen entweder Null oder  $\pi$.


	[[Datei:P_ID528__Sig_T_2_4_S6_neu.png\|center\|frame\|Spektrum eines periodischen Rechtecksignals]]		[[Datei:P_ID528__Sig_T_2_4_S6_neu.png\|center\|frame\|Spektrum eines periodischen Rechtecksignals]]

	*Die unten dargestellte Funktion $x_{\rm u}(t)$ ist ungerade:		Die unten dargestellte Funktion  $x_{\rm u}(t)$  ist ungerade:

	:$$x_{\rm u}(t)={4}/{\pi} \cdot \big[\sin(\omega_0 t)+{1}/{3} \cdot \sin(3\omega_0 t)+{1}/{5} \cdot \sin(5\omega_0 t)+ \, \text{...}\big].$$		:$$x_{\rm u}(t)={4}/{\pi} \cdot \big[\sin(\omega_0 t)+{1}/{3} \cdot \sin(3\omega_0 t)+{1}/{5} \cdot \sin(5\omega_0 t)+ \, \text{...}\big].$$

	:''Begründung:''  Wie im $\text{Beispiel 4}$ auf der Seite [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Allgemeine_Spektraldarstellung\|Allgemeine Spektraldarstellung]] bereits beschrieben wurde, liefert hier die Grundwelle zwei Diracfunktionen bei $+f_0$ (gewichtet mit $-\text{j}\cdot 2/\pi$) bzw. bei $-f_0$ (gewichtet mit $+\text{j}\cdot 2/\pi$).		''Begründung:''  Wie im  $\text{Beispiel 4}$  auf der Seite  [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Allgemeine_Spektraldarstellung\|Allgemeine Spektraldarstellung]]  bereits beschrieben wurde, liefert hier die Grundwelle zwei Diracfunktionen bei  $+f_0$  $($gewichtet mit  $-\text{j}\cdot 2/\pi)$  bzw. bei  $-f_0$  $($gewichtet mit  $+\text{j}\cdot 2/\pi)$.
	*Auch alle weiteren Diracfunktionen bei $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. sind rein imaginär und liegen in gleicher Richtung wie die Diracs bei $\pm f_0$.		*Auch alle weiteren Diracfunktionen bei  $\pm 3f_0$,  $\pm 5f_0$, usw. sind rein imaginär und liegen in gleicher Richtung wie die Diracs bei  $\pm f_0$.
	*Die beiden Betragsspektren sind gleich:   $\vert X_{\rm u}(f)\vert = \vert X_{\rm g}(f) \vert$.}}		*Die beiden Betragsspektren sind gleich:   $\vert X_{\rm u}(f)\vert = \vert X_{\rm g}(f) \vert$.}}

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	Nicht jedes Signal eignet sich für die Fourierreihendarstellung. Hier einige Einschränkungen:		Nicht jedes Signal eignet sich für die Fourierreihendarstellung. Hier einige Einschränkungen:
	*Eine wichtige Voraussetzung für die Konvergenz der Fourierreihe ist, dass das Signal nur endlich viele Unstetigkeitsstellen je Periode besitzen darf.		*Eine wichtige Voraussetzung für die Konvergenz der Fourierreihe ist, dass das Signal nur endlich viele Unstetigkeitsstellen je Periode besitzen darf.
	*An denjenigen Stellen $t=t_i$, an denen $x(t)$ Sprünge aufweist, konvergiert die Reihe gegen den aus dem jeweiligen links– und rechtsseitigen Grenzwert gebildeten arithmetischen Mittelwert.		*An denjenigen Stellen  $t=t_i$, an denen  $x(t)$  Sprünge aufweist, konvergiert die Reihe gegen den aus dem jeweiligen links– und rechtsseitigen Grenzwert gebildeten arithmetischen Mittelwert.
	*In der Umgebung solcher Sprungstellen kommt es in der Reihendarstellung meist zu hochfrequenten Oszillationen. Dieser Fehler ist von prinzipieller Art, das heißt, er ließe sich auch nicht vermeiden, wenn man unendlich viele Summanden berücksichtigen würde. Man spricht vom ''Gibbschen Phänomen'', benannt nach dem Physiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Josiah_Willard_Gibbs Josiah Willard Gibbs].		*In der Umgebung solcher Sprungstellen kommt es in der Reihendarstellung meist zu hochfrequenten Oszillationen. Dieser Fehler ist von prinzipieller Art, das heißt, er ließe sich auch nicht vermeiden, wenn man unendlich viele Summanden berücksichtigen würde. Man spricht vom  ''Gibbschen Phänomen'', benannt nach dem Physiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Josiah_Willard_Gibbs Josiah Willard Gibbs].
	*Durch eine Erhöhung von $N$ wird zwar der fehlerhafte Bereich kleiner, nicht jedoch die maximale Abweichung zwischen ~~dem Signal~~ $x(t)$ und der Fourierreihendarstellung $x_N(t)$. Der maximale Fehler beträgt ca. $9\%$ der Sprungamplitude – und zwar unabhängig von $N$.		*Durch eine Erhöhung von  $N$  wird zwar der fehlerhafte Bereich kleiner, nicht jedoch die maximale Abweichung zwischen  $x(t)$  und der Fourierreihendarstellung  $x_N(t)$. Der maximale Fehler beträgt ca.  $9\%$  der Sprungamplitude – und zwar unabhängig von  $N$.


	Das Gibbsche Phänomen und weitere interessante Aspekte werden im Lernvideo		Das Gibbsche Phänomen und weitere interessante Aspekte zu vergleichbaren Effekten werden im Lernvideo
	[[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)\|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]] behandelt.		[[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)\|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]]  behandelt.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 5:}$		$\text{Beispiel 5:}$
	In der linken Grafik sehen Sie gepunktet einen Ausschnitt eines periodischen $\pm 1$–Rechtecksignals und die dazugehörige Fourierreihendarstellung mit $N = 1$ (blau), $N = 3$ (rot) und $N = 5$ (grün) Summanden.		In der linken Grafik sehen Sie gepunktet einen Ausschnitt eines periodischen  $\pm 1$–Rechtecksignals und die dazugehörige Fourierreihendarstellung mit  $N = 1$  (blau),  $N = 3$  (rot) und  $N = 5$  (grün) Summanden.
	*Die Grundwelle hat hier den Amplitudenwert $4/\pi \approx 1.27$.		*Die Grundwelle hat hier den Amplitudenwert  $4/\pi \approx 1.27$.
	*Auch mit $N = 5$ (das bedeutet wegen $A_2$ = $A_4 = 0$ drei &bdquo;relevante” Summanden) unterscheidet sich die Fourierreihe vom anzunähernden Rechtecksignal noch deutlich, vor allem im Bereich der Flanke.		*Auch mit  $N = 5$  (das bedeutet wegen  $A_2 = A_4 = 0$  drei &bdquo;relevante” Summanden) unterscheidet sich die Fourierreihe vom anzunähernden Rechtecksignal noch deutlich, vor allem im Bereich der Flanke.


	[[Datei:P_ID2720__Sig_T_2_4_S7_neu.png\|center\|frame\|Zum Gibbschen Phänomen]]		[[Datei:P_ID2720__Sig_T_2_4_S7_neu.png\|center\|frame\|Zum Gibbschen Phänomen]]

	Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass die Flanke und der innere Bereich mit		Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass die Flanke und der innere Bereich mit
	$N = 100$ relativ gut nachgebildet werden, es aber an der Sprungstelle aufgrund des Gibbschen Phänomens noch immer zu Überschwingern um $9\%$ kommt.		$N = 100$  relativ gut nachgebildet werden, es aber an der Sprungstelle aufgrund des Gibbschen Phänomens noch immer zu Überschwingern um  $9\%$  kommt.
	*Da hier die Sprungamplituden jeweils gleich $2$ sind, ergeben sich die Maximalwerte näherungsweise zu $1.18$.		*Da hier die Sprungamplituden jeweils gleich  $2$  sind, ergeben sich die Maximalwerte näherungsweise zu  $1.18$.
	*Mit $N = 1000$ wären die Überschwinger genau so groß, aber auf einen ~~noch~~ engeren Raum begrenzt und bei zeitdiskreter Darstellung eventuell nicht zu erkennen.}}		*Mit  $N = 1000$  wären die Überschwinger genau so groß, aber auf einen engeren Raum begrenzt und bei zeitdiskreter Darstellung eventuell nicht mehr zu erkennen.}}

Guenter am 3. September 2019 um 10:57 Uhr

2019-09-03T10:57:20Z

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Guenter am 17. Juli 2018 um 13:36 Uhr

2018-07-17T13:36:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Juli 2018, 15:36 Uhr
Zeile 219:		Zeile 219:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	Wir betrachten – wie im [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Allgemeine_Beschreibung\|Beispiel 1]] zu Beginn dieses Abschnitts - zwei periodische Rechtecksignale, jeweils mit Periodendauer $T_0$ und Grundfrequenz $f_0=1/T_0$.		Wir betrachten – wie im [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Allgemeine_Beschreibung\|$\text{Beispiel 1}$]] zu Beginn dieses Abschnitts - zwei periodische Rechtecksignale, jeweils mit Periodendauer $T_0$ und Grundfrequenz $f_0=1/T_0$.
	*Das obere Signal		*Das obere Signal

Guenter am 17. Juli 2018 um 13:33 Uhr

2018-07-17T13:33:34Z

Guenter am 12. Juli 2018 um 15:58 Uhr

2018-07-12T15:58:28Z

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Guenter am 21. Dezember 2017 um 17:30 Uhr

2017-12-21T17:30:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. Dezember 2017, 19:30 Uhr
Zeile 271:		Zeile 271:
	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

	[[Aufgaben:2.4 ~~Geichgerichteter Cosinus~~\|Aufgabe 2.4: Gleichgerichteter Cosinus]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_Gleichgerichteter_Cosinus\|Aufgabe 2.4: Gleichgerichteter Cosinus]]

	[[Aufgaben: 2.4Z ~~Dreiecksignal~~\|Aufgabe 2.4Z: Dreiecksignal]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4Z:_Dreiecksignal\|Aufgabe 2.4Z: Dreiecksignal]]

	[[Aufgaben:2.5 ~~Einweggleichrichtung~~\|Aufgabe 2.5: Einweggleichrichtung]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Einweggleichrichtung\|Aufgabe 2.5: Einweggleichrichtung]]

	[[Aufgaben: 2.5Z ~~Rechtecksignale~~\|Aufgabe 2.5Z: Rechtecksignale]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Rechtecksignale\|Aufgabe 2.5Z: Rechtecksignale]]

	[[Aufgaben:2.6 ~~Komplexe~~ Fourierreihe\|Aufgabe 2.6: Komplexe Fourierreihe]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_Komplexe Fourierreihe\|Aufgabe 2.6: Komplexe Fourierreihe]]

	[[Aufgaben: 2.6Z ~~Betrag_und_Phase~~\|Aufgabe 2.6Z:   Betrag und Phase]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6Z:_Betrag_und_Phase\|Aufgabe 2.6Z:   Betrag und Phase]]

← Nächstältere Version		Version vom 21. Dezember 2017, 19:30 Uhr
Zeile 271:		Zeile 271:
	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

	[[Aufgaben:2.4 ~~Geichgerichteter Cosinus~~\|Aufgabe 2.4: Gleichgerichteter Cosinus]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_Gleichgerichteter_Cosinus\|Aufgabe 2.4: Gleichgerichteter Cosinus]]

	[[Aufgaben: 2.4Z ~~Dreiecksignal~~\|Aufgabe 2.4Z: Dreiecksignal]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4Z:_Dreiecksignal\|Aufgabe 2.4Z: Dreiecksignal]]

	[[Aufgaben:2.5 ~~Einweggleichrichtung~~\|Aufgabe 2.5: Einweggleichrichtung]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Einweggleichrichtung\|Aufgabe 2.5: Einweggleichrichtung]]

	[[Aufgaben: 2.5Z ~~Rechtecksignale~~\|Aufgabe 2.5Z: Rechtecksignale]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Rechtecksignale\|Aufgabe 2.5Z: Rechtecksignale]]

	[[Aufgaben:2.6 ~~Komplexe~~ Fourierreihe\|Aufgabe 2.6: Komplexe Fourierreihe]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_Komplexe Fourierreihe\|Aufgabe 2.6: Komplexe Fourierreihe]]

	[[Aufgaben: 2.6Z ~~Betrag_und_Phase~~\|Aufgabe 2.6Z:   Betrag und Phase]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6Z:_Betrag_und_Phase\|Aufgabe 2.6Z:   Betrag und Phase]]

← Nächstältere Version		Version vom 17. Juli 2018, 15:33 Uhr
Zeile 164:		Zeile 164:
	*Der Gleichsignalkoeffizient $C_0$ ist identisch mit $A_0$.		*Der Gleichsignalkoeffizient $C_0$ ist identisch mit $A_0$.
	*Die Betragskoeffizienten lauten mit $n\ge 1$:   $C_n = \sqrt{A_n^2 + B_n^2}$.		*Die Betragskoeffizienten lauten mit $n\ge 1$:   $C_n = \sqrt{A_n^2 + B_n^2}$.
	*Für die Phasenkoeffizienten gilt:   $\varphi_n$ = arctan ($B_n/A_n$).		*Für die Phasenkoeffizienten gilt:   $\varphi_n = \arctan \hspace{0.05cm}(B_n/A_n$).


Zeile 173:		Zeile 173:
	Die '''komplexe Fourierreihe''' eines periodischen Signals x(t) lautet wie folgt:		Die '''komplexe Fourierreihe''' eines periodischen Signals x(t) lautet wie folgt:

	:$$x(t)=\sum^{+\infty}_{ ~~{\it~~ n}=-\infty}~~D_{\it n}~~\cdot \rm e^{j \hspace{0.05cm}~~\it~~ n \hspace{0.05cm}\~~omega_{\rm 0}~~\hspace{0.05cm} t}.$$		:$$x(t)=\sum^{+\infty}_{ n=- \infty}D_n\cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\omega_0\hspace{0.05cm} t}.$$


Zeile 183:		Zeile 183:
	wie folgt berechnet werden können (gültig für $n \neq 0$):		wie folgt berechnet werden können (gültig für $n \neq 0$):

	:$$~~D_{\it n}~~ =1/2\cdot (~~A_{\it n}~~-{\rm j}\cdot ~~B_{\it n}~~)=1/2\cdot ~~C_{\it n}~~\cdot {\rm e}^{-\rm j \hspace{0.05cm} \~~it \varphi_{\it n}~~ } .$$}}		:$$D_n = 1/2\cdot (A_n - {\rm j}\cdot B_n) =1/2\cdot C_n\cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm} \varphi_n }$$}}


Zeile 190:		Zeile 190:
	:$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j \hspace{0.05cm}\it n \hspace{0.1cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}t}\, {\rm d}t.$$		:$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j \hspace{0.05cm}\it n \hspace{0.1cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}t}\, {\rm d}t.$$

	Solange das Integrationsintervall $T_0$ erhalten bleibt, kann dieses ebenso wie bei den Koeffizienten $A_n$ und $B_n$ beliebig ~~verschoben werden~~, zum Beispiel von $t = 0$ bis $t = T_0$.		Solange das Integrationsintervall $T_0$ erhalten bleibt, kann man dieses ebenso wie bei den Koeffizienten $A_n$ und $B_n$ beliebig verschieben, zum Beispiel von $t = 0$ bis $t = T_0$.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$  Der Koeffizient $D_0$ = $A_0$ ist stets reell. Für die komplexen Koeffizienten mit negativem Laufindex ($n < 0$) gilt:		$\text{Fazit:}$  Der Koeffizient $D_0$ = $A_0$ ist stets reell. Für die komplexen Koeffizienten mit negativem Laufindex $(n < 0)$ gilt:

	:$$D_{-n}=D_n^\star =1/2 \cdot (A_n+ {\rm j}\cdot B_n).$$}}		:$$D_{- n}=D_n^{\hspace{0.05cm}\star} =1/2 \cdot (A_n+ {\rm j}\cdot B_n).$$}}


Zeile 222:		Zeile 222:
	*Das obere Signal		*Das obere Signal

	:$$x_{\rm g}(t)={4}/{\pi} \cdot \~~left~~[\cos(\omega_0 t)-{1}/{3} \cdot \cos(3\omega_0 t)+{1}/{5}\cdot \cos(5\omega_0 t)-\, \~~ldots~~ + \~~ldots~~\~~right~~]$$		:$$x_{\rm g}(t)={4}/{\pi} \cdot \big[\cos(\omega_0 t) - {1}/{3} \cdot \cos(3\omega_0 t)+{1}/{5}\cdot \cos(5\omega_0 t) - \, \text{...} \, + \, \text{...} \big]$$

	ist eine gerade, aus verschiedenen Cosinusanteilen zusammengesetzte Funktion. Die zugehörige Spektralfunktion $X_{\rm g}(f)$ ist damit rein reell.		:ist eine gerade, aus verschiedenen Cosinusanteilen zusammengesetzte Funktion. Die zugehörige Spektralfunktion $X_{\rm g}(f)$ ist damit rein reell.

	''Begründung:''  Wie auf der Seite [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Spektraldarstellung_eines_Cosinussignals\|Spektraldarstellung eines Cosinussignals]] bereits beschrieben wurde, liefert die Grundwelle zwei Diracfunktionen bei $\pm f_0$, jeweils gewichtet mit $2/\pi$.		:''Begründung:''  Wie auf der Seite [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Spektraldarstellung_eines_Cosinussignals\|Spektraldarstellung eines Cosinussignals]] bereits beschrieben wurde, liefert die Grundwelle zwei Diracfunktionen bei $\pm f_0$, jeweils gewichtet mit $2/\pi$.
	*Dieses Gewicht entspricht den (im Allgemeinen komplexen) Fourierkoeffizienten $D_1 = D_{-1}^\ast$, die nur im Sonderfall einer geraden Funktion reell sind.		*Dieses Gewicht entspricht den (im Allgemeinen komplexen) Fourierkoeffizienten $D_1 = D_{ - 1}^\ast$, die nur im Sonderfall einer geraden Funktion reell sind.
	*Weitere Diracfunktionen gibt es bei $\pm 3f_0$ (negativ), $\pm 5f_0$ (positiv), $\pm 7f_0$ (negativ) usw.		*Weitere Diracfunktionen gibt es bei $\pm 3f_0$ (negativ), $\pm 5f_0$ (positiv), $\pm 7f_0$ (negativ) usw.
	*Alle Phasenwerte $\varphi_n$ sind aufgrund der alternierenden Vorzeichen entweder 0 oder $\pi$.		*Alle Phasenwerte $\varphi_n$ sind aufgrund der alternierenden Vorzeichen entweder 0 oder $\pi$.


	[[Datei:P_ID528__Sig_T_2_4_S6_neu.png\|center\|frame\|Spektrum eines periodischen Rechtecksignals]]		[[Datei:P_ID528__Sig_T_2_4_S6_neu.png\|center\|frame\|Spektrum eines periodischen Rechtecksignals]]
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	*Die unten dargestellte Funktion $x_{\rm u}(t)$ ist ungerade:		*Die unten dargestellte Funktion $x_{\rm u}(t)$ ist ungerade:

	:$$x_{\rm u}(t)={4}/{\pi} \cdot \~~left~~[\sin(\omega_0 t)+{1}/{3} \cdot \sin(3\omega_0 t)+{1}/{5} \cdot \sin(5\omega_0 t)+ \~~ldots~~\~~right~~].$$		:$$x_{\rm u}(t)={4}/{\pi} \cdot \big[\sin(\omega_0 t)+{1}/{3} \cdot \sin(3\omega_0 t)+{1}/{5} \cdot \sin(5\omega_0 t)+ \, \text{...}\big].$$

	''Begründung:''  Wie im Beispiel 4 auf der Seite [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Allgemeine_Spektraldarstellung\|Allgemeine Spektraldarstellung]] bereits beschrieben wurde, liefert hier die Grundwelle zwei Diracfunktionen bei $+f_0$ (gewichtet mit $-\text{j}\cdot 2/\pi$) bzw. bei $-f_0$ (gewichtet mit $+\text{j}\cdot 2/\pi$).		:''Begründung:''  Wie im $\text{Beispiel 4}$ auf der Seite [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Allgemeine_Spektraldarstellung\|Allgemeine Spektraldarstellung]] bereits beschrieben wurde, liefert hier die Grundwelle zwei Diracfunktionen bei $+f_0$ (gewichtet mit $-\text{j}\cdot 2/\pi$) bzw. bei $-f_0$ (gewichtet mit $+\text{j}\cdot 2/\pi$).
	*Auch alle weiteren Diracfunktionen bei $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. sind rein imaginär und in gleicher Richtung ~~gewichtet~~ wie die Diracs bei $\pm f_0$.		*Auch alle weiteren Diracfunktionen bei $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. sind rein imaginär und liegen in gleicher Richtung wie die Diracs bei $\pm f_0$.
	*Die beiden Betragsspektren sind gleich: $\vert X_{\rm u}(f)\vert = \vert X_{\rm g}(f) \vert$.}}		*Die beiden Betragsspektren sind gleich:   $\vert X_{\rm u}(f)\vert = \vert X_{\rm g}(f) \vert$.}}


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	Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass die Flanke und der innere Bereich mit		Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass die Flanke und der innere Bereich mit
	$N = 100$ relativ gut nachgebildet werden, es aber an der Sprungstelle aufgrund des Gibbschen Phänomens noch immer zu Überschwingern kommt.		$N = 100$ relativ gut nachgebildet werden, es aber an der Sprungstelle aufgrund des Gibbschen Phänomens noch immer zu Überschwingern um $9\%$ kommt.
	*Da hier die Sprungamplituden jeweils gleich $2$ sind, ergeben sich die Maximalwerte näherungsweise zu $1.18$.		*Da hier die Sprungamplituden jeweils gleich $2$ sind, ergeben sich die Maximalwerte näherungsweise zu $1.18$.
	*Mit $N = 1000$ wären die Überschwinger genau so groß, aber auf einen noch engeren Raum begrenzt und ~~somit~~ bei zeitdiskreter Darstellung eventuell nicht ~~mehr sichtbar~~.}}		*Mit $N = 1000$ wären die Überschwinger genau so groß, aber auf einen noch engeren Raum begrenzt und bei zeitdiskreter Darstellung eventuell nicht zu erkennen.}}