Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten bei der Anwendung der DFT - Versionsgeschichte

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2016-03-26T06:29:53Z

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David am 26. März 2016 um 05:42 Uhr

2016-03-26T05:42:56Z

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Zeile 32:		Zeile 32:
	Der Gaußimpuls eignet sich aufgrund des schnellen, exponentiellen Abklingens sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich sehr gut für die Anwendung der DFT. Die folgende Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für $N = 16$ und $T_A/T = 0.25$. Damit gilt auch: $f_A \cdot T = 0.25$.		Der Gaußimpuls eignet sich aufgrund des schnellen, exponentiellen Abklingens sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich sehr gut für die Anwendung der DFT. Die folgende Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für $N = 16$ und $T_A/T = 0.25$. Damit gilt auch: $f_A \cdot T = 0.25$.

	[[Datei:\|P_ID1142__Sig_T_5_3_S1_neu.~~png250px~~\|right\|Quasi-fehlerfreie DFT mit N = 16]]		[[Datei:P_ID1142__Sig_T_5_3_S1_neu.png\|250px\|right\|Quasi-fehlerfreie DFT mit N = 16]]

	Zu dieser Darstellung ist Folgendes anzumerken:		Zu dieser Darstellung ist Folgendes anzumerken:

David am 26. März 2016 um 05:42 Uhr

2016-03-26T05:42:00Z

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Zeile 13:		Zeile 13:
	Ein Gütekriterium, das beide Fehlerarten berücksichtigt, ist der '''mittlere quadratische Fehler''':		Ein Gütekriterium, das beide Fehlerarten berücksichtigt, ist der '''mittlere quadratische Fehler''':

			$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
			\left\|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right\|^2 \hspace{0.05cm}.$$

	Dieser ist stets ungleich 0. Die Größe von MQF hängt von folgenden Parametern ab:		Dieser ist stets ungleich 0. Die Größe von MQF hängt von folgenden Parametern ab:
	*den Eigenschaften der vorliegenden Zeitfunktion $x(t)$ bzw. des Spektrums $X(f)$,		*den Eigenschaften der vorliegenden Zeitfunktion $x(t)$ bzw. des Spektrums $X(f)$,
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	Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT (Dauer 7:26)		Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT (Dauer 7:26)

			[[Datei:P_ID2732__Sig_T_5_3_programm.png\|250px\|right\|Bildschirmabzug des Programms „Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT”]]

	{{Beispiel}}		{{Beispiel}}
	Wir betrachten beispielhaft einen Gaußimpuls mit $\Delta t = T$ (äquivalente Impulsdauer):		Wir betrachten beispielhaft einen Gaußimpuls mit $\Delta t = T$ (äquivalente Impulsdauer):

			$$x(t) = {\rm e}^{- \pi (t/T)^2} \hspace{0.05cm}.$$

	Der Gaußimpuls eignet sich aufgrund des schnellen, exponentiellen Abklingens sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich sehr gut für die Anwendung der DFT. Die folgende Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für $N = 16$ und $T_A/T = 0.25$. Damit gilt auch: $f_A \cdot T = 0.25$.		Der Gaußimpuls eignet sich aufgrund des schnellen, exponentiellen Abklingens sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich sehr gut für die Anwendung der DFT. Die folgende Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für $N = 16$ und $T_A/T = 0.25$. Damit gilt auch: $f_A \cdot T = 0.25$.

			[[Datei:\|P_ID1142__Sig_T_5_3_S1_neu.png250px\|right\|Quasi-fehlerfreie DFT mit N = 16]]

	Zu dieser Darstellung ist Folgendes anzumerken:		Zu dieser Darstellung ist Folgendes anzumerken:
Zeile 51:		Zeile 59:
	{{Beispiel}}		{{Beispiel}}
	Die Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für gleiches $x(t)$ und $X(f)$ wie auf der letzten Seite, aber nun mit den DFT–Parametern $N = 16$ und $T_A/T = 0.125$.		Die Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für gleiches $x(t)$ und $X(f)$ wie auf der letzten Seite, aber nun mit den DFT–Parametern $N = 16$ und $T_A/T = 0.125$.

			[[Datei:P_ID1143__Sig_T_5_3_S2_neu.png\|250px\|right\|Abbruchfehler bei einer DFT mit N = 16]]

	Aus dem Vergleich mit der vorherigen Grafik (gültig für $T_A/T = 0.25$) erkennt man:		Aus dem Vergleich mit der vorherigen Grafik (gültig für $T_A/T = 0.25$) erkennt man:
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	{{Beispiel}}		{{Beispiel}}
	Die folgende Grafik verdeutlicht den Aliasingfehler bei gaußförmigem $x(t)$ bzw. $X(f)$. Es gelten die DFT–Parameter $N$ = 16 und $f_A \cdot T$ = 0.125. Vergleichen Sie das DFT–Ergebnis mit der Grafik bei günstigerer Frequenzauflösung ($f_A \cdot T = 0.25$, ebenfalls für $N = 16$).		Die folgende Grafik verdeutlicht den Aliasingfehler bei gaußförmigem $x(t)$ bzw. $X(f)$. Es gelten die DFT–Parameter $N$ = 16 und $f_A \cdot T$ = 0.125. Vergleichen Sie das DFT–Ergebnis mit der Grafik bei günstigerer Frequenzauflösung ($f_A \cdot T = 0.25$, ebenfalls für $N = 16$).

			[[Datei:P_ID2733__Sig_T_5_3_S3_neu.png\|250px\|right\|Aliasingfehler bei einer DFT mit N = 16]]

	Mit $N = 16$ und $f_A \cdot T = 0.125$ gilt für die anderen DFT–Parametern:		Mit $N = 16$ und $f_A \cdot T = 0.125$ gilt für die anderen DFT–Parametern:

David am 26. März 2016 um 05:37 Uhr

2016-03-26T05:37:50Z

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Zeile 34:		Zeile 34:

	{{end}}		{{end}}


	==DFT - Verfälschung durch Fensterung - Abbruchfehler==		==DFT - Verfälschung durch Fensterung - Abbruchfehler==
Zeile 94:		Zeile 95:
	*Der mittlere DFT–Koeffizient (für die Frequenz $f = 0$) ist nahezu richtig, während zu den Rändern hin die Fehler der DFT–Koeffizienten deutlich zunehmen.		*Der mittlere DFT–Koeffizient (für die Frequenz $f = 0$) ist nahezu richtig, während zu den Rändern hin die Fehler der DFT–Koeffizienten deutlich zunehmen.
	*Der DFT–Koeffizient für $f \cdot T = –1$ ist beispielsweise doppelt so groß als er sein sollte, da die Gaußfunktion mit dem Zentrum bei $f \cdot T = –2$ den gleichen Beitrag liefert wie die eigentliche Gaußfunktion um $f \cdot T = 0$ (siehe gelbe Hinterlegung).		*Der DFT–Koeffizient für $f \cdot T = –1$ ist beispielsweise doppelt so groß als er sein sollte, da die Gaußfunktion mit dem Zentrum bei $f \cdot T = –2$ den gleichen Beitrag liefert wie die eigentliche Gaußfunktion um $f \cdot T = 0$ (siehe gelbe Hinterlegung).


			{{end}}

David am 26. März 2016 um 05:37 Uhr

2016-03-26T05:37:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2016, 07:37 Uhr
Zeile 88:		Zeile 88:
	*Der Abbruchfehler spielt wegen $T_P/T = 8$ keine Rolle (schon $T_P/T = 4$ war ausreichend).		*Der Abbruchfehler spielt wegen $T_P/T = 8$ keine Rolle (schon $T_P/T = 4$ war ausreichend).
	*Wegen $f_P \cdot T = 2$ entsteht nun allerdings Aliasing, weil die DFT von der Summe vieler Gaußfunktionen im Abstand $f_P \cdot T = 2$ ausgeht (gestrichelten Kurven in der Grafik ).		*Wegen $f_P \cdot T = 2$ entsteht nun allerdings Aliasing, weil die DFT von der Summe vieler Gaußfunktionen im Abstand $f_P \cdot T = 2$ ausgeht (gestrichelten Kurven in der Grafik ).
	*Somit ergibt sich hier mit $\text{MQF} \approx 2 /cdot 10^{-4} ein noch größerer Fehlerwert als durch den Abbruchfehler im letzten Beispiel.		*Somit ergibt sich hier mit $\text{MQF} \approx 2 /cdot 10^{-4}$ ein noch größerer Fehlerwert als durch den Abbruchfehler im letzten Beispiel.

David am 26. März 2016 um 05:36 Uhr

2016-03-26T05:36:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2016, 07:36 Uhr
Zeile 66:		Zeile 66:
	Auch durch eine ungeeignete Abtastung der Zeitfunktion $x(t)$ kann es zu einer Verfälschung des DFT–Ergebnisses kommen. Dieser so genannte Aliasingfehler lässt sich wie folgt erklären:		Auch durch eine ungeeignete Abtastung der Zeitfunktion $x(t)$ kann es zu einer Verfälschung des DFT–Ergebnisses kommen. Dieser so genannte Aliasingfehler lässt sich wie folgt erklären:
	*Die Abtastung von $x(t)$ im Abstand $T_A$ bewirkt eine periodische Fortsetzung des Spektrums bei ganzzahligen Vielfachen der Periodisierungsfrequenz $f_P = 1/T_A$.		*Die Abtastung von $x(t)$ im Abstand $T_A$ bewirkt eine periodische Fortsetzung des Spektrums bei ganzzahligen Vielfachen der Periodisierungsfrequenz $f_P = 1/T_A$.
	*Besitzt das Spektrum $X(f)$ auch Spektralanteile bei $\|f\| > ~~f$P~~/2$, so ist das Abtasttheorem nicht erfüllt; es kommt zu Überlappungen der zu addierenden, verschobenen Frequenzanteile.		*Besitzt das Spektrum $X(f)$ auch Spektralanteile bei $\|f\| > f_P/2$, so ist das Abtasttheorem nicht erfüllt; es kommt zu Überlappungen der zu addierenden, verschobenen Frequenzanteile.
	*Nur bei bandbegrenztem Signal kann der Aliasingfehler durch geeignete DFT–Parameter vermieden werden. Dagegen ist bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen dieser Fehler unvermeidbar, da zeitbegrenzte Signale nicht gleichzeitig bandbegrenzt sein können.		*Nur bei bandbegrenztem Signal kann der Aliasingfehler durch geeignete DFT–Parameter vermieden werden. Dagegen ist bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen dieser Fehler unvermeidbar, da zeitbegrenzte Signale nicht gleichzeitig bandbegrenzt sein können.
	*Der Aliasingfehler wird durch eine feinere Abtastung (also: kleineres $T_A = 1/f_P$) kleiner. Dies erreicht man bei gleichbleibendem $T_P$ – um den Abbruchfehler nicht anwachsen zu lassen – allerdings nur durch ein größeres N und damit einen größeren Rechenaufwand.		*Der Aliasingfehler wird durch eine feinere Abtastung (also: kleineres $T_A = 1/f_P$) kleiner. Dies erreicht man bei gleichbleibendem $T_P$ – um den Abbruchfehler nicht anwachsen zu lassen – allerdings nur durch ein größeres N und damit einen größeren Rechenaufwand.

David am 26. März 2016 um 05:34 Uhr

2016-03-26T05:34:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2016, 07:34 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	*Mit $f_A \cdot T$ = 0.25 sowie $N$ = 16 ergibt sich der (normierte) DFT–Parameter $f_P \cdot T = 4$. Die diskreten Spektrallinien der DFT liegen somit im Bereich $–2 ≤ f \cdot T < +2$.		*Mit $f_A \cdot T$ = 0.25 sowie $N$ = 16 ergibt sich der (normierte) DFT–Parameter $f_P \cdot T = 4$. Die diskreten Spektrallinien der DFT liegen somit im Bereich $–2 ≤ f \cdot T < +2$.
	*Der mittlere quadratrische Fehler ist mit $\text{MQF} \approx 10^{–12}$ relativ klein, was auf die günstige Wahl von $f_A \cdot T = 0.25$ (bei gegebenem $N = 16$) zurückzuführen ist.		*Der mittlere quadratrische Fehler ist mit $\text{MQF} \approx 10^{–12}$ relativ klein, was auf die günstige Wahl von $f_A \cdot T = 0.25$ (bei gegebenem $N = 16$) zurückzuführen ist.
	*Die DFT–Genauigkeit kann durch Vergrößerung von $N$ verbessert werden. Für $N = 1024$ erhält man den kleinstmöglichen Wert $\text{MQF} \approx 8 \cdot 10^{–17}, wenn $f_A \cdot T = 0.125$ gewählt wird. Für die anderen DFT–Parameter gilt dann $f_P \cdot T = 128$, $T_A/T = 1/128$ und $T_P/T = 8$.		*Die DFT–Genauigkeit kann durch Vergrößerung von $N$ verbessert werden. Für $N = 1024$ erhält man den kleinstmöglichen Wert $\text{MQF} \approx 8 \cdot 10^{–17}$, wenn $f_A \cdot T = 0.125$ gewählt wird. Für die anderen DFT–Parameter gilt dann $f_P \cdot T = 128$, $T_A/T = 1/128$ und $T_P/T = 8$.

David am 26. März 2016 um 05:33 Uhr

2016-03-26T05:33:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2016, 07:33 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Der mittlere quadratische Fehler Qualitätskriterium==		==Der mittlere quadratische Fehler Qualitätskriterium==

	Im Folgenden werden einige Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT kurz diskutiert, wobei wir uns auf die Transformation vom Zeit– in den Frequenzbereich beschränken. Auch in seinen Abtastwerten wird sich im Allgemeinen das über die DFT ermittelte Spektrum $D(/mu)/f_A$ vom tatsächlichen Spektrum $X(\mu \cdot f_A)$ unterscheiden, was auf zwei Prozesse zurückzuführen ist:		Im Folgenden werden einige Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT kurz diskutiert, wobei wir uns auf die Transformation vom Zeit– in den Frequenzbereich beschränken. Auch in seinen Abtastwerten wird sich im Allgemeinen das über die DFT ermittelte Spektrum $D(/mu )/f_A$ vom tatsächlichen Spektrum $X(\mu \cdot f_A)$ unterscheiden, was auf zwei Prozesse zurückzuführen ist:
	*die Abtastung, also die Reduzierung der Information über $x(t)$ auf $N$ Zahlenwerte,		*die Abtastung, also die Reduzierung der Information über $x(t)$ auf $N$ Zahlenwerte,
	*die Fensterung, die das Signal $x(t)$ eventuell fälschlicherweise begrenzt.		*die Fensterung, die das Signal $x(t)$ eventuell fälschlicherweise begrenzt.
Zeile 29:		Zeile 29:
	*Die berücksichtigten Abtastwerte von $x(t)$ liegen im Bereich $\|t/T\| ≤ 2$. Da $x(\pm 2T)$ sehr klein ist, führt die Periodifizierung im Zeitbereich zu keinen gravierenden Fehlern.		*Die berücksichtigten Abtastwerte von $x(t)$ liegen im Bereich $\|t/T\| ≤ 2$. Da $x(\pm 2T)$ sehr klein ist, führt die Periodifizierung im Zeitbereich zu keinen gravierenden Fehlern.
	*Mit $f_A \cdot T$ = 0.25 sowie $N$ = 16 ergibt sich der (normierte) DFT–Parameter $f_P \cdot T = 4$. Die diskreten Spektrallinien der DFT liegen somit im Bereich $–2 ≤ f \cdot T < +2$.		*Mit $f_A \cdot T$ = 0.25 sowie $N$ = 16 ergibt sich der (normierte) DFT–Parameter $f_P \cdot T = 4$. Die diskreten Spektrallinien der DFT liegen somit im Bereich $–2 ≤ f \cdot T < +2$.
	*Der mittlere quadratrische Fehler ist mit $\text{MQF} \approx 10^{–12} relativ klein, was auf die günstige Wahl von $f_A \cdot T = 0.25$ (bei gegebenem $N = 16$) zurückzuführen ist.		*Der mittlere quadratrische Fehler ist mit $\text{MQF} \approx 10^{–12}$ relativ klein, was auf die günstige Wahl von $f_A \cdot T = 0.25$ (bei gegebenem $N = 16$) zurückzuführen ist.
	*Die DFT–Genauigkeit kann durch Vergrößerung von $N$ verbessert werden. Für $N = 1024$ erhält man den kleinstmöglichen Wert $\text{MQF} \approx 8 \cdot 10^{–17}, wenn $f_A \cdot T = 0.125$ gewählt wird. Für die anderen DFT–Parameter gilt dann $f_P \cdot T = 128$, $T_A/T = 1/128$ und $T_P/T = 8$.		*Die DFT–Genauigkeit kann durch Vergrößerung von $N$ verbessert werden. Für $N = 1024$ erhält man den kleinstmöglichen Wert $\text{MQF} \approx 8 \cdot 10^{–17}, wenn $f_A \cdot T = 0.125$ gewählt wird. Für die anderen DFT–Parameter gilt dann $f_P \cdot T = 128$, $T_A/T = 1/128$ und $T_P/T = 8$.

David am 26. März 2016 um 05:29 Uhr

2016-03-26T05:29:48Z

David am 26. März 2016 um 05:24 Uhr

2016-03-26T05:24:16Z

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 ==Der mittlere quadratische Fehler Qualitätskriterium==
 ==DFT - Verfälschung durch Fensterung - Abbruchfehler==
 ==DFT - Verfälschung durch Abtastung - Aliasingfehler==
 ==Aufgaben zu Kapitel 5.3==

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2016, 07:29 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	Wir betrachten beispielhaft einen Gaußimpuls mit $\Delta t = T$ (äquivalente Impulsdauer):		Wir betrachten beispielhaft einen Gaußimpuls mit $\Delta t = T$ (äquivalente Impulsdauer):

	Der Gaußimpuls eignet sich aufgrund des schnellen, exponentiellen Abklingens sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich sehr gut für die Anwendung der DFT. Die folgende Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für $N$ = 16 und $T_A/T$ = 0.25. Damit gilt auch: $f_A \cdot T$ = 0.25.		Der Gaußimpuls eignet sich aufgrund des schnellen, exponentiellen Abklingens sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich sehr gut für die Anwendung der DFT. Die folgende Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für $N = 16$ und $T_A/T = 0.25$. Damit gilt auch: $f_A \cdot T = 0.25$.

	Zu dieser Darstellung ist Folgendes anzumerken:		Zu dieser Darstellung ist Folgendes anzumerken:
	*Die berücksichtigten Abtastwerte von $x(t)$ liegen im Bereich $\|t/T\| ≤ 2$. Da $x(\pm 2T)$ sehr klein ist, führt die Periodifizierung im Zeitbereich zu keinen gravierenden Fehlern.		*Die berücksichtigten Abtastwerte von $x(t)$ liegen im Bereich $\|t/T\| ≤ 2$. Da $x(\pm 2T)$ sehr klein ist, führt die Periodifizierung im Zeitbereich zu keinen gravierenden Fehlern.
	*Mit $f_A \cdot T$ = 0.25 sowie $N$ = 16 ergibt sich der (normierte) DFT–Parameter $f_P \cdot T = 4$. Die diskreten Spektrallinien der DFT liegen somit im Bereich $–2 ≤ f \cdot T < +2$.		*Mit $f_A \cdot T$ = 0.25 sowie $N$ = 16 ergibt sich der (normierte) DFT–Parameter $f_P \cdot T = 4$. Die diskreten Spektrallinien der DFT liegen somit im Bereich $–2 ≤ f \cdot T < +2$.
	*Der mittlere quadratrische Fehler ist mit MQF ~~≈ 10–12~~ relativ klein, was auf die günstige Wahl von ~~fA ·~~ T = 0.25 (bei gegebenem N = 16) zurückzuführen ist.		*Der mittlere quadratrische Fehler ist mit $\text{MQF} \approx 10^{–12} relativ klein, was auf die günstige Wahl von $f_A \cdot T = 0.25$ (bei gegebenem $N = 16$) zurückzuführen ist.
	*Die DFT–Genauigkeit kann durch Vergrößerung von N verbessert werden. Für N = 1024 erhält man den kleinstmöglichen Wert MQF ≈ 8 ~~· 10–17~~, wenn ~~fA ·~~ T = 0.125 gewählt wird. Für die anderen DFT–Parameter gilt dann ~~fP ·~~ T = 128, TA/T = 1/128 und TP/T = 8.		*Die DFT–Genauigkeit kann durch Vergrößerung von $N$ verbessert werden. Für $N = 1024$ erhält man den kleinstmöglichen Wert $\text{MQF} \approx 8 \cdot 10^{–17}, wenn $f_A \cdot T = 0.125$ gewählt wird. Für die anderen DFT–Parameter gilt dann $f_P \cdot T = 128$, $T_A/T = 1/128$ und $T_P/T = 8$.


Zeile 49:		Zeile 49:

	{{Beispiel}}		{{Beispiel}}
	Die Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für gleiches $x(t)$ und $X(f)$ wie auf der letzten Seite, aber nun mit den DFT–Parametern $N$ = 16 und $T_A/T$ = 0.125.		Die Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für gleiches $x(t)$ und $X(f)$ wie auf der letzten Seite, aber nun mit den DFT–Parametern $N = 16$ und $T_A/T = 0.125$.

	Aus dem Vergleich mit der vorherigen Grafik (gültig für $T_A/T$ = 0.25) erkennt man:		Aus dem Vergleich mit der vorherigen Grafik (gültig für $T_A/T = 0.25$) erkennt man:
	*Die Frequenzabtastwerte treten nun mit doppelt so großem Abstand auf: $f_A \cdot T = 0.5$.		*Die Frequenzabtastwerte treten nun mit doppelt so großem Abstand auf: $f_A \cdot T = 0.5$.
	*Gleichzeitig verringert sich $T_P/T$ von 4 auf 2.		*Gleichzeitig verringert sich $T_P/T$ von $4$ auf $2$.
	*Damit werden nun nur noch die Signalanteile im Bereich $\|t\| < T$ durch die DFT erfasst.		*Damit werden nun nur noch die Signalanteile im Bereich $\|t\| < T$ durch die DFT erfasst.
	Mit diesen DFT–Parametern entsteht ein '''Abbruchfehler''', durch den der mittlere quadratische Fehler (MQF) signifikant von $10^{–12}$ auf $4 \cdot 10^{–5} vergrößert wird.

			Mit diesen DFT–Parametern entsteht ein '''Abbruchfehler''', durch den der mittlere quadratische Fehler (MQF) signifikant von $10^{–12}$ auf $4 \cdot 10^{–5}$ vergrößert wird.

			{{end}}