Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT - Versionsgeschichte

Guenter am 17. Mai 2021 um 13:56 Uhr

2021-05-17T13:56:11Z

Guenter am 17. Mai 2021 um 12:32 Uhr

2021-05-17T12:32:35Z

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2021-05-17T09:27:43Z

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Guenter am 27. Juli 2018 um 14:03 Uhr

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Guenter am 1. Februar 2018 um 10:34 Uhr

2018-02-01T10:34:44Z

Guenter am 1. Februar 2018 um 10:31 Uhr

2018-02-01T10:31:20Z

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 *Im Grenzfall&nbsp; $T_{\rm P} \to \infty$, was bei gegebenem Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; der Abtastwerte auch eine unendlich große Stützstellenzahl&nbsp; $N$&nbsp; bedeuten würde, entartet&nbsp; $T_{\rm P} \cdot \text{si}(\pi fT_{\rm P})$&nbsp; zu einer Diracfunktion und das Originalspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; bliebe erhalten.
 *Die DFT eines zeitlich unbegrenzten Signals – zum Beispiel eines periodischen Signals – wird immer einen Abbruchfehler hervorrufen, der nur durch besondere Maßnahmen in Grenzen gehalten werden kann.&nbsp; Hierauf wird im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]]&nbsp; näher eingegangen.
-*Bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen lässt sich der Abbruchfehler vermeiden, wenn man&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; hinreichend groß wählt.&nbsp; Durch weitere Vergrößerung des Fensters in Bereiche mit&nbsp; $x(t) \approx 0$&nbsp; ergibt sich kein zusätzlicher Informationsgewinn  &nbsp; ⇒  &nbsp; $\text{MQF}$&nbsp; wird nicht kleiner.
+*Bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen lässt sich der Abbruchfehler vermeiden, wenn man&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; hinreichend groß wählt.&nbsp; Durch weitere Vergrößerung des Fensters in Bereiche mit&nbsp; $x(t) \equiv 0$&nbsp; ergibt sich kein zusätzlicher Informationsgewinn  &nbsp; ⇒  &nbsp; $\text{MQF}$&nbsp; wird nicht kleiner.
 *Durch dieses Anfügen von Nullen&nbsp; $\text{(zero–padding)}$&nbsp; treten nun die Abtastwerte von&nbsp; $X(f)$&nbsp; in kleinerem Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; auf.&nbsp; Durch&nbsp; $T_{\rm P}$–Verdopplung erreicht man eine Interpolation der Frequenzabtastwerte genau in der Mitte zwischen zwei vorherigen Stützstellen.

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 Die untere Grafik zeigt das DFT&ndash;Ergebnis
 *für&nbsp; $N = 16$&nbsp; und
-*$T_{\rm A}/T = 0.25$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm A} \cdot T = 0.25$.
+*$T_{\rm A}/T = 0.25$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm A} \cdot T = 0.25$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_{\rm P}/T = 4$.
 <br clear=all>
 Zu dieser Darstellung ist Folgendes anzumerken:
-*Die berücksichtigten Abtastwerte von&nbsp; $x(t)$&nbsp; liegen im Bereich&nbsp; $\vert t/T \vert≤ 2$.&nbsp; Da&nbsp; $x(\pm 2T)$&nbsp; sehr klein ist, führt die Periodifizierung im Zeitbereich mit&nbsp; $T_{\rm P}/T = N \cdot T_{\rm A}/T = 2$&nbsp; zu keinen gravierenden Fehlern.
+*Die berücksichtigten Abtastwerte von&nbsp; $x(t)$&nbsp; liegen im Bereich&nbsp; $\vert t/T \vert≤ 2$.&nbsp; Da&nbsp; $x(\pm 2T)$&nbsp; sehr klein ist, führt die Periodifizierung im Zeitbereich mit&nbsp; $T_{\rm P}/T = N \cdot T_{\rm A}/T = 4$&nbsp; zu keinen gravierenden Fehlern.
 *Mit&nbsp; $f_{\rm A} \cdot T = 0.25$&nbsp; sowie&nbsp; $N = 16$&nbsp; ergibt sich der (normierte) DFT–Parameter&nbsp; $f_{\rm P} \cdot T = 4$.
 *Die diskreten Spektrallinien der DFT liegen somit im Bereich&nbsp; $–2/T ≤  f  < +2/T$.
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 :*Für&nbsp; $N = 1024$&nbsp; erhält man den kleinstmöglichen Wert&nbsp; $\text{MQF} \approx 8 \cdot 10^{–17}$, wenn&nbsp; $f_{\rm A} \cdot T = 0.125$&nbsp; gewählt wird.&nbsp; Für die weiteren DFT–Parameter gilt dann:
 :: $$f_{\rm P} \cdot T = 128, \hspace{0.5cm}T_{\rm A}/T = 1/128,  \hspace{0.5cm} T_{\rm P}/T = N \cdot T_{\rm A}/T= 8.$$
-:*Bei einem 32&ndash;Bit&ndash;Prozessor (das bedeutet:&nbsp; kleinere Quantisierungsfehler des Rechners)&nbsp; wäre&nbsp; $\text{MQF}$&nbsp; noch kleiner, aber niemals Null. }}
+:*Die angegebenen&nbsp; $\text{MQF}$&ndash;Werte gelten für einen&nbsp; 16Bit&ndash;Prozessor.&nbsp; Bei einem 32&ndash;Bit&ndash;Prozessor (das bedeutet:&nbsp; kleinere Quantisierungsfehler des Rechners)&nbsp; wäre&nbsp; $\text{MQF}$&nbsp; noch kleiner, aber niemals Null. }}

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 ==Der mittlere quadratische Fehler als Qualitätskriterium==
 <br>
-Im Folgenden werden einige Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT kurz diskutiert, wobei wir uns auf die Transformation vom Zeit– in den Frequenzbereich beschränken. Auch in seinen Abtastwerten wird sich im Allgemeinen das über die DFT ermittelte Spektrum&nbsp; $D(\mu )/f_{\rm A}$&nbsp; vom tatsächlichen Spektrum&nbsp; $X(\mu \cdot f_{\rm A})$&nbsp; unterscheiden, was auf zwei Prozesse zurückzuführen ist:
+Im Folgenden werden einige Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT kurz diskutiert, wobei wir uns auf die Transformation vom Zeit– in den Frequenzbereich beschränken.&nbsp; Auch in seinen Abtastwerten wird sich im Allgemeinen das über die DFT ermittelte Spektrum&nbsp; $D(\mu )/f_{\rm A}$&nbsp; vom tatsächlichen Spektrum&nbsp; $X(\mu \cdot f_{\rm A})$&nbsp; unterscheiden, was auf zwei Prozesse zurückzuführen ist:
-*die&nbsp; '''Abtastung''', also die Reduzierung der Information über&nbsp; $x(t)$&nbsp; auf&nbsp; $N$&nbsp; Zahlenwerte,
+*die&nbsp; $\text{Abtastung}$, also die Reduzierung der Information über&nbsp; $x(t)$&nbsp; auf&nbsp; $N$&nbsp; Zahlenwerte,
-*die&nbsp; '''Fensterung''', die das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; eventuell fälschlicherweise begrenzt.
+*die&nbsp; $\text{Fensterung}$, die das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; eventuell fälschlicherweise begrenzt.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Ein Gütekriterium, das beide Fehlerarten berücksichtigt, ist der&nbsp; '''mittlere quadratische Fehler''':
+Ein Gütekriterium, das beide Fehlerarten berücksichtigt, ist der&nbsp; $\text{mittlere quadratische Fehler}$:
 :$${\rm MQF} =  \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
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 *Der mittlere quadratrische Fehler ist relativ klein&nbsp; $\text{(MQF} \approx 10^{–12})$, was auf die günstige Wahl von&nbsp; $f_{\rm A} \cdot T = 0.25$&nbsp; $($bei gegebenem&nbsp;  $N = 16)$&nbsp; zurückzuführen ist.
 *Die DFT–Genauigkeit kann durch Vergrößerung von&nbsp; $N$&nbsp; verbessert werden:
-:*Für&nbsp; $N = 1024$&nbsp; erhält man den kleinstmöglichen Wert&nbsp; $\text{MQF} \approx 8 \cdot 10^{–17}$, wenn&nbsp; $f_{\rm A} \cdot T = 0.125$&nbsp; gewählt wird. Für die weiteren DFT–Parameter gilt dann:
+:*Für&nbsp; $N = 1024$&nbsp; erhält man den kleinstmöglichen Wert&nbsp; $\text{MQF} \approx 8 \cdot 10^{–17}$, wenn&nbsp; $f_{\rm A} \cdot T = 0.125$&nbsp; gewählt wird.&nbsp; Für die weiteren DFT–Parameter gilt dann:
 :: $$f_{\rm P} \cdot T = 128, \hspace{0.5cm}T_{\rm A}/T = 1/128,  \hspace{0.5cm} T_{\rm P}/T = N \cdot T_{\rm A}/T= 8.$$
 :*Bei einem 32&ndash;Bit&ndash;Prozessor (das bedeutet:&nbsp; kleinere Quantisierungsfehler des Rechners)&nbsp; wäre&nbsp; $\text{MQF}$&nbsp; noch kleiner, aber niemals Null. }}
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 ==DFT-Verfälschung durch Fensterung &ndash; Abbruchfehler==
 <br>
-Ein typischer Fehler bei Anwendung der DFT ist auf die&nbsp; '''Fensterung'''&nbsp; zurückzuführen. Diese als&nbsp; ''Abbruchfehler''&nbsp; bekannte Verfälschung lässt sich folgendermaßen erklären:
+Ein typischer Fehler bei Anwendung der DFT ist auf die&nbsp; $\text{Fensterung}$&nbsp; zurückzuführen.&nbsp; Diese als&nbsp; &bdquo;Abbruchfehler&rdquo;&nbsp; bekannte Verfälschung lässt sich folgendermaßen erklären:
-*Die im DFT–Algorithmus implizit enthaltene Fensterung entspricht der Multiplikation des Signals&nbsp; $x(t)$ mit&nbsp; einer Rechteckfunktion der Höhe&nbsp; $1$&nbsp; und der Dauer&nbsp; $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
+*Die im DFT–Algorithmus implizit enthaltene Fensterung entspricht der Multiplikation des Signals&nbsp; $x(t)$ mit&nbsp; einem Rechteck der Höhe&nbsp; $1$&nbsp; und der Dauer&nbsp; $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
-*Ist das Zeitsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; nicht auf den Bereich&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; begrenzt, so stimmt das DFT–Ergebnis nicht mit dem tatsächlichen Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; überein, sondern ergibt sich aus diesem durch Faltung mit der Spektralfunktion&nbsp; $T_{\rm P} \cdot \text{si}(\pi fT_{\rm P})$.
+*Ist das Zeitsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; nicht auf den Bereich&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; begrenzt, so stimmt das DFT–Ergebnis nicht mit dem tatsächlichen Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; überein, sondern ergibt sich aus diesem durch Faltung mit der Spektralfunktion&nbsp; $T_{\rm P} \cdot \text{si}(\pi fT_{\rm P})$,&nbsp; wobei&nbsp; $\text{si}(x) = \sin(x)/x=\text{sinc}(x/\pi)$ .
 *Im Grenzfall&nbsp; $T_{\rm P} \to \infty$, was bei gegebenem Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; der Abtastwerte auch eine unendlich große Stützstellenzahl&nbsp; $N$&nbsp; bedeuten würde, entartet&nbsp; $T_{\rm P} \cdot \text{si}(\pi fT_{\rm P})$&nbsp; zu einer Diracfunktion und das Originalspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; bliebe erhalten.
-*Die DFT eines zeitlich unbegrenzten Signals – zum Beispiel eines periodischen Signals – wird immer einen Abbruchfehler hervorrufen, der nur durch besondere Maßnahmen in Grenzen gehalten werden kann. Hierauf wird im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]]&nbsp; näher eingegangen.
+*Die DFT eines zeitlich unbegrenzten Signals – zum Beispiel eines periodischen Signals – wird immer einen Abbruchfehler hervorrufen, der nur durch besondere Maßnahmen in Grenzen gehalten werden kann.&nbsp; Hierauf wird im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]]&nbsp; näher eingegangen.
-*Bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen lässt sich der Abbruchfehler vermeiden, wenn man&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; hinreichend groß wählt. Durch weitere Vergrößerung des Fensters in Bereiche mit&nbsp; $x(t) \approx 0$&nbsp; ergibt sich kein zusätzlicher Informationsgewinn  &nbsp; ⇒  &nbsp; $\text{MQF}$&nbsp; wird nicht kleiner.
+*Bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen lässt sich der Abbruchfehler vermeiden, wenn man&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; hinreichend groß wählt.&nbsp; Durch weitere Vergrößerung des Fensters in Bereiche mit&nbsp; $x(t) \approx 0$&nbsp; ergibt sich kein zusätzlicher Informationsgewinn  &nbsp; ⇒  &nbsp; $\text{MQF}$&nbsp; wird nicht kleiner.
-*Durch dieses Anfügen von Nullen&nbsp; '''(zero–padding)'''&nbsp; treten nun die Abtastwerte von&nbsp; $X(f)$&nbsp; in kleinerem Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; auf. Durch&nbsp; $T_{\rm P}$–Verdopplung erreicht man eine Interpolation der Frequenzabtastwerte genau in der Mitte zwischen zwei vorherigen Stützstellen.
+*Durch dieses Anfügen von Nullen&nbsp; $\text{(zero–padding)}$&nbsp; treten nun die Abtastwerte von&nbsp; $X(f)$&nbsp; in kleinerem Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; auf.&nbsp; Durch&nbsp; $T_{\rm P}$–Verdopplung erreicht man eine Interpolation der Frequenzabtastwerte genau in der Mitte zwischen zwei vorherigen Stützstellen.
@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
 Die Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für gleiches&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $X(f)$&nbsp; sowie gleiches&nbsp; $N = 16$&nbsp; wie im&nbsp; [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#Der_mittlere_quadratische_Fehler_als_Qualit.C3.A4tskriterium|$\text{Beispiel 1}$]], aber nun mit demgegenüber um den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; feinerer Abtastung im Zeitbereich:
-:$$T_{\rm A}/T = 0.125 &nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp; f_{\rm A} \cdot T = 0.5.$$
+:$$T_{\rm A}/T = 0.125 \ \Rightarrow \ f_{\rm A} \cdot T = 0.5.$$
 Der Vergleich mit&nbsp; [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#Der_mittlere_quadratische_Fehler_als_Qualit.C3.A4tskriterium|Beispiel 1]]&nbsp; $(T_{\rm A}/T = 0.25 \ \Rightarrow \  f_{\rm A} \cdot T = 0.25)$&nbsp; zeigt:
@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
-'''Zusammengefasst:''' <br>Mit diesen DFT–Parametern entsteht ein&nbsp; '''Abbruchfehler''', durch den der mittlere quadratische Fehler&nbsp; $\rm (MQF)$&nbsp; signifikant von&nbsp; $10^{-12}$ auf $4 \cdot 10^{-5}$&nbsp; vergrößert wird.
+$\text{Zusammengefasst:}$ <br>Mit diesen DFT–Parametern entsteht ein&nbsp; $\text{Abbruchfehler}$', durch den der mittlere quadratische Fehler&nbsp; $\rm (MQF)$&nbsp; signifikant von&nbsp; $10^{-12}$ auf $4 \cdot 10^{-5}$&nbsp; vergrößert wird.
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 ==DFT-Verfälschung durch Abtastung &ndash; Aliasingfehler==
 <br>
-Auch eine ungeeignete Abtastung der Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; kann das DFT–Ergebnis signifikant verfälschen. Dieser so genannte&nbsp; '''Aliasingfehler'''&nbsp; lässt sich wie folgt erklären:
+Auch eine ungeeignete Abtastung der Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; kann das DFT–Ergebnis signifikant verfälschen.&nbsp; Dieser so genannte&nbsp; $\text{Aliasingfehler}$&nbsp; lässt sich wie folgt erklären:
 *Die Abtastung von&nbsp; $x(t)$&nbsp; im Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; bewirkt eine periodische Fortsetzung des Spektrums bei Vielfachen der Periodisierungsfrequenz&nbsp; $f_{\rm P} = 1/T_{\rm A}$.
 *Besitzt das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; auch Spektralanteile bei&nbsp; $|f| > f_{\rm P}/2$, so ist das Abtasttheorem nicht erfüllt und es kommt zu Überlappungen der zu addierenden, verschobenen Frequenzanteile.
-*Nur bei bandbegrenztem Signal kann der Aliasingfehler durch geeignete DFT–Parameter vermieden werden. Dagegen ist bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen dieser Fehler unvermeidbar, da zeitbegrenzte Signale nicht gleichzeitig bandbegrenzt sein können.
+*Nur bei bandbegrenztem Signal kann der Aliasingfehler durch geeignete DFT–Parameter vermieden werden.&nbsp; Dagegen ist bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen dieser Fehler unvermeidbar, da zeitbegrenzte Signale nicht gleichzeitig bandbegrenzt sein können.
-*Der Aliasingfehler wird durch eine feinere Abtastung&nbsp; $($also: &nbsp; kleineres&nbsp; $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P})$&nbsp; kleiner. Dies erreicht man bei gleichbleibendem&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; – um den Abbruchfehler nicht anwachsen zu lassen – allerdings nur durch ein größeres&nbsp; $N$&nbsp; und damit einen größeren Rechenaufwand.
+*Der Aliasingfehler wird durch eine feinere Abtastung&nbsp; $($also: &nbsp; kleineres&nbsp; $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P})$&nbsp; kleiner.&nbsp; Dies erreicht man bei gleichbleibendem&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; – um den Abbruchfehler nicht anwachsen zu lassen – allerdings nur durch ein größeres&nbsp; $N$&nbsp; und damit einen größeren Rechenaufwand.
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Die DFT–Parameter seien&nbsp; $N = 16$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm A} \cdot T= 0.125$. Somit ergibt sich für die drei anderen DFT–Parameter:
+Die DFT–Parameter seien&nbsp; $N = 16$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm A} \cdot T= 0.125$.&nbsp; Somit ergibt sich für die drei anderen DFT–Parameter:
-* $T_{\rm P}/T = 8.0 \hspace{0.5cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ T_{\rm P}/T = 4)$,
+* $T_{\rm P}/T = 8 \hspace{0.8cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ T_{\rm P}/T = 4)$,
-* $f_{\rm P} \cdot T = 2.0 \hspace{0.45cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ f_{\rm P} \cdot T = 4)$,
+* $f_{\rm P} \cdot T = 2 \hspace{0.75cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ f_{\rm P} \cdot T = 4)$,
 * $T_{\rm A}/T = 0.5\hspace{0.45cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ T_{\rm A}/T = 0.25)$.

@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
 ==DFT-Verfälschung durch Abtastung &ndash; Aliasingfehler==
 <br>
-Auch eine ungeeignete Abtastung der Zeitfunktion $x(t)$ kann das DFT–Ergebnis signifikant verfälschen. Dieser so genannte '''Aliasingfehler''' lässt sich wie folgt erklären:
+Auch eine ungeeignete Abtastung der Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; kann das DFT–Ergebnis signifikant verfälschen. Dieser so genannte&nbsp; '''Aliasingfehler'''&nbsp; lässt sich wie folgt erklären:
-*Die Abtastung von $x(t)$ im Abstand $T_{\rm A}$ bewirkt eine periodische Fortsetzung des Spektrums bei Vielfachen der Periodisierungsfrequenz $f_{\rm P} = 1/T_{\rm A}$.
+*Die Abtastung von&nbsp; $x(t)$&nbsp; im Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; bewirkt eine periodische Fortsetzung des Spektrums bei Vielfachen der Periodisierungsfrequenz&nbsp; $f_{\rm P} = 1/T_{\rm A}$.
-*Besitzt das Spektrum $X(f)$ auch Spektralanteile bei $|f| > f_{\rm P}/2$, so ist das Abtasttheorem nicht erfüllt und es kommt zu Überlappungen der zu addierenden, verschobenen Frequenzanteile.
+*Besitzt das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; auch Spektralanteile bei&nbsp; $|f| > f_{\rm P}/2$, so ist das Abtasttheorem nicht erfüllt und es kommt zu Überlappungen der zu addierenden, verschobenen Frequenzanteile.
 *Nur bei bandbegrenztem Signal kann der Aliasingfehler durch geeignete DFT–Parameter vermieden werden. Dagegen ist bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen dieser Fehler unvermeidbar, da zeitbegrenzte Signale nicht gleichzeitig bandbegrenzt sein können.
-*Der Aliasingfehler wird durch eine feinere Abtastung (also: &nbsp; kleineres $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P}$) kleiner. Dies erreicht man bei gleichbleibendem $T_{\rm A}$ – um den Abbruchfehler nicht anwachsen zu lassen – allerdings nur durch ein größeres $N$ und damit einen größeren Rechenaufwand.
+*Der Aliasingfehler wird durch eine feinere Abtastung&nbsp; $($also: &nbsp; kleineres&nbsp; $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P})$&nbsp; kleiner. Dies erreicht man bei gleichbleibendem&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; – um den Abbruchfehler nicht anwachsen zu lassen – allerdings nur durch ein größeres&nbsp; $N$&nbsp; und damit einen größeren Rechenaufwand.
-Das folgende $\text{Beispiel 3}$ zeigt einen solchen Aliasingfehler aufgrund falsch gewählter DFT–Parameter:
+Das folgende&nbsp; $\text{Beispiel 3}$&nbsp; zeigt einen solchen Aliasingfehler aufgrund falsch gewählter DFT–Parameter:
-*Gegenüber dem &bdquo;Vergleichssystem&rdquo; gemäß [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#Der_mittlere_quadratische_Fehler_als_Qualit.C3.A4tskriterium|$\text{Beispiel 1}$]]  ist $T_{\rm A}$ zu groß und $f_{\rm A}$ zu klein dimensioniert.
+*Gegenüber dem &bdquo;Vergleichssystem&rdquo; gemäß&nbsp; [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#Der_mittlere_quadratische_Fehler_als_Qualit.C3.A4tskriterium|$\text{Beispiel 1}$]]&nbsp;  ist&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; zu groß und&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; zu klein dimensioniert.
-*Die Stützstellenanzahl ist in beiden Fällen $N = 16$.
+*Die Stützstellenanzahl ist in beiden Fällen&nbsp; $N = 16$.
-[[Datei:P_ID2733__Sig_T_5_3_S3_neu.png|right|frame|Aliasingfehler bei einer DFT mit $N = 16$]]
+[[Datei:P_ID2733__Sig_T_5_3_S3_neu.png|right|frame|Aliasingfehler bei einer DFT mit&nbsp; $N = 16$]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Es gelten die DFT–Parameter $N = 16$ und $f_{\rm A} \cdot T= 0.125$. Somit ergibt sich für die drei anderen DFT–Parameter:
+Die DFT–Parameter seien&nbsp; $N = 16$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm A} \cdot T= 0.125$. Somit ergibt sich für die drei anderen DFT–Parameter:
-* $T_{\rm P}/T = 8$ (Beispiel 1: &nbsp; $T_{\rm P}/T = 4$),
+* $T_{\rm P}/T = 8.0 \hspace{0.5cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ T_{\rm P}/T = 4)$,
-* $f_{\rm P} \cdot T = 2$ (Beispiel 1: &nbsp;  $f_{\rm P} \cdot T = 4$),
+* $f_{\rm P} \cdot T = 2.0 \hspace{0.45cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ f_{\rm P} \cdot T = 4)$,
-* $T_{\rm A}/T = 0.5$ (Beispiel 1: &nbsp;  $T_{\rm A}/T = 0.25$).
+* $T_{\rm A}/T = 0.5\hspace{0.45cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ T_{\rm A}/T = 0.25)$.
 Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:
-*Der Abbruchfehler spielt wegen $T_{\rm P} /T = 8$ weiterhin keine Rolle (schon $T_{\rm P} /T = 4$ war ausreichend).
+*Der Abbruchfehler spielt wegen&nbsp; $T_{\rm P} /T = 8$&nbsp; weiterhin keine Rolle (schon&nbsp; $T_{\rm P} /T = 4$&nbsp; war ausreichend).
-*Wegen $f_{\rm P}  \cdot T = 2$ entsteht nun allerdings Aliasing, weil die DFT von der Summe vieler Gaußfunktionen im Abstand $f_{\rm P}  \cdot T = 2$ ausgeht (dünn gestrichelte Kurven in der Grafik ).
+*Wegen&nbsp; $f_{\rm P}  \cdot T = 2$&nbsp; entsteht nun allerdings Aliasing, weil die DFT von der Summe vieler Gaußfunktionen im Abstand&nbsp; $f_{\rm P}  \cdot T = 2$&nbsp; ausgeht (dünn gestrichelte Kurven in der Grafik ).
-*Die einzelnen DFT–Koeffizienten werden unterschiedlich verfälscht: Der mittlere DFT–Koeffizient (für die Frequenz $f = 0$) ist nahezu richtig, während die Fehler der DFT–Koeffizienten zu den Rändern hin deutlich zunehmen.
+*Die einzelnen DFT–Koeffizienten werden unterschiedlich verfälscht: &nbsp; Der mittlere DFT–Koeffizient&nbsp; $($für die Frequenz&nbsp; $f = 0)$&nbsp; ist nahezu richtig, während die Fehler der DFT–Koeffizienten zu den Rändern hin deutlich zunehmen.
-*Im betrachteten Beispiel ist der DFT–Koeffizient für $f \cdot T = -1$ doppelt so groß als er sein sollte, da die Gaußfunktion mit dem Zentrum bei $f \cdot T = -2$ den gleichen Beitrag liefert wie die eigentliche Gaußfunktion um $f \cdot T = 0$ (siehe gelbe Hinterlegung).
+*Im betrachteten Beispiel ist der DFT–Koeffizient für&nbsp; $f \cdot T = -1$&nbsp; doppelt so groß als er sein sollte, da die Gaußfunktion mit dem Zentrum bei&nbsp; $f \cdot T = -2$&nbsp; den gleichen Beitrag liefert wie die eigentliche Gaußfunktion um&nbsp; $f \cdot T = 0$&nbsp; (siehe gelbe Hinterlegung).
-Somit ergibt sich hier mit $\text{MQF} \approx 2 \cdot 10^{-4}$ ein noch größerer Fehlerwert als durch den Abbruchfehler im [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#DFT-Verf.C3.A4lschung_durch_Fensterung_.E2.80.93_Abbruchfehler|$\text{Beispiel 2}$]].
+Somit ergibt sich hier mit&nbsp; $\text{MQF} \approx 2 \cdot 10^{-4}$&nbsp; ein viermal größerer Fehlerwert als durch den Abbruchfehler im&nbsp; [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#DFT-Verf.C3.A4lschung_durch_Fensterung_.E2.80.93_Abbruchfehler|$\text{Beispiel 2}$]].
-Auch hier verweisen wir auf das Lernvideo [[Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT_(Lernvideo)|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]]. }}
+Wir verweisen nochmals auf das Lernvideo&nbsp; [[Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT_(Lernvideo)|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]]. }}

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 Das folgende $\text{Beispiel 3}$ zeigt einen solchen Aliasingfehler aufgrund falsch gewählter DFT–Parameter:
-*Gegenüber dem &bdquo;Vergleichssystem &rdquo; [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#Der_mittlere_quadratische_Fehler_als_Qualit.C3.A4tskriterium|$\text{Beispiel 1}$]]  ist $T_{\rm A}$ zu groß und $f_{\rm A}$ zu klein dimensioniert.
+*Gegenüber dem &bdquo;Vergleichssystem&rdquo; gemäß [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#Der_mittlere_quadratische_Fehler_als_Qualit.C3.A4tskriterium|$\text{Beispiel 1}$]]  ist $T_{\rm A}$ zu groß und $f_{\rm A}$ zu klein dimensioniert.
 *Die Stützstellenanzahl ist in beiden Fällen $N = 16$.

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 ==Der mittlere quadratische Fehler als Qualitätskriterium==
+<br>
 Im Folgenden werden einige Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT kurz diskutiert, wobei wir uns auf die Transformation vom Zeit– in den Frequenzbereich beschränken. Auch in seinen Abtastwerten wird sich im Allgemeinen das über die DFT ermittelte Spektrum $D(\mu )/f_{\rm A}$ vom tatsächlichen Spektrum $X(\mu \cdot f_{\rm A})$ unterscheiden, was auf zwei Prozesse zurückzuführen ist:
 *die Abtastung, also die Reduzierung der Information über $x(t)$ auf $N$ Zahlenwerte,
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 *dem DFT–Parameter $N$; je größer $N$ gewählt wird, umso kleiner wird ${\rm MQF}$,
 *einem der vier weiteren DFT–Parameter, zum Beispiel $f_{\rm A}$.
 Wir weisen Sie bereits hier auf das Lernvideo [[Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT_(Lernvideo)|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]] hin, das den Inhalt dieses Kapitels verdeutlicht.
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 *Mit $f_{\rm A} \cdot T = 0.25$ sowie $N = 16$ ergibt sich der (normierte) DFT–Parameter $f_{\rm P} \cdot T = 4$. Die diskreten Spektrallinien der DFT liegen somit im Bereich $–2/T ≤  f  < +2/T$.
 *Der mittlere quadratrische Fehler ist mit $\text{MQF} \approx 10^{–12}$ relativ klein, was auf die günstige Wahl von $f_{\rm A} \cdot T = 0.25$ (bei gegebenem  $N = 16$) zurückzuführen ist.
-*Die DFT–Genauigkeit kann durch Vergrößerung von $N$ verbessert werden. Für $N = 1024$ erhält man den kleinstmöglichen Wert $\text{MQF} \approx 8 \cdot 10^{–17}$, wenn $f_{\rm A} \cdot T = 0.125$ gewählt wird. Für die drei weiteren DFT–Parameter gilt dann:
+*Die DFT–Genauigkeit kann durch Vergrößerung von $N$ verbessert werden:
 : $$f_{\rm P} \cdot T = 128, \hspace{0.5cm}T_{\rm A}/T = 1/128,  \hspace{0.5cm} T_{\rm P}/T = N \cdot T_{\rm A}/T= 8.$$
 *Bei einem 32&ndash;Bit&ndash;Prozessor &nbsp; &rArr; &nbsp; kleinere Quantisierungsfehler des Rechners] wäre $\text{MQF}$ noch kleiner, aber nicht Null. }}
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 ==DFT-Verfälschung durch Fensterung &ndash; Abbruchfehler==
+<br>
 Ein typischer Fehler bei Anwendung der DFT ist auf die '''Fensterung''' zurückzuführen. Diese als ''Abbruchfehler'' bekannte Verfälschung lässt sich folgendermaßen erklären:
 *Die im DFT–Algorithmus impliziert enthaltene Fensterung entspricht der Multiplikation des Signals $x(t)$ mit einer Rechteckfunktion der Höhe $1$ und der Dauer $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
 *Ist das Zeitsignal $x(t)$ nicht auf den Bereich $T_{\rm P}$ begrenzt, so stimmt das DFT–Ergebnis nicht mit dem tatsächlichen Spektrum $X(f)$ überein, sondern ergibt sich aus diesem durch Faltung mit der Spektralfunktion $T_{\rm P} \cdot \text{si}(\pi fT_{\rm P})$.
 *Im Grenzfall $T_{\rm P} \to \infty$, was bei gegebenem Abstand $T_{\rm A}$ der Abtastwerte auch eine unendlich große Stützstellenzahl $N$ bedeuten würde, entartet $T_{\rm P} \cdot \text{si}(\pi fT_{\rm P})$ zu einer Diracfunktion und das Originalspektrum $X(f)$ bliebe erhalten.
-*Die DFT eines zeitlich unbegrenzten Signals – zum Beispiel eines periodischen Signals – wird immer einen Abbruchfehler hervorrufen, der nur durch besondere Maßnahmen in Grenzen gehalten werden kann. Hierauf wird in Kapitel [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]] noch näher eingegangen.
+*Die DFT eines zeitlich unbegrenzten Signals – zum Beispiel eines periodischen Signals – wird immer einen Abbruchfehler hervorrufen, der nur durch besondere Maßnahmen in Grenzen gehalten werden kann. Hierauf wird im Kapitel [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]] näher eingegangen.
 *Bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen lässt sich der Abbruchfehler vermeiden, wenn man $T_{\rm P}$ hinreichend groß wählt. Durch weitere Vergrößerung des Fensters in Bereiche mit $x(t) \approx 0$ ergibt sich kein zusätzlicher Informationsgewinn  &nbsp; ⇒  &nbsp; $\text{MQF}$ wird nicht kleiner.
 *Durch dieses Anfügen von Nullen ('''zero–padding''') treten nun die Abtastwerte von $X(f)$ in kleinerem Abstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ auf. Durch $T_{\rm P}$–Verdopplung erreicht man eine Interpolation der Frequenzabtastwerte genau in der Mitte zwischen zwei vorherigen Stützstellen.
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Die Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für gleiches $x(t)$ und $X(f)$ sowie gleiches $N = 16$ wie im [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#Der_mittlere_quadratische_Fehler_als_Qualit.C3.A4tskriterium|Beispiel 1]], aber nun mit um den Faktor $2$ feinerer Abtastung im Zeitbereich:
+Die Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für gleiches $x(t)$ und $X(f)$ sowie gleiches $N = 16$ wie im [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#Der_mittlere_quadratische_Fehler_als_Qualit.C3.A4tskriterium|$\text{Beispiel 1}$]], aber nun mit um den Faktor $2$ feinerer Abtastung im Zeitbereich:
-:$$T_{\rm A}/T = 0.125 &rArr; f_{\rm A} \cdot T = 0.5.$$
+:$$T_{\rm A}/T = 0.125 &nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp; f_{\rm A} \cdot T = 0.5.$$
 Man erkennt aus dem Vergleich mit dem [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#Der_mittlere_quadratische_Fehler_als_Qualit.C3.A4tskriterium|Beispiel 1]], gültig für
-:$$T_{\rm A}/T = 0.25 &rArr; f_{\rm A} \cdot T = 0.25\text{:}$$
+:$$T_{\rm A}/T = 0.25 &nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp; f_{\rm A} \cdot T = 0.25\text{:}$$
 *Die Frequenzabtastwerte treten in doppelt so großem Abstand $f_{\rm A} \cdot T = 0.5$ auf.
 *Gleichzeitig verringert sich $T_{\rm P}/T$ von $4$ auf $2$.
 *Damit werden nun nur noch die Signalanteile im Bereich $\vert t \vert < T$ durch die DFT erfasst.
-<br clear=all>
-Mit diesen DFT–Parametern entsteht ein '''Abbruchfehler''', durch den der mittlere quadratische Fehler $\rm (MQF)$ signifikant von $10^{-12}$ auf $4 \cdot 10^{-5}$ vergrößert wird. Wir verweisen wiederum auf das Lernvideo [[Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT_(Lernvideo)|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]]. }}
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 ==DFT-Verfälschung durch Abtastung &ndash; Aliasingfehler==
 <br>
-Auch durch eine ungeeignete Abtastung der Zeitfunktion $x(t)$ kann es zu einer Verfälschung des DFT–Ergebnisses kommen. Dieser so genannte '''Aliasingfehler''' lässt sich wie folgt erklären:
+Auch eine ungeeignete Abtastung der Zeitfunktion $x(t)$ kann das DFT–Ergebnis signifikant verfälschen. Dieser so genannte '''Aliasingfehler''' lässt sich wie folgt erklären:
 *Die Abtastung von $x(t)$ im Abstand $T_{\rm A}$ bewirkt eine periodische Fortsetzung des Spektrums bei Vielfachen der Periodisierungsfrequenz $f_{\rm P} = 1/T_{\rm A}$.
 *Besitzt das Spektrum $X(f)$ auch Spektralanteile bei $|f| > f_{\rm P}/2$, so ist das Abtasttheorem nicht erfüllt und es kommt zu Überlappungen der zu addierenden, verschobenen Frequenzanteile.
 *Nur bei bandbegrenztem Signal kann der Aliasingfehler durch geeignete DFT–Parameter vermieden werden. Dagegen ist bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen dieser Fehler unvermeidbar, da zeitbegrenzte Signale nicht gleichzeitig bandbegrenzt sein können.
-*Der Aliasingfehler wird durch eine feinere Abtastung (also: kleineres $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P}$) kleiner. Dies erreicht man bei gleichbleibendem $T_{\rm A}$ – um den Abbruchfehler nicht anwachsen zu lassen – allerdings nur durch ein größeres $N$ und damit einen größeren Rechenaufwand.
+*Der Aliasingfehler wird durch eine feinere Abtastung (also: &nbsp; kleineres $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P}$) kleiner. Dies erreicht man bei gleichbleibendem $T_{\rm A}$ – um den Abbruchfehler nicht anwachsen zu lassen – allerdings nur durch ein größeres $N$ und damit einen größeren Rechenaufwand.
 [[Datei:P_ID2733__Sig_T_5_3_S3_neu.png|right|frame|Aliasingfehler bei einer DFT mit $N = 16$]]
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 Es gelten die DFT–Parameter $N = 16$ und $f_{\rm A} \cdot T= 0.125$. Somit ergibt sich für die drei anderen DFT–Parameter:
 * $T_{\rm P}/T = 8$ (Beispiel 1: &nbsp; $T_{\rm P}/T = 4$),
-* $f_{\rm P} \cdot T = 2$ (Beispiel 1: &nbsp; : $f_{\rm P} \cdot T = 4$),
+* $f_{\rm P} \cdot T = 2$ (Beispiel 1: &nbsp;  $f_{\rm P} \cdot T = 4$),
-* $T_{\rm A}/T = 0.5$ (Beispiel 1: &nbsp; : $T_{\rm A}/T = 0.25$).
+* $T_{\rm A}/T = 0.5$ (Beispiel 1: &nbsp;  $T_{\rm A}/T = 0.25$).
-<br clear =all>
 Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:
 *Der Abbruchfehler spielt wegen $T_{\rm P} /T = 8$ weiterhin keine Rolle (schon $T_{\rm P} /T = 4$ war ausreichend).
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 *Im betrachteten Beispiel ist der DFT–Koeffizient für $f \cdot T = -1$ doppelt so groß als er sein sollte, da die Gaußfunktion mit dem Zentrum bei $f \cdot T = -2$ den gleichen Beitrag liefert wie die eigentliche Gaußfunktion um $f \cdot T = 0$ (siehe gelbe Hinterlegung).
 Somit ergibt sich hier mit $\text{MQF} \approx 2 \cdot 10^{-4}$ ein noch größerer Fehlerwert als durch den Abbruchfehler im [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT#DFT-Verf.C3.A4lschung_durch_Fensterung_.E2.80.93_Abbruchfehler|Beispiel 2]]. Auch hier verweisen wir auf das Lernvideo [[Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT_(Lernvideo)|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]]. }}
 ==Aufgaben zum Kapitel==
+<br>
 [[Aufgaben:Aufgabe_5.3:_Mittlerer_Quadratischer_Fehler|Aufgabe 5.3: Mittlerer Quadratischer Fehler]]