Signaldarstellung/Faltungssatz und Faltungsoperation - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:29Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation]]

Guenter am 28. April 2021 um 09:37 Uhr

2021-04-28T09:37:04Z

Guenter am 27. April 2021 um 16:00 Uhr

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← Nächstältere Version		Version vom 27. April 2021, 18:00 Uhr
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	:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = x_{\rm{2} } (t) * x_{\rm{1} } (t) .$$		:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = x_{\rm{2} } (t) * x_{\rm{1} } (t) .$$

	Damit lässt sich obige Fourierkorrespondenz auch wie folgt schreiben:		*Damit lässt sich obige Fourierkorrespondenz auch wie folgt schreiben:

	:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$		:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$
			*Die Faltung ist  $\text{"kommutativ"}$   ⇒   Die Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar:
			:$$x_1(t) * x_2(t) =x_2(t) * x_1(t).$$
			*Der  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Beweis_des_Faltungssatzes\|Beweis]]  folgt am Kapitelende.}}

	~~Der  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Beweis_des_Faltungssatzes\|Beweis]]  folgt am Kapitelende.}}~~


	''Anmerkung'':   Die Faltung ist  '''kommutativ'''   ⇒   Die Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar:   ${ {x}}_{\rm{1}} ( t ) * { {x}}_{\rm{2}} (t ) ={ {x}}_{\rm{2}} ( t ) * { {x}}_{\rm{1}} (t ) $.

	[[Datei:P_ID579__Sig_T_3_4_S1_neu.png\|right\|frame\|Zur Berechnung von Signal und Spektrum am LZI–Ausgang]]		[[Datei:P_ID579__Sig_T_3_4_S1_neu.png\|right\|frame\|Zur Berechnung von Signal und Spektrum am LZI–Ausgang]]
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	*Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum  $S(f)$  gleich dem Faltungsprodukt aus  $Q(f)$  und  $Z(f)$  ist.}}		*Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum  $S(f)$  gleich dem Faltungsprodukt aus  $Q(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \ q(t)$  und  $Z(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \ z(t)$  ist.}}

Guenter am 27. April 2021 um 15:20 Uhr

2021-04-27T15:20:01Z

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Guenter am 27. September 2019 um 11:25 Uhr

2019-09-27T11:25:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. September 2019, 13:25 Uhr
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	Für die Beschreibungen auf dieser Seite wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:		Für die Beschreibungen auf dieser Seite wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:
	[[Datei:P_ID2723__Sig_T_3_4_programm.png\|right\|frame\|Bildschirmabzug des Programms „Faltung” aus $\rm LNTwww$ – Version 2:<br>    $x_1(t)$  ist hier mit  $x(t)$  bezeichnet und  $x_2(t)$  mit  $h(t)$ ]]		[[Datei:P_ID2723__Sig_T_3_4_programm.png\|right\|frame\|Bildschirmabzug des Programms „Faltung” aus $\rm LNTwww$ – Version 2:<br>    $x_1(t)$  ist hier mit  $x(t)$  bezeichnet und  $x_2(t)$  mit  $h(t)$ ]]
	:$$y(t) = x_1 (t) * x_2 (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$		:$$y(t) = x_1 (t) * x_2 (t) $$
			:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

	Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen. Es wird vorausgesetzt, dass  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  zeitkontinuierliche Signale sind.		Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen. Es wird vorausgesetzt, dass  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  zeitkontinuierliche Signale sind.
Zeile 112:		Zeile 113:

	Da die Faltung kommutativ ist, kann statt  $x_2(\tau)$  auch  $x_1(\tau)$  gespiegelt werden.		Da die Faltung kommutativ ist, kann statt  $x_2(\tau)$  auch  $x_1(\tau)$  gespiegelt werden.
			<br clear=all>
			Die Thematik wird auch durch das (neuere) HTML 5–Applet  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]  veranschaulicht.


	~~Die Thematik wird auch durch das (neuere) HTML 5–Applet  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]  veranschaulicht.~~
	~~<br clear=all>~~
	[[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png\|right\|frame\|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]		[[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png\|right\|frame\|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=

Guenter am 27. September 2019 um 09:02 Uhr

2019-09-27T09:02:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. September 2019, 11:02 Uhr
Zeile 114:		Zeile 114:


	Die Thematik wird auch durch das (neuere) HTML 5–Applet  [[Applets:~~Graphische_Faltung~~\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]  veranschaulicht.		Die Thematik wird auch durch das (neuere) HTML 5–Applet  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]  veranschaulicht.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	[[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png\|right\|frame\|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]		[[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png\|right\|frame\|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]

Guenter am 27. September 2019 um 09:00 Uhr

2019-09-27T09:00:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. September 2019, 11:00 Uhr
Zeile 143:		Zeile 143:
	==Anschauliche Deutung der Faltung==		==Anschauliche Deutung der Faltung==
	<br>		<br>
	Wir gehen von einer Impulsantwort $h(t)$ aus, die zunächst eine Millisekunde lang konstant ist und dann bis zur Zeit $t = 3 \,\text{ms}$  linear abfällt.		Wir gehen von einer Impulsantwort  $h(t)$  aus, die zunächst eine Millisekunde lang konstant ist und dann bis zur Zeit  $t = 3 \,\text{ms}$  linear bis auf Null abfällt.
	*Legt man an den Eingang dieses Tiefpassfilters einen Diracimpuls $K_0 \cdot \delta(t)$ an, so ist das Ausgangssignal $y(t)$ formgleich mit der Impulsantwort $h(t)$. Der Sachverhalt ist im Bild rot dargestellt.		*Legt man an den Eingang dieses Tiefpassfilters einen Diracimpuls  $K_0 \cdot \delta(t)$  an, so ist das Ausgangssignal  $y(t)$  formgleich mit der Impulsantwort  $h(t)$. Der Sachverhalt ist im Bild rot dargestellt.
	*Ein um $T= 1 \,\text{ms}$ späterer Diracimpuls mit Gewicht $K_1 > K_0$ hat das blau gezeichnete Ausgangssignal $y_1(t)$ zur Folge, das gegenüber dem roten Signal verzögert und in der Amplitude vergrößert ist.		*Ein um  $T= 1 \,\text{ms}$  späterer Diracimpuls mit Gewicht  $K_1 > K_0$  hat das blau gezeichnete Ausgangssignal  $y_1(t)$  zur Folge, das gegenüber dem roten Signal verzögert und in der Amplitude vergrößert ist.


Zeile 155:		Zeile 155:
	das als zeitdiskrete Näherung eines zeitkontinuierlichen Signals aufgefasst werden kann.		das als zeitdiskrete Näherung eines zeitkontinuierlichen Signals aufgefasst werden kann.

	Das Signal am Ausgang des linearen Systems ist die Summe der sieben im Bild verschiedenfarbig markierten Teilsignale:		*Das Signal am Ausgang des linearen Systems ist die Summe der sieben im Bild verschiedenfarbig markierten Teilsignale:

	:$$y( t ) = \sum\limits_{n = 0}^6 {K_n \cdot h( {t - n \cdot T} ).}$$		:$$y( t ) = \sum\limits_{n = 0}^6 {K_n \cdot h( {t - n \cdot T} ).}$$

	Wir betrachten nun beispielhaft den Signalwert zum Zeitpunkt $t = 4.5T$ (siehe Strichpunktierung):		*Wir betrachten nun beispielhaft den Signalwert zum Zeitpunkt  $t = 4.5T$  (siehe Strichpunktierung):

	:$$y( {t = 4.5T} ) = K_2 \cdot h( {2.5T} ) + K_3 \cdot h(1.5 T ) + K_4 \cdot h( 0.5 T ).$$		:$$y( {t = 4.5T} ) = K_2 \cdot h( {2.5T} ) + K_3 \cdot h(1.5 T ) + K_4 \cdot h( 0.5 T ).$$

	Der Signalwert $y(4.5T)$ wird somit nur durch die Eingangssignalwerte $K_2$, $K_3$ und $K_4$ bestimmt, und zwar ist der Einfluss		Der Signalwert $y(t=4.5T)$ wird somit nur durch die Eingangssignalwerte  $K_2$,  $K_3$  und  $K_4$  bestimmt, und zwar ist der Einfluss
	*von $K_4$ wegen $h(0.5T) = 1$ am stärksten,		*von  $K_4$  wegen  $h(0.5T) = 1$  am stärksten,
	*von $K_3$ wegen $h(1.5T) = 0.75$ weniger stark,		*von  $K_3$  wegen  $h(1.5T) = 0.75$  weniger stark,
	*von $K_2$ wegen $h(2.5T) = 0.25$ am geringsten.		*von  $K_2$  wegen  $h(2.5T) = 0.25$  am geringsten.


Zeile 174:		Zeile 174:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition: }$		$\text{Definition: }$
	Man ~~bezeichnet~~ folgende Verknüpfung der Zeitfunktionen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ ~~als~~ '''Faltung''' und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:		Man nennt die folgende Verknüpfung der Zeitfunktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  die  '''Faltung'''  und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:

	:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$		:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
Zeile 185:		Zeile 185:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Beweis: }$		$\text{Beweis: }$
	Die Fourierintegrale der Funktionen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ lauten mit veränderten Integrationsvariablen:		Die Fourierintegrale der Funktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  lauten mit veränderten Integrationsvariablen:

	:$$X_1 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\tau }\hspace{0.1cm} {\rm{d } }\tau{\rm{,} }$$		:$$X_1 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\tau }\hspace{0.1cm} {\rm{d } }\tau{\rm{,} }$$
Zeile 195:		Zeile 195:
	:$$X_1 (f) \cdot X_2 (f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) \hspace{0.05 cm}\cdot } }\hspace{0.05 cm} x_2 ( {t\hspace{0.05cm}'} ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\left( {\tau + t\hspace{0.05cm}'} \right) }\hspace{0.1cm} {\rm d} \tau \hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}'{\rm{.} }$$		:$$X_1 (f) \cdot X_2 (f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) \hspace{0.05 cm}\cdot } }\hspace{0.05 cm} x_2 ( {t\hspace{0.05cm}'} ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\left( {\tau + t\hspace{0.05cm}'} \right) }\hspace{0.1cm} {\rm d} \tau \hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}'{\rm{.} }$$

	*Mit der Substitution $t = \tau + t\hspace{0.05cm}'$ ergibt sich:		*Mit der Substitution  $t = \tau + t\hspace{0.05cm}'$  ergibt sich:

	:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau} )\hspace{0.1cm}{\rm{d } } }\tau \right] } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t{\rm{.} }$$		:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau} )\hspace{0.1cm}{\rm{d } } }\tau \right] } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t{\rm{.} }$$

	*In dieser Gleichung ist bereits berücksichtigt, dass die Exponentialfunktion unabhängig von der inneren Integrationsvariablen $τ$ ist und deshalb nur als Faktor des inneren Integrals fungiert.		:In dieser Gleichung ist bereits berücksichtigt, dass die Exponentialfunktion unabhängig von der inneren Integrationsvariablen  $τ$  ist und deshalb nur als Faktor des inneren Integrals fungiert.

	*Bezeichnen wir nun das Produkt der beiden Spektren mit $P(f)$ und die dazugehörige Zeitfunktion mit $p(t)$, so lautet das entsprechende Fourierintegral:		*Bezeichnen wir nun das Produkt der beiden Spektren mit  $P(f)$  und die dazugehörige Zeitfunktion mit  $p(t)$, so lautet das entsprechende Fourierintegral:

	:$$P(f) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) =\int_{ - \infty }^{ + \infty } {p( t )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft} \hspace{0.1cm}{\rm{d} }t{\rm{.} }$$		:$$P(f) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) =\int_{ - \infty }^{ + \infty } {p( t )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft} \hspace{0.1cm}{\rm{d} }t{\rm{.} }$$

Guenter am 27. September 2019 um 08:38 Uhr

2019-09-27T08:38:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. September 2019, 10:38 Uhr
Zeile 111:		Zeile 111:


	Da die Faltung kommutativ ist, kann ~~anstelle von~~ $x_2(\tau)$ auch $x_1(\tau)$ gespiegelt werden.		Da die Faltung kommutativ ist, kann statt  $x_2(\tau)$  auch  $x_1(\tau)$  gespiegelt werden.


	~~<br><br>~~
	~~Die Thematik wird auch durch das Interaktionsmodul [[Applets:Graphische_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht. Nebenstehende Grafik zeigt einen Bildschirmabzug.~~
	~~<br><br>~~


			Die Thematik wird auch durch das (neuere) HTML 5–Applet  [[Applets:Graphische_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]  veranschaulicht.
			<br clear=all>
	[[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png\|right\|frame\|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]		[[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png\|right\|frame\|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	Die Vorgehensweise bei der grafischen Faltung wird nun anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt:		Die Vorgehensweise bei der grafischen Faltung wird nun anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt:
	*Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion $x(t) = \gamma(t)$ an.		*Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion  $x(t) = \gamma(t)$  an.
	*Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$		*Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei  $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$


	Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal $x(\tau)$, blau die Impulsantwort $h(\tau)$ und grau das Ausgangssignal $y(\tau)$.		Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal  $x(\tau)$, blau die Impulsantwort  $h(\tau)$  und grau das Ausgangssignal  $y(\tau)$.
	Die Zeitachse ist bereits in $\tau$ umbenannt.		Die Zeitachse ist bereits in $\tau$ umbenannt.

Zeile 135:		Zeile 132:

	Noch einige Anmerkungen zur grafischen Faltung:		Noch einige Anmerkungen zur grafischen Faltung:
	*Der Ausgangswert bei $t = 0$ ergibt sich, indem man das Eingangssignal $x(\tau)$ spiegelt, dieses gespiegelte Signal $x(-\tau)$ mit der Impulsantwort $h(\tau)$ multipliziert und darüber integriert.		*Der Ausgangswert bei  $t = 0$  ergibt sich, indem man das Eingangssignal  $x(\tau)$  spiegelt, dieses gespiegelte Signal  $x(-\tau)$  mit der Impulsantwort  $h(\tau)$  multipliziert und darüber integriert.
	*Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve $h(\tau)$ und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung $x(-\tau)$ ungleich Null ist, folgt daraus $y(t=0)=0$.		*Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve  $h(\tau)$  und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung  $x(-\tau)$  ungleich Null ist, folgt daraus  $y(t=0)=0$.
	*Für jeden anderen Zeitpunkt $t$ muss das Eingangssignal verschoben werden   ⇒   $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für $t=T$.		*Für jeden anderen Zeitpunkt  $t$ muss  das Eingangssignal verschoben werden   ⇒   $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für  $t=T$.
	*Da in diesem Beispiel auch $x(t-\tau)$ nur ~~die Werte~~ $0$ ~~oder~~ $1$ ~~annehmen~~ kann, wird die Integration (allgemein von $\tau_1$ bis $\tau_2$) sehr einfach und man erhält hier mit $\tau_1 = 0$ und $\tau_2 = t$ :		*Da in diesem Beispiel auch  $x(t-\tau)$  nur  $0$  und  $1$  sein kann, wird die Integration  $($allgemein von  $\tau_1$  bis  $\tau_2)$  sehr einfach und man erhält hier mit  $\tau_1 = 0$  und  $\tau_2 = t$ :
	:$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$		:$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$

	Die Skizze gilt für $t=T$ und führt zum Ausgangswert $y(t=T) = 1 – 1/\text{e} \approx 0.632$.}}		Die Skizze gilt für  $t=T$  und führt zum Ausgangswert  $y(t=T) = 1 – 1/\text{e} \approx 0.632$.}}

Guenter am 27. September 2019 um 07:58 Uhr

2019-09-27T07:58:18Z

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Guenter am 24. Juli 2018 um 11:40 Uhr

2018-07-24T11:40:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. April 2021, 11:37 Uhr
Zeile 153:		Zeile 153:
	==Anschauliche Deutung der Faltung==		==Anschauliche Deutung der Faltung==
	<br>		<br>
	Wir gehen von einer Impulsantwort  $h(t)$  aus, die zunächst eine Millisekunde lang konstant ist und dann bis zur Zeit  $t = 3 \,\text{ms}$  linear ~~bis~~ auf Null abfällt.		Wir gehen von einer Impulsantwort  $h(t)$  aus, die zunächst eine Millisekunde lang konstant ist und dann bis zur Zeit  $t = 3 \,\text{ms}$  linear auf Null abfällt.
	*Legt man an den Eingang dieses Tiefpassfilters einen Diracimpuls  $K_0 \cdot \delta(t)$  an, so ist das Ausgangssignal  $y(t)$  formgleich mit der Impulsantwort  $h(t)$. Der Sachverhalt ist im Bild rot dargestellt.		*Legt man an den Eingang dieses Tiefpassfilters einen Diracimpuls  $K_0 \cdot \delta(t)$  an, so ist das Ausgangssignal  $y(t)$  formgleich mit der Impulsantwort  $h(t)$.  Der Sachverhalt ist im Bild rot dargestellt.
	*Ein um  $T= 1 \,\text{ms}$  späterer Diracimpuls mit Gewicht  $K_1 > K_0$  hat das blau gezeichnete Ausgangssignal  $y_1(t)$  zur Folge, das gegenüber dem roten Signal verzögert und in der Amplitude vergrößert ist.		*Ein um  $T= 1 \,\text{ms}$  späterer Diracimpuls mit Gewicht  $K_1 > K_0$  hat das blau gezeichnete Ausgangssignal  $y_1(t)$  zur Folge, das gegenüber dem roten Signal verzögert und in der Amplitude vergrößert ist.


	[[Datei:P_ID524__Sig_T_3_4_S5_rah.png\|right\|frame\|Zur anschaulichen Deutung der Faltung]]		[[Datei:P_ID524__Sig_T_3_4_S5_rah.png\|right\|frame\|Zur anschaulichen Deutung der Faltung]]
	Wir betrachten nun das aus sieben verschieden gewichteten und verschobenen Diracimpulsen bestehende Eingangssignal		<br><br>Wir betrachten nun das aus sieben verschieden gewichteten und verschobenen Diracimpulsen bestehende Eingangssignal

	:$$x( t ) = \sum\limits_{n = 0}^6 {K_n \cdot \delta ( {t - n \cdot T} ),}$$		:$$x( t ) = \sum\limits_{n = 0}^6 {K_n \cdot \delta ( {t - n \cdot T} ),}$$
Zeile 165:		Zeile 164:
	das als zeitdiskrete Näherung eines zeitkontinuierlichen Signals aufgefasst werden kann.		das als zeitdiskrete Näherung eines zeitkontinuierlichen Signals aufgefasst werden kann.

	*Das Signal am Ausgang des linearen Systems ist die Summe der sieben im Bild verschiedenfarbig markierten Teilsignale:		Das Signal am Ausgang des linearen Systems ist die Summe der sieben im Bild verschiedenfarbig markierten Teilsignale:

	:$$y( t ) = \sum\limits_{n = 0}^6 {K_n \cdot h( {t - n \cdot T} ).}$$		:$$y( t ) = \sum\limits_{n = 0}^6 {K_n \cdot h( {t - n \cdot T} ).}$$

	*Wir betrachten nun ~~beispielhaft~~ den Signalwert ~~zum Zeitpunkt~~  $t = 4.5T$  (siehe Strichpunktierung):		Wir betrachten nun den Signalwert zur Zeit  $t = 4.5T$  (siehe Strichpunktierung):

	:$$y( {t = 4.5T} ) = K_2 \cdot h( {2.5T} ) + K_3 \cdot h(1.5 T ) + K_4 \cdot h( 0.5 T ).$$		:$$y( {t = 4.5T} ) = K_2 \cdot h( {2.5T} ) + K_3 \cdot h(1.5 T ) + K_4 \cdot h( 0.5 T ).$$

	~~Der~~ Signalwert ~~$y(t=4.5T)$~~ wird somit nur durch die Eingangssignalwerte  $K_2$,  $K_3$  und  $K_4$  bestimmt~~, und zwar ist der~~ Einfluss		Dieser Signalwert wird somit nur durch die Eingangssignalwerte  $K_2$,  $K_3$  und  $K_4$  bestimmt.  Der Einfluss
	*von  $K_4$  wegen  $h(0.5T) = 1$  am stärksten,		*von  $K_4$  ist wegen  $h(0.5T) = 1$  am stärksten,
	*von  $K_3$  wegen  $h(1.5T) = 0.75$  weniger stark,		*von  $K_3$  ist wegen  $h(1.5T) = 0.75$  weniger stark,
	*von  $K_2$  wegen  $h(2.5T) = 0.25$  am geringsten.		*von  $K_2$  ist wegen  $h(2.5T) = 0.25$  am geringsten.


Zeile 184:		Zeile 183:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition: }$		$\text{Definition: }$
	Man nennt die folgende Verknüpfung der Zeitfunktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  die  ~~'''~~Faltung~~'''~~  und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:		Man nennt die folgende Verknüpfung der Zeitfunktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  die  $\text{Faltung}$  und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:

	:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$		:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
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	:$$X_1 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\tau }\hspace{0.1cm} {\rm{d } }\tau{\rm{,} }$$		:$$X_1 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\tau }\hspace{0.1cm} {\rm{d } }\tau{\rm{,} }$$

	:$$X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_2 ( {t'} ) } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft\hspace{0.05cm}'}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t\hspace{0.05cm}'{\rm{.} }$$		:$$X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_2 ( {t{0.05cm}'} ) } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft\hspace{0.05cm}'}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t\hspace{0.05cm}'{\rm{.} }$$

	*Bildet man das Produkt der Spektralfunktionen, so erhält man:		*Bildet man das Produkt der Spektralfunktionen, so erhält man:
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	:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau} )\hspace{0.1cm}{\rm{d } } }\tau \right] } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t{\rm{.} }$$		:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau} )\hspace{0.1cm}{\rm{d } } }\tau \right] } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t{\rm{.} }$$

	:~~In dieser Gleichung~~ ist ~~bereits~~ berücksichtigt, dass die Exponentialfunktion unabhängig von der inneren Integrationsvariablen  $τ$  ist und ~~deshalb~~ nur als Faktor des inneren Integrals fungiert.		:Es ist berücksichtigt, dass die Exponentialfunktion unabhängig von der inneren Integrationsvariablen  $τ$  ist und diese nur als Faktor des inneren Integrals fungiert.

	*Bezeichnen wir nun das Produkt der beiden Spektren mit  $P(f)$  und die dazugehörige Zeitfunktion mit  $p(t)$, so lautet das entsprechende Fourierintegral:		*Bezeichnen wir nun das Produkt der beiden Spektren mit  $P(f)$  und die dazugehörige Zeitfunktion mit  $p(t)$, so lautet das entsprechende Fourierintegral:

← Nächstältere Version		Version vom 24. Juli 2018, 13:40 Uhr
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	<br>		<br>
	Für die Beschreibungen auf dieser Seite wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:		Für die Beschreibungen auf dieser Seite wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:
			[[Datei:P_ID2723__Sig_T_3_4_programm.png\|right\|frame\|Bildschirmabzug des Programms „Grafische Faltung”]]
	:$$y(t) = x_1 (t) * x_2 (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$		:$$y(t) = x_1 (t) * x_2 (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

	Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen. Es wird vorausgesetzt, dass $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zeitkontinuierliche Signale sind.		Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen. Es wird vorausgesetzt, dass $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zeitkontinuierliche Signale sind.


	Dann sind die folgenden Schritte erforderlich:		Dann sind die folgenden Schritte erforderlich:
			#  Die '''Zeitvariablen''' der beiden Funktionen '''ändern''':   <br>    $x_1(t) \to x_1(\tau)$,   $x_2(t) \to x_2(\tau)$.
	#  Die '''Zeitvariablen''' der beiden Funktionen '''ändern''':   $x_1(t) \to x_1(\tau)$,   $x_2(t) \to x_2(\tau)$.
	#  Zweite '''Funktion spiegeln''':   $x_2(\tau) \to x_2(-\tau)$.		#  Zweite '''Funktion spiegeln''':   $x_2(\tau) \to x_2(-\tau)$.
	#  Gespiegelte '''Funktion''' um $t$ '''verschieben''':   $x_2(-\tau) \to x_2(t-\tau)$.		#  Gespiegelte '''Funktion''' um $t$ '''verschieben''':   $x_2(-\tau) \to x_2(t-\tau)$.
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	Da die Faltung kommutativ ist, kann anstelle von $x_2(\tau)$ auch $x_1(\tau)$ gespiegelt werden.		Da die Faltung kommutativ ist, kann anstelle von $x_2(\tau)$ auch $x_1(\tau)$ gespiegelt werden.

	~~[[Datei:P_ID2723__Sig_T_3_4_programm.png\|right\|frame\|Bildschirmabzug des Programms „Grafische Faltung”]]~~
	Die Thematik ~~dieses Abschnitts~~ wird auch durch das Interaktionsmodul [[Applets:Graphische_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht. Nebenstehende Grafik zeigt einen Bildschirmabzug.		<br><br>
	<br ~~clear=all~~>		Die Thematik wird auch durch das Interaktionsmodul [[Applets:Graphische_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht. Nebenstehende Grafik zeigt einen Bildschirmabzug.
			<br><br>


	[[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png\|right\|frame\|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]		[[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png\|right\|frame\|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	~~Nun~~ wird ~~die Vorgehensweise~~ anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt:		Die Vorgehensweise bei der grafischen Faltung wird nun anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt:
	*Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion $x(t) = \gamma(t)$ an.		*Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion $x(t) = \gamma(t)$ an.
	*Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$		*Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$
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	Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal $x(\tau)$, blau die Impulsantwort $h(\tau)$ und grau das Ausgangssignal $y(\tau)$.		Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal $x(\tau)$, blau die Impulsantwort $h(\tau)$ und grau das Ausgangssignal $y(\tau)$.
	Die Zeitachse ist bereits in $\tau$ umbenannt.		Die Zeitachse ist bereits in $\tau$ umbenannt.


	Das Ausgangssignal kann zum Beispiel nach folgender Gleichung berechnet werden:		Das Ausgangssignal kann zum Beispiel nach folgender Gleichung berechnet werden:
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	*Der Ausgangswert bei $t = 0$ ergibt sich, indem man das Eingangssignal $x(\tau)$ spiegelt, dieses gespiegelte Signal $x(-\tau)$ mit der Impulsantwort $h(\tau)$ multipliziert und darüber integriert.		*Der Ausgangswert bei $t = 0$ ergibt sich, indem man das Eingangssignal $x(\tau)$ spiegelt, dieses gespiegelte Signal $x(-\tau)$ mit der Impulsantwort $h(\tau)$ multipliziert und darüber integriert.
	*Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve $h(\tau)$ und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung $x(-\tau)$ ungleich Null ist, folgt daraus $y(t=0)=0$.		*Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve $h(\tau)$ und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung $x(-\tau)$ ungleich Null ist, folgt daraus $y(t=0)=0$.
	*Für jeden anderen Zeitpunkt t muss das Eingangssignal verschoben werden   ⇒   $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für $t=T$.		*Für jeden anderen Zeitpunkt $t$ muss das Eingangssignal verschoben werden   ⇒   $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für $t=T$.
	*Da in diesem Beispiel auch $x(t-\tau)$ nur die Werte $0$ oder $1$ annehmen kann, wird die Integration (allgemein von $\tau_1$ bis $\tau_2$) sehr einfach und man erhält hier mit $\tau_1 = 0$ und $\tau_2 = t$:		*Da in diesem Beispiel auch $x(t-\tau)$ nur die Werte $0$ oder $1$ annehmen kann, wird die Integration (allgemein von $\tau_1$ bis $\tau_2$) sehr einfach und man erhält hier mit $\tau_1 = 0$ und $\tau_2 = t$ :
	:$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$		:$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$

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	==Anschauliche Deutung der Faltung==		==Anschauliche Deutung der Faltung==
	<br>		<br>
	Wir gehen von einer Impulsantwort $h(t)$ aus, die zunächst eine Millisekunde lang konstant ist und dann bis zur Zeit $t = 3 \,\text{ms}$ linear abfällt.		Wir gehen von einer Impulsantwort $h(t)$ aus, die zunächst eine Millisekunde lang konstant ist und dann bis zur Zeit $t = 3 \,\text{ms}$  linear abfällt.
	*Legt man an den Eingang dieses Tiefpassfilters einen Diracimpuls $K_0 \cdot \delta(t)$ an, so ist das Ausgangssignal $y(t)$ formgleich mit der Impulsantwort $h(t)$. Der Sachverhalt ist im Bild rot dargestellt.		*Legt man an den Eingang dieses Tiefpassfilters einen Diracimpuls $K_0 \cdot \delta(t)$ an, so ist das Ausgangssignal $y(t)$ formgleich mit der Impulsantwort $h(t)$. Der Sachverhalt ist im Bild rot dargestellt.
	*Ein um $T= 1 \,\text{ms}$ späterer Diracimpuls mit Gewicht $K_1 > K_0$ hat das blau gezeichnete Ausgangssignal $y_1(t)$ zur Folge, das gegenüber dem roten Signal verzögert und in der Amplitude vergrößert ist.		*Ein um $T= 1 \,\text{ms}$ späterer Diracimpuls mit Gewicht $K_1 > K_0$ hat das blau gezeichnete Ausgangssignal $y_1(t)$ zur Folge, das gegenüber dem roten Signal verzögert und in der Amplitude vergrößert ist.
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	das als zeitdiskrete Näherung eines zeitkontinuierlichen Signals aufgefasst werden kann.		das als zeitdiskrete Näherung eines zeitkontinuierlichen Signals aufgefasst werden kann.


	Das Signal am Ausgang des linearen Systems ist die Summe der sieben im Bild verschiedenfarbig markierten Teilsignale:		Das Signal am Ausgang des linearen Systems ist die Summe der sieben im Bild verschiedenfarbig markierten Teilsignale:
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition: }$		$\text{Definition: }$
	Man bezeichnet ~~die~~ folgende Verknüpfung der Zeitfunktionen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ als '''Faltung''' und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:		Man bezeichnet folgende Verknüpfung der Zeitfunktionen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ als '''Faltung''' und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:

	:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$		:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
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	Daraus ergibt sich die folgende Fourierkorrespondenz:		Daraus ergibt sich die folgende Fourierkorrespondenz:

	$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$}}		:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$}}


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	:$$X_1 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\tau }\hspace{0.1cm} {\rm{d } }\tau{\rm{,} }$$		:$$X_1 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\tau }\hspace{0.1cm} {\rm{d } }\tau{\rm{,} }$$

	:$$X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_2 ( {t'} ) } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft'}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t'{\rm{.} }$$		:$$X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_2 ( {t'} ) } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft\hspace{0.05cm}'}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t\hspace{0.05cm}'{\rm{.} }$$

	*Bildet man das Produkt der Spektralfunktionen, so erhält man:		*Bildet man das Produkt der Spektralfunktionen, so erhält man:

	:$$X_1 (f) \cdot X_2 (f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) \hspace{0.05 cm}\cdot } }\hspace{0.05 cm} x_2 ( {t'} ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\left( {\tau + t'} \right) }\hspace{0.1cm} {\rm d} \tau \hspace{0.1cm}{\rm d}t'{\rm{.} }$$		:$$X_1 (f) \cdot X_2 (f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) \hspace{0.05 cm}\cdot } }\hspace{0.05 cm} x_2 ( {t\hspace{0.05cm}'} ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\left( {\tau + t\hspace{0.05cm}'} \right) }\hspace{0.1cm} {\rm d} \tau \hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}'{\rm{.} }$$

	*Mit der Substitution $t = \tau + t'$ ergibt sich:		*Mit der Substitution $t = \tau + t\hspace{0.05cm}'$ ergibt sich:

	:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau} )\hspace{0.1cm}{\rm{d } } }\tau \right] } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t{\rm{.} }$$		:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau} )\hspace{0.1cm}{\rm{d } } }\tau \right] } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t{\rm{.} }$$
Zeile 204:		Zeile 205:
	*Bezeichnen wir nun das Produkt der beiden Spektren mit $P(f)$ und die dazugehörige Zeitfunktion mit $p(t)$, so lautet das entsprechende Fourierintegral:		*Bezeichnen wir nun das Produkt der beiden Spektren mit $P(f)$ und die dazugehörige Zeitfunktion mit $p(t)$, so lautet das entsprechende Fourierintegral:

	:$$P(f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {p( t )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft} \hspace{0.1cm}{\rm{d} }t{\rm{.} }$$		:$$P(f) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) =\int_{ - \infty }^{ + \infty } {p( t )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft} \hspace{0.1cm}{\rm{d} }t{\rm{.} }$$

	*Ein Koeffizientenvergleich der beiden Integrale zeigt, dass folgender Zusammenhang ~~gilt~~:		*Ein Koeffizientenvergleich der beiden Integrale zeigt, dass folgender Zusammenhang gelten muss:

	:$$p( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm{d } }\tau{\rm{.} }$$		:$$p( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm{d } }\tau{\rm{.} }$$