Signaldarstellung/Faltungssatz und Faltungsoperation - Versionsgeschichte

Guenter am 28. April 2021 um 09:37 Uhr

2021-04-28T09:37:04Z

Guenter am 27. April 2021 um 16:00 Uhr

2021-04-27T16:00:27Z

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2021-04-27T15:20:01Z

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Guenter am 24. Juli 2018 um 11:40 Uhr

2018-07-24T11:40:46Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 10:21 Uhr

2018-07-24T10:21:01Z

@@ Zeile 153: / Zeile 153: @@
 ==Anschauliche Deutung der Faltung==
 <br>
-Wir gehen von  einer Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; aus, die zunächst eine Millisekunde lang konstant ist und dann bis zur Zeit&nbsp; $t = 3 \,\text{ms}$&nbsp; linear bis auf Null abfällt.
+Wir gehen von  einer Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; aus, die zunächst eine Millisekunde lang konstant ist und dann bis zur Zeit&nbsp; $t = 3 \,\text{ms}$&nbsp; linear auf Null abfällt.
-*Legt man an den Eingang dieses Tiefpassfilters einen Diracimpuls&nbsp; $K_0 \cdot \delta(t)$&nbsp; an, so ist das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; formgleich mit der Impulsantwort&nbsp; $h(t)$. Der Sachverhalt ist im Bild rot dargestellt.
+*Legt man an den Eingang dieses Tiefpassfilters einen Diracimpuls&nbsp; $K_0 \cdot \delta(t)$&nbsp; an, so ist das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; formgleich mit der Impulsantwort&nbsp; $h(t)$.&nbsp; Der Sachverhalt ist im Bild rot dargestellt.
 *Ein um&nbsp; $T= 1 \,\text{ms}$&nbsp; späterer Diracimpuls mit Gewicht&nbsp; $K_1 > K_0$&nbsp; hat das blau gezeichnete Ausgangssignal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; zur Folge, das gegenüber dem roten Signal verzögert und in der Amplitude vergrößert ist.
 [[Datei:P_ID524__Sig_T_3_4_S5_rah.png|right|frame|Zur anschaulichen Deutung der Faltung]]
-Wir betrachten nun das aus sieben verschieden gewichteten und verschobenen Diracimpulsen bestehende Eingangssignal
+<br><br>Wir betrachten nun das aus sieben verschieden gewichteten und verschobenen Diracimpulsen bestehende Eingangssignal
 :$$x( t ) = \sum\limits_{n = 0}^6 {K_n  \cdot \delta ( {t - n \cdot T} ),}$$
@@ Zeile 165: / Zeile 164: @@
 das als zeitdiskrete Näherung eines zeitkontinuierlichen Signals aufgefasst werden kann.
-*Das Signal am Ausgang des linearen Systems ist die Summe der sieben im Bild verschiedenfarbig markierten Teilsignale:
+Das Signal am Ausgang des linearen Systems ist die Summe der sieben im Bild verschiedenfarbig markierten Teilsignale:
 :$$y( t ) = \sum\limits_{n = 0}^6 {K_n  \cdot h( {t - n \cdot T} ).}$$
-*Wir betrachten nun beispielhaft den Signalwert zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 4.5T$&nbsp; (siehe Strichpunktierung):
+Wir betrachten nun den Signalwert zur Zeit&nbsp; $t = 4.5T$&nbsp; (siehe Strichpunktierung):
 :$$y( {t = 4.5T} ) = K_2  \cdot h( {2.5T} ) + K_3  \cdot h(1.5 T ) + K_4  \cdot h( 0.5 T ).$$
-Der Signalwert $y(t=4.5T)$ wird somit nur durch die Eingangssignalwerte&nbsp; $K_2$,&nbsp; $K_3$&nbsp; und&nbsp; $K_4$&nbsp; bestimmt, und zwar ist der Einfluss
+Dieser Signalwert wird somit nur durch die Eingangssignalwerte&nbsp; $K_2$,&nbsp; $K_3$&nbsp; und&nbsp; $K_4$&nbsp; bestimmt.&nbsp; Der Einfluss
-*von&nbsp; $K_4$&nbsp; wegen&nbsp; $h(0.5T) = 1$&nbsp; am stärksten,
+*von&nbsp; $K_4$&nbsp; ist wegen&nbsp; $h(0.5T) = 1$&nbsp; am stärksten,
-*von&nbsp; $K_3$&nbsp; wegen&nbsp; $h(1.5T) = 0.75$&nbsp; weniger stark,
+*von&nbsp; $K_3$&nbsp; ist wegen&nbsp; $h(1.5T) = 0.75$&nbsp; weniger stark,
-*von&nbsp; $K_2$&nbsp; wegen&nbsp; $h(2.5T) = 0.25$&nbsp; am geringsten.
+*von&nbsp; $K_2$&nbsp; ist wegen&nbsp; $h(2.5T) = 0.25$&nbsp; am geringsten.
@@ Zeile 184: / Zeile 183: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition: }$&nbsp;
-Man nennt die  folgende Verknüpfung der Zeitfunktionen&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; die&nbsp; '''Faltung'''&nbsp; und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:
+Man nennt die  folgende Verknüpfung der Zeitfunktionen&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; die&nbsp; $\text{Faltung}$&nbsp; und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:
 :$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau  ) }  \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
@@ Zeile 199: / Zeile 198: @@
 :$$X_1 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau  )}  \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\tau }\hspace{0.1cm} {\rm{d } }\tau{\rm{,} }$$
-:$$X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_2 ( {t'} ) }  \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft\hspace{0.05cm}'}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t\hspace{0.05cm}'{\rm{.} }$$
+:$$X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_2 ( {t{0.05cm}'} ) }  \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft\hspace{0.05cm}'}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t\hspace{0.05cm}'{\rm{.} }$$
 *Bildet man das Produkt der Spektralfunktionen, so erhält man:
@@ Zeile 209: / Zeile 208: @@
 :$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )}  \cdot x_2 ( {t - \tau} )\hspace{0.1cm}{\rm{d } } }\tau \right] }  \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t{\rm{.} }$$
-:In dieser Gleichung ist bereits berücksichtigt, dass die Exponentialfunktion unabhängig von der inneren Integrationsvariablen&nbsp; $τ$&nbsp; ist und deshalb nur als Faktor des inneren Integrals fungiert.
+:Es ist berücksichtigt, dass die Exponentialfunktion unabhängig von der inneren Integrationsvariablen&nbsp; $τ$&nbsp; ist und diese nur als Faktor des inneren Integrals fungiert.
 *Bezeichnen wir nun das Produkt der beiden Spektren mit&nbsp; $P(f)$&nbsp; und die dazugehörige Zeitfunktion mit&nbsp; $p(t)$, so lautet das entsprechende Fourierintegral:

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 :$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau  ) }  \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =  x_{\rm{2} } (t) * x_{\rm{1} } (t) .$$
-Damit lässt sich obige Fourierkorrespondenz auch wie folgt schreiben:
+*Damit lässt sich obige Fourierkorrespondenz auch wie folgt schreiben:
 :$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$
 [[Datei:P_ID579__Sig_T_3_4_S1_neu.png|right|frame|Zur Berechnung von Signal und Spektrum am LZI&ndash;Ausgang]]
@@ Zeile 63: / Zeile 62: @@
-*Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum&nbsp; $S(f)$&nbsp; gleich dem Faltungsprodukt aus&nbsp; $Q(f)$&nbsp; und&nbsp; $Z(f)$&nbsp; ist.}}
+*Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum&nbsp; $S(f)$&nbsp; gleich dem Faltungsprodukt aus&nbsp; $Q(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \ q(t)$&nbsp; und&nbsp; $Z(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \ z(t)$&nbsp; ist.}}

@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die obige Verknüpfung der Zeitfunktion&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; bezeichnet man als&nbsp; '''Faltung'''&nbsp; und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die obige Verknüpfung der Zeitfunktion&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; bezeichnet man als&nbsp; $\text{Faltung}$&nbsp; und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:
 :$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau  ) }  \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =  x_{\rm{2} } (t) * x_{\rm{1} } (t) .$$
@@ Zeile 33: / Zeile 33: @@
 ''Anmerkung'': &nbsp; Die Faltung ist&nbsp; '''kommutativ'''  &nbsp; ⇒  &nbsp; Die Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar: &nbsp;  ${ {x}}_{\rm{1}} ( t ) * { {x}}_{\rm{2}} (t ) ={ {x}}_{\rm{2}} ( t ) * { {x}}_{\rm{1}} (t ) $.
 [[Datei:P_ID579__Sig_T_3_4_S1_neu.png|right|frame|Zur Berechnung von Signal und Spektrum am LZI&ndash;Ausgang]]
@@ Zeile 43: / Zeile 42: @@
 :$$Y(f) = X(f) \cdot H(f)\hspace{0.05cm}.$$
-Mit dem Faltungssatz ist es nun möglich, das Ausgangssignal auch direkt im Zeitbereich zu berechnen:
+Mit dem Faltungssatz ist es möglich, das Ausgangssignal auch direkt im Zeitbereich zu berechnen:
 :$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau  )}  \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =  \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm} {h( \tau  )}  \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = h(t) * x( t ).$$
-Aus dieser Gleichung geht nochmals hervor, dass die Faltungsoperation&nbsp; ''kommutativ''&nbsp; ist.}}
+Aus dieser Gleichung geht nochmals hervor, dass die Faltungsoperation&nbsp; &bdquo;kommutativ&rdquo;&nbsp; ist.}}
@@ Zeile 62: / Zeile 61: @@
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]&nbsp; (ZSB-AM) ohne Träger wird durch das skizzierte Modell beschrieben.
 *Bei der Zeitbereichsdarstellung (blau) ergibt sich das modulierte Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; als das Produkt aus dem Nachrichtensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; und dem (normierten) Trägersignal&nbsp; $z(t)$.
 *Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum&nbsp; $S(f)$&nbsp; gleich dem Faltungsprodukt aus&nbsp; $Q(f)$&nbsp; und&nbsp; $Z(f)$&nbsp; ist.}}
@@ Zeile 69: / Zeile 70: @@
 Sehr einfach wird die Faltungsoperation, wenn einer der beiden Operanden eine&nbsp; [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion]]&nbsp; ist. Dies gilt für die Faltung im Zeit– und im Frequenzbereich gleichermaßen.
-Wir betrachten beispielhaft die Faltung einer Funktion&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit der Funktion
+*Wir betrachten beispielhaft die Faltung einer Funktion&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit der Funktion
 :$$x_2 ( t ) = \alpha  \cdot \delta ( {t - T} ) \quad \circ\,\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad X_2 ( f )= \alpha \cdot  {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}T}.$$
-Für die Spektralfunktion des Signals&nbsp; $y(t) = x_1(t) \ast x_2(t)$&nbsp; gilt dann:
+*Für die Spektralfunktion des Signals&nbsp; $y(t) = x_1(t) \ast x_2(t)$&nbsp; gilt dann:
 :$$Y( f ) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = X_1 ( f ) \cdot  \alpha  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}T}.$$
-Die komplexe Exponentialfunktion führt zur Verschiebung um&nbsp; $T$ &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]], der Faktor&nbsp; $\alpha$&nbsp; zu einer Dämpfung&nbsp; $(\alpha < 1)$&nbsp; bzw. Verstärkung&nbsp; $(\alpha > 1)$.
+*Die komplexe Exponentialfunktion führt zur Verschiebung um&nbsp; $T$ &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]], der Faktor&nbsp; $\alpha$&nbsp; zu einer Dämpfung&nbsp; $(\alpha < 1)$&nbsp; bzw. Verstärkung&nbsp; $(\alpha > 1)$.
-Daraus folgt:
+*Daraus folgt:
 :$$x_1 (t) * x_2 (t) = \alpha  \cdot x_1 ( {t - T} ).$$
@@ Zeile 87: / Zeile 88: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Ein Rechtecksignal $x(t)$ wird durch ein LZI-System um die Laufzeit&nbsp; $\tau = 3\,\text{ ms}$&nbsp; verzögert und um den Faktor&nbsp; $\alpha = 0.5$&nbsp; gedämpft.
-Verschiebung und Dämpfung erkennt man sowohl am Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; als auch an der Impulsantwort&nbsp; $h(t)$.}}
+Verschiebung und Dämpfung erkennt man sowohl
 ==Grafische Faltung==
 <br>
 Für die Beschreibungen auf dieser Seite wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:
-[[Datei:P_ID2723__Sig_T_3_4_programm.png|right|frame|Bildschirmabzug des Programms „Faltung” aus&nbsp;$\rm LNTwww$ &ndash; Version 2:<br>&nbsp; &nbsp; $x_1(t)$&nbsp; ist hier mit&nbsp; $x(t)$&nbsp; bezeichnet und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; mit&nbsp; $h(t)$ ]]
 :$$y(t) = x_1 (t) * x_2 (t) $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau  )}  \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
-Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen. Es wird vorausgesetzt, dass&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; zeitkontinuierliche Signale sind.
+Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen&nbsp; Es wird hier vorausgesetzt, dass&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; zeitkontinuierliche Signale sind.
 Dann sind die folgenden Schritte erforderlich:
@@ Zeile 113: / Zeile 117: @@
 Da die Faltung kommutativ ist, kann statt&nbsp; $x_2(\tau)$&nbsp; auch&nbsp; $x_1(\tau)$&nbsp; gespiegelt werden.
 <br clear=all>
 [[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png|right|frame|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]
 {{GraueBox|TEXT=
@@ Zeile 122: / Zeile 127: @@
 *Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion&nbsp; $x(t) = \gamma(t)$&nbsp; an.
 *Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei&nbsp; $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$
-Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal&nbsp;  $x(\tau)$, blau die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; und grau das Ausgangssignal&nbsp; $y(\tau)$.
+Die Grafik zeigt
-Die Zeitachse ist bereits in $\tau$ umbenannt.
+*rot das Eingangssignal&nbsp;  $x(\tau)$,
 Das Ausgangssignal kann zum Beispiel nach folgender Gleichung berechnet werden:
@@ Zeile 135: / Zeile 144: @@
 *Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung&nbsp; $x(-\tau)$&nbsp; ungleich Null ist, folgt daraus&nbsp; $y(t=0)=0$.
 *Für jeden anderen Zeitpunkt&nbsp; $t$ muss&nbsp; das Eingangssignal verschoben werden  &nbsp; ⇒  &nbsp; $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für&nbsp; $t=T$.
-*Da in diesem Beispiel auch&nbsp; $x(t-\tau)$&nbsp; nur&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; sein kann, wird die Integration&nbsp; $($allgemein von&nbsp; $\tau_1$&nbsp; bis&nbsp; $\tau_2)$&nbsp; sehr einfach und man erhält hier mit&nbsp; $\tau_1 = 0$&nbsp;  und&nbsp; $\tau_2 = t$&nbsp;:
 :$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$
-Die Skizze gilt für&nbsp; $t=T$&nbsp; und führt zum Ausgangswert&nbsp; $y(t=T) = 1 – 1/\text{e} \approx 0.632$.}}
+Die Skizze gilt für&nbsp; $t=T$&nbsp; und führt zum Ausgangswert&nbsp; $y(t=T) = 1 - 1/\text{e} \approx 0.632$.}}

@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
 Für die Beschreibungen auf dieser Seite wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:
 [[Datei:P_ID2723__Sig_T_3_4_programm.png|right|frame|Bildschirmabzug des Programms „Faltung” aus&nbsp;$\rm LNTwww$ &ndash; Version 2:<br>&nbsp; &nbsp; $x_1(t)$&nbsp; ist hier mit&nbsp; $x(t)$&nbsp; bezeichnet und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; mit&nbsp; $h(t)$ ]]
-:$$y(t) = x_1 (t) * x_2 (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau  )}  \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
+:$$y(t) = x_1 (t) * x_2 (t) $$
 Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen. Es wird vorausgesetzt, dass&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; zeitkontinuierliche Signale sind.
@@ Zeile 112: / Zeile 113: @@
 Da die Faltung kommutativ ist, kann statt&nbsp; $x_2(\tau)$&nbsp; auch&nbsp; $x_1(\tau)$&nbsp; gespiegelt werden.
 [[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png|right|frame|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]
 {{GraueBox|TEXT=

@@ Zeile 114: / Zeile 114: @@
-Die Thematik wird auch durch das (neuere) HTML 5&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Graphische_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]&nbsp; veranschaulicht.
+Die Thematik wird auch durch das (neuere) HTML 5&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]&nbsp; veranschaulicht.
 <br clear=all>
 [[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png|right|frame|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]

@@ Zeile 111: / Zeile 111: @@
-Da die Faltung kommutativ ist, kann anstelle von $x_2(\tau)$ auch $x_1(\tau)$ gespiegelt werden.
+Da die Faltung kommutativ ist, kann statt&nbsp; $x_2(\tau)$&nbsp; auch&nbsp; $x_1(\tau)$&nbsp; gespiegelt werden.
 [[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png|right|frame|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;
 Die Vorgehensweise bei der grafischen Faltung wird nun anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt:
-*Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion $x(t) = \gamma(t)$ an.
+*Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion&nbsp; $x(t) = \gamma(t)$&nbsp; an.
-*Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$
+*Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei&nbsp; $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$
-Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal  $x(\tau)$, blau die Impulsantwort $h(\tau)$ und grau das Ausgangssignal $y(\tau)$.
+Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal&nbsp;  $x(\tau)$, blau die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; und grau das Ausgangssignal&nbsp; $y(\tau)$.
 Die Zeitachse ist bereits in $\tau$ umbenannt.
@@ Zeile 135: / Zeile 132: @@
 Noch einige Anmerkungen zur grafischen Faltung:
-*Der Ausgangswert bei $t = 0$ ergibt sich, indem man das Eingangssignal $x(\tau)$ spiegelt, dieses gespiegelte Signal $x(-\tau)$ mit der Impulsantwort $h(\tau)$ multipliziert und darüber integriert.
+*Der Ausgangswert bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; ergibt sich, indem man das Eingangssignal&nbsp; $x(\tau)$&nbsp; spiegelt, dieses gespiegelte Signal&nbsp; $x(-\tau)$&nbsp; mit der Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; multipliziert und darüber integriert.
-*Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve $h(\tau)$ und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung $x(-\tau)$ ungleich Null ist, folgt daraus $y(t=0)=0$.
+*Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung&nbsp; $x(-\tau)$&nbsp; ungleich Null ist, folgt daraus&nbsp; $y(t=0)=0$.
-*Für jeden anderen Zeitpunkt $t$ muss das Eingangssignal verschoben werden  &nbsp; ⇒  &nbsp; $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für $t=T$.
+*Für jeden anderen Zeitpunkt&nbsp; $t$ muss&nbsp; das Eingangssignal verschoben werden  &nbsp; ⇒  &nbsp; $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für&nbsp; $t=T$.
-*Da in diesem Beispiel auch $x(t-\tau)$ nur die Werte $0$ oder $1$ annehmen kann, wird die Integration (allgemein von $\tau_1$ bis $\tau_2$) sehr einfach und man erhält hier mit $\tau_1 = 0$  und $\tau_2 = t$&nbsp;:
+*Da in diesem Beispiel auch&nbsp; $x(t-\tau)$&nbsp; nur&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; sein kann, wird die Integration&nbsp; $($allgemein von&nbsp; $\tau_1$&nbsp; bis&nbsp; $\tau_2)$&nbsp; sehr einfach und man erhält hier mit&nbsp; $\tau_1 = 0$&nbsp;  und&nbsp; $\tau_2 = t$&nbsp;:
 :$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$
-Die Skizze gilt für $t=T$ und führt zum Ausgangswert $y(t=T) = 1 – 1/\text{e} \approx 0.632$.}}
+Die Skizze gilt für&nbsp; $t=T$&nbsp; und führt zum Ausgangswert&nbsp; $y(t=T) = 1 – 1/\text{e} \approx 0.632$.}}

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 ==Faltung im Zeitbereich==
+<br>
 Der '''Faltungssatz''' ist mit das wichtigste Gesetz der Fouriertransformation, dem in vorliegendem Tutorial  ein eigenes Unterkapitel gewidmet wird.
 Wir betrachten zunächst den Faltungssatz im Zeitbereich und setzen voraus, dass die Spektren zweier Zeitfunktionen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ bekannt sind:
-:$$X_1 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}x_1( t ),\quad X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}x_2 ( t ).$$
+:$$X_1 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}x_1( t ),\quad X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}x_2 ( t ).$$
 Dann gilt für die Zeitfunktion des Produktes $X_1(f) \cdot X_2(f)$:
-:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau  )}  \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
+:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau  )}  \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
 Hierbei ist $\tau$ eine formale Integrationsvariable mit der Dimension einer Zeit.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die obige Verknüpfung der Zeitfunktion $x_1(t)$ und $x_2(t)$ bezeichnet man als '''Faltung''' und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:
 :$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau  ) }  \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =  x_{\rm{2} } (t) * x_{\rm{1} } (t) .$$
@@ Zeile 28: / Zeile 27: @@
 Damit lässt sich obige Fourierkorrespondenz auch wie folgt schreiben:
-:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$
+:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$
 Der [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Beweis_des_Faltungssatzes|Beweis]] folgt am Kapitelende.}}
-''Anmerkung'': Die Faltung ist '''kommutativ'''  &nbsp; ⇒  &nbsp; Die Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar: &nbsp;  ${ {x}}_{\rm{1}} ( t ) * { {x}}_{\rm{2}} (t ) ={ {x}}_{\rm{2}} ( t ) * { {x}}_{\rm{1}} (t ) $.
+''Anmerkung'': &nbsp; Die Faltung ist '''kommutativ'''  &nbsp; ⇒  &nbsp; Die Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar: &nbsp;  ${ {x}}_{\rm{1}} ( t ) * { {x}}_{\rm{2}} (t ) ={ {x}}_{\rm{2}} ( t ) * { {x}}_{\rm{1}} (t ) $.
 [[Datei:P_ID579__Sig_T_3_4_S1_neu.png|right|frame|Zur Berechnung von Signal und Spektrum am LZI&ndash;Ausgang]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Ein jedes lineare zeitinvariante (LZI-) System kann sowohl durch den Frequenzgang $H(f)$ als auch durch die Impulsantwort $h(t)$ beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen diesen beiden Systemgrößen ebenfalls durch die Fouriertransformation gegeben ist.
 Legt man an den Eingang ein Signal $x(t)$ mit dem Spektrum $X(f)$ an, so gilt für das Spektrum des Ausgangssignals:
@@ Zeile 49: / Zeile 47: @@
 :$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau  )}  \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =  \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm} {h( \tau  )}  \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = h(t) * x( t ).$$
-Aus dieser Gleichung geht nochmals hervor, dass die Faltungsoperation ''kommutativ'' ist.}}
+Aus dieser Gleichung geht nochmals hervor, dass die Faltungsoperation ''kommutativ''&nbsp; ist.}}
 ==Faltung im Frequenzbereich==
+<br>
 Die Dualität zwischen Zeit– und Frequenzbereich erlaubt auch Aussagen hinsichtlich des Spektrums des Produktsignals:
@@ Zeile 62: / Zeile 60: @@
 [[Datei:P_ID580__Sig_T_3_4_S2_neu.png|right|frame|Faltung im Frequenzbereich]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] (ZSB-AM) ohne Träger wird durch das skizzierte Modell beschrieben.
 *Bei der Zeitbereichsdarstellung (blau) ergibt sich das modulierte Signal $s(t)$ als das Produkt aus dem Nachrichtensignal $q(t)$ und dem (normierten) Trägersignal $z(t)$.
 *Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum $S(f)$ gleich dem Faltungsprodukt aus $Q(f)$ und $Z(f)$ ist.}}
@@ Zeile 69: / Zeile 66: @@
 ==Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion==
+<br>
 Sehr einfach wird die Faltungsoperation, wenn einer der beiden Operanden eine [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion]] ist. Dies gilt für die Faltung im Zeit– und im Frequenzbereich gleichermaßen.
@@ Zeile 80: / Zeile 77: @@
 :$$Y( f ) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = X_1 ( f ) \cdot  \alpha  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.01cm}f\hspace{0.01cm}T} .$$
-Die komplexe Exponentialfunktion führt zu einer Verschiebung um $T$ &nbsp;&rArr;&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]], der Faktor $\alpha$ zu einer Dämpfung ($\alpha < 1$) bzw. Verstärkung ($\alpha > 1$ ). Daraus folgt:
+Die komplexe Exponentialfunktion führt zur Verschiebung um $T$ &nbsp;&rArr;&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]], der Faktor $\alpha$ zu einer Dämpfung ($\alpha < 1$) bzw. Verstärkung ($\alpha > 1$ ). Daraus folgt:
 :$$x_1 (t) * x_2 (t) = \alpha  \cdot x_1 ( {t - T} ).$$
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{In Worten: }$&nbsp;Die Faltung einer beliebigen Funktion mit einer Diracfunktion bei  $t = T$ ergibt die um $T$ nach rechts verschobene Funktion, wobei noch die Gewichtung der Diracfunktion durch den Faktor $\alpha$ zu berücksichtigen ist.}}
+$\text{In Worten: }$&nbsp; Die Faltung einer beliebigen Funktion mit einer Diracfunktion bei  $t = T$ ergibt die um $T$ nach rechts verschobene Funktion, wobei noch die Gewichtung der Diracfunktion durch den Faktor $\alpha$ zu berücksichtigen ist.}}
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Ein Rechtecksignal $x(t)$ wird durch ein LZI-System um eine Laufzeit $\tau = 3\,\text{ ms}$ verzögert und um den Faktor $\alpha = 0.5$ gedämpft.
-[[Datei:P_ID522__Sig_T_3_4_S3_neu.png|center|frame|Faltung mit Diracfunktion]]
+[[Datei:P_ID522__Sig_T_3_4_S3_neu.png|center|frame|Faltung eines Rechtecks mit einer Diracfunktion]]
-Die Verschiebung und die Dämpfung erkennt man sowohl am Ausgangssignal $y(t)$ als auch an der Impulsantwort $h(t)$.}}
+Verschiebung und Dämpfung erkennt man sowohl am Ausgangssignal $y(t)$ als auch an der Impulsantwort $h(t)$.}}
 ==Grafische Faltung==
+<br>
 Für die Beschreibungen auf dieser Seite wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:
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 ==Anschauliche Deutung der Faltung==
+<br>
 Wir gehen von  einer Impulsantwort $h(t)$ aus, die zunächst eine Millisekunde lang konstant ist und dann bis zur Zeit $t = 3 \,\text{ms}$ linear abfällt.
 *Legt man an den Eingang dieses Tiefpassfilters einen Diracimpuls $K_0 \cdot \delta(t)$ an, so ist das Ausgangssignal $y(t)$ formgleich mit der Impulsantwort $h(t)$. Der Sachverhalt ist im Bild rot dargestellt.
@@ Zeile 176: / Zeile 172: @@
 ==Beweis des Faltungssatzes==
+<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition: }$&nbsp;
@@ Zeile 218: / Zeile 214: @@
 ==Aufgaben zum Kapitel==
+<br>
 [[Aufgaben:3.7 Synchrondemodulator|A3.7 Synchrondemodulator]]