Signaldarstellung/Einige Sonderfälle impulsartiger Signale - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:29Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Signal_Representation/Special_Cases_of_Pulses]]

Guenter am 22. April 2021 um 09:58 Uhr

2021-04-22T09:58:11Z

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Guenter am 26. September 2019 um 09:14 Uhr

2019-09-26T09:14:40Z

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Guenter am 23. Juli 2018 um 15:26 Uhr

2018-07-23T15:26:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juli 2018, 17:26 Uhr
Zeile 93:		Zeile 93:

	Wir möchten Sie auf zwei interaktive Applets zu dieser Thematik aufmerksam machen, mit denen Sie sich die Zeit– und Frequenzbereichsdarstellungen von Gaußimpuls, Rechteckimpuls, Dreieckimpuls, Trapezimpuls und Cosinus–Rolloff–Impuls parametrisiert anzeigen lassen:		Wir möchten Sie auf zwei interaktive Applets zu dieser Thematik aufmerksam machen, mit denen Sie sich die Zeit– und Frequenzbereichsdarstellungen von Gaußimpuls, Rechteckimpuls, Dreieckimpuls, Trapezimpuls und Cosinus–Rolloff–Impuls parametrisiert anzeigen lassen:
	*[[Applets:Impulse_und_Spektren\|Impulse und ~~Spektrenn~~]]		*[[Applets:Impulse_und_Spektren\|Impulse und Spektren]]
	*[[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|Frequenzgang und Impulsantwort]]		*[[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|Frequenzgang und Impulsantwort]]

Guenter am 23. Juli 2018 um 15:25 Uhr

2018-07-23T15:25:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juli 2018, 17:25 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$  Als '''äquivalente Impulsdauer''' bezeichnet man allgemein die Dauer eines Rechteckimpulses mit gleicher Amplitude und Fläche wie das gegebene impulsförmige Signal $x(t)$:
	Als '''äquivalente Impulsdauer''' bezeichnet man allgemein die Dauer eines Rechteckimpulses mit gleicher Amplitude und Fläche wie das gegebene impulsförmige Signal $x(t)$:

	:$$\Delta t = \frac{1}{A }\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$}}		:$$\Delta t = \frac{1}{A }\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$}}
Zeile 84:		Zeile 83:
	Der Ausgangsleistungsimpuls $x(t)$ eines Lasers für die digitale optische Übertragung kann im äquivalenten Tiefpassbereich mit guter Näherung als gaußförmig angenommen werden.		Der Ausgangsleistungsimpuls $x(t)$ eines Lasers für die digitale optische Übertragung kann im äquivalenten Tiefpassbereich mit guter Näherung als gaußförmig angenommen werden.

	Die Signalparameter seien $A = 1 \,\text{mW}$, $\Delta t =1 \,\text{ns}$.		Die Signalparameter seien $A = 1 \,\text{mW}$ und $\Delta t =1 \,\text{ns}$.

	Damit erhält man im Spektralbereich die vergleichbaren Kenngrößen:		Damit erhält man im Spektralbereich die vergleichbaren Kenngrößen:
	* das Maximum $X_0 = X(f=0) = A \cdot \Delta t = 10^{-12} \,\text{W/Hz}$,		* das Maximum $X_0 = X(f=0) = A \cdot \Delta t = 10^{-12} \,\text{W/Hz}$,
Zeile 106:		Zeile 106:
	In der Nachrichtentechnik ist es aber auch üblich und äußerst vorteilhaft, kurzfristige impulsartige Vorgänge mit Hilfe dieser mathematischen Funktion im Zeitbereich zu beschreiben und zu analysieren.		In der Nachrichtentechnik ist es aber auch üblich und äußerst vorteilhaft, kurzfristige impulsartige Vorgänge mit Hilfe dieser mathematischen Funktion im Zeitbereich zu beschreiben und zu analysieren.

	[[Datei:Sig_T_3_2_S3_version3.png\|right\|frame\|Diracimpuls und Spektrum]]		[[Datei:Sig_T_3_2_S3_version3.png\|right\|frame\|Diracimpuls und zugehöriges Spektrum]]
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
Zeile 113:		Zeile 113:

	der wie folgt charakterisiert werden kann (siehe Skizze):		der wie folgt charakterisiert werden kann (siehe Skizze):
	*Der Diracimpuls ist unendlich schmal   ⇒   es ~~ist~~ $x(t)$ = 0 für $t \neq 0$ und zum Zeitpunkt $t = 0$ unendlich hoch.		*Der Diracimpuls ist unendlich schmal   ⇒   es gilt $x(t)$ = 0 für $t \neq 0$ und zum Zeitpunkt $t = 0$ ist der Diracimpuls unendlich hoch.
	*Beschreibt $x(t)$ einen Spannungsverlauf, so hat das Impulsgewicht $X_0$ die Einheit „Vs” (also die Einheit „V/Hz” einer Spektralfunktion), da $\delta (t)$ selbst die Einheit „1/s” besitzt.		*Beschreibt $x(t)$ einen Spannungsverlauf, so hat das Impulsgewicht $X_0$ die Einheit „Vs” (also die Einheit „V/Hz” einer Spektralfunktion), da $\delta (t)$ selbst die Einheit „1/s” besitzt.
	*Die Spektralfunktion des Diracimpulses beinhaltet alle Frequenzen $f$ gleichermaßen:   $X(f) = X_0 = \rm const.$}}		*Die Spektralfunktion des Diracimpulses beinhaltet alle Frequenzen $f$ gleichermaßen:   $X(f) = X_0 = \rm const.$}}
Zeile 119:		Zeile 119:

	Die hier genannten Eigenschaften sind im folgenden Lernvideo [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)\|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]] zusammenfassend dargestellt.		Die hier genannten Eigenschaften sind im folgenden Lernvideo [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)\|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]] zusammenfassend dargestellt.


	[[Datei:P_ID561__Sig_T_3_2_S3b_neu.png\|right\|frame\|Zur Bedeutung des Diracimpulses]]		[[Datei:P_ID561__Sig_T_3_2_S3b_neu.png\|right\|frame\|Zur Bedeutung des Diracimpulses]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten ein
	Wir betrachten ein		Netzwerk mit Tiefpasscharakteristik und sehr niedriger Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 10\,\text{ kHz}$. Das Ausgangssignal $y(t)$ ändert sich (nahezu) nicht, wenn eines der skizzierten Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ oder $x_3(t)$ an den Eingang angelegt wird.
	Netzwerk mit Tiefpasscharakteristik und sehr ~~niedrigen~~ Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 10\,\text{ kHz}$. ~~Dessen~~ Ausgangssignal $y(t)$ ändert sich (nahezu) nicht, wenn eines der skizzierten Signale $~~x_i~~(t)$ an den Eingang angelegt wird.

	Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:		Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:
	*Da bei $x_1(t)$ und $x_2(t)$ die äquivalenten Impulsdauern jeweils gleich sind $(\Delta t = 1\, ~~\mu~~\text{s})$ und diese sehr viel kleiner ist als $1/f_{\rm G} = 100 \, ~~\mu~~\text{s}$, hat die tatsächliche Impulsform (Rechteck oder Dreieck) keinen oder nur einen untergeordneten Einfluss auf das Ausgangssignal $y(t)$.		*Da bei $x_1(t)$ und $x_2(t)$ die äquivalenten Impulsdauern jeweils gleich sind $(\Delta t = 1\, µ\text{s})$ und diese sehr viel kleiner ist als $1/f_{\rm G} = 100 \, µ\text{s}$, hat die tatsächliche Impulsform (Rechteck oder Dreieck) keinen oder nur einen untergeordneten Einfluss auf das Ausgangssignal $y(t)$.
	*Beide Eingangsimpulse – sowohl das Rechteck $x_1(t)$ als auch das Dreieck $x_2(t)$ – kann man durch den Diracimpuls $x_3(t)$ annähern.		*Beide Eingangsimpulse – sowohl das Rechteck $x_1(t)$ als auch das Dreieck $x_2(t)$ – kann man durch den Diracimpuls $x_3(t)$ annähern.
	*Das Impulsgewicht $X_0 = 6 · 10^{-6}\, \text{Vs}$ muss dabei gleich den Impulsflächen von $x_1(t)$ und $x_2(t)$ sein. Voraussetzung für diese Näherung ist allerdings eine hinreichend kleine Grenzfrequenz. Bei $f_{\rm G} = 10 \, \text{MHz}$   ⇒  $1/f_{\rm G} = 100 \, \text{ns}$ wäre diese Vereinfachung dagegen nicht erlaubt.		*Das Impulsgewicht $X_0 = 6 · 10^{-6}\, \text{Vs}$ muss dabei gleich den Impulsflächen von $x_1(t)$ und $x_2(t)$ sein. Voraussetzung für diese Näherung ist allerdings eine hinreichend kleine Grenzfrequenz. Bei $f_{\rm G} = 10 \, \text{MHz}$   ⇒  $1/f_{\rm G} = 100 \, \text{ns}$ wäre diese Vereinfachung dagegen nicht erlaubt.

Guenter am 23. Juli 2018 um 15:15 Uhr

2018-07-23T15:15:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juli 2018, 17:15 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:

	==Rechteckimpuls==		==Rechteckimpuls==
			<br>
	[[Datei:Sig_T_3_2_S1_version3.png\|right\|frame\|Rechteckimpuls und Spektrum]]		[[Datei:Sig_T_3_2_S1_version3.png\|right\|frame\|Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum]]
	Man spricht von einem '''Rechteckimpuls''', wenn für die Zeitfunktion gilt:		Man spricht von einem '''Rechteckimpuls''', wenn für die Zeitfunktion gilt:

Zeile 20:		Zeile 20:
	:$$X(f) = \int_{ - T/2}^{+T/2} {A \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}2\pi ft}\, {\rm d}t = A }\cdot \int_{ - T/2}^{+T/2} {\cos ( {2\pi}ft )\,{\rm d}t - {\rm j} \cdot A} \int_{ - T/2}^{+T/2} {\sin ( {2\pi ft} )}\,{\rm d}t .$$		:$$X(f) = \int_{ - T/2}^{+T/2} {A \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}2\pi ft}\, {\rm d}t = A }\cdot \int_{ - T/2}^{+T/2} {\cos ( {2\pi}ft )\,{\rm d}t - {\rm j} \cdot A} \int_{ - T/2}^{+T/2} {\sin ( {2\pi ft} )}\,{\rm d}t .$$

	Hierbei berücksichtigen die Integrationsgrenzen $\pm T/2$, dass $x(t)$ ausserhalb des Intervalls von $-T/2$ bis $+T/2$ identisch 0 ist. Das zweite Integral verschwindet aufgrund des ungeraden Integranden und man erhält:		*Hierbei berücksichtigen die Integrationsgrenzen $\pm T/2$, dass $x(t)$ ausserhalb des Intervalls von $-T/2$ bis $+T/2$ identisch Null ist.
			*Das zweite Integral verschwindet aufgrund des ungeraden Integranden und man erhält:

	:$$X(f) = \frac{A \cdot \sin \left( {\pi fT} \right)}{\pi f}.$$		:$$X(f) = \frac{A \cdot \sin \left( {\pi fT} \right)}{\pi f}.$$
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	:$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( {\pi fT} \right).$$		:$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( {\pi fT} \right).$$

	Wie die ~~obere~~ Grafik zeigt, besitzt $X(f)$ folgende Eigenschaften:		Wie die Grafik zeigt, besitzt $X(f)$ folgende Eigenschaften:
	*Das Maximum liegt bei der Frequenz $f=0$ und hat den Wert $A \cdot T$ (Fläche des Rechtecks).		*Das Maximum liegt bei der Frequenz $f=0$ und hat den Wert $A \cdot T$ (Fläche des Rechtecks).
	*Bei den Frequenzen $f_n = n/T$ mit $n = ±1, ±2, ±3,\text{ ...} $ besitzt das Spektrum Nullstellen:		*Bei den Frequenzen $f_n = n/T$ mit $n = ±1, ±2, ±3,\text{ ...} $ besitzt das Spektrum Nullstellen:
Zeile 47:		Zeile 48:

	==Gaußimpuls==		==Gaußimpuls==
			<br>
	Ein weiteres Beispiel eines aperiodischen Signals ist der '''Gaußimpuls''' mit dem Zeitverlauf		Ein weiteres Beispiel eines aperiodischen Signals ist der '''Gaußimpuls''' mit dem Zeitverlauf

Zeile 59:		Zeile 60:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	~~Die~~ Dauer eines Rechteckimpulses mit gleicher Amplitude und Fläche wie das gegebene impulsförmige Signal $x(t)$ ~~bezeichnet man allgemein als '''äquivalente Impulsdauer'''~~:		Als '''äquivalente Impulsdauer''' bezeichnet man allgemein die Dauer eines Rechteckimpulses mit gleicher Amplitude und Fläche wie das gegebene impulsförmige Signal $x(t)$:

	:$$\Delta t = \frac{1}{A }\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$}}		:$$\Delta t = \frac{1}{A }\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$}}


	Der Gaußimpuls $x(t)$ weist folgende Eigenschaften auf (siehe Grafik im Beispiel 1):		Der Gaußimpuls $x(t)$ weist folgende Eigenschaften auf (siehe Grafik im $\text{Beispiel 1}$):
	*Die Zeitfunktion ist für alle Zeiten von $-\infty$ bis $+\infty$ existent und positiv.		*Die Zeitfunktion ist für alle Zeiten von $-\infty$ bis $+\infty$ existent und positiv.
	*Das bedeutet gleichzeitig: Die absolute Impulsdauer ist unendlich groß.		*Das bedeutet gleichzeitig: Die absolute Impulsdauer ist unendlich groß.
Zeile 78:		Zeile 79:


	[[Datei:P_ID559__Sig_T_3_2_S2_b_neu.png\|right\|frame\|Gaußimpuls und Spektrum (Zahlenwertbeispiel)]]		[[Datei:P_ID559__Sig_T_3_2_S2_b_neu.png\|right\|frame\|Gaußimpuls und zugehöriges Spektrum (Zahlenwertbeispiel)]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
Zeile 100:		Zeile 101:

	==Diracimpuls==		==Diracimpuls==
			<br>
	Im Kapitel [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung\|Periodische Signale]] wurde die ''Diracfunktion'' bereits zur Beschreibung des Spektrums eines Gleichsignals oder einer harmonischen Schwingung verwendet.		Im Kapitel [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung\|Periodische Signale]] wurde die ''Diracfunktion'' bereits zur Beschreibung des Spektrums eines Gleichsignals oder einer harmonischen Schwingung verwendet.

Guenter am 16. Januar 2018 um 15:57 Uhr

2018-01-16T15:57:38Z

Änderungen zeigen

Guenter am 1. Januar 2018 um 17:05 Uhr

2018-01-01T17:05:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Januar 2018, 19:05 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Rechteckimpuls==		==Rechteckimpuls==

	[[Datei:Sig_T_3_2_S1_version3.png\|right\|Rechteckimpuls und Spektrum]]		[[Datei:Sig_T_3_2_S1_version3.png\|right\|frame\|Rechteckimpuls und Spektrum]]
	Man spricht von einem '''Rechteckimpuls''', wenn für die Zeitfunktion gilt:		Man spricht von einem '''Rechteckimpuls''', wenn für die Zeitfunktion gilt:

Guenter: Änderungen von Wael (Diskussion) wurden auf die letzte Version von Safwen zurückgesetzt

2018-01-01T16:50:43Z

Änderungen von Wael (Diskussion) wurden auf die letzte Version von Safwen zurückgesetzt

← Nächstältere Version		Version vom 1. Januar 2018, 18:50 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:

	==Rechteckimpuls==		==Rechteckimpuls==
	~~<br>~~
	[[Datei:Sig_T_3_2_S1_version3.png\|right~~\|frame~~\|Rechteckimpuls und Spektrum]]		[[Datei:Sig_T_3_2_S1_version3.png\|right\|Rechteckimpuls und Spektrum]]
	Man spricht von einem '''Rechteckimpuls''', wenn für die Zeitfunktion gilt:		Man spricht von einem '''Rechteckimpuls''', wenn für die Zeitfunktion gilt:

	:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}A \\ A /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} {\left\| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right\| < T/2,} \\ {\left\| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right\| = T/2,} \\ {\left\|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right\| > T/2.} \\ \end{array}$$		$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}A \\ A /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} {\left\| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right\| < T/2,} \\ {\left\| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right\| = T/2,} \\ {\left\|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right\| > T/2.} \\ \end{array}$$

	Hierbei bezeichnet $A$ die Impulsamplitude und $T$ die Impulsdauer.		Hierbei bezeichnet $A$ die Impulsamplitude und $T$ die Impulsdauer.
Zeile 150:		Zeile 150:

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

	[[Aufgaben:3.3 Vom Signal zum Spektrum\|A3.3 Vom Signal zum Spektrum]]		[[Aufgaben:3.3 Vom Signal zum Spektrum\|A3.3 Vom Signal zum Spektrum]]

Wael am 27. Dezember 2017 um 13:41 Uhr

2017-12-27T13:41:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. Dezember 2017, 15:41 Uhr
Zeile 48:		Zeile 48:

	==Gaußimpuls==		==Gaußimpuls==
	~~<br>~~
	Ein weiteres Beispiel eines aperiodischen Signals ist der '''Gaußimpuls''' mit dem Zeitverlauf		Ein weiteres Beispiel eines aperiodischen Signals ist der '''Gaußimpuls''' mit dem Zeitverlauf

Zeile 108:		Zeile 108:

	==Diracimpuls==		==Diracimpuls==
	~~<br>~~
	Im Kapitel [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung\|Periodische Signale]] wurde die ''Diracfunktion'' bereits zur Beschreibung des Spektrums eines Gleichsignals oder einer harmonischen Schwingung verwendet.		Im Kapitel [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung\|Periodische Signale]] wurde die ''Diracfunktion'' bereits zur Beschreibung des Spektrums eines Gleichsignals oder einer harmonischen Schwingung verwendet.

Zeile 150:		Zeile 150:

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==
	~~<br>~~
	[[Aufgaben:3.3 Vom Signal zum Spektrum\|A3.3 Vom Signal zum Spektrum]]		[[Aufgaben:3.3 Vom Signal zum Spektrum\|A3.3 Vom Signal zum Spektrum]]