Signaldarstellung/Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion - Versionsgeschichte

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Zeile 13:		Zeile 13:
	$\text{Definition:}$  Das zum physikalischen Signal  $x(t)$  gehörige  $\text{analytische Signal}$  $x_+(t)$  ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:		$\text{Definition:}$  Das zum physikalischen Signal  $x(t)$  gehörige  $\text{analytische Signal}$  $x_+(t)$  ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
	[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png\|right\|frame\|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]		[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png\|right\|frame\|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]
	:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \~~cdotX~~(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$		:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

	Die so genannte $\text{Signumfunktion}$ ist dabei für positive Frequenzwerte gleich  $+1$  und für negative  $f$–Werte gleich  $-1$.		Die so genannte $\text{Signumfunktion}$ ist dabei für positive Frequenzwerte gleich  $+1$  und für negative  $f$–Werte gleich  $-1$.

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2026-02-24T13:38:02Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Zeile 13:		Zeile 13:
	$\text{Definition:}$  Das zum physikalischen Signal  $x(t)$  gehörige  $\text{analytische Signal}$  $x_+(t)$  ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:		$\text{Definition:}$  Das zum physikalischen Signal  $x(t)$  gehörige  $\text{analytische Signal}$  $x_+(t)$  ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
	[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png\|right\|frame\|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]		[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png\|right\|frame\|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]
	:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \~~cdot~~		:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdotX(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$
	X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

	Die so genannte $\text{Signumfunktion}$ ist dabei für positive Frequenzwerte gleich  $+1$  und für negative  $f$–Werte gleich  $-1$.		Die so genannte $\text{Signumfunktion}$ ist dabei für positive Frequenzwerte gleich  $+1$  und für negative  $f$–Werte gleich  $-1$.
Zeile 34:		Zeile 33:
	*links das diskrete und komplexe Spektrum  $X(f)$  des Bandpass–Signals		*links das diskrete und komplexe Spektrum  $X(f)$  des Bandpass–Signals

	:$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t),$$
	\cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}
	\cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t),$$

	*rechts das (ebenfalls diskrete, komplexe) Spektrum des analytischen Signals  $x_{+}(t)$.		*rechts das (ebenfalls diskrete, komplexe) Spektrum des analytischen Signals  $x_{+}(t)$.
Zeile 56:		Zeile 53:
	:$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$		:$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
	*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:		*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
	:$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)		:$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rmsign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm
	~~sign~~}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
	*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltungsoperation]], und man erhält:		*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltungsoperation]], und man erhält:
	:$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star		:$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
	\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
	\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
	\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

	==Darstellung mit der Hilberttransformation==		==Darstellung mit der Hilberttransformation==
Zeile 72:		Zeile 64:
	$\text{Definition:}$  Für die  $\text{Hilberttransformierte}$  $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  einer Zeitfunktion  $x(t)$  gilt:		$\text{Definition:}$  Für die  $\text{Hilberttransformierte}$  $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  einer Zeitfunktion  $x(t)$  gilt:

	:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot		:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
	\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
	\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

	*Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des  [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes]  ausgewertet werden.		*Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des  [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes]  ausgewertet werden.
Zeile 114:		Zeile 104:
	Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals  $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz  $f =-f_{\rm T})$:		Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals  $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz  $f =-f_{\rm T})$:

	:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm		:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rmT}) .$$
	T}) .$$

	Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]:		Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]:

	:$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t		:$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
	\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

	Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$  drehenden Zeiger.		Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$  drehenden Zeiger.
Zeile 145:		Zeile 133:
	[[Datei:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png\|right\|frame\|Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei harmonischen Schwingungen]]		[[Datei:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png\|right\|frame\|Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei harmonischen Schwingungen]]

	:$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}		:$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$
	\varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$

	Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel  $I = 3$. Wählt man  $I$  relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz–) kontinuierliche Spektralfunktionen  $X_+(f)$  angenähert werden.		Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel  $I = 3$. Wählt man  $I$  relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz–) kontinuierliche Spektralfunktionen  $X_+(f)$  angenähert werden.
Zeile 152:		Zeile 139:
	Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:		Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:

	:$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i		:$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
	\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$

	Zu dieser Grafik anzumerken:		Zu dieser Grafik anzumerken:
Zeile 161:		Zeile 147:
	*Für Zeiten  $t > 0$  drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten  $\omega_i = 2\pi f_i$.  Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.		*Für Zeiten  $t > 0$  drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten  $\omega_i = 2\pi f_i$.  Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
	*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger  $x_+(t)$  tendenziell in diese Richtung bewegen.  Zum Zeitpunkt  $t = 1\,µ\text {s}$  liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei		*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger  $x_+(t)$  tendenziell in diese Richtung bewegen.  Zum Zeitpunkt  $t = 1\,µ\text {s}$  liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
	:$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm		:$$ \begin{align}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\& = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rme}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align}$$
	j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm
	j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40
	\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm
	j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50
	\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm
	j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60
	\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\
	& = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm
	j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm
	e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \~~approx~~
	1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$
	*Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.		*Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.

Guenter am 6. Mai 2021 um 10:53 Uhr

2021-05-06T10:53:33Z

Guenter am 5. Mai 2021 um 16:15 Uhr

2021-05-05T16:15:30Z

Guenter am 4. Oktober 2019 um 14:17 Uhr

2019-10-04T14:17:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Oktober 2019, 16:17 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:
	==Darstellung mit der Hilberttransformation==		==Darstellung mit der Hilberttransformation==
	<br>		<br>
	An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme\|Lineare zeitinvariante Systeme]]  noch eingehend behandelt wird.		An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation\|Lineare zeitinvariante Systeme]]  noch eingehend behandelt wird.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

Guenter am 4. Oktober 2019 um 14:13 Uhr

2019-10-04T14:13:22Z

Änderungen zeigen

Guenter am 4. Oktober 2019 um 12:45 Uhr

2019-10-04T12:45:22Z

Guenter am 26. Juli 2018 um 07:46 Uhr

2018-07-26T07:46:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2018, 09:46 Uhr
Zeile 175:		Zeile 175:


	Das ~~Interaktionsmodul~~ [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.		Das interaktive Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.

Guenter am 26. Juli 2018 um 07:45 Uhr

2018-07-26T07:45:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2018, 09:45 Uhr
Zeile 175:		Zeile 175:


	Das Interaktionsmodul [[Applets:~~Zeigerdiagramm_–_Darstellung_des_analytischen_Signals_(Applet)~~\|~~Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals~~]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.		Das Interaktionsmodul [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
Zeile 53:		Zeile 53:
	:$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$		:$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
	*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:		*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
	:$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\~~rmsign~~}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$		:$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
	*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltungsoperation]], und man erhält:		*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltungsoperation]], und man erhält:
	:$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$		:$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
Zeile 104:		Zeile 104:
	Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals  $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz  $f =-f_{\rm T})$:		Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals  $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz  $f =-f_{\rm T})$:

	:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\~~rmT~~}) .$$		:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm T}) .$$

	Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]:		Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]:
Zeile 147:		Zeile 147:
	*Für Zeiten  $t > 0$  drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten  $\omega_i = 2\pi f_i$.  Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.		*Für Zeiten  $t > 0$  drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten  $\omega_i = 2\pi f_i$.  Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
	*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger  $x_+(t)$  tendenziell in diese Richtung bewegen.  Zum Zeitpunkt  $t = 1\,µ\text {s}$  liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei		*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger  $x_+(t)$  tendenziell in diese Richtung bewegen.  Zum Zeitpunkt  $t = 1\,µ\text {s}$  liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
	:$$ \begin{align}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\& = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\~~rme~~}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align}$$		:$$ \begin{align}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\& = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align}$$
	*Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.		*Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.

Zeile 174:		Zeile 174:

	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Signal_Representation/Analytical_Signal_and_its_Spectral_Function]]

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2021, 12:53 Uhr
Zeile 95:		Zeile 95:
	$\text{Beispiel 2:}$  Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:		$\text{Beispiel 2:}$  Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:
	*Nach der linken Darstellung  $\rm (A)$  kommt man vom physikalischen Signal  $x(t)$  zum analytischen Signal  $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil  ${\rm j} \cdot y(t)$  hinzufügt.		*Nach der linken Darstellung  $\rm (A)$  kommt man vom physikalischen Signal  $x(t)$  zum analytischen Signal  $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil  ${\rm j} \cdot y(t)$  hinzufügt.
	*$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  eine reelle ~~Zeitfunktion~~, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch Multiplikation des Spektrums  $X(f)$  mit  $- {\rm j} \cdot \sign(f)$  angeben lässt.		*$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  ist eine reelle Funktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch Multiplikation des Spektrums  $X(f)$  mit  $- {\rm j} \cdot \sign(f)$  angeben lässt.

	[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png\|right\|frame\|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]		[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png\|right\|frame\|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]
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	\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$		\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

	Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$  drehenden Zeiger.		Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$  drehenden Zeiger.

			Im Folgenden bezeichnen wir den zeitlichen Verlauf eines analytischen und frequenzdikreten Signals  $x_+(t)$  auch als  $\text{Zeigerdiagramm}$.

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$  Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um  $90^\circ$  nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).		$\text{Beispiel 3:}$  Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um  $90^\circ$  nach links gedreht <br>(Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).

	[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png\|~~center~~\|frame\|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]		[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png\|right\|frame\|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]

	Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:		Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
	*Zum Startzeitpunkt  $t = 0$  liegt der Zeiger der Länge  $A$  (~~Signalamplitude~~) mit dem Winkel  $-\varphi$  in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt  $\varphi = 45^\circ$.		*Zum Startzeitpunkt  $t = 0$  liegt der Zeiger der Länge  $A$  (Amplitude) mit dem Winkel  $-\varphi$  in der komplexen Ebene.  Im gezeichneten Beispiel gilt  $\varphi = 45^\circ$.
	*Für Zeiten  $t > 0$  dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz)  $\omega_{\rm T}$  in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.		*Für Zeiten  $t > 0$  dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz)  $\omega_{\rm T}$  in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
	*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius  $A$  und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit  $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung  $x(t)$.		*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius  $A$  und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit  $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung  $x(t)$.
Zeile 139:		Zeile 141:
	==Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen==		==Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen==
	<br>		<br>
	Für die weitere Beschreibung gehen wir für das analytische Signal von folgendem Spektrum aus:		Für die weitere Beschreibung gehen wir für das analytische Signal von folgendem diskretem Spektrum aus:

			[[Datei:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png\|right\|frame\|Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei harmonischen Schwingungen]]

	:$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}		:$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
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	Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel  $I = 3$. Wählt man  $I$  relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz–) kontinuierliche Spektralfunktionen  $X_+(f)$  angenähert werden.		Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel  $I = 3$. Wählt man  $I$  relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz–) kontinuierliche Spektralfunktionen  $X_+(f)$  angenähert werden.

	~~[[Datei:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png\|center\|frame\|Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei Schwingungen]]~~

	Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:		Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:
Zeile 155:		Zeile 157:
	Zu dieser Grafik anzumerken:		Zu dieser Grafik anzumerken:
	*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt  $t = 0$  entsprechend den Amplituden  $A_i$  und den Phasenlagen  $\varphi_i$.		*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt  $t = 0$  entsprechend den Amplituden  $A_i$  und den Phasenlagen  $\varphi_i$.
	*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt  $t = 0$:		*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert.  Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt  $t = 0$:
	:$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1 \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$		:$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1 \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
	*Für Zeiten  $t > 0$  drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten  $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.		*Für Zeiten  $t > 0$  drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten  $\omega_i = 2\pi f_i$.  Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
	*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger  $x_+(t)$  tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt  $t = 1\,µ\text {s}$  liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei		*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger  $x_+(t)$  tendenziell in diese Richtung bewegen.  Zum Zeitpunkt  $t = 1\,µ\text {s}$  liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
	:$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm		:$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
	j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm		j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm

← Nächstältere Version		Version vom 5. Mai 2021, 18:15 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Definition im Frequenzbereich==		==Definition im Frequenzbereich==
	<br>		<br>
	Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal  $x(t)$  mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum  $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals  $x(t)$  ist.		Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal  $x(t)$  mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum  $X(f)$,  das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt.  Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals  $x(t)$  ist.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Das zum physikalischen Signal  $x(t)$  gehörige  ~~'''~~analytische Signal~~'''~~  $x_+(t)$  ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:		$\text{Definition:}$  Das zum physikalischen Signal  $x(t)$  gehörige  $\text{analytische Signal}$  $x_+(t)$  ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
	[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png\|right\|frame\|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]		[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png\|right\|frame\|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]
	:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot		:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
	X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$		X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

	Die so genannte ~~&bdquo;~~Signumfunktion~~”~~ ist dabei für positive ~~Werte von  $f$ ~~ gleich  $+1$  und für negative  $f$–Werte gleich  $-1$.		Die so genannte $\text{Signumfunktion}$ ist dabei für positive Frequenzwerte gleich  $+1$  und für negative  $f$–Werte gleich  $-1$.
	*Der (beidseitige) Grenzwert liefert  $\sign(0) = 0$.		*Der (beidseitige) Grenzwert liefert  $\sign(0) = 0$.
	*Der Index „+” soll deutlich machen, dass  $X_+(f)$  nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.		*Der Index „+” soll deutlich machen, dass  $X_+(f)$  nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
Zeile 27:		Zeile 27:
	*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.}}		*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.}}
	<br clear=all>		<br clear=all>
	[[Datei:P_ID711__Sig_T_4_2_S1b_neu.png\|right\|frame\|~~Beispielspektrum~~ des analytischen Signals]]		[[Datei:P_ID711__Sig_T_4_2_S1b_neu.png\|right\|frame\|Spektrum  $X(f)$  und Spektrum  $X_{+}(f)$  des analytischen Signals]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$

	Die Grafik zeigt		Die Grafik zeigt
	*links das (komplexe) Spektrum  $X(f)$  des Bandpass–Signals		*links das diskrete und komplexe Spektrum  $X(f)$  des Bandpass–Signals

	:$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
	\cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}		\cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}
	\cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$		\cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t),$$

	*rechts das (ebenfalls komplexe) Spektrum des analytischen Signals  $x_{+}(t)$.		*rechts das (ebenfalls diskrete, komplexe) Spektrum des analytischen Signals  $x_{+}(t)$.

	}}		}}
Zeile 45:		Zeile 45:
	==Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich==		==Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich==
	<br>		<br>
	[[Datei:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png\|right\|frame\|Zur ~~Herleitung~~ des analytischen Signals]]		[[Datei:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png\|right\|frame\|Zur anschaulichen Erklärung des analytischen Signals]]
	Wir betrachten nun das Spektrum  $X_+(f)$  des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich  $f = 0$  geraden Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  und einen ungeraden Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  auf:		Wir betrachten nun das Spektrum  $X_+(f)$  des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich  $f = 0$  geraden Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  und einen ungeraden Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  auf:
	:$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$		:$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$
Zeile 67:		Zeile 67:
	==Darstellung mit der Hilberttransformation==		==Darstellung mit der Hilberttransformation==
	<br>		<br>
	An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation\|Lineare zeitinvariante Systeme]]  ~~noch eingehend~~ behandelt wird.		An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation\|Lineare zeitinvariante Systeme]]  genauer behandelt wird.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Für die  ~~'''~~Hilberttransformierte~~'''~~  $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  einer Zeitfunktion  $x(t)$  gilt:		$\text{Definition:}$  Für die  $\text{Hilberttransformierte}$  $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  einer Zeitfunktion  $x(t)$  gilt:

	:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot		:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
Zeile 84:		Zeile 84:

	Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:		Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
	*Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal  $x(t)$  das analytische Signal  $x_+(t)$, indem man zu  $x(t)$  einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:		*Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal  $x(t)$  das analytische Signal  $x_+(t)$,  indem man zu  $x(t)$  einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:

	:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$		:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$

	*Die Hilberttransformierte  $\text{H}\{x(t)\}$  verschwindet nur für den Fall  $x(t) = \rm const.$   ⇒   Gleichsignal Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal  $x_+(t)$  somit stets komplex.		*Die Hilberttransformierte  $\text{H}\{x(t)\}$  verschwindet nur für den Fall  $x(t) = \rm const.$   ⇒   Gleichsignal.  Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal  $x_+(t)$  somit stets komplex.
	*Aus dem analytischen Signal  $x_+(t)$  kann das ~~reale~~ Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:		*Aus dem analytischen Signal  $x_+(t)$  kann das physikalisch Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
	:$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$		:$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$

Zeile 95:		Zeile 95:
	$\text{Beispiel 2:}$  Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:		$\text{Beispiel 2:}$  Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:
	*Nach der linken Darstellung  $\rm (A)$  kommt man vom physikalischen Signal  $x(t)$  zum analytischen Signal  $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil  ${\rm j} \cdot y(t)$  hinzufügt.		*Nach der linken Darstellung  $\rm (A)$  kommt man vom physikalischen Signal  $x(t)$  zum analytischen Signal  $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil  ${\rm j} \cdot y(t)$  hinzufügt.
	*~~Hierbei ist ~~ $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch ~~die~~ Multiplikation des Spektrums  $X(f)$  mit  $- {\rm j} \cdot \sign(f)$  angeben lässt.		*$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch Multiplikation des Spektrums  $X(f)$  mit  $- {\rm j} \cdot \sign(f)$  angeben lässt.

	~~[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png\|center\|frame\|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]~~

			[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png\|right\|frame\|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]
			<br><br><br>
	Die rechte Darstellung  $\rm (B)$  ist äquivalent zu  $\rm (A)$:		Die rechte Darstellung  $\rm (B)$  ist äquivalent zu  $\rm (A)$:
	*~~Nun gilt~~  $x_+(t) = x(t) + z(t)$~~  mit der rein imaginären Funktion ~~ $~~z(t)$.~~		*Mit der imaginären Funktion  $z(t)$  erhält man:
	*Ein Vergleich ~~der beiden Bilder~~ zeigt, dass tatsächlich~~ ~~ $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$~~  ist.~~}}		:$$x_+(t) = x(t) + z(t).$$
			*Ein Vergleich beider Darstellungen zeigt, dass tatsächlich gilt:
			:$$z(t) = {\rm j} \cdot y(t).$$}}

	==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==		==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==

← Nächstältere Version		Version vom 4. Oktober 2019, 14:45 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Definition im Frequenzbereich==		==Definition im Frequenzbereich==
	<br>		<br>
	Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal $x(t)$ mit dem dazugehörigen ~~BP–Spektrum~~ $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ sehr viel größer als die Bandbreite des ~~BP–Signals~~ $x(t)$ ist.		Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal  $x(t)$  mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum  $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals  $x(t)$  ist.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:		$\text{Definition:}$  Das zum physikalischen Signal  $x(t)$  gehörige  '''analytische Signal'''  $x_+(t)$  ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
	[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png\|right\|frame\|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]		[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png\|right\|frame\|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]
	:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot		:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
	X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$		X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

	Die so genannte ''Signumfunktion'' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.		Die so genannte &bdquo;Signumfunktion” ist dabei für positive Werte von  $f$  gleich  $+1$  und für negative  $f$–Werte gleich  $-1$.
	*Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.		*Der (beidseitige) Grenzwert liefert  $\sign(0) = 0$.
	*Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.		*Der Index „+” soll deutlich machen, dass  $X_+(f)$  nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.


	Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$:		Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für  $X_+(f)$:

	Das tatsächliche Bandpass–Spektrum $X(f)$ wird		Das tatsächliche Bandpass–Spektrum  $X(f)$  wird
	*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und		*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
	*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.}}		*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.}}
Zeile 32:		Zeile 32:

	Die Grafik zeigt		Die Grafik zeigt
	*links das (komplexe) Spektrum $X(f)$ des ~~BP–Signals~~		*links das (komplexe) Spektrum  $X(f)$  des Bandpass–Signals

	:$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
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	\cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$		\cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$

	*rechts das (ebenfalls komplexe) Spektrum des analytischen Signals $x_{+}(t)$.		*rechts das (ebenfalls komplexe) Spektrum des analytischen Signals  $x_{+}(t)$.

	}}		}}
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	<br>		<br>
	[[Datei:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png\|right\|frame\|Zur Herleitung des analytischen Signals]]		[[Datei:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png\|right\|frame\|Zur Herleitung des analytischen Signals]]
	Wir betrachten nun das Spektrum $X_+(f)$ des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich $f = 0$ geraden Anteil $X_{\rm +g}(f)$ und einen ungeraden Anteil $X_{\rm +u}(f)$ auf:		Wir betrachten nun das Spektrum  $X_+(f)$  des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich  $f = 0$  geraden Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  und einen ungeraden Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  auf:
	:$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$		:$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$
	Alle diese Spektren sind im Allgemeinen komplex.		Alle diese Spektren sind im Allgemeinen komplex.

	Berücksichtigt man den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]] der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:		Berücksichtigt man den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
	*Der gerade Anteil $X_{\rm +g}(f)$ von $X_{+}(f)$ führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil $X_{\rm +u}(f)$ zu einem imaginären.		*Der gerade Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  von  $X_{+}(f)$  führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  zu einem imaginären.



	*Es ist offensichtlich, dass $X_{\rm +g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{\rm +g}(t)$ gleich dem vorgegebenen Signal $x(t)$ mit Bandpasseigenschaften ist.		*Es ist offensichtlich, dass $X_{\rm +g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{\rm +g}(t)$ gleich dem vorgegebenen Signal $x(t)$ mit Bandpasseigenschaften ist.
	*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit $y(t)$, so lautet das analytische Signal:		*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit $y(t)$, so lautet das analytische Signal: