Signaldarstellung/Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion - Versionsgeschichte

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2018-01-24T14:01:19Z

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 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:
 *Nach der linken Darstellung&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; kommt man vom physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; zum analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil&nbsp; ${\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; hinzufügt.
-*$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch Multiplikation des Spektrums&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit&nbsp; $- {\rm j} \cdot \sign(f)$&nbsp; angeben lässt.
+*$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; ist eine reelle Funktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch Multiplikation des Spektrums&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit&nbsp; $- {\rm j} \cdot \sign(f)$&nbsp; angeben lässt.
 [[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]
@@ Zeile 122: / Zeile 122: @@
 \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
-Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit&nbsp; $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$&nbsp; drehenden Zeiger.
+Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit&nbsp; $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$&nbsp; drehenden Zeiger.&nbsp;
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um&nbsp; $90^\circ$&nbsp; nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um&nbsp; $90^\circ$&nbsp; nach links gedreht <br>(Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
-[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|center|frame|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]
+[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|right|frame|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]
 Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
-*Zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; liegt der Zeiger der Länge&nbsp; $A$&nbsp; (Signalamplitude) mit dem Winkel&nbsp; $-\varphi$&nbsp; in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt&nbsp; $\varphi = 45^\circ$.
+*Zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; liegt der Zeiger der Länge&nbsp; $A$&nbsp; (Amplitude) mit dem Winkel&nbsp; $-\varphi$&nbsp; in der komplexen Ebene.&nbsp; Im gezeichneten Beispiel gilt&nbsp; $\varphi = 45^\circ$.
 *Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz)&nbsp; $\omega_{\rm T}$&nbsp; in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
 *Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius&nbsp; $A$&nbsp; und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit&nbsp; $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung&nbsp; $x(t)$.
@@ Zeile 139: / Zeile 141: @@
 ==Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen==
 <br>
-Für die weitere Beschreibung gehen wir  für das analytische Signal von folgendem Spektrum aus:
+Für die weitere Beschreibung gehen wir  für das analytische Signal von folgendem diskretem Spektrum aus:
 :$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
@@ Zeile 145: / Zeile 149: @@
 Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel&nbsp; $I = 3$. Wählt man&nbsp; $I$&nbsp; relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz&ndash;) kontinuierliche Spektralfunktionen&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; angenähert werden.
 Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:
@@ Zeile 155: / Zeile 157: @@
 Zu dieser Grafik anzumerken:
 *Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; entsprechend den Amplituden&nbsp; $A_i$&nbsp; und den Phasenlagen&nbsp; $\varphi_i$.
-*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
+*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert.&nbsp; Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
 :$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
-*Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten&nbsp; $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
+*Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten&nbsp; $\omega_i = 2\pi f_i$.&nbsp; Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
-*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1\,&micro;\text {s}$&nbsp; liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
+*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; tendenziell in diese Richtung bewegen.&nbsp; Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1\,&micro;\text {s}$&nbsp; liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
 :$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}&micro; s}) & =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
 j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 ==Definition im Frequenzbereich==
 <br>
-Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum&nbsp; $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist.
+Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum&nbsp; $X(f)$,&nbsp; das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt.&nbsp; Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Das zum physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gehörige&nbsp; '''analytische Signal'''&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Das zum physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gehörige&nbsp; $\text{analytische Signal}$&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
 [[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png|right|frame|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]
 :$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
 X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$
-Die so genannte &bdquo;Signumfunktion&rdquo; ist dabei für positive Werte von&nbsp; $f$&nbsp; gleich&nbsp; $+1$&nbsp; und für negative&nbsp; $f$–Werte gleich&nbsp; $-1$.
+Die so genannte $\text{Signumfunktion}$ ist dabei für positive Frequenzwerte gleich&nbsp; $+1$&nbsp; und für negative&nbsp; $f$–Werte gleich&nbsp; $-1$.
 *Der (beidseitige) Grenzwert liefert&nbsp; $\sign(0) = 0$.
 *Der Index „+” soll deutlich machen, dass&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 *bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.}}
 <br clear=all>
-[[Datei:P_ID711__Sig_T_4_2_S1b_neu.png|right|frame|Beispielspektrum des analytischen Signals]]
+[[Datei:P_ID711__Sig_T_4_2_S1b_neu.png|right|frame|Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; und Spektrum&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; des analytischen Signals]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 Die Grafik zeigt
-*links das (komplexe) Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des Bandpass–Signals
+*links das diskrete und komplexe Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des Bandpass–Signals
 :$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
   \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}
-  \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$
+  \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t),$$
-*rechts das  (ebenfalls komplexe)  Spektrum des analytischen Signals&nbsp; $x_{+}(t)$.
+*rechts das  (ebenfalls diskrete, komplexe)  Spektrum des analytischen Signals&nbsp; $x_{+}(t)$.
 }}
@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 ==Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich==
 <br>
-[[Datei:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png|right|frame|Zur Herleitung des analytischen Signals]]
+[[Datei:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png|right|frame|Zur anschaulichen Erklärung des analytischen Signals]]
 Wir betrachten nun das Spektrum&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich&nbsp; $f = 0$&nbsp; geraden  Anteil&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; und einen ungeraden Anteil&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$&nbsp; auf:
 :$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 ==Darstellung mit der Hilberttransformation==
 <br>
-An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Lineare zeitinvariante Systeme]]&nbsp; noch eingehend behandelt wird.
+An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Lineare zeitinvariante Systeme]]&nbsp; genauer behandelt wird.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Für die&nbsp; '''Hilberttransformierte'''&nbsp; $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; einer Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; gilt:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Für die&nbsp; $\text{Hilberttransformierte}$&nbsp; $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; einer Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; gilt:
 :$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
-*Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$, indem man zu&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
+*Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$,&nbsp; indem man zu&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
 :$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
-*Die Hilberttransformierte&nbsp; $\text{H}\{x(t)\}$&nbsp; verschwindet nur für den Fall&nbsp;  $x(t) = \rm const.$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Gleichsignal  Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; somit stets komplex.
+*Die Hilberttransformierte&nbsp; $\text{H}\{x(t)\}$&nbsp; verschwindet nur für den Fall&nbsp;  $x(t) = \rm const.$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Gleichsignal.&nbsp;  Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; somit stets komplex.
-*Aus dem analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; kann das reale Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
+*Aus dem analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; kann das physikalisch Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
 :$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$
@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:
 *Nach der linken Darstellung&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; kommt man vom physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; zum analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil&nbsp; ${\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; hinzufügt.
-*Hierbei ist&nbsp; $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit&nbsp; $- {\rm j} \cdot \sign(f)$&nbsp; angeben lässt.
+*$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch Multiplikation des Spektrums&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit&nbsp; $- {\rm j} \cdot \sign(f)$&nbsp; angeben lässt.
 Die rechte Darstellung&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; ist äquivalent zu&nbsp; $\rm (A)$:
-*Nun gilt&nbsp; $x_+(t) = x(t) + z(t)$&nbsp; mit der rein imaginären Funktion&nbsp; $z(t)$.
+*Mit der imaginären Funktion&nbsp; $z(t)$&nbsp; erhält man:
-*Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich&nbsp; $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; ist.}}
+:$$x_+(t) = x(t) + z(t).$$
+*Ein Vergleich beider Darstellungen zeigt, dass tatsächlich gilt:
 ==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==

@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 ==Darstellung mit der Hilberttransformation==
 <br>
-An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|Lineare zeitinvariante Systeme]]&nbsp; noch eingehend behandelt wird.
+An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Lineare zeitinvariante Systeme]]&nbsp; noch eingehend behandelt wird.
 {{BlaueBox|TEXT=

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 ==Definition im Frequenzbereich==
 <br>
-Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal $x(t)$ mit dem dazugehörigen BP–Spektrum $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ sehr viel größer als die Bandbreite des BP–Signals $x(t)$ ist.
+Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum&nbsp; $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Das zum physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gehörige&nbsp; '''analytische Signal'''&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
 [[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png|right|frame|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]
 :$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
 X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$
-Die so genannte ''Signumfunktion'' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.
+Die so genannte &bdquo;Signumfunktion&rdquo; ist dabei für positive Werte von&nbsp; $f$&nbsp; gleich&nbsp; $+1$&nbsp; und für negative&nbsp; $f$–Werte gleich&nbsp; $-1$.
-*Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
+*Der (beidseitige) Grenzwert liefert&nbsp; $\sign(0) = 0$.
-*Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
+*Der Index „+” soll deutlich machen, dass&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
-Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$:
+Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für&nbsp; $X_+(f)$:
-Das tatsächliche Bandpass–Spektrum $X(f)$ wird
+Das tatsächliche Bandpass–Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; wird
 *bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
 *bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.}}
@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 Die Grafik zeigt
-*links das (komplexe) Spektrum $X(f)$ des BP–Signals
+*links das (komplexe) Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des Bandpass–Signals
 :$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
   \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$
-*rechts das  (ebenfalls komplexe)  Spektrum des analytischen Signals $x_{+}(t)$.
+*rechts das  (ebenfalls komplexe)  Spektrum des analytischen Signals&nbsp; $x_{+}(t)$.
 }}
@@ Zeile 46: / Zeile 46: @@
 <br>
 [[Datei:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png|right|frame|Zur Herleitung des analytischen Signals]]
-Wir betrachten nun das Spektrum $X_+(f)$ des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich $f = 0$ geraden  Anteil $X_{\rm +g}(f)$ und einen ungeraden Anteil $X_{\rm +u}(f)$ auf:
+Wir betrachten nun das Spektrum&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich&nbsp; $f = 0$&nbsp; geraden  Anteil&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; und einen ungeraden Anteil&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$&nbsp; auf:
 :$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$
 Alle diese Spektren sind im Allgemeinen komplex.
-Berücksichtigt man den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]] der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
+Berücksichtigt man den&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp; der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
-*Der gerade Anteil $X_{\rm +g}(f)$ von $X_{+}(f)$ führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil $X_{\rm +u}(f)$ zu einem imaginären.
+*Der gerade Anteil&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; von&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$&nbsp; zu einem imaginären.
 *Es ist offensichtlich, dass $X_{\rm +g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{\rm +g}(t)$ gleich dem vorgegebenen Signal $x(t)$ mit Bandpasseigenschaften ist.
 *Bezeichnen wir den Imaginärteil mit $y(t)$, so lautet das analytische Signal:

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−	Das ~~Interaktionsmodul~~ [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.	+	Das interaktive Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2018, 07:45 Uhr
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−	Das Interaktionsmodul [[Applets:~~Zeigerdiagramm_–_Darstellung_des_analytischen_Signals_(Applet)~~\|~~Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals~~]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.	+	Das Interaktionsmodul [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:4.3 Zeigerdiagrammdarstellung|Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.3:_Zeigerdiagrammdarstellung|Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung]]
-[[Aufgaben:4.3Z Hilbert-Transformator|Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.3Z:_Hilbert-Transformator|Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator]]
-[[Aufgaben:4.4 Zeigerdiagramm beim ZSB-AM|Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Zeigerdiagramm_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM]]
-[[Aufgaben:4.4Z Zeigerdiagramm bei ESB-AM|Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.4Z:_Zeigerdiagramm_bei_ESB-AM|Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM]]