Signaldarstellung/Allgemeine Beschreibung/Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals - Versionsgeschichte

David am 22. März 2016 um 15:39 Uhr

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 Im Vorgriff auf das Kapitel 3: Fouriertransformation wird bereits hier der Zusammenhang zwischen dem Zeitsignal $x(t)$ und dem korrespondierenden Spektrum $X(f)$ angegeben:
- $X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$
+$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$
 Man bezeichnet die so berechnete Spektralfunktion $X(f)$ nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Fourier als die Fouriertransformierte von $x(t)$ und verwendet als Kurzbezeichnung für diesen Funktionalzusammenhang

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 Zur mathematischen Herleitung obiger Eigenschaften gehen wir von einem dimensionslosen Gleichsignal aus. Um die Konvergenz des Fourierintegrals zu erzwingen, wird das nicht energiebegrenzte Signal $x(t)$ mit einer beidseitig abfallenden Exponentialfunktion multipliziert. Die Grafik zeigt das Signal $x(t)=1$ und das energiebegrenzte Signal
- $x_{\varepsilon} (t) = \rm e^{\it -\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} | \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm} |}{.}$
+$x_{\varepsilon} (t) = \rm e^{\it -\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} | \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm} |}{.}$
 Hierbei gelte $\epsilon > 0$. Im Grenzübergang $\epsilon \to 0$ geht $x_{\epsilon}(t)$ in $(t)=1$ über.

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	Aus dieser letzten Eigenschaft folgt, dass $\delta(f)$ die Einheit $\text{Hz}^{-1} = \text{s}$besitzt.		Aus dieser letzten Eigenschaft folgt, dass $\delta(f)$ die Einheit $\text{Hz}^{-1} = \text{s}$besitzt.
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	{{end}}		{{end}}
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 *Die Diracfunktion ist unendlich schmal, das heißt, es ist $\delta(f)=0$ für $f \neq 0$.
 *Die Diracfunktion $\delta(f)$ ist bei der Frequenz $f = 0$ unendlich hoch.
-*Die Impulsfläche der Diracfunktion ergibt einen endlichen Wert, nämlich 1:
+*Die Impulsfläche der Diracfunktion ergibt einen endlichen Wert, nämlich 1: $\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta( f)\,{\rm d}f  =1.$
 Aus dieser letzten Eigenschaft folgt, dass $\delta(f)$ die Einheit $\text{Hz}^{-1} = \text{s}$besitzt.

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 ==Diracfunktion im Frequenzbereich==
 {{Definition}}
 Die für die funktionale Beschreibung von nachrichtentechnischen Systemen äußerst wichtige Diracfunktion weist folgende Eigenschaften auf:
 *Die Diracfunktion ist unendlich schmal, das heißt, es ist $\delta(f)=0$ für $f \neq 0$.
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 :$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta( f)\,{\rm d}f  =1.$
 Aus dieser letzten Eigenschaft folgt, dass $\delta(f)$ die Einheit $\text{Hz}^{-1} = \text{s}$besitzt.
 {{end}}