Signaldarstellung/Allgemeine Beschreibung - Versionsgeschichte

Guenter am 12. April 2021 um 09:56 Uhr

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Guenter am 1. September 2019 um 15:11 Uhr

2019-09-01T15:11:57Z

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2018-07-12T11:52:24Z

Guenter am 20. Dezember 2017 um 16:27 Uhr

2017-12-20T16:27:06Z

Guenter am 20. Dezember 2017 um 16:26 Uhr

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Guenter am 20. Dezember 2017 um 16:13 Uhr

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Hussain am 19. Dezember 2017 um 21:38 Uhr

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Hussain am 19. Dezember 2017 um 20:34 Uhr

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Hussain am 19. Dezember 2017 um 20:10 Uhr

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Ein&nbsp; '''periodisches Signal'''&nbsp; $x(t)$&nbsp; liegt dann vor, wenn für alle beliebigen Werte von&nbsp; $t$&nbsp; und alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $i$&nbsp; mit einem geeigneten&nbsp; $T_{0}$&nbsp; gilt:
+Ein&nbsp; $\text{periodisches Signal}$&nbsp; $x(t)$&nbsp; liegt dann vor, wenn für alle beliebigen Werte von&nbsp; $t$&nbsp; und alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $i$&nbsp; mit einem geeigneten&nbsp; $T_{0}$&nbsp; gilt:
 :$$x(t+i\cdot T_{0}) = x(t).$$}}
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 Daraus ergeben sich die folgenden Kenngrößen:
-*Die&nbsp; '''Periodendauer'''&nbsp; $T_{0}$&nbsp; gibt den kleinstmöglichen Wert an, der obige Gleichung erfüllt.
+*Die&nbsp; $\text{Periodendauer}$&nbsp; $T_{0}$&nbsp; gibt den kleinstmöglichen Wert an, der obige Gleichung erfüllt.
-*Die&nbsp; '''Grundfrequenz'''&nbsp; $f_{0} = 1/T_{0}$&nbsp; beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde).
+*Die&nbsp; $\text{Grundfrequenz}$&nbsp; $f_{0} = 1/T_{0}$&nbsp; beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde).
 *Die Einheit „1/s” wird auch mit „Hz” bezeichnet, benannt nach dem deutschen Physiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Hertz Heinrich Hertz].
-*Die&nbsp; '''Grundkreisfrequenz'''&nbsp; $\omega_{0}$&nbsp; stellt die Winkeldrehung pro Sekunde dar, die meistens im Bogenmaß angegeben wird.
+*Die&nbsp; $\text{Grundkreisfrequenz}$&nbsp; $\omega_{0}$&nbsp; stellt die Winkeldrehung pro Sekunde dar, die meistens im Bogenmaß angegeben wird.
 *Im Gegensatz zur Grundfrequenz ist hier nicht die Einheit „Hz”, sondern „1/s” üblich. Es gilt folgende Gleichung:
 :$$\omega_{0}=2\pi f_{0} = {2\pi}/{T_{0}}.$$
-[[Datei:P_ID211__Sig_T_2_1_S2_neu.png|right|frame|Zur Definition von Periodendauer, Grundfrequenz und Kreisfrequenz]]
+[[Datei:P_ID211__Sig_T_2_1_S2_neu.png|right|frame|Periodendauer, Grundfrequenz und Kreisfrequenz]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
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 [[Datei:P_ID247__Sig_T_2_1_S3_neu.png|frame|Resultierende Periodendauer der Summe aus Cosinus&ndash; und Sinussignal]]
-*Das (rote) Summensignal&nbsp; $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$&nbsp; weist dann die resultierende Periodendauer&nbsp; $T_{0} = 10\; {\rm ms}$&nbsp;  auf &nbsp; &rArr; &nbsp; Grundfrequenz&nbsp;  $f_{0} = 100\; {\rm Hz}$.
+Das (rote) Summensignal&nbsp; $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$&nbsp; weist dann
 *Die Frequenz&nbsp; $f_{0}$&nbsp; selbst ist in&nbsp; $x(t)$&nbsp; nicht enthalten, lediglich ganzzahlige Vielfache davon, nämlich&nbsp; $f_{1} = 500\; {\rm Hz}$&nbsp;  und&nbsp; $f_{2} = 200\; {\rm Hz}$. }}

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Ein '''periodisches Signal''' $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt:
+Ein&nbsp; '''periodisches Signal'''&nbsp; $x(t)$&nbsp; liegt dann vor, wenn für alle beliebigen Werte von&nbsp; $t$&nbsp; und alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $i$&nbsp; mit einem geeigneten&nbsp; $T_{0}$&nbsp; gilt:
 :$$x(t+i\cdot T_{0}) = x(t).$$}}
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 Daraus ergeben sich die folgenden Kenngrößen:
-*Die '''Periodendauer''' $T_{0}$ gibt den kleinstmöglichen Wert an, der obige Gleichung erfüllt.
+*Die&nbsp; '''Periodendauer'''&nbsp; $T_{0}$&nbsp; gibt den kleinstmöglichen Wert an, der obige Gleichung erfüllt.
-*Die '''Grundfrequenz''' $f_{0} = 1/T_{0}$ beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde).
+*Die&nbsp; '''Grundfrequenz'''&nbsp; $f_{0} = 1/T_{0}$&nbsp; beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde).
-*Die Einheit „1/s” wird auch mit „Hz” bezeichnet, benannt nach dem deutschen Physiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Hertz Heinrich Hertz].
+*Die Einheit „1/s” wird auch mit „Hz” bezeichnet, benannt nach dem deutschen Physiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Hertz Heinrich Hertz].
-*Die '''Grundkreisfrequenz''' $\omega_{0}$ stellt die Winkeldrehung pro Sekunde dar, die meistens im Bogenmaß angegeben wird.
+*Die&nbsp; '''Grundkreisfrequenz'''&nbsp; $\omega_{0}$&nbsp; stellt die Winkeldrehung pro Sekunde dar, die meistens im Bogenmaß angegeben wird.
 *Im Gegensatz zur Grundfrequenz ist hier nicht die Einheit „Hz”, sondern „1/s” üblich. Es gilt folgende Gleichung:
 :$$\omega_{0}=2\pi f_{0} = {2\pi}/{T_{0}}.$$
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 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
 Dargestellt ist hier ein periodisches Zeitsignal:
-*Die Periodendauer  beträgt $T_{0} = 2.5 \ \rm ms$.
+*Die Periodendauer  beträgt&nbsp; $T_{0} = 2.5 \ \rm ms$.
-*Daraus berechnet sich die Grundfrequenz $f_0 =  400  \ \rm  Hz$.
+*Daraus berechnet sich die Grundfrequenz&nbsp; $f_0 =  400  \ \rm  Hz$.
-*Die Grundkreisfrequenz ergibt sich zu $\omega_{0}=2513 \ \rm  1/s.$}}
+*Die Grundkreisfrequenz ergibt sich zu&nbsp; $\omega_{0}=2513 \ \rm  1/s.$}}
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 ==Resultierende Periodendauer==
 <br>
-Besteht ein Signal $x(t)$ aus der Summe zweier periodischer Signale $x_{1}(t)$ und $x_{2}(t)$ mit den Periodendauern $T_{1}$ bzw. $T_{2}$, so ist die resultierende Periodendauer des Summensignals das kleinste gemeinsame Vielfache von $T_{1}$ und $T_{2}$.
+Besteht ein Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; aus der Summe zweier periodischer Signale&nbsp; $x_{1}(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_{2}(t)$&nbsp; mit den Periodendauern&nbsp; $T_{1}$&nbsp; bzw.&nbsp; $T_{2}$, so ist die resultierende Periodendauer des Summensignals das kleinste gemeinsame Vielfache von&nbsp; $T_{1}$&nbsp; und&nbsp; $T_{2}$.
 *Diese Aussage gilt unabhängig von den Amplituden– und Phasenverhältnissen.
-*Besitzen $T_{1}$ und $T_{2}$ dagegen kein rationales gemeinsames Vielfaches (Beispiel: $T_{2} = \pi \cdot T_{1}$), so ist das Summensignal $x(t)$ im Gegensatz zu seinen beiden Komponenten $x_{1}(t)$ und $x_{2}(t)$ nicht periodisch.
+*Besitzen&nbsp; $T_{1}$&nbsp; und&nbsp; $T_{2}$&nbsp; dagegen kein rationales gemeinsames Vielfaches&nbsp; $($Beispiel:&nbsp; $T_{2} = \pi \cdot T_{1})$, so ist das Summensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; im Gegensatz zu seinen beiden Komponenten&nbsp; $x_{1}(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_{2}(t)$&nbsp; nicht periodisch.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Addiert werden ein cosinusförmiges Signal $x_{1}(t)$ mit der Periodendauer $T_{1} = 2\; {\rm ms}$ (blauer Signalverlauf) und ein Sinussignal $x_{2}(t)$ mit der Periodendauer  $T_{2} = 5\; {\rm ms}$  und doppelt so großer Amplitude (grüner Verlauf).
+Addiert werden ein cosinusförmiges Signal&nbsp; $x_{1}(t)$&nbsp; mit der Periodendauer&nbsp; $T_{1} = 2\; {\rm ms}$&nbsp; (blauer Signalverlauf)&nbsp; und ein Sinussignal&nbsp; $x_{2}(t)$&nbsp; mit der Periodendauer&nbsp;  $T_{2} = 5\; {\rm ms}$&nbsp;  und doppelt so großer Amplitude (grüner Verlauf).
 [[Datei:P_ID247__Sig_T_2_1_S3_neu.png|frame|Resultierende Periodendauer der Summe aus Cosinus&ndash; und Sinussignal]]
-*Das (rote) Summensignal $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$ weist dann die resultierende Periodendauer $T_{0} = 10\; {\rm ms}$  auf &nbsp;&rArr;&nbsp; Grundfrequenz  $f_{0} = 100\; {\rm Hz}$.
+*Das (rote) Summensignal&nbsp; $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$&nbsp; weist dann die resultierende Periodendauer&nbsp; $T_{0} = 10\; {\rm ms}$&nbsp;  auf &nbsp; &rArr; &nbsp; Grundfrequenz&nbsp;  $f_{0} = 100\; {\rm Hz}$.
-*Die Frequenz $f_{0}$ selbst ist in $x(t)$ nicht enthalten, lediglich ganzzahlige Vielfache davon, nämlich $f_{1} = 500\; {\rm Hz}$  und $f_{2} = 200\; {\rm Hz}$. }}
+*Die Frequenz&nbsp; $f_{0}$&nbsp; selbst ist in&nbsp; $x(t)$&nbsp; nicht enthalten, lediglich ganzzahlige Vielfache davon, nämlich&nbsp; $f_{1} = 500\; {\rm Hz}$&nbsp;  und&nbsp; $f_{2} = 200\; {\rm Hz}$. }}
-Mit dem interaktiven Applet [[Applets:Periodendauer_periodischer_Signale|Periodendauer periodischer Signale]] lässt sich die resultierende Periodendauer zweier harmonischer Schwingungen ermitteln.
+Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Periodendauer_periodischer_Signale|Periodendauer periodischer Signale]]&nbsp; lässt sich die resultierende Periodendauer zweier harmonischer Schwingungen ermitteln.

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 == # ÜBERBLICK ZUM ZWEITEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Es werden ''periodische Signale'' betrachtet und diese sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich mathematisch beschrieben. Dieses Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
+In diesem Kapitel werden&nbsp; ''periodische Signale''&nbsp; betrachtet und diese sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich mathematisch beschrieben.
 * Einige Grundbegriffe wie <i>Periodendauer, Grundfrequenz</i> und <i>Kreisfrequenz</i>,
-* die Eigenschaften eines <i>Gleichsignals</i> als Grenzfall eines periodischen Signals,
+Dieses Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
-* die Definition und Interpretation der <i>Diracfunktion</i>,
+* Einige Grundbegriffe wie&nbsp; <i>Periodendauer, Grundfrequenz</i>&nbsp; und&nbsp; <i>Kreisfrequenz</i>,
-* die Spektraldarstellung eines <i>Gleichsignals</i> oder eines <i>Gleichsignalanteils</i>,
+* die Eigenschaften eines&nbsp; <i>Gleichsignals</i>&nbsp; als Grenzfall eines periodischen Signals,
-* die Zeit&ndash; und Frequenzdarstellung <i>harmonischer Schwingungen</i>, und schließlich
+* die Definition und Interpretation der&nbsp; <i>Diracfunktion</i>,
-* die Anwendung der <i>Fourierreihe</i> zur Spektralanalyse periodischer Signale.
+* die Spektraldarstellung eines&nbsp; <i>Gleichsignals</i>&nbsp; oder eines&nbsp; <i>Gleichsignalanteils</i>,
 Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im
-*Kapitel 6:  ''Lineare zeitinvariante Systeme'' (Programm lzi)
+*Kapitel 6:  ''Lineare zeitinvariante Systeme''&nbsp; (Programm lzi)
 des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik&rdquo;. Diese frühere LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
-*dem Lehrsoftwarepaket [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
+*dem Lehrsoftwarepaket&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
-*dieser [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]  &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 6: Seite 99-118.
+*dieser&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]&nbsp;  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version;&nbsp; Kapitel 6:&nbsp; Seite 99-118.
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 <br>
 Für die Nachrichtentechnik besitzen periodische Signale eine große Bedeutung:
-*Sie gehören zur Klasse der [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Deterministische_und_stochastische_Signale|deterministischen Signale]], deren Zeitfunktion in analytischer Form angegeben werden kann.
+*Sie gehören zur Klasse der&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Deterministische_und_stochastische_Signale|deterministischen Signale]], deren Zeitfunktion in analytischer Form angegeben werden kann.
-*Ihr Signalverlauf ist damit für alle Zeiten $t$ bekannt und für die Zukunft eindeutig vorhersagbar.
+*Ihr Signalverlauf ist damit für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; bekannt und für die Zukunft eindeutig vorhersagbar.
 *Sie sind daher niemals informationstragende Signale.
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 *für die Modulation und Demodulation bei Trägerfrequenzsystemen,
 *für die Synchronisation und Taktregenerierung bei Digitalsystemen,
-*als Test- und Prüfsignale bei der Systemrealisierung.
+*als Test&ndash; und Prüfsignale bei der Systemrealisierung.
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-Wie aus den eingeblendeten Einstellungen ersichtlich, ist bei beiden Signalen die Periodendauer eine Millisekunde und die Amplitude ein Volt.}}
+Wie aus den eingeblendeten Einstellungen ersichtlich ist, beträgt bei beiden Signalen die Periodendauer eine Millisekunde und die Amplitude ein Volt.}}

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 == # ÜBERBLICK ZUM ZWEITEN HAUPTKAPITEL # ==
+<br>
-Im Folgenden werden ''periodische Signale'' betrachtet und diese sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich mathematisch beschrieben. Dieses Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
+Es werden ''periodische Signale'' betrachtet und diese sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich mathematisch beschrieben. Dieses Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
-* einige Grundbegriffe wie <i>Periodendauer, Grundfrequenz</i> und <i>Kreisfrequenz</i>,
+* Einige Grundbegriffe wie <i>Periodendauer, Grundfrequenz</i> und <i>Kreisfrequenz</i>,
 * die Eigenschaften eines <i>Gleichsignals</i> als Grenzfall eines periodischen Signals,
 * die Definition und Interpretation der <i>Diracfunktion</i>,
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 Trotzdem werden periodische Signale oft auch in der Nachrichtentechnik benötigt, zum Beispiel
 *für die Modulation und Demodulation bei Trägerfrequenzsystemen,
-*für die Synchronisation und Taktgenerierung bei Digitalsystemen,
+*für die Synchronisation und Taktregenerierung bei Digitalsystemen,
 *als Test- und Prüfsignale bei der Systemrealisierung.
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-Wie aus den eingeblendeten Einstellungen zu ersehen ist, ist bei beiden Signalen die Periodendauer eine Millisekunde und die Amplitude ein Volt.}}
+Wie aus den eingeblendeten Einstellungen ersichtlich, ist bei beiden Signalen die Periodendauer eine Millisekunde und die Amplitude ein Volt.}}
 ==Definition und Parameter==
 Bevor wir uns den Signalparametern eines periodischen Signals zuwenden, soll der Begriff  &bdquo;Periodizität&rdquo; eindeutig definiert werden:
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 Daraus ergeben sich die folgenden Kenngrößen:
 *Die '''Periodendauer''' $T_{0}$ gibt den kleinstmöglichen Wert an, der obige Gleichung erfüllt.
-*Die '''Grundfrequenz''' $f_{0} = 1/T_{0}$ beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde). Die Einheit „1/s” wird auch mit „Hz” bezeichnet, benannt nach dem deutschen Physiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Hertz Heinrich Hertz].
+*Die '''Grundfrequenz''' $f_{0} = 1/T_{0}$ beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde).
-*Die '''Grundkreisfrequenz''' $\omega_{0}$ stellt die Winkeldrehung pro Sekunde dar, die meistens im Bogenmaß angegeben wird. Im Gegensatz zur Grundfrequenz ist hier nicht die Einheit „Hz”, sondern „1/s” üblich. Es gilt folgende Gleichung:
+*Die Einheit „1/s” wird auch mit „Hz” bezeichnet, benannt nach dem deutschen Physiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Hertz Heinrich Hertz].
 :$$\omega_{0}=2\pi f_{0} = {2\pi}/{T_{0}}.$$
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 ==Resultierende Periodendauer==
-*Besteht ein Signal $x(t)$ aus der Summe zweier periodischer Signale $x_{1}(t)$ und $x_{2}(t)$ mit den Periodendauern $T_{1}$ bzw. $T_{2}$, so ist die resultierende Periodendauer des Summensignals das kleinste gemeinsame Vielfache von $T_{1}$ und $T_{2}$.
+<br>
 *Diese Aussage gilt unabhängig von den Amplituden– und Phasenverhältnissen.
 *Besitzen $T_{1}$ und $T_{2}$ dagegen kein rationales gemeinsames Vielfaches (Beispiel: $T_{2} = \pi \cdot T_{1}$), so ist das Summensignal $x(t)$ im Gegensatz zu seinen beiden Komponenten $x_{1}(t)$ und $x_{2}(t)$ nicht periodisch.
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 Addiert werden ein cosinusförmiges Signal $x_{1}(t)$ mit der Periodendauer $T_{1} = 2\; {\rm ms}$ (blauer Signalverlauf) und ein Sinussignal $x_{2}(t)$ mit der Periodendauer  $T_{2} = 5\; {\rm ms}$  und doppelt so großer Amplitude (grüner Verlauf).
-[[Datei:P_ID247__Sig_T_2_1_S3_neu.png|frame|Resultierende Periodendauer]]
+[[Datei:P_ID247__Sig_T_2_1_S3_neu.png|frame|Resultierende Periodendauer der Summe aus Cosinus&ndash; und Sinussignal]]
 *Das (rote) Summensignal $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$ weist dann die resultierende Periodendauer $T_{0} = 10\; {\rm ms}$  auf &nbsp;&rArr;&nbsp; Grundfrequenz  $f_{0} = 100\; {\rm Hz}$.
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 ==Aufgaben zum Kapitel==
+<br>
 [[Aufgaben: 2.1 Gleichrichtung|Aufgabe 2.1: Gleichrichtung]]

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	[[Aufgaben: 2.1 Gleichrichtung\|Aufgabe 2.1: Gleichrichtung]]		[[Aufgaben: 2.1 Gleichrichtung\|Aufgabe 2.1: Gleichrichtung]]

−	[[Aufgaben: 2.1Z ~~Summensignal~~\|Aufgabe 2.1Z: Summensignal]]	+	[[Aufgaben:Aufgabe_2.1Z:_Summensignal\|Aufgabe 2.1Z: Summensignal]]