Signaldarstellung/Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion - Versionsgeschichte

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Guenter am 7. Mai 2021 um 15:17 Uhr

2021-05-07T15:17:20Z

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 ==Leistung und Energie eines Bandpass-Signals==
 <br>
-Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Binary Amplitude Shift Keying]]&nbsp;  $\text{(ASK)}$&nbsp; ergibt.&nbsp; Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen&nbsp; "On–Off–Keying".
+Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Binary Amplitude Shift Keying]]&nbsp;  $\text{(2ASK)}$&nbsp; ergibt.&nbsp; Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen&nbsp; "On–Off–Keying".
 [[Datei:P_ID1152__Sig_T_4_3_S8a.png|right|frame|Leistung und Energie eines Bandpass-Signals]]

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 ==Leistung und Energie eines Bandpass-Signals==
 <br>
-Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Binary Amplitude Shift Keying]]&nbsp;  ergibt.&nbsp; Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen&nbsp; $\text{On–Off–Keying}$.
+Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Binary Amplitude Shift Keying]]&nbsp;  $\text{(ASK)}$&nbsp; ergibt.&nbsp; Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen&nbsp; "On–Off–Keying".
 [[Datei:P_ID1152__Sig_T_4_3_S8a.png|right|frame|Leistung und Energie eines Bandpass-Signals]]

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 Die Quadraturkomponente&nbsp; $x_{\rm Q}(t)$&nbsp; unterscheidet sich gegenüber der oberen Gleichung also im Vorzeichen.
-==Ermittlung des  äquivalenten TP-Signals aus dem BP-Signal==
+==Ermittlung des  äquivalenten Tiefpass-Signals aus dem Bandpass-Signal==
 <br>
-Die folgende Grafik zeigt zwei Anordnungen, um aus dem reellen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; das komplexe Tiefpass–Signal aufgespalten nach Inphase– und Quadraturkomponente zu ermitteln, beispielsweise zur Darstellung auf einem Oszilloskop. Betrachten wir zuerst das obere Modell:
+[[Datei:P_ID1151__Sig_T_4_3_S7b_neu.png|right|frame|Aufteilung des äquivalenten Tiefpass-Signals in Inphase- und Quadraturkomponente]]
 *Hier wird zunächst das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; durch Hinzufügen der&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilberttransformierten]]&nbsp; erzeugt.
@@ Zeile 298: / Zeile 299: @@
 *Die gesuchten Komponenten&nbsp; $x_{\rm I}(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm Q}(t)$&nbsp; erhält man dann durch Real– bzw. Imaginärteilbildung.
 Bei der unteren (praxisrelevanteren) Anordnung erhält man für den oberen bzw. unteren Zweig nach den jeweiligen Multiplikationen:
-:$$a(t)\cdot \cos  (\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \cdot 2 \cdot \cos  (\omega_{\rm T} \cdot t ) = a(t)\cdot \cos  ( \phi(t)) +  \varepsilon_{\rm oben}(t),$$
+$$a(t)\cdot \cos  (\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \cdot 2 \cdot \cos  (\omega_{\rm T} \cdot t ) = a(t)\cdot \cos  ( \phi(t)) +  \varepsilon_{\rm 1}(t),$$
-:$$a(t)\cdot \cos  (\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \cdot (-2) \cdot \sin  (\omega_{\rm T} \cdot t ) = a(t)\cdot \sin  ( \phi(t)) + \varepsilon_{\rm unten}(t)).$$
+$$a(t)\cdot \cos  (\omega_{\rm T} t + \phi(t)) \cdot (-2) \cdot \sin  (\omega_{\rm T} t ) = a(t)\cdot \sin  ( \phi(t)) + \varepsilon_{\rm 2}(t)).$$
 Die jeweils zweiten Anteile liegen im Bereich um die doppelte Trägerfrequenz und werden durch die Tiefpässe mit jeweiliger Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; entfernt:
-:$$\varepsilon_{\rm oben}(t)  = a(t)\cdot \cos  (2\omega_{\rm T} \cdot t +
+:$$\varepsilon_{\rm 1}(t)  = a(t)\cdot \cos  (2\omega_{\rm T} \cdot t +
-  \phi(t)),\hspace{0.8cm}
+  \phi(t)),$$
-  \varepsilon_{\rm unten}(t) = -  a(t)\cdot \sin  (2\omega_{\rm T} \cdot t +
+:$$
   \phi(t)).$$
@@ Zeile 321: / Zeile 321: @@
 ==Leistung und Energie eines Bandpass-Signals==
 <br>
-Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Binary Amplitude Shift Keying]]&nbsp;  ergibt. Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen&nbsp; '''On–Off–Keying'''.
+Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Binary Amplitude Shift Keying]]&nbsp;  ergibt.&nbsp; Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen&nbsp; $\text{On–Off–Keying}$.
 [[Datei:P_ID1152__Sig_T_4_3_S8a.png|right|frame|Leistung und Energie eines Bandpass-Signals]]
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 :$$P_x = \frac{1}{2T} \cdot \int ^{2T} _{0} x^2(t)\,{\rm d}t =
   \frac{4\,{\rm V}^2}{2T} \cdot \int^{T} _{0} \cos^2(\omega_{\rm T} \cdot t)\,{\rm d}t= 1\,{\rm V}^2.$$
-<br clear=all>
-Aus der unteren Skizze ist zu erkennen, dass man durch Mittelung über die quadrierte Hüllkurve&nbsp; $a^2(t)$&nbsp; – also über das Betragsquadrat des äquivalenten Tiefpass–Signals&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; – ein doppelt so großes Ergebnis erhält. Deshalb gilt in gleicher Weise:
+Aus der unteren Skizze ist zu erkennen, dass man durch Mittelung über die quadrierte Hüllkurve&nbsp; $a^2(t)$&nbsp; – also über das Betragsquadrat des äquivalenten Tiefpass–Signals&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; – ein doppelt so großes Ergebnis erhält.&nbsp; Deshalb gilt in gleicher Weise:
 :$$P_x = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M}}
@@ Zeile 342: / Zeile 342: @@
   \cdot \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} a^2(t)\,{\rm d}t.$$
-Dieses Resultat lässt sich verallgemeinern und es auch auf energiebegrenzte Signale anwenden. In diesem Fall gilt für die Energie entsprechend der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Energiebegrenzte_und_leistungsbegrenzte_Signale|Energiebegrenzte und leistungsbegrenzte Signale]]:
+Dieses Resultat lässt sich verallgemeinern und es auch auf energiebegrenzte Signale anwenden.&nbsp; In diesem Fall gilt für die Energie entsprechend der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Energiebegrenzte_und_leistungsbegrenzte_Signale|Energiebegrenzte und leistungsbegrenzte Signale]]:
 :$$E_x =   \int ^{+\infty} _{-\infty} x^2(t)\,{\rm
@@ Zeile 350: / Zeile 350: @@
 Diese Gleichung gilt allerdings nur dann exakt, wenn die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; sehr viel größer als die Bandbreite&nbsp; $B_{\rm BP}$&nbsp; des Bandpasses  ist.
 {{GraueBox|TEXT=
@@ Zeile 368: / Zeile 367: @@
 * Im Bereich um die Trägerfrequenz gilt:
 :$$\vert X(f) \vert = A/(2B) = 10^{-3}\text{V/Hz}.$$
-<br clear=all>
 Die Energie dieses Bandpass–Signals könnte prinzipiell nach folgender Gleichung berechnet werden:
-:$$E_x =   \int^{+\infty} _{-\infty} A^2 \cdot \frac{ {\rm
+$$E_x =   \int^{+\infty} _{-\infty} A^2 \cdot \frac{ {\rm
 sin}^2(\pi \cdot B \cdot t)}{ (\pi \cdot B \cdot t)^2}\cdot
 \cos^2(2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t +

@@ Zeile 229: / Zeile 229: @@
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
 *Die Hüllkurve&nbsp; $a(t)$&nbsp; und die Phasenfunktion&nbsp; $\phi (t)$&nbsp; können aus dem tatsächlichen, physikalischen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp;  nur in einigen Sonderfällen direkt und  in einfacher Weise extrahiert werden.
-*Das real nicht existierende äquivalente Tiefpass–Signal&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist ein mathematisches Hilfsmittel, mit dem die Zeitverläufe&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $\phi (t)$&nbsp; durch einfache geometrische Überlegungen bestimmt werden können.&nbsp; Im Buch&nbsp; [[Modulationsverfahren]]&nbsp; werden wir darauf zurückkommen.
+*Das real nicht existierende äquivalente Tiefpass–Signal&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist ein mathematisches Hilfsmittel, mit dem die Zeitverläufe&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $\phi (t)$&nbsp; durch einfache geometrische Überlegungen bestimmt werden können.
 *Das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; ist ein Zwischenschritt beim Übergang von&nbsp; $x(t)$&nbsp; auf&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$.&nbsp; Während&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; stets komplex ist, kann&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; in Sonderfällen reell sein, zum Beispiel bei idealer Amplitudenmodulation entsprechend dem Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]&nbsp; $\text{(ZSB-AM)}$.
@@ Zeile 242: / Zeile 242: @@
 *[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Zeigerdiagramm&rdquo;,
-*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Ortskurve&rdquo;.
+*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Ortskurve&rdquo;.
 ==Darstellung nach Real- und Imaginärteil==

@@ Zeile 222: / Zeile 222: @@
 ==Warum gibt es für das gleiche Signal drei Darstellungsformen?==
 <br>
-Abschließend – hoffentlich nicht zu spät – wollen wir uns noch der Frage zuwenden, warum die beiden komplexen und im Verständnis komplizierteren Signale&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; zur Beschreibung des tatsächlichen Bandpass–Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; eigentlich notwendig sind. Sie wurden nicht deshalb in der Nachrichtentechnik eingeführt, um Studierende zu verunsichern, sondern:
+Abschließend – hoffentlich nicht zu spät – wollen wir uns noch der Frage zuwenden, warum die beiden komplexen und im Verständnis komplizierteren Signale&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; zur Beschreibung des tatsächlichen Bandpass–Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; eigentlich notwendig sind.&nbsp;
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Die Hüllkurve&nbsp; $a(t)$&nbsp; und die Phasenfunktion&nbsp; $\phi (t)$&nbsp; können aus dem tatsächlichen, physikalischen BP–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp;  nur in einigen Sonderfällen direkt und  in einfacher Weise extrahiert werden.
+*Die Hüllkurve&nbsp; $a(t)$&nbsp; und die Phasenfunktion&nbsp; $\phi (t)$&nbsp; können aus dem tatsächlichen, physikalischen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp;  nur in einigen Sonderfällen direkt und  in einfacher Weise extrahiert werden.
-*Das real nicht existierende äquivalente Tiefpass–Signal&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist ein mathematisches Hilfsmittel, mit dem die Zeitverläufe&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $\phi (t)$&nbsp; durch einfache geometrische Überlegungen bestimmt werden können. Im Buch&nbsp; [[Modulationsverfahren]]&nbsp; werden wir darauf zurückkommen.
+*Das real nicht existierende äquivalente Tiefpass–Signal&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist ein mathematisches Hilfsmittel, mit dem die Zeitverläufe&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $\phi (t)$&nbsp; durch einfache geometrische Überlegungen bestimmt werden können.&nbsp; Im Buch&nbsp; [[Modulationsverfahren]]&nbsp; werden wir darauf zurückkommen.
-*Das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; ist ein Zwischenschritt beim Übergang von&nbsp; $x(t)$&nbsp; auf&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$. Während&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; stets komplex ist, kann&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; in Sonderfällen reell sein, zum Beispiel bei idealer Amplitudenmodulation entsprechend dem Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]&nbsp; (ZSB-AM).
+*Das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; ist ein Zwischenschritt beim Übergang von&nbsp; $x(t)$&nbsp; auf&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$.&nbsp; Während&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; stets komplex ist, kann&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; in Sonderfällen reell sein, zum Beispiel bei idealer Amplitudenmodulation entsprechend dem Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]&nbsp; $\text{(ZSB-AM)}$.
@@ Zeile 239: / Zeile 241: @@
 Zur weiteren Verdeutlichung stellen wir noch zwei interaktive Applets bereit:
-*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & AnalytischesSignal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Zeigerdiagramm&rdquo;,
+*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Zeigerdiagramm&rdquo;,
 *[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Ortskurve&rdquo;.
 ==Darstellung nach Real- und Imaginärteil==
 <br>
-Insbesondere zur Beschreibung der&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|Quadratur-Amplitudenmodulation]]&nbsp; (QAM) eignet sich die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals nach Real– und Imaginärteil:
+Insbesondere zur Beschreibung der&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|Quadratur-Amplitudenmodulation]]&nbsp; $\text{(QAM)}$&nbsp; eignet sich die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals nach Real– und Imaginärteil:
 :$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm I}(t)+ {\rm j} \cdot x_{\rm Q}(t).$$
 In dieser Darstellung bezeichnet
-*der Realteil&nbsp; $x_{\rm I}(t)$&nbsp; die&nbsp; '''Inphasekomponente'''&nbsp; (Normalkomponente),
+*der Realteil&nbsp; $x_{\rm I}(t)$&nbsp; die&nbsp; $\text{Inphasekomponente}$&nbsp; (Normalkomponente),
-*der Imaginärteil&nbsp; $x_{\rm Q}(t)$&nbsp; die&nbsp; '''Quadraturkomponente'''
+*der Imaginärteil&nbsp; $x_{\rm Q}(t)$&nbsp; die&nbsp; $\text{Quadraturkomponente}$&nbsp; von&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$.
-von&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$. Mit der Betragsfunktion&nbsp; $a(t) = |x_{\rm TP}(t)|$&nbsp; und der&nbsp; Phasenfunktion&nbsp; $\phi (t) = \text{arc}\,x_{\rm TP}(t)$&nbsp; entsprechend den Definitionen auf den vorangegangenen Seiten gilt:
+Mit der Betragsfunktion&nbsp; $a(t) = |x_{\rm TP}(t)|$&nbsp; und der&nbsp; Phasenfunktion&nbsp; $\phi (t) = \text{arc}\,x_{\rm TP}(t)$&nbsp; entsprechend den Definitionen auf den vorangegangenen Seiten gilt:
 :$$\begin{align*}x_{\rm I}(t) & =  {\rm Re}[x_{\rm TP}(t)] = a(t) \cdot \cos
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 :$$x(t)  =  a(t) \cdot \cos  (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) =  x_{\rm I}(t)\cdot \cos  (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t )-x_{\rm Q}(t)\cdot \sin  (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ). $$
-Das Minuszeichen ergibt sich wegen der Verwendung der Phasenfunktion&nbsp; $\phi (t)$. Ein Vergleich mit der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Darstellung_mit_Cosinus-_und_Sinusanteil|Darstellung mit Cosinus- und Sinusanteil]]&nbsp; im zweiten Hauptkapitel zeigt, dass sich anstelle der Differenz die Summe ergibt, wenn man sich auf&nbsp; $\varphi (t) = -\phi (t)$&nbsp; bezieht. Angepasst auf unser Beispiel erhält man dann:
+Das Minuszeichen ergibt sich wegen der Verwendung der Phasenfunktion&nbsp; $\phi (t)$.&nbsp; Ein Vergleich mit der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Darstellung_mit_Cosinus-_und_Sinusanteil|Darstellung mit Cosinus- und Sinusanteil]]&nbsp; im zweiten Hauptkapitel zeigt, dass sich anstelle der Differenz die Summe ergibt, wenn man sich auf&nbsp; $\varphi (t) = -\phi (t)$&nbsp; bezieht.&nbsp; Angepasst auf unser Beispiel erhält man dann:
 :$$x(t)  =  a(t) \cdot \cos  (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t - \varphi(t)) =  x_{\rm I}(t)\cdot \cos  (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t )+x_{\rm Q}(t)\cdot \sin  (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ).$$

@@ Zeile 183: / Zeile 183: @@
-==Zusammenhang zwischen äquivalentem TP-Signal und BP-Signal==
+==Zusammenhang zwischen äquivalentem Tiefpass-Signal und Bandpass-Signal==
 <br>
-Ein bandpassartiges Signal&nbsp; $x(t)$, das sich aus der Modulation eines niederfrequenten Nachrichtensignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit einem Trägersignal&nbsp; $z(t)$&nbsp; der Frequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; ergeben hat, kann wie folgt dargestellt werden:
+Ein jedes bandpassartige Signal&nbsp; $x(t)$,&nbsp; das sich aus der Modulation eines niederfrequenten Nachrichtensignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit einem Trägersignal&nbsp; $z(t)$&nbsp; der Frequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; ergeben hat,&nbsp; kann wie folgt dargestellt werden:
 :$$x(t) = a(t) \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t + \phi(t))
@@ Zeile 193: / Zeile 193: @@
 Hierzu ist anzumerken:
-* $a(t)$&nbsp; ist die&nbsp; ''zeitabhängige Amplitude'', die man oft auch als&nbsp; '''Hüllkurve'''&nbsp; bezeichnet. Diese ist gleich dem Betrag&nbsp; $|x_{\rm TP}(t)|$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass–Signals.
+* $a(t)$&nbsp; ist die&nbsp; ''zeitabhängige Amplitude'', die man oft auch als&nbsp; '''Hüllkurve'''&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Diese ist gleich dem Betrag&nbsp; $|x_{\rm TP}(t)|$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass–Signals.
 * $\phi(t)$&nbsp; ist die&nbsp; '''Phasenfunktion''', also die&nbsp; ''zeitabhängige Phase'', die ebenfalls aus dem äquivalenten Tiefpass–Signal als der Winkel zum Koordinatenursprung der komplexen Ebene ermittelt werden kann.
-*Im physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; erkennt man die Phase&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; an den&nbsp; '''Nulldurchgängen'''. Bei&nbsp; $\phi(t) > 0$&nbsp; tritt der Nulldurchgang in&nbsp; $x(t)$&nbsp; im Bereich der Zeit&nbsp; $t$&nbsp; früher auf als beim Trägersignal&nbsp; $z(t)$. Dagegen bedeutet&nbsp; $\phi(t) < 0$&nbsp; eine Verschiebung des Nulldurchgangs auf einen späteren Zeitpunkt.
+*Im physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; erkennt man die Phase&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; an den&nbsp; ''Nulldurchgängen''.&nbsp; Bei&nbsp; $\phi(t) > 0$&nbsp; tritt der Nulldurchgang in&nbsp; $x(t)$&nbsp; im Bereich der Zeit&nbsp; $t$&nbsp; früher auf als beim Trägersignal&nbsp; $z(t)$.&nbsp; Dagegen bedeutet&nbsp; $\phi(t) < 0$&nbsp; eine Verschiebung des Nulldurchgangs auf einen späteren Zeitpunkt.
-*Man spricht von&nbsp; '''Amplitudenmodulation''', wenn die gesamte Information über das Nachrichtensignal in der Hüllkurve&nbsp; $a(t)$&nbsp; steckt, während&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; konstant ist.
-*Dagegen beinhaltet bei&nbsp; '''Phasenmodulation'''&nbsp;  die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; die gesamte Information über das Nachrichtensignal, während&nbsp; $a(t)$&nbsp; konstant ist.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 5:}$&nbsp;
-Der obere Teil der folgenden Grafik beschreibt die&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (ZSB-AM) mit Träger]]:
+Der obere Teil der Grafik beschreibt die&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation&nbsp; $\text{(ZSB-AM)}$&nbsp; mit Träger]]:
-*Das äquivalente TP–Signal&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist hier stets reell &nbsp; &rArr; &nbsp; die Ortskurve ist eine horizontale Gerade.
+*Das äquivalente Tiefpass–Signal&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist hier stets reell &nbsp; &rArr; &nbsp; die Ortskurve ist eine horizontale Gerade.
 *Deshalb stimmen die Nulldurchgänge des blauen ZSB–AM–Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp;  mit denen des roten Trägersignals&nbsp; $z(t)$&nbsp; exakt überein.
 *Das heißt: &nbsp; Die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; ist identisch Null &nbsp; &rArr; &nbsp; die Hüllkurve&nbsp; $a(t)$&nbsp; beinhaltet die gesamte Information über das Nachrichtensignal.
@@ Zeile 210: / Zeile 214: @@
 [[Datei:P_ID756__Sig_T_4_3_S6_neu.png|center|frame|$x_{\rm TP}(t)$ bei Zweiseitenband-Amplitudenmodulation und Phasenmodulation]]
-Der untere Grafikteil gilt dagegen für die&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation (PM)]]:
+Der untere Grafikteil gilt dagegen für die&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation&nbsp; $\text{(PM)}$]]:
 *Das PM-Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; hat stets eine konstante Einhüllende &nbsp; &rArr; &nbsp; die Ortskurve ist ein Kreisbogen.
 *Der Phasenwert ist hier zunächst kleiner Null &nbsp; &rArr; &nbsp; die&nbsp; $y(t)$&ndash;Nulldurchgänge treten später auf als die des Trägers&nbsp; $z(t)$&nbsp;  &nbsp; &rArr; &nbsp;   die Nulldurchgänge sind „nachlaufend”.

@@ Zeile 117: / Zeile 117: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Als&nbsp; '''Ortskurve'''&nbsp; bezeichnen wir den Kurvenzug, auf dem sich das&nbsp; '''äquivalente Tiefpass-Signal'''&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der&nbsp; ''' komplexen Ebene'''&nbsp; bewegt.}}
+Als&nbsp; $\text{Ortskurve}$&nbsp; bezeichnen wir den Kurvenzug, auf dem sich das&nbsp; $\text{äquivalente Tiefpass-Signal}$&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der&nbsp; $\text{komplexen Ebene}$&nbsp; bewegt.}}
-''Hinweis:'' &nbsp; In anderer Fachliteratur wird dieser Begriff eher selten verwendet. Deshalb zunächst ein Beispiel.
+''Hinweis:'' &nbsp; In anderer Fachliteratur wird dieser Begriff eher selten verwendet.&nbsp; Deshalb zunächst ein Beispiel.
 [[Datei:P_ID744__Sig_T_4_3_S4_neu.png|right|frame|Zur Definition der Ortskurve]]
@@ Zeile 126: / Zeile 126: @@
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
 Wir betrachten das äquivalente Tiefpass–Signal&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; von&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Beschreibung_im_Zeitbereich|$\text{Beispiel 2}$]], bestehend aus
-*dem ruhenden Zeiger der Länge&nbsp; $3$&nbsp; (rot)
+*dem ruhenden Zeiger der Länge&nbsp; $3$&nbsp; (rot),
-*dem mit&nbsp; $\omega_{10} = 2\pi \cdot 10000 \hspace{0.1cm} 1/\text{s}$&nbsp; in mathematisch positiver Richtung rotierenden blauen Zeiger mit der komplexen Amplitude&nbsp; '''j''',
+*dem mit&nbsp; $\omega_{10} = 2\pi \cdot 10000 \hspace{0.1cm} 1/\text{s}$&nbsp; in mathematisch positiver Richtung rotierenden blauen Zeiger mit der komplexen Amplitude&nbsp; $\text{j}$,
-*den grünen Zeiger der Länge&nbsp; $2$, der zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; in Richtung der negativen imaginären Achse liegt. Dieser dreht mit gleicher Winkelgeschwindigkeit&nbsp; $\omega_{10}$&nbsp; wie der blaue Zeiger, aber in umgekehrter Richtung&nbsp; ($-\omega_{10}$).
+*dem grünen Zeiger der Länge&nbsp; $2$, der zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; in Richtung der negativen imaginären Achse liegt.&nbsp; Dieser dreht mit gleicher Winkelgeschwindigkeit&nbsp; $\omega_{10}$&nbsp; wie der blaue Zeiger, aber in umgekehrter Richtung&nbsp; ($-\omega_{10}$).
-Der blaue Zeiger und der grüne Zeiger benötigen für eine Umdrehung jeweils genau eine Periodendauer&nbsp; $T_0 = 100 \,{\rm &micro;}\text{s}$. Der weitere Verlauf kann obiger Darstellung entnommen werden:
+Der blaue Zeiger und der grüne Zeiger benötigen für eine Umdrehung jeweils genau eine Periodendauer&nbsp; $T_0 = 100 \,{\rm &micro;}\text{s}$.&nbsp; Der weitere Verlauf kann obiger Darstellung entnommen werden:
 *Die violett eingezeichnete Zeigersumme ist zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; gleich&nbsp; $3 - \text{j}$.
 *Nach&nbsp; $t = T_0/4 = 25 \,{\rm &micro;}\text{s}$&nbsp; hat der resultierende Zeigerverbund den Wert &bdquo;Null&rdquo;, da nun die beiden rotierenden Zeiger in Gegenrichtung zum Träger liegen und diesen exakt kompensieren.
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-In diesem Beispiel ist die Ortskurve eine Ellipse, die vom äquivalenten Tiefpass–Signal pro Periodendauer einmal durchlaufen wird.
+In diesem Beispiel ist&nbsp; $\text{die Ortskurve eine Ellipse}$', die vom äquivalenten Tiefpass–Signal pro Periodendauer einmal durchlaufen wird.
 *Die Darstellung gilt für die&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]]&nbsp; eines sinusförmigen&nbsp; $10\ \rm  kHz$–Signals mit einem cosinusförmigen Träger beliebiger Frequenz, wobei das obere Seitenband (blauer Zeiger) gedämpft ist.
 *Wären die Längen des blauen und des grünen Drehzeigers gleich, so ergäbe sich als Ortskurve eine Horizontale auf der reellen Achse – siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.5:_Ortskurve_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.5]].
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 \phi(t)}$$
-dargestellt werden. Zu beachten ist das Pluszeichen im Argument der Exponentialfunktion, das sich von der&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe|komplexen Fourierreihendarstellung]]&nbsp; unterscheidet. Man verwendet nämlich bei der Beschreibung der Modulationsverfahren auch für das physikalische Signal meist die Gleichung mit dem positiven Vorzeichen für die Phase:
+dargestellt werden.&nbsp; Zu beachten ist das Pluszeichen im Argument der Exponentialfunktion, das sich von der&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe|komplexen Fourierreihendarstellung]]&nbsp; unterscheidet.&nbsp; Man verwendet nämlich bei der Beschreibung der Modulationsverfahren auch für das physikalische Signal meist die Gleichung mit dem positiven Vorzeichen für die Phase:
 :$$x(t) =  a(t) \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t + \phi(t)).$$
-In vielen Lehrbüchern wird diese Gleichung je nach Anwendung mit Plus– oder Minuszeichen benutzt, aber stets mit gleichem &bdquo;Phasenbezeichner&rdquo;. Durch die Verwendung zweier verschiedener Symbole&nbsp; $(\varphi$&nbsp; und&nbsp; $\phi)$&nbsp; versuchen wir in unserem Lerntutorial&nbsp; $\rm LNTwww$, diese Doppeldeutigkeit zu umgehen.
+In vielen Lehrbüchern wird diese Gleichung je nach Anwendung mit Plus– oder Minuszeichen benutzt, aber stets mit gleichem &bdquo;Phasenbezeichner&rdquo;.&nbsp; Durch die Verwendung zweier verschiedener Symbole&nbsp; $(\varphi$&nbsp; und&nbsp; $\phi)$&nbsp; versuchen wir in unserem Lerntutorial&nbsp; $\rm LNTwww$, diese Doppeldeutigkeit zu umgehen.
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Beschreibung_im_Zeitbereich|$\text{Beispiel 2}$]]&nbsp; und im&nbsp;
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie in&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Beschreibung_im_Zeitbereich|$\text{Beispiel 2}$]]&nbsp; und im&nbsp;
-[[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Definition_der_Ortskurve|$\text{Beispiel 3}$]]. In der Grafik sind aber nun statt der komplexen Funktion&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; die beiden reellen Funktionen&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; dargestellt.
+[[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Definition_der_Ortskurve|$\text{Beispiel 3}$]].&nbsp; In der Grafik sind aber nun statt der komplexen Funktion&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; die beiden reellen Funktionen&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; dargestellt.
-[[Datei:P_ID748__Sig_T_4_3_S5.png|center|frame|Betrag und Phase des äquivalenten Tiefpass-Signals]]
+[[Datei:P_ID748__Sig_T_4_3_S5.png|right|frame|Betrag und Phase des äquivalenten Tiefpass-Signals]]
 Zu dieser Darstellung ist anzumerken:
-*Die&nbsp; '''Betragsfunktion'''&nbsp; gibt die Zeitabhängigkeit der Zeigerlänge wieder:
+*Die&nbsp; $\text{Betragsfunktion}$&nbsp; gibt die Zeitabhängigkeit der Zeigerlänge wieder:
 :$$a(t)= \vert x_{\rm TP}(t)\vert =\sqrt{ {\rm Re}\left[x_{\rm TP}(t)\right]^2 +
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 :Die Betragsfunktion&nbsp; $a(t)$&nbsp; ist in diesem Beispiel wie das komplexe äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$&nbsp; periodisch mit&nbsp; $T_0$&nbsp; und nimmt Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $6$&nbsp; an.
-*Die&nbsp; '''Phasenfunktion'''&nbsp; beschreibt den zeitabhängigen Winkel des äquivalenten Tiefpass-Signals&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$, bezogen auf den Koordinatenursprung:
+*Die&nbsp; $\text{Phasenfunktion}$&nbsp; beschreibt den zeitabhängigen Winkel des äquivalenten Tiefpass-Signals&nbsp; $x_{\rm TP}(t)$, bezogen auf den Koordinatenursprung:
 :$$\phi(t)= {\rm arc} \left[x_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan}

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 ==Beschreibung im Zeitbereich==
 <br>
-Zur Vereinfachung der Darstellung gehen wir nun von einem Linienspektrum aus, so dass man das analytische Signal als&nbsp; '''Zeigerverbund''' &nbsp; &rArr; &nbsp;  Summe von komplexen Drehzeigern darstellen kann:
+Zur Vereinfachung der Darstellung gehen wir nun von einem Linienspektrum aus, so dass man das analytische Signal als&nbsp; $\text{Zeigerverbund}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Summe von komplexen Drehzeigern darstellen kann:
 :$$X_{+}(f) = \sum_{i=1}^{I} {A_i} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
-Durch die Frequenzverschiebung um&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; nach links lautet somit das äquivalente Tiefpass–Signal in Frequenz– und Zeitbereich:
+Durch die Frequenzverschiebung um $f_{\rm T}$&nbsp; nach links lautet somit das äquivalente Tiefpass–Signal in Frequenz– und Zeitbereich:
 :$$X_{\rm TP}(f) = \sum_{i=1}^{I} {A_i} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 \nu_i \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
-Zwischen den Frequenzwerten&nbsp; $f_i$&nbsp; und&nbsp; $\nu_i$&nbsp; gilt folgender Zusammenhang&nbsp; $(i = 1, \ \text{...} \ , I)$:
+Zwischen den Frequenzwerten $f_i$&nbsp; und&nbsp; $\nu_i$&nbsp; gilt folgender Zusammenhang&nbsp; $(i = 1, \ \text{...} \ , I)$:
 :$$\nu_i =  f_i - f_{\rm T}  .$$
@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
 *Zu diesem Zeitpunkt ist der Zeigerverbund demnach allein durch die&nbsp; $I$&nbsp; Amplitudenparameter&nbsp; $A_i$&nbsp; und die&nbsp; $I$&nbsp; Phasenlagen&nbsp; $\varphi_i$&nbsp; festgelegt.
 *Alle Zeiger des analytischen Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; drehen für&nbsp; $t > 0$&nbsp; entsprechend den (stets positiven) Frequenzen&nbsp; $f_i$&nbsp; entgegen dem Uhrzeigersinn.
-*Beim äquivalenten Tiefpass-Signal sind die Drehgeschwindigkeiten geringer. Zeiger mit&nbsp; $\nu_i > 0$&nbsp; drehen in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn), solche mit&nbsp; $\nu_i < 0$&nbsp; in Gegenrichtung (im Uhrzeigersinn).
+*Beim äquivalenten Tiefpass-Signal sind die Drehgeschwindigkeiten geringer.&nbsp; Zeiger mit&nbsp; $\nu_i > 0$&nbsp; drehen in mathematisch positiver Richtung&nbsp; (entgegen dem Uhrzeigersinn), solche mit&nbsp; $\nu_i < 0$&nbsp; in Gegenrichtung&nbsp; (im Uhrzeigersinn).
 *Ist bei einem Zeiger der Frequenzparameter&nbsp; $\nu_i =0$, so ruht dieser Zeiger in der komplexen Ebene entsprechend seiner Ausgangslage.
@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Wir betrachten ein aus drei Spektrallinien bei&nbsp; $40\,\text{kHz}$,&nbsp; $50\,\text{kHz}$&nbsp; und $60\,\text{kHz}$&nbsp; bestehendes Spektrum&nbsp; $X_+(f)$. Mit den aus der Grafik erkennbaren Amplituden– und Phasenparametern erhält man das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; entsprechend der unteren linken Skizze.
+Wir betrachten ein aus drei Spektrallinien bei&nbsp; $40\,\text{kHz}$,&nbsp; $50\,\text{kHz}$&nbsp; und $60\,\text{kHz}$&nbsp; bestehendes Spektrum&nbsp; $X_+(f)$.&nbsp; Mit den aus der Grafik erkennbaren Amplituden– und Phasenparametern erhält man das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; entsprechend der unteren linken Skizze.
-[[Datei:P_ID739__Sig_T_4_3_S3neu.png|center|frame|Zur Konstruktion des äquivalenten Tiefpass-Signals im Zeitbereich]]
+[[Datei:P_ID739__Sig_T_4_3_S3neu.png|right|frame|Zur Konstruktion des äquivalenten Tiefpass-Signals im Zeitbereich]]
-Die Momentaufnahme der linken unteren Grafik  &nbsp; &rArr; &nbsp;  '''analytisches Signal'''&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; gilt für die Zeit&nbsp; $t = 0$. Alle Zeiger drehen danach mit jeweils konstanter Winkelgeschwindigkeit entgegen dem Uhrzeigersinn.
+Die Momentaufnahme der linken unteren Grafik  &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\text{analytisches Signal}$&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; gilt für die Zeit&nbsp; $t = 0$.&nbsp; Alle Zeiger drehen danach mit jeweils konstanter Winkelgeschwindigkeit entgegen dem Uhrzeigersinn.
-*Der blaue Zeiger dreht hierbei mit&nbsp; $60000$&nbsp; Umdrehungen pro Sekunde am schnellsten und der grüne Zeiger mit der Kreisfrequenz&nbsp; $\omega_{40} = 2\pi \cdot 40000 \hspace{0.1cm} 1/\text{s}$&nbsp; am langsamsten.
+*Der blaue Zeiger dreht hierbei mit&nbsp; $60000$&nbsp; Umdrehungen pro Sekunde am schnellsten und der grüne Zeiger mit&nbsp; $\omega_{40} = 2\pi \cdot 40000 \hspace{0.1cm} 1/\text{s}$&nbsp; am langsamsten.
 *Der violette Summenpunkt aller drei Zeiger bewegt sich für&nbsp; $t > 0$&nbsp; in der komplexen Ebene in komplizierter Weise, bei obigen Zahlenwerten zuerst grob in die eingezeichnete Richtung.
-Die rechten Grafiken beschreiben das&nbsp; '''äquivalente Tiefpass–Signal'''&nbsp; im Frequenzbereich (oben) und im Zeitbereich (unten), gültig für&nbsp; $f_{\rm T} = 50\,\text{kHz}$.
+Die rechten Grafiken beschreiben das&nbsp; $\text{äquivalente Tiefpass–Signal}$&nbsp; im Frequenzbereich (oben) und im Zeitbereich (unten), gültig für $f_{\rm T} = 50\,\text{kHz}$.
-*Der Träger liegt nun bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; und der dazugehörige rote Drehzeiger bewegt sich nicht.
+*Der Träger liegt nun bei $f = 0$&nbsp; und der dazugehörige rote Drehzeiger bewegt sich nicht.
-*Der blaue Zeiger (OSB) dreht hier mit&nbsp; $\omega_{10} = 2\pi \cdot 10000 \hspace{0.1cm}1/\text{s}$&nbsp; entgegen dem Uhrzeigersinn.
+*Der blaue Zeiger&nbsp; $\text{(OSB)}$&nbsp; dreht hier mit&nbsp; $\omega_{10} = 2\pi \cdot 10000 \hspace{0.1cm}1/\text{s}$&nbsp; entgegen dem Uhrzeigersinn.
-*Der grüne Zeiger (USB) dreht mit gleicher Geschwindigkeit entgegengesetzt&nbsp; ($-\omega_{10}$).}}
+*Der grüne Zeiger&nbsp; $\text{(USB)}$&nbsp; dreht mit gleicher Winkelgeschwindigkeit entgegengesetzt&nbsp; ($-\omega_{10}$).}}

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	:$$X_{\rm TP}(f) = X_{\rm +}(f + f_{\rm T}).$$		:$$X_{\rm TP}(f) = X_{\rm +}(f + f_{\rm T}).$$

−	Im allgemeinen sind  $X(f)$,  $X_+(f)$  und  $X_{\rm TP}(f)$  komplexwertig.  Ist allerdings  $X(f)$  rein reell, so sind auch die Spektralfunktionen  $X_+(f)$  und  $X_{\rm TP}(f)$  rein reell, weil sich diese aus  $X(f)$  nur aus den Operationen „Abschneiden und Verdoppeln”  bzw.  „Frequenzverschiebung” ergeben.}}	+	*Im allgemeinen sind  $X(f)$,  $X_+(f)$  und  $X_{\rm TP}(f)$  komplexwertig.
		+	*Ist allerdings  $X(f)$  rein reell, so sind auch die Spektralfunktionen  $X_+(f)$  und  $X_{\rm TP}(f)$  rein reell, <br>weil sich diese aus  $X(f)$  nur aus den Operationen „Abschneiden und Verdoppeln”  bzw.  „Frequenzverschiebung” ergeben.}}

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 <br>
 Die folgende Grafik zeigt einen möglichen Aufbau eines Nachrichtenübertragungssystems:
-*Häufig wird das niederfrequente Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; in ein Bandpass–Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; umgesetzt &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Modulation'''.
+*Häufig wird das niederfrequente Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; in ein Bandpass–Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; umgesetzt &nbsp; &rArr; &nbsp; $\text{Modulation}$.
-*Nach der Übertragung muss das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; – gegenüber dem Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; eventuell verzerrt und mit (Rausch-)Störungen beaufschlagt – wieder in den ursprünglichen Frequenzbereich zurückgesetzt werden &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Demodulation'''.
+*Nach der Übertragung muss das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; – gegenüber dem Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; eventuell verzerrt und mit (Rausch-)Störungen beaufschlagt – wieder in den ursprünglichen Frequenzbereich zurückgesetzt werden &nbsp; &rArr; &nbsp; $\text{Demodulation}$.
 *Das Sinkensignal&nbsp; $v(t)$, das möglichst gut mit dem Quellensignal&nbsp;  $q(t)$&nbsp; übereinstimmen sollte, ist dann wieder ein Tiefpass–Signal.
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 [[Datei:Sig_T_4_3_S1_Version2.png|center|frame|Blockschaltbild eines Bandpass-Übertragungssystems]]
-Modulation und Demodulation sind also fundamentale Komponenten eines Übertragungssystems, die im Buch&nbsp; [[Modulationsverfahren]]&nbsp; eingehend behandelt werden. Eine kurze Zusammenfassung finden Sie im ersten Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Prinzip_der_Nachrichtenübertragung|Prinzip der Nachrichtenübertragung]]&nbsp; des vorliegenden Buches.
+Modulation und Demodulation sind also fundamentale Komponenten eines Übertragungssystems, die im Buch&nbsp; [[Modulationsverfahren]]&nbsp; eingehend behandelt werden.&nbsp; Eine kurze Zusammenfassung finden Sie im ersten Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Prinzip_der_Nachrichtenübertragung|Prinzip der Nachrichtenübertragung]]&nbsp; des vorliegenden Buches.
-Die Untersuchung, Simulation, Optimierung und Dimensionierung von Bandpass-Systemen erfolgen meist im&nbsp; '''äquivalenten Tiefpassbereich''', wofür folgende Gründe genannt werden können:
+Die Untersuchung, Simulation, Optimierung und Dimensionierung von Bandpass-Systemen erfolgen meist im&nbsp; $\text{äquivalenten Tiefpassbereich}$, wofür folgende Gründe genannt werden können:
-*Sind Qualitätsmerkmale (Bandbreiteneffizienz, Signal-zu-Rauschverhältnis, Bitfehlerrate, Leistungsbedarf, usw.) eines Tiefpass-Systems bekannt, so lassen sich die entsprechenden Werte verwandter Bandpass-Systeme daraus relativ einfach herleiten. Beispiele hierfür sind die digitalen Modulationsverfahren&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Amplitude Shift Keying]]&nbsp; (ASK) und&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|Binary Phase Shift Keying]]&nbsp; (BPSK), deren Performance-Größen aus dem vergleichbaren&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten_eines_Basisbandübertragungssystems#Vereinfachtes_Systemmodell|Basisbandsystem]]&nbsp; (also ohne Modulator und Demodulator) „hochgerechnet” werden können.
+*Sind Qualitätsmerkmale&nbsp; (Bandbreiteneffizienz, Signal-zu-Rauschverhältnis, Bitfehlerrate, Leistungsbedarf, usw.)&nbsp; eines Tiefpass-Systems bekannt, so lassen sich die entsprechenden Werte verwandter Bandpass-Systeme daraus relativ einfach herleiten. Beispiele hierfür sind die digitalen Modulationsverfahren&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Amplitude Shift Keying]]&nbsp; $\text{(ASK)}$&nbsp; und&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|Binary Phase Shift Keying]]&nbsp; $\text{(BPSK)}$, deren Performance-Größen aus dem vergleichbaren&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten_eines_Basisbandübertragungssystems#Vereinfachtes_Systemmodell|Basisbandsystem]]&nbsp; (also ohne Modulator und Demodulator) „hochgerechnet” werden können.
-*Einzelne Teilkanäle bei einem so genannten&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#B.C3.BCndelung_von_Kan.C3.A4len_.E2.80.93_Frequenzmultiplex|Frequenzmultiplexsystem]], die sich durch verschiedene Trägerfrequenzen unterscheiden, können oft als qualitativ gleichwertig angesehen werden. Deshalb genügt es, die Berechnung und Dimensionierung auf einen einzigen Kanal zu beschränken und diese Untersuchungen im äquivalenten Tiefpass-Bereich – das heißt ohne Berücksichtigung der spezifischen Trägerfrequenz – durchzuführen.
+*Einzelne Teilkanäle bei einem so genannten&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#B.C3.BCndelung_von_Kan.C3.A4len_.E2.80.93_Frequenzmultiplex|Frequenzmultiplexsystem]], die sich durch verschiedene Trägerfrequenzen unterscheiden, können oft als qualitativ gleichwertig angesehen werden.&nbsp; Deshalb genügt es, die Berechnung und Dimensionierung auf einen einzigen Kanal zu beschränken und diese Untersuchungen im äquivalenten Tiefpass-Bereich – das heißt ohne Berücksichtigung der spezifischen Trägerfrequenz – durchzuführen.
-*Häufig ist es so, dass die Bandbreite einer Nachrichtenverbindung um Größenordnungen kleiner ist als die Trägerfrequenz. So liegen beispielsweise beim&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM|GSM-Mobilfunk]]&nbsp; die einzelnen Kanäle im Frequenzbereich um&nbsp; $900\ \rm  MHz$&nbsp; (&bdquo;D-Netz&rdquo;) bzw.&nbsp; $1800\ \rm  MHz$&nbsp; (&bdquo;E-Netz&rdquo;), während jedem Kanal nur eine geringe Bandbreite von&nbsp; $200\ \rm  kHz$&nbsp; zur Verfügung steht. Deshalb ist eine Simulation im äquivalenten Tiefpass–Bereich sehr viel weniger aufwändig als eine Simulation der entsprechenden Bandpass–Signale.
+*Häufig ist es so, dass die Bandbreite einer Nachrichtenverbindung um Größenordnungen kleiner ist als die Trägerfrequenz.&nbsp; So liegen beispielsweise beim&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM|GSM-Mobilfunk]]&nbsp; die einzelnen Kanäle im Frequenzbereich um&nbsp; $900\ \rm  MHz$&nbsp; (&bdquo;D-Netz&rdquo;) bzw.&nbsp; $1800\ \rm  MHz$&nbsp; (&bdquo;E-Netz&rdquo;), während jedem Kanal nur eine geringe Bandbreite von&nbsp; $200\ \rm  kHz$&nbsp; zur Verfügung steht.&nbsp; Deshalb ist eine Simulation im äquivalenten Tiefpass–Bereich sehr viel weniger aufwändig als eine Simulation der entsprechenden Bandpass–Signale.
 ==Definition im Frequenzbereich==
 <br>
-Wir betrachten ein reelles Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit dem Spektrum&nbsp; $X(f)$. Weiterhin soll gelten:
+Wir betrachten ein reelles Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit dem Spektrum&nbsp; $X(f)$.&nbsp; Weiterhin soll gelten:
-*Das Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; sei aus der Modulation eines niederfrequenten Nachrichtensignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit dem Trägersignal&nbsp; $z(t)$&nbsp; der Frequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; entstanden. Die Art der Modulation (ob analog oder digital, Amplituden&ndash; oder Winkelmodulation, Einseitenband oder Zweiseitenband) sei nicht festgelegt.
+*Das Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; sei aus der Modulation eines niederfrequenten Nachrichtensignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit dem Trägersignal&nbsp; $z(t)$&nbsp; der Frequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; entstanden.&nbsp; Die Art der Modulation&nbsp; (ob analog oder digital,&nbsp; Amplituden&ndash; oder Winkelmodulation,&nbsp; Einseitenband oder Zweiseitenband)&nbsp; sei nicht festgelegt.
-*Die Spektralfunktion&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; des dazugehörigen analytischen Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; existiert nur für positive Frequenzen und ist hier doppelt so groß wie&nbsp; $X(f)$. Für die Herleitung von&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; muss die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; des Systems nicht bekannt sein.
+*Die Spektralfunktion&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; des dazugehörigen analytischen Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; existiert nur für positive Frequenzen und ist hier doppelt so groß wie&nbsp; $X(f)$.&nbsp; Für die Herleitung von&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; muss die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; des Systems nicht bekannt sein.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Verschiebt man das Spektrum des analytischen Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; um&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; nach links, so bezeichnet man das Ergebnis als das&nbsp; '''Spektrum des äquivalenten Tiefpass-Signals''':
+Verschiebt man das Spektrum&nbsp; $X_{\rm +}(f)$&nbsp; des analytischen Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; um&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; nach links, so ist das Ergebnis das&nbsp; $\text{äquivalente Tiefpass-Spektrum}$:
 :$$X_{\rm TP}(f)  = X_{\rm +}(f + f_{\rm T}).$$
-Im allgemeinen sind&nbsp; $X(f)$,&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; und&nbsp; $X_{\rm TP}(f)$&nbsp; komplexwertig. Ist allerdings&nbsp; $X(f)$&nbsp; rein reell, so sind auch die Spektralfunktionen&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; und&nbsp; $X_{\rm TP}(f)$&nbsp; rein reell, weil sich diese aus&nbsp; $X(f)$&nbsp; nur aus den Operationen „Abschneiden und Verdoppeln” bzw. „Frequenzverschiebung” ergeben.}}
+Im allgemeinen sind&nbsp; $X(f)$,&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; und&nbsp; $X_{\rm TP}(f)$&nbsp; komplexwertig.&nbsp; Ist allerdings&nbsp; $X(f)$&nbsp; rein reell, so sind auch die Spektralfunktionen&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; und&nbsp; $X_{\rm TP}(f)$&nbsp; rein reell, weil sich diese aus&nbsp; $X(f)$&nbsp; nur aus den Operationen „Abschneiden und Verdoppeln”&nbsp; bzw.&nbsp; „Frequenzverschiebung” ergeben.}}
-Bei der Berechnung des äquivalenten Tiefpass–Spektrums&nbsp; $X_{\rm TP}(f)$&nbsp; ist – im Gegensatz zu&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; – die Kenntnis der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; unbedingt erforderlich. Für andere Werte von&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; ergeben sich auch andere Tiefpass–Spektren.
+Bei der Berechnung des äquivalenten Tiefpass–Spektrums&nbsp; $X_{\rm TP}(f)$&nbsp; ist – im Gegensatz zu&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; – die Kenntnis der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; unbedingt erforderlich.&nbsp;  Für andere Werte von&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; ergeben sich auch andere Tiefpass–Spektren.
 Transformiert man obige Gleichung in den Zeitbereich, so erhält man nach Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:
@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 :$$x(t) = {\rm Re}[x_{\rm +}(t)] = {\rm Re}\big[x_{\rm TP}(t)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_{\rm T}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}t}\big].$$
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 Die obere Grafik zeigt  die rein reelle Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines Bandpass–Signals&nbsp; $x(t)$, das aus der Modulation eines niederfrequenten Signals&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; entstanden sei.
-[[Datei:P_ID749__Sig_T_4_3_S2_neu.png|right|frame|Konstruktion des äquivalenten Tiefpass-Signals <br>im Frequenzbereich]]
+[[Datei:P_ID749__Sig_T_4_3_S2_neu.png|right|frame|Konstruktion des äquivalenten Tiefpass-Spektrums]]
-Darunter dargestellt sind die beiden ebenfalls reellen Spektralfunktionen&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; und&nbsp; $X_{\rm TP}(f)$. Aufgrund der Unsymmetrien bezüglich des Frequenzursprungs&nbsp; $(f = 0)$&nbsp; sind die zugehörigen Zeitfunktionen komplex.
+Darunter dargestellt sind die beiden ebenfalls reellen Spektralfunktionen&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; und&nbsp; $X_{\rm TP}(f)$.&nbsp; Aufgrund der Unsymmetrien bezüglich des Frequenzursprungs&nbsp; $(f = 0)$&nbsp; sind die zugehörigen Zeitfunktionen komplex.
 *Die durchgezogen–grün dargestellte Spektralfunktion&nbsp; $X_{\rm TP}(f)$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; um die&nbsp; Trägerfrequenz $f_{\rm T}$&nbsp; nach links verschoben.
-*Wäre das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; aber das Modulationsergebnis eines anderen Nachrichtensignals&nbsp; $q\hspace{0.05cm}'(t)$&nbsp; mit anderer Trägerfrequenz&nbsp; ${f_{\rm T} }\hspace{0.05cm}'$, so ergäbe sich auch ein anderes äquivalentes TP–Signal&nbsp;  ${X_{\rm TP} }\hspace{0.05cm}'(f)$.
+*Wäre das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; aber das Modulationsergebnis eines anderen Nachrichtensignals&nbsp; $q\hspace{0.05cm}'(t)$&nbsp; mit anderer Trägerfrequenz&nbsp; ${f_{\rm T} }\hspace{0.05cm}'$, so ergäbe sich auch ein anderes äquivalentes Tiefpass–Spektrum&nbsp;  ${X_{\rm TP} }\hspace{0.05cm}'(f)$.