Signaldarstellung/Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion - Versionsgeschichte

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Guenter am 11. Mai 2021 um 12:39 Uhr

2021-05-11T12:39:33Z

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	==Leistung und Energie eines Bandpass-Signals==		==Leistung und Energie eines Bandpass-Signals==
	<br>		<br>
	Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal  $x(t)$  gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying\|Binary Amplitude Shift Keying]]  $\text{(~~ASK~~)}$  ergibt.  Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen  "On–Off–Keying".		Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal  $x(t)$  gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying\|Binary Amplitude Shift Keying]]  $\text{(2ASK)}$  ergibt.  Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen  "On–Off–Keying".

	[[Datei:P_ID1152__Sig_T_4_3_S8a.png\|right\|frame\|Leistung und Energie eines Bandpass-Signals]]		[[Datei:P_ID1152__Sig_T_4_3_S8a.png\|right\|frame\|Leistung und Energie eines Bandpass-Signals]]

Guenter am 11. Mai 2021 um 12:38 Uhr

2021-05-11T12:38:48Z

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	==Leistung und Energie eines Bandpass-Signals==		==Leistung und Energie eines Bandpass-Signals==
	<br>		<br>
	Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal  $x(t)$  gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying\|Binary Amplitude Shift Keying]]  ergibt.  Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen  ~~$\text{~~On–Off–Keying}$.		Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal  $x(t)$  gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying\|Binary Amplitude Shift Keying]]  $\text{(ASK)}$  ergibt.  Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen  "On–Off–Keying".

	[[Datei:P_ID1152__Sig_T_4_3_S8a.png\|right\|frame\|Leistung und Energie eines Bandpass-Signals]]		[[Datei:P_ID1152__Sig_T_4_3_S8a.png\|right\|frame\|Leistung und Energie eines Bandpass-Signals]]

Guenter am 11. Mai 2021 um 12:32 Uhr

2021-05-11T12:32:49Z

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Zeile 290:		Zeile 290:
	Die Quadraturkomponente  $x_{\rm Q}(t)$  unterscheidet sich gegenüber der oberen Gleichung also im Vorzeichen.		Die Quadraturkomponente  $x_{\rm Q}(t)$  unterscheidet sich gegenüber der oberen Gleichung also im Vorzeichen.

	==Ermittlung des äquivalenten TP-Signals aus dem BP-Signal==		==Ermittlung des äquivalenten Tiefpass-Signals aus dem Bandpass-Signal==
	<br>		<br>
	Die ~~folgende~~ Grafik zeigt zwei Anordnungen, um aus dem reellen Bandpass–Signal  $x(t)$  das komplexe Tiefpass–Signal aufgespalten nach Inphase– und Quadraturkomponente zu ermitteln, beispielsweise zur Darstellung auf einem Oszilloskop. Betrachten wir zuerst das obere Modell:		[[Datei:P_ID1151__Sig_T_4_3_S7b_neu.png\|right\|frame\|Aufteilung des äquivalenten Tiefpass-Signals in Inphase- und Quadraturkomponente]]
			Die Grafik zeigt zwei Anordnungen, um aus dem reellen Bandpass–Signal  $x(t)$  das komplexe Tiefpass–Signal aufgespalten nach Inphase– und Quadraturkomponente zu ermitteln, beispielsweise zur Darstellung auf einem Oszilloskop.  Betrachten wir zuerst das obere Modell:

	*Hier wird zunächst das analytische Signal  $x_+(t)$  durch Hinzufügen der  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation\|Hilberttransformierten]]  erzeugt.		*Hier wird zunächst das analytische Signal  $x_+(t)$  durch Hinzufügen der  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation\|Hilberttransformierten]]  erzeugt.
Zeile 298:		Zeile 299:
	*Die gesuchten Komponenten  $x_{\rm I}(t)$  und  $x_{\rm Q}(t)$  erhält man dann durch Real– bzw. Imaginärteilbildung.		*Die gesuchten Komponenten  $x_{\rm I}(t)$  und  $x_{\rm Q}(t)$  erhält man dann durch Real– bzw. Imaginärteilbildung.


	~~[[Datei:P_ID1151__Sig_T_4_3_S7b_neu.png\|center\|frame\|Aufteilung des äquivalenten Tiefpass-Signals in Inphase- und Quadraturkomponente]]~~

	Bei der unteren (praxisrelevanteren) Anordnung erhält man für den oberen bzw. unteren Zweig nach den jeweiligen Multiplikationen:		Bei der unteren (praxisrelevanteren) Anordnung erhält man für den oberen bzw. unteren Zweig nach den jeweiligen Multiplikationen:

	:$$a(t)\cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \cdot 2 \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) = a(t)\cdot \cos ( \phi(t)) + \varepsilon_{\rm ~~oben~~}(t),$$		$$a(t)\cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \cdot 2 \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) = a(t)\cdot \cos ( \phi(t)) + \varepsilon_{\rm 1}(t),$$
	:$$a(t)\cdot \cos (\omega_{\rm T} ~~\cdot~~ t + \phi(t)) \cdot (-2) \cdot \sin (\omega_{\rm T} ~~\cdot~~ t ) = a(t)\cdot \sin ( \phi(t)) + \varepsilon_{\rm ~~unten~~}(t)).$$		$$a(t)\cdot \cos (\omega_{\rm T} t + \phi(t)) \cdot (-2) \cdot \sin (\omega_{\rm T} t ) = a(t)\cdot \sin ( \phi(t)) + \varepsilon_{\rm 2}(t)).$$

	Die jeweils zweiten Anteile liegen im Bereich um die doppelte Trägerfrequenz und werden durch die Tiefpässe mit jeweiliger Grenzfrequenz  $f_{\rm T}$  entfernt:		Die jeweils zweiten Anteile liegen im Bereich um die doppelte Trägerfrequenz und werden durch die Tiefpässe mit jeweiliger Grenzfrequenz  $f_{\rm T}$  entfernt:

	:$$\varepsilon_{\rm ~~oben~~}(t) = a(t)\cdot \cos (2\omega_{\rm T} \cdot t +		:$$\varepsilon_{\rm 1}(t) = a(t)\cdot \cos (2\omega_{\rm T} \cdot t +
	\phi(t)),~~\hspace{0.8cm}~~		\phi(t)),$$
	\varepsilon_{\rm ~~unten~~}(t) = - a(t)\cdot \sin (2\omega_{\rm T} \cdot t +		:$$
			\varepsilon_{\rm 2}(t) = - a(t)\cdot \sin (2\omega_{\rm T} \cdot t +
	\phi(t)).$$		\phi(t)).$$

Zeile 321:		Zeile 321:
	==Leistung und Energie eines Bandpass-Signals==		==Leistung und Energie eines Bandpass-Signals==
	<br>		<br>
	Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal  $x(t)$  gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying\|Binary Amplitude Shift Keying]]  ergibt. Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen  ~~'''~~On–Off–Keying~~'''~~.		Wir betrachten das (blaue) Bandpass-Signal  $x(t)$  gemäß der Grafik, das sich zum Beispiel bei  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying\|Binary Amplitude Shift Keying]]  ergibt.  Dieses digitale Modulationsverfahren ist auch bekannt unter dem Namen  $\text{On–Off–Keying}$.

	[[Datei:P_ID1152__Sig_T_4_3_S8a.png\|right\|frame\|Leistung und Energie eines Bandpass-Signals]]		[[Datei:P_ID1152__Sig_T_4_3_S8a.png\|right\|frame\|Leistung und Energie eines Bandpass-Signals]]
Zeile 333:		Zeile 333:
	:$$P_x = \frac{1}{2T} \cdot \int ^{2T} _{0} x^2(t)\,{\rm d}t =		:$$P_x = \frac{1}{2T} \cdot \int ^{2T} _{0} x^2(t)\,{\rm d}t =
	\frac{4\,{\rm V}^2}{2T} \cdot \int^{T} _{0} \cos^2(\omega_{\rm T} \cdot t)\,{\rm d}t= 1\,{\rm V}^2.$$		\frac{4\,{\rm V}^2}{2T} \cdot \int^{T} _{0} \cos^2(\omega_{\rm T} \cdot t)\,{\rm d}t= 1\,{\rm V}^2.$$
	~~<br clear=all>~~
	Aus der unteren Skizze ist zu erkennen, dass man durch Mittelung über die quadrierte Hüllkurve  $a^2(t)$  – also über das Betragsquadrat des äquivalenten Tiefpass–Signals  $x_{\rm TP}(t)$  – ein doppelt so großes Ergebnis erhält. Deshalb gilt in gleicher Weise:		Aus der unteren Skizze ist zu erkennen, dass man durch Mittelung über die quadrierte Hüllkurve  $a^2(t)$  – also über das Betragsquadrat des äquivalenten Tiefpass–Signals  $x_{\rm TP}(t)$  – ein doppelt so großes Ergebnis erhält.  Deshalb gilt in gleicher Weise:

	:$$P_x = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M}}		:$$P_x = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M}}
Zeile 342:		Zeile 342:
	\cdot \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} a^2(t)\,{\rm d}t.$$		\cdot \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} a^2(t)\,{\rm d}t.$$

	Dieses Resultat lässt sich verallgemeinern und es auch auf energiebegrenzte Signale anwenden. In diesem Fall gilt für die Energie entsprechend der Seite  [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Energiebegrenzte_und_leistungsbegrenzte_Signale\|Energiebegrenzte und leistungsbegrenzte Signale]]:		Dieses Resultat lässt sich verallgemeinern und es auch auf energiebegrenzte Signale anwenden.  In diesem Fall gilt für die Energie entsprechend der Seite  [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Energiebegrenzte_und_leistungsbegrenzte_Signale\|Energiebegrenzte und leistungsbegrenzte Signale]]:

	:$$E_x = \int ^{+\infty} _{-\infty} x^2(t)\,{\rm		:$$E_x = \int ^{+\infty} _{-\infty} x^2(t)\,{\rm
Zeile 350:		Zeile 350:

	Diese Gleichung gilt allerdings nur dann exakt, wenn die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  sehr viel größer als die Bandbreite  $B_{\rm BP}$  des Bandpasses ist.		Diese Gleichung gilt allerdings nur dann exakt, wenn die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  sehr viel größer als die Bandbreite  $B_{\rm BP}$  des Bandpasses ist.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
Zeile 368:		Zeile 367:
	* Im Bereich um die Trägerfrequenz gilt:		* Im Bereich um die Trägerfrequenz gilt:
	:$$\vert X(f) \vert = A/(2B) = 10^{-3}\text{V/Hz}.$$		:$$\vert X(f) \vert = A/(2B) = 10^{-3}\text{V/Hz}.$$
	~~<br clear=all>~~

	Die Energie dieses Bandpass–Signals könnte prinzipiell nach folgender Gleichung berechnet werden:		Die Energie dieses Bandpass–Signals könnte prinzipiell nach folgender Gleichung berechnet werden:

	:$$E_x = \int^{+\infty} _{-\infty} A^2 \cdot \frac{ {\rm		$$E_x = \int^{+\infty} _{-\infty} A^2 \cdot \frac{ {\rm
	sin}^2(\pi \cdot B \cdot t)}{ (\pi \cdot B \cdot t)^2}\cdot		sin}^2(\pi \cdot B \cdot t)}{ (\pi \cdot B \cdot t)^2}\cdot
	\cos^2(2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t +		\cos^2(2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t +

Guenter am 11. Mai 2021 um 12:18 Uhr

2021-05-11T12:18:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Mai 2021, 14:18 Uhr
Zeile 229:		Zeile 229:
	$\text{Fazit:}$		$\text{Fazit:}$
	*Die Hüllkurve  $a(t)$  und die Phasenfunktion  $\phi (t)$  können aus dem tatsächlichen, physikalischen Bandpass–Signal  $x(t)$  nur in einigen Sonderfällen direkt und in einfacher Weise extrahiert werden.		*Die Hüllkurve  $a(t)$  und die Phasenfunktion  $\phi (t)$  können aus dem tatsächlichen, physikalischen Bandpass–Signal  $x(t)$  nur in einigen Sonderfällen direkt und in einfacher Weise extrahiert werden.
	*Das real nicht existierende äquivalente Tiefpass–Signal  $x_{\rm TP}(t)$  ist ein mathematisches Hilfsmittel, mit dem die Zeitverläufe  $a(t)$  und  $\phi (t)$  durch einfache geometrische Überlegungen bestimmt werden können~~.  Im Buch  [[Modulationsverfahren]]  werden wir darauf zurückkommen~~.		*Das real nicht existierende äquivalente Tiefpass–Signal  $x_{\rm TP}(t)$  ist ein mathematisches Hilfsmittel, mit dem die Zeitverläufe  $a(t)$  und  $\phi (t)$  durch einfache geometrische Überlegungen bestimmt werden können.
	*Das analytische Signal  $x_+(t)$  ist ein Zwischenschritt beim Übergang von  $x(t)$  auf  $x_{\rm TP}(t)$.  Während  $x_+(t)$  stets komplex ist, kann  $x_{\rm TP}(t)$  in Sonderfällen reell sein, zum Beispiel bei idealer Amplitudenmodulation entsprechend dem Kapitel  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation\|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]  $\text{(ZSB-AM)}$.		*Das analytische Signal  $x_+(t)$  ist ein Zwischenschritt beim Übergang von  $x(t)$  auf  $x_{\rm TP}(t)$.  Während  $x_+(t)$  stets komplex ist, kann  $x_{\rm TP}(t)$  in Sonderfällen reell sein, zum Beispiel bei idealer Amplitudenmodulation entsprechend dem Kapitel  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation\|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]  $\text{(ZSB-AM)}$.

Zeile 242:		Zeile 242:

	*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]   ⇒   &bdquo;Zeigerdiagramm”,		*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]   ⇒   &bdquo;Zeigerdiagramm”,
	*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal\|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]]   ⇒   &bdquo;Ortskurve”.		*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal\|Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal]]   ⇒   &bdquo;Ortskurve”.

	==Darstellung nach Real- und Imaginärteil==		==Darstellung nach Real- und Imaginärteil==

Guenter am 10. Mai 2021 um 13:48 Uhr

2021-05-10T13:48:41Z

Guenter am 10. Mai 2021 um 13:10 Uhr

2021-05-10T13:10:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Mai 2021, 15:10 Uhr
Zeile 183:		Zeile 183:


	==Zusammenhang zwischen äquivalentem TP-Signal und BP-Signal==		==Zusammenhang zwischen äquivalentem Tiefpass-Signal und Bandpass-Signal==
	<br>		<br>
	Ein ~~bandpassartiges~~ Signal  $x(t)$, das sich aus der Modulation eines niederfrequenten Nachrichtensignals  $q(t)$  mit einem Trägersignal  $z(t)$  der Frequenz  $f_{\rm T}$  ergeben hat, kann wie folgt dargestellt werden:		Ein jedes bandpassartige Signal  $x(t)$,  das sich aus der Modulation eines niederfrequenten Nachrichtensignals  $q(t)$  mit einem Trägersignal  $z(t)$  der Frequenz  $f_{\rm T}$  ergeben hat,  kann wie folgt dargestellt werden:

	:$$x(t) = a(t) \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t + \phi(t))		:$$x(t) = a(t) \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t + \phi(t))
Zeile 193:		Zeile 193:

	Hierzu ist anzumerken:		Hierzu ist anzumerken:
	* $a(t)$  ist die  ''zeitabhängige Amplitude'', die man oft auch als  '''Hüllkurve'''  bezeichnet. Diese ist gleich dem Betrag  $\|x_{\rm TP}(t)\|$  des äquivalenten Tiefpass–Signals.		* $a(t)$  ist die  ''zeitabhängige Amplitude'', die man oft auch als  '''Hüllkurve'''  bezeichnet.  Diese ist gleich dem Betrag  $\|x_{\rm TP}(t)\|$  des äquivalenten Tiefpass–Signals.
	* $\phi(t)$  ist die  '''Phasenfunktion''', also die  ''zeitabhängige Phase'', die ebenfalls aus dem äquivalenten Tiefpass–Signal als der Winkel zum Koordinatenursprung der komplexen Ebene ermittelt werden kann.		* $\phi(t)$  ist die  '''Phasenfunktion''', also die  ''zeitabhängige Phase'', die ebenfalls aus dem äquivalenten Tiefpass–Signal als der Winkel zum Koordinatenursprung der komplexen Ebene ermittelt werden kann.
	*Im physikalischen Signal  $x(t)$  erkennt man die Phase  $\phi(t)$  an den  '''Nulldurchgängen'''. Bei  $\phi(t) > 0$  tritt der Nulldurchgang in  $x(t)$  im Bereich der Zeit  $t$  früher auf als beim Trägersignal  $z(t)$. Dagegen bedeutet  $\phi(t) < 0$  eine Verschiebung des Nulldurchgangs auf einen späteren Zeitpunkt.		*Im physikalischen Signal  $x(t)$  erkennt man die Phase  $\phi(t)$  an den  ''Nulldurchgängen''.  Bei  $\phi(t) > 0$  tritt der Nulldurchgang in  $x(t)$  im Bereich der Zeit  $t$  früher auf als beim Trägersignal  $z(t)$.  Dagegen bedeutet  $\phi(t) < 0$  eine Verschiebung des Nulldurchgangs auf einen späteren Zeitpunkt.
	*Man spricht von  ~~'''~~Amplitudenmodulation~~'''~~, wenn die gesamte Information über das Nachrichtensignal in der Hüllkurve  $a(t)$  steckt, während  $\phi(t)$  konstant ist.
	*Dagegen beinhaltet bei  ~~'''~~Phasenmodulation~~'''~~  die Phasenfunktion  $\phi(t)$  die gesamte Information über das Nachrichtensignal, während  $a(t)$  konstant ist.
			{{BlaueBox\|TEXT=
			$\text{Definitionen:}$
			*Man spricht von  $\text{Amplitudenmodulation}$, wenn die gesamte Information über das Nachrichtensignal in der Hüllkurve  $a(t)$  steckt, während  $\phi(t)$  konstant ist.
			*Dagegen beinhaltet bei  $\text{Phasenmodulation}$  die Phasenfunktion  $\phi(t)$  die gesamte Information über das Nachrichtensignal, während  $a(t)$  konstant ist.}}


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 5:}$		$\text{Beispiel 5:}$
	Der obere Teil der ~~folgenden~~ Grafik beschreibt die  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (ZSB-AM) mit Träger]]:		Der obere Teil der Grafik beschreibt die  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation  $\text{(ZSB-AM)}$  mit Träger]]:
	*Das äquivalente ~~TP–Signal~~  $x_{\rm TP}(t)$  ist hier stets reell   ⇒   die Ortskurve ist eine horizontale Gerade.		*Das äquivalente Tiefpass–Signal  $x_{\rm TP}(t)$  ist hier stets reell   ⇒   die Ortskurve ist eine horizontale Gerade.
	*Deshalb stimmen die Nulldurchgänge des blauen ZSB–AM–Signals  $x(t)$  mit denen des roten Trägersignals  $z(t)$  exakt überein.		*Deshalb stimmen die Nulldurchgänge des blauen ZSB–AM–Signals  $x(t)$  mit denen des roten Trägersignals  $z(t)$  exakt überein.
	*Das heißt:   Die Phasenfunktion  $\phi(t)$  ist identisch Null   ⇒   die Hüllkurve  $a(t)$  beinhaltet die gesamte Information über das Nachrichtensignal.		*Das heißt:   Die Phasenfunktion  $\phi(t)$  ist identisch Null   ⇒   die Hüllkurve  $a(t)$  beinhaltet die gesamte Information über das Nachrichtensignal.
Zeile 210:		Zeile 214:
	[[Datei:P_ID756__Sig_T_4_3_S6_neu.png\|center\|frame\|$x_{\rm TP}(t)$ bei Zweiseitenband-Amplitudenmodulation und Phasenmodulation]]		[[Datei:P_ID756__Sig_T_4_3_S6_neu.png\|center\|frame\|$x_{\rm TP}(t)$ bei Zweiseitenband-Amplitudenmodulation und Phasenmodulation]]

	Der untere Grafikteil gilt dagegen für die  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)\|Phasenmodulation (PM)]]:		Der untere Grafikteil gilt dagegen für die  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)\|Phasenmodulation  $\text{(PM)}$]]:
	*Das PM-Signal  $y(t)$  hat stets eine konstante Einhüllende   ⇒   die Ortskurve ist ein Kreisbogen.		*Das PM-Signal  $y(t)$  hat stets eine konstante Einhüllende   ⇒   die Ortskurve ist ein Kreisbogen.
	*Der Phasenwert ist hier zunächst kleiner Null   ⇒   die  $y(t)$–Nulldurchgänge treten später auf als die des Trägers  $z(t)$    ⇒   die Nulldurchgänge sind „nachlaufend”.		*Der Phasenwert ist hier zunächst kleiner Null   ⇒   die  $y(t)$–Nulldurchgänge treten später auf als die des Trägers  $z(t)$    ⇒   die Nulldurchgänge sind „nachlaufend”.

Guenter am 10. Mai 2021 um 12:42 Uhr

2021-05-10T12:42:05Z

Guenter am 8. Mai 2021 um 11:57 Uhr

2021-05-08T11:57:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
Zeile 165:		Zeile 165:
	*Die  $\text{Phasenfunktion}$  beschreibt den zeitabhängigen Winkel des äquivalenten Tiefpass-Signals  $x_{\rm TP}(t)$, bezogen auf den Koordinatenursprung:		*Die  $\text{Phasenfunktion}$  beschreibt den zeitabhängigen Winkel des äquivalenten Tiefpass-Signals  $x_{\rm TP}(t)$, bezogen auf den Koordinatenursprung:

	:$$\phi(t)= {\rm arc} \left[x_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{ {\rm Im}\left[x_{\rm TP}(t)\right]}{ {\~~rmRe~~}\left[x_{\rm TP}(t)\right]}.$$		:$$\phi(t)= {\rm arc} \left[x_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{ {\rm Im}\left[x_{\rm TP}(t)\right]}{ {\rm Re}\left[x_{\rm TP}(t)\right]}.$$

	Hier noch einige numerische Ergebnisse für die Phasenwerte:		Hier noch einige numerische Ergebnisse für die Phasenwerte:
Zeile 315:		Zeile 315:
	Aus der unteren Skizze ist zu erkennen, dass man durch Mittelung über die quadrierte Hüllkurve  $a^2(t)$  – also über das Betragsquadrat des äquivalenten Tiefpass–Signals  $x_{\rm TP}(t)$  – ein doppelt so großes Ergebnis erhält.  Deshalb gilt in gleicher Weise:		Aus der unteren Skizze ist zu erkennen, dass man durch Mittelung über die quadrierte Hüllkurve  $a^2(t)$  – also über das Betragsquadrat des äquivalenten Tiefpass–Signals  $x_{\rm TP}(t)$  – ein doppelt so großes Ergebnis erhält.  Deshalb gilt in gleicher Weise:

	:$$P_x = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M}}\cdot \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} \|x_{\rm TP}(t)\|^2\,{\~~rmd~~}t ={{1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M}}\cdot \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} a^2(t)\,{\rm d}t.$$		:$$P_x = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M}}\cdot \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} \|x_{\rm TP}(t)\|^2\,{\rm d}t ={{1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M}}\cdot \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} a^2(t)\,{\rm d}t.$$

	Dieses Resultat lässt sich verallgemeinern und es auch auf energiebegrenzte Signale anwenden.  In diesem Fall gilt für die Energie entsprechend der Seite  [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Energiebegrenzte_und_leistungsbegrenzte_Signale\|Energiebegrenzte und leistungsbegrenzte Signale]]:		Dieses Resultat lässt sich verallgemeinern und es auch auf energiebegrenzte Signale anwenden.  In diesem Fall gilt für die Energie entsprechend der Seite  [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Energiebegrenzte_und_leistungsbegrenzte_Signale\|Energiebegrenzte und leistungsbegrenzte Signale]]:

	:$$E_x = \int ^{+\infty} _{-\infty} x^2(t)\,{\~~rmd~~}t = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\int ^{+\infty} _{-\infty} \|x_{\rm TP}(t)\|^2\,{\~~rmd~~}t = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\int ^{+\infty} _{-\infty} a^2(t)\,{\~~rmd~~}t.$$		:$$E_x = \int ^{+\infty} _{-\infty} x^2(t)\,{\rm d}t = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\int ^{+\infty} _{-\infty} \|x_{\rm TP}(t)\|^2\,{\rm d}t = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\int ^{+\infty} _{-\infty} a^2(t)\,{\rm d}t.$$

	Diese Gleichung gilt allerdings nur dann exakt, wenn die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  sehr viel größer als die Bandbreite  $B_{\rm BP}$  des Bandpasses ist.		Diese Gleichung gilt allerdings nur dann exakt, wenn die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  sehr viel größer als die Bandbreite  $B_{\rm BP}$  des Bandpasses ist.
Zeile 343:		Zeile 343:
	Die Energie dieses Bandpass–Signals könnte prinzipiell nach folgender Gleichung berechnet werden:		Die Energie dieses Bandpass–Signals könnte prinzipiell nach folgender Gleichung berechnet werden:

	$$E_x = \int^{+\infty} _{-\infty} A^2 \cdot \frac{ {\~~rmsin~~}^2(\pi \cdot B \cdot t)}{ (\pi \cdot B \cdot t)^2}\cdot\cos^2(2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t +\phi(t))\,{\~~rmd~~}t .$$		$$E_x = \int^{+\infty} _{-\infty} A^2 \cdot \frac{ {\rm sin}^2(\pi \cdot B \cdot t)}{ (\pi \cdot B \cdot t)^2}\cdot\cos^2(2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t +\phi(t))\,{\rm d}t .$$

	Entsprechend den obigen Gleichungen gilt mit der oben links rot eingezeichneten Hüllkurve  $a(t)$  aber auch:		Entsprechend den obigen Gleichungen gilt mit der oben links rot eingezeichneten Hüllkurve  $a(t)$  aber auch:

	:$$E_x = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\int^{+\infty} _{-\infty} a^2(t)\,{\~~rmd~~}t= { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\int^{+\infty} _{-\infty} \vert A \cdot {\rm si}(\pi \cdot B \cdot t)\vert^2\,{\~~rmd~~}t $$		:$$E_x = { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\int^{+\infty} _{-\infty} a^2(t)\,{\rm d}t= { {1}/{2} \hspace{0.08cm}\cdot }\int^{+\infty} _{-\infty} \vert A \cdot {\rm si}(\pi \cdot B \cdot t)\vert^2\,{\rm d}t $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} E_x = A^2\cdot \int^{+\infty} _{0} {\rm si}^2(\pi \cdot B \cdot t)\,{\~~rmd~~}t =A^2\cdot \frac {\pi}{2}\cdot \frac {1}{\pi B} = \frac {A^2}{2 B}= 2 \cdot 10^{-3}\,{\rm V}^2/{\rm Hz}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} E_x = A^2\cdot \int^{+\infty} _{0} {\rm si}^2(\pi \cdot B \cdot t)\,{\rm d}t =A^2\cdot \frac {\pi}{2}\cdot \frac {1}{\pi B} = \frac {A^2}{2 B}= 2 \cdot 10^{-3}\,{\rm V}^2/{\rm Hz}.$$

	Aus dieser Gleichung erkennt man sofort, dass die Signalenergie  $E_x$  unabhängig von der Trägerphase  $\phi$  ist.		Aus dieser Gleichung erkennt man sofort, dass die Signalenergie  $E_x$  unabhängig von der Trägerphase  $\phi$  ist.
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Signal_Representation/Equivalent_Low-Pass_Signal_and_its_Spectral_Function]]

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	==Warum gibt es für das gleiche Signal drei Darstellungsformen?==		==Warum gibt es für das gleiche Signal drei Darstellungsformen?==
	<br>		<br>
	Abschließend – hoffentlich nicht zu spät – wollen wir uns noch der Frage zuwenden, warum die beiden komplexen und im Verständnis komplizierteren Signale  $x_+(t)$  und  $x_{\rm TP}(t)$  zur Beschreibung des tatsächlichen Bandpass–Signals  $x(t)$  eigentlich notwendig sind. Sie wurden nicht deshalb in der Nachrichtentechnik eingeführt, um Studierende zu verunsichern, sondern:		Abschließend – hoffentlich nicht zu spät – wollen wir uns noch der Frage zuwenden, warum die beiden komplexen und im Verständnis komplizierteren Signale  $x_+(t)$  und  $x_{\rm TP}(t)$  zur Beschreibung des tatsächlichen Bandpass–Signals  $x(t)$  eigentlich notwendig sind.

			Sie wurden nicht deshalb in der Nachrichtentechnik eingeführt, um Studierende zu verunsichern, sondern:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$		$\text{Fazit:}$
	*Die Hüllkurve  $a(t)$  und die Phasenfunktion  $\phi (t)$  können aus dem tatsächlichen, physikalischen ~~BP–Signal~~  $x(t)$  nur in einigen Sonderfällen direkt und in einfacher Weise extrahiert werden.		*Die Hüllkurve  $a(t)$  und die Phasenfunktion  $\phi (t)$  können aus dem tatsächlichen, physikalischen Bandpass–Signal  $x(t)$  nur in einigen Sonderfällen direkt und in einfacher Weise extrahiert werden.
	*Das real nicht existierende äquivalente Tiefpass–Signal  $x_{\rm TP}(t)$  ist ein mathematisches Hilfsmittel, mit dem die Zeitverläufe  $a(t)$  und  $\phi (t)$  durch einfache geometrische Überlegungen bestimmt werden können. Im Buch  [[Modulationsverfahren]]  werden wir darauf zurückkommen.		*Das real nicht existierende äquivalente Tiefpass–Signal  $x_{\rm TP}(t)$  ist ein mathematisches Hilfsmittel, mit dem die Zeitverläufe  $a(t)$  und  $\phi (t)$  durch einfache geometrische Überlegungen bestimmt werden können.  Im Buch  [[Modulationsverfahren]]  werden wir darauf zurückkommen.
	*Das analytische Signal  $x_+(t)$  ist ein Zwischenschritt beim Übergang von  $x(t)$  auf  $x_{\rm TP}(t)$. Während  $x_+(t)$  stets komplex ist, kann  $x_{\rm TP}(t)$  in Sonderfällen reell sein, zum Beispiel bei idealer Amplitudenmodulation entsprechend dem Kapitel  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation\|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]  (ZSB-AM).		*Das analytische Signal  $x_+(t)$  ist ein Zwischenschritt beim Übergang von  $x(t)$  auf  $x_{\rm TP}(t)$.  Während  $x_+(t)$  stets komplex ist, kann  $x_{\rm TP}(t)$  in Sonderfällen reell sein, zum Beispiel bei idealer Amplitudenmodulation entsprechend dem Kapitel  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation\|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]  $\text{(ZSB-AM)}$.


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	Zur weiteren Verdeutlichung stellen wir noch zwei interaktive Applets bereit:		Zur weiteren Verdeutlichung stellen wir noch zwei interaktive Applets bereit:

	*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & ~~AnalytischesSignal~~]]   ⇒   &bdquo;Zeigerdiagramm”,		*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]   ⇒   &bdquo;Zeigerdiagramm”,
	*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal\|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]]   ⇒   &bdquo;Ortskurve”.		*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal\|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]]   ⇒   &bdquo;Ortskurve”.

	==Darstellung nach Real- und Imaginärteil==		==Darstellung nach Real- und Imaginärteil==
	<br>		<br>
	Insbesondere zur Beschreibung der  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation\|Quadratur-Amplitudenmodulation]]  (QAM) eignet sich die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals nach Real– und Imaginärteil:		Insbesondere zur Beschreibung der  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation\|Quadratur-Amplitudenmodulation]]  $\text{(QAM)}$  eignet sich die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals nach Real– und Imaginärteil:

	:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm I}(t)+ {\rm j} \cdot x_{\rm Q}(t).$$		:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm I}(t)+ {\rm j} \cdot x_{\rm Q}(t).$$

	In dieser Darstellung bezeichnet		In dieser Darstellung bezeichnet
	*der Realteil  $x_{\rm I}(t)$  die  ~~'''~~Inphasekomponente~~'''~~  (Normalkomponente),		*der Realteil  $x_{\rm I}(t)$  die  $\text{Inphasekomponente}$  (Normalkomponente),
	*der Imaginärteil  $x_{\rm Q}(t)$  die  ~~'''~~Quadraturkomponente~~'''~~		*der Imaginärteil  $x_{\rm Q}(t)$  die  $\text{Quadraturkomponente}$  von  $x_{\rm TP}(t)$.


	~~von  $x_{\rm TP}(t)$.~~ Mit der Betragsfunktion  $a(t) = \|x_{\rm TP}(t)\|$  und der  Phasenfunktion  $\phi (t) = \text{arc}\,x_{\rm TP}(t)$  entsprechend den Definitionen auf den vorangegangenen Seiten gilt:		Mit der Betragsfunktion  $a(t) = \|x_{\rm TP}(t)\|$  und der  Phasenfunktion  $\phi (t) = \text{arc}\,x_{\rm TP}(t)$  entsprechend den Definitionen auf den vorangegangenen Seiten gilt:

	:$$\begin{align*}x_{\rm I}(t) & = {\rm Re}[x_{\rm TP}(t)] = a(t) \cdot \cos		:$$\begin{align*}x_{\rm I}(t) & = {\rm Re}[x_{\rm TP}(t)] = a(t) \cdot \cos
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	:$$x(t) = a(t) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) = x_{\rm I}(t)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t )-x_{\rm Q}(t)\cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ). $$		:$$x(t) = a(t) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) = x_{\rm I}(t)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t )-x_{\rm Q}(t)\cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ). $$

	Das Minuszeichen ergibt sich wegen der Verwendung der Phasenfunktion  $\phi (t)$. Ein Vergleich mit der Seite  [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Darstellung_mit_Cosinus-_und_Sinusanteil\|Darstellung mit Cosinus- und Sinusanteil]]  im zweiten Hauptkapitel zeigt, dass sich anstelle der Differenz die Summe ergibt, wenn man sich auf  $\varphi (t) = -\phi (t)$  bezieht. Angepasst auf unser Beispiel erhält man dann:		Das Minuszeichen ergibt sich wegen der Verwendung der Phasenfunktion  $\phi (t)$.  Ein Vergleich mit der Seite  [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung#Darstellung_mit_Cosinus-_und_Sinusanteil\|Darstellung mit Cosinus- und Sinusanteil]]  im zweiten Hauptkapitel zeigt, dass sich anstelle der Differenz die Summe ergibt, wenn man sich auf  $\varphi (t) = -\phi (t)$  bezieht.  Angepasst auf unser Beispiel erhält man dann:

	:$$x(t) = a(t) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t - \varphi(t)) = x_{\rm I}(t)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t )+x_{\rm Q}(t)\cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ).$$		:$$x(t) = a(t) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t - \varphi(t)) = x_{\rm I}(t)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t )+x_{\rm Q}(t)\cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ).$$

← Nächstältere Version		Version vom 10. Mai 2021, 14:42 Uhr
Zeile 117:		Zeile 117:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Als  ~~'''~~Ortskurve~~'''~~  bezeichnen wir den Kurvenzug, auf dem sich das  ~~'''~~äquivalente Tiefpass-Signal~~'''~~  $x_{\rm TP}(t)$  in der  ~~'''~~ komplexen Ebene~~'''~~  bewegt.}}		Als  $\text{Ortskurve}$  bezeichnen wir den Kurvenzug, auf dem sich das  $\text{äquivalente Tiefpass-Signal}$  $x_{\rm TP}(t)$  in der  $\text{komplexen Ebene}$  bewegt.}}


	''Hinweis:''   In anderer Fachliteratur wird dieser Begriff eher selten verwendet. Deshalb zunächst ein Beispiel.		''Hinweis:''   In anderer Fachliteratur wird dieser Begriff eher selten verwendet.  Deshalb zunächst ein Beispiel.

	[[Datei:P_ID744__Sig_T_4_3_S4_neu.png\|right\|frame\|Zur Definition der Ortskurve]]		[[Datei:P_ID744__Sig_T_4_3_S4_neu.png\|right\|frame\|Zur Definition der Ortskurve]]
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	$\text{Beispiel 3:}$		$\text{Beispiel 3:}$
	Wir betrachten das äquivalente Tiefpass–Signal  $x_{\rm TP}(t)$  von  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Beschreibung_im_Zeitbereich\|$\text{Beispiel 2}$]], bestehend aus		Wir betrachten das äquivalente Tiefpass–Signal  $x_{\rm TP}(t)$  von  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Beschreibung_im_Zeitbereich\|$\text{Beispiel 2}$]], bestehend aus
	*dem ruhenden Zeiger der Länge  $3$  (rot)		*dem ruhenden Zeiger der Länge  $3$  (rot),
	*dem mit  $\omega_{10} = 2\pi \cdot 10000 \hspace{0.1cm} 1/\text{s}$  in mathematisch positiver Richtung rotierenden blauen Zeiger mit der komplexen Amplitude  ~~'''~~j~~'''~~,		*dem mit  $\omega_{10} = 2\pi \cdot 10000 \hspace{0.1cm} 1/\text{s}$  in mathematisch positiver Richtung rotierenden blauen Zeiger mit der komplexen Amplitude  $\text{j}$,
	*~~den~~ grünen Zeiger der Länge  $2$, der zur Zeit  $t = 0$  in Richtung der negativen imaginären Achse liegt. Dieser dreht mit gleicher Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{10}$  wie der blaue Zeiger, aber in umgekehrter Richtung  ($-\omega_{10}$).		*dem grünen Zeiger der Länge  $2$, der zur Zeit  $t = 0$  in Richtung der negativen imaginären Achse liegt.  Dieser dreht mit gleicher Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{10}$  wie der blaue Zeiger, aber in umgekehrter Richtung  ($-\omega_{10}$).


	Der blaue Zeiger und der grüne Zeiger benötigen für eine Umdrehung jeweils genau eine Periodendauer  $T_0 = 100 \,{\rm µ}\text{s}$. Der weitere Verlauf kann obiger Darstellung entnommen werden:		Der blaue Zeiger und der grüne Zeiger benötigen für eine Umdrehung jeweils genau eine Periodendauer  $T_0 = 100 \,{\rm µ}\text{s}$.  Der weitere Verlauf kann obiger Darstellung entnommen werden:
	*Die violett eingezeichnete Zeigersumme ist zum Zeitpunkt  $t = 0$  gleich  $3 - \text{j}$.		*Die violett eingezeichnete Zeigersumme ist zum Zeitpunkt  $t = 0$  gleich  $3 - \text{j}$.
	*Nach  $t = T_0/4 = 25 \,{\rm µ}\text{s}$  hat der resultierende Zeigerverbund den Wert &bdquo;Null”, da nun die beiden rotierenden Zeiger in Gegenrichtung zum Träger liegen und diesen exakt kompensieren.		*Nach  $t = T_0/4 = 25 \,{\rm µ}\text{s}$  hat der resultierende Zeigerverbund den Wert &bdquo;Null”, da nun die beiden rotierenden Zeiger in Gegenrichtung zum Träger liegen und diesen exakt kompensieren.
Zeile 137:		Zeile 137:


	In diesem Beispiel ist die Ortskurve eine Ellipse, die vom äquivalenten Tiefpass–Signal pro Periodendauer einmal durchlaufen wird.		In diesem Beispiel ist  $\text{die Ortskurve eine Ellipse}$', die vom äquivalenten Tiefpass–Signal pro Periodendauer einmal durchlaufen wird.
	*Die Darstellung gilt für die  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]]  eines sinusförmigen  $10\ \rm kHz$–Signals mit einem cosinusförmigen Träger beliebiger Frequenz, wobei das obere Seitenband (blauer Zeiger) gedämpft ist.		*Die Darstellung gilt für die  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]]  eines sinusförmigen  $10\ \rm kHz$–Signals mit einem cosinusförmigen Träger beliebiger Frequenz, wobei das obere Seitenband (blauer Zeiger) gedämpft ist.
	*Wären die Längen des blauen und des grünen Drehzeigers gleich, so ergäbe sich als Ortskurve eine Horizontale auf der reellen Achse – siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_4.5:_Ortskurve_bei_ZSB-AM\|Aufgabe 4.5]].		*Wären die Längen des blauen und des grünen Drehzeigers gleich, so ergäbe sich als Ortskurve eine Horizontale auf der reellen Achse – siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_4.5:_Ortskurve_bei_ZSB-AM\|Aufgabe 4.5]].
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	\phi(t)}$$		\phi(t)}$$

	dargestellt werden. Zu beachten ist das Pluszeichen im Argument der Exponentialfunktion, das sich von der  [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe\|komplexen Fourierreihendarstellung]]  unterscheidet. Man verwendet nämlich bei der Beschreibung der Modulationsverfahren auch für das physikalische Signal meist die Gleichung mit dem positiven Vorzeichen für die Phase:		dargestellt werden.  Zu beachten ist das Pluszeichen im Argument der Exponentialfunktion, das sich von der  [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe\|komplexen Fourierreihendarstellung]]  unterscheidet.  Man verwendet nämlich bei der Beschreibung der Modulationsverfahren auch für das physikalische Signal meist die Gleichung mit dem positiven Vorzeichen für die Phase:

	:$$x(t) = a(t) \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t + \phi(t)).$$		:$$x(t) = a(t) \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t + \phi(t)).$$

	In vielen Lehrbüchern wird diese Gleichung je nach Anwendung mit Plus– oder Minuszeichen benutzt, aber stets mit gleichem &bdquo;Phasenbezeichner”. Durch die Verwendung zweier verschiedener Symbole  $(\varphi$  und  $\phi)$  versuchen wir in unserem Lerntutorial  $\rm LNTwww$, diese Doppeldeutigkeit zu umgehen.		In vielen Lehrbüchern wird diese Gleichung je nach Anwendung mit Plus– oder Minuszeichen benutzt, aber stets mit gleichem &bdquo;Phasenbezeichner”.  Durch die Verwendung zweier verschiedener Symbole  $(\varphi$  und  $\phi)$  versuchen wir in unserem Lerntutorial  $\rm LNTwww$, diese Doppeldeutigkeit zu umgehen.

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$  Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Beschreibung_im_Zeitbereich\|$\text{Beispiel 2}$]]  und im		$\text{Beispiel 4:}$  Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie in  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Beschreibung_im_Zeitbereich\|$\text{Beispiel 2}$]]  und im
	[[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Definition_der_Ortskurve\|$\text{Beispiel 3}$]]. In der Grafik sind aber nun statt der komplexen Funktion  $x_{\rm TP}(t)$  die beiden reellen Funktionen  $a(t)$  und  $\phi(t)$  dargestellt.		[[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Definition_der_Ortskurve\|$\text{Beispiel 3}$]].  In der Grafik sind aber nun statt der komplexen Funktion  $x_{\rm TP}(t)$  die beiden reellen Funktionen  $a(t)$  und  $\phi(t)$  dargestellt.

	[[Datei:P_ID748__Sig_T_4_3_S5.png\|~~center~~\|frame\|Betrag und Phase des äquivalenten Tiefpass-Signals]]		[[Datei:P_ID748__Sig_T_4_3_S5.png\|right\|frame\|Betrag und Phase des äquivalenten Tiefpass-Signals]]

	Zu dieser Darstellung ist anzumerken:		Zu dieser Darstellung ist anzumerken:
	*Die  ~~'''~~Betragsfunktion~~'''~~  gibt die Zeitabhängigkeit der Zeigerlänge wieder:		*Die  $\text{Betragsfunktion}$  gibt die Zeitabhängigkeit der Zeigerlänge wieder:

	:$$a(t)= \vert x_{\rm TP}(t)\vert =\sqrt{ {\rm Re}\left[x_{\rm TP}(t)\right]^2 +		:$$a(t)= \vert x_{\rm TP}(t)\vert =\sqrt{ {\rm Re}\left[x_{\rm TP}(t)\right]^2 +
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	:Die Betragsfunktion  $a(t)$  ist in diesem Beispiel wie das komplexe äquivalente Tiefpass-Signal  $x_{\rm TP}(t)$  periodisch mit  $T_0$  und nimmt Werte zwischen  $0$  und  $6$  an.		:Die Betragsfunktion  $a(t)$  ist in diesem Beispiel wie das komplexe äquivalente Tiefpass-Signal  $x_{\rm TP}(t)$  periodisch mit  $T_0$  und nimmt Werte zwischen  $0$  und  $6$  an.

	*Die  ~~'''~~Phasenfunktion~~'''~~  beschreibt den zeitabhängigen Winkel des äquivalenten Tiefpass-Signals  $x_{\rm TP}(t)$, bezogen auf den Koordinatenursprung:		*Die  $\text{Phasenfunktion}$  beschreibt den zeitabhängigen Winkel des äquivalenten Tiefpass-Signals  $x_{\rm TP}(t)$, bezogen auf den Koordinatenursprung:

	:$$\phi(t)= {\rm arc} \left[x_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan}		:$$\phi(t)= {\rm arc} \left[x_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan}

← Nächstältere Version		Version vom 8. Mai 2021, 13:57 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	==Beschreibung im Zeitbereich==		==Beschreibung im Zeitbereich==
	<br>		<br>
	Zur Vereinfachung der Darstellung gehen wir nun von einem Linienspektrum aus, so dass man das analytische Signal als  ~~'''~~Zeigerverbund~~'''~~   ⇒   Summe von komplexen Drehzeigern darstellen kann:		Zur Vereinfachung der Darstellung gehen wir nun von einem Linienspektrum aus, so dass man das analytische Signal als  $\text{Zeigerverbund}$   ⇒   Summe von komplexen Drehzeigern darstellen kann:

	:$$X_{+}(f) = \sum_{i=1}^{I} {A_i} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}		:$$X_{+}(f) = \sum_{i=1}^{I} {A_i} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
Zeile 77:		Zeile 77:
	\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$		\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$

	Durch die Frequenzverschiebung um~~ ~~ $f_{\rm T}$  nach links lautet somit das äquivalente Tiefpass–Signal in Frequenz– und Zeitbereich:		Durch die Frequenzverschiebung um $f_{\rm T}$  nach links lautet somit das äquivalente Tiefpass–Signal in Frequenz– und Zeitbereich:

	:$$X_{\rm TP}(f) = \sum_{i=1}^{I} {A_i} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}		:$$X_{\rm TP}(f) = \sum_{i=1}^{I} {A_i} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
Zeile 83:		Zeile 83:
	\nu_i \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$		\nu_i \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$

	Zwischen den Frequenzwerten~~ ~~ $f_i$  und  $\nu_i$  gilt folgender Zusammenhang  $(i = 1, \ \text{...} \ , I)$:		Zwischen den Frequenzwerten $f_i$  und  $\nu_i$  gilt folgender Zusammenhang  $(i = 1, \ \text{...} \ , I)$:

	:$$\nu_i = f_i - f_{\rm T} .$$		:$$\nu_i = f_i - f_{\rm T} .$$
Zeile 92:		Zeile 92:
	*Zu diesem Zeitpunkt ist der Zeigerverbund demnach allein durch die  $I$  Amplitudenparameter  $A_i$  und die  $I$  Phasenlagen  $\varphi_i$  festgelegt.		*Zu diesem Zeitpunkt ist der Zeigerverbund demnach allein durch die  $I$  Amplitudenparameter  $A_i$  und die  $I$  Phasenlagen  $\varphi_i$  festgelegt.
	*Alle Zeiger des analytischen Signals  $x_+(t)$  drehen für  $t > 0$  entsprechend den (stets positiven) Frequenzen  $f_i$  entgegen dem Uhrzeigersinn.		*Alle Zeiger des analytischen Signals  $x_+(t)$  drehen für  $t > 0$  entsprechend den (stets positiven) Frequenzen  $f_i$  entgegen dem Uhrzeigersinn.
	*Beim äquivalenten Tiefpass-Signal sind die Drehgeschwindigkeiten geringer. Zeiger mit  $\nu_i > 0$  drehen in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn), solche mit  $\nu_i < 0$  in Gegenrichtung (im Uhrzeigersinn).		*Beim äquivalenten Tiefpass-Signal sind die Drehgeschwindigkeiten geringer.  Zeiger mit  $\nu_i > 0$  drehen in mathematisch positiver Richtung  (entgegen dem Uhrzeigersinn), solche mit  $\nu_i < 0$  in Gegenrichtung  (im Uhrzeigersinn).
	*Ist bei einem Zeiger der Frequenzparameter  $\nu_i =0$, so ruht dieser Zeiger in der komplexen Ebene entsprechend seiner Ausgangslage.		*Ist bei einem Zeiger der Frequenzparameter  $\nu_i =0$, so ruht dieser Zeiger in der komplexen Ebene entsprechend seiner Ausgangslage.

Zeile 98:		Zeile 98:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Wir betrachten ein aus drei Spektrallinien bei  $40\,\text{kHz}$,  $50\,\text{kHz}$  und $60\,\text{kHz}$  bestehendes Spektrum  $X_+(f)$. Mit den aus der Grafik erkennbaren Amplituden– und Phasenparametern erhält man das analytische Signal  $x_+(t)$  entsprechend der unteren linken Skizze.		Wir betrachten ein aus drei Spektrallinien bei  $40\,\text{kHz}$,  $50\,\text{kHz}$  und $60\,\text{kHz}$  bestehendes Spektrum  $X_+(f)$.  Mit den aus der Grafik erkennbaren Amplituden– und Phasenparametern erhält man das analytische Signal  $x_+(t)$  entsprechend der unteren linken Skizze.

	[[Datei:P_ID739__Sig_T_4_3_S3neu.png\|~~center~~\|frame\|Zur Konstruktion des äquivalenten Tiefpass-Signals im Zeitbereich]]		[[Datei:P_ID739__Sig_T_4_3_S3neu.png\|right\|frame\|Zur Konstruktion des äquivalenten Tiefpass-Signals im Zeitbereich]]

	Die Momentaufnahme der linken unteren Grafik   ⇒   ~~'''~~analytisches Signal~~'''~~  $x_+(t)$  gilt für die Zeit  $t = 0$. Alle Zeiger drehen danach mit jeweils konstanter Winkelgeschwindigkeit entgegen dem Uhrzeigersinn.		Die Momentaufnahme der linken unteren Grafik   ⇒   $\text{analytisches Signal}$  $x_+(t)$  gilt für die Zeit  $t = 0$.  Alle Zeiger drehen danach mit jeweils konstanter Winkelgeschwindigkeit entgegen dem Uhrzeigersinn.
	*Der blaue Zeiger dreht hierbei mit  $60000$  Umdrehungen pro Sekunde am schnellsten und der grüne Zeiger mit ~~der Kreisfrequenz~~  $\omega_{40} = 2\pi \cdot 40000 \hspace{0.1cm} 1/\text{s}$  am langsamsten.		*Der blaue Zeiger dreht hierbei mit  $60000$  Umdrehungen pro Sekunde am schnellsten und der grüne Zeiger mit  $\omega_{40} = 2\pi \cdot 40000 \hspace{0.1cm} 1/\text{s}$  am langsamsten.
	*Der violette Summenpunkt aller drei Zeiger bewegt sich für  $t > 0$  in der komplexen Ebene in komplizierter Weise, bei obigen Zahlenwerten zuerst grob in die eingezeichnete Richtung.		*Der violette Summenpunkt aller drei Zeiger bewegt sich für  $t > 0$  in der komplexen Ebene in komplizierter Weise, bei obigen Zahlenwerten zuerst grob in die eingezeichnete Richtung.


	Die rechten Grafiken beschreiben das  ~~'''~~äquivalente Tiefpass–Signal~~'''~~  im Frequenzbereich (oben) und im Zeitbereich (unten), gültig für~~ ~~ $f_{\rm T} = 50\,\text{kHz}$.		Die rechten Grafiken beschreiben das  $\text{äquivalente Tiefpass–Signal}$  im Frequenzbereich (oben) und im Zeitbereich (unten), gültig für $f_{\rm T} = 50\,\text{kHz}$.
	*Der Träger liegt nun bei~~ ~~ $f = 0$  und der dazugehörige rote Drehzeiger bewegt sich nicht.		*Der Träger liegt nun bei $f = 0$  und der dazugehörige rote Drehzeiger bewegt sich nicht.
	*Der blaue Zeiger (OSB) dreht hier mit  $\omega_{10} = 2\pi \cdot 10000 \hspace{0.1cm}1/\text{s}$  entgegen dem Uhrzeigersinn.		*Der blaue Zeiger  $\text{(OSB)}$  dreht hier mit  $\omega_{10} = 2\pi \cdot 10000 \hspace{0.1cm}1/\text{s}$  entgegen dem Uhrzeigersinn.
	*Der grüne Zeiger (USB) dreht mit gleicher ~~Geschwindigkeit~~ entgegengesetzt  ($-\omega_{10}$).}}		*Der grüne Zeiger  $\text{(USB)}$  dreht mit gleicher Winkelgeschwindigkeit entgegengesetzt  ($-\omega_{10}$).}}