Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation - Versionsgeschichte

Guenter am 23. November 2021 um 14:39 Uhr

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Guenter am 23. November 2021 um 14:38 Uhr

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Guenter am 23. November 2021 um 14:20 Uhr

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Guenter am 22. November 2021 um 16:13 Uhr

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Guenter am 6. März 2020 um 11:37 Uhr

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Guenter am 6. März 2020 um 11:35 Uhr

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Guenter am 6. März 2020 um 11:25 Uhr

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Guenter am 6. März 2020 um 10:47 Uhr

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Guenter am 6. März 2020 um 09:41 Uhr

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 :$$Z(f) = {1}/{2} \cdot \delta (f + f_{\rm T})+{1}/{2} \cdot \delta (f - f_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
-Wer mit den &nbsp;[[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Spektraltransformation]]&nbsp; und insbesondere mit dem &nbsp;[[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz]]&nbsp; vertraut ist, kann sofort eine Lösung für das Spektrum &nbsp;$S(f)$&nbsp; des Modulatorausgangssignals angeben:
+Wer mit den &nbsp;[[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; und insbesondere mit dem &nbsp;[[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz]]&nbsp; vertraut ist, kann sofort eine Lösung für das Spektrum &nbsp;$S(f)$&nbsp; des Modulatorausgangssignals angeben:
 :$$S(f)= Z(f) \star Q(f) = 1/2 \cdot \delta (f + f_{\rm T})\star Q(f)+1/2 \cdot \delta (f - f_{\rm T})\star Q(f) = 1/2 \cdot Q (f + f_{\rm T})+ 1/2 \cdot Q(f - f_{\rm T})
   \hspace{0.05cm}.$$

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 ==Beschreibung der ZSB-AM durch das analytische Signal==
 <br>
-[[Datei:Mod_T_2_1_S6_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals in zwei verschiedenen Darstellungsformen]]
+[[Datei:Mod_T_2_1_S6_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals in zwei Darstellungsformen]]
 Im weiteren Verlauf wird zur Vereinfachung von Grafiken meist das Spektrum &nbsp;$S_+(f)$&nbsp; des &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals|analytischen Signals]]&nbsp; anstelle des tatsächlichen, physikalischen Spektrums &nbsp;$S(f)$&nbsp; angegeben.&nbsp;
-Beispielhaft betrachten wir hier eine&nbsp; „ZSB–AM mit Träger”&nbsp; und folgende Signale:
+Beispielhaft betrachten wir hier eine&nbsp; "ZSB–AM mit Träger"&nbsp; und folgende Signale:
 :$$\begin{align*}s(t) & = \left(q(t) + A_{\rm T}\right) \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot  t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}, \\ \\ q(t) & = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N}\cdot  t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
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 Die zugehörige Spektralfunktion &nbsp;$S_+(f)$&nbsp; besteht aus drei Diraclinien mit jeweils komplexen Gewichten entsprechend der Grafik:
-*Die linke Skizze zeigt den Betrag &nbsp;$|S_+(f)|$, wobei &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; das Gewicht des Trägers angibt und &nbsp;$A_{\rm N}/2$&nbsp; die Gewichte von&nbsp; '''OSB'''&nbsp; (oberes Seitenband)&nbsp; und&nbsp; '''USB'''&nbsp; (unteres Seitenband).
+*Die linke Skizze zeigt &nbsp;$|S_+(f)|$, wobei &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; das Gewicht des Trägers angibt und &nbsp;$A_{\rm N}/2$&nbsp; die Gewichte von&nbsp; $\rm OSB$&nbsp; (oberes Seitenband)&nbsp; und&nbsp; $\rm USB$&nbsp; (unteres Seitenband).
 *In Klammern stehen die auf &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; normierten Werte.&nbsp; Da hier &nbsp;$q_{\rm max} = A_{\rm N}$&nbsp; gilt, erhält man mit dem Modulationsgrad &nbsp;$m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; als normierte Gewichte von oberem und unterem Seitenband jeweils&nbsp; $m/2$.
 *Die rechte Skizze gibt einen Blick in Richtung der Frequenzachse und zeigt die Phasenwinkel von Träger &nbsp;$(ϕ_{\rm T})$, USB &nbsp;$(ϕ_{\rm T} – ϕ_{\rm N})$&nbsp; und OSB &nbsp;$(ϕ_{\rm T} + ϕ_{\rm N})$.
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 erhält man für das Ausgangssignal der Nichtlinearität:
 :$$y(t) = c_1 \cdot q(t) + c_1 \cdot z(t) + c_2 \cdot q^2(t)+ 2 \cdot c_2 \cdot q(t)\cdot z(t)+ c_2 \cdot z^2(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Der erste, der dritte und der letzte Anteil liegen – spektral gesehen – bei &nbsp;$| f | ≤ 2 · B_{\rm NF}$&nbsp; bzw. &nbsp;$| f | = 2 · f_{\rm T}$.
+Der erste,&nbsp; der dritte und der letzte Anteil liegen&nbsp; – spektral gesehen –&nbsp; bei &nbsp;$| f | ≤ 2 · B_{\rm NF}$&nbsp; bzw. &nbsp;$| f | = 2 · f_{\rm T}$.
-Entfernt man diese Signalanteile durch einen Bandpass und berücksichtigt &nbsp;$z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$, so erhält man die für&nbsp; „ZSB–AM mit Träger”&nbsp; typische Gleichung&nbsp; <br>(nur noch der zweite und der vierte Term):
+Entfernt man diese Signalanteile durch einen Bandpass und berücksichtigt &nbsp;$z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$,&nbsp; so erhält man die für&nbsp; „ZSB–AM mit Träger”&nbsp; typische Gleichung&nbsp; <br>(nur noch der zweite und der vierte Term):
 :$$s(t) = c_1 \cdot A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t ) + 2 \cdot c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot q(t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$
 Der Modulationsgrad ist bei dieser Realisierungsform durch die Koeffiziente &nbsp;$c_1$&nbsp; und &nbsp;$c_2$&nbsp; veränderbar:
 :$$m = \frac{2 \cdot c_2 \cdot q_{\rm max}}{c_1} \hspace{0.05cm}.$$
-Eine Diode und der Feldeffekttransistor besitzen mit guter Näherung eine solche quadratische Kennlinie und können zur Realisierung einer ZSB–AM genutzt werden.&nbsp; Kubische Anteile &nbsp;$(c_3 ≠ 0)$&nbsp; und Nichtlinearitäten höherer Ordnung führen allerdings zu (großen) nichtlinearen Verzerrungen.
+*Eine Diode und der Feldeffekttransistor besitzen mit guter Näherung eine solche quadratische Kennlinie und können zur Realisierung einer ZSB–AM genutzt werden.&nbsp;

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 == # ÜBERBLICK ZUM ZWEITEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Nach einigen allgemeingültigen Erläuterungen zu Modulation und Demodulation folgt nun im zweiten Kapitel eine detaillierte Beschreibung der&nbsp; ''Amplitudenmodulation''&nbsp; und der zugehörigen&nbsp; ''Demodulatoren''.&nbsp; Dieses Kapitel behandelt im Einzelnen:
+Nach einigen allgemeingültigen Erläuterungen zu Modulation und Demodulation folgt nun im zweiten Kapitel eine detaillierte Beschreibung der&nbsp; "Amplitudenmodulation"&nbsp; und der zugehörigen&nbsp; "Demodulatoren".&nbsp; Dieses Kapitel behandelt im Einzelnen:
-*die Beschreibung und Realisierung der Zweiseitenband-Amplitudenmodulation (ZSB–AM) im Frequenz- und Zeitbereich,
+*die Beschreibung und Realisierung der&nbsp; &raquo;Zweiseitenband-Amplitudenmodulation&laquo;&nbsp;  $\text{(DSB–AM)}$&nbsp; im Frequenz- und Zeitbereich,
-*die Eigenschaften des Synchrondemodulators und die Anwendungsmöglichkeiten des Hüllkurvendemodulators,
+*die Eigenschaften des&nbsp; &raquo;Synchrondemodulators&laquo;&nbsp; und die Anwendungsmöglichkeiten des&nbsp; &raquo;Hüllkurvendemodulators&laquo;,
-*die Gemeinsamkeiten/Unterschiede der Einseitenbandmodulation gegenüber ZSB–AM und abgewandelte  AM–Verfahren.
+*die Gemeinsamkeiten/Unterschiede der&nbsp; &raquo;Einseitenbandmodulation&laquo;&nbsp; gegenüber ZSB–AM und&nbsp; &raquo;abgewandelte  AM–Verfahren&laquo;.
-Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch &bdquo;Analoge Modulationsverfahren&rdquo; des Praktikums „Simulation Digitaler Übertragungssysteme ”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
+Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch &bdquo;Analoge Modulationsverfahren&rdquo; des Praktikums „Simulation Digitaler Übertragungssysteme ”.&nbsp; Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
 *dem Windows-Programm&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/AMV.zip AMV] &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms; und
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 ==Beschreibung im Frequenzbereich==
 <br>
-Wir betrachten die folgende Aufgabenstellung: &nbsp; Ein Nachrichtensignal &nbsp;$q(t)$, dessen Spektrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp; auf den Bereich &nbsp;$\pm B_{\rm NF}$&nbsp; bandbegrenzt ist, soll mit Hilfe einer harmonischen Schwingung der Frequenz &nbsp;$f_{\rm T}$, die wir im Weiteren als Trägersignal &nbsp;$z(t)$&nbsp; bezeichnen, in einen höherfrequenten Bereich verschoben werden, in dem der Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$ günstige Eigenschaften aufweist.
+Wir betrachten die folgende Aufgabenstellung: &nbsp; Ein Nachrichtensignal &nbsp;$q(t)$,&nbsp; dessen Spektrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp; auf den Bereich &nbsp;$\pm B_{\rm NF}$&nbsp; bandbegrenzt ist,&nbsp; soll mit Hilfe einer harmonischen Schwingung der Frequenz&nbsp; $f_{\rm T}$,&nbsp; die wir im Weiteren als Trägersignal &nbsp;$z(t)$&nbsp; bezeichnen,&nbsp; in einen höherfrequenten Bereich verschoben werden,&nbsp; in dem der Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; günstige Eigenschaften aufweist.
-[[Datei:P_ID974__Mod_T_2_1_S1a_neu.png |center|frame|Darstellung der Amplitudenmodulation im Frequenzbereich]]
+Die Grafik verdeutlicht die Aufgabenstellung, wobei folgende vereinfachende Annahmen getroffen sind:
-Die Grafik verdeutlicht die Aufgabenstellung, wobei folgende vereinfachende Annahmen getroffen sind:
+*Das gezeichnete Spektrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp; ist hier schematisch zu verstehen.&nbsp; Es besagt,&nbsp; dass in &nbsp;$q(t)$&nbsp; nur Spektralanteile im Bereich &nbsp;$|f| ≤ B_{\rm NF}$&nbsp; enthalten sind.&nbsp; $Q(f)$&nbsp; könnte auch ein Linienspektrum sein.
-*Das gezeichnete Spektrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp; ist hier schematisch zu verstehen.&nbsp; Es besagt, dass in &nbsp;$q(t)$&nbsp; nur Spektralanteile im Bereich &nbsp;$|f| ≤ B_{\rm NF}$&nbsp; enthalten sind.&nbsp; $Q(f)$&nbsp; könnte auch ein Linienspektrum sein.
+*Der Kanal sei in einem Bereich der Bandbreite &nbsp;$B_{\rm K}$&nbsp; um die Frequenz &nbsp;$f_{\rm M}$&nbsp; ideal,&nbsp; das heißt,&nbsp; es gelte &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; für &nbsp;$|f - f_{\rm M}| ≤ B_{\rm K}/2.$&nbsp; Rauschstörungen werden vorerst nicht betrachtet.
 *Das Trägersignal sei cosinusförmig&nbsp; $($Phase &nbsp;$ϕ_T = 0)$&nbsp; und besitze die Amplitude &nbsp;$A_{\rm T} = 1$&nbsp; (ohne Einheit).&nbsp; Die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; sei gleich der Mittenfrequenz des Übertragungsbandes.
 *Das Spektrum des Trägersignals &nbsp;$z(t) = \cos(ω_{\rm T} · t)$&nbsp; lautet somit&nbsp; (in der Grafik grün eingezeichnet):
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp; Bei dieser Gleichung ist berücksichtigt, dass die Faltung einer verschobenen Diracfunktion &nbsp;$δ(x – x_0)$&nbsp; mit einer beliebigen Funktion &nbsp;$f(x)$&nbsp; die&nbsp; '''verschobene Funktion''' &nbsp;$f(x - x_0)$&nbsp; ergibt.}}
+$\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp;
 Die Grafik zeigt das Ergebnis. Man erkennt folgende Charakteristika:
-*Aufgrund der systemtheoretischen Betrachtungsweise mit positiven und negativen Frequenzen setzt sich &nbsp;$S(f)$&nbsp; aus zwei Anteilen um &nbsp;$\pm f_{\rm T}$&nbsp; zusammen, die jeweils formgleich mit &nbsp;$Q(f)$&nbsp; sind.
+[[Datei:P_ID975__Mod_T_2_1_S1b_neu.png|right|frame|Spektrum der "Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger"; <br>Anderer Name:&nbsp; "Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Trägerunterdrückung"]]
 *Der Faktor &nbsp;$1/2$&nbsp; ergibt sich wegen der Trägeramplitude &nbsp;$A_{\rm T} = 1$.&nbsp; Somit ist &nbsp;$s(t = 0) = q(t = 0)$, so dass auch die Integrale über deren Spektralfunktionen &nbsp;$S(f)$&nbsp; bzw. &nbsp;$Q(f)$&nbsp; gleich sein müssen.
-*Die Kanalbandbreite &nbsp;$B_{\rm K}$&nbsp; muss mindestens doppelt so groß sein wie die Signalbandbreite &nbsp;$B_{\rm NF}$, was zu der Namensgebung &bdquo;Zweiseitenband–Amplitudenmodulation&rdquo; (ZSB–AM) geführt hat.
+*Aufgrund der systemtheoretischen Betrachtungsweise mit positiven und negativen Frequenzen setzt sich &nbsp;$S(f)$&nbsp; aus zwei Anteilen um &nbsp;$\pm f_{\rm T}$&nbsp; zusammen,&nbsp;  die jeweils formgleich mit &nbsp;$Q(f)$&nbsp; sind.
-*Zu beachten ist, dass &nbsp;$B_{\rm NF}$ und $B_{\rm K}$&nbsp; absolute und nicht etwa &nbsp;[[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Bandbreiten]]&nbsp; sind.&nbsp; Letztere sind über flächengleiche Rechtecke definiert und werden in unserem Tutorial mit &nbsp;$Δf_q$&nbsp; bzw. &nbsp;$Δf_{\rm K}$&nbsp; bezeichnet.
+*Der Faktor &nbsp;$1/2$&nbsp; ergibt sich wegen der Trägeramplitude &nbsp;$A_{\rm T} = 1$.&nbsp; Somit ist &nbsp;$s(t = 0) = q(t = 0)$,&nbsp;  so dass auch die Integrale über deren Spektralfunktionen &nbsp;$S(f)$&nbsp; bzw. &nbsp;$Q(f)$&nbsp; gleich sein müssen.
-*Die Spektralfunktion &nbsp;$S(f)$&nbsp; beinhaltet keine Diraclinien bei der Trägerfrequenz &nbsp;$(\pm f_{\rm T})$.&nbsp; Deshalb wird dieses Verfahren auch als &bdquo;'''ZSB–AM ohne Träger'''&rdquo; bezeichnet.
+*Die Kanalbandbreite &nbsp;$B_{\rm K}$&nbsp; muss mindestens doppelt so groß sein wie die Signalbandbreite &nbsp;$B_{\rm NF}$,&nbsp; was zu der Namensgebung  geführt hat:&nbsp; '''Zweiseitenband–Amplitudenmodulation'''&nbsp; $\rm (ZSB–AM)$.
-*Die Frequenzanteile oberhalb der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; nennt man das ''obere Seitenband''&nbsp; (OSB), diejenigen unterhalb von &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; als das ''untere Seitenband''&nbsp; (USB).
+*Zu beachten:&nbsp; $B_{\rm NF}$ und $B_{\rm K}$&nbsp; sind absolute und nicht etwa &nbsp;[[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Bandbreiten]]&nbsp; sind.&nbsp; Letztere sind über flächengleiche Rechtecke definiert und werden hier mit&nbsp; $Δf_q$&nbsp; bzw.&nbsp; $Δf_{\rm K}$&nbsp; bezeichnet.
 ==Beschreibung im Zeitbereich==

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 *Daraus ist ersichtlich, dass durch eine geeignete Bandbegrenzung $($zum Beispiel auf &nbsp;$±2f_{\rm T})$ und eine Dämpfung mit &nbsp;$π/4 ≈ 0.785$&nbsp; das bekannte ZSB–AM–Spektrum gewonnen werden kann:
 :$$S(f) = {1}/{2} \cdot Q (f \pm f_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
-Bei diesen Überlegungen ist zu berücksichtigen, dass stets &nbsp;$B_{\rm NF} \ll f_{\rm T}$&nbsp; angenommen werden kann.}}
+Bei diesen Überlegungen ist zu berücksichtigen, dass stets &nbsp;$B_{\rm NF} \ll f_{\rm T}$&nbsp; gelten muss.}}
 ==AM-Signale und -Spektren bei harmonischem Eingangssignal==

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 <br>
 [[Datei:Mod_T_2_1_S6_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals in zwei verschiedenen Darstellungsformen]]
-Im weiteren Verlauf wird zur Vereinfachung von Grafiken meist das Spektrum &nbsp;$S_+(f)$&nbsp; des &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_von_s.28t.29_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals|analytischen Signals]]&nbsp; anstelle des tatsächlichen, physikalischen Spektrums &nbsp;$S(f)$&nbsp; angegeben.&nbsp;
+Im weiteren Verlauf wird zur Vereinfachung von Grafiken meist das Spektrum &nbsp;$S_+(f)$&nbsp; des &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals|analytischen Signals]]&nbsp; anstelle des tatsächlichen, physikalischen Spektrums &nbsp;$S(f)$&nbsp; angegeben.&nbsp;
 Beispielhaft betrachten wir hier eine&nbsp; „ZSB–AM mit Träger”&nbsp; und folgende Signale: