Modulationsverfahren/Synchrondemodulation - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Dezember 2021 um 13:37 Uhr

2021-12-09T13:37:23Z

Guenter am 4. Dezember 2021 um 16:55 Uhr

2021-12-04T16:55:16Z

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Guenter am 4. Dezember 2021 um 14:23 Uhr

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Guenter am 3. Dezember 2021 um 16:46 Uhr

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Guenter am 3. Dezember 2021 um 16:14 Uhr

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Guenter am 3. Dezember 2021 um 15:48 Uhr

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Guenter am 3. Dezember 2021 um 15:44 Uhr

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Guenter am 9. März 2020 um 14:56 Uhr

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Guenter am 9. März 2020 um 14:54 Uhr

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Guenter am 9. März 2020 um 14:48 Uhr

2020-03-09T14:48:25Z

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 [[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_Freiraumdämpfung|Aufgabe 2.6: Freiraumdämpfung]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_2.6Z:_Signal-to-Noise-Ratio_(SNR)|Aufgabe 2.6Z: Signal-to-Noise-Ratio (SNR)]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.6Z:_Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis|Aufgabe 2.6Z: Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis]]
 {{Display}}

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Bei ZSB–AM&nbsp; (mit oder ohne Träger)&nbsp; führt die&nbsp; '''Synchrondemodulation mit Phasenversatz'''&nbsp; &nbsp;$Δ\mathbf{ϕ_{\rm T} }$&nbsp; nicht zu Verzerrungen, sondern lediglich zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung um den&nbsp; ''zeitunabhängigen Faktor'' &nbsp;$\cos(Δ\mathbf{ϕ_{\rm T} })$.&nbsp;
+$\text{Fazit:}$&nbsp;
-Der Grund für diese weniger gravierende Signalveränderung als im Falle eines  Frequenzversatzes ist, dass hier die Zeit&nbsp; $t$&nbsp; im Argument der Cosinusfunktion fehlt. }}
+*Bei ZSB–AM&nbsp; (mit oder ohne Träger)&nbsp; führt die&nbsp; '''Synchrondemodulation mit Phasenversatz'''&nbsp; &nbsp;$Δ\mathbf{ϕ_{\rm T} }$&nbsp; nicht zu Verzerrungen,
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Die Grafik zeigt oben die Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$s(t)$&nbsp; am Sender und unten die empfängerseitigen Signale &nbsp;$b(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$.
+Die Grafik zeigt
-*Aufgrund des Phasenversatzes um &nbsp;$Δ \mathbf{ϕ_{\rm T} } = π/3\  (60^\circ)$&nbsp; ist das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; nur halb so groß wie das Quellensignal &nbsp;$q(t)$.
+Aufgrund des Phasenversatzes um &nbsp;$Δ \mathbf{ϕ_{\rm T} } = π/3\  (60^\circ)$&nbsp; ist das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; nur halb so groß wie das Quellensignal &nbsp;$q(t)$.
-*Die Signalform von &nbsp;$q(t)$&nbsp; bleibt jedoch in &nbsp;$v(t)$&nbsp; erhalten. }}
+Die Signalform von &nbsp;$q(t)$&nbsp; bleibt jedoch im Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; erhalten. }}
 <br clear=all>
 ==Einfluss linearer Kanalverzerrungen==
 <br>
-Im Abschnitt &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen#D.C3.A4mpfungsverzerrungen|Dämpfungsverzerrungen]]&nbsp;  des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;  wurde bereits angedeutet, dass das gesamte Übertragungssystem – bestehend aus&nbsp; '''M'''odulator,&nbsp; '''K'''anal und&nbsp; '''D'''emodulator – durch den resultierenden Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; vollständig beschrieben werden kann, wenn
+Im Abschnitt &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen#D.C3.A4mpfungsverzerrungen|Dämpfungsverzerrungen]]&nbsp;  des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;  wurde bereits angedeutet, dass das gesamte Übertragungssystem – bestehend aus&nbsp; $\rm M$odulator,&nbsp; $\rm K$anal und&nbsp; $\rm D$emodulator – durch den resultierenden Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; vollständig beschrieben werden kann,
 [[Datei:Mod_T_2_2_S6_version2.png|right|frame| Amplitudenmodulation und Synchrondemodulation]]
-* entweder das System verzerrungsfrei ist, oder
+* wenn entweder das System verzerrungsfrei ist, oder
-*lediglich lineare Verzerrungen hinsichtlich der Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp; entstehen.
+*oder lediglich lineare Verzerrungen hinsichtlich der Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp; entstehen.
-Dagegen werden &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|nichtlineare Verzerrungen]]&nbsp; durch dieses Ersatzschaltbild nicht erfasst, da aufgrund des multiplikativen Zusammenhangs &nbsp;$V(f) = Q(f)\cdot H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; das Entstehen neuer Frequenzen nicht möglich ist.&nbsp; Ist &nbsp;$Q(f_0) = 0$, so wird stets auch &nbsp;$V(f_0) = 0$&nbsp; gelten.
+Dagegen werden &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|nichtlineare Verzerrungen]]&nbsp; durch dieses Ersatzschaltbild nicht erfasst,
 Obige Voraussetzungen sind bei folgender Systemvariante erfüllt:
-*Der Modulator erzeugt eine ZSB–AM (mit oder ohne Träger) um die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$.
+*Der Modulator erzeugt eine&nbsp; &raquo;ZSB–AM&laquo;&nbsp; (mit oder ohne Träger) um die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$.
-*Der Kanal ist durch den Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; mit Bandpass–Charakter beschreibbar und dessen Bandbreite ausreichend.
+*Der&nbsp; &raquo;Kanal&laquo;&nbsp; ist durch den Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; mit Bandpass–Charakter beschreibbar und dessen Bandbreite ausreichend.
-*Der Synchrondemodulator ist frequenz– und phasensynchron und das Filter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ideal (rechteckförmig).
+*Der&nbsp; &raquo;Synchrondemodulator&laquo;&nbsp; ist frequenz– und phasensynchron und das Filter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ist ideal (rechteckförmig).
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Damit lautet der&nbsp; '''resultierende Frequenzgang'''&nbsp; von Modulator–Kanal–Demodulator:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Bei diesen günstigen Voraussetzungen lautet der&nbsp; '''resultierende Frequenzgang'''&nbsp; von Modulator–Kanal–Demodulator:
 :$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big[ H_{\rm K}(f + f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f - f_{\rm T})\big] \hspace{0.05cm}.$$}}
-*Ist  &nbsp;$\vert H_{\rm MKD}(f) \vert $&nbsp; im Bereich der Signalbandbreite nicht konstant, so werden die verschiedenen Spektralanteile des Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; auch unterschiedlich übertragen &nbsp; &rArr; &nbsp; ''Dämpfungsverzerrungen''.
+*Ist  &nbsp;$\vert H_{\rm MKD}(f) \vert $&nbsp; im Bereich der Signalbandbreite nicht konstant,&nbsp; so werden die verschiedenen Spektralanteile des Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; auch unterschiedlich übertragen &nbsp; &rArr; &nbsp; "Dämpfungsverzerrungen".
-*Ebenso kann es zu&nbsp; ''Phasenverzerrungen''&nbsp; kommen, wenn die Phasenfunktion &nbsp;$\text{arc} \ H_{\rm MKD}(f) $&nbsp; nichtlinear in &nbsp;$f$&nbsp; ist.
+*Ebenso kann es zu&nbsp; "Phasenverzerrungen"&nbsp; kommen,&nbsp; wenn die Phasenfunktion &nbsp;$\text{arc} \ H_{\rm MKD}(f) $&nbsp; nichtlinear in &nbsp;$f$&nbsp; ist.
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 [[Datei: P_ID1005__Mod_T_2_2_S6b_neu.png|right|frame| Einfluss linearer Kanalverzerrungen]]
-*Aus dem unsymmetrischen Bandpass &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; –&nbsp; bezogen auf die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; – wird die im NF–Bereich &nbsp;$($um $f = 0)$&nbsp; symmetrische Funktion &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$.
+*Aus dem unsymmetrischen Bandpass &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; &ndash;&nbsp; bezogen auf die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; &ndash;&nbsp; wird die im NF–Bereich &nbsp;$($um $f = 0)$&nbsp; symmetrische Funktion &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$.
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-*Dass &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; auch Anteile um &nbsp;$±2f_{\rm T}$&nbsp; beinhaltet, ist nicht weiter störend.&nbsp; Diese beeinträchtigen die Tiefpass-Betrachtung nicht.}}
+*Dass &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; auch Anteile um &nbsp;$±2f_{\rm T}$&nbsp; beinhaltet,&nbsp; ist nicht weiter störend.&nbsp; Diese beeinträchtigen die Tiefpass-Betrachtung nicht.}}

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 ==Einfluss eines Frequenzversatzes==
 <br>
-Wie der Name&nbsp; „Synchrondemodulator”&nbsp; bereits zum Ausdruck bringt, funktioniert dieser nur bei völliger Synchronität zwischen den Trägersignalen von Sender und Empfänger.&nbsp; Unterscheiden sich dagegen die Trägerfrequenzen um einen&nbsp; '''Frequenzversatz'''&nbsp; $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$, zum Beispiel
+Wie der Name&nbsp; „Synchrondemodulator”&nbsp; bereits zum Ausdruck bringt,&nbsp; funktioniert dieser nur bei völliger Synchronität zwischen den Trägersignalen von Sender und Empfänger.&nbsp;
 :$$\begin{align*}z(t) & = 1 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm},  \\ z_{\rm E}(t) & = 2 \cdot \cos(2 \pi (f_{\rm T} + \Delta\hspace{-0.05cm} f_{\rm T}) \cdot  t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm},\end{align*}$$
 so erhält man für das Spektrum des Sinkensignals:
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Bei ZSB–AM&nbsp; (mit oder ohne Träger)&nbsp; führt die&nbsp; '''Synchrondemodulation mit Frequenzversatz'''&nbsp; $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$ zu&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen#D.C3.A4mpfungsverzerrungen|Dämpfungsverzerrungen]], gekennzeichnet durch den&nbsp; ''zeitabhängigen Faktor''&nbsp; $\cos(2 \pi \cdot \Delta \hspace{-0.05cm}f_{\rm T} \cdot t )$.
+$\text{Fazit:}$&nbsp;
-Der Frequenzversatz&nbsp; $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$, der auf Realisierungsungenauigkeiten der Trägerrückgewinnung zurückgeht, ist meist sehr klein und bewegt sich im Bereich von einigen Hertz bis etwa&nbsp; $100\text{ Hz}$.&nbsp; In diesem Zusammenhang spricht man dann von einer&nbsp; &bdquo;Schwebung&rdquo;. }}
+*Der Frequenzversatz&nbsp; $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$, der auf&nbsp; '''Realisierungsungenauigkeiten der Trägerrückgewinnung'''&nbsp; zurückgeht,&nbsp; ist meist sehr klein und bewegt sich im Bereich von einigen Hertz bis etwa&nbsp; $100\text{ Hz}$.&nbsp; In diesem Zusammenhang spricht man dann von einer&nbsp; &bdquo;Schwebung&rdquo;. }}

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 ==Voraussetzungen für die Anwendung des Synchrondemodulators==
 <br>
-Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; ist identisch mit dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$, wenn folgende Kriterien erfüllt sind:
+Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; ist identisch mit dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$,&nbsp; wenn folgende Kriterien erfüllt sind:
 *Die Bandbreite &nbsp;$B_{\rm NF}$&nbsp; des Quellensignals ist kleiner als die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$.&nbsp; Diese Einschränkung ist nicht sonderlich gravierend und für die Praxis nicht relevant.
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 *Zwischen den sende– und empfängerseitig zugesetzten Trägersignalen &nbsp;$z(t)$&nbsp; und &nbsp;$z_{\rm E}(t)$&nbsp; besteht zudem eine vollkommene Phasensynchronität.
-*Der Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist im Durchlassbereich &nbsp;$f_{\rm T} - B_{\rm NF} ≤ |f| ≤ f_{\rm T} + B_{\rm NF}$&nbsp; ideal gleich&nbsp; $1$.&nbsp; Eine frequenzunabhängige Dämpfung oder frequenzlineare Phase (Laufzeit) werden meist toleriert.
+*Der Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist im Durchlassbereich &nbsp;$f_{\rm T} - B_{\rm NF} ≤ |f| ≤ f_{\rm T} + B_{\rm NF}$&nbsp; ideal gleich&nbsp; $1$.&nbsp; Eine frequenzunabhängige Dämpfung oder frequenzlineare Phase&nbsp; (Laufzeit)&nbsp; werden meist toleriert.
 *Der Einfluss des Rauschens und externer Störungen wird bei dieser Beschreibung als vernachlässigbar klein angenommen.&nbsp; Aber auch bei nicht vernachlässigbarem Rauschen ist der Synchrondemodulator anderen Demodulatoren überlegen.
-*Das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ist für &nbsp;$|f| ≤ B_{\rm NF}$&nbsp; gleich &bdquo;Eins&rdquo; und für $|f| ≥ 2f_{\rm T} - B_{\rm NF}$ identisch &bdquo;Null&rdquo;.&nbsp; Der Verlauf dazwischen ist nicht relevant (siehe Grafik im&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|vorherigen Abschnitt]]).
+*Das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ist für &nbsp;$|f| ≤ B_{\rm NF}$&nbsp; gleich &bdquo;Eins&rdquo; und für $|f| ≥ 2f_{\rm T} - B_{\rm NF}$ identisch &bdquo;Null&rdquo;.&nbsp; Der Verlauf dazwischen ist nicht relevant&nbsp; (siehe Grafik im&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|vorherigen Abschnitt]]).
-*Beim Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” muss zusätzlich mit &nbsp;$H_{\rm E}(f = 0) ≡ 0$&nbsp; sicher gestellt werden, dass der beim Sender zugesetzte Träger im Sinkensignal nicht mehr enthalten ist.
+*Beim Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” muss zusätzlich mit &nbsp;$H_{\rm E}(f = 0) ≡ 0$&nbsp; sicher gestellt werden,&nbsp; dass der beim Sender zugesetzte Träger im Sinkensignal nicht mehr enthalten ist.
+*In den folgenden vier Abschnitten werden die Auswirkungen beschrieben,&nbsp; wenn einige der genannten Voraussetzungen nicht erfüllt sind.
 ==Einfluss eines Frequenzversatzes==

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 :$$H_{\rm E}(f = 0) = 0.$$
-*Die farbliche Zuordnung in der Grafik&nbsp; (OSB blau, USB grün, Träger rot)&nbsp; lässt erkennen, dass der Synchrondemodulator sowohl das OSB als auch das USB zur Signalrekonstruktion nutzt.
+*Die farbliche Zuordnung in der Grafik&nbsp; (OSB blau, USB grün, Träger rot)&nbsp; lässt erkennen, dass der Synchrondemodulator  das&nbsp; $\rm OSB$&nbsp; als auch das&nbsp; $\rm USB$&nbsp; zur Signalrekonstruktion nutzt.
 <br clear=all>
 ==Voraussetzungen für die Anwendung des Synchrondemodulators==

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 ==Blockschaltbild und Zeitbereichsdarstellung==
 <br>
-Modulation am Sender macht nur Sinn, wenn es möglich ist, diese Signalumsetzung am Empfänger wieder rückgängig zu machen und zwar möglichst ohne Informationsverlust.&nbsp; Bei jeder Form von Amplitudenmodulation &ndash; sei es Zweiseitenband (ZSB) oder Einseitenband (ESB) / mit oder ohne Träger &ndash; erfüllt der so genannte Synchrondemodulator diese Aufgabe.
+Eine Modulation am Sender macht nur Sinn,&nbsp; wenn es möglich ist,&nbsp; diese Signalumsetzung am Empfänger wieder rückgängig zu machen und zwar möglichst ohne Informationsverlust.&nbsp; Bei jeder Form von Amplitudenmodulation &ndash; sei es Zweiseitenband (ZSB) oder Einseitenband (ESB) / mit oder ohne Träger &ndash; erfüllt der so genannte&nbsp; '''Synchrondemodulator'''&nbsp; diese Aufgabe.
-[[Datei:P_ID996__Mod_T_2_2_S1_neu.png |center|frame| ZSB–Amplitudenmodulation und Synchrondemodulation]]
+[[Datei:P_ID996__Mod_T_2_2_S1_neu.png |right|frame| ZSB–Amplitudenmodulation und Synchrondemodulation]]
-Zu obigem Blockschaltbild ist Folgendes anzumerken:
+Zu diesem Blockschaltbild ist Folgendes anzumerken:
-*Zur Modulation wird hier &bdquo;ZSB–AM ohne Träger&rdquo;&nbsp; $($Modulationsgrad&nbsp; $m → ∞)$&nbsp; betrachtet.&nbsp; Synchrondemodulation ist aber auch bei &bdquo;ZSB–AM mit Träger&rdquo; anwendbar.
+*Wir betrachten hier &bdquo;ZSB–AM ohne Träger&rdquo;&nbsp; $($Modulationsgrad&nbsp; $m → ∞)$.&nbsp; Die Synchrondemodulation ist aber auch bei &bdquo;ZSB–AM mit Träger&rdquo; anwendbar.
-*Der Kanal sei ideal und die Störungen vernachlässigbar, so dass das Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; identisch mit dem Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist:
+*Der Kanal sei ideal und die Störungen vernachlässigbar,&nbsp; so dass das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; identisch mit dem Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist:
 :$$r(t) = s(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
-*Im Empfänger wird &nbsp;$r(t)$&nbsp; zunächst mit dem empfängerseitigen Träger &nbsp;$z_{\rm E}(t)$&nbsp; multipliziert, das bis auf den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; identisch mit dem sendeseitigen Träger &nbsp;$z(t)$&nbsp; ist:
+*Im Empfänger wird &nbsp;$r(t)$&nbsp; mit dem empfängerseitigen Träger &nbsp;$z_{\rm E}(t)$&nbsp; multipliziert, das bis auf den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; identisch mit dem sendeseitigen Träger &nbsp;$z(t)$&nbsp; ist:
 :$$z_{\rm E}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
 *Das Ergebnis der Multiplikation ist das Signal &nbsp;$b(t)$.&nbsp; Unter Berücksichtigung der trigonometrischen Umformung &nbsp;$\cos^2(α) = 1/2 · \big [1 + \cos(2α)\big ]$&nbsp; erhält man
 :$$b(t)  = r(t) \cdot z_{\rm E}(t) = 2 \cdot q(t) \cdot \cos^2(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T}) = q(t) + q(t) \cdot \cos(2 \cdot \omega_{\rm T} \cdot t + 2\cdot \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
-*Der zweite Term liegt im Bereich um die doppelte Trägerfrequenz.&nbsp; Gilt für die Signalbandbreite  &nbsp;$B_{\rm NF} < f_{\rm T}$, was in der Praxis stets zutrifft, so kann dieser Anteil durch einen geeignet dimensionierten Tiefpass &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; unterdrückt werden, und man erhält &nbsp;$v(t) = q(t)$.
+*Der zweite Term liegt im Bereich um die doppelte Trägerfrequenz.&nbsp; Gilt für die Signalbandbreite  &nbsp;$B_{\rm NF} < f_{\rm T}$,&nbsp; was in der Praxis stets zutrifft,&nbsp; so kann dieser Anteil durch einen geeignet dimensionierten Tiefpass &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; unterdrückt werden,&nbsp; und man erhält &nbsp;
 ==Beschreibung im Frequenzbereich==
 <br>
-Ausgehend von einem geraden Quellensignal &nbsp;$q(t)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  reelles Spektrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp; und einem Sinus–Träger &nbsp;$z(t)$&nbsp; ergibt sich das imaginäre Sendespektrum &nbsp;$S(f)$&nbsp; gemäß der zweiten Skizze, wobei mit &nbsp;$A_{\rm T} ≠ 0$&nbsp; auch die ZSB–AM mit Träger&nbsp; (rote Diracfunktion)&nbsp; berücksichtigt ist.&nbsp; Aufgrund des idealen Kanals gilt &nbsp;$R(f) = S(f)$.
+Ausgehend von einem geraden Quellensignal &nbsp;$q(t)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  reelles Spektrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp; und einem Sinus–Träger &nbsp;$z(t)$&nbsp; ergibt sich das imaginäre Sendespektrum &nbsp;$S(f)$&nbsp; gemäß der zweiten Skizze,&nbsp; wobei mit &nbsp;$A_{\rm T} ≠ 0$&nbsp; auch die ZSB–AM mit Träger&nbsp; (rote Diracfunktion)&nbsp; berücksichtigt ist.&nbsp; Aufgrund des idealen Kanals gilt &nbsp;$R(f) = S(f)$.
-[[Datei: P_ID998__Mod_T_2_2_S2_neu.png |right|frame| Darstellung der Synchrondemodulation im Frequenzbereich]]
+[[Datei: P_ID998__Mod_T_2_2_S2_neu.png |right|frame| Darstellung der Synchrondemodulation im Frequenzbereich; <br>$B(f)$&nbsp; gemäß der unteren Skizze,&nbsp; aber mit schraffierten Anteilen]]
 Die Wirkungsweise des Synchrondemodulators lässt sich im Frequenzbereich wie folgt erklären:
 *Das empfängerseitige Trägersignal &nbsp;$z_{\rm E}(t) = 2 · z(t) = 2 · \sin(ω_{\rm T} · t)$&nbsp; führt im Spektralbereich zu zwei Diracfunktionen bei &nbsp;$\pm f_{\rm T}$&nbsp; mit den Gewichten &nbsp;$\pm \rm j$.&nbsp; Der negative Imaginärteil tritt bei &nbsp;$f = +f_{\rm T}$&nbsp; auf.
-*Der Multiplikation &nbsp;$b(t) = r(t) · z_{\rm E}(t)$&nbsp; entspricht die Faltung der zugehörigen Spektralfunktionen:
+*Der Multiplikation &nbsp;$b(t) = r(t) · z_{\rm E}(t)$&nbsp; entspricht die Faltung der zugehörigen Spektren.&nbsp; Das Ergebnis ist in der unteren Skizze dargestellt,&nbsp; wenn man den Einfluss des nachfolgenden Tiefpasses&nbsp; (Schraffierung)&nbsp; außer Betracht lässt:
 :$$B(f) = R(f) \star Z_{\rm E}(f)\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Faltung der Diracfunktion &nbsp;$ - {\rm j} \cdot δ(f – f_{\rm T})$&nbsp; mit dem rein imaginären Spektrum &nbsp;$R(f)$&nbsp; führt zu rein reellen Spektralanteilen um &nbsp;$f = 0$&nbsp; und &nbsp;$f = 2f_{\rm T}$.&nbsp; Diese Anteile sind in der Grafik mit einem „+” versehen.
+*Die Faltung der Diracfunktion &nbsp;$ - {\rm j} \cdot δ(f – f_{\rm T})$&nbsp; mit dem rein imaginären Spektrum &nbsp;$R(f)$&nbsp; führt zu rein reellen Spektralanteilen um &nbsp;$f = 0$&nbsp; und &nbsp;$f = 2f_{\rm T}$.&nbsp; Diese insgesamt vier Anteile sind in der Grafik mit einem „Plus” versehen.
-*Das zweite Faltungsprodukt &nbsp;${\rm j} · δ(f + f_{\rm T}) \star R(f)$&nbsp; liefert neben einem Anteil bei &nbsp;$–2f_{\rm T}$&nbsp; auch einen niederfrequenten Spektralanteil um &nbsp;$f = 0$.&nbsp; Diese Spektralanteile sind mit „–” markiert.
+*Das zweite Faltungsprodukt &nbsp;${\rm j} · δ(f + f_{\rm T}) \star R(f)$&nbsp; liefert neben einem Anteil bei &nbsp;$–2f_{\rm T}$&nbsp; auch einen niederfrequenten Spektralanteil um &nbsp;$f = 0$.&nbsp; Diese (ebenfalls vier) Spektralanteile sind mit „Minus” markiert.
-*Das Spektrum nach dem Tiefpass &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ist &nbsp;$V(f) = Q(f) + A_{\rm T} · δ(f)$.&nbsp; Bei ZSB–AM mit Träger kann durch eine untere Bandbegrenzung, also &nbsp;$H_{\rm E}(f = 0) = 0$, der störende Gleichanteil entfernt werden.
+*Das Spektrum nach dem Tiefpass &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ist &nbsp;$V(f) = Q(f) + A_{\rm T} · δ(f)$.&nbsp; Bei ZSB–AM mit Träger kann der störende Gleichanteil durch eine untere Bandbegrenzung entfernt werden:
 *Die farbliche Zuordnung in der Grafik&nbsp; (OSB blau, USB grün, Träger rot)&nbsp; lässt erkennen, dass der Synchrondemodulator sowohl das OSB als auch das USB zur Signalrekonstruktion nutzt.

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 :$$\rho_v = \xi \cdot \frac{1}{1 + {2}/{m^2}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_v  = 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\xi - 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \left({1 + {2}/{m^2}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
-*In der doppelt–logarithmischen Darstellung führt dies zu einer Parallelverschiebung der Kurven nach unten, zum Beispiel  bei &nbsp;$m = 1$&nbsp; um &nbsp;$4.77$ dB&nbsp; und bei &nbsp;$m = 0.5$&nbsp; um &nbsp;$9.54$ dB.
+*In der doppelt–logarithmischen Darstellung&nbsp; (siehe rechte Grafik)&nbsp; führt dies zu einer Parallelverschiebung der Kurven nach unten, zum Beispiel  bei &nbsp;$m = 1$&nbsp; um &nbsp;$4.77$ dB&nbsp; und bei &nbsp;$m = 0.5$&nbsp; um &nbsp;$9.54$ dB.
 *Alle Aussagen gelten unter der Voraussetzung eines idealen Synchrondemodulators.&nbsp; In diesem Fall macht das Verfahren „ZSB–AM mit Träger” eigentlich keinen Sinn.&nbsp; Der zugesetzte Träger führt hier nur zu einer unnötig großen Sendeleistung und kann zur Demodulation nicht genutzt werden.
 *Die Kurven gelten für perfekte Frequenz– und Phasensynchronisation.&nbsp; Um die Parameter &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; und &nbsp;$\mathbf{ϕ_{\rm T} }$&nbsp; mit weniger Aufwand aus dem Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; ermitteln zu können, macht allerdings ein kleiner Trägeranteil im Sendesignal durchaus Sinn.

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 Insbesondere werden folgende Annahmen getroffen:
 *Betrachtet wird eine Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Modulationsgrad &nbsp;$m$&nbsp; sowie ein idealer Synchrondemodulator ohne Phasen- und Frequenzversatz.
-*Entsprechend dem erweiterten AWGN–Kanalmodell gilt für das Empfangssignal, wobei &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp; ein frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor ist und das Störsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; weißes Rauschen mit der zweiseitigen Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0/2$&nbsp; modelliert:
+*Entsprechend dem erweiterten AWGN–Kanalmodell gilt für das Empfangssignal, wobei &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp; ein frequenzunabhängiger Übertragungsfaktor ist und das Störsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; weißes Rauschen mit der zweiseitigen Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0/2$&nbsp; modelliert:
 :$$r(t) = \alpha_{\rm K} \cdot s(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.$$
 *Stellvertretend für ein Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; der Bandbreite &nbsp;$B_{\rm NF}$&nbsp; wird hier von einem cosinusförmigen Nachrichtensignal der Frequenz &nbsp;$B_{\rm NF}$&nbsp; ausgegangen: