Modulationsverfahren/Synchrondemodulation - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:20Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Modulation_Methods/Synchronous_Demodulation]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:01Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 223:		Zeile 223:

	Das Leistungsdichtespektrum (LDS) nach dem Tiefpassfilter ist für  $\vert f\vert < B_{\rm NF}$  genau so groß und außerhalb Null:		Das Leistungsdichtespektrum (LDS) nach dem Tiefpassfilter ist für  $\vert f\vert < B_{\rm NF}$  genau so groß und außerhalb Null:
	:$${\it \Phi}_\varepsilon (f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad		:$${\it \Phi}_\varepsilon (f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r} }\\ \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}\vert f \vert < B_{\rm NF} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm otherwise} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
	\begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r} }\\ \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}
	\vert f \vert < B_{\rm NF} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm otherwise} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

	Durch Integration erhält man die Leistung  $P_ε = 2N_0 · B_{\rm NF}$.  Mit diesem Zwischenergebnis kann somit für das Sinken–SNR geschrieben werden:		Durch Integration erhält man die Leistung  $P_ε = 2N_0 · B_{\rm NF}$.  Mit diesem Zwischenergebnis kann somit für das Sinken–SNR geschrieben werden:
Zeile 254:		Zeile 252:
	:$$s(t) = \big[ q(t) + A_{\rm T}\big] \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t ) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t ) + {A_{\rm N} }/{2}\cdot \cos\big [(\omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t \big] + {A_{\rm N} }/{2}\cdot \cos\big[(\omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t \big]\hspace{0.05cm}.$$		:$$s(t) = \big[ q(t) + A_{\rm T}\big] \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t ) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t ) + {A_{\rm N} }/{2}\cdot \cos\big [(\omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t \big] + {A_{\rm N} }/{2}\cdot \cos\big[(\omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t \big]\hspace{0.05cm}.$$
	*Die Leistung des Quellensignals,  bezogen auf den Widerstand  $1 \ \rm Ω$,  beträgt mit der Periodendauer  $T_{\rm N}$:		*Die Leistung des Quellensignals,  bezogen auf den Widerstand  $1 \ \rm Ω$,  beträgt mit der Periodendauer  $T_{\rm N}$:
	:$$P_{q} = \frac{1}{T_{\rm N} }\cdot\int_{0}^{ T_{\rm N} }		:$$P_{q} = \frac{1}{T_{\rm N} }\cdot\int_{0}^{ T_{\rm N} }{q^2(t)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{A_{\rm N}^2}{T_{\rm N} }\cdot\int_{0}^{T_{\rm N} }{\cos^2(2 \pi\cdot{t}/{T_{\rm N} })}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{A_{\rm N}^2}{2}\hspace{0.05cm}.$$
	{q^2(t)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{A_{\rm N}^2}{T_{\rm N} }\cdot\int_{0}^{T_{\rm N} }
	{\cos^2(2 \pi\cdot{t}/{T_{\rm N} })}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{A_{\rm N}^2}{2}\hspace{0.05cm}.$$
	*Entsprechend erhält man für die Leistung des Sendesignals:		*Entsprechend erhält man für die Leistung des Sendesignals:
	:$$P_{\rm S} = \frac{A_{\rm T}^2}{2} + \frac{(A_{\rm N}/2)^2}{2} + \frac{(A_{\rm N}/2)^2}{2} =		:$$P_{\rm S} = \frac{A_{\rm T}^2}{2} + \frac{(A_{\rm N}/2)^2}{2} + \frac{(A_{\rm N}/2)^2}{2} =\frac{A_{\rm T}^2}{2} + \frac{A_{\rm N}^2}{4}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} = {1}/{2} \cdot \left( P_q + A_{\rm T}^2 \right)\hspace{0.05cm}.$$
	\frac{A_{\rm T}^2}{2} + \frac{A_{\rm N}^2}{4}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} = {1}/{2} \cdot \left( P_q + A_{\rm T}^2 \right)
	\hspace{0.05cm}.$$

	:Diese Gleichung gilt sowohl für  »ZSB–AM ohne Träger«  $(A_{\rm T} = 0)$  als auch für  »ZSB–AM mit Träger«.		:Diese Gleichung gilt sowohl für  »ZSB–AM ohne Träger«  $(A_{\rm T} = 0)$  als auch für  »ZSB–AM mit Träger«.
Zeile 277:		Zeile 270:

	Nachfolgend wird diese Gleichung ausführlich diskutiert.  Bereits im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_beim_AWGN.E2.80.93Kanal\|Untersuchungen beim AWGN-Kanal]]  wurde begründet,  warum es Sinn macht,  das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit der nachfolgend benannten Leistungskenngröße  $ξ$  anzugeben:		Nachfolgend wird diese Gleichung ausführlich diskutiert.  Bereits im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_beim_AWGN.E2.80.93Kanal\|Untersuchungen beim AWGN-Kanal]]  wurde begründet,  warum es Sinn macht,  das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit der nachfolgend benannten Leistungskenngröße  $ξ$  anzugeben:
	:$$\xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}		:$$\xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \rho_v = \frac{\xi}{1 + {2}/{m^2}} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \rho_v = \frac{\xi}{1 + {2}/{m^2}}
	\hspace{0.05cm}.$$

	Die beiden Grafiken zeigen die entsprechenden Kurven		Die beiden Grafiken zeigen die entsprechenden Kurven
Zeile 289:		Zeile 280:
	*Eine größere Sendeleistung  $P_{\rm S}$  führt ebenso wie ein größerer Übertragungsfaktor  $α_{\rm K}$  (⇒ geringere Dämpfung)  zu einem besseren Sinken–SNR.  $10 · \lg ρ_v$  wird aber auch durch eine kleinere Rauschleistungsdichte  $N_0$  und eine kleinere Bandbreite  $B_{\rm NF}$  bei sonst gleichen Bedingungen vergrößert.		*Eine größere Sendeleistung  $P_{\rm S}$  führt ebenso wie ein größerer Übertragungsfaktor  $α_{\rm K}$  (⇒ geringere Dämpfung)  zu einem besseren Sinken–SNR.  $10 · \lg ρ_v$  wird aber auch durch eine kleinere Rauschleistungsdichte  $N_0$  und eine kleinere Bandbreite  $B_{\rm NF}$  bei sonst gleichen Bedingungen vergrößert.
	*Bei einer  »ZSB–AM mit Träger«  gilt mit dem Modulationsgrad  $m$:		*Bei einer  »ZSB–AM mit Träger«  gilt mit dem Modulationsgrad  $m$:
	:$$\rho_v = \xi \cdot \frac{1}{1 + {2}/{m^2}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$\rho_v = \xi \cdot \frac{1}{1 + {2}/{m^2}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_v = 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\xi - 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \left({1 + {2}/{m^2}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_v = 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\xi - 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \left({1 + {2}/{m^2}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	*In der doppelt–logarithmischen Darstellung  (siehe rechte Grafik)  führt dies zu einer Parallelverschiebung der Kurven nach unten,  zum Beispiel bei  $m = 1$  um  $4.77$ dB  und bei  $m = 0.5$  um  $9.54$ dB.		*In der doppelt–logarithmischen Darstellung  (siehe rechte Grafik)  führt dies zu einer Parallelverschiebung der Kurven nach unten,  zum Beispiel bei  $m = 1$  um  $4.77$ dB  und bei  $m = 0.5$  um  $9.54$ dB.
	*Alle Aussagen gelten unter der Voraussetzung eines idealen Synchrondemodulators.  In diesem Fall macht das Verfahren  »ZSB–AM mit Träger«  eigentlich keinen Sinn.  Der zugesetzte Träger führt hier nur zu einer unnötig großen Sendeleistung und kann zur Demodulation nicht genutzt werden.		*Alle Aussagen gelten unter der Voraussetzung eines idealen Synchrondemodulators.  In diesem Fall macht das Verfahren  »ZSB–AM mit Träger«  eigentlich keinen Sinn.  Der zugesetzte Träger führt hier nur zu einer unnötig großen Sendeleistung und kann zur Demodulation nicht genutzt werden.

Guenter am 9. Dezember 2021 um 13:37 Uhr

2021-12-09T13:37:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2021, 15:37 Uhr
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	[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_Freiraumdämpfung\|Aufgabe 2.6: Freiraumdämpfung]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_Freiraumdämpfung\|Aufgabe 2.6: Freiraumdämpfung]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.6Z:~~_Signal-to-Noise-Ratio_(SNR)~~\|Aufgabe 2.6Z: ~~Signal-to-Noise-Ratio (SNR)~~]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6Z:_Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis\|Aufgabe 2.6Z: Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis]]


	{{Display}}		{{Display}}

Guenter am 4. Dezember 2021 um 16:55 Uhr

2021-12-04T16:55:16Z

Änderungen zeigen

Guenter am 4. Dezember 2021 um 14:23 Uhr

2021-12-04T14:23:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2021, 16:23 Uhr
Zeile 108:		Zeile 108:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$  Bei ZSB–AM  (mit oder ohne Träger)  führt die  '''Synchrondemodulation mit Phasenversatz'''   $Δ\mathbf{ϕ_{\rm T} }$  nicht zu Verzerrungen, sondern lediglich zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung um den  ''zeitunabhängigen Faktor''  $\cos(Δ\mathbf{ϕ_{\rm T} })$.		$\text{Fazit:}$

	Der Grund für diese weniger gravierende Signalveränderung als im Falle eines Frequenzversatzes ist, dass hier die Zeit  $t$  im Argument der Cosinusfunktion fehlt. }}		*Bei ZSB–AM  (mit oder ohne Träger)  führt die  '''Synchrondemodulation mit Phasenversatz'''   $Δ\mathbf{ϕ_{\rm T} }$  nicht zu Verzerrungen,
			:sondern lediglich zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung um den zeitunabhängigen Faktor  $\cos(Δ\mathbf{ϕ_{\rm T} })$.
			*Der Grund für diese weniger gravierende Signalveränderung als im Falle eines Frequenzversatzes ist,  dass hier die Zeit  $t$  im Argument der Cosinusfunktion fehlt. }}



	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
			[[Datei: P_ID1003__Mod_T_2_2_S5_neu.png \|right\|frame\| Beeinträchtigung der Synchrondemodulation durch Phasenversatz]]
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Die Grafik zeigt oben die Signale  $q(t)$  und  $s(t)$  am Sender und unten die empfängerseitigen Signale  $b(t)$  und  $v(t)$.		Die Grafik zeigt

			*oben die Signale  $q(t)$  und  $s(t)$  am Sender und
			*unten die empfängerseitigen Signale  $b(t)$  und  $v(t)$.

	~~[[Datei: P_ID1003__Mod_T_2_2_S5_neu.png \|right\|frame\| Beeinträchtigung der Synchrondemodulation durch Phasenversatz]]~~

	*Aufgrund des Phasenversatzes um  $Δ \mathbf{ϕ_{\rm T} } = π/3\ (60^\circ)$  ist das Sinkensignal  $v(t)$  nur halb so groß wie das Quellensignal  $q(t)$.		Aufgrund des Phasenversatzes um  $Δ \mathbf{ϕ_{\rm T} } = π/3\ (60^\circ)$  ist das Sinkensignal  $v(t)$  nur halb so groß wie das Quellensignal  $q(t)$.


	*Die Signalform von  $q(t)$  bleibt jedoch in  $v(t)$  erhalten. }}		Die Signalform von  $q(t)$  bleibt jedoch im Ausgangssignal  $v(t)$  erhalten. }}
	<br clear=all>		<br clear=all>
	==Einfluss linearer Kanalverzerrungen==		==Einfluss linearer Kanalverzerrungen==
	<br>		<br>
	Im Abschnitt  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen#D.C3.A4mpfungsverzerrungen\|Dämpfungsverzerrungen]]  des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme” wurde bereits angedeutet, dass das gesamte Übertragungssystem – bestehend aus  ~~'''~~M~~'''~~odulator,  ~~'''~~K~~'''~~anal und  ~~'''~~D~~'''~~emodulator – durch den resultierenden Frequenzgang  $H_{\rm MKD}(f)$  vollständig beschrieben werden kann, ~~wenn~~		Im Abschnitt  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen#D.C3.A4mpfungsverzerrungen\|Dämpfungsverzerrungen]]  des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme” wurde bereits angedeutet, dass das gesamte Übertragungssystem – bestehend aus  $\rm M$odulator,  $\rm K$anal und  $\rm D$emodulator – durch den resultierenden Frequenzgang  $H_{\rm MKD}(f)$  vollständig beschrieben werden kann,
	[[Datei:Mod_T_2_2_S6_version2.png\|right\|frame\| Amplitudenmodulation und Synchrondemodulation]]		[[Datei:Mod_T_2_2_S6_version2.png\|right\|frame\| Amplitudenmodulation und Synchrondemodulation]]
	* entweder das System verzerrungsfrei ist, oder		* wenn entweder das System verzerrungsfrei ist, oder
	*lediglich lineare Verzerrungen hinsichtlich der Signale  $q(t)$  und  $v(t)$  entstehen.		*oder lediglich lineare Verzerrungen hinsichtlich der Signale  $q(t)$  und  $v(t)$  entstehen.


	Dagegen werden  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen\|nichtlineare Verzerrungen]]  durch dieses Ersatzschaltbild nicht erfasst, da aufgrund des multiplikativen Zusammenhangs  $V(f) = Q(f)\cdot H_{\rm MKD}(f)$  das Entstehen neuer Frequenzen nicht möglich ist.  Ist  $Q(f_0) = 0$, so wird stets auch  $V(f_0) = 0$  gelten.		Dagegen werden  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen\|nichtlineare Verzerrungen]]  durch dieses Ersatzschaltbild nicht erfasst,
			#da aufgrund des multiplikativen Zusammenhangs  $V(f) = Q(f)\cdot H_{\rm MKD}(f)$  das Entstehen neuer Frequenzen nicht möglich ist
			#Ist  $Q(f_0) = 0$, so wird stets auch  $V(f_0) = 0$  gelten.


	Obige Voraussetzungen sind bei folgender Systemvariante erfüllt:		Obige Voraussetzungen sind bei folgender Systemvariante erfüllt:
	*Der Modulator erzeugt eine ZSB–AM (mit oder ohne Träger) um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.		*Der Modulator erzeugt eine  »ZSB–AM«  (mit oder ohne Träger) um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.
	*Der Kanal ist durch den Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  mit Bandpass–Charakter beschreibbar und dessen Bandbreite ausreichend.		*Der  »Kanal«  ist durch den Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  mit Bandpass–Charakter beschreibbar und dessen Bandbreite ausreichend.
	*Der Synchrondemodulator ist frequenz– und phasensynchron und das Filter  $H_{\rm E}(f)$  ideal (rechteckförmig).		*Der  »Synchrondemodulator«  ist frequenz– und phasensynchron und das Filter  $H_{\rm E}(f)$  ist ideal (rechteckförmig).


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  ~~Damit~~ lautet der  '''resultierende Frequenzgang'''  von Modulator–Kanal–Demodulator:		$\text{Definition:}$  Bei diesen günstigen Voraussetzungen lautet der  '''resultierende Frequenzgang'''  von Modulator–Kanal–Demodulator:
	:$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big[ H_{\rm K}(f + f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f - f_{\rm T})\big] \hspace{0.05cm}.$$}}		:$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big[ H_{\rm K}(f + f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f - f_{\rm T})\big] \hspace{0.05cm}.$$}}


	*Ist  $\vert H_{\rm MKD}(f) \vert $  im Bereich der Signalbandbreite nicht konstant, so werden die verschiedenen Spektralanteile des Quellensignals  $q(t)$  auch unterschiedlich übertragen   ⇒   ''Dämpfungsverzerrungen''.		*Ist  $\vert H_{\rm MKD}(f) \vert $  im Bereich der Signalbandbreite nicht konstant,  so werden die verschiedenen Spektralanteile des Quellensignals  $q(t)$  auch unterschiedlich übertragen   ⇒   "Dämpfungsverzerrungen".
	*Ebenso kann es zu  ''Phasenverzerrungen''  kommen, wenn die Phasenfunktion  $\text{arc} \ H_{\rm MKD}(f) $  nichtlinear in  $f$  ist.		*Ebenso kann es zu  "Phasenverzerrungen"  kommen,  wenn die Phasenfunktion  $\text{arc} \ H_{\rm MKD}(f) $  nichtlinear in  $f$  ist.


Zeile 156:		Zeile 163:
	[[Datei: P_ID1005__Mod_T_2_2_S6b_neu.png\|right\|frame\| Einfluss linearer Kanalverzerrungen]]		[[Datei: P_ID1005__Mod_T_2_2_S6b_neu.png\|right\|frame\| Einfluss linearer Kanalverzerrungen]]

	*Aus dem unsymmetrischen Bandpass  $H_{\rm K}(f)$  –  bezogen auf die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  – wird die im NF–Bereich  $($um $f = 0)$  symmetrische Funktion  $H_{\rm MKD}(f)$.		*Aus dem unsymmetrischen Bandpass  $H_{\rm K}(f)$  –  bezogen auf die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  –  wird die im NF–Bereich  $($um $f = 0)$  symmetrische Funktion  $H_{\rm MKD}(f)$.


Zeile 162:		Zeile 169:


	*Dass  $H_{\rm MKD}(f)$  auch Anteile um  $±2f_{\rm T}$  beinhaltet, ist nicht weiter störend.  Diese beeinträchtigen die Tiefpass-Betrachtung nicht.}}		*Dass  $H_{\rm MKD}(f)$  auch Anteile um  $±2f_{\rm T}$  beinhaltet,  ist nicht weiter störend.  Diese beeinträchtigen die Tiefpass-Betrachtung nicht.}}

Guenter am 3. Dezember 2021 um 16:46 Uhr

2021-12-03T16:46:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Dezember 2021, 18:46 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	==Einfluss eines Frequenzversatzes==		==Einfluss eines Frequenzversatzes==
	<br>		<br>
	Wie der Name  „Synchrondemodulator”  bereits zum Ausdruck bringt, funktioniert dieser nur bei völliger Synchronität zwischen den Trägersignalen von Sender und Empfänger.  Unterscheiden sich dagegen die Trägerfrequenzen um einen  '''Frequenzversatz'''  $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$, zum Beispiel		Wie der Name  „Synchrondemodulator”  bereits zum Ausdruck bringt,  funktioniert dieser nur bei völliger Synchronität zwischen den Trägersignalen von Sender und Empfänger.

			Unterscheiden sich dagegen die Trägerfrequenzen um einen  '''Frequenzversatz'''  $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$, zum Beispiel
	:$$\begin{align}z(t) & = 1 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}, \\ z_{\rm E}(t) & = 2 \cdot \cos(2 \pi (f_{\rm T} + \Delta\hspace{-0.05cm} f_{\rm T}) \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm},\end{align}$$		:$$\begin{align}z(t) & = 1 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}, \\ z_{\rm E}(t) & = 2 \cdot \cos(2 \pi (f_{\rm T} + \Delta\hspace{-0.05cm} f_{\rm T}) \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm},\end{align}$$
	so erhält man für das Spektrum des Sinkensignals:		so erhält man für das Spektrum des Sinkensignals:
Zeile 73:		Zeile 75:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$  Bei ZSB–AM  (mit oder ohne Träger)  führt die  '''Synchrondemodulation mit Frequenzversatz'''  $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$ zu  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen#D.C3.A4mpfungsverzerrungen\|Dämpfungsverzerrungen]], gekennzeichnet durch den  ''zeitabhängigen Faktor''  $\cos(2 \pi \cdot \Delta \hspace{-0.05cm}f_{\rm T} \cdot t )$.		$\text{Fazit:}$
			*Bei ZSB–AM  (mit oder ohne Träger)  führt die  '''Synchrondemodulation mit Frequenzversatz'''  $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$ zu  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen#D.C3.A4mpfungsverzerrungen\|Dämpfungsverzerrungen]],  gekennzeichnet durch den  zeitabhängigen Faktor  $\cos(2 \pi \cdot \Delta \hspace{-0.05cm}f_{\rm T} \cdot t )$.

	Der Frequenzversatz  $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$, der auf Realisierungsungenauigkeiten der Trägerrückgewinnung zurückgeht, ist meist sehr klein und bewegt sich im Bereich von einigen Hertz bis etwa  $100\text{ Hz}$.  In diesem Zusammenhang spricht man dann von einer  &bdquo;Schwebung”. }}		*Der Frequenzversatz  $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$, der auf  '''Realisierungsungenauigkeiten der Trägerrückgewinnung'''  zurückgeht,  ist meist sehr klein und bewegt sich im Bereich von einigen Hertz bis etwa  $100\text{ Hz}$.  In diesem Zusammenhang spricht man dann von einer  &bdquo;Schwebung”. }}

Guenter am 3. Dezember 2021 um 16:14 Uhr

2021-12-03T16:14:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Dezember 2021, 18:14 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:
	==Voraussetzungen für die Anwendung des Synchrondemodulators==		==Voraussetzungen für die Anwendung des Synchrondemodulators==
	<br>		<br>
	Das Ausgangssignal  $v(t)$  ist identisch mit dem Quellensignal  $q(t)$, wenn folgende Kriterien erfüllt sind:		Das Ausgangssignal  $v(t)$  ist identisch mit dem Quellensignal  $q(t)$,  wenn folgende Kriterien erfüllt sind:
	*Die Bandbreite  $B_{\rm NF}$  des Quellensignals ist kleiner als die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.  Diese Einschränkung ist nicht sonderlich gravierend und für die Praxis nicht relevant.		*Die Bandbreite  $B_{\rm NF}$  des Quellensignals ist kleiner als die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.  Diese Einschränkung ist nicht sonderlich gravierend und für die Praxis nicht relevant.

Zeile 52:		Zeile 52:
	*Zwischen den sende– und empfängerseitig zugesetzten Trägersignalen  $z(t)$  und  $z_{\rm E}(t)$  besteht zudem eine vollkommene Phasensynchronität.		*Zwischen den sende– und empfängerseitig zugesetzten Trägersignalen  $z(t)$  und  $z_{\rm E}(t)$  besteht zudem eine vollkommene Phasensynchronität.

	*Der Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  ist im Durchlassbereich  $f_{\rm T} - B_{\rm NF} ≤ \|f\| ≤ f_{\rm T} + B_{\rm NF}$  ideal gleich  $1$.  Eine frequenzunabhängige Dämpfung oder frequenzlineare Phase (Laufzeit) werden meist toleriert.		*Der Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  ist im Durchlassbereich  $f_{\rm T} - B_{\rm NF} ≤ \|f\| ≤ f_{\rm T} + B_{\rm NF}$  ideal gleich  $1$.  Eine frequenzunabhängige Dämpfung oder frequenzlineare Phase  (Laufzeit)  werden meist toleriert.

	*Der Einfluss des Rauschens und externer Störungen wird bei dieser Beschreibung als vernachlässigbar klein angenommen.  Aber auch bei nicht vernachlässigbarem Rauschen ist der Synchrondemodulator anderen Demodulatoren überlegen.		*Der Einfluss des Rauschens und externer Störungen wird bei dieser Beschreibung als vernachlässigbar klein angenommen.  Aber auch bei nicht vernachlässigbarem Rauschen ist der Synchrondemodulator anderen Demodulatoren überlegen.

	*Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  ist für  $\|f\| ≤ B_{\rm NF}$  gleich &bdquo;Eins” und für $\|f\| ≥ 2f_{\rm T} - B_{\rm NF}$ identisch &bdquo;Null”.  Der Verlauf dazwischen ist nicht relevant (siehe Grafik im  [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich\|vorherigen Abschnitt]]).		*Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  ist für  $\|f\| ≤ B_{\rm NF}$  gleich &bdquo;Eins” und für $\|f\| ≥ 2f_{\rm T} - B_{\rm NF}$ identisch &bdquo;Null”.  Der Verlauf dazwischen ist nicht relevant  (siehe Grafik im  [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich\|vorherigen Abschnitt]]).

	*Beim Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” muss zusätzlich mit  $H_{\rm E}(f = 0) ≡ 0$  sicher gestellt werden, dass der beim Sender zugesetzte Träger im Sinkensignal nicht mehr enthalten ist.		*Beim Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” muss zusätzlich mit  $H_{\rm E}(f = 0) ≡ 0$  sicher gestellt werden,  dass der beim Sender zugesetzte Träger im Sinkensignal nicht mehr enthalten ist.

			*In den folgenden vier Abschnitten werden die Auswirkungen beschrieben,  wenn einige der genannten Voraussetzungen nicht erfüllt sind.
	In den folgenden Abschnitten werden die Auswirkungen beschrieben, wenn einige der genannten Voraussetzungen nicht erfüllt sind.

	==Einfluss eines Frequenzversatzes==		==Einfluss eines Frequenzversatzes==

Guenter am 3. Dezember 2021 um 15:48 Uhr

2021-12-03T15:48:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Dezember 2021, 17:48 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	:$$H_{\rm E}(f = 0) = 0.$$		:$$H_{\rm E}(f = 0) = 0.$$

	*Die farbliche Zuordnung in der Grafik  (OSB blau, USB grün, Träger rot)  lässt erkennen, dass der Synchrondemodulator ~~sowohl~~ das OSB als auch das USB zur Signalrekonstruktion nutzt.		*Die farbliche Zuordnung in der Grafik  (OSB blau, USB grün, Träger rot)  lässt erkennen, dass der Synchrondemodulator das  $\rm OSB$  als auch das  $\rm USB$  zur Signalrekonstruktion nutzt.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	==Voraussetzungen für die Anwendung des Synchrondemodulators==		==Voraussetzungen für die Anwendung des Synchrondemodulators==

Guenter am 3. Dezember 2021 um 15:44 Uhr

2021-12-03T15:44:32Z

Guenter am 9. März 2020 um 14:56 Uhr

2020-03-09T14:56:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. März 2020, 16:56 Uhr
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	:$$\rho_v = \xi \cdot \frac{1}{1 + {2}/{m^2}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$\rho_v = \xi \cdot \frac{1}{1 + {2}/{m^2}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_v = 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\xi - 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \left({1 + {2}/{m^2}}\right)\hspace{0.05cm}.$$		10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_v = 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\xi - 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \left({1 + {2}/{m^2}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	*In der doppelt–logarithmischen Darstellung führt dies zu einer Parallelverschiebung der Kurven nach unten, zum Beispiel bei  $m = 1$  um  $4.77$ dB  und bei  $m = 0.5$  um  $9.54$ dB.		*In der doppelt–logarithmischen Darstellung  (siehe rechte Grafik)  führt dies zu einer Parallelverschiebung der Kurven nach unten, zum Beispiel bei  $m = 1$  um  $4.77$ dB  und bei  $m = 0.5$  um  $9.54$ dB.
	*Alle Aussagen gelten unter der Voraussetzung eines idealen Synchrondemodulators.  In diesem Fall macht das Verfahren „ZSB–AM mit Träger” eigentlich keinen Sinn.  Der zugesetzte Träger führt hier nur zu einer unnötig großen Sendeleistung und kann zur Demodulation nicht genutzt werden.		*Alle Aussagen gelten unter der Voraussetzung eines idealen Synchrondemodulators.  In diesem Fall macht das Verfahren „ZSB–AM mit Träger” eigentlich keinen Sinn.  Der zugesetzte Träger führt hier nur zu einer unnötig großen Sendeleistung und kann zur Demodulation nicht genutzt werden.
	*Die Kurven gelten für perfekte Frequenz– und Phasensynchronisation.  Um die Parameter  $f_{\rm T}$  und  $\mathbf{ϕ_{\rm T} }$  mit weniger Aufwand aus dem Empfangssignal  $r(t)$  ermitteln zu können, macht allerdings ein kleiner Trägeranteil im Sendesignal durchaus Sinn.		*Die Kurven gelten für perfekte Frequenz– und Phasensynchronisation.  Um die Parameter  $f_{\rm T}$  und  $\mathbf{ϕ_{\rm T} }$  mit weniger Aufwand aus dem Empfangssignal  $r(t)$  ermitteln zu können, macht allerdings ein kleiner Trägeranteil im Sendesignal durchaus Sinn.

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	==Blockschaltbild und Zeitbereichsdarstellung==		==Blockschaltbild und Zeitbereichsdarstellung==
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	Modulation am Sender macht nur Sinn, wenn es möglich ist, diese Signalumsetzung am Empfänger wieder rückgängig zu machen und zwar möglichst ohne Informationsverlust.  Bei jeder Form von Amplitudenmodulation – sei es Zweiseitenband (ZSB) oder Einseitenband (ESB) / mit oder ohne Träger – erfüllt der so genannte Synchrondemodulator diese Aufgabe.		Eine Modulation am Sender macht nur Sinn,  wenn es möglich ist,  diese Signalumsetzung am Empfänger wieder rückgängig zu machen und zwar möglichst ohne Informationsverlust.  Bei jeder Form von Amplitudenmodulation – sei es Zweiseitenband (ZSB) oder Einseitenband (ESB) / mit oder ohne Träger – erfüllt der so genannte  '''Synchrondemodulator'''  diese Aufgabe.

	[[Datei:P_ID996__Mod_T_2_2_S1_neu.png \|~~center~~\|frame\| ZSB–Amplitudenmodulation und Synchrondemodulation]]		[[Datei:P_ID996__Mod_T_2_2_S1_neu.png \|right\|frame\| ZSB–Amplitudenmodulation und Synchrondemodulation]]

	Zu ~~obigem~~ Blockschaltbild ist Folgendes anzumerken:		Zu diesem Blockschaltbild ist Folgendes anzumerken:
	*~~Zur Modulation wird~~ hier &bdquo;ZSB–AM ohne Träger”  $($Modulationsgrad  $m → ∞)$~~  betrachtet~~.  Synchrondemodulation ist aber auch bei &bdquo;ZSB–AM mit Träger” anwendbar.		*Wir betrachten hier &bdquo;ZSB–AM ohne Träger”  $($Modulationsgrad  $m → ∞)$.  Die Synchrondemodulation ist aber auch bei &bdquo;ZSB–AM mit Träger” anwendbar.
	*Der Kanal sei ideal und die Störungen vernachlässigbar, so dass das Empfangssignal  $r(t)$  identisch mit dem Sendesignal  $s(t)$  ist:		*Der Kanal sei ideal und die Störungen vernachlässigbar,  so dass das Empfangssignal  $r(t)$  identisch mit dem Sendesignal  $s(t)$  ist:
	:$$r(t) = s(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$		:$$r(t) = s(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
	*Im Empfänger wird  $r(t)$  ~~zunächst~~ mit dem empfängerseitigen Träger  $z_{\rm E}(t)$  multipliziert, das bis auf den Faktor  $2$  identisch mit dem sendeseitigen Träger  $z(t)$  ist:		*Im Empfänger wird  $r(t)$  mit dem empfängerseitigen Träger  $z_{\rm E}(t)$  multipliziert, das bis auf den Faktor  $2$  identisch mit dem sendeseitigen Träger  $z(t)$  ist:
	:$$z_{\rm E}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$		:$$z_{\rm E}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
	*Das Ergebnis der Multiplikation ist das Signal  $b(t)$.  Unter Berücksichtigung der trigonometrischen Umformung  $\cos^2(α) = 1/2 · \big [1 + \cos(2α)\big ]$  erhält man		*Das Ergebnis der Multiplikation ist das Signal  $b(t)$.  Unter Berücksichtigung der trigonometrischen Umformung  $\cos^2(α) = 1/2 · \big [1 + \cos(2α)\big ]$  erhält man
	:$$b(t) = r(t) \cdot z_{\rm E}(t) = 2 \cdot q(t) \cdot \cos^2(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T}) = q(t) + q(t) \cdot \cos(2 \cdot \omega_{\rm T} \cdot t + 2\cdot \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$		:$$b(t) = r(t) \cdot z_{\rm E}(t) = 2 \cdot q(t) \cdot \cos^2(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T}) = q(t) + q(t) \cdot \cos(2 \cdot \omega_{\rm T} \cdot t + 2\cdot \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
	*Der zweite Term liegt im Bereich um die doppelte Trägerfrequenz.  Gilt für die Signalbandbreite  $B_{\rm NF} < f_{\rm T}$, was in der Praxis stets zutrifft, so kann dieser Anteil durch einen geeignet dimensionierten Tiefpass  $H_{\rm E}(f)$  unterdrückt werden, und man erhält  $v(t) = q(t)$.		*Der zweite Term liegt im Bereich um die doppelte Trägerfrequenz.  Gilt für die Signalbandbreite  $B_{\rm NF} < f_{\rm T}$,  was in der Praxis stets zutrifft,  so kann dieser Anteil durch einen geeignet dimensionierten Tiefpass  $H_{\rm E}(f)$  unterdrückt werden,  und man erhält
			:$$v(t) = q(t).$$

	==Beschreibung im Frequenzbereich==		==Beschreibung im Frequenzbereich==
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	Ausgehend von einem geraden Quellensignal  $q(t)$   ⇒   reelles Spektrum  $Q(f)$  und einem Sinus–Träger  $z(t)$  ergibt sich das imaginäre Sendespektrum  $S(f)$  gemäß der zweiten Skizze, wobei mit  $A_{\rm T} ≠ 0$  auch die ZSB–AM mit Träger  (rote Diracfunktion)  berücksichtigt ist.  Aufgrund des idealen Kanals gilt  $R(f) = S(f)$.		Ausgehend von einem geraden Quellensignal  $q(t)$   ⇒   reelles Spektrum  $Q(f)$  und einem Sinus–Träger  $z(t)$  ergibt sich das imaginäre Sendespektrum  $S(f)$  gemäß der zweiten Skizze,  wobei mit  $A_{\rm T} ≠ 0$  auch die ZSB–AM mit Träger  (rote Diracfunktion)  berücksichtigt ist.  Aufgrund des idealen Kanals gilt  $R(f) = S(f)$.

	[[Datei: P_ID998__Mod_T_2_2_S2_neu.png \|right\|frame\| Darstellung der Synchrondemodulation im Frequenzbereich]]		[[Datei: P_ID998__Mod_T_2_2_S2_neu.png \|right\|frame\| Darstellung der Synchrondemodulation im Frequenzbereich; <br>$B(f)$  gemäß der unteren Skizze,  aber mit schraffierten Anteilen]]

	Die Wirkungsweise des Synchrondemodulators lässt sich im Frequenzbereich wie folgt erklären:		Die Wirkungsweise des Synchrondemodulators lässt sich im Frequenzbereich wie folgt erklären:
	*Das empfängerseitige Trägersignal  $z_{\rm E}(t) = 2 · z(t) = 2 · \sin(ω_{\rm T} · t)$  führt im Spektralbereich zu zwei Diracfunktionen bei  $\pm f_{\rm T}$  mit den Gewichten  $\pm \rm j$.  Der negative Imaginärteil tritt bei  $f = +f_{\rm T}$  auf.		*Das empfängerseitige Trägersignal  $z_{\rm E}(t) = 2 · z(t) = 2 · \sin(ω_{\rm T} · t)$  führt im Spektralbereich zu zwei Diracfunktionen bei  $\pm f_{\rm T}$  mit den Gewichten  $\pm \rm j$.  Der negative Imaginärteil tritt bei  $f = +f_{\rm T}$  auf.

	*Der Multiplikation  $b(t) = r(t) · z_{\rm E}(t)$  entspricht die Faltung der zugehörigen ~~Spektralfunktionen~~:		*Der Multiplikation  $b(t) = r(t) · z_{\rm E}(t)$  entspricht die Faltung der zugehörigen Spektren.  Das Ergebnis ist in der unteren Skizze dargestellt,  wenn man den Einfluss des nachfolgenden Tiefpasses  (Schraffierung)  außer Betracht lässt:
	:$$B(f) = R(f) \star Z_{\rm E}(f)\hspace{0.05cm}.$$		:$$B(f) = R(f) \star Z_{\rm E}(f)\hspace{0.05cm}.$$

	*Die Faltung der Diracfunktion  $ - {\rm j} \cdot δ(f – f_{\rm T})$  mit dem rein imaginären Spektrum  $R(f)$  führt zu rein reellen Spektralanteilen um  $f = 0$  und  $f = 2f_{\rm T}$.  Diese Anteile sind in der Grafik mit einem ~~„+”~~ versehen.		*Die Faltung der Diracfunktion  $ - {\rm j} \cdot δ(f – f_{\rm T})$  mit dem rein imaginären Spektrum  $R(f)$  führt zu rein reellen Spektralanteilen um  $f = 0$  und  $f = 2f_{\rm T}$.  Diese insgesamt vier Anteile sind in der Grafik mit einem „Plus” versehen.

	*Das zweite Faltungsprodukt  ${\rm j} · δ(f + f_{\rm T}) \star R(f)$  liefert neben einem Anteil bei  $–2f_{\rm T}$  auch einen niederfrequenten Spektralanteil um  $f = 0$.  Diese Spektralanteile sind mit ~~„–”~~ markiert.		*Das zweite Faltungsprodukt  ${\rm j} · δ(f + f_{\rm T}) \star R(f)$  liefert neben einem Anteil bei  $–2f_{\rm T}$  auch einen niederfrequenten Spektralanteil um  $f = 0$.  Diese (ebenfalls vier) Spektralanteile sind mit „Minus” markiert.

	*Das Spektrum nach dem Tiefpass  $H_{\rm E}(f)$  ist  $V(f) = Q(f) + A_{\rm T} · δ(f)$.  Bei ZSB–AM mit Träger kann durch eine untere Bandbegrenzung~~, also  ~~$H_{\rm E}(f = 0) = 0$~~, der störende Gleichanteil entfernt werden.~~		*Das Spektrum nach dem Tiefpass  $H_{\rm E}(f)$  ist  $V(f) = Q(f) + A_{\rm T} · δ(f)$.  Bei ZSB–AM mit Träger kann der störende Gleichanteil durch eine untere Bandbegrenzung entfernt werden:
			:$$H_{\rm E}(f = 0) = 0.$$

	*Die farbliche Zuordnung in der Grafik  (OSB blau, USB grün, Träger rot)  lässt erkennen, dass der Synchrondemodulator sowohl das OSB als auch das USB zur Signalrekonstruktion nutzt.		*Die farbliche Zuordnung in der Grafik  (OSB blau, USB grün, Träger rot)  lässt erkennen, dass der Synchrondemodulator sowohl das OSB als auch das USB zur Signalrekonstruktion nutzt.