Modulationsverfahren/Spreizfolgen für CDMA - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA]]

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	des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Lehrsoftwarepaket  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und		*dem Lehrsoftwarepaket  [/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
	*der  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 9: Seite 207-228.		*der  [/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 9: Seite 207-228.


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	des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Lehrsoftwarepaket  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]    ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und		*dem Lehrsoftwarepaket  [/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]    ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
	*der  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version;   Kapitel 2: Seite 23-32.		*der  [/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version;   Kapitel 2: Seite 23-32.

Guenter am 13. Dezember 2021 um 11:12 Uhr

2021-12-13T11:12:54Z

Guenter am 12. Dezember 2021 um 16:40 Uhr

2021-12-12T16:40:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2021, 18:40 Uhr
Zeile 154:		Zeile 154:
	==Codefamilien mit M–Sequenzen==		==Codefamilien mit M–Sequenzen==
	<br>		<br>
	Bei CDMA wird für jeden Teilnehmer eine spezifische Spreizfolge gleicher Periodenlänge benötigt. Als '''Codefamilie''' bezeichnet man eine (möglichst große) Menge an Spreizsequenzen gleicher Periodenlänge  $P$, gültig jeweils für einen Registergrad  $G$.		Bei CDMA wird für jeden Teilnehmer eine spezifische Spreizfolge gleicher Periodenlänge benötigt.  Als  '''Codefamilie'''  bezeichnet man eine  (möglichst große)  Menge an Spreizsequenzen gleicher Periodenlänge  $P$,  gültig jeweils für einen Registergrad  $G$.

	Die Tabelle zeigt, dass die Anzahl von PN–Sequenzen maximaler Länge sehr gering ist. Für den Grad  $G = 5$   ⇒   $P = 31$  gibt es zum Beispiel gerade einmal sechs M–Sequenzen, nämlich die PN–Generatoren mit den Oktalkennungen  $(45), (51), (57), (67), (73)$  und  $(75)$.		Die Tabelle zeigt,  dass die Anzahl von PN–Sequenzen maximaler Länge sehr gering ist.  Für den Grad  $G = 5$   ⇒   $P = 31$  gibt es zum Beispiel gerade einmal sechs M–Sequenzen,  nämlich die PN–Generatoren mit den Oktalkennungen  $(45),\ (51),\ (57),\ (67),\ (73)$  und  $(75)$.

	[[Datei:P_ID1880__Mod_T_5_3_S5_neu.png \|~~center~~\|frame\| Mächtigkeit von M–Sequenz–Codefamilien]]		Des Weiteren ist in der Literatur auch der Begriff  '''Mächtigkeit'''  der Codefamilie zu finden.
			[[Datei:P_ID1880__Mod_T_5_3_S5_neu.png \|right\|frame\| Mächtigkeit von M–Sequenz–Codefamilien]]

	~~Des Weiteren ist in der Literatur auch der Begriff '''Mächtigkeit''' der Codefamilie zu finden.~~		*Diese Größe gibt an,  wie viele M–Sequenzen und damit gleichzeitige CDMA–Teilnehmer möglich sind,  wenn man fordert,  dass alle Codepaare „günstige PKKF–Eigenschaften” aufweisen.
	*Diese Größe gibt an, wie viele M–Sequenzen und damit gleichzeitige CDMA–Teilnehmer möglich sind, wenn man fordert, dass alle Codepaare „günstige PKKF–Eigenschaften” aufweisen.		*Aus Platzgründen kann hier nicht explizit ausgeführt werden, was man unter „günstig” genau zu verstehen hat.  Hierzu sei auf die Originalliteratur verwiesen,  zum Beispiel [ZP85]<ref>Ziemer, R.; Peterson, R. L.:  Digital Communication and Spread Spectrum Systems.  New York: McMillon, 1985.</ref>.
	*Aus Platzgründen kann hier nicht explizit ausgeführt werden, was man unter „günstig” genau zu verstehen hat. Hierzu sei auf die Originalliteratur verwiesen, zum Beispiel [ZP85]<ref>Ziemer, R.; Peterson, R. L.: ''Digital Communication and Spread Spectrum Systems.'' New York: McMillon, 1985.</ref>.


	Die letzte Zeile in obiger Tabelle macht deutlich, dass die Mächtigkeit von M–Sequenz–Codefamilien äußerst beschränkt ist, auch bei großem  $G$  und damit großer Periodenlänge  $P$. Ist  $G$  ein Vielfaches von $4$   ⇒   $P = 15$, $P = 255$, $P = 4095$ usw., so gibt es grundsätzlich keine günstigen Paare.		Die letzte Zeile in obiger Tabelle macht deutlich,  dass die Mächtigkeit von M–Sequenz–Codefamilien äußerst beschränkt ist,  auch bei großem  $G$  und damit großer Periodenlänge  $P$.

			Ist  $G$  ein Vielfaches von $4$   ⇒   $P = 15$, $P = 255$, $P = 4095$ usw.,  so gibt es grundsätzlich keine günstigen Paare.

	==Gold–Codes==		==Gold–Codes==

Guenter am 12. Dezember 2021 um 16:32 Uhr

2021-12-12T16:32:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2021, 18:32 Uhr
Zeile 115:		Zeile 115:


	In ~~obiger~~ Tabelle sind für einige Werte von  $G$  das Generatorpolynom  $G(D)$  einer solchen M–Sequenz und die zugehörige (maximale) Periodenlänge  $P$  angegeben,  wobei das „M” für „Maximal” steht.  Nachfolgend werden die hier gemachten Aussagen am Beispiel  $G = 4$  verdeutlicht.		In der Tabelle sind für einige Werte von  $G$  das Generatorpolynom  $G(D)$  einer solchen M–Sequenz und die zugehörige (maximale) Periodenlänge  $P$  angegeben,  wobei das „M” für „Maximal” steht.  Nachfolgend werden die hier gemachten Aussagen am Beispiel  $G = 4$  verdeutlicht.


Zeile 125:		Zeile 125:

	*Die linke Konfiguration wird mit  $\rm (11001)_{binär} = (31)_{oktal}$  bezeichnet, das dazugehörige Generatorpolynom lautet:		*Die linke Konfiguration wird mit  $\rm (11001)_{binär} = (31)_{oktal}$  bezeichnet, das dazugehörige Generatorpolynom lautet:
	:$$G(D) = D^4 + D^3 +1\hspace{0.05cm}.$$		:$$G_1(D) = D^4 + D^3 +1\hspace{0.05cm}.$$
	*Die rechte Anordnung mit  $\rm (10011)_{binär} = (23)_{oktal}$  ist dagegen durch ~~das zu~~  $G(D)$  ~~reziproke Polynom~~  $G_{\rm R}(D)$~~  beschreibbar~~:		*Die rechte Anordnung mit  $\rm (10011)_{binär} = (23)_{oktal}$  ist dagegen durch folgendes Polynom beschreibbar:
	:$$G_{\rm R}(D) = D^4 \cdot (D^{-4} + D^{-3} +1) =D^4 + D +1 \hspace{0.05cm}.$$		:$$G_{\rm 2}(D) =D^4 + D +1 \hspace{0.05cm}.$$
			*Das Polynom  $G_2(D)$  ist reziprok zu  $G_{\rm 1}(D)$:
			:$$G_{\rm 2}(D) = D^4 \cdot (D^{-4} + D^{-3} +1) =D^4 + D +1 \hspace{0.05cm}.$$

	Da sowohl  $G(D)$  als auch  $G_{\rm R}(D)$  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Bin.C3.A4re_Erweiterungsk.C3.B6rper_.E2.80.93_Primitive_Polynome\|primitive Generatorpolynome]]  darstellen  (der Nachweis hierfür ist nicht einfach), haben beide Ausgangsfolgen die für  $G = 4$  maximale Periodenlänge  $P = 15$. Wie in der  [[Aufgaben:5.3_PAKF_von_PN–Sequenzen\|Aufgabe 5.3]]  gezeigt wird, ergibt sich die PAKF in der unipolaren Darstellung   ⇒   $c_ν ∈ \{0, 1\}$ zu		Da sowohl  $G_1(D)$  als auch  $G_{\rm 2}(D)$  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Bin.C3.A4re_Erweiterungsk.C3.B6rper_.E2.80.93_Primitive_Polynome\|primitive Generatorpolynome]]  darstellen  (der Nachweis hierfür ist nicht einfach),  haben beide Ausgangsfolgen die für  $G = 4$  maximale Periodenlänge  $P = 15$.  Wie in der  [[Aufgaben:5.3_PAKF_von_PN–Sequenzen\|Aufgabe 5.3]]  gezeigt wird,  ergibt sich die PAKF in der unipolaren Darstellung   ⇒   $c_ν ∈ \{0, 1\}$ zu
	[[Datei: P_ID1879__Mod_T_5_3_S4d_ganz_neu.png\|right\|frame\|PAKF einer PN–Sequenz maximaler Länge  $P = 2^G – 1$]]		[[Datei: P_ID1879__Mod_T_5_3_S4d_ganz_neu.png\|right\|frame\|PAKF einer PN–Sequenz maximaler Länge  $P = 2^G – 1$]]

Zeile 137:		Zeile 139:
	-P \\ \end{array} \right. \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{sonst.} } \hspace{0.05cm} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} \lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...} \hspace{0.05cm} \\ \\ \end{array}$$		-P \\ \end{array} \right. \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{sonst.} } \hspace{0.05cm} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} \lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...} \hspace{0.05cm} \\ \\ \end{array}$$
	*Man erkennt aus der unteren Skizze die gewünschten ausgeprägten PAKF–Peaks in Abständen der Periode  $P$.		*Man erkennt aus der unteren Skizze die gewünschten ausgeprägten PAKF–Peaks in Abständen der Periode  $P$.
	*Weniger gut sind die ~~Kreuzkorrelationseigenschaften~~ der PN–Sequenzen, wie im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation\|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation]]  ~~noch~~ gezeigt werden wird.}}		*Weniger gut sind die PAKF–Eigenschaften der PN–Sequenzen,  wie im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation\|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation]]  gezeigt werden wird.}}


	Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im		Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben,  Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

	*Kapitel 2:   ''Pseudonoise–Generatoren'', Programm „png”		*Kapitel 2:   Pseudonoise–Generatoren,  Programm „png”


	des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Lehrsoftwarepaket  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]    ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und		*dem Lehrsoftwarepaket  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]    ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
	*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version;   Kapitel 2: Seite 23-32.		*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version;   Kapitel 2: Seite 23-32.

Guenter am 12. Dezember 2021 um 15:36 Uhr

2021-12-12T15:36:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2021, 17:36 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:

	==Pseudo–Noise–Folgen maximaler Länge==		==Pseudo–Noise–Folgen maximaler Länge==

	<br>		<br>
	~~[[Datei:P_ID1876__Mod_T_5_3_S4a_neu.png\|left\|frame\|PN–Generator (Realisierung mit Schieberegister)]]~~		Mit einem rückgekoppelten Schieberegister lässt sich eine Folge mit günstigen AKF–Eigenschaften erzeugen, wenn man die Rückführungskoeffizienten  $g_i$  mit Index  $i = 1, \text{...} \ , G-1$  geeignet wählt.
	~~<br>~~		[[Datei:P_ID1876__Mod_T_5_3_S4a_neu.png\|right\|frame\|PN–Generator (Realisierung mit Schieberegister)]]
	Mit einem rückgekoppelten Schieberegister lässt sich eine Folge mit günstigen AKF–Eigenschaften erzeugen, wenn man die Rückführungskoeffizienten  $g_i$  mit Index  $i = 1, \text{...} \ , G-1$  geeignet wählt.
	*Die Folge  $〈c_ν〉$  ist im strengen Sinne nicht zufällig, sondern periodisch.		[[Datei:P_ID1877__Mod_T_5_3_S4b.png \|right\|frame\| Polynome von M–Sequenzen mit Grad  $G$]]
			*Die Folge  $〈c_ν〉$  ist im strengen Sinne nicht zufällig,  sondern periodisch.
	*Aufgrund der großen Periodenlänge  $P$  erscheint sie aber für einen unbedarften Betrachter als stochastisch.		*Aufgrund der großen Periodenlänge  $P$  erscheint sie aber für einen unbedarften Betrachter als stochastisch.
	*Man spricht von einer  ''Pseudo–Noise–Folge''  oder kurz  ''PN–Folge''.		*Man spricht von einer  '''Pseudo–Noise–Folge'''  oder kurz  "PN–Folge".
	~~<br clear=all>~~

	$\text{PN–Generatoren}$  haben folgende Eigenschaften, siehe Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen\|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]]  im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”:		$\text{PN–Generatoren}$  haben folgende Eigenschaften, siehe Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen\|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]]  im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”:
	~~[[Datei:P_ID1877__Mod_T_5_3_S4b.png \|right\|frame\| Polynome von M–Sequenzen mit Grad  $G$]]~~
	*Die zu früheren Zeitpunkten generierten Binärwerte  $c_{ν-1}, \text{...} \ , c_{ν-G}$  sind in den  $G$  Speicherzellen des Schieberegisters abgelegt.  Man bezeichnet  $G$  als den ''Grad'' des Schieberegisters.		*Die zu früheren Zeitpunkten generierten Binärwerte  $c_{ν-1}, \text{...} \ , c_{ν-G}$  sind in den  $G$  Speicherzellen des Schieberegisters abgelegt.  Man bezeichnet  $G$  als den Grad des Schieberegisters.

	*Die Koeffizienten  $g_1, \ \text{...} \ , g_{G-1}$  sind Binärwerte~~, wobei eine~~ „1” eine Rückführung an der entsprechenden Stelle des Schieberegisters ~~kennzeichnet~~ und eine „0” keine Rückführung.		*Die Koeffizienten  $g_1, \ \text{...} \ , g_{G-1}$  sind Binärwerte.  Eine „1” kennzeichnet eine Rückführung an der entsprechenden Stelle des Schieberegisters und eine „0” keine Rückführung.

	*Für das aktuell erzeugte Symbol gilt mit  $g_i ∈ \{0, 1\}$ und $i = 1,\ \text{...}\ , G-1$:		*Für das aktuell erzeugte Symbol gilt mit  $g_i ∈ \{0, 1\}$  und  $i = 1,\ \text{...}\ , G-1$:
	:$$c_\nu = (g_1\cdot c_{\nu-1}+g_2\cdot c_{\nu-2}+\ \text{...}\ +g_i\cdot c_{\nu-i}+\ \text{...}\ +g_{G-1}\cdot c_{\nu-G+1}+ c_{\nu-G})\hspace{0.1cm} \rm mod \hspace{0.2cm}2.$$		:$$c_\nu = (g_1\cdot c_{\nu-1}+g_2\cdot c_{\nu-2}+\ \text{...}\ +g_i\cdot c_{\nu-i}+\ \text{...}\ +g_{G-1}\cdot c_{\nu-G+1}+ c_{\nu-G})\hspace{0.1cm} \rm mod \hspace{0.2cm}2.$$
	*Die Modulo–2–Addition kann zum Beispiel durch eine  $\rm XOR$–Verknüpfung realisiert werden:		*Die Modulo–2–Addition kann zum Beispiel durch eine  $\rm XOR$–Verknüpfung realisiert werden:
Zeile 112:		Zeile 115:


	In obiger Tabelle sind für einige Werte von  $G$  das Generatorpolynom  $G(D)$  einer solchen M–Sequenz und die zugehörige (maximale) Periodenlänge  $P$  angegeben, wobei das „M” für „Maximal” steht.  Nachfolgend werden die hier gemachten Aussagen am Beispiel  $G = 4$  verdeutlicht.		In obiger Tabelle sind für einige Werte von  $G$  das Generatorpolynom  $G(D)$  einer solchen M–Sequenz und die zugehörige (maximale) Periodenlänge  $P$  angegeben,  wobei das „M” für „Maximal” steht.  Nachfolgend werden die hier gemachten Aussagen am Beispiel  $G = 4$  verdeutlicht.


Zeile 119:		Zeile 122:
	[[Datei:P_ID1878__Mod_T_5_3_S4c_ganz_neu.png\|right\|frame\| PN–Generatoren vom Grad  $G = 4$]]		[[Datei:P_ID1878__Mod_T_5_3_S4c_ganz_neu.png\|right\|frame\| PN–Generatoren vom Grad  $G = 4$]]

	*Als Kurzbezeichnung wird meist die ~~ ''~~Oktaldarstellung~~'' ~~ der Binärzahl  $(g_G, \ \text{...} \ ,g_2, g_1, g_0)$  gewählt.  Grundsätzlich ist  $g_0 = g_G = 1$  zu setzen.		*Als Kurzbezeichnung wird meist die Oktaldarstellung der Binärzahl  $(g_G, \ \text{...} \ ,g_2, g_1, g_0)$  gewählt.  Grundsätzlich ist  $g_0 = g_G = 1$  zu setzen.

	*Die linke Konfiguration wird mit  $\rm (11001)_{binär} = (31)_{oktal}$  bezeichnet, das dazugehörige Generatorpolynom lautet:		*Die linke Konfiguration wird mit  $\rm (11001)_{binär} = (31)_{oktal}$  bezeichnet, das dazugehörige Generatorpolynom lautet:

Guenter am 12. Dezember 2021 um 15:28 Uhr

2021-12-12T15:28:11Z

Guenter am 11. Dezember 2021 um 16:50 Uhr

2021-12-11T16:50:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Dezember 2021, 18:50 Uhr
Zeile 233:		Zeile 233:
	[[Aufgaben: 5.4 Walsh–Funktionen (PKKF, PAKF)\|Aufgabe 5.4:   Walsh–Funktionen (PKKF, PAKF)]]		[[Aufgaben: 5.4 Walsh–Funktionen (PKKF, PAKF)\|Aufgabe 5.4:   Walsh–Funktionen (PKKF, PAKF)]]

	[[Aufgaben:5.4Z OVSF–Codes\|~~Zusatzaufgabe~~ 5.4Z:   OVSF–Codes]]		[[Aufgaben:5.4Z OVSF–Codes\|Aufgabe 5.4Z:   OVSF–Codes]]

Guenter am 30. April 2020 um 14:56 Uhr

2020-04-30T14:56:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. April 2020, 16:56 Uhr
Zeile 122:		Zeile 122:
	:$$G_{\rm R}(D) = D^4 \cdot (D^{-4} + D^{-3} +1) =D^4 + D +1 \hspace{0.05cm}.$$		:$$G_{\rm R}(D) = D^4 \cdot (D^{-4} + D^{-3} +1) =D^4 + D +1 \hspace{0.05cm}.$$

	Da sowohl  $G(D)$  als auch  $G_{\rm R}(D)$  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#~~Primitive_Polynome~~\|primitive Generatorpolynome]]  darstellen  (der Nachweis hierfür ist nicht einfach), haben beide Ausgangsfolgen die für  $G = 4$  maximale Periodenlänge  $P = 15$. Wie in der  [[Aufgaben:5.3_PAKF_von_PN–Sequenzen\|Aufgabe 5.3]]  gezeigt wird, ergibt sich die PAKF in der unipolaren Darstellung   ⇒   $c_ν ∈ \{0, 1\}$ zu		Da sowohl  $G(D)$  als auch  $G_{\rm R}(D)$  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Bin.C3.A4re_Erweiterungsk.C3.B6rper_.E2.80.93_Primitive_Polynome\|primitive Generatorpolynome]]  darstellen  (der Nachweis hierfür ist nicht einfach), haben beide Ausgangsfolgen die für  $G = 4$  maximale Periodenlänge  $P = 15$. Wie in der  [[Aufgaben:5.3_PAKF_von_PN–Sequenzen\|Aufgabe 5.3]]  gezeigt wird, ergibt sich die PAKF in der unipolaren Darstellung   ⇒   $c_ν ∈ \{0, 1\}$ zu
	[[Datei: P_ID1879__Mod_T_5_3_S4d_ganz_neu.png\|right\|frame\|PAKF einer PN–Sequenz maximaler Länge  $P = 2^G – 1$]]		[[Datei: P_ID1879__Mod_T_5_3_S4d_ganz_neu.png\|right\|frame\|PAKF einer PN–Sequenz maximaler Länge  $P = 2^G – 1$]]

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	<br>		<br>
	Bei periodischen Signalen kann auf den Grenzübergang bei der AKF– und der KKF–Berechnung verzichtet werden,  und man erhält mit der Periodendauer  $T_0$  (diese muss für beide Signale gleich sein):		Bei periodischen Signalen kann auf den Grenzübergang bei der AKF– und der KKF–Berechnung verzichtet werden,  und man erhält mit der Periodendauer  $T_0$  (diese muss für beide Signale gleich sein):
	:$$\begin{align*}\varphi_{x}(\tau) & = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int^{T_0}_{0}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t\hspace{0.05cm} ,\\		:$$\begin{align}\varphi_{x}(\tau) & = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int^{T_0}_{0}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t\hspace{0.05cm} ,\\\varphi_{xy}(\tau) & = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int^{T_0}_{0}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t\hspace{0.05cm}.\end{align}$$
	\varphi_{xy}(\tau) & = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int^{T_0}_{0}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
	In diesem Fall ist die AKF ebenfalls eine periodische Funktion,  und man spricht von der  "periodischen Autokorrelationsfunktion"  $\rm (PAKF)$.  Diese zeigt folgende Einenschaft:		In diesem Fall ist die AKF ebenfalls eine periodische Funktion,  und man spricht von der  "periodischen Autokorrelationsfunktion"  $\rm (PAKF)$.  Diese zeigt folgende Einenschaft:
	:$$\varphi_{x}(\pm T_0) = \varphi_{x}(\pm 2T_0) =\text{ ...} = \varphi_{x}(0)		:$$\varphi_{x}(\pm T_0) = \varphi_{x}(\pm 2T_0) =\text{ ...} = \varphi_{x}(0) \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$
	Wir wenden nun obige Berechnungsvorschrift auf das Spreizsignal		Wir wenden nun obige Berechnungsvorschrift auf das Spreizsignal
	:$$ c(t) = \sum\limits^{+\infty}_{\nu = -\infty}c_\nu\cdot g_c(t - \nu \cdot T_c)$$		:$$ c(t) = \sum\limits^{+\infty}_{\nu = -\infty}c_\nu\cdot g_c(t - \nu \cdot T_c)$$
Zeile 136:		Zeile 134:
	:$${\it \varphi}_{c{\rm ,\hspace{0.05cm}unipolar} }(\lambda \cdot T_c) = \left\{ \begin{array}{c}(P+1)/(2P) \\ (P+1)/(4P) \\ \end{array} \right. \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{sonst} } \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} \lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...} \hspace{0.05cm} \\ \\ \end{array}$$		:$${\it \varphi}_{c{\rm ,\hspace{0.05cm}unipolar} }(\lambda \cdot T_c) = \left\{ \begin{array}{c}(P+1)/(2P) \\ (P+1)/(4P) \\ \end{array} \right. \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{sonst} } \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} \lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...} \hspace{0.05cm} \\ \\ \end{array}$$
	Nach Umsetzung in bipolare Koeffizienten  $($das heißt:  $0 \ ⇒ +1$,     $1 \ ⇒ -1)$  erhält man:		Nach Umsetzung in bipolare Koeffizienten  $($das heißt:  $0 \ ⇒ +1$,     $1 \ ⇒ -1)$  erhält man:
	:$${\it \varphi}_{c{\rm ,\hspace{0.05cm}bipolar} }(\lambda \cdot T_c) = \left\{ \begin{array}{c}1 \\		:$${\it \varphi}_{c{\rm ,\hspace{0.05cm}bipolar} }(\lambda \cdot T_c) = \left\{ \begin{array}{c}1 \\-P \\ \end{array} \right. \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{sonst.} } \hspace{0.05cm} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} \lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...} \hspace{0.05cm} \\ \\ \end{array}$$
	-P \\ \end{array} \right. \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{sonst.} } \hspace{0.05cm} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} \lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...} \hspace{0.05cm} \\ \\ \end{array}$$
	*Man erkennt aus der unteren Skizze die gewünschten ausgeprägten PAKF–Peaks in Abständen der Periode  $P$.		*Man erkennt aus der unteren Skizze die gewünschten ausgeprägten PAKF–Peaks in Abständen der Periode  $P$.
	*Weniger gut sind die PAKF–Eigenschaften der PN–Sequenzen,  wie im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation\|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation]]  gezeigt werden wird.}}		*Weniger gut sind die PAKF–Eigenschaften der PN–Sequenzen,  wie im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation\|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation]]  gezeigt werden wird.}}
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	Gold–Codes verwenden dieses Prinzip.  Die Vorschrift zur Erzeugung einer  '''Gold–Code–Familie'''  $\rm (GCF)$  lautet,  wobei ein  „+”  eine Modulo–2–Addition bezeichnet:		Gold–Codes verwenden dieses Prinzip.  Die Vorschrift zur Erzeugung einer  '''Gold–Code–Familie'''  $\rm (GCF)$  lautet,  wobei ein  „+”  eine Modulo–2–Addition bezeichnet:
	:$${\rm GCF}(C_1, C_2) = \{ C_1, C_2, C_1 + C_2, C_1 + D \cdot C_2, C_1 + D^2 \cdot C_2, \ \text{...} \ ,		:$${\rm GCF}(C_1, C_2) = \{ C_1, C_2, C_1 + C_2, C_1 + D \cdot C_2, C_1 + D^2 \cdot C_2, \ \text{...} \ ,C_1 + D^{P-1} \cdot C_2 \} \hspace{0.05cm}.$$
	C_1 + D^{P-1} \cdot C_2 \} \hspace{0.05cm}.$$

	Das Prinzip ist in der Grafik an einem Beispiel dargestellt:		Das Prinzip ist in der Grafik an einem Beispiel dargestellt:
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	[[Datei:P_ID1882__Mod_T_5_3_S7_neu.png\|right\|frame\| Walsh–Spreizfolgen  $(J = 8)$  und Hadamard–Matrix  $\mathbf H_8$ ]]		[[Datei:P_ID1882__Mod_T_5_3_S7_neu.png\|right\|frame\| Walsh–Spreizfolgen  $(J = 8)$  und Hadamard–Matrix  $\mathbf H_8$ ]]
	:$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] $$		:$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] $$
	:$$\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}		:$$\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\mathbf{H}_{4}} = \left[ \begin{array}{cccc} +1 & +1 & +1 & +1 \\ +1 & -1 & +1 & -1 \\+1 & +1 & -1 & -1 \\+1 & -1 & -1 & +1 \end{array} \right] .$$
	{\mathbf{H}_{4}} = \left[ \begin{array}{cccc} +1 & +1 & +1 & +1 \\ +1 & -1 & +1 & -1 \\
	+1 & +1 & -1 & -1 \\+1 & -1 & -1 & +1 \end{array} \right] .$$
	Die  $J$  Zeilen einer solchen Matrix beschreiben die  $J$  möglichen Spreizfolgen  $($jeweils der Länge  $J)$, die mit  $w_0(t)$  bis  $w_{J–1}(t)$  durchnummeriert werden.		Die  $J$  Zeilen einer solchen Matrix beschreiben die  $J$  möglichen Spreizfolgen  $($jeweils der Länge  $J)$, die mit  $w_0(t)$  bis  $w_{J–1}(t)$  durchnummeriert werden.

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	==Gold–Codes==		==Gold–Codes==
	<br>		<br>
	Um größere Codefamilien zu erhalten als mit M–Sequenzen, müssen die Anforderungen an die periodische Kreuzkorrelationsfunktion  $\rm (PKKF)$  abgeschwächt werden.  Mit dieser Einschränkung erhält man Codefamilien mit einer weitaus größeren Mächtigkeit, so dass auch mehr CDMA–Teilnehmer versorgt werden können.		Um größere Codefamilien zu erhalten als mit M–Sequenzen,  müssen die Anforderungen an die periodische Kreuzkorrelationsfunktion  $\rm (PKKF)$  abgeschwächt werden.  Mit dieser Einschränkung erhält man Codefamilien mit einer weitaus größeren Mächtigkeit,  so dass auch mehr CDMA–Teilnehmer versorgt werden können.

	[[Datei:P_ID1881__Mod_T_5_3_S6_neu.png\|right\|frame\|Gold–Codegenerator  $(51, \ 75)$  vom Grad  $G = 5$]]		[[Datei:P_ID1881__Mod_T_5_3_S6_neu.png\|right\|frame\|Gold–Codegenerator  $(51, 75)$  vom Grad  $G = 5$]]

	Gold–Codes verwenden dieses Prinzip.  Die Vorschrift zur Erzeugung einer  '''Gold–Code–Familie'''  $\rm (GCF)$  lautet, wobei ein  „+”  eine Modulo–2–Addition bezeichnet:		Gold–Codes verwenden dieses Prinzip.  Die Vorschrift zur Erzeugung einer  '''Gold–Code–Familie'''  $\rm (GCF)$  lautet,  wobei ein  „+”  eine Modulo–2–Addition bezeichnet:
	:$${\rm GCF}(C_1, C_2) = \{ C_1, C_2, C_1 + C_2, C_1 + D \cdot C_2, C_1 + D^2 \cdot C_2, \ \text{...} \ ,		:$${\rm GCF}(C_1, C_2) = \{ C_1, C_2, C_1 + C_2, C_1 + D \cdot C_2, C_1 + D^2 \cdot C_2, \ \text{...} \ ,
	C_1 + D^{P-1} \cdot C_2 \} \hspace{0.05cm}.$$		C_1 + D^{P-1} \cdot C_2 \} \hspace{0.05cm}.$$

	Das Prinzip ist in der Grafik an einem Beispiel dargestellt:		Das Prinzip ist in der Grafik an einem Beispiel dargestellt:
	*Die Folgen  $C_1$  und  $C_2$  sind ein günstiges Paar von M–Sequenzen gleicher Periodenlänge, zum Beispiel die PN–Generatoren mit den Oktalkennungen  $(51)$  und  $(75)$  vom Grad  $G = 5$  und damit der Periodenlänge  $P = 31$.		*Die Folgen  $C_1$  und  $C_2$  sind ein günstiges Paar von M–Sequenzen gleicher Periodenlänge,  zum Beispiel die PN–Generatoren mit den Oktalkennungen  $(51)$  und  $(75)$  vom Grad  $G = 5$  und damit der Periodenlänge  $P = 31$.
	*Die Gold–Code–Familie besteht zum einen aus den M–Sequenzen  $C_1$  und  $C_2$  sowie aus einigen Modulo–2–Additionen dieser Folgen.  Dabei wird  $C_1$  mit fester Phase  (gekennzeichnet durch die Vorbelegung aller Speicherzellen mit Einsen)  verwendet, während für die Folge  $C_2$  alle  $P$  möglichen Anfangsphasen zulässig sind  (alle Vorbelegungen außer der Nullbelegung).		*Die Gold–Code–Familie besteht zum einen aus den M–Sequenzen  $C_1$  und  $C_2$  sowie aus einigen Modulo–2–Additionen dieser Folgen.  Dabei wird  $C_1$  mit fester Phase  (gekennzeichnet durch die Vorbelegung aller Speicherzellen mit Einsen)  verwendet,  während für die Folge  $C_2$  alle  $P$  möglichen Anfangsphasen zulässig sind  (alle Vorbelegungen außer der Nullbelegung).
	*Verwendet man eine solche Codefamilie für CDMA, so stehen insgesamt  $K_{\rm GCF} = P + 2 = 2^G + 1$  Folgen zur Verfügung.  Die PAKF dieser Folgen ist nun aber nicht mehr zweiwertig wie die beiden PN–Sequenzen   $(+1$  bzw.  $-1/31)$, sondern vierwertig  $(+1$,  $+7/31$,  $-1/31$,  $-9/31)$.  Durch die Phase von  $C_2$  ändert sich zwar der spezifische Verlauf, aber nicht die möglichen PAKF–Werte.		*Verwendet man eine solche Codefamilie für CDMA,  so stehen insgesamt  $K_{\rm GCF} = P + 2 = 2^G + 1$  Folgen zur Verfügung.  Die PAKF dieser Folgen ist nun aber nicht mehr zweiwertig wie die beiden PN–Sequenzen   $(+1$  bzw.  $-1/31)$,  sondern vierwertig  $(+1$,  $+7/31$,  $-1/31$,  $-9/31)$.  Durch die Phase von  $C_2$  ändert sich zwar der spezifische Verlauf,  aber nicht die möglichen PAKF–Werte.


	Gold–Codes werden zum Beispiel bei UMTS zur Verwürfelung herangezogen, wie im Kapitel  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS#Spreizcodes_und_Verw.C3.BCrfelung_bei_UMTS\|Spreizcodes und Verwürfelung in UMTS]]  des Buches „Beispiele von Nachrichtensystemen” ausgeführt ist.		Gold–Codes werden zum Beispiel bei UMTS zur Verwürfelung herangezogen,  wie im Kapitel  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS#Spreizcodes_und_Verw.C3.BCrfelung_bei_UMTS\|Spreizcodes und Verwürfelung in UMTS]]  des Buches „Beispiele von Nachrichtensystemen” ausgeführt ist.
	*Die beiden Muttercode–Schieberegister sind dabei jeweils mit  $G = 18$  Speicherzellen aufgebaut.		*Die beiden Muttercode–Schieberegister sind dabei jeweils mit  $G = 18$  Speicherzellen aufgebaut.
	*Damit ergibt sich die Periodenlänge  $P = 262\hspace{0.05cm} 143$.		*Damit ergibt sich die Periodenlänge  $P = 262\hspace{0.05cm} 143$.
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	==Walsh–Funktionen==		==Walsh–Funktionen==
	<br>		<br>
	Spreizfolgen mit sehr günstigen PKKF–Eigenschaften sind die so genannten  '''Walsh–Funktionen''', deren Konstruktion auf der  '''Hadamard–Matrix'''  basiert und durch Rekursion in einfacher Weise durchführbar ist.  Ausgehend von der Matrix  $\mathbf H_2$  können weitere Hadamard–Matrizen  $\mathbf H_{2J}$  wie folgt generiert werden:		Spreizfolgen mit sehr günstigen PKKF–Eigenschaften sind die so genannten  '''Walsh–Funktionen''',  deren Konstruktion auf der  '''Hadamard–Matrix'''  basiert und durch Rekursion in einfacher Weise durchführbar ist.  Ausgehend von der Matrix  $\mathbf H_2$  können weitere Hadamard–Matrizen  $\mathbf H_{2J}$  wie folgt generiert werden:
	[[Datei:P_ID1882__Mod_T_5_3_S7_neu.png\|right\|frame\| Walsh–Spreizfolgen  $(J = 8)$  und Hadamard–Matrix  $\mathbf H_8$ ]]		[[Datei:P_ID1882__Mod_T_5_3_S7_neu.png\|right\|frame\| Walsh–Spreizfolgen  $(J = 8)$  und Hadamard–Matrix  $\mathbf H_8$ ]]
	:$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] $$		:$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] $$
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	<br>		<br>
	Das 3G–Mobilfunksystem  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS\|UMTS]]  stellt verschiedene Datenraten zur Verfügung.  Hierzu werden		Das 3G–Mobilfunksystem  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS\|UMTS]]  stellt verschiedene Datenraten zur Verfügung.  Hierzu werden
	*Spreizfolgen mit unterschiedlichen Spreizfaktoren  $J = 4$  bis  $J = 512$  benötigt,		*Spreizfolgen mit unterschiedlichen Spreizfaktoren  $J = 4$   bis  $J = 512$   benötigt,
	*die alle zueinander orthogonal sein müssen.		*die alle zueinander orthogonal sein müssen.

	[[Datei:P_ID1883__Mod_T_5_3_S8_neu.png\|right\|frame \| Baumdiagramm zur Erzeugung eines OVSF–Codes]]		[[Datei:P_ID1883__Mod_T_5_3_S8_neu.png\|right\|frame \| Baumdiagramm zur Erzeugung eines OVSF–Codes]]
	<br>Die so genannten  '''OVSF–Codes'''  (''Orthogonal Variable Spreading Factor'')  können mit Hilfe eines Codebaumes erstellt werden.  Dabei entstehen bei jeder Verzweigung aus einem Code  $C$  zwei neue Codes  $(+C \ +\hspace{-0.05cm}C)$  und  $(+C \ -\hspace{-0.05cm}C)$, wie in der Grafik oben rechts angedeutet ist.		<br>Die so genannten  '''OVSF–Codes'''  ("Orthogonal Variable Spreading Factor")  können mit Hilfe eines Codebaumes erstellt werden.  Dabei entstehen bei jeder Verzweigung aus einem Code  $C$  zwei neue Codes  $(+C \ +\hspace{-0.05cm}C)$  und  $(+C \ -\hspace{-0.05cm}C)$,  wie in der Grafik oben rechts angedeutet ist.

	Anzumerken ist, dass kein Vorgänger und Nachfolger eines Codes von anderen Teilnehmern benutzt werden darf.  Im Beispiel könnte demnach unter Anderem folgende Auswahl getroffen werden:		Anzumerken ist,  dass kein Vorgänger und Nachfolger eines Codes von anderen Teilnehmern benutzt werden darf.  Im Beispiel könnte demnach unter Anderem folgende Auswahl getroffen werden:
	*acht Codes mit dem Spreizfaktor  $J = 8$, oder		*acht Codes mit dem Spreizfaktor  $J = 8$,  oder
	*die vier hinterlegten Codes – einmal mit  $J = 2$, einmal mit  $J = 4$  und zweimal mit  $J = 8$.		*die vier hinterlegten Codes – einmal mit  $J = 2$,  einmal mit  $J = 4$  und zweimal mit  $J = 8$.


			Im zweiten Fall können die weiteren sechs Codes mit  $J = 8$  nicht verwendet werden, da sie entweder mit  „$+1 \ +\hspace{-0.05cm}1$”  oder mit  „$+1 \ -\hspace{-0.05cm}1 \ +\hspace{-0.05cm}1 \ -\hspace{-0.05cm}1$”  beginnen.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	Im zweiten Fall können die weiteren sechs Codes mit  $J = 8$  nicht verwendet werden, da sie entweder mit  „$+1 \ +\hspace{-0.05cm}1$”  oder mit  „$+1 \ -\hspace{-0.05cm}1 \ +\hspace{-0.05cm}1 \ -\hspace{-0.05cm}1$”  beginnen.		Aus den vier zugehörigen Spreizfolgen in der Grafik rechts unten erkennt man,  dass bei konstanter Chipdauer  $T_c$  der Nutzer mit dem Spreizfaktor  $J = 2$  mit höherer Datenrate übertragen kann als die Teilnehmer mit  $J = 4$  bzw.  $J = 8$,  da seine Bitdauer  $T_{\rm B}$  kleiner ist.

	Aus den vier zugehörigen Spreizfolgen in der Grafik rechts unten erkennt man, dass bei konstanter Chipdauer  $T_c$  der Nutzer mit dem Spreizfaktor  $J = 2$  mit höherer Datenrate übertragen kann als die Teilnehmer mit  $J = 4$  bzw.  $J = 8$, da seine Bitdauer  $T_{\rm B}$  kleiner ist.

	Aus der Grafik erkennt man weiter, dass die periodische KKF an der Stelle  $τ = 0$  stets Null ist.		Aus der Grafik erkennt man weiter,  dass die periodische KKF an der Stelle  $τ = 0$  stets Null ist.
	*Das heißt:   Bildet man das Produkt von zwei beliebigen dieser Folgen und integriert man über den dargestellten Zeitbereich, so ergibt sich stets der Wert $0$.		*Das heißt:   Bildet man das Produkt von zwei beliebigen dieser Folgen und integriert man über den dargestellten Zeitbereich,  so ergibt sich stets der Wert  $0$.
	*Das bedeutet auch:   Ein OVSF–Code ist orthogonal zu allen anderen OVSF–Codes der gleichen Familie, solange es nicht zu Verschiebungen kommt.		*Das bedeutet auch:   Ein OVSF–Code ist orthogonal zu allen anderen OVSF–Codes der gleichen Familie, solange es nicht zu Verschiebungen kommt.


	''Hinweis:''   ~~Die Animation~~  [[Applets:OVSF-Codes_(Applet)\|OVSF–Codes]]  zeigt den Konstruktionsalgorithmus dieser Codes und die zulässige Auswahl der Spreizfolgen.		Hinweis:   Das SWF–Applet  [[Applets:OVSF-Codes_(Applet)\|OVSF–Codes]]  zeigt den Konstruktionsalgorithmus dieser Codes und die zulässige Auswahl der Spreizfolgen.

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2021, 17:28 Uhr
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Betrachtet man zwei ergodische Prozesse mit den Musterfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$, so gilt für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Definition_der_Kreuzkorrelationsfunktion\|'''Kreuzkorrelationsfunktion''']]  $\rm (KKF)$  der Prozesse:		$\text{Definition:}$  Betrachtet man zwei ergodische Prozesse mit den Musterfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$,  so gilt für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Definition_der_Kreuzkorrelationsfunktion\|'''Kreuzkorrelationsfunktion''']]  $\rm (KKF)$  der Prozesse:
	:$$\varphi_{xy}(\tau)=\overline{x(t)\cdot y(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2} }_{-T_{\rm M}/{\rm 2} }x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t.$$		:$$\varphi_{xy}(\tau)=\overline{x(t)\cdot y(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2} }_{-T_{\rm M}/{\rm 2} }x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t.$$
	Die überstreichende Linie kennzeichnet hierbei eine ~~ ''~~Zeitmittelung.''}}		Die überstreichende Linie kennzeichnet hierbei eine Zeitmittelung.}}


	$φ_{xy}(τ)$  ist ein quantitatives Maß für die lineare statistische Abhängigkeit der Augenblickswerte von Musterfunktionen  $x(t)$  und  $y(t + τ)$  der beiden Zufallsprozesse und dient somit der Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen diesen.  Es gilt:		$φ_{xy}(τ)$  ist ein quantitatives Maß für die lineare statistische Abhängigkeit der Augenblickswerte von Musterfunktionen  $x(t)$  und  $y(t + τ)$  der beiden Zufallsprozesse und dient somit der Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen diesen.  Es gilt:
	*Sind  $x(t)$  und  $y(t)$  unkorreliert, so ist  $φ_{xy}(τ) \equiv 0$  $($also für alle beliebigen Werte von  $τ)$.		*Sind  $x(t)$  und  $y(t)$  unkorreliert,  so ist  $φ_{xy}(τ) \equiv 0$  $($also für alle beliebigen Werte von  $τ)$.
	*Im allgemeinen ist  $φ_{xy}(τ)$  nicht symmetrisch, sondern das KKF–Maximum kann auch durchaus bei  $τ_{\rm max} ≠ 0$  auftreten.		*Im allgemeinen ist  $φ_{xy}(τ)$  nicht symmetrisch,  sondern das KKF–Maximum kann auch durchaus bei  $τ_{\rm max} ≠ 0$  auftreten.
	*Dann ergibt sich die maximale Korrelation durch eine gegenseitige Verschiebung der beiden betrachteten Signale um die Zeit  $τ_{\rm max}$.		*Dann ergibt sich die maximale Korrelation durch eine gegenseitige Verschiebung der beiden betrachteten Signale um die Zeit  $τ_{\rm max}$.

Zeile 23:		Zeile 23:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Setzt man in obiger Gleichung  $y(t) = x(t)$, so kommt man zur  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|'''Autokorrelationsfunktion''']]  $\rm (AKF)$		Setzt man in obiger Gleichung  $y(t) = x(t)$,  so kommt man zur  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|'''Autokorrelationsfunktion''']]  $\rm (AKF)$
	:$$ \varphi_{xx}(\tau)=\overline{x(t)\cdot x(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2} }_{-T_{\rm M}/{\rm 2} }x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t$$		:$$ \varphi_{xx}(\tau)=\overline{x(t)\cdot x(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2} }_{-T_{\rm M}/{\rm 2} }x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t$$
	mit folgenden Eigenschaften:		mit folgenden Eigenschaften:
	*Die AKF ist ein Maß für die inneren statistischen Bindungen eines durch die Musterfunktion  $x(t)$  festgelegten stationären und ergodischen Prozesses.		*Die AKF ist ein Maß für die inneren statistischen Bindungen eines durch die Musterfunktion  $x(t)$  festgelegten stationären und ergodischen Prozesses.
	*Ist  $x(t)$  reell, so ist  $φ_{xx}(τ)$  eine reelle gerade Funktion:   $φ_{xx}(–τ) = φ_{xx}(τ)$.  Phasenbeziehungen gehen also in der AKF verloren.		*Ist  $x(t)$  reell,  so ist  $φ_{xx}(τ)$  eine reelle gerade Funktion:   $φ_{xx}(–τ) = φ_{xx}(τ)$.  Phasenbeziehungen gehen also in der AKF verloren.
	*Beschreibt  $x(t)$  einen komplexen Prozesse, so ist auch die AKF komplex.		*Beschreibt  $x(t)$  einen komplexen Prozesse,  so ist auch die AKF komplex.
	*Der Maximalwert der AKF liegt bei  $τ =0$.  Es gilt stets  $\vert φ_{xx}(τ)\vert ≤ φ_{xx}(τ = 0),$ wobei  $φ_{xx}(τ =0)$  die Signalleistung  $P_x = {\rm E}\big[x^2(t)\big]$  angibt.		*Der Maximalwert der AKF liegt bei  $τ =0$.  Es gilt stets  $\vert φ_{xx}(τ)\vert ≤ φ_{xx}(τ = 0)$,  wobei  $φ_{xx}(τ =0)$  die Signalleistung  $P_x = {\rm E}\big[x^2(t)\big]$  angibt.
	*Der Gleichanteil von  $x(t)$  kann aus dem Grenzwert für  $(τ → ∞)$  ermittelt werden, so lange  $x(t)$  keine periodischen Anteile beinhaltet:		*Der Gleichanteil von  $x(t)$  kann aus dem Grenzwert für  $τ → ∞$  ermittelt werden,  so lange  $x(t)$  keine periodischen Anteile beinhaltet:
	:$$\overline{ x(t)} = {\rm E}\big[x(t)\big] = \sqrt{\lim_{\tau\to\infty}\,\varphi_{xx} (\tau)} \hspace{0.05cm}.$$}}		:$$\overline{ x(t)} = {\rm E}\big[x(t)\big] = \sqrt{\lim_{\tau\to\infty}\,\varphi_{xx} (\tau)} \hspace{0.05cm}.$$}}

Zeile 43:		Zeile 43:


	''Hinweis:''   Im Folgenden schreiben wir wie im Buch [[Stochastische Signaltheorie]] vereinfachend für die AKF  $φ_x(τ)$  anstelle von  $φ_{xx}(τ)$  ~~und~~ für das LDS  ${\it Φ}_x(f)$  statt  ${\it Φ}_{xx}(f)$.		Hinweis:   Im Folgenden schreiben wir wie im Buch  [[Stochastische Signaltheorie]]  vereinfachend
			*für die AKF  $φ_x(τ)$  anstelle von  $φ_{xx}(τ)$,
			*für das LDS  ${\it Φ}_x(f)$  statt  ${\it Φ}_{xx}(f)$.

	==Periodische AKF und KKF==		==Periodische AKF und KKF==
	<br>		<br>
	Bei periodischen Signalen kann auf den Grenzübergang bei der AKF– und der KKF–Berechnung verzichtet werden, und man erhält mit der Periodendauer  $T_0$  (diese muss für beide Signale gleich sein):		Bei periodischen Signalen kann auf den Grenzübergang bei der AKF– und der KKF–Berechnung verzichtet werden,  und man erhält mit der Periodendauer  $T_0$  (diese muss für beide Signale gleich sein):
	:$$\begin{align*}\varphi_{x}(\tau) & = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int^{T_0}_{0}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t\hspace{0.05cm} ,\\		:$$\begin{align*}\varphi_{x}(\tau) & = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int^{T_0}_{0}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t\hspace{0.05cm} ,\\
	\varphi_{xy}(\tau) & = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int^{T_0}_{0}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$		\varphi_{xy}(\tau) & = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int^{T_0}_{0}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
	In diesem Fall ist die AKF ebenfalls eine periodische Funktion, und man spricht von der  ''periodischen Autokorrelationsfunktion''  $\rm (PAKF)$. Diese zeigt folgende Einenschaft:		In diesem Fall ist die AKF ebenfalls eine periodische Funktion,  und man spricht von der  "periodischen Autokorrelationsfunktion"  $\rm (PAKF)$.  Diese zeigt folgende Einenschaft:
	:$$\varphi_{x}(\pm T_0) = \varphi_{x}(\pm 2T_0) =\text{ ...} = \varphi_{x}(0)		:$$\varphi_{x}(\pm T_0) = \varphi_{x}(\pm 2T_0) =\text{ ...} = \varphi_{x}(0)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Wir wenden nun obige Berechnungsvorschrift auf das Spreizsignal		Wir wenden nun obige Berechnungsvorschrift auf das Spreizsignal
	:$$ c(t) = \sum\limits^{+\infty}_{\nu = -\infty}c_\nu\cdot g_c(t - \nu \cdot T_c)$$		:$$ c(t) = \sum\limits^{+\infty}_{\nu = -\infty}c_\nu\cdot g_c(t - \nu \cdot T_c)$$
	an, wobei ein Rechteckimpuls  $g_c(t)$  der Breite  $T_c$  vorausgesetzt wird;  $T_c$  nennt man die  &bdquo;Chipdauer”.		an,  wobei ein Rechteckimpuls  $g_c(t)$  der Breite  $T_c$  vorausgesetzt wird;  $T_c$  nennt man die  &bdquo;Chipdauer”.

	Berücksichtigt man die Periodizität  $(T_0 = P · T_c)$  der ~~Amplitudenkoeffizienten~~  $c_ν ∈ \{±1\}$, so ergeben sich die diskreten AKF–Werte bei Vielfachen $($Parameter $λ)$  von  $T_c$:		Berücksichtigt man die Periodizität  $(T_0 = P · T_c)$  der Koeffizienten  $c_ν ∈ \{±1\}$,  so ergeben sich die diskreten AKF–Werte bei Vielfachen $($Parameter $λ)$  von  $T_c$:
	:$$\varphi_{c}(\lambda \cdot T_c) = \frac{1}{P}\cdot\sum\limits^{P-1}_{\nu = 0} c_\nu \cdot c_{\nu+ {\it \lambda} }\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varphi_{c}(\lambda \cdot T_c) = \frac{1}{P}\cdot\sum\limits^{P-1}_{\nu = 0} c_\nu \cdot c_{\nu+ {\it \lambda} }\hspace{0.05cm}.$$
	*Der maximale PAKF–Wert ergibt sich für  $λ = 0$  und für Vielfache der Periodenlänge  $P$.		*Der maximale PAKF–Wert ergibt sich für  $λ = 0$  und für Vielfache der Periodenlänge  $P$.
	*Aufgrund des rechteckförmigen Impulses  $g_c(t)$  ist der PAKF–Verlauf zwischen zwei Abtastwerten  $λ · T_c$  und  $(λ + 1) · T_c$  stets linear.		*Aufgrund des rechteckförmigen Impulses  $g_c(t)$  ist der PAKF–Verlauf zwischen zwei Abtastwerten  $λ · T_c$  und  $(λ + 1) · T_c$  stets linear.
	*Entsprechend ist die  ''periodische Kreuzkorrelationsfunktion''  $\rm (PKKF)$  zwischen den zwei Spreizfolgen  $〈c_ν〉$  und  $〈c\hspace{0.04cm}'_ν〉$  gleicher Periodenlänge  $P$  wie folgt gegeben:

			Entsprechend ist die  "periodische Kreuzkorrelationsfunktion"  $\rm (PKKF)$  zwischen den zwei Spreizfolgen  $〈c_ν〉$  und  $〈c\hspace{0.04cm}'_ν〉$  gleicher Periodenlänge  $P$  wie folgt gegeben:
	:$$\varphi_{cc\hspace{0.04cm}'}(\lambda \cdot T_c) = \frac{1}{P}\cdot\sum\limits^{P-1}_{\nu = 0} c_\nu \cdot c\hspace{0.04cm}'_{\nu+ \lambda }\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varphi_{cc\hspace{0.04cm}'}(\lambda \cdot T_c) = \frac{1}{P}\cdot\sum\limits^{P-1}_{\nu = 0} c_\nu \cdot c\hspace{0.04cm}'_{\nu+ \lambda }\hspace{0.05cm}.$$

	Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im		Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

	*Kapitel 9:   ''Stochastische Prozesse'', Programm „stp”		*Kapitel 9:   Stochastische Prozesse, Programm „stp”


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	Die Qualität eines auf PN–Modulation basierenden CDMA–Systems hängt signifikant von den PAKF– und PKKF–Eigenschaften der verwendeten Spreizfolgen ab.  Zusammenfassend kann man sagen:		Die Qualität eines auf PN–Modulation basierenden CDMA–Systems hängt signifikant von den PAKF– und PKKF–Eigenschaften der verwendeten Spreizfolgen ab.  Zusammenfassend kann man sagen:
	*Die PAKF der verwendeten Spreizcodeklasse sollte möglichst durch einen ausgeprägten Peak bei  ${\it λ} = 0$  gekennzeichnet sein, um die Synchronisation beim Empfänger einfach gestalten zu können.  Bei Mehrwegeempfang mit einem Echo der Laufzeitdifferenz  $λ · T_c$  ist zudem die Degradation aufgrund von Impulsinterferenzen um so geringer, je kleiner  $\|φ_c(λ · T_c)\|$  ist.		*Die PAKF der verwendeten Spreizcodeklasse sollte möglichst durch einen ausgeprägten Peak bei  ${\it λ} = 0$  gekennzeichnet sein,  um die Synchronisation beim Empfänger einfach gestalten zu können.  Bei Mehrwegeempfang mit einem Echo der Laufzeitdifferenz  $λ · T_c$  ist zudem die Degradation aufgrund von Impulsinterferenzen um so geringer,  je kleiner  $\|φ_c(λ · T_c)\|$  ist.
	*Der störende Einfluss interferierender CDMA–Teilnehmer lässt sich durch den PKKF–Wert  $φ_{cc\hspace{0.04cm}'} (λ = 0)$  abschätzen.  Ist dieser gleich Null, so spricht man von  ''orthogonalen Funktionen''.  Die Fehlerwahrscheinlichkeit wird in diesem Fall nicht erhöht.  Sind alle Spreizfolgen orthogonal, so ergibt sich auch bei  $J$  Teilnehmern die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei nur einem einzigen Nutzer.		*Der störende Einfluss interferierender CDMA–Teilnehmer lässt sich durch den PKKF–Wert  $φ_{cc\hspace{0.04cm}'} (λ = 0)$  abschätzen.  Ist dieser gleich Null, so spricht man von  '''orthogonalen Funktionen'''.  Die Fehlerwahrscheinlichkeit wird in diesem Fall nicht erhöht.  Sind alle Spreizfolgen orthogonal,  so ergibt sich auch bei  $J$  Teilnehmern die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei nur einem einzigen Nutzer.
	*Diese letzte Aussage ist in synchronen Systemen mit verzerrungsfreiem Kanal  (zum Beispiel bei AWGN)  von besonderer Bedeutung.  Bei asynchronem Betrieb oder Mehrwegeempfang kommt es dagegen zu einer  ''De–Orthogonalisierung''  und der strengeren Forderung, dass die PKKF zwischen den einzelnen Folgen zu allen Zeitpunkten (betragsmäßig) möglichst kleine Werte annehmen soll.		*Diese letzte Aussage ist in synchronen Systemen mit verzerrungsfreiem Kanal  (zum Beispiel bei AWGN)  von besonderer Bedeutung.  Bei asynchronem Betrieb oder Mehrwegeempfang kommt es dagegen zu einer  "De–Orthogonalisierung"  und der strengeren Forderung,  dass die PKKF zwischen den einzelnen Folgen zu allen Zeitpunkten  (betragsmäßig)  möglichst kleine Werte annehmen soll.


	Bei der Auswahl von Codefamilien für ein CDMA–System ist weiter darauf zu achten, dass man bei gegebenem Spreizgrad  $J = P$  möglichst viele Codefolgen mit günstigen Eigenschaften hinsichtlich dieser drei Kriterien finden kann, um somit auch möglichst viele Teilnehmer gleichzeitig im gleichen Frequenzband versorgen zu können.		Bei der Auswahl von Codefamilien für ein CDMA–System ist weiter darauf zu achten,  dass man bei gegebenem Spreizgrad  $J = P$  möglichst viele Codefolgen mit günstigen Eigenschaften hinsichtlich dieser drei Kriterien finden kann,  um somit auch möglichst viele Teilnehmer gleichzeitig im gleichen Frequenzband versorgen zu können.

	==Pseudo–Noise–Folgen maximaler Länge==		==Pseudo–Noise–Folgen maximaler Länge==