Modulationsverfahren/Realisierung von OFDM-Systemen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:18Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Modulation_Methods/Implementation_of_OFDM_Systems]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:01Z

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Guenter am 11. Januar 2022 um 16:05 Uhr

2022-01-11T16:05:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Januar 2022, 18:05 Uhr
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	==Zyklisches Präfix==		==Zyklisches Präfix==
	<br>		<br>
	Eine bessere Lösung für das beschriebene Problem ist die Einführung einer  '''zyklischen Erweiterung der Sendesymbole'''  im so genannten '''Guard–Intervall'''  der Länge  $T_{\rm G}$.		Eine bessere Lösung für das beschriebene Problem ist die Einführung einer  '''zyklischen Erweiterung der Sendesymbole'''  im so genannten '''Guard–Intervall'''  der Länge  $T_{\rm G}$.
			[[Datei:P_ID1645__Mod_T_5_6_S5a_neu.png \|right\|frame\| Prinzip des zyklischen Präfix']]
	*Dafür wird das Ende eines Symbols im Zeitabschnitt  $T \ – \ T_{\rm G} ≤ t < T$  dem eigentlichen Symbol erneut vorangestellt.		*Dafür wird das Ende eines Symbols im Zeitabschnitt  $T \ – \ T_{\rm G} ≤ t < T$  dem eigentlichen Symbol erneut vorangestellt.
	*Dieses Verfahren erzeugt somit ein  '''zyklisches Präfix'''.		*Dieses Verfahren erzeugt somit ein  '''zyklisches Präfix'''.
			*Die Intervalldauer steigt dabei wie bei der Guard–Lücke von der ursprünglichen Symboldauer  $T$  auf die neue Rahmendauer  $T_{\rm R} = T + T_{\rm G}$.
	~~[[Datei:P_ID1645__Mod_T_5_6_S5a_neu.png \|right\|frame\| Prinzip des zyklischen Präfix']]~~		*Die neue Anzahl der Abtastwerte des erweiterten zeitdiskreten Signals im  $k$–ten Intervall beträgt dann:
	~~<br><br>~~
	Die Intervalldauer steigt dabei wie bei der Guard–Lücke von der ursprünglichen Symboldauer  $T$  auf die neue Rahmendauer  $T_{\rm R} = T + T_{\rm G}$.  Die neue Anzahl der Abtastwerte des erweiterten zeitdiskreten Signals im  $k$–ten Intervall beträgt dann:
	:$$N_{\rm{gesamt}} = N + N_{\rm{G}} = N \cdot (1 + T_{\rm{G}} /T) .$$		:$$N_{\rm{gesamt}} = N + N_{\rm{G}} = N \cdot (1 + T_{\rm{G}} /T) .$$
	Die Anzahl der Träger und die Anzahl der Nutz–IDFT–Werte ist weiterhin  $N$.  Die Erweiterung wird hier lediglich durch eine Wiederholung des Symbolendes  $N\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.08cm}N_0$, ... , $N\hspace{-0.08cm}-\hspace{-0.08cm}1$  im (rot hinterlegten) Guard–Intervall erzielt.		*Die Anzahl der Träger und die Anzahl der Nutz–IDFT–Werte ist weiterhin  $N$.  Die Erweiterung wird hier lediglich durch eine Wiederholung des Symbolendes  $N\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.08cm}N_0$, ... , $N\hspace{-0.08cm}-\hspace{-0.08cm}1$  im  (rot hinterlegten)  Guard–Intervall erzielt.
			*Der Einsatz des zyklischen Präfixes ist besonders effektiv,  wenn die Impulsinterferenzen vor allem durch sog.  "Nachläufer"  hervorgerufen werden.  Dies trifft insbesondere auch auf die bei  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL\|DSL–Systemen]]  verwendeten Kupfer–Doppeladern zu.
	Der Einsatz des zyklischen Präfixes ~~erscheint dann~~ besonders ~~sinnvoll~~, wenn die Impulsinterferenzen vor allem durch Nachläufer hervorgerufen werden. Dies trifft insbesondere auch auf die bei  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL\|DSL–Systemen]]  verwendeten Kupfer–Doppeladern zu.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=

Guenter am 11. Januar 2022 um 15:57 Uhr

2022-01-11T15:57:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Januar 2022, 17:57 Uhr
Zeile 155:		Zeile 155:

	*Die Verwendung eines zyklischen Präfixes vermindert jedoch die  "Bandbreiteneffizienz".  Die Degradation steigt mit wachsender Dauer  $T_{\rm G}$  des Guard–Intervalls  (nachfolgend abgekürzt mit &bdquo;GI”).		*Die Verwendung eines zyklischen Präfixes vermindert jedoch die  "Bandbreiteneffizienz".  Die Degradation steigt mit wachsender Dauer  $T_{\rm G}$  des Guard–Intervalls  (nachfolgend abgekürzt mit &bdquo;GI”).
	*Unter der vereinfachenden Annahme eines hart auf  $1/T$  begrenzten Sendespektrums  $S(f)$  ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz – siehe [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>:		*Unter der vereinfachenden Annahme eines hart auf  $1/T$  begrenzten Sendespektrums  $S(f)$  ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz – siehe [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.:  Nachrichtenübertragung.  Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>:
	:$$\beta = \frac{ {\rm Symbolrate} }{ {\rm Bandbreite} } = \frac{1/(T + T_{\rm G})}{1/T} = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}.$$		:$$\beta = \frac{ {\rm Symbolrate} }{ {\rm Bandbreite} } = \frac{1/(T + T_{\rm G})}{1/T} = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}.$$
	*Bei einem System nach dem so genannten Matched–Filter–Ansatz führt eine Vergrößerung der Rahmendauer von  $T$  auf  $T_{\rm G} + T$  allerdings zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses, wenn die Impulsantworten  $g_{\rm S}(t)$  und  $g_{\rm E}(t)$  von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer  $T$  angepasst sind.		*Bei einem System nach dem so genannten Matched–Filter–Ansatz führt eine Vergrößerung der Rahmendauer von  $T$  auf  $T_{\rm G} + T$  allerdings zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses, wenn die Impulsantworten  $g_{\rm S}(t)$  und  $g_{\rm E}(t)$  von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer  $T$  angepasst sind.

Guenter am 11. Januar 2022 um 15:55 Uhr

2022-01-11T15:55:56Z

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Guenter am 11. Januar 2022 um 14:56 Uhr

2022-01-11T14:56:26Z

Guenter am 10. Januar 2022 um 16:25 Uhr

2022-01-10T16:25:24Z

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Guenter am 6. Mai 2020 um 09:20 Uhr

2020-05-06T09:20:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2020, 11:20 Uhr
Zeile 341:		Zeile 341:

	''Anmerkung'':   Der so genannte  &bdquo;Crest–Faktor”  beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße.  Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein.  Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch  (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz  (Energieverbrauch, Abwärme)  nicht außer Acht gelassen werden soll.		''Anmerkung'':   Der so genannte  &bdquo;Crest–Faktor”  beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße.  Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein.  Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch  (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz  (Energieverbrauch, Abwärme)  nicht außer Acht gelassen werden soll.


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

Guenter am 6. Mai 2020 um 09:19 Uhr

2020-05-06T09:19:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2020, 11:19 Uhr
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	''Anmerkung'': Der so genannte  ''Crest–Faktor'' beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße.  Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein.  Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch  (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz  (Energieverbrauch, Abwärme)  nicht außer Acht gelassen werden soll.		''Anmerkung'':   Der so genannte  &bdquo;Crest–Faktor”  beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße.  Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein.  Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch  (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz  (Energieverbrauch, Abwärme)  nicht außer Acht gelassen werden soll.


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

Guenter am 6. Mai 2020 um 09:05 Uhr

2020-05-06T09:05:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2020, 11:05 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	$\text{Definitionen:}$  Die Orthogonalität der OFDM–Träger geht bei der Übertragung über einen frequenzselektiven Kanal verloren.		$\text{Definitionen:}$  Die Orthogonalität der OFDM–Träger geht bei der Übertragung über einen frequenzselektiven Kanal verloren.
	*Die daraus resultierende Interferenz zwischen den einzelnen Trägern bezeichnet man als  '''Intercarrier–Interferenz'''  $\rm (ICI)$.		*Die daraus resultierende Interferenz zwischen den einzelnen Trägern bezeichnet man als  '''Intercarrier–Interferenz'''  $\rm (ICI)$.
	*Die Übertragung über einen ~~solchen~~ Mehrwegekanal bewirkt letztlich aber auch eine Überlagerung aufeinander folgender Symbole und damit  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen\|'''Impulsinterferenzen''']]  $($englisch:   ''Intersymbol Interference'',  $\rm ISI)$.}}		*Die Übertragung über einen Mehrwegekanal bewirkt letztlich aber auch eine Überlagerung aufeinander folgender Symbole und damit  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen\|'''Impulsinterferenzen''']]  $($englisch:   ''Intersymbol Interference'',  $\rm ISI)$.}}

← Nächstältere Version		Version vom 11. Januar 2022, 16:56 Uhr
Zeile 154:		Zeile 154:
	*Die Festlegung eines geeigneten Guard–Intervalls ist ein wichtiges Designkriterium bei OFDM–basierten Übertragungssystemen.  Eine mögliche Vorgehensweise dazu wird im Abschnitt  [[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze\|OFDM für 4G–Netze]]  exemplarisch vorgestellt.		*Die Festlegung eines geeigneten Guard–Intervalls ist ein wichtiges Designkriterium bei OFDM–basierten Übertragungssystemen.  Eine mögliche Vorgehensweise dazu wird im Abschnitt  [[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze\|OFDM für 4G–Netze]]  exemplarisch vorgestellt.

	*Die Verwendung eines zyklischen Präfixes vermindert jedoch die  ''Bandbreiteneffizienz''.  Die Degradation steigt mit wachsender Dauer  $T_{\rm G}$  des Guard–Intervalls – nachfolgend abgekürzt mit &bdquo;GI”.		*Die Verwendung eines zyklischen Präfixes vermindert jedoch die  "Bandbreiteneffizienz".  Die Degradation steigt mit wachsender Dauer  $T_{\rm G}$  des Guard–Intervalls  (nachfolgend abgekürzt mit &bdquo;GI”).
	*Unter der vereinfachenden Annahme eines hart auf  $1/T$  begrenzten Sendespektrums  $S(f)$  ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz – siehe [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>:		*Unter der vereinfachenden Annahme eines hart auf  $1/T$  begrenzten Sendespektrums  $S(f)$  ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz – siehe [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>:
	:$$\beta = \frac{ {\rm Symbolrate} }{ {\rm Bandbreite} } = \frac{1/(T + T_{\rm G})}{1/T} = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}.$$		:$$\beta = \frac{ {\rm Symbolrate} }{ {\rm Bandbreite} } = \frac{1/(T + T_{\rm G})}{1/T} = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}.$$
	*Bei einem System nach dem so genannten Matched–Filter–Ansatz führt eine Vergrößerung der Rahmendauer von  $T$  auf  $T_{\rm G} + T$  allerdings zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses, wenn die Impulsantworten  $g_{\rm S}(t)$  und  $g_{\rm E}(t)$  von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer  $T$  angepasst sind.		*Bei einem System nach dem so genannten Matched–Filter–Ansatz führt eine Vergrößerung der Rahmendauer von  $T$  auf  $T_{\rm G} + T$  allerdings zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses, wenn die Impulsantworten  $g_{\rm S}(t)$  und  $g_{\rm E}(t)$  von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer  $T$  angepasst sind.

	*Das resultierende  ''Signal–to–Noise–Ratio''  $\rm (SNR)$  ~~$\text{~~(in dB)}$  des Gesamtsystem ist unter Berücksichtigung des Guard–Intervalls wie folgt berechenbar:		*Das resultierende  "Signal–to–Noise–Ratio"  $\rm (SNR)$  (in dB)  des Gesamtsystem ist unter Berücksichtigung des Guard–Intervalls wie folgt berechenbar:
	:$${\rm{SNR}}_{\hspace{0.08cm}{\rm{ {\rm{mit} }\hspace{0.08cm} GI} } } = {\rm{SNR}}_{\hspace{0.08cm}{\rm{{\rm{ohne}}\hspace{0.08cm} GI}}} + 10 \cdot \lg (\beta ), \quad {\rm{wobei}}$$		:$${\rm{SNR}}_{\hspace{0.08cm}{\rm{ {\rm{mit} }\hspace{0.08cm} GI} } } = {\rm{SNR}}_{\hspace{0.08cm}{\rm{{\rm{ohne}}\hspace{0.08cm} GI}}} + 10 \cdot \lg (\beta ), \quad {\rm{wobei}}$$
	:$$\beta = \frac{{\left[ {\int\limits_0^T {g_{\rm{S}} (\tau ) \cdot g_{\rm{E}} ( - \tau )d\tau } } \right]^2 }}{{\int\limits_{ - T_{\rm{G}} }^T {g_{\rm{S}}^2 (\tau )} \,d\tau \cdot \int\limits_{\rm{0}}^T {g_{\rm{E}}^2 (\tau )} \,d\tau }} = \frac{ {T^2 } } { {(T + T_{\rm{G} } ) \cdot T} } = \frac{1}{ {1 + T_{\rm{G} } /T} }.$$		:$$\beta = \frac{{\left[ {\int\limits_0^T {g_{\rm{S}} (\tau ) \cdot g_{\rm{E}} ( - \tau )d\tau } } \right]^2 }}{{\int\limits_{ - T_{\rm{G}} }^T {g_{\rm{S}}^2 (\tau )} \,d\tau \cdot \int\limits_{\rm{0}}^T {g_{\rm{E}}^2 (\tau )} \,d\tau }} = \frac{ {T^2 } } { {(T + T_{\rm{G} } ) \cdot T} } = \frac{1}{ {1 + T_{\rm{G} } /T} }.$$
Zeile 165:		Zeile 165:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	Wir gehen von einem Guard–Intervall der Länge  $T_{\rm G} = T/3$  aus.		Wir gehen von einem Guard–Intervall der Länge  $T_{\rm G} = T/3$  aus.  Dann ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz:
	*Dann ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz:
	:$$\beta = \frac{1}{ {1 + 1/3} } = 3/4.$$		:$$\beta = \frac{1}{ {1 + 1/3} } = 3/4.$$
	*Der Anteil des zyklischen Präfixes an der Rahmendauer  $T_{\rm R}$  beträgt  $25\%$  und der (logarithmische) SNR–Verlust ist dann  $10 · \lg \ (4/3) ≈ 1.25 \ \rm dB$. }}		*Der Anteil des zyklischen Präfixes an der Rahmendauer  $T_{\rm R}$  beträgt  $25\%$,  und
			*der (logarithmische) SNR–Verlust ist dann  $10 · \lg \ (4/3) ≈ 1.25 \ \rm dB$. }}


	Das Applet  [[Applets:OFDM\|OFDM–Spektrum und ~~–Signale~~]]  verdeutlicht die Funktionsweise ~~eines~~ zyklischen Präfixes im zeitkontinuierlichen Fall bezüglich  ''Intercarrier Interference~~''  $\rm (ICI)$~~.		Das SWF–Applet  [[Applets:OFDM\|OFDM–Spektrum und Signale]]  verdeutlicht die Funktionsweise des zyklischen Präfixes im zeitkontinuierlichen Fall bezüglich  "Intercarrier Interference".

	==OFDM–Entzerrung im Frequenzbereich==		==OFDM–Entzerrung im Frequenzbereich==