Modulationsverfahren/Realisierung von OFDM-Systemen - Versionsgeschichte

Guenter am 11. Januar 2022 um 16:05 Uhr

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Guenter am 6. Mai 2020 um 08:42 Uhr

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 ==Zyklisches Präfix==
 <br>
 Eine bessere Lösung für das beschriebene Problem ist die Einführung einer&nbsp;  '''zyklischen Erweiterung der Sendesymbole'''&nbsp; im so genannten '''Guard–Intervall'''&nbsp; der Länge &nbsp;$T_{\rm G}$.
 *Dafür wird das Ende eines Symbols im Zeitabschnitt &nbsp;$T \ – \ T_{\rm G} ≤ t < T$&nbsp; dem eigentlichen Symbol erneut vorangestellt.
 *Dieses Verfahren erzeugt somit ein&nbsp; '''zyklisches Präfix'''.
+*Die Intervalldauer steigt dabei wie bei der Guard–Lücke von der ursprünglichen Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; auf die neue Rahmendauer &nbsp;$T_{\rm R} = T + T_{\rm G}$.&nbsp;
-[[Datei:P_ID1645__Mod_T_5_6_S5a_neu.png  |right|frame| Prinzip des zyklischen Präfix']]
+*Die neue Anzahl der Abtastwerte des erweiterten zeitdiskreten Signals im &nbsp;$k$–ten Intervall beträgt dann:
 :$$N_{\rm{gesamt}} = N + N_{\rm{G}} = N \cdot (1 + T_{\rm{G}} /T) .$$
-Die Anzahl der Träger und die Anzahl der Nutz–IDFT–Werte ist weiterhin &nbsp;$N$.&nbsp; Die Erweiterung wird hier lediglich durch eine Wiederholung des Symbolendes &nbsp;$N\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.08cm}N_0$, ... , $N\hspace{-0.08cm}-\hspace{-0.08cm}1$&nbsp; im (rot hinterlegten) Guard–Intervall erzielt.
+*Die Anzahl der Träger und die Anzahl der Nutz–IDFT–Werte ist weiterhin &nbsp;$N$.&nbsp; Die Erweiterung wird hier lediglich durch eine Wiederholung des Symbolendes &nbsp;$N\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.08cm}N_0$, ... , $N\hspace{-0.08cm}-\hspace{-0.08cm}1$&nbsp; im&nbsp; (rot hinterlegten)&nbsp; Guard–Intervall erzielt.
+*Der Einsatz des zyklischen Präfixes ist besonders effektiv,&nbsp; wenn die Impulsinterferenzen vor allem durch sog.&nbsp; "Nachläufer"&nbsp; hervorgerufen werden.&nbsp; Dies trifft insbesondere auch auf die bei &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL–Systemen]]&nbsp; verwendeten Kupfer–Doppeladern zu.
 <br clear=all>
 {{GraueBox|TEXT=

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 *Die Verwendung eines zyklischen Präfixes vermindert jedoch die &nbsp;"Bandbreiteneffizienz".&nbsp; Die Degradation steigt mit wachsender Dauer &nbsp;$T_{\rm G}$&nbsp; des Guard–Intervalls&nbsp; (nachfolgend abgekürzt mit &bdquo;GI&rdquo;).
-*Unter der vereinfachenden Annahme eines hart auf &nbsp;$1/T$&nbsp; begrenzten Sendespektrums &nbsp;$S(f)$&nbsp; ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz – siehe [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>:
+*Unter der vereinfachenden Annahme eines hart auf &nbsp;$1/T$&nbsp; begrenzten Sendespektrums &nbsp;$S(f)$&nbsp; ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz – siehe [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.:&nbsp; Nachrichtenübertragung.&nbsp; Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>:
 :$$\beta  = \frac{ {\rm Symbolrate} }{ {\rm Bandbreite} } = \frac{1/(T + T_{\rm G})}{1/T} = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}.$$
 *Bei einem System nach dem so genannten Matched–Filter–Ansatz führt eine Vergrößerung der Rahmendauer von &nbsp;$T$&nbsp; auf &nbsp;$T_{\rm G} + T$&nbsp; allerdings zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses, wenn die Impulsantworten &nbsp;$g_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_{\rm E}(t)$&nbsp; von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; angepasst sind.

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 *Die Festlegung eines geeigneten Guard–Intervalls ist ein wichtiges Designkriterium bei OFDM–basierten Übertragungssystemen.&nbsp; Eine mögliche Vorgehensweise dazu wird im Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze|OFDM für 4G&ndash;Netze]]&nbsp; exemplarisch vorgestellt.
-*Die Verwendung eines zyklischen Präfixes vermindert jedoch die &nbsp;''Bandbreiteneffizienz''.&nbsp; Die Degradation steigt mit wachsender Dauer &nbsp;$T_{\rm G}$&nbsp; des Guard–Intervalls – nachfolgend abgekürzt mit &bdquo;GI&rdquo;.
+*Die Verwendung eines zyklischen Präfixes vermindert jedoch die &nbsp;"Bandbreiteneffizienz".&nbsp; Die Degradation steigt mit wachsender Dauer &nbsp;$T_{\rm G}$&nbsp; des Guard–Intervalls&nbsp; (nachfolgend abgekürzt mit &bdquo;GI&rdquo;).
 *Unter der vereinfachenden Annahme eines hart auf &nbsp;$1/T$&nbsp; begrenzten Sendespektrums &nbsp;$S(f)$&nbsp; ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz – siehe [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>:
 :$$\beta  = \frac{ {\rm Symbolrate} }{ {\rm Bandbreite} } = \frac{1/(T + T_{\rm G})}{1/T} = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}.$$
 *Bei einem System nach dem so genannten Matched–Filter–Ansatz führt eine Vergrößerung der Rahmendauer von &nbsp;$T$&nbsp; auf &nbsp;$T_{\rm G} + T$&nbsp; allerdings zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses, wenn die Impulsantworten &nbsp;$g_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_{\rm E}(t)$&nbsp; von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; angepasst sind.
-*Das resultierende &nbsp;''Signal&ndash;to&ndash;Noise&ndash;Ratio''&nbsp; $\rm (SNR)$&nbsp; $\text{(in dB)}$&nbsp; des Gesamtsystem ist unter Berücksichtigung des Guard–Intervalls wie folgt berechenbar:
+*Das resultierende &nbsp;"Signal&ndash;to&ndash;Noise&ndash;Ratio"&nbsp; $\rm (SNR)$&nbsp; (in dB)&nbsp; des Gesamtsystem ist unter Berücksichtigung des Guard–Intervalls wie folgt berechenbar:
 :$${\rm{SNR}}_{\hspace{0.08cm}{\rm{ {\rm{mit} }\hspace{0.08cm} GI} } } = {\rm{SNR}}_{\hspace{0.08cm}{\rm{{\rm{ohne}}\hspace{0.08cm} GI}}} + 10 \cdot \lg (\beta ), \quad {\rm{wobei}}$$
 :$$\beta  = \frac{{\left[ {\int\limits_0^T {g_{\rm{S}} (\tau ) \cdot g_{\rm{E}} ( - \tau )d\tau } } \right]^2 }}{{\int\limits_{ - T_{\rm{G}} }^T {g_{\rm{S}}^2 (\tau )} \,d\tau \cdot \int\limits_{\rm{0}}^T {g_{\rm{E}}^2 (\tau )} \,d\tau }} = \frac{ {T^2 } } { {(T + T_{\rm{G} } ) \cdot T} } = \frac{1}{ {1 + T_{\rm{G} } /T} }.$$
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;
-Wir gehen von einem Guard–Intervall der Länge &nbsp;$T_{\rm G} = T/3$&nbsp; aus.
+Wir gehen von einem Guard–Intervall der Länge &nbsp;$T_{\rm G} = T/3$&nbsp; aus.&nbsp; Dann ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz:
 :$$\beta = \frac{1}{ {1 + 1/3} } = 3/4.$$
-*Der Anteil des zyklischen Präfixes an der Rahmendauer &nbsp;$T_{\rm R}$&nbsp; beträgt &nbsp;$25\%$&nbsp; und der (logarithmische) SNR–Verlust ist dann &nbsp;$10 · \lg \ (4/3) ≈ 1.25 \ \rm dB$. }}
+*Der Anteil des zyklischen Präfixes an der Rahmendauer &nbsp;$T_{\rm R}$&nbsp; beträgt &nbsp;$25\%$,&nbsp; und
-Das Applet &nbsp;[[Applets:OFDM|OFDM–Spektrum und –Signale]]&nbsp; verdeutlicht die Funktionsweise eines zyklischen Präfixes im zeitkontinuierlichen Fall bezüglich &nbsp;''Intercarrier Interference''&nbsp; $\rm (ICI)$.
+Das SWF&ndash;Applet &nbsp;[[Applets:OFDM|OFDM–Spektrum und Signale]]&nbsp; verdeutlicht die Funktionsweise des zyklischen Präfixes im zeitkontinuierlichen Fall bezüglich &nbsp;"Intercarrier Interference".
 ==OFDM–Entzerrung im Frequenzbereich==

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	''Anmerkung'':   Der so genannte  &bdquo;Crest–Faktor”  beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße.  Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein.  Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch  (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz  (Energieverbrauch, Abwärme)  nicht außer Acht gelassen werden soll.		''Anmerkung'':   Der so genannte  &bdquo;Crest–Faktor”  beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße.  Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein.  Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch  (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz  (Energieverbrauch, Abwärme)  nicht außer Acht gelassen werden soll.
−

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2020, 09:19 Uhr
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−	''Anmerkung'': Der so genannte  ''Crest–Faktor'' beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße.  Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein.  Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch  (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz  (Energieverbrauch, Abwärme)  nicht außer Acht gelassen werden soll.	+	''Anmerkung'':   Der so genannte  &bdquo;Crest–Faktor”  beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße.  Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein.  Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch  (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz  (Energieverbrauch, Abwärme)  nicht außer Acht gelassen werden soll.
		+

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

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 $\text{Definitionen:}$&nbsp; Die Orthogonalität der OFDM–Träger geht bei der Übertragung über einen frequenzselektiven Kanal verloren.
 *Die daraus resultierende Interferenz zwischen den einzelnen Trägern bezeichnet man als&nbsp; '''Intercarrier–Interferenz'''&nbsp; $\rm (ICI)$.
-*Die Übertragung über einen solchen Mehrwegekanal bewirkt letztlich aber auch eine Überlagerung aufeinander folgender Symbole und damit &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|'''Impulsinterferenzen''']]&nbsp; $($englisch: &nbsp; ''Intersymbol Interference'',&nbsp; $\rm ISI)$.}}
+*Die Übertragung über einen Mehrwegekanal bewirkt letztlich aber auch eine Überlagerung aufeinander folgender Symbole und damit &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|'''Impulsinterferenzen''']]&nbsp; $($englisch: &nbsp; ''Intersymbol Interference'',&nbsp; $\rm ISI)$.}}

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 \end{array} } \right) \ = \  {\rm{ (1, -0.3 + j \cdot 0.3, \; \; 0.4, -0.3 - j \cdot 0.3) } }.\end{align*}$$
-'''(6)'''  &nbsp; Die Entzerrerkoeffizienten wählt man nun entsprechend &nbsp;$e_{\mu} = 1/H_{\mu}$, wobei &nbsp;$\mu = 0$, ... , $3$&nbsp; gilt:
+'''(6)'''  &nbsp; Die Entzerrerkoeffizienten wählt man entsprechend &nbsp;$e_{\mu} = 1/H_{\mu}$,&nbsp; wobei &nbsp;$\mu = 0$, ... , $3$ &nbsp; gilt:
 :$$e_0  = 1, \quad e_1 = \frac{1}{ {0.3 - {\rm{j} } \cdot 0.3} }, \quad e_2 = \frac{1}{ {0.4} }, \quad e_3  = \frac{1}{{0.3 + {\rm{j} } \cdot 0.3} }.$$
@@ Zeile 317: / Zeile 317: @@
     {e_2 }  \\
     {e_3 }  \\
-\end{array}} \right) = \left( 1, -1, \; \; 1, -1 \right).$$
+\end{array}} \right) = \left( +1, -1, \; \; +1, -1 \right).$$
-&rArr; &nbsp; Dies entspricht exakt der Sendesymbolfolge &nbsp;$\bf D$. Das heißt: <br>
+&rArr; &nbsp; Dies entspricht exakt der Sendesymbolfolge &nbsp;$\bf D$.&nbsp; Das heißt: <br>
-:'''Bei Kenntnis des Kanals lässt sich das Signal ideal entzerren, wobei man pro Symbol (Träger) nur eine einzige Multiplikation benötigt'''. }}
+:'''Bei Kenntnis des Kanals lässt sich das Signal vollständig entzerren, wobei man pro Symbol (Träger) nur eine einzige Multiplikation benötigt'''. }}
 ==Vor– und Nachteile von OFDM==
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 *durch Guard–Intervall–Technik sehr robust gegen Mehrwegeausbreitung,
 *hohe spektrale Effizienz,
-*einfache Implementierung mit Hilfe der IFFT/FFT (Schnelle Fouriertransformation),
+*einfache Implementierung mit Hilfe von&nbsp; $\rm IFFT/FFT$&nbsp; (Schnelle Fouriertransformation),
 *relativ unempfindlich für ungenaue Zeitsynchronisation.
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 *anfällig für Doppler–Spreizungen durch eine relativ lange Symboldauer,
 *empfindlich gegenüber Oszillatorschwankungen,
-*ein schlechter Crest–Faktor (Scheitelfaktor).
+*ein ungünstiger Crest–Faktor (Scheitelfaktor).
-''Anmerkung'': Der so genannte &nbsp;''Crest–Faktor'' beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße. Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein. Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz (Energieverbrauch, Abwärme) nicht außer Acht gelassen werden soll.
+''Anmerkung'': Der so genannte &nbsp;''Crest–Faktor'' beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße.&nbsp; Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein.&nbsp; Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch&nbsp; (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz&nbsp; (Energieverbrauch, Abwärme)&nbsp; nicht außer Acht gelassen werden soll.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp; Die Vorteile von OFDM überwiegen die Nachteile bei Weitem:
-*Obwohl das grundsätzliche Verfahren mindestens seit der Veröffentlichung [Wei71]<ref>Weinstein, S. B.: ''Data Transmission by Frequency Division Multiplexing Using the Discrete Fourier Transform''. IEEE Transactions on Communications, COM-19, S. 628-634, 1971.</ref> bekannt ist, finden die OFDM–Systeme allerdings erst seit den 1990–Jahren Verwendung.
+*Obwohl das Prinzip mindestens seit der Veröffentlichung [Wei71]<ref>Weinstein, S. B.: ''Data Transmission by Frequency Division Multiplexing Using the Discrete Fourier Transform''. IEEE Transactions on Communications, COM-19, S. 628-634, 1971.</ref> bekannt ist, finden OFDM–Systeme allerdings erst seit den 1990–Jahren Verwendung.
-*Die Hauptursache dafür ist wohl unter anderem darin zu suchen, dass die für die IFFT bzw. FFT benötigten leistungsfähigen Signalprozessoren erst seit einigen Jahren verfügbar sind. }}
+*Die Hauptursache dafür ist unter anderem, dass die für die IFFT bzw. FFT benötigten leistungsfähigen Signalprozessoren erst seit einigen Jahren verfügbar sind. }}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 *Bei einem System nach dem so genannten Matched–Filter–Ansatz führt eine Vergrößerung der Rahmendauer von &nbsp;$T$&nbsp; auf &nbsp;$T_{\rm G} + T$&nbsp; allerdings zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses, wenn die Impulsantworten &nbsp;$g_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_{\rm E}(t)$&nbsp; von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; angepasst sind.
-*Das resultierende &nbsp;''Signal&ndash;to&ndash;Noise&ndash;Ratio''&nbsp; $\rm SNR$&nbsp; $\text{(in dB)}$ berechnet sich unter Berücksichtigung des Guard–Intervalls wie folgt:
+*Das resultierende &nbsp;''Signal&ndash;to&ndash;Noise&ndash;Ratio''&nbsp; $\rm (SNR)$&nbsp; $\text{(in dB)}$&nbsp; des Gesamtsystem ist unter Berücksichtigung des Guard–Intervalls wie folgt berechenbar:
 :$${\rm{SNR}}_{\hspace{0.08cm}{\rm{ {\rm{mit} }\hspace{0.08cm} GI} } } = {\rm{SNR}}_{\hspace{0.08cm}{\rm{{\rm{ohne}}\hspace{0.08cm} GI}}} + 10 \cdot \lg (\beta ), \quad {\rm{wobei}}$$
 :$$\beta  = \frac{{\left[ {\int\limits_0^T {g_{\rm{S}} (\tau ) \cdot g_{\rm{E}} ( - \tau )d\tau } } \right]^2 }}{{\int\limits_{ - T_{\rm{G}} }^T {g_{\rm{S}}^2 (\tau )} \,d\tau \cdot \int\limits_{\rm{0}}^T {g_{\rm{E}}^2 (\tau )} \,d\tau }} = \frac{ {T^2 } } { {(T + T_{\rm{G} } ) \cdot T} } = \frac{1}{ {1 + T_{\rm{G} } /T} }.$$
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 $\text{Zu beachten ist:}$&nbsp; Im Allgemeinen gilt für die herkömmliche lineare Faltung:
 :$${\rm{DFT} } \{ d_\nu * h_\nu \} \ne {\rm{DFT} } \{d_\nu \} \cdot {\rm{DFT} } \{ h_\nu \}.$$
-*Um dennoch das diskrete Empfangsspektrum durch die diskrete Fouriertransformation (DFT) angeben zu können, benötigt man die &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Faltung zyklische Faltung]&nbsp; (hierfür werden synonym auch die Begriffe ''zirkulare Faltung'' und ''periodische Faltung'' verwendet):
+*Um dennoch das diskrete Empfangsspektrum durch die diskrete Fouriertransformation&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; angeben zu können, benötigt man die &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Faltung zyklische Faltung]&nbsp; (hierfür werden synonym auch die Begriffe ''zirkulare Faltung'' und ''periodische Faltung'' verwendet):
 :$$r_\nu = d_\nu * _{\rm (circ)} h_\nu \quad \circ\hspace{0.01cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad R_\mu = {\rm{DFT} } \{ d_\nu * _{\rm (circ)} h_\nu \}.$$
 *Mit dem Faltungssatz für lineare zeitinvariante Systeme  kann man dann das Spektrum auch als Produkt zweier diskreter Fouriertransformierter schreiben:
 :$$R_\mu = {\rm{DFT} }\{ d_\nu \} \cdot {\rm{DFT} }\{ h_\nu \} = D_\mu \cdot H_\mu.$$
 *Um den Einfluss des Kanals auf die Empfangsfolge auszugleichen, bietet sich die Multiplikation des Spektrums mit der inversen Übertragungsfunktion &nbsp;$1/H_{\mu}$&nbsp; an.
-*Dieser „''Zero Forcing''”–Ansatz führt im rauschfreien Fall zur idealen Signalrekonstruktion. Die Entzerrung kann dabei punktweise erfolgen:
+*Dieser „Zero Forcing”–Ansatz führt im rauschfreien Fall zur idealen Signalrekonstruktion.&nbsp; Die Entzerrung kann dabei punktweise erfolgen:
 :$$\hat {D}_\mu = \frac{1}{ {H_\mu } } \cdot R_\mu.$$}}
@@ Zeile 190: / Zeile 190: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$ &nbsp;
-*Bei einem OFDM–System kann die &nbsp;'''Kanalentzerrung mit einer einzigen Multiplikation je Unterträger'''&nbsp; realisiert werden, wenn der Kanalfrequenzgang bekannt ist.
+*Beim&nbsp; '''OFDM–System'''&nbsp; kann die &nbsp;'''Kanalentzerrung mit einer einzigen Multiplikation je Unterträger'''&nbsp; realisiert werden, wenn der Kanalfrequenzgang bekannt ist.
-*Bei einem klassischen Einträger–System müsste man demgegenüber &nbsp;'''den gesamten genutzten Frequenzbereich entzerren'''. }}
+*Bei einem&nbsp; '''klassischen Einträger–System'''&nbsp; müsste man demgegenüber &nbsp;'''den gesamten genutzten Frequenzbereich entzerren'''. }}
 ==OFDM–Entzerrung in Matrix–Vektor–Notation==
 <br>
-Im Folgenden soll eine erneute, jedoch tiefer gehende Betrachtung der OFDM–Entzerrung erfolgen, wobei wir die &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Matrix-Vektor-Produkt Matrix–Vektor–Notation]&nbsp; verwenden. Die Betrachtung bezieht sich weiterhin auf das  &nbsp;$k$–te Intervall, ohne dass dies besonders vermerkt wird:
+Im Folgenden soll eine erneute, jedoch tiefer gehende Betrachtung der OFDM–Entzerrung erfolgen, wobei wir die &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Matrix-Vektor-Produkt Matrix–Vektor–Notation]&nbsp; verwenden.&nbsp; Die Betrachtung bezieht sich weiterhin auf das  &nbsp;$k$–te Intervall, ohne dass dies besonders vermerkt wird:
-*Der Vektor eines Kanals mit &nbsp;$L$&nbsp; Echos ist &nbsp;$\mathbf h = (h_0$, ... , $h_L)$. Die Übertragungsmatrix mit &nbsp;$N$&nbsp; Zeilen und &nbsp;$N + L$&nbsp; Spalten lautet:
+*Der Vektor eines Kanals mit &nbsp;$L$&nbsp; Echos ist &nbsp;$\mathbf h = (h_0$, ... , $h_L)$.&nbsp; Die Übertragungsmatrix mit &nbsp;$N$&nbsp; Zeilen und &nbsp;$N + L$&nbsp; Spalten lautet:
 :$${\rm\bf{H}} = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {h_0 } & {h_1 } &  \cdots  & {h_L } & {} & {} & {}  \\  {} & {h_0 } & {h_1 } &  \cdots  & {h_L } & {} & {}  \\  {} & {} &  \ddots  &  \ddots  & {} &  \ddots  & {}  \\   {} & {} & {} & {h_0 } & {h_1 } &  \cdots  & {h_L }  \\ \end{array}} \right).$$
-*Hierbei gibt &nbsp;$N$&nbsp; wieder die Anzahl der Träger und damit auch der Zeitabtastwerte der IDFT an. Mit dem Sendevektor &nbsp;${\bf d} = (d_0$, &nbsp;...&nbsp; , $d_{N–1})$ ergibt sich der Empfangsvektor
+*Hierbei gibt &nbsp;$N$&nbsp; die Anzahl der Träger und damit auch der Zeitabtastwerte der IDFT an.&nbsp; Mit dem Sendevektor &nbsp;${\bf d} = (d_0$, &nbsp;...&nbsp; , $d_{N–1})$&nbsp; lautet der Empfangsvektor:
 :$$\bf r = d · H.$$
@@ Zeile 206: / Zeile 206: @@
-Alternativ kann man aber auch die &nbsp;''zyklische Matrix'' &nbsp;$\rm \bf  H_C$&nbsp; mit &nbsp;$N$&nbsp; Zeilen und &nbsp;$N$&nbsp; Spalten sowie die &nbsp;''Fouriertransformation'' &nbsp;$\rm \bf  F$&nbsp; ''in Matrix–Vektor–Notation'' verwenden:
+Alternativ kann man aber auch die &nbsp;''zyklische Matrix'' &nbsp;$\rm \bf  H_C$&nbsp; mit &nbsp;$N$&nbsp; Zeilen und &nbsp;$N$&nbsp; Spalten sowie die &nbsp;''Fouriertransformation'' &nbsp;$\rm \bf  F$&nbsp; ''in Matrix–Vektor–Notation''&nbsp; verwenden:
 :$${\rm\bf{H}}_{\rm{C}}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
     {h_0 } & {h_1 } &  \cdots  &  \cdots  & {h_L } & {} & {} & {}  \\
@@ Zeile 225: / Zeile 225: @@
    \end{array}} \right) .$$
-*Die Diskrete Fouriertransformation (DFT) lässt sich mit &nbsp;$1/N · \bf F$&nbsp; und deren Inverse (IDFT) mit &nbsp;$\rm \bf F^{\star}$ darstellen, so dass für den Sendevektor gilt: &nbsp;$\rm {\bf d} = {\bf D} · {\bf F}^{\star}$.
+*Die Diskrete Fouriertransformation&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; lässt sich mit &nbsp;$1/N · \bf F$&nbsp; und deren Inverse&nbsp; $\rm (IDFT)$&nbsp; mit &nbsp;$\rm \bf F^{\star}$ darstellen, so dass für den Sendevektor gilt: &nbsp;$\rm {\bf d} = {\bf D} · {\bf F}^{\star}$.
 *Die &nbsp;$N$&nbsp; Spektralkoeffizienten werden durch den Vektor &nbsp;${\bf D} = 1/N · {\bf d} · {\bf F}$&nbsp; beschrieben und der Empfangsvektor ist &nbsp;${\bf r} = {\bf d} · {\bf H}_{\rm C} = {\bf D} · {\bf F}^{\star} · {\bf H}_{\rm C}$.
@@ Zeile 241: / Zeile 241: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Das Empfangssymbol auf dem $\mu$–ten Träger ist somit &nbsp;$R_{\mu} = D_{\mu} · H_{\mu}$.
+*Das Empfangssymbol auf dem $\mu$–ten Träger lautet: &nbsp;
 *Dieses  lässt sich somit mit dem &nbsp;''Zero Forcing''–Ansatz entzerren:
 :$$\hat {D}_\mu = \frac{1}{ {H_\mu } } \cdot R_\mu = e_\mu \cdot R_\mu .$$
-*Die Entzerrung mit den Koeffizienten &nbsp;$e_{\mu} = 1/H_{\mu}$&nbsp;	mit &nbsp;$\mu = 0,$ ... , $N–1$&nbsp; führt schließlich zum OFDM–Empfängers.
+*Die Entzerrung mit  &nbsp;$e_{\mu} = 1/H_{\mu}, \ (\mu = 0,$ ... , $N–1)$&nbsp; führt zum endgültigen Blockschaltbild des OFDM–Empfängers.
 * Das gesamte Blockschaltbild ist rechts dargestellt.
 }}