Modulationsverfahren/Qualitätskriterien - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:17Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
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	:$$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$		:$$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$
	*Das Störsignal  $n(t)$  besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$   ⇒ Amplitudenverteilung  mit Störeffektivwert  $σ_n$:		*Das Störsignal  $n(t)$  besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$   ⇒ Amplitudenverteilung  mit Störeffektivwert  $σ_n$:
	:$$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\~~itn~~^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$		:$$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\it n^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$
	*Eigentlich ist beim AWGN–Kanal  $H_{\rm K}(f) = 1$  zu setzen.  Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen  (beachten Sie:  Ein frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt ebenfalls nicht zu Verzerrungen):		*Eigentlich ist beim AWGN–Kanal  $H_{\rm K}(f) = 1$  zu setzen.  Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen  (beachten Sie:  Ein frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt ebenfalls nicht zu Verzerrungen):
	:$$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$		:$$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Modulation_Methods/Quality_Criteria]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:00Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Als Maß für die Qualität des Nachrichtensystems wird das  '''Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis'''  $ρ_v$  an der Sinke als Quotient der Leistungen (Varianzen) von Nutzanteil  $v(t) - ε(t)$  und Störanteil  $ε(t)$  definiert:		$\text{Definition:}$  Als Maß für die Qualität des Nachrichtensystems wird das  '''Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis'''  $ρ_v$  an der Sinke als Quotient der Leistungen (Varianzen) von Nutzanteil  $v(t) - ε(t)$  und Störanteil  $ε(t)$  definiert:
	:$$\rho_{v} = \frac{ P_{v -\varepsilon} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm},\hspace{0.7cm}\text{mit}\hspace{0.7cm} P_{v -\varepsilon} = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M} }		:$$\rho_{v} = \frac{ P_{v -\varepsilon} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm},\hspace{0.7cm}\text{mit}\hspace{0.7cm} P_{v -\varepsilon} = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M} }{\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t,\hspace{0.5cm}P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon^2(t)} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M} }{\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$}}
	{\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t,\hspace{0.5cm}
	P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon^2(t)} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M} }
	{\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$}}


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	{{BlaueBox\|TEXT=  Damit erhält man:		{{BlaueBox\|TEXT=  Damit erhält man:
	:$$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} =		:$$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} =10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm}.$$
	10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm}.$$
	*Im Folgenden bezeichnen wir  $ρ_v$  kurz als das  '''Signal–to–Noise–Ratio'''  oder  '''Sinken–SNR''',  und		*Im Folgenden bezeichnen wir  $ρ_v$  kurz als das  '''Signal–to–Noise–Ratio'''  oder  '''Sinken–SNR''',  und
	*$10 · \lg \ ρ_v$ als den  '''Sinken–Störabstand''',  der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus  $(\lg)$  in dB angegeben wird. }}		*$10 · \lg \ ρ_v$ als den  '''Sinken–Störabstand''',  der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus  $(\lg)$  in dB angegeben wird. }}
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	*Das additive Störsignal beinhaltet alle Frequenzanteile gleichermaßen;  $n(t)$  besitzt ein konstantes Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$ und eine diracförmige Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$:		*Das additive Störsignal beinhaltet alle Frequenzanteile gleichermaßen;  $n(t)$  besitzt ein konstantes Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$ und eine diracförmige Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$:
	:$${\it \Phi}_n(f) = \frac{N_0}{2}\hspace{0.15cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,		:$${\it \Phi}_n(f) = \frac{N_0}{2}\hspace{0.15cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\hspace{0.15cm} \varphi_n(\tau) = \frac{N_0}{2} \cdot \delta (\tau)\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.15cm} \varphi_n(\tau) = \frac{N_0}{2} \cdot \delta (\tau)\hspace{0.05cm}.$$
	:Der Faktor  $1/2$  in diesen Gleichungen berücksichtigt jeweils die zweiseitige Spektraldarstellung.		:Der Faktor  $1/2$  in diesen Gleichungen berücksichtigt jeweils die zweiseitige Spektraldarstellung.
	*Beispielsweise gilt bei thermischem Rauschen für die physikalische Rauschleistungsdichte  (das heißt:  einseitige Betrachtungsweise)  mit der Rauschzahl  $F ≥ 1$  und der absoluten Temperatur  $θ$:		*Beispielsweise gilt bei thermischem Rauschen für die physikalische Rauschleistungsdichte  (das heißt:  einseitige Betrachtungsweise)  mit der Rauschzahl  $F ≥ 1$  und der absoluten Temperatur  $θ$:
	:$${N_0}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta , \hspace{0.3cm}k_{\rm B} =		:$${N_0}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta , \hspace{0.3cm}k_{\rm B} =1.38 \cdot 10^{-23}{ {\rm Ws} }/{ {\rm K} }\hspace{0.2cm}{\rm(Boltzmann-Konstante)}\hspace{0.05cm}.$$
	1.38 \cdot 10^{-23}{ {\rm Ws} }/{ {\rm K} }\hspace{0.2cm}{\rm
	(Boltzmann-Konstante)}\hspace{0.05cm}.$$
	*Bei echt weißem Rauschen würde sich eine unendliche große Leistung ergeben.  Deshalb ist stets eine Bandbegrenzung auf  $B$  zu berücksichtigen, und es gilt für die wirksame Rauschleistung:		*Bei echt weißem Rauschen würde sich eine unendliche große Leistung ergeben.  Deshalb ist stets eine Bandbegrenzung auf  $B$  zu berücksichtigen, und es gilt für die wirksame Rauschleistung:
	:$$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$		:$$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$
	*Das Störsignal  $n(t)$  besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$   ⇒ Amplitudenverteilung  mit Störeffektivwert  $σ_n$:		*Das Störsignal  $n(t)$  besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$   ⇒ Amplitudenverteilung  mit Störeffektivwert  $σ_n$:
	:$$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\it		:$$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\itn^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$
	n^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$
	*Eigentlich ist beim AWGN–Kanal  $H_{\rm K}(f) = 1$  zu setzen.  Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen  (beachten Sie:  Ein frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt ebenfalls nicht zu Verzerrungen):		*Eigentlich ist beim AWGN–Kanal  $H_{\rm K}(f) = 1$  zu setzen.  Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen  (beachten Sie:  Ein frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt ebenfalls nicht zu Verzerrungen):
	:$$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$		:$$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$
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	*Beim  $\text{System A}$  gilt  $ρ_ν = ξ$.  Beispielsweise führen die Systemparameter		*Beim  $\text{System A}$  gilt  $ρ_ν = ξ$.  Beispielsweise führen die Systemparameter
	:$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
	\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$		:$$ {N_0} =10^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$
	:$$ {N_0} =
	10^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$

	:zu  $ξ = ρ_v = 10000$  (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).		:zu  $ξ = ρ_v = 10000$  (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).
	*Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern		*Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
	:$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$
	\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$		:$${N_0} =10^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
	:$${N_0} =
	10^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

	*Auch beim  $\text{System B}$  besteht mit  $ρ_v = ξ/3$  ein linearer Zusammenhang.  Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.  Die Steigung beträgt aber nur  $1/3$.		*Auch beim  $\text{System B}$  besteht mit  $ρ_v = ξ/3$  ein linearer Zusammenhang.  Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.  Die Steigung beträgt aber nur  $1/3$.

Guenter am 2. November 2021 um 15:52 Uhr

2021-11-02T15:52:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2021, 17:52 Uhr
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	<br>		<br>
	Bei allen Untersuchungen hinsichtlich Rauschverhalten gehen wir vom unten skizzierten Blockschaltbild aus.  Wir werden dabei stets das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:		Bei allen Untersuchungen hinsichtlich Rauschverhalten gehen wir vom unten skizzierten Blockschaltbild aus.  Wir werden dabei stets das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:

			[[Datei: P_ID945__Mod_T_1_2_S5_neu.png \|right\|frame\| Blockschaltbild zur Untersuchung des Rauschverhaltens]]

	*Je mehr Sendeleistung  $P_{\rm S}$  aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR  $ρ_v$.  Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.		*Je mehr Sendeleistung  $P_{\rm S}$  aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR  $ρ_v$.  Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
	*$ρ_v$  nimmt mit steigender Rauschleistungsdichte  $N_0$  monoton ab.  Eine Vergrößerung von  $N_0$  kann meist durch eine größere Sendeleistung  $P_{\rm S}$  ausgeglichen werden.		*$ρ_v$  nimmt mit steigender Rauschleistungsdichte  $N_0$  monoton ab.  Eine Vergrößerung von  $N_0$  kann meist durch eine größere Sendeleistung  $P_{\rm S}$  ausgeglichen werden.
	*Je kleiner der Parameter  $α_{\rm K}$  des Kanals ist, um so kleiner wird  $ρ_v$.  Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung  $P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$  ist.		*Je kleiner der Parameter  $α_{\rm K}$  des Kanals ist, um so kleiner wird  $ρ_v$.  Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung  $P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$  ist.
	*Ein breitbandigeres Quellensignal  $($größeres  $B_{\rm NF})$  führt zu kleinerem  $ρ_v$   ⇒   man muss auch die HF–Bandbreite vergrößern   ⇒   mehr werden ~~Störungen~~ wirksam.		*Ein breitbandigeres Quellensignal  $($größeres  $B_{\rm NF})$  führt zu kleinerem  $ρ_v$   ⇒   man muss auch die HF–Bandbreite vergrößern   ⇒   mehr Störungen werden wirksam.


	~~[[Datei: P_ID945__Mod_T_1_2_S5_neu.png \|center\|frame\| Blockschaltbild zur Untersuchung des Rauschverhaltens]]~~

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
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	Die in  $ξ$  zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Blockschaltbild mit blauen Pfeilen markiert, während das Qualitätskriterium  $ρ_v$  durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.		Die in  $ξ$  zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Blockschaltbild mit blauen Pfeilen markiert,  während das Qualitätskriterium  $ρ_v$  durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.
			* Je größer  $ξ$  ist,  desto größer ist im allgemeinen  $\rho_{v }$.
			* Aber der Zusammenhang ist nicht immer linear,  wie das folgende Beispiel zeigt.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR  $ρ_v$  für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße		$\text{Beispiel 2:}$  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR  $ρ_v$  für drei verschiedene Systeme dargestellt,  jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße
	[[Datei:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png \|right\|frame\| Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]		[[Datei:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png \|right\|frame\| Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]
	:$$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$$		:$$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$$
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	B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$		B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$

	:zu  $ξ = ρ_v = 10000$  (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).  Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern		:zu  $ξ = ρ_v = 10000$  (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).
			*Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
	:$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$		\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$
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	*Auch beim  $\text{System B}$  besteht mit  $ρ_v = ξ/3$  ein linearer Zusammenhang.  Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.  Die Steigung beträgt aber nur  $1/3$.		*Auch beim  $\text{System B}$  besteht mit  $ρ_v = ξ/3$  ein linearer Zusammenhang.  Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.  Die Steigung beträgt aber nur  $1/3$.
	:Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend  $\text{System A}$  bei  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]]   ⇒   Modulationsgrad  $m → ∞$  festzustellen ist, während  $\text{System B}$  eine  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]] und Modulationsgrad  $m ≈ 0.5$  beschreibt.		*Anzumerken ist,  dass ein Rauschverhalten entsprechend  $\text{System A}$  bei  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]]   ⇒   Modulationsgrad  $m → ∞$  festzustellen ist, während  $\text{System B}$  eine  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]]  und Modulationsgrad  $m ≈ 0.5$  beschreibt.

	*Das  $\text{System C}$  zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.  Für kleine  $ξ$–Werte ist dieses System dem  $\text{System A}$  überlegen, während für  $ξ = 10000$  die Qualität beider Systeme gleich ist.		*Das  $\text{System C}$  zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.  Für kleine  $ξ$–Werte ist dieses System dem  $\text{System A}$  überlegen, während für  $ξ = 10000$  die Qualität beider Systeme gleich ist.


	Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße  $ξ$  wird das  $\text{System C}$  im Gegensatz zum $\text{System A}$ nicht signifikant verbessert.  Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird.  Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden ~~eine~~ kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – ~~kein besseres Sinken–SNR~~ zu erzielen.		Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße  $ξ$  wird das  $\text{System C}$  im Gegensatz zum $\text{System A}$ nicht signifikant verbessert.  Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird.  Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung kein besseres Sinken–SNR – und damit verbunden auch keine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – zu erzielen.

	Meist werden die Größen  $ρ_v$  und  $ξ$  in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:		Meist werden die Größen  $ρ_v$  und  $ξ$  in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:
	*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das  $\text{System A}$  weiterhin die Winkelhalbierende.  Die geringere Steigung  $($Faktor $3)$  von  $\text{System B}$  führt nun zu einer Verschiebung um  $10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$  nach unten.		*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das  $\text{System A}$  weiterhin die Winkelhalbierende.
			*Die geringere Steigung  $($Faktor $3)$  von  $\text{System B}$  führt nun zu einer Verschiebung um  $10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$  nach unten.
	*Der Schnittpunkt der Systeme  $\text{A}$  und  $\text{C}$  verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Darstellung von  $ξ = ρ_v = 10000$  auf  $10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$. }}		*Der Schnittpunkt der Systeme  $\text{A}$  und  $\text{C}$  verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Darstellung von  $ξ = ρ_v = 10000$  auf  $10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$. }}

Guenter am 2. November 2021 um 10:37 Uhr

2021-11-02T10:37:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2021, 12:37 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:
	==Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen==		==Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen==
	<br>		<br>
	Alle in den folgenden Kapiteln beschriebenen Modulationsverfahren führen bei nichtidealen Bedingungen zu Verzerrungen, das heißt zu einem Sinkensignal  $v(t) ≠ α · q(t - τ)$, das sich nicht nur durch eine Dämpfung und eine Laufzeit von  $q(t)$  unterscheidet.  Für die Untersuchung und Beschreibung dieser Signalverfälschungen gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen und folgendem Modell aus:		Alle in den folgenden Kapiteln beschriebenen Modulationsverfahren führen bei nichtidealen Bedingungen zu Verzerrungen,  das heißt zu einem Sinkensignal

	[[Datei:P_ID944__Mod_T_1_2_S3_neu.png \|right\|frame\| Vereinfachtes Modell eines Übertragungssystems]]		[[Datei:P_ID944__Mod_T_1_2_S3_neu.png \|right\|frame\| Vereinfachtes Modell eines Übertragungssystems]]
			:$$v(t) ≠ α · q(t - τ),$$
			das sich nicht nur durch eine Dämpfung und eine Laufzeit von  $q(t)$  unterscheidet.

	*Das additive Störsignal  $n(t)$  am Kanalausgang (Demodulatoreingang) sei vernachlässigbar klein und ~~wird nicht berücksichtigt.~~		Für die Untersuchung und Beschreibung dieser Signalverfälschungen gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen und dem obigen Modell aus:

			*Das additive Störsignal  $n(t)$  am Kanalausgang  (Demodulatoreingang)  sei vernachlässigbar klein und wird hier nicht berücksichtigt.
	*Alle Komponenten von Modulator und Demodulator seien linear,		*Alle Komponenten von Modulator und Demodulator seien linear,
	*ebenso wie der Kanal, der somit durch seinen Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  vollständig beschrieben wird.		*ebenso wie der Kanal, der somit durch seinen Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  vollständig beschrieben wird.
	~~<br clear=all>~~

	Je nach Art und Realisierung von Modulator und Demodulator treten folgende Signalverfälschungen auf:		Je nach Art und Realisierung von Modulator und Demodulator treten folgende Signalverfälschungen auf:

	~~'''~~Lineare Verzerrungen~~'''~~  entsprechend der Beschreibung im  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen\|gleichnamigen Kapitel]]  des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme”:		{{BlaueBox\|TEXT=
			$\text{Lineare Verzerrungen}$  entsprechend der Beschreibung im  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen\|gleichnamigen Kapitel]]  des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme”:
	*Lineare Verzerrungen können im Allgemeinen durch einen Entzerrer kompensiert werden, was allerdings bei Vorhandensein einer stochastischen Störung  $n(t)$  stets zu einer höheren Störleistung und damit zu einem geringeren Sinken–SNR führt.		*Lineare Verzerrungen können im Allgemeinen durch einen Entzerrer kompensiert werden, was allerdings bei Vorhandensein einer stochastischen Störung  $n(t)$  stets zu einer höheren Störleistung und damit zu einem geringeren Sinken–SNR führt.
	*Solche ~~lineare~~ Verzerrungen werden weiter in  ''Dämpfungsverzerrungen''  und  ''Phasenverzerrungen''  unterteilt.		*Solche linearen Verzerrungen werden weiter in  '''Dämpfungsverzerrungen'''  und  '''Phasenverzerrungen'''  unterteilt.


	~~'''~~Nichtlineare Verzerrungen~~'''~~ entsprechend der Beschreibung im  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen\|gleichnamigen Kapitel]]  des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme”:		$\text{Nichtlineare Verzerrungen}$  entsprechend der Beschreibung im  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen\|gleichnamigen Kapitel]]  des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme”:
	*Nichtlineare Verzerrungen sind irreversibel und damit eine stärkere Beeinträchtigung als lineare Verzerrungen.		*Nichtlineare Verzerrungen sind irreversibel und damit eine stärkere Beeinträchtigung als lineare Verzerrungen.
	*Zur quantitativen Erfassung solcher Verzerrungen eignet sich beispielsweise der Klirrfaktor ~~ ~~$K$, der mit dem Sinken–SNR ~~in folgendem Zusammenhang steht~~:		*Zur quantitativen Erfassung solcher Verzerrungen eignet sich beispielsweise der Klirrfaktor $K$,  der mit dem Sinken–SNR wie folgt zusammenhängt:   $\rho_{v} = {1}/{K^2} \hspace{0.05cm}.$
	:$$\rho_{v} = {1}/{K^2} \hspace{0.05cm}.$$		*Die Angabe des Klirrfaktors setzt jedoch eine harmonische Schwingung als Quellensignal voraus.}}
	*Die Angabe des Klirrfaktors setzt jedoch eine harmonische Schwingung als Quellensignal voraus.

Guenter am 2. November 2021 um 10:20 Uhr

2021-11-02T10:20:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2021, 12:20 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen  $q(t)$  und  $v(t)$  auf den Dämpfungsfaktor  $α = 0.7$  und die Laufzeit  $τ = 0.1\text{ ms}$  zurückzuführen ist.		Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen  $q(t)$  und  $v(t)$  auf den Dämpfungsfaktor  $α = 0.7$  und die Laufzeit  $τ = 0.1\text{ ms}$  zurückzuführen ist.

	Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal  $ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$  nach bestmöglicher Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.  Den quadratischen Mittelwert ~~(die~~ Varianz) dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung  $P_ε$.		Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal  $ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$  nach bestmöglicher Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.  Den quadratischen Mittelwert   ⇒   "Varianz"  dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung  $P_ε$.

	Zur Berechnung des Sinken–SNR  $ρ_v$  muss  $P_ε$  in Bezug zur Nutzleistung  $α^2 · P_q$  gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals  $α · q(t - τ)$.		Zur Berechnung des Sinken–SNR  $ρ_v$  muss  $P_ε$  in Bezug zur Nutzleistung  $α^2 · P_q$  gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals  $α · q(t - τ)$.

	Mit den hier vorausgesetzten Kenngrößen  $\alpha = 0.7$   ⇒   $\alpha^2 \approx 0.5$  sowie  $P_{q} = 8\,{\rm V^2}$  und  ${P_{\varepsilon} } = 0.04\,{\rm V^2}$  ergibt sich das Sinken–SNR  $ρ_v ≈ 100$  bzw. der Sinken–Störabstand  $10 · \lg ρ_v ≈ 20$ dB. }}		Mit den hier vorausgesetzten Kenngrößen  $\alpha = 0.7$   ⇒   $\alpha^2 \approx 0.5$  sowie  $P_{q} = 8\,{\rm V^2}$  und  ${P_{\varepsilon} } = 0.04\,{\rm V^2}$  ergibt sich das Sinken–SNR  $ρ_v ≈ 100$  bzw. der Sinken–Störabstand  $10 · \lg ρ_v ≈ 20$ dB.}}

Guenter am 1. November 2021 um 14:01 Uhr

2021-11-01T14:01:21Z

Guenter am 1. November 2021 um 11:35 Uhr

2021-11-01T11:35:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. November 2021, 13:35 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	==Ideales und verzerrungsfreies System==		==Ideales und verzerrungsfreies System==
	<br>		<br>
	~~In allen nachfolgenden Kapiteln wird stets~~ von ~~folgendem Modell ausgegangen:~~		[[Datei:P_ID940__Mod_T_1_2_S1_neu.png \|right\|frame\| Blockschaltbild zur Beschreibung von Modulation und Demodulation]]

	~~[[Datei~~:~~P_ID940__Mod_T_1_2_S1_neu.png \|center\|frame\| Blockschaltbild zur Beschreibung von Modulation und Demodulation]]~~		In allen folgenden Kapiteln wird von folgendem Modell ausgegangen:

	Die Aufgabe eines jeden Nachrichtenübertragungssystems besteht darin, an der räumlich entfernten Sinke ein Signal  $v(t)$  zur Verfügung zu stellen, das sich möglichst wenig vom Quellensignal  $q(t)$  unterscheidet.

			Die Aufgabe eines jeden Nachrichtenübertragungssystems besteht darin,
			*an der räumlich entfernten Sinke ein Signal  $v(t)$  zur Verfügung zu stellen,
			*das sich möglichst wenig vom Quellensignal  $q(t)$  unterscheidet.
			<br clear=all>
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Ein  '''ideales System'''  liegt vor, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:		$\text{Definition:}$  Ein  '''ideales System'''  liegt vor, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Zeile 19:		Zeile 21:


	In der Praxis werden sich die Signale  $q(t)$  und  $v(t)$  ~~nicht nur~~ um  $n(t)$  unterscheiden, wofür es folgende Gründe gibt:		In der Praxis werden sich die Signale  $q(t)$  und  $v(t)$  um mehr als den Rauschterm  $n(t)$  unterscheiden, wofür es folgende Gründe gibt:
	*Nichtideale Realisierung von Modulator und Demodulator,		*Nichtideale Realisierung von Modulator und Demodulator,
	*lineare Dämpfungs– und Phasenverzerrungen sowie Nichtlinearitäten,		*lineare Dämpfungs– und Phasenverzerrungen sowie Nichtlinearitäten,

Guenter am 2. März 2020 um 09:45 Uhr

2020-03-02T09:45:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. März 2020, 11:45 Uhr
Zeile 140:		Zeile 140:
	==Untersuchungen beim AWGN–Kanal==		==Untersuchungen beim AWGN–Kanal==
	<br>		<br>
	Bei allen Untersuchungen hinsichtlich ~~des Rauschverhaltens~~ gehen wir ~~von folgendem~~ Blockschaltbild aus:		Bei allen Untersuchungen hinsichtlich Rauschverhalten gehen wir vom unten skizzierten Blockschaltbild aus.  Wir werden dabei stets das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:

	~~[[Datei: P_ID945__Mod_T_1_2_S5_neu~~.~~png \|center\|frame\| Blockschaltbild zur Untersuchung~~ des ~~Rauschverhaltens]]~~		*Je mehr Sendeleistung  $P_{\rm S}$  aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR  $ρ_v$.  Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
			*$ρ_v$  nimmt mit steigender Rauschleistungsdichte  $N_0$  monoton ab.  Eine Vergrößerung von  $N_0$  kann meist durch eine größere Sendeleistung  $P_{\rm S}$  ausgeglichen werden.
			*Je kleiner der Parameter  $α_{\rm K}$  des Kanals ist, um so kleiner wird  $ρ_v$.  Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung  $P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$  ist.
			*Ein breitbandigeres Quellensignal  $($größeres  $B_{\rm NF})$  führt zu kleinerem  $ρ_v$   ⇒   man muss auch die HF–Bandbreite vergrößern   ⇒   mehr werden Störungen wirksam.

	~~Wir werden dabei stets das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:~~
	*Je mehr Sendeleistung $P_{\rm S}$ aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR  $ρ_v$. Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
	*Dagegen nimmt  $ρ_v$  mit steigender Rauschleistungsdichte  $N_0$  monoton ab. Eine Vergrößerung von  $N_0$  kann meist durch eine größere Sendeleistung  $P_{\rm S}$  ausgeglichen werden.
	*Je kleiner der Dämpfungsfaktor  $α_{\rm K}$  ist – das heißt, je stärker der Kanal dämpft – um so kleiner wird  $ρ_v$. Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung  $P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$  ist.
	*Auch ein breitbandigeres Quellensignal $($größeres  $B_{\rm NF})$ führt zu einem kleineren  $ρ_v$, da dadurch auch die HF–Bandbreite vergrößert werden muss und somit mehr Störungen wirksam werden.

			[[Datei: P_ID945__Mod_T_1_2_S5_neu.png \|center\|frame\| Blockschaltbild zur Untersuchung des Rauschverhaltens]]

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$  Unter Berücksichtigung dieser vier Aussagen kommt man zu dem Schluss, dass es Sinn macht, das Sinken–SNR in der Form		$\text{Fazit:}$  Unter Berücksichtigung dieser vier Aussagen kommt man zu dem Schluss, dass es Sinn macht, das Sinken–SNR in der Form
	:$$\rho_{v } = \rho_{v }(\xi) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm}\xi = \frac{ {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} }$$		:$$\rho_{v } = \rho_{v }(\xi) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm}\xi = \frac{ {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} }$$
	normiert darzustellen. Im Folgenden bezeichnen wir $ξ$ als '''Leistungskenngröße'''.}}		normiert darzustellen.  Im Folgenden bezeichnen wir  $ξ$  als die  '''Leistungskenngröße'''.}}


Zeile 160:		Zeile 159:

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR  $ρ_v$  für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße  $\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$		$\text{Beispiel 2:}$  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR  $ρ_v$  für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße
			[[Datei:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png \|right\|frame\| Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]
			:$$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$$

	~~[[Datei:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png \|center\|frame\| Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]~~		*Beim  $\text{System A}$  gilt  $ρ_ν = ξ$.  Beispielsweise führen die Systemparameter

	Beim  $\text{System A}$  gilt  $ρ_ν = ξ$. Beispielsweise führen die Systemparameter
	:$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm}, ~~\hspace{0.2cm}~~{N_0} =		\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
			:$$ {N_0} =
	10^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		10^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$		B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$

	zu  $ξ = ρ_v = 10000$  (siehe kreisförmige Markierung ~~im obigem Bild~~). Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern		:zu  $ξ = ρ_v = 10000$  (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).  Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
	:$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm}, ~~\hspace{0.2cm}~~{N_0} =		\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$
			:$${N_0} =
	10^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		10^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$		B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

	Auch beim  $\text{System B}$  besteht mit  $ρ_v = ξ/3$  ein linearer Zusammenhang.		*Auch beim  $\text{System B}$  besteht mit  $ρ_v = ξ/3$  ein linearer Zusammenhang.  Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.  Die Steigung beträgt aber nur  $1/3$.
	Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt. Die Steigung beträgt aber nur  $1/3$.		:Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend  $\text{System A}$  bei  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]]   ⇒   Modulationsgrad  $m → ∞$  festzustellen ist, während  $\text{System B}$  eine  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]] und Modulationsgrad  $m ≈ 0.5$  beschreibt.

	Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend ~~System~~  $\text{System A}$  bei [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]]   ⇒   Modulationsgrad  $m → ∞$  festzustellen ist, während ~~System~~  $\text{System B}$  eine [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]] ~~beschreibt, dessen~~ Modulationsgrad  $m ≈ 0.5$  ~~ist~~.

	Das  $\text{System C}$  zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.		*Das  $\text{System C}$  zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.  Für kleine  $ξ$–Werte ist dieses System dem  $\text{System A}$  überlegen, während für  $ξ = 10000$  die Qualität beider Systeme gleich ist.
	*Für kleine  $ξ$–Werte ist dieses System dem  $\text{System A}$  überlegen, während für  $ξ = 10000$  die Qualität beider Systeme gleich ist.
	*Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße  $ξ$  wird das  $\text{System C}$  im Gegensatz zum $\text{System A}$ nicht signifikant verbessert.


	Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird. Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – kein besseres Sinken–SNR zu erzielen.		Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße  $ξ$  wird das  $\text{System C}$  im Gegensatz zum $\text{System A}$ nicht signifikant verbessert.  Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird.  Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – kein besseres Sinken–SNR zu erzielen.

	Meist werden die Größen  $ρ_v$  und  $ξ$  in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:		Meist werden die Größen  $ρ_v$  und  $ξ$  in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:
	*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das  $\text{System A}$  weiterhin die Winkelhalbierende.		*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das  $\text{System A}$  weiterhin die Winkelhalbierende.  Die geringere Steigung  $($Faktor $3)$  von  $\text{System B}$  führt nun zu einer Verschiebung um  $10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$  nach unten.
	*Die geringere Steigung (Faktor $3$) von  $\text{System B}$  führt nun zu einer Verschiebung um  $10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$  nach unten.		*Der Schnittpunkt der Systeme  $\text{A}$  und  $\text{C}$  verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Darstellung von  $ξ = ρ_v = 10000$  auf  $10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$. }}
	*Der Schnittpunkt ~~von~~  $\text{~~System~~ A}$  und  $\text{~~System~~ C}$  verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische ~~Transformation~~ von  $ξ = ρ_v = 10000$  auf  $10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$. }}

Guenter am 29. Februar 2020 um 16:46 Uhr

2020-02-29T16:46:34Z

Änderungen zeigen

Guenter am 3. Dezember 2018 um 11:02 Uhr

2018-12-03T11:02:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Dezember 2018, 13:02 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	==Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis==		==Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis==
	<br>		<br>
	Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal  $v(t)$  auch gegenüber  $α · q(t – τ)$  unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:		Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal  $v(t)$  auch gegenüber  $α · q(t - τ)$  unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:
	:$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) + \varepsilon_{\rm St} (t).$$		:$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) + \varepsilon_{\rm St} (t).$$

← Nächstältere Version		Version vom 1. November 2021, 16:01 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:


	*Durch den Dämpfungsfaktor  $α$  ist das Sinkensignal  $v(t)$ gegenüber dem Quellensignal  $q(t)$  nur „leiser”.		*Durch den Dämpfungsfaktor  $α$  ist das Sinkensignal  $v(t)$  gegenüber dem Quellensignal  $q(t)$  nur „leiser”.
	*Auch eine Laufzeit  $τ$  ist oft tolerabel, zumindest bei einer unidirektionalen Übertragung.		*Auch eine Laufzeit  $τ$  ist oft tolerabel, zumindest bei einer unidirektionalen Übertragung.
	*Dagegen wird bei einer bidirektionalen Kommunikation – zum Beispiel einem Telefonat – schon eine Laufzeit von  $300$  Millisekunden als sehr störend empfunden.		*Dagegen wird bei einer bidirektionalen Kommunikation – zum Beispiel einem Telefonat – schon eine Laufzeit von  $300$  Millisekunden als sehr störend empfunden.
Zeile 39:		Zeile 39:
	==Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis==		==Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis==
	<br>		<br>
	Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal  $v(t)$  auch gegenüber   $α · q(t - τ)$   noch unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:		Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal  $v(t)$  auch gegenüber  $α · q(t - τ)$   noch unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:
	:$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) + \varepsilon_{\rm St} (t).$$		:$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) + \varepsilon_{\rm St} (t).$$

	Dieses Fehlersignal setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:		Dieses Fehlersignal setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
	*den linearen und nichtlinearen Verzerrungen  $ε_{\rm V}(t)$, die durch die Frequenzgänge von Modulator, Kanal und Demodulator hervorgerufen werden und somit deterministisches  (zeitinvariantes) Verhalten zeigen;		*den linearen und nichtlinearen Verzerrungen  $ε_{\rm V}(t)$  (German:  "Verzerrungen"   ⇒   subscript "V"),  die durch die Frequenzgänge von Modulator, Kanal und Demodulator hervorgerufen werden und somit deterministisches  (zeitinvariantes) Verhalten zeigen;
	*der stochastischen Komponente  $ε_{\rm St}(t)$, die von der HF–Störung  $n(t)$  am Demodulatoreingang herrührt.  Im Gegensatz zu  $n(t)$  handelt es sich bei  $ε_{\rm St}(t)$  jedoch meist um eine niederfrequente Rauschstörung.		*der stochastischen Komponente  $ε_{\rm St}(t)$,  die von der HF–Störung  $n(t)$  am Demodulatoreingang herrührt.  Im Gegensatz zu  $n(t)$  handelt es sich bei  $ε_{\rm St}(t)$  jedoch meist aufgrund des Demodulators mit Tiefpass Charakteristik um eine niederfrequente Rauschstörung.


Zeile 63:		Zeile 63:
	:$$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} =		:$$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} =
	10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm}.$$		10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm}.$$
	Im Folgenden bezeichnen wir  $ρ_v$  kurz als das  '''Signal–to–Noise–Ratio'''  (oder ~~kurz~~  ''Sinken–SNR'')  und ~~ ~~$10 · \lg \ ρ_v$ als den  '''Sinken–Störabstand''', der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus  $(\lg)$  in dB angegeben wird. }}		*Im Folgenden bezeichnen wir  $ρ_v$  kurz als das  '''Signal–to–Noise–Ratio'''  oder  '''Sinken–SNR''',  und
			*$10 · \lg \ ρ_v$ als den  '''Sinken–Störabstand''',  der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus  $(\lg)$  in dB angegeben wird. }}


	[[Datei:P_ID941__Mod_T_1_2_S2_neu.png \|right\|frame\|Zur Verdeutlichung des Fehlersignals]]		[[Datei:P_ID941__Mod_T_1_2_S2_neu.png \|right\|frame\|Zur Verdeutlichung des Fehlersignals $ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$  Rechts sehen Sie einen beispielhaften Ausschnitt des (blauen) Quellensignals  $q(t)$  und des (roten) Sinkensignals  $v(t)$, die sich merklich voneinander unterscheiden.		$\text{Beispiel 1:}$  Rechts sehen Sie einen beispielhaften Ausschnitt
			*des (blauen) Quellensignals  $q(t)$  und
			*des (roten) Sinkensignals  $v(t)$,

			die sich merklich voneinander unterscheiden.

	Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen  $q(t)$  und  $v(t)$  auf den Dämpfungsfaktor  $α = 0.7$  und die Laufzeit  $τ = 0.1\text{ ms}$  zurückzuführen ist.		Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen  $q(t)$  und  $v(t)$  auf den Dämpfungsfaktor  $α = 0.7$  und die Laufzeit  $τ = 0.1\text{ ms}$  zurückzuführen ist.

	Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal  $ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$  nach Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.  Den quadratischen Mittelwert (die Varianz) dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung  $P_ε$.		Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal  $ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$  nach bestmöglicher Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.  Den quadratischen Mittelwert (die Varianz) dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung  $P_ε$.

	Zur Berechnung des Sinken–SNR  $ρ_v$  muss  $P_ε$  in Bezug zur Nutzleistung  $α^2 · P_q$  gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals  $α · q(t - τ)$.		Zur Berechnung des Sinken–SNR  $ρ_v$  muss  $P_ε$  in Bezug zur Nutzleistung  $α^2 · P_q$  gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals  $α · q(t - τ)$.