Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation - Versionsgeschichte

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Zeile 81:		Zeile 81:

	*die mittlere Energie pro Symbol:		*die mittlere Energie pro Symbol:
	:$$E_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm E}\big[\hspace{0.05cm}\vert a_{\nu} \vert ^2 \big]\hspace{0.05cm}\~~cdotg_0~~^2 \cdot T = {5}/{9}\cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}\approx 0.555 \cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm},$$		:$$E_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm E}\big[\hspace{0.05cm}\vert a_{\nu} \vert ^2 \big]\hspace{0.05cm}\cdot g_0^2 \cdot T = {5}/{9}\cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}\approx 0.555 \cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm},$$
	*die mittlere Energie pro Bit:		*die mittlere Energie pro Bit:
	:$$E_{\rm B} ={E_{\rm S} }/{4}= {5}/{36}\cdot g_0^2 \cdot T \approx 0.139 \cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm B} ={E_{\rm S} }/{4}= {5}/{36}\cdot g_0^2 \cdot T \approx 0.139 \cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$

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2026-02-24T13:38:00Z

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Guenter am 20. April 2022 um 15:19 Uhr

2022-04-20T15:19:16Z

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	⇒   Wesentliche Eigenschaften von 4–QAM/QPSK und Offset–QPSK können Sie sich mit dem interaktiven Applet  [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)\|QPSK und Offset-QPSK]]   verdeutlichen, wobei als Grundimpuls alternativ wählbar ist:		⇒   Wesentliche Eigenschaften von 4–QAM/QPSK und Offset–QPSK können Sie sich mit dem interaktiven SWF–Applet  [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)\|QPSK und Offset-QPSK]]   verdeutlichen,  wobei als Grundimpuls alternativ wählbar ist:
	*ein Rechteckimpuls,		*ein Rechteckimpuls,
	*ein Cosinusimpuls,		*ein Cosinusimpuls,

Guenter am 20. April 2022 um 15:07 Uhr

2022-04-20T15:07:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2022, 17:07 Uhr
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	Die Grafik zeigt Phasendiagramme für diesen Fall, die dem Buch  [Kam04]<ref name="Kam04">Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>  entnommen sind.  Der Rolloff–Faktor beträgt  $r = 0.5$.  Man erkennt aus diesen Darstellungen:		Die Grafik zeigt Phasendiagramme für diesen Fall, die dem Buch  [Kam04]<ref name="Kam04">Kammeyer, K.D.:  Nachrichtenübertragung.  Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>  entnommen sind.  Der Rolloff–Faktor beträgt  $r = 0.5$.  Man erkennt aus diesen Darstellungen:
	[[Datei:Mod_T_4_3_S8_vers2.png\|right\|frame\|Phasendiagramme der 4-QAM bei Wurzel-Nyquist-Konfiguration]]		[[Datei:Mod_T_4_3_S8_vers2.png\|right\|frame\|Phasendiagramme der 4-QAM bei Wurzel-Nyquist-Konfiguration]]

Guenter am 20. April 2022 um 15:05 Uhr

2022-04-20T15:05:36Z

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Guenter am 21. April 2020 um 14:53 Uhr

2020-04-21T14:53:27Z

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			Die Grafik zeigt Phasendiagramme für diesen Fall, die dem Buch  [Kam04]<ref name="Kam04">Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>  entnommen sind.  Der Rolloff–Faktor beträgt  $r = 0.5$.  Man erkennt aus diesen Darstellungen:
	[[Datei:Mod_T_4_3_S8_vers2.png\|right\|frame\|Phasendiagramme der 4-QAM bei Wurzel-Nyquist-Konfiguration]]		[[Datei:Mod_T_4_3_S8_vers2.png\|right\|frame\|Phasendiagramme der 4-QAM bei Wurzel-Nyquist-Konfiguration]]

	Die Grafik zeigt die Phasendiagramme für diesen Fall, die dem Buch [Kam04]<ref name="Kam04">Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref> entnommen sind. Der Rolloff–Faktor beträgt  $r = 0.5$. Man erkennt aus diesen Darstellungen:		*Das rechte Diagramm zeigt die Detektionssignale im  $\rm I$– und  $\rm Q$–Zweig nach den Wurzel–Nyquist–Empfangsfiltern in 2D–Darstellung.  Die dazugehörigen Spektren besitzen jeweils cosinusförmige Flanken um die Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$.
	*Das rechte Diagramm zeigt die Detektionssignale im  $\rm I$– und  $\rm Q$–Zweig nach den Wurzel–Nyquist–Empfangsfiltern in 2D–Darstellung. Die dazugehörigen Spektren besitzen jeweils cosinusförmige Flanken um die Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$.		*Zu den Detektionszeitpunkten sind im Phasendiagramm nur die vier gelb eingezeichneten Punkte möglich.  Die Übergänge dazwischen sind vielfältig.  Anzumerken ist, dass nur wenige Linien durch den Koordinaten-Nullpunkt gehen.
	*Zu den Detektionszeitpunkten sind im Phasendiagramm nur die vier gelb eingezeichneten Punkte möglich. Die Übergänge dazwischen sind vielfältig. Anzumerken ist, dass nur wenige Linien durch den Koordinaten-Nullpunkt gehen.		*Links dargestellt sind die beiden Sendesignale im äquivalenten Tiefpassbereich,  $s_{\rm I}(t) = {\rm Re}\big[s_{\rm TP}(t)\big]$  und  $s_{\rm Q}(t) = {\rm Im}\big[s_{\rm TP}(t)\big]$.  Aufgrund der Wurzel–Nyquist–Spektralformung gibt es beim Sender Impulsinterferenzen, das heißt, dass das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} · s_{\rm Q}(t)$  auch zu den Detektionszeitpunkten nicht auf vier Punkte beschränkt ist.
	*Links dargestellt sind die beiden Sendesignale im äquivalenten Tiefpassbereich, $s_{\rm I}(t) = {\rm Re}\big[s_{\rm TP}(t)\big]$  und  $s_{\rm Q}(t) = {\rm Im}\big[s_{\rm TP}(t)\big]$. Aufgrund der Wurzel–Nyquist–Spektralformung gibt es beim Sender Impulsinterferenzen, das heißt, dass das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} · s_{\rm Q}(t)$  auch zu den Detektionszeitpunkten nicht auf vier Punkte beschränkt ist.		*Der Betrag  $\|s_{\rm TP}(t)\|$ – also der Abstand vom Nullpunkt – gibt die Hüllkurve des 4–QAM–Signals an.  Man erkennt aus dem linken Diagramm deutlich, dass es insbesondere bei Phasenänderungen um  $π$  starke Amplitudeneinbrüche gibt, da  $s_{\rm TP}(t)$  dann häufig auch (komplexe) Werte nahe Null annimmt.
	*Der Betrag  $\|s_{\rm TP}(t)\|$ – also der Abstand vom Nullpunkt – gibt die Hüllkurve des 4–QAM–Signals an. Man erkennt aus dem linken Diagramm deutlich, dass es insbesondere bei Phasenänderungen um  $π$  starke Amplitudeneinbrüche gibt, da  $s_{\rm TP}(t)$  dann auch (komplexe) Werte nahe Null annimmt.


	==Offset–Quadraturamplitudenmodulation==		==Offset–Quadraturamplitudenmodulation==
	<br>		<br>
	Ausgehend von den Gleichungen für die 4–QAM  (bzw.  $π/4$–QPSK)  kommt man zur  ''Offset–4–QAM'', die wir vereinfachend mit  ~~'''~~Offset–QPSK~~'''  $(~~$~~kurz:~~   ~~O–QPSK$)$~~  ~~bezeichnen.~~ Für das Sendesignal gilt hier:		Ausgehend von den Gleichungen für die  $\text{4–QAM}$   $($bzw.  $π/4\text{–QPSK)}$  kommt man zur  $\text{Offset–4–QAM}$, die wir vereinfachend mit  $\text{Offset–QPSK}$  bezeichnen.  Für das Sendesignal gilt hier:
	:$$s(t) =s_{\rm I}(t) \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t) - s_{\rm Q}(t)		:$$s(t) =s_{\rm I}(t) \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t) - s_{\rm Q}(t)
	\cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t),$$		\cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t),$$
	:$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm I}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm Q\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t -{T}/{2} - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm I}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm Q\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t -{T}/{2} - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

	Der einzige, aber entscheidende Unterschied ist die zeitliche Verschiebung der Quadraturkomponente gegenüber der Inphasekomponente um eine halbe Symboldauer  $(T/2)$. Dies hat den Vorteil, dass		Der einzige, aber entscheidende Unterschied ist die zeitliche Verschiebung der Quadraturkomponente gegenüber der Inphasekomponente um eine halbe Symboldauer  $(T/2)$.  Dies hat den Vorteil, dass
	*die Phasenfunktion nicht durch Null geht, und		*die Phasenfunktion nicht durch Null geht, und
	*dadurch die Hüllkurve  $\|s_{\rm TP}(t)\|$  ~~auch~~ deutlich weniger schwankt.		*dadurch die Hüllkurve  $\|s_{\rm TP}(t)\|$  deutlich weniger schwankt.


			[[Datei:P_ID1716__Mod_T_4_3_S9_neu.png\|right\|frame\| Phasendiagramm beim Sender und Hüllkurve bei  $π/4$–QPSK (oben) und  O–QPSK (unten)]]
			{{GraueBox\|TEXT=
			$\text{Beispiel 2:}$  Die obere Grafik zeigt
			* links nochmals das Phasendiagramm für die  $π/4\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\text{QPSK}$,
			* rechts daneben einen beispielhaften Verlauf der Hüllkurve, wobei wie im letzten Abschnitt ein Wurzel–Nyquist–Sendespektrum mit dem Rolloff–Faktor  $r = 0.5$  zugrunde liegt.




	~~{{GraueBox\|TEXT=~~
	$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt oben nochmals das Phasendiagramm für die 4–QAM  $(π$/4–QPSK$)$ und rechts daneben einen beispielhaften Verlauf der Hüllkurve, wobei wie im letzten Abschnitt ein Wurzel–Nyquist–Sendespektrum mit dem Rolloff–Faktor  $r = 0.5$  zugrunde liegt.

	~~[[Datei:P_ID1716__Mod_T_4_3_S9_neu.png\|center\|frame\| Phasendiagramm beim Sender und Hüllkurve bei  $π/4$–QPSK (oben) und  O–QPSK (unten)]]~~

	Die ~~beiden~~ unteren Bilder zeigen, dass die ~~Offset–QPSK~~ hinsichtlich der Einhüllenden deutlich bessere Eigenschaften (weniger gravierende Signaleinbrüche) ~~besitzt~~.}}		Die unteren Bilder zeigen, dass die  $\text{Offset – QPSK}$  hinsichtlich der Einhüllenden deutlich bessere Eigenschaften aufweist  (weniger gravierende Signaleinbrüche).}}


	Wesentliche Eigenschaften von 4–QAM/QPSK und Offset–QPSK können Sie sich mit dem interaktiven Applet  [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)\|QPSK und Offset-QPSK]]  verdeutlichen, wobei als Grundimpuls alternativ wählbar ist:		Wesentliche Eigenschaften von 4–QAM/QPSK und Offset–QPSK können Sie sich mit dem interaktiven Applet  [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)\|QPSK und Offset-QPSK]]   verdeutlichen, wobei als Grundimpuls alternativ wählbar ist:
	*ein Rechteckimpuls,		*ein Rechteckimpuls,
	*ein Cosinusimpuls,		*ein Cosinusimpuls,

Guenter am 21. April 2020 um 14:30 Uhr

2020-04-21T14:30:35Z

Guenter am 20. April 2020 um 14:02 Uhr

2020-04-20T14:02:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2020, 16:02 Uhr
Zeile 147:		Zeile 147:
	==Quadratische QAM–Signalraumkonstellationen==		==Quadratische QAM–Signalraumkonstellationen==
	<br>		<br>
	Die folgende Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen von ~~4–QAM~~, ~~16–QAM~~ und ~~64–QAM~~.		Die folgende Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen von  $\text{4-QAM}$,  $\text{16-QAM}$  und  $\text{64-QAM}$.
	*Mit den hier gewählten Achsenbeschriftungen beschreiben die Bilder auch das Detektionsnutzsignal (zu den Detektionszeitpunkten) im äquivalenten Tiefpassbereich.		*Mit den hier gewählten Achsenbeschriftungen beschreiben die Bilder auch das Detektionsnutzsignal  (zu den Detektionszeitpunkten)  im äquivalenten Tiefpassbereich.
	*Ebenfalls eingezeichnet sind die verschiedenen Entscheidungsgebiete, die dem verrauschten Detektionssignal zugeordnet werden.		*Ebenfalls eingezeichnet sind die verschiedenen Entscheidungsgebiete, die dem verrauschten Detektionssignal zugeordnet werden.
	*Die Pfeile geben an, wenn Entscheidungsgebiete bis ins Unendliche ausgedehnt sind.		*Die Pfeile geben an, wenn Entscheidungsgebiete bis ins Unendliche ausgedehnt sind.

			[[Datei:P_ID1713__Mod_T_4_3_S6a_Ganz_neu.png \|right\|frame\| Signalraumkonstellation und Entscheidungsgebiete bei  $M = 4$,  $M = 16$,  $M = 64$]]
			<br>Die Bilder beziehen sich nur auf die Detektionszeitpunkte und gelten für alle Nyquistsysteme
			*wie die Rechteck–Rechteck–Konfiguration  (Sendegrundimpuls und Empfangsfilter–Impulsantwort seien rechteckförmig)
			*oder ein  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93Systeme\|Wurzel–Cosinus–Rolloff–Nyquistsystem]].

	~~[[Datei:P_ID1713__Mod_T_4_3_S6a_Ganz_neu.png \|center\|frame\| Signalraumkonstellation und Entscheidungsgebiete bei  $M = 4$,  $M = 16$,  $M = 64$]]~~

	~~Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:~~		Die hier nicht dargestellten Übergänge zwischen den einzelnen Punkten  (außerhalb der Detektionszeitpunkte)  hängen aber sehr wohl vom gewählten Nyquistsystem ab.
	*Die Bilder beziehen sich nur auf die Detektionszeitpunkte und gelten für alle Nyquistsysteme wie die Rechteck–Rechteck–Konfiguration (Sendegrundimpuls und Empfangsfilter–Impulsantwort seien rechteckförmig) oder ein  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93Systeme\|Wurzel–Cosinus–Rolloff–Nyquistsystem]].		<br clear=all>
	*Die hier nicht dargestellten Übergänge ~~außerhalb der Detektionszeitpunkte~~ zwischen den einzelnen Punkten hängen aber sehr wohl vom gewählten Nyquistsystem ab.		Weiter ist zu diesen Darstellungen anzumerken:
	*Bei echter QAM–Struktur – das heißt: die Signalraumkonstellation ist quadratisch oder zumindest rechteckförmig – lässt sich die ~~2D–Detektion~~ durch zwei „eindimensionale” Detektionsvorgänge vereinfacht lösen.		*Bei echter QAM–Struktur   – das heißt:   die Signalraumkonstellation ist quadratisch oder zumindest rechteckförmig –   lässt sich die „zweidimensionale” Detektion durch zwei „eindimensionale” Detektionsvorgänge vereinfacht lösen.
	*Die ~~16–QAM~~ ist somit nichts anderes als die parallele Übertragung zweier Digitalsignale mit jeweils  $M = 4$  Amplitudenstufen. Bei der ~~64–QAM~~ würde entsprechend  $M = 8$  gelten und bei der ~~256–QAM~~ ist die „eindimensionale” Stufenzahl  $M = 16$.		*Die  $\text{16-QAM}$  ist somit nichts anderes als die parallele Übertragung zweier Digitalsignale mit jeweils  $M = 4$  Amplitudenstufen.
			*Bei der  $\text{64-QAM}$  würde entsprechend  $M = 8$  gelten und bei der  $\text{256-QAM}$  ist die „eindimensionale” Stufenzahl  $M = 16$.
	*Alle im Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung\|Redundanzfreie Codierung]]  des Buches  &bdquo;Digitalsignalübertragung”  genannten Eigenschaften für redundanzfreie mehrstufige Signale gelten auch hier, wobei allerdings die Zusetzung der orthogoalen Trägerfrequenzsignale noch geeignet zu berücksichtigen ist.		*Alle im Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung\|Redundanzfreie Codierung]]  des Buches  &bdquo;Digitalsignalübertragung”  genannten Eigenschaften für redundanzfreie mehrstufige Signale gelten auch hier, wobei allerdings die Zusetzung der orthogoalen Trägerfrequenzsignale noch geeignet zu berücksichtigen ist.

Zeile 165:		Zeile 169:
	==Weitere Signalraumkonstellationen==		==Weitere Signalraumkonstellationen==
	<br>		<br>
	Die ~~folgende~~ Grafik zeigt weitere Signalraumkonstellationen. Links ist ~~wieder~~ die 4–QAM nach der bisherigen Beschreibung dargestellt.		Die Grafik zeigt weitere Signalraumkonstellationen.  Links ist die 4–QAM nach der bisherigen Beschreibung dargestellt.  Die Konstellation rechts daneben kennzeichnet eine vierstufige Phasenmodulation, die wir  &bdquo;4–PSK”  bzw.  &bdquo;QPSK”  nennen.  Ein Vergleich dieser beiden linken Diagramme zeigt:
			[[Datei:P_ID1714__Mod_T_4_3_S7_neu.png \|right\|frame\| Weitere Signalraumkonstellationen von ASK und PSK]]

	~~[[Datei:P_ID1714__Mod_T_4_3_S7_neu.png \|center\|frame\| Weitere Signalraumkonstellationen von ASK und PSK]]~~		*Die hier als QPSK  (''Quaternary Phase Shift Keying'' )  bezeichnete Variante verwendet die Phasenlagen  $0^\circ$, $90^\circ$,  $180^\circ$  und  $270^\circ$.
			*Aus den eingezeichneten Entscheidungsgebieten erkennt man, dass hier die Detektion nicht auf zwei Binärentscheidungen zurückgeführt werden kann.
	Die ~~Konstellation rechts daneben kennzeichnet eine vierstufige Phasenmodulation~~ (~~4–PSK bzw. QPSK –~~ ''Quaternary Phase Shift Keying'').		*Auch die 4–QAM (links) kann als vierstufige Phasenmodulation aufgefasst werden  $($Phasenlagen  $±45^\circ$,  $±135^\circ)$.
			*Gegenüber der QPSK ergibt sich eine Drehung um  $±45^\circ$  $(π/4)$, so dass die 4–QAM oft auch als  ''π/4–QPSK''  bezeichnet wird.
	~~Ein Vergleich der beiden linken Diagramme zeigt:~~
	*Die hier als QPSK  ~~(bzw. 4–PSK~~)  bezeichnete Variante verwendet die Phasenlagen  $0^\circ$, $90^\circ$,  $180^\circ$  und  $270^\circ$. Aus den eingezeichneten Entscheidungsgebieten erkennt man, dass hier die Detektion nicht auf zwei Binärentscheidungen zurückgeführt werden kann.
	*Auch die 4–QAM ~~entsprechend der linken Grafik~~ kann als ~~eine~~ vierstufige Phasenmodulation ~~mit den möglichen~~ Phasenlagen  $±45^\circ$~~  und~~  $±135^\circ$~~  aufgefasst werden~~. Gegenüber ~~dem zweiten Phasendiagramm~~ ergibt sich eine Drehung um  $±45^\circ \ (π/4)$, so dass die 4–QAM oft auch als  ''π/4–QPSK''  bezeichnet wird.
	*Ähnlich wie man bei der BPSK durch Vorcodierung zur DPSK kommt, kann auch die 4–PSK zur 4–DPSK erweitert und dadurch die Demodulation erleichtert werden. Diese wurde zum Beispiel bei der Datenübertragung über Telefonkanäle gemäß der CCITT–Empfehlung &bdquo;V26” angewendet $($Trägerfrequenz  $\text{1800 Hz}$, Datenrate  $\text{2400 bit/s)}$.		*Ähnlich wie man bei der BPSK durch Vorcodierung zur DPSK kommt, kann auch die 4–PSK zur 4–DPSK erweitert und dadurch die Demodulation erleichtert werden. Diese wurde zum Beispiel bei der Datenübertragung über Telefonkanäle gemäß der CCITT–Empfehlung &bdquo;V26” angewendet $($Trägerfrequenz  $\text{1800 Hz}$, Datenrate  $\text{2400 bit/s)}$.

Guenter am 20. April 2020 um 12:50 Uhr

2020-04-20T12:50:11Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	*Das betrachtete Beispiel gilt für die  $\text{16-QAM}$  mit  $b = M = 4$  und  $M^2 =16$  Signalraumpunkten.  Bei einer  $\text{256-QAM}$  würde  $b = 8$  und  $M = 16$  gelten:   $2^b = M^2 = 256$.		*Das betrachtete Beispiel gilt für die  $\text{16-QAM}$  mit  $b = M = 4$  und  $M^2 =16$  Signalraumpunkten.  Bei einer  $\text{256-QAM}$  würde  $b = 8$  und  $M = 16$  gelten:   $2^b = M^2 = 256$.
	*Anschließend werden die Koeffizienten  $a_{{\rm I}ν}$  und  $a_{{\rm Q}ν}$  jeweils einem Diracpuls als Impulsgewichte eingeprägt.  Nach der Impulsformung mit dem Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  gilt somit in den beiden Zweigen des Blockschaltbildes:		*Anschließend werden die Koeffizienten  $a_{{\rm I}ν}$  und  $a_{{\rm Q}ν}$  jeweils einem Diracpuls als Impulsgewichte eingeprägt.  Nach der Impulsformung mit dem Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  gilt somit in den beiden Zweigen des Blockschaltbildes:
	:$$s_{\rm I}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\~~rmQ~~\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$		:$$s_{\rm I}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm Q\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
	*Anzumerken ist,  dass wegen der redundanzfreien Umsetzung die Symboldauer  $T$  dieser Signale um den Faktor  $b$  größer ist als die Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals.  Im gezeichneten Beispiel  $\text{(16-QAM)}$  gilt  $T = 4 · T_{\rm B}$.		*Anzumerken ist,  dass wegen der redundanzfreien Umsetzung die Symboldauer  $T$  dieser Signale um den Faktor  $b$  größer ist als die Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals.  Im gezeichneten Beispiel  $\text{(16-QAM)}$  gilt  $T = 4 · T_{\rm B}$.
	*Das QAM–Sendesignal  $s(t)$  ist dann die Summe der beiden mit Cosinus bzw. Minus–Sinus multiplizierten Teilsignale:		*Das QAM–Sendesignal  $s(t)$  ist dann die Summe der beiden mit Cosinus bzw. Minus–Sinus multiplizierten Teilsignale:
Zeile 40:		Zeile 40:
	*Alle Doppelpfeile im Basisbandmodell kennzeichnen komplexe Größen.  Die damit verbundenen Operationen sind ebenfalls komplex zu verstehen.		*Alle Doppelpfeile im Basisbandmodell kennzeichnen komplexe Größen.  Die damit verbundenen Operationen sind ebenfalls komplex zu verstehen.
	* Beispielsweise fasst der komplexe Amplitudenkoeffizient  $a_ν$  je einen Inphase– und einen Quadraturkoeffizienten zusammen:		* Beispielsweise fasst der komplexe Amplitudenkoeffizient  $a_ν$  je einen Inphase– und einen Quadraturkoeffizienten zusammen:
	:$$a_\nu = a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} + {\rm j} \cdot a_{\~~rmQ~~\hspace{0.03cm}\it \nu} \hspace{0.05cm}.$$		:$$a_\nu = a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} + {\rm j} \cdot a_{\rm Q\hspace{0.03cm}\it \nu} \hspace{0.05cm}.$$
	*Die äquivalente Tiefpass–Repräsentation des tatsächlichen, physikalischen und damit per se reellen Sendesignals  $s(t)$  ist bei QAM stets komplex und es gilt mit den Teilsignalen  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$:		*Die äquivalente Tiefpass–Repräsentation des tatsächlichen, physikalischen und damit per se reellen Sendesignals  $s(t)$  ist bei QAM stets komplex und es gilt mit den Teilsignalen  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$:
	:$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$		:$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 250:		Zeile 250:

	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Modulation_Methods/Quadrature_Amplitude_Modulation]]

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	*Das betrachtete Beispiel gilt für die  $\text{16-QAM}$  mit  $b = M = 4$  und  $M^2 =16$  Signalraumpunkten.  Bei einer  $\text{256-QAM}$  würde  $b = 8$  und  $M = 16$  gelten:   $2^b = M^2 = 256$.		*Das betrachtete Beispiel gilt für die  $\text{16-QAM}$  mit  $b = M = 4$  und  $M^2 =16$  Signalraumpunkten.  Bei einer  $\text{256-QAM}$  würde  $b = 8$  und  $M = 16$  gelten:   $2^b = M^2 = 256$.
	*Anschließend werden die Koeffizienten  $a_{{\rm I}ν}$  und  $a_{{\rm Q}ν}$  jeweils einem Diracpuls als Impulsgewichte eingeprägt.  Nach der Impulsformung mit dem Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  gilt somit in den beiden Zweigen des Blockschaltbildes:		*Anschließend werden die Koeffizienten  $a_{{\rm I}ν}$  und  $a_{{\rm Q}ν}$  jeweils einem Diracpuls als Impulsgewichte eingeprägt.  Nach der Impulsformung mit dem Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  gilt somit in den beiden Zweigen des Blockschaltbildes:
	:$$s_{\rm I}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm		:$$s_{\rm I}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rmQ\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
	Q\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
	*Anzumerken ist,  dass wegen der redundanzfreien Umsetzung die Symboldauer  $T$  dieser Signale um den Faktor  $b$  größer ist als die Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals.  Im gezeichneten Beispiel  $\text{(16-QAM)}$  gilt  $T = 4 · T_{\rm B}$.		*Anzumerken ist,  dass wegen der redundanzfreien Umsetzung die Symboldauer  $T$  dieser Signale um den Faktor  $b$  größer ist als die Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals.  Im gezeichneten Beispiel  $\text{(16-QAM)}$  gilt  $T = 4 · T_{\rm B}$.
	*Das QAM–Sendesignal  $s(t)$  ist dann die Summe der beiden mit Cosinus bzw. Minus–Sinus multiplizierten Teilsignale:		*Das QAM–Sendesignal  $s(t)$  ist dann die Summe der beiden mit Cosinus bzw. Minus–Sinus multiplizierten Teilsignale:
	:$$s_{\rm cos}(t) = s_{\rm I}(t) \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t), \hspace{1cm} s_{\rm -sin}(t) = -s_{\rm Q}(t) \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)$$		:$$s_{\rm cos}(t) = s_{\rm I}(t) \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t), \hspace{1cm} s_{\rm -sin}(t) = -s_{\rm Q}(t) \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = s_{\rm cos}(t)+ s_{\rm -sin}(t) =		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = s_{\rm cos}(t)+ s_{\rm -sin}(t) =s_{\rm I}(t) \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t) - s_{\rm Q}(t) \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.05cm}.$$
	s_{\rm I}(t) \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t) - s_{\rm Q}(t) \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)
	\hspace{0.05cm}.$$

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
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	*Alle Doppelpfeile im Basisbandmodell kennzeichnen komplexe Größen.  Die damit verbundenen Operationen sind ebenfalls komplex zu verstehen.		*Alle Doppelpfeile im Basisbandmodell kennzeichnen komplexe Größen.  Die damit verbundenen Operationen sind ebenfalls komplex zu verstehen.
	* Beispielsweise fasst der komplexe Amplitudenkoeffizient  $a_ν$  je einen Inphase– und einen Quadraturkoeffizienten zusammen:		* Beispielsweise fasst der komplexe Amplitudenkoeffizient  $a_ν$  je einen Inphase– und einen Quadraturkoeffizienten zusammen:
	:$$a_\nu = a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} + {\rm j} \cdot a_{\rm		:$$a_\nu = a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} + {\rm j} \cdot a_{\rmQ\hspace{0.03cm}\it \nu} \hspace{0.05cm}.$$
	Q\hspace{0.03cm}\it \nu} \hspace{0.05cm}.$$
	*Die äquivalente Tiefpass–Repräsentation des tatsächlichen, physikalischen und damit per se reellen Sendesignals  $s(t)$  ist bei QAM stets komplex und es gilt mit den Teilsignalen  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$:		*Die äquivalente Tiefpass–Repräsentation des tatsächlichen, physikalischen und damit per se reellen Sendesignals  $s(t)$  ist bei QAM stets komplex und es gilt mit den Teilsignalen  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$:
	:$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$		:$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
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	Die Mittelung über die $16$ Abstandsquadrate zum Ursprung ergibt:		Die Mittelung über die $16$ Abstandsquadrate zum Ursprung ergibt:
	:$${\rm E}\big[\hspace{0.05cm} \vert a_{\nu}\vert^2 \hspace{0.05cm}\big] \hspace{0.18cm} = \hspace{0.18cm} \frac{4}{16} \cdot (1^2 + 1^2)+ \frac{4}{16} \cdot \left[(1/3 )^2 +(1/3)^2 \right ]		:$${\rm E}\big[\hspace{0.05cm} \vert a_{\nu}\vert^2 \hspace{0.05cm}\big] \hspace{0.18cm} = \hspace{0.18cm} \frac{4}{16} \cdot (1^2 + 1^2)+ \frac{4}{16} \cdot \left[(1/3 )^2 +(1/3)^2 \right ]+ \frac{8}{16} \cdot \left [1^2 + (1/3)^2\right ] $$
	+ \frac{8}{16} \cdot \left [1^2 + (1/3)^2\right ] $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm E}\big[\hspace{0.05cm} \vert a_{\nu}\vert^2 \hspace{0.05cm}\big] = {10}/{9}\approx 1.11 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm E}\big[\hspace{0.05cm} \vert a_{\nu}\vert^2 \hspace{0.05cm}\big] = {10}/{9}\approx 1.11 \hspace{0.05cm}.$$

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	*die mittlere Energie pro Symbol:		*die mittlere Energie pro Symbol:
	:$$E_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm E}\big[\hspace{0.05cm}\vert a_{\nu} \vert ^2 \big]\hspace{0.05cm}\~~cdot~~		:$$E_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm E}\big[\hspace{0.05cm}\vert a_{\nu} \vert ^2 \big]\hspace{0.05cm}\cdotg_0^2 \cdot T = {5}/{9}\cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}\approx 0.555 \cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm},$$
	~~g_0~~^2 \cdot T = {5}/{9}\cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}\approx 0.555 \cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm},$$
	*die mittlere Energie pro Bit:		*die mittlere Energie pro Bit:
	:$$E_{\rm B} ={E_{\rm S} }/{4}= {5}/{36}\cdot g_0^2 \cdot T \approx 0.139 \cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm B} ={E_{\rm S} }/{4}= {5}/{36}\cdot g_0^2 \cdot T \approx 0.139 \cdot g_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$
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	Man erhält somit für die  '''4–QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit'''  mit den Gleichungen		Man erhält somit für die  '''4–QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit'''  mit den Gleichungen
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( {g_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm}g_{0} = {s_0}/{\sqrt{2}}, \hspace{0.2cm}E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm}		:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( {g_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm}g_{0} = {s_0}/{\sqrt{2}}, \hspace{0.2cm}E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm}\sigma_d^2 = {N_0}(2 \cdot T_{\rm B} )$$
	\sigma_d^2 = {N_0}(2 \cdot T_{\rm B} )$$
	genau das gleiche Ergebnis wie für die BPSK:		genau das gleiche Ergebnis wie für die BPSK:
	:$$p_{\rm B, \hspace{0.1cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$		:$$p_{\rm B, \hspace{0.1cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$
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	<br>		<br>
	Ausgehend von den Gleichungen für die  $\text{4–QAM}$   $($bzw.  $π/4\text{–QPSK)}$  kommt man zur  $\text{Offset–4–QAM}$, die wir vereinfachend mit  $\text{Offset–QPSK}$  bezeichnen.  Für das Sendesignal gilt hier:		Ausgehend von den Gleichungen für die  $\text{4–QAM}$   $($bzw.  $π/4\text{–QPSK)}$  kommt man zur  $\text{Offset–4–QAM}$, die wir vereinfachend mit  $\text{Offset–QPSK}$  bezeichnen.  Für das Sendesignal gilt hier:
	:$$s(t) =s_{\rm I}(t) \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t) - s_{\rm Q}(t)		:$$s(t) =s_{\rm I}(t) \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t) - s_{\rm Q}(t)\cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t),$$
	\cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t),$$
	:$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm I}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm Q\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t -{T}/{2} - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm I}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} s_{\rm Q}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{\rm Q\hspace{0.03cm}\it \nu} \cdot g_s (t -{T}/{2} - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

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	*Aus den eingezeichneten Entscheidungsgebieten erkennt man, dass hier die Detektion nicht auf zwei Binärentscheidungen zurückgeführt werden kann.		*Aus den eingezeichneten Entscheidungsgebieten erkennt man, dass hier die Detektion nicht auf zwei Binärentscheidungen zurückgeführt werden kann.
	*Auch die 4–QAM (links) kann als vierstufige Phasenmodulation aufgefasst werden  $($Phasenlagen  $±45^\circ$,  $±135^\circ)$.		*Auch die 4–QAM (links) kann als vierstufige Phasenmodulation aufgefasst werden  $($Phasenlagen  $±45^\circ$,  $±135^\circ)$.
	*Gegenüber der QPSK ergibt sich eine Drehung um  $±45^\circ$  $(π/4)$~~, so dass~~ die 4–QAM oft auch als  ''π/~~4–QPSK''~~  bezeichnet ~~wird~~.		*Gegenüber der QPSK ergibt sich eine Drehung um  $±45^\circ$  $(π/4)$   ⇒   die 4–QAM oft auch als  ${\rm π/4}\text{–QPSK}$  bezeichnet.
	*Ähnlich wie man bei der BPSK durch Vorcodierung zur DPSK kommt, kann auch die 4–PSK zur 4–DPSK erweitert und dadurch die Demodulation erleichtert werden. Diese wurde zum Beispiel bei der Datenübertragung über Telefonkanäle gemäß ~~der~~ CCITT–Empfehlung &bdquo;V26” angewendet $($Trägerfrequenz  $\text{1800 Hz}$, Datenrate  $\text{2400 bit/s)}$.		*Ähnlich wie man bei der BPSK durch Vorcodierung zur DPSK kommt, kann auch die 4–PSK zur 4–DPSK erweitert und dadurch die Demodulation erleichtert werden.
			*Diese wurde zum Beispiel bei der Datenübertragung über Telefonkanäle gemäß CCITT–Empfehlung &bdquo;V26” angewendet $($Trägerfrequenz  $\text{1800 Hz}$, Datenrate  $\text{2400 bit/s)}$.


	Die beiden rechten Diagramme zeigen höherstufige Modulationsverfahren:		Die beiden rechten Diagramme zeigen höherstufige Modulationsverfahren:
	*Die 8–PSK  (bzw. 8–DPSK ) erlaubt entsprechend der CCITT–Empfehlung &bdquo;V27” beim Telefonkanal eine Datenrate von bis zu  $\text{4800 bit/s}$.		*Die 8–PSK  (bzw. 8–DPSK)  erlaubt entsprechend der CCITT–Empfehlung &bdquo;V27” beim Telefonkanal eine Datenrate von bis zu  $\text{4800 bit/s}$.
	*Die Empfehlung &bdquo;V29” sieht mit der 16–ASK/PSK eine hybride Modulationsform vor, die bei ~~ausgewählten,~~ fest verschalteten Leitungen bis zu  $\text{9600 bit/s}$  ermöglicht.		*Die Empfehlung &bdquo;V29” sieht mit der 16–ASK/PSK eine hybride Modulationsform vor, die bei fest verschalteten Leitungen Datenraten bis  $\text{9600 bit/s}$  ermöglicht.

	==Nyquist– und Wurzel–Nyquist–QAM–Systeme==		==Nyquist– und Wurzel–Nyquist–QAM–Systeme==
	<br>		<br>
	Bisher wurde in diesem Kapitel aus Darstellungsgründen stets vom rechteckförmigen Sendegrundimpuls ausgegangen. In der Praxis verwendet man aber meist eine ''Wurzel–Nyquist–Charakteristik'' entsprechend der  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93Systeme\|Beschreibung]]  im Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung”. In aller Kürze lassen sich diese Systeme wie folgt charakterisieren:		Bisher wurde in diesem Kapitel aus Darstellungsgründen stets vom rechteckförmigen Sendegrundimpuls ausgegangen.  In der Praxis verwendet man aber meist eine  '''Wurzel–Nyquist–Charakteristik'''  entsprechend der  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93Systeme\|Beschreibung]]  im Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung”.  In aller Kürze lassen sich diese Systeme wie folgt charakterisieren:
	*Der Empfängerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  wird hier formgleich mit dem (normierten) Sendeimpulsspektrum  $H_{\rm S}(f)$  gewählt, was unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung (das heißt:   bei konstanter mittlerer Sendeleistung) zur ~~kleinsten~~ Fehlerwahrscheinlichkeit führt.		*Der Empfängerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  wird hier formgleich mit dem (normierten) Sendeimpulsspektrum  $H_{\rm S}(f)$  gewählt, was unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung  (das heißt:   bei konstanter mittlerer Sendeleistung)  zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit führt.
	*Der Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm S}(f) · H_{\rm E}(f)$  erfüllt das  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#1.2FT.E2.80.93Nyquistspektren_.281.29\|erste Nyquistkriterium]], so dass es beim Empfänger zu keinen Impulsinterferenzen kommt. $H_{\rm S}(f)$  und  $H_{\rm E}(f)$  haben somit jeweils eine Wurzel–Nyquist–Charakteristik.		*Der Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm S}(f) · H_{\rm E}(f)$  erfüllt das  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#1.2FT.E2.80.93Nyquistspektren_.281.29\|erste Nyquistkriterium]], so dass es beim Empfänger zu keinen Impulsinterferenzen kommt.  $H_{\rm S}(f)$  und  $H_{\rm E}(f)$  haben somit jeweils eine Wurzel–Nyquist–Charakteristik.
	*Für den Frequenzgang  $H_{\rm Nyq}(f)$  verwendet man einen  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass\|Cosinus–Rolloff–Tiefpass]]  $H_{\rm CRO}(f)$  mit der äquivalenten Bandbreite  $Δf_{\rm CRO} = 1/T$  und frei wählbarem Rolloff–Faktor  $(0 ≤ r ≤ 1)$. Das interaktive Applet  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|Frequenzgang und Impulsantwort]]  verdeutlicht den Frequenzgang und die Impulsantwort dieses Tiefpasses.		*Für den Frequenzgang  $H_{\rm Nyq}(f)$  verwendet man einen  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass\|Cosinus–Rolloff–Tiefpass]]  $H_{\rm CRO}(f)$  mit der äquivalenten Bandbreite  $Δf_{\rm CRO} = 1/T$  und frei wählbarem Rolloff–Faktor  $(0 ≤ r ≤ 1)$.  Das interaktive Applet  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|Frequenzgang und Impulsantwort]]  verdeutlicht den Frequenzgang und die Impulsantwort dieses Tiefpasses.
	*Der Vorteil dieser Wurzel–Nyquist–Systeme ist die deutlich kleinere Bandbreite  $(1 + r)/T$  gegenüber der bisher betrachteten Konfiguration mit rechteckförmigem  $g_s(t)$  und rechteckförmigem  $h_{\rm E}(t)$, dessen Spektrum (theoretisch) unendlich weit ausgedehnt ist.		*Der Vorteil dieser Wurzel–Nyquist–Systeme ist die deutlich kleinere Bandbreite  $(1 + r)/T$  gegenüber der bisher betrachteten Konfiguration mit rechteckförmigem  $g_s(t)$  und rechteckförmigem  $h_{\rm E}(t)$, dessen Spektrum (theoretisch) unendlich weit ausgedehnt ist.
	*Hinsichtlich Fehlerwahrscheinlichkeit ändert sich gegenüber der Rechteck–Rechteck–Konfiguration nichts, da der Grundimpuls  $g_d(t)$  vor dem Entscheider äquidistante Nulldurchgänge aufweist und somit Impulsinterferenzen vermieden werden.		*Hinsichtlich Fehlerwahrscheinlichkeit ändert sich gegenüber der Rechteck–Rechteck–Konfiguration nichts, da der Grundimpuls  $g_d(t)$  vor dem Entscheider äquidistante Nulldurchgänge aufweist und somit Impulsinterferenzen vermieden werden.


	[[Datei:Mod_T_4_3_S8_vers2.png\|~~center~~\|frame\|Phasendiagramme der 4-QAM bei Wurzel-Nyquist-Konfiguration]]		[[Datei:Mod_T_4_3_S8_vers2.png\|right\|frame\|Phasendiagramme der 4-QAM bei Wurzel-Nyquist-Konfiguration]]

	Die Grafik zeigt die Phasendiagramme für diesen Fall, die dem Buch [Kam04]<ref name="Kam04">Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref> entnommen sind. Der Rolloff–Faktor beträgt  $r = 0.5$. Man erkennt aus diesen Darstellungen:		Die Grafik zeigt die Phasendiagramme für diesen Fall, die dem Buch [Kam04]<ref name="Kam04">Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref> entnommen sind. Der Rolloff–Faktor beträgt  $r = 0.5$. Man erkennt aus diesen Darstellungen: