Modulationsverfahren/Pulscodemodulation - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Modulation_Methods/Pulse_Code_Modulation]]

Maintenance script: Fix MathJax: add space after \cdot before letter

2026-02-25T13:19:25Z

Fix MathJax: add space after \cdot before letter

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Man bezeichnet das zweite Moment der Fehlergröße  $ε_ν$  als  '''Quantisierungsrauschleistung''':		$\text{Definition:}$  Man bezeichnet das zweite Moment der Fehlergröße  $ε_ν$  als  '''Quantisierungsrauschleistung''':
	:$$P_{\rm Q} = \frac{1}{2N+1 } \cdot\sum_{\nu = -N}^{+N}\varepsilon_{\nu}^2 \approx \frac{1}{N \~~cdotT_~~{\rm A} } \cdot \int_{0}^{N \cdot T_{\rm A} }\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.8cm} {\rm mit}\hspace{0.8cm}\varepsilon(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t) \hspace{0.05cm}.$$}}		:$$P_{\rm Q} = \frac{1}{2N+1 } \cdot\sum_{\nu = -N}^{+N}\varepsilon_{\nu}^2 \approx \frac{1}{N \cdot T_{\rm A} } \cdot \int_{0}^{N \cdot T_{\rm A} }\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.8cm} {\rm mit}\hspace{0.8cm}\varepsilon(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t) \hspace{0.05cm}.$$}}

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2026-02-24T13:37:59Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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2026-02-24T13:11:36Z

Domain migration: replace www.lntwww.de with relative paths

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:11 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch &bdquo;Digitale Modulationsverfahren” des Praktikums „Simulation Digitaler Übertragungssysteme”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch &bdquo;Digitale Modulationsverfahren” des Praktikums „Simulation Digitaler Übertragungssysteme”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

	*dem Lehrsoftwarepaket  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]    ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und		*dem Lehrsoftwarepaket  [/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]    ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
	*der zugehörigen  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Digitale_Modulationsverfahren.pdf Praktikumsanleitung]    ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 12:   Seite 271-294.		*der zugehörigen  [/downloads/Sonstiges/Texte/Digitale_Modulationsverfahren.pdf Praktikumsanleitung]    ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 12:   Seite 271-294.


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	des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Lehrsoftwarepaket  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]  ⇒  Link verweist auf die ZIP-Version des Programms;		*dem Lehrsoftwarepaket  [/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]  ⇒  Link verweist auf die ZIP-Version des Programms;
	*dieser  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 12:   Seite 271-294.		*dieser  [/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 12:   Seite 271-294.

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

Guenter am 12. April 2022 um 14:24 Uhr

2022-04-12T14:24:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. April 2022, 16:24 Uhr
Zeile 359:		Zeile 359:
	==Nichtlineare Quantisierung==		==Nichtlineare Quantisierung==
	<br>		<br>
	Häufig werden die Quantisierungsintervalle nicht gleich groß gewählt, sondern man verwendet für den inneren Amplitudenbereich eine feinere Quantisierung als für große Amplituden.  Dafür gibt es mehrere Gründe:		Häufig werden die Quantisierungsintervalle nicht gleich groß gewählt, sondern man verwendet für den inneren Amplitudenbereich eine feinere Quantisierung als für große Amplituden.  Dafür gibt es mehrere Gründe:
			[[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
			[[Datei:P_ID1605__Mod_T_4_1_S8a_neu.png\|right\|frame\| Ungleichmäßige Quantisierung eines Sprachsignals]]

	*Bei Audiosignalen werden Verfälschungen der leisen Signalanteile  (also Werte in der Nähe der Nulllinie)  subjektiv als störender empfunden als eine Beeinträchtigung großer Amplitudenwerte.		*Bei Audiosignalen werden Verfälschungen der leisen Signalanteile  (also Werte in der Nähe der Nulllinie)  subjektiv als störender empfunden als eine Beeinträchtigung großer Amplitudenwerte.
	*Eine solche ungleichmäßige Quantisierung führt bei einem solchen Musik– oder Sprachsignal auch zu einem größeren Sinkenstörabstand, da hier die Signalamplitude nicht gleichverteilt ist.		*Eine solche ungleichmäßige Quantisierung führt bei einem solchen Musik– oder Sprachsignal auch zu einem größeren Sinkenstörabstand, da hier die Signalamplitude nicht gleichverteilt ist.


	Die Grafik zeigt ein Sprachsignal  $q(t)$  und dessen Amplitudenverteilung  $f_q(q)$   ⇒   ~~[[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]. ~~		Die Grafik zeigt ein Sprachsignal  $q(t)$  und dessen Amplitudenverteilung  $f_q(q)$   ⇒

	~~[[Datei:P_ID1605__Mod_T_4_1_S8a_neu.png\|right\|frame\| Ungleichmäßige Quantisierung eines Sprachsignals]]~~
	Es handelt sich um die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung\|Laplaceverteilung]], die man wie folgt annähern kann:		Es handelt sich um die  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung\|Laplaceverteilung]], die man wie folgt annähern kann:
	*durch eine kontinuierliche, zweiseitige Exponentialverteilung, und		*durch eine kontinuierliche, zweiseitige Exponentialverteilung, und

Guenter am 12. April 2022 um 14:22 Uhr

2022-04-12T14:22:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. April 2022, 16:22 Uhr
Zeile 319:		Zeile 319:

	*Jeder Abtastwert  $q_{\rm A}(νT)$  wird mit  $M$  Stufen quantisiert und mit  $N = {\rm log_2} (M)$  Bit dargestellt.  Im Bild:  $M = 8$   ⇒   $N = 3$.		*Jeder Abtastwert  $q_{\rm A}(νT)$  wird mit  $M$  Stufen quantisiert und mit  $N = {\rm log_2} (M)$  Bit dargestellt.  Im Bild:  $M = 8$   ⇒   $N = 3$.
	*Die Binärform von  $q_{\rm Q}(νT)$  liefert die Amplitudenkoeffizienten  $a_k\, (k = 1, \text{...} \hspace{0.08cm}, N)$,  die durch Bitfehler in die Koeffizienten  $b_k$  verfälscht werden ~~können~~.		*Die Binärform von  $q_{\rm Q}(νT)$  liefert die Amplitudenkoeffizienten  $a_k\, (k = 1, \text{...} \hspace{0.08cm}, N)$,  die durch Bitfehler in die Koeffizienten  $b_k$  verfälscht werden.  Sowohl  $a_k$  als auch  $b_k$  sind jeweils  $±1$.
	*Sowohl  $a_k$  als auch  $b_k$  sind jeweils  $±1$.		*Ein Fehler  $(b_k ≠ a_k)$  tritt mit Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  auf.  Jedes Bit wird gleichwahrscheinlich verfälscht und in jedem PCM–Wort ist maximal ein Fehler   ⇒   nur eines der  $N$  Bit kann falsch sein.
	*Ein ~~Bitfehler~~  $(b_k ≠ a_k)$  tritt mit ~~der~~ Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  auf.
	*Jedes Bit wird ~~mit gleicher Wahrscheinlichkeit~~ verfälscht und in jedem PCM–Wort ist maximal ein Fehler   ⇒   nur eines der  $N$  Bit kann falsch sein.


Zeile 331:		Zeile 329:


	Für den Fall,  dass (nur) der Koeffizient  $a_k$ gefälscht wurde, erhalten wir durch Verallgemeinerung für die Abweichung:		Für den Fall,  dass (nur) der Koeffizient  $a_k$  gefälscht wurde, erhalten wir durch Verallgemeinerung für die Abweichung:
	:$$\varepsilon_k = υ_{\rm Q}(νT) \ - \ q_{\rm Q}(νT)= - a_k \cdot A \cdot 2^{-k +1}		:$$\varepsilon_k = υ_{\rm Q}(νT) \ - \ q_{\rm Q}(νT)= - a_k \cdot A \cdot 2^{-k +1}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 377:		Zeile 375:
	*Die Quantisierungsintervalle werden hierbei zu den Rändern hin abschnittsweise immer breiter.		*Die Quantisierungsintervalle werden hierbei zu den Rändern hin abschnittsweise immer breiter.
	*Die häufigeren kleinen Amplituden werden dagegen sehr fein quantisiert.		*Die häufigeren kleinen Amplituden werden dagegen sehr fein quantisiert.
			<br clear=all>
	==Kompression und Expandierung==		==Kompression und Expandierung==
	<br>		<br>

Guenter am 7. April 2022 um 14:16 Uhr

2022-04-07T14:16:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. April 2022, 16:16 Uhr
Zeile 329:		Zeile 329:
	*Eine Verfälschung von  $a_2$  verändert  $q_{\rm Q}(νT)$  um  $±A/2.$		*Eine Verfälschung von  $a_2$  verändert  $q_{\rm Q}(νT)$  um  $±A/2.$
	*Eine Verfälschung von  $a_3$  verändert  $q_{\rm Q}(νT)$  um  $±A/4$.		*Eine Verfälschung von  $a_3$  verändert  $q_{\rm Q}(νT)$  um  $±A/4$.
	~~<br clear=all>~~
	~~Durch~~ Verallgemeinerung ~~erhält man~~ für die Abweichung~~ ~~ $~~ε_k~~ = υ_{\rm Q}(νT) \ - \ q_{\rm Q}(νT)~~$  für den Fall, dass der Amplitudenkoeffizient  $a_k$  falsch übertragen wurde:~~
	~~:$$\varepsilon_k~~ = - a_k \cdot A \cdot 2^{-k +1}		Für den Fall,  dass (nur) der Koeffizient  $a_k$ gefälscht wurde, erhalten wir durch Verallgemeinerung für die Abweichung:
			:$$\varepsilon_k = υ_{\rm Q}(νT) \ - \ q_{\rm Q}(νT)= - a_k \cdot A \cdot 2^{-k +1}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 341:		Zeile 342:


	Ohne Berücksichtigung von Übertragungsfehlern hat sich für das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis  $ρ_v = P_{\rm S}/P_{\rm Q}$  ergeben, wobei bei einem gleichverteilten Quellensignal  (zum Beispiel sägezahnförmig)  die Signalleistung und die Quantisierungsrauschleistung wie folgt zu berechnen ist:		Ohne Berücksichtigung von Übertragungsfehlern hat sich für das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis  $ρ_v = P_{\rm S}/P_{\rm Q}$  ergeben,  wobei bei einem gleichverteilten Quellensignal  (zum Beispiel sägezahnförmig)  die Signalleistung und die Quantisierungsrauschleistung wie folgt zu berechnen ist:
			:$$P_{\rm S}={A^2}/{3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}P_{\rm Q}= {A^2}/{3} \cdot 2^{-2N } \hspace{0.05cm}.$$
	[[Datei:P_ID1904__Mod_T_4_1_S7d_ganz_neu.png \|right\|frame\| Sinken–SNR für PCM unter Berücksichtigung von Bitfehlern]]		[[Datei:P_ID1904__Mod_T_4_1_S7d_ganz_neu.png \|right\|frame\| Sinken–SNR für PCM unter Berücksichtigung von Bitfehlern]]
	~~:$$P_{\rm S}={A^2}/{3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}P_{\rm Q}= {A^2}/{3} \cdot 2^{-2N } \hspace{0.05cm}.$$~~		Unter Berücksichtigung der Übertragungsfehler erhält man mit obigem Ergebnis:
	Unter Berücksichtigung der Übertragungsfehler erhält man mit obigem Ergebnis:
	:$$\rho_{\upsilon}= \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}+P_{\rm F}} = \frac{A^2/3}{A^2/3 \cdot 2^{-2N } + A^2/3 \cdot 4 \cdot p_{\rm B}} = \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\rho_{\upsilon}= \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}+P_{\rm F}} = \frac{A^2/3}{A^2/3 \cdot 2^{-2N } + A^2/3 \cdot 4 \cdot p_{\rm B}} = \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$

	Die Grafik zeigt  $10 · \lg ρ_v$  in Abhängigkeit der (logarithmierten) Leistungskenngröße  $ξ = P_{\rm S}/(N_0 · B_{\rm NF})$, wobei  $B_{\rm NF}$  die Signalbandbreite angibt.  Der konstante Kanalübertragungsfaktor sei idealerweise  $α_{\rm K} = 1$.		Die Grafik zeigt  $10 · \lg ρ_v$  in Abhängigkeit der  (logarithmierten)  Leistungskenngröße  $ξ = P_{\rm S}/(N_0 · B_{\rm NF})$,  wobei  $B_{\rm NF}$  die Signalbandbreite angibt.  Der konstante Kanalübertragungsfaktor sei idealerweise  $α_{\rm K} = 1$.

	*Beim optimalen Binärsystem und AWGN–Rauschen gilt aber für die Leistungskenngröße auch  $ξ = E_{\rm B}/N_0$  (Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte).		*Beim optimalen Binärsystem und AWGN–Rauschen gilt aber für die Leistungskenngröße auch  $ξ = E_{\rm B}/N_0$  <br>$($Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte$)$.
	* Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist dann mit der Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$  wie folgt gegeben:		* Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist dann mit der Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$  wie folgt gegeben:
	:$$p_{\rm B}= {\rm Q} \left ( \sqrt{{2E_{\rm B}}/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B}= {\rm Q} \left ( \sqrt{{2E_{\rm B}}/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
	*Für  $N = 8$   ⇒   $ 2^{–2{\it N} } = 1.5 · 10^{–5}$  sowie  $10 · \lg \ ξ = 6 \ \rm dB$   ⇒   $p_{\rm B} = 0.0024$  (rot markierter Punkt) ergibt sich:		*Für  $N = 8$   ⇒   $ 2^{–2{\it N} } = 1.5 · 10^{–5}$  sowie  $10 · \lg \ ξ = 6 \ \rm dB$   ⇒   $p_{\rm B} = 0.0024$  $($rot markierter Punkt$)$  ergibt sich:
	:$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 1.5 \cdot 10^{-5} + 4 \cdot 0.0024} \approx 100 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\upsilon}\approx 20\,{\rm dB}		:$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 1.5 \cdot 10^{-5} + 4 \cdot 0.0024} \approx 100 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\upsilon}\approx 20\,{\rm dB}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Dieser kleine  $ρ_v$–Wert geht auf den Term  $4 · 0.0024$  im Nenner  (Einfluss des Übertragungsfehlers)  zurück, während im horizontalen Kurvenabschnitt für jedes  $N$  (Bitanzahl pro Abtastwert) der Term  $\rm 2^{–2{\it N} }$  dominiert – also das Quantisierungsrauschen.		*Dieser kleine  $ρ_v$–Wert geht auf den Term  $4 · 0.0024$  im Nenner  $($Einfluss des Übertragungsfehlers$)$  zurück, <br>während im horizontalen Kurvenabschnitt für jedes  $N$  $($Bitanzahl pro Abtastwert$)$  der Term  $\rm 2^{–2{\it N} }$  dominiert – also das Quantisierungsrauschen.

	==Nichtlineare Quantisierung==		==Nichtlineare Quantisierung==

Guenter am 7. April 2022 um 14:04 Uhr

2022-04-07T14:04:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. April 2022, 16:04 Uhr
Zeile 316:		Zeile 316:
	<br>		<br>
	Nun soll versucht werden, die SNR–Kurve des PCM–Systems unter Berücksichtigung von Bitfehlern zumindest näherungsweise zu bestimmen.  Wir gehen dabei vom folgenden Blockschaltbild aus und setzen weiter voraus:		Nun soll versucht werden, die SNR–Kurve des PCM–Systems unter Berücksichtigung von Bitfehlern zumindest näherungsweise zu bestimmen.  Wir gehen dabei vom folgenden Blockschaltbild aus und setzen weiter voraus:
	*Jeder Abtastwert  $q_{\rm A}(νT)$  wird mit  $M$  Stufen quantisiert und mit  $N = {\rm log_2} (M)$  ~~Binärzeichen (~~Bit) dargestellt.  Im ~~Beispiel gilt~~  $M = 8$   ⇒   $N = 3$.		[[Datei:P_ID1903__Mod_T_4_1_S7c_neu.png \|right\|frame\|Zur Berechnung des PCM–SNR mit Berücksichtigung von Bitfehlern]]
	*Die ~~Binärdarstellung~~ von  $q_{\rm Q}(νT)$  liefert die Amplitudenkoeffizienten  $a_k\, (k = 1, \text{...} \hspace{0.08cm}, N),$ die durch Bitfehler in die Koeffizienten  $b_k$  verfälscht werden können.
			*Jeder Abtastwert  $q_{\rm A}(νT)$  wird mit  $M$  Stufen quantisiert und mit  $N = {\rm log_2} (M)$  Bit dargestellt.  Im Bild:  $M = 8$   ⇒   $N = 3$.
			*Die Binärform von  $q_{\rm Q}(νT)$  liefert die Amplitudenkoeffizienten  $a_k\, (k = 1, \text{...} \hspace{0.08cm}, N)$,  die durch Bitfehler in die Koeffizienten  $b_k$  verfälscht werden können.
	*Sowohl  $a_k$  als auch  $b_k$  sind jeweils  $±1$.		*Sowohl  $a_k$  als auch  $b_k$  sind jeweils  $±1$.
	*Ein Bitfehler  $(b_k ≠ a_k)$  tritt mit der Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  auf.		*Ein Bitfehler  $(b_k ≠ a_k)$  tritt mit der Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  auf.
	*Jedes Bit wird ~~gleichwahrscheinlich~~ verfälscht und in jedem PCM–Wort ist maximal ein Fehler   ⇒   nur eines der  $N$  Bit kann falsch sein.		*Jedes Bit wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit verfälscht und in jedem PCM–Wort ist maximal ein Fehler   ⇒   nur eines der  $N$  Bit kann falsch sein.


	~~[[Datei:P_ID1903__Mod_T_4_1_S7c_neu.png \|right\|frame\|Zur Berechnung des PCM–SNR mit Berücksichtigung von Bitfehlern]]~~

	Aus dem in der Grafik angegebenen Diagramm ist für  $N = 3$  und natürliche Binärcodierung (Dualcode) zu erkennen:		Aus dem in der Grafik angegebenen Diagramm ist für  $N = 3$  und natürliche Binärcodierung  ("Dualcode")  zu erkennen:
	*Eine Verfälschung von  $a_1$  verändert ~~den quantisierten Wert~~  $q_{\rm Q}(νT)$  um  $±A$.		*Eine Verfälschung von  $a_1$  verändert  $q_{\rm Q}(νT)$  um  $±A$.
	*Eine Verfälschung von  $a_2$  verändert ~~den quantisierten Wert~~  $q_{\rm Q}(νT)$  um  $±A/2.$		*Eine Verfälschung von  $a_2$  verändert  $q_{\rm Q}(νT)$  um  $±A/2.$
	*Eine Verfälschung von  $a_3$  verändert ~~den quantisierten Wert Wert~~  $q_{\rm Q}(νT)$  um  $±A/4$.		*Eine Verfälschung von  $a_3$  verändert  $q_{\rm Q}(νT)$  um  $±A/4$.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	Durch Verallgemeinerung erhält man für die Abweichung  $ε_k = υ_{\rm Q}(νT) \ - \ q_{\rm Q}(νT)$  für den Fall, dass der Amplitudenkoeffizient  $a_k$  falsch übertragen wurde:		Durch Verallgemeinerung erhält man für die Abweichung  $ε_k = υ_{\rm Q}(νT) \ - \ q_{\rm Q}(νT)$  für den Fall, dass der Amplitudenkoeffizient  $a_k$  falsch übertragen wurde:

Guenter am 7. April 2022 um 13:56 Uhr

2022-04-07T13:56:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. April 2022, 15:56 Uhr
Zeile 298:		Zeile 298:
	Ausgehend vom gleichen Analogsignal  $q(t)$  wie im letzten Abschnitt und einer linearen Quantisierung mit  $N = 8$ Bit   ⇒   $M = 256$  werden nun die Auswirkungen von Übertragungsfehlern anhand des jeweiligen Sinkensignals  $v(t)$  verdeutlicht.		Ausgehend vom gleichen Analogsignal  $q(t)$  wie im letzten Abschnitt und einer linearen Quantisierung mit  $N = 8$ Bit   ⇒   $M = 256$  werden nun die Auswirkungen von Übertragungsfehlern anhand des jeweiligen Sinkensignals  $v(t)$  verdeutlicht.

	[[Datei:P_ID1601__Mod_T_4_1_S7a.png \|~~center~~\|frame\| Einfluss eines Übertragungsfehlers bezüglich  '''Bit 5'''  beim Dualcode]]		[[Datei:P_ID1601__Mod_T_4_1_S7a.png \|right\|frame\| Einfluss eines Übertragungsfehlers bezüglich  '''Bit 5'''  beim Dualcode,  was bedeutet,  dass das niedrigste Quantisierungsintervall  $(\mu = 0)$  mit  '''LLLL LLLL''''  und das höchste Intervall  $(\mu = 255)$  mit  '''HHHH HHHH''' dargestellt wird]]

	*Die weißen Punkte markieren wieder das Quellensignal  $~~q(t)~~$.  ~~Ohne Übertragungsfehler hat das Sinkensignal~~  $v(t)$  ~~bei Vernachlässigung~~ der ~~Quantisierung den gleichen Verlauf.~~		[[Datei:P_ID1602__Mod_T_4_1_S7b.png \|right\|frame\| Tabelle mit den Ergebnissen der Bitfehleranalyse.  $10 · \lg \ ρ_v$  wurde aus dem dargestellten  (sehr kurzen)  Signalausschnitt der Dauer  $10 · T_{\rm A}$  berechnet.  Bei jeweils nur einem Fehler bei der Übertragung von  $10 · 8 = 80$  Bit ergibt dies bereits die Bitfehlerrate  $1.25\%$]]
	*Nun wird jeweils genau ein Bit des fünften Abtastwertes  $~~q(5~~ · T_{\rm A}~~) = -0.715~~$  ~~verfälscht, wobei dieser Abtastwert mit  '''LLHL LHLL'''  codiert wurde~~.  ~~Dieser Grafik zugrunde liegt~~ der ~~Dualcode, das heißt, dass das unterste Quantisierungsintervall~~  $~~(\mu~~ = 0)$  ~~mit  '''LLLL LLLL'''  und das oberste Intervall~~  $(\~~mu = 255)~~$~~  mit  '''HHHH HHHH'''  dargestellt wird.~~

	~~[[Datei:P_ID1602__Mod_T_4_1_S7b.png \|right\|frame\| Tabelle mit den Ergebnissen der Bitfehleranalyse]]~~

			*Die weißen Punkte markieren wieder das Quellensignal  $q(t)$.  Ohne Übertragungsfehler hat das Sinkensignal  $v(t)$  bei Vernachlässigung der Quantisierung den gleichen Verlauf.
	Die ~~Tabelle zeigt die Ergebnisse dieser Untersuchung:~~		*Nun wird jeweils genau ein Bit des fünften Abtastwertes  $q(5 · T_{\rm A}) = -0.715$  verfälscht, wobei dieser Abtastwert mit  '''LLHL LHLL'''  codiert wurde.
	*Der angegebene Störabstand  $~~10 · \lg \ ρ_v~~$  ~~wurde aus dem dargestellten~~ (~~sehr kurzen~~) ~~Signalausschnitt~~ der ~~Dauer~~  $10 · T_{\rm A}$  ~~berechnet.~~		<br><br>


	*Bei jeweils einem Fehler bei der Übertragung von  ~~$10 · 8 = 80$~~  ~~Bit entspricht dies einer Bitfehlerrate von~~  ~~$1.25\%$.~~
	<br ~~clear=all~~>
	Die in der Grafik und der Tabelle dargestellten Ergebnisse dieser Fehleranalyse können wie folgt zusammengefasst werden:		Die in der Grafik und der Tabelle dargestellten Ergebnisse dieser Fehleranalyse können wie folgt zusammengefasst werden:
	*Wird nur das letzte Bit des Binärwortes verfälscht  $($~~LSB~~:   ''Least Significant Bit,''  '''LLHL LHL<u>L</u>   ⇒   LLHL LHL<u>H</u>'''$)$,  so ist mit bloßem Auge kein Unterschied zur fehlerfreien Übertragung zu erkennen  $($weißer Kurvenzug$)$.  Trotzdem ~~wird~~ der Störabstand um   $3.5 \ \rm dB$  ~~vermindert~~.		*Wird nur das letzte Bit des Binärwortes verfälscht  $\rm (LSB$:   "Least Significant Bit",  '''LLHL LHL<u>L</u>   ⇒   LLHL LHL<u>H</u>'''$)$,  so ist mit bloßem Auge kein Unterschied zur fehlerfreien Übertragung zu erkennen  $($weißer Kurvenzug$)$.  Trotzdem ist der Störabstand   $3.5 \ \rm dB$  kleiner.
	*Ein Übertragungsfehler des viertletzten Bits  $($grüne Kurve,  '''LLHL<u>L</u>HLL ⇒ LLHL<u>H</u>HLL'''$)$  führt bereits zu einer deutlich erkennbaren Verfälschung um acht Quantisierungsintervalle.  Das heißt:   $v(5T_{\rm A}) \ - \ q(5T_{\rm A}) = 8/256 · 2 = 0.0625$  und der Störabstand sinkt auf   $10 · \lg \ ρ_υ = 28.2 \ \rm dB$.		*Ein Übertragungsfehler des viertletzten Bits  $($grüne Kurve,  '''LLHL<u>L</u>HLL ⇒ LLHL<u>H</u>HLL'''$)$  führt bereits zu einer deutlich erkennbaren Verfälschung um acht Quantisierungsintervalle.  Das heißt:   $v(5T_{\rm A}) \ - \ q(5T_{\rm A}) = 8/256 · 2 = 0.0625$  und der Störabstand sinkt auf   $10 · \lg \ ρ_υ = 28.2 \ \rm dB$.
	*Die rote Kurve zeigt schließlich den Fall, dass das MSB  (''Most Significant Bit'')  verfälscht wird:   '''<u>L</u>LHLLHLL ⇒ <u>H</u>LHLLHLL'''.  Dies führt zur Verfälschung  $v(5T_{\rm A}) \ – \ q(5T_{\rm A}) = 1$  (entspricht dem halben Aussteuerbereich).  Der Störabstand beträgt nun nur mehr etwa   $4 \ \rm dB$.		*Die rote Kurve zeigt schließlich den Fall,  dass das $\rm MSB$  ("Most Significant Bit")  verfälscht wird:   '''<u>L</u>LHLLHLL ⇒ <u>H</u>LHLLHLL'''.  Dies führt zur Verfälschung  $v(5T_{\rm A}) \ – \ q(5T_{\rm A}) = 1$  (entspricht dem halben Aussteuerbereich).  Der Störabstand beträgt nun nur mehr etwa   $4 \ \rm dB$.
	*Zu allen Abtastzeitpunkten mit Ausnahme von  $5T_{\rm A}$  stimmt  $v(t)$  bis auf den Quantisierungsfehler mit  $q(t)$  exakt überein.  Außerhalb dieser durch gelbe Kreuze markierten ~~Zeitpunkte~~ führt der einzige Fehler bei  $5T_{\rm A}$  aber in einem ausgedehnten Bereich zu starken Abweichungen, was auf die Interpolation mit der  $\rm si$–förmigen Impulsantwort des Rekonstruktionstiefpasses  $H(f)$  zurückzuführen ist.		*Zu allen Abtastzeitpunkten mit Ausnahme von  $5T_{\rm A}$  stimmt  $v(t)$  bis auf den Quantisierungsfehler mit  $q(t)$  exakt überein.  Außerhalb dieser durch gelbe Kreuze markierten Zeiten führt der einzige Fehler bei  $5T_{\rm A}$  aber in einem ausgedehnten Bereich zu starken Abweichungen, was auf die Interpolation mit der  $\rm si$–förmigen Impulsantwort des Rekonstruktionstiefpasses  $H(f)$  zurückzuführen ist.

Guenter am 6. April 2022 um 12:38 Uhr

2022-04-06T12:38:46Z

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