Modulationsverfahren/Pulscodemodulation - Versionsgeschichte

Guenter am 12. April 2022 um 14:24 Uhr

2022-04-12T14:24:22Z

Guenter am 12. April 2022 um 14:22 Uhr

2022-04-12T14:22:31Z

Guenter am 7. April 2022 um 14:16 Uhr

2022-04-07T14:16:16Z

Guenter am 7. April 2022 um 14:04 Uhr

2022-04-07T14:04:01Z

Guenter am 7. April 2022 um 13:56 Uhr

2022-04-07T13:56:00Z

Guenter am 6. April 2022 um 12:38 Uhr

2022-04-06T12:38:46Z

Änderungen zeigen

Guenter am 5. April 2022 um 16:27 Uhr

2022-04-05T16:27:50Z

Guenter am 5. April 2022 um 16:12 Uhr

2022-04-05T16:12:52Z

Guenter am 5. April 2022 um 12:24 Uhr

2022-04-05T12:24:23Z

Guenter am 3. April 2022 um 12:59 Uhr

2022-04-03T12:59:52Z

@@ Zeile 359: / Zeile 359: @@
 ==Nichtlineare Quantisierung==
 <br>
 Häufig werden die Quantisierungsintervalle nicht gleich groß gewählt, sondern man verwendet für den inneren Amplitudenbereich eine feinere Quantisierung als für große Amplituden.&nbsp; Dafür gibt es mehrere Gründe:
 *Bei Audiosignalen werden Verfälschungen der leisen Signalanteile&nbsp; (also Werte in der Nähe der Nulllinie)&nbsp; subjektiv als störender empfunden als eine Beeinträchtigung großer Amplitudenwerte.
 *Eine solche ungleichmäßige Quantisierung führt bei einem solchen Musik– oder Sprachsignal auch zu einem größeren Sinkenstörabstand, da hier die Signalamplitude nicht gleichverteilt ist.
-Die Grafik zeigt ein Sprachsignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; und dessen Amplitudenverteilung&nbsp; $f_q(q)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].&nbsp;
+Die Grafik zeigt ein Sprachsignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; und dessen Amplitudenverteilung&nbsp; $f_q(q)$ &nbsp; &rArr; &nbsp;
 Es handelt sich um die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung|Laplaceverteilung]], die man wie folgt annähern kann:
 *durch eine kontinuierliche, zweiseitige Exponentialverteilung, und

@@ Zeile 319: / Zeile 319: @@
 *Jeder Abtastwert&nbsp; $q_{\rm A}(νT)$&nbsp; wird mit&nbsp; $M$&nbsp; Stufen quantisiert und mit&nbsp; $N = {\rm log_2} (M)$&nbsp; Bit dargestellt.&nbsp; Im Bild:&nbsp; $M = 8$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $N = 3$.
-*Die Binärform von&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; liefert die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_k\, (k = 1, \text{...} \hspace{0.08cm}, N)$,&nbsp; die durch Bitfehler in die Koeffizienten&nbsp; $b_k$&nbsp; verfälscht werden können.
+*Die Binärform von&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; liefert die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_k\, (k = 1, \text{...} \hspace{0.08cm}, N)$,&nbsp; die durch Bitfehler in die Koeffizienten&nbsp; $b_k$&nbsp; verfälscht werden.&nbsp; Sowohl&nbsp; $a_k$&nbsp; als auch&nbsp; $b_k$&nbsp; sind jeweils&nbsp; $±1$.
-*Sowohl&nbsp; $a_k$&nbsp; als auch&nbsp; $b_k$&nbsp; sind jeweils&nbsp; $±1$.
+*Ein Fehler&nbsp; $(b_k ≠ a_k)$&nbsp; tritt mit Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; auf.&nbsp; Jedes Bit wird gleichwahrscheinlich verfälscht und in jedem PCM–Wort ist maximal ein Fehler &nbsp; &rArr; &nbsp; nur eines der&nbsp; $N$&nbsp; Bit kann falsch sein.
@@ Zeile 331: / Zeile 329: @@
-Für den Fall,&nbsp; dass (nur) der Koeffizient&nbsp; $a_k$&nbsp;gefälscht wurde,&nbsp;erhalten wir durch Verallgemeinerung für die Abweichung:
+Für den Fall,&nbsp; dass (nur) der Koeffizient&nbsp; $a_k$&nbsp; gefälscht wurde,&nbsp;erhalten wir durch Verallgemeinerung für die Abweichung:
 :$$\varepsilon_k = υ_{\rm Q}(νT) \ - \ q_{\rm Q}(νT)= - a_k \cdot A \cdot 2^{-k +1}
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 377: / Zeile 375: @@
 *Die Quantisierungsintervalle werden hierbei zu den Rändern hin abschnittsweise immer breiter.
 *Die häufigeren kleinen Amplituden werden dagegen sehr fein quantisiert.
+<br clear=all>
 ==Kompression und Expandierung==
 <br>

@@ Zeile 329: / Zeile 329: @@
 *Eine Verfälschung von&nbsp; $a_2$&nbsp; verändert&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; um&nbsp; $±A/2.$
 *Eine Verfälschung von&nbsp; $a_3$&nbsp; verändert&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; um&nbsp; $±A/4$.
-<br clear=all>
-Durch Verallgemeinerung erhält man für die Abweichung&nbsp; $ε_k = υ_{\rm Q}(νT) \ - \ q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; für den Fall, dass der Amplitudenkoeffizient&nbsp; $a_k$&nbsp; falsch übertragen wurde:
-:$$\varepsilon_k = - a_k \cdot A \cdot 2^{-k +1}
+Für den Fall,&nbsp; dass (nur) der Koeffizient&nbsp; $a_k$&nbsp;gefälscht wurde,&nbsp;erhalten wir durch Verallgemeinerung für die Abweichung:
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 341: / Zeile 342: @@
-Ohne Berücksichtigung von Übertragungsfehlern hat sich für das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis&nbsp; $ρ_v = P_{\rm S}/P_{\rm Q}$&nbsp; ergeben, wobei bei einem gleichverteilten Quellensignal&nbsp; (zum Beispiel sägezahnförmig)&nbsp; die Signalleistung und die Quantisierungsrauschleistung wie folgt zu berechnen ist:
+Ohne Berücksichtigung von Übertragungsfehlern hat sich für das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis&nbsp; $ρ_v = P_{\rm S}/P_{\rm Q}$&nbsp; ergeben,&nbsp; wobei bei einem gleichverteilten Quellensignal&nbsp; (zum Beispiel sägezahnförmig)&nbsp; die Signalleistung und die Quantisierungsrauschleistung wie folgt zu berechnen ist:
 [[Datei:P_ID1904__Mod_T_4_1_S7d_ganz_neu.png |right|frame| Sinken–SNR für PCM unter Berücksichtigung von Bitfehlern]]
-:$$P_{\rm S}={A^2}/{3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}P_{\rm Q}= {A^2}/{3} \cdot 2^{-2N } \hspace{0.05cm}.$$
+Unter Berücksichtigung der Übertragungsfehler erhält man mit obigem Ergebnis:
 Unter Berücksichtigung der Übertragungsfehler erhält man mit obigem Ergebnis:
 :$$\rho_{\upsilon}= \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}+P_{\rm F}} = \frac{A^2/3}{A^2/3 \cdot 2^{-2N } + A^2/3  \cdot 4 \cdot p_{\rm B}} = \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt &nbsp;$10 · \lg ρ_v$&nbsp; in Abhängigkeit der (logarithmierten) Leistungskenngröße&nbsp; $ξ = P_{\rm S}/(N_0 · B_{\rm NF})$, wobei&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; die Signalbandbreite angibt.&nbsp; Der konstante Kanalübertragungsfaktor sei idealerweise&nbsp; $α_{\rm K} = 1$.
+Die Grafik zeigt &nbsp;$10 · \lg ρ_v$&nbsp; in Abhängigkeit der&nbsp; (logarithmierten)&nbsp; Leistungskenngröße&nbsp; $ξ = P_{\rm S}/(N_0 · B_{\rm NF})$,&nbsp; wobei&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; die Signalbandbreite angibt.&nbsp; Der konstante Kanalübertragungsfaktor sei idealerweise&nbsp; $α_{\rm K} = 1$.
-*Beim optimalen Binärsystem und AWGN–Rauschen gilt aber für die Leistungskenngröße auch&nbsp; $ξ = E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte).
+*Beim optimalen Binärsystem und AWGN–Rauschen gilt aber für die Leistungskenngröße auch&nbsp; $ξ = E_{\rm B}/N_0$&nbsp; <br>$($Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte$)$.
 * Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist dann mit der Gaußschen Fehlerfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; wie folgt gegeben:
 :$$p_{\rm B}= {\rm Q} \left ( \sqrt{{2E_{\rm B}}/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
-*Für&nbsp; $N = 8$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $ 2^{–2{\it N} } = 1.5 · 10^{–5}$&nbsp; sowie&nbsp; $10 · \lg \ ξ = 6 \ \rm dB$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $p_{\rm B} = 0.0024$&nbsp; (rot markierter Punkt) ergibt sich:
+*Für&nbsp; $N = 8$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $ 2^{–2{\it N} } = 1.5 · 10^{–5}$&nbsp; sowie&nbsp; $10 · \lg \ ξ = 6 \ \rm dB$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $p_{\rm B} = 0.0024$&nbsp; $($rot markierter Punkt$)$&nbsp; ergibt sich:
 :$$\rho_{\upsilon}=  \frac{1}{ 1.5 \cdot 10^{-5} + 4 \cdot 0.0024} \approx 100 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\upsilon}\approx 20\,{\rm dB}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Dieser kleine &nbsp;$ρ_v$–Wert geht auf den Term &nbsp;$4 · 0.0024$&nbsp; im Nenner&nbsp; (Einfluss des Übertragungsfehlers)&nbsp; zurück, während im horizontalen Kurvenabschnitt für jedes&nbsp; $N$&nbsp; (Bitanzahl pro Abtastwert) der Term &nbsp;$\rm 2^{–2{\it N} }$&nbsp; dominiert – also das Quantisierungsrauschen.
+*Dieser kleine &nbsp;$ρ_v$–Wert geht auf den Term &nbsp;$4 · 0.0024$&nbsp; im Nenner&nbsp; $($Einfluss des Übertragungsfehlers$)$&nbsp; zurück, <br>während im horizontalen Kurvenabschnitt für jedes&nbsp; $N$&nbsp; $($Bitanzahl pro Abtastwert$)$&nbsp; der Term &nbsp;$\rm 2^{–2{\it N} }$&nbsp; dominiert &ndash; also das Quantisierungsrauschen.
 ==Nichtlineare Quantisierung==

@@ Zeile 316: / Zeile 316: @@
 <br>
 Nun soll versucht werden, die SNR–Kurve des PCM–Systems unter Berücksichtigung von Bitfehlern zumindest näherungsweise zu bestimmen.&nbsp; Wir gehen dabei vom folgenden Blockschaltbild aus und setzen weiter voraus:
-*Jeder Abtastwert&nbsp; $q_{\rm A}(νT)$&nbsp; wird mit&nbsp; $M$&nbsp; Stufen quantisiert und mit&nbsp; $N = {\rm log_2} (M)$&nbsp; Binärzeichen (Bit) dargestellt.&nbsp; Im Beispiel gilt&nbsp; $M = 8$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $N = 3$.
+[[Datei:P_ID1903__Mod_T_4_1_S7c_neu.png |right|frame|Zur Berechnung des PCM–SNR mit Berücksichtigung von Bitfehlern]]
-*Die Binärdarstellung von&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; liefert die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_k\, (k = 1, \text{...} \hspace{0.08cm}, N),$ die durch Bitfehler in die Koeffizienten&nbsp; $b_k$&nbsp; verfälscht werden können.
 *Sowohl&nbsp; $a_k$&nbsp; als auch&nbsp; $b_k$&nbsp; sind jeweils&nbsp; $±1$.
 *Ein Bitfehler&nbsp; $(b_k ≠ a_k)$&nbsp; tritt mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; auf.
-*Jedes Bit wird gleichwahrscheinlich verfälscht und in jedem PCM–Wort ist maximal ein Fehler &nbsp; &rArr; &nbsp; nur eines der&nbsp; $N$&nbsp; Bit kann falsch sein.
+*Jedes Bit wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit verfälscht und in jedem PCM–Wort ist maximal ein Fehler &nbsp; &rArr; &nbsp; nur eines der&nbsp; $N$&nbsp; Bit kann falsch sein.
-Aus dem in der Grafik angegebenen Diagramm ist für&nbsp; $N = 3$&nbsp; und natürliche Binärcodierung (Dualcode) zu erkennen:
+Aus dem in der Grafik angegebenen Diagramm ist für&nbsp; $N = 3$&nbsp; und natürliche Binärcodierung&nbsp; ("Dualcode")&nbsp; zu erkennen:
-*Eine Verfälschung von&nbsp; $a_1$&nbsp; verändert den quantisierten Wert&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; um&nbsp; $±A$.
+*Eine Verfälschung von&nbsp; $a_1$&nbsp; verändert&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; um&nbsp; $±A$.
-*Eine Verfälschung von&nbsp; $a_2$&nbsp; verändert den quantisierten Wert&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; um&nbsp; $±A/2.$
+*Eine Verfälschung von&nbsp; $a_2$&nbsp; verändert&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; um&nbsp; $±A/2.$
-*Eine Verfälschung von&nbsp; $a_3$&nbsp; verändert den quantisierten Wert Wert&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; um&nbsp; $±A/4$.
+*Eine Verfälschung von&nbsp; $a_3$&nbsp; verändert&nbsp; $q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; um&nbsp; $±A/4$.
 <br clear=all>
 Durch Verallgemeinerung erhält man für die Abweichung&nbsp; $ε_k = υ_{\rm Q}(νT) \ - \ q_{\rm Q}(νT)$&nbsp; für den Fall, dass der Amplitudenkoeffizient&nbsp; $a_k$&nbsp; falsch übertragen wurde:

@@ Zeile 298: / Zeile 298: @@
 Ausgehend vom gleichen Analogsignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; wie im letzten Abschnitt und einer linearen Quantisierung mit &nbsp;$N = 8$ Bit  &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 256$&nbsp; werden nun die Auswirkungen von Übertragungsfehlern anhand des jeweiligen Sinkensignals&nbsp; $v(t)$&nbsp; verdeutlicht.
-[[Datei:P_ID1601__Mod_T_4_1_S7a.png |center|frame| Einfluss eines Übertragungsfehlers bezüglich&nbsp; '''Bit 5'''&nbsp; beim Dualcode]]
+[[Datei:P_ID1601__Mod_T_4_1_S7a.png |right|frame| Einfluss eines Übertragungsfehlers bezüglich&nbsp; '''Bit 5'''&nbsp; beim Dualcode,&nbsp; was bedeutet,&nbsp; dass das niedrigste Quantisierungsintervall&nbsp; $(\mu = 0)$&nbsp; mit&nbsp; '''LLLL LLLL''''&nbsp; und das höchste Intervall&nbsp; $(\mu = 255)$&nbsp; mit&nbsp; '''HHHH HHHH''' dargestellt wird]]
-*Die weißen Punkte markieren wieder das Quellensignal&nbsp; $q(t)$.&nbsp; Ohne Übertragungsfehler hat das Sinkensignal&nbsp; $v(t)$&nbsp; bei Vernachlässigung der Quantisierung den gleichen Verlauf.
+[[Datei:P_ID1602__Mod_T_4_1_S7b.png |right|frame|  Tabelle mit den Ergebnissen der Bitfehleranalyse.&nbsp; $10 · \lg \ ρ_v$&nbsp; wurde aus dem dargestellten&nbsp; (sehr kurzen)&nbsp; Signalausschnitt der Dauer&nbsp; $10 · T_{\rm A}$&nbsp; berechnet.&nbsp; Bei jeweils nur einem Fehler bei der Übertragung von&nbsp; $10 · 8 = 80$&nbsp; Bit ergibt dies bereits die Bitfehlerrate&nbsp; $1.25\%$]]
+*Die weißen Punkte markieren wieder das Quellensignal&nbsp; $q(t)$.&nbsp; Ohne Übertragungsfehler hat das Sinkensignal&nbsp; $v(t)$&nbsp; bei Vernachlässigung der Quantisierung den gleichen Verlauf.
-Die Tabelle zeigt die Ergebnisse dieser Untersuchung:
+*Nun wird jeweils genau ein Bit des fünften Abtastwertes&nbsp; $q(5 · T_{\rm A}) = -0.715$&nbsp; verfälscht, wobei dieser Abtastwert mit&nbsp; '''LLHL LHLL'''&nbsp; codiert wurde.&nbsp;
-*Der angegebene Störabstand&nbsp; $10 · \lg \ ρ_v$&nbsp; wurde aus dem dargestellten (sehr kurzen) Signalausschnitt der Dauer&nbsp; $10 · T_{\rm A}$&nbsp; berechnet.
+<br><br>
 Die in der Grafik und der Tabelle dargestellten Ergebnisse dieser Fehleranalyse können wie folgt zusammengefasst werden:
-*Wird nur das letzte Bit des Binärwortes verfälscht&nbsp; $($LSB: &nbsp; ''Least Significant Bit,''&nbsp; '''LLHL LHL<u>L</u> &nbsp; ⇒ &nbsp; LLHL LHL<u>H</u>'''$)$,&nbsp; so ist mit bloßem Auge kein Unterschied zur fehlerfreien Übertragung zu erkennen&nbsp; $($weißer Kurvenzug$)$.&nbsp; Trotzdem wird der Störabstand um &nbsp; $3.5 \ \rm dB$&nbsp; vermindert.
+*Wird nur das letzte Bit des Binärwortes verfälscht&nbsp; $\rm (LSB$: &nbsp; "Least Significant Bit",&nbsp; '''LLHL LHL<u>L</u> &nbsp; ⇒ &nbsp; LLHL LHL<u>H</u>'''$)$,&nbsp; so ist mit bloßem Auge kein Unterschied zur fehlerfreien Übertragung zu erkennen&nbsp; $($weißer Kurvenzug$)$.&nbsp; Trotzdem ist der Störabstand &nbsp; $3.5 \ \rm dB$&nbsp; kleiner.
 *Ein Übertragungsfehler des viertletzten Bits&nbsp; $($grüne Kurve,&nbsp; '''LLHL<u>L</u>HLL ⇒ LLHL<u>H</u>HLL'''$)$&nbsp; führt bereits zu einer deutlich erkennbaren Verfälschung um acht Quantisierungsintervalle.&nbsp; Das heißt: &nbsp;  $v(5T_{\rm A}) \ - \ q(5T_{\rm A}) = 8/256 · 2 = 0.0625$&nbsp; und der Störabstand sinkt auf &nbsp; $10 · \lg \ ρ_υ = 28.2 \ \rm  dB$.
-*Die rote Kurve zeigt schließlich den Fall, dass das MSB&nbsp; (''Most Significant Bit'')&nbsp; verfälscht wird: &nbsp; '''<u>L</u>LHLLHLL ⇒ <u>H</u>LHLLHLL'''.&nbsp; Dies führt zur Verfälschung&nbsp; $v(5T_{\rm A}) \ – \ q(5T_{\rm A}) = 1$&nbsp; (entspricht dem halben Aussteuerbereich).&nbsp; Der Störabstand beträgt nun nur mehr etwa &nbsp; $4 \ \rm  dB$.
+*Die rote Kurve zeigt schließlich den Fall,&nbsp; dass das $\rm MSB$&nbsp; ("Most Significant Bit")&nbsp; verfälscht wird: &nbsp; '''<u>L</u>LHLLHLL ⇒ <u>H</u>LHLLHLL'''.&nbsp; Dies führt zur Verfälschung&nbsp; $v(5T_{\rm A}) \ – \ q(5T_{\rm A}) = 1$&nbsp; (entspricht dem halben Aussteuerbereich).&nbsp; Der Störabstand beträgt nun nur mehr etwa &nbsp; $4 \ \rm  dB$.
-*Zu allen Abtastzeitpunkten mit Ausnahme von&nbsp; $5T_{\rm A}$&nbsp; stimmt&nbsp; $v(t)$&nbsp; bis auf den Quantisierungsfehler mit&nbsp; $q(t)$&nbsp; exakt überein.&nbsp; Außerhalb dieser durch gelbe Kreuze markierten Zeitpunkte führt der einzige Fehler bei&nbsp; $5T_{\rm A}$&nbsp; aber in einem ausgedehnten Bereich zu starken Abweichungen, was auf die Interpolation mit der&nbsp; $\rm si$–förmigen Impulsantwort des Rekonstruktionstiefpasses&nbsp; $H(f)$&nbsp; zurückzuführen ist.
+*Zu allen Abtastzeitpunkten mit Ausnahme von&nbsp; $5T_{\rm A}$&nbsp; stimmt&nbsp; $v(t)$&nbsp; bis auf den Quantisierungsfehler mit&nbsp; $q(t)$&nbsp; exakt überein.&nbsp; Außerhalb dieser durch gelbe Kreuze markierten Zeiten führt der einzige Fehler bei&nbsp; $5T_{\rm A}$&nbsp; aber in einem ausgedehnten Bereich zu starken Abweichungen, was auf die Interpolation mit der&nbsp; $\rm si$–förmigen Impulsantwort des Rekonstruktionstiefpasses&nbsp; $H(f)$&nbsp; zurückzuführen ist.

@@ Zeile 172: / Zeile 172: @@
 :$$q_{\rm A}(t) = \big [ {1}/{T_{\rm A} } \cdot p_{\rm \delta}(t)
 \cdot q(t)\big ]\star g_{\rm R}(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \big [ P_{\rm \delta}(f) \star Q(f) \big ]  \cdot G_{\rm R}(f)/{T_{\rm A} } \hspace{0.05cm}.$$
-*Es ist unerheblich, aber durchaus zweckmäßig, dass hier der Faktor&nbsp; $1/T_{\rm A}$&nbsp; zur Bewertungsfunktion&nbsp; $G_{\rm R}(f)$&nbsp; hinzugefügt wurde.
+*Es ist unerheblich,&nbsp; aber durchaus zweckmäßig,&nbsp; dass hier der Faktor&nbsp; $1/T_{\rm A}$&nbsp; zur Bewertungsfunktion&nbsp; $G_{\rm R}(f)$&nbsp; hinzugefügt wurde.
 *Damit gilt wieder&nbsp; $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A} = T_{\rm R}/T_{\rm A} · {\rm si}(πfT_{\rm R}).$}}
-Die obere Grafik zeigt (grün hinterlegt) die Spektralfunktion&nbsp; $P_δ(f) \star Q(f)$&nbsp; nach idealer Abtastung.&nbsp; Bei diskreter Abtastung mit einem Rechteckpuls ergibt sich dagegen das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; entsprechend dem unteren Diagramm.
+[[Datei: P_ID1596__Mod_T_4_1_S3c_neu.png |right|frame| Spektrum bei diskreter Abtastung mit einem Rechteckpuls]]
 Man erkennt:
-*Jedes der unendlich vielen Teilspektren hat nun eine andere Form.&nbsp; Wichtig ist nur das mittlere Spektrum um&nbsp; $f = 0$.&nbsp;
+#Jedes der unendlich vielen Teilspektren hat nun eine andere Form.&nbsp; Wichtig ist nur das mittlere Spektrum um&nbsp; $f = 0$.&nbsp;
-*Alle anderen Spektralanteile werden empfängerseitig durch den Tiefpass der Signalrekonstruktion entfernt.
+#Alle anderen Spektralanteile werden empfängerseitig durch den Tiefpass der Signalrekonstruktion entfernt.
+#Verwendet man für diesen Tiefpass wieder ein Rechteckfilter mit der Verstärkung um&nbsp; $T_{\rm A}/T_{\rm R}$&nbsp; im Durchlassbereich,&nbsp; so erhält man für das Ausgangsspektrum: &nbsp;
 :$$V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.05cm}.$$
 <br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Bei diskreter Abtastung und Rechteckfilterung kommt es zu Dämpfungsverzerrungen gmäß der Bewertungsfunktion&nbsp; ${\rm si}(πfT_{\rm R})$.
+$\text{Fazit:}$&nbsp; '''Bei diskreter Abtastung und Rechteckfilterung kommt es zu Dämpfungsverzerrungen'''&nbsp; gemäß der Bewertungsfunktion&nbsp; ${\rm si}(πfT_{\rm R})$.
-*Diese sind um so stärker, je größer&nbsp; $T_{\rm R}$&nbsp; ist.&nbsp; Nur im Grenzfall&nbsp; $T_{\rm R} → 0$&nbsp; gilt ${\rm si}(πfT_{\rm R}) = 1$.
+*Diese sind um so stärker, je größer&nbsp; $T_{\rm R}$&nbsp; ist.&nbsp; Nur im Grenzfall&nbsp; $T_{\rm R} → 0$&nbsp; gilt&nbsp; ${\rm si}(πfT_{\rm R}) = 1$.
 *Allerdings können durch eine ideale Entzerrung diese linearen Dämpfungsverzerrungen vollständig kompensiert werden.
-*Um&nbsp; $V(f) = Q(f)$&nbsp; bzw.&nbsp; $v(t) = q(t)$&nbsp; zu erhalten, muss dann gelten:
+*Um&nbsp; $V(f) = Q(f)$&nbsp; bzw.&nbsp; $v(t) = q(t)$&nbsp; zu erhalten,&nbsp; muss dann gelten:
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} (T_{\rm A}/T_{\rm R})/{\rm si}(\pi f T_{\rm R})  \\ 0 \\  \end{array} \right.\quad\begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r} }\\{\rm{f\ddot{u}r} }  \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c}
 {\hspace{0.04cm}\left \vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right \vert < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm},  \\
-{\hspace{0.04cm}\left \vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right \vert > f_{\rm A}/2}  \\
+{\hspace{0.04cm}\left \vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right \vert > f_{\rm A}/2}.  \\
 \end{array}$$}}

@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
 *Hierbei ist eine ideale Amplitudenanpassung vorausgesetzt,&nbsp; so dass im Idealfall&nbsp; (das heißt: &nbsp; Abtastung gemäß dem Abtasttheorem,&nbsp; bestmögliche Signalrekonstruktion,&nbsp; unendlich feine Quantisierung)&nbsp; das Sinkensignal&nbsp;  $v(t)$&nbsp; mit dem Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; exakt übereinstimmen würde.
-::Wir möchten Sie bereits hier auf das dreiteilige Lernvideo&nbsp; [[Pulscodemodulation_(Lernvideo)|"Pulscodemodulation"]]&nbsp; hinweisen,&nbsp; das alle Aspekte der PCM beinhaltet.&nbsp; <br>Das PCM&ndash; Prinzip wird im ersten Teil des Videos  erläutert.
+::&rArr; &nbsp; Wir möchten Sie bereits hier auf das dreiteilige Lernvideo&nbsp; [[Pulscodemodulation_(Lernvideo)|"Pulscodemodulation"]]&nbsp; hinweisen,&nbsp; das alle Aspekte der PCM beinhaltet.&nbsp; <br>Das PCM&ndash; Prinzip wird im ersten Teil des Videos  erläutert.
 ==Abtastung und Signalrekonstruktion==
@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
 :$$Q_{\rm A}(f) = Q(f) \star P_{\delta}(f)= \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} Q(f - \mu \cdot f_{\rm A}) \hspace{0.05cm}.$$
-&rArr; &nbsp; Wir weisen Sie hier auf den zweiten Teil des Lernvideos&nbsp; [[Pulscodemodulation_(Lernvideo)|"Pulscodemodulation"]]&nbsp;  hin,&nbsp; das die Abtastung und die Signalrekonstruktion systemtheoretisch erklärt.
+::&rArr; &nbsp; Wir weisen Sie hier auf den zweiten Teil des Lernvideos&nbsp; [[Pulscodemodulation_(Lernvideo)|"Pulscodemodulation"]]&nbsp;  hin,&nbsp; das die Abtastung und die Signalrekonstruktion systemtheoretisch erklärt.
 {{GraueBox|TEXT=
@@ Zeile 109: / Zeile 109: @@
 ==Natürliche und diskrete Abtastung==
 <br>
-Die Multiplikation mit dem Diracpuls liefert nur eine idealisierte Beschreibung der Abtastung, da eine Diracfunktion&nbsp; $($Dauer $T_{\rm R} → 0$,&nbsp; Höhe $1/T_{\rm R} → ∞)$&nbsp; nicht realisierbar ist.&nbsp; In der Praxis muss der Diracpuls&nbsp; $p_δ(t)$&nbsp; zum Beispiel durch einen Rechteckpuls
+Die Multiplikation mit dem Diracpuls liefert nur eine idealisierte Beschreibung der Abtastung,&nbsp; da eine Diracfunktion&nbsp; $($Dauer $T_{\rm R} → 0$,&nbsp; Höhe $1/T_{\rm R} → ∞)$&nbsp; nicht realisierbar ist.&nbsp; In der Praxis muss der Diracpuls&nbsp; $p_δ(t)$&nbsp; zum Beispiel durch einen&nbsp; "Rechteckpuls"
-:$$p_{\rm R}(t)= \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}g_{\rm R}(t - \nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.3cm}  {\rm mit}\hspace{0.3cm} g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1  \\ 1/2 \\ 0 \\  \end{array} \right.\quad
+[[Datei: P_ID1594__Mod_T_4_1_S3a_neu.png |right|frame| Rechteckpuls (oben) sowie natürliche und diskrete Abtastung]]
 \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}}\\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c}{\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm},  \\{\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\
-{\hspace{0.005cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}  \\
+{\hspace{0.005cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}.  \\
 \end{array}$$
-ersetzt werden, wobei die Rechteckimpulsdauer&nbsp; $T_{\rm R}$&nbsp; deutlich kleiner als der Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; sein sollte.
+ersetzt werden,&nbsp; wobei die Rechteckimpulsdauer&nbsp; $T_{\rm R}$&nbsp; deutlich kleiner als der Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; sein sollte.
 Die Grafik zeigt oben den Rechteckpuls&nbsp; $p_{\rm R}(t)$.&nbsp; Darunter sind zwei verschiedene Abtastverfahren mit diesem Rechteckpuls dargestellt:
-*Bei der&nbsp; '''natürlichen Abtastung'''&nbsp; ergibt sich das abgetastete Signal&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; durch die Multiplikation von&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit&nbsp; $p_{\rm R}(t)$.&nbsp; In den Bereichen&nbsp; $p_{\rm R}(t) = 1$&nbsp; hat somit&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; den gleichen Verlauf wie&nbsp; $q(t)$.
+*Bei der&nbsp; '''natürlichen Abtastung'''&nbsp; ergibt sich das abgetastete Signal&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; durch Multiplikation von&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit&nbsp; $p_{\rm R}(t)$.&nbsp; In den Bereichen&nbsp; $p_{\rm R}(t) = 1$&nbsp; hat somit&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; den gleichen Verlauf wie&nbsp; $q(t)$.
@@ Zeile 126: / Zeile 126: @@
 *Bei der&nbsp; '''diskreten Abtastung'''&nbsp; wird das Signal&nbsp; $q(t)$&nbsp; – zumindest gedanklich – erst mit dem Diracpuls&nbsp; $p_δ(t)$&nbsp; multipliziert.&nbsp; Dann wird jeder Diracimpuls&nbsp; $T_{\rm A} · δ(t - ν · T_{\rm A})$&nbsp; durch einen Rechteckimpuls&nbsp; $g_{\rm R}(t - ν · T_{\rm A})$&nbsp; ersetzt.
 <br clear=all>
-Hier und bei der nachfolgenden Frequenzbereichsbetrachtung ist zur Vereinfachung eine akausale Beschreibungsform gewählt.&nbsp; Für eine (kausale) Realisierung müsste&nbsp; $g_{\rm R}(t) = 1$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T_{\rm R}$&nbsp; gelten, und nicht wie hier für&nbsp; $ \ -T_{\rm R}/2 < t < T_{\rm R}/2.$
+Hier und bei der nachfolgenden Frequenzbereichsbetrachtung ist zur Vereinfachung eine akausale Beschreibungsform gewählt.&nbsp; Für eine&nbsp; (kausale)&nbsp; Realisierung müsste&nbsp; $g_{\rm R}(t) = 1$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T_{\rm R}$&nbsp; gelten,&nbsp; und nicht wie hier für&nbsp; $ \ -T_{\rm R}/2 < t < T_{\rm R}/2.$
@@ Zeile 144: / Zeile 144: @@
-[[Datei:P_ID1595__Mod_T_4_1_S3b_ganz_neu.png |center|frame| Spektrum bei natürlicher Abtastung mit einem Rechteckpuls]]
+[[Datei:P_ID1595__Mod_T_4_1_S3b_ganz_neu.png |right|frame| Spektrum bei natürlicher Abtastung mit einem Rechteckpuls]]
 Man erkennt aus dieser Darstellung:
-*Das Spektrum&nbsp; $P_{\rm R}(f)$&nbsp; bei natürlicher Abtastung  ist im Gegensatz zu&nbsp; $P_δ(f)$&nbsp; kein Diracpuls&nbsp; $($alle Gewichte gleich $1)$,&nbsp; sondern die Gewichte sind hier mit der Funktion&nbsp; $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A} = T_{\rm R}/T_{\rm A} · {\rm si}(πfT_{\rm R})$&nbsp; bewertet.&nbsp;
+#Das Spektrum&nbsp; $P_{\rm R}(f)$&nbsp; bei natürlicher Abtastung  ist im Gegensatz zu&nbsp; $P_δ(f)$&nbsp; kein Diracpuls&nbsp; $($alle Gewichte gleich $1)$,&nbsp; sondern die Gewichte sind hier mit&nbsp; $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A} = T_{\rm R}/T_{\rm A} · {\rm si}(πfT_{\rm R})$&nbsp; bewertet.&nbsp;
-*Wegen der Nullstelle der&nbsp; $\rm si$–Funktion verschwinden hier die Diraclinien bei&nbsp; $±4f_{\rm A}$.
+#Wegen der ersten Nullstelle der&nbsp; $\rm si$–Funktion verschwinden hier die Diraclinien bei&nbsp; $±4f_{\rm A}$.
+#Das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; ergibt sich aus der Faltung mit&nbsp; $Q(f)$.&nbsp; Das Rechteck um&nbsp; $f = 0$&nbsp; hat die Höhe&nbsp; $T_{\rm R}/T_{\rm A} · Q_0$, die Anteile um&nbsp; $\mu · f_{\rm A} \ (\mu ≠ 0)$&nbsp; sind weniger hoch.
-*Das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; ergibt sich aus der Faltung mit&nbsp; $Q(f)$.&nbsp; Das Rechteck um&nbsp; $f = 0$&nbsp; hat die Höhe&nbsp; $T_{\rm R}/T_{\rm A} · Q_0$, die Anteile um&nbsp; $\mu · f_{\rm A} \ (\mu ≠ 0)$&nbsp; sind weniger hoch.
+#Verwendet man zur Signalrekonstruktion einen idealen&nbsp; (rechteckförmigen)&nbsp; Tiefpass
+::$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} = 4  \\ 0 \\  \end{array} \right.\quad
 \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}}\\{\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c}
 {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm},  \\
 {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm},  \\
 \end{array}$$
-:so gilt für das Ausgangsspektrum&nbsp; $V(f) = Q(f)$&nbsp; und dementsprechend ist auch&nbsp; $v(t) = q(t)$.
+::so gilt für das Ausgangsspektrum&nbsp; $V(f) = Q(f)$.&nbsp; Dementsprechend gilt auch&nbsp; $v(t) = q(t)$.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Bei natürlicher Abtastung genügt zur Signalrekonstruktion wie bei idealer Abtastung (mit Diracpuls) ein Rechteck&ndash;Tiefpass.
+*Bei natürlicher Abtastung genügt&nbsp; '''zur Signalrekonstruktion wie bei idealer Abtastung&nbsp; (mit Diracpuls)&nbsp; ein Rechteck&ndash;Tiefpass'''.
 *Allerdings muss zur Amplitudenanpassung im Durchlassbereich eine Verstärkung um den Faktor&nbsp; $T_{\rm A}/T_{\rm R}$&nbsp; berücksichtigt werden. }}

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 Im Einzelnen werden behandelt:
-*die&nbsp; &raquo;Pulscodemodulation&laquo;&nbsp; $\rm (PCM)$&nbsp; und deren&nbsp; Komponenten&nbsp; "Abtastung"&nbsp; –&nbsp; "Quantisierung"&nbsp; –&nbsp; "Codierung",
+*die&nbsp; &raquo;Pulscodemodulation&laquo;&nbsp; $\rm (PCM)$&nbsp; und deren&nbsp; Komponenten&nbsp; &raquo;Abtastung&laquo;&nbsp; –&nbsp; &raquo;Quantisierung&laquo;&nbsp; –&nbsp; &raquo;Codierung&laquo;,
 *die&nbsp; &raquo;linearen Modulationsverfahren&laquo;&nbsp; $\rm ASK$,&nbsp; $\rm BPSK$,&nbsp; $\rm DPSK$&nbsp; sowie zugehörige Demodulatoren,
 * die&nbsp; &raquo;Quadraturamplitudenmodulation&laquo;&nbsp; $\rm (QAM)$&nbsp; sowie kompliziertere Signalraumzuordnungen,
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 ==Abtastung und Signalrekonstruktion==
 <br>
-Die Abtastung – also die Zeitdiskretisierung des Analogsignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; – wurde im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp; des Buches „Signaldarstellung” ausführlich behandelt.&nbsp; Hier folgt eine Kurzzusammenfassung dieses Abschnitts.
+Die Abtastung – also die Zeitdiskretisierung des Analogsignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; – wurde im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp; des Buches „Signaldarstellung” ausführlich behandelt.&nbsp; Hier folgt eine Kurzzusammenfassung dieses Abschnitts.&nbsp;
-[[Datei:P_ID1590__Mod_T_4_1_S2a_neu.png |center|frame|Zeitbereichsdarstellung der Abtastung]]
+[[Datei:P_ID1590__Mod_T_4_1_S2a_neu.png |right|frame|Zeitbereichsdarstellung der Abtastung]]
-Die Grafik verdeutlicht die Abtastung im Zeitbereich.&nbsp; Das (blaue) Signal&nbsp; $q(t)$&nbsp; ist zeitkontinuierlich, das im Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; abgetastete (grüne) Signal&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; zeitdiskret.&nbsp; Dabei gilt:
+Die Grafik verdeutlicht die Abtastung im Zeitbereich:&nbsp;
 *Die Abtastung lässt sich durch die Multiplikation des Analogsignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls im Zeitbereich]] &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_δ(t)$&nbsp; darstellen:
 :$$q_{\rm A}(t) = q(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm}p_{\delta}(t)= \sum_{\nu = -\infty}^{\infty}T_{\rm A}\cdot \delta(t - \nu \cdot T_{\rm A}) \hspace{0.05cm}.$$
-*Das Gewicht der Diracfunktion bei&nbsp; $t = ν · T_{\rm A}$&nbsp; ist gleich&nbsp; $T_{\rm A} · q(ν · T_{\rm A})$.&nbsp; Da die Diracfunktion&nbsp; $δ(t)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm 1/s$&nbsp; aufweist, hat somit&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; die gleiche Einheit wie&nbsp; $q(t)$, zum Beispiel „V”.
+*Das Gewicht der Diracfunktion bei&nbsp; $t = ν · T_{\rm A}$&nbsp; ist gleich&nbsp; $T_{\rm A} · q(ν · T_{\rm A})$.&nbsp; Da die Diracfunktion&nbsp; $δ(t)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm 1/s$&nbsp; aufweist,&nbsp;  hat somit&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; die gleiche Einheit wie&nbsp; $q(t)$,&nbsp; zum Beispiel „V”.
-*Die Fouriertransformierte des Diracpulses&nbsp; $p_δ(t)$&nbsp; ist ebenfalls ein Diracpuls&nbsp; (aber nun im Frequenzbereich) &nbsp; &rArr; &nbsp; $P_δ(f)$, wobei der Abstand der einzelnen Diraclinien&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; beträgt.&nbsp; Alle Impulsgewichte von&nbsp; $P_δ(f)$&nbsp; sind&nbsp; $1$:
+*Die Fouriertransformierte des Diracpulses&nbsp; $p_δ(t)$&nbsp; ist ebenfalls ein Diracpuls&nbsp; (aber nun im Frequenzbereich) &nbsp; &rArr; &nbsp; $P_δ(f)$,&nbsp; wobei der Abstand der einzelnen Diraclinien&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; beträgt.&nbsp; Alle Impulsgewichte von&nbsp; $P_δ(f)$&nbsp; sind&nbsp; $1$:
 :$$p_{\delta}(t)= \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}T_{\rm A}\cdot \delta(t - \nu \cdot T_{\rm A})
 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} P_{\delta}(f)= \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A}) \hspace{0.05cm}.$$
 *Das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; des abgetasteten Signals ergibt sich aus dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|
-  Faltungssatz]],  wobei&nbsp; $Q(f)$&nbsp; das kontinuierliche Spektrum des Analogsignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; bezeichnet:
+  Faltungssatz]],&nbsp;  wobei&nbsp; $Q(f)$&nbsp; das kontinuierliche Spektrum des Analogsignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; bezeichnet:
 :$$Q_{\rm A}(f) = Q(f) \star P_{\delta}(f)= \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} Q(f - \mu \cdot f_{\rm A}) \hspace{0.05cm}.$$
-Wir weisen Sie hier auf den zweiten Teil des Lernvideos&nbsp; [[Pulscodemodulation_(Lernvideo)|Pulscodemodulation]]&nbsp;  hin, das die Abtastung und die Signalrekonstruktion systemtheoretisch erklärt.
+&rArr; &nbsp; Wir weisen Sie hier auf den zweiten Teil des Lernvideos&nbsp; [[Pulscodemodulation_(Lernvideo)|"Pulscodemodulation"]]&nbsp;  hin,&nbsp; das die Abtastung und die Signalrekonstruktion systemtheoretisch erklärt.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die obere Grafik zeigt schematisch das Spektrum&nbsp; $Q(f)$&nbsp; eines analogen Quellensignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit Frequenzen bis&nbsp; $f_{\rm N, \ max} = 5 \ \rm kHz$.
-[[Datei:P_ID1593__Mod_T_4_1_S2b_neu.png |center|frame| Periodische Fortsetzung des Spektrums durch Abtastung]]
+[[Datei:P_ID1593__Mod_T_4_1_S2b_neu.png |right|frame| Periodische Fortsetzung des Spektrums durch Abtastung]]
-*Tastet man&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit der Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} = 20 \ \rm kHz$&nbsp; $($also im jeweiligen Abstand $T_{\rm A} = 50 \ \rm &micro; s)$&nbsp; ab, so erhält man das grün skizzierte periodische Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$.
+*Darunter&nbsp; (rot)&nbsp; gezeichnet ist das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; für die Abtastparameter&nbsp; $T_{\rm A} = 100  \ \rm &micro; s$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  $f_{\rm A} = 10  \ \rm kHz$. }}
@@ Zeile 93: / Zeile 99: @@
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
 Aus diesem Beispiel lassen sich folgende wichtige Erkenntnisse bezüglich der Abtastung gewinnen:
-*Beinhaltet&nbsp; $Q(f)$&nbsp; Frequenzen bis&nbsp; $f_\text{N, max}$, so muss nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]&nbsp; die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} ≥ 2 · f_\text{N, max}$&nbsp; gewählt werden.&nbsp; Bei kleinerer Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; $($also größerem Abstand $T_{\rm A})$&nbsp; kommt es zu Überlappungen der periodifizierten Spektren, also zu irreversiblen Verzerrungen.
+*Beinhaltet&nbsp; $Q(f)$&nbsp; Frequenzanteile bis&nbsp; $f_\text{N, max}$,&nbsp; so muss nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]&nbsp; die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} ≥ 2 · f_\text{N, max}$&nbsp; gewählt werden.&nbsp; Bei kleinerer Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; $($also größerem Abstand $T_{\rm A})$&nbsp; kommt es zu Überlappungen der periodifizierten Spektren,&nbsp; also zu irreversiblen Verzerrungen.
-*Gilt exakt&nbsp; $f_{\rm A} = 2 · f_\text{N, max}$&nbsp; wie in der unteren Grafik von&nbsp; $\text{Beispiel 1}$, so kann&nbsp; $Q(f)$&nbsp; aus&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; – bzw. im&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Prinzip_und_Blockschaltbild|PCM–System]]&nbsp;  $V(f)$&nbsp; aus&nbsp; $V_{\rm Q}(f)$ – durch einen idealen rechteckförmigen Tiefpass&nbsp; $H(f)$&nbsp; mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$&nbsp; vollständig rekonstruiert werden.
+*Gilt exakt&nbsp; $f_{\rm A} = 2 · f_\text{N, max}$&nbsp; wie in der unteren Grafik von&nbsp; $\text{Beispiel 1}$,&nbsp; so kann&nbsp; $Q(f)$&nbsp; aus&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; – bzw. im&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Prinzip_und_Blockschaltbild|PCM–System]]&nbsp;  $V(f)$&nbsp; aus&nbsp; $V_{\rm Q}(f)$ – durch einen idealen rechteckförmigen Tiefpass&nbsp; $H(f)$&nbsp; mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$&nbsp; vollständig rekonstruiert werden.
-*Erfolgt dagegen die Abtastung mit&nbsp; $f_{\rm A} > 2 · f_\text{N, max}$&nbsp; wie in der mittleren Grafik des Beispiels, so kann empfängerseitig zur Signalrekonstruktion auch ein Tiefpass&nbsp; $H(f)$&nbsp; mit kleinerer Flankensteilheit verwendet werden, solange die folgende Bedingung erfüllt ist:
+*Erfolgt dagegen die Abtastung mit&nbsp; $f_{\rm A} > 2 · f_\text{N, max}$&nbsp; wie in der mittleren Grafik des Beispiels,&nbsp; so kann empfängerseitig zur Signalrekonstruktion auch ein Tiefpass&nbsp; $H(f)$&nbsp; mit kleinerer Flankensteilheit verwendet werden,&nbsp; solange die folgende Bedingung erfüllt ist:
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} 1  \\ 0 \\  \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r} }
 \\{\rm{f\ddot{u}r} }  \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left \vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right \vert \le f_{\rm N, \hspace{0.05cm}max},}  \\ {\hspace{0.04cm}\left \vert\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right \vert \ge f_{\rm A}- f_{\rm N, \hspace{0.05cm}max}.}  \\ \end{array}$$}}

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 == # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Das vierte Kapitel behandelt die digitalen Modulationsverfahren &nbsp;''Amplitude Shift Keying''&nbsp; (ASK), &nbsp;''Phase Shift Keying''&nbsp; (PSK) und &nbsp;''Frequency Shift Keying''&nbsp; (FSK) sowie einige davon abgeleitete Modifikationen.&nbsp; Die meisten der in den beiden letzten Kapiteln genannten Eigenschaften der analogen Modulationsverfahren gelten weiterhin.&nbsp; Unterschiede ergeben sich aus der nun erforderlichen Entscheiderkomponente des Empfängers.
+Das vierte Kapitel behandelt die digitalen Modulationsverfahren&nbsp; &raquo;Amplitude Shift Keying&laquo;&nbsp; $\rm (ASK)$,&nbsp; &raquo;Phase Shift Keying&laquo;&nbsp; $\rm (PSK)$&nbsp; und&nbsp; &raquo;Frequency Shift Keying&laquo;&nbsp; $\rm (FSK)$&nbsp; sowie einige davon abgeleitete Modifikationen.&nbsp; Die meisten der in den beiden letzten Kapiteln genannten Eigenschaften der analogen Modulationsverfahren gelten weiterhin.&nbsp; Unterschiede ergeben sich aus der nun erforderlichen Entscheiderkomponente des Empfängers.
-Wir beschränken uns hier im wesentlichen auf die systemtheoretischen und übertragungstechnischen Aspekte.&nbsp; Die Fehlerwahrscheinlichkeit wird nur für ideale Bedingungen angegeben.&nbsp; Die Herleitungen und die Berücksichtigung nichtidealer Randbedingungen finden Sie im Buch&nbsp; „Digitalsignalübertragung”.
+Wir beschränken uns hier im wesentlichen auf die systemtheoretischen und übertragungstechnischen Aspekte.&nbsp; Die Fehlerwahrscheinlichkeit wird nur für ideale Bedingungen angegeben.&nbsp; Die ausführlichen Herleitungen und die Berücksichtigung nichtidealer Randbedingungen finden Sie im Buch&nbsp; „Digitalsignalübertragung”.
 Im Einzelnen werden behandelt:
-*die &nbsp;''Pulscodemodulation''&nbsp; (PCM)&nbsp; und deren Komponenten Abtastung – Quantisierung – Codierung,
+*die&nbsp; &raquo;Pulscodemodulation&laquo;&nbsp; $\rm (PCM)$&nbsp; und deren&nbsp; Komponenten&nbsp; "Abtastung"&nbsp; –&nbsp; "Quantisierung"&nbsp; –&nbsp; "Codierung",
-*die &nbsp;''linearen Modulationsverfahren''&nbsp; ASK, BPSK und DPSK sowie zugehörige Demodulatoren,
+*die&nbsp; &raquo;linearen Modulationsverfahren&laquo;&nbsp; $\rm ASK$,&nbsp; $\rm BPSK$,&nbsp; $\rm DPSK$&nbsp; sowie zugehörige Demodulatoren,
-* die &nbsp;''Quadraturamplitudenmodulation''&nbsp; (QAM)&nbsp; sowie kompliziertere Signalraumzuordnungen,
+* die&nbsp; &raquo;Quadraturamplitudenmodulation&laquo;&nbsp; $\rm (QAM)$&nbsp; sowie kompliziertere Signalraumzuordnungen,
-* die FSK – ''Frequency Shift Keying''&nbsp; als Beispiel einer nichtlinearen digitalen Modulation,
+* die&nbsp; &raquo;Frequency Shift Keying&laquo;&nbsp; $\rm (FSK)$&nbsp; als Beispiel einer nichtlinearen digitalen Modulation,
-*die FSK mit &nbsp;''kontinuierlicher Phasenanpassung'', insbesondere das (G)MSK–Verfahren.
+*die&nbsp; &raquo;FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung&laquo;&nbsp; $\rm (CPM)$,&nbsp; insbesondere das&nbsp; $\rm (G)MSK$–Verfahren.
-Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch &bdquo;Digitale Modulationsverfahren&rdquo; des Praktikums „Simulation Digitaler Übertragungssysteme ”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
+Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch &bdquo;Digitale Modulationsverfahren&rdquo; des Praktikums „Simulation Digitaler Übertragungssysteme”.&nbsp; Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
 *dem Lehrsoftwarepaket &nbsp;[http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 ==Prinzip und Blockschaltbild==
 <br>
-Nahezu alle heute eingesetzten Modulationsverfahren arbeiten digital.&nbsp; Deren Vorteile wurden schon im&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#Vorteile_der_digitalen_Modulationsverfahren|ersten Kapitel]]&nbsp; dieses Buches genannt.&nbsp; Das erste Konzept zur digitalen Signalübertragung wurde bereits 1938 von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Alec_Reeves Alec Reeves]&nbsp; entwickelt und wird seit den 1960er Jahren unter dem Namen &nbsp;''Pulscodemodulation''&nbsp; $\rm (PCM)$&nbsp; auch in der Praxis eingesetzt.&nbsp; Auch wenn sich viele der in den letzten Jahren konzipierten digitalen Modulationsverfahren von der PCM im Detail unterscheiden, so eignet sich diese doch sehr gut, um das Prinzip all dieser Verfahren zu erklären.
+Nahezu alle heute eingesetzten Modulationsverfahren arbeiten digital.&nbsp; Deren Vorteile wurden schon im&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#Vorteile_der_digitalen_Modulationsverfahren|ersten Kapitel]]&nbsp; dieses Buches ausführlich dargelegt.&nbsp; Das erste Konzept zur digitalen Signalübertragung wurde bereits 1938 von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Alec_Reeves Alec Reeves]&nbsp; entwickelt und wird seit den 1960er Jahren unter dem Namen &nbsp;"Pulscodemodulation"&nbsp; $\rm (PCM)$&nbsp; auch in der Praxis eingesetzt.
+[[Datei:P_ID1588__Mod_T_4_1_S1_neu.png|right|frame|Blockschaltbild der Pulscodemodulation]]
 Weiterhin ist zum obigen PCM–Blockschaltbild anzumerken:
-*Der PCM–Sender (bzw. der A/D–Wandler) setzt sich aus den drei Funktionsblöcken &nbsp;''Abtastung – Quantisierung – PCM–Codierung''&nbsp; zusammen, die in den nächsten Abschnitten noch im Detail beschrieben werden.
+*Der PCM–Sender&nbsp; ("A/D–Wandler")&nbsp; setzt sich aus den drei Funktionsblöcken &nbsp;"Abtastung"&nbsp; –&nbsp; "Quantisierung" –&nbsp; "PCM–Codierung"&nbsp; zusammen,&nbsp; die in den nächsten Abschnitten noch im Detail beschrieben werden.
-*Der grau hinterlegte Block zeigt das digitale Übertragungssystem mit digitalem Sender und Empfänger (letzterer beinhaltet auch einen Entscheider), sowie dem analogen Übertragungskanal, gekennzeichnet durch den Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; und die Rauschleistungsdichte&nbsp; ${\it Φ}_n(f)$.
+*Der grau hinterlegte Block zeigt das digitale Übertragungssystem mit digitalem Sender&nbsp; (inkl. Modulator),&nbsp; digitalem Empfänger (inkl. Entscheider),&nbsp; sowie dem analogen Übertragungskanal, gekennzeichnet durch den Kanalfrequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; und die Rauschleistungsdichte&nbsp; ${\it Φ}_n(f)$.
-*Dieser Block wird in den ersten drei Kapiteln des Buches&nbsp; [[Digitalsignalübertragung]]&nbsp; eingehend behandelt.&nbsp; Im Kapitel 5 des gleichen Buches finden Sie auch digitale Kanalmodelle, die das Übertragungsverhalten anhand der Binärsignale&nbsp; $q_{\rm C}(t)$&nbsp; und&nbsp; $v_{\rm C}(t)$&nbsp; phänomenologisch beschreiben.
+*Dieser Block wird in den ersten drei Kapiteln des Buches&nbsp; [[Digitalsignalübertragung]]&nbsp; eingehend behandelt.&nbsp; Im Kapitel 5 des gleichen Buches finden Sie auch digitale Kanalmodelle,&nbsp; die das Übertragungsverhalten anhand der Binärsignale&nbsp; $q_{\rm C}(t)$&nbsp; und&nbsp; $v_{\rm C}(t)$&nbsp; phänomenologisch beschreiben.
-*Weiter erkennt man aus dem obigen Blockschaltbild, dass es für die Quantisierung empfängerseitig keine Entsprechung gibt.&nbsp; Deshalb wird sich auch bei fehlerfreier Übertragung, also für&nbsp; $v_{\rm C}(t) = q_{\rm C}(t)$, das analoge Sinkensignal&nbsp; $v(t)$&nbsp; vom Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; unterscheiden.
+*Weiter erkennt man aus dem obigen Blockschaltbild,&nbsp; dass es für die Quantisierung empfängerseitig keine Entsprechung gibt.&nbsp; Deshalb wird sich auch bei fehlerfreier Übertragung,&nbsp; also für&nbsp; $v_{\rm C}(t) = q_{\rm C}(t)$,&nbsp; das analoge Sinkensignal&nbsp; $v(t)$&nbsp; vom Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; unterscheiden.
-*Als Maß für die Qualität des (digitalen) Übertragungssystems verwenden wir das&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Signal.E2.80.93zu.E2.80.93St.C3.B6r.E2.80.93Leistungsverh.C3.A4ltnis|Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis]] &nbsp; &rArr; &nbsp; kurz: &nbsp; '''Sinken–SNR'''&nbsp;  als der Quotient der Leistungen von Nutzsignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; und Fehlersignal&nbsp; $ε(t) = v(t) - q(t)$:
+*Als Maß für die Qualität des&nbsp; (digitalen)&nbsp; Übertragungssystems verwenden wir das&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Signal.E2.80.93zu.E2.80.93St.C3.B6r.E2.80.93Leistungsverh.C3.A4ltnis|Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis]] &nbsp; &rArr; &nbsp; kurz: &nbsp; '''Sinken–SNR'''&nbsp;  als der Quotient der Leistungen von Nutzsignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; und Fehlersignal&nbsp; $ε(t) = v(t) - q(t)$:
 :$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_\varepsilon}\hspace{0.3cm}  {\rm mit}\hspace{0.3cm}P_q = \overline{[q(t)]^2},
 \hspace{0.2cm}P_\varepsilon = \overline{[v(t) - q(t)]^2}\hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei ist eine ideale Amplitudenanpassung vorausgesetzt, so dass im Idealfall&nbsp; (das heißt: &nbsp; Abtastung gemäß dem Abtasttheorem, bestmögliche Signalrekonstruktion, unendlich feine Quantisierung)&nbsp; das Sinkensignal&nbsp; $v(t)$&nbsp; mit dem Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; exakt übereinstimmen würde.
+*Hierbei ist eine ideale Amplitudenanpassung vorausgesetzt,&nbsp; so dass im Idealfall&nbsp; (das heißt: &nbsp; Abtastung gemäß dem Abtasttheorem,&nbsp; bestmögliche Signalrekonstruktion,&nbsp; unendlich feine Quantisierung)&nbsp; das Sinkensignal&nbsp;  $v(t)$&nbsp; mit dem Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; exakt übereinstimmen würde.
-Wir möchten Sie bereits hier auf das dreiteilige Lernvideo&nbsp; [[Pulscodemodulation_(Lernvideo)|Pulscodemodulation]]&nbsp; hinweisen, das alle Aspekte der PCM beinhaltet.&nbsp; Dessen Prinzip wird im ersten Teil des Videos ausführlich erläutert.
+::Wir möchten Sie bereits hier auf das dreiteilige Lernvideo&nbsp; [[Pulscodemodulation_(Lernvideo)|"Pulscodemodulation"]]&nbsp; hinweisen,&nbsp; das alle Aspekte der PCM beinhaltet.&nbsp; <br>Das PCM&ndash; Prinzip wird im ersten Teil des Videos  erläutert.
 ==Abtastung und Signalrekonstruktion==