Modulationsverfahren/Phasenmodulation (PM) - Versionsgeschichte

Guenter am 15. März 2022 um 14:54 Uhr

2022-03-15T14:54:32Z

Guenter am 15. März 2022 um 14:15 Uhr

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Guenter am 15. März 2022 um 13:08 Uhr

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Tasnad am 10. Juni 2020 um 08:01 Uhr

2020-06-10T08:01:26Z

Guenter am 23. März 2020 um 17:58 Uhr

2020-03-23T17:58:38Z

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2020-03-23T17:41:37Z

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Guenter am 18. Dezember 2018 um 15:06 Uhr

2018-12-18T15:06:37Z

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-[[Datei:Mod_T_3_1_S4_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals bei PM (gültig auch für FM)]]
+[[Datei:Mod_T_3_1_S4_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals bei PM&nbsp; $($gültig auch für FM$)$]]
 Anhand der Grafik sind folgende Aussagen möglich:
 *Das Spektrum &nbsp;$S_+(f)$&nbsp; eines phasenmodulierten Sinussignals besteht aus unendlich vielen diskreten Linien im Abstand der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N}$.&nbsp; Es ist somit prinzipiell unendlich weit ausgedehnt.
-*Die Höhen (Gewichte) der Spektrallinien bei &nbsp;$f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$&nbsp; (wobei &nbsp;$n$&nbsp; ganzzahlig ist) sind durch den Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; über die Besselfunktionen &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; festgelegt.
+*Die Höhen&nbsp; (Gewichte)&nbsp; der Spektrallinien bei &nbsp;$f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$&nbsp; $($wobei &nbsp;$n$&nbsp; ganzzahlig ist$)$&nbsp; sind durch den Modulationsindex &nbsp;$η$ &nbsp; über die Besselfunktionen &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; festgelegt.
-*Die Werte der Besselfunktionen &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; zeigen, dass man in der Praxis durch Bandbegrenzung das Spektrum nur wenig verändert.&nbsp; Der daraus resultierende Fehler wächst aber mit steigendem &nbsp;$η$.
+*Die Werte der Besselfunktionen &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; zeigen,&nbsp; dass man in der Praxis durch Bandbegrenzung das Spektrum nur wenig verändert.&nbsp; Der daraus resultierende Fehler wächst aber mit steigendem &nbsp;$η$.
 *Die Spektrallinien sind bei sinusförmigem Quellensignal und cosinusförmigem Träger reell und für gerades &nbsp;$n$&nbsp; symmetrisch um &nbsp;$f_{\rm T}$.&nbsp; Bei ungeradem &nbsp;$n$&nbsp; ist ein Vorzeichenwechsel zu berücksichtigen.
 *Die Phasenmodulation einer Schwingung mit anderer Phase von Quellen– und/oder Trägersignal liefert das gleiche Betragsspektrum und unterscheidet sich nur bezüglich der Phasenfunktion.
-Setzt sich das Nachrichtensignal aus mehreren Schwingungen zusammen, so ist die Berechnung des Spektrums schwierig, nämlich:
+Setzt sich das Nachrichtensignal aus mehreren Schwingungen zusammen, so ist die Berechnung des Spektrums schwierig, nämlich:&nbsp; '''Faltung der Einzelspektren'''&nbsp; <br>(siehe nächster Abschnitt und&nbsp; [[Aufgaben:3.3_Summe_zweier_Schwingungen| Aufgabe 3.3]]).
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 ==Phasenmodulation der Summe zweier Sinusschwingungen==
 <br>
-Setzt sich das Quellensignal aus der Summe zweier Sinusschwingungen zusammen, so lauten die Signale am Ausgang des Phasenmodulators:
+Setzt sich das Quellensignal aus der Summe zweier Sinusschwingungen zusammen,&nbsp; so lauten die Signale am Ausgang des Phasenmodulators:
 :$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta_1 \cdot \sin (\omega_{\rm 1} \cdot t) + \eta_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm},$$
 :$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot  [\hspace{0.05cm}\eta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 1} \hspace{0.05cm}\cdot
 \hspace{0.05cm} t) \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}\eta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t)]}\hspace{0.05cm}.$$
-Zur einfacheren Darstellung setzten wir nun &nbsp;$A_{\rm T} = 1$&nbsp;  und erhalten:
+*Zur einfacheren Darstellung setzten wir nun &nbsp;$A_{\rm T} = 1$&nbsp;  und erhalten:
 :$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 1} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) } \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$
-Die Spektralfunktionen der beiden Terme lauten:
+*Die Spektralfunktionen der beiden Terme lauten:
 :$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_1 \hspace{0.05cm}\cdot
 \hspace{0.08cm}\sin (2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm 1} \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) } \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} B_1(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta_1) \cdot \delta (f -  n \cdot f_{\rm 1})\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 322: / Zeile 321: @@
 \hspace{0.05cm} t) } \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} B_2(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta_2) \cdot \delta (f -  n \cdot f_{\rm 2})\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Besselfunktionen &nbsp;$B_1(f)$&nbsp; und &nbsp;$B_2(f)$&nbsp; beschreiben Linienspektren im Frequenzabstand &nbsp;$f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_2$, deren Impulsgewichte durch &nbsp;$η_1$&nbsp; und &nbsp;$η_2$&nbsp; bestimmt sind.
+*Die Besselfunktionen &nbsp;$B_1(f)$&nbsp; und &nbsp;$B_2(f)$&nbsp; beschreiben Linienspektren im Frequenzabstand &nbsp;$f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_2$,&nbsp; deren Impulsgewichte durch &nbsp;$η_1$&nbsp; und &nbsp;$η_2$&nbsp; bestimmt sind.
 *Aufgrund der Multiplikation im Zeitbereich ergibt sich für die Spektralfunktion die Faltung:
 :$$S_{\rm TP}(f) = B_1(f) \star B_2(f)= S_{\rm +}(f + f_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$
 {{GraueBox|TEXT=
-$\rm Beispiel\ 4\text{:}$&nbsp; Die linke Grafik zeigt die Besselfunktion &nbsp;$B_1(f)$&nbsp; für &nbsp;$η_1 = 0.64$&nbsp; und &nbsp;$f_1 = 1 \ \rm kHz$.&nbsp;
+$\rm Beispiel\ 4\text{:}$&nbsp; Die linke Grafik zeigt die Besselfunktion &nbsp;$B_1(f)$&nbsp; für &nbsp;$η_1 = 0.64$&nbsp; und &nbsp;$f_1 = 1 \ \rm kHz$.&nbsp; Auf die deutlich kleineren Linien bei &nbsp;$f = ±2 \ \rm kHz$&nbsp; mit den Gewichten &nbsp;$0.05$&nbsp; ist der Übersichtlichkeit halber verzichtet.
 [[Datei:P_ID1076__Mod_T_3_1_S5_Ganz_neu.png|right|frame|Äquivalentes Tiefpass-Spektrum als Faltung zweier Besselspektren]]
-*Auf die deutlich kleineren Linien bei &nbsp;$f = ±2 \ \rm kHz$&nbsp; mit den Gewichten &nbsp;$0.05$&nbsp; ist der Übersichtlichkeit halber verzichtet.
-*Die Funktion &nbsp;$B_2(f)$&nbsp; gilt für den gleichen Modulationsindex &nbsp;$η_2 = η_1$, aber für die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_2 = 4 \ \rm kHz$.
+*Die Funktion &nbsp;$B_2(f)$&nbsp; gilt für den gleichen Modulationsindex &nbsp;$η_2 = η_1$,&nbsp; aber für die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_2 = 4 \ \rm kHz$.
 *Das Tiefpass-Spektrum &nbsp;$S_{\rm TP}(f) = B_1(f) \star B_2(f)$&nbsp; besteht hier aus neun Diraclinien. Es ist im rechten Diagramm skizziert.
 *Durch Frequenzverschiebung um&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; nach rechts erhält man das Spektrum &nbsp;$S_+(f)$&nbsp; des analytischen Signals &nbsp;$s_+(t)$.
-* Es gilt also&nbsp; $S_+(f = f_{\rm T}) = S_{\rm TP}(f = 0) = 0.81$.  }}
+*Das Tiefpass-Spektrum &nbsp;$S_{\rm TP}(f) = B_1(f) \star B_2(f)$&nbsp; besteht hier aus neun Diraclinien.&nbsp; Es ist im rechten Diagramm skizziert.

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 [[Datei:Mod_T_3_1_S3a_version2.png|right|frame|Besselfunktionen erster Art und&nbsp; $n$–ter Ordnung]]
-Man findet diese auch in Formelsammlungen wie [BS01]<ref>Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A.: ''Taschenbuch der Mathematik.'' 5. Auflage. Frankfurt: Harry Deutsch, 2001.</ref> in tabellarischer Form.
+Man findet diese auch in Formelsammlungen wie [BS01]<ref>Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A.:&nbsp; Taschenbuch der Mathematik.&nbsp;  5. Auflage. Frankfurt: Harry Deutsch, 2001.</ref>&nbsp;  in tabellarischer Form.
-*Die erste Art wird durch das $\rm J$ ausgedrückt,
+*Die erste Art wird durch das&nbsp;  "$\rm J$"&nbsp;  ausgedrückt,
-*die Ordnung durch den Index $n$.
+*die Ordnung durch den Index&nbsp;  $n$.
 Anhand dieser Grafik können für das äquivalente Tiefpass-Signal
 :$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}$$
 folgende Eigenschaften abgeleitet werden:
-<br clear=all>
-*Das äquivalente Tiefpass–Signal setzt sich aus einem ruhenden Zeiger &nbsp;$(n = 0)$&nbsp; sowie unendlich vielen im Uhrzeigersinn  &nbsp;$(n < 0)$&nbsp;  bzw. entgegen dem Uhrzeigersinn  &nbsp;$(n > 0)$&nbsp;  drehenden Zeigern zusammen.
+*Das äquivalente Tiefpass–Signal setzt sich zusammen aus
-*Die Zeigerlängen hängen über die Besselfunktionen &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; vom Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; ab.&nbsp; Je kleiner &nbsp;$η$&nbsp; ist, um so mehr Zeiger können allerdings für die Konstruktion von &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; vernachlässigt werden.
+*Die jeweiligen Zeigerlängen hängen über die Besselfunktionen &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; vom Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; ab.&nbsp;
 *Für den Modulationsindex &nbsp;$η = 1$&nbsp; gilt beispielsweise folgende Näherung:
 :$$s_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 (1) + {\rm J}_1 (1)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}+ {\rm J}_2 (1)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N}  \hspace{0.05cm} t}+ {\rm J}_3 (1)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}3 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N}  \hspace{0.05cm} t}- {\rm J}_1 (1)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}+ {\rm J}_2 (1)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N}  \hspace{0.05cm} t}- {\rm J}_3 (1)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}3 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N}  \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei ist die Symmetriebeziehung &nbsp;${\rm J}_{–n}(η) = (–1)^n · {\rm J}_n(η)$&nbsp; berücksichtigt. Es gilt also:
+*Hierbei ist die Symmetriebeziehung &nbsp;${\rm J}_{–n}(η) = (–1)^n · {\rm J}_n(η)$&nbsp; berücksichtigt.&nbsp;  Es gilt also:
 :$${\rm J}_{-1}(\eta) = - {\rm J}_{1}(\eta), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-2}(\eta) =  {\rm J}_{2}(\eta), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-3}(\eta) = - {\rm J}_{3}(\eta).$$
-*Weiter erkennt man aus obiger Gleichung, dass sich &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; mit &nbsp;$η = 3$&nbsp; aus deutlich mehr Zeigern  zusammensetzt, nämlich denen mit den Indizes &nbsp;${\rm J}_{–6}(\eta)$, ... , &nbsp;${\rm J}_{+6}(\eta)$.
+*Weiter erkennt man aus obiger Gleichung,&nbsp;  dass sich &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; mit &nbsp;$η = 3$&nbsp; aus deutlich mehr Zeigern  zusammensetzt,&nbsp;  nämlich denen mit den Indizes &nbsp;${\rm J}_{–6}(\eta)$, ... , &nbsp;${\rm J}_{+6}(\eta)$.
 [[Datei:P_ID1072__Mod_T_3_1_S3c_neu.png |right|frame| Äquivalentes Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation]]
 $\rm Beispiel\ 3\text{:}$&nbsp; Die Besselfunktionen liefern für den Modulationsindex &nbsp;$η = 1$&nbsp; folgende Werte:
 :$${\rm J}_0 = 0.765,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 = - {\rm J}_{ - 1} = 0.440, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 = {\rm J}_{ - 2} = 0.115,\hspace{0.3cm}{\rm J}_3 = - {\rm J}_{ - 3} = 0.020\hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die Zusammensetzung der Ortskurve aus den sieben Zeigern.&nbsp; ''Anmerkung:'' &nbsp; <br>&nbsp; &nbsp; ${\rm J}_3$&nbsp; und &nbsp;${\rm J}_{ - 3}$&nbsp; fehlen in der Skizze, aber nicht im Gesamtsignal.
+Die Grafik zeigt die Zusammensetzung der Ortskurve aus den sieben Zeigern.&nbsp; Beachten Sie:
 Das linke Bild zeigt die Momentaufnahme zur Zeit &nbsp;$t = 0$.
@@ Zeile 252: / Zeile 258: @@
 :$$s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm J}_0 + {\rm J}_{2} + {\rm J}_{ - 2} = 0.765 + 2 \cdot 0.115 = 0.995 \hspace{0.05cm}.$$
 *Aus dem reellen Ergebnis folgt die Phase &nbsp;${\mathbf ϕ}(t = 0) = 0$&nbsp; und der Betrag &nbsp;$a(t = 0) = 1$.
-*Der geringfügig abweichende Wert&nbsp; $0.995$&nbsp; zeigt, dass &nbsp;${\rm J}_4 = {\rm J}_{ – 4}$&nbsp; zwar klein ist &nbsp;$(≈ 0.002)$, aber nicht identisch Null.
+*Der geringfügig abweichende Wert&nbsp; $0.995$&nbsp; zeigt,&nbsp; dass &nbsp;${\rm J}_4 = {\rm J}_{ – 4}$&nbsp; zwar klein ist &nbsp;$(≈ 0.002)$,&nbsp; aber nicht identisch Null.
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 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t  =  125\,{\rm &micro; s}) = \arctan \frac{0.840}{0.535} = 57.5^\circ \approx 1\,{\rm rad}\hspace{0.05cm}.$$
-Auch zu allen anderen Zeiten ergibt die vektorielle Summe der sieben Zeiger jeweils einen Punkt auf dem Kreisbogen mit Winkel &nbsp;$ϕ(t)$, wobei &nbsp;$\vert ϕ(t) \vert ≤ η = 1\ \rm  rad $&nbsp; gilt. }}
+Auch zu allen anderen Zeiten ergibt die vektorielle Summe der sieben Zeiger jeweils einen Punkt auf dem Kreisbogen mit Winkel &nbsp;$ϕ(t)$,&nbsp; wobei &nbsp;$\vert ϕ(t) \vert ≤ η = 1\ \rm  rad $&nbsp; gilt. }}
 ==Spektralfunktion eines phasenmodulierten Sinussignals==
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Ohne Beweis:}$&nbsp;
-*Ausgehend vom eben berechneten äquivalenten Tiefpass–Signal erhält man für das&nbsp; '''analytische Signal''':
+*Ausgehend vom eben berechneten äquivalenten Tiefpass–Signal erhält man für das &nbsp; '''analytische Signal''':
 :$$s_{\rm +}(t) = s_{\rm TP}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot
 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}= A_{\rm T} \cdot
 \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N}) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}$$
-*Durch Fouriertransformation ergibt sich für das&nbsp; '''Spektrum des analytischen Signals''':
+*Durch Fouriertransformation ergibt sich für das &nbsp; '''Spektrum des analytischen Signals''':
 :$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$
-*Das&nbsp; '''Spektrum des physikalischen Signals'''&nbsp; erhält man durch Ausweitung auf negative Frequenzen unter Berücksichtigung des Faktors &nbsp;$1/2$:
+*Das &nbsp; '''Spektrum des physikalischen Signals''' &nbsp; erhält man durch Ausweitung auf negative Frequenzen unter Berücksichtigung des Faktors &nbsp;$1/2$:
 :$$S(f) = \frac{A_{\rm T} }{2} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f \pm (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$}}

@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 ==Gemeinsamkeiten zwischen Phasen– und Frequenzmodulation==
 <br>
-Schon im Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation|Allgemeines Modell der Modulation]]&nbsp; wurde darauf hingewiesen, dass es zwischen der Phasenmodulation&nbsp; $\rm (PM)$&nbsp; und der Frequenzmodulation&nbsp; $\rm (FM)$&nbsp;  substanzielle Gemeinsamkeiten gibt.&nbsp; Man fasst deshalb diese beiden verwandten Modulationsverfahren unter dem Oberbegriff „Winkelmodulation” zusammen.
+Schon im Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation|Allgemeines Modell der Modulation]]&nbsp; wurde darauf hingewiesen,&nbsp; dass es zwischen der Phasenmodulation&nbsp; $\rm (PM)$&nbsp; und der Frequenzmodulation&nbsp; $\rm (FM)$&nbsp;  substanzielle Gemeinsamkeiten gibt.&nbsp; Man fasst deshalb diese beiden verwandten Modulationsverfahren unter dem Oberbegriff „Winkelmodulation” zusammen.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\rm Definition\text{:}$&nbsp; Eine&nbsp; '''Winkelmodulation'''&nbsp; – abgekürzt&nbsp; $\rm WM$&nbsp; – liegt immer dann vor, wenn sich das modulierte Signal wie folgt darstellen lässt:
+$\rm Definition\text{:}$&nbsp; Eine&nbsp; '''Winkelmodulation'''&nbsp; – abgekürzt&nbsp; $\rm WM$&nbsp; – liegt immer dann vor,&nbsp; wenn sich das modulierte Signal wie folgt darstellen lässt:
 :$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos\big[\psi(t)\big] =  A_{\rm T} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[ω_{\rm T} · t + ϕ(t)\big]
   \hspace{0.05cm}.$$
 *Hierbei bezeichnet &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; wie bei der Amplitudenmodulation die Amplitude des Trägersignals &nbsp;$z(t)$.&nbsp;
-*Die gesamte Information über das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; steckt nun aber in der&nbsp; ''Winkelfunktion''&nbsp; $ψ(t)$.}}
+*Die gesamte Information über das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; steckt nun aber in der&nbsp; "Winkelfunktion"&nbsp; $ψ(t)$.}}
 [[Datei:Mod_T_3_1_S1a_version2.png|right|frame| Äquivalentes Tiefpass–Signal bei Winkelmodulation]]
-Anhand der Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene&nbsp; (wir bezeichnen eine solche Grafik als &bdquo;Ortskurve&rdquo;)&nbsp; sind folgende Charakteristika der Winkelmodulation zu erkennen:
+Anhand der Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene&nbsp; (wir bezeichnen diese Grafik als &bdquo;Ortskurve&rdquo;)&nbsp; sind folgende Charakteristika der Winkelmodulation zu erkennen:
-*Die Ortskurve ist ein&nbsp; ''Kreisbogen''&nbsp; mit dem Radius &nbsp;$A_{\rm T}$.&nbsp; Daraus folgt, dass die Hüllkurve eines winkelmodulierten Signals stets konstant ist:
+*Die Ortskurve ist ein&nbsp; "Kreisbogen"&nbsp; mit dem Radius &nbsp;$A_{\rm T}$.&nbsp; Daraus folgt,&nbsp; dass die Hüllkurve eines winkelmodulierten Signals stets konstant ist:
 :$$a(t) = |s_{\rm TP}(t)|= A_{\rm T}= {\rm const.}$$
-*Das äquivalente Tiefpass–Signal ist bei Winkelmodulation immer komplex und durch eine zeitabhängige&nbsp; ''Phasenfunktion'' &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; (in Radian) festgelegt, welche die Nulldurchgänge von &nbsp;$s(t)$&nbsp; bestimmt:
+*Das äquivalente Tiefpass–Signal ist bei Winkelmodulation immer komplex und durch eine zeitabhängige&nbsp; "Phasenfunktion" &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; (in Radian) festgelegt,&nbsp; welche die Nulldurchgänge von &nbsp;$s(t)$&nbsp; bestimmt:
 :$$s_{\rm TP}(t)= A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm}.$$
-*Bei symmetrischem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; kann &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; alle Werte zwischen &nbsp;$±ϕ_{\rm max}$&nbsp; annehmen, wobei &nbsp;$ϕ_{\rm max}$&nbsp; den&nbsp; '''Phasenhub'''&nbsp; angibt.&nbsp; Je größer der Phasenhub ist, desto intensiver ist die Modulation.
+*Bei symmetrischem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; kann &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; alle Werte zwischen &nbsp;$±ϕ_{\rm max}$&nbsp; annehmen,&nbsp; wobei &nbsp;$ϕ_{\rm max}$&nbsp; den&nbsp; '''Phasenhub'''&nbsp; angibt.&nbsp; Je größer der Phasenhub ist,&nbsp; desto intensiver ist die Modulation.
-*Bei einer harmonischen Schwingung ist der Phasenhub &nbsp;$ϕ_{\rm max}$&nbsp; gleich dem&nbsp; '''Modulationsindex''' &nbsp;$η$.&nbsp; Die Verwendung von &nbsp;$η$&nbsp; zeigt im Folgenden also gleichzeitig an, dass &nbsp;$q(t)$&nbsp; nur eine einzige Frequenz beinhaltet.
+*Bei einer harmonischen Schwingung ist der Phasenhub &nbsp;$ϕ_{\rm max}$&nbsp; gleich dem&nbsp; '''Modulationsindex''' &nbsp;$η$.&nbsp; Die Verwendung von &nbsp;$η$&nbsp; zeigt im Folgenden also gleichzeitig an,&nbsp; dass &nbsp;$q(t)$&nbsp; nur eine einzige Frequenz beinhaltet.
-*Der Zusammenhang zwischen Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und Winkelfunktion &nbsp;$ψ(t) = \cos\hspace{-0.1cm}\big[ω_{\rm T} · t + ϕ(t)\big]$&nbsp; bzw. der daraus ableitbaren Phasenfunktion &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; unterscheidet sich bei der Phasen– und der Frequenzmodulation grundsätzlich, worauf im Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]]&nbsp; noch ausführlich eingegangen wird.
+*Der Zusammenhang zwischen Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und Winkelfunktion &nbsp;$ψ(t) = \cos\hspace{-0.1cm}\big[ω_{\rm T} · t + ϕ(t)\big]$&nbsp; bzw. der daraus ableitbaren Phasenfunktion &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; unterscheidet sich bei der Phasen– und der Frequenzmodulation grundsätzlich,&nbsp; worauf im Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]]&nbsp; noch ausführlich eingegangen wird.

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 == # ÜBERBLICK ZUM DRITTEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Das dritte Kapitel beschreibt die Winkelmodulation&nbsp; $\rm (WM)$&nbsp; – dieser Name steht als Oberbegriff für Phasenmodulation&nbsp; $\rm (PM)$&nbsp; und Fequenzmodulation&nbsp; $\rm (FM)$&nbsp; – sowie die zugehörigen Demodulatoren.
+Das dritte Kapitel beschreibt die Winkelmodulation&nbsp; $\rm (WM)$.&nbsp; Dieser Name steht als Oberbegriff für
 Im Einzelnen werden behandelt:
-*die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Phasen– und Frequenzmodulation,
+#die&nbsp; &raquo;Gemeinsamkeiten und Unterschiede&laquo;&nbsp; zwischen Phasen– und Frequenzmodulation,
-*die Signalverläufe und Spektralfunktionen winkelmodulierter Signale und der Einfluss einer Bandbegrenzung,
+#die&nbsp; &raquo;zugehörigen Demodulatoren&laquo;&nbsp; für Phasen– und Frequenzmodulation,
-*das gegenüber der AM günstigere Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis der FM.
+#die&nbsp; &raquo;Signalverläufe und Spektralfunktionen&laquo;&nbsp; winkelmodulierter Signale und der Einfluss einer Bandbegrenzung,

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 Nebenstehende Grafik zeigt die jeweils ersten drei Summanden &nbsp;$(k = 0,\ 1,\ 2)$&nbsp; der Reihen &nbsp;${\rm J}_0(η)$, ... , &nbsp;${\rm J}_3(η).$&nbsp; Der rot umrandete Term – gültig für &nbsp;$n = 3$&nbsp; und &nbsp;$k = 2$&nbsp; – lautet beispielsweise in ausgeschriebener Form:
 :$$\frac{(-1)^2 \cdot (\eta/2)^{3 \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}2}}{2\hspace{0.05cm}! \cdot (3+2)\hspace{0.05cm}!} = \frac{1}{240}\cdot (\frac{\eta}{2})^7 \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Besselfunktionen &nbsp;$J_n(η)$&nbsp; findet man aber auch in Formelsammlungen oder mit dem von uns bereitgestellten Berechnungsmodul &nbsp;[[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)|Besselfunktionen erster Art]].
+*Die Besselfunktionen &nbsp;$J_n(η)$&nbsp; findet man aber auch in Formelsammlungen oder mit dem von uns bereitgestellten Berechnungsmodul &nbsp;[[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]].
 *Sind die Funktionswerte für &nbsp;$n = 0$&nbsp; und &nbsp;$n = 1$&nbsp; bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für &nbsp;$n ≥ 2$&nbsp; iterativ ermittelt werden:
 :$${\rm J}_n (\eta) ={2 \cdot (n-1)}/{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$

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 Die nebenstehende Grafik zeigt die jeweils ersten drei Summanden &nbsp;$(k = 0, 1, 2)$&nbsp; der Reihen &nbsp;${\rm J}_0(η)$, ... , &nbsp;${\rm J}_3(η).$ Der rot umrandete Term – gültig für &nbsp;$n = 3$&nbsp; und &nbsp;$k = 2$ – lautet beispielsweise in ausgeschriebener Form:
 :$$\frac{(-1)^2 \cdot (\eta/2)^{3 \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}2}}{2\hspace{0.05cm}! \cdot (3+2)\hspace{0.05cm}!} = \frac{1}{240}\cdot (\frac{\eta}{2})^7 \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Besselfunktionen &nbsp;$J_n(η)$&nbsp; findet man aber auch in Formelsammlungen oder mit Hilfe des von uns bereitgestellten Berechnungsmodul &nbsp;[[Applets:Besselfunktion|Besselfunktion erster Art und $n$–ter Ordnung]].
+*Die Besselfunktionen &nbsp;$J_n(η)$&nbsp; findet man aber auch in Formelsammlungen oder mit Hilfe des von uns bereitgestellten Berechnungsmodul &nbsp;[[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)|Besselfunktionen erster Art]].
 *Sind die Funktionswerte für &nbsp;$n = 0$&nbsp; und &nbsp;$n = 1$&nbsp; bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für &nbsp;$n ≥ 2$&nbsp; iterativ ermittelt werden:
 :$${\rm J}_n (\eta) ={2 \cdot (n-1)}/{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$