Modulationsverfahren/Nichtlineare digitale Modulation - Versionsgeschichte

Guenter am 24. April 2020 um 12:11 Uhr

2020-04-24T12:11:34Z

Guenter am 23. April 2020 um 16:41 Uhr

2020-04-23T16:41:13Z

Guenter am 23. April 2020 um 12:49 Uhr

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Guenter am 22. April 2020 um 16:37 Uhr

2020-04-22T16:37:48Z

Guenter am 22. April 2020 um 16:04 Uhr

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Guenter am 22. April 2020 um 15:30 Uhr

2020-04-22T15:30:51Z

Guenter am 13. Januar 2019 um 14:03 Uhr

2019-01-13T14:03:54Z

Guenter am 13. Januar 2019 um 14:01 Uhr

2019-01-13T14:01:51Z

Guenter am 13. Januar 2019 um 13:50 Uhr

2019-01-13T13:50:47Z

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 *Der Abstand der einzelnen Diracimpulse beträgt nun &nbsp;$2T$&nbsp; anstelle von &nbsp;$T$&nbsp; und der Versatz&nbsp; (&bdquo;Offset&rdquo;)&nbsp; im Quadraturzweig ist nicht mehr &nbsp;$T/2$, sondern &nbsp;$T$.&nbsp; In beiden Fällen ist der Offset gleich &nbsp;$T_{\rm B}$.
 *Während beim herkömmlichen O–QPSK–Betrieb jeder beliebige Grundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; möglich ist, zum Beispiel ein Rechteck– oder ein Wurzel–Nyquist–Impuls, gibt es für den MSK–Betrieb nur einen einzigen geeigneten Grundimpuls. Dieser erstreckt sich über zwei Symboldauern:
-:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos \big ({\pi \hspace{-0.05cm} \cdot \hspace{-0.05cm} t}/(2 \hspace{-0.05cm} \cdot \hspace{-0.05cm} T)\big )  \\
+:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos \big ({\pi/2  \cdot  t}/T \big )  \\
 \\  \end{array} \right.\quad
 \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}}

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 <br>
 Ein Vorteil der MSK ist der geringe Bandbreitenbedarf, weil: &nbsp; '''Bandbreite ist stets teuer'''.
-*Durch eine geringfügige Modifikation hin zum ''Gaussian Minimum Shift Keying'' (GMSK) wird das Spektrum weiter verschmälert.
+*Durch eine geringfügige Modifikation hin zum&nbsp; '''Gaussian Minimum Shift Keying'''&nbsp; $\rm (GMSK)$&nbsp; wird das Spektrum weiter verschmälert.
 *Diese Modulationsart wird zum Beispiel beim Mobilfunkstandard &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM|GSM]]&nbsp; angewendet.
-[[Datei:P_ID1748__Mod_T_4_4_S9_neu.png |center|frame|  Signalverläufe bei Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK)]]
+[[Datei:P_ID1748__Mod_T_4_4_S9_neu.png |right|frame|  Signalverläufe bei Gaussian Minimum Shift Keying&nbsp; $\rm (GMSK)$]]
 Aus der Grafik erkennt man:
 *Der Frequenzimpuls &nbsp;$g(t)= g_{\rm G}(t)$&nbsp; ist nun nicht mehr rechteckförmig wie &nbsp;$g_{\rm R}(t)$, sondern weist flachere Flanken auf.
-*Dadurch ergibt sich ein weicherer Phasenverlauf am Punkt '''(3)''' als bei &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#MSK_.E2.80.93_Minimum_Shift_Keying|MSK]], bei dem &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; symbolweise linear ansteigt bzw. abfällt.
 *Man erreicht die sanfteren GMSK–Phasenübergänge durch einen &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]]. Dessen Frequenzgang und Impulsantwort lauten mit der systemtheoretischen Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$:
 :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 \cdot f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
   h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 \cdot f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm}.$$
-*Der resultierende Frequenzimpuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; am Punkt '''(2)''' ergibt sich aus der Faltung von &nbsp;$g_{\rm R}(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_{\rm G}(t)$.
+*Der resultierende Frequenzimpuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; am Punkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ergibt sich aus der Faltung von &nbsp;$g_{\rm R}(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_{\rm G}(t)$.
 {{GraueBox|TEXT=$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Beim GSM–Verfahren ist die 3dB–Grenzfrequenz mit &nbsp;$f_{\rm 3dB} = 0.3/T$&nbsp; spezifiziert, wobei zwischen der systemtheoretischen und der 3dB–Grenzfrequenz folgender Zusammenhang besteht:
 :$$H_{\rm G}(f= f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}dB}) = {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}{dB} } }/{2 f_{\rm G} })^2} =
-{1}/{\sqrt{2} }\hspace{0.15cm}\Rightarrow\hspace{0.15cm}
+{1}/{\sqrt{2} }$$
   f_{\rm 3 dB} = f_{\rm G} \cdot \sqrt { {4}/{\pi}\cdot {\rm ln
   }\sqrt{2} }\approx {2}/{3}\cdot f_{\rm G}

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Die '''Continuous Phase Modulation''' (CPM) ist keine Phasenmodulation, sondern stellt eine ''nichtlineare digitale Frequenzmodulation'' (FSK) dar, mit dem Ziel
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Continuous Phase Modulation'''&nbsp; $\rm (CPM)$&nbsp; ist keine Phasenmodulation, sondern ist eine&nbsp; '''nichtlineare digitale Frequenzmodulation'''&nbsp; $\rm (FSK)$, mit dem Ziel
-*eine konstante Betragseinhüllende zu garantieren (Einbrüche der Hüllkurve führen schon bei geringen Nichtlinearitäten zu Problemen), und
+*eine konstante Betragseinhüllende zu garantieren&nbsp; (Einbrüche der Hüllkurve führen schon bei geringen Nichtlinearitäten zu Problemen),&nbsp;
-*einen stetigen Phasenverlauf zu ermöglichen (Phasensprünge verbreitern das Spektrum).
+*einen stetigen Phasenverlauf zu ermöglichen&nbsp; (Phasensprünge verbreitern das Spektrum).
-Für genauere Informationen verweisen wir auf die Fachliteratur, zum Beispiel auf das empfehlenswerte Buch '''[Kam04]'''<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>. }}
+Für genauere Informationen verweisen wir auf die Fachliteratur, zum Beispiel auf das empfehlenswerte Buch&nbsp; '''[Kam04]'''<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>. }}

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 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Man spricht von '''orthogonaler FSK''',
+$\text{Definition:}$&nbsp; Man spricht von&nbsp; '''orthogonaler FSK''',
-*wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von &nbsp;$0.5$&nbsp; ist, und damit
+*wenn der Modulationsindex&nbsp; $h$&nbsp; ein ganzzahliges Vielfaches von &nbsp;$0.5$&nbsp; ist, und damit
 *der Frequenzhub &nbsp;$Δf_{\rm A}$&nbsp; ein ganzzahliges Vielfaches von &nbsp;$0.25/T$.}}
-Beim kohärenten Demodulator ist der Korrelationskoeffizient zwischen &nbsp;$d_{+1}(T_{\rm D})$&nbsp; und &nbsp;$d_{–1}(T_{\rm D})$&nbsp; zu allen Detektionszeitpunkten gleich Null. Der Betrag &nbsp;$|d(T_{\rm D})|$ – also der Abstand der Detektionsabtastwerte von der Schwelle – ist somit konstant. Es treten keine Impulsinterferenzen auf.
+Beim kohärenten Demodulator ist der Korrelationskoeffizient zwischen &nbsp;$d_{+1}(T_{\rm D})$&nbsp; und &nbsp;$d_{–1}(T_{\rm D})$&nbsp; zu allen Detektionszeitpunkten gleich Null.&nbsp; Der Betrag &nbsp;$|d(T_{\rm D})|$ – also der Abstand der Detektionsabtastwerte von der Schwelle – ist somit konstant.&nbsp; Es treten keine Impulsinterferenzen auf.
 Geht man von den Voraussetzungen
 *orthogonale FSK,
-*AWGN–Kanal (gekennzeichnet durch den Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0)$, und
+*AWGN–Kanal&nbsp; $($gekennzeichnet durch den Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0)$, und
 *der hier beschriebenen kohärenten Demodulation
 aus, so ergibt sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu:
-:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
+:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
-  ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$
+  ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/(2 N_0 }) \hspace{0.1cm}\right ).$$
 Dies entspricht  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|gegenüber der BPSK]]&nbsp; einer Degradation von &nbsp;$3 \ \rm dB$, weil
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-Während aber bei der BPSK eine nichtkohärente Demodulation auf keinen Fall möglich ist, gibt es auch einen ''nichtkohärenten FSK–Demodulator'', allerdings mit etwas erhöhter Fehlerwahrscheinlichkeit:
+Während aber bei der binären Phasenmodulation (BPSK) eine nichtkohärente Demodulation auf keinen Fall möglich ist, gibt es auch einen&nbsp; ''nichtkohärenten FSK–Demodulator'', allerdings mit etwas erhöhter Fehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$
 Die Herleitung dieser Gleichung erfolgt im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_nichtkohärenter_Demodulation|Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]]&nbsp; des Buches „Digitalsignalübertragung”.
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 ==Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung==
 <br>
-Wir betrachten weiter die orthogonale FSK. Die Grafik zeigt oben das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und und darunter gezeichnet das FSK–Signal &nbsp;$s_{\rm A}(t)$&nbsp; mit dem Frequenzhub &nbsp;$Δf_{\rm A} = 1/T$  &nbsp; ⇒  &nbsp; Modulationsindex &nbsp;$h = 2 · Δf_{\rm A} · T = 2$.
+Wir betrachten weiter die orthogonale FSK.&nbsp; Die Grafik zeigt oben das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und und darunter gezeichnet das FSK–Signal &nbsp;$s_{\rm A}(t)$&nbsp; mit dem Frequenzhub &nbsp;$Δf_{\rm A} = 1/T$  &nbsp; ⇒  &nbsp; Modulationsindex &nbsp;$h = 2 · Δf_{\rm A} · T = 2$.&nbsp; Zu den weiteren Signalverläufen ist Folgendes anzumerken:
-[[Datei:P_ID1731__Mod_T_4_4_S5_neu.png |center|frame| FSK–Signale mit &nbsp;$h = 2$, &nbsp;$h = 1$&nbsp; und &nbsp;$h = 0.5$, teilweise mit Phasenanpassung]]
+[[Datei:P_ID1731__Mod_T_4_4_S5_neu.png |right|frame| Binäres FSK–Signale mit &nbsp;$h = 2$, &nbsp;$h = 1$&nbsp; und &nbsp;$h = 0.5$, teilweise mit Phasenanpassung]]

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 ==FSK – Frequency Shift Keying==
 <br>
-Wir gehen hier aus vom Sendesignal der analogen Frequenzmodulation,
+Wir gehen hier aus
 :$$s(t) =  s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [\psi(t)\big ] \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} \psi(t) = 2\pi  f_{\rm T}  \hspace{0.05cm}t + K_{\rm FM} \cdot \int q(t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t,$$
-sowie dem rechteckförmigen Binärsignal mit &nbsp;$a_ν ∈ \{+1, –1\}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; bipolare Signalisierung:
+*dem rechteckförmigen Binärsignal mit &nbsp;$a_ν ∈ \{+1, –1\}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; bipolare Signalisierung:
 :$$q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_s (t - \nu
 \cdot T) \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} g_s(t) = \left\{ \begin{array}{l} A  \\ 0 \\  \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c}
 < t < T\hspace{0.05cm},  \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Fasst man die Amplitude &nbsp;$A$&nbsp; und die Modulatorkonstante &nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; zum Frequenzhub (Definition siehe unten)
+Fasst man die Amplitude &nbsp;$A$&nbsp; und die Modulatorkonstante &nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; zum Frequenzhub&nbsp; (Definition siehe unten)
 :$${\rm \Delta}f_{\rm A} =  \frac{A \cdot K_{\rm FM}}{2 \pi}$$
-zusammen, so lautet das '''FSK–Sendesignal''' im &nbsp;$ν$–ten Zeitintervall:
+zusammen, so lautet das&nbsp; '''FSK–Sendesignal'''&nbsp; im &nbsp;$ν$–ten Zeitintervall:
 :$$s(t) =  s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$
 Dieses lässt sich mit den beiden möglichen Signalfrequenzen
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 auch in folgender Form schreiben:
 :$$s(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos (2 \pi  \cdot f_{\rm +1} \cdot  t )  \\  s_0 \cdot \cos (2 \pi  \cdot f_{\rm -1} \cdot  t ) \\  \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} a_{ \nu} = +1 \hspace{0.05cm},  \\ a_{ \nu} = -1\hspace{0.05cm}.  \\ \end{array}$$
-Zu jedem Zeitpunkt tritt also stets nur eine der beiden Frequenzen &nbsp;$f_{+1}$&nbsp; und &nbsp;$f_{–1}$&nbsp; auf. Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ selbst kommt im Signal nicht vor.
+*Zu jedem Zeitpunkt tritt also stets nur eine der beiden Frequenzen &nbsp;$f_{+1}$&nbsp; und &nbsp;$f_{–1}$&nbsp; auf.&nbsp;
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Der '''Frequenzhub''' &nbsp;$Δf_{\rm A}$&nbsp; ist in gleicher Weise definiert wie bei der analogen Frequenzmodulation, nämlich als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; von der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$. Häufig wird der Frequenzhub in der Literatur auch mit &nbsp;$Δf$&nbsp; bzw. &nbsp;$F$&nbsp; bezeichnet. }}
+$\text{Definition:}$&nbsp; Der&nbsp; '''Frequenzhub''' &nbsp;$Δf_{\rm A}$&nbsp; ist in gleicher Weise definiert wie bei der analogen Frequenzmodulation, nämlich als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; von der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$.&nbsp; Manchmal wird der Frequenzhub in der Literatur auch mit &nbsp;$Δf$&nbsp; bzw. &nbsp;$F$&nbsp; bezeichnet. }}
-Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße ist in diesem Zusammenhang der Modulationsindex, der ebenfalls bereits bei der analogen Frequenzmodulation  als &nbsp;$η = Δf_{\rm A}/f_{\rm N}$&nbsp; definiert wurde. Bei der FSK ist eine etwas andere Definition erforderlich, was hier durch einen anderen Kennbuchstaben berücksichtigt wird: &nbsp; $η &nbsp; ⇒ &nbsp; h$.
+Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße ist in diesem Zusammenhang der &bdquo;Modulationsindex&rdquo;, der ebenfalls bereits bei der analogen Frequenzmodulation  als &nbsp;$η = Δf_{\rm A}/f_{\rm N}$&nbsp; definiert wurde.&nbsp; Bei der FSK ist eine etwas andere Definition erforderlich, was hier durch einen anderen Kennbuchstaben berücksichtigt wird: &nbsp; $η &nbsp; ⇒ &nbsp; h$.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Bei digitaler Frequenzmodulation (FSK) bezeichnet der '''Modulationsindex''' &nbsp;$h$&nbsp; das Verhältnis aus dem Gesamtfrequenzhub und der Symbolrate &nbsp;$1/T$:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Bei digitaler Frequenzmodulation (FSK) bezeichnet der&nbsp; '''Modulationsindex''' &nbsp; $h$&nbsp; das Verhältnis aus dem Gesamtfrequenzhub und der Symbolrate &nbsp;$1/T$:
 :$$h  =  \frac{2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{1/T} = 2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}\cdot T \hspace{0.05cm}.$$
-Manchmal wird in der Fachliteratur &nbsp;$h$&nbsp; auch als '''Phasenhub''' bezeichnet. }}
+Manchmal wird in der Fachliteratur &nbsp;$h$&nbsp; auch als&nbsp; '''Phasenhub'''&nbsp; bezeichnet. }}
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt unten das FSK–Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; für
 *das oben skizzierte binäre Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit Amplitudenwerten &nbsp;$\pm A =\pm  1 \ \rm V$, und
-*das darunter gezeichnete Trägersignal &nbsp;$z(t)$&nbsp; mit vier Schwingungen pro Symboldauer $(f_{\rm T} · T = 4)$.
+*das darunter gezeichnete Trägersignal &nbsp;$z(t)$&nbsp; mit vier Schwingungen pro Symboldauer&nbsp; $(f_{\rm T} · T = 4)$.
-Zugrunde liegt der Frequenzhub &nbsp;$Δf_{\rm A} = 1/T$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Modulationsindex &nbsp;$h = 2$. Die beiden möglichen Frequenzen sind &nbsp;$f_{\rm +1} = 5/T \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = 3/T \hspace{0.05cm}.$
+Zugrunde liegt der Frequenzhub &nbsp;$Δf_{\rm A} = 1/T$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Modulationsindex &nbsp;$h = 2$.&nbsp; Die beiden möglichen Frequenzen sind &nbsp;$f_{\rm +1} = 5/T \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = 3/T \hspace{0.05cm}.$
-Bei einem FSK–Übertragungssystem mit der Bitrate &nbsp;$1 \ {\rm Mbit/s} \ (T = 1 \ \rm &micro; s)$&nbsp; müsste somit die folgende FM–Konstante verwendet werden:
+Bei einem FSK–Übertragungssystem mit Bitrate &nbsp;$1 \ {\rm Mbit/s} \ \ (T = 1 \ \rm &micro; s)$&nbsp; müsste somit die folgende FM–Konstante verwendet werden:
 :$$K_{\rm FM} =  \frac{2 \pi \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{A } = \frac{2 \pi }{A \cdot T } \approx 6.28 \cdot 10^{6}\,\,{\rm V^{-1}s^{-1} }\hspace{0.05cm}.$$}}
 ==Kohärente Demodulation der FSK==
 <br>
-Die folgende Grafik zeigt den bestmöglichen Demodulator für binäre FSK, der kohärent arbeitet und demzufolge auch Kenntnis über die Phasenlage des FSK–Signals benötigt. Im Blockschaltbild ist dies berücksichtigt, indem das Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; identisch mit dem Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; angenommen wurde – siehe Signalverläufe im vorherigen Abschnitt.
+Die Grafik zeigt den bestmöglichen Demodulator für binäre FSK, der kohärent arbeitet und demzufolge auch Kenntnis über die Phasenlage des FSK–Signals benötigt.&nbsp; Im Blockschaltbild ist dies berücksichtigt, indem das Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; gleich dem Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; angenommen wurde – siehe Signalverläufe im vorherigen Abschnitt.
-[[Datei:P_ID1730__Mod_T_4_4_S3_neu.png |center|frame| Kohärenter FSK–Demodulator]]
+[[Datei:P_ID1730__Mod_T_4_4_S3_neu.png |right|frame| Kohärenter FSK–Demodulator]]
-Dieser Demodulator arbeitet nach folgendem Prinzip:
+Dieser Demodulator arbeitet nach folgendem Prinzip (siehe obere Anordnung):
-*Es handelt sich hierbei um einen &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#MAP.E2.80.93_und_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidungsregel|Maximum–Likelihood–Empfänger]]&nbsp; (ML) in der Realisierungsform mit [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched–Filter]]. Dieses Filter mit dem Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$&nbsp; kann bei dem vorausgesetzten rechteckförmigen Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; auch als Integrator realisiert werden.
+*Es handelt sich hierbei um einen &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#MAP.E2.80.93_und_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidungsregel|Maximum–Likelihood–Empfänger]]&nbsp; $\rm (ML)$&nbsp; in der Realisierungsform mit&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched–Filter]].&nbsp; Dieses Filter mit dem Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$&nbsp; kann bei dem vorausgesetzten rechteckförmigen Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; auch als Integrator realisiert werden.
-*Die Signale &nbsp;$b_{+1}(t)$&nbsp; bzw. &nbsp;$b_{–1}(t)$&nbsp; vor den Matched–Filtern ergeben sich durch die phasenrichtige Multiplikation mit den Schwingungen der Frequenz &nbsp;$f_{+1}$&nbsp; bzw. &nbsp;$f_{–1}$.
+*Die beiden Signale &nbsp;$b_{+1}(t)$&nbsp; bzw. &nbsp;$b_{–1}(t)$&nbsp; vor den jeweiligen Matched–Filtern ergeben sich durch die phasenrichtige Multiplikation mit den Schwingungen der Frequenzen &nbsp;$f_{+1}$&nbsp; bzw. &nbsp;$f_{–1}$.
-*Der Maximum–Likelihood–Empfänger entscheidet sich bekanntlich für den Zweig (das Symbol) mit der größeren „Metrik”, wobei das nachgeschaltete Matched–Filters zu berücksichtigen ist. Das heißt: &nbsp; Wahrscheinlich wurde  &nbsp;$a_ν = +1$&nbsp; gesendet, wenn folgende Relation erfüllt ist:
+*Der Maximum–Likelihood–Empfänger entscheidet sich bekanntlich für den Zweig&nbsp; (das Symbol)&nbsp; mit der größeren „Metrik”, wobei das nachgeschaltete Matched–Filter zu berücksichtigen ist.&nbsp; Das heißt:
-:$$d_{\rm +1}(\nu \cdot T) >  d_{\rm -1}(\nu \cdot T) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+*Wahrscheinlich wurde  &nbsp;$a_ν = +1$&nbsp; gesendet, wenn folgende Relation erfüllt ist:
   d(\nu \cdot T) = d_{\rm +1}(\nu \cdot T) - d_{\rm -1}(\nu \cdot
   T) > 0\hspace{0.05cm}.$$
-*Das obere Blockschaltbild wurde zum besseren Verständnis in dieser Weise gezeichnet. Natürlich kann man die Matched–Filterung aber auch auf die rechte Seite der Differenzbildung verschieben, wie im unteren Modell dargestellt. Damit muss nur noch ein Filter realisiert werden.
-In der &nbsp;[[Aufgaben:4.13_FSK–Demodulation|Aufgabe 4.13]]&nbsp; wird dieser FSK–Demodulator ausführlich behandelt. Auf dem entsprechenden Angabenblatt sehen Sie auch die Signalverläufe.
+In &nbsp;[[Aufgaben:4.13_FSK–Demodulation|Aufgabe 4.13]]&nbsp; wird dieser FSK–Demodulator ausführlich behandelt.&nbsp; Auf dem entsprechenden Angabenblatt sehen Sie auch die entsprechenden Signalverläufe.
 ==Fehlerwahrscheinlichkeit der orthogonalen FSK==

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Ein '''lineares Modulationsverfahren''' liegt vor, wenn eine beliebige Linearkombination von Signalen am Modulatoreingang zu einer entsprechenden Linearkombination an dessen Ausgang führt. Andernfalls spricht man von '''nichtlinearer Modulation'''. }}
+$\text{Definition:}$&nbsp; Ein&nbsp; '''lineares Modulationsverfahren'''&nbsp; liegt vor, wenn eine beliebige Linearkombination von Signalen am Modulatoreingang zu einer entsprechenden Linearkombination an dessen Ausgang führt.&nbsp; Andernfalls spricht man von&nbsp; '''nichtlinearer Modulation'''. }}
-Die Grafik zeigt einige der Unterschiede hinsichtlich der oben angegebenen Klassifizierungen.
+Am &nbsp;[[Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#Analoges_.C3.9Cbertragungssystem_vs._digitales_.C3.9Cbertragungssystem|Kapitelanfang]]&nbsp; wurde bereits darauf hingewiesen, dass der wesentliche Unterschied zwischen einem analogen und einem digitalen Modulationsverfahren darin besteht, dass beim ersten ein analoges Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; anliegt und beim zweiten ein Digitalsignal.&nbsp; Bei genauerer Betrachtung wird man jedoch feststellen, dass es zwischen diesen Verfahren noch einige Unterschiede mehr gibt.&nbsp; Darauf wird im Folgenden genauer eingegangen.
-[[Datei:P_ID1737__Mod_T_4_4_S1.png |center|frame| Analoge und digitale AM–, PM– und FM–Verfahren]]
+Die folgende Grafik zeigt einige der Unterschiede hinsichtlich der oben angegebenen Klassifizierungen.
-Am &nbsp;[[Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#Analoges_.C3.9Cbertragungssystem_vs._digitales_.C3.9Cbertragungssystem|Kapitelanfang]]&nbsp; wurde bereits darauf hingewiesen, dass der wesentliche Unterschied zwischen einem analogen und einem digitalen Modulationsverfahren darin besteht, dass beim ersten ein analoges Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; anliegt und beim zweiten ein Digitalsignal. Bei genauerer Betrachtung wird man jedoch feststellen, dass es zwischen diesen Verfahren noch einige Unterschiede mehr gibt. Darauf wird im Folgenden genauer eingegangen.
+[[Datei:P_ID1737__Mod_T_4_4_S1.png |right|frame| Analoge und digitale AM–, PM– und FM–Verfahren]]
-*Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|analoge Amplitudenmodulation]]&nbsp; (AM) ist ein lineares Modulationsverfahren. Die Ortskurve – also das äquivalente Tiefpass–Signal  &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; dargestellt in der komplexen Ebene – ist eine Gerade.
+*Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|analoge Amplitudenmodulation]]&nbsp; $\rm (AM)$&nbsp; ist ein lineares Verfahren.&nbsp; Die Ortskurve – also das äquivalente Tiefpass–Signal  &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; dargestellt in der komplexen Ebene – ist eine Gerade.
-*Zwischen der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|analogen Phasenmodulation]]&nbsp; (PM) und der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|analogen Frequenzmodulation]]&nbsp; (FM) gibt es viele Gemeinsamkeiten &nbsp;  ⇒  &nbsp;gemeinsame Beschreibung als ''Winkelmodulation'' (WM). Hier ist die Ortskurve ein Kreisbogen. Bei einer harmonischen Schwingung gibt es ein Linienspektrum &nbsp;$S(f)$&nbsp; bei Vielfachen der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; um die Trägerfrequenz  &nbsp;$f_{\rm T}$.
+*Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|digitale Amplitudenmodulation]],  die man entweder als&nbsp; ''Amplitude Shift Keying''&nbsp; $\rm (ASK)$&nbsp; oder als ''On–Off–Keying''&nbsp; $\rm (OOK)$&nbsp; bezeichnet, ist ebenfalls linear.&nbsp; Die Ortskurve besteht im binären Fall nur noch aus zwei Punkten.
-*Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|digitale Amplitudenmodulation]],  die man entweder als ''Amplitude Shift Keying'' (ASK) oder als ''On–Off–Keying'' (OOK) bezeichnet, ist ebenfalls linear. Die Ortskurve besteht im binären Fall nur noch aus zwei Punkten.
+*Das bedeutet aber auch: &nbsp;
-*Da sich die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|binäre Phasenmodulation]]&nbsp; (''Binary Phase Shift Keying'', BPSK) als ASK mit bipolaren Amplitudenkoeffizienten darstellen lässt, ist diese ebenfalls linear. Die Form des BPSK–Leistungsdichtespektrums wird wesentlich durch das Betragsquadratspektrum &nbsp;$|G_s(f)|^2$&nbsp; des Sendegrundimpulses bestimmt.
+*Ein höherstufiges&nbsp; ''Phase Shift Keying'', zum Beispiel die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen|$\rm 8–PSK$]], ist nur in Sonderfällen linear, siehe [Klo01]<ref name="Klo01">Klostermeyer, R.: ''Digitale Modulation''. Braunschweig: Vieweg, 2001.</ref>.&nbsp;  Die digitale Frequenzmodulation&nbsp; $($''Frequency Shift Keying'',&nbsp; $\rm FSK)$&nbsp; ist stets nichtlinear.&nbsp; Dieses Verfahren wird Im Folgenden beschrieben, wobei wir uns auf den binären Fall&nbsp; $\rm (2-FSK)$&nbsp; beschränken.
 ==FSK – Frequency Shift Keying==

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−	*Da die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM\|Quadratur–Amplitudenmodulation]]  mit vier Signalraumpunkten (4–QAM) auch als Summe zweier zueinander orthogonaler und damit quasi–unabhängiger BPSK–Systeme beschrieben werden kann, stellt auch diese ein lineares Modulationsverfahren dar. Gleiches gilt für die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#~~QAM~~.E2.80.93Signalraumkonstellationen\|höherstufigen QAM–Verfahren]]  wie 16–QAM, 64–QAM, ...	+	*Da die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM\|Quadratur–Amplitudenmodulation]]  mit vier Signalraumpunkten (4–QAM) auch als Summe zweier zueinander orthogonaler und damit quasi–unabhängiger BPSK–Systeme beschrieben werden kann, stellt auch diese ein lineares Modulationsverfahren dar. Gleiches gilt für die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Quadratische_QAM.E2.80.93Signalraumkonstellationen\|höherstufigen QAM–Verfahren]]  wie 16–QAM, 64–QAM, ...

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 ==Allgemeingültige Beschreibung von Continuous Phase Modulation==
 <br>
-Wir gehen weiter davon aus, dass die Quelle durch die Amplitudenkoeffizienten $a_ν$ charakterisiert wird. Diese können sowohl binär als auch $M$–stufig sein. Sie sind aber stets bipolar zu betrachten, zum Beispiel &nbsp; $a_ν\in \{+1, -1\}$.
+Wir gehen weiter davon aus, dass die Quelle durch die Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_ν$&nbsp; charakterisiert wird. Diese können sowohl binär als auch &nbsp;$M$–stufig sein. Sie sind aber stets bipolar zu betrachten, zum Beispiel &nbsp; $a_ν\in \{+1, -1\}$.
-*Die '''Phasenfunktion''' $ϕ(t)$ kann bei ''Continuous Phase Modulation'' (CPM) allgemein in folgender Form dargestellt werden $(h$ bezeichnet wieder den Modulationsindex):
+*Die '''Phasenfunktion''' &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; kann bei ''Continuous Phase Modulation'' (CPM) allgemein in folgender Form dargestellt werden &nbsp;$(h$ bezeichnet wieder den Modulationsindex):
 :$$\phi(t) =  {\pi}\cdot h  \cdot\int_{-\infty}^{t}
 \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (\tau - \nu \cdot
 T)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
-*In dieser Darstellung bezeichnet $g(t)$ den '''Frequenzimpuls''', der folgende Bedingung erfüllen muss:
+*In dieser Darstellung bezeichnet &nbsp;$g(t)$&nbsp; den '''Frequenzimpuls''', der folgende Bedingung erfüllen muss:
 :$$\int_{-\infty}^{+\infty} g (t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit dem '''Phasenimpuls''' $g_ϕ(t)$ gilt aber auch der folgende Zusammenhang:
+*Mit dem '''Phasenimpuls''' &nbsp;$g_ϕ(t)$&nbsp; gilt aber auch der folgende Zusammenhang:
 :$$\phi(t) =  {\pi}\cdot h  \cdot
 \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_\phi (t - \nu
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 d}\tau\hspace{0.05cm}.$$
-Durch geeignete Wahl der Impulse $g(t)$ bzw. $g_ϕ(t)$ lassen sich viele CPM–Varianten realisieren. Einige davon sind nachfolgend dargestellt. Die Grafik zeigt jeweils oben den CPM–Frequenzimpuls $g(t)$ und unten den CPM–Phasenimpuls $g_ϕ(t)$. Die linken Grafiken beschreiben die MSK. Die Bezeichnung „1–REC” gibt an, dass $g(t)$ sich über eine einzige Symboldauer $(T)$ erstreckt und rechteckförmig ist.
+Durch geeignete Wahl der Impulse &nbsp;$g(t)$&nbsp; bzw. &nbsp;$g_ϕ(t)$&nbsp; lassen sich viele CPM–Varianten realisieren. Einige davon sind nachfolgend dargestellt.
 Die weiteren dargestellten CPM–Varianten wurden mit dem Ziel entworfen, die bereits kleine Bandbreite des MSK–Signals weiter zu verringern:
 [[Datei:P_ID1735__Mod_T_4_4_S8_neu.png |right|frame|  Frequenzimpuls und Phasenimpuls einiger CPM–Varianten]]
-*Bei „1–RC” ergibt sich allein durch den „weicheren” Raised–Cosine–Impuls $g(t)$ gegenüber dem Rechteck ein schmaleres Leistungsdichtespektrum.
+*Bei „1–RC” ergibt sich allein durch den „weicheren” Raised–Cosine–Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; gegenüber dem Rechteck ein schmaleres Leistungsdichtespektrum.
-*Bei „2–RC” und „2–REC” handelt es sich um Partial–Response–Impulse, die sich jeweils über $2T$ erstrecken. Hierdurch wird der Phasenverlauf ebenfalls weicher.
+*Bei „2–RC” und „2–REC” handelt es sich um Partial–Response–Impulse, die sich jeweils über &nbsp;$2T$&nbsp; erstrecken. Hierdurch wird der Phasenverlauf ebenfalls weicher.
 *Dadurch wird  aber auch die Demodulation erschwert, da in das Datensignal gezielte Pseudomehrstufigkeiten eingebracht werden.
-*Die Berechnung der CPM–Verfahren im Spektralbereich ist im allgemeinen kompliziert. Nur der Sonderfall „MSK” führt zu einfach handhabbaren Gleichungen, wie in der [[Aufgaben:4.14_Phasenverlauf_der_MSK|Aufgabe A4.14]] gezeigt wird.
+*Die Berechnung der CPM–Verfahren im Spektralbereich ist im allgemeinen kompliziert. Nur der Sonderfall „MSK” führt zu einfach handhabbaren Gleichungen, wie in der &nbsp;[[Aufgaben:4.14_Phasenverlauf_der_MSK|Aufgabe A4.14]]&nbsp; gezeigt wird.
 <br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
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 ==GMSK – Gaussian Minimum Shift Keying==
 <br>
-Ein Vorteil der MSK ist der geringe Bandbreitenbedarf, weil: '''Bandbreite ist stets teuer'''. Durch eine geringfügige Modifikation hin zum ''Gaussian Minimum Shift Keying'' (GMSK) wird das Spektrum weiter verschmälert. Diese Modulationsart wird zum Beispiel beim Mobilfunkstandard [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM|GSM]] angewendet.
+Ein Vorteil der MSK ist der geringe Bandbreitenbedarf, weil: &nbsp; '''Bandbreite ist stets teuer'''.
 [[Datei:P_ID1748__Mod_T_4_4_S9_neu.png |center|frame|  Signalverläufe bei Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK)]]
 Aus der Grafik erkennt man:
-*Der Frequenzimpuls $g(t)= g_{\rm G}(t)$ ist nun nicht mehr rechteckförmig wie $g_{\rm R}(t)$, sondern weist flachere Flanken auf.
+*Der Frequenzimpuls &nbsp;$g(t)= g_{\rm G}(t)$&nbsp; ist nun nicht mehr rechteckförmig wie &nbsp;$g_{\rm R}(t)$, sondern weist flachere Flanken auf.
-*Dadurch ergibt sich ein weicherer Phasenverlauf am Punkt (3) als bei [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#MSK_.E2.80.93_Minimum_Shift_Keying|MSK]], bei dem $ϕ(t)$ symbolweise linear ansteigt bzw. abfällt.
+*Dadurch ergibt sich ein weicherer Phasenverlauf am Punkt '''(3)''' als bei &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#MSK_.E2.80.93_Minimum_Shift_Keying|MSK]], bei dem &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; symbolweise linear ansteigt bzw. abfällt.
-*Man erreicht die sanfteren GMSK–Phasenübergänge durch einen [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]]. Dessen Frequenzgang und Impulsantwort lauten mit der systemtheoretischen Grenzfrequenz $f_{\rm G}$:
+*Man erreicht die sanfteren GMSK–Phasenübergänge durch einen &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]]. Dessen Frequenzgang und Impulsantwort lauten mit der systemtheoretischen Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$:
 :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 \cdot f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
   h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 \cdot f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm}.$$
-*Der resultierende Frequenzimpuls $g(t)$ am Punkt '''(2)''' ergibt sich aus der Faltung von $g_{\rm R}(t)$ und $h_{\rm G}(t)$.
+*Der resultierende Frequenzimpuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; am Punkt '''(2)''' ergibt sich aus der Faltung von &nbsp;$g_{\rm R}(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_{\rm G}(t)$.
-*Das Signal $s(t)$ am Punkt '''(4)''' weist bei GMSK nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf wie bei MSK, auch wenn dies aus obiger Grafik mit bloßem Auge schwer zu erkennen ist.
+*Das Signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; am Punkt '''(4)''' weist bei GMSK nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf wie bei MSK, auch wenn dies aus obiger Grafik mit bloßem Auge schwer zu erkennen ist.
-{{GraueBox|TEXT=$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Beim GSM–Verfahren ist die 3dB–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ spezifiziert, wobei zwischen der systemtheoretischen und der 3dB–Grenzfrequenz folgender Zusammenhang besteht:
+{{GraueBox|TEXT=$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Beim GSM–Verfahren ist die 3dB–Grenzfrequenz mit &nbsp;$f_{\rm 3dB} = 0.3/T$&nbsp; spezifiziert, wobei zwischen der systemtheoretischen und der 3dB–Grenzfrequenz folgender Zusammenhang besteht:
 :$$H_{\rm G}(f= f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}dB}) = {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}{dB} } }/{2 f_{\rm G} })^2} =
 {1}/{\sqrt{2} }\hspace{0.15cm}\Rightarrow\hspace{0.15cm}
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   }\sqrt{2} }\approx {2}/{3}\cdot f_{\rm G}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Aus $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ folgt damit auch $f_{\rm G} · T ≈ 0.45$. }}
+Aus &nbsp;$f_{\rm 3dB} = 0.3/T$&nbsp; folgt damit auch &nbsp;$f_{\rm G} · T ≈ 0.45$. }}

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 Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Erzeugung einer MSK–Modulation und typische Signalverläufe an verschiedenen Punkten des MSK–Senders. [[Datei:P_ID1732__Mod_T_4_4_S6.png | right|frame|  Blockschaltbild zur Erzeugung eines MSK–Signals]]
 Man erkennt
-*das digitale Quellensignal am Punkt '''(1)''', eine Folge von Diracimpulsen im Abstand $T$, gewichtet mit den Koeffizienten $a_ν ∈ \{–1, +1\}$:
+*das digitale Quellensignal am Punkt '''(1)''', eine Folge von Diracimpulsen im Abstand &nbsp;$T$, gewichtet mit den Koeffizienten &nbsp;$a_ν ∈ \{–1, +1\}$:
 :$$q_\delta(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot \delta (t - \nu
 \cdot T)\hspace{0.05cm},$$
-*das Rechtecksignal $q_{\rm R}(t)$ am Punkt '''(2)''' nach Faltung mit dem Rechteckimpuls $g(t)$ der Dauer $T$ und der Höhe $1/T$:
+*das Rechtecksignal &nbsp;$q_{\rm R}(t)$&nbsp; am Punkt '''(2)''' nach Faltung mit dem Rechteckimpuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; der Dauer &nbsp;$T$&nbsp; und der Höhe &nbsp;$1/T$:
 :$$q_{\rm R}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (t - \nu
 \cdot T)\hspace{0.05cm},$$
-*den  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Frequenzmodulator]]  (Integrator und nachgeschalteter Phasenmodulator). Für das Signal am Punkt '''(3)''' gilt:
+*den  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Frequenzmodulator]]&nbsp;  (Integrator und nachgeschalteter Phasenmodulator). Für das Signal am Punkt '''(3)''' gilt:
 :$$\phi(t) =  {\pi}/{2}\cdot  \int_{0}^{t}
 q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
+<br clear=all>
+Die Phasenwerte bei Vielfachen der Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; sind Vielfache von &nbsp;$π/2$, wobei der für MSK gültige Modulationsindex &nbsp;$h = 0.5$&nbsp; berücksichtigt ist. Der Phasenverlauf ist linear. Daraus ergibt sich das MSK–Signal am Punkt '''(4)''' des Blockschaltbildes zu
 :$$s(t)  =  s_0 \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm T}  \hspace{0.05cm}t +
   \phi(t)) =   s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} )) \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 174: / Zeile 172: @@
 ==Realisierung der MSK als Offset–QPSK==
 <br>
-Durch einen modifizierten Betrieb von [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Offset.E2.80.93Quadraturamplitudenmodulation|Offset–QPSK]] (O–QPSK) lässt sich auch ''Minimum Shift Keying'' (MSK) realisieren.
+Durch einen modifizierten Betrieb von &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Offset.E2.80.93Quadraturamplitudenmodulation|Offset–QPSK]]&nbsp; (O–QPSK) lässt sich auch ''Minimum Shift Keying'' (MSK) realisieren.
 [[Datei: P_ID1733__Mod_T_4_4_S7_neu.png  | center|frame| Herkömmliches O–QPSK und O–QPSK in MSK–Betriebsart]]
 Gegenüber dem herkömmlichen Offset–QPSK–Betrieb (obere Grafik) sind folgende Modifikationen zu berücksichtigen, die in der unteren Grafik rot hervorgehoben sind:
-*Die Symboldauer $T$ der MSK ist gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$ des binären Eingangssignals, während bei der originären O–QPSK $T = 2 T_{\rm B}$ gilt.
+*Die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; der MSK ist gleich der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$&nbsp; des binären Eingangssignals, während bei der originären O–QPSK &nbsp;$T = 2 T_{\rm B}$&nbsp; gilt.
-*Anstelle der Seriell–Parallel–Wandlung und Signalraumzuordnung müssen nun die Quellensymbole entsprechend $a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k$  umcodiert werden.
+*Anstelle der Seriell–Parallel–Wandlung und Signalraumzuordnung müssen nun die Quellensymbole entsprechend &nbsp;$a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k$&nbsp;  umcodiert werden.
-*Alle Amplitudenkoeffizienten $a_k$ mit geradzahligem Index ($a_0, a_2$, ...) werden dem Diracpuls im oberen Zweig eingeprägt, während $a_1, a_3$, ... im unteren Zweig übertragen werden.
+*Alle Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_k$&nbsp; mit geradzahligem Index &nbsp;$(a_0, a_2$, ...$)$&nbsp; werden dem Diracpuls im oberen Zweig eingeprägt, während &nbsp;$a_1, a_3$, ...&nbsp; im unteren Zweig übertragen werden.
-*Der Abstand der einzelnen Diracimpulse beträgt nun $2T$ anstelle von $T$ und der Versatz (&bdquo;Offset&rdquo;) im Quadraturzweig ist nicht mehr $T/2$, sondern $T$. In beiden Fällen ist aber der Offset gleich $T_{\rm B}$.
+*Der Abstand der einzelnen Diracimpulse beträgt nun &nbsp;$2T$&nbsp; anstelle von &nbsp;$T$&nbsp; und der Versatz (&bdquo;Offset&rdquo;) im Quadraturzweig ist nicht mehr &nbsp;$T/2$, sondern &nbsp;$T$. In beiden Fällen ist aber der Offset gleich &nbsp;$T_{\rm B}$.
-*Während beim herkömmlichen O–QPSK–Betrieb jeder beliebige Grundimpuls $g_s(t)$ möglich ist, zum Beispiel ein Rechteck– oder ein Wurzel–Nyquist–Impuls, gibt es für den MSK–Betrieb nur einen einzigen geeigneten Grundimpuls. Dieser erstreckt sich über zwei Symboldauern:
+*Während beim herkömmlichen O–QPSK–Betrieb jeder beliebige Grundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; möglich ist, zum Beispiel ein Rechteck– oder ein Wurzel–Nyquist–Impuls, gibt es für den MSK–Betrieb nur einen einzigen geeigneten Grundimpuls. Dieser erstreckt sich über zwei Symboldauern:
 :$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos (\frac{\pi  \cdot t}{2  \cdot T})  \\
 \\  \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 195: / Zeile 193: @@
 [[Datei:P_ID1734__Mod_T_4_4_S7b_neu.png |right|frame|  Signalverläufe der O–QPSK im MSK–Betrieb]]
 {{GraueBox|TEXT=$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Grafik zeigt
-*oben das binäre bipolare Quellensignal $q(t)$,
+*oben das binäre bipolare Quellensignal &nbsp;$q(t)$,
-*in der Mitte die äquivalenten TP–Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ im I– und Q–Zweig,
+*in der Mitte die äquivalenten TP–Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; im &nbsp;$\rm I$– und &nbsp;$\rm Q$–Zweig,
-*unten den Phasenverlauf $ϕ(t)$ des gesamten MSK–Sendesignals $s(t)$.
+*unten den Phasenverlauf &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; des gesamten MSK–Sendesignals &nbsp;$s(t)$.
-Die Umcodierung $a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k$ ist bereits berücksichtigt, ebenso der MSK–Grundimpuls:
+Die Umcodierung &nbsp;$a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k$&nbsp; ist bereits berücksichtigt, ebenso der MSK–Grundimpuls:
 :$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array} {l} s_0 \cdot \cos (\frac{\pi  \cdot t}{2  \cdot T})  \\
 \\  \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 210: / Zeile 208: @@
 Man erkennt aus dem Vergleich des obersten und des untersten Diagramms:
-*Der MSK–Phasenverlauf $ϕ(t)$ ist abschnittsweise linear und steigt bzw. fällt innerhalb einer jeden Symboldauer um $90^\circ \ (π/2)$, je nachdem, ob gerade $q_k = +1$ oder $q_k = -1$ anliegt.
+*Der MSK–Phasenverlauf &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; ist abschnittsweise linear und steigt bzw. fällt innerhalb einer jeden Symboldauer um &nbsp;$90^\circ \ (π/2)$, je nachdem, ob gerade &nbsp;$q_k = +1$&nbsp; oder &nbsp;$q_k = -1$&nbsp; anliegt.
-*Das Sendesignal $s(t)$ beinhaltet abschnittsweise die beiden Frequenzen $f_{\rm T} ± 1/(4T)$. Es hat  prinzipiell den gleichen Verlauf wie das Signal $s_{\rm D}(t)$ im Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Bin.C3.A4re_FSK_mit_kontinuierlicher_Phasenanpassung|Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung]].
+*Das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; beinhaltet abschnittsweise die beiden Frequenzen &nbsp;$f_{\rm T} ± 1/(4T)$. Es hat  prinzipiell den gleichen Verlauf wie das Signal &nbsp;$s_{\rm D}(t)$&nbsp; im Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Bin.C3.A4re_FSK_mit_kontinuierlicher_Phasenanpassung|Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung]].
-Diese Form der MSK–Realisierung können Sie mit dem Interaktionsmodul [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)|Quaternary Phase Shift Keying und Offset-QPSK]] bei folgenden Einstellungen darstellen:
+Diese Form der MSK–Realisierung können Sie mit dem interaktiven Applet &nbsp;[[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)|Quaternary Phase Shift Keying und Offset-QPSK]]&nbsp; bei folgenden Einstellungen darstellen:
 *Offset–QPSK,
 *MSK–Zuordnung,