Modulationsverfahren/Nichtlineare digitale Modulation - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:14Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
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	:$$\int_{-\infty}^{+\infty} g (t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\int_{-\infty}^{+\infty} g (t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 \hspace{0.05cm}.$$
	*Mit dem  '''Phasenimpuls'''   $g_ϕ(t)$  gilt aber auch der folgende Zusammenhang:		*Mit dem  '''Phasenimpuls'''   $g_ϕ(t)$  gilt aber auch der folgende Zusammenhang:
	:$$\phi(t) = {\pi}\cdot h \cdot\sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_\phi (t - \nu\cdot T),\hspace{0.2cm}{\rm wobei}\hspace{0.2cm}g_\phi(t) =\int_{-\infty}^{t} g (\tau )\hspace{0.1cm} {\~~rmd~~}\tau\hspace{0.05cm}.$$		:$$\phi(t) = {\pi}\cdot h \cdot\sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_\phi (t - \nu\cdot T),\hspace{0.2cm}{\rm wobei}\hspace{0.2cm}g_\phi(t) =\int_{-\infty}^{t} g (\tau )\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau\hspace{0.05cm}.$$

	[[Datei:P_ID1735__Mod_T_4_4_S8_neu.png \|right\|frame\| Frequenzimpuls und Phasenimpuls einiger CPM–Varianten]]		[[Datei:P_ID1735__Mod_T_4_4_S8_neu.png \|right\|frame\| Frequenzimpuls und Phasenimpuls einiger CPM–Varianten]]
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Modulation_Methods/Non-Linear_Digital_Modulation]]

Maintenance script: Fix MathJax: add space after \cdot before letter

2026-02-25T13:19:24Z

Fix MathJax: add space after \cdot before letter

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	*Wahrscheinlich wurde  $a_ν = +1$  gesendet, wenn folgende Relation erfüllt ist:		*Wahrscheinlich wurde  $a_ν = +1$  gesendet, wenn folgende Relation erfüllt ist:
	:$$d_{\rm +1}(\nu \cdot T) > d_{\rm -1}(\nu \cdot T) $$		:$$d_{\rm +1}(\nu \cdot T) > d_{\rm -1}(\nu \cdot T) $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}d(\nu \cdot T) = d_{\rm +1}(\nu \cdot T) - d_{\rm -1}(\nu \~~cdotT~~) > 0\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}d(\nu \cdot T) = d_{\rm +1}(\nu \cdot T) - d_{\rm -1}(\nu \cdot T) > 0\hspace{0.05cm}.$$

	Das obere Blockschaltbild wurde zum besseren Verständnis entsprechend dieser Beschreibung gezeichnet.		Das obere Blockschaltbild wurde zum besseren Verständnis entsprechend dieser Beschreibung gezeichnet.
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	*Die  '''Phasenfunktion'''  $ϕ(t)$  kann bei  ''Continuous Phase Modulation''  $\rm (CPM)$  allgemein in folgender Form dargestellt werden  $(h$  bezeichnet den Modulationsindex$)$:		*Die  '''Phasenfunktion'''  $ϕ(t)$  kann bei  ''Continuous Phase Modulation''  $\rm (CPM)$  allgemein in folgender Form dargestellt werden  $(h$  bezeichnet den Modulationsindex$)$:
	:$$\phi(t) = {\pi}\cdot h \cdot\int_{-\infty}^{t}\sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (\tau - \nu \~~cdotT~~)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$		:$$\phi(t) = {\pi}\cdot h \cdot\int_{-\infty}^{t}\sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (\tau - \nu \cdot T)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
	*In dieser Darstellung bezeichnet  $g(t)$  den  '''Frequenzimpuls''', der folgende Bedingung erfüllen muss:		*In dieser Darstellung bezeichnet  $g(t)$  den  '''Frequenzimpuls''', der folgende Bedingung erfüllen muss:
	:$$\int_{-\infty}^{+\infty} g (t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\int_{-\infty}^{+\infty} g (t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:37:58Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Guenter am 24. April 2020 um 12:11 Uhr

2020-04-24T12:11:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2020, 14:11 Uhr
Zeile 196:		Zeile 196:
	*Der Abstand der einzelnen Diracimpulse beträgt nun  $2T$  anstelle von  $T$  und der Versatz  (&bdquo;Offset”)  im Quadraturzweig ist nicht mehr  $T/2$, sondern  $T$.  In beiden Fällen ist der Offset gleich  $T_{\rm B}$.		*Der Abstand der einzelnen Diracimpulse beträgt nun  $2T$  anstelle von  $T$  und der Versatz  (&bdquo;Offset”)  im Quadraturzweig ist nicht mehr  $T/2$, sondern  $T$.  In beiden Fällen ist der Offset gleich  $T_{\rm B}$.
	*Während beim herkömmlichen O–QPSK–Betrieb jeder beliebige Grundimpuls  $g_s(t)$  möglich ist, zum Beispiel ein Rechteck– oder ein Wurzel–Nyquist–Impuls, gibt es für den MSK–Betrieb nur einen einzigen geeigneten Grundimpuls. Dieser erstreckt sich über zwei Symboldauern:		*Während beim herkömmlichen O–QPSK–Betrieb jeder beliebige Grundimpuls  $g_s(t)$  möglich ist, zum Beispiel ein Rechteck– oder ein Wurzel–Nyquist–Impuls, gibt es für den MSK–Betrieb nur einen einzigen geeigneten Grundimpuls. Dieser erstreckt sich über zwei Symboldauern:
	:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos \big ({\pi ~~\hspace{-0.05cm}~~ \cdot ~~\hspace{-0.05cm}~~ t}/~~(2 \hspace{-0.05cm} \cdot \hspace{-0.05cm}~~ T)\big ) \\		:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos \big ({\pi/2 \cdot t}/T \big ) \\
	0 \\ \end{array} \right.\quad		0 \\ \end{array} \right.\quad
	\begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}}		\begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}}

Guenter am 23. April 2020 um 16:41 Uhr

2020-04-23T16:41:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. April 2020, 18:41 Uhr
Zeile 280:		Zeile 280:
	<br>		<br>
	Ein Vorteil der MSK ist der geringe Bandbreitenbedarf, weil:   '''Bandbreite ist stets teuer'''.		Ein Vorteil der MSK ist der geringe Bandbreitenbedarf, weil:   '''Bandbreite ist stets teuer'''.
	*Durch eine geringfügige Modifikation hin zum ''Gaussian Minimum Shift Keying'' (GMSK) wird das Spektrum weiter verschmälert.		*Durch eine geringfügige Modifikation hin zum  '''Gaussian Minimum Shift Keying'''  $\rm (GMSK)$  wird das Spektrum weiter verschmälert.
	*Diese Modulationsart wird zum Beispiel beim Mobilfunkstandard  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM\|GSM]]  angewendet.		*Diese Modulationsart wird zum Beispiel beim Mobilfunkstandard  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM\|GSM]]  angewendet.


	[[Datei:P_ID1748__Mod_T_4_4_S9_neu.png \|~~center~~\|frame\| Signalverläufe bei Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK)]]		[[Datei:P_ID1748__Mod_T_4_4_S9_neu.png \|right\|frame\| Signalverläufe bei Gaussian Minimum Shift Keying  $\rm (GMSK)$]]

	Aus der Grafik erkennt man:		Aus der Grafik erkennt man:
	*Der Frequenzimpuls  $g(t)= g_{\rm G}(t)$  ist nun nicht mehr rechteckförmig wie  $g_{\rm R}(t)$, sondern weist flachere Flanken auf.		*Der Frequenzimpuls  $g(t)= g_{\rm G}(t)$  ist nun nicht mehr rechteckförmig wie  $g_{\rm R}(t)$, sondern weist flachere Flanken auf.
	*Dadurch ergibt sich ein weicherer Phasenverlauf am Punkt '''(3)''' als bei  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#MSK_.E2.80.93_Minimum_Shift_Keying\|MSK]], bei dem  $ϕ(t)$  symbolweise linear ansteigt ~~bzw.~~ abfällt.
	*Man erreicht die sanfteren GMSK–Phasenübergänge durch einen  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass\|Gaußtiefpass]]. Dessen Frequenzgang und Impulsantwort lauten mit der systemtheoretischen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:
			*Dadurch ergibt sich ein weicherer Phasenverlauf am Punkt  '''(3)'''  als bei  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#MSK_.E2.80.93_Minimum_Shift_Keying\|MSK]], bei dem  $ϕ(t)$  symbolweise linear ansteigt / abfällt.


			*Man erreicht die sanfteren GMSK–Phasenübergänge durch einen  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass\|Gaußtiefpass]].  Dessen Frequenzgang und Impulsantwort lauten mit der systemtheoretischen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:
	:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 \cdot f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}		:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 \cdot f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
	h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 \cdot f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm}.$$		h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 \cdot f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm}.$$
	*Der resultierende Frequenzimpuls  $g(t)$  am Punkt '''(2)''' ergibt sich aus der Faltung von  $g_{\rm R}(t)$  und  $h_{\rm G}(t)$.		*Der resultierende Frequenzimpuls  $g(t)$  am Punkt  '''(2)'''  ergibt sich aus der Faltung von  $g_{\rm R}(t)$  und  $h_{\rm G}(t)$.
	*Das Signal  $s(t)$  am Punkt '''(4)''' weist bei GMSK nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf wie bei MSK, auch wenn dies aus obiger Grafik mit bloßem Auge schwer zu erkennen ist.



			*Das Signal  $s(t)$  am Punkt  '''(4)'''  weist bei GMSK nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf wie bei MSK, auch wenn dies aus obiger Grafik mit bloßem Auge schwer zu erkennen ist.
			<br clear=all>
	{{GraueBox\|TEXT=$\text{Beispiel 3:}$  Beim GSM–Verfahren ist die 3dB–Grenzfrequenz mit  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  spezifiziert, wobei zwischen der systemtheoretischen und der 3dB–Grenzfrequenz folgender Zusammenhang besteht:		{{GraueBox\|TEXT=$\text{Beispiel 3:}$  Beim GSM–Verfahren ist die 3dB–Grenzfrequenz mit  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  spezifiziert, wobei zwischen der systemtheoretischen und der 3dB–Grenzfrequenz folgender Zusammenhang besteht:
	:$$H_{\rm G}(f= f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}dB}) = {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}{dB} } }/{2 f_{\rm G} })^2} =		:$$H_{\rm G}(f= f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}dB}) = {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}{dB} } }/{2 f_{\rm G} })^2} =
	{1}/{\sqrt{2} }~~\hspace{0.15cm}~~\Rightarrow\hspace{0.15cm}		{1}/{\sqrt{2} }$$
			:$$\Rightarrow\hspace{0.15cm}
	f_{\rm 3 dB} = f_{\rm G} \cdot \sqrt { {4}/{\pi}\cdot {\rm ln		f_{\rm 3 dB} = f_{\rm G} \cdot \sqrt { {4}/{\pi}\cdot {\rm ln
	}\sqrt{2} }\approx {2}/{3}\cdot f_{\rm G}		}\sqrt{2} }\approx {2}/{3}\cdot f_{\rm G}

Guenter am 23. April 2020 um 12:49 Uhr

2020-04-23T12:49:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. April 2020, 14:49 Uhr
Zeile 269:		Zeile 269:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$  Die '''Continuous Phase Modulation''' (CPM) ist keine Phasenmodulation, sondern ~~stellt~~ eine ''nichtlineare digitale Frequenzmodulation'' (FSK) ~~dar~~, mit dem Ziel		$\text{Fazit:}$  Die  '''Continuous Phase Modulation'''  $\rm (CPM)$  ist keine Phasenmodulation, sondern ist eine  '''nichtlineare digitale Frequenzmodulation'''  $\rm (FSK)$, mit dem Ziel
	*eine konstante Betragseinhüllende zu garantieren (Einbrüche der Hüllkurve führen schon bei geringen Nichtlinearitäten zu Problemen), ~~und~~		*eine konstante Betragseinhüllende zu garantieren  (Einbrüche der Hüllkurve führen schon bei geringen Nichtlinearitäten zu Problemen),
	*einen stetigen Phasenverlauf zu ermöglichen (Phasensprünge verbreitern das Spektrum).		*einen stetigen Phasenverlauf zu ermöglichen  (Phasensprünge verbreitern das Spektrum).


	Für genauere Informationen verweisen wir auf die Fachliteratur, zum Beispiel auf das empfehlenswerte Buch '''[Kam04]'''<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>. }}		Für genauere Informationen verweisen wir auf die Fachliteratur, zum Beispiel auf das empfehlenswerte Buch  '''[Kam04]'''<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>. }}

Guenter am 23. April 2020 um 12:25 Uhr

2020-04-23T12:25:33Z

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Guenter am 22. April 2020 um 16:37 Uhr

2020-04-22T16:37:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. April 2020, 18:37 Uhr
Zeile 114:		Zeile 114:
	<br>		<br>
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Man spricht von '''orthogonaler FSK''',		$\text{Definition:}$  Man spricht von  '''orthogonaler FSK''',
	*wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von  $0.5$  ist, und damit		*wenn der Modulationsindex  $h$  ein ganzzahliges Vielfaches von  $0.5$  ist, und damit
	*der Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$  ein ganzzahliges Vielfaches von  $0.25/T$.}}		*der Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$  ein ganzzahliges Vielfaches von  $0.25/T$.}}


	Beim kohärenten Demodulator ist der Korrelationskoeffizient zwischen  $d_{+1}(T_{\rm D})$  und  $d_{–1}(T_{\rm D})$  zu allen Detektionszeitpunkten gleich Null. Der Betrag  $\|d(T_{\rm D})\|$ – also der Abstand der Detektionsabtastwerte von der Schwelle – ist somit konstant. Es treten keine Impulsinterferenzen auf.		Beim kohärenten Demodulator ist der Korrelationskoeffizient zwischen  $d_{+1}(T_{\rm D})$  und  $d_{–1}(T_{\rm D})$  zu allen Detektionszeitpunkten gleich Null.  Der Betrag  $\|d(T_{\rm D})\|$ – also der Abstand der Detektionsabtastwerte von der Schwelle – ist somit konstant.  Es treten keine Impulsinterferenzen auf.

	Geht man von den Voraussetzungen		Geht man von den Voraussetzungen
	*orthogonale FSK,		*orthogonale FSK,
	*AWGN–Kanal (gekennzeichnet durch den Quotienten  $E_{\rm B}/N_0)$, und		*AWGN–Kanal  $($gekennzeichnet durch den Quotienten  $E_{\rm B}/N_0)$, und
	*der hier beschriebenen kohärenten Demodulation		*der hier beschriebenen kohärenten Demodulation


	aus, so ergibt sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu:		aus, so ergibt sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{~~\frac~~{E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right		:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
	) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{~~\frac~~{E_{\rm B}}{2 ~~\cdot~~ N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$		) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/(2 N_0 }) \hspace{0.1cm}\right ).$$

	Dies entspricht  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick\|gegenüber der BPSK]]  einer Degradation von  $3 \ \rm dB$, weil		Dies entspricht  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick\|gegenüber der BPSK]]  einer Degradation von  $3 \ \rm dB$, weil
Zeile 137:		Zeile 137:


	Während aber bei der BPSK eine nichtkohärente Demodulation auf keinen Fall möglich ist, gibt es auch einen ''nichtkohärenten FSK–Demodulator'', allerdings mit etwas erhöhter Fehlerwahrscheinlichkeit:		Während aber bei der binären Phasenmodulation (BPSK) eine nichtkohärente Demodulation auf keinen Fall möglich ist, gibt es auch einen  ''nichtkohärenten FSK–Demodulator'', allerdings mit etwas erhöhter Fehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$
	Die Herleitung dieser Gleichung erfolgt im Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_nichtkohärenter_Demodulation\|Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]]  des Buches „Digitalsignalübertragung”.		Die Herleitung dieser Gleichung erfolgt im Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_nichtkohärenter_Demodulation\|Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]]  des Buches „Digitalsignalübertragung”.
Zeile 143:		Zeile 143:
	==Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung==		==Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung==
	<br>		<br>
	Wir betrachten weiter die orthogonale FSK. Die Grafik zeigt oben das Quellensignal  $q(t)$  und und darunter gezeichnet das FSK–Signal  $s_{\rm A}(t)$  mit dem Frequenzhub  $Δf_{\rm A} = 1/T$   ⇒   Modulationsindex  $h = 2 · Δf_{\rm A} · T = 2$.		Wir betrachten weiter die orthogonale FSK.  Die Grafik zeigt oben das Quellensignal  $q(t)$  und und darunter gezeichnet das FSK–Signal  $s_{\rm A}(t)$  mit dem Frequenzhub  $Δf_{\rm A} = 1/T$   ⇒   Modulationsindex  $h = 2 · Δf_{\rm A} · T = 2$.  Zu den weiteren Signalverläufen ist Folgendes anzumerken:

	[[Datei:P_ID1731__Mod_T_4_4_S5_neu.png \|~~center~~\|frame\| FSK–Signale mit  $h = 2$,  $h = 1$  und  $h = 0.5$, teilweise mit Phasenanpassung]]		[[Datei:P_ID1731__Mod_T_4_4_S5_neu.png \|right\|frame\| Binäres FSK–Signale mit  $h = 2$,  $h = 1$  und  $h = 0.5$, teilweise mit Phasenanpassung]]

			* Das FSK–Signal  $s_{\rm B}(t)$  verwendet die Momentanfrequenzen  $f_{+1} = 4.5/T$,  $f_{–1} = 3.5/T$   ⇒   $Δf_{\rm A} ·T = 0.5$   ⇒   $h = 1.$ Diese FSK ist wegen $h = 1$  $($Vielfaches von  $0.5)$ ebenfalls orthogonal.  Bei kleinerem  $h$  ist aber die Bandbreiteneffizienz besser   ⇒   das Spektrum  $S_{\rm B}(f)$  ist schmäler als  $S_{\rm A}(f)$.


			*Allerdings erkennt man im Signal  $s_{\rm B}(t)$  an jeder Symbolgrenze einen Phasensprung um  $π$, wodurch sich wieder eine Verbreiterung des Spektrums ergibt.  Solche Phasensprünge lassen sich durch Phasenanpassung vermeiden.  Man spricht dann von  '''Continuous Phase Modulation'''  $\rm (CPM)$.


			*Auch beim CPM–Signal  $s_{\rm C}(t)$  gilt  $f_{+1} = 4.5/T, f_{–1} = 3.5/T$  und  $h = 1$.  Im Bereich  $0$ ... $T$  wird der Koeffizient  $a_1 = +1$  mit  $\cos (2π·f_{+1}·t)$  repräsentiert,  im Bereich  $T$ ... $2T$  wird dagegen der ebenfalls positive Koeffizient  $a_2 = +1$  durch die um  $π$  verschobene Funktion  $\ –\cos (2π·f_{+1}·t)$  dargestellt.


			*Der Modulationsindex  $h = 0.5$  von Signal  $s_{\rm D}(t)$  ist der kleinste Wert, der eine orthogonale FSK ermöglicht   ⇒   Bezeichnung  '''Minimum Shift Keying'''  $\rm (MSK)$.  Bei MSK sind bei jeder Symbolgrenze – je nach den vorherigen Symbolen – vier unterschiedliche Anfangsphasen möglich.

	~~Zu den weiteren Signalverläufen ist Folgendes anzumerken:~~
	* Das FSK–Signal  $s_{\rm B}(t)$  verwendet die Momentanfrequenzen  $f_{+1} = 4.5/T$  und  $f_{–1} = 3.5/T$   ⇒   $Δf_{\rm A} ·T = 0.5$   ⇒   $h = 1.$ Auch diese FSK ist orthogonal, da  $h = 1$  ein Vielfaches von  $0.5$ ist. Bei kleinerem  $h$  ist aber die Bandbreiteneffizienz besser   ⇒   das Spektrum  $S_{\rm B}(f)$  ist weniger breit als das Spektrum  $S_{\rm A}(f)$.
	*Allerdings erkennt man im Signal  $s_{\rm B}(t)$  an jeder Symbolgrenze einen Phasensprung um  $π$, wodurch sich wieder eine Verbreiterung des Spektrums ergibt. Solche Phasensprünge lassen sich durch Phasenanpassung vermeiden. Man spricht dann von '''Continuous Phase Modulation''' (CPM).
	*Auch beim CPM–Signal  $s_{\rm C}(t)$  gilt  $f_{+1} = 4.5/T, f_{–1} = 3.5/T$  und  $h = 1$. Im Bereich von  $0$ ... $T$  wird der Koeffizient  $a_1 = +1$  mit  $\cos (2π·f_{+1}·t)$  repräsentiert, im Bereich  $T$ ... $2T$  wird dagegen der ebenfalls positive Koeffizient  $a_2 = +1$  durch die um  $π$  verschobene Funktion  $\ –\cos (2π·f_{+1}·t)$  dargestellt.
	*Der Modulationsindex  $h = 0.5$  von Signal  $s_{\rm D}(t)$  ist der kleinstmögliche Wert, der eine orthogonale FSK ermöglicht   ⇒   Bezeichnung '''Minimum Shift Keying''' (MSK). Bei MSK sind bei jeder Symbolgrenze – je nach den vorherigen Symbolen – vier unterschiedliche Anfangsphasen möglich.

Guenter am 22. April 2020 um 16:04 Uhr

2020-04-22T16:04:50Z

Guenter am 22. April 2020 um 15:30 Uhr

2020-04-22T15:30:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. April 2020, 17:30 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Ein '''lineares Modulationsverfahren''' liegt vor, wenn eine beliebige Linearkombination von Signalen am Modulatoreingang zu einer entsprechenden Linearkombination an dessen Ausgang führt. Andernfalls spricht man von '''nichtlinearer Modulation'''. }}		$\text{Definition:}$  Ein  '''lineares Modulationsverfahren'''  liegt vor, wenn eine beliebige Linearkombination von Signalen am Modulatoreingang zu einer entsprechenden Linearkombination an dessen Ausgang führt.  Andernfalls spricht man von  '''nichtlinearer Modulation'''. }}


	~~Die Grafik zeigt~~ einige ~~der~~ Unterschiede ~~hinsichtlich der oben angegebenen Klassifizierungen~~.		Am  [[Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#Analoges_.C3.9Cbertragungssystem_vs._digitales_.C3.9Cbertragungssystem\|Kapitelanfang]]  wurde bereits darauf hingewiesen, dass der wesentliche Unterschied zwischen einem analogen und einem digitalen Modulationsverfahren darin besteht, dass beim ersten ein analoges Quellensignal  $q(t)$  anliegt und beim zweiten ein Digitalsignal.  Bei genauerer Betrachtung wird man jedoch feststellen, dass es zwischen diesen Verfahren noch einige Unterschiede mehr gibt.  Darauf wird im Folgenden genauer eingegangen.

	~~[[Datei:P_ID1737__Mod_T_4_4_S1~~.~~png \|center\|frame\| Analoge und digitale AM–, PM– und FM–Verfahren]]~~		Die folgende Grafik zeigt einige der Unterschiede hinsichtlich der oben angegebenen Klassifizierungen.

	~~Am  ~~[[~~Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#Analoges_~~.~~C3.9Cbertragungssystem_vs._digitales_.C3.9Cbertragungssystem~~\|~~Kapitelanfang]]  wurde bereits darauf hingewiesen, dass der wesentliche Unterschied zwischen einem analogen~~ und ~~einem digitalen Modulationsverfahren darin besteht~~, ~~dass beim ersten ein analoges Quellensignal  $q(t)$  anliegt~~ und beim zweiten ein Digitalsignal. Bei genauerer Betrachtung wird man jedoch feststellen, dass es zwischen diesen Verfahren noch einige Unterschiede mehr gibt. Darauf wird im Folgenden genauer eingegangen.		[[Datei:P_ID1737__Mod_T_4_4_S1.png \|right\|frame\| Analoge und digitale AM–, PM– und FM–Verfahren]]

	*Die  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation\|analoge Amplitudenmodulation]]  (AM) ist ein lineares ~~Modulationsverfahren~~. Die Ortskurve – also das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t)$  dargestellt in der komplexen Ebene – ist eine Gerade.		*Die  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation\|analoge Amplitudenmodulation]]  $\rm (AM)$  ist ein lineares Verfahren.  Die Ortskurve – also das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t)$  dargestellt in der komplexen Ebene – ist eine Gerade.

			*Zwischen  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)\|analoger Phasenmodulation]]  $\rm (PM)$  und  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)\|analoger Frequenzmodulation]]  $\rm (FM)$  gibt es viele Gemeinsamkeiten   ⇒  gemeinsame Beschreibung als ''Winkelmodulation''  $\rm (WM)$.  Die Ortskurve ist hier ein Kreisbogen.  Bei einer harmonischen Schwingung gibt es ein Linienspektrum  $S(f)$  bei Vielfachen der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}$  um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.

	*~~Zwischen der~~  [[Modulationsverfahren/~~Phasenmodulation_(PM)\|analogen Phasenmodulation]]  (PM) und der  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)~~\|~~analogen Frequenzmodulation~~]]~~  (FM) gibt es viele Gemeinsamkeiten   ⇒~~  ~~gemeinsame Beschreibung als~~ ''~~Winkelmodulation~~'' ~~(WM). Hier ist die Ortskurve ein Kreisbogen. Bei einer harmonischen Schwingung gibt es ein Linienspektrum~~  $S(f)$  ~~bei Vielfachen der Nachrichtenfrequenz~~  $~~f_{~~\rm N}$  ~~um die Trägerfrequenz~~  ~~$f_{\rm T}$~~.		*Die  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying\|digitale Amplitudenmodulation]], die man entweder als  ''Amplitude Shift Keying''  $\rm (ASK)$  oder als ''On–Off–Keying''  $\rm (OOK)$  bezeichnet, ist ebenfalls linear.  Die Ortskurve besteht im binären Fall nur noch aus zwei Punkten.

			*Da sich die   [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying\|binäre Phasenmodulation]]  $($''Binary Phase Shift Keying'',  $\rm BPSK)$  als  $\rm ASK$  mit bipolaren Amplitudenkoeffizienten darstellen lässt, ist diese ebenfalls linear.  Die Form des BPSK–Leistungsdichtespektrums wird wesentlich bestimmt durch das Betragsquadratspektrum  $\|G_s(f)\|^2$  des Sendegrundimpulses.

	*Die  ~~[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation~~#~~ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying\|digitale Amplitudenmodulation]],~~ die ~~man entweder~~ als ~~''Amplitude Shift Keying''~~ (~~ASK~~) ~~oder als ''On–Off–Keying''~~ (~~OOK~~) ~~bezeichnet~~, ~~ist ebenfalls linear. Die Ortskurve besteht im binären Fall nur noch aus zwei Punkten~~.		*Das bedeutet aber auch:
			:#  Die BPSK–Spektralfunktion ist im Gegensatz zur analogen Phasenmodulation einer harmonischen Schwingung (nur eine Frequenz!) kontinuierlich in  $f$.
			:#  Würde man die BPSK als (analoge) Phasenmodulation mit digitalem Quellensignal  $q(t)$  betrachten, so müssten zur Berechnung von  ${\it Φ}_s(f)$  unendlich viele Bessel–Linienspektren miteinander gefaltet werden, wenn man  $Q(f)$  als unendliche Summe von Einzelfrequenzen darstellt.

			*Da man die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM\|Quadratur–Amplitudenmodulation]]  mit vier Signalraumpunkten  $\rm (4–QAM)$  auch als Summe zweier zueinander orthogonaler,  quasi–unabhängiger BPSK–Systeme beschreiben kann, stellt auch diese ein lineares Modulationsverfahren dar.  Gleiches gilt für die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Quadratische_QAM.E2.80.93Signalraumkonstellationen\|höherstufigen QAM–Verfahren]]  wie  $\rm 16–QAM$,   $\rm 64–QAM$, ...

	*~~Da sich die~~  ~~[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying\|binäre Phasenmodulation]]  (~~''~~Binary~~ Phase Shift Keying'', BPSK) als ASK mit bipolaren Amplitudenkoeffizienten darstellen lässt, ist diese ebenfalls linear. Die Form des BPSK–Leistungsdichtespektrums wird wesentlich durch das Betragsquadratspektrum  $\|G_s(f)\|^2$  des Sendegrundimpulses bestimmt.		*Ein höherstufiges  ''Phase Shift Keying'', zum Beispiel die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen\|$\rm 8–PSK$]], ist nur in Sonderfällen linear, siehe [Klo01]<ref name="Klo01">Klostermeyer, R.: ''Digitale Modulation''. Braunschweig: Vieweg, 2001.</ref>.  Die digitale Frequenzmodulation  $($''Frequency Shift Keying'',  $\rm FSK)$  ist stets nichtlinear.  Dieses Verfahren wird Im Folgenden beschrieben, wobei wir uns auf den binären Fall  $\rm (2-FSK)$  beschränken.


	*Das bedeutet aber auch:   Die Spektralfunktion der BPSK ist im Gegensatz zur analogen Phasenmodulation einer harmonischen Schwingung (nur eine Frequenz!) kontinuierlich in  $f$. Würde man die BPSK als (analoge) Phasenmodulation mit digitalem Quellensignal  $q(t)$  betrachten, so müssten zur Berechnung von  ${\it Φ}_s(f)$  unendlich viele Bessel–Linienspektren miteinander gefaltet werden, wenn man  $Q(f)$  als unendliche Summe von Einzelfrequenzen darstellt.


	*Da die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM\|Quadratur–Amplitudenmodulation]]  mit vier Signalraumpunkten (4–QAM) auch als Summe zweier zueinander orthogonaler und damit quasi–unabhängiger BPSK–Systeme beschrieben werden kann, stellt auch diese ein lineares Modulationsverfahren dar. Gleiches gilt für die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Quadratische_QAM.E2.80.93Signalraumkonstellationen\|höherstufigen QAM–Verfahren]]  wie 16–QAM, 64–QAM, ...


	*Eine höherstufige PSK, zum Beispiel die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen\|8–PSK]], ist nur in Sonderfällen linear, siehe [Klo01]<ref name="Klo01">Klostermeyer, R.: ''Digitale Modulation''. Braunschweig: Vieweg, 2001.</ref>. Die digitale Frequenzmodulation (''Frequency Shift Keying'', FSK) ist stets nichtlinear. Dieses Verfahren wird ~~nachfolgend~~ beschrieben, wobei wir uns auf ~~die binäre~~ FSK beschränken.

	==FSK – Frequency Shift Keying==		==FSK – Frequency Shift Keying==

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Ein '''lineares Modulationsverfahren''' liegt vor, wenn eine beliebige Linearkombination von Signalen am Modulatoreingang zu einer entsprechenden Linearkombination an dessen Ausgang führt. Andernfalls spricht man von '''nichtlinearer Modulation'''. }}		$\text{Definition:}$  Ein  '''lineares Modulationsverfahren'''  liegt vor, wenn eine beliebige Linearkombination von Signalen am Modulatoreingang zu einer entsprechenden Linearkombination an dessen Ausgang führt.  Andernfalls spricht man von  '''nichtlinearer Modulation'''. }}


	~~Die Grafik zeigt~~ einige ~~der~~ Unterschiede ~~hinsichtlich der oben angegebenen Klassifizierungen~~.		Am  [[Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#Analoges_.C3.9Cbertragungssystem_vs._digitales_.C3.9Cbertragungssystem\|Kapitelanfang]]  wurde bereits darauf hingewiesen, dass der wesentliche Unterschied zwischen einem analogen und einem digitalen Modulationsverfahren darin besteht, dass beim ersten ein analoges Quellensignal  $q(t)$  anliegt und beim zweiten ein Digitalsignal.  Bei genauerer Betrachtung wird man jedoch feststellen, dass es zwischen diesen Verfahren noch einige Unterschiede mehr gibt.  Darauf wird im Folgenden genauer eingegangen.

	~~[[Datei:P_ID1737__Mod_T_4_4_S1~~.~~png \|center\|frame\| Analoge und digitale AM–, PM– und FM–Verfahren]]~~		Die folgende Grafik zeigt einige der Unterschiede hinsichtlich der oben angegebenen Klassifizierungen.

	~~Am  ~~[[~~Modulationsverfahren/Zielsetzung_von_Modulation_und_Demodulation#Analoges_~~.~~C3.9Cbertragungssystem_vs._digitales_.C3.9Cbertragungssystem~~\|~~Kapitelanfang]]  wurde bereits darauf hingewiesen, dass der wesentliche Unterschied zwischen einem analogen~~ und ~~einem digitalen Modulationsverfahren darin besteht~~, ~~dass beim ersten ein analoges Quellensignal  $q(t)$  anliegt~~ und beim zweiten ein Digitalsignal. Bei genauerer Betrachtung wird man jedoch feststellen, dass es zwischen diesen Verfahren noch einige Unterschiede mehr gibt. Darauf wird im Folgenden genauer eingegangen.		[[Datei:P_ID1737__Mod_T_4_4_S1.png \|right\|frame\| Analoge und digitale AM–, PM– und FM–Verfahren]]

	*Die  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation\|analoge Amplitudenmodulation]]  (AM) ist ein lineares ~~Modulationsverfahren~~. Die Ortskurve – also das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t)$  dargestellt in der komplexen Ebene – ist eine Gerade.		*Die  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation\|analoge Amplitudenmodulation]]  $\rm (AM)$  ist ein lineares Verfahren.  Die Ortskurve – also das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t)$  dargestellt in der komplexen Ebene – ist eine Gerade.

			*Zwischen  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)\|analoger Phasenmodulation]]  $\rm (PM)$  und  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)\|analoger Frequenzmodulation]]  $\rm (FM)$  gibt es viele Gemeinsamkeiten   ⇒  gemeinsame Beschreibung als ''Winkelmodulation''  $\rm (WM)$.  Die Ortskurve ist hier ein Kreisbogen.  Bei einer harmonischen Schwingung gibt es ein Linienspektrum  $S(f)$  bei Vielfachen der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}$  um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.

	*~~Zwischen der~~  [[Modulationsverfahren/~~Phasenmodulation_(PM)\|analogen Phasenmodulation]]  (PM) und der  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)~~\|~~analogen Frequenzmodulation~~]]~~  (FM) gibt es viele Gemeinsamkeiten   ⇒~~  ~~gemeinsame Beschreibung als~~ ''~~Winkelmodulation~~'' ~~(WM). Hier ist die Ortskurve ein Kreisbogen. Bei einer harmonischen Schwingung gibt es ein Linienspektrum~~  $S(f)$  ~~bei Vielfachen der Nachrichtenfrequenz~~  $~~f_{~~\rm N}$  ~~um die Trägerfrequenz~~  ~~$f_{\rm T}$~~.		*Die  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying\|digitale Amplitudenmodulation]], die man entweder als  ''Amplitude Shift Keying''  $\rm (ASK)$  oder als ''On–Off–Keying''  $\rm (OOK)$  bezeichnet, ist ebenfalls linear.  Die Ortskurve besteht im binären Fall nur noch aus zwei Punkten.

			*Da sich die   [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying\|binäre Phasenmodulation]]  $($''Binary Phase Shift Keying'',  $\rm BPSK)$  als  $\rm ASK$  mit bipolaren Amplitudenkoeffizienten darstellen lässt, ist diese ebenfalls linear.  Die Form des BPSK–Leistungsdichtespektrums wird wesentlich bestimmt durch das Betragsquadratspektrum  $\|G_s(f)\|^2$  des Sendegrundimpulses.

	*Die  ~~[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation~~#~~ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying\|digitale Amplitudenmodulation]],~~ die ~~man entweder~~ als ~~''Amplitude Shift Keying''~~ (~~ASK~~) ~~oder als ''On–Off–Keying''~~ (~~OOK~~) ~~bezeichnet~~, ~~ist ebenfalls linear. Die Ortskurve besteht im binären Fall nur noch aus zwei Punkten~~.		*Das bedeutet aber auch:
			:#  Die BPSK–Spektralfunktion ist im Gegensatz zur analogen Phasenmodulation einer harmonischen Schwingung (nur eine Frequenz!) kontinuierlich in  $f$.
			:#  Würde man die BPSK als (analoge) Phasenmodulation mit digitalem Quellensignal  $q(t)$  betrachten, so müssten zur Berechnung von  ${\it Φ}_s(f)$  unendlich viele Bessel–Linienspektren miteinander gefaltet werden, wenn man  $Q(f)$  als unendliche Summe von Einzelfrequenzen darstellt.

			*Da man die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM\|Quadratur–Amplitudenmodulation]]  mit vier Signalraumpunkten  $\rm (4–QAM)$  auch als Summe zweier zueinander orthogonaler,  quasi–unabhängiger BPSK–Systeme beschreiben kann, stellt auch diese ein lineares Modulationsverfahren dar.  Gleiches gilt für die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Quadratische_QAM.E2.80.93Signalraumkonstellationen\|höherstufigen QAM–Verfahren]]  wie  $\rm 16–QAM$,   $\rm 64–QAM$, ...

	*~~Da sich die~~  ~~[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying\|binäre Phasenmodulation]]  (~~''~~Binary~~ Phase Shift Keying'', BPSK) als ASK mit bipolaren Amplitudenkoeffizienten darstellen lässt, ist diese ebenfalls linear. Die Form des BPSK–Leistungsdichtespektrums wird wesentlich durch das Betragsquadratspektrum  $\|G_s(f)\|^2$  des Sendegrundimpulses bestimmt.		*Ein höherstufiges  ''Phase Shift Keying'', zum Beispiel die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen\|$\rm 8–PSK$]], ist nur in Sonderfällen linear, siehe [Klo01]<ref name="Klo01">Klostermeyer, R.: ''Digitale Modulation''. Braunschweig: Vieweg, 2001.</ref>.  Die digitale Frequenzmodulation  $($''Frequency Shift Keying'',  $\rm FSK)$  ist stets nichtlinear.  Dieses Verfahren wird Im Folgenden beschrieben, wobei wir uns auf den binären Fall  $\rm (2-FSK)$  beschränken.


	*Das bedeutet aber auch:   Die Spektralfunktion der BPSK ist im Gegensatz zur analogen Phasenmodulation einer harmonischen Schwingung (nur eine Frequenz!) kontinuierlich in  $f$. Würde man die BPSK als (analoge) Phasenmodulation mit digitalem Quellensignal  $q(t)$  betrachten, so müssten zur Berechnung von  ${\it Φ}_s(f)$  unendlich viele Bessel–Linienspektren miteinander gefaltet werden, wenn man  $Q(f)$  als unendliche Summe von Einzelfrequenzen darstellt.


	*Da die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM\|Quadratur–Amplitudenmodulation]]  mit vier Signalraumpunkten (4–QAM) auch als Summe zweier zueinander orthogonaler und damit quasi–unabhängiger BPSK–Systeme beschrieben werden kann, stellt auch diese ein lineares Modulationsverfahren dar. Gleiches gilt für die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Quadratische_QAM.E2.80.93Signalraumkonstellationen\|höherstufigen QAM–Verfahren]]  wie 16–QAM, 64–QAM, ...


	*Eine höherstufige PSK, zum Beispiel die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen\|8–PSK]], ist nur in Sonderfällen linear, siehe [Klo01]<ref name="Klo01">Klostermeyer, R.: ''Digitale Modulation''. Braunschweig: Vieweg, 2001.</ref>. Die digitale Frequenzmodulation (''Frequency Shift Keying'', FSK) ist stets nichtlinear. Dieses Verfahren wird ~~nachfolgend~~ beschrieben, wobei wir uns auf ~~die binäre~~ FSK beschränken.

	==FSK – Frequency Shift Keying==		==FSK – Frequency Shift Keying==

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	==FSK – Frequency Shift Keying==		==FSK – Frequency Shift Keying==
	<br>		<br>
	Wir gehen hier aus vom Sendesignal der analogen Frequenzmodulation,		Wir gehen hier aus
			*vom Sendesignal der analogen Frequenzmodulation,
	:$$s(t) = s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [\psi(t)\big ] \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} \psi(t) = 2\pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + K_{\rm FM} \cdot \int q(t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t,$$		:$$s(t) = s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [\psi(t)\big ] \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} \psi(t) = 2\pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + K_{\rm FM} \cdot \int q(t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t,$$
	~~sowie~~ dem rechteckförmigen Binärsignal mit  $a_ν ∈ \{+1, –1\}$   ⇒   bipolare Signalisierung:		*dem rechteckförmigen Binärsignal mit  $a_ν ∈ \{+1, –1\}$   ⇒   bipolare Signalisierung:
	:$$q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_s (t - \nu		:$$q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_s (t - \nu
	\cdot T) \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} g_s(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c}		\cdot T) \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} g_s(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c}
	0 < t < T\hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$		0 < t < T\hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
	Fasst man die Amplitude  $A$  und die Modulatorkonstante  $K_{\rm FM}$  zum Frequenzhub (Definition siehe unten)		Fasst man die Amplitude  $A$  und die Modulatorkonstante  $K_{\rm FM}$  zum Frequenzhub  (Definition siehe unten)
	:$${\rm \Delta}f_{\rm A} = \frac{A \cdot K_{\rm FM}}{2 \pi}$$		:$${\rm \Delta}f_{\rm A} = \frac{A \cdot K_{\rm FM}}{2 \pi}$$
	zusammen, so lautet das '''FSK–Sendesignal''' im  $ν$–ten Zeitintervall:		zusammen, so lautet das  '''FSK–Sendesignal'''  im  $ν$–ten Zeitintervall:
	:$$s(t) = s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$		:$$s(t) = s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$
	Dieses lässt sich mit den beiden möglichen Signalfrequenzen		Dieses lässt sich mit den beiden möglichen Signalfrequenzen
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	auch in folgender Form schreiben:		auch in folgender Form schreiben:
	:$$s(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t ) \\ s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} a_{ \nu} = +1 \hspace{0.05cm}, \\ a_{ \nu} = -1\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$		:$$s(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t ) \\ s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} a_{ \nu} = +1 \hspace{0.05cm}, \\ a_{ \nu} = -1\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
	Zu jedem Zeitpunkt tritt also stets nur eine der beiden Frequenzen  $f_{+1}$  und  $f_{–1}$  auf. Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ selbst kommt im Signal nicht vor.		*Zu jedem Zeitpunkt tritt also stets nur eine der beiden Frequenzen  $f_{+1}$  und  $f_{–1}$  auf.
			*Die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  selbst kommt im Signal nicht vor.


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Der '''Frequenzhub'''  $Δf_{\rm A}$  ist in gleicher Weise definiert wie bei der analogen Frequenzmodulation, nämlich als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t)$  von der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$. ~~Häufig~~ wird der Frequenzhub in der Literatur auch mit  $Δf$  bzw.  $F$  bezeichnet. }}		$\text{Definition:}$  Der  '''Frequenzhub'''  $Δf_{\rm A}$  ist in gleicher Weise definiert wie bei der analogen Frequenzmodulation, nämlich als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t)$  von der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.  Manchmal wird der Frequenzhub in der Literatur auch mit  $Δf$  bzw.  $F$  bezeichnet. }}


	Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße ist in diesem Zusammenhang der Modulationsindex, der ebenfalls bereits bei der analogen Frequenzmodulation als  $η = Δf_{\rm A}/f_{\rm N}$  definiert wurde. Bei der FSK ist eine etwas andere Definition erforderlich, was hier durch einen anderen Kennbuchstaben berücksichtigt wird:   $η   ⇒   h$.		Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße ist in diesem Zusammenhang der &bdquo;Modulationsindex”, der ebenfalls bereits bei der analogen Frequenzmodulation als  $η = Δf_{\rm A}/f_{\rm N}$  definiert wurde.  Bei der FSK ist eine etwas andere Definition erforderlich, was hier durch einen anderen Kennbuchstaben berücksichtigt wird:   $η   ⇒   h$.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Bei digitaler Frequenzmodulation (FSK) bezeichnet der '''Modulationsindex'''  $h$  das Verhältnis aus dem Gesamtfrequenzhub und der Symbolrate  $1/T$:		$\text{Definition:}$  Bei digitaler Frequenzmodulation (FSK) bezeichnet der  '''Modulationsindex'''   $h$  das Verhältnis aus dem Gesamtfrequenzhub und der Symbolrate  $1/T$:
	:$$h = \frac{2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{1/T} = 2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}\cdot T \hspace{0.05cm}.$$		:$$h = \frac{2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{1/T} = 2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}\cdot T \hspace{0.05cm}.$$
	Manchmal wird in der Fachliteratur  $h$  auch als '''Phasenhub''' bezeichnet. }}		Manchmal wird in der Fachliteratur  $h$  auch als  '''Phasenhub'''  bezeichnet. }}


			[[Datei:P_ID1729__Mod_T_4_4_S2_neu.png \|right\|frame\| Signalverläufe  $q(t)$,  $z(t)$  und  $s(t)$  bei binärer FSK]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt unten das FSK–Sendesignal  $s(t)$  für		$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt unten das FSK–Sendesignal  $s(t)$  für
	*das oben skizzierte binäre Quellensignal  $q(t)$  mit Amplitudenwerten  $\pm A =\pm 1 \ \rm V$, und		*das oben skizzierte binäre Quellensignal  $q(t)$  mit Amplitudenwerten  $\pm A =\pm 1 \ \rm V$, und
	*das darunter gezeichnete Trägersignal  $z(t)$  mit vier Schwingungen pro Symboldauer $(f_{\rm T} · T = 4)$.		*das darunter gezeichnete Trägersignal  $z(t)$  mit vier Schwingungen pro Symboldauer  $(f_{\rm T} · T = 4)$.


	Zugrunde liegt der Frequenzhub  $Δf_{\rm A} = 1/T$   ⇒   Modulationsindex  $h = 2$. Die beiden möglichen Frequenzen sind  $f_{\rm +1} = 5/T \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = 3/T \hspace{0.05cm}.$		Zugrunde liegt der Frequenzhub  $Δf_{\rm A} = 1/T$   ⇒   Modulationsindex  $h = 2$.  Die beiden möglichen Frequenzen sind  $f_{\rm +1} = 5/T \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = 3/T \hspace{0.05cm}.$

	~~[[Datei:P_ID1729__Mod_T_4_4_S2_neu.png \|center\|frame\| Signalverläufe  $q(t)$,  $z(t)$ und  $s(t)$ bei binärer FSK]]~~

	Bei einem FSK–Übertragungssystem mit ~~der~~ Bitrate  $1 \ {\rm Mbit/s} \ (T = 1 \ \rm µ s)$  müsste somit die folgende FM–Konstante verwendet werden:		Bei einem FSK–Übertragungssystem mit Bitrate  $1 \ {\rm Mbit/s} \ \ (T = 1 \ \rm µ s)$  müsste somit die folgende FM–Konstante verwendet werden:
	:$$K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{A } = \frac{2 \pi }{A \cdot T } \approx 6.28 \cdot 10^{6}\,\,{\rm V^{-1}s^{-1} }\hspace{0.05cm}.$$}}		:$$K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{A } = \frac{2 \pi }{A \cdot T } \approx 6.28 \cdot 10^{6}\,\,{\rm V^{-1}s^{-1} }\hspace{0.05cm}.$$}}

	==Kohärente Demodulation der FSK==		==Kohärente Demodulation der FSK==
	<br>		<br>
	Die ~~folgende~~ Grafik zeigt den bestmöglichen Demodulator für binäre FSK, der kohärent arbeitet und demzufolge auch Kenntnis über die Phasenlage des FSK–Signals benötigt. Im Blockschaltbild ist dies berücksichtigt, indem das Empfangssignal  $r(t)$  ~~identisch mit~~ dem Sendesignal  $s(t)$  angenommen wurde – siehe Signalverläufe im vorherigen Abschnitt.		Die Grafik zeigt den bestmöglichen Demodulator für binäre FSK, der kohärent arbeitet und demzufolge auch Kenntnis über die Phasenlage des FSK–Signals benötigt.  Im Blockschaltbild ist dies berücksichtigt, indem das Empfangssignal  $r(t)$  gleich dem Sendesignal  $s(t)$  angenommen wurde – siehe Signalverläufe im vorherigen Abschnitt.

	[[Datei:P_ID1730__Mod_T_4_4_S3_neu.png \|~~center~~\|frame\| Kohärenter FSK–Demodulator]]		[[Datei:P_ID1730__Mod_T_4_4_S3_neu.png \|right\|frame\| Kohärenter FSK–Demodulator]]

	Dieser Demodulator arbeitet nach folgendem Prinzip:		Dieser Demodulator arbeitet nach folgendem Prinzip (siehe obere Anordnung):
	*Es handelt sich hierbei um einen  [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#MAP.E2.80.93_und_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidungsregel\|Maximum–Likelihood–Empfänger]]  (ML) in der Realisierungsform mit [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter\|Matched–Filter]]. Dieses Filter mit dem Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  kann bei dem vorausgesetzten rechteckförmigen Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  auch als Integrator realisiert werden.		*Es handelt sich hierbei um einen  [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#MAP.E2.80.93_und_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidungsregel\|Maximum–Likelihood–Empfänger]]  $\rm (ML)$  in der Realisierungsform mit  [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter\|Matched–Filter]].  Dieses Filter mit dem Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  kann bei dem vorausgesetzten rechteckförmigen Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  auch als Integrator realisiert werden.
	*Die Signale  $b_{+1}(t)$  bzw.  $b_{–1}(t)$  vor den Matched–Filtern ergeben sich durch die phasenrichtige Multiplikation mit den Schwingungen der ~~Frequenz~~  $f_{+1}$  bzw.  $f_{–1}$.		*Die beiden Signale  $b_{+1}(t)$  bzw.  $b_{–1}(t)$  vor den jeweiligen Matched–Filtern ergeben sich durch die phasenrichtige Multiplikation mit den Schwingungen der Frequenzen  $f_{+1}$  bzw.  $f_{–1}$.
	*Der Maximum–Likelihood–Empfänger entscheidet sich bekanntlich für den Zweig (das Symbol) mit der größeren „Metrik”, wobei das nachgeschaltete ~~Matched–Filters~~ zu berücksichtigen ist. Das heißt: ~~ ~~ Wahrscheinlich wurde  $a_ν = +1$  gesendet, wenn folgende Relation erfüllt ist:		*Der Maximum–Likelihood–Empfänger entscheidet sich bekanntlich für den Zweig  (das Symbol)  mit der größeren „Metrik”, wobei das nachgeschaltete Matched–Filter zu berücksichtigen ist.  Das heißt:
	:$$d_{\rm +1}(\nu \cdot T) > d_{\rm -1}(\nu \cdot T) ~~\hspace{0.3cm}~~\Rightarrow \hspace{0.3cm}		*Wahrscheinlich wurde  $a_ν = +1$  gesendet, wenn folgende Relation erfüllt ist:
			:$$d_{\rm +1}(\nu \cdot T) > d_{\rm -1}(\nu \cdot T) $$
			:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	d(\nu \cdot T) = d_{\rm +1}(\nu \cdot T) - d_{\rm -1}(\nu \cdot		d(\nu \cdot T) = d_{\rm +1}(\nu \cdot T) - d_{\rm -1}(\nu \cdot
	T) > 0\hspace{0.05cm}.$$		T) > 0\hspace{0.05cm}.$$
	*Das obere Blockschaltbild wurde zum besseren Verständnis in dieser ~~Weise~~ gezeichnet. Natürlich kann man die Matched–Filterung aber auch auf die rechte Seite der Differenzbildung verschieben, wie im unteren Modell dargestellt. ~~Damit~~ muss nur noch ein Filter realisiert werden.
			Das obere Blockschaltbild wurde zum besseren Verständnis entsprechend dieser Beschreibung gezeichnet.
			*Natürlich kann man die Matched–Filterung aber auch auf die rechte Seite der Differenzbildung verschieben, wie im unteren Modell dargestellt.
			*Dann muss nur noch ein Filter realisiert werden.


	In ~~der~~  [[Aufgaben:4.13_FSK–Demodulation\|Aufgabe 4.13]]  wird dieser FSK–Demodulator ausführlich behandelt. Auf dem entsprechenden Angabenblatt sehen Sie auch die Signalverläufe.		In  [[Aufgaben:4.13_FSK–Demodulation\|Aufgabe 4.13]]  wird dieser FSK–Demodulator ausführlich behandelt.  Auf dem entsprechenden Angabenblatt sehen Sie auch die entsprechenden Signalverläufe.

	==Fehlerwahrscheinlichkeit der orthogonalen FSK==		==Fehlerwahrscheinlichkeit der orthogonalen FSK==