Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation - Versionsgeschichte

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−	Die entsprechenden physikalischen Signale  $q(t)$,  $r(t)$ sowie  $v(t)$  zu diesem Beispiel finden Sie in der Grafik auf der [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation#Warum_die_H.C3.~~BCllkurvendemodulation_bei_m_~~.~~3E_1_versagt~~\|vorherigen Seite]].}}	+	Die entsprechenden physikalischen Signale  $q(t)$,  $r(t)$ sowie  $v(t)$  zu diesem Beispiel finden Sie in der Grafik auf der [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation#Warum_die_H.C3.BCllkurvendemodulation_bei_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax103-QINU.60.22.27.7F_versagt\|vorherigen Seite]].}}

	==Sonderfall eines cosinusförmigen Nachrichtensignals==		==Sonderfall eines cosinusförmigen Nachrichtensignals==

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 ==Symmetrische Kanalverzerrungen – Dämpfungsverzerrungen==
 <br>
-Ein wesentliches Ergebnis des letzten Abschnitts war, dass es bei unsymmetrischen linearen Verzerrungen auf dem Kanal zu nichtlinearen Verzerrungen bezüglich des Nachrichtensignals kommt.&nbsp; Wird dagegen das untere Seitenband in gleicher Weise gedämpft wie das obere Seitenband, so ist die Ortskurve wieder eine horizontale Gerade und es entstehen keine nichtlinearen Verzerrungen.&nbsp; Vielmehr sind dann die Verzerrungen bezüglich &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$ – ebenso wie die Verzerrungen bezüglich &nbsp;$s(t)$&nbsp; und &nbsp;$r(t)$ – linear und können durch ein geeignet dimensioniertes Filter entzerrt werden.
+Ein wesentliches Ergebnis des letzten Abschnitts war, dass es bei unsymmetrischen linearen Verzerrungen auf dem Kanal zu nichtlinearen Verzerrungen bezüglich des Nachrichtensignals kommt.&nbsp;
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 *ZSB–AM mit Träger &nbsp; ⇒  &nbsp;  das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; setzt sich aus insgesamt fünf Cosinusschwingungen bei den Frequenzen &nbsp;$f_{\rm T}, &nbsp;f_{\rm T} ± f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm T} ± f_2$&nbsp; zusammen;
 [[Datei:Mod_T_2_3_S6_version2.png|right|frame|Spektren im äquivalenten Tiefpass-Bereich]]
-*Kanal mit Dämpfungsverzerrungen, symmetrisch um die Trägerfrequenz:
+*Kanal mit Dämpfungsverzerrungen,&nbsp; symmetrisch um die Trägerfrequenz:
 :$$H_{\rm K} (f = f_{\rm T})= \alpha_0,  \hspace{0.3cm} H_{\rm K} (f
 = \pm f_{\rm 1})= \alpha_1,  \hspace{0.3cm}H_{\rm K} (f = \pm
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 Die Grafik zeigt die Spektralfunktionen der äquivalenten Tiefpass–Signale von Sende– und Empfangssignal.&nbsp; Anhand dieses Bildes sind folgende Aussagen möglich:
-*Das äquivalente Tiefpass–Signal &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist reell.&nbsp; Die Ortskurve – also die Spitze des Zeigerverbundes in der komplexen Ebene – liegt auch hier wieder auf der reellen Achse.
+#Das äquivalente Tiefpass–Signal &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist reell.&nbsp; Die Ortskurve – also die Spitze des Zeigerverbundes in der komplexen Ebene – liegt auch hier wieder auf der reellen Achse.
-*Ist &nbsp;$α_0 · A_{\rm T}$&nbsp; größer als &nbsp;$α_1 · A_1 + α_2 · A_2,$ so ist der „Modulationsgrad des Empfangssignals” kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; und es kommt nicht zu nichtlinearen Verzerrungen.
+#Ist &nbsp;$α_0 · A_{\rm T}$&nbsp; größer als &nbsp;$α_1 · A_1 + α_2 · A_2$,&nbsp; so ist der&nbsp; „Modulationsgrad des Empfangssignals”&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; und es kommt nicht zu nichtlinearen Verzerrungen.
-*Das Sinkensignal nach idealer Hüllkurvendemodulation und Eliminierung des Gleichanteils &nbsp;$α_0 · A_{\rm T}$&nbsp; durch den nachgeschalteten Hochpass lautet:
+#Das Sinkensignal nach idealer Hüllkurvendemodulation und Eliminierung des Gleichanteils &nbsp;$α_0 · A_{\rm T}$&nbsp; durch den folgenden Hochpass lautet:
-:$$v(t) = \alpha_1 \cdot A_{\rm 1} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm 1} t ) +
+::$$v(t) = \alpha_1 \cdot A_{\rm 1} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm 1} t ) +
   \alpha_2 \cdot A_{\rm 2} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm 2} t ) \hspace{0.05cm}.$$
-*Das bedeutet: &nbsp; Es kommt zu linearen Verzerrungen (Dämpfungsverzerrungen), falls &nbsp;$α_2 ≠ α_1$&nbsp; ist.&nbsp; Wäre die Symmetrie bezüglich &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; nicht gegeben, so würden nichtlineare Verzerrungen entstehen.
+Das bedeutet: &nbsp;
-Wir verweisen auf das Lernvideo&nbsp; [[Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_(Lernvideo)|Lineare und nichtlineare Verzerrungen]].
+Wir verweisen hier auf das Lernvideo&nbsp; [[Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_(Lernvideo)|Lineare und nichtlineare Verzerrungen]].
-==Einfluss von Rauschstörungen==
+==Einfluss von additivem weißen Gaußschen Rauschen==
 <br>
 Ausgehend von der Systemkonfiguration
 *ZSB–Amplitudenmodulation mit Modulationsgrad &nbsp;$m ≤ 1$&nbsp; sowie
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 wird nun der Einfluss von additivem Rauschen abgeschätzt.&nbsp; Verzerrungen jeglicher Art – beispielsweise bedingt durch einen ungeeigneten  Kanal oder die nichtperfekte Realisierung von Modulator und Demodulator – werden ausgeschlossen.
 Die Grafik zeigt den Sinkenstörabstand &nbsp;$10 · \lg \, ρ_v$&nbsp; bei unterschiedlichem Modulationsgrad &nbsp;$m$&nbsp; in Abhängigkeit der logarithmierten Leistungskenngröße
-Die Grafik zeigt den Sinkenstörabstand &nbsp;$10 · \lg \, ρ_v$&nbsp; bei unterschiedlichem Modulationsgrad &nbsp;$m$&nbsp; in Abhängigkeit der logarithmierten Leistungskenngröße
+[[Datei: P_ID1031__Mod_T_2_3_S8_neu.png |right|frame| Sinkenstörabstand bei &bdquo;ZSB-AM mit/ohne  Träger&rdquo; und Hüllkurvendemodulation]]
 :$$10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \xi = 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}} \hspace{0.05cm}.$$
-Das Ergebnis des Hüllkurvendemodulators ist mit durchgezogenen Linien markiert, während die gestrichelten Geraden den Synchrondemodulator kennzeichnen.
+Das Ergebnis des Hüllkurvendemodulators ist mit durchgezogenen Linien markiert,&nbsp; während die gestrichelten Geraden den Synchrondemodulator kennzeichnen.
-Wie bereits in Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_im_Hinblick_auf_Signalverzerrungen|Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen]]&nbsp; hergeleitet wurde, ergeben sich für den Synchrondemodulator in dieser doppelt–logarithmischen Darstellung
+Wie bereits in Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_im_Hinblick_auf_Signalverzerrungen|Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen]]&nbsp; hergeleitet wurde,&nbsp; ergeben sich für den Synchrondemodulator&nbsp; $\rm (SD)$&nbsp; in dieser doppelt–logarithmischen Darstellung
-*die Winkelhalbierende&nbsp; (für &nbsp;$m → ∞$, ZSB–AM ohne Träger), bzw.
+*die Winkelhalbierende&nbsp; (für &nbsp;$m → ∞$, ZSB–AM ohne Träger),&nbsp; bzw.
 *hierzu parallel verschobene Gerade mit vertikalem Abstand &nbsp;$10 · \lg \, (1 + 2/m^2$).
-Bei Anwendung von Hüllkurvendemodulation sind folgende Unterschiede festzustellen:
+Bei Anwendung von Hüllkurvendemodulation&nbsp; $\rm (HKD)$&nbsp; sind folgende Unterschiede festzustellen:
-*Ein Hüllkurvendemodulator ist für &nbsp;$m > 1$&nbsp; nicht sinnvoll, da dadurch starke nichtlineare Verzerrungen entstehen würden.
+*Ein Hüllkurvendemodulator ist für &nbsp;$m > 1$&nbsp; nicht sinnvoll.&nbsp; Dadurch würden starke nichtlineare Verzerrungen entstehen.
-*Die durchgehend gezeichneten Kurven für den Hüllkurvendemodulator&nbsp; $\rm (HKD)$&nbsp; liegen stets unterhalb der für den Synchrondemodulator&nbsp; $\rm (SD)$&nbsp; gültigen gestrichelten Geraden, wenn man vom gleichen Modulationsgrad&nbsp; $m$&nbsp; ausgeht.
+*Die durchgehend gezeichneten&nbsp; $\rm HKD$–Kurven liegen stets unterhalb der gestrichelten&nbsp;$\rm SD$–Geraden,&nbsp; wenn man vom gleichen Modulationsgrad&nbsp; $m$&nbsp; ausgeht.
-*Ab einem gewissen Wert der Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; sind die&nbsp; $\rm HKD$–Kurven von den&nbsp; $\rm SD$–Geraden innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht mehr zu unterscheiden.
+*Ab einem gewissen Wert der Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; sind allerdings die&nbsp; $\rm HKD$–Kurven von den&nbsp; $\rm SD$–Geraden innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht mehr zu unterscheiden.
-Mehr Informationen zu dieser Thematik finden Sie beispielsweise in&nbsp; [Kam 04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>.
+Mehr Informationen zu dieser Thematik finden Sie beispielsweise in&nbsp; [Kam 04]<ref>Kammeyer, K.D.:&nbsp;  Nachrichtenübertragung.&nbsp; Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>.
 ==Argumente für und gegen den Hüllkurvendemodulator==
 <br>
-Der wichtigste Grund für die Verwendung des Hüllkurvendemodulators ist &nbsp;(besser gesagt:&nbsp; war), dass damit die oft aufwändige Frequenz– und Phasensynchronisation vermieden wurde, so dass dieser preisgünstig realisiert werden konnte.&nbsp; Der Hüllkurvendemodulator ist somit ein Beispiel eines ''inkohärenten Demodulators''.
+Der wichtigste Grund für die Verwendung des Hüllkurvendemodulators ist &nbsp;(besser gesagt:&nbsp; war),&nbsp; dass damit die oft aufwändige Frequenz– und Phasensynchronisation vermieden wurde,&nbsp; so dass dieser preisgünstig realisiert werden konnte.&nbsp; Der Hüllkurvendemodulator ist somit ein Beispiel eines&nbsp; "inkohärenten Demodulators".
 Für den&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulator]]&nbsp; und gegen den Hüllkurvendemodulator können dagegen mehrere Gründe angeführt werden:
-*Bei Hüllkurvendemodulation muss eine Übermodulation &nbsp;$(m > 1)$&nbsp; unter allen Umständen vermieden werden.&nbsp; Dies erreicht man beispielsweise durch die Amplitudenbegrenzung des Quellensignals, was aber ebenfalls nichtlineare Verzerrungen zur Folge hat.
+*Bei Hüllkurvendemodulation muss eine Übermodulation &nbsp;$(m > 1)$&nbsp; unter allen Umständen vermieden werden.&nbsp; Dies erreicht man beispielsweise durch die Amplitudenbegrenzung des Quellensignals,&nbsp; was aber ebenfalls nichtlineare Verzerrungen zur Folge hat.
 *Bei sonst gleichen Randbedingungen ist ein Modulationsgrad &nbsp;$m < 1$&nbsp; nur durch die Erhöhung der Sendeleistung um mindestens den Faktor&nbsp; $3$&nbsp; zu erreichen.&nbsp; Dies ist auch wegen der berechtigten Diskussionen zum Thema „Elektro-Smog” in großen Teilen unserer Gesellschaft problematisch.
-*Lineare Kanalverzerrungen können bei einem Hüllkurvendemodulator zu irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen führen, während die bei Synchrondemodulation entstehenden linearen Verzerrungen möglicherweise durch besondere Maßnahmen beim Empfänger kompensiert werden können.
+*Lineare Kanalverzerrungen können bei einem Hüllkurvendemodulator zu irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen führen,&nbsp; während die bei Synchrondemodulation entstehenden linearen Verzerrungen möglicherweise durch besondere Maßnahmen beim Empfänger kompensiert werden können.
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 ==Symmetrische Kanalverzerrungen – Dämpfungsverzerrungen==
 <br>
-Ein wesentliches Ergebnis des letzten Abschnitts war, dass es bei unsymmetrischen linearen Verzerrungen auf dem Kanal zu nichtlinearen Verzerrungen bezüglich des Nachrichtensignals kommt. Wird dagegen das untere Seitenband in gleicher Weise gedämpft wie das obere Seitenband, so ist die Ortskurve wieder eine horizontale Gerade und es entstehen keine nichtlinearen Verzerrungen. Vielmehr sind dann die Verzerrungen bezüglich &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$ – ebenso wie die Verzerrungen bezüglich &nbsp;$s(t)$&nbsp; und &nbsp;$r(t)$ – linear und können durch ein geeignet dimensioniertes Filter entzerrt werden.
+Ein wesentliches Ergebnis des letzten Abschnitts war, dass es bei unsymmetrischen linearen Verzerrungen auf dem Kanal zu nichtlinearen Verzerrungen bezüglich des Nachrichtensignals kommt.&nbsp; Wird dagegen das untere Seitenband in gleicher Weise gedämpft wie das obere Seitenband, so ist die Ortskurve wieder eine horizontale Gerade und es entstehen keine nichtlinearen Verzerrungen.&nbsp; Vielmehr sind dann die Verzerrungen bezüglich &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$ – ebenso wie die Verzerrungen bezüglich &nbsp;$s(t)$&nbsp; und &nbsp;$r(t)$ – linear und können durch ein geeignet dimensioniertes Filter entzerrt werden.
 Wir gehen hier von folgenden Voraussetzungen aus:
 *Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; – bestehend aus zwei Cosinusanteilen bei den Frequenzen &nbsp;$f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_2$&nbsp; mit den Amplituden &nbsp;$A_1$&nbsp; und &nbsp;$A_2$;
-*ZSB–AM mit Träger &nbsp; ⇒  &nbsp;  das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; setzt aus insgesamt fünf Cosinusschwingungen bei den Frequenzen &nbsp;$f_{\rm T}, &nbsp;f_{\rm T} ± f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm T} ± f_2$&nbsp; zusammen;
+*ZSB–AM mit Träger &nbsp; ⇒  &nbsp;  das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; setzt sich aus insgesamt fünf Cosinusschwingungen bei den Frequenzen &nbsp;$f_{\rm T}, &nbsp;f_{\rm T} ± f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm T} ± f_2$&nbsp; zusammen;
 [[Datei:Mod_T_2_3_S6_version2.png|right|frame|Spektren im äquivalenten Tiefpass-Bereich]]
 *Kanal mit Dämpfungsverzerrungen, symmetrisch um die Trägerfrequenz:
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-Die Grafik zeigt die Spektralfunktionen der äquivalenten Tiefpass–Signale von Sende– und Empfangssignal. Anhand dieses Bildes sind folgende Aussagen möglich:
+Die Grafik zeigt die Spektralfunktionen der äquivalenten Tiefpass–Signale von Sende– und Empfangssignal.&nbsp; Anhand dieses Bildes sind folgende Aussagen möglich:
-*Das äquivalente TP–Signal &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist reell. Die Ortskurve – also die Spitze des Zeigerverbundes in der komplexen Ebene – liegt auch hier wieder auf der reellen Achse.
+*Das äquivalente Tiefpass–Signal &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist reell.&nbsp; Die Ortskurve – also die Spitze des Zeigerverbundes in der komplexen Ebene – liegt auch hier wieder auf der reellen Achse.
-*Ist &nbsp;$α_0 · A_{\rm T}$&nbsp; größer als &nbsp;$α_1 · A_1 + α_2 · A_2,$ so ist der „Modulationsgrad des Empfangssignals” kleiner als $1$ und es kommt nicht zu nichtlinearen Verzerrungen.
+*Ist &nbsp;$α_0 · A_{\rm T}$&nbsp; größer als &nbsp;$α_1 · A_1 + α_2 · A_2,$ so ist der „Modulationsgrad des Empfangssignals” kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; und es kommt nicht zu nichtlinearen Verzerrungen.
 *Das Sinkensignal nach idealer Hüllkurvendemodulation und Eliminierung des Gleichanteils &nbsp;$α_0 · A_{\rm T}$&nbsp; durch den nachgeschalteten Hochpass lautet:
 :$$v(t) = \alpha_1 \cdot A_{\rm 1} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm 1} t ) +
   \alpha_2 \cdot A_{\rm 2} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm 2} t ) \hspace{0.05cm}.$$
-*Das bedeutet: &nbsp; Es kommt zu linearen Verzerrungen (Dämpfungsverzerrungen), falls &nbsp;$α_2 ≠ α_1$&nbsp; ist. Wäre die Symmetrie bezüglich &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; nicht gegeben, so würden nichtlineare Verzerrungen entstehen.
+*Das bedeutet: &nbsp; Es kommt zu linearen Verzerrungen (Dämpfungsverzerrungen), falls &nbsp;$α_2 ≠ α_1$&nbsp; ist.&nbsp; Wäre die Symmetrie bezüglich &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; nicht gegeben, so würden nichtlineare Verzerrungen entstehen.
-Wir verweisen auf das Lernvideo [[Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_(Lernvideo)|Lineare und nichtlineare Verzerrungen]].
+Wir verweisen auf das Lernvideo&nbsp; [[Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_(Lernvideo)|Lineare und nichtlineare Verzerrungen]].
 ==Einfluss von Rauschstörungen==
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-wird nun der Einfluss von additivem Rauschen abgeschätzt. Verzerrungen jeglicher Art – beispielsweise bedingt durch einen ungeeigneten  Kanal oder die nichtperfekte Realisierung von Modulator und Demodulator – werden ausgeschlossen.
+wird nun der Einfluss von additivem Rauschen abgeschätzt.&nbsp; Verzerrungen jeglicher Art – beispielsweise bedingt durch einen ungeeigneten  Kanal oder die nichtperfekte Realisierung von Modulator und Demodulator – werden ausgeschlossen.
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 Wie bereits in Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_im_Hinblick_auf_Signalverzerrungen|Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen]]&nbsp; hergeleitet wurde, ergeben sich für den Synchrondemodulator in dieser doppelt–logarithmischen Darstellung
-*die Winkelhalbierende (für &nbsp;$m → ∞$, ZSB–AM ohne Träger), bzw.
+*die Winkelhalbierende&nbsp; (für &nbsp;$m → ∞$, ZSB–AM ohne Träger), bzw.
 *hierzu parallel verschobene Gerade mit vertikalem Abstand &nbsp;$10 · \lg \, (1 + 2/m^2$).
@@ Zeile 291: / Zeile 291: @@
 Bei Anwendung von Hüllkurvendemodulation sind folgende Unterschiede festzustellen:
 *Ein Hüllkurvendemodulator ist für &nbsp;$m > 1$&nbsp; nicht sinnvoll, da dadurch starke nichtlineare Verzerrungen entstehen würden.
-*Die durchgehend gezeichneten Kurven für den Hüllkurvendemodulator $\rm (HKD)$ liegen stets unterhalb der für den Synchrondemodulator $\rm (SD)$ gültigen gestrichelten Geraden, wenn man vom gleichen Modulationsgrad $m$ ausgeht.
+*Die durchgehend gezeichneten Kurven für den Hüllkurvendemodulator&nbsp; $\rm (HKD)$&nbsp; liegen stets unterhalb der für den Synchrondemodulator&nbsp; $\rm (SD)$&nbsp; gültigen gestrichelten Geraden, wenn man vom gleichen Modulationsgrad&nbsp; $m$&nbsp; ausgeht.
-*Ab einem gewissen Wert der Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; sind die $\rm HKD$–Kurven von den $\rm SD$–Geraden innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht mehr zu unterscheiden.
+*Ab einem gewissen Wert der Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; sind die&nbsp; $\rm HKD$–Kurven von den&nbsp; $\rm SD$–Geraden innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht mehr zu unterscheiden.
-Mehr Informationen zu dieser Thematik finden Sie beispielsweise in [Kam 04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>.
+Mehr Informationen zu dieser Thematik finden Sie beispielsweise in&nbsp; [Kam 04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung.'' Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>.
 ==Argumente für und gegen den Hüllkurvendemodulator==
 <br>
-Der wichtigste Grund für die Verwendung des Hüllkurvendemodulators ist, dass damit die oft aufwändige Frequenz– und Phasensynchronisation vermieden wird, so dass ein solcher preisgünstig realisiert werden kann. Der Hüllkurvendemodulator ist somit ein Beispiel eines ''inkohärenten Demodulators''.
+Der wichtigste Grund für die Verwendung des Hüllkurvendemodulators ist &nbsp;(besser gesagt:&nbsp; war), dass damit die oft aufwändige Frequenz– und Phasensynchronisation vermieden wurde, so dass dieser preisgünstig realisiert werden konnte.&nbsp; Der Hüllkurvendemodulator ist somit ein Beispiel eines ''inkohärenten Demodulators''.
-Für den [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulator]] und gegen den Hüllkurvendemodulator können dagegen mehrere Gründe angeführt werden:
+Für den&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulator]]&nbsp; und gegen den Hüllkurvendemodulator können dagegen mehrere Gründe angeführt werden:
-*Bei Hüllkurvendemodulation muss eine Übermodulation &nbsp;$(m > 1)$&nbsp; unter allen Umständen vermieden werden. Dies erreicht man beispielsweise durch die Amplitudenbegrenzung des Quellensignals, was aber ebenfalls nichtlineare Verzerrungen zur Folge hat.
+*Bei Hüllkurvendemodulation muss eine Übermodulation &nbsp;$(m > 1)$&nbsp; unter allen Umständen vermieden werden.&nbsp; Dies erreicht man beispielsweise durch die Amplitudenbegrenzung des Quellensignals, was aber ebenfalls nichtlineare Verzerrungen zur Folge hat.
-*Bei sonst gleichen Randbedingungen ist ein Modulationsgrad &nbsp;$m < 1$&nbsp; nur durch die Erhöhung der Sendeleistung um mindestens den Faktor $3$ zu erreichen. Dies ist auch wegen der berechtigten Diskussionen zum Thema „Elektro-Smog” in großen Teilen unserer Gesellschaft problematisch.
+*Bei sonst gleichen Randbedingungen ist ein Modulationsgrad &nbsp;$m < 1$&nbsp; nur durch die Erhöhung der Sendeleistung um mindestens den Faktor&nbsp; $3$&nbsp; zu erreichen.&nbsp; Dies ist auch wegen der berechtigten Diskussionen zum Thema „Elektro-Smog” in großen Teilen unserer Gesellschaft problematisch.
 *Lineare Kanalverzerrungen können bei einem Hüllkurvendemodulator zu irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen führen, während die bei Synchrondemodulation entstehenden linearen Verzerrungen möglicherweise durch besondere Maßnahmen beim Empfänger kompensiert werden können.

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 *Modulationsgrad: &nbsp; $m = A_{\rm N}/A_{\rm T} = 1.25;$
 *ideale Hüllkurvendemodulation: &nbsp; $a(t) = | q(t) + A_{\rm T}|; $
-*Eliminierung des Gleichanteils durch Tiefpass: &nbsp;  $r(t) = a(t) - {\rm E}[a(t)]|.$
+*Eliminierung des Gleichanteils durch Tiefpass: &nbsp;  $r(t) = a(t) - {\rm E}\big[a(t)\big].$
-Die Grafik gilt für die Signalparameter &nbsp;$A_{\rm N} = 5 \ \rm V$, &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, &nbsp;$A_{\rm T} = 4 \ \rm  V$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm T} = 100\ \rm  kHz$&nbsp; und zeigt
+Die Grafik gilt für die Signalparameter &nbsp;$A_{\rm N} = 5 \ \rm V$, &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, &nbsp;$A_{\rm T} = 4 \ \rm  V$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm T} = 100\ \rm  kHz$.&nbsp; Sie zeigt
 * oben das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; im Vergleich zum Quellensignal &nbsp;$q(t)$,
 * in der Mitte das Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp;  sowie die Hüllkurve &nbsp;$a(t) = |r(t)|$,
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 <br clear=all>
 Anhand der Grafiken sind folgende Aussagen möglich:
-*Ein Vergleich der Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$a(t)$&nbsp; zeigt, dass im Beispiel zu etwa $80\%$ aller Zeiten die Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; in der Form richtig wiedergibt.
+*Ein Vergleich der Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$a(t)$&nbsp; zeigt, dass im Beispiel zu etwa&nbsp; $80\%$&nbsp; aller Zeiten die Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; in der Form richtig wiedergibt.
 *Das Maximum von &nbsp;$a(t)$&nbsp; ist allerdings um den zugesetzten Träger &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; deutlich größer als das Maximum von &nbsp;$q(t)$.
 *Das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; unterscheidet sich von der Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; durch den Erwartungswert &nbsp;${\rm Ε}\big[a(t)\big]$, der vom Tiefpass des Hüllkurvendemodulators entfernt wird.
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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 +\text{...} } \approx 15 \%.$$
-Im Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_im_Hinblick_auf_Signalverzerrungen|Qualitätskriterien]]&nbsp; wurde gezeigt, dass damit auch das SNR &nbsp;$ρ_v = 1/K^2 ≈ 44$&nbsp; festliegt. $ρ_v$&nbsp; $($nicht aber &nbsp;$K)$ kann zudem auch dann als Qualitätskriterium herangezogen werden, wenn &nbsp;$q(t)$&nbsp; mehr als eine Frequenz beinhaltet  &nbsp; ⇒  &nbsp; Herleitung im Buch &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Der_Klirrfaktor|Lineare zeitinvariante Systeme]].
+Im Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_im_Hinblick_auf_Signalverzerrungen|Qualitätskriterien]]&nbsp; wurde gezeigt, dass damit auch das SNR &nbsp;$ρ_v = 1/K^2 ≈ 44$&nbsp; festliegt.&nbsp; $ρ_v$&nbsp; $($nicht aber &nbsp;$K)$&nbsp; kann zudem auch dann als Qualitätskriterium herangezogen werden, wenn &nbsp;$q(t)$&nbsp; mehr als eine Frequenz beinhaltet  &nbsp; ⇒  &nbsp; Herleitung im Buch &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Der_Klirrfaktor|Lineare zeitinvariante Systeme]].
 ==Berücksichtigung von Kanalverzerrungen==
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 Für die folgenden Betrachtungen setzen wir das Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” sowie ein cosinusförmiges Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; voraus. Die Amplituden von Nachrichten– und Trägersignal seien &nbsp;$A_{\rm N} = 4 \ \rm V$&nbsp; und &nbsp;$A_{\rm T} = 5 \ \rm  V $ &nbsp; ⇒  &nbsp;   Modulationsgrad &nbsp;$m = 0.8$. Damit ist (ideale) Hüllkurvendemodulation prinzipiell anwendbar.
 Die Grafik zeigt von oben nach unten
-*die Spektren &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; und &nbsp;$R_{\rm TP}(f)$&nbsp; des äquivalenten TP–Signals, die als reell angenommen werden,
+*die Spektren &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; und &nbsp;$R_{\rm TP}(f)$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass–Signals, die als reell angenommen werden,
 *die äquivalenten Tiefpass–Signale &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; und &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene, und schließlich
 *die physikalischen Signale &nbsp;$s(t)$&nbsp; und &nbsp;$r(t)$.
 [[Datei:Mod_T_2_3_S7a_version2.png|right|frame| Hüllkurvendemodulation bei idealem Kanal]]
 {{GraueBox|TEXT=
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 *Aufgrund der unterschiedlichen Längen von grünem Zeiger (USB) und blauem Zeiger (OSB) wird die Ortskurve zu einer Ellipse, deren Mittelpunkt durch den (roten) Träger festliegt.
 *Der Winkel zwischen dem komplexwertigen  &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; und dem Koordinatenursprung ist nun nicht mehr durchgängig &nbsp;$ϕ(t) = 0$, sondern schwankt zwischen &nbsp;$±ϕ_{\rm max}.$
-*Die maximale Phase ist gleich dem Winkel der Tangente an die Ellipse. Im physikalischen Signal führt &nbsp;$ϕ(t) ≠ 0$&nbsp; zu Verschiebungen der Nulldurchgänge von &nbsp;$r(t)$&nbsp; gegenüber dem Trägersignal &nbsp;$z(t)$.
+*Die maximale Phase ist gleich dem Winkel der Tangente an die Ellipse. Im physikalischen Signal führt &nbsp;$ϕ(t) ≠ 0$&nbsp; zu Verschiebungen der Nulldurchgänge von &nbsp;$r(t)$&nbsp; gegenüber seinen Solllagen &ndash; vorgegeben durch das Trägersignal &nbsp;$z(t)$.
 *Der Betrag &nbsp;$a(t) = \vert r_{\rm TP}(t) \vert$ – also die Hüllkurve von &nbsp;$r(t)$ – ist nun nicht mehr cosinusförmig und das Signal nach dem Hüllkurvendemodulator beinhaltet außer der Frequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; auch Oberwellen:
 :$$v(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N}\cdot t ) +A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N}\cdot t
   )+A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t )+ \text{...}$$
-*Diese führen zu nichtlinearen Verzerrungen und werden durch den Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp; erfasst.
+*Diese führen zu nichtlinearen Verzerrungen und werden durch den Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp; erfasst. <br>Mit &nbsp;$A_{\rm N} = 4 \ \rm V$, &nbsp;$A_{\rm T} = 5 \ \rm  V$, &nbsp;$α_{\rm U} = 1$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm T} = 0.8$&nbsp; ergeben sich in Abhängigkeit von &nbsp;$α_{\rm O}$&nbsp; folgende Zahlkenwerte:
-Die obige Grafik gilt für &nbsp;$α_{\rm O} = 0.5$.  Dann kommt es (allerdings mit dem bloßen Auge nur schwer zu erkennen)
+*Die Grafik gilt für &nbsp;$α_{\rm O} = 0.5$.&nbsp;  Dann kommt es (allerdings ist beides mit dem bloßen Auge nur schwer zu erkennen)
-*zu Verschiebungen der Nulldurchgänge  im Signal &nbsp;$r(t)$&nbsp; um maximal &nbsp;$25^\circ\hspace{-0.05cm}/360^\circ ≈ 7\%$ der Trägerperiode $T_0$, und
+:*zu Verschiebungen der Nulldurchgänge  im Signal &nbsp;$r(t)$&nbsp; um maximal &nbsp;$25^\circ\hspace{-0.05cm}/360^\circ ≈ 7\%$ der Trägerperiode $T_0$, und
-* zur Abweichung von der idealen Cosinusform   &nbsp; ⇒  &nbsp;   $K ≈ 1.5\%$ . }}
+:* zur Abweichung von der idealen Cosinusform   &nbsp; ⇒  &nbsp;   $K ≈ 1.5\%$ . }}

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 ==Symmetrische Kanalverzerrungen – Dämpfungsverzerrungen==
 <br>
-Ein wesentliches Ergebnis des letzten Abschnitts war, dass es bei unsymmetrischen linearen Verzerrungen auf dem Kanal zu nichtlinearen Verzerrungen bezüglich des Nachrichtensignals kommt. Wird dagegen das untere Seitenband in gleicher Weise gedämpft wie das obere Seitenband, so ist die Ortskurve wieder eine horizontale Gerade und es entstehen keine nichtlinearen Verzerrungen. Vielmehr sind dann die Verzerrungen bezüglich $q(t)$ und $v(t)$ – ebenso wie die Verzerrungen bezüglich $s(t)$ und $r(t)$ – linear und können durch ein geeignet dimensioniertes Filter entzerrt werden.
+Ein wesentliches Ergebnis des letzten Abschnitts war, dass es bei unsymmetrischen linearen Verzerrungen auf dem Kanal zu nichtlinearen Verzerrungen bezüglich des Nachrichtensignals kommt. Wird dagegen das untere Seitenband in gleicher Weise gedämpft wie das obere Seitenband, so ist die Ortskurve wieder eine horizontale Gerade und es entstehen keine nichtlinearen Verzerrungen. Vielmehr sind dann die Verzerrungen bezüglich &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$ – ebenso wie die Verzerrungen bezüglich &nbsp;$s(t)$&nbsp; und &nbsp;$r(t)$ – linear und können durch ein geeignet dimensioniertes Filter entzerrt werden.
 Wir gehen hier von folgenden Voraussetzungen aus:
-*Quellensignal $q(t)$ – bestehend aus zwei Cosinusanteilen bei den Frequenzen $f_1$ und $f_2$ mit den Amplituden $A_1$ und $A_2$;
+*Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; – bestehend aus zwei Cosinusanteilen bei den Frequenzen &nbsp;$f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_2$&nbsp; mit den Amplituden &nbsp;$A_1$&nbsp; und &nbsp;$A_2$;
-*ZSB–AM mit Träger &nbsp; ⇒  &nbsp;  das Sendesignal $s(t)$ setzt aus insgesamt fünf Cosinusschwingungen bei den Frequenzen $f_{\rm T}, f_{\rm T} ± f_1$ und $f_{\rm T} ± f_2$ zusammen;
+*ZSB–AM mit Träger &nbsp; ⇒  &nbsp;  das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; setzt aus insgesamt fünf Cosinusschwingungen bei den Frequenzen &nbsp;$f_{\rm T}, &nbsp;f_{\rm T} ± f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm T} ± f_2$&nbsp; zusammen;
 *Kanal mit Dämpfungsverzerrungen, symmetrisch um die Trägerfrequenz:
 :$$H_{\rm K} (f = f_{\rm T})= \alpha_0,  \hspace{0.3cm} H_{\rm K} (f
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-[[Datei:Mod_T_2_3_S6_version2.png|right|frame|Spektren im äquivalenten TP-Bereich]]
+Die Grafik zeigt die Spektralfunktionen der äquivalenten Tiefpass–Signale von Sende– und Empfangssignal. Anhand dieses Bildes sind folgende Aussagen möglich:
-Die Grafik zeigt die Spektralfunktionen der äquivalenten TP–Signale von Sende– und Empfangssignal. Anhand dieses Bildes sind folgende Aussagen möglich:
+*Das äquivalente TP–Signal &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist reell. Die Ortskurve – also die Spitze des Zeigerverbundes in der komplexen Ebene – liegt auch hier wieder auf der reellen Achse.
-*Das äquivalente TP–Signal $r_{\rm TP}(t)$ ist reell. Die Ortskurve – also die Spitze des Zeigerverbundes in der komplexen Ebene – liegt auch hier wieder auf der reellen Achse.
+*Ist &nbsp;$α_0 · A_{\rm T}$&nbsp; größer als &nbsp;$α_1 · A_1 + α_2 · A_2,$ so ist der „Modulationsgrad des Empfangssignals” kleiner als $1$ und es kommt nicht zu nichtlinearen Verzerrungen.
-*Ist $α_0 · A_{\rm T}$ größer als $α_1 · A_1 + α_2 · A_2,$ so ist der „Modulationsgrad des Empfangssignals” kleiner als 1 und es kommt nicht zu nichtlinearen Verzerrungen.
+*Das Sinkensignal nach idealer Hüllkurvendemodulation und Eliminierung des Gleichanteils &nbsp;$α_0 · A_{\rm T}$&nbsp; durch den nachgeschalteten Hochpass lautet:
 :$$v(t) = \alpha_1 \cdot A_{\rm 1} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm 1} t ) +
   \alpha_2 \cdot A_{\rm 2} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm 2} t ) \hspace{0.05cm}.$$
-*Das bedeutet: Es kommt zu linearen Verzerrungen (Dämpfungsverzerrungen), falls $α_2 ≠ α_1$ ist. Wäre die Symmetrie bezüglich $f_{\rm T}$ nicht gegeben, so würden nichtlineare Verzerrungen entstehen.
+*Das bedeutet: &nbsp; Es kommt zu linearen Verzerrungen (Dämpfungsverzerrungen), falls &nbsp;$α_2 ≠ α_1$&nbsp; ist. Wäre die Symmetrie bezüglich &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; nicht gegeben, so würden nichtlineare Verzerrungen entstehen.
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 [[Datei: P_ID1031__Mod_T_2_3_S8_neu.png |right|frame| Sinkenstörabstand bei &bdquo;ZSB-AM mit/ohne  Träger&rdquo; und Hüllkurvendemodulation]]
 Ausgehend von der Systemkonfiguration
-*ZSB–Amplitudenmodulation mit Modulationsgrad $m$ ≤ 1 sowie
+*ZSB–Amplitudenmodulation mit Modulationsgrad &nbsp;$m ≤ 1$&nbsp; sowie
 *bestmöglich angepasste Hüllkurvendemodulation
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-Die Grafik zeigt den Sinkenstörabstand $10 · \lg \, ρ_v$ bei unterschiedlichem Modulationsgrad $m$ in Abhängigkeit der logarithmierten Leistungskenngröße
+Die Grafik zeigt den Sinkenstörabstand &nbsp;$10 · \lg \, ρ_v$&nbsp; bei unterschiedlichem Modulationsgrad &nbsp;$m$&nbsp; in Abhängigkeit der logarithmierten Leistungskenngröße
 :$$10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \xi = 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}} \hspace{0.05cm}.$$
 Das Ergebnis des Hüllkurvendemodulators ist mit durchgezogenen Linien markiert, während die gestrichelten Geraden den Synchrondemodulator kennzeichnen.
-Wie bereits in Kapitel [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_im_Hinblick_auf_Signalverzerrungen|Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen]] hergeleitet wurde, ergeben sich für den Synchrondemodulator in dieser doppelt–logarithmischen Darstellung
+Wie bereits in Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_im_Hinblick_auf_Signalverzerrungen|Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen]]&nbsp; hergeleitet wurde, ergeben sich für den Synchrondemodulator in dieser doppelt–logarithmischen Darstellung
-*die Winkelhalbierende (für $m → ∞$, ZSB–AM ohne Träger), bzw.
+*die Winkelhalbierende (für &nbsp;$m → ∞$, ZSB–AM ohne Träger), bzw.
-*hierzu parallel verschobene Gerade mit vertikalem Abstand $10 · \lg \, (1 + 2/m^2$).
+*hierzu parallel verschobene Gerade mit vertikalem Abstand &nbsp;$10 · \lg \, (1 + 2/m^2$).
 Bei Anwendung von Hüllkurvendemodulation sind folgende Unterschiede festzustellen:
-*Ein Hüllkurvendemodulator ist für $m > 1$ nicht sinnvoll, da dadurch starke nichtlineare Verzerrungen entstehen würden.
+*Ein Hüllkurvendemodulator ist für &nbsp;$m > 1$&nbsp; nicht sinnvoll, da dadurch starke nichtlineare Verzerrungen entstehen würden.
-*Die durchgehend gezeichneten Kurven für den Hüllkurvendemodulator (HKD) liegen stets unterhalb der für den Synchrondemodulator (SD) gültigen gestrichelten Geraden, wenn man vom gleichen Modulationsgrad $m$ ausgeht.
+*Die durchgehend gezeichneten Kurven für den Hüllkurvendemodulator $\rm (HKD)$ liegen stets unterhalb der für den Synchrondemodulator $\rm (SD)$ gültigen gestrichelten Geraden, wenn man vom gleichen Modulationsgrad $m$ ausgeht.
-*Ab einem gewissen Wert der Leistungskenngröße $ξ$ sind die HKD–Kurven von den SD–Geraden innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht mehr zu unterscheiden.
+*Ab einem gewissen Wert der Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; sind die $\rm HKD$–Kurven von den $\rm SD$–Geraden innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht mehr zu unterscheiden.
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 Für den [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulator]] und gegen den Hüllkurvendemodulator können dagegen mehrere Gründe angeführt werden:
-*Bei Hüllkurvendemodulation muss eine Übermodulation ($m > 1$) unter allen Umständen vermieden werden. Dies erreicht man beispielsweise durch die Amplitudenbegrenzung des Quellensignals, was aber ebenfalls nichtlineare Verzerrungen zur Folge hat.
+*Bei Hüllkurvendemodulation muss eine Übermodulation &nbsp;$(m > 1)$&nbsp; unter allen Umständen vermieden werden. Dies erreicht man beispielsweise durch die Amplitudenbegrenzung des Quellensignals, was aber ebenfalls nichtlineare Verzerrungen zur Folge hat.
-*Bei sonst gleichen Randbedingungen ist ein Modulationsgrad $m < 1$ nur durch die Erhöhung der Sendeleistung um mindestens den Faktor $3$ zu erreichen. Dies ist auch wegen der berechtigten Diskussionen zum Thema „Elektro-Smog” in großen Teilen unserer Gesellschaft problematisch.
+*Bei sonst gleichen Randbedingungen ist ein Modulationsgrad &nbsp;$m < 1$&nbsp; nur durch die Erhöhung der Sendeleistung um mindestens den Faktor $3$ zu erreichen. Dies ist auch wegen der berechtigten Diskussionen zum Thema „Elektro-Smog” in großen Teilen unserer Gesellschaft problematisch.
 *Lineare Kanalverzerrungen können bei einem Hüllkurvendemodulator zu irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen führen, während die bei Synchrondemodulation entstehenden linearen Verzerrungen möglicherweise durch besondere Maßnahmen beim Empfänger kompensiert werden können.

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 ==Berücksichtigung von Kanalverzerrungen==
 <br>
-Für die folgenden Betrachtungen setzen wir das Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” sowie ein cosinusförmiges Quellensignal $q(t)$ voraus. Die Amplituden von Nachrichten– und Trägersignal seien $A_{\rm N} = 4 \ \rm V$ und $A_{\rm T} = 5 \ \rm  V $ &nbsp; ⇒  &nbsp;   Modulationsgrad $m = 0.8$. Damit ist (ideale) Hüllkurvendemodulation prinzipiell anwendbar.
+Für die folgenden Betrachtungen setzen wir das Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” sowie ein cosinusförmiges Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; voraus. Die Amplituden von Nachrichten– und Trägersignal seien &nbsp;$A_{\rm N} = 4 \ \rm V$&nbsp; und &nbsp;$A_{\rm T} = 5 \ \rm  V $ &nbsp; ⇒  &nbsp;   Modulationsgrad &nbsp;$m = 0.8$. Damit ist (ideale) Hüllkurvendemodulation prinzipiell anwendbar.
 Die Grafik zeigt von oben nach unten
-*die Spektren $S_{\rm TP}(f)$ und $R_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals, die als reell angenommen werden,
+*die Spektren &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; und &nbsp;$R_{\rm TP}(f)$&nbsp; des äquivalenten TP–Signals, die als reell angenommen werden,
-*die äquivalenten Tiefpass–Signale $s_{\rm TP}(t)$ und $r_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene, und schließlich
+*die äquivalenten Tiefpass–Signale &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; und &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene, und schließlich
-*die physikalischen Signale $s(t)$ und $r(t)$.
+*die physikalischen Signale &nbsp;$s(t)$&nbsp; und &nbsp;$r(t)$.
 [[Datei: P_ID1028__Mod_T_2_3_S7_neu.png |center|frame|Spektren und Signale zur Verdeutlichung der Hüllkurvendemodulation]]
-*Die linke Bildhälfte zeigt die Senderseite und gibt gleichzeitig die Verhältnisse am Empfänger bei idealem Kanal an. Wegen des Modulationsgrades $m ≤ 1$ erkennt man in der Hüllkurve $a(t)$ das Quellensignal $q(t)$ &nbsp; ⇒  &nbsp;  Hüllkurvendemodulation ist also ohne Verzerrungen anwendbar, wie im $\text{Beispiel 4}$ gezeigt wird.
+*Die linke Bildhälfte zeigt die Senderseite und gibt gleichzeitig die Verhältnisse am Empfänger bei idealem Kanal an. Wegen des Modulationsgrades &nbsp;$m ≤ 1$&nbsp; erkennt man in der Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; das Quellensignal &nbsp;$q(t)$ &nbsp; ⇒  &nbsp;  Hüllkurvendemodulation ist also ohne Verzerrungen anwendbar, wie im &nbsp;$\text{Beispiel 4}$&nbsp; gezeigt wird.
-*Die rechte Hälfte berücksichtigt unsymmetrische Kanalverzerrungen. Der Träger wird mit $α_{\rm T} = 0.8$ gedämpft, das obere Seitenband sogar mit $α_{\rm O} = 0.5$. Nun verläuft die Hüllkurve $a(t) ≠ q(t) + A_{\rm T}$ nicht mehr cosinusförmig  &nbsp; ⇒  &nbsp; Hüllkurvendemodulation führt hier zu nichtlinearen Verzerrungen (siehe $\text{Beispiel 5}$).
+*Die rechte Hälfte berücksichtigt unsymmetrische Kanalverzerrungen. Der Träger wird mit &nbsp;$α_{\rm T} = 0.8$&nbsp; gedämpft, das obere Seitenband sogar mit &nbsp;$α_{\rm O} = 0.5$. Nun verläuft die Hüllkurve &nbsp;$a(t) ≠ q(t) + A_{\rm T}$&nbsp; nicht mehr cosinusförmig  &nbsp; ⇒  &nbsp; Hüllkurvendemodulation führt hier zu nichtlinearen Verzerrungen wie im &nbsp;$\text{Beispiel 5}$&nbsp; gezeigt.
 [[Datei:Mod_T_2_3_S7a_version2.png|right|frame| Hüllkurvendemodulation bei idealem Kanal]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$ &nbsp; Es gelte weiterhin $A_{\rm N} = 4 \ \rm V$ und $A_{\rm T} = 5 V$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  Modulationsgrad $m = 0.8$.
+$\text{Beispiel 4:}$ &nbsp; Es gelte weiterhin &nbsp;$A_{\rm N} = 4 \ \rm V$&nbsp; und &nbsp;$A_{\rm T} = 5 \rm V$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  Modulationsgrad &nbsp;$m = 0.8$.
 Die Grafik verdeutlicht den Einsatz eines idealen Hüllkurvendemodulators bei idealem Kanal, wobei folgende Identitäten berücksichtigt sind:
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 Man erkennt aus diesen Darstellungen:
-*Der den Träger beschreibende rote Zeiger der Länge $A_{\rm T}$ liegt fest. Das obere Seitenband (blau) dreht in mathematisch positiver Richtung, das untere Seitenband (grün) entgegengesetzt.
+*Der den Träger beschreibende rote Zeiger der Länge &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; liegt fest.
-*Da der blaue und der grüne Zeiger beide mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit $ω_{\rm N}$ drehen, aber in entgegengesetzte Richtungen, ist die vektorielle Summe aller Zeiger zu allen Zeiten reell.
+*Das obere Seitenband (blau) dreht in mathematisch positiver Richtung, das untere Seitenband (grün) entgegengesetzt.
-*Ist der Modulationsgrad $m ≤ 1$, so gilt für alle Zeiten $r_{\rm TP}(t) ≥ 0$ und $ϕ(t) = 0$. Das bedeutet, dass die Nulldurchgänge des Empfangssignals $r(t)$ genau mit denen des Trägersignals $z(t)$ übereinstimmen.
+*Da der blaue und der grüne Zeiger beide mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit &nbsp;$ω_{\rm N}$&nbsp; drehen, aber in entgegengesetzte Richtungen, ist die vektorielle Summe aller Zeiger stets reell.
-*Die Hüllkurve $a(t)$ des physikalischen Signals $r(t)$ ist gleich der resultierenden Zeigerlänge, also gleich dem Betrag von $r_{\rm TP}(t)$. Da der Modulationsgrad kleiner 1 ist, gilt $a(t) = q(t) + A_{\rm T}$.
+*Ist der Modulationsgrad &nbsp;$m ≤ 1$, so gilt für alle Zeiten &nbsp;$r_{\rm TP}(t) ≥ 0$&nbsp; und &nbsp;$ϕ(t) = 0$. Das bedeutet, dass die Nulldurchgänge des Empfangssignals &nbsp;$r(t)$&nbsp; genau mit denen des Trägersignals &nbsp;$z(t)$&nbsp; übereinstimmen.
-*Bei den gegebenen Amplitudenwerten liegt die Ortskurve $r_{\rm TP}(t)$ auf der reellen Achse zwischen den Endpunkten $A_{\rm T} \ – \ A_{\rm N} = 1\ \rm  V$ und $A_{\rm T} + A_{\rm N} = 9 \ \rm  V$.
+*Die Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; des physikalischen Signals &nbsp;$r(t)$&nbsp; ist gleich der resultierenden Zeigerlänge, also gleich dem Betrag von &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$. Wegen &nbsp;$m< 1$&nbsp; gilt &nbsp;$a(t) = q(t) + A_{\rm T}$.
-*Die Ortskurve auf der reellen Achse in der rechten Halbebene ist ein Indiz dafür, dass durch einen Hüllkurvendemodulator das Nachrichtensignal verzerrungsfrei extrahiert werden kann.}}
+*Bei den gegebenen Amplitudenwerten liegt die Ortskurve &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; auf der reellen Achse zwischen den Endpunkten &nbsp;$A_{\rm T} \ – \ A_{\rm N} = 1\ \rm  V$&nbsp; und &nbsp;$A_{\rm T} + A_{\rm N} = 9 \ \rm  V$.
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 Diese Grafiken lassen sich wie folgt interpretieren:
 *Aufgrund der unterschiedlichen Längen von grünem Zeiger (USB) und blauem Zeiger (OSB) wird die Ortskurve zu einer Ellipse, deren Mittelpunkt durch den (roten) Träger festliegt.
-*Der Winkel zwischen dem komplexwertigen $r_{\rm TP}(t)$ und dem Koordinatenursprung ist nun nicht mehr durchgängig $ϕ(t) = 0$, sondern schwankt zwischen $±ϕ_{\rm max}.$
+*Der Winkel zwischen dem komplexwertigen  &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; und dem Koordinatenursprung ist nun nicht mehr durchgängig &nbsp;$ϕ(t) = 0$, sondern schwankt zwischen &nbsp;$±ϕ_{\rm max}.$
-*Die maximale Phase ist gleich dem Winkel der Tangente an die Ellipse. Im physikalischen Signal führt $ϕ(t) ≠ 0$ zu Verschiebungen der Nulldurchgänge von $r(t)$ gegenüber dem Trägersignal $z(t)$.
+*Die maximale Phase ist gleich dem Winkel der Tangente an die Ellipse. Im physikalischen Signal führt &nbsp;$ϕ(t) ≠ 0$&nbsp; zu Verschiebungen der Nulldurchgänge von &nbsp;$r(t)$&nbsp; gegenüber dem Trägersignal &nbsp;$z(t)$.
-*Der Betrag $a(t) = \vert r_{\rm TP}(t) \vert$ – also die Hüllkurve von $r(t)$ – ist nun nicht mehr cosinusförmig, und das Signal nach dem Hüllkurvendemodulator beinhaltet außer der Frequenz $f_{\rm N}$ auch Oberwellen:
+*Der Betrag &nbsp;$a(t) = \vert r_{\rm TP}(t) \vert$ – also die Hüllkurve von &nbsp;$r(t)$ – ist nun nicht mehr cosinusförmig und das Signal nach dem Hüllkurvendemodulator beinhaltet außer der Frequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; auch Oberwellen:
 :$$v(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N}\cdot t ) +A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N}\cdot t
   )+A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t )+ \text{...}$$
-*Diese führen zu nichtlinearen Verzerrungen und werden durch den Klirrfaktor $K$ erfasst.
+*Diese führen zu nichtlinearen Verzerrungen und werden durch den Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp; erfasst.
-<br> Mit $A_{\rm N} = 4 \ \rm V$, $A_{\rm T} = 5 \ \rm  V$, $α_{\rm U} = 1$ und $α_{\rm T} = 0.8$ ergeben sich in Abhängigkeit von $α_{\rm O}$ folgende Zahlkenwerte:
+<br> Mit &nbsp;$A_{\rm N} = 4 \ \rm V$, &nbsp;$A_{\rm T} = 5 \ \rm  V$, &nbsp;$α_{\rm U} = 1$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm T} = 0.8$&nbsp; ergeben sich in Abhängigkeit von &nbsp;$α_{\rm O}$&nbsp; folgende Zahlkenwerte:
 : $α_{\rm O} = 1.00$:  &nbsp;  &nbsp; $K = 0$ &nbsp; ⇒  &nbsp; lediglich der Träger wird gedämpft,
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-Obige Grafiken gelten für $α_{\rm O} = 0.5$.  Allerdings ist mit dem bloßen Auge schwierig zu erkennen:
+Die obige Grafik gilt für &nbsp;$α_{\rm O} = 0.5$.  Dann kommt es (allerdings mit dem bloßen Auge nur schwer zu erkennen)
-*die Verschiebungen der Nulldurchgänge  im Signal $r(t)$ um maximal $25^\circ\hspace{-0.05cm}/360^\circ ≈ 7\%$ der Trägerperiode $T_0$,
+*zu Verschiebungen der Nulldurchgänge  im Signal &nbsp;$r(t)$&nbsp; um maximal &nbsp;$25^\circ\hspace{-0.05cm}/360^\circ ≈ 7\%$ der Trägerperiode $T_0$, und
-* die Abweichung von der idealen Cosinusform   &nbsp; ⇒  &nbsp;   $K ≈ 1.5\%$ . }}
+* zur Abweichung von der idealen Cosinusform   &nbsp; ⇒  &nbsp;   $K ≈ 1.5\%$ . }}

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 ==Sonderfall eines cosinusförmigen Nachrichtensignals==
 <br>
-Zur quantitativen Erfassung der nichtlinearen Verzerrungen aufgrund eines Modulationsgrades $m> 1$ gehen wir von folgendem Szenario aus:
+Zur quantitativen Erfassung der nichtlinearen Verzerrungen aufgrund eines Modulationsgrades &nbsp;$m> 1$&nbsp; gehen wir von folgendem Szenario aus:
 [[Datei: P_ID2960__Mod_T_2_3_S5_neu.png |right|frame| Fehlersignal bei Hüllkurvendemodulation]]
 *cosinusförmiges Quellensignal: &nbsp; $q(t) = A_{\rm N} \cdot  \cos(\omega_{\rm N} \cdot t);$
@@ Zeile 143: / Zeile 143: @@
-Die Grafik gilt für die Signalparameter $A_{\rm N} = 5 \ \rm V$, $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, $A_{\rm T} = 4 \ \rm  V$ und $f_{\rm T} = 100\ \rm  kHz$ und zeigt
+Die Grafik gilt für die Signalparameter &nbsp;$A_{\rm N} = 5 \ \rm V$, &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, &nbsp;$A_{\rm T} = 4 \ \rm  V$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm T} = 100\ \rm  kHz$&nbsp; und zeigt
-* oben das Sinkensignal $v(t)$ im Vergleich zum Quellensignal $q(t)$,
+* oben das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; im Vergleich zum Quellensignal &nbsp;$q(t)$,
-* in der Mitte das Empfangssignal $r(t)$  sowie die Hüllkurve $a(t) = |r(t)|$,
+* in der Mitte das Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp;  sowie die Hüllkurve &nbsp;$a(t) = |r(t)|$,
-*unten das Fehlersignal $ε(t) = v(t) \ – \ q(t)$ aufgrund von nichtlinearen Verzerrungen.
+*unten das Fehlersignal &nbsp;$ε(t) = v(t) \ – \ q(t)$&nbsp; aufgrund von nichtlinearen Verzerrungen.
+<br clear=all>
 Anhand der Grafiken sind folgende Aussagen möglich:
-*Ein Vergleich der Signale $q(t)$ und $a(t)$ zeigt, dass im Beispiel zu etwa 80% aller Zeiten die Hüllkurve $a(t)$ das Quellensignal $q(t)$ in der Form richtig wiedergibt.
+*Ein Vergleich der Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$a(t)$&nbsp; zeigt, dass im Beispiel zu etwa $80\%$ aller Zeiten die Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; in der Form richtig wiedergibt.
-*Das Maximum von $a(t)$ ist allerdings um den zugesetzten Träger $A_{\rm T}$ deutlich größer als das Maximum von $s(t)$.
+*Das Maximum von &nbsp;$a(t)$&nbsp; ist allerdings um den zugesetzten Träger &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; deutlich größer als das Maximum von &nbsp;$q(t)$.
-*Das Sinkensignal $v(t)$ unterscheidet sich von der Hüllkurve $a(t)$ durch dessen Erwartungswert ${\rm Ε}[a(t)]$, der durch den Tiefpass des Hüllkurvendemodulators entfernt wird.
+*Das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; unterscheidet sich von der Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; durch den Erwartungswert &nbsp;${\rm Ε}\big[a(t)\big]$, der vom Tiefpass des Hüllkurvendemodulators entfernt wird.
-*Da ${\rm Ε}[a(t)] = 4.27 \ \rm  V$ nicht mit $A_{\rm T} = 4 \ \rm V$ übereinstimmt, unterscheidet sich $υ(t)$ von $q(t)$ auch in den Bereichen, in denen $a(t)$ richtig detektiert wird, und zwar um den konstanten Wert $0.27 \ \rm V$.
+*Da &nbsp;${\rm Ε}\big[a(t)\big] = 4.27 \ \rm  V$&nbsp; nicht mit &nbsp;$A_{\rm T} = 4 \ \rm V$&nbsp; übereinstimmt, unterscheidet sich &nbsp;$v(t)$&nbsp; von &nbsp;$q(t)$&nbsp; auch in den Bereichen, in denen &nbsp;$a(t)$&nbsp; richtig detektiert wird, und zwar um den konstanten Wert &nbsp;$0.27 \ \rm V$.
-*Aus dem cosinusförmigen Quellensignal $q(t)$ wird ein Signal $v(t)$ mit Oberwellen:
+*Aus dem cosinusförmigen Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; wird ein Signal &nbsp;$v(t)$&nbsp; mit Oberwellen:
 :$$v(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t ) +A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} t
   )+A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} t )+ \text{...}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 1} = 4.48\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.46\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 3} = -0.37\,{\rm V},\hspace{0.3cm}
   A_{\rm 4} = 0.26\,{\rm V},\hspace{0.1cm}\text{...}$$
-*Damit erhält man für die einzelnen Klirrfaktoren sowie den Gesamtklirrfaktor entsprechend den Angaben im Buch [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Der_Klirrfaktor|Lineare zeitinvariante Systeme]]:
+*Damit erhält man für die einzelnen Klirrfaktoren sowie den Gesamtklirrfaktor entsprechend den Angaben im Buch &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Der_Klirrfaktor|Lineare zeitinvariante Systeme]]:
 :$$K_2 ={|A_{\rm 2}|}/{A_{\rm 1}} = 0.102,\hspace{0.3cm}K_3 =
 {|A_{\rm 3}|}/{A_{\rm 1}} = 0.082,\hspace{0.3cm}K_4 =
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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 +\text{...} } \approx 15 \%.$$
-Im Kapitel [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_im_Hinblick_auf_Signalverzerrungen|Qualitätskriterien]] wurde gezeigt, dass damit auch das SNR $ρ_v = 1/K^2 ≈ 44$ festliegt. $ρ_v$ (nicht aber $K$) kann zudem auch dann als Qualitätskriterium herangezogen werden, wenn $q(t)$ mehr als eine Frequenz beinhaltet  &nbsp; ⇒  &nbsp; Herleitung im Buch [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Der_Klirrfaktor|Lineare zeitinvariante Systeme]].
+Im Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_im_Hinblick_auf_Signalverzerrungen|Qualitätskriterien]]&nbsp; wurde gezeigt, dass damit auch das SNR &nbsp;$ρ_v = 1/K^2 ≈ 44$&nbsp; festliegt. $ρ_v$&nbsp; $($nicht aber &nbsp;$K)$ kann zudem auch dann als Qualitätskriterium herangezogen werden, wenn &nbsp;$q(t)$&nbsp; mehr als eine Frequenz beinhaltet  &nbsp; ⇒  &nbsp; Herleitung im Buch &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Der_Klirrfaktor|Lineare zeitinvariante Systeme]].
 ==Berücksichtigung von Kanalverzerrungen==