Modulationsverfahren/Frequenzmodulation (FM) - Versionsgeschichte

Guenter am 25. März 2022 um 13:20 Uhr

2022-03-25T13:20:53Z

Guenter am 25. März 2022 um 13:19 Uhr

2022-03-25T13:19:33Z

Guenter am 25. März 2022 um 13:17 Uhr

2022-03-25T13:17:02Z

Guenter am 24. März 2022 um 16:36 Uhr

2022-03-24T16:36:49Z

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2022-03-22T16:21:13Z

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Guenter am 11. April 2021 um 13:48 Uhr

2021-04-11T13:48:56Z

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Guenter am 25. März 2020 um 17:07 Uhr

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Guenter am 25. März 2020 um 17:05 Uhr

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Guenter am 25. März 2020 um 16:33 Uhr

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 Diese Gleichung lässt sich wie folgt begründen:
-*Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|"Äquivalentes Tiefpass-Signal bei PM"]]&nbsp; wurde diese Gleichung für ein phasenmoduliertes Sinussignal abgeleitet,&nbsp; wobei &nbsp;$η = A_{\rm N} · K_{\rm PM}$&nbsp; den Modulationsindex  bezeichnet und &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; die Besselfunkton erster Art und&nbsp; $n$&ndash;ter Ordnung.&nbsp; $K_{\rm PM}$&nbsp; ist die Modulatorkonstante.
+*Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_Tiefpass.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|"Äquivalentes Tiefpass-Signal bei PM"]]&nbsp; wurde diese Gleichung für ein phasenmoduliertes Sinussignal abgeleitet,&nbsp; wobei &nbsp;$η = A_{\rm N} · K_{\rm PM}$&nbsp; den Modulationsindex  bezeichnet und &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; die Besselfunkton erster Art und&nbsp; $n$&ndash;ter Ordnung.&nbsp; $K_{\rm PM}$&nbsp; ist die Modulatorkonstante.
 *Durch eine andere Nachrichtenphase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; ändert sich nur die Phasenfunktion &nbsp;${\rm arc} \ S_+(f)$,&nbsp; nicht aber das Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$.&nbsp; Dieses wichtige Ergebnis wurde auch durch die &nbsp;[[Aufgaben:3.3Z_Kenngrößenbestimmung|Aufgabe 3.3Z]]&nbsp; bestätigt.
 *Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Frequenzmodulation_eines_Cosinussignals|"Frequenzmodulation eines Cosinussignals"]]&nbsp; wurde gezeigt,&nbsp; dass ein FM–Signal in gleicher Weise wie ein PM–Signal dargestellt werden kann,&nbsp; wenn der Modulationsindex &nbsp;$η = K_{\rm FM} · A_{\rm N}/ω_{\rm N}$&nbsp; verwendet wird.&nbsp; Folgerichtig sind auch die Betragsspektren bei Phasen- und Frequenzmodulation in gleicher Form darstellbar.

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 Diese Gleichung lässt sich wie folgt begründen:
-*Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|"Äquivalentes Tiefpaa-Signal bei PM"]]&nbsp; wurde diese Gleichung für ein phasenmoduliertes Sinussignal abgeleitet,&nbsp; wobei &nbsp;$η = A_{\rm N} · K_{\rm PM}$&nbsp; den Modulationsindex  bezeichnet und &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; die Besselfunkton erster Art und&nbsp; $n$&ndash;ter Ordnung.&nbsp; $K_{\rm PM}$&nbsp; ist die Modulatorkonstante.
+*Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|"Äquivalentes Tiefpass-Signal bei PM"]]&nbsp; wurde diese Gleichung für ein phasenmoduliertes Sinussignal abgeleitet,&nbsp; wobei &nbsp;$η = A_{\rm N} · K_{\rm PM}$&nbsp; den Modulationsindex  bezeichnet und &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; die Besselfunkton erster Art und&nbsp; $n$&ndash;ter Ordnung.&nbsp; $K_{\rm PM}$&nbsp; ist die Modulatorkonstante.
 *Durch eine andere Nachrichtenphase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; ändert sich nur die Phasenfunktion &nbsp;${\rm arc} \ S_+(f)$,&nbsp; nicht aber das Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$.&nbsp; Dieses wichtige Ergebnis wurde auch durch die &nbsp;[[Aufgaben:3.3Z_Kenngrößenbestimmung|Aufgabe 3.3Z]]&nbsp; bestätigt.
 *Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Frequenzmodulation_eines_Cosinussignals|"Frequenzmodulation eines Cosinussignals"]]&nbsp; wurde gezeigt,&nbsp; dass ein FM–Signal in gleicher Weise wie ein PM–Signal dargestellt werden kann,&nbsp; wenn der Modulationsindex &nbsp;$η = K_{\rm FM} · A_{\rm N}/ω_{\rm N}$&nbsp; verwendet wird.&nbsp; Folgerichtig sind auch die Betragsspektren bei Phasen- und Frequenzmodulation in gleicher Form darstellbar.

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 ==Einfluss einer Bandbegrenzung bei Winkelmodulation==
 <br>
-Fassen wir einige bisherige Resultate dieses Abschnittss kurz zusammen, wobei wir beispielhaft die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$, die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 5  \ \rm kHz$&nbsp; und den Modulationsindex &nbsp;$η = π/2 \approx 1.5$&nbsp; voraussetzen:
+Fassen wir einige bisherige Resultate dieses Abschnittss kurz zusammen,&nbsp; wobei wir beispielhaft
-*Selbst wenn man alle Spektrallinien mit Beträgen kleiner als  &nbsp;$0.01$&nbsp; vernachlässigt, beträgt die dann endliche Bandbreite für &nbsp;$η = π/2$&nbsp; noch immer &nbsp;$B_{\rm HF} = 8 · f_{\rm N} = 40  \ \rm kHz$.
+voraussetzen:
-*Die Ortskurve &nbsp;–&nbsp; also der Verlauf des äquivalenten Tiefpass–Signals in der komplexen Ebene &nbsp;–&nbsp; ist im Idealfall ein Kreisbogen mit einem Öffnungswinkel von &nbsp;$±1.57 \ {\rm rad} = ±90^\circ$.
+#Das Spektrum einer winkelmodulierten Schwingung besteht aus Bessellinien um den Träger &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; im Abstand &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; der Nachrichtenfrequenz und ist theoretisch unendlich weit ausgedehnt.
+#Selbst wenn man alle Spektrallinien mit Beträgen kleiner als  &nbsp;$0.01$&nbsp; vernachlässigt,&nbsp; beträgt die dann endliche Bandbreite für &nbsp;$η = π/2$&nbsp; noch immer &nbsp;$B_{\rm HF} = 8 · f_{\rm N} = 40  \ \rm kHz$.
-*Dieser Kreisbogen nach der vektoriellen Addition ergibt sich allerdings nur dann, wenn alle Bessellinien in der Ortskurve mit den richtigen Zeigerlängen, den richtigen Phasenlagen und den richtigen Kreisfrequenzen rotieren.
+#Die Ortskurve &nbsp;–&nbsp; also der Verlauf des äquivalenten Tiefpass–Signals in der komplexen Ebene &nbsp;–&nbsp; ist im Idealfall ein Kreisbogen mit einem Öffnungswinkel von &nbsp;$±1.57 \ {\rm rad} = ±90^\circ$.
+#Dieser Kreisbogen nach der vektoriellen Addition ergibt sich allerdings nur dann,&nbsp; wenn alle Bessellinien in der Ortskurve mit den richtigen Zeigerlängen,&nbsp; den richtigen Phasenlagen und den richtigen Kreisfrequenzen rotieren.
-*Logischerweise wird die kreisbogenförmige Ortskurve verändert, wenn Spektrallinien verfälscht werden&nbsp; (zum Beispiel durch lineare Kanalverzerrungen)&nbsp; oder ganz fehlen&nbsp; (zum Beispiel durch eine Bandbegrenzung).
+#Logischerweise wird die kreisbogenförmige Ortskurve verändert,&nbsp; wenn Spektrallinien verfälscht werden&nbsp; (zum Beispiel durch lineare Kanalverzerrungen)&nbsp; oder ganz fehlen&nbsp; (zum Beispiel durch eine Bandbegrenzung).
+#Da der ideale Winkeldemodulator die Phase &nbsp;$ϕ_r(t)$&nbsp; des Empfangssignals detektiert und daraus das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; gewinnt, wird dieses dadurch verfälscht und zwar sogar nichtlinear.&nbsp; Das heißt:&nbsp; Die Verzerrungen sind irreversibel und können nicht durch ein lineares Filter kompensiert werden.
-*Da der ideale Winkeldemodulator die Phase &nbsp;$ϕ_r(t)$&nbsp; des Empfangssignals detektiert und daraus das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; gewinnt, wird dieses dadurch verfälscht und zwar sogar nichtlinear.&nbsp; Das heißt:&nbsp; Die Verzerrungen sind irreversibel und können nicht durch ein lineares Filter kompensiert werden.
+#Das bedeutet gleichzeitig: &nbsp; '''Aufgrund linearer Verzerrungen auf  dem Kanal kommt es zu nichtlinearen Verzerrungen im demodulierten Signal'''  &nbsp;$v(t)$ &nbsp; ⇒  &nbsp;   dadurch entstehen  neue Frequenzen&nbsp; ('''Oberwellen'''),&nbsp; die im Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; nicht enthalten waren.
+#Je kleiner die zur Verfügung stehende Bandbreite &nbsp;$B_{\rm HF}$&nbsp; ist und je größer der Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; gewählt wird,&nbsp; desto größer wird der die nichtlinearen Verzerrungen beschreibende Klirrfaktor&nbsp; $K$.&nbsp;
-*Das bedeutet gleichzeitig: &nbsp; '''Aufgrund linearer Verzerrungen auf  dem Kanal kommt es zu nichtlinearen Verzerrungen im demodulierten Signal'''  &nbsp;$v(t)$ &nbsp; ⇒  &nbsp;   dadurch entstehen  neue Frequenzen ('''Oberwellen'''), die im Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; nicht enthalten waren.
+#Als Faustformel für die erforderliche HF–Bandbreite für einen geforderten Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp; gilt nach der so genannten&nbsp; &bdquo;Carson–Regel&rdquo;:
+::$$K < 10\%\text{:}\hspace{0.6cm} B_{\rm HF}  \ge  2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +1)\hspace{0.05cm},$$
-*Je kleiner die zur Verfügung stehende Bandbreite &nbsp;$B_{\rm HF}$&nbsp; ist und je größer der Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; gewählt wird, desto größer wird der die nichtlinearen Verzerrungen beschreibende Klirrfaktor&nbsp; $K$.&nbsp; Als Faustformel für die erforderliche HF–Bandbreite für einen geforderten Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp; gilt nach der so genannten&nbsp; &bdquo;Carson–Regel&rdquo;:
+::$$K < 1\%\text{:}\hspace{0.72cm} B_{\rm HF} \ge 2 \cdot f_{\rm N} \cdot(\eta +2)\hspace{0.05cm}.$$
 {{GraueBox|TEXT=
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 [[Datei:P_ID1104__Mod_T_3_2_S5_neu.png|right|frame| Einfluss einer Bandbegrenzung bei Winkelmodulation]]
-*Um den Klirrfaktor  auf Werte &nbsp;$K < 1\%$&nbsp; zu begrenzen, ist nach der Carson–Regel eine HF–Bandbreite von&nbsp; $B_{1 \%} ≈ 36 \ \rm  kHz$&nbsp; erforderlich.
+*Um den Klirrfaktor  auf Werte &nbsp;$K < 1\%$&nbsp; zu begrenzen,&nbsp; ist nach der Carson–Regel eine HF–Bandbreite von&nbsp; $B_{1 \%} ≈ 36 \ \rm  kHz$&nbsp; erforderlich.
-*Das äquivalente Tiefpass–Signal setzt sich dann aus der Konstanten &nbsp;$D_0$&nbsp; und je drei entgegen dem Uhrzeigersinn &nbsp;$(D_1, D_2, D_3)$&nbsp; bzw. im Uhrzeigersinn &nbsp;$(D_{-1}, D_{-2}, D_{-3})$&nbsp; drehenden Zeigern zusammen:
+*$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; setzt sich dann aus der Konstanten &nbsp;$D_0$&nbsp; und je drei entgegen dem Uhrzeigersinn &nbsp;$(D_1, D_2, D_3)$&nbsp; bzw. im Uhrzeigersinn &nbsp;$(D_{-1}, D_{-2}, D_{-3})$&nbsp; drehenden Zeigern zusammen:
 :$$\begin{align*}s_{\rm TP}(t) & =  \sum_{n = - 3}^{+3}D_n  \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\end{align*}$$
-*Die ockerfarbene Kurve in der Zeitbereichsdarstellung macht deutlich, dass sich das äquivalente Tiefpass-Signal durch diese Bandbegrenzung nur geringfügig vom verzerrungsfreien Halbkreis&nbsp; (dünne schwarze Linie)&nbsp; unterscheidet.
+*Die ockerfarbene Kurve in der Zeitbereichsdarstellung macht deutlich,&nbsp; dass sich das äquivalente Tiefpass-Signal durch diese Bandbegrenzung nur geringfügig vom verzerrungsfreien Halbkreis&nbsp; (dünne schwarze Linie)&nbsp; unterscheidet.
-Gibt man sich mit einem Klirrfaktor &nbsp;$K < 10\%$&nbsp; zufrieden, so ist bereits die HF–Bandbreite &nbsp;$B_{10 \%} ≈ 26\ \rm  kHz$&nbsp; ausreichend.
+Gibt man sich mit einem Klirrfaktor &nbsp;$K < 10\%$&nbsp; zufrieden,&nbsp; so ist bereits die HF–Bandbreite &nbsp;$B_{10 \%} ≈ 26\ \rm  kHz$&nbsp; ausreichend.
 *Damit werden auch die beiden Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_3$&nbsp; und &nbsp;$D_{-3}$&nbsp; abgeschnitten und die violett dargestellte Ortskurve beschreibt einen Parabelabschnitt.&nbsp;
-*Die Simulation dieses Fallbeispiels liefert den Klirrfaktor &nbsp;$K ≈ 6\%$.
+*Die Simulation dieses Fallbeispiels liefert den Klirrfaktor &nbsp;$K ≈ 6\%$.&nbsp; Man erkennt:&nbsp; <br>Die Carson–Regel liefert oft ein etwas zu pessimistisches Ergebnis&nbsp; $(10\%$&nbsp; anstelle von&nbsp; $6\%)$. }}
 ==Realisierung eines FM–Modulators==
 <br>
-Eine Frequenzmodulation erhält man dann, wenn die Schwingfrequenz eines Oszillators im Rhythmus des modulierenden Signals verändert wird.&nbsp; Als frequenzbestimmende Elemente dienen meist RC–Glieder oder Schwingkreise. &nbsp; &nbsp; Die linke Grafik zeigt eine schaltungstechnische Realisierungsform; die genaue Schaltungsbeschreibung finden Sie in [Mäu 88]<ref name= "Mäu 88">Mäusl, R.: ''Analoge Modulationsverfahren.''  Heidelberg: Dr. Hüthig, 1988.</ref>.&nbsp;  Rechts ist die idealisierte Frequenz–Spannungskennlinie dargestellt.
+Eine Frequenzmodulation erhält man dann,&nbsp; wenn die Schwingfrequenz eines Oszillators im Rhythmus des modulierenden Signals verändert wird.&nbsp; Als frequenzbestimmende Elemente dienen meist RC–Glieder oder Schwingkreise. &nbsp; &nbsp; Die linke Grafik zeigt eine schaltungstechnische Realisierungsform; die genaue Schaltungsbeschreibung finden Sie in [Mäu 88]<ref name= "Mäu 88">Mäusl, R.:&nbsp; Analoge Modulationsverfahren.&nbsp;  Heidelberg: Dr. Hüthig, 1988.</ref>.&nbsp;  Rechts ist die idealisierte Frequenz–Spannungskennlinie dargestellt.
 [[Datei:P_ID1097__Mod_T_3_2_S6_neu.png |right|frame| Realisierung eines FM–Modulators und dessen Kennlinie]]
 Hier sollen nur einige wenige Anmerkungen gemacht werden:
-*Die anliegende Spannung &nbsp;$u(t)$&nbsp; setzt sich additiv aus dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und einem Gleichanteil &nbsp;$A_0$&nbsp; zusammen, der den&nbsp; <u>Arbeitspunkt</u>&nbsp; festlegt.
+*Die anliegende Spannung &nbsp;$u(t)$&nbsp; setzt sich additiv aus dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und einem Gleichanteil &nbsp;$A_0$&nbsp; zusammen,&nbsp; der den&nbsp; <u>Arbeitspunkt</u>&nbsp; festlegt.
 *Die Kapazität&nbsp; $C$&nbsp; der&nbsp; <u>Kapazitätsdiode</u>&nbsp; ist näherungsweise proportional zu &nbsp;$1/u^{2}(t)$,&nbsp; so dass sich die Schwingfrequenz des LC–Oszillators abhängig von &nbsp;$q(t)$&nbsp; verändert.
 *Bei nur kleiner Frequenzänderung hängen &nbsp;$u(t)$&nbsp; und $f_{\rm A}(t)$ linear zusammen.&nbsp; Damit ist die&nbsp; <u>Augenblickskreisfrequenz</u>&nbsp; mit der Steigung &nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; der Modulatorkennlinie wie folgt gegeben:
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 Die folgende Grafik zeigt eine zweite Realisierungsmöglichkeit des FM–Demodulators.&nbsp; Eine detaillierte Schaltungsbeschreibung dieses PLL–FM–Demodulators und weitere FM–Demodulatoren – zum Beispiel mittels Flankendiskriminator – finden Sie in&nbsp; [Mäu 88]<ref name="Mäu 88"/>.
-In Stichpunkten lässt sich diese Schaltung, die als Phasenregelschleife&nbsp; $($''Phase–Locked–Loop'',&nbsp; $\rm PLL)$&nbsp; arbeitet, wie folgt beschreiben:
+In Stichpunkten lässt sich diese Schaltung, die als Phasenregelschleife&nbsp; $($"Phase–Locked–Loop",&nbsp; $\rm PLL)$&nbsp; arbeitet,&nbsp; wie folgt beschreiben:
 [[Datei:P_ID1098__Mod_T_3_2_S7_neu.png  |right|frame| PLL – Realisierung eines FM–Demodulators]]
 *Der Phasendetektor ermittelt die Phasenunterschiede&nbsp; (Abstände der Nulldurchgänge)&nbsp; zwischen dem Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; und dem vom VCO bereitgestellten Vergleichssignal.
-*Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; nach Tiefpass–Filterung und Verstärkung ist dann näherungsweise gleich dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$, wenn dieses sendeseitig FM–moduliert wurde.
+*Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; nach Tiefpass–Filterung und Verstärkung ist dann näherungsweise gleich dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$,&nbsp; wenn dieses sendeseitig FM–moduliert wurde.
-*Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; wird gleichzeitig an den Eingang des spannungsgesteuerten Oszillators angelegt. Man bezeichnet diesen auch als ''Voltage Controlled Oscillator,'' abgekürzt&nbsp; $\rm VCO$.
+*Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; wird gleichzeitig an den Eingang des spannungsgesteuerten Oszillators angelegt.&nbsp; Man bezeichnet diesen auch als&nbsp; "Voltage Controlled Oscillator",&nbsp; abgekürzt&nbsp; $\rm VCO$.
-*Das Ausgangssignal des VCO wird permanent in der Weise nachgeregelt, dass dessen Frequenz möglichst der Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; des Empfangssignals &nbsp;$r(t)$&nbsp; entspricht.
+*Das Ausgangssignal des VCO wird permanent in der Weise nachgeregelt,&nbsp; dass dessen Frequenz möglichst der Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; des Empfangssignals &nbsp;$r(t)$&nbsp; entspricht.

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 Nun setzen wir für das Quellensignal allgemein eine harmonische Schwingung mit der Phase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; voraus:
 :$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[2 \pi f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}\big ].$$
-Uns interessiert die Spektralfunktion &nbsp;$S(f)$.&nbsp; Zur einfacheren Darstellung betrachten wir im Folgenden das Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$&nbsp; des analytischen Signals, aus dem &nbsp;$|S(f)|$&nbsp; in der bekannten Weise hergeleitet werden kann.&nbsp;
+Uns interessiert die Spektralfunktion &nbsp;$S(f)$.&nbsp; Zur einfacheren Darstellung betrachten wir im Folgenden das Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$&nbsp; des analytischen Signals,&nbsp; aus dem &nbsp;$|S(f)|$&nbsp; in der bekannten Weise hergeleitet werden kann.&nbsp;
-Für jede Art von Winkelmodulation in der hier beschriebenen Weise – egal, ob Phasen– oder Frequenzmodulation – gilt unabhängig von der Phase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; des Quellensignals:
+Für jede Art von Winkelmodulation in der hier beschriebenen Weise&nbsp; – egal, ob Phasen– oder Frequenzmodulation –&nbsp; gilt unabhängig von der Phase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; des Quellensignals:
 :$$|S_{\rm +}(f)| = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}|{\rm J}_n (\eta)| \cdot \delta \big[f -  (f_{\rm T} + n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$
 Diese Gleichung lässt sich wie folgt begründen:
-*Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes TP-Signal bei PM]]&nbsp; wurde diese Gleichung für ein phasenmoduliertes Sinussignal abgeleitet, wobei &nbsp;$η = A_{\rm N} · K_{\rm PM}$&nbsp; den Modulationsindex  bezeichnet und &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; die Besselfunkton erster Art und&nbsp; $n$&ndash;ter Ordnung.&nbsp; $K_{\rm PM}$&nbsp; ist die Modulatorkonstante.
+*Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|"Äquivalentes Tiefpaa-Signal bei PM"]]&nbsp; wurde diese Gleichung für ein phasenmoduliertes Sinussignal abgeleitet,&nbsp; wobei &nbsp;$η = A_{\rm N} · K_{\rm PM}$&nbsp; den Modulationsindex  bezeichnet und &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; die Besselfunkton erster Art und&nbsp; $n$&ndash;ter Ordnung.&nbsp; $K_{\rm PM}$&nbsp; ist die Modulatorkonstante.
-*Durch eine andere Nachrichtenphase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; ändert sich nur die Phasenfunktion &nbsp;${\rm arc} \ S_+(f)$, nicht aber das Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$.&nbsp; Dieses wichtige Ergebnis wurde auch durch die &nbsp;[[Aufgaben:3.3Z_Kenngrößenbestimmung|Aufgabe 3.3Z]]&nbsp; bestätigt.
+*Durch eine andere Nachrichtenphase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; ändert sich nur die Phasenfunktion &nbsp;${\rm arc} \ S_+(f)$,&nbsp; nicht aber das Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$.&nbsp; Dieses wichtige Ergebnis wurde auch durch die &nbsp;[[Aufgaben:3.3Z_Kenngrößenbestimmung|Aufgabe 3.3Z]]&nbsp; bestätigt.
-*Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Frequenzmodulation_eines_Cosinussignals|Frequenzmodulation eines Cosinussignals]]&nbsp; wurde gezeigt, dass ein FM–Signal in gleicher Weise wie ein PM–Signal dargestellt werden kann, wenn der Modulationsindex &nbsp;$η = K_{\rm FM} · A_{\rm N}/ω_{\rm N}$&nbsp; verwendet wird.&nbsp; Folgerichtig sind auch die Betragsspektren bei Phasen- und Frequenzmodulation in gleicher Form darstellbar.
+*Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Frequenzmodulation_eines_Cosinussignals|"Frequenzmodulation eines Cosinussignals"]]&nbsp; wurde gezeigt,&nbsp; dass ein FM–Signal in gleicher Weise wie ein PM–Signal dargestellt werden kann,&nbsp; wenn der Modulationsindex &nbsp;$η = K_{\rm FM} · A_{\rm N}/ω_{\rm N}$&nbsp; verwendet wird.&nbsp; Folgerichtig sind auch die Betragsspektren bei Phasen- und Frequenzmodulation in gleicher Form darstellbar.
-Wir verweisen hier gerne auch auf den zweiten Teil des Lernvideos &nbsp;[[Winkelmodulation_-_Frequenz-_und_Phasenmodulation_(Lernvideo)|Winkelmodulation &ndash; Frequenz&ndash; und Phasenmodulation]].
+Wir verweisen hier gerne auch auf den zweiten Teil des Lernvideos &nbsp;[[Winkelmodulation_-_Frequenz-_und_Phasenmodulation_(Lernvideo)|"Winkelmodulation &ndash; Frequenz&ndash; und Phasenmodulation"]].
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
 Wir betrachten wieder eine harmonische Schwingung mit der Amplitude &nbsp;$A_{\rm N} = 3 \ \rm V$&nbsp; nach
 *einer Phasenmodulation mit &nbsp;$K_{\rm PM} = \rm 0.5 \ \rm  V^{–1}$,
 *einer Frequenzmodulation mit &nbsp;$K_{\rm FM} = \rm 15708 \ \rm V^{–1}s^{–1}$.
-Die zugehörigen Signalverläufe sind im &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Frequenzmodulation_eines_Cosinussignals|$\text{Beispiel 2}$]]&nbsp; dargestellt.
+Die zugehörigen Signalverläufe sind im &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Frequenzmodulation_eines_Cosinussignals|$\text{Beispiel 2}$]]&nbsp; dargestellt:
 *Bei beiden Übertragungssystemen ergibt sich für &nbsp;$f_{\rm N} = 5  \ \rm kHz$&nbsp; ein Besselspektrum mit dem Modulationsindex &nbsp;$η = 1.5$.
-*Die identischen Betragsspektren des analytischen Signals (nur positive Frequenzen) sind in den beiden&nbsp; <u>oberen Grafiken</u>&nbsp; dargestellt.
+*Die identischen Betragsspektren des analytischen Signals&nbsp; (nur positive Frequenzen)&nbsp; sind in den&nbsp; <u>oberen Grafiken</u>&nbsp; dargestellt.
 *Bessellinien mit Werten kleiner als &nbsp;$0.03$&nbsp; sind hierbei in beiden Fällen vernachlässigt.
-−
 Die&nbsp; <u>unteren Grafiken</u>&nbsp; gelten für die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 3 \ \rm kHz$:
-*Bei der Phasenmodulation ergibt sich gegenüber &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; nun eine schmalere Spektralfunktion, da der Abstand der Bessellinien nur mehr &nbsp;$3 \ \rm kHz$&nbsp; beträgt&nbsp; (linke untere Grafik).
+*Bei der Phasenmodulation ergibt sich gegenüber &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; nun eine schmalere Spektralfunktion,&nbsp; da der Abstand der Bessellinien nur mehr &nbsp;$3 \ \rm kHz$&nbsp; beträgt&nbsp; (linke untere Grafik).
-*Da sich der Modulationsindex &nbsp;$η = 1.5$&nbsp; nicht ändert, ergeben sich die gleichen Besselgewichte wie bei &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; (obere Grafik).
+*Da sich der Modulationsindex &nbsp;$η = 1.5$&nbsp; nicht ändert,&nbsp; ergeben sich die gleichen Besselgewichte wie bei &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; (obere Grafik).
-*Auch bei der Frequenzmodulation treten nun die Bessellinien im Abstand von &nbsp;$3 \ \rm kHz$&nbsp; auf&nbsp; (rechte untere Grafik).
+*Auch bei der Frequenzmodulation treten nun die Bessellinien im Abstand von &nbsp;$3 \ \rm kHz$&nbsp; auf&nbsp; (rechte untere Grafik).&nbsp; Es gibt aber nun aufgrund des größeren &nbsp;$η = 2.5$&nbsp;  deutlich mehr Bessellinien als im rechten oberen&nbsp; (für &nbsp;$η = 1.5$&nbsp; gültigen)&nbsp; Diagramm.
-*Es gibt aber nun aufgrund des größeren Modulationsindex &nbsp;$η = 2.5$&nbsp;  deutlich mehr Bessellinien als im rechten oberen&nbsp; (für &nbsp;$η = 1.5$&nbsp; gültigen)&nbsp; Diagramm.
+*Dies folgt aus der Tatsache,&nbsp; dass bei Frequenzmodulation &nbsp;$η$&nbsp; umgekehrt proportional zu &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp;  ist.}}
 ==Einfluss einer Bandbegrenzung bei Winkelmodulation==

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 sowie unten die Augenblicksfrequenz
 :$$f_{\rm A}(t) = \frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{ {\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{ {\rm d}t} = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A}\cdot \cos (2 \pi  f_{\rm N} \hspace{0.05cm} t) \hspace{0.05cm}.$$
 Die Systemparameter sind dabei
@@ Zeile 43: / Zeile 44: @@
 *&nbsp;$Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N} = 15 \ \rm  kHz$.
-[[Datei:P_ID1101__Mod_T_3_2_S1_neu.png |center|frame| Zur Verdeutlichung der Augenblicksfrequenz]]
 In der Mitte ist zur Orientierung der qualitative Verlauf des sinusförmigen Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; skizziert.

@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 Hervorzuheben ist, dass ein grundsätzlicher Unterschied zwischen der Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; und dem mit einem Spektrum–Analyzer messbaren Spektrum &nbsp;$S(f)$&nbsp; eines winkelmodulierten Signals &nbsp;$s(t)$&nbsp; besteht, wie das nachfolgende Beispiel verdeutlichen soll.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt oben das phasenmodulierte Signal
@@ Zeile 44: / Zeile 43: @@
 *&nbsp;$Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N} = 15 \ \rm  kHz$.
 In der Mitte ist zur Orientierung der qualitative Verlauf des sinusförmigen Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; skizziert.

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 Die untere Grafik zeigt den umgekehrten Zusammenhang &nbsp; &rArr; &nbsp; die mögliche Beschreibung von PM–Modulator und –Demodulator durch die entsprechenden FM–Komponenten.
 <br clear=all>
-Man erkennt aus der oben angegebenen Gleichung auch, dass die auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Eine_sehr_einfache.2C_leider_nicht_ganz_richtige_Modulatorgleichung|Eine sehr einfache, leider nicht ganz richtige Modulatorgleichung]]&nbsp; im ersten Kapitel dieses Buches angegebene Gleichung im Fall der Frequenzmodulation nur in Sonderfällen gültig sein wird.
+Man erkennt aus der oben angegebenen Gleichung auch, dass die auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Eine_sehr_einfache.2C_leider_nicht_immer_ganz_richtige_Modulatorgleichung|Eine sehr einfache, leider nicht ganz richtige Modulatorgleichung]]&nbsp; im ersten Kapitel dieses Buches angegebene Gleichung im Fall der Frequenzmodulation nur in Sonderfällen gültig sein wird.
 Bei Frequenzmodulation ist die Umwandlung

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 Gibt man sich mit einem Klirrfaktor &nbsp;$K < 10\%$&nbsp; zufrieden, so ist bereits die HF–Bandbreite &nbsp;$B_{10 \%} ≈ 26\ \rm  kHz$&nbsp; ausreichend.
 *Damit werden auch die beiden Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_3$&nbsp; und &nbsp;$D_{-3}$&nbsp; abgeschnitten und die violett dargestellte Ortskurve beschreibt einen Parabelabschnitt.&nbsp;
-*Die Simulation dieses Fallbeispiels liefert den Klirrfaktor &nbsp;$K ≈ 6\%$.&nbsp;
+*Die Simulation dieses Fallbeispiels liefert den Klirrfaktor &nbsp;$K ≈ 6\%$.
-*Man erkennt, dass die Carson–Regel oft ein etwas zu pessimistisches Ergebnis liefert. }}
+*Man erkennt:&nbsp; Die Carson–Regel liefert oft ein etwas zu pessimistisches Ergebnis&nbsp; $(10\%$&nbsp; anstelle von&nbsp; $6\%)$. }}
 ==Realisierung eines FM–Modulators==
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-Eine Frequenzmodulation erhält man dann, wenn die Schwingfrequenz eines Oszillators im Rhythmus des modulierenden Signals verändert wird. Als frequenzbestimmende Elemente dienen meist RC–Glieder oder Schwingkreise.
+Eine Frequenzmodulation erhält man dann, wenn die Schwingfrequenz eines Oszillators im Rhythmus des modulierenden Signals verändert wird.&nbsp; Als frequenzbestimmende Elemente dienen meist RC–Glieder oder Schwingkreise. &nbsp; &nbsp; Die linke Grafik zeigt eine schaltungstechnische Realisierungsform; die genaue Schaltungsbeschreibung finden Sie in [Mäu 88]<ref name= "Mäu 88">Mäusl, R.: ''Analoge Modulationsverfahren.''  Heidelberg: Dr. Hüthig, 1988.</ref>.&nbsp;  Rechts ist die idealisierte Frequenz–Spannungskennlinie dargestellt.
-[[Datei:P_ID1097__Mod_T_3_2_S6_neu.png |center|frame| Realisierung eines FM–Modulators und dessen Kennlinie]]
+[[Datei:P_ID1097__Mod_T_3_2_S6_neu.png |right|frame| Realisierung eines FM–Modulators und dessen Kennlinie]]
-Die linke Grafik zeigt eine schaltungstechnische Realisierungsform; die genaue Schaltungsbeschreibung finden Sie in [Mäu 88]<ref name= "Mäu 88">Mäusl, R.: ''Analoge Modulationsverfahren.''  Heidelberg: Dr. Hüthig, 1988.</ref>.  Rechts ist die idealisierte Frequenz–Spannungskennlinie dargestellt. An dieser Stelle sollen nur einige wenige Anmerkungen gemacht werden:
+Hier sollen nur einige wenige Anmerkungen gemacht werden:
-*Die anliegende Spannung &nbsp;$u(t)$&nbsp; setzt sich additiv aus dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und einem Gleichanteil &nbsp;$A_0$&nbsp; zusammen, der den ''Arbeitspunkt'' festlegt.
+*Die anliegende Spannung &nbsp;$u(t)$&nbsp; setzt sich additiv aus dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und einem Gleichanteil &nbsp;$A_0$&nbsp; zusammen, der den&nbsp; <u>Arbeitspunkt</u>&nbsp; festlegt.
-*Die Kapazität $C$ der ''Kapazitätsdiode'' ist näherungsweise proportional zu &nbsp;$1/u^{2}(t)$, so dass sich die Schwingfrequenz des LC–Oszillators abhängig von &nbsp;$q(t)$&nbsp; verändert.
+*Die Kapazität&nbsp; $C$&nbsp; der&nbsp; <u>Kapazitätsdiode</u>&nbsp; ist näherungsweise proportional zu &nbsp;$1/u^{2}(t)$,&nbsp; so dass sich die Schwingfrequenz des LC–Oszillators abhängig von &nbsp;$q(t)$&nbsp; verändert.
-*Bei nur kleiner Frequenzänderung hängen &nbsp;$u(t)$&nbsp; und $f_{\rm A}(t)$ linear zusammen. Damit ist die ''Augenblickskreisfrequenz'' mit der Steigung &nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; der Modulatorkennlinie:
+*Bei nur kleiner Frequenzänderung hängen &nbsp;$u(t)$&nbsp; und $f_{\rm A}(t)$ linear zusammen.&nbsp; Damit ist die&nbsp; <u>Augenblickskreisfrequenz</u>&nbsp; mit der Steigung &nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; der Modulatorkennlinie wie folgt gegeben:
 :$$\omega_{\rm A}(t) = \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$
-*Die ''Gegentaktschaltung'' aus den beiden Kapazitätsdioden dient unter Anderem zur Kompensation von Unsymmetrien und damit zur Verminderung der quadratischen Verzerrungen.
+*Die&nbsp; <u>Gegentaktschaltung</u>&nbsp; aus den beiden Kapazitätsdioden dient unter Anderem zur Kompensation von Unsymmetrien und damit zur Verminderung der quadratischen Verzerrungen.
-*Legt man am Eingang die Summe aus dem Gleichanteil &nbsp;$A_0$&nbsp; und dem differenzierten Quellensignal – also &nbsp;${\rm d}q(t)/{\rm d}t$&nbsp; – an, so erhält man am Ausgang das frequenzmodulierte Signal &nbsp;$s(t)$.
+*Mit dem Eingang &nbsp;$A_0+{\rm d}q(t)/{\rm d}t$&nbsp; erhält man am Ausgang das frequenzmodulierte Signal &nbsp;$s(t)$.
 ==PLL–Realisierung eines FM–Demodulators==
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-Die folgende Grafik zeigt eine zweite Realisierungsmöglichkeit des FM–Demodulators. Weitere FM–Demodulatoren – zum Beispiel mittels Flankendiskriminator – werden in [Mäu 88]<ref name="Mäu 88"/> ausführlich behandelt. In Stichpunkten lässt sich diese Schaltung, die als Phasenregelschleife (''Phase–Locked–Loop'', PLL) arbeitet, wie folgt beschreiben:
+Die folgende Grafik zeigt eine zweite Realisierungsmöglichkeit des FM–Demodulators.&nbsp; Eine detaillierte Schaltungsbeschreibung dieses PLL–FM–Demodulators und weitere FM–Demodulatoren – zum Beispiel mittels Flankendiskriminator – finden Sie in&nbsp; [Mäu 88]<ref name="Mäu 88"/>.
 *Der Phasendetektor ermittelt die Phasenunterschiede (Abstände der Nulldurchgänge) zwischen dem Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; und dem vom VCO bereitgestellten Vergleichssignal.
 *Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; nach Tiefpass–Filterung und Verstärkung ist dann näherungsweise gleich dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$, wenn dieses sendeseitig FM–moduliert wurde.
-*Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; wird gleichzeitig an den Eingang des spannungsgesteuerten Oszillators angelegt. Man bezeichnet diesen auch als ''Voltage Controlled Oscillator,'' abgekürzt VCO.
+*Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; wird gleichzeitig an den Eingang des spannungsgesteuerten Oszillators angelegt. Man bezeichnet diesen auch als ''Voltage Controlled Oscillator,'' abgekürzt&nbsp; $\rm VCO$.
-*Das Ausgangssignal des VCO wird permanent in der Weise nachgeregelt, dass dessen Frequenz der Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; des Empfangssignals entspricht.
+*Das Ausgangssignal des VCO wird permanent in der Weise nachgeregelt, dass dessen Frequenz möglichst der Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; des Empfangssignals &nbsp;$r(t)$&nbsp; entspricht.
 ==Aufgaben zum Kapitel==