Modulationsverfahren/Allgemeine Beschreibung von OFDM - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Januar 2022 um 16:54 Uhr

2022-01-09T16:54:28Z

Änderungen zeigen

Guenter am 4. Mai 2020 um 15:51 Uhr

2020-05-04T15:51:33Z

Guenter am 4. Mai 2020 um 15:13 Uhr

2020-05-04T15:13:00Z

Guenter am 18. Januar 2019 um 16:10 Uhr

2019-01-18T16:10:08Z

Guenter am 18. Januar 2019 um 15:32 Uhr

2019-01-18T15:32:20Z

Guenter am 30. Mai 2018 um 15:58 Uhr

2018-05-30T15:58:52Z

Guenter am 30. Mai 2018 um 15:29 Uhr

2018-05-30T15:29:52Z

Guenter am 8. August 2017 um 11:41 Uhr

2017-08-08T11:41:14Z

Guenter am 4. August 2017 um 11:51 Uhr

2017-08-04T11:51:51Z

Guenter am 4. August 2017 um 11:45 Uhr

2017-08-04T11:45:57Z

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 Wir betrachten nochmals das OFDM–Sendesignal im &nbsp;$k$–ten Zeitintervall, wobei wir wieder &nbsp;$T_{\rm R} = T$&nbsp; setzen:
 :$$s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T)}.$$
-Den Grundimpuls &nbsp;$g_{\mu}(t)$&nbsp; nehmen wir vereinfachend symmetrisch um &nbsp;$t = 0$&nbsp; an. Dann gilt mit &nbsp;$f_0 = 1/T$:
+Den Grundimpuls &nbsp;$g_{\mu}(t)$&nbsp; nehmen wir vereinfachend symmetrisch um &nbsp;$t = 0$&nbsp; an.&nbsp; Dann gilt mit &nbsp;$f_0 = 1/T$:
 [[Datei:P_ID1637__Mod_T_5_5_S1b_neu.png|right|frame| Spektrum eines nichtkausalen Grundimpulses]]
 :$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad \quad - T/2 < t < T/2, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; {\rm sonst.} \\ \end{array} \right.$$
-Im Spektralbereich korrespondiert eine solche akausale und mit einer (komplexen) Exponentialfunktion der Frequenz &nbsp;$\mu · f_0$&nbsp; modulierte Rechteckfunktion mit einer um &nbsp;$\mu · f_0$&nbsp; verschobenen si–Funktion:
+Im Spektralbereich korrespondiert eine solche akausale und mit einer (komplexen) Exponentialfunktion der Frequenz &nbsp;$\mu · f_0$&nbsp; modulierte Rechteckfunktion mit einer um &nbsp;$\mu · f_0$&nbsp; verschobenen&nbsp; $\rm si$–Funktion:
 :$$G_\mu (f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm{si}} \big(\pi  T (f - \mu  f_0 ) \big ).$$
-Rechts ist diese Spektralfunktion $($normiert auf den Maximalwert &nbsp;$s_0 · T)$&nbsp; für &nbsp;$\mu = 5$ dargestellt.
+Rechts ist diese Spektralfunktion&nbsp; $($normiert auf das Maximum &nbsp;$s_0 · T)$&nbsp; für &nbsp;$\mu = 5$ dargestellt.
-Der Pfeil soll andeuten, dass im Falle eines zeitlich nicht beschränkten Grundimpulses die dargestellte &nbsp;$\rm si$–Funktion durch einen Dirac–Impuls an der Stelle &nbsp;$\mu · f_0$&nbsp; zu ersetzen wäre.
+Der Pfeil soll andeuten, dass bei zeitlich unbeschränktem Grundimpuls die dargestellte &nbsp;$\rm si$–Funktion durch einen Dirac–Impuls an der Stelle &nbsp;$\mu · f_0$&nbsp; zu ersetzen wäre.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Sind alle Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{μ,\hspace{0.08cm}k} ≠ 0$, so setzt sich das Spektrum &nbsp;$S_k(f)$&nbsp; des Sendesignals im &nbsp;$k$–ten Zeitbereichsintervall aus $N$ um jeweils ein Vielfaches der Grundfrequenz &nbsp;$f_0$&nbsp; verschobenen &nbsp;$\rm si$–Funktionen zusammen. Die Funktion &nbsp;${\rm si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; wird oft als ''Spaltfunktion''&nbsp; bezeichnet. }}
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Sind alle Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{μ,\hspace{0.08cm}k} ≠ 0$, so setzt sich das Spektrum &nbsp;$S_k(f)$&nbsp; des Sendesignals im &nbsp;$k$–ten Zeitbereichsintervall aus $N$ um jeweils ein Vielfaches der Grundfrequenz &nbsp;$f_0$&nbsp; verschobenen &nbsp;$\rm si$–Funktionen zusammen.&nbsp; Die Funktion &nbsp;${\rm si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; wird oft als&nbsp; &bdquo;Spaltfunktion&rdquo;&nbsp; bezeichnet. }}
 ==Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls==
 <br>
 Berücksichtigt man weiter, dass in der Realität von einem kausalen Grundimpuls
-:$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0  \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j{\kern 1pt}\cdot {\kern 1pt}2 \pi}} {\kern 1pt}\cdot {\kern 1pt} \mu f_0 {\kern 1pt}\cdot {\kern 1pt}t} \quad 0 \le t < T, \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst}, \\ \end{array} \right.$$
+:$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0  \cdot {\rm{e} }^{ {\kern 1pt} {\rm{j{\kern 1pt}\cdot {\kern 1pt}2 \pi} } {\kern 1pt}\cdot {\kern 1pt} \mu f_0 {\kern 1pt}\cdot {\kern 1pt}t} \quad 0 \le t < T, \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst}, \\ \end{array} \right.$$
 ausgegangen werden muss, so ergibt sich das Spektrum zu
-:$$S_k (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot \,} {\rm{si}}\big(\pi \cdot T(f - \mu \cdot f_0 )\big) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {T}/{2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (f - \mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 )} .$$
+:$$S_k (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot \,} {\rm{si} }\big(\pi \cdot T(f - \mu \cdot f_0 )\big) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j2\pi} }\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {T}/{2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (f - \mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 )} .$$
-Die komplexe Exponentialfunktion kommt durch die Grenzen des hier zur Impulsformung verwendeten Rechtecks im Zeitbereich &nbsp;$0$ ... $T$&nbsp;   zustande $($Verschiebung um &nbsp;$T/2)$. Die vorher gezeigte rein reelle $\rm si$–Funktion würde hingegen dem nichtkausalen Rechteck von &nbsp;$ -T/2$ ... $+T/2$&nbsp; entsprechen.
+*Die komplexe Exponentialfunktion kommt durch die Grenzen des hier zur Impulsformung verwendeten Rechtecks im Zeitbereich &nbsp;$0$ ... $T$&nbsp;   zustande <br>$($Verschiebung um &nbsp;$T/2)$.
 Die Grafik zeigt exemplarisch das Betragsspektrum eines OFDM–Signals mit fünf Trägern.
+[[Datei:P_ID1638__Mod_T_5_5_S2a_ganz_neu.png |right|frame| Betragsspektrum eines OFDM-Signals]]
-*Auffallend ist, dass das Maximum eines jeden Subträgers mit den Nullstellen aller anderen Träger zusammenfällt. Dies entspricht der ersten Nyquistbedingung im Frequenzbereich.
+<br>
-*Diese Eigenschaft ermöglicht eine ICI–freie Abtastung (das heißt: &nbsp; ohne ''Intercarrier–Interferenz'') des Spektrums bei Vielfachen von &nbsp;$f_0$. Die Orthogonalität ist also gewährleistet.
+*Auffallend ist, dass das Maximum eines jeden Subträgers mit den Nullstellen aller anderen Träger zusammenfällt.&nbsp; Dies entspricht der ersten Nyquistbedingung im Frequenzbereich.
-*Würde man auf die Zeitbegrenzung bei der Impulsformung verzichten, so würden aus den dargestellten $\rm si$–Funktionen im Abstand &nbsp;$f_0$&nbsp; jeweils Diraclinien (in der Grafik grau eingezeichnet).
+*Diese Eigenschaft ermöglicht eine ICI–freie Abtastung&nbsp; (das heißt: &nbsp; ohne ''Intercarrier–Interferenz'')&nbsp; des Spektrums bei Vielfachen von &nbsp;$f_0$.&nbsp; Die Orthogonalität ist also gewährleistet.
-*Diese idealisierende Vereinfachung ist in der Praxis leider nicht umsetzbar. Die Forderung &nbsp;$T → ∞$&nbsp; bedeutet nämlich gleichzeitig, dass in unendlich langer Zeit nur ein einziger Rahmen übertragen werden könnte.
+*Würde man auf die Zeitbegrenzung bei der Impulsformung verzichten, so würden aus den dargestellten&nbsp; $\rm si$–Funktionen im Abstand &nbsp;$f_0$&nbsp; jeweils Diraclinien&nbsp; (in der Grafik grau eingezeichnet).
+*Diese idealisierende Vereinfachung ist in der Praxis leider nicht umsetzbar.&nbsp; Die Forderung &nbsp;$T → ∞$&nbsp; bedeutet nämlich gleichzeitig, dass in unendlich langer Zeit nur ein einziger Rahmen übertragen werden könnte.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Wichtiges Ergebnis:}$&nbsp;
+$\text{Noch ein wichtiges Ergebnis:}$&nbsp;
 Damit ergibt sich für das Spektrum &nbsp;$S_{\mu,k}(f)$&nbsp; des &nbsp;$\mu$–ten Trägers im &nbsp;$k$–ten Intervall:
 :$$S_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} (f) = s_0 \cdot a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot T \cdot {\rm{si} }\big(\pi  \cdot T(f - \mu \cdot f_0 )\big) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi} } \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (f - \mu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_0)}.$$
 Dabei gelten folgende für das OFDM-Prinzip wichtige Eigenschaften:
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 :$$S (\mu  \cdot f_0) = 0 \hspace{0.08cm}+ \hspace{0.08cm} \text{...} \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} s_0 \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si} } (0) \cdot {\rm{e} }^0 \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} \text{...}+ 0 = s_0 \cdot a_\mu \cdot T = S_\mu ( \mu  \cdot f_0 ).$$
-Das Spektrum bei &nbsp;$f = \mu · f_0$&nbsp; setzt sich also nur aus Anteilen des &nbsp;$\mu$–ten Trägers zusammen, wobei alle anderen Träger identisch Null werden. Die Orthogonalität ist gewährleistet. &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;'''q.e.d. ''' }}
+*Das Spektrum bei &nbsp;$f = \mu · f_0$&nbsp; setzt sich also nur aus Anteilen des &nbsp;$\mu$–ten Trägers zusammen, wobei alle anderen Träger identisch Null werden.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; &nbsp; Die '''Orthogonalität des OFDM–Signals''' &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist sowohl für die Laufvariable &nbsp;$k$&nbsp; (Zeit) als auch für die Laufvariable &nbsp;$\mu$&nbsp; (Trägerfrequenzen) gegeben.}}
+$\text{Fazit:}$&nbsp; &nbsp; Die&nbsp; '''Orthogonalität des OFDM–Signals'''&nbsp; &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist sowohl für die Laufvariable &nbsp;$k$&nbsp; $\rm (Zeit)$&nbsp; als auch für die Laufvariable &nbsp;$\mu$&nbsp; $\rm (Trägerfrequenzen)$&nbsp; gegeben!}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 ==Das Prinzip von OFDM – Systembetrachtung im Zeitbereich==
 <br>
-''Orthogonal Frequency Division Multiplex''&nbsp; (OFDM) ist ein digitales Mehrträger–Modulationsverfahren mit folgenden Eigenschaften:
+''Orthogonal Frequency Division Multiplex''&nbsp; $\rm (OFDM)$&nbsp; ist ein digitales Mehrträger–Modulationsverfahren mit folgenden Eigenschaften:
-*Statt eines breitbandigen, stark modulierten Signals werden zur Datenübertragung eine Vielzahl schmalbandiger, zueinander orthogonaler Unterträger verwendet. Dies ermöglicht unter anderem die Anpassung an einen frequenzselektiven Kanal.
+[[Datei:P_ID1635__Mod_T_5_5_S1a_neu.png|right|frame| Prinzip eines auf&nbsp; $\text{4-QAM}$&nbsp; basierenden&nbsp; $\rm OFDM$-Senders]]
-[[Datei:P_ID1635__Mod_T_5_5_S1a_neu.png|center|frame| Prinzip eines auf 4-QAM basierenden OFDM-Senders]]
+*Statt eines breitbandigen, stark modulierten Signals werden zur Datenübertragung eine Vielzahl schmalbandiger, zueinander orthogonaler Unterträger verwendet.&nbsp; Dies ermöglicht unter anderem die Anpassung an einen frequenzselektiven Kanal.
-Die Grafik zeigt das Grundprinzip eines OFDM–Senders, basierend auf 4&ndash;QAM. Die Darstellung des „nullten” Zweiges &nbsp;$(\mu = 0)$, der den Gleichanteil darstellt, wurde hier bewusst weggelassen, da dieser häufig zu Null gesetzt wird  &nbsp; ⇒ &nbsp; für alle Rahmen &nbsp;$k$&nbsp; gilt &nbsp;$a_{0,\hspace{0.08cm} k} =0 $.
-*Die &nbsp;$N–1$&nbsp; Teile des zur Zeit &nbsp;$k$&nbsp; anliegenden Datenstroms &nbsp;$〈q_{\mu,k}〉$&nbsp; werden zunächst 4–QAM–codiert, indem jeweils zwei Bit zusammengefasst werden. Danach wird die im Allgemeinen komplexe Amplitude &nbsp;$a_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$&nbsp; $($mit Laufvariablen &nbsp;$\mu = 1$, ... , $N–1)$&nbsp; impulsgeformt und mit dem &nbsp;$\mu$–ten Vielfachen der Grundfrequenz &nbsp;$f_0$&nbsp; moduliert.
+*Die Modulation der Unterträger selbst erfolgt bei OFDM üblicherweise durch eine herkömmliche &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|Quadratur–Amplitudenmodulation]]&nbsp; $\rm (QAM)$&nbsp; oder durch &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|binäre Phasenmodulation]]&nbsp; $\rm (BPSK)$, wobei sich die einzelnen Träger hinsichtlich der Modulationsart durchaus unterscheiden können.
 *Das Sendesignal ist nun die additive Überlagerung der einzelnen Teilsignale. Die Betrachtung erfolgt hier und auch im Folgenden im &nbsp;[[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|äquivalenten Tiefpassbereich]], wobei auf den Index „TP” verzichtet wird.
 *Das Impulsformfilter &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ist ein auf den Bereich &nbsp;$0 ≤ t < T$&nbsp; begrenztes Rechteck der Höhe &nbsp;$s_0$. Wir nennen &nbsp;$T$&nbsp; die ''Symboldauer''&nbsp; und bezeichnen den Kehrwert &nbsp;$f_0 = 1/T$&nbsp; als die ''Grundfrequenz''.
 Fasst man dieses Filter nun mit der jeweiligen Modulation zu
 :$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0  \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst} \\ \end{array} \right.$$
-mit &nbsp;$\mu ∈ \{0, \ \text{...}\ , N–1\}$&nbsp; zusammen, so ergibt sich das OFDM–Sendesignal &nbsp;$s_k(t)$&nbsp; im &nbsp;$k$–ten Zeitintervall:
+mit &nbsp; $\mu ∈ \{0, \ \text{...}\ , N–1\}$ &nbsp; zusammen, so ergibt sich das OFDM–Sendesignal &nbsp;$s_k(t)$&nbsp; im &nbsp;$k$–ten Zeitintervall:
 :$$s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T_{\rm{R}} )}.$$
-Das gesamte '''OFDM–Sendesignal unter Berücksichtigung aller Zeitintervalle''' lautet dann:
+{{BlaueBox|TEXT=
-:$$s(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{+\infty} {\sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T_{\rm{R}} )} }.$$
+Das gesamte&nbsp; '''OFDM–Sendesignal unter Berücksichtigung aller Zeitintervalle'''&nbsp; lautet dann:
-$T_{\rm R}$ bezeichnet die Rahmendauer. Innerhalb dieser Zeit liegen die gleichen Daten am Eingang an und nach $T_{\rm R}$ folgt der nächste Rahmen.
+:$$s(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{+\infty} {\sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T_{\rm{R} } )} }.$$
-Die Symboldauer $T$ ergibt sich bei einem Mehrträgersystem mit der Anzahl $M$ der QAM&ndash;Signalraumpunkte und der Bitdauer $T_{\rm B}$ der binären Quellensysmbole allgemein zu
+*Die Symboldauer&nbsp; $T$&nbsp; ergibt sich bei einem Mehrträgersystem mit&nbsp; $M$&nbsp; QAM&ndash;Signalraumpunkten und der Bitdauer&nbsp; $T_{\rm B}$&nbsp; der binären Quellensysmbole allgemein zu
-:$$T = N \cdot {\rm{log}_2}(M) \cdot T_{\rm{B}} ,$$
+:$$T = N \cdot {\rm{log}_2}(M) \cdot T_{\rm{B} } ,$$
-wobei $N$ wieder die Anzahl der Unterträger angibt. Für die Rahmendauer muss $T_{\rm R} \ge T$ gelten. Zunächst gelte $T_{\rm R} = T$.
+:wobei&nbsp; $N$&nbsp; wieder die Anzahl der Unterträger angibt.&nbsp;
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir gehen hier von einem Einträgersystem mit der Datenrate &nbsp;$R_{\rm B} = 768 \ \rm kbit/s$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $T_{\rm B} ≈ 1.3 \ \rm &micro; s$&nbsp; und einem Mapping mit &nbsp;$M = 4$&nbsp; Signalraumpunkten (4–QAM) aus. Die Symboldauer im Einträgerfall (''Single Carrier'', SC) beträgt dann:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 :$$T_\text{SC} = 1 \cdot {\rm{log}_2}(4) \cdot 1.3 \,{\rm{&micro; s} } \approx 2.6 \,{\rm{&micro; s} }.$$
-Unter der Annahme, dass für ein Mehrträgersystem (''Multi Carrier'', MC) mit &nbsp;$N = 32$&nbsp; Trägern das Modulationsverfahren 16–QAM verwendet wird, ergibt sich dagegen die Symboldauer zu
+*Unter der Annahme, dass für ein Mehrträgersystem&nbsp; $($''Multi Carrier'',&nbsp; $\rm MC)$&nbsp; mit &nbsp;$N = 32$&nbsp; Trägern das Modulationsverfahren&nbsp; $\text{16–QAM}$&nbsp; verwendet wird, ergibt sich eine um den Faktor&nbsp; $64$&nbsp; größere Symboldauer:
-:$$T_\text{MC} = 32 \cdot  {\rm{log}_2}(16) \cdot 1.3 \,{\rm{&micro; s} } \approx 0.167\, {\rm{ms} }.$$
+:$$T_\text{MC} = 32 \cdot  {\rm{log}_2}(16) \cdot 1.3 \,{\rm{&micro; s} } \approx 0.167\, {\rm{ms} }.$$ }}
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 *Die Dauer eines Symbols erhöht sich bei einem Mehrträgersystem im Vergleich zu einem Einzelträgersystem deutlich, wodurch der störende Einfluss der Kanalimpulsantwort verringert wird und die Impulsinterferenzen abnehmen.
-*Die Möglichkeit, für verschiedene Teilbänder unterschiedlich robuste Modulationsverfahren einzusetzen, ist einer der '''großen Vorteile von OFDM'''. Hierauf wird in den Abschnitten [[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze|OFDM für 4G–Netze]] und [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|Digital Subscriber Line]] (DSL) noch näher eingegangen. }}
+*Die Möglichkeit, für verschiedene Teilbänder unterschiedlich robuste Modulationsverfahren einzusetzen, ist einer der&nbsp; '''großen Vorteile von OFDM'''.&nbsp; Hierauf wird in den Abschnitten&nbsp; [[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze|OFDM für 4G–Netze]]&nbsp; und&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|Digital Subscriber Line]]&nbsp; $\rm (DSL)$&nbsp; noch genauer eingegangen. }}

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 <br>
 Berücksichtigt man weiter, dass in der Realität von einem kausalen Grundimpuls
-:$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0  \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst}, \\ \end{array} \right.$$
+:$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0  \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j{\kern 1pt}\cdot {\kern 1pt}2 \pi}} {\kern 1pt}\cdot {\kern 1pt} \mu f_0 {\kern 1pt}\cdot {\kern 1pt}t} \quad 0 \le t < T, \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst}, \\ \end{array} \right.$$
 ausgegangen werden muss, so ergibt sich das Spektrum zu
-:$$S_k (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T(f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {T}/{2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (f - \mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 )} .$$
+:$$S_k (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot \,} {\rm{si}}\big(\pi \cdot T(f - \mu \cdot f_0 )\big) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {T}/{2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (f - \mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 )} .$$
-Die komplexe Exponentialfunktion kommt durch die Grenzen des hier zur Impulsformung verwendeten Rechtecks im Zeitbereich $0$ ... $T$   zustande (Verschiebung um $T/2$). Die vorher gezeigte rein reelle si–Funktion würde hingegen dem nichtkausalen Rechteck von $ \ -T/2$ ... $+T/2$ entsprechen.
+Die komplexe Exponentialfunktion kommt durch die Grenzen des hier zur Impulsformung verwendeten Rechtecks im Zeitbereich &nbsp;$0$ ... $T$&nbsp;   zustande $($Verschiebung um &nbsp;$T/2)$. Die vorher gezeigte rein reelle $\rm si$–Funktion würde hingegen dem nichtkausalen Rechteck von &nbsp;$ -T/2$ ... $+T/2$&nbsp; entsprechen.
 Die Grafik zeigt exemplarisch das Betragsspektrum eines OFDM–Signals mit fünf Trägern.
-[[Datei:P_ID1638__Mod_T_5_5_S2a_ganz_neu.png |right|frame| Betragsspektrum eines OFDM-Signals]]
 *Auffallend ist, dass das Maximum eines jeden Subträgers mit den Nullstellen aller anderen Träger zusammenfällt. Dies entspricht der ersten Nyquistbedingung im Frequenzbereich.
-*Diese Eigenschaft ermöglicht eine ICI–freie Abtastung (das heißt: ohne ''Intercarrier–Interferenz'') des Spektrums bei Vielfachen von $f_0$. Die Orthogonalität ist also gewährleistet.
+*Diese Eigenschaft ermöglicht eine ICI–freie Abtastung (das heißt: &nbsp; ohne ''Intercarrier–Interferenz'') des Spektrums bei Vielfachen von &nbsp;$f_0$. Die Orthogonalität ist also gewährleistet.
-*Würde man auf die Zeitbegrenzung bei der Impulsformung verzichten, so würden aus den dargestellten $\rm si$–Funktionen im Abstand $f_0$ jeweils Diraclinien (in der Grafik grau eingezeichnet).
+*Würde man auf die Zeitbegrenzung bei der Impulsformung verzichten, so würden aus den dargestellten $\rm si$–Funktionen im Abstand &nbsp;$f_0$&nbsp; jeweils Diraclinien (in der Grafik grau eingezeichnet).
-*Diese idealisierende Vereinfachung ist in der Praxis leider nicht umsetzbar. Die Forderung $T → ∞$ bedeutet nämlich gleichzeitig, dass in unendlich langer Zeit nur ein einziger Rahmen übertragen werden könnte.
+*Diese idealisierende Vereinfachung ist in der Praxis leider nicht umsetzbar. Die Forderung &nbsp;$T → ∞$&nbsp; bedeutet nämlich gleichzeitig, dass in unendlich langer Zeit nur ein einziger Rahmen übertragen werden könnte.
-<br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Ein OFDM–Signal unter der Voraussetzung einer rechteckförmigen Impulsformung und eines Unterträgerabstandes von $f_0$ erfüllt die [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|'''erste Nyquistbedingung im Zeitbereich''']] und dadurch natürlich ebenso die [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich |'''erste Nyquistbedingung im Frequenzbereich''']].}}
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Ein OFDM–Signal unter der Voraussetzung einer rechteckförmigen Impulsformung und eines Unterträgerabstandes von &nbsp;$f_0$&nbsp; erfüllt die &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|'''erste Nyquistbedingung im Zeitbereich''']]&nbsp; und dadurch natürlich ebenso die &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich |'''erste Nyquistbedingung im Frequenzbereich''']].}}
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 Die Zeitbegrenzung des Grundimpulses ermöglicht die separate Betrachtung der beiden Summen in der Gleichung des OFDM–Sendesignals:
 :$$s(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{+\infty} {s_k (t)} \quad {\rm{mit}} \quad s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T )}.$$
-Der $k$–te Sendeimpuls ist dabei die Summe der um $k · T$ verschobenen Grundimpulse $g_{\mu}(t)$, die jeweils mit den $\mu$–ten Amplitudenkoeffizienten des QAM–Coders zum Zeitpunkt $k$ gewichtet werden. Damit ergibt sich für das Spektrum $S_{\mu,k}(f)$ des $\mu$–ten Trägers im $k$–ten Intervall:
+Der &nbsp;$k$–te Sendeimpuls ist dabei die Summe der um &nbsp;$k · T$&nbsp; verschobenen Grundimpulse &nbsp;$g_{\mu}(t)$, die jeweils mit den &nbsp;$\mu$–ten Amplitudenkoeffizienten des QAM–Coders zum Zeitpunkt &nbsp;$k$&nbsp; gewichtet werden.
 :$$S_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} (f) = s_0 \cdot a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot T \cdot {\rm{si}}(\pi  \cdot T(f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (f - \mu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_0)}.$$
 Dabei gelten folgende für das OFDM-Prinzip wichtige Eigenschaften:
-*Die Sendeimpulse $s_k(t)$ sind zueinander orthogonal in der Zeit (Laufvariable $k$), da sie sich durch die Zeitbegrenzung des Impulsformfilters $g_s(t)$ zeitlich nicht überlappen.
+*Die Sendeimpulse &nbsp;$s_k(t)$&nbsp; sind zueinander orthogonal in der Zeit $($Laufvariable &nbsp;$k)$, da sie sich durch die Zeitbegrenzung des Impulsformfilters &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; zeitlich nicht überlappen.
-*Die zeitliche Begrenzung der Impulse führt zwar zu einer spektralen Überlappung, aber dennoch besteht auch Orthogonalität bezüglich der Träger (Laufvariable $\mu$) wegen:
+*Die zeitliche Begrenzung der Impulse führt zwar zu einer spektralen Überlappung, dennoch besteht auch Orthogonalität bezüglich der Träger $($Laufvariable $\mu)$, da:
-:$$S_k (\mu \cdot f_0 ) = S_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} (\mu \cdot f_0 ) = s_0 \cdot a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot T.$$
+:$$S_k (\mu \cdot f_0 ) = S_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} (\mu \cdot f_0 ) = s_0 \cdot a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot T.$$}}
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Beweis:}$&nbsp;
-Für die Orthogonalität an den Frequenzstützstellen $\mu · f_0$ muss gelten:
+Für die Orthogonalität an den Frequenzstützstellen &nbsp;$\mu · f_0$&nbsp; muss gelten:
 :$$S(\mu \cdot f_0 ) = S_0 (\mu \cdot f_0 ) + \ \text{...} \ + S_\mu (\mu \cdot f_0 ) + \ \text{...} \  + S_{N - 1} (\mu \cdot f_0 ) = S_\mu (\mu \cdot f_0 ).$$
-Hier und im Folgenden wird auf den Index $k$ der Rahmennummer verzichtet. Aus
+Hier und im Folgenden wird auf den Index &nbsp;$k$&nbsp; der Rahmennummer verzichtet. Aus
 :$$s_\mu (t) = s_0 \cdot a_\mu \cdot {\rm{e} }^{{\rm j \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}2\pi } \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \mu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f_0 \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \cdot {\rm{rect} } \left( {\frac{ {t - T/2} }{T} } \right) \hspace{0.15cm} {\rm{und }} \hspace{0.15cm} S_\mu (f) = \int_{ - \infty }^{+\infty} {s_\mu (t) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f \hspace{0.03cm}\cdot
   \hspace{0.03cm} t} \hspace{0.06cm}{\rm d}t}$$
-ergibt sich das Spektrum $S(f)$ allgemein zu:
+ergibt sich das Spektrum &nbsp;$S(f)$&nbsp; allgemein zu:
 :$$S(f) = \left( {s_0 \cdot a_0 \cdot T \cdot {\rm{si} }({\rm{\pi } }f T ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}/{2}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} } \right) * \int_{ - \infty }^{+\infty}  { {\rm{e} }^{\rm{0} } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } } \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \hspace{0.06cm}{\rm d}t} \hspace{0.08cm}+ \text{...} $$
 :$$\hspace{0.5cm}\text{...} +  \left( {s_0  \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si} } ({\rm{\pi } } f T ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}{T}/{2}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} } \right)  * \int_{ - \infty }^{+\infty}  { {\rm{e} }^{ {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } } \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm}\mu \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f_0 \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } } \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f \hspace{0.03cm}\cdot
@@ Zeile 125: / Zeile 133: @@
 :$$ \hspace{1.4cm}\text{...} +  s_0  \cdot a_{N - 1} \cdot T \cdot {\rm si  } ({\rm \pi  } \cdot T \cdot \big [f-(N - 1) \cdot f_0 ) \big ] \cdot {\rm e}^{ - {\rm j  \hspace{0.03cm}\cdot
 \hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \big [f-(N - 1) \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f_0 \big ]}.$$
-Setzt man nun $f = \mu · f_0$, so erhält man:
+Setzt man nun &nbsp;$f = \mu · f_0$, so erhält man:
 :$$S (\mu  \cdot f_0) = 0 \hspace{0.08cm}+ \hspace{0.08cm} \text{...} \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} s_0 \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si} } (0) \cdot {\rm{e} }^0 \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} \text{...}+ 0 = s_0 \cdot a_\mu \cdot T = S_\mu ( \mu  \cdot f_0 ).$$
-Das Spektrum bei $f = \mu · f_0$ setzt sich also nur aus Anteilen des $\mu$–ten Trägers zusammen, wobei alle anderen Träger identisch Null werden. Die Orthogonalität ist gewährleistet. &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;'''q.e.d. ''' }}
+Das Spektrum bei &nbsp;$f = \mu · f_0$&nbsp; setzt sich also nur aus Anteilen des &nbsp;$\mu$–ten Trägers zusammen, wobei alle anderen Träger identisch Null werden. Die Orthogonalität ist gewährleistet. &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;'''q.e.d. ''' }}
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Die '''Orthogonalität des OFDM–Signals''' $s(t)$ ist sowohl für die Laufvariable $k$ (''Zeit'') als auch für die Laufvariable $\mu$ (''Trägerfrequenzen'') gegeben.}}
+$\text{Fazit:}$&nbsp; &nbsp; Die '''Orthogonalität des OFDM–Signals''' &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist sowohl für die Laufvariable &nbsp;$k$&nbsp; (Zeit) als auch für die Laufvariable &nbsp;$\mu$&nbsp; (Trägerfrequenzen) gegeben.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 ==Das Prinzip von OFDM – Systembetrachtung im Zeitbereich==
 <br>
-''Orthogonal Frequency Division Multiplex'' (OFDM) ist ein digitales Mehrträger–Modulationsverfahren mit folgenden Eigenschaften:
+''Orthogonal Frequency Division Multiplex''&nbsp; (OFDM) ist ein digitales Mehrträger–Modulationsverfahren mit folgenden Eigenschaften:
 *Statt eines breitbandigen, stark modulierten Signals werden zur Datenübertragung eine Vielzahl schmalbandiger, zueinander orthogonaler Unterträger verwendet. Dies ermöglicht unter anderem die Anpassung an einen frequenzselektiven Kanal.
-*Die Modulation der Unterträger selbst erfolgt bei OFDM üblicherweise durch eine herkömmliche [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|Quadratur–Amplitudenmodulation]] (QAM) oder durch [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|binäre Phasenmodulation]] (BPSK), wobei sich die einzelnen Träger hinsichtlich der Modulationsart durchaus unterscheiden können.
+*Die Modulation der Unterträger selbst erfolgt bei OFDM üblicherweise durch eine herkömmliche &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|Quadratur–Amplitudenmodulation]]&nbsp; (QAM) oder durch &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|binäre Phasenmodulation]]&nbsp; (BPSK), wobei sich die einzelnen Träger hinsichtlich der Modulationsart durchaus unterscheiden können.
 *Unterschiede im Modulationsgrad führen dabei zu verschieden hohen Datenraten der Unterträger. Das heißt also, dass ein hochratiges Quellensignal zur Übertragung in mehrere Signale von deutlich niedrigerer Symbolrate aufgespaltet werden muss.
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 [[Datei:P_ID1635__Mod_T_5_5_S1a_neu.png|center|frame| Prinzip eines auf 4-QAM basierenden OFDM-Senders]]
-Die Grafik zeigt das Grundprinzip eines OFDM–Senders, basierend auf 4&ndash;QAM. Die Darstellung des „nullten” Zweiges $(\mu = 0)$, der den Gleichanteil darstellt, wurde hier bewusst weggelassen, da dieser häufig zu Null gesetzt wird  &nbsp; ⇒ &nbsp; für alle Rahmen $k$ gilt $a_{0,\hspace{0.08cm} k} =$ 0.
+Die Grafik zeigt das Grundprinzip eines OFDM–Senders, basierend auf 4&ndash;QAM. Die Darstellung des „nullten” Zweiges &nbsp;$(\mu = 0)$, der den Gleichanteil darstellt, wurde hier bewusst weggelassen, da dieser häufig zu Null gesetzt wird  &nbsp; ⇒ &nbsp; für alle Rahmen &nbsp;$k$&nbsp; gilt &nbsp;$a_{0,\hspace{0.08cm} k} =0 $.
-*Die $N–1$ Teile des zur Zeit $k$ anliegenden Datenstroms $〈q_{\mu,k}〉$ werden zunächst 4–QAM–codiert, indem jeweils zwei Bit zusammengefasst werden. Danach wird die im Allgemeinen komplexe Amplitude $a_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$ (mit Laufvariablen $\mu = 1$, ... , $N–1$) impulsgeformt und mit dem $\mu$–ten Vielfachen der Grundfrequenz $f_0$ moduliert.
+*Die &nbsp;$N–1$&nbsp; Teile des zur Zeit &nbsp;$k$&nbsp; anliegenden Datenstroms &nbsp;$〈q_{\mu,k}〉$&nbsp; werden zunächst 4–QAM–codiert, indem jeweils zwei Bit zusammengefasst werden. Danach wird die im Allgemeinen komplexe Amplitude &nbsp;$a_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$&nbsp; $($mit Laufvariablen &nbsp;$\mu = 1$, ... , $N–1)$&nbsp; impulsgeformt und mit dem &nbsp;$\mu$–ten Vielfachen der Grundfrequenz &nbsp;$f_0$&nbsp; moduliert.
-*Das Sendesignal ist nun die additive Überlagerung der einzelnen Teilsignale. Die Betrachtung erfolgt hier und auch im Folgenden im [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|äquivalenten Tiefpassbereich]], wobei auf den Index „TP” verzichtet wird.
+*Das Sendesignal ist nun die additive Überlagerung der einzelnen Teilsignale. Die Betrachtung erfolgt hier und auch im Folgenden im &nbsp;[[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|äquivalenten Tiefpassbereich]], wobei auf den Index „TP” verzichtet wird.
-*Das Impulsformfilter $g_s(t)$ ist ein auf den Bereich $0 ≤ t < T$ begrenztes Rechteck der Höhe $s_0$. Wir nennen $T$ die ''Symboldauer'' und bezeichnen den Kehrwert $f_0 = 1/T$ als die ''Grundfrequenz''.
+*Das Impulsformfilter &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ist ein auf den Bereich &nbsp;$0 ≤ t < T$&nbsp; begrenztes Rechteck der Höhe &nbsp;$s_0$. Wir nennen &nbsp;$T$&nbsp; die ''Symboldauer''&nbsp; und bezeichnen den Kehrwert &nbsp;$f_0 = 1/T$&nbsp; als die ''Grundfrequenz''.
 Fasst man dieses Filter nun mit der jeweiligen Modulation zu
 :$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0  \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst} \\ \end{array} \right.$$
-mit $\mu ∈ \{0, \ \text{...}\ , N–1\}$ zusammen, so ergibt sich das OFDM–Sendesignal $s_k(t)$ im $k$–ten Zeitintervall:
+mit &nbsp;$\mu ∈ \{0, \ \text{...}\ , N–1\}$&nbsp; zusammen, so ergibt sich das OFDM–Sendesignal &nbsp;$s_k(t)$&nbsp; im &nbsp;$k$–ten Zeitintervall:
 :$$s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T_{\rm{R}} )}.$$
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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir gehen von einem Einträgersystem mit der Datenrate $R_{\rm B} = 768 \ \rm kbit/s$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $T_{\rm B} ≈ 1.3 \ \rm &micro; s$ und einem Mapping mit $M = 4$ Signalraumpunkten (4–QAM) aus. Die Symboldauer im Einträgerfall (''Single Carrier'', SC) beträgt dann:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir gehen hier von einem Einträgersystem mit der Datenrate &nbsp;$R_{\rm B} = 768 \ \rm kbit/s$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $T_{\rm B} ≈ 1.3 \ \rm &micro; s$&nbsp; und einem Mapping mit &nbsp;$M = 4$&nbsp; Signalraumpunkten (4–QAM) aus. Die Symboldauer im Einträgerfall (''Single Carrier'', SC) beträgt dann:
 :$$T_\text{SC} = 1 \cdot {\rm{log}_2}(4) \cdot 1.3 \,{\rm{&micro; s} } \approx 2.6 \,{\rm{&micro; s} }.$$
-Unter der Annahme, dass für ein Mehrträgersystem (''Multi Carrier'', MC) mit $N =$ 32 Trägern das Modulationsverfahren 16–QAM verwendet wird, ergibt sich dagegen die Symboldauer zu
+Unter der Annahme, dass für ein Mehrträgersystem (''Multi Carrier'', MC) mit &nbsp;$N = 32$&nbsp; Trägern das Modulationsverfahren 16–QAM verwendet wird, ergibt sich dagegen die Symboldauer zu
 :$$T_\text{MC} = 32 \cdot  {\rm{log}_2}(16) \cdot 1.3 \,{\rm{&micro; s} } \approx 0.167\, {\rm{ms} }.$$
-Die Symboldauer $T$ ist in diesem Fall um den Faktor 64 größer. }}
+Die Symboldauer $T$ ist in diesem Fall um den Faktor $64$ größer. }}
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Dauer eines Symbols erhöht sich bei einem Mehrträgersystem im Vergleich zu einem Einzelträgersystem deutlich, wodurch der störende Einfluss der Kanalimpulsantwort verringert wird und die Impulsinterferenzen abnehmen.
+$\text{Fazit:}$&nbsp;
-Die Möglichkeit, für verschiedene Teilbänder unterschiedlich robuste Modulationsverfahren einzusetzen, ist einer der '''großen Vorteile von OFDM'''. Hierauf wird in den Abschnitten [[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze|OFDM für 4G–Netze]] und [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|Digital Subscriber Line]] (DSL) noch näher eingegangen. }}
+*Die Möglichkeit, für verschiedene Teilbänder unterschiedlich robuste Modulationsverfahren einzusetzen, ist einer der '''großen Vorteile von OFDM'''. Hierauf wird in den Abschnitten [[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze|OFDM für 4G–Netze]] und [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|Digital Subscriber Line]] (DSL) noch näher eingegangen. }}
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 ==Systembetrachtung im Frequenzbereich bei akausalem Grundimpuls==
 <br>
-Wir betrachten nochmals das OFDM–Sendesignal im $k$–ten Zeitintervall, wobei wir wieder $T_{\rm R} = T$ setzen:
+Wir betrachten nochmals das OFDM–Sendesignal im &nbsp;$k$–ten Zeitintervall, wobei wir wieder &nbsp;$T_{\rm R} = T$&nbsp; setzen:
 :$$s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T)}.$$
-Den Grundimpuls $g_{\mu}(t)$ nehmen wir vereinfachend symmetrisch um $t = 0$ an. Dann gilt mit $f_0 = 1/T$:
+Den Grundimpuls &nbsp;$g_{\mu}(t)$&nbsp; nehmen wir vereinfachend symmetrisch um &nbsp;$t = 0$&nbsp; an. Dann gilt mit &nbsp;$f_0 = 1/T$:
 [[Datei:P_ID1637__Mod_T_5_5_S1b_neu.png|right|frame| Spektrum eines nichtkausalen Grundimpulses]]
 :$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad \quad - T/2 < t < T/2, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; {\rm sonst.} \\ \end{array} \right.$$
-Im Spektralbereich korrespondiert eine solche akausale und mit einer (komplexen) Exponentialfunktion der Frequenz $\mu · f_0$ modulierte Rechteckfunktion mit einer um $\mu · f_0$ verschobenen si–Funktion:
+Im Spektralbereich korrespondiert eine solche akausale und mit einer (komplexen) Exponentialfunktion der Frequenz &nbsp;$\mu · f_0$&nbsp; modulierte Rechteckfunktion mit einer um &nbsp;$\mu · f_0$&nbsp; verschobenen si–Funktion:
-:$$G_\mu (f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm{si}} (\pi  T (f - \mu  f_0 ) ).$$
+:$$G_\mu (f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm{si}} \big(\pi  T (f - \mu  f_0 ) \big ).$$
-Die Grafik zeigt diese Spektralfunktion (normiert auf den Maximalwert $s_0 · T$) für $\mu = 5$.
+Rechts ist diese Spektralfunktion $($normiert auf den Maximalwert &nbsp;$s_0 · T)$&nbsp; für &nbsp;$\mu = 5$ dargestellt.
+Der Pfeil soll andeuten, dass im Falle eines zeitlich nicht beschränkten Grundimpulses die dargestellte &nbsp;$\rm si$–Funktion durch einen Dirac–Impuls an der Stelle &nbsp;$\mu · f_0$&nbsp; zu ersetzen wäre.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Sind alle Amplitudenkoeffizienten $a_{μ,\hspace{0.08cm}k} ≠ 0$, so setzt sich das Spektrum $S_k(f)$ des Sendesignals im $k$–ten Zeitbereichsintervall aus $N$ um jeweils ein Vielfaches der Grundfrequenz $f_0$ verschobenen si–Funktionen zusammen. Die Funktion ${\rm si}(x) = \sin(x)/x$ wird oft als ''Spaltfunktion'' bezeichnet. }}
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Sind alle Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{μ,\hspace{0.08cm}k} ≠ 0$, so setzt sich das Spektrum &nbsp;$S_k(f)$&nbsp; des Sendesignals im &nbsp;$k$–ten Zeitbereichsintervall aus $N$ um jeweils ein Vielfaches der Grundfrequenz &nbsp;$f_0$&nbsp; verschobenen &nbsp;$\rm si$–Funktionen zusammen. Die Funktion &nbsp;${\rm si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; wird oft als ''Spaltfunktion''&nbsp; bezeichnet. }}
 ==Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls==

@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 Fasst man dieses Filter nun mit der jeweiligen Modulation zu
 :$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0  \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst} \\ \end{array} \right.$$
-mit $\mu ∈ \{0, \text{...} , N–1\}$ zusammen, so ergibt sich das OFDM–Sendesignal $s_k(t)$ im $k$–ten Zeitintervall:
+mit $\mu ∈ \{0, \ \text{...}\ , N–1\}$ zusammen, so ergibt sich das OFDM–Sendesignal $s_k(t)$ im $k$–ten Zeitintervall:
 :$$s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T_{\rm{R}} )}.$$
@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir gehen von einem Einträgersystem mit der Datenrate $R_{\rm B} = 768 \ \rm kbit/s$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $T_{\rm B} ≈ 1.3 \ \rm μs$ und einem Mapping mit $M = 4$ Signalraumpunkten (4–QAM) aus. Die Symboldauer im Einträgerfall (''Single Carrier'', SC) beträgt dann:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir gehen von einem Einträgersystem mit der Datenrate $R_{\rm B} = 768 \ \rm kbit/s$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $T_{\rm B} ≈ 1.3 \ \rm &micro; s$ und einem Mapping mit $M = 4$ Signalraumpunkten (4–QAM) aus. Die Symboldauer im Einträgerfall (''Single Carrier'', SC) beträgt dann:
-:$$T_\text{SC} = 1 \cdot {\rm{log}_2}(4) \cdot 1.3 \,{\rm{\mu s} } \approx 2.6 \,{\rm{\mu s} }.$$
+:$$T_\text{SC} = 1 \cdot {\rm{log}_2}(4) \cdot 1.3 \,{\rm{&micro; s} } \approx 2.6 \,{\rm{&micro; s} }.$$
 Unter der Annahme, dass für ein Mehrträgersystem (''Multi Carrier'', MC) mit $N =$ 32 Trägern das Modulationsverfahren 16–QAM verwendet wird, ergibt sich dagegen die Symboldauer zu
-:$$T_\text{MC} = 32 \cdot  {\rm{log}_2}(16) \cdot 1.3 \,{\rm{\mu s} } \approx 0.167\, {\rm{ms} }.$$
+:$$T_\text{MC} = 32 \cdot  {\rm{log}_2}(16) \cdot 1.3 \,{\rm{&micro; s} } \approx 0.167\, {\rm{ms} }.$$
 Die Symboldauer $T$ ist in diesem Fall um den Faktor 64 größer. }}
@@ Zeile 55: / Zeile 55: @@
 :$$s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T)}.$$
 Den Grundimpuls $g_{\mu}(t)$ nehmen wir vereinfachend symmetrisch um $t = 0$ an. Dann gilt mit $f_0 = 1/T$:
 :$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad \quad - T/2 < t < T/2, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; {\rm sonst.} \\ \end{array} \right.$$
 Im Spektralbereich korrespondiert eine solche akausale und mit einer (komplexen) Exponentialfunktion der Frequenz $\mu · f_0$ modulierte Rechteckfunktion mit einer um $\mu · f_0$ verschobenen si–Funktion:
@@ Zeile 60: / Zeile 61: @@
 Die Grafik zeigt diese Spektralfunktion (normiert auf den Maximalwert $s_0 · T$) für $\mu = 5$.
 Der Pfeil soll andeuten, dass im Falle eines zeitlich nicht beschränkten Grundimpulses die dargestellte si–Funktion durch einen Dirac–Impuls an der Stelle $\mu · f_0$ zu ersetzen wäre.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Sind alle Amplitudenkoeffizienten $a_{μ,k} ≠ 0$, so setzt sich das Spektrum $S_k(f)$ des Sendesignals im $k$–ten Zeitbereichsintervall aus $N$ um jeweils ein Vielfaches der Grundfrequenz $f_0$ verschobenen si–Funktionen zusammen. Die Funktion ${\rm si}(x) = \sin(x)/x$ wird oft als ''Spaltfunktion'' bezeichnet. }}
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Sind alle Amplitudenkoeffizienten $a_{μ,\hspace{0.08cm}k} ≠ 0$, so setzt sich das Spektrum $S_k(f)$ des Sendesignals im $k$–ten Zeitbereichsintervall aus $N$ um jeweils ein Vielfaches der Grundfrequenz $f_0$ verschobenen si–Funktionen zusammen. Die Funktion ${\rm si}(x) = \sin(x)/x$ wird oft als ''Spaltfunktion'' bezeichnet. }}
 ==Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls==
 Berücksichtigt man weiter, dass in der Realität von einem kausalen Grundimpuls
 :$$g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0  \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst}, \\ \end{array} \right.$$
 ausgegangen werden muss, so ergibt sich das Spektrum zu
-:$$S_k (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T(f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi}} \frac{T}{2} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$
+:$$S_k (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T(f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {T}/{2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (f - \mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 )} .$$
 Die komplexe Exponentialfunktion kommt durch die Grenzen des hier zur Impulsformung verwendeten Rechtecks im Zeitbereich $0$ ... $T$   zustande (Verschiebung um $T/2$). Die vorher gezeigte rein reelle si–Funktion würde hingegen dem nichtkausalen Rechteck von $ \ -T/2$ ... $+T/2$ entsprechen.
-Die Grafik zeigt exemplarisch das Betragsspektrum eines OFDM–Signals mit fünf Trägern. Auffallend ist, dass das Maximum eines jeden Subträgers mit den Nullstellen aller anderen Träger zusammenfällt. Dies entspricht der ersten Nyquistbedingung im Frequenzbereich. Diese Eigenschaft ermöglicht eine ICI–freie Abtastung (das heißt: ohne ''Intercarrier–Interferenz'') des Spektrums bei Vielfachen von $f_0$. Die Orthogonalität ist also gewährleistet.
+Die Grafik zeigt exemplarisch das Betragsspektrum eines OFDM–Signals mit fünf Trägern.
+[[Datei:P_ID1638__Mod_T_5_5_S2a_ganz_neu.png |right|frame| Betragsspektrum eines OFDM-Signals]]
-[[Datei:P_ID1638__Mod_T_5_5_S2a_ganz_neu.png |center|frame| Betragsspektrum eines OFDM-Signals]]
+*Auffallend ist, dass das Maximum eines jeden Subträgers mit den Nullstellen aller anderen Träger zusammenfällt. Dies entspricht der ersten Nyquistbedingung im Frequenzbereich.
+*Diese Eigenschaft ermöglicht eine ICI–freie Abtastung (das heißt: ohne ''Intercarrier–Interferenz'') des Spektrums bei Vielfachen von $f_0$. Die Orthogonalität ist also gewährleistet.
 *Würde man auf die Zeitbegrenzung bei der Impulsformung verzichten, so würden aus den dargestellten $\rm si$–Funktionen im Abstand $f_0$ jeweils Diraclinien (in der Grafik grau eingezeichnet).
 *Diese idealisierende Vereinfachung ist in der Praxis leider nicht umsetzbar. Die Forderung $T → ∞$ bedeutet nämlich gleichzeitig, dass in unendlich langer Zeit nur ein einziger Rahmen übertragen werden könnte.
+<br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Ein OFDM–Signal unter der Voraussetzung einer rechteckförmigen Impulsformung und eines Unterträgerabstandes von $f_0$ erfüllt die [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|erste Nyquistbedingung im Zeitbereich]] und dadurch natürlich ebenso [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich |im Frequenzbereich]].}}
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Ein OFDM–Signal unter der Voraussetzung einer rechteckförmigen Impulsformung und eines Unterträgerabstandes von $f_0$ erfüllt die [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|'''erste Nyquistbedingung im Zeitbereich''']] und dadurch natürlich ebenso die [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich |'''erste Nyquistbedingung im Frequenzbereich''']].}}
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 :$$s(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{+\infty} {s_k (t)} \quad {\rm{mit}} \quad s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T )}.$$
 Der $k$–te Sendeimpuls ist dabei die Summe der um $k · T$ verschobenen Grundimpulse $g_{\mu}(t)$, die jeweils mit den $\mu$–ten Amplitudenkoeffizienten des QAM–Coders zum Zeitpunkt $k$ gewichtet werden. Damit ergibt sich für das Spektrum $S_{\mu,k}(f)$ des $\mu$–ten Trägers im $k$–ten Intervall:
-:$$S_{\mu ,k} (f) = s_0 \cdot a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot T \cdot {\rm{si}}(\pi  \cdot T(f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi}}T (f - \mu \cdot f_0)}.$$
+:$$S_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} (f) = s_0 \cdot a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot T \cdot {\rm{si}}(\pi  \cdot T(f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (f - \mu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_0)}.$$
 Dabei gelten folgende für das OFDM-Prinzip wichtige Eigenschaften:
 *Die Sendeimpulse $s_k(t)$ sind zueinander orthogonal in der Zeit (Laufvariable $k$), da sie sich durch die Zeitbegrenzung des Impulsformfilters $g_s(t)$ zeitlich nicht überlappen.
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 $\text{Beweis:}$&nbsp;
 Für die Orthogonalität an den Frequenzstützstellen $\mu · f_0$ muss gelten:
-:$$S(\mu \cdot f_0 ) = S_0 (\mu \cdot f_0 ) + \ldots + S_\mu (\mu \cdot f_0 ) + \ldots  + S_{N - 1} (\mu \cdot f_0 ) = S_\mu (\mu \cdot f_0 ).$$
+:$$S(\mu \cdot f_0 ) = S_0 (\mu \cdot f_0 ) + \ \text{...} \ + S_\mu (\mu \cdot f_0 ) + \ \text{...} \  + S_{N - 1} (\mu \cdot f_0 ) = S_\mu (\mu \cdot f_0 ).$$
 Hier und im Folgenden wird auf den Index $k$ der Rahmennummer verzichtet. Aus
 :$$s_\mu (t) = s_0 \cdot a_\mu \cdot {\rm{e} }^{{\rm j \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}2\pi } \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \mu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f_0 \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \cdot {\rm{rect} } \left( {\frac{ {t - T/2} }{T} } \right) \hspace{0.15cm} {\rm{und }} \hspace{0.15cm} S_\mu (f) = \int_{ - \infty }^{+\infty} {s_\mu (t) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f \hspace{0.03cm}\cdot
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 :$$S (\mu  \cdot f_0) = 0 \hspace{0.08cm}+ \hspace{0.08cm} \text{...} \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} s_0 \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si} } (0) \cdot {\rm{e} }^0 \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} \text{...}+ 0 = s_0 \cdot a_\mu \cdot T = S_\mu ( \mu  \cdot f_0 ).$$
-Das Spektrum bei $f = \mu · f_0$ setzt sich also nur aus Anteilen des $\mu$–ten Trägers zusammen, wobei alle anderen Träger identisch Null werden. Die Orthogonalität ist gewährleistet. &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp; q.e.d.
+Das Spektrum bei $f = \mu · f_0$ setzt sich also nur aus Anteilen des $\mu$–ten Trägers zusammen, wobei alle anderen Träger identisch Null werden. Die Orthogonalität ist gewährleistet. &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;'''q.e.d. ''' }}
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Die '''Orthogonalität des OFDM–Signals''' $s(t)$ ist sowohl für die Laufvariable $k$ (''Zeit'') als auch für die Laufvariable $\mu$ (''Trägerfrequenzen'') gegeben. }}
+{{BlaueBox|TEXT=
 ==Aufgaben zum Kapitel==
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 [[Aufgaben: 5.6 OFDM–Spektrum|Aufgabe 5.6: OFDM–Spektrum]]
-[[Aufgaben:5.6Z Einträger–und Mehrträgersystem|Aufgabe 5.6Z: Einträger–und Mehrträgersystem|]]
+[[Aufgaben:5.6Z Einträger–und Mehrträgersystem|Aufgabe 5.6Z: Einträger–und Mehrträgersystem]]
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	$\text{Fazit:}$  Die '''Orthogonalität des OFDM–Signals''' $s(t)$ ist sowohl für die Laufvariable $k$ (''Zeit'') als auch für die Laufvariable $\mu$ (''Trägerfrequenzen'') gegeben. }}		$\text{Fazit:}$  Die '''Orthogonalität des OFDM–Signals''' $s(t)$ ist sowohl für die Laufvariable $k$ (''Zeit'') als auch für die Laufvariable $\mu$ (''Trägerfrequenzen'') gegeben. }}
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		+	==Aufgaben zum Kapitel==
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		+	[[Aufgaben: 5.6 OFDM–Spektrum\|Aufgabe 5.6:   OFDM–Spektrum]]
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		+	[[Aufgaben:5.6Z Einträger–und Mehrträgersystem\|Zusatzaufgabe 5.6Z:   Einträger–und Mehrträgersystem\|]]
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 *Die zeitliche Begrenzung der Impulse führt zwar zu einer spektralen Überlappung, aber dennoch besteht auch Orthogonalität bezüglich der Träger (Laufvariable $\mu$) wegen:
 :$$S_k (\mu \cdot f_0 ) = S_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} (\mu \cdot f_0 ) = s_0 \cdot a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot T.$$
 {{BlaueBox|TEXT=
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 :$$s_\mu (t) = s_0 \cdot a_\mu \cdot {\rm{e} }^{{\rm j \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}2\pi } \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \mu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f_0 \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \cdot {\rm{rect} } \left( {\frac{ {t - T/2} }{T} } \right) \hspace{0.15cm} {\rm{und }} \hspace{0.15cm} S_\mu (f) = \int_{ - \infty }^{+\infty} {s_\mu (t) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f \hspace{0.03cm}\cdot
   \hspace{0.03cm} t} \hspace{0.06cm}{\rm d}t}$$
 ergibt sich das Spektrum $S(f)$ allgemein zu:
-$$\begin{align*}S(f) & = \left( {s_0 \cdot a_0 \cdot T \cdot {\rm{si} }({\rm{\pi } }f T ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \frac{T}{2}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} } \right) * \int_{ - \infty }^{+\infty}  { {\rm{e} }^{\rm{0} } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }} \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \hspace{0.06cm}{\rm d}t} \hspace{0.08cm}+ \ldots \\  & + \left( {s_0  \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si} } ({\rm{\pi }} f T ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \frac{T}{2}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} } \right)  * \int_{ - \infty }^{+\infty}  { {\rm{e} }^{ {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } } \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm}\mu \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f_0 \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }} \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f \hspace{0.03cm}\cdot
+:$$S(f) = \left( {s_0 \cdot a_0 \cdot T \cdot {\rm{si} }({\rm{\pi } }f T ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}/{2}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} } \right) * \int_{ - \infty }^{+\infty}  { {\rm{e} }^{\rm{0} } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } } \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \hspace{0.06cm}{\rm d}t} \hspace{0.08cm}+ \text{...} $$
-  \hspace{0.03cm} t} \hspace{0.06cm}{\rm d}t} \hspace{0.08cm}+ \ldots \\ & +\left( {s_0  \cdot a_{N - 1} \cdot T \cdot {\rm{si} } ({\rm{\pi } }f T ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \frac{T}{2}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} }\right)
+:$$\hspace{0.5cm}\text{...} +  \left( {s_0  \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si} } ({\rm{\pi } } f T ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}{T}/{2}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} } \right)  * \int_{ - \infty }^{+\infty}  { {\rm{e} }^{ {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } } \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm}\mu \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f_0 \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } } \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f \hspace{0.03cm}\cdot
-   * \int_{ - \infty }^{+\infty}  {{\rm{e}}^{{\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }} \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm}(N-1) \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f_0 \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } } \hspace{0.03cm}\cdot  \hspace{0.03cm} f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} t} \hspace{0.06cm}{\rm d}t} .\end{align*}\\$$}}
+  \hspace{0.03cm} t} \hspace{0.06cm}{\rm d}t} \hspace{0.08cm}+ \text{...} $$
+:$$ \hspace{0.5cm}\text{...} +\left( {s_0  \cdot a_{N - 1} \cdot T \cdot {\rm{si} } ({\rm{\pi } }f T ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}/{2}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} }\right)
 Mit Distributionen lässt sich diese Gleichung wie folgt ausdrücken:
-$$\begin{align*}S(f) & =  \left( {s_0 \cdot a_0 \cdot T \cdot {\rm{si}}({\rm{\pi }}f T ) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} } \right) * \delta (f) \hspace{0.08cm}+ \ldots \\   & + \left( {s_0  \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si}} ({\rm{\pi }} fT )\cdot {\rm{e}}^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot
+:$$S(f) =  \left( {s_0 \cdot a_0 \cdot T \cdot {\rm{si} }({\rm{\pi } }f T ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} } \right) * \delta (f) \hspace{0.08cm}+ \text{...} $$
 \hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\cdot
-  \hspace{0.03cm} f} } \right)  * \delta (f - \mu \cdot f_0 )\hspace{0.08cm}+ \ldots \\
+  \hspace{0.03cm} f} } \right)  * \delta (f - \mu \cdot f_0 )\hspace{0.08cm}+ \text{...} $$
- & + \left( {s_0  \cdot a_{N - 1} \cdot T \cdot {\rm{si}} ({\rm{\pi }} f T ) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\cdot
+:$$\hspace{0.5cm} \text{...}
-  \hspace{0.03cm} f} }\right)  * \delta (f-(N - 1) \cdot f_0 ) .\end{align*}\\$$
+  + \left( {s_0  \cdot a_{N - 1} \cdot T \cdot {\rm{si} } ({\rm{\pi } } f T ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\cdot
-$$\begin{align*}\Rightarrow \hspace{0.3cm}S(f) & =  {s_0 \cdot a_0 \cdot T \cdot {\rm{si}}({\rm{\pi }} \cdot T \cdot f) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} }  \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} \ldots \\   & +  {s_0  \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si}} ({\rm{\pi }} \cdot T \cdot (f - \mu \cdot f_0 ))\cdot {\rm{e}}^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot
+  \hspace{0.03cm} f} }\right)  * \delta (f-(N - 1) \cdot f_0 ) .$$
-  \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} (f - \mu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f_0 )} }  \hspace{0.08cm}+ \hspace{0.08cm}\ldots \\ & +  {s_0  \cdot a_{N - 1} \cdot T \cdot {\rm{si}} ({\rm{\pi }} \cdot T \cdot (f-(N - 1) \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}S(f)  =  {s_0 \cdot a_0 \cdot T \cdot {\rm{si} }({\rm{\pi } } \cdot T \cdot f) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} f} }  \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} \text{...} $$
-\hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} (f-(N - 1) \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f_0 )} }   .\end{align*}\\$$
+:$$\hspace{1.4cm}\text{...}  +  {s_0  \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si} } ({\rm{\pi } } \cdot T \cdot (f - \mu \cdot f_0 ))\cdot {\rm{e} }^{ - {\rm j \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi }\hspace{0.03cm}\cdot
+  \hspace{0.03cm} {T}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} (f - \mu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f_0 )} }  \hspace{0.08cm}+ \hspace{0.08cm}\text{...}$$
+:$$ \hspace{1.4cm}\text{...} +  s_0  \cdot a_{N - 1} \cdot T \cdot {\rm si  } ({\rm \pi  } \cdot T \cdot \big [f-(N - 1) \cdot f_0 ) \big ] \cdot {\rm e}^{ - {\rm j  \hspace{0.03cm}\cdot
 Setzt man nun $f = \mu · f_0$, so erhält man:
-$$S (\mu  \cdot f_0) = 0 \hspace{0.08cm}+ \hspace{0.08cm} \ldots \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} s_0 \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si}} (0) \cdot {\rm{e}}^0 \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} \ldots + 0 = s_0 \cdot a_\mu \cdot T = S_\mu ( \mu  \cdot f_0 ).$$
+:$$S (\mu  \cdot f_0) = 0 \hspace{0.08cm}+ \hspace{0.08cm} \text{...} \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} s_0 \cdot a_\mu \cdot T \cdot {\rm{si} } (0) \cdot {\rm{e} }^0 \hspace{0.08cm}+\hspace{0.08cm} \text{...}+ 0 = s_0 \cdot a_\mu \cdot T = S_\mu ( \mu  \cdot f_0 ).$$
-q.e.d.
+{{BlaueBox|TEXT=
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Orthogonalität des OFDM–Signals $s(t)$ ist
 *sowohl für die Laufvariable $k$ (Zeit)
 *als auch für die Laufvariable $\mu$ (Trägerfrequenzen)
-gegeben. Diese Orthogonalitätseigenschaften wurden bereits in den vorhergehenden Abschnitten anhand von Grafiken verdeutlicht.
+gegeben. Diese Orthogonalitätseigenschaften wurden bereits in den vorhergehenden Abschnitten anhand von Grafiken verdeutlicht. }}
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