Mobile Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte des Rayleigh–Fadings - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Februar 2021 um 11:31 Uhr

2021-02-12T11:31:18Z

Guenter am 11. Mai 2020 um 07:12 Uhr

2020-05-11T07:12:54Z

Guenter am 10. Mai 2020 um 13:18 Uhr

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Guenter am 28. März 2019 um 14:48 Uhr

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Guenter am 28. März 2019 um 14:34 Uhr

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Guenter am 18. Juni 2018 um 15:22 Uhr

2018-06-18T15:22:34Z

Guenter am 18. Juni 2018 um 15:14 Uhr

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Guenter am 10. November 2017 um 13:36 Uhr

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Guenter am 11. Oktober 2017 um 11:41 Uhr

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Guenter am 11. Oktober 2017 um 09:46 Uhr

2017-10-11T09:46:21Z

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   \phi_{n}(t)}
   \hspace{0.05cm}. </math>
-Man spricht in diesem Fall
+Man spricht in diesem Fall von&nbsp; '''nichtfrequenzselektivem Fading'''&nbsp; oder&nbsp; '''Flat&ndash;Fading'''</i>&nbsp; oder&nbsp; '''Rayleigh&ndash;Fading'''. }}
 == Modellierung von nichtfrequenzselektivem Fading==
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 [[Datei:P ID2111 Mob T 1 2 S3b v1.png|right|frame|Realteil, Imaginärteil, Betrag und Betragsquadrat bei Rayleigh-Fading|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;Fortsetzung von $\text{Beispiel 1}$
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;Fortsetzung von $\text{Beispiel 1}$:
 Diese Grafik zeigt oben nochmals
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 Aus diesen Darstellungen geht hervor:
-*Der Betrag&nbsp; $a(t) =\vert z(t)\vert$&nbsp;  besitzt eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung| Rayleigh&ndash;WDF]] &nbsp;&#8658;&nbsp; daher der Name &bdquo;<i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&rdquo;:
+*Der Betrag&nbsp; $a(t) =\vert z(t)\vert$&nbsp;  besitzt eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung| Rayleigh&ndash;WDF]] &nbsp;&#8658;&nbsp; daher der Name &bdquo;Rayleigh&ndash;Fading&rdquo;:
 ::<math>f_a(a) =

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 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;Fortsetzung von $\text{Beispiel 1}$
-Die nächste Grafik zeigt oben nochmals den Realteil&nbsp;  $x(t)$&nbsp; und Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; von&nbsp; $z(t)$. Darunter gezeichnet sind Verlauf und WDF
+Diese Grafik zeigt oben nochmals
 * des Betrags&nbsp; $a(t) =\vert z(t)\vert$&nbsp; und
 *des Betragsquadrat&nbsp; $p(t) =a^2(t) =\vert z(t)\vert^2$.<br>
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   \hspace{0.05cm}.  </math>
-*Die WDF des Betragsquadrats&nbsp; $p(t)$&nbsp; ergibt sich durch&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen| nichtlineare Transformation]]&nbsp; der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_a(a)$. Dies führt zu einer Exponentialverteilung:
+*Die WDF des Betragsquadrats&nbsp; $p(t)$&nbsp; ergibt sich durch&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen| nichtlineare Transformation]]&nbsp; der WDF $f_a(a)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_p(p)$&nbsp; ist exponentialverteilt:
 ::<math>f_p(p) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm}
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-Weitere Informationen zum <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> finden Sie in der&nbsp;  [[Aufgaben:Aufgabe_1.3:_Rayleigh–Fading|Aufgabe 1.3]]&nbsp; und der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Nochmals_Rayleigh–Fading%3F|Aufgabe 1.3Z]].<br>
+Weitere Informationen zum&nbsp; Rayleigh&ndash;Fading&nbsp; finden Sie in der&nbsp;  [[Aufgaben:Aufgabe_1.3:_Rayleigh–Fading|Aufgabe 1.3]]&nbsp; und der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Nochmals_Rayleigh–Fading%3F|Aufgabe 1.3Z]].<br>
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 können zwei wichtige Sonderfälle abgeleitet werden:
-*Gibt es mehr als einen Hauptpfad&nbsp; $(M \ge 2)$, so spricht man von <i>Mehrwegeausbreitung</i>. Wie im Hauptkapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Allgemeine_Beschreibung_zeitvarianter_Systeme|Frequenzselektive Übertragungskanäle]]&nbsp; noch gezeigt werden wird, kommt es dann &ndash; je nach Frequenz &ndash; zu konstruktiven oder destruktiven Überlagerungen bis hin zu völliger Auslöschung.
+*Gibt es mehr als einen Hauptpfad&nbsp; $(M \ge 2)$, so spricht man von <i>Mehrwegeausbreitung</i>. Wie im zweiten Hauptkapitel &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Allgemeine_Beschreibung_zeitvarianter_Systeme|Frequenzselektive Übertragungskanäle]]&nbsp; noch gezeigt werden wird, kommt es dann &ndash; je nach Frequenz &ndash; zu konstruktiven oder destruktiven Überlagerungen bis hin zu völliger Auslöschung.
 *Für manche Frequenzen erweist sich die Mehrwegeausbreitung als günstig, für andere als extrem ungünstig. Man bezeichnet den Effekt als&nbsp; '''frequenzselektives Fading'''.<br>

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 [[Datei:P ID2111 Mob T 1 2 S3b v1.png|right|frame|Realteil, Imaginärteil, Betrag und Betragsquadrat bei Rayleigh-Fading|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;Fortsetzung von $\text{Beispiel 1:}$
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;Fortsetzung von $\text{Beispiel 1}$
 Die nächste Grafik zeigt oben nochmals den Realteil  $x(t)$ und Imaginärteil $y(t)$ von $z(t)$. Darunter gezeichnet sind Verlauf und WDF

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:1.3 Rayleigh–Fading|A1.3 Rayleigh–Fading]]
+[[Aufgaben:1.3 Rayleigh–Fading|Aufgabe 1.3: Rayleigh–Fading]]
-[[Zusatzaufgaben:1.3 Nochmals Rayleigh–Fading?]]
+[[Aufgaben:1.3Z_Nochmals_Rayleigh–Fading%3F|Aufgabe 1.3Z: Nochmals Rayleigh–Fading?]]
 {{Display}}

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 *Im Programm eingestellt war für diese Darstellung eine [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh–Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung|maximale Dopplerfrequenz]] von $f_{\rm D, max} = 100 \ \rm Hz$. Deshalb gibt es statistische Bindungen innerhalb der Signale $x(t)$ und $y(t)$. Genauere Angaben zum Dopplereffekt finden Sie im nachfolgenden Kapitel.
-*Die WDF <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) des Imaginärteils ist identisch mit <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>). Die Varianz beträgt jeweils <i>&sigma;</i><sup>2</sup> = 0.5. Zwischen <i>x</i>(<i>t</i>) und <i>y</i>(<i>t</i>) bestehen keine statistischen Bindungen; die Signale sind orthogonal.
+*Die WDF $f_y(y)$ des Imaginärteils ist identisch mit $f_x(x)$. Die Varianz beträgt jeweils $\sigma_x^2 =\sigma_y^2 = 0.5 (=\sigma^2)$. Zwischen $x(t)$ und $y(t)$ bestehen keine statistischen Bindungen; die Signale sind orthogonal.
-*Die Phase <i>&#981;</i>(<i>t</i>) ist gleichverteilt zwischen &plusmn;&pi;. Wie aus den Sprungstellen im Phasenverlauf zu erkennen, kann <i>&#981;</i>(<i>t</i>) durchaus größere Werte annehmen. Alle Bereiche (2<i>k</i>&plusmn;1)&pi; wurden aber bei  der Histogrammerstellung auf den Wertebereich &ndash;&pi; ... +&pi; projiziert (<i>k</i> ganzzahlig).
+*Die Phase $\phi(t)$ ist gleichverteilt zwischen $\pm\pi$. Wie aus den Sprungstellen im Phasenverlauf zu erahnen, kann $\phi(t)$ durchaus größere Werte annehmen. Alle Bereiche $(2k+1)\cdot \pi$ wurden aber bei  der Histogrammerstellung auf den Wertebereich $-\pi$ ... $-\pi$ projiziert ($k$ ganzzahlig).
 *Die gleichverteilte Phase wird anhand der (hier nicht dargestellten) 2D&ndash;WDF verständlich. Diese ist rotationssymmetrisch und dementsprechend gibt es auch keine Vorzugsrichtung:
 ::<math>f_{x,\hspace{0.02cm}y}(x, y) = \frac{1}{2\pi \cdot \sigma^2} \cdot
-  {\rm exp} \left [ - \frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2} \right ] .</math>}}
+  {\rm e}^{  -(x^2 + y^2)/(2\sigma^2)} .</math>}}
 Aus diesen Darstellungen geht hervor:
-*Der Betrag besitzt eine [http://www.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung Rayleigh&ndash;WDF] &nbsp;&#8658;&nbsp; Name &bdquo;<i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&rdquo;:
+*Der Betrag besitzt eine [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung| Rayleigh&ndash;WDF]] &nbsp;&#8658;&nbsp; Name &bdquo;<i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&rdquo;:
 ::<math>f_a(a) =
-\left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm exp} [ -a^2/(2\sigma^2)] \\
+\left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm e}^{-a^2/(2\sigma^2)} \\
-  \end{array} \right.\quad
+  \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
-\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a \ge 0
+\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} a\hspace{-0.05cm} \ge \hspace{-0.05cm}0,
-\\  {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a < 0 \\ \end{array}
+\\  {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} a \hspace{-0.05cm}<\hspace{-0.05cm} 0. \\ \end{array}
- \hspace{0.05cm}.</math>
+</math>
-*Für die Momente erster bzw. zweiter Ordnung und die Varianz des Betrags <i>a</i>(<i>t</i>) = |<i>z</i>(<i>t</i>)| gilt:
+*Für die Momente erster bzw. zweiter Ordnung und die Varianz des Betrags $a(t) =|z(t)|$ gilt:
-::<math>{\rm E}[a] = \sigma \cdot \sqrt {{\pi}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm E}[a^2] = 2 \cdot \sigma^2
+::<math>{\rm E}[a] = \sigma \cdot \sqrt {{\pi}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm E}[a^2] = 2 \cdot \sigma^2</math>
- \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Var}[a] = \sigma_a^2 = \sigma^2 \cdot \left ( 2 - {\pi}/{2}\right )
+::<math> \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Var}[a] = \sigma_a^2 = \sigma^2 \cdot \left ( 2 - {\pi}/{2}\right )
   \hspace{0.05cm}.  </math>
-*Die WDF des Betragsquadrats <i>p</i>(<i>t</i>) ergibt sich durch [http://www.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen nichtlineare Transformation] der WDF <i>f<sub>a</sub></i>(<i>a</i>) und führt zu einer Exponentialverteilung:
+*Die WDF des Betragsquadrats $p(t)$ ergibt sich durch [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen| nichtlineare Transformation]] der WDF $f_a(a)$ und führt zu einer Exponentialverteilung:
-Weitere Informationen zum <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> finden Sie in Aufgabe A1.3 und Aufgabe Z1.3.<br>
+Weitere Informationen zum <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> finden Sie in der  [[Aufgabe 1.3]] und der [[Aufgabe 1.3Z]].<br>
-==Aufgaben==
+==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
 [[Aufgaben:1.3 Rayleigh–Fading|A1.3 Rayleigh–Fading]]
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 [[Zusatzaufgaben:1.3 Nochmals Rayleigh–Fading?]]
 {{Display}}

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 *Der Realteil ist gaußverteilt (siehe rechte obere Grafik), wie auch aus dem Zeitsignalverlauf  $x(t)$ hervorgeht. Rot eingezeichnet ist die Gaußsche WDF $f_x(x)$ und blau das durch Simulation über 10.000 Abtastwerte gewonnene Histogramm.
-*Im Programm eingestellt war für diese Darstellung eine [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh–Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung|maximale Dopplerfrequenz]] von $f_{\rm D, max} = 100 \ \rm Hz. Deshalb gibt es statistische Bindungen innerhalb der Signale $x(t)$ und $y(t)$. Genauere Angaben zum Dopplereffekt finden Sie im nachfolgenden Kapitel.
+*Im Programm eingestellt war für diese Darstellung eine [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh–Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung|maximale Dopplerfrequenz]] von $f_{\rm D, max} = 100 \ \rm Hz$. Deshalb gibt es statistische Bindungen innerhalb der Signale $x(t)$ und $y(t)$. Genauere Angaben zum Dopplereffekt finden Sie im nachfolgenden Kapitel.
 *Die WDF <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) des Imaginärteils ist identisch mit <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>). Die Varianz beträgt jeweils <i>&sigma;</i><sup>2</sup> = 0.5. Zwischen <i>x</i>(<i>t</i>) und <i>y</i>(<i>t</i>) bestehen keine statistischen Bindungen; die Signale sind orthogonal.