Mobile Kommunikation/Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh-Prozesses - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Februar 2021 um 13:56 Uhr

2021-02-12T13:56:58Z

Guenter am 12. Februar 2021 um 11:41 Uhr

2021-02-12T11:41:05Z

Tasnad am 10. Juni 2020 um 08:01 Uhr

2020-06-10T08:01:18Z

Guenter am 12. Mai 2020 um 11:33 Uhr

2020-05-12T11:33:50Z

Guenter am 12. Mai 2020 um 11:31 Uhr

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Guenter am 11. Mai 2020 um 09:54 Uhr

2020-05-11T09:54:45Z

Guenter am 11. Mai 2020 um 09:04 Uhr

2020-05-11T09:04:25Z

Guenter am 11. Mai 2020 um 08:43 Uhr

2020-05-11T08:43:09Z

Guenter am 29. März 2019 um 10:27 Uhr

2019-03-29T10:27:24Z

Guenter am 29. März 2019 um 10:22 Uhr

2019-03-29T10:22:33Z

Änderungen zeigen

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 Den gleichen Effekt stellt man auch bei einem&nbsp; Autorennen&nbsp; fest.&nbsp; Die Frequenzänderungen und der &bdquo;Sound&rdquo; sind dabei um so deutlicher, je schneller die Autos fahren.}}<br>
-Den Sachverhalt kann man sich in diesem Lerntutorial mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts_(Applet)|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]&nbsp; verdeutlichen.
+Den Sachverhalt kann man sich in diesem Lerntutorial mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]&nbsp; verdeutlichen.
 [[Datei:P ID2113 Mob T 1 3 S2a v1.png|right|frame|Ausgangslage:&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; bewegen sich nicht|class=fit]]

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−	Dieser Effekt wird auf der nächsten Seite erläutert.	+	Dieser Effekt wird auf der nächsten Seite genauer erläutert.

	== Phänomenologische Beschreibung des Dopplereffekts==		== Phänomenologische Beschreibung des Dopplereffekts==

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   \hspace{0.05cm}.</math>
-Die Zahlenwerte dieser Funktion erhalten Sie mit dem&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)|gleichnamigen Applet]]. <br>
+Die Zahlenwerte dieser Funktion erhalten Sie mit dem&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|gleichnamigen Applet]]. <br>
 [[Datei:P_ID2117__Mob_T_1_3_S4_v2.png|right|frame|Doppler–LDS und Zeitfunktion (Betrag in dB) bei Rayleigh-Fading mit Dopplereffekt]]

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 [[Aufgaben:1.4Z_Zum_Dopplereffekt|Aufgabe 1.4Z: Zum Dopplereffekt]]
-[[Aufgaben:1.5 Nachbildung des Jakes–Spektrums|A1.5 Nachbildung des Jakes–Spektrums]]
+[[Aufgaben:1.5 Nachbildung des Jakes–Spektrums|A1.5: Nachbildung des Jakes–Spektrums]]
 {{Display}}

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 == AKF und LDS bei Rayleigh–Fading ==
 <br>
-Wir setzen nun eine in alle Richtungen gleich abstrahlende Antenne voraus. Dann ist das Doppler&ndash;LDS formgleich mit der WDF der Dopplerfrequenzen.
+Wir setzen nun eine in alle Richtungen gleich abstrahlende Antenne voraus.&nbsp; Dann ist das Doppler&ndash;LDS formgleich mit der WDF der Dopplerfrequenzen.
 Für&nbsp; ${\it \Phi}_x(f_{\rm D})$&nbsp; muss die WDF noch mit der Leistung&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; des Gaußprozesses multipliziert werden, und für das resultierende LDS&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; des komplexen Faktors&nbsp; $z(t) =  x(t) + {\rm j} \cdot y(t) $&nbsp; gilt nach Verdoppelung:
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   \hspace{0.05cm}.</math>
-Man nennt diesen Verlauf nach&nbsp; [http://ethw.org/William_C._Jakes,_Jr. William C. Jakes Jr.]&nbsp; das&nbsp; '''Jakes&ndash;Spektrum'''. Die Verdoppelung ist notwendig, da bisher nur der Beitrag des Realteils&nbsp;  $x(t)$&nbsp; betrachtet wurde. <br>
+Man nennt diesen Verlauf nach&nbsp; [http://ethw.org/William_C._Jakes,_Jr. William C. Jakes Jr.]&nbsp; das&nbsp; '''Jakes&ndash;Spektrum'''.&nbsp; Die Verdoppelung ist notwendig, da bisher nur der Beitrag des Realteils&nbsp;  $x(t)$&nbsp; betrachtet wurde. <br>
 Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man nach&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation:]]
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 ::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm},</math>
-mit der <i>Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung</i>&nbsp; (Definition und Reihenentwicklung):
+mit der&nbsp; Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung&nbsp; (erste Gleichung:&nbsp; Definition,&nbsp;  zweite Gleichung:&nbsp; Reihenentwicklung):
 ::<math>{\rm J }_0 (u) = \frac{1}{ 2\pi} \cdot  \int_{0}^{2\pi} {\rm e }^{- {\rm j }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}u \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\cos(\alpha)} \,{\rm d} \alpha \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}
@@ Zeile 210: / Zeile 210: @@
   \hspace{0.05cm}.</math>
-Die Zahlenwerte dieser Funktion erhalten Sie über das&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)|gleichnamige Applet]]. <br>
+Die Zahlenwerte dieser Funktion erhalten Sie mit dem&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)|gleichnamigen Applet]]. <br>
 [[Datei:P_ID2117__Mob_T_1_3_S4_v2.png|right|frame|Doppler–LDS und Zeitfunktion (Betrag in dB) bei Rayleigh-Fading mit Dopplereffekt]]
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-Beim&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM#Zellularstruktur_von_GSM|GSM&ndash;D&ndash;Netz]]&nbsp; $(f_{\rm S} = 900 \ \rm MHz)$&nbsp; entspricht dies den Geschwindigkeiten $v = 60 \ \rm  km/h$ bzw. $v = 120 \ \rm  km/h$. Beim E&ndash;Netz $(f_{\rm S} = 1.8 \ \rm GHz)$ sind die Geschwindigkeiten nur halb so groß.<br>
+Beim&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM#Zellularstruktur_von_GSM|GSM&ndash;D&ndash;Netz]]&nbsp; $(f_{\rm S} = 900 \ \rm MHz)$&nbsp; entsprechen diese Werte den Geschwindigkeiten&nbsp; $v = 60 \ \rm  km/h$&nbsp; bzw.&nbsp; $v = 120 \ \rm  km/h$.
 Das rechte Bild zeigt den logarithmierten Betrag von&nbsp; $z(t)$:
 *Man erkennt das doppelt so schnelle Fading des roten Kurvenverlaufs.
-*Die Rayleigh&ndash;WDF (Amplitudenverteilung) ist in beiden Fällen gleich.}}<br>
+*Die Rayleigh&ndash;WDF (Amplitudenverteilung) ist unabhängig von&nbsp; $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$&nbsp; und deshalb für beide Fälle gleich.}}<br>

@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
 [[Datei:P ID2114 Mob T 1 3 S2b v2.png|right|frame|Dopplereffekt: $\rm (S)$ bewegt sich auf ruhenden $\rm (E)$ zu]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Der nächste Schnappschuss zeigt den Fall, dass sich der Sender&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; mit konstanter Geschwindigkeit&nbsp; $v$&nbsp; von seinem Startpunkt&nbsp; $\rm (S_0)$&nbsp; auf den Empfänger&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; zu bewegt hat.<br>
-<br><br>Der nächste Schnappschuss zeigt den Fall, dass sich der Sender&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; mit konstanter Geschwindigkeit&nbsp; $v$&nbsp; von seinem Startpunkt&nbsp; $\rm (S_0)$&nbsp; auf den Empfänger&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; zu bewegt hat.<br>
+*Das rechte Diagramm zeigt, dass die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; (blaue Schwingung) um etwa&nbsp; $20\%$&nbsp; größer ist als die Frequenz&nbsp; $f_{\rm S}$&nbsp; am Sender (rote Schwingung).
 *Aufgrund der Bewegung des Senders sind nun die Kreise nicht mehr konzentrisch.
-<br>
 [[Datei:P ID2115 Mob T 1 3 S2c v2.png|left|frame|Dopplereffekt: $\rm (S)$ entfernt sich vom ruhenden $\rm (E)$ ]]
-<br><br><br><br><br><br><br><br>
+<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
-Das links dargestellte Szenerie ergibt sich, wenn sich der Sender&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; vom Empfänger&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; entfernt:
+* Das links dargestellte Szenerio ergibt sich, wenn sich der Sender&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; vom Empfänger&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; entfernt: &nbsp; Dann ist die Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; (blaue Schwingung) um etwa&nbsp; $20\%$&nbsp; kleiner als die Sendefrequenz&nbsp; $f_{\rm S}$.<br>}}
 <br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Zu berücksichtigen ist allerdings:}$&nbsp;
-*Alle diese Angaben gelten für unrealistisch große Geschwindigkeit&nbsp; $(v = c/5)$, wobei&nbsp; $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$&nbsp; die Lichtgeschwindigkeit angibt. Beim Mobilfunk sind die Abweichungen zwischen&nbsp; $f_{\rm S}$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; dagegen meist nur ein Bruchteil der Sendefrequenz.
+*Alle diese Angaben gelten für unrealistisch große Geschwindigkeit&nbsp; $(v = c/5)$, wobei&nbsp; $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$&nbsp; die Lichtgeschwindigkeit angibt.&nbsp; Beim Mobilfunk sind die Abweichungen zwischen&nbsp; $f_{\rm S}$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; dagegen meist nur ein Bruchteil der Sendefrequenz.
 *Die exakte Gleichung für die Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; unter Einbeziehung eines Winkels&nbsp; $\alpha$&nbsp; zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie Sender&ndash;Empfänger lautet:
 ::<math>f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)}
@@ Zeile 120: / Zeile 118: @@
 == Dopplerfrequenz und deren Verteilung==
 <br>
-Wir fassen die Aussagen der letzten Seite nochmals kurz zusammen, wobei wir von der zweiten, also der nichtrelativistischen Gleichung ausgehen:
+Wir fassen die Aussagen der letzten Seite nochmals kurz zusammen, wobei wir von der zweiten, also der nicht&ndash;relativistischen Gleichung ausgehen:
 *Bei einer Relativbewegung zwischen Sender (Quelle) und Empfänger (Beobachter) kommt es zu einer Verschiebung um die Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D} =  f_{\rm E} - f_{\rm S}$.
-*Eine positive Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$&nbsp; ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger (relativ) aufeinander zu bewegen. Eine negative Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$&nbsp; bedeutet, dass sich Sender und Empfänger (direkt oder unter einem Winkel) voneinander entfernen.<br>
+*Eine positive Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$&nbsp; ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger&nbsp; (relativ)&nbsp; aufeinander zu bewegen.&nbsp; Eine negative Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$&nbsp; bedeutet, dass sich Sender und Empfänger&nbsp; (direkt oder unter einem Winkel)&nbsp; voneinander entfernen.<br>
-*Die maximale Frequenzverschiebung tritt auf, wenn sich Sender und Empfänger direkt aufeinander zu bewegen &nbsp; &#8658; &nbsp; Winkel&nbsp; $\alpha = 0^\circ$. Dieser Maximalwert hängt in erster Näherung von der Sendefrequenz&nbsp; $ f_{\rm S}$&nbsp; und der Geschwindigkeit&nbsp; $v$&nbsp; ab&nbsp; ($c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$&nbsp; gibt die Lichtgeschwindigkeit an):
+*Die maximale Frequenzverschiebung tritt auf, wenn sich Sender und Empfänger direkt aufeinander zu bewegen &nbsp; &#8658; &nbsp; Winkel&nbsp; $\alpha = 0^\circ$.&nbsp; Dieser Maximalwert hängt in erster Näherung von der Sendefrequenz&nbsp; $ f_{\rm S}$&nbsp; und der Geschwindigkeit&nbsp; $v$&nbsp; ab &nbsp; $(c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$&nbsp; gibt die Lichtgeschwindigkeit an$)$:
 ::<math>f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = f_{\rm S} \cdot  {v}/{c}  \hspace{0.05cm}.</math>
@@ Zeile 136: / Zeile 134: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Unter der Annahme gleichwahrscheinlicher Bewegungsrichtungen (Gleichverteilung für den Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp; im Bereich&nbsp; $- \pi \le \alpha \le +\pi$&nbsp; ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (hier mit &bdquo;wdf&rdquo; bezeichnet) der Dopplerfrequenz im Bereich&nbsp; $- f_\text{D, max} \le f_{\rm D} \le + f_\text{D, max}$:
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Unter der Annahme gleichwahrscheinlicher Bewegungsrichtungen&nbsp; $($Gleichverteilung für den Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp; im Bereich&nbsp; $- \pi \le \alpha \le +\pi)$&nbsp; ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $($hier mit &bdquo;wdf&rdquo; bezeichnet$)$&nbsp; der Dopplerfrequenz im Bereich&nbsp; $- f_\text{D, max} \le f_{\rm D} \le + f_\text{D, max}$:
 ::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot \sqrt {1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 }  }
@@ Zeile 146: / Zeile 144: @@
 $\text{Herleitung:}$&nbsp; Die entstehende Dopplerfrequenz in Abhängigkeit des Bewegungswinkels&nbsp; $\alpha$&nbsp;   lautet:
 ::<math>f_{\rm D} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \cos(\alpha) = g(\alpha)
   \hspace{0.05cm}.</math>
-Wir bezeichnen diese Funktion mit&nbsp; $g(\alpha)$&nbsp; und gehen davon aus, dass&nbsp; $\alpha$&nbsp; alle Winkelwerte zwischen&nbsp; $\pm \pi$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit annimmt. Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit der Dopplerfrequenz entsprechend dem Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;:
+Wir bezeichnen diese Funktion mit&nbsp; $g(\alpha)$&nbsp; und gehen davon aus, dass
 ::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{ {\rm wdf}(\alpha)}{\vert g\hspace{0.08cm}'(\alpha)\vert}\Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} \alpha=h(f_{\rm D})}
   \hspace{0.05cm}</math>
@@ Zeile 161: / Zeile 164: @@
 Im Beispiel lautet die Umkehrfunktion:
-:$$ \alpha = \arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}).$$<br>
+:$$ \alpha = \arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}).$$
-<br clear=all>
 Die Grafik veranschaulicht den Rechengang zur Bestimmung der Dopplerfrequenz&ndash;WDF:
-*Da die Kennlinie&nbsp; $ g(\alpha) = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \cos(\alpha)$&nbsp;  zwischen der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; und dem Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp; auf&nbsp;  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$&nbsp; begrenzt ist, ist für&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; kein Wert außerhalb dieses Bereichs möglich.<br>
+*Da die Kennlinie zwischen der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; und dem Winkel&nbsp; $\alpha$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $ g(\alpha) = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \cos(\alpha)$&nbsp;   auf den Wert&nbsp;  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$&nbsp; begrenzt ist, ist für&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; kein Wert außerhalb dieses Bereichs möglich.<br>
-*Bei der Transformation von Zufallsgrößen muss zwischen Bereichen mit positiver und negativer Steigung der Transformationskennlinie unterschieden werden. Die&nbsp; $\alpha$&ndash;Werte zwischen&nbsp; $-\pi$&nbsp; und&nbsp; $0$&nbsp; (positive Steigung der Transformationskennlinie) liefern das Ergebnis
+*Bei der Transformation von Zufallsgrößen muss zwischen Bereichen mit positiver und negativer Steigung der Transformationskennlinie unterschieden werden.&nbsp; Die&nbsp; $\alpha$&ndash;Werte zwischen&nbsp; $-\pi$&nbsp; und&nbsp; $0$ &nbsp; $($positive Steigung der Transformationskennlinie$)$zwischen der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; und dem Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp; liefern das Ergebnis
 ::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{1/(2\pi)}{f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \sin(\alpha)} \Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} \alpha=\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})} = \frac{(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  )^{-1} }{  \sin(\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}))} = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 }  }
@@ Zeile 176: / Zeile 179: @@
   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Winkel im Bereich um&nbsp; $\alpha = \pm \pi/2$&nbsp; führen zu einer kleinen Dopplerfrequenz &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{\rm D} \approx 0$&nbsp; (violette Markierung). Aufgrund der relativ großen Steigung der cosinusförmigen Kennlinie&nbsp; $g(\alpha)$&nbsp; bei&nbsp; $\alpha = \pm \pi/2$&nbsp; ist der WDF&ndash;Wert bei&nbsp; $f_{\rm D} \approx 0$&nbsp; allerdings sehr klein.<br>
+*Winkel im Bereich um&nbsp; $\alpha = \pm \pi/2$&nbsp; führen zu einer kleinen Dopplerfrequenz &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{\rm D} \approx 0$ &nbsp; $($violette Markierung$)$.&nbsp; Aufgrund der relativ großen Steigung der cosinusförmigen Kennlinie &nbsp; $g(\alpha)$&nbsp; bei&nbsp; $\alpha = \pm \pi/2$ &nbsp; ist der WDF&ndash;Wert bei&nbsp; $f_{\rm D} \approx 0$&nbsp; allerdings sehr klein.<br>
-*Kleine Winkel&nbsp; (um&nbsp; $\alpha \approx 0)$&nbsp; führen dagegen zur maximalen Dopplerfrequenz &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{\rm D} \approx f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$&nbsp; (rote Markierung). Aufgrund der nahezu horizontalen Kennlinie&nbsp; $g(\alpha)$&nbsp; ist hier die&nbsp; $f_{\rm D}$&ndash;WDF deutlich größer. Für&nbsp; $f_{\rm D} \equiv f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$&nbsp; ergibt sich sogar ein unendlich großer Wert.<br>
+*Kleine Winkel &nbsp; $($um&nbsp; $\alpha \approx 0)$ &nbsp; führen dagegen zur maximalen Dopplerfrequenz &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{\rm D} \approx f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$ &nbsp; $($rote Markierung$)$.&nbsp; Aufgrund der nahezu horizontalen Kennlinie&nbsp; $g(\alpha)$&nbsp; ist hier die&nbsp; $f_{\rm D}$&ndash;WDF deutlich größer.&nbsp; Für&nbsp; $f_{\rm D} \equiv f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$&nbsp; ergibt sich sogar ein unendlich großer Wert.<br>
-*Winkel um&nbsp; $\alpha = \pm \pi$&nbsp; führen zur Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D} \approx -f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$&nbsp; (grüne Markierung). Auch hier ist die Kennlinie nahezu horizontal und es ergibt sich wiederum ein großer WDF&ndash;Wert.}}<br><br>
+*Winkel um&nbsp; $\alpha = \pm \pi$&nbsp; führen dagegen zur Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D} \approx -f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$ &nbsp; $($grüne Markierung$)$.&nbsp; Auch hier ist die Kennlinie nahezu horizontal und es ergibt sich wiederum ein großer WDF&ndash;Wert.}}<br><br>
 == AKF und LDS bei Rayleigh–Fading ==

@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 == Phänomenologische Beschreibung des Dopplereffekts==
 <br>
-Die statistischen Bindungen innerhalb der reellen &bdquo;Signale&rdquo;&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp;  $y(t)$&nbsp; bzw. innerhalb der komplexen Größe&nbsp; $z(t)$&nbsp; sind auf den Dopplereffekt zurückzuführen. Dieser wurde Mitte des 19. Jahrhunderts von dem österreichischen Mathematiker, Physiker und Astronomen&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Christian_Doppler Christian Andreas Doppler]&nbsp; theoretisch vorhergesagt und nach ihm benannt.<br>
+Die statistischen Bindungen innerhalb der reellen &bdquo;Signale&rdquo;&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp;  $y(t)$&nbsp; bzw. innerhalb der komplexen Größe&nbsp; $z(t)$&nbsp; sind auf den Dopplereffekt zurückzuführen.&nbsp; Dieser wurde Mitte des 19. Jahrhunderts von dem österreichischen Mathematiker, Physiker und Astronomen&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Christian_Doppler Christian Andreas Doppler]&nbsp; theoretisch vorhergesagt und nach ihm benannt.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
@@ Zeile 79: / Zeile 79: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten die Tonhöhenänderung des <i>Martinhorns</i>&nbsp; eines Rettungswagens. Solange sich das Fahrzeug nähert, hört der Beobachter einen höheren Ton als bei stehendem Wagen. Entfernt sich der Rettungswagen, so wird ein tieferer Ton wahrgenommen.<br>
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten die Tonhöhenänderung des&nbsp; &bdquo;Martinhorns&rdquo;&nbsp; eines Rettungswagens.&nbsp; Solange sich das Fahrzeug annähert, hört der Beobachter einen höheren Ton als bei stehendem Wagen.&nbsp; Entfernt sich der Rettungswagen, so wird ein tieferer Ton wahrgenommen.<br>
-Den gleichen Effekt stellt man auch bei einem <i>Autorennen</i>&nbsp; fest. Die Frequenzänderungen und der &bdquo;Sound&rdquo; sind dabei um so deutlicher, je schneller die Autos fahren.}}<br>
+Den gleichen Effekt stellt man auch bei einem&nbsp; Autorennen&nbsp; fest.&nbsp; Die Frequenzänderungen und der &bdquo;Sound&rdquo; sind dabei um so deutlicher, je schneller die Autos fahren.}}<br>
 Den Sachverhalt kann man sich in diesem Lerntutorial mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts_(Applet)|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]&nbsp; verdeutlichen.
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Einige Eigenschaften dieses noch aus dem Physikunterricht bekannten Effekts sollen nun anhand von Bildschirmabzügen der oben genannter Animation dargestellt werden, wobei natürlich die dynamischen Programmeigenschaften verloren gehen.<br>
+Einige Eigenschaften dieses noch aus dem Physikunterricht bekannten Effekts sollen nun anhand von Bildschirmabzügen einer früheren Version der oben genannter Animation dargestellt werden, wobei natürlich die dynamischen Programmeigenschaften verloren gehen.<br>
 Die erste Grafik zeigt die Ausgangssituation:

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 == Einige allgemeine Bemerkungen zu AKF und LDS ==
 <br>
-Zur Beschreibung der inneren statistischen Bindungen zwischen den benachbarten Signalwerten&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $r(t+ \Delta t)$&nbsp; eignet sich die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen| Autokorrelationsfunktion]] (AKF):
+Zur Beschreibung der inneren statistischen Bindungen zwischen den benachbarten Signalwerten&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $r(t+ \Delta t)$&nbsp; eignet sich die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen| Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; $\rm (AKF)$:
 ::<math>\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\big [ r(t) \cdot r^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ]
@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 *Die AKF&ndash;Variable ist hier mit&nbsp; $\Delta t$&nbsp; anstelle von&nbsp; $\tau$&nbsp; bezeichnet, da wir in diesem Buch das &bdquo;$\tau$&rdquo; noch für die 2D&ndash;Impulsantwort&nbsp; $h(t, \hspace{0.05cm}\tau)$&nbsp; benötigen.<br>
-*Das äquivalente Tiefpass&ndash;Signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; ist komplex. Durch den Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; bezieht sich aber die AKF&nbsp; $\varphi_r ({\rm \Delta}t)$&nbsp; und insbesondere die Leistung&nbsp; $\varphi_r ({\rm \Delta}t = 0)$&nbsp; auf das (reelle) Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $r_{\rm BP}(t)$.<br><br>
+*Das äquivalente Tiefpass&ndash;Signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; ist komplex.&nbsp; Durch den Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; bezieht sich aber die AKF&nbsp; $\varphi_r ({\rm \Delta}t)$&nbsp; und insbesondere die Leistung&nbsp; $\varphi_r ({\rm \Delta}t = 0)$&nbsp; auf das (reelle) Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $r_{\rm BP}(t)$.<br><br>
-Beim&nbsp; <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&ndash;Kanalmodell gilt&nbsp; $r(t) = s(t) \cdot z(t)$. Damit ergibt sich für dessen AKF:
+Beim&nbsp; <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&ndash;Kanalmodell gilt&nbsp; $r(t) = s(t) \cdot z(t)$.&nbsp; Damit ergibt sich für dessen AKF:
 ::<math>\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\big [ s(t) \cdot z(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ] = \varphi_s ({\rm \Delta}t) \cdot \varphi_z ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.</math>
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 ::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) =   {\rm E}\big [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ]\hspace{0.05cm}.</math>
-Der Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; ist nur bei der AKF&ndash;Berechnung von Bandpass&ndash;Signalen im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich zu berücksichtigen, nicht jedoch bei&nbsp; $\varphi_z ({\rm \Delta}t)$. Ansonsten würde sich&nbsp; $\varphi_r ({\rm \Delta}t) \ne  \varphi_s ({\rm \Delta}t)  \cdot \varphi_z ({\rm \Delta}t)$&nbsp; ergeben.<br>
+:Der Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; ist nur bei der AKF&ndash;Berechnung von Bandpass&ndash;Signalen im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich zu berücksichtigen, nicht jedoch bei&nbsp; $\varphi_z ({\rm \Delta}t)$.&nbsp; Ansonsten würde sich&nbsp; $\varphi_r ({\rm \Delta}t) \ne  \varphi_s ({\rm \Delta}t)  \cdot \varphi_z ({\rm \Delta}t)$&nbsp; ergeben.<br>
-Aufgrund der Definition&nbsp; $\varphi_z ({\rm \Delta}t) =   {\rm E}\big [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ]$&nbsp; ist die AKF auch bei einer komplexen Zeitfunktion&nbsp; $z(t)$&nbsp; stets reell und zudem bezüglich&nbsp; $ {\rm \Delta}t$&nbsp; gerade.
+Aufgrund der Definition&nbsp; $\varphi_z ({\rm \Delta}t) =   {\rm E}\big [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ]$&nbsp; ist die AKF auch bei einer komplexen Zeitfunktion&nbsp; $z(t)$&nbsp; stets reell und zudem bezüglich&nbsp; $ {\rm \Delta}t$&nbsp; gerade.&nbsp; Berücksichtigen wir weiterhin, dass
 *$z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot  y(t) $&nbsp;  ist,<br>
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 *Zur Ermittlung der statistischen Bindungen der komplexen Größe&nbsp; $z(t)$&nbsp; muss nur einer der beiden Gaußprozesse betrachtet werden. Im Folgenden sei dies&nbsp; $x(t)$.
-*Wir berechnen zuerst die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_x ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\big[x(t) \cdot x(t + {\rm \Delta}t)\big]$&nbsp; des Realteils und anschließend auch dessen Leistungsdichtespektrum (LDS)
+*Wir berechnen zuerst die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; $\varphi_x ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\big[x(t) \cdot x(t + {\rm \Delta}t)\big]$&nbsp; des Realteils und danach dessen Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp;
 ::<math>{\it \Phi}_x (f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty}  \varphi_x ({\rm \Delta}t) \cdot
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   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Die LDS&ndash;Variable ist die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung|Dopplerfrequenz]]&nbsp; $f_{\rm D}$, da beim Mobilfunk der <i>Dopplereffekt</i>&nbsp; die Ursache der statistischen Bindungen ist.}}
+*Die&nbsp; $\rm LDS$&ndash;Variable ist die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung|'''Dopplerfrequenz''']]&nbsp; $f_{\rm D}$, da beim Mobilfunk der so genannte&nbsp; &bdquo;Dopplereffekt&rdquo;&nbsp; die Ursache der statistischen Bindungen ist.}}