Mobile Kommunikation/Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Februar 2021 um 13:17 Uhr

2021-02-12T13:17:45Z

Guenter am 12. Mai 2020 um 14:38 Uhr

2020-05-12T14:38:13Z

Guenter am 12. Mai 2020 um 14:36 Uhr

2020-05-12T14:36:36Z

Guenter am 6. April 2019 um 13:02 Uhr

2019-04-06T13:02:22Z

Guenter am 19. Juni 2018 um 06:11 Uhr

2018-06-19T06:11:30Z

Guenter am 19. Juni 2018 um 06:10 Uhr

2018-06-19T06:10:42Z

Guenter am 19. Juni 2018 um 06:08 Uhr

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Guenter am 19. Juni 2018 um 06:06 Uhr

2018-06-19T06:06:36Z

Wael am 2. Januar 2018 um 18:32 Uhr

2018-01-02T18:32:35Z

Hussain am 16. November 2017 um 21:24 Uhr

2017-11-16T21:24:04Z

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-Das Rice&ndash;Fading&ndash;Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen, siehe auch&nbsp; [Hin08]<ref name = 'Hin08'>Hindelang, T.: ''Mobile Communications''. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref>:
+Das Rice&ndash;Fading&ndash;Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen, siehe auch&nbsp; [Hin08]<ref name = 'Hin08'>Hindelang, T.:&nbsp; Mobile Communications.&nbsp; Vorlesungsmanuskript.&nbsp; Lehrstuhl für Nachrichtentechnik,&nbsp; TU München, 2008.</ref>:
 *Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gaußverteilt mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma ^2$.
 *Der Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist ebenfalls gaußverteilt&nbsp; $($Mittelwert&nbsp; $y_0$,&nbsp; gleiche Varianz&nbsp; $\sigma ^2)$&nbsp;  sowie unabhängig von&nbsp; $x(t)$.<br>
-*Für&nbsp; $z_0 \ne 0$&nbsp; ist der Betrag&nbsp; $|z(t)|$&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung| riceverteilt]], woraus die Bezeichnung &bdquo;<i>Rice&ndash;Fading</i>&rdquo; herrührt.
+*Für&nbsp; $z_0 \ne 0$&nbsp; ist der Betrag&nbsp; $|z(t)|$&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung| riceverteilt]], woraus die Bezeichnung &bdquo;Rice&ndash;Fading&rdquo; herrührt.
-*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir&nbsp;  $|z(t)| = a(t)$.&nbsp; Für&nbsp; $a < 0$&nbsp; ist die Betrags&ndash;WDF&nbsp; $f_a(a) \equiv 0$,&nbsp; für&nbsp; $a \ge  0$ gilt folgende Gleichung, wobei&nbsp;  $\rm I_0(\cdot)$&nbsp; die <i>modifizierte Bessel&ndash;Funktion</i> nullter Ordnung bezeichnet:
+*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir&nbsp;  $|z(t)| = a(t)$.&nbsp; Für&nbsp; $a < 0$&nbsp; ist die Betrags&ndash;WDF&nbsp; $f_a(a) \equiv 0$,&nbsp; für&nbsp; $a \ge  0$ gilt folgende Gleichung, wobei&nbsp;  $\rm I_0(\cdot)$&nbsp; die&nbsp; ''modifizierte Bessel&ndash;Funktion nullter Ordnung''&nbsp; bezeichnet:
 ::<math>f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \big [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\big ] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =
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 *Ist&nbsp; $|z_0| \gg \sigma$&nbsp; $($Faktor &nbsp;$3$&nbsp; oder mehr$)$, so  kann die Rice&ndash;WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $|z_0|$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; angenähert werden.<br>
-*Im Gegensatz zum&nbsp; <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> &nbsp; &rArr; &nbsp; $z_0 \equiv 0$ ist die Phase bei&nbsp; <i>Rice&ndash;Fading</i>&nbsp; nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung&nbsp; $\phi_0 = \arctan(y_0/x_0)$. Oft setzt man&nbsp; $y_0 = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\phi_0  = 0$.<br>
+*Im Gegensatz zum Rayleigh&ndash;Fading &nbsp; &rArr; &nbsp; $z_0 \equiv 0$&nbsp; ist die Phase bei Rice&ndash;Fading  nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung&nbsp; $\phi_0 = \arctan(y_0/x_0)$. <br>Oft setzt man&nbsp; $y_0 = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\phi_0  = 0$.<br>
 == Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading==
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 :$$x_0 = 0.707,\ \ y_0 = -0.707.$$
-Für die Erzeugung der Signalausschnitte nach obigem Modell wurde jeweils die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| maximale Dopplerfrequenz]]&nbsp; $f_\text{D, max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; zugrundegelegt.
+Für die Erzeugung der Signalausschnitte nach obigem Modell liegt jeweils die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| maximale Dopplerfrequenz]]&nbsp; $f_\text{D, max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; zugrunde.
 Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; und Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; von Rayleigh und Rice unterscheiden sich bei ansonstern angepassten Parameterwerten nur geringfügig.&nbsp; Es gilt:
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 *Beim Rice&ndash;Kanal ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von AWGN&ndash;Rauschen niedriger als bei Rayleigh, da  der Empfänger über den Rice&ndash;Direktpfad viel nutzbare Energie erhält.<br>
-*Die WDF&nbsp; $f_\phi(\phi)$&nbsp; zeigt den Vorzugswinkel&nbsp;  $\phi \approx 45^\circ$&nbsp; des vorliegenden  Rice&ndash;Kanals.&nbsp; Der komplexe Faktor&nbsp; $z(t)$&nbsp; befindet sich  wegen&nbsp; $x_0 > 0$&nbsp; und&nbsp; $y_0 < 0$&nbsp; großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh&ndash;Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.<br>
+*Die WDF&nbsp; $f_\phi(\phi)$&nbsp; zeigt den Vorzugswinkel&nbsp;  $\phi \approx -45^\circ$&nbsp; des vorliegenden  Rice&ndash;Kanals.&nbsp; Der komplexe Faktor&nbsp; $z(t)$&nbsp; befindet sich  wegen&nbsp; $x_0 > 0$&nbsp; und&nbsp; $y_0 < 0$&nbsp; großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh&ndash;Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.<br>
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 == Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading==
 <br>
 [[Datei:P ID2129 Mob T 1 4 S2 v1.png|right|frame|Vergleich von Rayleigh-Fading (blau) und Rice-Fading (rot)|class=fit]]
 *Rayleigh&ndash;Fading&nbsp;  (blaue Kurven)&nbsp; mit&nbsp;
 :$${\rm E}\big [|z(t))|^2\big ] = 2 \cdot \sigma^2 = 1,$$

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 Die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals| Rayleigh&ndash;Verteilung]]&nbsp; beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.
-Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch:&nbsp; <i>Line of Sight</i>, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; noch Gleichkomponenten&nbsp; $x_0$&nbsp; und/oder&nbsp; $y_0$&nbsp; hinzufügen:
+[[Datei:P ID2126 Mob T 1 4 S1 v3.png|right|frame|Rice-Fading-Kanalmodell|class=fit]]
 ::<math>x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},</math>
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   z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.</math>
-Die Grafik zeigt dieses&nbsp; '''Rice&ndash;Fading&ndash;Kanalmodell'''. Als Sonderfall ergibt sich daraus  das Rayleigh&ndash;Modell, wenn man&nbsp; $x_0 =  y_0= 0$&nbsp; setzt.<br>
+Die Grafik zeigt dieses&nbsp; '''Rice&ndash;Fading&ndash;Kanalmodell'''.&nbsp; Als Sonderfall ergibt sich das Rayleigh&ndash;Modell, wenn man&nbsp; $x_0 =  y_0= 0$&nbsp; setzt.<br>
 Das Rice&ndash;Fading&ndash;Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen, siehe auch&nbsp; [Hin08]<ref name = 'Hin08'>Hindelang, T.: ''Mobile Communications''. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref>:
 *Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gaußverteilt mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma ^2$.
-*Der Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist ebenfalls gaußverteilt  $($Mittelwert&nbsp; $y_0$, gleiche Varianz&nbsp; $\sigma ^2)$&nbsp;  sowie unabhängig von&nbsp; $x(t)$.<br>
+*Der Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist ebenfalls gaußverteilt&nbsp; $($Mittelwert&nbsp; $y_0$,&nbsp; gleiche Varianz&nbsp; $\sigma ^2)$&nbsp;  sowie unabhängig von&nbsp; $x(t)$.<br>
 *Für&nbsp; $z_0 \ne 0$&nbsp; ist der Betrag&nbsp; $|z(t)|$&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung| riceverteilt]], woraus die Bezeichnung &bdquo;<i>Rice&ndash;Fading</i>&rdquo; herrührt.
-*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir&nbsp;  $|z(t)| = a(t)$. Für&nbsp; $a < 0$&nbsp; ist die Betrags&ndash;WDF&nbsp; $f_a(a) \equiv 0$, für&nbsp; $a \ge  0$ gilt folgende Gleichung, wobei&nbsp;  $\rm I_0(\cdot)$&nbsp; die <i>modifizierte Bessel&ndash;Funktion</i> nullter Ordnung bezeichnet:
+*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir&nbsp;  $|z(t)| = a(t)$.&nbsp; Für&nbsp; $a < 0$&nbsp; ist die Betrags&ndash;WDF&nbsp; $f_a(a) \equiv 0$,&nbsp; für&nbsp; $a \ge  0$ gilt folgende Gleichung, wobei&nbsp;  $\rm I_0(\cdot)$&nbsp; die <i>modifizierte Bessel&ndash;Funktion</i> nullter Ordnung bezeichnet:
 ::<math>f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \big [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\big ] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =
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 *Der Mobilfunkkanal ist um so besser für die Digitalsignalübertragung geeignet, je größer die &bdquo;Direktpfadleistung&rdquo;&nbsp;   $(|z_0|^2)$&nbsp;  gegenüber den Leistungen der Streukomponenten&nbsp; $(2\sigma^2)$&nbsp; ist.<br>
-*Ist&nbsp; $|z_0| \gg \sigma$&nbsp; (Faktor &nbsp;$3$&nbsp; oder mehr), so  kann die Rice&ndash;WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $|z_0|$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; angenähert werden.<br>
+*Ist&nbsp; $|z_0| \gg \sigma$&nbsp; $($Faktor &nbsp;$3$&nbsp; oder mehr$)$, so  kann die Rice&ndash;WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $|z_0|$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; angenähert werden.<br>
 *Im Gegensatz zum&nbsp; <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> &nbsp; &rArr; &nbsp; $z_0 \equiv 0$ ist die Phase bei&nbsp; <i>Rice&ndash;Fading</i>&nbsp; nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung&nbsp; $\phi_0 = \arctan(y_0/x_0)$. Oft setzt man&nbsp; $y_0 = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\phi_0  = 0$.<br>
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 Die Grafik zeigt Signalverläufe und Dichtefunktionen zweier Mobilfunkkanäle:
 [[Datei:P ID2129 Mob T 1 4 S2 v1.png|right|frame|Vergleich von Rayleigh-Fading (blau) und Rice-Fading (rot)|class=fit]]
-*Rayleigh&ndash;Fading  (blaue Kurven) <br>mit&nbsp; ${\rm E}\big [|z(t))|^2\big ] = 2 \cdot \sigma^2 = 1$,<br>
+*Rayleigh&ndash;Fading&nbsp;  (blaue Kurven)&nbsp; mit&nbsp;
+:$${\rm E}\big [|z(t))|^2\big ] = 2 \cdot \sigma^2 = 1,$$
-Für die Erzeugung der Signalausschnitte mit dem oben gezeigten Modell wurde für  Rayleigh und für Rice die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| maximale Dopplerfrequenz]]&nbsp; $f_\text{D, max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; zugrundegelegt.
+*Rice&ndash;Fading&nbsp;  (rote Kurven)&nbsp; mit gleichem&nbsp; $\sigma$&nbsp; sowie&nbsp;
-Autokorrelationsfunktion (AKF) und Leistungsdichtespektrum (LDS) von Rayleigh und Rice unterscheiden sich bei ansonstern angepassten Parameterwerten nur geringfügig. Es gilt:
+Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; und Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; von Rayleigh und Rice unterscheiden sich bei ansonstern angepassten Parameterwerten nur geringfügig.&nbsp; Es gilt:
 ::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}}  \hspace{-0.5cm}  =  \varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} \hspace{-0.8cm} + |z_0|^2 \hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 58: / Zeile 59: @@
 <br clear= all>
 Zu dieser Grafik ist anzumerken:
-*Die Realteile&nbsp; $x(t)$&nbsp; von Rayleigh (blau) und Rice (rot)  unterscheiden sich durch die Konstante&nbsp; $x_0 = 0.707$. Die statistischen Eigenschaften sind ansonsten gleich: &nbsp; Gaußsche WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; mit Streuung&nbsp; $\sigma = 0.707$, entweder mittelwertfrei (Rayleigh) oder mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp;  (Rice).<br>
+*Die Realteile&nbsp; $x(t)$&nbsp; von Rayleigh (blau) und Rice (rot)  unterscheiden sich durch die Konstante&nbsp; $x_0 = 0.707$.&nbsp; Die statistischen Eigenschaften sind ansonsten gleich: &nbsp; Gaußsche WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; mit Streuung&nbsp; $\sigma = 0.707$, entweder mittelwertfrei (Rayleigh) oder mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp;  (Rice).<br>
-*Im Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; erkennt man bei Rice zusätzlich die Gleichkomponente&nbsp; $y_0 = -0.707$. Die (hier nicht dargestellte) WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; ist somit eine Gaußkurve mit der Streuung&nbsp; $\sigma = 0.707$&nbsp; um den Mittelwert&nbsp; $ y_0 = -0.707$, also achsensymmetrisch zur skizzierten WDF&nbsp; $f_x(x)$.<br>
+*Im Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; erkennt man bei Rice zusätzlich die Gleichkomponente&nbsp; $y_0 = -0.707$.&nbsp; Die (hier nicht dargestellte) WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; ist somit eine Gaußkurve mit der Streuung&nbsp; $\sigma = 0.707$&nbsp; um den Mittelwert&nbsp; $ y_0 = -0.707$, also achsensymmetrisch zur skizzierten WDF&nbsp; $f_x(x)$.<br>
-*Die (logarithmische) Betragsdarstellung &nbsp; &#8658; &nbsp;  $a(t) =|z(t)|$   zeigt, dass die rote Kurve meist oberhalb der blauen liegt. Diese Tatsache ist auch aus der WDF&nbsp; $f_a(a)$&nbsp; ablesbar.
+*Die (logarithmische) Betragsdarstellung &nbsp; &#8658; &nbsp;  $a(t) =|z(t)|$   zeigt, dass die rote Kurve meist oberhalb der blauen liegt.&nbsp; Dies ist auch aus der WDF&nbsp; $f_a(a)$&nbsp; ablesbar.
 *Beim Rice&ndash;Kanal ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von AWGN&ndash;Rauschen niedriger als bei Rayleigh, da  der Empfänger über den Rice&ndash;Direktpfad viel nutzbare Energie erhält.<br>
-*Die WDF&nbsp; $f_\phi(\phi)$&nbsp; zeigt den Vorzugswinkel&nbsp;  $\phi \approx 45^\circ$&nbsp; des vorliegenden  Rice&ndash;Kanals. Der komplexe Faktor&nbsp; $z(t)$&nbsp; befindet sich  wegen&nbsp; $x_0 > 0$&nbsp; und&nbsp; $y_0 < 0$&nbsp; großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh&ndash;Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.<br>
+*Die WDF&nbsp; $f_\phi(\phi)$&nbsp; zeigt den Vorzugswinkel&nbsp;  $\phi \approx 45^\circ$&nbsp; des vorliegenden  Rice&ndash;Kanals.&nbsp; Der komplexe Faktor&nbsp; $z(t)$&nbsp; befindet sich  wegen&nbsp; $x_0 > 0$&nbsp; und&nbsp; $y_0 < 0$&nbsp; großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh&ndash;Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.<br>
 ==Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 == Kanalmodell und Rice–WDF ==
 <br>
-Die [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals| Rayleigh&ndash;Verteilung]] beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$ allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.
+Die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals| Rayleigh&ndash;Verteilung]]&nbsp; beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.
-Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch: <i>Line of Sight</i>, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen $x(t)$ und $y(t)$ noch Gleichkomponenten $x_0$ und/oder $y_0$ hinzufügen:
+Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch:&nbsp; <i>Line of Sight</i>, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; noch Gleichkomponenten&nbsp; $x_0$&nbsp; und/oder&nbsp; $y_0$&nbsp; hinzufügen:
 ::<math>x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
   z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.</math>
-Die Grafik zeigt diess '''Rice&ndash;Fading&ndash;Kanalmodell'''. Als Sonderfall ergibt sich daraus  das Rayleigh&ndash;Modell, wenn man $x_0 =  y_0= 0$ setzt.<br>
+Die Grafik zeigt dieses&nbsp; '''Rice&ndash;Fading&ndash;Kanalmodell'''. Als Sonderfall ergibt sich daraus  das Rayleigh&ndash;Modell, wenn man&nbsp; $x_0 =  y_0= 0$&nbsp; setzt.<br>
 [[Datei:P ID2126 Mob T 1 4 S1 v3.png|center|frame|Rice-Fading-Kanalmodell|class=fit]]
-Das Rice&ndash;Fading&ndash;Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen, siehe auch [Hin08]<ref name = 'Hin08'>Hindelang, T.: ''Mobile Communications''. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref>:
+Das Rice&ndash;Fading&ndash;Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen, siehe auch&nbsp; [Hin08]<ref name = 'Hin08'>Hindelang, T.: ''Mobile Communications''. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref>:
-*Der Realteil $x(t)$ ist gaußverteilt mit Mittelwert $x_0$ und Varianz $\sigma ^2$.
+*Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gaußverteilt mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma ^2$.
-*Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt  (Mittelwert $y_0$, gleiche Varianz $\sigma ^2$)  sowie unabhängig von $x(t)$.<br>
+*Der Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist ebenfalls gaußverteilt  $($Mittelwert&nbsp; $y_0$, gleiche Varianz&nbsp; $\sigma ^2)$&nbsp;  sowie unabhängig von&nbsp; $x(t)$.<br>
-*Für $z_0 \ne 0$ ist der Betrag $|z(t)|$ [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung| riceverteilt]], woraus die Bezeichnung &bdquo;<i>Rice&ndash;Fading</i>&rdquo; herrührt.
+*Für&nbsp; $z_0 \ne 0$&nbsp; ist der Betrag&nbsp; $|z(t)|$&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung| riceverteilt]], woraus die Bezeichnung &bdquo;<i>Rice&ndash;Fading</i>&rdquo; herrührt.
-*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir  $|z(t)| = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags&ndash;WDF $f_a(a) \equiv 0$, für $a \ge  0$ gilt folgende Gleichung, wobei  $I_0$ die <i>modifizierte Bessel&ndash;Funktion</i> nullter Ordnung bezeichnet:
+*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir&nbsp;  $|z(t)| = a(t)$. Für&nbsp; $a < 0$&nbsp; ist die Betrags&ndash;WDF&nbsp; $f_a(a) \equiv 0$, für&nbsp; $a \ge  0$ gilt folgende Gleichung, wobei&nbsp;  $\rm I_0(\cdot)$&nbsp; die <i>modifizierte Bessel&ndash;Funktion</i> nullter Ordnung bezeichnet:
 ::<math>f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \big [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\big ] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =
@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Der Mobilfunkkanal ist um so besser für die Digitalsignalübertragung geeignet, je größer die &bdquo;Direktpfadleistung&rdquo;   $(|z_0|^2)$  gegenüber den Leistungen der Streukomponenten $(2\sigma^2)$ ist.<br>
+*Der Mobilfunkkanal ist um so besser für die Digitalsignalübertragung geeignet, je größer die &bdquo;Direktpfadleistung&rdquo;&nbsp;   $(|z_0|^2)$&nbsp;  gegenüber den Leistungen der Streukomponenten&nbsp; $(2\sigma^2)$&nbsp; ist.<br>
-*Ist $|z_0| \gg \sigma$ (Faktor 3 oder mehr), so  kann die Rice&ndash;WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit dem Mittelwert $|z_0|$ und der Streuung $\sigma$ angenähert werden.<br>
+*Ist&nbsp; $|z_0| \gg \sigma$&nbsp; (Faktor &nbsp;$3$&nbsp; oder mehr), so  kann die Rice&ndash;WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $|z_0|$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; angenähert werden.<br>
-*Im Gegensatz zum <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> &nbsp; &rArr; &nbsp; $z_0 \equiv 0$ ist die Phase bei <i>Rice&ndash;Fading</i>&nbsp; nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung $\phi_0 = \arctan(y_0/x_0)$. Oft setzt man $y_0 = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\phi_0  = 0$.<br>
+*Im Gegensatz zum&nbsp; <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> &nbsp; &rArr; &nbsp; $z_0 \equiv 0$ ist die Phase bei&nbsp; <i>Rice&ndash;Fading</i>&nbsp; nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung&nbsp; $\phi_0 = \arctan(y_0/x_0)$. Oft setzt man&nbsp; $y_0 = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\phi_0  = 0$.<br>
 == Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading==
@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 Die Grafik zeigt Signalverläufe und Dichtefunktionen zweier Mobilfunkkanäle:
 [[Datei:P ID2129 Mob T 1 4 S2 v1.png|right|frame|Vergleich von Rayleigh-Fading (blau) und Rice-Fading (rot)|class=fit]]
-*Rayleigh&ndash;Fading  (blaue Kurven) <br>mit ${\rm E}\big [|z(t))|^2\big ] = 2 \cdot \sigma^2 = 1$,<br>
+*Rayleigh&ndash;Fading  (blaue Kurven) <br>mit&nbsp; ${\rm E}\big [|z(t))|^2\big ] = 2 \cdot \sigma^2 = 1$,<br>
-*Rice&ndash;Fading  (rote Kurven) <br>mit gleichem $\sigma$ sowie $x_0 = 0.707$ und $y_0 = -0.707$.<br><br>
+*Rice&ndash;Fading  (rote Kurven) <br>mit gleichem&nbsp; $\sigma$&nbsp; sowie&nbsp; $x_0 = 0.707$&nbsp; und&nbsp; $y_0 = -0.707$.
 Für die Erzeugung der Signalausschnitte mit dem oben gezeigten Modell wurde für  Rayleigh und für Rice die [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| maximale Dopplerfrequenz]] $f_\text{D, max} = 100 \ \rm Hz$ zugrundegelegt.
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+Für die Erzeugung der Signalausschnitte mit dem oben gezeigten Modell wurde für  Rayleigh und für Rice die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| maximale Dopplerfrequenz]]&nbsp; $f_\text{D, max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; zugrundegelegt.
 Autokorrelationsfunktion (AKF) und Leistungsdichtespektrum (LDS) von Rayleigh und Rice unterscheiden sich nur geringfügig. Es gilt:
 ::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}}  \hspace{-0.5cm}  =  \varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} \hspace{-0.8cm} + |z_0|^2 \hspace{0.05cm},</math>
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 Berücksichtigt ist, dass die Spektraldarstellung eines  Gleichanteils zu einer Diracfunktion führt.<br>
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 Zu dieser Grafik ist anzumerken:
-*Die Realteile $x(t)$ von Rayleigh (blau), Rice (rot)  unterscheiden sich durch die Konstante $x_0 = 0.707$. Die statistischen Eigenschaften sind ansonsten gleich: Gaußsche WDF $f_x(x)$ mit Streuung $\sigma = 0.707$, entweder mittelwertfrei (Rayleigh) oder mit Mittelwert $x_0$  (Rice).<br>
+*Die Realteile&nbsp; $x(t)$&nbsp; von Rayleigh (blau) und Rice (rot)  unterscheiden sich durch die Konstante&nbsp; $x_0 = 0.707$. Die statistischen Eigenschaften sind ansonsten gleich: &nbsp; Gaußsche WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; mit Streuung&nbsp; $\sigma = 0.707$, entweder mittelwertfrei (Rayleigh) oder mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp;  (Rice).<br>
-*Im Imaginärteil $y(t)$ erkennt man bei Rice zusätzlich die Gleichkomponente $y_0 = -0.707$. Die (nicht dargestellte) WDF $f_y(y)$ ist somit eine Gaußkurve mit der Streuung $\sigma = 0.707$ um den Mittelwert $ y_0 = -0.707$, also achsensymmetrisch zur skizzierten WDF $f_x(x)$.<br>
+*Im Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; erkennt man bei Rice zusätzlich die Gleichkomponente&nbsp; $y_0 = -0.707$. Die (hier nicht dargestellte) WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; ist somit eine Gaußkurve mit der Streuung&nbsp; $\sigma = 0.707$&nbsp; um den Mittelwert&nbsp; $ y_0 = -0.707$, also achsensymmetrisch zur skizzierten WDF&nbsp; $f_x(x)$.<br>
-*Die (logarithmische) Betragsdarstellung &nbsp; &#8658; &nbsp;  $a(t) =|z(t)|$   zeigt, dass die rote Kurve meist oberhalb der blauen liegt. Diese Tatsache ist auch aus der WDF $f_a(a)$ ablesbar.
+*Die (logarithmische) Betragsdarstellung &nbsp; &#8658; &nbsp;  $a(t) =|z(t)|$   zeigt, dass die rote Kurve meist oberhalb der blauen liegt. Diese Tatsache ist auch aus der WDF&nbsp; $f_a(a)$&nbsp; ablesbar.
 *Beim Rice&ndash;Kanal ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von AWGN&ndash;Rauschen niedriger als bei Rayleigh, da  der Empfänger über den Rice&ndash;Direktpfad viel nutzbare Energie erhält.<br>
-*Die WDF $f_\phi(\phi)$ zeigt den Vorzugswinkel  $\phi \approx 45^\circ$ des Rice&ndash;Kanals. Der komplexe Faktor $z(t)$ befindet sich  wegen $x_0 > 0$ und $y_0 < 0$ großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh&ndash;Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.<br>
+*Die WDF&nbsp; $f_\phi(\phi)$&nbsp; zeigt den Vorzugswinkel&nbsp;  $\phi \approx 45^\circ$&nbsp; des vorliegenden  Rice&ndash;Kanals. Der komplexe Faktor&nbsp; $z(t)$&nbsp; befindet sich  wegen&nbsp; $x_0 > 0$&nbsp; und&nbsp; $y_0 < 0$&nbsp; großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh&ndash;Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.<br>
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
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-[[Aufgaben:1.6 Rice–Fading – AKF/LDS|Aufgabe 1.6: AKF und LDS bei Rice–Fading]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.6:_AKF_und_LDS_bei_Rice–Fading|Aufgabe 1.6: AKF und LDS bei Rice–Fading]]
 [[Aufgabe_1.6Z:_Rayleigh_und_Rice_im_Vergleich|Aufgabe 1.6Z: Rayleigh und Rice im Vergleich]]

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
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-[[Aufgaben:1.6 Rice–Fading – AKF/LDS|A1.6 Rice–Fading – AKF/LDS]]
+[[Aufgaben:1.6 Rice–Fading – AKF/LDS|Aufgabe 1.6: Rice–Fading – AKF/LDS]]
-[[Aufgabe_1.6Z:_Rayleigh_und_Rice_im_Vergleich|Zusatzaufgaben:1.6 Rayleigh und Rice im Vergleich]]
+[[Aufgabe_1.6Z:_Rayleigh_und_Rice_im_Vergleich|Aufgabe 1.6Z: Rayleigh und Rice im Vergleich]]
-[[Aufgaben:1.7 WDF des Rice–Fadings|A1.7 WDF des Rice–Fadings]]
+[[Aufgaben:1.7 WDF des Rice–Fadings|Aufgabe 1.7: WDF des Rice–Fadings]]
 ==Quellenverzeichnis==
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