Mobile Kommunikation/Das GWSSUS–Kanalmodell - Versionsgeschichte

Guenter am 15. Februar 2021 um 17:40 Uhr

2021-02-15T17:40:10Z

Guenter am 15. Februar 2021 um 17:28 Uhr

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Guenter am 15. Februar 2021 um 15:50 Uhr

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Guenter am 15. Februar 2021 um 15:47 Uhr

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Guenter am 15. Februar 2021 um 13:13 Uhr

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Guenter am 15. Februar 2021 um 12:55 Uhr

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Guenter am 19. Mai 2020 um 09:25 Uhr

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Guenter am 19. Mai 2020 um 09:01 Uhr

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Guenter am 18. Mai 2020 um 13:07 Uhr

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Guenter am 18. Mai 2020 um 12:25 Uhr

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Mehrwegeverbreiterung'''&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>Time Delay Spread</i>&nbsp; oder&nbsp; <i>Multipath Spread</i>&nbsp;)&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; gibt die Verbreiterung an, die ein Diracimpuls durch den Kanal im statistischen Mittel erfährt.&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; ist definiert als die Standardabweichung&nbsp; $(\sigma_{\rm V})$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $\tau$:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Mehrwegeverbreiterung'''&nbsp; (englisch: &nbsp;"Time Delay Spread"&nbsp; oder&nbsp; "Multipath Spread")&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; gibt die Verbreiterung an, die ein Diracimpuls durch den Kanal im statistischen Mittel erfährt.&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; ist definiert als die Standardabweichung&nbsp; $(\sigma_{\rm V})$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $\tau$:
 ::<math>T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} = \sqrt{ {\rm E} \big [ \tau^2 \big ] - m_{\rm V}^2}
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Kohärenzbandbreite'''&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Coherence Bandwidth</i>&nbsp;)&nbsp; ist derjenige&nbsp; $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem der Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion betragsmäßig erstmals auf die Hälfte abgesunken ist.
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Kohärenzbandbreite'''&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; (englisch: &nbsp; "Coherence Bandwidth")&nbsp; ist derjenige&nbsp; $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem der Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion betragsmäßig erstmals auf die Hälfte abgesunken ist.
 ::<math>\vert \varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})\vert  \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot \vert \varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)\vert \hspace{0.05cm}.</math>
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Korrelationsdauer''' $T_{\rm D}$&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Coherence Time</i>&nbsp;)&nbsp; gibt die Zeit an, die im Mittel vergehen muss, bis der Kanal seine Übertragungseigenschaften aufgrund der Zeitvarianz völlig geändert hat.&nbsp; Deren Definition ist ähnlich wie die Definition der Kohärenzbandbreite:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Korrelationsdauer''' $T_{\rm D}$&nbsp; (englisch: &nbsp; "Coherence Time")&nbsp; gibt die Zeit an, die im Mittel vergehen muss, bis der Kanal seine Übertragungseigenschaften aufgrund der Zeitvarianz völlig geändert hat.&nbsp; Deren Definition ist ähnlich wie die Definition der Kohärenzbandbreite:
 ::<math>\vert \varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D})\vert  \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot \vert \varphi_{\rm Z}(\Delta t = 0)\vert  \hspace{0.05cm}.</math>}}
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Dopplerverbreiterung'''&nbsp; $B_{\rm D}$&nbsp; (oder &bdquo;Fading&ndash;Bandbreite&rdquo;, englisch: &nbsp; <i>Doppler Spread</i>&nbsp;)&nbsp; ist die mittlere Frequenzverbreiterung, die die einzelnen spektralen Signalanteile erfahren.&nbsp;  Bei der Berechnung geht man ähnlich vor wie bei der Mehrwegeverbreiterung, indem man die Dopplerverbreiterung&nbsp; $B_{\rm D}$&nbsp; als die Standardabweichung der Zufallsgröße&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; berechnet:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Dopplerverbreiterung'''&nbsp; $B_{\rm D}$&nbsp; (oder &bdquo;Fading&ndash;Bandbreite&rdquo;, englisch: &nbsp; "Doppler Spread")&nbsp; ist die mittlere Frequenzverbreiterung, die die einzelnen spektralen Signalanteile erfahren.&nbsp;  Bei der Berechnung geht man ähnlich vor wie bei der Mehrwegeverbreiterung, indem man die Dopplerverbreiterung&nbsp; $B_{\rm D}$&nbsp; als die Standardabweichung der Zufallsgröße&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; berechnet:
 ::<math>B_{\rm D} = \sigma_{\rm D} = \sqrt{ {\rm E} \left [ f_{\rm D}^2 \right ] - m_{\rm D}^2}
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 == Simulation gemäß dem GWSSUS–Modell ==
 <br>
-Das abschließend nur kurz dargelegte <i>Monte&ndash;Carlo&ndash;Verfahren</i> zur Simulation eines GWSSUS&ndash;Mobilfunkkanals basiert auf Arbeiten von Rice [Ric44]<ref name='Ric44'>Rice, S.O.: ''Mathematical Analysis of Random Noise.'' BSTJ–23, pp. 282–232 und BSTJ–24, pp. 45–156, 1945.</ref> und Höher [Höh90]<ref name='Höh90'>Höher, P.: ''Empfang trelliscodierter PSK–Signale auf frequenzselektiven Mobilfunkkanälen – Entzerrung, Decodierung und Kanalschätzung.'' Düsseldorf: VDI–Verlag, Fortschrittsberichte, Reihe 10, Nr. 147, 1990.</ref>.
+Das abschließend nur kurz dargelegte <i>Monte&ndash;Carlo&ndash;Verfahren</i> zur Simulation eines GWSSUS&ndash;Mobilfunkkanals basiert auf Arbeiten von Rice [Ric44]<ref name='Ric44'>Rice, S.O.:&nbsp; Mathematical Analysis of Random Noise.&nbsp; BSTJ–23, pp. 282–232 und BSTJ–24, pp. 45–156, 1945.</ref> und Höher [Höh90]<ref name='Höh90'>Höher, P.:&nbsp; Empfang trelliscodierter PSK–Signale auf frequenzselektiven Mobilfunkkanälen – Entzerrung, Decodierung und Kanalschätzung.&nbsp; <br>Düsseldorf: VDI–Verlag, Fortschrittsberichte, Reihe 10, Nr. 147, 1990.</ref>.
 *Die 2D&ndash;Impulsantwort wird durch eine Summe aus $M$ komplexen Exponentialfunktionen dargestellt.&nbsp; $M$&nbsp; ist als die Anzahl unterschiedlicher Pfade interpretierbar:
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 [[Datei:P ID2183 Mob T 2 3 S9a.png|right|frame|Zeitvariante Übertragungsfunktion<br>$($Betragsquadrat,&nbsp; simuliert$)$]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Die Grafik aus  [Hin08]<ref name='Hin08'>Hindelang, T.: ''Mobile Communications''.
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Die Grafik aus  [Hin08]<ref name='Hin08'>Hindelang, T.:&nbsp; Mobile Communications.&nbsp;
-Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref> zeigt ein Simulationsergebnis: &nbsp; Als 2D&ndash;Plot ist&nbsp;  $20 \cdot  \lg \vert H(f, \hspace{0.1cm}t)\vert$&nbsp; dargestellt, wobei die zeitvariante Übertragungsfunktion&nbsp;  $H(f, \hspace{0.1cm}t)$&nbsp; in diesem Tutorial auch mit&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.1cm}t)$&nbsp; bezeichnet wird.<br>
+Vorlesungsmanuskript.&nbsp; Lehrstuhl für Nachrichtentechnik,&nbsp; TU München, 2008.</ref> zeigt ein Simulationsergebnis: &nbsp; Als 2D&ndash;Plot ist&nbsp;  $20 \cdot  \lg \vert H(f, \hspace{0.1cm}t)\vert$&nbsp; dargestellt, wobei die zeitvariante Übertragungsfunktion&nbsp;  $H(f, \hspace{0.1cm}t)$&nbsp; in diesem Tutorial auch mit&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.1cm}t)$&nbsp; bezeichnet wird.<br>
 Der Simulation liegen folgende Parameter zugrunde:
 *Die Zeitvarianz entsteht durch eine Bewegung mit&nbsp; $v = 3 \ \rm  km/h$.
 *Die Trägerfrequenz ist&nbsp; $f_{\rm T} = 2 \ \rm  GHz$.<br>
 *Die maximale Verzögerungszeit beträgt&nbsp; $\tau_{\rm max} \approx 0.4 \ \rm &micro; s$.
 * Daraus ergibt sich nach der Näherung für die Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.02cm}' \approx 2.5 \ \rm MHz$.<br>
 *Die maximale Dopplerfrequenz ist&nbsp;  $f_\text{D, max} \approx 5.5 \ \rm Hz$.
 * Die Dopplerverbreiterung ergibt sich zu&nbsp; $B_{\rm D} \approx 4 \ \rm Hz$.}}
 <br clear=all>

@@ Zeile 228: / Zeile 228: @@
 Zu dieser Gleichung ist anzumerken:
 *Die erste Diracfunktion&nbsp; $\delta (\Delta  \tau)$&nbsp; berücksichtigt, dass die Verzögerungen unkorreliert sind (&bdquo;<i>Uncorrelated Scattering</i>&rdquo;).
 *Die zweite Diracfunktion&nbsp; $\delta (\Delta   f_{\rm D})$&nbsp; folgt aus der Stationarität (&bdquo;<i>Wide Sense Stationary</i>&rdquo;).<br>

@@ Zeile 218: / Zeile 218: @@
 *Eingezeichnet sind  auch die Fourierzusammenhänge zu den benachbarten GWSSUS&ndash;Systembeschreibungsfunktionen.<br>
-*Wir verweisen hier auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts_(Applet)|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]].
+*Wir verweisen hier auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]].
 <br clear=all>
 == AKF und LDS der Verzögerungs–Doppler–Funktion ==

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 <br>
 [[Datei:P ID2170 Mob T 2 3 S3a v2.png|right|frame|Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum|class=fit]]
-Zum&nbsp;  '''Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum'''&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$&nbsp; kommt man, indem man in der Funktion&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$&nbsp; den zweiten Parameter&nbsp; $\Delta t = 0$&nbsp; setzt.&nbsp; Die Grafik rechts zeigt einen beispielhaften Verlauf.<br>
+Zum&nbsp;  '''Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum'''&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$&nbsp; kommt man, indem man in der Funktion&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$&nbsp; den zweiten Parameter&nbsp; $\Delta t = 0$&nbsp; setzt.&nbsp; Die Grafik zeigt einen beispielhaften Verlauf.<br>
 Das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum ist eine zentrale Größe für die Beschreibung des Mobilfunkkanals.&nbsp; Diese weist folgende Eigenschaften auf:
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 *Das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$&nbsp; hat wie&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm [1/s]$.&nbsp; Es charakterisiert die Leistungsverteilung über alle möglichen Verzögerungszeiten&nbsp; $\tau$.<br>
-*In obiger Grafik farblich markiert ist die Leistung&nbsp; $ P_0 \approx {\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau_0)\cdot \Delta \tau$&nbsp;  solcher Signalanteile, die beim Empfänger über beliebige Pfade mit einer Verzögerung zwischen&nbsp; $\tau_0 \pm \Delta \tau/2$&nbsp; eintreffen.<br>
+*In der Grafik farblich markiert ist die Leistung&nbsp; $ P_0 \approx {\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau_0)\cdot \Delta \tau$&nbsp;  solcher Signalanteile, die beim Empfänger über beliebige Pfade mit einer Verzögerung zwischen&nbsp; $\tau_0 \pm \Delta \tau/2$&nbsp; eintreffen.<br>
-*Normiert man das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$&nbsp; derart, dass sich die Fläche&nbsp; $1$&nbsp; ergibt, so erhält man die&nbsp; ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion''&nbsp; $\rm (WDF)$ der Verzögerungszeit:
+*Normiert man das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$&nbsp; derart, dass sich die Fläche&nbsp; $1$&nbsp; ergibt, so erhält man die&nbsp; "Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion"&nbsp; $\rm (WDF)$ der Verzögerungszeit:
 ::<math>{\rm WDF}_{\rm V}(\tau) = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}{\int_{0 }^{\infty}{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau} \hspace{0.05cm}.</math>
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 ''Anmerkung zur Nomenklatur'':
 *Im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo; hätten wir diese&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; mit&nbsp; $f_\tau(\tau)$&nbsp; bezeichnet.
-*Um den Zusammenhang zwischen&nbsp;  ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$&nbsp; und der WDF deutlich werden zu lassen und Verwechslungen mit der Frequenz&nbsp; $f$&nbsp; zu vermeiden, verwenden wir die hier angegebene  Nomenklatur.<br>
+*Um den Zusammenhang zwischen&nbsp;  ${\it \Phi}_{\rm V}(\Delta \tau)$&nbsp; und WDF zu verdeutlichen und Verwechslungen mit der Frequenz&nbsp; $f$&nbsp; zu vermeiden, verwenden wir diese  Nomenklatur.<br>
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 [[Datei:P ID2175 Mob T 2 3 S4a v1.png|right|frame|Verzögerungs–Leistungsdichte nach COST|class=fit]]
-'''(1)'''&nbsp; Profil $\rm RA$ (englisch <i>Rural Area</i>) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; ländliches Gebiet:
+'''(1)'''&nbsp; Profil $\rm RA$ (englisch "Rural Area") &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; ländliches Gebiet:
 ::<math>{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}
   \hspace{0.3cm}{\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.3cm} 0 < \tau < 0.7\,{\rm &micro;  s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.109\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm}.</math>
-'''(2)'''&nbsp; Profil $\rm TU$ (englisch <i>Typical Urban</i>) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Städte und Vororte:
+'''(2)'''&nbsp; Profil $\rm TU$ (englisch "Typical Urban") &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Städte und Vororte:
 ::<math>{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}
   \hspace{0.3cm}{\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.3cm} 0 < \tau < 7\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm}.</math>
-'''(3)'''&nbsp; Profil $\rm BU$ (englisch <i>Bad Urban</i>) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; ungünstige Bedingungen in Städten:
+'''(3)'''&nbsp; Profil $\rm BU$ (englisch "Bad Urban") &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; ungünstige Bedingungen in Städten:
 ::<math>{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)/{\it \Phi}_{\rm 0}
   = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\\
@@ Zeile 167: / Zeile 167: @@
 \\  \hspace{0.1cm} {\rm für}\hspace{0.3cm} 5\,{\rm &micro; s} < \tau < 10\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm &micro; s} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}</math>
-'''(4)'''&nbsp; Profil $\rm HT$ (englisch <i>Hilly Terrain</i>) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; hügeliges Gebiet und Bergland:
+'''(4)'''&nbsp; Profil $\rm HT$ (englisch "Hilly Terrain") &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; hügeliges Gebiet und Bergland:
 ::<math>{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)/{\it \Phi}_{\rm 0}
   = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\\
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 Man erkennt aus den Grafiken:
-*Aus den Exponentialfunktionen bei linearer Darstellung werden nun geradlinige Verläufe.<br>
+*Aus den Exponentialfunktionen bei linearer Darstellung werden nun geradlinige Verläufe.
-*Bei logarithmischer Darstellung kann man den LDS&ndash;Parameter&nbsp; $\tau_0$&nbsp; bei&nbsp; $\rm 10 \cdot  lg \ (1/e) = -4.34 \ dB$&nbsp; ablesen, wie in der Grafik für das&nbsp; $\rm TU$-Profil eingezeichnet.
 *Auf diese vier COST&ndash;Profile wird in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.8:_COST-Verzögerungsmodelle|Aufgabe 2.8]]&nbsp; noch genauer eingegangen.}}
 <br clear =all>
@@ Zeile 194: / Zeile 196: @@
 Dabei gilt:
-*${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$&nbsp; ist das so genannte&nbsp; <i>Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum</i>, das in der Grafik am Seitenende durch gelbe Hinterlegung hervorgehoben ist.<br>
+*${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$&nbsp; ist das so genannte&nbsp; '''Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum''', das in der Grafik am Seitenende durch gelbe Hinterlegung hervorgehoben ist.<br>
-*Das erste Argument&nbsp; $\Delta f = f_2 - f_1$&nbsp; berücksichtigt, dass AKF und LDS aufgrund der&nbsp; <i>Stationarität</i>&nbsp; nur von der Frequenzdifferenz abhängen.
+*Das erste Argument&nbsp; $\Delta f = f_2 - f_1$&nbsp; berücksichtigt, dass AKF und LDS aufgrund der Stationarität nur von der Frequenzdifferenz abhängen.
-*Der Faktor&nbsp; $\delta (\Delta  f_{\rm D})$&nbsp; mit&nbsp;  $\Delta  f_{\rm D} = f_{\rm D_2} - f_{\rm D_1}$&nbsp;  drückt die <i>Unkorreliertheit</i> der AKF bezüglich der Dopplerverschiebung aus.<br>
 *Man kommt von&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$&nbsp; zum&nbsp; '''Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrum'''&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$, wenn man&nbsp; $\Delta f= 0$&nbsp; setzt.
 *Das Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; gibt an, mit welcher Leistung einzelne Dopplerfrequenzen auftreten.<br>
-*Die&nbsp; <i>Wahrscheinlichkeitsdichte</i>&nbsp; der Dopplerfrequenz ergibt sich aus&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; durch geeignete Flächennormierung.&nbsp; Die WDF weist wie&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm [1/Hz]$&nbsp; auf:
+*Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Dopplerfrequenz ergibt sich aus&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; durch geeignete Flächennormierung.&nbsp; Die WDF weist wie&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm [1/Hz]$&nbsp; auf:
 [[Datei:P ID2173 Mob T 2 3 S5 v1.png|right|frame|Zur Berechnung des Doppler–Leistungsdichtespektrums|class=fit]]
@@ Zeile 211: / Zeile 215: @@
-Das <i>Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum</i>&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$&nbsp; ist gelb hinterlegt.
+Das Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$&nbsp; ist gelb hinterlegt.
 *Eingezeichnet sind  auch die Fourierzusammenhänge zu den benachbarten GWSSUS&ndash;Systembeschreibungsfunktionen.<br>

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−	*$ {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.1cm}$  ist das  ~~<i>~~Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum~~</i>~~, das von der Verzögerung  $\tau \ (= \tau_1 =\tau_2)$  und von der Zeitdifferenz  $\Delta t = t_2 - t_1$  abhängt.<br><br>	+	*$ {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.1cm}$  ist das  "Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum", das von der Verzögerung  $\tau \ (= \tau_1 =\tau_2)$  und von der Zeitdifferenz  $\Delta t = t_2 - t_1$  abhängt.<br><br>

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

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 Diese formalisierten Bezeichnungen sind in der Grafik in blauer Schrift eingetragen.
 *Zusätzlich sind  die in anderen Kapiteln oder der Literatur verwendeten Bezeichnungen angegeben&nbsp; (graue Schrift).
 *In den weiteren Kapiteln werden diese teilweise ebenfalls benutzt.
 <br clear=all>
-*Oben erkennt man die&nbsp; '''zeitvariante Impulsantwort'''&nbsp; ${\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t) \equiv h(\tau,\hspace{0.05cm} t)$&nbsp; im ''Verzögerungs&ndash;Zeit&ndash;Bereich''.&nbsp; Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) ist
+*Oben erkennt man die&nbsp; '''zeitvariante Impulsantwort'''&nbsp; ${\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t) \equiv h(\tau,\hspace{0.05cm} t)$&nbsp; im "Verzögerungs&ndash;Zeit&ndash;Bereich".&nbsp; Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) ist
 ::<math>\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \big [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1,\hspace{0.05cm}  t_1) \cdot
   \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \big ]\hspace{0.05cm}. </math>
-*Zur&nbsp; <i>Frequenz&ndash;Zeit&ndash;Darstellung</i>&nbsp;  kommt man durch Fouriertransformation bezüglich der Verzögerung&nbsp; $\tau$.&nbsp; Man erhält so die&nbsp; '''zeitvariante Übertragungsfunktion'''&nbsp; ${\eta}_{\rm FZ}(f,\hspace{0.05cm} t) \equiv H(f,\hspace{0.05cm} t)$.&nbsp; Die Fouriertransformation hinsichtlich&nbsp; $\tau$&nbsp; ist in der Grafik durch&nbsp; ${\rm F}_\tau\hspace{0.05cm}[ \cdot ]$&nbsp; angedeutet.&nbsp; Ausgeschrieben lautet das Fourierintegral:
+*Zur&nbsp; "Frequenz&ndash;Zeit&ndash;Darstellung"&nbsp;  kommt man durch Fouriertransformation bezüglich der Verzögerung&nbsp; $\tau$.&nbsp; Man erhält so die&nbsp; '''zeitvariante Übertragungsfunktion'''&nbsp; ${\eta}_{\rm FZ}(f,\hspace{0.05cm} t) \equiv H(f,\hspace{0.05cm} t)$.&nbsp; Die Fouriertransformation hinsichtlich&nbsp; $\tau$&nbsp; ist in der Grafik durch&nbsp; ${\rm F}_\tau\hspace{0.05cm}[ \cdot ]$&nbsp; angedeutet.&nbsp; Ausgeschrieben lautet das Fourierintegral:
 ::<math>\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm} t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm}  t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \text{kurz:} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t)
@@ Zeile 42: / Zeile 43: @@
   \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, t_2) \big ]\hspace{0.05cm}.</math>
-*Die&nbsp; '''Scatter&ndash;Funktion'''&nbsp; ${\eta}_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D}) \equiv s(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$&nbsp; entsprechend dem linken Block beschreibt den Mobilfunkkanal im&nbsp; ''Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Bereich''.&nbsp; Der Funktionsparameter&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; bezeichnet hierbei die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| Dopplerfrequenz]].&nbsp; Die Scatter&ndash;Funktion ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort&nbsp;  ${\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$&nbsp; durch Fouriertransformation bezüglich des zweiten Parameters&nbsp; $t$:
+*Die&nbsp; '''Scatter&ndash;Funktion'''&nbsp; ${\eta}_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D}) \equiv s(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$&nbsp; entsprechend dem linken Block beschreibt den Mobilfunkkanal im&nbsp; "Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Bereich".&nbsp; Der Funktionsparameter&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; bezeichnet hierbei die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| Dopplerfrequenz]].&nbsp; Die Scatter&ndash;Funktion ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort&nbsp;  ${\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$&nbsp; durch Fouriertransformation bezüglich des zweiten Parameters&nbsp; $t$:
 ::<math> \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})
@@ Zeile 50: / Zeile 51: @@
   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Abschließend betrachten wir noch die so genannte&nbsp; '''frequenzvariante Übertragungsfunktion''', also die&nbsp; ''Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Darstellung''.&nbsp; Entsprechend der Grafik gelangt man zu dieser auf zwei Wege:
+*Abschließend betrachten wir noch die so genannte&nbsp; '''frequenzvariante Übertragungsfunktion''', also die&nbsp; "Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Darstellung".&nbsp; Entsprechend der Grafik gelangt man zu dieser auf zwei Wege:
 ::<math>\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})
@@ Zeile 61: / Zeile 62: @@
 $\text{Hinweise:}$&nbsp;
 *Die angegebenen Fourier&ndash;Zusammenhänge  zwischen den Systemfunktionen in der Grafik sind durch die äußeren, dunkelgrünen Pfeile veranschaulicht und mit &nbsp; ${\rm F}_p\hspace{0.05cm}[\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}]$ &nbsp; bezeichnet.&nbsp; $p$&nbsp; gibt an, auf welchen Parameter&nbsp; $\tau$,&nbsp; $f$,&nbsp; $t$&nbsp; oder&nbsp;  $f_{\rm D}$&nbsp; sich die Fouriertransformation bezieht.
 *Die inneren&nbsp; (helleren)&nbsp; Pfeile kennzeichnen jeweils die Verknüpfungen über die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|inverse Fouriertransformation]]&nbsp; (Fourierrücktransformation).&nbsp; Hierfür verwenden wir die Notation&nbsp; ${ {\rm F}_p}^{-1}\hspace{0.05cm}[ \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} ]$.
 *Das Applet&nbsp; [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]] verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Zeit&ndash; und Frequenzbereich, formelmäßig beschreibbar durch Fouriertransformation und Fourierrücktransformation.}}

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 Das abschließend nur kurz dargelegte <i>Monte&ndash;Carlo&ndash;Verfahren</i> zur Simulation eines GWSSUS&ndash;Mobilfunkkanals basiert auf Arbeiten von Rice [Ric44]<ref name='Ric44'>Rice, S.O.: ''Mathematical Analysis of Random Noise.'' BSTJ–23, pp. 282–232 und BSTJ–24, pp. 45–156, 1945.</ref> und Höher [Höh90]<ref name='Höh90'>Höher, P.: ''Empfang trelliscodierter PSK–Signale auf frequenzselektiven Mobilfunkkanälen – Entzerrung, Decodierung und Kanalschätzung.'' Düsseldorf: VDI–Verlag, Fortschrittsberichte, Reihe 10, Nr. 147, 1990.</ref>.
-*Die 2D&ndash;Impulsantwort wird durch eine Summe aus $M$ komplexen Exponentialfunktionen dargestellt, wobei&nbsp; $M$&nbsp; als die Anzahl unterschiedlicher Pfade interpretiert werden kann:
+*Die 2D&ndash;Impulsantwort wird durch eine Summe aus $M$ komplexen Exponentialfunktionen dargestellt.&nbsp; $M$&nbsp; ist als die Anzahl unterschiedlicher Pfade interpretierbar:
-::<math>h(\tau, t)= \frac{1}{\sqrt {M}} \cdot \sum_{m=1}^{M}  \alpha_m  \cdot \delta (t - \tau_m) \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}   \phi_{m} }\cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}      t}
+::<math>h(\tau,\ t)= \frac{1}{\sqrt {M}} \cdot \sum_{m=1}^{M}  \alpha_m  \cdot \delta (t - \tau_m) \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}   \phi_{m} }\cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}      t}
   \hspace{0.05cm}. </math>
-*Vor Beginn werden die Verzögerungen&nbsp; $\tau_m$, die Dämpfungsfaktoren&nbsp; $\alpha_m$, die gleichverteilten Phasen&nbsp; $\phi_m$&nbsp; und die Dopplerfrequenzen&nbsp; $f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}$&nbsp; nach den GWSSUS&ndash;Vorgaben &bdquo;ausgewürfelt&rdquo;.<br>
+*Vor Beginn werden die Verzögerungen&nbsp; $\tau_m$,&nbsp; die Dämpfungsfaktoren&nbsp; $\alpha_m$,&nbsp; die gleichverteilten Phasen&nbsp; $\phi_m$&nbsp; und die Dopplerfrequenzen&nbsp; $f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}$&nbsp; nach den GWSSUS&ndash;Vorgaben &bdquo;ausgewürfelt&rdquo;.&nbsp; Grundlage für das Auswürfeln der Dopplerfrequenzen&nbsp; $f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}$&nbsp; ist das&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading |Jakes&ndash;Spektrum]]&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$,&nbsp; das&nbsp; &ndash; geeignet normiert &ndash;&nbsp; gleichzeitig die WDF der Dopplerfrequenzen angibt.<br>
-*Grundlage für das Auswürfeln der Dopplerfrequenzen&nbsp; $f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}$&nbsp; ist das&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading |Jakes&ndash;Spektrum]]&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$, das &ndash; geeignet normiert &ndash; gleichzeitig die WDF der Dopplerfrequenzen angibt.<br>
+*Wegen&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; ist für alle&nbsp; $m$&nbsp; die Verzögerungszeit&nbsp; $\tau_m$&nbsp; unabhängig von der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}$.&nbsp; Für den terrestrischen Landmobilfunk gilt dies mit guter Näherung.&nbsp; Für das Auswürfeln der Parameter&nbsp; $\alpha_m$&nbsp; und&nbsp; $\tau_m$,&nbsp; die das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum &nbsp;$ {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; bestimmen,  stehen die&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS–Kanalmodell#AKF_und_LDS_der_zeitvarianten_Impulsantwort|COST&ndash;Profile]]&nbsp; $\rm RA$&nbsp; (<i>Rural Area</i>),&nbsp; $\rm TU$&nbsp; (<i>Typical Urban</i>),&nbsp; $\rm BU$&nbsp; (<i>Bad Urban</i>)&nbsp; und&nbsp; $\rm HT$&nbsp; (<i>Hilly Terrain</i>) zur Verfügung.<br>
-*Wegen&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; ist für alle&nbsp; $m$&nbsp; die Verzögerungszeit&nbsp; $\tau_m$&nbsp; unabhängig von der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m}$. Für den terrestrischen Landmobilfunk gilt dies mit guter Näherung.<br>
+*Je größer bei der Simulation die Anzahl&nbsp; $M$&nbsp; unterschiedlicher Pfade gewählt wird, um so besser wird eine reale Impulsantwort durch obige Gleichung angenähert.&nbsp; Die höhere Simulationsgenauigkeit geht allerdings auf Kosten der Simulationsdauer.&nbsp; In der Literatur werden für&nbsp; $M$&nbsp; günstige Werte zwischen&nbsp; $100$&nbsp; und&nbsp; $600$&nbsp; angegeben.<br>
-*Je größer bei der Simulation die Anzahl&nbsp; $M$&nbsp; unterschiedlicher Pfade gewählt wird, um so besser wird eine reale Impulsantwort durch obige Gleichung angenähert.<br>
+[[Datei:P ID2183 Mob T 2 3 S9a.png|right|frame|Zeitvariante Übertragungsfunktion<br>$($Betragsquadrat,&nbsp; simuliert$)$]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Die Grafik aus  [Hin08]<ref name='Hin08'>Hindelang, T.: ''Mobile Communications''.
-Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref> zeigt ein Simulationsergebnis: &nbsp; Als 2D&ndash;Plot ist&nbsp;  $20 \cdot  \lg \vert H(f, \hspace{0.05cm}t)\vert$&nbsp; dargestellt, wobei die zeitvariante Übertragungsfunktion&nbsp;  $H(f, \hspace{0.05cm}t)$&nbsp; in diesem Tutorial auch mit&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm}t)$&nbsp; bezeichnet wird.<br>
+Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref> zeigt ein Simulationsergebnis: &nbsp; Als 2D&ndash;Plot ist&nbsp;  $20 \cdot  \lg \vert H(f, \hspace{0.1cm}t)\vert$&nbsp; dargestellt, wobei die zeitvariante Übertragungsfunktion&nbsp;  $H(f, \hspace{0.1cm}t)$&nbsp; in diesem Tutorial auch mit&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.1cm}t)$&nbsp; bezeichnet wird.<br>
 Der Simulation liegen folgende Parameter zugrunde:

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 == Vereinfachungen aufgrund der GWSSUS–Voraussetzungen ==
 <br>
-Der allgemeine Zusammenhang zwischen den vier Systemfunktionen ist aufgrund nichtstationärer Effekte sehr kompliziert. Es müssen gegenüber dem allgemeinen Modell einige Einschränkungen getroffen werden, um zu einem geeigneten Modell für den Mobilfunkkanal zu gelangen, aus dem sich relevante Aussagen für praktische Anwendungen ableiten lassen.<br>
+Der allgemeine Zusammenhang zwischen den vier Systemfunktionen ist aufgrund nichtstationärer Effekte sehr kompliziert.
-Man kommt zum&nbsp; '''GWSSUS'''&ndash;Modell&nbsp; (<i><b>G</b>aussian <b>W</b>ide <b>S</b>ense <b>S</b>tationary <b>U</b>ncorrelated <b>S</b>cattering</i>) durch folgende Festlegungen:
+[[Datei:Mob_T_2_3_S2_neu.png|right|frame|Zusammenhänge zwischen den Beschreibungsfunktionen des GWSSUS–Modells|class=fit]]
-*Der Zufallsprozess der Kanalimpulsantwort&nbsp; $h(\tau,\hspace{0.05cm} t) = {\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$&nbsp; wird allgemein als komplex (also Beschreibung im äquivalenten Tiefpassbereich), gaußisch (Kennung <b>''G''</b>) sowie als mittelwertfrei (Rayleigh, nicht Rice, also keine Sichtverbindung) angenommen.<br>
+Gegenüber dem allgemeinen Modell müssen einige Einschränkungen getroffen werden, um zu einem geeigneten Modell für den Mobilfunkkanal zu gelangen, aus dem sich relevante Aussagen für praktische Anwendungen ableiten lassen.<br>
-*Der Zufallsprozess sei schwach stationär, das heißt, seine Kenngrößen ändern sich  mit der Zeit nur geringfügig, und die AKF&nbsp; $ {\varphi}_{\rm VZ}(\tau_1,\hspace{0.05cm} t_1,\hspace{0.05cm}\tau_2,\hspace{0.05cm} t_2)$&nbsp; der zeitvarianten Impulsantwort hängt nicht mehr von den absoluten Zeiten&nbsp; $t_1$&nbsp; und&nbsp; $t_2$&nbsp; ab, sondern nur noch von der Zeitdifferenz&nbsp; $\Delta t = t_2 - t_1$. Darauf weist die Kennung <b>''WSS''</b> &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <i><b>W</b>ide <b>S</b>ense <b>S</b>tationary</i> hin.<br>
+Durch folgende Festlegungen kommt man zum&nbsp; '''GWSSUS'''&ndash;Modell&nbsp; <br>$($<b>G</b>aussian&nbsp; <b>W</b>ide&nbsp; <b>S</b>ense&nbsp; <b>S</b>tationary&nbsp; <b>U</b>ncorrelated&nbsp; <b>S</b>cattering$)$:
-*Die einzelnen Echos aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind unkorreliert, was die Kennung <b>''US''</b>  &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;  <i><b>U</b>ncorrelated <b>S</b>cattering</i> ausdrückt.<br>
+*Der Zufallsprozess sei schwach stationär&nbsp; &rArr; &nbsp; seine Kenngrößen ändern sich  mit der Zeit nur geringfügig, und die AKF&nbsp; $ {\varphi}_{\rm VZ}(\tau_1,\hspace{0.05cm} t_1,\hspace{0.05cm}\tau_2,\hspace{0.05cm} t_2)$&nbsp; der zeitvarianten Impulsantwort hängt nicht von den absoluten Zeiten&nbsp; $t_1$&nbsp; und&nbsp; $t_2$&nbsp; ab, sondern nur von der Zeitdifferenz&nbsp; $\Delta t = t_2 - t_1$.&nbsp; Darauf weist die Kennung&nbsp; <b>WSS</b>&nbsp; hin &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>W</b>ide <b>S</b>ense <b>S</b>tationary.<br>
+*Die einzelnen Echos durch Mehrwegeausbreitung sind unkorreliert, was die Kennung&nbsp; <b>US</b>  &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;  <b>U</b>ncorrelated <b>S</b>cattering</i> ausdrückt.
-[[Datei:Mob_T_2_3_S2_neu.png|center|frame|Zusammenhänge zwischen den Beschreibungsfunktionen des GWSSUS–Modells|class=fit]]
+<br clear=all>
+Der Mobilfunkkanal lässt sich gemäß dieser Grafik vollständig beschreiben.&nbsp; Auf die einzelnen Leistungsdichtespektren&nbsp; (blau beschriftet)&nbsp; und die Korrelationsfunktion&nbsp; (mit roter Schrift)&nbsp; wird auf den nächsten Seiten im Detail eingegangen.<br>
 == Autokorrelationsfunktion der zeitvarianten Impulsantwort==