Mobile Kommunikation/Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme - Versionsgeschichte

Guenter am 15. Februar 2021 um 12:04 Uhr

2021-02-15T12:04:03Z

Guenter am 13. Mai 2020 um 15:04 Uhr

2020-05-13T15:04:26Z

Guenter am 13. Mai 2020 um 14:45 Uhr

2020-05-13T14:45:25Z

Guenter am 9. April 2019 um 14:01 Uhr

2019-04-09T14:01:02Z

Änderungen zeigen

Guenter am 14. November 2018 um 11:04 Uhr

2018-11-14T11:04:48Z

Guenter am 19. Juni 2018 um 07:02 Uhr

2018-06-19T07:02:00Z

Guenter am 19. Juni 2018 um 07:01 Uhr

2018-06-19T07:01:11Z

Guenter am 4. Dezember 2017 um 15:29 Uhr

2017-12-04T15:29:16Z

Guenter am 4. Dezember 2017 um 15:28 Uhr

2017-12-04T15:28:09Z

Guenter am 4. Dezember 2017 um 15:25 Uhr

2017-12-04T15:25:41Z

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definitionen:}$&nbsp;
+$\text{Definitionen:}$ &nbsp; &nbsp; Um die durch&nbsp; $H(f)$&nbsp; bzw.&nbsp; $h(t)$&nbsp; entstehenden linearen Verzerrungen zu erkennen, eignen sich die folgenden Eingangssignale:
+*Ein&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]]: &nbsp;&nbsp;
 :$$s(t) = \delta(t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  &nbsp; r(t) = \delta(t) \star h(t)= h(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{Impulsantwort,}$$
 *eine&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Sprungantwort|Sprungfunktion]]:
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-Dagegen ist ein Gleichsignal&nbsp; $s(t) = A$&nbsp; nicht geeignet, die Frequenzabhängigkeit des LZI&ndash;Systems sichtbar werden zu lassen:&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; Bei einem Tiefpass&ndash;System wäre dann das Ausgangssignal unabhängig von&nbsp; $H(f)$&nbsp; stets konstant: &nbsp; &nbsp; $r(t) = A \cdot H(f= 0)$.<br>
+Dagegen ist ein Gleichsignal&nbsp; $s(t) = A$&nbsp; nicht geeignet, die Frequenzabhängigkeit des LZI&ndash;Systems sichtbar werden zu lassen:&nbsp; <br> &nbsp; &rArr; &nbsp; Bei einem Tiefpass&ndash;System wäre dann das Ausgangssignal unabhängig von&nbsp; $H(f)$&nbsp; stets konstant: &nbsp; &nbsp; $r(t) = A \cdot H(f= 0)$.<br>
-Auf der nächsten Seite betrachten wir als Eingangssignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; einen Diracpuls&nbsp; $p_\delta(t)$:&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; Hiermit lassen sich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen zeitinvarianten und zeitvarianten Systemen sehr anschaulich darstellen.<br>
+Auf der nächsten Seite betrachten wir als Eingangssignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; einen Diracpuls&nbsp; $p_\delta(t)$:&nbsp; <br> &nbsp; &rArr; &nbsp; Hiermit lassen sich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen zeitinvarianten und zeitvarianten Systemen sehr anschaulich darstellen.<br>
 <i>Hinweis:</i> &nbsp; Die Eigenschaften von&nbsp; $H(f)$&nbsp; und&nbsp; $h(t)$&nbsp; werden im Lernvideo&nbsp; [[Einige_Anmerkungen_zur_Übertragungsfunktion_(Lernvideo)|Einige Anmerkungen zur Übertragungsfunktion]]&nbsp; ausführlich behandelt.<br>

@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 == Zeitinvariante vs. zeitvariante Kanäle ==
 <br>
-Die Grafik soll den Unterschied zwischen einem zeitinvarianten Kanal (&bdquo;'''LZI'''&rdquo;) und einem zeitvarianten Kanal  (&bdquo;'''LZV'''&rdquo;) verdeutlichen.<br>
+Die Grafik soll den Unterschied zwischen einem zeitinvarianten Kanal&nbsp;  $\rm (LZI)$&nbsp; und einem zeitvarianten Kanal  &nbsp;  $\rm (LZV)$&nbsp; verdeutlichen.<br>
 [[Datei:P ID2142 Mob T 2 1 S2 v1.png|right|frame|Zeitinvarianter und zeitvarianter Kanal|class=fit]]
 Man erkennt aus dieser Darstellung:
-*Das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist hier ein Diracpuls&nbsp; $p_\delta(t)$, also eine unendliche Folge von Diracimpulsen in äquidistanten Abständen&nbsp; $T$, alle mit dem Gewicht&nbsp; $1$&nbsp; (siehe obere Grafik):
+*Das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist hier ein Diracpuls&nbsp; $p_\delta(t)$, also eine unendliche Folge von Diracimpulsen in äquidistanten Abständen&nbsp; $T$,&nbsp; alle mit dem Gewicht&nbsp; $1$&nbsp; (siehe obere Grafik):
 ::<math>s(t) = p_{\rm \delta} (t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} {\rm \delta} (t - n \cdot T)
   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Grün markiert ist der Diracimpuls bei&nbsp; $t = 0$. Mit&nbsp; $s(t) = {\rm \delta}(t)$&nbsp;  ist das Signal am Kanalausgang gleich&nbsp; $r(t) = h(t)$&nbsp; entsprechend der grünen Hinterlegung. Vorausgesetzt wird zunächst, dass die Ausdehnung der Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; kleiner ist als $T$.<br>
+*Grün markiert ist der Diracimpuls bei&nbsp; $t = 0$.&nbsp; Mit&nbsp; $s(t) = {\rm \delta}(t)$&nbsp;  ist das Signal am Kanalausgang gleich&nbsp; $r(t) = h(t)$&nbsp; entsprechend der grünen Hinterlegung.&nbsp; Vorausgesetzt wird zunächst, dass die Ausdehnung der Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; kleiner ist als $T$.<br>
 *Für das gesamte Empfangssignal nach dem LZI&ndash;Kanal gemäß der mittleren Grafik kann dann geschrieben werden:
@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Bei einem zeitvarianten Kanal &nbsp; &#8658; &nbsp; untere Grafik ist diese Gleichung nicht anwendbar. In jedem Zeitintervall ergibt sich nun nämlich eine andere Signalform.
+*Bei einem zeitvarianten Kanal &nbsp; &#8658; &nbsp; untere Grafik ist diese Gleichung nicht anwendbar.&nbsp; In jedem Zeitintervall ergibt sich nun nämlich eine (etwas) andere Signalform.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Bei einem &nbsp;'''zeitvarianten Kanal'''&nbsp; kann man keine einparametrige Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; und somit auch keine Übertragungsfunktion&nbsp; $H(f)$&nbsp; angeben.}}<br>
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Bei einem &nbsp; '''zeitvarianten Kanal''' &nbsp; kann man keine einparametrige Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; und somit auch keine Übertragungsfunktion&nbsp; $H(f)$&nbsp; angeben.}}<br>
 <i>Hinweis:</i> &nbsp; Das Lernvideo&nbsp; [[Eigenschaften_des_Übertragungskanals_(Lernvideo)|Eigenschaften des Übertragungskanals]]&nbsp; beschreibt die Unterschiede zwischen LZV&ndash; und LZI&ndash;Systemen.<br>
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 == Zweidimensionale Impulsantwort ==
 <br>
 Zur Kennzeichnung einer zeitvarianten Impulsantwort  verwendet man einen zweiten Parameter und bildet die Impulsantwort vorzugsweise in einem dreidimensionalen Koordinatensystem ab.<br>
-[[Datei:P ID2143 Mob T 2 1 S3 v1.png|right|frame|Zweidimensionale Impulsantwort|class=fit]]
+Voraussetzung hierfür ist, dass der Kanal weiterhin linear ist; man spricht dann von einem&nbsp;  $\rm LZV&ndash;System$&nbsp;&nbsp;  (&bdquo;linear zeitvariant&rdquo;).
 Es gelten folgende Zusammenhänge:
@@ Zeile 107: / Zeile 108: @@
 ::<math>\text{LZV:}\hspace{0.5cm}  r(t) \hspace{-0.1cm}  =  \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau, \hspace{0.1cm}t)  \cdot s(t-\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d}\tau   \hspace{0.05cm}.</math>
 <br clear=all>
-Zur letzten Gleichung und obiger Grafik ist anzumerken:
+Zur letzten Gleichung und zu obiger Grafik ist anzumerken:
-*Der Parameter&nbsp; $\tau$&nbsp; gibt die&nbsp; '''Verzögerungszeit'''&nbsp; zur Kennzeichnung der Zeitdispersion  an. Durch Ausschreiben der Faltungsoperation ist es gelungen, dass&nbsp; $\tau$&nbsp; auch der Parameter der LZI&ndash;Impulsantwort ist. Auf den letzten Seiten wurde noch von&nbsp; $h(t)$&nbsp; gesprochen.<br>
+*Der Parameter&nbsp; $\tau$&nbsp; gibt die&nbsp; '''Verzögerungszeit'''&nbsp; zur Kennzeichnung der Zeitdispersion  an.&nbsp; Durch Ausschreiben der Faltungsoperation ist es gelungen, dass&nbsp; $\tau$&nbsp; auch der Parameter der LZI&ndash;Impulsantwort ist.&nbsp; Auf den letzten Seiten wurde noch von&nbsp; $h(t)$&nbsp; gesprochen.<br>
-*Der zweite Parameter der Impulsantwort bzw. die zweite Achse kennzeichnet die&nbsp; '''absolute Zeit'''&nbsp; $t$, die unter anderem zur Beschreibung der Zeitvarianz herangezogen wird. Zu unterschiedlichen Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; hat die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$&nbsp; eine andere Form.<br>
+*Der zweite Parameter der Impulsantwort bzw. die zweite Achse kennzeichnet die&nbsp; '''absolute Zeit'''&nbsp; $t$, die unter anderem zur Beschreibung der Zeitvarianz herangezogen wird.&nbsp; Zu unterschiedlichen Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; hat die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$&nbsp; eine andere Form.<br>
-*Eine Besonderheit der 2D&ndash;Darstellung ist, dass die&nbsp; $t$&ndash;Achse stets zeitdiskret  (bei Vielfachen von $T$) aufgetragen wird, während die&nbsp; $\tau$&ndash;Achse wie im gezeigten Beispiel zeitkontinuierlich sein kann. Im Mobilfunk wird&nbsp; $h(\tau, \hspace{0.05cm}t_0)$&nbsp; aber meist auch zeitdiskret hinsichtlich&nbsp; $\tau$&nbsp; angenommen (&bdquo;Echos&rdquo;).
+*Eine Besonderheit der 2D&ndash;Darstellung ist, dass die&nbsp; $t$&ndash;Achse stets zeitdiskret&nbsp;  $($bei Vielfachen von&nbsp; $T)$&nbsp; aufgetragen wird, während die&nbsp; $\tau$&ndash;Achse wie im gezeigten Beispiel zeitkontinuierlich sein kann.&nbsp; Im Mobilfunk wird&nbsp; $h(\tau, \hspace{0.05cm}t_0)$&nbsp; aber meist auch zeitdiskret hinsichtlich&nbsp; $\tau$&nbsp; angenommen $($&bdquo;Echos&rdquo;$)$.
-*Die LZV&ndash;Gleichung ist nur anwendbar, wenn die zeitliche Veränderung des Kanals (im Bild durch den Parameter&nbsp; $T$&nbsp; gekennzeichnet) langsam erfolgt im Vergleich zur maximalen Verzögerung&nbsp; $\tau_{\rm max}$.  Im Mobilfunk ist diese Bedingung &nbsp; &#8658; &nbsp; $\tau_{\rm max} < T$ &nbsp; fast immer erfüllt.
+*Die LZV&ndash;Gleichung ist nur anwendbar, wenn die zeitliche Veränderung des Kanals&nbsp; $($im Bild durch den Parameter&nbsp; $T$&nbsp; gekennzeichnet$)$ langsam erfolgt im Vergleich zur maximalen Verzögerung&nbsp; $\tau_{\rm max}$.&nbsp;  Im Mobilfunk ist diese Bedingung &nbsp; &#8658; &nbsp; $\tau_{\rm max} < T$ &nbsp; fast immer erfüllt.
-*Je nachdem, ob man das erste Fourierintegral auf den Parameter&nbsp; $\tau$&nbsp; oder&nbsp; $t$&nbsp; anwendet, kommt man zu unterschiedlichen Spektralfunktionen. In der&nbsp; [[Aufgabe_2.1Z:_2D-Frequenz-_und_2D-Zeitdarstellung|Aufgabe 2.1Z]]&nbsp; wird beispielsweise die zeitvariante&nbsp; '''2D&ndash;Übertragungsfunktion'''&nbsp; betrachtet:
+*Je nachdem, ob man das erste Fourierintegral auf den Parameter&nbsp; $\tau$&nbsp; oder&nbsp; $t$&nbsp; anwendet, kommt man zu unterschiedlichen Spektralfunktionen.&nbsp; In der&nbsp; [[Aufgabe_2.1Z:_2D-Frequenz-_und_2D-Zeitdarstellung|Aufgabe 2.1Z]]&nbsp; wird beispielsweise die zeitvariante&nbsp; '''2D&ndash;Übertragungsfunktion'''&nbsp; betrachtet:
 ::<math>H(f,\hspace{0.05cm} t)

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 == # ÜBERBLICK ZUM ZWEITEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
+Nach der Zeitvarianz wird nun der Begriff der&nbsp; '''Frequenzselektivität'''&nbsp; eingeführt und an Beispielen verdeutlicht, eine Kanaleigenschaft, die für die mobile Kommunikation ebenfalls von großer Bedeutung ist.&nbsp; Wie im gesamten Buch erfolgt die Beschreibung im äquivalenten Tiefpassbereich.
 Im Einzelnen werden behandelt:
@@ Zeile 20: / Zeile 19: @@
-Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch „Mobilfunkkanal” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
+Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch „Mobilfunkkanal” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”.&nbsp; Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
 *dem&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/MFK.zip Windows&ndash;Programm MFK] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
 *der zugehörigen&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Mobilfunkkanal.pdf Praktikumsanleitung] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version (58 Seiten).
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 == Übertragungsfunktion und Impulsantwort ==
 <br>
-Die Beschreibungsgrößen eines Nachrichtenübertragungssystems wurden bereits in den Kapiteln&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|Systembeschreibung im Frequenzbereich]]&nbsp; bzw.&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]&nbsp; des Buches &bdquo;Lineare zeitvariante Systeme&rdquo; eingeführt und eingehend diskutiert. Die wichtigsten Ergebnisse sollen hier nochmals kurz zusammengefasst werden.<br>
+Die Beschreibungsgrößen eines Nachrichtenübertragungssystems wurden bereits in den Kapiteln&nbsp;
 [[Datei:Mob_T_2_1_S1_neu.png|right|frame|Betrachtetes LZI–System|class=fit]]
-*Ebenso ist das System durch die&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]]&nbsp; $h(t)$&nbsp; als die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformierte]]&nbsp; von&nbsp; $H(f)$&nbsp; vollständig gekennzeichnet. Das Ausgangssignal ergibt sich aus der Faltung:
+des Buches &bdquo;Lineare zeitvariante Systeme&rdquo; eingeführt und eingehend diskutiert.&nbsp;
 ::<math>r(t) = s(t) \star h(t) \hspace{0.4cm} {\rm mit} \hspace{0.4cm} h(t)
@@ Zeile 40: / Zeile 48: @@
   \hspace{0.05cm}.</math>
 Um die durch&nbsp; $H(f)$&nbsp; bzw.&nbsp; $h(t)$&nbsp; entstehenden linearen Verzerrungen zu erkennen, eignen sich die folgenden Eingangssignale:
-*ein&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]]: &nbsp;&nbsp; $s(t) = \delta(t)$ &nbsp; &#8658;&nbsp; &nbsp; $r(t) = h(t)$  &nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp; <i>Impulsantwort</i>,<br>
+*ein&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]]: &nbsp;&nbsp;
-*eine&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Sprungantwort|Sprungfunktion]]: &nbsp;&nbsp; $s(t) = \gamma(t)$ &nbsp; &#8658;&nbsp; &nbsp; $r(t) = \gamma(t) \star h(t)$ &nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp; <i>Sprungantwort</i>,<br>
+:$$s(t) = \delta(t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  &nbsp; r(t) = \delta(t) \star h(t)= h(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{Impulsantwort,}$$
-*ein&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]]: &nbsp;&nbsp; $s(t) = p_\delta(t)$ &nbsp; &#8658;&nbsp; &nbsp; $r(t) = p_\delta(t) \star h(t)$ &nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp; <i>Pulsantwort</i>.<br>
+*eine&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Sprungantwort|Sprungfunktion]]:
-Dagegen ist ein Gleichsignal&nbsp; $s(t) = A$&nbsp; nicht geeignet, die Frequenzabhängigkeit des LZI&ndash;Systems sichtbar werden zu lassen. Bei einem Tiefpass&ndash;System wäre dann das Ausgangssignal unabhängig von&nbsp; $H(f)$&nbsp; stets konstant: &nbsp; $r(t) = A \cdot H(f= 0)$.<br>
+Dagegen ist ein Gleichsignal&nbsp; $s(t) = A$&nbsp; nicht geeignet, die Frequenzabhängigkeit des LZI&ndash;Systems sichtbar werden zu lassen:&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; Bei einem Tiefpass&ndash;System wäre dann das Ausgangssignal unabhängig von&nbsp; $H(f)$&nbsp; stets konstant: &nbsp; &nbsp; $r(t) = A \cdot H(f= 0)$.<br>
-Auf der nächsten Seite betrachten wir als Eingangssignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; einen Diracpuls&nbsp; $p_\delta(t)$. Hiermit lassen sich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen zeitinvarianten und zeitvarianten Systemen sehr anschaulich darstellen.<br>
+Auf der nächsten Seite betrachten wir als Eingangssignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; einen Diracpuls&nbsp; $p_\delta(t)$:&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; Hiermit lassen sich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen zeitinvarianten und zeitvarianten Systemen sehr anschaulich darstellen.<br>
 <i>Hinweis:</i> &nbsp; Die Eigenschaften von&nbsp; $H(f)$&nbsp; und&nbsp; $h(t)$&nbsp; werden im Lernvideo&nbsp; [[Einige_Anmerkungen_zur_Übertragungsfunktion_(Lernvideo)|Einige Anmerkungen zur Übertragungsfunktion]]&nbsp; ausführlich behandelt.<br>

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 Die Beschreibungsgrößen eines Nachrichtenübertragungssystems wurden bereits in den Kapiteln [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|Systembeschreibung im Frequenzbereich]] bzw. [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]] des Buches &bdquo;Lineare zeitvariante Systeme&rdquo; eingeführt und eingehend diskutiert. Die wichtigsten Ergebnisse sollen hier nochmals kurz zusammengefasst werden.<br>
-[[Datei:P ID2141 Mob T 2 1 S1 v1.png|right|frame|Betrachtetes LZI–System|class=fit]]
+[[Datei:Mob_T_2_1_S1_neu.png|right|frame|Betrachtetes LZI–System|class=fit]]
 Vorausgesetzt wird zunächst ein ''lineares und zeitinvariantes System'' &nbsp; &#8658; &nbsp; '''LZI&ndash;System''' mit dem Signal $s(t)$ am Eingang und dem Ausgangssignal $r(t)$. Der Einfachheit halber seien $s(t)$ und $r(t)$ reell. Dann gilt:
 *Das System lässt sich vollständig durch die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Übertragungsfunktion]] $H(f)$ charakterisieren. Man bezeichnet $H(f)$ auch als den <i>Frequenzgang</i>. Definitionsgemäß gilt $H(f) = R(f)/S(f)$.<br>

@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben und Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch „Mobilfunkkanal” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
 *dem [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/MFK.zip Windows&ndash;Programm MFK] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
-*dieser [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Mobilfunkkanal.pdf Praktikumsanleitung] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version (58 Seiten).
+*der zugehörigen [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Mobilfunkkanal.pdf Praktikumsanleitung] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version (58 Seiten).

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 <br>
-Nach der Zeitvarianz wird nun der Begriff der ''Frequenzselektivität'' eingeführt und an Beispielen verdeutlicht, eine Kanaleigenschaft, die für die mobile Kommunikation ebenfalls von großer Bedeutung ist. Wie im gesamten Buch erfolgt die Beschreibung im äquivalenten Tiefpassbereich. Im Einzelnen werden behandelt:
+Nach der Zeitvarianz wird nun der Begriff der ''Frequenzselektivität'' eingeführt und an Beispielen verdeutlicht, eine Kanaleigenschaft, die für die mobile Kommunikation ebenfalls von großer Bedeutung ist. Wie im gesamten Buch erfolgt die Beschreibung im äquivalenten Tiefpassbereich.
 *der Unterschied zwischen zeitinvarianten und zeitvarianten Systemen,
@@ Zeile 15: / Zeile 17: @@
 *der Mehrwegeempfang als Ursache für frequenzselektives Verhalten,
 *eine ausführliche Herleitung und Interpretation des GWSSUS–Kanalmodells,
-*die Kenngrößen des GWSSUS–Modells: Kohärenzbandbreite, Korrelationsdauer, usw.
+*die Kenngrößen des GWSSUS–Modells: &nbsp; Kohärenzbandbreite, Korrelationsdauer, usw.
 Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben und Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch „Mobilfunkkanal” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
-*dem [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/MFK.zip Windows&ndash;Programm MFK]  ⇒  Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
+*dem [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/MFK.zip Windows&ndash;Programm MFK] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
-*dieser [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Mobilfunkkanal.pdf Praktikumsanleitung]  ⇒  Link verweist auf die PDF-Version (58 Seiten).
+*dieser [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Mobilfunkkanal.pdf Praktikumsanleitung] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version (58 Seiten).
@@ Zeile 28: / Zeile 30: @@
 Die Beschreibungsgrößen eines Nachrichtenübertragungssystems wurden bereits in den Kapiteln [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|Systembeschreibung im Frequenzbereich]] bzw. [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]] des Buches &bdquo;Lineare zeitvariante Systeme&rdquo; eingeführt und eingehend diskutiert. Die wichtigsten Ergebnisse sollen hier nochmals kurz zusammengefasst werden.<br>
-[[Datei:P ID2141 Mob T 2 1 S1 v1.png|right|frame|Betrachtetes LZI–System|class=fit]]<br>
+[[Datei:P ID2141 Mob T 2 1 S1 v1.png|right|frame|Betrachtetes LZI–System|class=fit]]
 Vorausgesetzt wird zunächst ein ''lineares und zeitinvariantes System'' &nbsp; &#8658; &nbsp; '''LZI&ndash;System''' mit dem Signal $s(t)$ am Eingang und dem Ausgangssignal $r(t)$. Der Einfachheit halber seien $s(t)$ und $r(t)$ reell. Dann gilt:
 *Das System lässt sich vollständig durch die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Übertragungsfunktion]] $H(f)$ charakterisieren. Man bezeichnet $H(f)$ auch als den <i>Frequenzgang</i>. Definitionsgemäß gilt $H(f) = R(f)/S(f)$.<br>
@@ Zeile 53: / Zeile 55: @@
 == Zeitinvariante vs. zeitvariante Kanäle ==
 <br>
-Der Unterschied zwischen einem zeitinvarianten Kanal (&bdquo;'''LZI'''&rdquo;) und einem zeitvarianten Kanal  (&bdquo;'''LZV'''&rdquo;) soll anhand einer Grafik verdeutlicht werden.<br>
+Die Grafik soll den Unterschied zwischen einem zeitinvarianten Kanal (&bdquo;'''LZI'''&rdquo;) und einem zeitvarianten Kanal  (&bdquo;'''LZV'''&rdquo;) verdeutlichen.<br>
-[[Datei:P ID2142 Mob T 2 1 S2 v1.png|center|frame|Zeitinvariante und zeitvariante Kanäle|class=fit]]
+[[Datei:P ID2142 Mob T 2 1 S2 v1.png|center|frame|Zeitinvarianter und zeitvarianter Kanal|class=fit]]
 Man erkennt aus dieser Darstellung:
@@ Zeile 63: / Zeile 65: @@
   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Grün markiert ist der Diracimpuls bei $t = 0$.  Das Signal am Kanalausgang ist $r(t) = h(t)$. Vorausgesetzt wird, dass die Ausdehnung der Impulsantwort $h(t)$ deutlich kleiner ist als $T$.<br>
+*Grün markiert ist der Diracimpuls bei $t = 0$. Mit $s(t) = {\rm \delta}(t)$  ist das Signal am Kanalausgang gleich $r(t) = h(t)$ entsprechend der grünen Hinterlegung. Vorausgesetzt wird zunächst, dass die Ausdehnung der Impulsantwort $h(t)$ deutlich kleiner ist als $T$.<br>
 *Für das gesamte Empfangssignal nach dem LZI&ndash;Kanal entsprechend der mittleren Grafik kann dann geschrieben werden:
@@ Zeile 70: / Zeile 72: @@
   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Bei einem zeitvarianten Kanal &nbsp; &#8658; &nbsp; untere Grafik ist diese Gleichung nicht anwendbar. In jedem Zeitintervall ergibt sich nun eine andere Signalform: Man kann keine einparametrige Impulsantwort $h(t)$ und dementsprechend auch keine Übertragungsfunktion $H(f)$ angeben.<br><br>
+*Bei einem zeitvarianten Kanal &nbsp; &#8658; &nbsp; untere Grafik ist diese Gleichung nicht anwendbar. In jedem Zeitintervall ergibt sich nun nämlich eine andere Signalform.
-<i>Hinweis:</i> Das Lernvideo [[Eigenschaften_des_Übertragungskanals_(Lernvideo)|Eigenschaften des Übertragungskanals]] beschreibt die Unterschiede zwischen LZV&ndash; und LZI&ndash;Systemen.<br>
+<i>Hinweis:</i> &nbsp; Das Lernvideo [[Eigenschaften_des_Übertragungskanals_(Lernvideo)|Eigenschaften des Übertragungskanals]] beschreibt die Unterschiede zwischen LZV&ndash; und LZI&ndash;Systemen.<br>
 == Zweidimensionale Impulsantwort ==
@@ Zeile 79: / Zeile 85: @@
 [[Datei:P ID2143 Mob T 2 1 S3 v1.png|right|frame|Zweidimensionale Impulsantwort|class=fit]]
-Voraussetzung hierfür ist, dass der Kanal weiterhin linear ist; man spricht dann von einem '''LZV&ndash;System''' (linear zeitvariant). Es gelten folgende Zusammenhänge:
+Voraussetzung hierfür ist, dass der Kanal weiterhin linear ist; man spricht dann von einem '''LZV&ndash;System''' (linear zeitvariant).
 ::<math>\text{LZI:}\hspace{0.5cm}  r(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)  \cdot s(t-\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d}\tau   \hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 89: / Zeile 97: @@
 *Der zweite Parameter der Impulsantwort bzw. die zweite Achse kennzeichnet die '''absolute Zeit''' $t$, die unter anderem zur Beschreibung der Zeitvarianz herangezogen wird. Zu unterschiedlichen Zeiten $t$ hat die Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$ eine andere Form.<br>
-*Eine Besonderheit der 2D&ndash;Darstellung ist, dass die $t$&ndash;Achse zeitdiskret  (bei Vielfachen von $T$) aufgetragen wird, während die $\tau$&ndash;Achse wie im gezeigten Beispiel zeitkontinuierlich sein kann. Im Mobilfunk wird $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$ meist zeitdiskret angenommen (&bdquo;Echos&rdquo;).
+*Eine Besonderheit der 2D&ndash;Darstellung ist, dass die $t$&ndash;Achse zeitdiskret  (bei Vielfachen von $T$) aufgetragen wird, während die $\tau$&ndash;Achse wie im gezeigten Beispiel zeitkontinuierlich sein kann. Im Mobilfunk wird $h(\tau, \hspace{0.05cm}t_0)$ aber meist zeitdiskret angenommen (&bdquo;Echos&rdquo;).
 *Die LZV&ndash;Gleichung ist nur anwendbar, wenn die zeitliche Veränderung des Kanals (im Bild durch den Parameter $T$ gekennzeichnet) langsam erfolgt im Vergleich zur maximalen Verzögerung $\tau_{\rm max}$.  Im Mobilfunk ist diese Bedingung &nbsp; &#8658; &nbsp; $\tau_{\rm max} < T$ &nbsp; fast immer erfüllt.

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 *Die LZV&ndash;Gleichung ist nur anwendbar, wenn die zeitliche Veränderung des Kanals (im Bild durch den Parameter $T$ gekennzeichnet) langsam erfolgt im Vergleich zur maximalen Verzögerung $\tau_{\rm max}$.  Im Mobilfunk ist diese Bedingung &nbsp; &#8658; &nbsp; $\tau_{\rm max} < T$ &nbsp; fast immer erfüllt.
-*Je nachdem, ob man das erste Fourierintegral auf den Parameter $\tau$ oder $t$ anwendet, kommt man zu unterschiedlichen Spektralfunktionen. In der [[Aufgabe_2.1Z:_2D-Frequenz-_und_2D-Zeitdarstellung|Aufgabe 2.1Z: 2D-Frequenz- und 2D-Zeitdarstellung]] wird beispielsweise die zeitvariante '''2D&ndash;Übertragungsfunktion''' betrachtet:
+*Je nachdem, ob man das erste Fourierintegral auf den Parameter $\tau$ oder $t$ anwendet, kommt man zu unterschiedlichen Spektralfunktionen. In der [[Aufgabe_2.1Z:_2D-Frequenz-_und_2D-Zeitdarstellung|Aufgabe 2.1Z]] wird beispielsweise die zeitvariante '''2D&ndash;Übertragungsfunktion''' betrachtet:
 ::<math>H(f,\hspace{0.05cm} t)
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 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:Aufgabe_2.1:_Zweidimensionale_Impulsantwort|Aufgabe 2.1: ZweidimensionaleImpulsantwort]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.1:_Zweidimensionale_Impulsantwort|Aufgabe 2.1: Zweidimensionale Impulsantwort]]
 [[Aufgabe_2.1Z:_2D-Frequenz-_und_2D-Zeitdarstellung|Aufgabe 2.1Z: 2D-Frequenz- und 2D-Zeitdarstellung]]