Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich - Versionsgeschichte

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 Ein LZI–System bezeichnet man dann als&nbsp;  '''kausal''', wenn die Impulsantwort&nbsp;  $h(t)$&nbsp;  – also die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs&nbsp;  $H(f)$&nbsp;  – folgende Bedingung erfüllt:
 :$$h(t) \equiv 0 \hspace{0.25cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.25cm} t < 0.$$
 $\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp; Jedes realisierbare System ist kausal. }}
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Am Eingang eines Spalt–Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort der Breite&nbsp; $T$&nbsp; (siehe [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|$\text{Beispiel 1}$]])&nbsp;  liegt ein Rechteckimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; der Dauer&nbsp; $2T$&nbsp; an.
+Am Eingang eines Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; der Breite&nbsp; $T$&nbsp; (siehe&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|$\text{Beispiel 1)}$]]&nbsp;  liegt ein Rechteckimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; der Dauer&nbsp; $2T$.
 [[Datei:P_ID812__LZI_T_1_2_S4b_neu.png|right|frame|Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $h(t)$&nbsp; rechteckförmig sind|class=fit]]

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 $\text{Definition:}$&nbsp;
 Ein LZI–System bezeichnet man dann als&nbsp;  '''kausal''', wenn die Impulsantwort&nbsp;  $h(t)$&nbsp;  – also die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs&nbsp;  $H(f)$&nbsp;  – folgende Bedingung erfüllt:
-:$$h(t) = 0 \hspace{0.25cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.25cm} t < 0.$$
+:$$h(t) \equiv 0 \hspace{0.25cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.25cm} t < 0.$$
 $\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp; Jedes realisierbare System ist kausal. }}

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 ==Impulsantwort==
 <br>
-Auf der Seite  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Das erste Fourierintegral]]  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; wurde dargelegt, dass für jedes deterministische Signal $x(t)$ mit Hilfe der Fouriertransformation eine Spektralfunktion $X(f)$ angegeben werden kann. Oft bezeichnet man $X(f)$ auch kurz als das Spektrum.
+Auf der Seite&nbsp;  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Das erste Fourierintegral]]&nbsp;  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; wurde dargelegt, dass für jedes deterministische Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Hilfe der Fouriertransformation eine Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; angegeben werden kann. Oft bezeichnet man&nbsp; $X(f)$&nbsp; kurz als das Spektrum.
 Alle Informationen über die Spektralfunktion sind aber auch bereits in der Zeitbereichsdarstellung enthalten, wenn auch nicht immer sofort erkennbar. Der gleiche Sachverhalt trifft für lineare zeitinvariante Systeme zu.
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die wichtigste Beschreibungsgröße eines linearen zeitinvarianten Systems im Zeitbereich ist die Fourierrücktransformierte von $H(f)$, die man als die '''Impulsantwort''' bezeichnet:
+Die wichtigste Beschreibungsgröße eines linearen zeitinvarianten Systems im Zeitbereich ist die Fourierrücktransformierte von&nbsp; $H(f)$, die man als die&nbsp; '''Impulsantwort'''&nbsp; bezeichnet:
 :$$h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}H(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$}}
 Hierzu ist Folgendes anzumerken:
-*Der Frequenzgang $H(f)$ und die Impulsantwort $h(t)$ sind äquivalente Beschreibungsgrößen, die genau die gleichen Informationen über das LZI–System beinhalten.
+*Der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; und die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; sind äquivalente Beschreibungsgrößen, die genau die gleichen Informationen über das LZI–System beinhalten.
-*Verwendet man das diracförmige Eingangssignal $x(t) = δ(t)$, so ist $X(f) = 1$ zu setzen und es gilt $Y(f) = H(f)$ bzw. $y(t) = h(t)$.
+*Verwendet man das diracförmige Eingangssignal&nbsp; $x(t) = δ(t)$, so ist&nbsp; $X(f) = 1$&nbsp; zu setzen und es gilt&nbsp; $Y(f) = H(f)$&nbsp; bzw.&nbsp; $y(t) = h(t)$.
-*Die Bezeichnung &bdquo;Impulsantwort&rdquo; spiegelt diese Aussage wieder: &nbsp; $h(t)$ ist die Antwort des Systems auf einen (Dirac-)Impuls am Eingang.
+*Die Bezeichnung &bdquo;Impulsantwort&rdquo; spiegelt diese Aussage wieder: &nbsp; $h(t)$&nbsp; ist die Antwort des Systems auf einen (Dirac-)Impuls am Eingang.
-*Die obige Definition lässt erkennen, dass jede Impulsantwort die Einheit $\text{Hz = 1/s}$ besitzen muss.
+*Die obige Definition lässt erkennen, dass jede Impulsantwort die Einheit&nbsp; $\text{Hz = 1/s}$&nbsp; besitzen muss.
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Die Impulsantwort $h(t)$ des so genannten Spalt–Tiefpasses ist über eine Zeitdauer $T$ hinweg konstant und außerhalb dieses Zeitintervalls gleich Null.
+Die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; des so genannten ''Spalt–Tiefpasses''&nbsp; ist über eine Zeitdauer&nbsp; $T$&nbsp; hinweg konstant und außerhalb dieses Zeitintervalls gleich Null.
-*Der dazugehörige Amplitudengang als der Betrag des Frequenzgangs ist $\vert H(f)\vert  = \vert {\rm si}(\pi fT)\vert $.
+*Der dazugehörige Amplitudengang als der Betrag des Frequenzgangs ist&nbsp;
-*Die Fläche über $h(t)$ ist gleich $H(f = 0) = 1$. Daraus folgt: Im Bereich $ 0 < t < T$ muss die Impulsantwort gleich $1/T$ sein.
+:$$\vert H(f)\vert  = \vert {\rm si}(\pi fT)\vert .$$
 *Der Phasenverlauf ergibt sich  zu
 :$$b(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\pi/T  \\  - \pi/T \\  \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{20}c}   \text{für} \\   \text{für}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\left \vert  \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right \vert  > 0,}  \\{\vert \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \vert < 0.}  \\\end{array}$$
-*Bei symmetrischem $h(t)$ um $t = 0$ (also akausal) wäre $b(f)=0$. }}
+*Bei symmetrischem&nbsp; $h(t)$&nbsp; um&nbsp; $t = 0$&nbsp; (also akausal) wäre&nbsp; $b(f)=0$. }}
 ==Einige Gesetze der Fouriertransformation==
 <br>
-Die [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] wurden bereits im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; ausführlich dargelegt.
+Die&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; wurden bereits im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; ausführlich dargelegt.
-Hier folgt nun eine kurze Zusammenfassung, wobei $H(f)$ den Frequenzgang eines LZI–Systems beschreibt und dessen Fourierrücktransformierte $h(t)$ die Impulsantwort ist. Diese Gesetzmäßigkeiten werden in den [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Aufgaben_zum_Kapitel|Aufgaben]] zu diesem Kapitel &bdquo;Systemtheoretische Grundlagen&rdquo; häufiger angewendet.
+Hier folgt nun eine kurze Zusammenfassung, wobei&nbsp; $H(f)$&nbsp; den Frequenzgang eines LZI–Systems beschreibt und dessen Fourierrücktransformierte&nbsp; $h(t)$&nbsp; die Impulsantwort ist. Diese Gesetzmäßigkeiten werden in den&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Aufgaben_zum_Kapitel|Aufgaben]]&nbsp; zu diesem Kapitel &bdquo;Systemtheoretische Grundlagen&rdquo; häufiger angewendet.
-Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
+Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
-Bei allen folgenden Gleichungen wird das Kurzsymbol der Fouriertransformation benutzt. Der ausgefüllte Kreis kennzeichnet stets den Spektralbereich und der weiße Kreis den Zeitbereich.
+Bei den folgenden Gleichungen wird das Kurzsymbol der Fouriertransformation benutzt. Der ausgefüllte Kreis kennzeichnet den Spektralbereich, der weiße den Zeitbereich.
-*'''Multiplikation''' mit einem konstanten Faktor:
+*'''Multiplikation'''&nbsp; mit einem konstanten Faktor:
 :$$k \cdot H(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,k \cdot h(t).$$
-:Bei $k \lt 1$ spricht man von einer Dämpfung, während $k \gt 1$ für eine Verstärkung steht.
+:Bei&nbsp; $k \lt 1$&nbsp; spricht man von einer Dämpfung, während&nbsp; $k \gt 1$&nbsp; für eine Verstärkung steht.
 *'''Ähnlichkeitssatz''':
 :$$H({f}/{k})\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,|k| \cdot h(k\cdot t).$$
-:Dies besagt: &nbsp; Eine Stauchung $(k < 1)$ des Frequenzgangs führt zu einer breiteren und niedrigeren Impulsantwort.
+:#&nbsp; Dieser besagt: &nbsp; Eine Stauchung&nbsp; $(k < 1)$&nbsp; des Frequenzgangs führt zu einer breiteren und niedrigeren Impulsantwort.
-:Durch Streckung $(k > 1)$ von $H(f)$ wird $h(t)$ schmaler und höher.
+:#&nbsp; Durch Streckung&nbsp; $(k > 1)$&nbsp; von&nbsp; $H(f)$&nbsp; wird&nbsp; $h(t)$&nbsp; schmaler und höher.
-*'''Verschiebungssatz''' im Frequenz- und Zeitbereich:
 :$$H(f - f_0) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t )\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}2\pi f_0 t},\hspace{0.9cm}
 H(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi ft_0}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t- t_0 ).$$
-:Eine Verschiebung um $t_0$ (Laufzeit) führt also im Frequenzbereich zu der Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion.
+:#&nbsp; Eine Verschiebung um&nbsp; $t_0$&nbsp; (Laufzeit) führt also im Frequenzbereich zu der Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion.
-:Der Amplitudengang $|H(f)|$ wird dadurch nicht verändert.
+:#&nbsp; Der Amplitudengang&nbsp; $|H(f)|$&nbsp; wird dadurch nicht verändert.
-*'''Differentiationssatz''' im Frequenz- und Zeitbereich:
+*'''Differentiationssatz'''&nbsp; im Frequenzbereich und im Zeitbereich:
 :$$\frac{1}{{{\rm j}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}H( f )}}{{{\rm d}f}} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,- t \cdot h( t ),\hspace{0.9cm}
 {\rm j}\cdot 2\pi f \cdot H( f ){}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{{{\rm d}h( t )}}{{\rm d}t}.$$
-:Ein differenzierendes Element im LZI–System führt im Frequenzbereich zu einer Multiplikation mit ${\rm j}\cdot 2πf$ und damit unter Anderem zu einer Phasendrehung um $90^{\circ}$.
+:Ein differenzierendes Element im LZI–System führt im Frequenzbereich zu einer Multiplikation mit&nbsp; ${\rm j}\cdot 2πf$&nbsp; und damit unter Anderem zu einer Phasendrehung um&nbsp; $90^{\circ}$.
@@ Zeile 69: / Zeile 73: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Ein LZI–System bezeichnet man dann als '''kausal''', wenn die Impulsantwort $h(t)$ – also die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs $H(f)$ – folgende Bedingung erfüllt:
+Ein LZI–System bezeichnet man dann als&nbsp;  '''kausal''', wenn die Impulsantwort&nbsp;  $h(t)$:&nbsp;  – also die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs&nbsp;  $H(f)$&nbsp;  – folgende Bedingung erfüllt:
 :$$h(t) = 0 \hspace{0.15cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} t < 0.$$
 $\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp; Jedes realisierbare System ist kausal. }}
-[[Datei:P_ID806__LZI_T_1_2_S3_neu.png|right|frame|Akausales System $\rm  A$ und kausales System $\rm  B$|class=fit]]
+[[Datei:P_ID806__LZI_T_1_2_S3_neu.png|right|frame|Akausales System&nbsp;  $\rm  A$&nbsp;  und kausales System&nbsp;  $\rm  B$|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Die Grafik verdeutlicht den Unterschied zwischen dem akausalen System $\rm B$ und dem kausalen System $\rm  A$.
+Die Grafik verdeutlicht den Unterschied zwischen dem akausalen System&nbsp;  $\rm B$&nbsp;  und dem kausalen System&nbsp;  $\rm  A$.
-*Beim System $\rm  A$ beginnt die Wirkung früher (bei $t =\hspace{0.05cm} –T$) als die Ursache (Diracfunktion bei $t = 0$), was natürlich in der Praxis nicht möglich ist.
+*Beim System&nbsp; $\rm  A$&nbsp; beginnt die Wirkung früher&nbsp; $($bei&nbsp; $t =\hspace{0.05cm} –T)$&nbsp; als die Ursache&nbsp; $($Diracfunktion bei&nbsp; $t = 0)$, was natürlich in der Praxis nicht möglich ist.
-*Fast alle akausalen Systeme lassen sich unter Verwendung einer Laufzeit $\tau$ in ein realisierbares kausales System überführen. Zum Beispiel gilt mit $\tau = T$:
+*Fast alle akausalen Systeme lassen sich unter Verwendung einer Laufzeit&nbsp; $\tau$&nbsp; in ein realisierbares kausales System überführen. Zum Beispiel gilt mit&nbsp; $\tau = T$:
 :$$h_{\rm B}(t) = h_{\rm A}(t - T).$$}}

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 Hierzu ist Folgendes anzumerken:
 *Der Frequenzgang $H(f)$ und die Impulsantwort $h(t)$ sind äquivalente Beschreibungsgrößen, die genau die gleichen Informationen über das LZI–System beinhalten.
-*Verwendet man das diracförmige Eingangssignal $x(t) = δ(t)$, so ist $X(f) = 1$ zu setzen und es gilt $Y(f) = H(f)$ bzw. $y(t) = h(t)$. Die Bezeichnung &bdquo;Impulsantwort&rdquo; spiegelt diese Aussage wieder: $h(t)$ ist die Antwort des Systems auf einen (Dirac-) Impuls am Eingang.
+*Verwendet man das diracförmige Eingangssignal $x(t) = δ(t)$, so ist $X(f) = 1$ zu setzen und es gilt $Y(f) = H(f)$ bzw. $y(t) = h(t)$.
 *Die obige Definition lässt erkennen, dass jede Impulsantwort die Einheit $\text{Hz = 1/s}$ besitzen muss.
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 ==Einige Gesetze der Fouriertransformation==
 <br>
-Die [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] wurden bereits im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; ausführlich dargelegt. Hier folgt nun eine kurze Zusammenfassung, wobei $H(f)$ den Frequenzgang eines LZI–Systems beschreibt und dessen Fourierrücktransformierte $h(t)$ die Impulsantwort ist. Diese Gesetzmäßigkeiten werden in den [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Aufgaben_zum_Kapitel|Aufgaben]] zu diesem Kapitel &bdquo;Systemtheoretische Grundlagen&rdquo; häufiger angewendet. Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
+Die [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] wurden bereits im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; ausführlich dargelegt.
 Bei allen folgenden Gleichungen wird das Kurzsymbol der Fouriertransformation benutzt. Der ausgefüllte Kreis kennzeichnet stets den Spektralbereich und der weiße Kreis den Zeitbereich.
@@ Zeile 42: / Zeile 47: @@
 :$$k \cdot H(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,k \cdot h(t).$$
 :Bei $k \lt 1$ spricht man von einer Dämpfung, während $k \gt 1$ für eine Verstärkung steht.
 *'''Ähnlichkeitssatz''':
 :$$H({f}/{k})\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,|k| \cdot h(k\cdot t).$$
-:Dies besagt: Eine Stauchung ($k < 1$) des Frequenzgangs führt zu einer breiteren und niedrigeren Impulsantwort.
+:Dies besagt: &nbsp; Eine Stauchung $(k < 1)$ des Frequenzgangs führt zu einer breiteren und niedrigeren Impulsantwort.
-:Durch Streckung ($k > 1$) von $H(f)$ wird $h(t)$ schmaler und höher.
+:Durch Streckung $(k > 1)$ von $H(f)$ wird $h(t)$ schmaler und höher.
 *'''Verschiebungssatz''' im Frequenz- und Zeitbereich:
 :$$H(f - f_0) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t )\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}2\pi f_0 t},\hspace{0.9cm}
@@ Zeile 51: / Zeile 58: @@
 :Eine Verschiebung um $t_0$ (Laufzeit) führt also im Frequenzbereich zu der Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion.
 :Der Amplitudengang $|H(f)|$ wird dadurch nicht verändert.
 *'''Differentiationssatz''' im Frequenz- und Zeitbereich:
 :$$\frac{1}{{{\rm j}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}H( f )}}{{{\rm d}f}} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,- t \cdot h( t ),\hspace{0.9cm}
@@ Zeile 75: / Zeile 83: @@
-Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme. Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel &bdquo;Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme&rdquo;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|dieses Buches]]  ausgeführt wird.
+*Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme.
 {{BlaueBox|TEXT=
-In diesem ersten und dem folgenden zweiten Hauptkapitel betrachten wir dagegen vorwiegend akausale Systeme, da deren mathematische Beschreibung anschaulicher ist. So ist der Frequenzgang $H_{\rm A}(f)$ reell, während für $H_{\rm B}(f)$ der zusätzliche Term ${\rm e}^{–{\rm j2π}f\hspace{0.05cm}T}$ zu berücksichtigen ist. }}
+In diesem ersten und dem folgenden zweiten Hauptkapitel betrachten wir dagegen vorwiegend akausale Systeme, da deren mathematische Beschreibung anschaulicher ist.
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 Durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]]  des Produktes kommt man zum gesuchten Signal $y(t)$:
-:$${\rm 1.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm} :}\hspace{0.5cm} X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, x( t )\hspace{2.05cm}{\rm Eingangsspektrum},$$
+:$${\rm 1.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm} :}\hspace{0.5cm} X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, x( t )\hspace{1.55cm}{\rm Eingangsspektrum},$$
-:$${\rm 2.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm}Y(f)= X(f) \cdot H(f) \hspace{1.32cm}{\rm Ausgangsspektrum},$$
+:$${\rm 2.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm}Y(f)= X(f) \cdot H(f) \hspace{0.82cm}{\rm Ausgangsspektrum},$$
-:$${\rm 3.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm} y(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, Y(f )\hspace{2.05cm}{\rm Ausgangssignal}.$$
+:$${\rm 3.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm} y(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, Y(f )\hspace{1.55cm}{\rm Ausgangssignal}.$$
 Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der Berechnung im Zeitbereich, indem man zunächst aus dem Frequenzgang $H(f)$ mittels Fourierrücktransformation die Impulsantwort $h(t)$ berechnet und anschließend die Faltungsoperation anwendet:
 :$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau  )}  \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
 Die Ergebnisse sind bei beiden Vorgehensweisen identisch. Zweckmäßigerweise sollte man dasjenige Verfahren auswählen, das mit weniger Rechenaufwand zum Ziel führt.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Am Eingang eines Spalt–Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort der Breite $T$ (siehe [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Beispiel  1]])  liegt ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $2T$ an.
+Am Eingang eines Spalt–Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort der Breite $T$ (siehe [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|$\text{Beispiel 1}$]])  liegt ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $2T$ an.
-[[Datei:P_ID812__LZI_T_1_2_S4b_neu.png|center|frame|Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da x(t) und h(t) rechteckförmig sind|class=fit]]
+[[Datei:P_ID812__LZI_T_1_2_S4b_neu.png|center|frame|Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da $x(t)$ und $h(t)$ rechteckförmig sind|class=fit]]
-In diesem Fall ist die direkte Berechnung im Zeitbereich günstiger: Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke $x(t)$ und $h(t)$ führt zum trapezförmigen Ausgangsimpuls $y(t)$:
+In diesem Fall ist die direkte Berechnung im Zeitbereich günstiger: &nbsp; Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke $x(t)$ und $h(t)$ führt zum trapezförmigen Ausgangsimpuls $y(t)$:
 *Man erkennt die Tiefpasseigenschaft des Filters an der endlichen Flankensteilheit von $y(t)$.
 *Die Impulshöhe $3\text{ V}$ bleibt in diesem Beispiel erhalten, weil $H(f = 0) = 1/T · T = 1$ ist. }}
@@ Zeile 138: / Zeile 149: @@
-[[Datei:P_ID839__LZI_T_1_2_S5_neu.png|right|frame|Zur Berechnung der Sprungantwort bei rechteckförmiger Impulsantwort|class=fit]]
+[[Datei:P_ID839__LZI_T_1_2_S5_neu.png|right|frame|Berechnung der Sprungantwort bei rechteckförmiger Impulsantwort|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;
-Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt für eine rechteckförmige Impulsantwort $h(\tau)$, wobei die Abszisse in $\tau$ umbenannt wurde. Blau eingezeichnet ist die Sprungfunktion $\gamma(\tau)$.
+Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt für eine rechteckförmige Impulsantwort $h(\tau)$; die Abszisse wurde in $\tau$ umbenannt. Blau eingezeichnet ist die Sprungfunktion $\gamma(\tau)$.
 *Durch Spiegelung und Verschiebung erhält man die violett gestrichelt eingezeichnete Funktion $\gamma(t - \tau)$.
 *Die rot hinterlegte Fläche gibt somit die Sprungantwort $\sigma(\tau)$ zum Zeitpunkt $\tau = t$ an.}}

@@ Zeile 150: / Zeile 150: @@
 [[Aufgaben:1.3 Gemessene Sprungantwort|Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort]]
-[[Aufgaben:1.3Z Exponentiell abfallendes h(t)|Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallendes ''h''(''t'')]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort]]
 [[Aufgaben:1.4 Zum Tiefpass 2. Ordnung|Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung]]

@@ Zeile 148: / Zeile 148: @@
 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:1.3 Gemessene Sprungantwort|Aufgabe 1.3: &nbsp;  Gemessene Sprungantwort]]
+[[Aufgaben:1.3 Gemessene Sprungantwort|Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort]]
-[[Aufgaben:1.3Z Exponentiell abfallendes h(t)|Zusatzaufgabe 1.3Z: &nbsp;  Exponentiell abfallendes ''h''(''t'')]]
+[[Aufgaben:1.3Z Exponentiell abfallendes h(t)|Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallendes ''h''(''t'')]]
-[[Aufgaben:1.4 Zum Tiefpass 2. Ordnung|Aufgabe 1.4: &nbsp;  Zum Tiefpass 2. Ordnung]]
+[[Aufgaben:1.4 Zum Tiefpass 2. Ordnung|Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung]]
-[[Aufgaben:1.4Z Alles rechteckförmig|Zusatzaufgabe 1.4Z: &nbsp; Alles rechteckförmig]]
+[[Aufgaben:1.4Z Alles rechteckförmig|Aufgabe 1.4Z: Alles rechteckförmig]]
 {{Display}}

@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
-Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme. Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel &bdquo;Beschreibung realisierbarer kausaler Systeme&rdquo;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|dieses Buches]]  ausgeführt wird.
+Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme. Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel &bdquo;Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme&rdquo;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|dieses Buches]]  ausgeführt wird.
 {{BlaueBox|TEXT=
@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
 [[Datei:P_ID809__LZI_T_1_2_S4_neu.png|right|frame|Zur Ermittlung der Ausgangsgrößen eines LZI–Systems|class=fit]]
-Soll die Lösung im Frequenzbereich erfolgen, so muss zunächst aus dem gegebenen Eingangssignal $x(t)$ durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformation]]  das Spektrum $X(f)$ ermittelt und mit dem Frequenzgang $H(f)$ multipliziert werden. Durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]]  des Produktes kommt man zum gesuchten Signal $y(t)$:
+Soll die Lösung im Frequenzbereich erfolgen, so muss zunächst aus dem gegebenen Eingangssignal $x(t)$ durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformation]]  das Spektrum $X(f)$ ermittelt und mit dem Frequenzgang $H(f)$ multipliziert werden.
 $${\rm 1.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm} :}\hspace{0.5cm} X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, x( t )\hspace{2.05cm}{\rm Eingangsspektrum},$$
-$${\rm 2.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm}Y(f)= X(f) \cdot H(f) \hspace{1.32cm}{\rm Ausgangsspektrum},$$
+Durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]]  des Produktes kommt man zum gesuchten Signal $y(t)$:
-$${\rm 3.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm} y(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, Y(f )\hspace{2.05cm}{\rm Ausgangssignal}.$$
+:$${\rm 1.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm} :}\hspace{0.5cm} X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, x( t )\hspace{2.05cm}{\rm Eingangsspektrum},$$
 Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der Berechnung im Zeitbereich, indem man zunächst aus dem Frequenzgang $H(f)$ mittels Fourierrücktransformation die Impulsantwort $h(t)$ berechnet und anschließend die Faltungsoperation anwendet:
-$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau  )}  \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
+:$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau  )}  \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
 Die Ergebnisse sind bei beiden Vorgehensweisen identisch. Zweckmäßigerweise sollte man dasjenige Verfahren auswählen, das mit weniger Rechenaufwand zum Ziel führt.
-[[Datei:P_ID812__LZI_T_1_2_S4b_neu.png|frame|Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da x(t) und h(t) rechteckförmig sind|class=fit]]
+{{GraueBox|TEXT=
 In diesem Fall ist die direkte Berechnung im Zeitbereich günstiger: Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke $x(t)$ und $h(t)$ führt zum trapezförmigen Ausgangsimpuls $y(t)$:
 *Man erkennt die Tiefpasseigenschaft des Filters an der endlichen Flankensteilheit von $y(t)$.
-*Die Impulshöhe $3\,\text{ V}$ bleibt in diesem Beispiel erhalten, weil $H(f = 0) = 1/T · T = 1$ ist.
+*Die Impulshöhe $3\text{ V}$ bleibt in diesem Beispiel erhalten, weil $H(f = 0) = 1/T · T = 1$ ist. }}
-{{end}}
 ==Sprungantwort==
 <br>
-Eine in der Praxis oft verwendete Eingangsfunktion $x(t)$ zur Messung von $H(f)$ ist die Sprungfunktion
+{{BlaueBox|TEXT=
-$${\rm \gamma}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}0  \\  0.5 \\ \hspace{0.25cm} 1 \\  \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}  \\   {\rm{f\ddot{u}r}}\\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < 0,}  \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = 0,}  \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > 0.}  \\ \end{array}$$
+$\text{Definitionen:}$&nbsp;
 Die '''Sprungantwort''' $\sigma(t)$ ist die Antwort des Systems, wenn man an den Eingang die Sprungfunktion $\gamma(t)$ anlegt:
-$$x(t) = {\rm \gamma}(t)\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y(t)  = {\rm \sigma}(t).$$
+:$$x(t) = {\rm \gamma}(t)\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y(t)  = {\rm \sigma}(t).$$}}
-Die Berechnung im Frequenzbereich wäre hier etwas umständlich. Man müsste dann folgende Gleichung anwenden:
+Die Berechnung im Frequenzbereich wäre hier etwas umständlich, denn man müsste dann folgende Gleichung anwenden:
-$${\rm \sigma}(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, X(f ) \cdot H(f) =\left({1}/{2}\cdot \delta(f) + \frac{1}{{\rm j}\cdot 2\pi f} \right) \cdot H(f).$$
+:$${\rm \sigma}(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, X(f ) \cdot H(f) =\left({1}/{2}\cdot \delta(f) + \frac{1}{{\rm j}\cdot 2\pi f} \right) \cdot H(f).$$
 Die Berechnung im Zeitbereich führt dagegen direkt zum Ergebnis:
-$${\rm \sigma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau  )}   \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
+:$${\rm \sigma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau  )}   \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
 Bei kausalen Systemen gilt $h(\tau) = 0$  für $\tau \lt 0$, so dass die untere Integrationsgrenze in obiger Gleichung zu $\tau = 0$ gesetzt werden kann.
-Das genannte Ergebnis ist auch aus folgendem Grunde einsichtig: Die Sprungfunktion $\gamma(t)$ hängt mit der Diracfunktion $\delta(t)$ wie folgt zusammen:
+{{BlaueBox|TEXT=
-$${\rm \gamma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {\delta ( \tau  )}   \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
+$\text{Beweis:}$&nbsp;
-Da wir Linearität vorausgesetzt haben und die Integration eine lineare Operation darstellt, gilt auch für das Ausgangssignal $\sigma(t)$ der entsprechende Zusammenhang entsprechend der vorletzten Gleichung.
+Das genannte Ergebnis ist auch aus folgendem Grunde einsichtig:
-{{Beispiel}}
 Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt für eine rechteckförmige Impulsantwort $h(\tau)$, wobei die Abszisse in $\tau$ umbenannt wurde. Blau eingezeichnet ist die Sprungfunktion $\gamma(\tau)$.
+*Durch Spiegelung und Verschiebung erhält man die violett gestrichelt eingezeichnete Funktion $\gamma(t - \tau)$.
-[[Datei:P_ID839__LZI_T_1_2_S5_neu.png|frame|Zur Berechnung der Sprungantwort bei rechteckförmiger Impulsantwort|class=fit]]
+*Die rot hinterlegte Fläche gibt somit die Sprungantwort $\sigma(\tau)$ zum Zeitpunkt $\tau = t$ an.}}

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−	Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme. Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel &bdquo;Beschreibung realisierbarer kausaler Systeme” [[Lineare_zeitinvariante_Systeme~~/Laplace%E2%80%93Transformation_und_p%E2%80%93%C3%9Cbertragungsfunktion#Betrachtetes_Systemmodell~~\|dieses Buches]] ausgeführt wird.	+	Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme. Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel &bdquo;Beschreibung realisierbarer kausaler Systeme” [[Lineare_zeitinvariante_Systeme\|dieses Buches]] ausgeführt wird.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

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−	Für kausale Systeme gelten alle ~~in diesem Kapitel getroffenen~~ Aussagen ebenso wie für akausale Systeme. Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie ~~auf der Seite~~ [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace%E2%80%93Transformation_und_p%E2%80%93%C3%9Cbertragungsfunktion#Betrachtetes_Systemmodell\|~~Betrachtetes Systemmodell~~]] ~~im dritten Hauptkapitel dieses Buches~~ ausgeführt wird.	+	Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme. Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel &bdquo;Beschreibung realisierbarer kausaler Systeme” [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace%E2%80%93Transformation_und_p%E2%80%93%C3%9Cbertragungsfunktion#Betrachtetes_Systemmodell\|dieses Buches]] ausgeführt wird.

−	In diesem und dem ~~nächsten Kapitel~~ betrachten wir vorwiegend akausale Systeme, da deren mathematische Beschreibung anschaulicher ist. So ist der Frequenzgang $H_{\rm A}(f)$ reell, während für $H_{\rm B}(f)$ der zusätzliche Term ${\rm e}^{–{\rm j2π}f\hspace{0.05cm}T}$ zu berücksichtigen ist.	+	{{BlaueBox\|TEXT=
		+	In diesem ersten und dem folgenden zweiten Hauptkapitel betrachten wir dagegen vorwiegend akausale Systeme, da deren mathematische Beschreibung anschaulicher ist. So ist der Frequenzgang $H_{\rm A}(f)$ reell, während für $H_{\rm B}(f)$ der zusätzliche Term ${\rm e}^{–{\rm j2π}f\hspace{0.05cm}T}$ zu berücksichtigen ist. }}