Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:27:55Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Time_Domain]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:37 Uhr
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	*'''Verschiebungssatz'''  im Frequenzbereich und im Zeitbereich:		*'''Verschiebungssatz'''  im Frequenzbereich und im Zeitbereich:
	:$$H(f - f_0) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t )\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}2\pi f_0 t},\hspace{0.9cm}		:$$H(f - f_0) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t )\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}2\pi f_0 t},\hspace{0.9cm}H(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi ft_0}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t- t_0 ).$$
	H(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi ft_0}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t- t_0 ).$$
	:#  Eine Verschiebung um  $t_0$  (Laufzeit) führt also im Frequenzbereich zu der Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion.		:#  Eine Verschiebung um  $t_0$  (Laufzeit) führt also im Frequenzbereich zu der Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion.
	:#  Der Amplitudengang  $\|H(f)\|$  wird dadurch nicht verändert.		:#  Der Amplitudengang  $\|H(f)\|$  wird dadurch nicht verändert.
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	*'''Differentiationssatz'''  im Frequenzbereich und im Zeitbereich:		*'''Differentiationssatz'''  im Frequenzbereich und im Zeitbereich:
	:$$\frac{1}{{{\rm j}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}H( f )}}{{{\rm d}f}} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,- t \cdot h( t ),\hspace{0.9cm}		:$$\frac{1}{{{\rm j}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}H( f )}}{{{\rm d}f}} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,- t \cdot h( t ),\hspace{0.9cm}{\rm j}\cdot 2\pi f \cdot H( f ){}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{{{\rm d}h( t )}}{{\rm d}t}.$$
	{\rm j}\cdot 2\pi f \cdot H( f ){}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{{{\rm d}h( t )}}{{\rm d}t}.$$
	:Ein differenzierendes Element im LZI–System führt im Frequenzbereich zu einer Multiplikation mit  ${\rm j}\cdot 2πf$  und damit unter Anderem zu einer Phasendrehung um  $90^{\circ}$.		:Ein differenzierendes Element im LZI–System führt im Frequenzbereich zu einer Multiplikation mit  ${\rm j}\cdot 2πf$  und damit unter Anderem zu einer Phasendrehung um  $90^{\circ}$.

Guenter am 26. Mai 2021 um 15:46 Uhr

2021-05-26T15:46:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Mai 2021, 17:46 Uhr
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	Ein LZI–System bezeichnet man dann als  '''kausal''', wenn die Impulsantwort  $h(t)$  – also die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs  $H(f)$  – folgende Bedingung erfüllt:		Ein LZI–System bezeichnet man dann als  '''kausal''', wenn die Impulsantwort  $h(t)$  – also die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs  $H(f)$  – folgende Bedingung erfüllt:
	:$$h(t) \equiv 0 \hspace{0.25cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.25cm} t < 0.$$		:$$h(t) \equiv 0 \hspace{0.25cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.25cm} t < 0.$$

			Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man das System  '''akausal'''.

	$\text{Bitte beachten Sie:}$  Jedes realisierbare System ist kausal. }}		$\text{Bitte beachten Sie:}$  Jedes realisierbare System ist kausal. }}

Zeile 121:		Zeile 124:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$		$\text{Beispiel 3:}$
	Am Eingang eines ~~Spalt–Tiefpasses~~ mit rechteckförmiger Impulsantwort der Breite  $T$  (siehe [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort\|$\text{Beispiel 1}$]])  liegt ein Rechteckimpuls  $x(t)$  der Dauer  $2T$~~  an~~.		Am Eingang eines Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort  $h(t)$  der Breite  $T$  (siehe  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort\|$\text{Beispiel 1)}$]]  liegt ein Rechteckimpuls  $x(t)$  der Dauer  $2T$.
	[[Datei:P_ID812__LZI_T_1_2_S4b_neu.png\|right\|frame\|Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da  $x(t)$  und  $h(t)$  rechteckförmig sind\|class=fit]]		[[Datei:P_ID812__LZI_T_1_2_S4b_neu.png\|right\|frame\|Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da  $x(t)$  und  $h(t)$  rechteckförmig sind\|class=fit]]

Guenter am 26. Mai 2021 um 15:11 Uhr

2021-05-26T15:11:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Mai 2021, 17:11 Uhr
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	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Ein LZI–System bezeichnet man dann als  '''kausal''', wenn die Impulsantwort  $h(t)$  – also die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs  $H(f)$  – folgende Bedingung erfüllt:		Ein LZI–System bezeichnet man dann als  '''kausal''', wenn die Impulsantwort  $h(t)$  – also die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs  $H(f)$  – folgende Bedingung erfüllt:
	:$$h(t) = 0 \hspace{0.25cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.25cm} t < 0.$$		:$$h(t) \equiv 0 \hspace{0.25cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.25cm} t < 0.$$
	$\text{Bitte beachten Sie:}$  Jedes realisierbare System ist kausal. }}		$\text{Bitte beachten Sie:}$  Jedes realisierbare System ist kausal. }}

Guenter am 18. Oktober 2019 um 09:23 Uhr

2019-10-18T09:23:17Z

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Guenter am 18. Oktober 2019 um 08:23 Uhr

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Guenter am 23. Oktober 2018 um 10:24 Uhr

2018-10-23T10:24:12Z

Guenter am 15. Februar 2018 um 16:16 Uhr

2018-02-15T16:16:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Februar 2018, 18:16 Uhr
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	[[Aufgaben:1.3 Gemessene Sprungantwort\|Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort]]		[[Aufgaben:1.3 Gemessene Sprungantwort\|Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort]]

	[[Aufgaben:1.3Z ~~Exponentiell abfallendes h(t)~~\|Aufgabe 1.3Z: Exponentiell ~~abfallendes ''h''(''t'')~~]]		[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort\|Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort]]

	[[Aufgaben:1.4 Zum Tiefpass 2. Ordnung\|Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung]]		[[Aufgaben:1.4 Zum Tiefpass 2. Ordnung\|Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung]]

Guenter am 15. Februar 2018 um 16:14 Uhr

2018-02-15T16:14:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Februar 2018, 18:14 Uhr
Zeile 148:		Zeile 148:
	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:1.3 Gemessene Sprungantwort\|Aufgabe 1.3: ~~ ~~ Gemessene Sprungantwort]]		[[Aufgaben:1.3 Gemessene Sprungantwort\|Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort]]

	[[Aufgaben:1.3Z Exponentiell abfallendes h(t)\|~~Zusatzaufgabe~~ 1.3Z: ~~ ~~ Exponentiell abfallendes ''h''(''t'')]]		[[Aufgaben:1.3Z Exponentiell abfallendes h(t)\|Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallendes ''h''(''t'')]]

	[[Aufgaben:1.4 Zum Tiefpass 2. Ordnung\|Aufgabe 1.4: ~~ ~~ Zum Tiefpass 2. Ordnung]]		[[Aufgaben:1.4 Zum Tiefpass 2. Ordnung\|Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung]]

	[[Aufgaben:1.4Z Alles rechteckförmig\|~~Zusatzaufgabe~~ 1.4Z: ~~ ~~ Alles rechteckförmig]]		[[Aufgaben:1.4Z Alles rechteckförmig\|Aufgabe 1.4Z: Alles rechteckförmig]]

	{{Display}}		{{Display}}

Guenter am 15. Februar 2018 um 14:49 Uhr

2018-02-15T14:49:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Februar 2018, 16:49 Uhr
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	Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme. Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel &bdquo;Beschreibung realisierbarer ~~kausaler~~ Systeme” [[Lineare_zeitinvariante_Systeme\|dieses Buches]] ausgeführt wird.		Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme. Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel &bdquo;Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme” [[Lineare_zeitinvariante_Systeme\|dieses Buches]] ausgeführt wird.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
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	[[Datei:P_ID809__LZI_T_1_2_S4_neu.png\|right\|frame\|Zur Ermittlung der Ausgangsgrößen eines LZI–Systems\|class=fit]]		[[Datei:P_ID809__LZI_T_1_2_S4_neu.png\|right\|frame\|Zur Ermittlung der Ausgangsgrößen eines LZI–Systems\|class=fit]]

	Soll die Lösung im Frequenzbereich erfolgen, so muss zunächst aus dem gegebenen Eingangssignal $x(t)$ durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fouriertransformation]] das Spektrum $X(f)$ ermittelt und mit dem Frequenzgang $H(f)$ multipliziert werden. Durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]] des Produktes kommt man zum gesuchten Signal $y(t)$:		Soll die Lösung im Frequenzbereich erfolgen, so muss zunächst aus dem gegebenen Eingangssignal $x(t)$ durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fouriertransformation]] das Spektrum $X(f)$ ermittelt und mit dem Frequenzgang $H(f)$ multipliziert werden.
	$${\rm 1.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm} :}\hspace{0.5cm} X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, x( t )\hspace{2.05cm}{\rm Eingangsspektrum},$$
	$${\rm 2.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm}Y(f)= X(f) \cdot H(f) \hspace{1.32cm}{\rm Ausgangsspektrum},$$		Durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]] des Produktes kommt man zum gesuchten Signal $y(t)$:
	$${\rm 3.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm} y(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, Y(f )\hspace{2.05cm}{\rm Ausgangssignal}.$$		:$${\rm 1.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm} :}\hspace{0.5cm} X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, x( t )\hspace{2.05cm}{\rm Eingangsspektrum},$$
			:$${\rm 2.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm}Y(f)= X(f) \cdot H(f) \hspace{1.32cm}{\rm Ausgangsspektrum},$$
			:$${\rm 3.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm} y(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, Y(f )\hspace{2.05cm}{\rm Ausgangssignal}.$$

	Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der Berechnung im Zeitbereich, indem man zunächst aus dem Frequenzgang $H(f)$ mittels Fourierrücktransformation die Impulsantwort $h(t)$ berechnet und anschließend die Faltungsoperation anwendet:		Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der Berechnung im Zeitbereich, indem man zunächst aus dem Frequenzgang $H(f)$ mittels Fourierrücktransformation die Impulsantwort $h(t)$ berechnet und anschließend die Faltungsoperation anwendet:
	$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$		:$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
	Die Ergebnisse sind bei beiden Vorgehensweisen identisch. Zweckmäßigerweise sollte man dasjenige Verfahren auswählen, das mit weniger Rechenaufwand zum Ziel führt.		Die Ergebnisse sind bei beiden Vorgehensweisen identisch. Zweckmäßigerweise sollte man dasjenige Verfahren auswählen, das mit weniger Rechenaufwand zum Ziel führt.

	~~{{Beispiel}}~~
	Am Eingang eines Spalt–Tiefpasses (siehe [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort\|Beispiel zur Impulsantwort]]) mit rechteckförmiger Impulsantwort der Breite $T$ liegt ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $2T$ an.

	[[Datei:P_ID812__LZI_T_1_2_S4b_neu.png\|frame\|Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da x(t) und h(t) rechteckförmig sind\|class=fit]]		{{GraueBox\|TEXT=
			$\text{Beispiel 3:}$
			Am Eingang eines Spalt–Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort der Breite $T$ (siehe [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort\|Beispiel 1]]) liegt ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $2T$ an.
			[[Datei:P_ID812__LZI_T_1_2_S4b_neu.png\|center\|frame\|Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da x(t) und h(t) rechteckförmig sind\|class=fit]]

	In diesem Fall ist die direkte Berechnung im Zeitbereich günstiger: Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke $x(t)$ und $h(t)$ führt zum trapezförmigen Ausgangsimpuls $y(t)$:		In diesem Fall ist die direkte Berechnung im Zeitbereich günstiger: Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke $x(t)$ und $h(t)$ führt zum trapezförmigen Ausgangsimpuls $y(t)$:
	*Man erkennt die Tiefpasseigenschaft des Filters an der endlichen Flankensteilheit von $y(t)$.		*Man erkennt die Tiefpasseigenschaft des Filters an der endlichen Flankensteilheit von $y(t)$.
	*Die Impulshöhe $3\,\text{ V}$ bleibt in diesem Beispiel erhalten, weil $H(f = 0) = 1/T · T = 1$ ist.		*Die Impulshöhe $3\text{ V}$ bleibt in diesem Beispiel erhalten, weil $H(f = 0) = 1/T · T = 1$ ist. }}
	~~{{end~~}}

	==Sprungantwort==		==Sprungantwort==
	<br>		<br>
	Eine in der Praxis oft verwendete Eingangsfunktion $x(t)$ zur Messung von $H(f)$ ist die Sprungfunktion		{{BlaueBox\|TEXT=
	$${\rm \gamma}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}0 \\ 0.5 \\ \hspace{0.25cm} 1 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{{20}c} ~~{\rm{f~~\~~ddot~~{~~u}r}~~} \\ {\rm{~~f\ddot{u}r}~~}\\ {\rm{~~f\ddot{u}r}~~} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}{\~~left\|~~ \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \~~right\|~~ < 0,} \\ {\~~left\|~~ \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \~~right\|~~ = 0,} \\ {\~~left\|~~\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \~~right\|~~ > 0.} \\ \end{array}$$		$\text{Definitionen:}$
			Eine in der Praxis oft verwendete Eingangsfunktion $x(t)$ zur Messung von $H(f)$ ist die '''Sprungfunktion'''
			:$${\rm \gamma}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}0 \\ 0.5 \\ \hspace{0.25cm} 1 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{{20}c} \text{für} \\ \text{für}\\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}{\vert \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \vert < 0,} \\ {\vert \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \vert = 0,} \\ {\vert \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert > 0.} \\ \end{array}$$

	~~{{Definition}}~~
	Die '''Sprungantwort''' $\sigma(t)$ ist die Antwort des Systems, wenn man an den Eingang die Sprungfunktion $\gamma(t)$ anlegt:		Die '''Sprungantwort''' $\sigma(t)$ ist die Antwort des Systems, wenn man an den Eingang die Sprungfunktion $\gamma(t)$ anlegt:
	$$x(t) = {\rm \gamma}(t)\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y(t) = {\rm \sigma}(t).$$		:$$x(t) = {\rm \gamma}(t)\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y(t) = {\rm \sigma}(t).$$}}
	~~{{end~~}}


	Die Berechnung im Frequenzbereich wäre hier etwas umständlich~~. Man~~ müsste dann folgende Gleichung anwenden:		Die Berechnung im Frequenzbereich wäre hier etwas umständlich, denn man müsste dann folgende Gleichung anwenden:
	$${\rm \sigma}(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, X(f ) \cdot H(f) =\left({1}/{2}\cdot \delta(f) + \frac{1}{{\rm j}\cdot 2\pi f} \right) \cdot H(f).$$		:$${\rm \sigma}(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, X(f ) \cdot H(f) =\left({1}/{2}\cdot \delta(f) + \frac{1}{{\rm j}\cdot 2\pi f} \right) \cdot H(f).$$

	Die Berechnung im Zeitbereich führt dagegen direkt zum Ergebnis:		Die Berechnung im Zeitbereich führt dagegen direkt zum Ergebnis:
	$${\rm \sigma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$		:$${\rm \sigma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

	Bei kausalen Systemen gilt $h(\tau) = 0$ für $\tau \lt 0$, so dass die untere Integrationsgrenze in obiger Gleichung zu $\tau = 0$ gesetzt werden kann.		Bei kausalen Systemen gilt $h(\tau) = 0$ für $\tau \lt 0$, so dass die untere Integrationsgrenze in obiger Gleichung zu $\tau = 0$ gesetzt werden kann.

	Das genannte Ergebnis ist auch aus folgendem Grunde einsichtig: Die Sprungfunktion $\gamma(t)$ hängt mit der Diracfunktion $\delta(t)$ wie folgt zusammen:		{{BlaueBox\|TEXT=
	$${\rm \gamma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {\delta ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$		$\text{Beweis:}$
	Da wir Linearität vorausgesetzt haben und die Integration eine lineare Operation darstellt, gilt auch für das Ausgangssignal $\sigma(t)$ ~~der entsprechende Zusammenhang entsprechend der vorletzten Gleichung.~~		Das genannte Ergebnis ist auch aus folgendem Grunde einsichtig:
			*Die Sprungfunktion $\gamma(t)$ hängt mit der Diracfunktion $\delta(t)$ wie folgt zusammen:
			:$${\rm \gamma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {\delta ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
			*Da wir Linearität vorausgesetzt haben und die Integration eine lineare Operation darstellt, gilt auch für das Ausgangssignal der entsprechende Zusammenhang:
			:$${\rm \sigma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$}}

	{{Beispiel}}
			[[Datei:P_ID839__LZI_T_1_2_S5_neu.png\|right\|frame\|Zur Berechnung der Sprungantwort bei rechteckförmiger Impulsantwort\|class=fit]]
			{{GraueBox\|TEXT=
			$\text{Beispiel 4:}$
	Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt für eine rechteckförmige Impulsantwort $h(\tau)$, wobei die Abszisse in $\tau$ umbenannt wurde. Blau eingezeichnet ist die Sprungfunktion $\gamma(\tau)$.		Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt für eine rechteckförmige Impulsantwort $h(\tau)$, wobei die Abszisse in $\tau$ umbenannt wurde. Blau eingezeichnet ist die Sprungfunktion $\gamma(\tau)$.
			*Durch Spiegelung und Verschiebung erhält man die violett gestrichelt eingezeichnete Funktion $\gamma(t - \tau)$.
	~~[[Datei:P_ID839__LZI_T_1_2_S5_neu.png\|frame\|Zur Berechnung der Sprungantwort bei rechteckförmiger Impulsantwort\|class=fit]]~~		*Die rot hinterlegte Fläche gibt somit die Sprungantwort $\sigma(\tau)$ zum Zeitpunkt $\tau = t$ an.}}

	Durch Spiegelung und Verschiebung erhält man die violett gestrichelt eingezeichnete Funktion $\gamma(t – \tau)$. Die rot hinterlegte Fläche gibt somit die Sprungantwort $\sigma(\tau)$ zum Zeitpunkt $\tau = t$ an.
	~~{{end~~}}

← Nächstältere Version		Version vom 15. Februar 2018, 18:16 Uhr
Zeile 150:		Zeile 150:
	[[Aufgaben:1.3 Gemessene Sprungantwort\|Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort]]		[[Aufgaben:1.3 Gemessene Sprungantwort\|Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort]]

	[[Aufgaben:1.3Z ~~Exponentiell abfallendes h(t)~~\|Aufgabe 1.3Z: Exponentiell ~~abfallendes ''h''(''t'')~~]]		[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort\|Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort]]

	[[Aufgaben:1.4 Zum Tiefpass 2. Ordnung\|Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung]]		[[Aufgaben:1.4 Zum Tiefpass 2. Ordnung\|Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung]]

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2018, 12:24 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	Hierzu ist Folgendes anzumerken:		Hierzu ist Folgendes anzumerken:
	*Der Frequenzgang $H(f)$ und die Impulsantwort $h(t)$ sind äquivalente Beschreibungsgrößen, die genau die gleichen Informationen über das LZI–System beinhalten.		*Der Frequenzgang $H(f)$ und die Impulsantwort $h(t)$ sind äquivalente Beschreibungsgrößen, die genau die gleichen Informationen über das LZI–System beinhalten.
	*Verwendet man das diracförmige Eingangssignal $x(t) = δ(t)$, so ist $X(f) = 1$ zu setzen und es gilt $Y(f) = H(f)$ bzw. $y(t) = h(t)$. Die Bezeichnung &bdquo;Impulsantwort” spiegelt diese Aussage wieder: $h(t)$ ist die Antwort des Systems auf einen (Dirac-) Impuls am Eingang.		*Verwendet man das diracförmige Eingangssignal $x(t) = δ(t)$, so ist $X(f) = 1$ zu setzen und es gilt $Y(f) = H(f)$ bzw. $y(t) = h(t)$.
			*Die Bezeichnung &bdquo;Impulsantwort” spiegelt diese Aussage wieder:   $h(t)$ ist die Antwort des Systems auf einen (Dirac-)Impuls am Eingang.
	*Die obige Definition lässt erkennen, dass jede Impulsantwort die Einheit $\text{Hz = 1/s}$ besitzen muss.		*Die obige Definition lässt erkennen, dass jede Impulsantwort die Einheit $\text{Hz = 1/s}$ besitzen muss.

Zeile 36:		Zeile 37:
	==Einige Gesetze der Fouriertransformation==		==Einige Gesetze der Fouriertransformation==
	<br>		<br>
	Die [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] wurden bereits im Buch &bdquo;Signaldarstellung” ausführlich dargelegt. Hier folgt nun eine kurze Zusammenfassung, wobei $H(f)$ den Frequenzgang eines LZI–Systems beschreibt und dessen Fourierrücktransformierte $h(t)$ die Impulsantwort ist. Diese Gesetzmäßigkeiten werden in den [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Aufgaben_zum_Kapitel\|Aufgaben]] zu diesem Kapitel &bdquo;Systemtheoretische Grundlagen” häufiger angewendet. Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].		Die [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] wurden bereits im Buch &bdquo;Signaldarstellung” ausführlich dargelegt.

			Hier folgt nun eine kurze Zusammenfassung, wobei $H(f)$ den Frequenzgang eines LZI–Systems beschreibt und dessen Fourierrücktransformierte $h(t)$ die Impulsantwort ist. Diese Gesetzmäßigkeiten werden in den [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Aufgaben_zum_Kapitel\|Aufgaben]] zu diesem Kapitel &bdquo;Systemtheoretische Grundlagen” häufiger angewendet.

			Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].

	Bei allen folgenden Gleichungen wird das Kurzsymbol der Fouriertransformation benutzt. Der ausgefüllte Kreis kennzeichnet stets den Spektralbereich und der weiße Kreis den Zeitbereich.		Bei allen folgenden Gleichungen wird das Kurzsymbol der Fouriertransformation benutzt. Der ausgefüllte Kreis kennzeichnet stets den Spektralbereich und der weiße Kreis den Zeitbereich.
Zeile 42:		Zeile 47:
	:$$k \cdot H(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,k \cdot h(t).$$		:$$k \cdot H(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,k \cdot h(t).$$
	:Bei $k \lt 1$ spricht man von einer Dämpfung, während $k \gt 1$ für eine Verstärkung steht.		:Bei $k \lt 1$ spricht man von einer Dämpfung, während $k \gt 1$ für eine Verstärkung steht.

	*'''Ähnlichkeitssatz''':		*'''Ähnlichkeitssatz''':
	:$$H({f}/{k})\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\|k\| \cdot h(k\cdot t).$$		:$$H({f}/{k})\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\|k\| \cdot h(k\cdot t).$$
	:Dies besagt: Eine Stauchung ($k < 1$) des Frequenzgangs führt zu einer breiteren und niedrigeren Impulsantwort.		:Dies besagt:   Eine Stauchung $(k < 1)$ des Frequenzgangs führt zu einer breiteren und niedrigeren Impulsantwort.
	:Durch Streckung ($k > 1$) von $H(f)$ wird $h(t)$ schmaler und höher.		:Durch Streckung $(k > 1)$ von $H(f)$ wird $h(t)$ schmaler und höher.

	*'''Verschiebungssatz''' im Frequenz- und Zeitbereich:		*'''Verschiebungssatz''' im Frequenz- und Zeitbereich:
	:$$H(f - f_0) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t )\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}2\pi f_0 t},\hspace{0.9cm}		:$$H(f - f_0) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t )\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}2\pi f_0 t},\hspace{0.9cm}
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	:Eine Verschiebung um $t_0$ (Laufzeit) führt also im Frequenzbereich zu der Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion.		:Eine Verschiebung um $t_0$ (Laufzeit) führt also im Frequenzbereich zu der Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion.
	:Der Amplitudengang $\|H(f)\|$ wird dadurch nicht verändert.		:Der Amplitudengang $\|H(f)\|$ wird dadurch nicht verändert.

	*'''Differentiationssatz''' im Frequenz- und Zeitbereich:		*'''Differentiationssatz''' im Frequenz- und Zeitbereich:
	:$$\frac{1}{{{\rm j}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}H( f )}}{{{\rm d}f}} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,- t \cdot h( t ),\hspace{0.9cm}		:$$\frac{1}{{{\rm j}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}H( f )}}{{{\rm d}f}} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,- t \cdot h( t ),\hspace{0.9cm}
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	Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme. Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel &bdquo;Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme” [[Lineare_zeitinvariante_Systeme\|dieses Buches]] ausgeführt wird.		*Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme.
			*Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel &bdquo;Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme” [[Lineare_zeitinvariante_Systeme\|dieses Buches]] ausgeführt wird.


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	In diesem ersten und dem folgenden zweiten Hauptkapitel betrachten wir dagegen vorwiegend akausale Systeme, da deren mathematische Beschreibung anschaulicher ist. So ist der Frequenzgang $H_{\rm A}(f)$ reell, während für $H_{\rm B}(f)$ der zusätzliche Term ${\rm e}^{–{\rm j2π}f\hspace{0.05cm}T}$ zu berücksichtigen ist. }}		In diesem ersten und dem folgenden zweiten Hauptkapitel betrachten wir dagegen vorwiegend akausale Systeme, da deren mathematische Beschreibung anschaulicher ist.
			*So ist der Frequenzgang $H_{\rm A}(f)$ reell,
			*während für $H_{\rm B}(f)$ der zusätzliche Term ${\rm e}^{–{\rm j2π}f\hspace{0.05cm}T}$ zu berücksichtigen ist. }}


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	Durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]] des Produktes kommt man zum gesuchten Signal $y(t)$:		Durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]] des Produktes kommt man zum gesuchten Signal $y(t)$:
	:$${\rm 1.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm} :}\hspace{0.5cm} X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, x( t )\hspace{2.~~05cm~~}{\rm Eingangsspektrum},$$		:$${\rm 1.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm} :}\hspace{0.5cm} X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, x( t )\hspace{1.55cm}{\rm Eingangsspektrum},$$
	:$${\rm 2.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm}Y(f)= X(f) \cdot H(f) \hspace{1.~~32cm~~}{\rm Ausgangsspektrum},$$		:$${\rm 2.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm}Y(f)= X(f) \cdot H(f) \hspace{0.82cm}{\rm Ausgangsspektrum},$$
	:$${\rm 3.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm} y(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, Y(f )\hspace{2.~~05cm~~}{\rm Ausgangssignal}.$$		:$${\rm 3.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm} y(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, Y(f )\hspace{1.55cm}{\rm Ausgangssignal}.$$

	Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der Berechnung im Zeitbereich, indem man zunächst aus dem Frequenzgang $H(f)$ mittels Fourierrücktransformation die Impulsantwort $h(t)$ berechnet und anschließend die Faltungsoperation anwendet:		Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der Berechnung im Zeitbereich, indem man zunächst aus dem Frequenzgang $H(f)$ mittels Fourierrücktransformation die Impulsantwort $h(t)$ berechnet und anschließend die Faltungsoperation anwendet:
	:$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$		:$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
	Die Ergebnisse sind bei beiden Vorgehensweisen identisch. Zweckmäßigerweise sollte man dasjenige Verfahren auswählen, das mit weniger Rechenaufwand zum Ziel führt.		Die Ergebnisse sind bei beiden Vorgehensweisen identisch. Zweckmäßigerweise sollte man dasjenige Verfahren auswählen, das mit weniger Rechenaufwand zum Ziel führt.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$		$\text{Beispiel 3:}$
	Am Eingang eines Spalt–Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort der Breite $T$ (siehe [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort\|Beispiel 1]]) liegt ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $2T$ an.		Am Eingang eines Spalt–Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort der Breite $T$ (siehe [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort\|$\text{Beispiel 1}$]]) liegt ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $2T$ an.
	[[Datei:P_ID812__LZI_T_1_2_S4b_neu.png\|center\|frame\|Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da x(t) und h(t) rechteckförmig sind\|class=fit]]		[[Datei:P_ID812__LZI_T_1_2_S4b_neu.png\|center\|frame\|Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da $x(t)$ und $h(t)$ rechteckförmig sind\|class=fit]]

	In diesem Fall ist die direkte Berechnung im Zeitbereich günstiger: Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke $x(t)$ und $h(t)$ führt zum trapezförmigen Ausgangsimpuls $y(t)$:		In diesem Fall ist die direkte Berechnung im Zeitbereich günstiger:   Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke $x(t)$ und $h(t)$ führt zum trapezförmigen Ausgangsimpuls $y(t)$:
	*Man erkennt die Tiefpasseigenschaft des Filters an der endlichen Flankensteilheit von $y(t)$.		*Man erkennt die Tiefpasseigenschaft des Filters an der endlichen Flankensteilheit von $y(t)$.
	*Die Impulshöhe $3\text{ V}$ bleibt in diesem Beispiel erhalten, weil $H(f = 0) = 1/T · T = 1$ ist. }}		*Die Impulshöhe $3\text{ V}$ bleibt in diesem Beispiel erhalten, weil $H(f = 0) = 1/T · T = 1$ ist. }}
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	[[Datei:P_ID839__LZI_T_1_2_S5_neu.png\|right\|frame\|~~Zur~~ Berechnung der Sprungantwort bei rechteckförmiger Impulsantwort\|class=fit]]		[[Datei:P_ID839__LZI_T_1_2_S5_neu.png\|right\|frame\|Berechnung der Sprungantwort bei rechteckförmiger Impulsantwort\|class=fit]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt für eine rechteckförmige Impulsantwort $h(\tau)$~~, wobei~~ die Abszisse in $\tau$ umbenannt ~~wurde~~. Blau eingezeichnet ist die Sprungfunktion $\gamma(\tau)$.		Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt für eine rechteckförmige Impulsantwort $h(\tau)$; die Abszisse wurde in $\tau$ umbenannt. Blau eingezeichnet ist die Sprungfunktion $\gamma(\tau)$.
	*Durch Spiegelung und Verschiebung erhält man die violett gestrichelt eingezeichnete Funktion $\gamma(t - \tau)$.		*Durch Spiegelung und Verschiebung erhält man die violett gestrichelt eingezeichnete Funktion $\gamma(t - \tau)$.
	*Die rot hinterlegte Fläche gibt somit die Sprungantwort $\sigma(\tau)$ zum Zeitpunkt $\tau = t$ an.}}		*Die rot hinterlegte Fläche gibt somit die Sprungantwort $\sigma(\tau)$ zum Zeitpunkt $\tau = t$ an.}}