Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich - Versionsgeschichte

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−	''Anmerkung:''   Das &bdquo;System&~~bdquo~~; kann im Allgemeinen von beliebiger Art sein und ist nicht allein auf die Nachrichtentechnik beschränkt.  Vielmehr wird auch in anderen Wissenschaftsgebieten wie zum Beispiel den Naturwissenschaften, der Volks- und Betriebswirtschaft, der Soziologie und der Politologie versucht, Kausalzusammenhänge zwischen verschiedenen Größen durch das Ursachen–Wirkungs–Prinzip zu erfassen und zu beschreiben.	+	''Anmerkung:''   Das &bdquo;System” kann im Allgemeinen von beliebiger Art sein und ist nicht allein auf die Nachrichtentechnik beschränkt.  Vielmehr wird auch in anderen Wissenschaftsgebieten wie zum Beispiel den Naturwissenschaften, der Volks- und Betriebswirtschaft, der Soziologie und der Politologie versucht, Kausalzusammenhänge zwischen verschiedenen Größen durch das Ursachen–Wirkungs–Prinzip zu erfassen und zu beschreiben.

	Die für diese phänomenologischen Systemtheorien angewandten Methoden unterscheiden sich aber deutlich von der Vorgehensweise in der Nachrichtentechnik, die in diesem ersten Hauptkapitel des vorliegenden Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” dargelegt wird.		Die für diese phänomenologischen Systemtheorien angewandten Methoden unterscheiden sich aber deutlich von der Vorgehensweise in der Nachrichtentechnik, die in diesem ersten Hauptkapitel des vorliegenden Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” dargelegt wird.

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 *Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch eine Reihe anderer Definitionen gibt.
-*Diese finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
+*Diese finden Sie zu Beginn des Kapitels&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
 ==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==
 <br>
-Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs&nbsp; $H(f)$&nbsp; eignet sich jedes beliebige Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Spektrum&nbsp; $X(f)$, solange&nbsp; $X(f)$&nbsp; keine Nullstelle (im interessierenden Bereich)  aufweist. Durch Messung des Ausgangsspektrums&nbsp; $Y(f)$&nbsp; lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:
+Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs&nbsp; $H(f)$&nbsp; eignet sich jedes beliebige Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Spektrum&nbsp; $X(f)$, solange&nbsp; $X(f)$&nbsp; keine Nullstelle&nbsp; $($im interessierenden Bereich$)$&nbsp;  aufweist.&nbsp; Durch Messung des Ausgangsspektrums&nbsp; $Y(f)$&nbsp; lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:
 :$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$
 Insbesondere sind  folgende Eingangssignale geeignet:
 *'''Diracimpuls''' &nbsp; $x(t) = K · δ(t)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  Spektrum $X(f) = K$:
-:Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; und es gilt&nbsp; $H(f) = 1/K · Y(f)$. Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche&nbsp; $K$, so muss&nbsp; $H(f)$&nbsp; mit Hilfe einer&nbsp; ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.
+:Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; und es gilt&nbsp; $H(f) = 1/K · Y(f)$.&nbsp; <br>Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche&nbsp; $K$, so muss&nbsp; $H(f)$&nbsp; mit Hilfe einer&nbsp; ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.
 *'''Diracpuls''' &nbsp;–&nbsp;  die unendliche Summe gleichgewichteter Diracimpulse im zeitlichen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$:
-:Dieser führt gemäß dem Kapitel&nbsp;  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp;  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand&nbsp; $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$. Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von&nbsp; $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand&nbsp; $f_{\rm A}$.
+:Dieser führt gemäß dem Kapitel&nbsp;  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp;  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand&nbsp; $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$.&nbsp; Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von&nbsp; $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A}$.
 *'''Harmonische Schwingung''' &nbsp; $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t - φ_x)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  diracförmiges Spektrum bei&nbsp; $\pm f_0$:
 :Das Ausgangssignal&nbsp; $y(t) = A_y · \cos(2πf_0t - φ_y)$&nbsp; ist eine Schwingung mit gleicher Frequenz&nbsp; $f_0$.  Der Frequenzgang lautet für&nbsp; $f_0 \gt 0$:

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 *Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch eine Reihe anderer Definitionen gibt.
-*Diese finden Sie auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen|Allgemeine Bemerkungen]]&nbsp; im Kapitel &bdquo;Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen&rdquo; .
+*Diese finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
 ==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==

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 ==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==
 <br>
-Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs $H(f)$ eignet sich jedes beliebige Eingangssignal $x(t)$ mit Spektrum $X(f)$, solange $X(f)$ keine Nullstellen aufweist. Durch Messung des Ausgangsspektrums $Y(f)$ lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:
+Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs&nbsp; $H(f)$&nbsp; eignet sich jedes beliebige Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Spektrum&nbsp; $X(f)$, solange&nbsp; $X(f)$&nbsp; keine Nullstelle (im interessierenden Bereich)  aufweist. Durch Messung des Ausgangsspektrums&nbsp; $Y(f)$&nbsp; lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:
 :$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$
-Insbesondere sind  folgende Eingangssignale besonders geeignet:
+Insbesondere sind  folgende Eingangssignale geeignet:
 *'''Diracimpuls''' &nbsp; $x(t) = K · δ(t)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  Spektrum $X(f) = K$:
-:Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum $Y(f)$ und es gilt $H(f) = 1/K · Y(f)$. Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche $K$, so muss $H(f)$ mit Hilfe einer ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.
+:Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; und es gilt&nbsp; $H(f) = 1/K · Y(f)$. Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche&nbsp; $K$, so muss&nbsp; $H(f)$&nbsp; mit Hilfe einer&nbsp; ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.
-*'''Diracpuls''' &nbsp;–&nbsp;  die unendliche Summe gleichgewichteter Diracimpulse im zeitlichen Abstand $T_{\rm A}$:
+*'''Diracpuls''' &nbsp;–&nbsp;  die unendliche Summe gleichgewichteter Diracimpulse im zeitlichen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$:
-:Dieser führt gemäß dem Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$. Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A}$.
+:Dieser führt gemäß dem Kapitel&nbsp;  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]&nbsp;  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand&nbsp; $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$. Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von&nbsp; $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand&nbsp; $f_{\rm A}$.
-*'''Harmonische Schwingung''' &nbsp; $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t - φ_x)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  diracförmiges Spektrum bei $\pm f_0$:
+*'''Harmonische Schwingung''' &nbsp; $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t - φ_x)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  diracförmiges Spektrum bei&nbsp; $\pm f_0$:
-:Das Ausgangssignal $y(t) = A_y · \cos(2πf_0t - φ_y)$ ist eine Schwingung mit gleicher Frequenz $f_0$.  Der Frequenzgang lautet für $f_0 \gt 0$:
+:Das Ausgangssignal&nbsp; $y(t) = A_y · \cos(2πf_0t - φ_y)$&nbsp; ist eine Schwingung mit gleicher Frequenz&nbsp; $f_0$.  Der Frequenzgang lautet für&nbsp; $f_0 \gt 0$:
 :$$H(f_0) = \frac{Y(f_0)}{X(f_0)} = \frac{A_y}{A_x}\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (\varphi_x - \varphi_y)}.$$
-:Zur Ermittlung des gesamten Frequenzgangs $H(f)$ sind (unendlich) viele Messungen mit verschiedenen Frequenzen $f_0$ erforderlich.
+:Zur Ermittlung des gesamten Frequenzgangs&nbsp; $H(f)$&nbsp; sind (unendlich) viele Messungen mit verschiedenen Frequenzen&nbsp; $f_0$&nbsp; erforderlich.

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 ==Tiefpass, Hochpass, Bandpass und Bandsperre==
 <br>
-Nach dem Amplitudengang $|H(f)|$ unterscheidet man zwischen
+Nach dem Amplitudengang&nbsp; $|H(f)|$&nbsp; unterscheidet man zwischen
 *'''Tiefpass''': &nbsp;Signalanteile werden mit zunehmender Frequenz in der Tendenz stärker gedämpft.
-*'''Hochpass''': &nbsp;Hier werden hochfrequente Signalanteile weniger gedämpft als niederfrequente. Ein Gleichsignal (also ein Signalanteil mit der Frequenz $f = 0$) kann über einen Hochpass nicht übertragen werden.
+*'''Hochpass''': &nbsp;Hier werden hochfrequente Signalanteile weniger gedämpft als niederfrequente. Ein Gleichsignal&nbsp; $($also ein Signalanteil mit der Frequenz&nbsp; $f = 0)$&nbsp; kann über einen Hochpass nicht übertragen werden.
-*'''Bandpass''': &nbsp;Es gibt eine bevorzugte Frequenz, die man als Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ bezeichnet. Je weiter die Frequenz eines Signalanteils von $f_{\rm M}$ entfernt ist, um so stärker wird dieser gedämpft.
+*'''Bandpass''': &nbsp;Es gibt eine bevorzugte Frequenz, die man als Mittenfrequenz&nbsp; $f_{\rm M}$&nbsp; bezeichnet. Je weiter die Frequenz eines Signalanteils von&nbsp; $f_{\rm M}$&nbsp; entfernt ist, um so stärker wird dieser gedämpft.
-*'''Bandsperre''': &nbsp;Dies ist das Gegenstück zum Bandpass und es gilt $|H(f_{\rm M})| ≈ 0$. Sehr niederfrequente und sehr hochfrequente Signalanteile werden dagegen gut durchgelassen.
+*'''Bandsperre''': &nbsp;Dies ist das Gegenstück zum Bandpass und es gilt&nbsp; $|H(f_{\rm M})| ≈ 0$. Sehr niederfrequente und sehr hochfrequente Signalanteile werden dagegen gut durchgelassen.
 [[Datei:P_ID780__LZI_T_1_1_S6_neu.png|right|frame|Tiefpass und Hochpass (links) sowie Bandpass (rechts)|class=fit]]
-<br><br>Die Grafik zeigt die Amplitudengänge der Filtertypen &bdquo;Tiefpass&rdquo; (TP) und &bdquo;Hochpass&rdquo; (HP) (links) sowie &bdquo;Bandpass&rdquo; (BP) (rechts).
 *Ebenfalls eingezeichnet sind die Grenzfrequenzen $f_{\rm G}$ (bei Tiefpass und Hochpass) bzw. $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ (beim Bandpass).
 *Diese bezeichnen hier 3dB–Grenzfrequenzen, zum Beispiel gemäß der folgenden Definition.
 <br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die '''3dB–Grenzfrequenz''' eines Tiefpasses gibt diejenige Frequenz $f_{\rm G}$ an, für die gilt:
+Die&nbsp; '''3dB–Grenzfrequenz'''&nbsp; eines Tiefpasses gibt diejenige Frequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; an, für die gilt:
 :$$\vert H(f = f_{\rm G})\vert = {1}/{\sqrt{2} } \cdot \vert H(f = 0)\vert \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} \vert H(f = f_{\rm G})\vert^2 = {1}/{2} \cdot  \vert H(f = 0)  \vert^2.$$}}
-Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch andere Definitionen gibt. Diese finden Sie auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen|Allgemeine Bemerkungen]]
+*Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch eine Reihe anderer Definitionen gibt.
-im Kapitel &bdquo;Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen&rdquo; .
+*Diese finden Sie auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen|Allgemeine Bemerkungen]]&nbsp; im Kapitel &bdquo;Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen&rdquo; .
 ==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==

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 [[Aufgaben:1.2_Koaxialkabel|Aufgabe 1.2: Koaxialkabel]]
-[[Aufgaben:1.2Z_Messung von H(f)|Aufgabe 1.2Z: Messung der Übertragungsfunktion]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.2Z:_Messung_der_Übertragungsfunktion|Aufgabe 1.2Z: Messung der Übertragungsfunktion]]
 {{Display}}

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 ==Eigenschaften des Frequenzgangs==
 Der Frequenzgang $H(f)$ ist eine zentrale Größe bei der Beschreibung nachrichtentechnischer Systeme. Nachfolgend werden einige Eigenschaften dieser wichtigen Systemgröße aufgezählt:
-*Der Frequenzgang beschreibt allein das System. Er ist zum Beispiel aus den linearen Bauelementen eines ''elektrischen Netzwerks'' berechenbar. Bei anderem Eingangssignal $x(t)$ und dementsprechend anderem Ausgangssignal $y(t)$  ergibt sich der genau gleiche Frequenzgang $H(f)$.
+*Der Frequenzgang beschreibt allein das LZI&ndash;System. Er ist zum Beispiel aus den linearen Bauelementen eines ''elektrischen Netzwerks'' berechenbar. Bei anderem Eingangssignal $x(t)$ und dementsprechend anderem Ausgangssignal $y(t)$  ergibt sich der genau gleiche Frequenzgang $H(f)$.
-*$H(f)$ kann auch eine ''Einheit'' besitzen. Betrachtet man zum Beispiel bei einem Zweipol den Spannungsverlauf $u(t)$ als Ursache und den Strom $i(t)$ als Wirkung, so hat der Frequenzgang $H(f)$ = $I(f)/U(f)$ die Einheit A/V. $I(f)$ und $U(f)$ sind die Fouriertransformierten von $i(t)$ bzw. $u(t)$.
+*$H(f)$ kann  eine ''Einheit'' besitzen. Betrachtet man zum Beispiel bei einem Zweipol den Spannungsverlauf $u(t)$ als Ursache und den Strom $i(t)$ als Wirkung, so hat der Frequenzgang $H(f)$ = $I(f)/U(f)$ die Einheit $\rm A/V$. $I(f)$ und $U(f)$ sind die Fouriertransformierten von $i(t)$ bzw. $u(t)$.
 *Im Folgenden betrachten wir ausschließlich ''Vierpole''. Zudem setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit meist voraus, dass $x(t)$ und $y(t)$ jeweils Spannungen seien. In diesem Fall ist $H(f)$ stets dimensionslos.
-*Da die Spektren $X(f)$ und $Y(f)$ im Allgemeinen komplex sind, ist auch der Frequenzgang $H(f)$ eine komplexe Funktion. Man bezeichnet den Betrag $\\ |H(f)|$ als ''Amplitudengang''. Dieser wird auch oft in logarithmierter Form dargestellt und als ''Dämpfungsverlauf'' bezeichnet:
+*Da die Spektren $X(f)$ und $Y(f)$ im Allgemeinen komplex sind, ist auch der Frequenzgang $H(f)$ eine komplexe Funktion. Man bezeichnet den Betrag $|H(f)|$ als ''Amplitudengang''. Dieser wird auch oft in logarithmierter Form dargestellt und als ''Dämpfungsverlauf'' bezeichnet:
 :$$a(f) = - \ln |H(f)| = - 20 \cdot \lg |H(f)|.$$
-:Je nachdem, ob die erste Form mit dem natürlichen oder die zweite mit dekadischem Logarithmus verwendet wird, ist die Pseudoeinheit &bdquo;Neper&rdquo; (Np) bzw. &bdquo;Dezibel&rdquo; (dB) hinzuzufügen.
+*Je nachdem, ob die erste Form mit dem natürlichen oder die zweite mit dekadischem Logarithmus verwendet wird, ist die Pseudoeinheit &bdquo;Neper&rdquo; (Np) bzw. &bdquo;Dezibel&rdquo; (dB) hinzuzufügen.
 *Der Phasengang ist aus $H(f)$ in folgender Weise berechenbar:
 :$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in\hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$
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 *'''Bandsperre''': &nbsp;Dies ist das Gegenstück zum Bandpass und es gilt $|H(f_{\rm M})| ≈ 0$. Sehr niederfrequente und sehr hochfrequente Signalanteile werden dagegen gut durchgelassen.
-[[Datei:P_ID780__LZI_T_1_1_S6_neu.png|center|frame|Tiefpass, Hochpass (links) und Bandpass (rechts)|class=fit]]
+[[Datei:P_ID780__LZI_T_1_1_S6_neu.png|right|frame|Tiefpass und Hochpass (links) sowie Bandpass (rechts)|class=fit]]
+<br><br>Die Grafik zeigt die Amplitudengänge der Filtertypen &bdquo;Tiefpass&rdquo; (TP) und &bdquo;Hochpass&rdquo; (HP) (links) sowie &bdquo;Bandpass&rdquo; (BP) (rechts).
-Die Grafik zeigt die Amplitudengänge der Filtertypen TP und HP (links) sowie BP (rechts). Ebenfalls eingezeichnet sind die Grenzfrequenzen $f_{\rm G}$ (bei Tiefpass und Hochpass) bzw. $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ (beim Bandpass). Diese bezeichnen hier 3dB–Grenzfrequenzen, zum Beispiel gemäß folgender Definition:
+*Ebenfalls eingezeichnet sind die Grenzfrequenzen $f_{\rm G}$ (bei Tiefpass und Hochpass) bzw. $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ (beim Bandpass).
-{{Definition}}
+*Diese bezeichnen hier 3dB–Grenzfrequenzen, zum Beispiel gemäß der folgenden Definition.
 Die '''3dB–Grenzfrequenz''' eines Tiefpasses gibt diejenige Frequenz $f_{\rm G}$ an, für die gilt:
-$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} |H(f = f_{\rm G})|^2 = {1}/{2} \cdot|H(f = 0)|^2.$$
+:$$\vert H(f = f_{\rm G})\vert = {1}/{\sqrt{2} } \cdot \vert H(f = 0)\vert \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} \vert H(f = f_{\rm G})\vert^2 = {1}/{2} \cdot  \vert H(f = 0)  \vert^2.$$}}
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 im Kapitel &bdquo;Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen&rdquo; .
-==Testsignale zur Messung von <i>H(f)</i>==
+==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==
 Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs $H(f)$ eignet sich jedes beliebige Eingangssignal $x(t)$ mit Spektrum $X(f)$, solange $X(f)$ keine Nullstellen aufweist. Durch Messung des Ausgangsspektrums $Y(f)$ lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:
-$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$
+:$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$
 Insbesondere sind  folgende Eingangssignale besonders geeignet:
-*'''Diracimpuls''' &nbsp; $x(t) = K · δ(t)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  Spektrum $X(f) = K$:
+*'''Diracimpuls''' $x(t) = K · δ(t)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  Spektrum $X(f) = K$:
 :Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum $Y(f)$ und es gilt $H(f) = 1/K · Y(f)$. Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche $K$, so muss $H(f)$ mit Hilfe einer ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.
 *'''Diracpuls''' – die unendliche Summe gleichgewichteter Diracimpulse im zeitlichen Abstand $T_{\rm A}$:
-:Dieser führt gemäß Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$. Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A}$.
+:Dieser führt gemäß dem Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$. Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A}$.
-*'''Harmonische Schwingung''' &nbsp; $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t – φ_x)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  diracförmiges Spektrum bei $\pm f_0$:
+*'''Harmonische Schwingung''' $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t – φ_x)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  diracförmiges Spektrum bei $\pm f_0$:
 :Das Ausgangssignal $y(t) = A_y · \cos(2πf_0t – φ_y)$ ist eine Schwingung mit gleicher Frequenz $f_0$.  Der Frequenzgang lautet für $f_0 \gt 0$:
-:$$H(f_0) = \frac{Y(f_0)}{X(f_0)} = \frac{A_y}{A_x}\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (\varphi_x - \varphi_y)}.$$ Um den frequenzkontinuierlichen Frequenzgang $H(f)$ zu ermitteln, sind allerdings  (unendlich) viele Messungen mit unterschiedlichen Frequenzen $f_0$ erforderlich.
+:$$H(f_0) = \frac{Y(f_0)}{X(f_0)} = \frac{A_y}{A_x}\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (\varphi_x - \varphi_y)}.$$
 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen| Aufgabe 1.1: &nbsp; Einfache Filterfunktionen]]
+[[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen| Aufgabe 1.1: Einfache Filterfunktionen]]
-[[Aufgaben:1.2_Koaxialkabel|Aufgabe 1.2: &nbsp; Koaxialkabel]]
+[[Aufgaben:1.1Z_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung]]
-[[Aufgaben:1.2Z_Messung von H(f)|Zusatzaufgabe 1.2Z: &nbsp;  Messung der Übertragungsfunktion]]
+[[Aufgaben:1.2_Koaxialkabel|Aufgabe 1.2: Koaxialkabel]]
 {{Display}}