Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Frequency_Domain]]

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	des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
	*dem Lehrsoftwarepaket  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und		*dem Lehrsoftwarepaket  [/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und
	*dieser  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 6: Seite 99-118.		*dieser  [/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 6: Seite 99-118.

Guenter am 27. Mai 2021 um 12:24 Uhr

2021-05-27T12:24:59Z

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	''Anmerkung:''   Das &bdquo;System&~~bdquo~~; kann im Allgemeinen von beliebiger Art sein und ist nicht allein auf die Nachrichtentechnik beschränkt.  Vielmehr wird auch in anderen Wissenschaftsgebieten wie zum Beispiel den Naturwissenschaften, der Volks- und Betriebswirtschaft, der Soziologie und der Politologie versucht, Kausalzusammenhänge zwischen verschiedenen Größen durch das Ursachen–Wirkungs–Prinzip zu erfassen und zu beschreiben.		''Anmerkung:''   Das &bdquo;System” kann im Allgemeinen von beliebiger Art sein und ist nicht allein auf die Nachrichtentechnik beschränkt.  Vielmehr wird auch in anderen Wissenschaftsgebieten wie zum Beispiel den Naturwissenschaften, der Volks- und Betriebswirtschaft, der Soziologie und der Politologie versucht, Kausalzusammenhänge zwischen verschiedenen Größen durch das Ursachen–Wirkungs–Prinzip zu erfassen und zu beschreiben.

	Die für diese phänomenologischen Systemtheorien angewandten Methoden unterscheiden sich aber deutlich von der Vorgehensweise in der Nachrichtentechnik, die in diesem ersten Hauptkapitel des vorliegenden Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” dargelegt wird.		Die für diese phänomenologischen Systemtheorien angewandten Methoden unterscheiden sich aber deutlich von der Vorgehensweise in der Nachrichtentechnik, die in diesem ersten Hauptkapitel des vorliegenden Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” dargelegt wird.

Guenter am 25. Mai 2021 um 13:23 Uhr

2021-05-25T13:23:22Z

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	*Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch eine Reihe anderer Definitionen gibt.		*Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch eine Reihe anderer Definitionen gibt.
	*Diese finden Sie ~~im Kapitel~~  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen\|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].		*Diese finden Sie zu Beginn des Kapitels  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen\|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].

	==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==		==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==
	<br>		<br>
	Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs  $H(f)$  eignet sich jedes beliebige Eingangssignal  $x(t)$  mit Spektrum  $X(f)$, solange  $X(f)$  keine Nullstelle (im interessierenden Bereich) aufweist. Durch Messung des Ausgangsspektrums  $Y(f)$  lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:		Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs  $H(f)$  eignet sich jedes beliebige Eingangssignal  $x(t)$  mit Spektrum  $X(f)$, solange  $X(f)$  keine Nullstelle  $($im interessierenden Bereich$)$  aufweist.  Durch Messung des Ausgangsspektrums  $Y(f)$  lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:
	:$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$		:$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$
	Insbesondere sind folgende Eingangssignale geeignet:		Insbesondere sind folgende Eingangssignale geeignet:
	*'''Diracimpuls'''   $x(t) = K · δ(t)$   ⇒   Spektrum $X(f) = K$:		*'''Diracimpuls'''   $x(t) = K · δ(t)$   ⇒   Spektrum $X(f) = K$:
	:Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum  $Y(f)$  und es gilt  $H(f) = 1/K · Y(f)$. Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche  $K$, so muss  $H(f)$  mit Hilfe einer  ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.		:Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum  $Y(f)$  und es gilt  $H(f) = 1/K · Y(f)$.  <br>Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche  $K$, so muss  $H(f)$  mit Hilfe einer  ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.
	*'''Diracpuls'''  –  die unendliche Summe gleichgewichteter Diracimpulse im zeitlichen Abstand  $T_{\rm A}$:		*'''Diracpuls'''  –  die unendliche Summe gleichgewichteter Diracimpulse im zeitlichen Abstand  $T_{\rm A}$:
	:Dieser führt gemäß dem Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]  im Buch &bdquo;Signaldarstellung” zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand  $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$. Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von  $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand~~ ~~ $f_{\rm A}$.		:Dieser führt gemäß dem Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]  im Buch &bdquo;Signaldarstellung” zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand  $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$.  Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von  $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A}$.
	*'''Harmonische Schwingung'''   $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t - φ_x)$   ⇒   diracförmiges Spektrum bei  $\pm f_0$:		*'''Harmonische Schwingung'''   $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t - φ_x)$   ⇒   diracförmiges Spektrum bei  $\pm f_0$:
	:Das Ausgangssignal  $y(t) = A_y · \cos(2πf_0t - φ_y)$  ist eine Schwingung mit gleicher Frequenz  $f_0$. Der Frequenzgang lautet für  $f_0 \gt 0$:		:Das Ausgangssignal  $y(t) = A_y · \cos(2πf_0t - φ_y)$  ist eine Schwingung mit gleicher Frequenz  $f_0$. Der Frequenzgang lautet für  $f_0 \gt 0$:

Guenter am 25. Mai 2021 um 13:16 Uhr

2021-05-25T13:16:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Mai 2021, 15:16 Uhr
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	*Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch eine Reihe anderer Definitionen gibt.		*Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch eine Reihe anderer Definitionen gibt.
	*Diese finden Sie ~~auf der Seite~~  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen\|~~Allgemeine Bemerkungen]]  im Kapitel &bdquo;~~Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen~~”~~ .		*Diese finden Sie im Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen\|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].

	==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==		==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==

Guenter am 25. Mai 2021 um 13:13 Uhr

2021-05-25T13:13:14Z

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Guenter am 17. Oktober 2019 um 14:08 Uhr

2019-10-17T14:08:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2019, 16:08 Uhr
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	==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==		==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==
	<br>		<br>
	Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs $H(f)$ eignet sich jedes beliebige Eingangssignal $x(t)$ mit Spektrum $X(f)$, solange $X(f)$ keine ~~Nullstellen~~ aufweist. Durch Messung des Ausgangsspektrums $Y(f)$ lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:		Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs  $H(f)$  eignet sich jedes beliebige Eingangssignal  $x(t)$  mit Spektrum  $X(f)$, solange  $X(f)$  keine Nullstelle (im interessierenden Bereich) aufweist. Durch Messung des Ausgangsspektrums  $Y(f)$  lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:
	:$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$		:$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$
	Insbesondere sind folgende Eingangssignale ~~besonders~~ geeignet:		Insbesondere sind folgende Eingangssignale geeignet:
	*'''Diracimpuls'''   $x(t) = K · δ(t)$   ⇒   Spektrum $X(f) = K$:		*'''Diracimpuls'''   $x(t) = K · δ(t)$   ⇒   Spektrum $X(f) = K$:
	:Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum $Y(f)$ und es gilt $H(f) = 1/K · Y(f)$. Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche $K$, so muss $H(f)$ mit Hilfe einer ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.		:Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum  $Y(f)$  und es gilt  $H(f) = 1/K · Y(f)$. Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche  $K$, so muss  $H(f)$  mit Hilfe einer  ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.
	*'''Diracpuls'''  –  die unendliche Summe gleichgewichteter Diracimpulse im zeitlichen Abstand $T_{\rm A}$:		*'''Diracpuls'''  –  die unendliche Summe gleichgewichteter Diracimpulse im zeitlichen Abstand  $T_{\rm A}$:
	:Dieser führt gemäß dem Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]] im Buch &bdquo;Signaldarstellung” zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$. Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A}$.		:Dieser führt gemäß dem Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]  im Buch &bdquo;Signaldarstellung” zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand  $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$. Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von  $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand  $f_{\rm A}$.
	*'''Harmonische Schwingung'''   $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t - φ_x)$   ⇒   diracförmiges Spektrum bei $\pm f_0$:		*'''Harmonische Schwingung'''   $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t - φ_x)$   ⇒   diracförmiges Spektrum bei  $\pm f_0$:
	:Das Ausgangssignal $y(t) = A_y · \cos(2πf_0t - φ_y)$ ist eine Schwingung mit gleicher Frequenz $f_0$. Der Frequenzgang lautet für $f_0 \gt 0$:		:Das Ausgangssignal  $y(t) = A_y · \cos(2πf_0t - φ_y)$  ist eine Schwingung mit gleicher Frequenz  $f_0$. Der Frequenzgang lautet für  $f_0 \gt 0$:
	:$$H(f_0) = \frac{Y(f_0)}{X(f_0)} = \frac{A_y}{A_x}\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (\varphi_x - \varphi_y)}.$$		:$$H(f_0) = \frac{Y(f_0)}{X(f_0)} = \frac{A_y}{A_x}\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (\varphi_x - \varphi_y)}.$$
	:Zur Ermittlung des gesamten Frequenzgangs $H(f)$ sind (unendlich) viele Messungen mit verschiedenen Frequenzen $f_0$ erforderlich.		:Zur Ermittlung des gesamten Frequenzgangs  $H(f)$  sind (unendlich) viele Messungen mit verschiedenen Frequenzen  $f_0$  erforderlich.

Guenter am 17. Oktober 2019 um 13:52 Uhr

2019-10-17T13:52:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2019, 15:52 Uhr
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	==Tiefpass, Hochpass, Bandpass und Bandsperre==		==Tiefpass, Hochpass, Bandpass und Bandsperre==
	<br>		<br>
	Nach dem Amplitudengang $\|H(f)\|$ unterscheidet man zwischen		Nach dem Amplitudengang  $\|H(f)\|$  unterscheidet man zwischen
	*'''Tiefpass''':  Signalanteile werden mit zunehmender Frequenz in der Tendenz stärker gedämpft.		*'''Tiefpass''':  Signalanteile werden mit zunehmender Frequenz in der Tendenz stärker gedämpft.
	*'''Hochpass''':  Hier werden hochfrequente Signalanteile weniger gedämpft als niederfrequente. Ein Gleichsignal (also ein Signalanteil mit der Frequenz $f = 0$) kann über einen Hochpass nicht übertragen werden.		*'''Hochpass''':  Hier werden hochfrequente Signalanteile weniger gedämpft als niederfrequente. Ein Gleichsignal  $($also ein Signalanteil mit der Frequenz  $f = 0)$  kann über einen Hochpass nicht übertragen werden.
	*'''Bandpass''':  Es gibt eine bevorzugte Frequenz, die man als Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ bezeichnet. Je weiter die Frequenz eines Signalanteils von $f_{\rm M}$ entfernt ist, um so stärker wird dieser gedämpft.		*'''Bandpass''':  Es gibt eine bevorzugte Frequenz, die man als Mittenfrequenz  $f_{\rm M}$  bezeichnet. Je weiter die Frequenz eines Signalanteils von  $f_{\rm M}$  entfernt ist, um so stärker wird dieser gedämpft.
	*'''Bandsperre''':  Dies ist das Gegenstück zum Bandpass und es gilt $\|H(f_{\rm M})\| ≈ 0$. Sehr niederfrequente und sehr hochfrequente Signalanteile werden dagegen gut durchgelassen.		*'''Bandsperre''':  Dies ist das Gegenstück zum Bandpass und es gilt  $\|H(f_{\rm M})\| ≈ 0$. Sehr niederfrequente und sehr hochfrequente Signalanteile werden dagegen gut durchgelassen.

	[[Datei:P_ID780__LZI_T_1_1_S6_neu.png\|right\|frame\|Tiefpass und Hochpass (links) sowie Bandpass (rechts)\|class=fit]]		[[Datei:P_ID780__LZI_T_1_1_S6_neu.png\|right\|frame\|Tiefpass und Hochpass (links) sowie Bandpass (rechts)\|class=fit]]
	~~<br><br>~~Die Grafik zeigt die Amplitudengänge der Filtertypen &bdquo;Tiefpass” (TP) und &bdquo;Hochpass” (HP) (links) sowie &bdquo;Bandpass” (BP) (rechts).
	*Ebenfalls eingezeichnet sind die Grenzfrequenzen $f_{\rm G}$ (bei Tiefpass und Hochpass) bzw. $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ (beim Bandpass).
			Die Grafik zeigt die Amplitudengänge der Filtertypen &bdquo;Tiefpass” ('''TP''') und &bdquo;Hochpass” ('''HP''') (links) sowie &bdquo;Bandpass” ('''BP''') (rechts).
			*Ebenfalls eingezeichnet sind die Grenzfrequenzen  $f_{\rm G}$  (bei Tiefpass und Hochpass) bzw.  $f_{\rm U}$  und  $f_{\rm O}$  (beim Bandpass).
	*Diese bezeichnen hier 3dB–Grenzfrequenzen, zum Beispiel gemäß der folgenden Definition.		*Diese bezeichnen hier 3dB–Grenzfrequenzen, zum Beispiel gemäß der folgenden Definition.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Die '''3dB–Grenzfrequenz''' eines Tiefpasses gibt diejenige Frequenz $f_{\rm G}$ an, für die gilt:		Die  '''3dB–Grenzfrequenz'''  eines Tiefpasses gibt diejenige Frequenz  $f_{\rm G}$  an, für die gilt:
	:$$\vert H(f = f_{\rm G})\vert = {1}/{\sqrt{2} } \cdot \vert H(f = 0)\vert \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} \vert H(f = f_{\rm G})\vert^2 = {1}/{2} \cdot \vert H(f = 0) \vert^2.$$}}		:$$\vert H(f = f_{\rm G})\vert = {1}/{\sqrt{2} } \cdot \vert H(f = 0)\vert \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} \vert H(f = f_{\rm G})\vert^2 = {1}/{2} \cdot \vert H(f = 0) \vert^2.$$}}


	Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch ~~andere~~ Definitionen gibt. Diese finden Sie auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen\|Allgemeine Bemerkungen]]		*Anzumerken ist, dass es für die Grenzfrequenz auch eine Reihe anderer Definitionen gibt.
	im Kapitel &bdquo;Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen” .		*Diese finden Sie auf der Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen\|Allgemeine Bemerkungen]]  im Kapitel &bdquo;Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen” .

	==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==		==Testsignale zur Messung des Frequenzgangs==

Guenter am 17. Oktober 2019 um 13:10 Uhr

2019-10-17T13:10:11Z

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Guenter am 23. Oktober 2018 um 08:54 Uhr

2018-10-23T08:54:02Z

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