Lineare zeitinvariante Systeme/Nichtlineare Verzerrungen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:27:54Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Linear_and_Time_Invariant_Systems/Nonlinear_Distortions]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	Das Ausgangssignal beinhaltet aufgrund der nichtlinearen Verzerrungen Oberwellen und es gilt allgemein:		Das Ausgangssignal beinhaltet aufgrund der nichtlinearen Verzerrungen Oberwellen und es gilt allgemein:
	$$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) +		$$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) +A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
	A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Mit diesen Amplitudenwerten  $A_i$  lautet die Gleichung für den  '''Klirrfaktor''':		Mit diesen Amplitudenwerten  $A_i$  lautet die Gleichung für den  '''Klirrfaktor''':
	:$$K = \frac {\sqrt{A_2^2+ A_3^2+ A_4^2+ \hspace{0.05cm}\text{...} } }{A_1} = \sqrt{K_2^2+		:$$K = \frac {\sqrt{A_2^2+ A_3^2+ A_4^2+ \hspace{0.05cm}\text{...} } }{A_1} = \sqrt{K_2^2+K_3^2+K_4^2+ \hspace{0.05cm}\text{...} }.$$
	K_3^2+K_4^2+ \hspace{0.05cm}\text{...} }.$$
	In der zweiten Gleichung bezeichnet		In der zweiten Gleichung bezeichnet
	*$K_2 = A_2/A_1$  den Klirrfaktor zweiter Ordnung,		*$K_2 = A_2/A_1$  den Klirrfaktor zweiter Ordnung,
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	Ein Vergleich mit der Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Ber.C3.BCcksichtigung_von_D.C3.A4mpfung_und_Laufzeit\|Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit]]  lässt erkennen, dass für den Sonderfall eines cosinusförmigem Eingangssignals das dort definierte Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis gleich dem Kehrwert des Klirrfaktors zum Quadrat ist:		Ein Vergleich mit der Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Ber.C3.BCcksichtigung_von_D.C3.A4mpfung_und_Laufzeit\|Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit]]  lässt erkennen, dass für den Sonderfall eines cosinusförmigem Eingangssignals das dort definierte Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis gleich dem Kehrwert des Klirrfaktors zum Quadrat ist:
	:$$\rho_{\rm V} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V}} = \left(\frac{ A_{1}}{A_x} \right)^2 \cdot		:$$\rho_{\rm V} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V}} = \left(\frac{ A_{1}}{A_x} \right)^2 \cdot\frac{ {1}/{2} \cdot A_{x}^2}{{1}/{2} \cdot (A_{2}^2 + A_{3}^2 + A_{4}^2 + \hspace{0.05cm}...) } = \frac{1}{K^2}\hspace{0.05cm}.$$
	\frac{ {1}/{2} \cdot A_{x}^2}{{1}/{2} \cdot (A_{2}^2 + A_{3}^2 + A_{4}^2 + \hspace{0.05cm}...) } = \frac{1}{K^2}\hspace{0.05cm}.$$

	[[Datei:P_ID1090__LZI_T_2_2_S3b_neu.png \|frame\|Einfluss einer Nichtlinearität auf ein Cosinussignal \| right\|class=fit]]		[[Datei:P_ID1090__LZI_T_2_2_S3b_neu.png \|frame\|Einfluss einer Nichtlinearität auf ein Cosinussignal \| right\|class=fit]]
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	so lautet das Ausgangssignal:		so lautet das Ausgangssignal:
	:$$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos (\omega_0 \cdot t)+ A_2 \cdot \cos (2\omega_0 \cdot t)+ A_3 \cdot \cos (3\omega_0 \cdot t)\hspace{0.05cm},$$		:$$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos (\omega_0 \cdot t)+ A_2 \cdot \cos (2\omega_0 \cdot t)+ A_3 \cdot \cos (3\omega_0 \cdot t)\hspace{0.05cm},$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} A_0 = {86}/{192},\hspace{0.3cm}A_1 = {81}/{192},\hspace{0.3cm}A_2 = - {6}/{192},\hspace{0.3cm}A_3 = -		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} A_0 = {86}/{192},\hspace{0.3cm}A_1 = {81}/{192},\hspace{0.3cm}A_2 = - {6}/{192},\hspace{0.3cm}A_3 = -{1}/{192}\hspace{0.05cm}.$$
	{1}/{192}\hspace{0.05cm}.$$

	Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten wurden die trigonometrischen Umformungen für  $\cos^2(α)$  und  $\cos^3(α)$  verwendet. Der Klirrfaktor ergibt sich damit zu		Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten wurden die trigonometrischen Umformungen für  $\cos^2(α)$  und  $\cos^3(α)$  verwendet. Der Klirrfaktor ergibt sich damit zu
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	:$$P_{\varepsilon 1} = \frac {(80-86)^2}{192^2} + \frac {6^2 + (-1)^2}{2 \cdot 192^2}\approx 1.48 \cdot 10^{-3}$$		:$$P_{\varepsilon 1} = \frac {(80-86)^2}{192^2} + \frac {6^2 + (-1)^2}{2 \cdot 192^2}\approx 1.48 \cdot 10^{-3}$$
	für das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis:		für das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis:
	:$$\rho_{{\rm V} 1} = \frac {\alpha^2 \cdot P_x}{P_{\varepsilon 1} } = \frac {(5/6)^2 \cdot 0.375}{1.48 \cdot 10^{-3} }\~~approx~~		:$$\rho_{{\rm V} 1} = \frac {\alpha^2 \cdot P_x}{P_{\varepsilon 1} } = \frac {(5/6)^2 \cdot 0.375}{1.48 \cdot 10^{-3} }\approx176 = {1}/{K^2}\hspace{0.05cm}.$$
	~~176~~ = {1}/{K^2}\hspace{0.05cm}.$$

	Dagegen ist das SNR deutlich geringer, wenn man den Dämpfungsfaktor  $α$  nicht berücksichtigt, das heißt, wenn man vom Fehlersignal  $ε_2 = y(t) - x(t)$  ausgeht:		Dagegen ist das SNR deutlich geringer, wenn man den Dämpfungsfaktor  $α$  nicht berücksichtigt, das heißt, wenn man vom Fehlersignal  $ε_2 = y(t) - x(t)$  ausgeht:
	:$$P_{\varepsilon 2} = \frac {(86-96)^2}{192^2} + \frac {(81-96)^2 + 6^2 + (-1)^2}{2 \cdot 192^2}\approx 6.3 \cdot 10^{-3} \hspace{0.3cm}		:$$P_{\varepsilon 2} = \frac {(86-96)^2}{192^2} + \frac {(81-96)^2 + 6^2 + (-1)^2}{2 \cdot 192^2}\approx 6.3 \cdot 10^{-3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\rho_{{\rm V} 2} = \frac { P_x}{P_{\varepsilon 2}}= \frac {0.375}{6.3 \cdot 10^{-3}}\approx 60 \hspace{0.05cm}.$$}}
	\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}\rho_{{\rm V} 2} = \frac { P_x}{P_{\varepsilon 2}}= \frac {0.375}{6.3 \cdot 10^{-3}}
	\approx 60 \hspace{0.05cm}.$$}}

	==Rauschklirrmessung==		==Rauschklirrmessung==

Guenter am 28. September 2021 um 16:40 Uhr

2021-09-28T16:40:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. September 2021, 18:40 Uhr
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	Ein Beobachter wird hier Folgendes feststellen:		Ein Beobachter wird hier Folgendes feststellen:
	*Die Übertragungseigenschaften sind nun auch  ''von der Größe des Eingangssignals abhängig'' . Führt  $x(t)$  zum Ausgangssignal  $y(t)$, so kann daraus nun nicht mehr geschlossen werden, dass sich beim Eingangssignal  $K · x(t)$  stets das Signal  $K · y(t)$  ergeben wird.		*Die Übertragungseigenschaften sind nun auch  '''von der Größe des Eingangssignals abhängig''' . Führt  $x(t)$  zum Ausgangssignal  $y(t)$, so kann daraus nun nicht mehr geschlossen werden, dass sich beim Eingangssignal  $K · x(t)$  stets das Signal  $K · y(t)$  ergeben wird.
	*Das bedeutet ~~gleichzeitig~~, dass das  ''Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist'' , mit der Konsequenz, dass aus den ~~beiden~~ Korrespondenzen  $x_1(t) ⇒ y_1(t)$  und  $x_2(t) ⇒ y_2(t)$  nicht auf das Ergebnis  $x_1(t) + x_2(t)   ⇒   y_1(t) + y_2(t)$  geschlossen werden kann.		*Das bedeutet auch, dass das  '''Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist''',  mit der Konsequenz, dass aus den Korrespondenzen  $x_1(t) ⇒ y_1(t)$  und  $x_2(t) ⇒ y_2(t)$  nicht auf das Ergebnis  $x_1(t) + x_2(t)   ⇒   y_1(t) + y_2(t)$  geschlossen werden kann.
	*Durch Nichtlinearitäten  ''entstehen neue Frequenzen''.  Ist  $x(t)$  eine harmonische Schwingung mit der Frequenz  $f_0$, so beinhaltet das Ausgangssignal  $y(t)$  auch Anteile bei Vielfachen von  $f_0$. Diese bezeichnet man in der Nachrichtentechnik als  ''Oberwellen''.		*Durch Nichtlinearitäten  '''entstehen neue Frequenzen'''.  Ist  $x(t)$  eine harmonische Schwingung mit der Frequenz  $f_0$, so beinhaltet das Ausgangssignal  $y(t)$  auch Anteile bei Vielfachen von  $f_0$.  Diese bezeichnet man in der Nachrichtentechnik als  '''Oberwellen'''.
	*Ein Nachrichtensignal beinhaltet in der Praxis meist sehr viele Frequenzanteile. Die Oberwellen der niederfrequenten Signalanteile fallen nun in den Bereich höherfrequenter Nutzanteile.  Dadurch ergeben sich ''nichtreversible Signalverfälschungen''.		*Ein Nachrichtensignal beinhaltet in der Praxis meist sehr viele Frequenzanteile. Die Oberwellen der niederfrequenten Signalanteile fallen nun in den Bereich höherfrequenter Nutzanteile.  Dadurch ergeben sich '''nichtreversible Signalverfälschungen'''.


	Bevor wir am Abschnittsende  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Konstellationen.2C_die_zu_nichtlinearen_Verzerrungen_f.C3.BChren\|&bdquo;Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen”]]  nennen, wird das Problem der nichtlinearen Verzerrungen mathematisch erfasst.		Bevor wir am Abschnittsende  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Konstellationen.2C_die_zu_nichtlinearen_Verzerrungen_f.C3.BChren\|&bdquo;Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen”]]  nennen, wird das Problem der nichtlinearen Verzerrungen mathematisch erfasst.
	*Wir setzen dabei voraus, dass  ''das System kein Gedächtnis besitzt'',   so dass der Ausgangswert  $y = y(t_0)$  nur vom momentanen Eingangswert  $x = x(t_0)$  abhängt,		*Wir setzen dabei voraus, dass  '''das System kein Gedächtnis besitzt''',  so dass der Ausgangswert  $y = y(t_0)$  nur vom momentanen Eingangswert  $x = x(t_0)$  abhängt,
	*nicht aber vom Signalverlauf  $x(t)$  für  $t < t_0$.		*nicht aber vom Signalverlauf  $x(t)$  für  $t < t_0$.

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	==Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen==		==Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen==
	<br>		<br>
	Als Beispiel für das Auftreten nichtlinearer Verzerrungen bei analogen Nachrichtenübertragungssystemen sollen hier einige Konstellationen genannt werden, die zu solchen führen. Inhaltlich bedeutet dies einen Vorgriff auf das Buch  [[Modulationsverfahren]].		Als Beispiel für das Auftreten nichtlinearer Verzerrungen bei analogen Nachrichtenübertragungssystemen sollen hier einige Konstellationen genannt werden, die zu solchen führen.  Inhaltlich bedeutet dies einen Vorgriff auf das Buch  [[Modulationsverfahren]].

	[[Datei:P_ID893__LZI_T_2_2_S5_neu.png \|center\|frame\| Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems\|class=fit]]		[[Datei:P_ID893__LZI_T_2_2_S5_neu.png \|center\|frame\| Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems\|class=fit]]

Guenter am 28. September 2021 um 15:35 Uhr

2021-09-28T15:35:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. September 2021, 17:35 Uhr
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	*Das Gleichsignal  $x(t) = 0.5$  hat hier das konstante Ausgangssignal  $y(t) = 0.479$  zur Folge.		*Das Gleichsignal  $x(t) = 0.5$  hat hier das konstante Ausgangssignal  $y(t) = 0.479$  zur Folge.
	* Mit  $x(t) = 1$  ergibt sich das Ausgangssignal zu  $y(t) = 0.841 ≠ 2 · 0.479$.		* Mit  $x(t) = 1$  ergibt sich das Ausgangssignal zu  $y(t) = 0.841 ≠ 2 · 0.479$.

	*Durch eine Verdopplung von  $x(t)$  wird hier also nicht auch gleichzeitig  $y(t)$  verdoppelt   ⇒   das Superpositionsprinzip wird verletzt.		*Durch eine Verdopplung von  $x(t)$  wird hier also nicht auch gleichzeitig  $y(t)$  verdoppelt   ⇒   das Superpositionsprinzip wird verletzt.

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	==Der Klirrfaktor==		==Der Klirrfaktor==
	<br>		<br>
	~~[[Datei:LZI_T_2_2_S3_vers2~~.~~png\|right\|frame\|Zur Definition des Klirrfaktors\|class=fit]]~~		Zur quantitativen Erfassung der nichtlinearen Verzerrungen gehen wir von einem cosinusförmigen Eingangssignal  $x(t)$  mit Amplitude  $A_x$  aus.

	Zur ~~quantitativen Erfassung der nichtlinearen Verzerrungen gehen wir von einem cosinusförmigen Eingangssignal  $x(t)$  mit der Amplitude  $A_x$  aus.~~		[[Datei:LZI_T_2_2_S3_vers2.png\|center\|frame\|Zur Definition des Klirrfaktors\|class=fit]]

	Das Ausgangssignal beinhaltet aufgrund der nichtlinearen Verzerrungen Oberwellen und es gilt allgemein:		Das Ausgangssignal beinhaltet aufgrund der nichtlinearen Verzerrungen Oberwellen und es gilt allgemein:
	$$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) +		$$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) +
	A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}...$$		A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
	~~<br clear=all>~~
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
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	==Rauschklirrmessung==		==Rauschklirrmessung==
	<br>		<br>
	Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen.		Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen.

			[[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png \|right\|frame\| Prinzip der Rauschklirrmessung\|class=fit]]

	*Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal  $x(t)$  durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_x(f)$.		*Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal  $x(t)$  durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_x(f)$.
	*Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre  $\rm (BS)$  mit Mittelfrequenz  $f_{\rm M}$  und (sehr kleiner) Bandbreite  $B_{\rm BS}$  ~~in das System~~ ein.		*Zusätzlich bringt man in das System eine schmale Bandsperre  $\rm (BS)$  mit Mittelfrequenz  $f_{\rm M}$  und (sehr kleiner) Bandbreite  $B_{\rm BS}$  ein.


	~~[[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png \|right\|frame\| Prinzip der Rauschklirrmessung\|class=fit]]~~

	Bei einem linearen System wäre das Ausgangsspektrum  ${\it \Phi}_y(f)$  nicht breiter als  $B_x$  und auch im Bereich um  $f_{\rm M}$  gäbe es keine Anteile.		Bei einem linearen System wäre das Ausgangsspektrum  ${\it \Phi}_y(f)$  nicht breiter als  $B_x$  und auch im Bereich um  $f_{\rm M}$  gäbe es keine Anteile.
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	Diese ergeben sich allein durch Mischprodukte  (Intermodulationsanteile)  verschiedener Spektralanteile, also durch nichtlineare Verzerrungen.		Diese ergeben sich allein durch Mischprodukte  (Intermodulationsanteile)  verschiedener Spektralanteile, also durch nichtlineare Verzerrungen.

	Durch Variation der Mittenfrequenz  $f_{\rm M}$  und Integration über alle diese kleinen Störanteile kann somit die Verzerrungsleistung ermittelt werden. Nähere Angaben zu dieser Methode findet man zum Beispiel in  [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung''. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>.		Durch Variation der Mittenfrequenz  $f_{\rm M}$  und Integration über alle diese kleinen Störanteile kann somit die Verzerrungsleistung ermittelt werden. Nähere Angaben zu dieser Methode findet man zum Beispiel in  [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.:  Nachrichtenübertragung. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	==Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen==		==Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen==

Guenter am 28. Oktober 2019 um 09:44 Uhr

2019-10-28T09:44:06Z

Guenter am 28. Oktober 2019 um 09:29 Uhr

2019-10-28T09:29:44Z

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Guenter am 9. November 2018 um 11:54 Uhr

2018-11-09T11:54:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2018, 13:54 Uhr
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	Bevor am Abschnittsende [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Konstellationen.2C_die_zu_nichtlinearen_Verzerrungen_f.C3.BChren\|~~Beispiele für das Auftreten nichtlinearer~~ Verzerrungen ~~in der Praxis~~]] genannt werden, soll das Problem der nichtlinearen Verzerrungen mathematisch erfasst werden. Wir setzen dabei voraus, dass ''das System kein Gedächtnis besitzt'', so dass der Ausgangswert $y = y(t_0)$ nur vom momentanen Eingangswert $x = x(t_0)$ abhängt, nicht aber vom Signalverlauf $x(t)$ für $t < t_0$.		Bevor am Abschnittsende [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Konstellationen.2C_die_zu_nichtlinearen_Verzerrungen_f.C3.BChren\|Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen]] genannt werden, soll das Problem der nichtlinearen Verzerrungen mathematisch erfasst werden. Wir setzen dabei voraus, dass ''das System kein Gedächtnis besitzt'', so dass der Ausgangswert $y = y(t_0)$ nur vom momentanen Eingangswert $x = x(t_0)$ abhängt, nicht aber vom Signalverlauf $x(t)$ für $t < t_0$.

	==Beschreibung nichtlinearer Systeme==		==Beschreibung nichtlinearer Systeme==

Guenter am 9. November 2018 um 10:45 Uhr

2018-11-09T10:45:39Z

Guenter am 6. März 2018 um 16:43 Uhr

2018-03-06T16:43:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. März 2018, 18:43 Uhr
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	[[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie\| Aufgabe 2.3: Sinusförmige Kennlinie]]		[[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie\| Aufgabe 2.3: Sinusförmige Kennlinie]]

	[[Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb_asymmetrisch\|Aufgabe 2.3Z: ~~Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb~~ asymmetrisch]]		[[Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb_asymmetrisch\|Aufgabe 2.3Z: Kennlinienbetrieb asymmetrisch]]

	[[Aufgaben:2.4_Klirrfaktor_und_Verzerrungsleistung\|Aufgabe 2.4: Klirrfaktor und Verzerrungsleistung]]		[[Aufgaben:2.4_Klirrfaktor_und_Verzerrungsleistung\|Aufgabe 2.4: Klirrfaktor und Verzerrungsleistung]]

Guenter am 6. März 2018 um 16:41 Uhr

2018-03-06T16:41:06Z

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← Nächstältere Version		Version vom 6. März 2018, 18:43 Uhr
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	[[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie\| Aufgabe 2.3: Sinusförmige Kennlinie]]		[[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie\| Aufgabe 2.3: Sinusförmige Kennlinie]]

	[[Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb_asymmetrisch\|Aufgabe 2.3Z: ~~Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb~~ asymmetrisch]]		[[Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb_asymmetrisch\|Aufgabe 2.3Z: Kennlinienbetrieb asymmetrisch]]

	[[Aufgaben:2.4_Klirrfaktor_und_Verzerrungsleistung\|Aufgabe 2.4: Klirrfaktor und Verzerrungsleistung]]		[[Aufgaben:2.4_Klirrfaktor_und_Verzerrungsleistung\|Aufgabe 2.4: Klirrfaktor und Verzerrungsleistung]]

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	<br>		<br>
	Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen.		Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen.
	*Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal $x(t)$ durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_x(f)$.		*Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal  $x(t)$  durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_x(f)$.
	*Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre (BS) mit Mittelfrequenz $f_{\rm M}$ und Bandbreite $B$ in das System ein.		*Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre  $\rm (BS)$  mit Mittelfrequenz  $f_{\rm M}$  und (sehr kleiner) Bandbreite  $B_{\rm BS}$  in das System ein.


	[[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png \|~~center~~\|frame\| Prinzip der Rauschklirrmessung\|class=fit]]		[[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png \|right\|frame\| Prinzip der Rauschklirrmessung\|class=fit]]

	Bei einem linearen System wäre das Ausgangsspektrum ${\it \Phi}_y(f)$ nicht breiter als $B_x$ und auch im Bereich um $f_{\rm M}$ gäbe es keine Anteile. ~~Diese ergeben sich allein durch Mischprodukte (Intermodulationsanteile) verschiedener Spektralanteile, also durch nichtlineare Verzerrungen.~~		Bei einem linearen System wäre das Ausgangsspektrum  ${\it \Phi}_y(f)$  nicht breiter als  $B_x$  und auch im Bereich um  $f_{\rm M}$  gäbe es keine Anteile.

	Durch Variation der Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ und Integration über alle diese kleinen Störanteile kann somit die Verzerrungsleistung ermittelt werden. Nähere Angaben zu dieser Methode findet man zum Beispiel in [Kam04]<ref>Kammeyer, ~~K.D.: ''Nachrichtenübertragung''. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>~~.		Diese ergeben sich allein durch Mischprodukte  (Intermodulationsanteile)  verschiedener Spektralanteile, also durch nichtlineare Verzerrungen.

			Durch Variation der Mittenfrequenz  $f_{\rm M}$  und Integration über alle diese kleinen Störanteile kann somit die Verzerrungsleistung ermittelt werden. Nähere Angaben zu dieser Methode findet man zum Beispiel in  [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung''. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>.
			<br clear=all>
	==Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen==		==Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen==
	<br>		<br>
	Als Beispiel für das Auftreten nichtlinearer Verzerrungen bei analogen Nachrichtenübertragungssystemen sollen hier einige Konstellationen genannt werden, die zu solchen führen. Inhaltlich bedeutet dies einen Vorgriff auf das Buch [[Modulationsverfahren]].		Als Beispiel für das Auftreten nichtlinearer Verzerrungen bei analogen Nachrichtenübertragungssystemen sollen hier einige Konstellationen genannt werden, die zu solchen führen. Inhaltlich bedeutet dies einen Vorgriff auf das Buch  [[Modulationsverfahren]].

	[[Datei:P_ID893__LZI_T_2_2_S5_neu.png \|center\|frame\| Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems\|class=fit]]		[[Datei:P_ID893__LZI_T_2_2_S5_neu.png \|center\|frame\| Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems\|class=fit]]

	Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals $v(t)$ in Bezug zum Quellensignal $q(t)$ treten auf, wenn		Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals  $v(t)$  in Bezug zum Quellensignal  $q(t)$  treten auf, wenn
	*es bereits auf dem Kanal – also bezüglich des Sendesignals $s(t)$ und des Empfangssignals $r(t)$ – zu nichtlinearen Verzerrungen kommt,		*es bereits auf dem Kanal – also bezüglich des Sendesignals  $s(t)$  und des Empfangssignals  $r(t)$  – zu nichtlinearen Verzerrungen kommt,
	*bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] (ZSB–AM) mit Modulationsgrad $m > 1$ ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,		*bei der  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]]  (ZSB–AM) mit Modulationsgrad  $m > 1$  ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,
	*bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch ~~für einen~~ Modulationsgrad $m < 1$,		*bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch bei einem Modulationsgrad  $m < 1$,
	*man die Kombination Einseitenband–AM / [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation\|Hüllkurvendemodulation]] verwendet (unabhängig vom Seitenband–zu–Träger–Verhältnis),		*man die Kombination Einseitenband–AM und  [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation\|Hüllkurvendemodulation]]  verwendet (unabhängig vom Seitenband–zu–Träger–Verhältnis),
	*eine [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Gemeinsamkeiten_zwischen_Phasen.E2.80.93_und_Frequenzmodulation\|Winkelmodulation]] ~~– dies ist der~~ für Frequenz– und Phasenmodulation ~~übliche Oberbegriff –~~ angewandt wird und die zur Verfügung stehende Bandbreite nur endlich groß ist.		*eine  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Gemeinsamkeiten_zwischen_Phasen.E2.80.93_und_Frequenzmodulation\|Winkelmodulation]]  (Oberbegriff für Frequenz– und Phasenmodulation)  angewandt wird und die zur Verfügung stehende Bandbreite nur endlich groß ist.

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

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	Auch bei diesem nichtlinearen Systemen bezeichnen wir die Signale am Eingang und Ausgang mit $x(t)$ bzw. $y(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen mit $X(f)$ und $Y(f)$. Ein Beobachter wird hier Folgendes feststellen:		Auch bei diesem nichtlinearen Systemen bezeichnen wir die Signale am Eingang und Ausgang mit $x(t)$ bzw. $y(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen mit $X(f)$ und $Y(f)$. Ein Beobachter wird hier Folgendes feststellen:
	*Die Übertragungseigenschaften sind nun auch ''von der Größe des Eingangssignals abhängig''. Führt $x(t)$ zum Ausgangssignal $y(t)$, so kann daraus nun nicht mehr geschlossen werden, dass sich beim Eingangssignal $K · x(t)$ stets das Signal $K · y(t)$ ergeben wird.		*Die Übertragungseigenschaften sind nun auch ''von der Größe des Eingangssignals abhängig''. Führt $x(t)$ zum Ausgangssignal $y(t)$, so kann daraus nun nicht mehr geschlossen werden, dass sich beim Eingangssignal $K · x(t)$ stets das Signal $K · y(t)$ ergeben wird.
	*Das bedeutet gleichzeitig, dass das ''Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist'', mit der Konsequenz, dass aus den beiden Korrespondenzen $x_1(t) ⇒ y_1(t)$ und $x_2(t) ⇒ y_2(t)$ nicht auf das ~~Übertragungsverhalten~~ $x_1(t) + x_2(t)   ⇒   y_1(t) + y_2(t)$ geschlossen werden kann.		*Das bedeutet gleichzeitig, dass das ''Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist'', mit der Konsequenz, dass aus den beiden Korrespondenzen $x_1(t) ⇒ y_1(t)$ und $x_2(t) ⇒ y_2(t)$ nicht auf das Ergebnis $x_1(t) + x_2(t)   ⇒   y_1(t) + y_2(t)$ geschlossen werden kann.
	*Durch Nichtlinearitäten ''entstehen neue Frequenzen''. Ist $x(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_0$, so beinhaltet das Ausgangssignal $y(t)$ auch Anteile bei Vielfachen von $f_0$. Diese bezeichnet man in der Nachrichtentechnik als ''Oberwellen''.		*Durch Nichtlinearitäten ''entstehen neue Frequenzen''. Ist $x(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_0$, so beinhaltet das Ausgangssignal $y(t)$ auch Anteile bei Vielfachen von $f_0$. Diese bezeichnet man in der Nachrichtentechnik als ''Oberwellen''.
	*Ein Nachrichtensignal beinhaltet in der Praxis meist sehr viele Frequenzanteile. Die Oberwellen der niederfrequenten Signalanteile fallen nun in den Bereich höherfrequenter Nutzanteile. Dadurch ergeben sich ''nichtreversible Signalverfälschungen''.		*Ein Nachrichtensignal beinhaltet in der Praxis meist sehr viele Frequenzanteile. Die Oberwellen der niederfrequenten Signalanteile fallen nun in den Bereich höherfrequenter Nutzanteile. Dadurch ergeben sich ''nichtreversible Signalverfälschungen''.
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Ein System bezeichnet man als '''nichtlinear''', wenn ~~zu allen Zeiten $t$~~ zwischen dem Signalwert $x = x(t)$ am Eingang und dem ~~Ausgangssignalwert~~ $y = y(t)$ der folgende Zusammenhang besteht:		Ein System bezeichnet man als '''nichtlinear''', wenn zwischen dem Signalwert  $x = x(t)$  am Eingang und dem Ausgang  $y = y(t)$  der folgende Zusammenhang besteht:
	$$y = g(x) \ne {\rm const.} \cdot x.$$		$$y = g(x) \ne {\rm const.} \cdot x.$$
	Man bezeichnet den Verlauf $y = g(x)$ als die '''nichtlineare Kennlinie''' des Systems.}}		Man bezeichnet den Verlauf  $y = g(x)$  als die '''nichtlineare Kennlinie''' des Systems.}}


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	[[Datei:P_ID888__LZI_T_2_2_S2_neu.png \|center\|frame\| Nichtlineare Kennlinie\|class=fit]]		[[Datei:P_ID888__LZI_T_2_2_S2_neu.png \|center\|frame\| Nichtlineare Kennlinie\|class=fit]]

	Da ~~eine~~ jede ~~solche~~ Kennlinie um den Arbeitspunkt in eine Taylorreihe entwickelt werden kann, lässt sich das Ausgangssignal auch wie folgt darstellen:		Da jede Kennlinie um den Arbeitspunkt in eine Taylorreihe entwickelt werden kann, lässt sich das Ausgangssignal auch wie folgt darstellen:
	$$y(t) = \sum_{i=0}^{\infty}\hspace{0.1cm} c_i \cdot x^{i}(t) = c_0 + c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^{2}(t) + c_3 \cdot x^{3}(t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$		$$y(t) = \sum_{i=0}^{\infty}\hspace{0.1cm} c_i \cdot x^{i}(t) = c_0 + c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^{2}(t) + c_3 \cdot x^{3}(t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
	Besitzt $x(t)$ eine Einheit – zum Beispiel „Volt”, so sind auch die Koeffizienten der Taylorreihe mit Einheiten anzusetzen und zwar mit unterschiedlichen:		Besitzt $x(t)$ eine Einheit – zum Beispiel „Volt”, so sind auch die Koeffizienten der Taylorreihe mit Einheiten anzusetzen und zwar mit unterschiedlichen:
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	In obiger Grafik ist der Arbeitspunkt identisch mit dem Nullpunkt und es gilt $c_0 = 0$.		In obiger Grafik ist der Arbeitspunkt identisch mit dem Nullpunkt und es gilt  $c_0 = 0$.

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Die auf der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Eigenschaften_nichtlinearer_Systeme\|ersten Seite dieses Abschnitts]] aufgelisteten Eigenschaften nichtlinearer Systeme werden hier anhand der Kennlinie $y = g(x) = \sin(x)$ verdeutlicht, die in der Mitte der Grafik dargestellt ist.		Die auf der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Eigenschaften_nichtlinearer_Systeme\|ersten Seite dieses Abschnitts]] aufgelisteten Eigenschaften nichtlinearer Systeme werden hier anhand der Kennlinie  $y = g(x) = \sin(x)$  verdeutlicht, die in der Mitte der Grafik dargestellt ist.
	*Das Gleichsignal $x(t) = 0.5$ hat hier das konstante Ausgangssignal $y(t) = 0.479$ zur Folge.		*Das Gleichsignal  $x(t) = 0.5$  hat hier das konstante Ausgangssignal  $y(t) = 0.479$  zur Folge.
	* Mit $x(t) = 1$ ergibt sich das Ausgangssignal zu $y(t) = 0.841 ≠ 2 · 0.479$.		* Mit  $x(t) = 1$  ergibt sich das Ausgangssignal zu  $y(t) = 0.841 ≠ 2 · 0.479$.

			Durch eine Verdopplung von $x(t)$ wird hier also nicht auch gleichzeitig $y(t)$ verdoppelt   ⇒   das Superpositionsprinzip wird verletzt.
	~~⇒ ~~ Durch eine Verdopplung von $x(t)$ wird hier also nicht auch gleichzeitig $y(t)$ verdoppelt~~, und somit wird~~ das Superpositionsprinzip verletzt.

	[[Datei:P_ID889__LZI_T_2_2_S2b_neu.png\|center\|frame\| Auswirkungen einer nichtlinearen Kennlinie\|class=fit]]		[[Datei:P_ID889__LZI_T_2_2_S2b_neu.png\|center\|frame\| Auswirkungen einer nichtlinearen Kennlinie\|class=fit]]
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	Ausdrücklich wird darauf hingewiesen, dass bei der Berechnung des Klirrfaktors die Amplitude $A_x$ des Eingangssignals nicht berücksichtigt wird. Auch ein entstehender Gleichanteil $A_0$ bleibt unberücksichtigt.		Ausdrücklich wird darauf hingewiesen, dass bei der Berechnung des Klirrfaktors die Amplitude $A_x$ des Eingangssignals nicht berücksichtigt wird. Auch ein entstehender Gleichanteil $A_0$ bleibt unberücksichtigt.

	Im [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Beschreibung_nichtlinearer_Systeme\|Beispiel 1]] im letzten Abschnitt wurden die Klirrfaktoren mit Werten zwischen $1\%$ und $~~\approx~~ 20\%$ angegeben. Diese Werte liegen schon deutlich über den Klirrfaktoren preisgünstiger Audioanlagen, für die $K < 0.1\%$ gilt. Bei HiFi–Geräten wird auf die Linearität besonderer Wert gelegt und ein sehr kleiner Klirrfaktor schlägt sich auch im Preis nieder.		Im [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Beschreibung_nichtlinearer_Systeme\|$\text{Beispiel 1}$]] im letzten Abschnitt wurden die Klirrfaktoren mit Werten zwischen etwa $1\%$ und $20\%$ angegeben. Diese Werte liegen schon deutlich über den Klirrfaktoren preisgünstiger Audioanlagen, für die $K < 0.1\%$ gilt. Bei HiFi–Geräten wird auf die Linearität besonderer Wert gelegt und ein sehr kleiner Klirrfaktor schlägt sich auch im Preis nieder.

	Ein Vergleich mit der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Ber.C3.BCcksichtigung_von_D.C3.A4mpfung_und_Laufzeit\|Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit]] lässt erkennen, dass für den ~~wichtigen~~ Sonderfall eines cosinusförmigem Eingangssignals das dort definierte Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis gleich dem Kehrwert des Klirrfaktors zum Quadrat ist:		Ein Vergleich mit der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Ber.C3.BCcksichtigung_von_D.C3.A4mpfung_und_Laufzeit\|Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit]] lässt erkennen, dass für den Sonderfall eines cosinusförmigem Eingangssignals das dort definierte Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis gleich dem Kehrwert des Klirrfaktors zum Quadrat ist:
	$$\rho_{\rm V} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V}} = \left(\frac{ A_{1}}{A_x} \right)^2 \cdot		$$\rho_{\rm V} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V}} = \left(\frac{ A_{1}}{A_x} \right)^2 \cdot
	\frac{ \frac{1}{2} \cdot A_{x}^2}{\frac{1}{2} \cdot (A_{2}^2 + A_{3}^2 + A_{4}^2 + \hspace{0.05cm}...) } = \frac{1}{K^2}\hspace{0.05cm}.$$		\frac{ \frac{1}{2} \cdot A_{x}^2}{\frac{1}{2} \cdot (A_{2}^2 + A_{3}^2 + A_{4}^2 + \hspace{0.05cm}...) } = \frac{1}{K^2}\hspace{0.05cm}.$$
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	:$$x(t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos (\omega_0 \cdot t).$$		:$$x(t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos (\omega_0 \cdot t).$$

	Dieses nimmt Werte zwischen $0$ und $1$ an und ist als blaue Kurve gezeichnet. Die Leistung dieses Signals ergibt sich zu $P_x = 1/4 + 1/8 = 0.375$.		Dieses nimmt Werte zwischen $0$ und $1$ an und ist als blaue Kurve gezeichnet. Die Leistung dieses Signals ergibt sich zu
			:$$P_x = 1/4 + 1/8 = 0.375.$$

	Gibt man dieses Signal auf eine Nichtlinearität mit der Kennlinie		Gibt man dieses Signal auf eine Nichtlinearität mit der Kennlinie
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	{1}/{192}\hspace{0.05cm}.$$		{1}/{192}\hspace{0.05cm}.$$

	Zur Berechnung dieser Fourierkoeffizienten wurden die trigonometrischen Umformungen für $\~~cos²~~(α)$ und $\~~cos³~~(α)$ verwendet. Der Klirrfaktor ergibt sich für dieses Signal zu		Zur Berechnung dieser Fourierkoeffizienten wurden die trigonometrischen Umformungen für $\cos^2(α)$ und $\cos^3(α)$ verwendet. Der Klirrfaktor ergibt sich für dieses Signal zu
	:$$K = \frac {\sqrt{A_2^{\hspace{0.05cm}2} + A_3^{\hspace{0.05cm}2} } }{A_1}\approx 7.5\%\hspace{0.05cm}.$$		:$$K = \frac {\sqrt{A_2^{\hspace{0.05cm}2} + A_3^{\hspace{0.05cm}2} } }{A_1}\approx 7.5\%\hspace{0.05cm}.$$

	Man erkennt weiter, dass das rot skizzierte Signal $y(t)$ ~~näherungsweise~~ gleich dem grün gezeichneten Signal $α · x(t)$ mit $α = \sin(1) ≈ 5/6$ ist.		Man erkennt weiter, dass das rot skizzierte Signal $y(t)$ nahezu gleich dem grün gezeichneten Signal $α · x(t)$ mit $α = \sin(1) ≈ 5/6$ ist.

	Definiert man das Fehlersignal $ε_1(t) = y(t) - α · x(t)$, so ergibt sich mit dessen Leistung		Definiert man das Fehlersignal $ε_1(t) = y(t) - α · x(t)$, so ergibt sich mit dessen Leistung
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	==Rauschklirrmessung==		==Rauschklirrmessung==
	<br>		<br>
	Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen. Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal $x(t)$ durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_x(f)$. Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre (BS) mit Mittelfrequenz $f_{\rm M}$ und Bandbreite $B$ in das System ein.		Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen.
			*Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal $x(t)$ durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_x(f)$.
			*Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre (BS) mit Mittelfrequenz $f_{\rm M}$ und Bandbreite $B$ in das System ein.


	[[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png \|center\|frame\| Prinzip der Rauschklirrmessung\|class=fit]]		[[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png \|center\|frame\| Prinzip der Rauschklirrmessung\|class=fit]]
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	Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals $v(t)$ in Bezug zum Quellensignal $q(t)$ treten auf, wenn		Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals $v(t)$ in Bezug zum Quellensignal $q(t)$ treten auf, wenn
	*es bereits auf dem Kanal – also bezüglich des Sendesignals $s(t)$ und des Empfangssignals $r(t)$ – zu nichtlinearen Verzerrungen kommt,		*es bereits auf dem Kanal – also bezüglich des Sendesignals $s(t)$ und des Empfangssignals $r(t)$ – zu nichtlinearen Verzerrungen kommt,
	*bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] (ZSB–AM) mit ~~dem~~ Modulationsgrad $m > 1$ ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,		*bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger\|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] (ZSB–AM) mit Modulationsgrad $m > 1$ ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,
	*bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch ~~dann, wenn der~~ Modulationsgrad $m < 1$ ~~ist~~,		*bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch für einen Modulationsgrad $m < 1$,
	*die Kombination ~~aus einer Einseitenband–Amplitudenmodulation und der~~ [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation\|Hüllkurvendemodulation]] ~~zur Anwendung kommt~~ (unabhängig vom Seitenband–zu–Träger–Verhältnis),		*man die Kombination Einseitenband–AM / [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation\|Hüllkurvendemodulation]] verwendet (unabhängig vom Seitenband–zu–Träger–Verhältnis),
	*eine [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Gemeinsamkeiten_zwischen_Phasen.E2.80.93_und_Frequenzmodulation\|Winkelmodulation]] – dies ist der für Frequenz– und Phasenmodulation übliche Oberbegriff – angewandt wird und die zur Verfügung stehende Bandbreite nur endlich groß ist.		*eine [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Gemeinsamkeiten_zwischen_Phasen.E2.80.93_und_Frequenzmodulation\|Winkelmodulation]] – dies ist der für Frequenz– und Phasenmodulation übliche Oberbegriff – angewandt wird und die zur Verfügung stehende Bandbreite nur endlich groß ist.