Lineare zeitinvariante Systeme/Nichtlineare Verzerrungen - Versionsgeschichte

Guenter am 28. September 2021 um 16:40 Uhr

2021-09-28T16:40:39Z

Guenter am 28. September 2021 um 15:35 Uhr

2021-09-28T15:35:27Z

Guenter am 28. Oktober 2019 um 09:44 Uhr

2019-10-28T09:44:06Z

Guenter am 28. Oktober 2019 um 09:29 Uhr

2019-10-28T09:29:44Z

Änderungen zeigen

Guenter am 9. November 2018 um 11:54 Uhr

2018-11-09T11:54:52Z

Guenter am 9. November 2018 um 10:45 Uhr

2018-11-09T10:45:39Z

Guenter am 6. März 2018 um 16:43 Uhr

2018-03-06T16:43:36Z

Guenter am 6. März 2018 um 16:41 Uhr

2018-03-06T16:41:06Z

Änderungen zeigen

Wael am 28. Dezember 2017 um 18:33 Uhr

2017-12-28T18:33:55Z

Guenter am 31. Januar 2017 um 14:41 Uhr

2017-01-31T14:41:02Z

@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 Ein Beobachter wird hier Folgendes feststellen:
-*Die Übertragungseigenschaften sind nun auch&nbsp; ''von der Größe des Eingangssignals abhängig''&nbsp;. Führt&nbsp; $x(t)$&nbsp; zum Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$, so kann daraus nun nicht mehr geschlossen werden, dass sich beim Eingangssignal&nbsp; $K · x(t)$&nbsp; stets das Signal&nbsp; $K · y(t)$&nbsp; ergeben wird.
+*Die Übertragungseigenschaften sind nun auch&nbsp; '''von der Größe des Eingangssignals abhängig'''&nbsp;. Führt&nbsp; $x(t)$&nbsp; zum Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$, so kann daraus nun nicht mehr geschlossen werden, dass sich beim Eingangssignal&nbsp; $K · x(t)$&nbsp; stets das Signal&nbsp; $K · y(t)$&nbsp; ergeben wird.
-*Das bedeutet gleichzeitig, dass das&nbsp; ''Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist''&nbsp;, mit der Konsequenz, dass aus den beiden Korrespondenzen&nbsp; $x_1(t) ⇒ y_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t) ⇒ y_2(t)$&nbsp; nicht auf das Ergebnis&nbsp; $x_1(t) + x_2(t) &nbsp; ⇒ &nbsp; y_1(t) + y_2(t)$&nbsp; geschlossen werden kann.
+*Das bedeutet auch, dass das&nbsp; '''Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist''',&nbsp; mit der Konsequenz, dass aus den Korrespondenzen&nbsp; $x_1(t) ⇒ y_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t) ⇒ y_2(t)$&nbsp; nicht auf das Ergebnis&nbsp; $x_1(t) + x_2(t) &nbsp; ⇒ &nbsp; y_1(t) + y_2(t)$&nbsp; geschlossen werden kann.
-*Durch Nichtlinearitäten&nbsp; ''entstehen neue Frequenzen''.&nbsp; Ist&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine harmonische Schwingung mit der Frequenz&nbsp; $f_0$, so beinhaltet das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; auch Anteile bei Vielfachen von&nbsp; $f_0$. Diese bezeichnet man in der Nachrichtentechnik als&nbsp; ''Oberwellen''.
+*Durch Nichtlinearitäten&nbsp; '''entstehen neue Frequenzen'''.&nbsp; Ist&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine harmonische Schwingung mit der Frequenz&nbsp; $f_0$, so beinhaltet das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; auch Anteile bei Vielfachen von&nbsp; $f_0$.&nbsp; Diese bezeichnet man in der Nachrichtentechnik als&nbsp; '''Oberwellen'''.
-*Ein Nachrichtensignal beinhaltet in der Praxis meist sehr viele Frequenzanteile. Die Oberwellen der niederfrequenten Signalanteile fallen nun in den Bereich höherfrequenter Nutzanteile.&nbsp; Dadurch ergeben sich ''nichtreversible Signalverfälschungen''.
+*Ein Nachrichtensignal beinhaltet in der Praxis meist sehr viele Frequenzanteile. Die Oberwellen der niederfrequenten Signalanteile fallen nun in den Bereich höherfrequenter Nutzanteile.&nbsp; Dadurch ergeben sich '''nichtreversible Signalverfälschungen'''.
 Bevor wir  am Abschnittsende&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Konstellationen.2C_die_zu_nichtlinearen_Verzerrungen_f.C3.BChren|&bdquo;Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen&rdquo;]]&nbsp; nennen, wird das Problem der nichtlinearen Verzerrungen mathematisch erfasst.
-*Wir setzen dabei voraus, dass&nbsp; ''das System kein Gedächtnis besitzt'', &nbsp; so dass der Ausgangswert&nbsp; $y = y(t_0)$&nbsp; nur vom momentanen Eingangswert&nbsp; $x = x(t_0)$&nbsp; abhängt,
+*Wir setzen dabei voraus, dass&nbsp; '''das System kein Gedächtnis besitzt''',&nbsp; so dass der Ausgangswert&nbsp; $y = y(t_0)$&nbsp; nur vom momentanen Eingangswert&nbsp; $x = x(t_0)$&nbsp; abhängt,
 *nicht aber vom Signalverlauf&nbsp; $x(t)$&nbsp; für&nbsp; $t < t_0$.
@@ Zeile 150: / Zeile 150: @@
 ==Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen==
 <br>
-Als Beispiel für das Auftreten nichtlinearer Verzerrungen bei analogen Nachrichtenübertragungssystemen sollen hier einige Konstellationen genannt werden, die zu solchen führen. Inhaltlich bedeutet dies einen Vorgriff auf das Buch&nbsp; [[Modulationsverfahren]].
+Als Beispiel für das Auftreten nichtlinearer Verzerrungen bei analogen Nachrichtenübertragungssystemen sollen hier einige Konstellationen genannt werden, die zu solchen führen.&nbsp; Inhaltlich bedeutet dies einen Vorgriff auf das Buch&nbsp; [[Modulationsverfahren]].
 [[Datei:P_ID893__LZI_T_2_2_S5_neu.png |center|frame| Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems|class=fit]]

@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
 *Das Gleichsignal &nbsp;$x(t) = 0.5$&nbsp; hat hier das konstante Ausgangssignal &nbsp;$y(t) = 0.479$&nbsp; zur Folge.
 * Mit &nbsp;$x(t) = 1$&nbsp; ergibt sich das Ausgangssignal zu &nbsp;$y(t) = 0.841 ≠ 2 · 0.479$.
 *Durch eine Verdopplung von&nbsp; $x(t)$&nbsp; wird hier also nicht auch gleichzeitig&nbsp; $y(t)$&nbsp; verdoppelt &nbsp; &rArr; &nbsp; das Superpositionsprinzip wird verletzt.
@@ Zeile 71: / Zeile 70: @@
 ==Der Klirrfaktor==
 <br>
-[[Datei:LZI_T_2_2_S3_vers2.png|right|frame|Zur Definition des Klirrfaktors|class=fit]]
+Zur quantitativen Erfassung der nichtlinearen Verzerrungen gehen wir von einem cosinusförmigen Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A_x$&nbsp; aus.
-Zur quantitativen Erfassung der nichtlinearen Verzerrungen gehen wir von einem cosinusförmigen Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $A_x$&nbsp; aus.
+[[Datei:LZI_T_2_2_S3_vers2.png|center|frame|Zur Definition des Klirrfaktors|class=fit]]
 Das Ausgangssignal beinhaltet aufgrund der nichtlinearen Verzerrungen Oberwellen und es gilt allgemein:
 $$y(t) =  A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) +
-  A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}...$$
+  A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
-<br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
@@ Zeile 135: / Zeile 134: @@
 ==Rauschklirrmessung==
 <br>
 Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen.
 *Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$.
-*Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre&nbsp; $\rm (BS)$&nbsp; mit Mittelfrequenz&nbsp; $f_{\rm M}$&nbsp; und (sehr kleiner)  Bandbreite&nbsp; $B_{\rm BS}$&nbsp; in das System ein.
+*Zusätzlich bringt man  in das System eine schmale Bandsperre&nbsp; $\rm (BS)$&nbsp; mit Mittelfrequenz&nbsp; $f_{\rm M}$&nbsp; und (sehr kleiner)  Bandbreite&nbsp; $B_{\rm BS}$&nbsp; ein.
 Bei einem linearen System wäre das Ausgangsspektrum&nbsp; ${\it \Phi}_y(f)$&nbsp; nicht breiter als&nbsp; $B_x$&nbsp; und auch im Bereich um&nbsp; $f_{\rm M}$&nbsp; gäbe es keine Anteile.&nbsp;
@@ Zeile 146: / Zeile 146: @@
 Diese ergeben sich allein durch Mischprodukte&nbsp; (Intermodulationsanteile)&nbsp; verschiedener Spektralanteile, also durch nichtlineare Verzerrungen.
-Durch Variation der Mittenfrequenz&nbsp; $f_{\rm M}$&nbsp; und Integration über alle diese kleinen Störanteile kann somit die Verzerrungsleistung ermittelt werden. Nähere Angaben zu dieser Methode findet man zum Beispiel in&nbsp; [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung''. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>.
+Durch Variation der Mittenfrequenz&nbsp; $f_{\rm M}$&nbsp; und Integration über alle diese kleinen Störanteile kann somit die Verzerrungsleistung ermittelt werden. Nähere Angaben zu dieser Methode findet man zum Beispiel in&nbsp; [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.:&nbsp; Nachrichtenübertragung. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>.
 <br clear=all>
 ==Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen==

@@ Zeile 136: / Zeile 136: @@
 <br>
 Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen.
-*Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal $x(t)$ durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_x(f)$.
+*Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$.
-*Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre (BS) mit Mittelfrequenz $f_{\rm M}$ und Bandbreite $B$ in das System ein.
+*Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre&nbsp; $\rm (BS)$&nbsp; mit Mittelfrequenz&nbsp; $f_{\rm M}$&nbsp; und (sehr kleiner)  Bandbreite&nbsp; $B_{\rm BS}$&nbsp; in das System ein.
-[[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png |center|frame| Prinzip der Rauschklirrmessung|class=fit]]
+[[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png |right|frame| Prinzip der Rauschklirrmessung|class=fit]]
-Bei einem linearen System wäre das Ausgangsspektrum ${\it \Phi}_y(f)$ nicht breiter als $B_x$ und auch im Bereich um $f_{\rm M}$ gäbe es keine Anteile. Diese ergeben sich allein durch Mischprodukte (Intermodulationsanteile) verschiedener Spektralanteile, also durch nichtlineare Verzerrungen.
+Bei einem linearen System wäre das Ausgangsspektrum&nbsp; ${\it \Phi}_y(f)$&nbsp; nicht breiter als&nbsp; $B_x$&nbsp; und auch im Bereich um&nbsp; $f_{\rm M}$&nbsp; gäbe es keine Anteile.&nbsp;
-Durch Variation der Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ und Integration über alle diese kleinen Störanteile kann somit die Verzerrungsleistung ermittelt werden. Nähere Angaben zu dieser Methode findet man zum Beispiel in [Kam04]<ref>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung''. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>.
+Diese ergeben sich allein durch Mischprodukte&nbsp; (Intermodulationsanteile)&nbsp; verschiedener Spektralanteile, also durch nichtlineare Verzerrungen.
 ==Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen==
 <br>
-Als Beispiel für das Auftreten nichtlinearer Verzerrungen bei analogen Nachrichtenübertragungssystemen sollen hier einige Konstellationen genannt werden, die zu solchen führen. Inhaltlich bedeutet dies einen Vorgriff auf das Buch [[Modulationsverfahren]].
+Als Beispiel für das Auftreten nichtlinearer Verzerrungen bei analogen Nachrichtenübertragungssystemen sollen hier einige Konstellationen genannt werden, die zu solchen führen. Inhaltlich bedeutet dies einen Vorgriff auf das Buch&nbsp; [[Modulationsverfahren]].
 [[Datei:P_ID893__LZI_T_2_2_S5_neu.png |center|frame| Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems|class=fit]]
-Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals $v(t)$ in Bezug zum Quellensignal $q(t)$ treten auf, wenn
+Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals&nbsp; $v(t)$&nbsp; in Bezug zum Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; treten auf, wenn
-*es bereits auf dem Kanal – also bezüglich des Sendesignals $s(t)$ und des Empfangssignals $r(t)$ – zu nichtlinearen Verzerrungen kommt,
+*es bereits auf dem Kanal – also bezüglich des Sendesignals&nbsp; $s(t)$&nbsp; und des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; – zu nichtlinearen Verzerrungen kommt,
-*bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] (ZSB–AM) mit Modulationsgrad $m > 1$ ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,
+*bei der&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]]&nbsp; (ZSB–AM) mit Modulationsgrad&nbsp; $m > 1$&nbsp; ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,
-*bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch für einen  Modulationsgrad $m < 1$,
+*bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch bei einem  Modulationsgrad&nbsp; $m < 1$,
-*man die Kombination Einseitenband–AM /  [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]] verwendet (unabhängig vom Seitenband–zu–Träger–Verhältnis),
+*man die Kombination Einseitenband–AM  und&nbsp; [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]]&nbsp; verwendet (unabhängig vom Seitenband–zu–Träger–Verhältnis),
-*eine [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Gemeinsamkeiten_zwischen_Phasen.E2.80.93_und_Frequenzmodulation|Winkelmodulation]] – dies ist der für Frequenz– und Phasenmodulation übliche Oberbegriff – angewandt wird und die zur Verfügung stehende Bandbreite nur endlich groß ist.
+*eine&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Gemeinsamkeiten_zwischen_Phasen.E2.80.93_und_Frequenzmodulation|Winkelmodulation]]&nbsp; (Oberbegriff für Frequenz– und Phasenmodulation)&nbsp; angewandt wird und die zur Verfügung stehende Bandbreite nur endlich groß ist.
 ==Aufgaben zum Kapitel==

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2018, 11:54 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:


−	Bevor am Abschnittsende [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Konstellationen.2C_die_zu_nichtlinearen_Verzerrungen_f.C3.BChren\|~~Beispiele für das Auftreten nichtlinearer~~ Verzerrungen ~~in der Praxis~~]] genannt werden, soll das Problem der nichtlinearen Verzerrungen mathematisch erfasst werden. Wir setzen dabei voraus, dass ''das System kein Gedächtnis besitzt'', so dass der Ausgangswert $y = y(t_0)$ nur vom momentanen Eingangswert $x = x(t_0)$ abhängt, nicht aber vom Signalverlauf $x(t)$ für $t < t_0$.	+	Bevor am Abschnittsende [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Konstellationen.2C_die_zu_nichtlinearen_Verzerrungen_f.C3.BChren\|Konstellationen, die zu nichtlinearen Verzerrungen führen]] genannt werden, soll das Problem der nichtlinearen Verzerrungen mathematisch erfasst werden. Wir setzen dabei voraus, dass ''das System kein Gedächtnis besitzt'', so dass der Ausgangswert $y = y(t_0)$ nur vom momentanen Eingangswert $x = x(t_0)$ abhängt, nicht aber vom Signalverlauf $x(t)$ für $t < t_0$.

	==Beschreibung nichtlinearer Systeme==		==Beschreibung nichtlinearer Systeme==

@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 Auch bei diesem nichtlinearen Systemen bezeichnen wir die Signale am Eingang und Ausgang mit $x(t)$ bzw. $y(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen mit $X(f)$ und $Y(f)$. Ein Beobachter wird hier Folgendes feststellen:
 *Die Übertragungseigenschaften sind nun auch ''von der Größe des Eingangssignals abhängig''. Führt $x(t)$ zum Ausgangssignal $y(t)$, so kann daraus nun nicht mehr geschlossen werden, dass sich beim Eingangssignal $K · x(t)$ stets das Signal $K · y(t)$ ergeben wird.
-*Das bedeutet gleichzeitig, dass das ''Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist'', mit der Konsequenz, dass aus den beiden Korrespondenzen $x_1(t) ⇒ y_1(t)$ und $x_2(t) ⇒ y_2(t)$ nicht auf das Übertragungsverhalten $x_1(t) + x_2(t) &nbsp; ⇒ &nbsp; y_1(t) + y_2(t)$ geschlossen werden kann.
+*Das bedeutet gleichzeitig, dass das ''Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist'', mit der Konsequenz, dass aus den beiden Korrespondenzen $x_1(t) ⇒ y_1(t)$ und $x_2(t) ⇒ y_2(t)$ nicht auf das Ergebnis $x_1(t) + x_2(t) &nbsp; ⇒ &nbsp; y_1(t) + y_2(t)$ geschlossen werden kann.
 *Durch Nichtlinearitäten ''entstehen neue Frequenzen''. Ist $x(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_0$, so beinhaltet das Ausgangssignal $y(t)$ auch Anteile bei Vielfachen von $f_0$. Diese bezeichnet man in der Nachrichtentechnik als ''Oberwellen''.
 *Ein Nachrichtensignal beinhaltet in der Praxis meist sehr viele Frequenzanteile. Die Oberwellen der niederfrequenten Signalanteile fallen nun in den Bereich höherfrequenter Nutzanteile. Dadurch ergeben sich ''nichtreversible Signalverfälschungen''.
@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Ein System bezeichnet man als '''nichtlinear''', wenn zu allen Zeiten $t$ zwischen dem Signalwert $x = x(t)$ am Eingang und dem Ausgangssignalwert $y = y(t)$ der folgende Zusammenhang besteht:
+Ein System bezeichnet man als '''nichtlinear''', wenn zwischen dem Signalwert &nbsp;$x = x(t)$&nbsp; am Eingang und dem Ausgang &nbsp;$y = y(t)$&nbsp; der folgende Zusammenhang besteht:
 $$y = g(x) \ne {\rm const.}  \cdot x.$$
-Man bezeichnet den Verlauf $y = g(x)$ als die '''nichtlineare Kennlinie''' des Systems.}}
+Man bezeichnet den Verlauf &nbsp;$y = g(x)$&nbsp; als die '''nichtlineare Kennlinie''' des Systems.}}
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 [[Datei:P_ID888__LZI_T_2_2_S2_neu.png |center|frame| Nichtlineare Kennlinie|class=fit]]
-Da eine jede solche Kennlinie um den Arbeitspunkt in eine Taylorreihe entwickelt werden kann, lässt sich das Ausgangssignal auch wie folgt darstellen:
+Da jede Kennlinie um den Arbeitspunkt in eine Taylorreihe entwickelt werden kann, lässt sich das Ausgangssignal auch wie folgt darstellen:
 $$y(t) = \sum_{i=0}^{\infty}\hspace{0.1cm} c_i \cdot x^{i}(t)  = c_0 + c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^{2}(t) + c_3 \cdot x^{3}(t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
 Besitzt $x(t)$ eine Einheit – zum Beispiel „Volt”, so sind auch die Koeffizienten der Taylorreihe mit Einheiten anzusetzen und zwar mit unterschiedlichen:
@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
-In obiger Grafik ist der Arbeitspunkt identisch mit dem Nullpunkt und es gilt $c_0 = 0$.
+In obiger Grafik ist der Arbeitspunkt identisch mit dem Nullpunkt und es gilt &nbsp;$c_0 = 0$.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Die auf der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Eigenschaften_nichtlinearer_Systeme|ersten Seite  dieses Abschnitts]] aufgelisteten Eigenschaften nichtlinearer Systeme werden hier anhand der Kennlinie $y = g(x) = \sin(x)$ verdeutlicht, die in der Mitte der Grafik dargestellt ist.
+Die auf der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Eigenschaften_nichtlinearer_Systeme|ersten Seite  dieses Abschnitts]] aufgelisteten Eigenschaften nichtlinearer Systeme werden hier anhand der Kennlinie &nbsp;$y = g(x) = \sin(x)$&nbsp; verdeutlicht, die in der Mitte der Grafik dargestellt ist.
-*Das Gleichsignal $x(t) = 0.5$ hat hier das konstante Ausgangssignal $y(t) = 0.479$ zur Folge.
+*Das Gleichsignal &nbsp;$x(t) = 0.5$&nbsp; hat hier das konstante Ausgangssignal &nbsp;$y(t) = 0.479$&nbsp; zur Folge.
-* Mit $x(t) = 1$ ergibt sich das Ausgangssignal zu $y(t) = 0.841 ≠ 2 · 0.479$.
+* Mit &nbsp;$x(t) = 1$&nbsp; ergibt sich das Ausgangssignal zu &nbsp;$y(t) = 0.841 ≠ 2 · 0.479$.
+Durch eine Verdopplung von $x(t)$ wird hier also nicht auch gleichzeitig $y(t)$ verdoppelt &nbsp; &rArr; &nbsp; das Superpositionsprinzip wird verletzt.
 [[Datei:P_ID889__LZI_T_2_2_S2b_neu.png|center|frame| Auswirkungen einer nichtlinearen Kennlinie|class=fit]]
@@ Zeile 83: / Zeile 82: @@
 Ausdrücklich wird darauf hingewiesen, dass bei der Berechnung des Klirrfaktors die Amplitude $A_x$ des Eingangssignals nicht berücksichtigt wird. Auch ein entstehender Gleichanteil $A_0$ bleibt unberücksichtigt.
-Im [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Beschreibung_nichtlinearer_Systeme|Beispiel 1]]  im letzten Abschnitt wurden die Klirrfaktoren mit Werten zwischen $1\%$ und $\approx 20\%$ angegeben. Diese Werte liegen schon deutlich über den Klirrfaktoren preisgünstiger Audioanlagen, für die $K < 0.1\%$ gilt. Bei HiFi–Geräten wird auf die Linearität besonderer Wert gelegt und ein sehr kleiner Klirrfaktor schlägt sich auch im Preis nieder.
+Im [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Beschreibung_nichtlinearer_Systeme|$\text{Beispiel 1}$]]  im letzten Abschnitt wurden die Klirrfaktoren mit Werten zwischen etwa $1\%$ und $20\%$ angegeben. Diese Werte liegen schon deutlich über den Klirrfaktoren preisgünstiger Audioanlagen, für die $K < 0.1\%$ gilt. Bei HiFi–Geräten wird auf die Linearität besonderer Wert gelegt und ein sehr kleiner Klirrfaktor schlägt sich auch im Preis nieder.
-Ein Vergleich mit der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Ber.C3.BCcksichtigung_von_D.C3.A4mpfung_und_Laufzeit|Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit]]  lässt erkennen, dass für den wichtigen Sonderfall eines cosinusförmigem Eingangssignals das dort definierte Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis gleich dem Kehrwert des Klirrfaktors zum Quadrat ist:
+Ein Vergleich mit der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Ber.C3.BCcksichtigung_von_D.C3.A4mpfung_und_Laufzeit|Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit]]  lässt erkennen, dass für den Sonderfall eines cosinusförmigem Eingangssignals das dort definierte Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis gleich dem Kehrwert des Klirrfaktors zum Quadrat ist:
 $$\rho_{\rm V} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V}} = \left(\frac{  A_{1}}{A_x} \right)^2 \cdot
   \frac{ \frac{1}{2} \cdot A_{x}^2}{\frac{1}{2} \cdot (A_{2}^2 + A_{3}^2 + A_{4}^2 + \hspace{0.05cm}...) } = \frac{1}{K^2}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 95: / Zeile 94: @@
 :$$x(t) = {1}/{2}  +  {1}/{2}\cdot \cos (\omega_0 \cdot t).$$
-Dieses nimmt Werte zwischen $0$ und $1$ an und ist als blaue Kurve gezeichnet. Die Leistung dieses Signals ergibt sich zu $P_x = 1/4 + 1/8 = 0.375$.
+Dieses nimmt Werte zwischen $0$ und $1$ an und ist als blaue Kurve gezeichnet. Die Leistung dieses Signals ergibt sich zu
 Gibt man dieses Signal auf eine Nichtlinearität mit der Kennlinie
@@ Zeile 104: / Zeile 104: @@
   {1}/{192}\hspace{0.05cm}.$$
-Zur Berechnung dieser Fourierkoeffizienten wurden die trigonometrischen Umformungen für $\cos²(α)$ und $\cos³(α)$ verwendet. Der Klirrfaktor ergibt sich für dieses Signal zu
+Zur Berechnung dieser Fourierkoeffizienten wurden die trigonometrischen Umformungen für $\cos^2(α)$ und $\cos^3(α)$ verwendet. Der Klirrfaktor ergibt sich für dieses Signal zu
 :$$K = \frac {\sqrt{A_2^{\hspace{0.05cm}2} + A_3^{\hspace{0.05cm}2} } }{A_1}\approx 7.5\%\hspace{0.05cm}.$$
-Man erkennt weiter, dass das rot skizzierte Signal $y(t)$ näherungsweise gleich dem grün gezeichneten Signal $α · x(t)$ mit $α = \sin(1) ≈ 5/6$ ist.
+Man erkennt weiter, dass das rot skizzierte Signal $y(t)$ nahezu gleich dem grün gezeichneten Signal $α · x(t)$ mit $α = \sin(1) ≈ 5/6$ ist.
 Definiert man das Fehlersignal $ε_1(t) = y(t) - α · x(t)$, so ergibt sich mit dessen Leistung
@@ Zeile 123: / Zeile 123: @@
 ==Rauschklirrmessung==
 <br>
-Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen. Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal $x(t)$ durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_x(f)$. Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre (BS) mit Mittelfrequenz $f_{\rm M}$ und Bandbreite $B$ in das System ein.
+Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen.
 [[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png |center|frame| Prinzip der Rauschklirrmessung|class=fit]]
@@ Zeile 139: / Zeile 142: @@
 Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals $v(t)$ in Bezug zum Quellensignal $q(t)$ treten auf, wenn
 *es bereits auf dem Kanal – also bezüglich des Sendesignals $s(t)$ und des Empfangssignals $r(t)$ – zu nichtlinearen Verzerrungen kommt,
-*bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] (ZSB–AM) mit dem Modulationsgrad $m > 1$ ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,
+*bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] (ZSB–AM) mit Modulationsgrad $m > 1$ ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,
-*bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch dann, wenn der Modulationsgrad $m < 1$  ist,
+*bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch für einen  Modulationsgrad $m < 1$,
-*die Kombination aus einer Einseitenband–Amplitudenmodulation und der [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]] zur Anwendung kommt (unabhängig vom Seitenband–zu–Träger–Verhältnis),
+*man die Kombination Einseitenband–AM /  [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]] verwendet (unabhängig vom Seitenband–zu–Träger–Verhältnis),
 *eine [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Gemeinsamkeiten_zwischen_Phasen.E2.80.93_und_Frequenzmodulation|Winkelmodulation]] – dies ist der für Frequenz– und Phasenmodulation übliche Oberbegriff – angewandt wird und die zur Verfügung stehende Bandbreite nur endlich groß ist.

@@ Zeile 148: / Zeile 148: @@
 [[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie| Aufgabe 2.3: Sinusförmige Kennlinie]]
-[[Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb_asymmetrisch|Aufgabe 2.3Z:  Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb asymmetrisch]]
+[[Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb_asymmetrisch|Aufgabe 2.3Z:  Kennlinienbetrieb asymmetrisch]]
 [[Aufgaben:2.4_Klirrfaktor_und_Verzerrungsleistung|Aufgabe 2.4: Klirrfaktor und Verzerrungsleistung]]

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 Die Systembeschreibung mittels des Frequenzgangs $H(f)$ und/oder der Impulsantwort $h(t)$ ist nur bei einem [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|LZI–System]]  möglich. Beinhaltet aber das System auch nichtlineare Komponenten wie für dieses Kapitel vorausgesetzt wird, so sind kein Frequenzgang und auch keine Impulsantwort angebbar und das Modell muss allgemeiner gestaltet werden.
-[[Datei:P_ID887__LZI_T_2_2_S1_neu.png  | Beschreibung eines nichtlinearen Systems|class=fit]]
+[[Datei:P_ID887__LZI_T_2_2_S1_neu.png  |frame| Beschreibung eines nichtlinearen Systems|class=fit]]
 Auch bei diesem nichtlinearen Systemen bezeichnen wir die Signale am Eingang und Ausgang mit $x(t)$ bzw. $y(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen mit $X(f)$ und $Y(f)$. Ein Beobachter wird hier Folgendes feststellen:
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 In der Grafik ist beispielhaft in grün die nichtlineare Kennlinie $y = g(x)$ zu erkennen, die entsprechend dem ersten Viertel einer Sinusfunktion geformt ist. In roter Farbe gestrichelt erkennt man den Sonderfall eines linearen Systems mit der Kennlinie $y = x$.
-[[Datei:P_ID888__LZI_T_2_2_S2_neu.png | Nichtlineare Kennlinie|class=fit]]
+[[Datei:P_ID888__LZI_T_2_2_S2_neu.png |frame| Nichtlineare Kennlinie|class=fit]]
 Da eine jede solche Kennlinie um den Arbeitspunkt in eine Taylorreihe entwickelt werden kann, lässt sich das Ausgangssignal auch wie folgt darstellen:
@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 &rArr;&nbsp; Durch eine Verdopplung von $x(t)$ wird hier also nicht auch gleichzeitig $y(t)$ verdoppelt, und somit das Superpositionsprinzip verletzt.
-[[Datei:P_ID889__LZI_T_2_2_S2b_neu.png| Auswirkungen einer nichtlinearen Kennlinie|class=fit]]
+[[Datei:P_ID889__LZI_T_2_2_S2b_neu.png|frame| Auswirkungen einer nichtlinearen Kennlinie|class=fit]]
 Die äußeren Bilder zeigen – jeweils in blau – cosinusförmige Eingangssignale $x(t)$ mit unterschiedlichen Amplituden $A$ und in rot die dazugehörigen verzerrten Ausgangssignale $y(t)$. Man erkennt die Zunahme der nichtlinearen Verzerrungen mit größer werdender Amplitude, die durch den auf der nächsten Seite definierten Klirrfaktor $K$ quantifiziert werden.
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 Zur quantitativen Erfassung der nichtlinearen Verzerrungen gehen wir hier von einem cosinusförmigen Eingangssignal $x(t)$ mit der Amplitude $A_x$ aus.
-[[Datei:LZI_T_2_2_S3_vers2.png|Zur Definition des Klirrfaktors|class=fit]]
+[[Datei:LZI_T_2_2_S3_vers2.png|frame|Zur Definition des Klirrfaktors|class=fit]]
 Das Ausgangssignal beinhaltet aufgrund der nichtlinearen Verzerrungen Oberwellen und es gilt allgemein:
@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 {{Beispiel}}
-[[Datei:P_ID1090__LZI_T_2_2_S3b_neu.png  | Einfluss einer Nichtlinearität auf ein Cosinussignal | right|class=fit]]
+[[Datei:P_ID1090__LZI_T_2_2_S3b_neu.png  |frame|Einfluss einer Nichtlinearität auf ein Cosinussignal | right|class=fit]]
 Wir betrachten nun ein mittelwertbehaftetes Cosinussignal:
@@ Zeile 122: / Zeile 122: @@
 Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen. Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal $x(t)$ durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_x(f)$. Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre (BS) mit Mittelfrequenz $f_{\rm M}$ und Bandbreite $B$ in das System ein.
-[[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png | Prinzip der Rauschklirrmessung|class=fit]]
+[[Datei:P_ID892__LZI_T_2_2_S4_neu.png |frame| Prinzip der Rauschklirrmessung|class=fit]]
 Bei einem linearen System wäre das Ausgangsspektrum ${\it \Phi}_y(f)$ nicht breiter als $B_x$ und auch im Bereich um $f_{\rm M}$ gäbe es keine Anteile. Diese ergeben sich allein durch Mischprodukte (Intermodulationsanteile) verschiedener Spektralanteile, also durch nichtlineare Verzerrungen.
@@ Zeile 131: / Zeile 131: @@
 Als Beispiel für das Auftreten nichtlinearer Verzerrungen bei analogen Nachrichtenübertragungssystemen sollen hier einige Konstellationen genannt werden, die zu solchen führen. Inhaltlich bedeutet dies einen Vorgriff auf das Buch [[Modulationsverfahren]].
-[[Datei:P_ID893__LZI_T_2_2_S5_neu.png | Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems|class=fit]]
+[[Datei:P_ID893__LZI_T_2_2_S5_neu.png |frame| Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems|class=fit]]
 Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals $v(t)$ in Bezug zum Quellensignal $q(t)$ treten auf, wenn

@@ Zeile 133: / Zeile 133: @@
 [[Datei:P_ID893__LZI_T_2_2_S5_neu.png | Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems|class=fit]]
-Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals $υ(t)$ in Bezug zum Quellensignal $q(t)$ treten auf, wenn
+Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals $v(t)$ in Bezug zum Quellensignal $q(t)$ treten auf, wenn
 *es bereits auf dem Kanal – also bezüglich des Sendesignals $s(t)$ und des Empfangssignals $r(t)$ – zu nichtlinearen Verzerrungen kommt,
-*bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] (ZSB–AM) mit dem Modulationsgrad $m$ > 1 ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,
+*bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] (ZSB–AM) mit dem Modulationsgrad $m > 1$ ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,
-*bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch dann, wenn der Modulationsgrad $m$ kleiner als 1 ist,
+*bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch dann, wenn der Modulationsgrad $m < 1$  ist,
 *die Kombination aus einer Einseitenband–Amplitudenmodulation und der [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]] zur Anwendung kommt (unabhängig vom Seitenband–zu–Träger–Verhältnis),
 *eine [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Gemeinsamkeiten_zwischen_Phasen.E2.80.93_und_Frequenzmodulation|Winkelmodulation]] – dies ist der für Frequenz– und Phasenmodulation übliche Oberbegriff – angewandt wird und die zur Verfügung stehende Bandbreite nur endlich groß ist.
@@ Zeile 142: / Zeile 142: @@
 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:2.1_Linear%3F_-_Nichtlinear%3F| Aufgabe 2.1: &nbsp; Linear? - Nichtlinear?]]
+[[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie| Aufgabe 2.3: &nbsp; Sinusförmige Kennlinie]]
-[[Aufgaben:2.1Z_Verzerrung_und_Entzerrung|Zusatzaufgabe 2.1Z: &nbsp; Verzerrung und Entzerrung]]
+[[Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb_asymmetrisch|Zusatzaufgabe 2.3Z: &nbsp; Aufgaben:2.3Z_Kennlinienbetrieb asymmetrisch]]
-[[Aufgaben:2.2_Verzerrungsleistung|Aufgabe 2.2: &nbsp; Verzerrungsleistung]]
+[[Aufgaben:2.4_Klirrfaktor_und_Verzerrungsleistung|Aufgabe 2.4: &nbsp; Klirrfaktor und Verzerrungsleistung]]
-[[Aufgaben:2.2Z_Nochmals_Verzerrungsleistung|Zusatzaufgabe 2.2Z: &nbsp;  Nochmals Verzerrungsleistung]]
+[[2.4Z_Kennlinienvermessung|Zusatzaufgabe 2.4Z: &nbsp;  Kennlinienvermessung]]
 {{Display}}