Lineare zeitinvariante Systeme/Lineare Verzerrungen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:27:53Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:27 Uhr
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Linear_and_Time_Invariant_Systems/Linear_Distortions]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:37:54Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:37 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:

	Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:		Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
	:$$H(f) = \|H(f)\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot		:$$H(f) = \|H(f)\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$
	\hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}
	\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$

	Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:		Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:
	*Der Betrag  $\|H(f)\|$  wird als  '''Amplitudengang'''  und in logarithmierter Form als  "Dämpfungsverlauf"  bezeichnet:		*Der Betrag  $\|H(f)\|$  wird als  '''Amplitudengang'''  und in logarithmierter Form als  "Dämpfungsverlauf"  bezeichnet:
	:$$a(f) = - \ln \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper		:$$a(f) = - \ln \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper\hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in\hspace{0.1cm}Dezibel \hspace{0.1cm}(dB) }.$$
	\hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in
	\hspace{0.1cm}Dezibel \hspace{0.1cm}(dB) }.$$
	*Der  '''Phasengang'''  $b(f)$  gibt den negativen, von  $f$  abhängigen Winkel von  $H(f)$  in der komplexen Ebene an, bezogen auf die reelle Achse:		*Der  '''Phasengang'''  $b(f)$  gibt den negativen, von  $f$  abhängigen Winkel von  $H(f)$  in der komplexen Ebene an, bezogen auf die reelle Achse:
	:$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in		:$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in\hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$
	\hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$

	==Voraussetzungen für verzerrungsfreie Systeme==		==Voraussetzungen für verzerrungsfreie Systeme==
Zeile 81:		Zeile 76:
	<br>		<br>
	Wir betrachten im Folgenden als Eingangssignal die Summe zweier harmonischer Schwingungen:		Wir betrachten im Folgenden als Eingangssignal die Summe zweier harmonischer Schwingungen:
	:$$x(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot t - \varphi_1) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t -		:$$x(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot t - \varphi_1) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t -\varphi_2).$$
	\varphi_2).$$

	*Ist das Ausgangssignal in der Form		*Ist das Ausgangssignal in der Form
	:$$y(t) = \alpha_1 \cdot A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot t - \varphi_1) + \alpha_2 \cdot A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t -		:$$y(t) = \alpha_1 \cdot A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot t - \varphi_1) + \alpha_2 \cdot A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t -\varphi_2).$$
	\varphi_2).$$
	:darstellbar und gilt  $α_1 ≠ α_2$, so liegen  '''ausschließlich Dämpfungsverzerrungen'''  vor.  Die Phasenwerte  $\varphi_1$  und  $\varphi_2$  werden durch das System nicht verändert.		:darstellbar und gilt  $α_1 ≠ α_2$, so liegen  '''ausschließlich Dämpfungsverzerrungen'''  vor.  Die Phasenwerte  $\varphi_1$  und  $\varphi_2$  werden durch das System nicht verändert.

Zeile 116:		Zeile 109:
	<br>		<br>
	Wir betrachten ein System mit  $\|H(f)\| = 1$, so dass für den Frequenzgang gilt:		Wir betrachten ein System mit  $\|H(f)\| = 1$, so dass für den Frequenzgang gilt:
	:$$H(f) = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}		:$$H(f) = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
	b(f)}.$$
	*Die linke Grafik zeigt einen beispielhaften Phasenverlauf  $b(f)$.  Ein solcher Phasenverlauf ist stets eine ungerade Funktion bezüglich der Frequenz:   $b(\hspace{-0.01cm}-\hspace{-0.08cm}f) = \hspace{0.08cm}-b(f)$.		*Die linke Grafik zeigt einen beispielhaften Phasenverlauf  $b(f)$.  Ein solcher Phasenverlauf ist stets eine ungerade Funktion bezüglich der Frequenz:   $b(\hspace{-0.01cm}-\hspace{-0.08cm}f) = \hspace{0.08cm}-b(f)$.
	*Rechts ist die Funktion  $b(ω)$  skizziert, die gegenüber  $b(f)$  in der Abszisse um den Faktor $2π$ gestreckt ist.		*Rechts ist die Funktion  $b(ω)$  skizziert, die gegenüber  $b(f)$  in der Abszisse um den Faktor $2π$ gestreckt ist.
Zeile 123:		Zeile 115:

	Liegt am Eingang die harmonische Schwingung		Liegt am Eingang die harmonische Schwingung
	:$$x(t) = C \cdot \cos(2 \pi f_0 t - \varphi) \hspace{0.15cm}		:$$x(t) = C \cdot \cos(2 \pi f_0 t - \varphi) \hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.15cm} X(f ) = {C}/{2}\cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta(f + f_0)\hspace{0.01cm} + \hspace{0.01cm}{C}/{2}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta(f - f_0)$$
	\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.15cm} X(f ) = {C}/{2}\cdot
	{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta(f + f_0)
	\hspace{0.01cm} + \hspace{0.01cm}{C}/{2}\cdot {\rm e}^{-{\rm
	j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta(f - f_0)$$
	[[Datei: P_ID902__LZI_T_2_3_S4_neu.png \|frame\|Zur Definition der Phasenlaufzeit\|class=fit]]		[[Datei: P_ID902__LZI_T_2_3_S4_neu.png \|frame\|Zur Definition der Phasenlaufzeit\|class=fit]]

	an,  so ergibt sich für die Spektralfunktion am Ausgang:		an,  so ergibt sich für die Spektralfunktion am Ausgang:
	:$$Y(f ) = {C}/{2}\cdot		:$$Y(f ) = {C}/{2}\cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f_0)} \cdot \delta(f + f_0) \hspace{0.05cm} +\hspace{0.05cm}{C}/{2}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f_0)} \cdot\delta(f - f_0).$$
	{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm
	j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f_0)} \cdot \delta(f + f_0) \hspace{0.05cm} +
	\hspace{0.05cm}{C}/{2}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}
	\varphi}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f_0)} \cdot
	\delta(f - f_0).$$
	Somit lautet das Ausgangssignal:		Somit lautet das Ausgangssignal:
	:$$y(t) = C \cdot \cos(2 \pi f_0 t - b(f_0) - \varphi).$$		:$$y(t) = C \cdot \cos(2 \pi f_0 t - b(f_0) - \varphi).$$
Zeile 146:		Zeile 129:
	Die  '''Phasenlaufzeit'''  gibt die Verzögerung an, die eine harmonische Schwingung mit der Frequenz  $f_0$  durch das System erfährt.		Die  '''Phasenlaufzeit'''  gibt die Verzögerung an, die eine harmonische Schwingung mit der Frequenz  $f_0$  durch das System erfährt.
	*Bei phasenverzerrenden Systemen ist die Phasenlaufzeit frequenzabhängig:		*Bei phasenverzerrenden Systemen ist die Phasenlaufzeit frequenzabhängig:
	:$$\tau_{\rm P}(f_0) = \frac{b(f_0)}{2\pi f_0} \hspace{0.4cm}{\rm bzw.} \hspace{0.4cm}		:$$\tau_{\rm P}(f_0) = \frac{b(f_0)}{2\pi f_0} \hspace{0.4cm}{\rm bzw.} \hspace{0.4cm}\tau_{\rm P}(\omega_0) = \frac{b(\omega_0)}{\omega_0}.$$}}
	\tau_{\rm P}(\omega_0) = \frac{b(\omega_0)}{\omega_0}.$$}}


Zeile 184:		Zeile 166:

	Dagegen kennzeichnet die geringere Steigung der rot dargestellten Tangente die  '''Gruppenlaufzeit:'''		Dagegen kennzeichnet die geringere Steigung der rot dargestellten Tangente die  '''Gruppenlaufzeit:'''
	:$$\tau_{\rm G}(\omega_0) = \left[ \frac{ {\rm d}b(\omega)}{ {\rm d}\omega}\right ]_{\omega = \omega_0} =		:$$\tau_{\rm G}(\omega_0) = \left[ \frac{ {\rm d}b(\omega)}{ {\rm d}\omega}\right ]_{\omega = \omega_0} =\left[ \frac{1}{\omega_0} \cdot \frac{1}{1 + \left(\omega / \omega_0\right]^2} \right ]_{\omega =\omega_0}= \frac{1}{2\omega_0}= \frac{1}{4 \pi \cdot{1\, \rm kHz} }\approx {80\, \rm µ s}.$$}}
	\left[ \frac{1}{\omega_0} \cdot \frac{1}{1 + \left(\omega / \omega_0\right]^2} \right ]_{\omega =
	\omega_0}
	= \frac{1}{2\omega_0}= \frac{1}{4 \pi \cdot{1\, \rm kHz} }
	\approx {80\, \rm µ s}.$$}}

	==Phasenverzerrungen==		==Phasenverzerrungen==
	<br>		<br>
	Zur Verdeutlichung dieses Sachverhaltes betrachten wir als Eingangssignal wieder die Summe zweier harmonischer Schwingungen:		Zur Verdeutlichung dieses Sachverhaltes betrachten wir als Eingangssignal wieder die Summe zweier harmonischer Schwingungen:
	:$$x(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot t - \varphi_1) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t -		:$$x(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot t - \varphi_1) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t -\varphi_2).$$
	\varphi_2).$$

	*Ist bei diesem Eingangssignal das Ausgangssignal in der Form		*Ist bei diesem Eingangssignal das Ausgangssignal in der Form
	:$$y(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot (t - \tau_1) - \varphi_1) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - \tau_2) -		:$$y(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot (t - \tau_1) - \varphi_1) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - \tau_2) -\varphi_2)$$
	\varphi_2)$$
	:darstellbar und gilt gleichzeitig  $τ_1 ≠ τ_2$, so liegen  '''ausschließlich Phasenverzerrungen'''  vor.		:darstellbar und gilt gleichzeitig  $τ_1 ≠ τ_2$, so liegen  '''ausschließlich Phasenverzerrungen'''  vor.

	*Die beiden Phasenlaufzeiten  $τ_1 ≠ τ_2$  können aus dem Phasenverlauf  (in Radian)  ermittelt werden:		*Die beiden Phasenlaufzeiten  $τ_1 ≠ τ_2$  können aus dem Phasenverlauf  (in Radian)  ermittelt werden:
	:$$\tau_1 = \frac{b(f_1)}{2\pi f_1} , \hspace{0.4cm}\tau_2 = \frac{b(f_2)}{2\pi		:$$\tau_1 = \frac{b(f_1)}{2\pi f_1} , \hspace{0.4cm}\tau_2 = \frac{b(f_2)}{2\pif_2}.$$
	~~f_2~~}.$$

	[[Datei: P_ID905__LZI_T_2_3_S6_neu.png\|right\|frame\|Auswirkungen von Phasenverzerrungen\|class=fit]]		[[Datei: P_ID905__LZI_T_2_3_S6_neu.png\|right\|frame\|Auswirkungen von Phasenverzerrungen\|class=fit]]

Guenter am 5. Oktober 2021 um 13:28 Uhr

2021-10-05T13:28:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Oktober 2021, 15:28 Uhr
Zeile 106:		Zeile 106:
	Man erkennt signifikante Auswirkungen dieser Dämpfungsverzerrungen:		Man erkennt signifikante Auswirkungen dieser Dämpfungsverzerrungen:
	*$y(t)$  hat nur noch wenig Ähnlichkeit mit  $x(t)$.		*$y(t)$  hat nur noch wenig Ähnlichkeit mit  $x(t)$.
	*Dagegen würde sich mit  $α_1 = α_2 = α$  das verzerrungsfreie Signal  $y(t) = α · x(t)$  ergeben, aus dem man durch Verstärkung um  $1/α$  das ursprüngliche Signal  $x(t)$  wieder rekonstruieren könnte.}}		*Dagegen würde sich mit  $α_1 = α_2 = α$  das verzerrungsfreie Signal  $y(t) = α · x(t)$  ergeben, aus dem man durch Verstärkung um  $1/α$  das ursprüngliche Signal  $x(t)$  wieder rekonstruieren könnte.


	Wir weisen hier ausdrücklich auf das interaktive Applet  [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer_Signale\|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]] hin.		Wir weisen hier ausdrücklich auf das interaktive Applet  [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer_Signale\|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]] hin.}}


Zeile 214:		Zeile 214:

	*Mit  $τ_1 = τ_2 = τ$  ergäbe sich das verzerrungsfreie Signal		*Mit  $τ_1 = τ_2 = τ$  ergäbe sich das verzerrungsfreie Signal
	:$$y(t) = x(t - τ).$$}}		:$$y(t) = x(t - τ).$$


	Wir weisen nochmals auf das interaktive Applet  [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer_Signale\|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]  hin.		Wir weisen nochmals auf das interaktive Applet  [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer_Signale\|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]  hin.}}

Guenter am 5. Oktober 2021 um 13:26 Uhr

2021-10-05T13:26:12Z

Guenter am 5. Oktober 2021 um 13:06 Uhr

2021-10-05T13:06:42Z

Änderungen zeigen

Guenter am 29. Oktober 2019 um 13:32 Uhr

2019-10-29T13:32:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. Oktober 2019, 15:32 Uhr
Zeile 116:		Zeile 116:
	:$$H(f) = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}		:$$H(f) = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}
	b(f)}.$$		b(f)}.$$
	*Die linke Grafik zeigt einen beispielhaften Phasenverlauf  $b(f)$. Ein solcher ist stets eine ungerade Funktion bezüglich der Frequenz  $f$:   $b(\hspace{-0.01cm}-\hspace{-0.08cm}f) = \hspace{0.08cm}–b(f)$.		*Die linke Grafik zeigt einen beispielhaften Phasenverlauf  $b(f)$. Ein solcher Phasenverlauf ist stets eine ungerade Funktion bezüglich der Frequenz  $f$:   $b(\hspace{-0.01cm}-\hspace{-0.08cm}f) = \hspace{0.08cm}-b(f)$.
	*Rechts ist die Funktion  $b(ω)$  skizziert, die gegenüber  $b(f)$  in der Abszisse um den Faktor $2π$ gestreckt ist.		*Rechts ist die Funktion  $b(ω)$  skizziert, die gegenüber  $b(f)$  in der Abszisse um den Faktor $2π$ gestreckt ist.

Zeile 124:		Zeile 124:
	:$$x(t) = C \cdot \cos(2 \pi f_0 t - \varphi)		:$$x(t) = C \cdot \cos(2 \pi f_0 t - \varphi)
	\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, X(f ) = {C}/{2}\cdot		\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, X(f ) = {C}/{2}\cdot
	{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.~~01cm~~} \varphi} \cdot \delta(f + f_0)		{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta(f + f_0)
	\hspace{0.01cm} + \hspace{0.01cm}{C}/{2}\cdot {\rm e}^{-{\rm		\hspace{0.01cm} + \hspace{0.01cm}{C}/{2}\cdot {\rm e}^{-{\rm
	j}\hspace{0.~~01cm~~} \varphi} \cdot \delta(f - f_0)$$		j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta(f - f_0)$$
	an, so ergibt sich für die Spektralfunktion am Ausgang:		an, so ergibt sich für die Spektralfunktion am Ausgang:
	:$$Y(f ) = {C}/{2}\cdot		:$$Y(f ) = {C}/{2}\cdot
	{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \varphi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm		{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm
	j}\hspace{0.05cm} b(f_0)} \cdot \delta(f + f_0) \hspace{0.05cm} +		j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f_0)} \cdot \delta(f + f_0) \hspace{0.05cm} +
	\hspace{0.05cm}{C}/{2}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}		\hspace{0.05cm}{C}/{2}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}
	\varphi}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} b(f_0)} \cdot		\varphi}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f_0)} \cdot
	\delta(f - f_0).$$		\delta(f - f_0).$$
	Somit lautet das Ausgangssignal:		Somit lautet das Ausgangssignal:
	:$$y(t) = C \cdot \cos(2 \pi f_0 t - b(f_0) - \varphi).$$		:$$y(t) = C \cdot \cos(2 \pi f_0 t - b(f_0) - \varphi).$$
	Dieses kann auch in folgender Form dargestellt werden:		Dieses Signal kann auch in folgender Form dargestellt werden:
	:$$y(t) = C \cdot \cos(2 \pi f_0 ( t - \tau_{\rm P}(f_0)) - \varphi).$$		:$$y(t) = C \cdot \cos(2 \pi f_0 ( t - \tau_{\rm P}(f_0)) - \varphi).$$

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Die '''Phasenlaufzeit''' gibt die Verzögerung an, die eine harmonische Schwingung mit der Frequenz  $f_0$  durch das System erfährt. Bei phasenverzerrenden Systemen ist die Phasenlaufzeit frequenzabhängig:		Die  '''Phasenlaufzeit'''  gibt die Verzögerung an, die eine harmonische Schwingung mit der Frequenz  $f_0$  durch das System erfährt. Bei phasenverzerrenden Systemen ist die Phasenlaufzeit frequenzabhängig:
	:$$\tau_{\rm P}(f_0) = \frac{b(f_0)}{2\pi f_0} \hspace{0.4cm}{\rm bzw.} \hspace{0.4cm}		:$$\tau_{\rm P}(f_0) = \frac{b(f_0)}{2\pi f_0} \hspace{0.4cm}{\rm bzw.} \hspace{0.4cm}
	\tau_{\rm P}(\omega_0) = \frac{b(\omega_0)}{\omega_0}.$$}}		\tau_{\rm P}(\omega_0) = \frac{b(\omega_0)}{\omega_0}.$$}}
Zeile 160:		Zeile 160:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Die '''Gruppenlaufzeit''' ist wie folgt definiert:		Die  '''Gruppenlaufzeit'''  ist wie folgt definiert:
	:$$\tau_{\rm G}(\omega_0) = \left[ \frac{ {\rm d}b(\omega)}{ {\rm d}\omega}\right ]_{\omega = \omega_0}.$$		:$$\tau_{\rm G}(\omega_0) = \left[ \frac{ {\rm d}b(\omega)}{ {\rm d}\omega}\right ]_{\omega = \omega_0}.$$
	Diese Größe wird vorwiegend zur Beschreibung von Schmalbandsystemen herangezogen. Sie gibt die Verzögerung an, welche die Hüllkurve eines Bandpass-Systems erfährt. }}		*Diese Größe wird vorwiegend zur Beschreibung von Schmalbandsystemen herangezogen.
			*Sie gibt die Verzögerung an, welche die Hüllkurve eines Bandpass-Systems erfährt. }}


Zeile 170:		Zeile 171:
	Die Grafik zeigt die beispielhafte Phasenfunktion:		Die Grafik zeigt die beispielhafte Phasenfunktion:
	:$$b(ω) = \arctan (ω/ω_0).$$		:$$b(ω) = \arctan (ω/ω_0).$$
	*Diese steigt monoton von Null (bei  $ω = 0$) bis  $π/2$ (für  $ω → ∞$).		*Diese steigt monoton von Null  $($bei  $ω = 0)$  bis  $π/2$  $($für  $ω → ∞)$.
	*Der Funktionswert bei  $ω = ω_0$  beträgt  $π/4$.		*Der Funktionswert bei  $ω = ω_0$  beträgt  $π/4$.

Zeile 176:		Zeile 177:
	Setzen wir  $ω_0 = 2π · 1 \ \rm kHz$, so erhalten wir für die ''Phasenlaufzeit:''		Setzen wir  $ω_0 = 2π · 1 \ \rm kHz$, so erhalten wir für die ''Phasenlaufzeit:''
	:$$\tau_{\rm P}(\omega_0) = \frac{b(\omega_0)}{\omega_0}= \frac{\pi / 4}{2 \pi \cdot{1\, \rm kHz} } = {125\, \rm µ s}.$$		:$$\tau_{\rm P}(\omega_0) = \frac{b(\omega_0)}{\omega_0}= \frac{\pi / 4}{2 \pi \cdot{1\, \rm kHz} } = {125\, \rm µ s}.$$
	Diese Größe entspricht der Steigung der grün eingezeichneten Geraden in ~~der obigen~~ Grafik.		Diese Größe entspricht der Steigung der grün eingezeichneten Geraden in obiger Grafik.

	Dagegen kennzeichnet die geringere Steigung der rot dargestellten Tangente die ''Gruppenlaufzeit:''		Dagegen kennzeichnet die geringere Steigung der rot dargestellten Tangente die ''Gruppenlaufzeit:''
Zeile 194:		Zeile 195:
	:$$y(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot (t - \tau_1) - \varphi_1) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - \tau_2) -		:$$y(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot (t - \tau_1) - \varphi_1) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - \tau_2) -
	\varphi_2)$$		\varphi_2)$$
	darstellbar und gilt gleichzeitig  $τ_1 ≠ τ_2$, so liegen '''ausschließlich Phasenverzerrungen''' vor.		darstellbar und gilt gleichzeitig  $τ_1 ≠ τ_2$, so liegen  '''ausschließlich Phasenverzerrungen'''  vor.

	Die beiden Phasenlaufzeiten  $τ_1 ≠ τ_2$  können aus dem Phasenverlauf (in Radian) ermittelt werden:		Die beiden Phasenlaufzeiten  $τ_1 ≠ τ_2$  können aus dem Phasenverlauf (in Radian) ermittelt werden:
Zeile 205:		Zeile 206:
	Die Grafik zeigt als blauen Kurvenverlauf das mit der Periodendauer  $T_0$  periodische Signal		Die Grafik zeigt als blauen Kurvenverlauf das mit der Periodendauer  $T_0$  periodische Signal
	:$$x(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot {1\, \rm kHz}\cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot {2\, \rm kHz}\cdot t)$$		:$$x(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot {1\, \rm kHz}\cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot {2\, \rm kHz}\cdot t)$$
	sowie das mit den Laufzeiten  $τ_1 = 0.7 \ \rm ms$  und  $τ_2 = 0.3 \ \rm ms$  phasenverzerrte Signal  $y(t)$  (rote Kurve).		sowie das mit den Laufzeiten  $τ_1 = 0.7 \ \rm ms$  und  $τ_2 = 0.3 \ \rm ms$  phasenverzerrte Signal  $y(t)$  ⇒   rote Kurve.
	*Man erkennt deutlich die Auswirkungen der Phasenverzerrungen.		*Man erkennt deutlich die Auswirkungen der Phasenverzerrungen.

	*Mit  $τ_1 = τ_2 = τ$  ergäbe sich das verzerrungsfreie Signal		*Mit  $τ_1 = τ_2 = τ$  ergäbe sich das verzerrungsfreie Signal
	:$$y(t) = x(t – τ).$$}}		:$$y(t) = x(t - τ).$$}}


Zeile 221:		Zeile 222:
	Dieses für die Nachrichtentechnik sehr wichtige Verfahren soll hier nur kurz angerissen werden. Nähere Informationen hierzu finden Sie in den Büchern  [[Modulationsverfahren\|Modulationsverfahren]]  und  [[Digitalsignalübertragung\|Digitalsignalübertragung]].		Dieses für die Nachrichtentechnik sehr wichtige Verfahren soll hier nur kurz angerissen werden. Nähere Informationen hierzu finden Sie in den Büchern  [[Modulationsverfahren\|Modulationsverfahren]]  und  [[Digitalsignalübertragung\|Digitalsignalübertragung]].

	Wir gehen für diese Kurzbeschreibung von der skizzierten Konstellation aus~~. Hierbei bezeichnet  ~~$S_{\rm V}$  ein verzerrendes System, während  $S_{\rm E}$  der Entzerrung dient.		Wir gehen für diese Kurzbeschreibung von der skizzierten Konstellation aus:
			*$S_{\rm V}$  bezeichnet ein verzerrendes System,
			*während  $S_{\rm E}$  der Entzerrung dient.


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	*Aber auch bei linearen Verzerrungen werden nichtlineare Entzerrungsverfahren eingesetzt, zum Beispiel ''Decision Feedback Equalization'' bei Digitalsystemen. Der Vorteil gegenüber linearer Entzerrung ist, dass es nicht zu einer Erhöhung der Rauschleistung kommt.		*Aber auch bei linearen Verzerrungen werden nichtlineare Entzerrungsverfahren eingesetzt, zum Beispiel ''Decision Feedback Equalization'' bei Digitalsystemen. Der Vorteil gegenüber linearer Entzerrung ist, dass es nicht zu einer Erhöhung der Rauschleistung kommt.
	*Ist  $S_{\rm V}$  ein lineares System mit Frequenzgang  $H_{\rm V}(f)$, so können mit dem ''inversen Frequenzgang''  $H_{\rm E}(f) = 1/H_{\rm V}(f)$  die Verzerrungen vollständig eliminiert werden, und es gilt  $z(t) = x(t)$.		*Ist  $S_{\rm V}$  ein lineares System mit Frequenzgang  $H_{\rm V}(f)$, so können mit dem ''inversen Frequenzgang''  $H_{\rm E}(f) = 1/H_{\rm V}(f)$  die Verzerrungen vollständig eliminiert werden, und es gilt  $z(t) = x(t)$.
	*Voraussetzung hierfür ist ~~aber~~, dass der Frequenzgang  $H_{\rm V}(f)$  im interessierenden Spektralbereich ''keine Nullstellen'' besitzt, da sonst bei  $H_{\rm E}(f)$  Unendlichkeitsstellen erforderlich wären.		*Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass der Frequenzgang  $H_{\rm V}(f)$  im interessierenden Spektralbereich ''keine Nullstellen''  besitzt, da sonst bei  $H_{\rm E}(f)$  Unendlichkeitsstellen erforderlich wären.
	*Bei ''Analogsystemen'' bedeutet eine vollständige Entzerrung, dass sich  $z(t)$  von  $x(t)$  nur durch die unvermeidbaren Rauschanteile unterscheidet, und eventuell durch eine Laufzeit.		*Bei ''Analogsystemen''  bedeutet eine vollständige Entzerrung, dass sich  $z(t)$  von  $x(t)$  nur durch die unvermeidbaren Rauschanteile unterscheidet, und eventuell durch eine Laufzeit.
	*Bei ''Digitalsystemen'' ist das Kriterium für eine vollständige Entzerrung weniger streng. Es muss dann nur sichergestellt werden, dass die Signale  $x(t)$  und  $z(t)$  zu den Detektionszeitpunkten übereinstimmen. Man spricht in diesem Zusammenhang von [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen\|Nyquistsystemen]].		*Bei ''Digitalsystemen''  ist das Kriterium für eine vollständige Entzerrung weniger streng. Es muss dann nur sichergestellt werden, dass die Signale  $x(t)$  und  $z(t)$  zu den Detektionszeitpunkten übereinstimmen. Man spricht in diesem Zusammenhang von  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen\|Nyquistsystemen]].

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

Guenter am 29. Oktober 2019 um 13:08 Uhr

2019-10-29T13:08:16Z

Guenter am 9. November 2018 um 15:51 Uhr

2018-11-09T15:51:06Z

Änderungen zeigen

Guenter am 9. November 2018 um 15:04 Uhr

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Guenter am 9. November 2018 um 13:51 Uhr

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	==Zusammenstellung wichtiger Beschreibungsgrößen==		==Zusammenstellung wichtiger Beschreibungsgrößen==
	<br>		<br>
			[[Datei:P_ID899__LZI_T_2_3_S1_neu.png \|frame\|Lineare Systembeschreibung\|class=fit]]
	Nun werden nichtlineare Verzerrungen ausgeschlossen, so dass das System durch den Frequenzgang $H(f)$ vollständig beschrieben wird:		Nun werden nichtlineare Verzerrungen ausgeschlossen, so dass das System durch den Frequenzgang $H(f)$ vollständig beschrieben wird:

	~~[[Datei:P_ID899__LZI_T_2_3_S1_neu.png \|frame\|Lineare Systembeschreibung\|class=fit]]~~

	<br>Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:		<br>Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:

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	Setzen wir  $ω_0 = 2π · 1 \ \rm kHz$, so erhalten wir für die ''Phasenlaufzeit:''		Setzen wir  $ω_0 = 2π · 1 \ \rm kHz$, so erhalten wir für die  '''Phasenlaufzeit:'''
	:$$\tau_{\rm P}(\omega_0) = \frac{b(\omega_0)}{\omega_0}= \frac{\pi / 4}{2 \pi \cdot{1\, \rm kHz} } = {125\, \rm µ s}.$$		:$$\tau_{\rm P}(\omega_0) = \frac{b(\omega_0)}{\omega_0}= \frac{\pi / 4}{2 \pi \cdot{1\, \rm kHz} } = {125\, \rm µ s}.$$
	Diese Größe entspricht der Steigung der grün eingezeichneten Geraden in obiger Grafik.		Diese Größe entspricht der Steigung der grün eingezeichneten Geraden in obiger Grafik.

	Dagegen kennzeichnet die geringere Steigung der rot dargestellten Tangente die ''Gruppenlaufzeit:''		Dagegen kennzeichnet die geringere Steigung der rot dargestellten Tangente die  '''Gruppenlaufzeit:'''
	:$$\tau_{\rm G}(\omega_0) = \left[ \frac{ {\rm d}b(\omega)}{ {\rm d}\omega}\right ]_{\omega = \omega_0} =		:$$\tau_{\rm G}(\omega_0) = \left[ \frac{ {\rm d}b(\omega)}{ {\rm d}\omega}\right ]_{\omega = \omega_0} =
	\left[ \frac{1}{\omega_0} \cdot \frac{1}{1 + \left(\omega / \omega_0\right]^2} \right ]_{\omega =		\left[ \frac{1}{\omega_0} \cdot \frac{1}{1 + \left(\omega / \omega_0\right]^2} \right ]_{\omega =
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	\varphi_2).$$		\varphi_2).$$

	Ist bei diesem Eingangssignal das Ausgangssignal in der Form		*Ist bei diesem Eingangssignal das Ausgangssignal in der Form
	:$$y(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot (t - \tau_1) - \varphi_1) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - \tau_2) -		:$$y(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot (t - \tau_1) - \varphi_1) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - \tau_2) -
	\varphi_2)$$		\varphi_2)$$
	darstellbar und gilt gleichzeitig  $τ_1 ≠ τ_2$, so liegen  '''ausschließlich Phasenverzerrungen'''  vor.		:darstellbar und gilt gleichzeitig  $τ_1 ≠ τ_2$, so liegen  '''ausschließlich Phasenverzerrungen'''  vor.

	Die beiden Phasenlaufzeiten  $τ_1 ≠ τ_2$  können aus dem Phasenverlauf (in Radian) ermittelt werden:		*Die beiden Phasenlaufzeiten  $τ_1 ≠ τ_2$  können aus dem Phasenverlauf  (in Radian)  ermittelt werden:
	:$$\tau_1 = \frac{b(f_1)}{2\pi f_1} , \hspace{0.4cm}\tau_2 = \frac{b(f_2)}{2\pi		:$$\tau_1 = \frac{b(f_1)}{2\pi f_1} , \hspace{0.4cm}\tau_2 = \frac{b(f_2)}{2\pi
	f_2}.$$		f_2}.$$
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	Die Grafik zeigt als blauen Kurvenverlauf das mit der Periodendauer  $T_0$  periodische Signal		Die Grafik zeigt als blauen Kurvenverlauf das mit der Periodendauer  $T_0$  periodische Signal
	:$$x(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot {1\, \rm kHz}\cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot {2\, \rm kHz}\cdot t)$$		:$$x(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot {1\, \rm kHz}\cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot {2\, \rm kHz}\cdot t)$$
	sowie das mit den Laufzeiten  $τ_1 = 0.7 \ \rm ms$  und  $τ_2 = 0.3 \ \rm ms$  phasenverzerrte ~~Signal~~  $y(t)$  ⇒   ~~rote Kurve~~.		sowie das mit den Laufzeiten  $τ_1 = 0.7 \ \rm ms$  und  $τ_2 = 0.3 \ \rm ms$  phasenverzerrte Ausgangssignal  $y(t)$  ⇒   roter Kurvenverlauf.
	*Man erkennt deutlich die Auswirkungen der Phasenverzerrungen.		*Man erkennt an den beiden Signalverläufen deutlich die Auswirkungen der Phasenverzerrungen.

	*Mit  $τ_1 = τ_2 = τ$  ergäbe sich das verzerrungsfreie Signal		*Mit  $τ_1 = τ_2 = τ$  ergäbe sich das verzerrungsfreie Signal
Zeile 233:		Zeile 233:
	Zu dieser Konstellation ist anzumerken:		Zu dieser Konstellation ist anzumerken:
	*Ist die Verzerrung nichtlinear, so muss auch die Entzerrung nichtlinear erfolgen.		*Ist die Verzerrung nichtlinear, so muss auch die Entzerrung nichtlinear erfolgen.
	*Aber auch bei linearen Verzerrungen werden nichtlineare Entzerrungsverfahren eingesetzt, zum Beispiel ''Decision Feedback Equalization'' bei Digitalsystemen. Der Vorteil gegenüber linearer Entzerrung ist, dass es nicht zu einer Erhöhung der Rauschleistung kommt.		*Aber auch bei linearen Verzerrungen werden nichtlineare Entzerrungsverfahren eingesetzt, zum Beispiel  "Decision Feedback Equalization"  bei Digitalsystemen.  Der Vorteil gegenüber linearer Entzerrung ist, dass es nicht zu einer Erhöhung der Rauschleistung kommt.
	*Ist  $S_{\rm V}$  ein lineares System mit Frequenzgang  $H_{\rm V}(f)$, so können mit dem ''inversen Frequenzgang''  $H_{\rm E}(f) = 1/H_{\rm V}(f)$  die Verzerrungen vollständig eliminiert werden, und es gilt  $z(t) = x(t)$.		*Ist  $S_{\rm V}$  ein lineares System mit Frequenzgang  $H_{\rm V}(f)$, so können mit dem  '''inversen Frequenzgang'''  $H_{\rm E}(f) = 1/H_{\rm V}(f)$  die Verzerrungen vollständig eliminiert werden,  und es gilt  $z(t) = x(t)$.  Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass der Frequenzgang  $H_{\rm V}(f)$  im interessierenden Spektralbereich keine Nullstellen besitzt,  da sonst bei  $H_{\rm E}(f)$  Unendlichkeitsstellen erforderlich wären.
	*Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass der Frequenzgang  $H_{\rm V}(f)$  im interessierenden Spektralbereich ''keine Nullstellen''  ~~besitzt,~~ da sonst bei  $H_{\rm E}(f)$  Unendlichkeitsstellen erforderlich wären.		*Bei  '''Analogsystemen'''  bedeutet eine vollständige Entzerrung,  dass sich  $z(t)$  von  $x(t)$  nur durch die unvermeidbaren Rauschanteile unterscheidet, und eventuell durch eine Laufzeit.  Bei  '''Digitalsystemen'''  ist das Kriterium für eine vollständige Entzerrung weniger streng. Es muss dann nur sichergestellt werden,  dass die Signale  $x(t)$  und  $z(t)$  zu den Detektionszeitpunkten übereinstimmen.  Man spricht in diesem Zusammenhang von  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen\|Nyquistsystemen]].
	*Bei ''Analogsystemen''  bedeutet eine vollständige Entzerrung, dass sich  $z(t)$  von  $x(t)$  nur durch die unvermeidbaren Rauschanteile unterscheidet, und eventuell durch eine Laufzeit.
	*Bei ''Digitalsystemen''  ist das Kriterium für eine vollständige Entzerrung weniger streng. Es muss dann nur sichergestellt werden, dass die Signale  $x(t)$  und  $z(t)$  zu den Detektionszeitpunkten übereinstimmen. Man spricht in diesem Zusammenhang von  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen\|Nyquistsystemen]].

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

← Nächstältere Version		Version vom 29. Oktober 2019, 15:08 Uhr
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	<br>		<br>
	[[Datei:P_ID899__LZI_T_2_3_S1_neu.png \|frame\|Lineare Systembeschreibung\|class=fit]]		[[Datei:P_ID899__LZI_T_2_3_S1_neu.png \|frame\|Lineare Systembeschreibung\|class=fit]]
	Nun werden nichtlineare Verzerrungen ausgeschlossen, so dass das System durch den Frequenzgang $H(f)$ vollständig beschrieben wird.		Nun werden nichtlineare Verzerrungen ausgeschlossen, so dass das System durch den Frequenzgang  $H(f)$  vollständig beschrieben wird.

	Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:		Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
Zeile 16:		Zeile 16:

	Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:		Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:
	*Der Betrag $\|H(f)\|$ wird als '''Amplitudengang''' und in logarithmierter Form als ''Dämpfungsverlauf'' bezeichnet:		*Der Betrag  $\|H(f)\|$  wird als  '''Amplitudengang'''  und in logarithmierter Form als ''Dämpfungsverlauf''  bezeichnet:
	:$$a(f) = - \ln \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper		:$$a(f) = - \ln \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper
	\hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in		\hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in
	\hspace{0.1cm}Dezibel \hspace{0.1cm}(dB) }.$$		\hspace{0.1cm}Dezibel \hspace{0.1cm}(dB) }.$$
	*Der '''Phasengang''' $b(f)$ gibt den negativen, von $f$ abhängigen Winkel von $H(f)$ in der komplexen Ebene an, bezogen auf die reelle Achse:		*Der  '''Phasengang'''  $b(f)$  gibt den negativen, von  $f$  abhängigen Winkel von  $H(f)$  in der komplexen Ebene an, bezogen auf die reelle Achse:
	:$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in		:$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in
	\hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$		\hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$
Zeile 32:		Zeile 32:
	gelten, oder ausgedrückt mit den Funktionen  $a(f)$  und  $b(f)$:		gelten, oder ausgedrückt mit den Funktionen  $a(f)$  und  $b(f)$:
	*Der Dämpfungsverlauf muss für alle im Eingangssignal enthaltenen Frequenzen konstant sein:		*Der Dämpfungsverlauf muss für alle im Eingangssignal enthaltenen Frequenzen konstant sein:
	:$$a(f) = - \ln \|H(f)\| = - \ln \alpha = {\rm const.}$$		:$$a(f) = - \ln \|H(f)\| = - \ln \ \alpha = {\rm const.}$$
	*Der Phasenverlauf muss im interessierenden Bereich entweder Null sein (System ohne Laufzeit) oder linear mit der Frequenz ansteigen $(τ$ gibt dabei die Laufzeit des Systems an):		*Der Phasenverlauf muss im interessierenden Bereich entweder Null sein (System ohne Laufzeit) oder linear mit der Frequenz ansteigen  $(τ$  gibt dabei die Laufzeit des Systems an):
	:$$b(f) = 2 \pi f \tau = {\rm const.} \cdot f.$$		:$$b(f) = 2 \pi f \tau = {\rm const.} \cdot f.$$

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	$\text{Definitionen:}$		$\text{Definitionen:}$
	Bei einem verzerrungsfreien System müssen beide Forderungen gleichzeitig erfüllt sein. Bei Verletzung auch nur einer dieser beiden Bedingungen kommt es zu linearen Verzerrungen, die entsprechend ihrer Ursache unterschieden werden.		Bei einem verzerrungsfreien System müssen beide Forderungen gleichzeitig erfüllt sein. Bei Verletzung auch nur einer dieser beiden Bedingungen kommt es zu linearen Verzerrungen, die entsprechend ihrer Ursache unterschieden werden.
	*Es kommt zu '''Dämpfungsverzerrungen''', wenn im interessierenden Frequenzbereich der Dämpfungsverlauf nicht konstant ist:		*Es kommt zu  '''Dämpfungsverzerrungen''', wenn im interessierenden Frequenzbereich der Dämpfungsverlauf nicht konstant ist:
	:$$a(f) \ne {\rm const.}$$		:$$a(f) \ne {\rm const.}$$
	*Dagegen liegen '''Phasenverzerrungen''' dann vor, wenn die Phasenfunktion nicht linear bezüglich $f$  ist:		*Dagegen liegen  '''Phasenverzerrungen'''  dann vor, wenn die Phasenfunktion nicht linear bezüglich $f$  ist:
	:$$b(f) \ne {\rm const.} \cdot f.$$}}		:$$b(f) \ne {\rm const.} \cdot f.$$}}


	Anzumerken ist, dass bei allen realisierbaren Systemen – insbesondere den im [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#D.C3.A4mpfung_und_Phase_von_Minimum.E2.80.93Phasen.E2.80.93Systemen\|Kapitel 3]] beschriebenen ~~„minimalphasigen”~~ – meist beide Verzerrungsformen gleichzeitig auftreten.		Anzumerken ist, dass bei allen realisierbaren Systemen – insbesondere den im  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#D.C3.A4mpfung_und_Phase_von_Minimum.E2.80.93Phasen.E2.80.93Systemen\|Kapitel 3]]  beschriebenen „minimalphasigen Systemen” – meist beide Verzerrungsformen gleichzeitig auftreten.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$ Im Zeitbereich lautet die Bedingung für ein verzerrungsfreies System:		$\text{Definition:}$  Im Zeitbereich lautet die Bedingung für ein  '''verzerrungsfreies System''':
	:$$h(t) = \alpha \cdot \delta(t - \tau),\hspace{0.4cm}\alpha \ne 0.$$		:$$h(t) = \alpha \cdot \delta(t - \tau),\hspace{0.4cm}\alpha \ne 0.$$

	Ist zudem $α = 1$ und $τ = 0$, so liegt ein '''ideales Übertragungssystem''' vor. Dagegen gibt es immer dann lineare Verzerrungen, wenn		Ist zudem  $α = 1$  und  $τ = 0$, so liegt ein  '''ideales Übertragungssystem'''  vor. Dagegen gibt es immer dann lineare Verzerrungen, wenn
	*$h(t)$ eine zeitkontinuierliche Funktion ist, oder		*$h(t)$  eine zeitkontinuierliche Funktion ist, oder
	*$h(t)$ sich aus mehr als einer Diracfunktion zusammensetzt.}}		*$h(t)$  sich aus mehr als einer Diracfunktion zusammensetzt.}}


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	[[Datei:P_ID900__LZI_T_2_3_S2_neu.png\|right\|frame\| Voraussetzung für einen nichtverzerrenden Kanal\|right\|class=fit]]		[[Datei:P_ID900__LZI_T_2_3_S2_neu.png\|right\|frame\| Voraussetzung für einen nichtverzerrenden Kanal\|right\|class=fit]]

	*In einem Bereich von $f_{\rm U}$ bis $f_{\rm O}$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, in dem das Signal  $x(t)$  Anteile besitzt, ist  $a(f)$  konstant.		*In einem Bereich von  $f_{\rm U}$  bis  $f_{\rm O}$  um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$, in dem das Signal  $x(t)$  Anteile besitzt, ist  $a(f)$  konstant.
	*Aus dem angegebenen konstanten Dämpfungswert $6 \ \rm dB$ folgt für den Amplitudengang  $\vert H(f)\vert = 0.5$.		*Aus dem angegebenen konstanten Dämpfungswert  $6 \ \rm dB$  folgt für den Amplitudengang:  $\vert H(f)\vert = 0.5$.
	* Das Ausgangsspektrum  $Y(f)$  ist somit betragsmäßig halb so groß wie die Spektralanteile  $X(f)$  des Eingangssignals.		* Das Ausgangsspektrum  $Y(f)$  ist somit betragsmäßig halb so groß wie die Spektralanteile  $X(f)$  des Eingangssignals.
	*Der Phasenverlauf  $b(f)$  steigt zwischen $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ linear mit der Frequenz an.		*Der Phasenverlauf  $b(f)$  steigt zwischen $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ linear mit der Frequenz an.
	*Dies hat zur Folge, dass alle Frequenzanteile um die gleiche Phasenlaufzeit  $τ$  verzögert werden, wobei  $τ$  durch die Steigung von $b(f)$ festliegt.		*Dies hat zur Folge, dass alle Frequenzanteile um die gleiche Phasenlaufzeit  $τ$  verzögert werden, wobei  $τ$  durch die Steigung von  $b(f)$  festliegt.
	*Mit  $b(f) = 0$  würde sich ein laufzeitfreies ~~Systemergeben~~   ⇒   $τ = 0$.		*Mit  $b(f) = 0$  würde sich ein laufzeitfreies System ergeben   ⇒   $τ = 0$.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	Weiter erkennt man aus der Grafik folgende allgemeingültige Eigenschaften:		Weiter erkennt man aus der Grafik folgende allgemeingültige Eigenschaften:
	*Der Dämpfungsverlauf  $a(f) = a(\hspace{-0.01cm}-\hspace{-0.08cm} f)$  ist eine gerade Funktion in $f$.		*Der Dämpfungsverlauf  $a(f) = a(\hspace{-0.01cm}-\hspace{-0.08cm} f)$  ist eine gerade Funktion in  $f$.
	*Der Phasenverlauf  $b(f) = \hspace{-0.01cm}–\hspace{-0.01cm} b(\hspace{-0.01cm}–\hspace{-0.~~08cm~~}f)$  ist eine ungerade Funktion in  $f$.		*Der Phasenverlauf  $b(f) = \hspace{-0.01cm}–\hspace{-0.01cm} b(\hspace{-0.01cm}-\hspace{-0.01cm}f)$  ist eine ungerade Funktion in  $f$.


Zeile 84:		Zeile 84:
	:$$y(t) = \alpha_1 \cdot A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot t - \varphi_1) + \alpha_2 \cdot A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t -		:$$y(t) = \alpha_1 \cdot A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 \cdot t - \varphi_1) + \alpha_2 \cdot A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t -
	\varphi_2).$$		\varphi_2).$$
	darstellbar und gilt gleichzeitig  $α_1 ≠ α_2$, so liegen '''ausschließlich Dämpfungsverzerrungen''' vor, da die Phasenwerte  $\varphi_1$  und  $\varphi_2$  durch das System nicht verändert werden.		darstellbar und gilt gleichzeitig  $α_1 ≠ α_2$, so liegen  '''ausschließlich Dämpfungsverzerrungen'''  vor, da die Phasenwerte  $\varphi_1$  und  $\varphi_2$  durch das System nicht verändert werden.

	Die Dämpfungskonstanten  $α_1$  und  $α_2$  können aus dem Amplitudengang  $\|H(f)\|$  ermittelt werden:		Die Dämpfungskonstanten  $α_1$  und  $α_2$  können aus dem Amplitudengang  $\|H(f)\|$  ermittelt werden:

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2018, 17:04 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	<br>		<br>
	[[Datei:P_ID899__LZI_T_2_3_S1_neu.png \|frame\|Lineare Systembeschreibung\|class=fit]]		[[Datei:P_ID899__LZI_T_2_3_S1_neu.png \|frame\|Lineare Systembeschreibung\|class=fit]]
	Nun werden nichtlineare Verzerrungen ausgeschlossen, so dass das System durch den Frequenzgang $H(f)$ vollständig beschrieben wird:		Nun werden nichtlineare Verzerrungen ausgeschlossen, so dass das System durch den Frequenzgang $H(f)$ vollständig beschrieben wird.

			Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:

	~~<br>~~Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
	:$$H(f) = \|H(f)\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot		:$$H(f) = \|H(f)\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}		\hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}
	\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$		\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$
	~~<br clear=all>~~
	Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:		Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:
	*Der Betrag $\|H(f)\|$ wird als '''Amplitudengang''' und in logarithmierter Form als '''Dämpfungsverlauf''' bezeichnet:		*Der Betrag $\|H(f)\|$ wird als '''Amplitudengang''' und in logarithmierter Form als ''Dämpfungsverlauf'' bezeichnet:
	:$$a(f) = - \ln \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper		:$$a(f) = - \ln \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper
	\hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in		\hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg \|H(f)\|\hspace{0.2cm}{\rm in
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	==Voraussetzungen für verzerrungsfreie Systeme==		==Voraussetzungen für verzerrungsfreie Systeme==
	<br>		<br>
	Nach den Ausführungen im Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen\|Klassifizierung der Verzerrungen]] liegt genau dann ein verzerrungsfreies System vor, wenn alle Frequenzanteile gleichmäßig gedämpft und verzögert werden:		Nach den Ausführungen im Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen\|Klassifizierung der Verzerrungen]]  liegt genau dann ein verzerrungsfreies System vor, wenn alle Frequenzanteile gleichmäßig gedämpft und verzögert werden:
	:$$y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau).$$		:$$y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau).$$
	Nach den Gesetzmäßigkeiten der Systemtheorie muss deshalb für den Frequenzgang		Nach den Gesetzmäßigkeiten der Systemtheorie muss deshalb für den Frequenzgang
	:$$H(f) = \alpha \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}2 \pi f \tau}$$		:$$H(f) = \alpha \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}2 \pi f \tau}$$
	gelten, oder ausgedrückt mit den Funktionen $a(f)$ und $b(f)$:		gelten, oder ausgedrückt mit den Funktionen  $a(f)$  und  $b(f)$:
	*Der Dämpfungsverlauf muss für alle im Eingangssignal enthaltenen Frequenzen konstant sein:		*Der Dämpfungsverlauf muss für alle im Eingangssignal enthaltenen Frequenzen konstant sein:
	:$$a(f) = - \ln \|H(f)\| = - \ln \alpha = {\rm const.}$$		:$$a(f) = - \ln \|H(f)\| = - \ln \alpha = {\rm const.}$$
	*Der Phasenverlauf muss im interessierenden Bereich entweder ~~$0$~~ sein (System ohne Laufzeit) oder linear mit der Frequenz ansteigen $(τ$ gibt dabei die Laufzeit an):		*Der Phasenverlauf muss im interessierenden Bereich entweder Null sein (System ohne Laufzeit) oder linear mit der Frequenz ansteigen $(τ$ gibt dabei die Laufzeit des Systems an):
	:$$b(f) = 2 \pi f \tau = {\rm const.} \cdot f.$$		:$$b(f) = 2 \pi f \tau = {\rm const.} \cdot f.$$

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	*Es kommt zu '''Dämpfungsverzerrungen''', wenn im interessierenden Frequenzbereich der Dämpfungsverlauf nicht konstant ist:		*Es kommt zu '''Dämpfungsverzerrungen''', wenn im interessierenden Frequenzbereich der Dämpfungsverlauf nicht konstant ist:
	:$$a(f) \ne {\rm const.}$$		:$$a(f) \ne {\rm const.}$$
	*Dagegen liegen '''Phasenverzerrungen''' dann vor, wenn die Phasenfunktion nicht linear bezüglich $f$ ist:		*Dagegen liegen '''Phasenverzerrungen''' dann vor, wenn die Phasenfunktion nicht linear bezüglich $f$  ist:
	:$$b(f) \ne {\rm const.} \cdot f.$$}}		:$$b(f) \ne {\rm const.} \cdot f.$$}}

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	Anzumerken ist, dass bei allen realisierbaren Systemen – insbesondere den im [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#D.C3.A4mpfung_und_Phase_von_Minimum.E2.80.93Phasen.E2.80.93Systemen\|Kapitel 3]] beschriebenen „minimalphasigen” – meist beide Verzerrungsformen gleichzeitig auftreten.		Anzumerken ist, dass bei allen realisierbaren Systemen – insbesondere den im [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#D.C3.A4mpfung_und_Phase_von_Minimum.E2.80.93Phasen.E2.80.93Systemen\|Kapitel 3]] beschriebenen „minimalphasigen” – meist beide Verzerrungsformen gleichzeitig auftreten.

	Im Zeitbereich lautet die Bedingung für ein verzerrungsfreies System:		{{BlaueBox\|TEXT=
			$\text{Definition:}$ Im Zeitbereich lautet die Bedingung für ein verzerrungsfreies System:
	:$$h(t) = \alpha \cdot \delta(t - \tau),\hspace{0.4cm}\alpha \ne 0.$$		:$$h(t) = \alpha \cdot \delta(t - \tau),\hspace{0.4cm}\alpha \ne 0.$$

	Ist zudem $α = 1$ und $τ = 0$, so liegt ein '''ideales Übertragungssystem''' vor. Dagegen gibt es immer dann lineare Verzerrungen, wenn		Ist zudem $α = 1$ und $τ = 0$, so liegt ein '''ideales Übertragungssystem''' vor. Dagegen gibt es immer dann lineare Verzerrungen, wenn
	*$h(t)$ eine zeitkontinuierliche Funktion ist, oder		*$h(t)$ eine zeitkontinuierliche Funktion ist, oder
	*$h(t)$ sich aus mehr als einer Diracfunktion zusammensetzt.		*$h(t)$ sich aus mehr als einer Diracfunktion zusammensetzt.}}


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Die folgende Skizze zeigt den Dämpfungsverlauf $a(f)$ und den Phasenverlauf $b(f)$ eines verzerrungsfreien Systems.		Die folgende Skizze zeigt den Dämpfungsverlauf  $a(f)$  und den Phasenverlauf  $b(f)$  eines verzerrungsfreien Systems.
	[[Datei:P_ID900__LZI_T_2_3_S2_neu.png\|right\|frame\| Voraussetzung für einen nichtverzerrenden Kanal\|right\|class=fit]]		[[Datei:P_ID900__LZI_T_2_3_S2_neu.png\|right\|frame\| Voraussetzung für einen nichtverzerrenden Kanal\|right\|class=fit]]

	*In einem Bereich von $f_{\rm U}$ bis $f_{\rm O}$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, in dem das Signal $x(t)$ Anteile besitzt, ist $a(f)$ konstant.		*In einem Bereich von $f_{\rm U}$ bis $f_{\rm O}$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, in dem das Signal  $x(t)$  Anteile besitzt, ist  $a(f)$  konstant.
	*Aus dem angegebenen konstanten Dämpfungswert $6 \ \rm dB$ folgt für den Amplitudengang $\vert H(f)\vert = 0.5$.		*Aus dem angegebenen konstanten Dämpfungswert $6 \ \rm dB$ folgt für den Amplitudengang  $\vert H(f)\vert = 0.5$.
	* Das Ausgangsspektrum $Y(f)$ ist somit betragsmäßig halb so groß wie die Spektralanteile $X(f)$ des Eingangssignals.		* Das Ausgangsspektrum  $Y(f)$  ist somit betragsmäßig halb so groß wie die Spektralanteile  $X(f)$  des Eingangssignals.
	*Der Phasenverlauf $b(f)$ steigt zwischen $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ linear mit der Frequenz an.		*Der Phasenverlauf  $b(f)$  steigt zwischen $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ linear mit der Frequenz an.
	*Dies hat zur Folge, dass alle Frequenzanteile um die gleiche Phasenlaufzeit $τ$ verzögert werden, wobei $τ$ durch die Steigung von $b(f)$ festliegt.		*Dies hat zur Folge, dass alle Frequenzanteile um die gleiche Phasenlaufzeit  $τ$  verzögert werden, wobei  $τ$  durch die Steigung von $b(f)$ festliegt.
	*Mit $b(f) = 0$ würde sich ein laufzeitfreies Systemergeben   ⇒   $τ = 0$.		*Mit  $b(f) = 0$  würde sich ein laufzeitfreies Systemergeben   ⇒   $τ = 0$.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	Weiter erkennt man aus der Grafik folgende allgemeingültige Eigenschaften:		Weiter erkennt man aus der Grafik folgende allgemeingültige Eigenschaften:
	*Der Dämpfungsverlauf $a(f) = a(\hspace{-0.01cm}-\hspace{-0.08cm} f)$ ist eine gerade Funktion in $f$.		*Der Dämpfungsverlauf  $a(f) = a(\hspace{-0.01cm}-\hspace{-0.08cm} f)$  ist eine gerade Funktion in $f$.
	*Der Phasenverlauf $b(f) = \hspace{-0.01cm}–\hspace{-0.01cm} b(\hspace{-0.01cm}–\hspace{-0.08cm}f)$ ist eine ungerade Funktion in $f$.		*Der Phasenverlauf  $b(f) = \hspace{-0.01cm}–\hspace{-0.01cm} b(\hspace{-0.01cm}–\hspace{-0.08cm}f)$  ist eine ungerade Funktion in  $f$.


	Außerhalb des durch $x(t)$ belegten Frequenzbandes müssen die Bedingungen „konstante Dämpfung” und „lineare Phase” nicht eingehalten werden. Man erkennt aus dem gestrichelt eingezeichneten Verlauf von $a(f)$, dass hier sogar eine sehr viel höhere Dämpfung zweckmäßig ist, da dadurch die stets vorhandenen – in diesem Abschnitt aber nicht betrachteten – Rauschanteile außerhalb der Nutzbandbreite besser unterdrückt werden. }}		Außerhalb des durch  $x(t)$  belegten Frequenzbandes müssen die Bedingungen „konstante Dämpfung” und „lineare Phase” nicht eingehalten werden. Man erkennt aus dem gestrichelt eingezeichneten Verlauf von  $a(f)$, dass hier sogar eine sehr viel höhere Dämpfung zweckmäßig ist, da dadurch die stets vorhandenen – in diesem Abschnitt aber nicht betrachteten – Rauschanteile außerhalb der Nutzbandbreite besser unterdrückt werden. }}

	==Dämpfungsverzerrungen==		==Dämpfungsverzerrungen==