Lineare zeitinvariante Systeme/Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion - Versionsgeschichte

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2021-10-12T13:22:30Z

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 ==Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen==
 <br>
-Ein jedes&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|lineare zeitinvariante System]]&nbsp; (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie
+Ein jedes&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#Voraussetzungen_f.C3.BCr_die_Anwendung_der_Systemtheorie|lineare zeitinvariante System]]&nbsp; (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie
 *Widerständen&nbsp; $(R)$,
 *Kapazitäten&nbsp; $(C)$,

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 Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]&nbsp; angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
 :$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
-Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale, also unter der Voraussetzung
+Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale weiterhin Gültigkeit, also unter der Voraussetzung
-:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}$$
+:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$
-weiterhin Gültigkeit.
 In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
 *Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.&nbsp; Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
-*Die Laplace–Transformierte &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen &nbsp;$p$.&nbsp; Dass sich diese Variable entsprechend &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz &nbsp;$ω = 2πf$&nbsp; mit der imaginären Einheit &nbsp;$\rm j$&nbsp; ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
+*Die Laplace–Transformierte &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen &nbsp;$p$.&nbsp; Dass sich diese Variable gemäß &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz &nbsp;$ω = 2πf$&nbsp; mit der imaginären Einheit &nbsp;$\rm j$&nbsp; ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
-*Die implizite Bedingung &nbsp;$x(t) = 0$&nbsp;  für &nbsp;$t < 0$&nbsp; erlaubt speziell die  einfachere Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.
+*Die implizite Bedingung &nbsp;$x(t) = 0$ &nbsp;  für &nbsp;$t < 0$ &nbsp; erlaubt speziell die  einfachere Analyse des <br>Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.
 ==Definition der Laplace–Transformation==
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 Ausgehend vom&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]],
 :$$X(f) =    \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
-ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion
+ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$&nbsp;  mit der formalen Substitution &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; direkt die Laplace–Transformation.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 Mit  &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
 :$$X(f) =    \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
-Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
+Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung,&nbsp; dessen Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; unterscheidet,&nbsp; so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
 :$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) =    \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } =    \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} }  \hspace{0.05cm} .$$
 Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters &nbsp;$T$&nbsp; die 3dB–Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 1/(2πT)$.}}

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 ==Definition der Laplace–Transformation==
 <br>
-Ausgehend vom [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]],
+Ausgehend vom&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]],
 :$$X(f) =    \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
 ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion
-:$$x(t) = 0 \text{ für }t < 0$$
+:$$x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$$
 mit der formalen Substitution &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; direkt die Laplace–Transformation.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die '''Laplace–Transformierte''' einer kausalen Zeitfunktion &nbsp;$x(t)$&nbsp; lautet:
+Die&nbsp; '''Laplace–Transformierte'''&nbsp; einer kausalen Zeitfunktion &nbsp;$x(t)$&nbsp; lautet:
 :$$X_{\rm L}(p) =   \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$ }}
@@ Zeile 40: / Zeile 40: @@
 :$$X(f) =  X_{\rm L}(p) \Bigg |_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$
-*Hat allerdings das Signal &nbsp;$x(t)$&nbsp; periodische Anteile und beinhaltet damit die Spektralfunktion &nbsp;$X(f)$&nbsp; zusätzliche Diracfunktionen, so ist diese Gleichung nicht anwendbar.
+*Hat allerdings das Signal &nbsp;$x(t)$&nbsp; periodische Anteile und beinhaltet damit die Spektralfunktion &nbsp;$X(f)$&nbsp; Diracfunktionen, so ist diese Gleichung nicht anwendbar.
 *In diesem Fall muss &nbsp;$p = α + {\rm j} · 2πf$&nbsp; angesetzt werden und es ist dann der Grenzübergang &nbsp;$α → 0$&nbsp; zu bilden.
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion  entsprechend der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Real.E2.80.93_und_Imagin.C3.A4rteil_einer_kausalen_.C3.9Cbertragungsfunktion|Skizze]]  im $\text{Beispiel 1}$ des Kapitels &bdquo;Real&ndash; und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion&rdquo; aus:
+Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion  entsprechend der&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Real.E2.80.93_und_Imagin.C3.A4rteil_einer_kausalen_.C3.9Cbertragungsfunktion|Skizze]]&nbsp;  im $\text{Beispiel 1}$ des Kapitels &bdquo;Real&ndash; und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion&rdquo; aus:
 :$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0.5  \\ {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c}   {\rm{f\ddot{u}r} }  \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\  {\rm{f\ddot{u}r} }  \end{array}\begin{array}{*{20}c}{  t  < 0\hspace{0.05cm},}  \\ { t  = 0\hspace{0.05cm},}  \\{ t  > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$
 Damit lautet die Laplace–Transformierte:
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 Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
 :$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) =    \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } =    \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} }  \hspace{0.05cm} .$$
-Häufig verwendet man dann anstelle des Parameters &nbsp;$T$&nbsp; die 3dB–Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 1/(2πT)$.}}
+Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters &nbsp;$T$&nbsp; die 3dB–Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 1/(2πT)$.}}
 ==Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen==
 <br>
-Nachfolgend sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt. Alle hier betrachteten Zeitsignale &nbsp;$x(t)$&nbsp; sind als dimensionslos angenommen. Aus diesem Grund besitzt &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.
+Nachfolgend sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt.&nbsp; Alle hier betrachteten Zeitsignale &nbsp;$x(t)$&nbsp; sind als dimensionslos angenommen.&nbsp; Aus diesem Grund besitzt &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.
 [[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png |center|frame| Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten|class=fit]]
-*Die Laplace–Transformierte der [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]] &nbsp; $δ(t)$&nbsp; ist &nbsp;$X_{\rm L}(p) = 1$&nbsp;  (Diagramm $\rm A$). Durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatzes]] erhält man  &nbsp;$X_{\rm L}(p) = 1/p$&nbsp; für die Sprungfunktion &nbsp;$γ(t)$ (Diagramm $\rm B$) und aus dieser durch Multiplikation mit &nbsp;$1/(pT)$&nbsp; die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion &nbsp;$x(t) = t/T$&nbsp; für &nbsp;$t > 0$ (Diagramm $\rm C$).
+*Die Laplace–Transformierte der&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]]&nbsp; $δ(t)$&nbsp; ist &nbsp;$X_{\rm L}(p) = 1$&nbsp;  $($Diagramm $\rm A)$.&nbsp; Durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatzes]]&nbsp; erhält man  &nbsp;$X_{\rm L}(p) = 1/p$&nbsp; für die Sprungfunktion &nbsp;$γ(t)$&nbsp;  $($Diagramm $\rm B)$ und aus dieser durch Multiplikation mit &nbsp;$1/(pT)$&nbsp; die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion &nbsp;$x(t) = t/T$&nbsp; für &nbsp;$t > 0$&nbsp; $($Diagramm $\rm C)$.
-*Die [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckfunktion]] kann aus der Subtraktion zweier um &nbsp;$T$&nbsp; auseinanderliegender Sprungfunktionen &nbsp;$γ(t)$&nbsp; und &nbsp;$γ(t – T)$&nbsp; erzeugt werden, so dass sich nach dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]  die Laplace–Transformierte &nbsp;$X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$&nbsp; ergibt (Diagramm $\rm D$). Durch Integration erhält man daraus die Rampenfunktion bzw. nach Multiplikation mit &nbsp;$1/(pT)$&nbsp; deren Laplace–Transformierte (Diagramm $\rm E$).
+*Die&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckfunktion]]&nbsp; kann aus der Subtraktion zweier um &nbsp;$T$&nbsp; auseinanderliegender Sprungfunktionen &nbsp;$γ(t)$&nbsp; und &nbsp;$γ(t – T)$&nbsp; erzeugt werden, so dass sich nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp;  die Laplace–Transformierte &nbsp;$X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$&nbsp; ergibt&nbsp;  $($Diagramm $\rm D)$. Durch Integration erhält man daraus die Rampenfunktion bzw. nach Multiplikation mit &nbsp;$1/(pT)$&nbsp; deren Laplace–Transformierte&nbsp;  $($Diagramm $\rm E)$.
-*Die Exponentialfunktion (Diagramm $\rm F$) wurde bereits auf der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation|letzten Seit]]e betrachtet. Mit dem Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; beschreibt diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. Durch Quadrierung erhält man die &nbsp;$p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Die zugehörige Zeitfunktion lautet &nbsp;$x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm $\rm G$).
+*Die Exponentialfunktion&nbsp;  $($Diagramm $\rm F)$ wurde bereits auf der&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation|letzten Seite]]&nbsp; betrachtet.&nbsp; Mit dem Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; ist diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. Durch Quadrierung erhält man die &nbsp;$p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses zweiter Ordnung mit der Zeitfunktion&nbsp; $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm&nbsp; $\rm G$).
-*Neben der kausalen &nbsp;$\rm si$–Funktion (Diagramm $\rm H$) sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion (Diagramme $\rm I$  und $\rm J$) angegeben, die sich zu &nbsp;$p/(p^2 + ω_0^2)$&nbsp; bzw. &nbsp;$ω_0/(p^2 + ω_0^2)$&nbsp; ergeben. Hierbei bezeichnet &nbsp;$ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$&nbsp; die so genannte Kreisfrequenz.
+*Neben der kausalen &nbsp;$\rm si$–Funktion&nbsp;  $($Diagramm $\rm H)$&nbsp; sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion&nbsp; $($Diagramme&nbsp; $\rm I$&nbsp;  und&nbsp; $\rm J)$&nbsp; angegeben, die sich zu &nbsp;$p/(p^2 + ω_0^2)$&nbsp; bzw. &nbsp;$ω_0/(p^2 + ω_0^2)$&nbsp; ergeben. Hierbei bezeichnet &nbsp;$ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$&nbsp; die so genannte Kreisfrequenz.

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 ==Betrachtetes Systemmodell==
 <br>
-Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$, an dessen Eingang das Signal &nbsp;$x(t)$&nbsp; anliegt. Das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; ergibt sich dann als das Faltungsprodukt &nbsp;$x(t) ∗ h(t)$.
+Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$, an dessen Eingang das Signal &nbsp;$x(t)$&nbsp; anliegt.&nbsp; Das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; ergibt sich dann als das Faltungsprodukt &nbsp;$x(t) ∗ h(t)$.
-[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png |center|frame| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell|class=fit]]
+[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png |right|frame| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell|class=fit]]
-Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das &nbsp;[[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]&nbsp; angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
+Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]&nbsp; angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
 :$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
 Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale, also unter der Voraussetzung
 :$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}$$
-weiterhin Gültigkeit. In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
+weiterhin Gültigkeit.
-*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar. Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
+<br clear=all>
-*Die Laplace–Transformierte &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen &nbsp;$p$. Dass sich diese Variable entsprechend &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz &nbsp;$ω = 2πf$&nbsp; mit der imaginären Einheit &nbsp;$\rm j$&nbsp; ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
+In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
-*Die implizite Bedingung &nbsp;$x(t) = 0$&nbsp;  für &nbsp;$t < 0$&nbsp; erlaubt speziell die Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen in einfacherer Weise als mit dem Fourierintegral.
+*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.&nbsp; Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
 ==Definition der Laplace–Transformation==

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 ==Betrachtetes Systemmodell==
 <br>
-Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort $h(t)$, an dessen Eingang das Signal $x(t)$ anliegt. Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich dann als das Faltungsprodukt $x(t) ∗ h(t)$.
+Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$, an dessen Eingang das Signal &nbsp;$x(t)$&nbsp; anliegt. Das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; ergibt sich dann als das Faltungsprodukt &nbsp;$x(t) ∗ h(t)$.
 [[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png |center|frame| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell|class=fit]]
-Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]] angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
+Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das &nbsp;[[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]&nbsp; angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
 :$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
 Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale, also unter der Voraussetzung
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 weiterhin Gültigkeit. In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
 *Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar. Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
-*Die Laplace–Transformierte $X_{\rm L}(p)$ ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen $p$. Dass sich diese Variable entsprechend $p = {\rm j} · 2πf$ aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz $ω = 2πf$ mit der imaginären Einheit $\rm j$ ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
+*Die Laplace–Transformierte &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen &nbsp;$p$. Dass sich diese Variable entsprechend &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz &nbsp;$ω = 2πf$&nbsp; mit der imaginären Einheit &nbsp;$\rm j$&nbsp; ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
-*Die implizite Bedingung $x(t) = 0$  für $t < 0$ erlaubt speziell die Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen in einfacherer Weise als mit dem Fourierintegral.
+*Die implizite Bedingung &nbsp;$x(t) = 0$&nbsp;  für &nbsp;$t < 0$&nbsp; erlaubt speziell die Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen in einfacherer Weise als mit dem Fourierintegral.
 ==Definition der Laplace–Transformation==
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 Ausgehend vom [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]],
 :$$X(f) =    \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
-ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion (&rArr; &nbsp; $x(t) = 0$ für $t < 0$) mit der formalen Substitution $p = {\rm j} · 2πf$ direkt die Laplace–Transformation.
+ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die '''Laplace–Transformierte''' einer kausalen Zeitfunktion $x(t)$ lautet:
+Die '''Laplace–Transformierte''' einer kausalen Zeitfunktion &nbsp;$x(t)$&nbsp; lautet:
 :$$X_{\rm L}(p) =   \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$ }}
-Der Zusammenhang zwischen der Laplace–Transformierten $X_{\rm L}(p)$ und dem physikalischen Spektrum $X(f)$ ist häufig wie folgt gegeben:
+Der Zusammenhang zwischen der Laplace–Transformierten &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; und dem physikalischen Spektrum &nbsp;$X(f)$&nbsp; ist häufig wie folgt gegeben:
 :$$X(f) =  X_{\rm L}(p) \Bigg |_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$
-Hat allerdings das Signal $x(t)$ periodische Anteile und beinhaltet damit die Spektralfunktion $X(f)$ zusätzliche Diracfunktionen, so ist diese Gleichung nicht anwendbar. In diesem Fall muss $p = α + {\rm j} · 2πf$ angesetzt werden und es ist dann der Grenzübergang $α → 0$ zu bilden.
+*Hat allerdings das Signal &nbsp;$x(t)$&nbsp; periodische Anteile und beinhaltet damit die Spektralfunktion &nbsp;$X(f)$&nbsp; zusätzliche Diracfunktionen, so ist diese Gleichung nicht anwendbar.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion  entsprechend der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Real.E2.80.93_und_Imagin.C3.A4rteil_einer_kausalen_.C3.9Cbertragungsfunktion|Skizze im Beispiel 1]]  des Kapitels &bdquo;Real&ndash; und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion&rdquo; aus:
+Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion  entsprechend der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Real.E2.80.93_und_Imagin.C3.A4rteil_einer_kausalen_.C3.9Cbertragungsfunktion|Skizze]]  im $\text{Beispiel 1}$ des Kapitels &bdquo;Real&ndash; und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion&rdquo; aus:
 :$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0.5  \\ {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c}   {\rm{f\ddot{u}r} }  \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\  {\rm{f\ddot{u}r} }  \end{array}\begin{array}{*{20}c}{  t  < 0\hspace{0.05cm},}  \\ { t  = 0\hspace{0.05cm},}  \\{ t  > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$
 Damit lautet die Laplace–Transformierte:
-:$$X_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{\infty}  {\rm e}^{-t/T} \cdot  {\rm e}^{-pt} \hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}}\hspace{0.05cm}\Bigg \vert_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$
+:$$X_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{\infty}  {\rm e}^{-t/T} \cdot  {\rm e}^{-pt} \hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.08cm}t}}\hspace{0.15cm}\Bigg \vert_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$
-Mit $p = {\rm j} · 2πf$ erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
+Mit  &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
 :$$X(f) =    \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
-Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort $h(t)$ sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor $1/T$ unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
+Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
 :$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) =    \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } =    \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} }  \hspace{0.05cm} .$$
-Häufig verwendet man dann anstelle des Parameters $T$ die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 1/(2πT)$.}}
+Häufig verwendet man dann anstelle des Parameters &nbsp;$T$&nbsp; die 3dB–Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 1/(2πT)$.}}
 ==Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen==
 <br>
-Nachfolgend sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt. Alle hier betrachteten Zeitsignale $x(t)$ sind als dimensionslos angenommen. Aus diesem Grund besitzt $X_{\rm L}(p)$ dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.
+Nachfolgend sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt. Alle hier betrachteten Zeitsignale &nbsp;$x(t)$&nbsp; sind als dimensionslos angenommen. Aus diesem Grund besitzt &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.
 [[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png |center|frame| Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten|class=fit]]
-Die Laplace–Transformierte der [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]] $δ(t)$ ist $X_{\rm L}(p) = 1$  (Diagramm $\rm A$). Durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatzes]] erhält man  $X_{\rm L}(p) = 1/p$ für die Sprungfunktion $γ(t)$ (Diagramm $\rm B$) und aus dieser durch Multiplikation mit $1/(pT)$ die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion $x(t) = t/T$ für $t > 0$ (Diagramm $\rm C$).
+*Die Laplace–Transformierte der [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]] &nbsp; $δ(t)$&nbsp; ist &nbsp;$X_{\rm L}(p) = 1$&nbsp;  (Diagramm $\rm A$). Durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatzes]] erhält man  &nbsp;$X_{\rm L}(p) = 1/p$&nbsp; für die Sprungfunktion &nbsp;$γ(t)$ (Diagramm $\rm B$) und aus dieser durch Multiplikation mit &nbsp;$1/(pT)$&nbsp; die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion &nbsp;$x(t) = t/T$&nbsp; für &nbsp;$t > 0$ (Diagramm $\rm C$).
-Die [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckfunktion]] kann aus der Subtraktion zweier um $T$ auseinanderliegender Sprungfunktionen $γ(t)$ und $γ(t – T)$ erzeugt werden, so dass sich nach dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]  die Laplace–Transformierte $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$ ergibt (Diagramm $\rm D$). Durch Integration erhält man daraus die Rampenfunktion bzw. nach Multiplikation mit $1/(pT)$ deren Laplace–Transformierte (Diagramm $\rm E$).
+*Die [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckfunktion]] kann aus der Subtraktion zweier um &nbsp;$T$&nbsp; auseinanderliegender Sprungfunktionen &nbsp;$γ(t)$&nbsp; und &nbsp;$γ(t – T)$&nbsp; erzeugt werden, so dass sich nach dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]  die Laplace–Transformierte &nbsp;$X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$&nbsp; ergibt (Diagramm $\rm D$). Durch Integration erhält man daraus die Rampenfunktion bzw. nach Multiplikation mit &nbsp;$1/(pT)$&nbsp; deren Laplace–Transformierte (Diagramm $\rm E$).
-Die Exponentialfunktion (Diagramm $\rm F$) wurde bereits auf der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation|letzten Seit]]e betrachtet. Mit dem Faktor $1/T$ beschreibt diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. Durch Quadrierung erhält man die $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Die zugehörige Zeitfunktion lautet $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm $\rm G$).
+*Die Exponentialfunktion (Diagramm $\rm F$) wurde bereits auf der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation|letzten Seit]]e betrachtet. Mit dem Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; beschreibt diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. Durch Quadrierung erhält man die &nbsp;$p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Die zugehörige Zeitfunktion lautet &nbsp;$x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm $\rm G$).
-Neben der kausalen $\rm si$–Funktion (Diagramm $\rm H$) sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion (Diagramme $\rm I$  und $\rm J$) angegeben, die sich zu $p/(p^2 + ω_0^2)$ bzw. $ω_0/(p^2 + ω_0^2)$ ergeben. Hierbei bezeichnet $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$ die so genannte Kreisfrequenz.
+*Neben der kausalen &nbsp;$\rm si$–Funktion (Diagramm $\rm H$) sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion (Diagramme $\rm I$  und $\rm J$) angegeben, die sich zu &nbsp;$p/(p^2 + ω_0^2)$&nbsp; bzw. &nbsp;$ω_0/(p^2 + ω_0^2)$&nbsp; ergeben. Hierbei bezeichnet &nbsp;$ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$&nbsp; die so genannte Kreisfrequenz.

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 [[Aufgaben:3.3_p-Übertragungsfunktion| Aufgabe 3.3: p-Übertragungsfunktion]]
-[[Aufgaben:3.3Z_Hoch-/Tiefpässe_in_ p-Form|Aufgabe 3.3Z: Hoch- undTiefpässe in p-Form]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_3.3Z:_Hoch-_und_Tiefpässe_in_p-Form|Aufgabe 3.3Z: Hoch- undTiefpässe in p-Form]]
 [[Aufgaben:3.4_Dämpfungs-_und_Phasenverlauf| Aufgabe 3.4: Dämpfungs- und Phasenverlauf]]

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:3.2_Laplace-Transformation| Aufgabe 3.2: &nbsp; Laplace-Transformation]]
+[[Aufgaben:3.2_Laplace-Transformation| Aufgabe 3.2: Laplace-Transformation]]
-[[Aufgaben:3.2Z_Laplace_und_Fourier|Zusatzaufgabe 3.2Z: &nbsp; Laplace und Fourier]]
+[[Aufgaben:3.2Z_Laplace_und_Fourier|Aufgabe 3.2Z: Laplace und Fourier]]
-[[Aufgaben:3.3_p-Übertragungsfunktion| Aufgabe 3.3: &nbsp; p-Übertragungsfunktion]]
+[[Aufgaben:3.3_p-Übertragungsfunktion| Aufgabe 3.3: p-Übertragungsfunktion]]
-[[Aufgaben:3.3Z_Hoch-/Tiefpässe_in_ p-Form|Zusatzaufgabe 3.3Z: &nbsp; Hoch- undTiefpässe in p-Form]]
+[[Aufgaben:3.3Z_Hoch-/Tiefpässe_in_ p-Form|Aufgabe 3.3Z: Hoch- undTiefpässe in p-Form]]
-[[Aufgaben:3.4_Dämpfungs-_und_Phasenverlauf| Aufgabe 3.4: &nbsp; Dämpfungs- und Phasenverlauf]]
+[[Aufgaben:3.4_Dämpfungs-_und_Phasenverlauf| Aufgabe 3.4: Dämpfungs- und Phasenverlauf]]
-[[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Zusatzaufgabe 3.4Z: &nbsp; Verschiedene Allpässe]]
+[[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z: Verschiedene Allpässe]]
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