Lineare zeitinvariante Systeme/Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace_Transform_and_p-Transfer_Function]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Guenter am 12. Oktober 2021 um 13:22 Uhr

2021-10-12T13:22:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Oktober 2021, 15:22 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	==Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen==		==Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen==
	<br>		<br>
	Ein jedes  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme\|lineare zeitinvariante System]]  (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie		Ein jedes  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#Voraussetzungen_f.C3.BCr_die_Anwendung_der_Systemtheorie\|lineare zeitinvariante System]]  (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie
	*Widerständen  $(R)$,		*Widerständen  $(R)$,
	*Kapazitäten  $(C)$,		*Kapazitäten  $(C)$,

Guenter am 12. Oktober 2021 um 13:17 Uhr

2021-10-12T13:17:10Z

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Guenter am 12. Oktober 2021 um 10:25 Uhr

2021-10-12T10:25:23Z

Guenter am 30. Oktober 2019 um 16:54 Uhr

2019-10-30T16:54:21Z

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Guenter am 30. Oktober 2019 um 09:58 Uhr

2019-10-30T09:58:25Z

Guenter am 30. Oktober 2019 um 09:29 Uhr

2019-10-30T09:29:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Oktober 2019, 11:29 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	==Betrachtetes Systemmodell==		==Betrachtetes Systemmodell==
	<br>		<br>
	Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort  $h(t)$, an dessen Eingang das Signal  $x(t)$  anliegt. Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich dann als das Faltungsprodukt  $x(t) ∗ h(t)$.		Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort  $h(t)$, an dessen Eingang das Signal  $x(t)$  anliegt.  Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich dann als das Faltungsprodukt  $x(t) ∗ h(t)$.

	[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png \|~~center~~\|frame\| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell\|class=fit]]		[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png \|right\|frame\| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell\|class=fit]]

	Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|erste Fourierintegral]]  angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:		Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|erste Fourierintegral]]  angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
	:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$		:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
	Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale, also unter der Voraussetzung		Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale, also unter der Voraussetzung
	:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}$$		:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}$$
	weiterhin Gültigkeit. In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:		weiterhin Gültigkeit.
	*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar. Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.		<br clear=all>
	*Die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p)$  ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen  $p$. Dass sich diese Variable entsprechend  $p = {\rm j} · 2πf$  aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz  $ω = 2πf$  mit der imaginären Einheit  $\rm j$  ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.		In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
	*Die implizite Bedingung  $x(t) = 0$  für  $t < 0$  erlaubt speziell die Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen ~~in einfacherer Weise~~ als mit dem Fourierintegral.		*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.  Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
			*Die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p)$  ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen  $p$.  Dass sich diese Variable entsprechend  $p = {\rm j} · 2πf$  aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz  $ω = 2πf$  mit der imaginären Einheit  $\rm j$  ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
			*Die implizite Bedingung  $x(t) = 0$  für  $t < 0$  erlaubt speziell die einfachere Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.

	==Definition der Laplace–Transformation==		==Definition der Laplace–Transformation==

Guenter am 25. November 2018 um 15:49 Uhr

2018-11-25T15:49:43Z

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Guenter am 25. November 2018 um 14:27 Uhr

2018-11-25T14:27:42Z

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← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:37 Uhr
Zeile 109:		Zeile 109:
	Damit lautet die  $p$–Übertragungsfunktion:		Damit lautet die  $p$–Übertragungsfunktion:
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {R + {1}/{(pC)} } {pL + R +{1}/{(pC)} }$$		:$$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {R + {1}/{(pC)} } {pL + R +{1}/{(pC)} }$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm L}(p)= \frac {1 + p \cdot{RC} } {1 + p \cdot{RC}+ p^2 \cdot{LC} }		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm L}(p)= \frac {1 + p \cdot{RC} } {1 + p \cdot{RC}+ p^2 \cdot{LC} }\hspace{0.05cm} .$$
	\hspace{0.05cm} .$$
	Setzt man  $p = {\rm j} · 2πf$  ein,  so erhält man die Fourier–Übertragungsfunktion  (bzw. den Frequenzgang).  Dividiert man in obiger Gleichung Zähler und Nenner durch  $LC$,  so ergibt sich:		Setzt man  $p = {\rm j} · 2πf$  ein,  so erhält man die Fourier–Übertragungsfunktion  (bzw. den Frequenzgang).  Dividiert man in obiger Gleichung Zähler und Nenner durch  $LC$,  so ergibt sich:
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R} {L}\cdot \frac {p + {1}/{(RC)} } {p^2 + {R}/ {L}\cdot p + {1}/{(LC)} }= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}		:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R} {L}\cdot \frac {p + {1}/{(RC)} } {p^2 + {R}/ {L}\cdot p + {1}/{(LC)} }= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}\hspace{0.05cm} .$$
	\hspace{0.05cm} .$$

	Im rechten Gleichungsteil ist die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Notation angegeben.  Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich für  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25\ \rm µ H$  und  $C = 62.5 \ \rm nF$  folgende Werte:		Im rechten Gleichungsteil ist die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Notation angegeben.  Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich für  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25\ \rm µ H$  und  $C = 62.5 \ \rm nF$  folgende Werte:
Zeile 119:		Zeile 117:
	*die Nullstelle  $p_{\rm o} = -1/(RC) = -0.32 · 10^6 \cdot 1/{\rm s},$		*die Nullstelle  $p_{\rm o} = -1/(RC) = -0.32 · 10^6 \cdot 1/{\rm s},$
	*die beiden Pole  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x2}$  als Lösung der Gleichung		*die beiden Pole  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x2}$  als Lösung der Gleichung
	:$$p^2 + \frac {R} {L}\cdot p + \frac{1}{LC} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -\frac {R} {2L}\pm \sqrt{\frac		:$$p^2 + \frac {R} {L}\cdot p + \frac{1}{LC} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -\frac {R} {2L}\pm \sqrt{\frac{R^2} {4L^2}- \frac{1}{LC} }$$
	{R^2} {4L^2}- \frac{1}{LC} }$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -10^6 \cdot {1}/{\rm s} \pm \sqrt{10^{12} \cdot {1} /{\rm s^2}-0.64 \cdot 10^{12} \cdot {1}/ {\rm s^2} }\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1 }= -0.4 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s},\hspace{0.2cm}p_{\rm x 2 }= -1.6 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -10^6 \cdot {1}/{\rm s} \pm \sqrt{10^{12} \cdot {1} /{\rm s^2}-0.64 \cdot 10^{12} \cdot {1}/ {\rm s^2} }\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1 }= -0.4 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s},\hspace{0.2cm}p_{\rm x 2 }= -1.6 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
	In der obigen Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben.		In der obigen Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben.
	*Die beiden Achsen bezeichnen den Real– und den Imaginärteil der Variablen  $p$,  jeweils normiert auf den Wert  $10^6 · \rm 1/s\; (= 1/µs)$.		*Die beiden Achsen bezeichnen den Real– und den Imaginärteil der Variablen  $p$,  jeweils normiert auf den Wert  $10^6 · \rm 1/s\; (= 1/µs)$.
Zeile 164:		Zeile 160:
	[[Datei:P_ID1761__LZI_T_3_2_S6_neu.png \|right\|frame\|Ausgangsdiagramm zur Berechnung <br>von Dämpfung und Phase\|class=fit]]		[[Datei:P_ID1761__LZI_T_3_2_S6_neu.png \|right\|frame\|Ausgangsdiagramm zur Berechnung <br>von Dämpfung und Phase\|class=fit]]
	Gegeben sei die  $p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation:		Gegeben sei die  $p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation:
	:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z (p - p_{\rm o i})} {\prod\limits_{i=1}^N (p - p_{\rm x i})}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}		:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z (p - p_{\rm o i})} {\prod\limits_{i=1}^N (p - p_{\rm x i})}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}\hspace{0.05cm} .$$
	\hspace{0.05cm} .$$
	Zum herkömmlichen Frequenzgang  $H(f)$  kommt man, indem man das Argument  $p$  durch  ${\rm j} \cdot 2πf$  ersetzt:		Zum herkömmlichen Frequenzgang  $H(f)$  kommt man, indem man das Argument  $p$  durch  ${\rm j} \cdot 2πf$  ersetzt:
	:$$H(f)= K \cdot \frac {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 2})\cdot \text{...}\cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$		:$$H(f)= K \cdot \frac {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 2})\cdot \text{...}\cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$
	Wir betrachten nun eine feste Frequenz  $f$  und beschreiben die Abstände und Winkel aller Nullstellen durch Vektoren:		Wir betrachten nun eine feste Frequenz  $f$  und beschreiben die Abstände und Winkel aller Nullstellen durch Vektoren:

	:$$R_{ {\rm o} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} i}= \|R_{{\rm o} i}\| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm o} i} },		:$$R_{ {\rm o} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} i}= \|R_{{\rm o} i}\| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm o} i} },\hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , Z \hspace{0.05cm} .$$
	\hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , Z \hspace{0.05cm} .$$
	In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor:		In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor:
	:$$R_{ {\rm x} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} i}= \|R_{ {\rm x} i}\| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm x} i} }, \hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , N \hspace{0.05cm} .$$		:$$R_{ {\rm x} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} i}= \|R_{ {\rm x} i}\| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm x} i} }, \hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , N \hspace{0.05cm} .$$
Zeile 183:		Zeile 177:

	Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden:		Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden:
	:$$H(f)= K \cdot \frac {\|R_{ {\rm o} 1}\| \cdot \|R_{ {\rm o} 2}\|\cdot ... \cdot \|R_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z}\|} {\|R_{ {\rm x} 1}\| \cdot \|R_{ {\rm x} 2}\|\cdot \text{...} \cdot \|R_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N}\|} \cdot {\rm e^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [ \phi_{ {\rm o} 1}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} 2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}\text{...}. \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm}{\it Z}}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 1}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 2} \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}		:$$H(f)= K \cdot \frac {\|R_{ {\rm o} 1}\| \cdot \|R_{ {\rm o} 2}\|\cdot ... \cdot \|R_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z}\|} {\|R_{ {\rm x} 1}\| \cdot \|R_{ {\rm x} 2}\|\cdot \text{...} \cdot \|R_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N}\|} \cdot {\rm e^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [ \phi_{ {\rm o} 1}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} 2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}\text{...}. \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm}{\it Z}}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 1}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 2} \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm} \phi_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm}{\it N} }]} } \hspace{0.05cm} .$$
	- \hspace{0.1cm} \phi_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm}{\it N} }]} } \hspace{0.05cm} .$$

	Stellt man  $H(f)$  durch die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und die Phasenfunktion  $b(f)$  nach der allgemein gültigen Beziehung  $H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$  dar,  so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis:		Stellt man  $H(f)$  durch die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und die Phasenfunktion  $b(f)$  nach der allgemein gültigen Beziehung  $H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$  dar,  so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis:

← Nächstältere Version		Version vom 12. Oktober 2021, 12:25 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|erste Fourierintegral]]  angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:		Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|erste Fourierintegral]]  angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
	:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$		:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
	Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale, also unter der Voraussetzung		Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale weiterhin Gültigkeit, also unter der Voraussetzung
	:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}$$		:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$
	~~weiterhin Gültigkeit.~~
	~~<br clear=all>~~
	In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:		In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
	*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.  Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.		*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.  Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
	*Die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p)$  ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen  $p$.  Dass sich diese Variable ~~entsprechend~~  $p = {\rm j} · 2πf$  aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz  $ω = 2πf$  mit der imaginären Einheit  $\rm j$  ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.		*Die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p)$  ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen  $p$.  Dass sich diese Variable gemäß  $p = {\rm j} · 2πf$  aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz  $ω = 2πf$  mit der imaginären Einheit  $\rm j$  ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
	*Die implizite Bedingung  $x(t) = 0$  für  $t < 0$  erlaubt speziell die einfachere Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.		*Die implizite Bedingung  $x(t) = 0$   für  $t < 0$   erlaubt speziell die einfachere Analyse des <br>Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.

	==Definition der Laplace–Transformation==		==Definition der Laplace–Transformation==
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	Ausgehend vom  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]],		Ausgehend vom  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]],
	:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$		:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
	ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion		ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion   ⇒   $x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$  mit der formalen Substitution  $p = {\rm j} · 2πf$  direkt die Laplace–Transformation.
	:$$x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$$
	mit der formalen Substitution  $p = {\rm j} · 2πf$  direkt die Laplace–Transformation.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
Zeile 52:		Zeile 49:
	Mit  $p = {\rm j} · 2πf$  erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:		Mit  $p = {\rm j} · 2πf$  erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
	:$$X(f) = \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$		:$$X(f) = \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
	Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort  $h(t)$  sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor  $1/T$  unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:		Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung,  dessen Impulsantwort  $h(t)$  sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor  $1/T$  unterscheidet,  so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$		:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$
	Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters  $T$  die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 1/(2πT)$.}}		Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters  $T$  die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 1/(2πT)$.}}

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	==Definition der Laplace–Transformation==		==Definition der Laplace–Transformation==
	<br>		<br>
	Ausgehend vom [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]],		Ausgehend vom  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]],
	:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$		:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
	ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion		ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion
	:$$x(t) = 0 \text{ für }t < 0$$		:$$x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$$
	mit der formalen Substitution  $p = {\rm j} · 2πf$  direkt die Laplace–Transformation.		mit der formalen Substitution  $p = {\rm j} · 2πf$  direkt die Laplace–Transformation.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Die '''Laplace–Transformierte''' einer kausalen Zeitfunktion  $x(t)$  lautet:		Die  '''Laplace–Transformierte'''  einer kausalen Zeitfunktion  $x(t)$  lautet:
	:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$ }}		:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$ }}

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	:$$X(f) = X_{\rm L}(p) \Bigg \|_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$		:$$X(f) = X_{\rm L}(p) \Bigg \|_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$

	*Hat allerdings das Signal  $x(t)$  periodische Anteile und beinhaltet damit die Spektralfunktion  $X(f)$  ~~zusätzliche~~ Diracfunktionen, so ist diese Gleichung nicht anwendbar.		*Hat allerdings das Signal  $x(t)$  periodische Anteile und beinhaltet damit die Spektralfunktion  $X(f)$  Diracfunktionen, so ist diese Gleichung nicht anwendbar.
	*In diesem Fall muss  $p = α + {\rm j} · 2πf$  angesetzt werden und es ist dann der Grenzübergang  $α → 0$  zu bilden.		*In diesem Fall muss  $p = α + {\rm j} · 2πf$  angesetzt werden und es ist dann der Grenzübergang  $α → 0$  zu bilden.

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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion entsprechend der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Real.E2.80.93_und_Imagin.C3.A4rteil_einer_kausalen_.C3.9Cbertragungsfunktion\|Skizze]] im $\text{Beispiel 1}$ des Kapitels &bdquo;Real– und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion” aus:		Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion entsprechend der  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Real.E2.80.93_und_Imagin.C3.A4rteil_einer_kausalen_.C3.9Cbertragungsfunktion\|Skizze]]  im $\text{Beispiel 1}$ des Kapitels &bdquo;Real– und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion” aus:
	:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0.5 \\ {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0\hspace{0.05cm},} \\ { t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$		:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0.5 \\ {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0\hspace{0.05cm},} \\ { t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$
	Damit lautet die Laplace–Transformierte:		Damit lautet die Laplace–Transformierte:
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	Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort  $h(t)$  sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor  $1/T$  unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:		Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort  $h(t)$  sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor  $1/T$  unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$		:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$
	Häufig verwendet man dann anstelle des Parameters  $T$  die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 1/(2πT)$.}}		Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters  $T$  die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 1/(2πT)$.}}

	==Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen==		==Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen==
	<br>		<br>
	Nachfolgend sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt. Alle hier betrachteten Zeitsignale  $x(t)$  sind als dimensionslos angenommen. Aus diesem Grund besitzt  $X_{\rm L}(p)$  dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.		Nachfolgend sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt.  Alle hier betrachteten Zeitsignale  $x(t)$  sind als dimensionslos angenommen.  Aus diesem Grund besitzt  $X_{\rm L}(p)$  dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.

	[[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png \|center\|frame\| Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten\|class=fit]]		[[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png \|center\|frame\| Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten\|class=fit]]

	*Die Laplace–Transformierte der [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracfunktion]]   $δ(t)$  ist  $X_{\rm L}(p) = 1$  (Diagramm $\rm A$). Durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatzes]] erhält man  $X_{\rm L}(p) = 1/p$  für die Sprungfunktion  $γ(t)$ (Diagramm $\rm B$) und aus dieser durch Multiplikation mit  $1/(pT)$  die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion  $x(t) = t/T$  für  $t > 0$ (Diagramm $\rm C$).		*Die Laplace–Transformierte der  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracfunktion]]  $δ(t)$  ist  $X_{\rm L}(p) = 1$  $($Diagramm $\rm A)$.  Durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatzes]]  erhält man  $X_{\rm L}(p) = 1/p$  für die Sprungfunktion  $γ(t)$  $($Diagramm $\rm B)$ und aus dieser durch Multiplikation mit  $1/(pT)$  die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion  $x(t) = t/T$  für  $t > 0$  $($Diagramm $\rm C)$.

	*Die [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls\|Rechteckfunktion]] kann aus der Subtraktion zweier um  $T$  auseinanderliegender Sprungfunktionen  $γ(t)$  und  $γ(t – T)$  erzeugt werden, so dass sich nach dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]] die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$  ergibt (Diagramm $\rm D$). Durch Integration erhält man daraus die Rampenfunktion bzw. nach Multiplikation mit  $1/(pT)$  deren Laplace–Transformierte (Diagramm $\rm E$).		*Die  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls\|Rechteckfunktion]]  kann aus der Subtraktion zweier um  $T$  auseinanderliegender Sprungfunktionen  $γ(t)$  und  $γ(t – T)$  erzeugt werden, so dass sich nach dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$  ergibt  $($Diagramm $\rm D)$. Durch Integration erhält man daraus die Rampenfunktion bzw. nach Multiplikation mit  $1/(pT)$  deren Laplace–Transformierte  $($Diagramm $\rm E)$.

	*Die Exponentialfunktion (Diagramm $\rm F$) wurde bereits auf der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation\|letzten ~~Seit~~]]e betrachtet. Mit dem Faktor  $1/T$  ~~beschreibt~~ diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. Durch Quadrierung erhält man die  $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses zweiter Ordnung~~. Die zugehörige~~ Zeitfunktion ~~lautet~~  $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm $\rm G$).		*Die Exponentialfunktion  $($Diagramm $\rm F)$ wurde bereits auf der  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation\|letzten Seite]]  betrachtet.  Mit dem Faktor  $1/T$  ist diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. Durch Quadrierung erhält man die  $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses zweiter Ordnung mit der Zeitfunktion  $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm  $\rm G$).

	*Neben der kausalen  $\rm si$–Funktion (Diagramm $\rm H$) sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion (Diagramme $\rm I$ und $\rm J$) angegeben, die sich zu  $p/(p^2 + ω_0^2)$  bzw.  $ω_0/(p^2 + ω_0^2)$  ergeben. Hierbei bezeichnet  $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$  die so genannte Kreisfrequenz.		*Neben der kausalen  $\rm si$–Funktion  $($Diagramm $\rm H)$  sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion  $($Diagramme  $\rm I$  und  $\rm J)$  angegeben, die sich zu  $p/(p^2 + ω_0^2)$  bzw.  $ω_0/(p^2 + ω_0^2)$  ergeben. Hierbei bezeichnet  $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$  die so genannte Kreisfrequenz.