Lineare zeitinvariante Systeme/Laplace–Rücktransformation - Versionsgeschichte

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−	Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes  $1$,  während die zweite, zu subtrahierende Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die mit ~~ ~~$Z = 0$, ~~ $~~N =1~~$ und  $~~K = RC$~~  durch den Residuensatz angebbar ist.~~ }}	+	Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes  $1$,  während die zweite, zu subtrahierende Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die durch den Residuensatz angebbar ist mit den Parametern
		+	:$$Z = 0,\hspace{0.2cm} N =1,\hspace{0.2cm} K = RC.$$ }}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 163: / Zeile 163: @@
 *ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes &nbsp;$p$&nbsp; ungleich Null,
 *beinhaltet das zugehörige Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; auch einen &nbsp;[[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]],
-*versagt der Residuensatz und es ist eine '''Partialbruchzerlegung'''&nbsp; vorzunehmen.
+*versagt der Residuensatz und es ist eine&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung '''Partialbruchzerlegung''']&nbsp; vorzunehmen.

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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Die&nbsp; $p$–Übertragungsfunktion eines&nbsp; $RC$–Hochpasses erster Ordnung kann durch Abspaltung einer Konstanten wie folgt umgewandelt werden:
+Die&nbsp; $p$–Übertragungsfunktion eines RC–Hochpasses erster Ordnung  kann durch Abspaltung einer Konstanten wie folgt umgewandelt werden:
 :$$\frac{p}{p + RC} = 1- \frac{RC}{p + RC}\hspace{0.05cm} .$$
 Damit lautet die Hochpass&ndash;Impulsantwort:

@@ Zeile 160: / Zeile 160: @@
 Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt &nbsp; &rArr; &nbsp; $Z$&nbsp; muss stets  kleiner als &nbsp;$N$&nbsp; sein.
-Gilt dagegen wie bei einem Hochpass &nbsp;$Z = N$, so
+Gilt dagegen wie bei einem Hochpass &nbsp;$Z = N$,&nbsp; so
 *ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes &nbsp;$p$&nbsp; ungleich Null,
 *beinhaltet das zugehörige Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; auch einen &nbsp;[[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]],
-*versagt der Residuensatz und es ist eine ''Partialbruchzerlegung''&nbsp; vorzunehmen.
+*versagt der Residuensatz und es ist eine '''Partialbruchzerlegung'''&nbsp; vorzunehmen.
@@ Zeile 182: / Zeile 182: @@
-Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes $1$, während die zweite Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die mit &nbsp;$Z = 0$, &nbsp;$N =1$ und &nbsp;$K = RC$&nbsp; durch den Residuensatz angebbar ist. }}
+Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes&nbsp; $1$,&nbsp; während die zweite, zu subtrahierende  Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die mit &nbsp;$Z = 0$, &nbsp;$N =1$ und &nbsp;$K = RC$&nbsp; durch den Residuensatz angebbar ist. }}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 148: / Zeile 148: @@
 *Die Grafik zeigt diese&nbsp; '''Impulsantwort'''&nbsp; als grüne Kurve in normierter Darstellung.&nbsp; Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei&nbsp; $-0.4$&nbsp; und&nbsp; $-1.6$&nbsp; nur geringfügig.
-*Das rot gezeichnete Signal &nbsp;$y(t) =  1 - {\rm  e}^{-t} + t \cdot {\rm  e}^{-t}$&nbsp; ergibt sich, wenn  am Eingang  zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt wird.&nbsp;  Zur Berechnung der&nbsp; '''Sprungantwort''' &nbsp; &nbsp;$\sigma(t) = y(t)$&nbsp; kann man alternativ
+*Das rot gezeichnete Signal &nbsp;$y(t) =  1 - {\rm  e}^{-t} + t \cdot {\rm  e}^{-t}$&nbsp; ergibt sich, wenn  am Eingang  zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt wird.&nbsp;
 :*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei &nbsp;$p = 0$ &nbsp; (rot markiert) berücksichtigen, oder
 :*das Integral über die Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; bilden.
-<br clear=all>
 ==Partialbruchzerlegung==
 <br>

@@ Zeile 133: / Zeile 133: @@
 ==Aperiodischer Grenzfall==
 <br>
-Mit &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$, &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro; H$ und &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$ ergibt sich der so genannte aperiodische Grenzfall:
+Mit &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$, &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro; H$&nbsp; und &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$&nbsp; ergibt sich der so genannte aperiodische Grenzfall:
 :$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } {(p +1)^2}  \hspace{0.05cm} .$$
-Der Kapazitätswert &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$&nbsp; ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.&nbsp; Diese fallen zusammen, das heißt &nbsp;$p_{\rm x} = \ –1$&nbsp; ist eine doppelte Polstelle.&nbsp; Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit &nbsp;$l = 2$:
+Der Kapazitätswert &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$&nbsp; ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben. &nbsp; Diese fallen zusammen, das heißt &nbsp;$p_{\rm x} = \ –1$&nbsp; ist eine doppelte Polstelle. &nbsp; Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit &nbsp;$l = 2$:
 :$$h(t) =  {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}=  \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}
   \left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } =  K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\}  \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$
-Mit der ''Produktregel''&nbsp; der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
+[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png |right|frame| Impulsantwort&nbsp; (grün)&nbsp; und Sprungantwort&nbsp; (rot)&nbsp; des aperiodischen Grenzfalls]]
 [[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png |right|frame| Impulsantwort und Sprungantwort des aperiodischen Grenzfalls]]
 :$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm  e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)
   \hspace{0.05cm} .$$
-Die Grafik zeigt diese Impulsantwort (grüne Kurve) in normierter Darstellung.&nbsp; Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei&nbsp; $-0.4$&nbsp; und&nbsp; $-1.6$&nbsp; nur geringfügig.
+*Die Grafik zeigt diese&nbsp; '''Impulsantwort'''&nbsp; als grüne Kurve in normierter Darstellung.&nbsp; Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei&nbsp; $-0.4$&nbsp; und&nbsp; $-1.6$&nbsp; nur geringfügig.
-Zur Berechnung der Sprungantwort &nbsp;$\sigma(t) = y(t)$&nbsp; kann man alternativ
+*Das rot gezeichnete Signal &nbsp;$y(t) =  1 - {\rm  e}^{-t} + t \cdot {\rm  e}^{-t}$&nbsp; ergibt sich, wenn  am Eingang  zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt wird.&nbsp;  Zur Berechnung der&nbsp; '''Sprungantwort''' &nbsp; &nbsp;$\sigma(t) = y(t)$&nbsp; kann man alternativ
-*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei &nbsp;$p = 0$ &nbsp; (rot markiert) berücksichtigen,
+:*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei &nbsp;$p = 0$ &nbsp; (rot markiert) berücksichtigen, oder
-*oder das Integral über die Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; bilden.
+:*das Integral über die Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; bilden.
 <br clear=all>
 ==Partialbruchzerlegung==

@@ Zeile 105: / Zeile 105: @@
 ==Gedämpft oszillierende Impulsantwort==
 <br>
-Die Bauelementewerte &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$, &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro; H$ und &nbsp;$C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei &nbsp;$p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.&nbsp; Die Nullstelle liegt bei &nbsp;$p_{\rm o} = \ –2.5$. Es gilt &nbsp;$K = 2$&nbsp; und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; zu multiplizieren $(T = 1\ \rm &micro; s$).
+Die Bauelementewerte &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$, &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro; H$ und &nbsp;$C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei &nbsp;$p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.&nbsp;
 Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
-:$$h_1(t) =  \text{ ...}   = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t}=  2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}
+:$$h_1(t) =   K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}} \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} $$
-  \cdot\hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) =    2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) =  2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
   e}^{-t}\cdot {\rm  e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
-:$$ h_2(t) =  \text{ ...}   = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}=  2 \cdot \frac {-1 - {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 - {\rm j}\cdot 2) - (-1 + {\rm j}\cdot 2)}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}=2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
-[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png |right|frame| Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]
+:$$ h_2(t) =   K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm  e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$
 Mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; ergibt sich somit für das Summensignal:
-:$$h(t) =  h_1(t) + h_2(t)$$
+:$$h(t) =  h_1(t) + h_2(t)\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) = {\rm  e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() + {\rm j}\cdot \sin())+
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) = {\rm  e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() + {\rm j}\cdot \sin())+
-  $$
+  + (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() - {\rm j}\cdot \sin())\big ]$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm  e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$

@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen &nbsp;${\rm Re}\{p\}= α$.&nbsp; Lösbar ist dieses Integral mit dem &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].&nbsp; Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:
 *Das Linienintegral kann in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden, wobei sämtliche Polstellen im linken Kreisintegral liegen, während das rechte Kreisintegral nur Nullstellen beinhalten darf.
-*Entsprechend der Funktionstheorie liefert das rechte Kreisintegral die Zeitfunktion &nbsp;$y(t)$&nbsp; für negative Zeiten. Aufgrund der Kausalität muss &nbsp;$y(t < 0)$&nbsp; identisch Null sein, was aber nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie nur dann zutrifft, wenn es in der rechten &nbsp;$p$–Halbebene keine Pole gibt.
+*Entsprechend der Funktionstheorie liefert das rechte Kreisintegral die Zeitfunktion &nbsp;$y(t)$&nbsp; für negative Zeiten. Aufgrund der Kausalität ist &nbsp;$y(t < 0) \equiv 0$,&nbsp; sein.&nbsp; Dies trifft aber nur dann zu, wenn es in der rechten &nbsp;$p$–Halbebene keine Pole gibt.
-*Das Integral über den linken Halbkreis liefert dagegen die Zeitfunktion für &nbsp;$t ≥ 0$. Dieses umschließt alle Polstellen und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie auf den nächsten Seiten gezeigt wird.
+*Das Integral über den linken Halbkreis liefert die Zeitfunktion für &nbsp;$t ≥ 0$. Dieses umschließt alle Pole und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie auf den nächsten Seiten gezeigt wird.
 ==Formulierung des Residuensatzes==
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 dargestellt werden kann. Wir setzen zudem &nbsp;$Z < N$&nbsp; voraus.
-Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit &nbsp;$I$.&nbsp; Zur Bestimung von &nbsp;$I$&nbsp; werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.&nbsp; So gilt für die&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Skizze]]&nbsp; im letzten Abschnitt unter Berücksichtigung des Poles bei &nbsp;$p=0$&nbsp; aufgrund der doppelten Polstelle: &nbsp;  $N = 5$&nbsp; und &nbsp;$I = 4$.
+Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit &nbsp;$I$.&nbsp; Zur Bestimung von &nbsp;$I$&nbsp; werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.&nbsp; So gilt für die&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Skizze]]&nbsp; im letzten Abschnitt&nbsp; (unter Berücksichtigung des Poles bei &nbsp;$p=0$)&nbsp; aufgrund der doppelten Polstelle: &nbsp;  $N = 5$&nbsp; und &nbsp;$I = 4$.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Residuensatz:}$&nbsp;
-Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die&nbsp; '''Laplace–Rücktransformierte'''&nbsp; von &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; für Zeiten&nbsp; $t ≥ 0$&nbsp; als die Summe von&nbsp; $I$&nbsp; Eigenschwingungen der Pole, die man als die&nbsp; ''Residuen''&nbsp; – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
+Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die&nbsp; '''Laplace–Rücktransformierte'''&nbsp; von &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; für Zeiten&nbsp; $t ≥ 0$&nbsp; als die Summe von&nbsp; $I$&nbsp; Eigenschwingungen der Pole, die man als die&nbsp; '''Residuen'''&nbsp; – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
 :$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$
-Da&nbsp; $Y_{\rm L}(p)$&nbsp; nur für kausale Signale angebbar ist, gilt für negative Zeiten stets &nbsp;$y(t < 0) = 0$.
+Da&nbsp; $Y_{\rm L}(p)$&nbsp; nur für kausale Signale angebbar ist,&nbsp; gilt für negative Zeiten stets &nbsp;$y(t < 0) = 0$.
 *Für einen Pol der Vielfachheit &nbsp;$l$&nbsp; gilt allgemein:
@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 Auf den nächsten Seiten wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Eigenschaften_der_Pole_und_Nullstellen| $\text{Beispiel 3}$]]&nbsp;  im Kapitel &bdquo;Laplace&ndash;Transformation&rdquo; korrespondieren:
 *Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro;H$&nbsp; im Längszweig  sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand&nbsp; $R = 50 \ \rm Ω$&nbsp; und einer Kapazität&nbsp; $C$.
-*Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte, nämlich &nbsp;$C = 62.5 \ \rm nF$, &nbsp;$C = 8 \ \rm nF$ und &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$.
+*Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte,&nbsp; nämlich &nbsp;$C = 62.5 \ \rm nF$, &nbsp;$C = 8 \ \rm nF$&nbsp; und &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$.
 *Vorausgesetzt ist stets &nbsp;$x(t) = δ(t) \; ⇒  \; X_{\rm L}(p) = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$  &nbsp; &rArr; &nbsp;  $y(t)$&nbsp; ist gleich der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$.
@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 <br>
 Mit der Kapazität &nbsp;$C = 62.5 \ \rm nF$&nbsp; und den weiteren in der unteren Grafik angegebenen Zahlenwerten erhält man für die auf der Seite &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Pol.E2.80.93Nullstellen.E2.80.93Darstellung_von_Schaltungen|Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen]]&nbsp;  berechnete&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion:
 :$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }
   {(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$
@@ Zeile 89: / Zeile 91: @@
 Die Impulsantwort setzt sich aus &nbsp;$I = N = 2$&nbsp; Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$&nbsp; sind diese gleich Null.
-*Das Residium des Pols bei &nbsp;$p_{{\rm x}1} =\  –0.4$&nbsp; liefert die folgende Zeitfunktion:
+*Das Residium des Pols bei &nbsp;$p_{{\rm x}1} =\  –0.4$&nbsp; liefert folgende Zeitfunktion:
-:$$h_1(t)  =  {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}1})\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot  {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$
+:$$h_1(t)  =  {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}1})\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}$$
-*In gleicher Weise kann das Residium des zweiten Pols bei &nbsp;$p_{{\rm x}2} = \ –1.6$&nbsp; berechnet werden:
+: $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t)  =  2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot  {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$
-:$$h_2(t)  =  {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}2})\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}=  \frac {32 } {15}\cdot  {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$
+*Für das Residium des zweiten Pols bei &nbsp;$p_{{\rm x}2} = \ –1.6$&nbsp; gilt:
-[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png  |right|frame| Abklingende Impulsantwort]]
+Die Grafik zeigt &nbsp;$h_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; sowie das Summensignal &nbsp;$h(t)$.
-<br><br><br><br>Die Grafik zeigt &nbsp;$h_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; sowie das Summensignal &nbsp;$h(t)$.
+*Berücksichtigt ist auch hier der Normierungsfaktor &nbsp;$1/T = 10^6 · \rm 1/s$,&nbsp; so dass die Zeit auf &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; normiert ist.
 *Für &nbsp;$t =0$&nbsp; ergibt sich $T \cdot h(t=0) =  {32 }/ {15} -{2 }/ {15}= 2 \hspace{0.05cm}$.&nbsp;
-*Für Zeiten &nbsp;$t > 2 \ \rm &micro; s$&nbsp; ist die Impulsantwort  negativ <br>(wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).
+*Für Zeiten &nbsp;$t > 2 \ \rm &micro; s$&nbsp; ist die Impulsantwort  negativ&nbsp; (wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).
 <br clear=all>
 ==Gedämpft oszillierende Impulsantwort==

@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 In der Grafik sind die Voraussetzungen für diese Aufgabenstellung zusammengestellt.
-[[Datei:P_ID1770__LZI_T_3_3_S1_neu.png |center|frame| Voraussetzungen für das Kapitel &bdquo;Laplace–Rücktransformation&rdquo;]]
+[[Datei:P_ID1770__LZI_T_3_3_S1_neu.png |right|frame| Voraussetzungen für das Kapitel &bdquo;Laplace–Rücktransformation&rdquo;]]
 *$H_{\rm L}(p)$&nbsp; beschreibt das kausale Übertragungssystem und &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; gibt die Laplace–Transformierte des Ausgangssignals &nbsp;$y(t)$&nbsp; unter Berücksichtigung des Eingangssignals &nbsp;$x(t)$&nbsp; an. &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; ist gekennzeichnet durch &nbsp;$N$&nbsp; Pole, durch &nbsp;$Z ≤ N$&nbsp; Nullstellen sowie durch die Konstante &nbsp;$K.$
 *Die Pole und Nullstellen zeigen die im&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Eigenschaften_der_Pole_und_Nullstellen|letzten Kapitel]]&nbsp;  genannten Eigenschaften: &nbsp; Pole dürfen nur in der linken &nbsp;$p$–Halbebene oder auf der imaginären Achse liegen, Nullstellen sind dagegen auch in der rechten &nbsp;$p$–Halbebene erlaubt.
-*Alle Singularitäten – dies ist der Oberbegriff für Pole und Nullstellen – sind entweder reell oder es treten Paare von konjugiert–komplexen Singularitäten auf.&nbsp; Mehrfache Pole und Nullstellen sind ebenfalls erlaubt.
+*Alle Singularitäten – dies ist der Oberbegriff für Pole und Nullstellen – sind entweder reell oder es treten Paare von konjugiert–komplexen Singularitäten auf.&nbsp; Mehrfache Pole und Nullstellen sind erlaubt.
-*Verwendet man das Eingangssignal &nbsp;$x(t) = δ(t) \ \  ⇒ \ \  X_{\rm L}(p) = 1  \ \  ⇒  \ \  Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$, so beschreibt das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]]  &nbsp;$h(t)$&nbsp; des Übertragungssystems.&nbsp; Zur Berechnung dürfen hierfür nur die in der Grafik grün eingezeichneten Singularitäten herangezogen werden.
+*Verwendet man das Eingangssignal &nbsp;$x(t) = δ(t)$ &nbsp; ⇒ &nbsp;$  X_{\rm L}(p) = 1 $ &nbsp; ⇒ &nbsp;$ Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$,&nbsp; so beschreibt &nbsp;$y(t)$&nbsp; die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]]  &nbsp;$h(t)$&nbsp; des Übertragungssystems.&nbsp; Zur Berechnung dürfen hierfür nur die in der Grafik grün eingezeichneten Singularitäten herangezogen werden.
 *Eine Sprungfunktion &nbsp;$x(t) = γ(t) \ \  ⇒ \ \  X_{\rm L} = 1/p$&nbsp; am Eingang bewirkt, dass das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; gleich der &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Sprungantwort|Sprungantwort]] &nbsp; $σ(t)$ von $H_{\rm L}(p)$&nbsp; ist.&nbsp; Zur Berechnung ist neben den Singularitäten von &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; nun auch die (in der Grafik rot eingezeichnete) Polstelle bei &nbsp;$p = 0$&nbsp; zu berücksichtigen.
-*Als Eingang &nbsp;$x(t)$&nbsp; sind nur Signale möglich, für die &nbsp;$X_{ \rm L}(p)$&nbsp; in Pol–Nullstellen–Form darstellbar ist &nbsp; (siehe &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Einige_wichtige_Laplace.E2.80.93Korrespondenzen|Tabelle]]&nbsp;  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation und $p$–Übertragungsfunktion&rdquo;), zum Beispiel ein zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; eingeschaltetes Cosinus– oder Sinussignal.
+*Als Eingang &nbsp;$x(t)$&nbsp; sind nur Signale möglich, für die &nbsp;$X_{ \rm L}(p)$&nbsp; in Pol–Nullstellen–Form darstellbar ist &nbsp; (siehe &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Einige_wichtige_Laplace.E2.80.93Korrespondenzen|Tabelle]]&nbsp;  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation und $p$–Übertragungsfunktion&rdquo;),&nbsp; zum Beispiel ein zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; eingeschaltetes Cosinus– oder Sinussignal.
 *Bei der hier beschriebenen Vorgehensweise ist also ein Rechteck  als Eingangssignal &nbsp;$x(t)\ \  ⇒ \ \ X_{\rm L}(p) = (1 - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} T})/p$&nbsp; nicht möglich.&nbsp; Die Rechteckantwort &nbsp;$y(t)$&nbsp; kann aber als Differenz zweier Sprungantworten indirekt berechnet werden.
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-[[Datei:P_ID1777__LZI_T_3_3_S2_neu.png |center|frame| Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral]]
+[[Datei:P_ID1777__LZI_T_3_3_S2_neu.png |right|frame| Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral]]
-Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen &nbsp;${\rm Re}\{p\}= α$.&nbsp; Lösbar ist dieses Integral mit dem &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].&nbsp; In diesem Tutorial folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:
+Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen &nbsp;${\rm Re}\{p\}= α$.&nbsp; Lösbar ist dieses Integral mit dem &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].&nbsp; Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:
-*Das Linienintegral kann entsprechend der Skizze in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden, wobei sämtliche Polstellen im linken Kreisintegral liegen, während das rechte Kreisintegral nur Nullstellen beinhalten darf.
+*Das Linienintegral kann in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden, wobei sämtliche Polstellen im linken Kreisintegral liegen, während das rechte Kreisintegral nur Nullstellen beinhalten darf.
 *Entsprechend der Funktionstheorie liefert das rechte Kreisintegral die Zeitfunktion &nbsp;$y(t)$&nbsp; für negative Zeiten. Aufgrund der Kausalität muss &nbsp;$y(t < 0)$&nbsp; identisch Null sein, was aber nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie nur dann zutrifft, wenn es in der rechten &nbsp;$p$–Halbebene keine Pole gibt.
 *Das Integral über den linken Halbkreis liefert dagegen die Zeitfunktion für &nbsp;$t ≥ 0$. Dieses umschließt alle Polstellen und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie auf den nächsten Seiten gezeigt wird.