Lineare zeitinvariante Systeme/Laplace–Rücktransformation - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:27:52Z

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	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Allgemein gilt für die  '''Laplace–Rücktransformation''':		Allgemein gilt für die  '''Laplace–Rücktransformation''':
	:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}p \hspace{0.05cm} .$$		:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rm d}p \hspace{0.05cm} .$$
	*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.		*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.
	*Der Realteil  $α$  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}		*Der Realteil  $α$  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}
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	:$$h_1(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} $$		:$$h_1(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}\cdot\hspace{0.05cm}t}$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}\cdot\hspace{0.05cm}t}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\~~rme~~}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$

	:$$ h_2(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} $$		:$$ h_2(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} $$
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Linear_and_Time_Invariant_Systems/Inverse_Laplace_Transform]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:37:54Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	*Bekannt ist die  $p$–Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in der Pol–Nullstellen–Form.		*Bekannt ist die  $p$–Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in der Pol–Nullstellen–Form.
	*Gesucht ist die  '''Laplace–Rücktransformierte''', also die dazugehörige Zeitfunktion  $y(t)$, wobei folgende Notation gelten soll:		*Gesucht ist die  '''Laplace–Rücktransformierte''', also die dazugehörige Zeitfunktion  $y(t)$, wobei folgende Notation gelten soll:
	:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm}		:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm}y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$}}
	y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$}}


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	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Allgemein gilt für die  '''Laplace–Rücktransformation''':		Allgemein gilt für die  '''Laplace–Rücktransformation''':
	:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rm		:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rmd}p \hspace{0.05cm} .$$
	d}p \hspace{0.05cm} .$$
	*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.		*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.
	*Der Realteil  $α$  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}		*Der Realteil  $α$  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}
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	[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png \|right\|frame\| Abklingende Impulsantwort]]		[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png \|right\|frame\| Abklingende Impulsantwort]]

	:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }		:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }{(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$
	{(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$

	Beachten Sie bitte die Normierung von  $p$,  $K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor  ${\rm 10^6} · 1/\rm s$.		Beachten Sie bitte die Normierung von  $p$,  $K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor  ${\rm 10^6} · 1/\rm s$.
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	Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:		Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
	:$$h_1(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} $$		:$$h_1(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}\cdot\hspace{0.05cm}t}$$
	\cdot\hspace{0.05cm}t}$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rme}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
	e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$

	:$$ h_2(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} $$		:$$ h_2(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} $$
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	Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  ergibt sich somit für das Summensignal:		Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  ergibt sich somit für das Summensignal:
	:$$h(t) = h_1(t) + h_2(t)\hspace{0.3cm}		:$$h(t) = h_1(t) + h_2(t)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) = {\rm e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() + {\rm j}\cdot \sin())++ (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() - {\rm j}\cdot \sin())\big ]$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) = {\rm e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() + {\rm j}\cdot \sin())+
	+ (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() - {\rm j}\cdot \sin())\big ]$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$

Zeile 137:		Zeile 130:

	Der Kapazitätswert  $C = 40 \ \rm nF$  ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.   Diese fallen zusammen, das heißt  $p_{\rm x} = \ –1$  ist eine doppelte Polstelle.   Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit  $l = 2$:		Der Kapazitätswert  $C = 40 \ \rm nF$  ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.   Diese fallen zusammen, das heißt  $p_{\rm x} = \ –1$  ist eine doppelte Polstelle.   Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit  $l = 2$:
	:$$h(t) = {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}		:$$h(t) = {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$
	\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$

	[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png \|right\|frame\| Impulsantwort  (grün)  und Sprungantwort  (rot)  des aperiodischen Grenzfalls]]		[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png \|right\|frame\| Impulsantwort  (grün)  und Sprungantwort  (rot)  des aperiodischen Grenzfalls]]

	Mit der Produktregel der Differentialrechnung ergibt sich daraus:		Mit der Produktregel der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
	:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)		:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)\hspace{0.05cm} .$$
	\hspace{0.05cm} .$$

	*Die Grafik zeigt diese  '''Impulsantwort'''  als grüne Kurve in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.		*Die Grafik zeigt diese  '''Impulsantwort'''  als grüne Kurve in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.

Guenter am 18. Oktober 2021 um 09:19 Uhr

2021-10-18T09:19:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Oktober 2021, 11:19 Uhr
Zeile 182:		Zeile 182:


	Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes  $1$,  während die zweite, zu subtrahierende Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die mit ~~ ~~$Z = 0$, ~~ $~~N =1~~$ und  $~~K = RC$~~  durch den Residuensatz angebbar ist.~~ }}		Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes  $1$,  während die zweite, zu subtrahierende Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die durch den Residuensatz angebbar ist mit den Parametern
			:$$Z = 0,\hspace{0.2cm} N =1,\hspace{0.2cm} K = RC.$$ }}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

Guenter am 18. Oktober 2021 um 08:37 Uhr

2021-10-18T08:37:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Oktober 2021, 10:37 Uhr
Zeile 163:		Zeile 163:
	*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes  $p$  ungleich Null,		*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes  $p$  ungleich Null,
	*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  auch einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracimpuls]],		*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  auch einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracimpuls]],
	*versagt der Residuensatz und es ist eine '''Partialbruchzerlegung'''  vorzunehmen.		*versagt der Residuensatz und es ist eine  [https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung '''Partialbruchzerlegung''']  vorzunehmen.

Guenter am 18. Oktober 2021 um 08:35 Uhr

2021-10-18T08:35:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Oktober 2021, 10:35 Uhr
Zeile 171:		Zeile 171:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Die  $p$–Übertragungsfunktion eines~~  $RC$–Hochpasses~~ erster Ordnung kann durch Abspaltung einer Konstanten wie folgt umgewandelt werden:		Die  $p$–Übertragungsfunktion eines RC–Hochpasses erster Ordnung kann durch Abspaltung einer Konstanten wie folgt umgewandelt werden:
	:$$\frac{p}{p + RC} = 1- \frac{RC}{p + RC}\hspace{0.05cm} .$$		:$$\frac{p}{p + RC} = 1- \frac{RC}{p + RC}\hspace{0.05cm} .$$
	Damit lautet die Hochpass–Impulsantwort:		Damit lautet die Hochpass–Impulsantwort:

Guenter am 17. Oktober 2021 um 15:57 Uhr

2021-10-17T15:57:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2021, 17:57 Uhr
Zeile 160:		Zeile 160:
	Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt   ⇒   $Z$  muss stets kleiner als  $N$  sein.		Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt   ⇒   $Z$  muss stets kleiner als  $N$  sein.

	Gilt dagegen wie bei einem Hochpass  $Z = N$, so		Gilt dagegen wie bei einem Hochpass  $Z = N$,  so
	*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes  $p$  ungleich Null,		*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes  $p$  ungleich Null,
	*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  auch einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracimpuls]],		*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  auch einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracimpuls]],
	*versagt der Residuensatz und es ist eine ''Partialbruchzerlegung''  vorzunehmen.		*versagt der Residuensatz und es ist eine '''Partialbruchzerlegung'''  vorzunehmen.


Zeile 182:		Zeile 182:


	Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes $1$, während die zweite Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die mit  $Z = 0$,  $N =1$ und  $K = RC$  durch den Residuensatz angebbar ist. }}		Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes  $1$,  während die zweite, zu subtrahierende Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die mit  $Z = 0$,  $N =1$ und  $K = RC$  durch den Residuensatz angebbar ist. }}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

Guenter am 17. Oktober 2021 um 15:45 Uhr

2021-10-17T15:45:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2021, 17:45 Uhr
Zeile 148:		Zeile 148:
	*Die Grafik zeigt diese  '''Impulsantwort'''  als grüne Kurve in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.		*Die Grafik zeigt diese  '''Impulsantwort'''  als grüne Kurve in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.

	*Das rot gezeichnete Signal  $y(t) = 1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$  ergibt sich, wenn am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt wird.  Zur Berechnung der  '''Sprungantwort'''    $\sigma(t) = y(t)$  kann man alternativ		*Das rot gezeichnete Signal  $y(t) = 1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$  ergibt sich, wenn am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt wird.


			Zur Berechnung der  '''Sprungantwort'''    $\sigma(t) = y(t)$  kann man alternativ
	:*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei  $p = 0$   (rot markiert) berücksichtigen, oder		:*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei  $p = 0$   (rot markiert) berücksichtigen, oder
	:*das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  bilden.		:*das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  bilden.
	~~<br clear=all>~~

	==Partialbruchzerlegung==		==Partialbruchzerlegung==
	<br>		<br>

Guenter am 17. Oktober 2021 um 15:42 Uhr

2021-10-17T15:42:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2021, 17:42 Uhr
Zeile 133:		Zeile 133:
	==Aperiodischer Grenzfall==		==Aperiodischer Grenzfall==
	<br>		<br>
	Mit  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$ und  $C = 40 \ \rm nF$ ergibt sich der so genannte aperiodische Grenzfall:		Mit  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$  und  $C = 40 \ \rm nF$  ergibt sich der so genannte aperiodische Grenzfall:
	:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } {(p +1)^2} \hspace{0.05cm} .$$		:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } {(p +1)^2} \hspace{0.05cm} .$$

	Der Kapazitätswert  $C = 40 \ \rm nF$  ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.  Diese fallen zusammen, das heißt  $p_{\rm x} = \ –1$  ist eine doppelte Polstelle.  Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit  $l = 2$:		Der Kapazitätswert  $C = 40 \ \rm nF$  ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.   Diese fallen zusammen, das heißt  $p_{\rm x} = \ –1$  ist eine doppelte Polstelle.   Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit  $l = 2$:
	:$$h(t) = {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}		:$$h(t) = {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}
	\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$		\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$

	~~Mit der ''Produktregel''  der Differentialrechnung ergibt sich daraus:~~		[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png \|right\|frame\| Impulsantwort  (grün)  und Sprungantwort  (rot)  des aperiodischen Grenzfalls]]
	[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png \|right\|frame\| Impulsantwort und Sprungantwort des aperiodischen Grenzfalls]]
			Mit der Produktregel der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
	:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)		:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	Die Grafik zeigt diese Impulsantwort (grüne Kurve) in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.		*Die Grafik zeigt diese  '''Impulsantwort'''  als grüne Kurve in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.

	Das rot gezeichnete Signal  $y(t) = 1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$  ergibt sich, wenn man am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt   ⇒   Sprungantwort.

	Zur Berechnung der Sprungantwort  $\sigma(t) = y(t)$  kann man alternativ		*Das rot gezeichnete Signal  $y(t) = 1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$  ergibt sich, wenn am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt wird.  Zur Berechnung der  '''Sprungantwort'''    $\sigma(t) = y(t)$  kann man alternativ
	*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei  $p = 0$   (rot markiert) berücksichtigen,		:*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei  $p = 0$   (rot markiert) berücksichtigen, oder
	*~~oder~~ das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  bilden.		:*das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  bilden.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	==Partialbruchzerlegung==		==Partialbruchzerlegung==

Guenter am 17. Oktober 2021 um 15:29 Uhr

2021-10-17T15:29:06Z

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	==Gedämpft oszillierende Impulsantwort==		==Gedämpft oszillierende Impulsantwort==
	<br>		<br>
	Die Bauelementewerte  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$ und  $C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei  $p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$  und  $p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.  Die Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = \ –2.5$. Es gilt  $K = 2$  und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor  $1/T$  zu multiplizieren $(T = 1\ \rm µ s$).		Die Bauelementewerte  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$ und  $C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei  $p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$  und  $p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.
			[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png \|right\|frame\| Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]
			*Die Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = \ –2.5$.
			*Es gilt  $K = 2$  und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor  $1/T$  zu multiplizieren $(T = 1\ \rm µ s$).


	Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:		Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
	:$$h_1(t) = ~~\text{ ...}~~ = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}		:$$h_1(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} $$
	~~\cdot\hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}~~ \cdot\hspace{0.05cm}t}$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}
			\cdot\hspace{0.05cm}t}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
	e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$		e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
	:$$ h_2(t) = ~~\text{ ...}~~ = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot \frac {-1 - {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 - {\rm j}\cdot 2) - (-1 + {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}=2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
	~~[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png \|right\|frame\| Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]~~		:$$ h_2(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} $$
			:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h_2(t) = 2 \cdot \frac {-1 - {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 - {\rm j}\cdot 2) - (-1 + {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
			:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) =2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$

	Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  ergibt sich somit für das Summensignal:		Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  ergibt sich somit für das Summensignal:
	:$$h(t) = h_1(t) + h_2(t)$$		:$$h(t) = h_1(t) + h_2(t)\hspace{0.3cm}
	~~:$$~~\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) = {\rm e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() + {\rm j}\cdot \sin())+		\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) = {\rm e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() + {\rm j}\cdot \sin())+
	$$		+ (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() - {\rm j}\cdot \sin())\big ]$$
	~~:$$\hspace{3.1cm}~~+
	(1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() - {\rm j}\cdot \sin())\big ]$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$

Guenter am 16. Oktober 2021 um 10:35 Uhr

2021-10-16T10:35:49Z

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	Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen  ${\rm Re}\{p\}= α$.  Lösbar ist dieses Integral mit dem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].  Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:		Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen  ${\rm Re}\{p\}= α$.  Lösbar ist dieses Integral mit dem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].  Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:
	*Das Linienintegral kann in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden, wobei sämtliche Polstellen im linken Kreisintegral liegen, während das rechte Kreisintegral nur Nullstellen beinhalten darf.		*Das Linienintegral kann in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden, wobei sämtliche Polstellen im linken Kreisintegral liegen, während das rechte Kreisintegral nur Nullstellen beinhalten darf.
	*Entsprechend der Funktionstheorie liefert das rechte Kreisintegral die Zeitfunktion  $y(t)$  für negative Zeiten. Aufgrund der Kausalität ~~muss~~  $y(t < 0)$  ~~identisch Null~~ sein~~, was~~ aber ~~nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie~~ nur dann ~~zutrifft~~, wenn es in der rechten  $p$–Halbebene keine Pole gibt.		*Entsprechend der Funktionstheorie liefert das rechte Kreisintegral die Zeitfunktion  $y(t)$  für negative Zeiten. Aufgrund der Kausalität ist  $y(t < 0) \equiv 0$,  sein.  Dies trifft aber nur dann zu, wenn es in der rechten  $p$–Halbebene keine Pole gibt.
	*Das Integral über den linken Halbkreis liefert ~~dagegen~~ die Zeitfunktion für  $t ≥ 0$. Dieses umschließt alle ~~Polstellen~~ und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie auf den nächsten Seiten gezeigt wird.		*Das Integral über den linken Halbkreis liefert die Zeitfunktion für  $t ≥ 0$. Dieses umschließt alle Pole und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie auf den nächsten Seiten gezeigt wird.

	==Formulierung des Residuensatzes==		==Formulierung des Residuensatzes==
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	dargestellt werden kann. Wir setzen zudem  $Z < N$  voraus.		dargestellt werden kann. Wir setzen zudem  $Z < N$  voraus.

	Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit  $I$.  Zur Bestimung von  $I$  werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.  So gilt für die  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie\|Skizze]]  im letzten Abschnitt unter Berücksichtigung des Poles bei  $p=0$  aufgrund der doppelten Polstelle:   $N = 5$  und  $I = 4$.		Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit  $I$.  Zur Bestimung von  $I$  werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.  So gilt für die  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie\|Skizze]]  im letzten Abschnitt  (unter Berücksichtigung des Poles bei  $p=0$)  aufgrund der doppelten Polstelle:   $N = 5$  und  $I = 4$.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Residuensatz:}$		$\text{Residuensatz:}$
	Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die  '''Laplace–Rücktransformierte'''  von  $Y_{\rm L}(p)$  für Zeiten  $t ≥ 0$  als die Summe von  $I$  Eigenschwingungen der Pole, die man als die  ''Residuen''  – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:		Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die  '''Laplace–Rücktransformierte'''  von  $Y_{\rm L}(p)$  für Zeiten  $t ≥ 0$  als die Summe von  $I$  Eigenschwingungen der Pole, die man als die  '''Residuen'''  – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
	:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$		:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$

	Da  $Y_{\rm L}(p)$  nur für kausale Signale angebbar ist, gilt für negative Zeiten stets  $y(t < 0) = 0$.		Da  $Y_{\rm L}(p)$  nur für kausale Signale angebbar ist,  gilt für negative Zeiten stets  $y(t < 0) = 0$.

	*Für einen Pol der Vielfachheit  $l$  gilt allgemein:		*Für einen Pol der Vielfachheit  $l$  gilt allgemein:
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	Auf den nächsten Seiten wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Eigenschaften_der_Pole_und_Nullstellen\| $\text{Beispiel 3}$]]  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation” korrespondieren:		Auf den nächsten Seiten wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Eigenschaften_der_Pole_und_Nullstellen\| $\text{Beispiel 3}$]]  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation” korrespondieren:
	*Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität  $L = 25 \ \rm µH$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand  $R = 50 \ \rm Ω$  und einer Kapazität  $C$.		*Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität  $L = 25 \ \rm µH$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand  $R = 50 \ \rm Ω$  und einer Kapazität  $C$.
	*Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte, nämlich  $C = 62.5 \ \rm nF$,  $C = 8 \ \rm nF$ und  $C = 40 \ \rm nF$.		*Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte,  nämlich  $C = 62.5 \ \rm nF$,  $C = 8 \ \rm nF$  und  $C = 40 \ \rm nF$.
	*Vorausgesetzt ist stets  $x(t) = δ(t) \; ⇒ \; X_{\rm L}(p) = 1$   ⇒   $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$   ⇒   $y(t)$  ist gleich der Impulsantwort  $h(t)$.		*Vorausgesetzt ist stets  $x(t) = δ(t) \; ⇒ \; X_{\rm L}(p) = 1$   ⇒   $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$   ⇒   $y(t)$  ist gleich der Impulsantwort  $h(t)$.

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	<br>		<br>
	Mit der Kapazität  $C = 62.5 \ \rm nF$  und den weiteren in der unteren Grafik angegebenen Zahlenwerten erhält man für die auf der Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Pol.E2.80.93Nullstellen.E2.80.93Darstellung_von_Schaltungen\|Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen]]  berechnete  $p$–Übertragungsfunktion:		Mit der Kapazität  $C = 62.5 \ \rm nF$  und den weiteren in der unteren Grafik angegebenen Zahlenwerten erhält man für die auf der Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Pol.E2.80.93Nullstellen.E2.80.93Darstellung_von_Schaltungen\|Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen]]  berechnete  $p$–Übertragungsfunktion:
			[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png \|right\|frame\| Abklingende Impulsantwort]]

	:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }		:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }
	{(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$		{(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$
Zeile 89:		Zeile 91:

	Die Impulsantwort setzt sich aus  $I = N = 2$  Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$  sind diese gleich Null.		Die Impulsantwort setzt sich aus  $I = N = 2$  Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$  sind diese gleich Null.
	*Das Residium des Pols bei  $p_{{\rm x}1} =\ –0.4$  liefert ~~die~~ folgende Zeitfunktion:		*Das Residium des Pols bei  $p_{{\rm x}1} =\ –0.4$  liefert folgende Zeitfunktion:
	:$$h_1(t) = {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}1})\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$		:$$h_1(t) = {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}1})\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}$$
	*~~In gleicher Weise kann~~ das Residium des zweiten Pols bei  $p_{{\rm x}2} = \ –1.6$  ~~berechnet werden~~:		: $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$
	:$$h_2(t) = {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}2})\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}= \frac {32 } {15}\cdot {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$		*Für das Residium des zweiten Pols bei  $p_{{\rm x}2} = \ –1.6$  gilt:
			:$$h_2(t) = {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}2})\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}$$
			:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}= \frac {32 } {15}\cdot {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$

	~~[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png \|right\|frame\| Abklingende Impulsantwort]]~~		Die Grafik zeigt  $h_1(t)$  und  $h_2(t)$  sowie das Summensignal  $h(t)$.
	~~<br><br><br><br>~~Die Grafik zeigt  $h_1(t)$  und  $h_2(t)$  sowie das Summensignal  $h(t)$.		*Berücksichtigt ist auch hier der Normierungsfaktor  $1/T = 10^6 · \rm 1/s$,  so dass die Zeit auf  $T = 1 \ \rm µ s$  normiert ist.
	*Berücksichtigt ist auch hier der Normierungsfaktor  $1/T = 10^6 · \rm 1/s$, so dass die Zeit auf  $T = 1 \ \rm µ s$  normiert ist.
	*Für  $t =0$  ergibt sich $T \cdot h(t=0) = {32 }/ {15} -{2 }/ {15}= 2 \hspace{0.05cm}$.		*Für  $t =0$  ergibt sich $T \cdot h(t=0) = {32 }/ {15} -{2 }/ {15}= 2 \hspace{0.05cm}$.
	*Für Zeiten  $t > 2 \ \rm µ s$  ist die Impulsantwort negativ ~~<br>~~(wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).		*Für Zeiten  $t > 2 \ \rm µ s$  ist die Impulsantwort negativ  (wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).
	<br clear=all>		<br clear=all>
	==Gedämpft oszillierende Impulsantwort==		==Gedämpft oszillierende Impulsantwort==