Lineare zeitinvariante Systeme/Folgerungen aus dem Zuordnungssatz - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:27:50Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Linear_and_Time_Invariant_Systems/Conclusions_from_the_Allocation_Theorem]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:37:53Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:37 Uhr
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	Hierbei ist die sogenannte  [https://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenfunktion Signum–Funktion]  verwendet:		Hierbei ist die sogenannte  [https://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenfunktion Signum–Funktion]  verwendet:
	:$${\rm sign}(t) = \left\{ \begin{array}{c} -1 \\		:$${\rm sign}(t) = \left\{ \begin{array}{c} -1 \\+1 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0,} \\{ t > 0.} \\\end{array}$$
	+1 \\ \end{array} \right.\quad \quad
	\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
	\\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
	{ t < 0,} \\
	{ t > 0.} \\
	\end{array}$$

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
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	Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend  [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort\|Aufgabe 1.3Z]]:		Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend  [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort\|Aufgabe 1.3Z]]:
	[[Datei: P_ID1750__LZI_T_3_1_S2a_neu.png \|right\|frame\| Aufteilung der Impulsantwort in einen geraden und einen ungeraden Anteil\|class=fit]]		[[Datei: P_ID1750__LZI_T_3_1_S2a_neu.png \|right\|frame\| Aufteilung der Impulsantwort in einen geraden und einen ungeraden Anteil\|class=fit]]
	:$$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\		:$$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\0.5/T \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} }\\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0\hspace{0.05cm},} \\{ t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.}\end{array}$$
	0.5/T \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad
	\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} }
	\\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c}
	{ t < 0\hspace{0.05cm},} \\
	{ t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.}

	\end{array}$$

	Man erkennt:		Man erkennt:
Zeile 90:		Zeile 77:

	Betrachten wir nun den gleichen Sachverhalt im Spektralbereich. Nach dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  gilt für die komplexe Übertragungsfunktion:		Betrachten wir nun den gleichen Sachverhalt im Spektralbereich. Nach dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz\|Zuordnungssatz]]  gilt für die komplexe Übertragungsfunktion:
	:$$H(f) = {\rm Re} \left\{ H(f) \right \} + {\rm j} \cdot {\rm Im} \left\{ H(f) \right \}		:$$H(f) = {\rm Re} \left\{ H(f) \right \} + {\rm j} \cdot {\rm Im} \left\{ H(f) \right \},$$
	,$$
	wobei folgende Zuordnung gilt:		wobei folgende Zuordnung gilt:

Zeile 139:		Zeile 125:
	:$$U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$		:$$U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$
	*Das durch den Kreis markierte Spektrum – hier  $W(f)$  – ergibt sich aus der Gleichung mit negativem Vorzeichen:		*Das durch den Kreis markierte Spektrum – hier  $W(f)$  – ergibt sich aus der Gleichung mit negativem Vorzeichen:
	:$$		:$$W(f) = -\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{U(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$}}
	W(f) = -\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{U(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$}}

Guenter am 9. Oktober 2021 um 14:17 Uhr

2021-10-09T14:17:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2021, 16:17 Uhr
Zeile 176:		Zeile 176:

	Die Tabelle zeigt einige solcher Hilbertpaare.   Auf die Vorzeichen wurde verzichtet, so dass beide Richtungen gültig sind.		Die Tabelle zeigt einige solcher Hilbertpaare.   Auf die Vorzeichen wurde verzichtet, so dass beide Richtungen gültig sind.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=

Guenter am 9. Oktober 2021 um 14:15 Uhr

2021-10-09T14:15:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2021, 16:15 Uhr
Zeile 171:		Zeile 171:
	#  ${\rm Re} \{Y(f)\}$  durch  $g(x)$, und		#  ${\rm Re} \{Y(f)\}$  durch  $g(x)$, und
	#  ${\rm Im} \{Y(f)\}$  durch  ${\cal H} \{g(x)\}$.		#  ${\rm Im} \{Y(f)\}$  durch  ${\cal H} \{g(x)\}$.


	Die neue Variable  $x$  kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation\|Hilbert–Transformation]]  auf verschiedene Probleme anwendbar.		Die neue Variable  $x$  kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation\|Hilbert–Transformation]]  auf verschiedene Probleme anwendbar.

Guenter am 9. Oktober 2021 um 14:13 Uhr

2021-10-09T14:13:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2021, 16:13 Uhr
Zeile 148:		Zeile 148:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$		$\text{Beispiel 3:}$
	In  [Mar94]<ref name ='Mar94'>Marko, H.: ''Methoden der Systemtheorie.'' 3. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1994.</ref>  findet man die folgende Hilbert–Korrespondenz:		In  [Mar94]<ref name ='Mar94'>Marko, H.:  Methoden der Systemtheorie.  3. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1994.</ref>  findet man die folgende Hilbert–Korrespondenz:
	:$$\frac{1}{1+x^2} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad \frac{x}{1+x^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\frac{1}{1+x^2} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad \frac{x}{1+x^2}\hspace{0.05cm}.$$
	*Hierbei steht  $x$  stellvertretend für eine geeignet normierte Zeit– oder Frequenzvariable.		*Hierbei steht  $x$  stellvertretend für eine geeignet normierte Zeit– oder Frequenzvariable.

Guenter am 9. Oktober 2021 um 14:12 Uhr

2021-10-09T14:12:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2021, 16:12 Uhr
Zeile 131:		Zeile 131:
	:$$U(f) = \frac{1}{{\rm j} \, \pi f }\, \star \, {\rm j} \cdot W(f) \quad \Rightarrow \quad U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$		:$$U(f) = \frac{1}{{\rm j} \, \pi f }\, \star \, {\rm j} \cdot W(f) \quad \Rightarrow \quad U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

	Man hat diese ''Integraltransformationen''&~~nbsp~~; nach ihrem Entdecker  [https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert David Hilbert]  benannt.		Man hat diese &bdquo;Integraltransformationen” nach ihrem Entdecker  [https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert David Hilbert]  benannt.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

Guenter am 9. Oktober 2021 um 14:10 Uhr

2021-10-09T14:10:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2021, 16:10 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:
	{ t > 0.} \\		{ t > 0.} \\
	\end{array}$$		\end{array}$$


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=

Guenter am 9. Oktober 2021 um 14:09 Uhr

2021-10-09T14:09:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2021, 16:09 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	==Voraussetzungen für das gesamte Kapitel &bdquo;Realisierbare Systeme”==		==Voraussetzungen für das gesamte Kapitel &bdquo;Realisierbare Systeme”==
	<br>		<br>
	In den beiden ersten Kapiteln wurden meist reelle  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.~~9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang~~\|Übertragungsfunktionen]]   $H(f)$  betrachtet, bei denen demzufolge die zugehörige Impulsantwort  $h(t)$  stets symmetrisch zum Bezugszeitpunkt  $t = 0$  ist. Solche Übertragungsfunktionen		In den beiden ersten Kapiteln wurden meist reelle  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#Frequenzgang_.E2.80.93_Systemfunktion_.E2.80.93_.C3.9Cbertragungsfunktion\|Übertragungsfunktionen]]   $H(f)$  betrachtet, bei denen demzufolge die zugehörige Impulsantwort  $h(t)$  stets symmetrisch zum Bezugszeitpunkt  $t = 0$  ist. Solche Übertragungsfunktionen
	*eignen sich, um grundlegende Zusammenhänge einfach zu erklären,		*eignen sich, um grundlegende Zusammenhänge einfach zu erklären,
	*sind aber leider aus Kausalitätsgründen nicht realisierbar.		*sind aber leider aus Kausalitätsgründen nicht realisierbar.

Guenter am 9. Oktober 2021 um 14:02 Uhr

2021-10-09T14:02:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2021, 16:02 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend  [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort\|Aufgabe 1.3Z]]:		Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend  [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort\|Aufgabe 1.3Z]]:
			[[Datei: P_ID1750__LZI_T_3_1_S2a_neu.png \|right\|frame\| Aufteilung der Impulsantwort in einen geraden und einen ungeraden Anteil\|class=fit]]
	:$$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\		:$$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\
	0.5/T \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad		0.5/T \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad
Zeile 82:		Zeile 83:

	\end{array}$$		\end{array}$$

	~~[[Datei: P_ID1750__LZI_T_3_1_S2a_neu.png \|center\|frame\| Aufteilung der Impulsantwort in einen geraden und einen ungeraden Anteil\|class=fit]]~~

	Man erkennt:		Man erkennt:
Zeile 106:		Zeile 105:
	Wir gehen von einem Tiefpass erster Ordnung aus, für dessen Übertragungsfunktion gilt:		Wir gehen von einem Tiefpass erster Ordnung aus, für dessen Übertragungsfunktion gilt:
	:$$H(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G} } = \frac{1}{1+(f/f_{\rm G})^2}- {\rm j} \cdot \frac{f/f_{\rm G} }{1+(f/f_{\rm G})^2} \hspace{0.05cm}.$$		:$$H(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G} } = \frac{1}{1+(f/f_{\rm G})^2}- {\rm j} \cdot \frac{f/f_{\rm G} }{1+(f/f_{\rm G})^2} \hspace{0.05cm}.$$

			[[Datei:P_ID1754__LZI_T_3_1_S2b_neu.png\|right\|frame\|Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung  (Real– und Imaginärteil)\|class=fit]]
	Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die 3dB–Grenzfrequenz an, bei der  $\vert H(f)\vert^2$  auf die Hälfte seines Maximums  $($bei  $f = 0)$  abgesunken ist. Die dazugehörige Impulsantwort  $h(t)$  wurde bereits im obigen  $\text{Beispiel 1}$  für  $f_{\rm G} = 1/(2πT)$  dargestellt.		Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die 3dB–Grenzfrequenz an, bei der  $\vert H(f)\vert^2$  auf die Hälfte seines Maximums  $($bei  $f = 0)$  abgesunken ist. Die dazugehörige Impulsantwort  $h(t)$  wurde bereits im obigen  $\text{Beispiel 1}$  für  $f_{\rm G} = 1/(2πT)$  dargestellt.

	Die Grafik zeigt den Realteil (blau) und den Imaginärteil (rot) von  $H(f)$. Grün–gestrichelt ist zudem der Betrag dargestellt.		Die Grafik zeigt den Realteil (blau) und den Imaginärteil (rot) von  $H(f)$. Grün–gestrichelt ist zudem der Betrag dargestellt.

	~~[[Datei:P_ID1754__LZI_T_3_1_S2b_neu.png\|right\|frame\|Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung  (Real– und Imaginärteil)\|class=fit]]~~



	Nachdem die Zeitfunktionen  $h_{\rm g}(t)$  und  $h_{\rm u}(t)$  über die Signumfunktion zusammenhängen, besteht auch		Nachdem die Zeitfunktionen  $h_{\rm g}(t)$  und  $h_{\rm u}(t)$  über die Signumfunktion zusammenhängen, besteht auch
Zeile 119:		Zeile 116:


	der Übertragungsfunktion eine feste Verknüpfung ~~<br><br>       ~~   ⇒   die  '''Hilbert–Transformation'''.		der Übertragungsfunktion eine feste Verknüpfung   ⇒   die  '''Hilbert–Transformation'''.

	Diese wird nachfolgend beschrieben.}}		Diese wird nachfolgend beschrieben.}}
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	<br>		<br>
	Zur Herleitung von Hilbert–Korrespondenzen geht man sehr pragmatisch vor, nämlich wie folgt:		Zur Herleitung von Hilbert–Korrespondenzen geht man sehr pragmatisch vor, nämlich wie folgt:
	*Man berechnet die  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation\|Laplace–Transformierte]]  $Y_{\rm L}(p)$  der Funktion  $y(t)$, wie nachfolgend beschrieben. Diese ist bereits implizit kausal.		*Man berechnet die  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation\|Laplace–Transformierte]]  $Y_{\rm L}(p)$  der Funktion  $y(t)$, wie nachfolgend beschrieben. Diese ist bereits implizit kausal.
			[[Datei:P_ID1752__LZI_T_3_1_S4_neu.png\|right\|frame\|Tabelle mit Hilbert–Korrespondenzen\|class=fit]]

	*Man wandelt die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in das zugehörige Fourierspektrum  $Y(f)$  um und spaltet dieses in Real– und Imaginärteil auf.  Dazu ersetzt man die Variable  $p$  durch  ${\rm j \cdot 2}πf.$		*Man wandelt die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in das zugehörige Fourierspektrum  $Y(f)$  um und spaltet dieses in Real– und Imaginärteil auf.  Dazu ersetzt man die Variable  $p$  durch  ${\rm j \cdot 2}πf.$
	*Der Real– und Imaginärteil – also  ${\rm Re} \{Y(f)\}$  und  ${\rm Im} \{Y(f)\}$ – sind somit ein Paar von Hilbert–Transformierten. Man ersetzt weiter
	**die Frequenzvariable  $f$  durch  $x$,
	** ${\rm Re} \{Y(f)\}$  durch  $g(x)$, und
	** ${\rm Im} \{Y(f)\}$  durch  ${\cal H} \{g(x)\}$.

	*Die neue Variable  $x$  kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation\|Hilbert–Transformation]]  auf verschiedene Probleme anwendbar.

			Der Real– und Imaginärteil – also  ${\rm Re} \{Y(f)\}$  und  ${\rm Im} \{Y(f)\}$ – sind somit ein Paar von Hilbert–Transformierten. Man ersetzt weiter
			#  die Frequenzvariable  $f$  durch  $x$,
			#  ${\rm Re} \{Y(f)\}$  durch  $g(x)$, und
			#  ${\rm Im} \{Y(f)\}$  durch  ${\cal H} \{g(x)\}$.

	[[~~Datei:P_ID1752__LZI_T_3_1_S4_neu.png\|center\|frame~~\|~~Tabelle mit Hilbert–Korrespondenzen\|class=fit~~]]		Die neue Variable  $x$  kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation\|Hilbert–Transformation]]  auf verschiedene Probleme anwendbar.

	Die Tabelle zeigt einige solcher Hilbertpaare.   Auf die Vorzeichen wurde verzichtet, so dass beide Richtungen gültig sind.		Die Tabelle zeigt einige solcher Hilbertpaare.   Auf die Vorzeichen wurde verzichtet, so dass beide Richtungen gültig sind.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$  Gilt beispielsweise  ${\cal H} \{g(x)\} = f(x)$, so folgt daraus auch  ${\cal H} \{f(x)\} = \, –g(x)$. Insbesondere gilt auch:		$\text{Beispiel 4:}$  Gilt beispielsweise  ${\cal H} \{g(x)\} = f(x)$,  so folgt daraus auch  ${\cal H} \{f(x)\} = \, –g(x)$.  Insbesondere gilt auch:
	:$${\cal H}\left \{ \cos(x) \right\} = \sin(x)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\cal H}\left \{ \sin(x) \right\} = -\cos(x)\hspace{0.05cm}.$$}}		:$${\cal H}\left \{ \cos(x) \right\} = \sin(x)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\cal H}\left \{ \sin(x) \right\} = -\cos(x)\hspace{0.05cm}.$$}}

Zeile 196:		Zeile 195:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 5:}$		$\text{Beispiel 5:}$
	Ein Tiefpass besitze im Durchlassbereich – also für  $\vert f \vert < f_{\rm G}$ – den Frequenzgang  $H(f) = 1$   ⇒   $a(f) =0 \ {\rm Np}$, während für größere Frequenzen die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  den konstanten Wert  $a_{\rm S}$ (in Neper) besitzt.		Ein Tiefpass besitze im  "Durchlassbereich"  – also für  $\vert f \vert < f_{\rm G}$ – den Frequenzgang  $H(f) = 1$   ⇒   $a(f) =0$  Neper  ${\rm (Np)}$,  während für größere Frequenzen die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  den konstanten Wert  $a_{\rm S}$ (in Neper) besitzt.

	~~In diesem Sperrbereich ist  $H(f) = {\rm e}^{–a_{\rm S} }$  zwar sehr klein, aber nicht Null.~~		[[Datei:P_ID1753__LZI_T_3_1_S5_neu.png\|right\|frame\|Dämpfungs– und Phasenfunktion eines beispielhaften Minimum–Phasen–Tiefpasses\|class=fit]]

	[[Datei:P_ID1753__LZI_T_3_1_S5_neu.png\|~~center~~\|frame\|Dämpfungs– und Phasenfunktion eines beispielhaften Minimum–Phasen–Tiefpasses\|class=fit]]

			*In diesem  "Sperrbereich"  ist  $H(f) = {\rm e}^{–a_{\rm S} }$  zwar sehr klein, aber nicht Null.
	*Soll der Tiefpass kausal und damit realisierbar sein, so muss die Phasenfunktion  $b(f)$  gleich der Hilbert–Transformierten der Dämpfung  $a(f)$  sein.		*Soll der Tiefpass kausal und damit realisierbar sein, so muss die Phasenfunktion  $b(f)$  gleich der Hilbert–Transformierten der Dämpfung  $a(f)$  sein.
	* Da die Hilbert–Transformierte einer Konstanten gleich Null ist, kann in gleicher Weise von der Funktion  $a(f) - a_{\rm S}$  ausgegangen werden.		* Da die Hilbert–Transformierte einer Konstanten gleich Null ist, kann in gleicher Weise von der Funktion  $a(f) - a_{\rm S}$  ausgegangen werden.


			Diese in der Grafik gestrichelt eingezeichnete Funktion ist zwischen  $±f_{\rm G}$  rechteckförmig und gleichzeitig negativ.

	~~Diese in der Grafik gestrichelt eingezeichnete Funktion ist zwischen  $±f_{\rm G}$  (negativ) rechteckförmig.~~ Entsprechend der  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Einige_Paare_von_Hilbert.E2.80.93Korrespondenzen\|Tabelle]]  auf der letzten Seite gilt deshalb:		Entsprechend der  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Einige_Paare_von_Hilbert.E2.80.93Korrespondenzen\|Tabelle]] auf der letzten Seite gilt deshalb:
	:$$b(f) = {a_{\rm S} }/{\pi} \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\left\vert \frac{f+f_{\rm G} }{f-f_{\rm G} }\right \vert \hspace{0.05cm}.$$		:$$b(f) = {a_{\rm S} }/{\pi} \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\left\vert \frac{f+f_{\rm G} }{f-f_{\rm G} }\right \vert \hspace{0.05cm}.$$
	Jeder andere Phasenverlauf würde dagegen zu einer akausalen Impulsantwort führen.}}		Jeder andere Phasenverlauf würde dagegen zu einer akausalen Impulsantwort führen.}}

Guenter am 30. Oktober 2019 um 08:50 Uhr

2019-10-30T08:50:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Oktober 2019, 10:50 Uhr
Zeile 140:		Zeile 140:
	$\text{Definition:}$  Beide Varianten der  '''Hilbert–Transformation'''  werden im weiteren Verlauf mit folgenden Kurzzeichen gekennzeichnet:		$\text{Definition:}$  Beide Varianten der  '''Hilbert–Transformation'''  werden im weiteren Verlauf mit folgenden Kurzzeichen gekennzeichnet:
	:$$W(f) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad U(f) \hspace{0.8cm}{\rm bzw.}\hspace{0.8cm}W(f)= {\cal H}\left\{U(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$		:$$W(f) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad U(f) \hspace{0.8cm}{\rm bzw.}\hspace{0.8cm}W(f)= {\cal H}\left\{U(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
	*Zur Berechnung des durch die Pfeilspitze markierten Spektrums – hier  $U(f)$  – wird von den beiden ansonsten identischen Gleichungen die ~~zweite~~ Gleichung (mit positivem Vorzeichen) genommen:		*Zur Berechnung des durch die Pfeilspitze markierten Spektrums – hier  $U(f)$  – wird von den beiden ansonsten identischen oberen Gleichungen die Gleichung mit positivem Vorzeichen genommen:
	:$$U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$		:$$U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$
	*Das durch den Kreis markierte Spektrum – hier  $W(f)$  – ergibt sich aus der ~~ersten~~ Gleichung~~, also mit~~ mit negativem Vorzeichen:		*Das durch den Kreis markierte Spektrum – hier  $W(f)$  – ergibt sich aus der Gleichung mit negativem Vorzeichen:
	:$$		:$$
	W(f) = -\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{U(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$}}		W(f) = -\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{U(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$}}
Zeile 165:		Zeile 165:
	<br>		<br>
	Zur Herleitung von Hilbert–Korrespondenzen geht man sehr pragmatisch vor, nämlich wie folgt:		Zur Herleitung von Hilbert–Korrespondenzen geht man sehr pragmatisch vor, nämlich wie folgt:
	*Man berechnet die  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation\|Laplace–Transformierte]]  $Y_{\rm L}(p)$  ~~einer Zeitfunktion~~  $y(t)$, wie ~~im folgenden Abschnitt~~ beschrieben. Diese ist bereits implizit kausal.		*Man berechnet die  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation\|Laplace–Transformierte]]  $Y_{\rm L}(p)$  der Funktion  $y(t)$, wie nachfolgend beschrieben. Diese ist bereits implizit kausal.
	*~~Anschließend~~ wandelt ~~man~~ die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in das zugehörige Fourierspektrum  $Y(f)$  um und spaltet dieses in Real– und Imaginärteil auf. Dazu ersetzt man die Variable  $p$  durch  ${\rm j \cdot 2}πf.$		*Man wandelt die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in das zugehörige Fourierspektrum  $Y(f)$  um und spaltet dieses in Real– und Imaginärteil auf.  Dazu ersetzt man die Variable  $p$  durch  ${\rm j \cdot 2}πf.$
	*Der Real– und Imaginärteil – also  ${\rm Re} \{Y(f)\}$  und  ${\rm Im} \{Y(f)\}$ – sind somit ein Paar von Hilbert–Transformierten. Man ersetzt weiter		*Der Real– und Imaginärteil – also  ${\rm Re} \{Y(f)\}$  und  ${\rm Im} \{Y(f)\}$ – sind somit ein Paar von Hilbert–Transformierten. Man ersetzt weiter
	**die Frequenzvariable  $f$  durch  $x$,		**die Frequenzvariable  $f$  durch  $x$,
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	** ${\rm Im} \{Y(f)\}$  durch  ${\cal H} \{g(x)\}$.		** ${\rm Im} \{Y(f)\}$  durch  ${\cal H} \{g(x)\}$.

	*Die neue Variable  $x$  kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation\|Hilbert–Transformation]] auf verschiedene Probleme anwendbar.		*Die neue Variable  $x$  kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation\|Hilbert–Transformation]]  auf verschiedene Probleme anwendbar.


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	==Dämpfung und Phase von Minimum–Phasen–Systemen==		==Dämpfung und Phase von Minimum–Phasen–Systemen==
	<br>		<br>
	Eine wichtige Anwendung der Hilbert–Transformation stellt der Zusammenhang zwischen Dämpfung und Phase bei den so genannten ''Minimum–Phasen–Systemen'' dar. Im Vorgriff auf das folgende Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion\|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]]  sei erwähnt, dass diese Systeme in der rechten $p$–Halbebene weder Pole noch Nullstellen aufweisen dürfen.		Eine wichtige Anwendung der Hilbert–Transformation stellt der Zusammenhang zwischen Dämpfung und Phase bei den so genannten ''Minimum–Phasen–Systemen''  dar. Im Vorgriff auf das folgende Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion\|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]]  sei erwähnt, dass diese Systeme in der rechten  $p$–Halbebene weder Pole noch Nullstellen aufweisen dürfen.

	Allgemein gilt für die Übertragungsfunktion  $H(f)$  mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie#Ersatzschaltbild_eines_kurzen_Leitungsabschnitts\|komplexen Übertragungsmaß]]  $g(f)$  sowie der Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und der Phasenfunktion  $b(f)$:		Allgemein gilt für die Übertragungsfunktion  $H(f)$  mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie#Ersatzschaltbild_eines_kurzen_Leitungsabschnitts\|komplexen Übertragungsmaß]]  $g(f)$  sowie der Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und der Phasenfunktion  $b(f)$:
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	Bei den Minimum–Phasen–Systemen gilt nun aber nicht nur wie bei allen realisierbaren Systemen die Hilbert–Transformation		Bei den Minimum–Phasen–Systemen gilt nun aber nicht nur wie bei allen realisierbaren Systemen die Hilbert–Transformation
	*bezüglich Imaginär– und Realteil   ⇒   ${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \, \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow \, {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.01cm},$		*bezüglich Imaginär– und Realteil   ⇒   ${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \, \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow \, {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.01cm},$
	*sondern zusätzlich auch noch die Hilbert–Korrespondenz zwischen Phasen– und Dämpfungsfunktion   ⇒   $b(f) \, \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow \, a(f)\hspace{0.05cm}.$		*sondern zusätzlich auch noch die Hilbert–Korrespondenz zwischen der Phasen– und der Dämpfungsfunktion   ⇒   $b(f) \, \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow \, a(f)\hspace{0.05cm}.$


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	In diesem Sperrbereich ist  $H(f) = {\rm e}^{–a_{\rm S} }$  zwar sehr klein, aber nicht Null.		In diesem Sperrbereich ist  $H(f) = {\rm e}^{–a_{\rm S} }$  zwar sehr klein, aber nicht Null.

	[[Datei:P_ID1753__LZI_T_3_1_S5_neu.png\|center\|frame\|~~Dämpfung~~ und ~~Phase~~ eines beispielhaften Minimum–Phasen–Tiefpasses\|class=fit]]		[[Datei:P_ID1753__LZI_T_3_1_S5_neu.png\|center\|frame\|Dämpfungs– und Phasenfunktion eines beispielhaften Minimum–Phasen–Tiefpasses\|class=fit]]

	*Soll der Tiefpass kausal und damit realisierbar sein, so muss die Phasenfunktion  $b(f)$  gleich der Hilbert–Transformierten der Dämpfung  $a(f)$  sein.		*Soll der Tiefpass kausal und damit realisierbar sein, so muss die Phasenfunktion  $b(f)$  gleich der Hilbert–Transformierten der Dämpfung  $a(f)$  sein.