Lineare zeitinvariante Systeme/Folgerungen aus dem Zuordnungssatz - Versionsgeschichte

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	Die Tabelle zeigt einige solcher Hilbertpaare.   Auf die Vorzeichen wurde verzichtet, so dass beide Richtungen gültig sind.		Die Tabelle zeigt einige solcher Hilbertpaare.   Auf die Vorzeichen wurde verzichtet, so dass beide Richtungen gültig sind.
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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=

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 #&nbsp;  ${\rm Re} \{Y(f)\}$&nbsp; durch &nbsp;$g(x)$, und
 #&nbsp;  ${\rm Im} \{Y(f)\}$&nbsp; durch  &nbsp;${\cal H} \{g(x)\}$.
 Die neue Variable &nbsp;$x$&nbsp; kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert–Transformation]]&nbsp; auf verschiedene Probleme anwendbar.

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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-In&nbsp; [Mar94]<ref name ='Mar94'>Marko, H.: ''Methoden der Systemtheorie.'' 3. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1994.</ref>&nbsp; findet man die folgende Hilbert–Korrespondenz:
+In&nbsp; [Mar94]<ref name ='Mar94'>Marko, H.:&nbsp; Methoden der Systemtheorie.&nbsp; 3. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1994.</ref>&nbsp; findet man die folgende Hilbert–Korrespondenz:
 :$$\frac{1}{1+x^2}  \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad \frac{x}{1+x^2}\hspace{0.05cm}.$$
 *Hierbei steht &nbsp;$x$&nbsp; stellvertretend für eine geeignet normierte Zeit– oder Frequenzvariable.

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 :$$U(f) =  \frac{1}{{\rm j} \, \pi f }\, \star \, {\rm j} \cdot W(f) \quad \Rightarrow \quad U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$
-Man hat diese ''Integraltransformationen''&nbsp; nach ihrem Entdecker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert David Hilbert]&nbsp; benannt.
+Man hat diese &bdquo;Integraltransformationen&rdquo; nach ihrem Entdecker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert David Hilbert]&nbsp; benannt.
 {{BlaueBox|TEXT=

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 { t  > 0.}  \\
 \end{array}$$
 {{GraueBox|TEXT=

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 ==Voraussetzungen für das gesamte Kapitel &bdquo;Realisierbare Systeme&rdquo;==
 <br>
-In den beiden ersten Kapiteln wurden meist reelle&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Übertragungsfunktionen]]&nbsp; &nbsp;$H(f)$&nbsp; betrachtet, bei denen demzufolge die zugehörige Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; stets symmetrisch zum Bezugszeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; ist. Solche Übertragungsfunktionen
+In den beiden ersten Kapiteln wurden meist reelle&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#Frequenzgang_.E2.80.93_Systemfunktion_.E2.80.93_.C3.9Cbertragungsfunktion|Übertragungsfunktionen]]&nbsp; &nbsp;$H(f)$&nbsp; betrachtet, bei denen demzufolge die zugehörige Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; stets symmetrisch zum Bezugszeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; ist. Solche Übertragungsfunktionen
 *eignen sich, um grundlegende Zusammenhänge einfach zu erklären,
 *sind aber leider aus Kausalitätsgründen nicht realisierbar.

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 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Aufgabe 1.3Z]]:
 :$$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\
 .5/T  \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad
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 \end{array}$$
 Man erkennt:
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 Wir gehen von einem Tiefpass erster Ordnung aus, für dessen Übertragungsfunktion gilt:
 :$$H(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G} } = \frac{1}{1+(f/f_{\rm G})^2}- {\rm j} \cdot \frac{f/f_{\rm G} }{1+(f/f_{\rm G})^2} \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei gibt&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; die 3dB–Grenzfrequenz an, bei der&nbsp; $\vert H(f)\vert^2$&nbsp; auf die Hälfte seines Maximums&nbsp; $($bei&nbsp; $f = 0)$&nbsp; abgesunken ist. Die dazugehörige Impulsantwort&nbsp;  $h(t)$&nbsp; wurde bereits im obigen&nbsp; $\text{Beispiel 1}$&nbsp; für&nbsp;  $f_{\rm G} = 1/(2πT)$&nbsp; dargestellt.
 Die Grafik zeigt den Realteil  (blau) und den Imaginärteil (rot) von&nbsp; $H(f)$. Grün–gestrichelt ist zudem der Betrag dargestellt.
 Nachdem die Zeitfunktionen &nbsp;$h_{\rm g}(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_{\rm u}(t)$&nbsp; über die Signumfunktion zusammenhängen, besteht auch
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-der Übertragungsfunktion eine feste Verknüpfung <br><br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; die&nbsp;  '''Hilbert–Transformation'''.
+der Übertragungsfunktion eine feste Verknüpfung &nbsp; &rArr; &nbsp; die&nbsp;  '''Hilbert–Transformation'''.
 Diese wird nachfolgend beschrieben.}}
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 <br>
 Zur Herleitung von Hilbert–Korrespondenzen geht man sehr pragmatisch vor, nämlich wie folgt:
 *Man berechnet die &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation|Laplace–Transformierte]]&nbsp;  $Y_{\rm L}(p)$&nbsp; der Funktion &nbsp;$y(t)$, wie nachfolgend beschrieben. Diese ist bereits implizit kausal.
 *Man wandelt die Spektralfunktion &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; in das zugehörige Fourierspektrum &nbsp;$Y(f)$&nbsp; um und spaltet dieses in Real– und Imaginärteil auf.&nbsp; Dazu ersetzt man die Variable &nbsp;$p$&nbsp; durch &nbsp;${\rm j \cdot 2}πf.$
-[[Datei:P_ID1752__LZI_T_3_1_S4_neu.png|center|frame|Tabelle mit Hilbert–Korrespondenzen|class=fit]]
+Die neue Variable &nbsp;$x$&nbsp; kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert–Transformation]]&nbsp; auf verschiedene Probleme anwendbar.
 Die Tabelle zeigt einige solcher Hilbertpaare. &nbsp; Auf die Vorzeichen wurde verzichtet, so dass beide Richtungen gültig sind.
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Gilt beispielsweise &nbsp;${\cal H} \{g(x)\} = f(x)$, so folgt daraus auch &nbsp;${\cal H} \{f(x)\} = \, –g(x)$. Insbesondere gilt auch:
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Gilt beispielsweise &nbsp;${\cal H} \{g(x)\} = f(x)$,&nbsp; so folgt daraus auch &nbsp;${\cal H} \{f(x)\} = \, –g(x)$.&nbsp; Insbesondere gilt auch:
 :$${\cal H}\left \{ \cos(x) \right\} = \sin(x)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  {\cal H}\left \{ \sin(x) \right\} = -\cos(x)\hspace{0.05cm}.$$}}
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 5:}$&nbsp;
-Ein Tiefpass besitze im Durchlassbereich &ndash; also für &nbsp;$\vert f \vert < f_{\rm G}$ &ndash; den Frequenzgang &nbsp;$H(f) = 1$ &nbsp; ⇒  &nbsp; $a(f) =0 \ {\rm Np}$, während für größere Frequenzen die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; den konstanten Wert &nbsp;$a_{\rm S}$ (in Neper) besitzt.
+Ein Tiefpass besitze im&nbsp; "Durchlassbereich"&nbsp; &ndash; also für &nbsp;$\vert f \vert < f_{\rm G}$ &ndash; den Frequenzgang &nbsp;$H(f) = 1$ &nbsp; ⇒  &nbsp; $a(f) =0$&nbsp; Neper&nbsp; ${\rm (Np)}$,&nbsp; während für größere Frequenzen die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; den konstanten Wert &nbsp;$a_{\rm S}$ (in Neper) besitzt.
-−
-In diesem Sperrbereich ist &nbsp;$H(f) = {\rm e}^{–a_{\rm S} }$&nbsp; zwar sehr klein, aber nicht Null.
+[[Datei:P_ID1753__LZI_T_3_1_S5_neu.png|right|frame|Dämpfungs&ndash; und Phasenfunktion eines beispielhaften Minimum–Phasen–Tiefpasses|class=fit]]
 *Soll der Tiefpass kausal und damit realisierbar sein, so muss die Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp; gleich der Hilbert–Transformierten der Dämpfung &nbsp;$a(f)$&nbsp; sein.
 * Da die Hilbert–Transformierte einer Konstanten gleich Null ist, kann in gleicher Weise von der Funktion &nbsp;$a(f) - a_{\rm S}$&nbsp; ausgegangen werden.
-Diese in der Grafik gestrichelt eingezeichnete Funktion ist zwischen &nbsp;$±f_{\rm G}$&nbsp; (negativ) rechteckförmig. Entsprechend der &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Einige_Paare_von_Hilbert.E2.80.93Korrespondenzen|Tabelle]]&nbsp; auf der letzten Seite gilt deshalb:
+Entsprechend der&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Einige_Paare_von_Hilbert.E2.80.93Korrespondenzen|Tabelle]]&nbsp;auf der letzten Seite gilt deshalb:
 :$$b(f)  = {a_{\rm S} }/{\pi} \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\left\vert \frac{f+f_{\rm G} }{f-f_{\rm  G} }\right \vert \hspace{0.05cm}.$$
 Jeder andere Phasenverlauf würde dagegen zu einer akausalen Impulsantwort führen.}}

@@ Zeile 140: / Zeile 140: @@
 $\text{Definition:}$&nbsp; Beide Varianten der&nbsp; '''Hilbert–Transformation'''&nbsp; werden im weiteren Verlauf mit folgenden Kurzzeichen gekennzeichnet:
 :$$W(f)  \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad U(f) \hspace{0.8cm}{\rm bzw.}\hspace{0.8cm}W(f)= {\cal H}\left\{U(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
-*Zur Berechnung des durch die Pfeilspitze markierten Spektrums – hier &nbsp;$U(f)$&nbsp; – wird von den beiden ansonsten identischen Gleichungen die zweite Gleichung (mit positivem Vorzeichen) genommen:
+*Zur Berechnung des durch die Pfeilspitze markierten Spektrums – hier &nbsp;$U(f)$&nbsp; – wird von den beiden ansonsten identischen oberen Gleichungen die Gleichung mit positivem Vorzeichen genommen:
 :$$U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$
-*Das durch den Kreis markierte Spektrum – hier &nbsp;$W(f)$&nbsp; – ergibt sich aus der ersten Gleichung, also mit  mit negativem Vorzeichen:
+*Das durch den Kreis markierte Spektrum – hier &nbsp;$W(f)$&nbsp; – ergibt sich aus der Gleichung  mit negativem Vorzeichen:
 :$$
 W(f) = -\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{U(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$}}
@@ Zeile 165: / Zeile 165: @@
 <br>
 Zur Herleitung von Hilbert–Korrespondenzen geht man sehr pragmatisch vor, nämlich wie folgt:
-*Man berechnet die &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation|Laplace–Transformierte]]&nbsp;  $Y_{\rm L}(p)$&nbsp; einer Zeitfunktion &nbsp;$y(t)$, wie im folgenden Abschnitt beschrieben. Diese ist bereits implizit kausal.
+*Man berechnet die &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation|Laplace–Transformierte]]&nbsp;  $Y_{\rm L}(p)$&nbsp; der Funktion &nbsp;$y(t)$, wie nachfolgend beschrieben. Diese ist bereits implizit kausal.
-*Anschließend wandelt man die Spektralfunktion &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; in das zugehörige Fourierspektrum &nbsp;$Y(f)$&nbsp; um und spaltet dieses in Real– und Imaginärteil auf. Dazu ersetzt man die Variable &nbsp;$p$&nbsp; durch &nbsp;${\rm j \cdot 2}πf.$
+*Man wandelt die Spektralfunktion &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; in das zugehörige Fourierspektrum &nbsp;$Y(f)$&nbsp; um und spaltet dieses in Real– und Imaginärteil auf.&nbsp; Dazu ersetzt man die Variable &nbsp;$p$&nbsp; durch &nbsp;${\rm j \cdot 2}πf.$
 *Der Real&ndash; und Imaginärteil &ndash; also &nbsp;${\rm Re} \{Y(f)\}$&nbsp; und &nbsp;${\rm Im} \{Y(f)\}$ &ndash; sind somit ein Paar von Hilbert–Transformierten. Man ersetzt weiter
 **die Frequenzvariable &nbsp;$f$&nbsp; durch &nbsp;$x$,
@@ Zeile 172: / Zeile 172: @@
 ** ${\rm Im} \{Y(f)\}$&nbsp; durch  &nbsp;${\cal H} \{g(x)\}$.
-*Die neue Variable &nbsp;$x$&nbsp; kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert–Transformation]] auf verschiedene Probleme anwendbar.
+*Die neue Variable &nbsp;$x$&nbsp; kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert–Transformation]]&nbsp; auf verschiedene Probleme anwendbar.
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 ==Dämpfung und Phase von Minimum–Phasen–Systemen==
 <br>
-Eine wichtige Anwendung der Hilbert–Transformation stellt der Zusammenhang zwischen Dämpfung und Phase bei den so genannten ''Minimum–Phasen–Systemen'' dar. Im Vorgriff auf das folgende Kapitel &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]]&nbsp;  sei erwähnt, dass diese Systeme in der rechten $p$–Halbebene weder Pole noch Nullstellen aufweisen dürfen.
+Eine wichtige Anwendung der Hilbert–Transformation stellt der Zusammenhang zwischen Dämpfung und Phase bei den so genannten ''Minimum–Phasen–Systemen''&nbsp; dar. Im Vorgriff auf das folgende Kapitel &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]]&nbsp;  sei erwähnt, dass diese Systeme in der rechten&nbsp; $p$–Halbebene weder Pole noch Nullstellen aufweisen dürfen.
 Allgemein gilt für die Übertragungsfunktion &nbsp;$H(f)$&nbsp; mit dem &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie#Ersatzschaltbild_eines_kurzen_Leitungsabschnitts|komplexen Übertragungsmaß]]&nbsp; $g(f)$&nbsp; sowie der Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; und der Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$:
@@ Zeile 191: / Zeile 191: @@
 Bei den Minimum–Phasen–Systemen gilt nun aber nicht nur wie bei allen realisierbaren Systemen die Hilbert–Transformation
 *bezüglich Imaginär– und Realteil &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Im} \left\{ H(f) \right \}  \, \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow \, {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.01cm},$
-*sondern zusätzlich auch noch die Hilbert–Korrespondenz zwischen Phasen– und Dämpfungsfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $b(f)  \, \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow \, a(f)\hspace{0.05cm}.$
+*sondern zusätzlich auch noch die Hilbert–Korrespondenz zwischen der Phasen– und der Dämpfungsfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $b(f)  \, \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow \, a(f)\hspace{0.05cm}.$
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 In diesem Sperrbereich ist &nbsp;$H(f) = {\rm e}^{–a_{\rm S} }$&nbsp; zwar sehr klein, aber nicht Null.
-[[Datei:P_ID1753__LZI_T_3_1_S5_neu.png|center|frame|Dämpfung und Phase eines beispielhaften Minimum–Phasen–Tiefpasses|class=fit]]
+[[Datei:P_ID1753__LZI_T_3_1_S5_neu.png|center|frame|Dämpfungs&ndash; und Phasenfunktion eines beispielhaften Minimum–Phasen–Tiefpasses|class=fit]]
 *Soll der Tiefpass kausal und damit realisierbar sein, so muss die Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp; gleich der Hilbert–Transformierten der Dämpfung &nbsp;$a(f)$&nbsp; sein.

@@ Zeile 125: / Zeile 125: @@
 ==Hilbert–Transformation==
 <br>
-Wir betrachten hier ganz allgemein zwei Zeitfunktionen $u(t)$ und $w(t) = \sign(t) · u(t)$. Die dazugehörigen Spektralfunktionen werden mit $U(f)$ und ${\rm j} · W(f)$ bezeichnet. Das heißt, in diesem Abschnitt gilt  ${w(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet {\rm j}  \cdot W(f) }$ und nicht die sonst übliche Fourierkorrespondenz ${w(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet W(f)}.$
+Wir betrachten hier ganz allgemein zwei Zeitfunktionen&nbsp; $u(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t) = \sign(t) · u(t)$.
 Mit der Korrespondenz  &nbsp; ${\rm sign}(t) \,  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \, {1}/({{\rm j} \, \pi f })$ &nbsp; erhält man nach Ausschreiben des [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungsintegrals]]  mit der Integrationsvariablen $ν$ :
 :$${\rm j} \cdot W(f) =  \frac{1}{{\rm j} \, \pi f }\, \star \, U(f) \quad \Rightarrow \quad W(f) = -\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{U(\nu)}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$
 Da aber gleichzeitig auch &nbsp; $u(t) = \sign(t) · w(t)$ &nbsp; zutrifft, gilt in gleicher Weise:
 :$$U(f) =  \frac{1}{{\rm j} \, \pi f }\, \star \, {\rm j} \cdot W(f) \quad \Rightarrow \quad U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Man hat diese ''Integraltransformation'' nach ihrem Entdecker [https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert David Hilbert] benannt.  Beide Varianten der '''Hilbert–Transformation''' werden im weiteren Verlauf mit folgenden Kurzzeichen gekennzeichnet:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Beide Varianten der&nbsp; '''Hilbert–Transformation'''&nbsp; werden im weiteren Verlauf mit folgenden Kurzzeichen gekennzeichnet:
 :$$W(f)  \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad U(f) \hspace{0.8cm}{\rm bzw.}\hspace{0.8cm}W(f)= {\cal H}\left\{U(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
-*Zur Berechnung des durch die Pfeilspitze markierten Spektrums – hier &nbsp;$U(f)$ – wird von den beiden ansonsten identischen Gleichungen die zweite Gleichung (mit positivem Vorzeichen) genommen.
+*Zur Berechnung des durch die Pfeilspitze markierten Spektrums – hier &nbsp;$U(f)$&nbsp; – wird von den beiden ansonsten identischen Gleichungen die zweite Gleichung (mit positivem Vorzeichen) genommen:
-*Das durch den Kreis markierte Spektrum – hier &nbsp;$W(f)$ – ergibt sich aus der ersten Gleichung, also mit  mit negativem Vorzeichen. }}
+:$$U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-In [Mar94]<ref name ='Mar94'>Marko, H.: ''Methoden der Systemtheorie.'' 3. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1994.</ref> findet man die folgende Hilbert–Korrespondenz:
+In&nbsp; [Mar94]<ref name ='Mar94'>Marko, H.: ''Methoden der Systemtheorie.'' 3. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1994.</ref>&nbsp; findet man die folgende Hilbert–Korrespondenz:
 :$$\frac{1}{1+x^2}  \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad \frac{x}{1+x^2}\hspace{0.05cm}.$$
 *Hierbei steht &nbsp;$x$&nbsp; stellvertretend für eine geeignet normierte Zeit– oder Frequenzvariable.
@@ Zeile 151: / Zeile 159: @@
 Ausgehend von der Gleichung
 :$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \}  \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}$$
-wird somit das auf im [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Real.E2.80.93_und_Imagin.C3.A4rteil_einer_kausalen_.C3.9Cbertragungsfunktion|$\text{Beispiel 2}$]] gefundene Ergebnis bestätigt:
+wird somit das auf im&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Real.E2.80.93_und_Imagin.C3.A4rteil_einer_kausalen_.C3.9Cbertragungsfunktion|$\text{Beispiel 2}$]]&nbsp; gefundene Ergebnis bestätigt:
 :$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \}   = \frac{-f/f_{\rm G} }{1+(f/f_{\rm  G})^2}\hspace{0.05cm}.$$}}

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 ==Voraussetzungen für das gesamte Kapitel &bdquo;Realisierbare Systeme&rdquo;==
 <br>
-In den beiden ersten Kapiteln wurden meist reelle [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Übertragungsfunktionen]] &nbsp;$H(f)$&nbsp; betrachtet, bei denen demzufolge die zugehörige Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; stets symmetrisch zum Bezugszeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; ist. Solche Übertragungsfunktionen
+In den beiden ersten Kapiteln wurden meist reelle&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Übertragungsfunktionen]]&nbsp; &nbsp;$H(f)$&nbsp; betrachtet, bei denen demzufolge die zugehörige Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; stets symmetrisch zum Bezugszeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; ist. Solche Übertragungsfunktionen
 *eignen sich, um grundlegende Zusammenhänge einfach zu erklären,
 *sind aber leider aus Kausalitätsgründen nicht realisierbar.
@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die '''Impulsantwort''' &nbsp;$h(t)$&nbsp; ist gleich dem Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; des Systems, wenn am Eingang zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; ein unendlich kurzer Impuls mit unendlich großer Ampltude anliegt: &nbsp; $x(t) = δ(t)$. Man bezeichnet einen solchen Impuls als [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]].}}
+Die&nbsp; '''Impulsantwort''' &nbsp;$h(t)$&nbsp; ist gleich dem Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; des Systems, wenn am Eingang zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; ein unendlich kurzer Impuls mit unendlich großer Ampltude anliegt: &nbsp; $x(t) = δ(t)$. Man bezeichnet einen solchen Impuls als [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]].}}
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Bei einem '''kausalen System''' ist die Impulsantwort $h(t)$ für alle Zeiten $t < 0$  identisch $0$.}}
+Bei einem&nbsp; '''kausalen System'''&nbsp; ist die Impulsantwort $h(t)$ für alle Zeiten&nbsp; $t < 0$&nbsp;  identisch Null.}}
-Die einzige reelle Übertragungsfunktion, die der Kausalitätsbedingung „Ausgangssignal kann nicht vor Eingangssignal beginnen” genügt, lautet:
+Die einzige reelle Übertragungsfunktion, die der Kausalitätsbedingung „das Ausgangssignal kann nicht vor dem Eingangssignal beginnen” genügt, lautet:
 :$$H(f) = K \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\quad h(t) = K \cdot \delta(t).$$
-Alle anderen reellwertigen Übertragungsfunktionen $H(f)$ beschreiben akausale Systeme und sind somit durch ein (elektrisches) Schaltungsnetzwerk nicht zu realisieren.
+Alle anderen reellwertigen Übertragungsfunktionen&nbsp; $H(f)$&nbsp; beschreiben akausale Systeme und sind somit durch ein (elektrisches) Schaltungsnetzwerk nicht zu realisieren.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{In anderen Worten:}$&nbsp; Außer der Übertragungsfunktion $H(f) = K$  '''ist jede realistische Übertragungsfunktion komplex'''. <br>Ist $K=1$, so bezeichnet man die  Übertragungsfunktion als ideal.}}
+$\text{In anderen Worten:}$ &nbsp; Außer der Übertragungsfunktion&nbsp; $H(f) = K$&nbsp;  '''ist jede realistische Übertragungsfunktion komplex'''.
 ==Real– und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion==
 <br>
-Eine jede kausale Impulsantwort $h(t)$ kann als Summe eines geraden Anteils $h_{\rm g}(t)$ und eines ungeraden Anteils $h_{\rm u}(t)$ dargestellt werden:
+Jede kausale Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; kann als Summe eines geraden Anteils&nbsp; $h_{\rm g}(t)$&nbsp; und eines ungeraden Anteils&nbsp; $h_{\rm u}(t)$&nbsp; dargestellt werden:
 :$$\begin{align*} h_{ {\rm g}}(t)  & =  {1}/{2}\cdot \big[  h(t) + h(-t) \big]\hspace{0.05cm},\\ h_{ {\rm u}}(t) & =  {1}/{2}\cdot \big[  h(t) - h(-t) \big] = h_{ {\rm g}}(t) \cdot {\rm sign}(t)\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$
-Hierbei ist die sogenannte [https://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenfunktion Signum–Funktion] verwendet:
+Hierbei ist die sogenannte&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenfunktion Signum–Funktion]&nbsp; verwendet:
 :$${\rm sign}(t) = \left\{ \begin{array}{c} -1 \\
   +1 \\  \end{array} \right.\quad \quad
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Aufgabe 1.3Z]].
+Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Aufgabe 1.3Z]]:
 :$$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\
 .5/T  \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad
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-Betrachten wir nun den gleichen Sachverhalt im Spektralbereich. Nach dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]  gilt für die komplexe Übertragungsfunktion: &nbsp;$H(f) = {\rm Re} \left\{ H(f) \right \} + {\rm j} \cdot {\rm Im} \left\{ H(f) \right \}
+Betrachten wir nun den gleichen Sachverhalt im Spektralbereich. Nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp;  gilt für die komplexe Übertragungsfunktion: &nbsp;
-  ,$&nbsp; mit folgender Zuordnung:
+:$$H(f) = {\rm Re} \left\{ H(f) \right \} + {\rm j} \cdot {\rm Im} \left\{ H(f) \right \}
 :$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\quad h_{ {\rm g}}(t)\hspace{0.05cm},$$
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 :$${\rm j} \cdot {\rm Im} \left\{ H(f) \right\}  \quad  \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\quad h_{ {\rm u}}(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Zunächst soll an einem weiteren Beispiel der Zusammenhang zwischen Real– und Imaginärteil von &nbsp;$H(f)$&nbsp; herausgearbeitet werden.
+Zunächst soll an einem weiteren Beispiel dieser Zusammenhang zwischen Real– und Imaginärteil von &nbsp;$H(f)$&nbsp; herausgearbeitet werden.
 {{GraueBox|TEXT=
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 Wir gehen von einem Tiefpass erster Ordnung aus, für dessen Übertragungsfunktion gilt:
 :$$H(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G} } = \frac{1}{1+(f/f_{\rm G})^2}- {\rm j} \cdot \frac{f/f_{\rm G} }{1+(f/f_{\rm G})^2} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei gibt $f_{\rm G}$ die 3dB–Grenzfrequenz an, bei der $\vert H(f)\vert^2$ auf die Hälfte seines Maximums (bei $f = 0$) abgesunken ist. Die dazugehörige Impulsantwort  $h(t)$ wurde bereits im obigen $\text{Beispiel 1}$ für  $f_{\rm G} = 1/(2πT)$ dargestellt.
+Hierbei gibt&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; die 3dB–Grenzfrequenz an, bei der&nbsp; $\vert H(f)\vert^2$&nbsp; auf die Hälfte seines Maximums&nbsp; $($bei&nbsp; $f = 0)$&nbsp; abgesunken ist. Die dazugehörige Impulsantwort&nbsp;  $h(t)$&nbsp; wurde bereits im obigen&nbsp; $\text{Beispiel 1}$&nbsp; für&nbsp;  $f_{\rm G} = 1/(2πT)$&nbsp; dargestellt.
-Die Grafik zeigt den $H(f)$&ndash;Realteil  (blau) und den Imaginärteil (rot). Zusätzlich ist grün–gestrichelt der Betrag dargestellt.
+Die Grafik zeigt den Realteil  (blau) und den Imaginärteil (rot) von&nbsp; $H(f)$. Grün–gestrichelt ist zudem der Betrag dargestellt.
-[[Datei:P_ID1754__LZI_T_3_1_S2b_neu.png|right|frame|Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung (Real– und Imaginärteil)|class=fit]]
+[[Datei:P_ID1754__LZI_T_3_1_S2b_neu.png|right|frame|Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung&nbsp; (Real– und Imaginärteil)|class=fit]]
-*Nachdem die Zeitfunktionen &nbsp;$h_{\rm g}(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_{\rm u}(t)$&nbsp; über die Signumfunktion zusammenhängen, sind auch der Realteil &nbsp;${\rm Re} \{H(f)\}$&nbsp; und der Imaginärteil &nbsp;${\rm Im} \{H(f)\}$&nbsp; fest miteinander verknüpft.
-*Der Zusammenhang zwischen diesen Funktionen ist durch die Hilbert–Transformation gegeben, die nachfolgend beschrieben wird.}}
 ==Hilbert–Transformation==