Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Juni 2021 um 13:05 Uhr

2021-06-01T13:05:18Z

Guenter am 1. Juni 2021 um 12:12 Uhr

2021-06-01T12:12:38Z

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Guenter am 30. Mai 2021 um 09:00 Uhr

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Guenter am 30. Mai 2021 um 08:41 Uhr

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2021-05-28T15:11:09Z

Guenter am 27. Mai 2021 um 16:21 Uhr

2021-05-27T16:21:38Z

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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen&nbsp; $\rm si$–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet.&nbsp;
+Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich auszeichnet durch
 Diese sind in der oberen Grafik dargestellt.&nbsp; Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen.
@@ Zeile 245: / Zeile 249: @@
 Man erkennt, dass
-*$H_{\rm HP}(f = 0)$&nbsp; stets den Wert&nbsp; $0$&nbsp; besitzt, wenn&nbsp; $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$&nbsp; ist,
+*$H_{\rm HP}(f = 0)$&nbsp; stets gleich&nbsp; $0$&nbsp; ist, wenn&nbsp; $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$,
 *demzufolge das Integral über&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; ebenfalls Null ergeben muss,
 *und die Sprungantwort&nbsp; $σ_{\rm HP}(t)$&nbsp; gegen den Endwert Null tendiert.}}

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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen&nbsp; $\rm si$–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet.&nbsp; Diese sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt.
+Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen&nbsp; $\rm si$–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet.&nbsp;
 Man erkennt, dass
-*$H_{\rm HP}(f = 0)$&nbsp; immer den Wert&nbsp; $0$&nbsp; besitzt, wenn&nbsp; $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$&nbsp; ist,
+*$H_{\rm HP}(f = 0)$&nbsp; stets den Wert&nbsp; $0$&nbsp; besitzt, wenn&nbsp; $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$&nbsp; ist,
-*demzufolge das Integral über&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; ebenfalls Null ergeben muss, und
+*demzufolge das Integral über&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; ebenfalls Null ergeben muss,
-*auch die Sprungantwort&nbsp; $σ_{\rm HP}(t)$&nbsp; gegen den Endwert Null tendiert.}}
+*und die Sprungantwort&nbsp; $σ_{\rm HP}(t)$&nbsp; gegen den Endwert Null tendiert.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 ==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==
 <br>
-Bisher wurden in diesem Kapitel fünf häufig verwendete systemtheoretische Tiefpassfunktionen betrachtet. Für jede einzelne Tiefpassfunktion lässt sich auch eine äquivalente Hochpassfunktion angeben.
+Bisher wurden in diesem Kapitel sechs häufig verwendete systemtheoretische Tiefpassfunktionen betrachtet.&nbsp; Für jede einzelne Tiefpassfunktion lässt sich auch eine äquivalente Hochpassfunktion angeben.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Ist $H_{\rm TP}(f)$ eine systemtheoretische TP&ndash;Funktion mit $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$, so ist die '''äquivalente Hochpassfunktion''':
+Ist&nbsp; $H_{\rm TP}(f)$&nbsp; eine systemtheoretische Tiefpass&ndash;Funktion mit&nbsp; $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$, so ist die&nbsp; $\text{äquivalente Hochpassfunktion}$:
 :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$}}
@@ Zeile 231: / Zeile 231: @@
 Hierbei bezeichnen:
-*$h_{\rm HP}(t)$ &nbsp;und&nbsp; $h_{\rm TP}(t)$ die Impulsantworten von Hoch– und Tiefpass,
+*$h_{\rm HP}(t)$ &nbsp;und&nbsp; $h_{\rm TP}(t)$&nbsp; die Impulsantworten von Hoch– und Tiefpass,
-*$σ_{\rm HP}(t)$ &nbsp;und&nbsp; $σ_{\rm TP}(t)$ die dazugehörigen Sprungantworten,
+*$σ_{\rm HP}(t)$ &nbsp;und&nbsp; $σ_{\rm TP}(t)$&nbsp; die dazugehörigen Sprungantworten,
-*$γ(t)$ die Sprungfunktion als Ergebnis der Integration über die Diracfunktion $δ(t)$.
+*$γ(t)$&nbsp; die Sprungfunktion als Ergebnis der Integration über die Diracfunktion&nbsp; $δ(t)$.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen $\rm si$–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet. Diese sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt.
+Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen&nbsp; $\rm si$–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet.&nbsp; Diese sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt.
 Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen.
@@ Zeile 244: / Zeile 244: @@
 Man erkennt, dass
-*$H_{\rm HP}(f = 0)$ immer den Wert $0$ besitzt, wenn $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$ ist,
+*$H_{\rm HP}(f = 0)$&nbsp; immer den Wert&nbsp; $0$&nbsp; besitzt, wenn&nbsp; $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$&nbsp; ist,
-*demzufolge das Integral über $h_{\rm HP}(t)$ ebenfalls Null ergeben muss, und
+*demzufolge das Integral über&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; ebenfalls Null ergeben muss, und
-*auch die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$ gegen den Endwert Null tendiert.}}
+*auch die Sprungantwort&nbsp; $σ_{\rm HP}(t)$&nbsp; gegen den Endwert Null tendiert.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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	Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms\|Definition und Aussagen des Augendiagramms]].		Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms\|Definition und Aussagen des Augendiagramms]].
−

	==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==		==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==

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	Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms\|Definition und Aussagen des Augendiagramms]].		Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms\|Definition und Aussagen des Augendiagramms]].
−
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−	Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe ~~Buch~~  [[Digitalsignalübertragung]].	+	Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms\|Definition und Aussagen des Augendiagramms]].

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 *die&nbsp; $\text{äquivalente Bandbreite}$, ermittelt über das flächengleiche Rechteck:
 :$$\Delta f = f_1 + f_2.$$
-*den&nbsp; $\text{Rolloff-Faktor}$&nbsp; (im Frequenzbereich) als Maß für die Flankensteilheit:
+*den&nbsp; $\text{Rolloff-Faktor}$&nbsp; (im Frequenzbereich)&nbsp; als Maß für die Flankensteilheit:
 :$$r_{\hspace{-0.05cm}f} = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1}.$$
 Als Sonderfälle sind in der allgemeinen Darstellung  enthalten:
@@ Zeile 138: / Zeile 138: @@
 Die  Grafik sowie obige Gleichungen erlauben folgende Aussagen:
-*Die Trapezform entsteht zum Beispiel durch die Faltung zweier Rechtecke der Breiten $Δf$ und $r_f \cdot  Δf$.
+*Die Trapezform entsteht zum Beispiel durch die Faltung zweier Rechtecke der Breiten&nbsp; $Δf$&nbsp; und&nbsp; $r_f \cdot  Δf$.
-*Entsprechend dem Faltungssatz ist somit die Impulsantwort das Produkt zweier $\rm si$–Funktionen mit den Argumenten $π · Δf · t$ und $π · r_{\hspace{-0.05cm}f} · Δf · t$.
+*Entsprechend dem Faltungssatz ist somit die Impulsantwort das Produkt zweier&nbsp; $\rm si$–Funktionen mit den Argumenten&nbsp; $π · Δf · t$&nbsp; und&nbsp; $π · r_{\hspace{-0.05cm}f} · Δf · t$.
-*Die erste $\rm si$–Funktion ist für alle Werte von $r_{\hspace{-0.05cm}f}$ Bestandteil der Gleichung für $h(t)$ und führt stets zu äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand $1/Δf$.
+*Die erste&nbsp; $\rm si$–Funktion ist für alle Werte von&nbsp; $r_{\hspace{-0.05cm}f}$&nbsp; Bestandteil der Gleichung für&nbsp; $h(t)$&nbsp; und führt stets zu äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand&nbsp; $1/Δf$.
-*Für $0 \lt r_{\hspace{-0.05cm}f} \lt 1$ gibt es weitere Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_{\hspace{-0.05cm}f}$.
+*Für&nbsp; $0 \lt r_{\hspace{-0.05cm}f} \lt 1$&nbsp; gibt es weitere Nullstellen bei Vielfachen von&nbsp; $Δt/r_{\hspace{-0.05cm}f}$.
-*Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer $r_{\hspace{-0.05cm}f}$ ist, das heißt bei gegebenem $Δf$ mit flacherer Flanke.
+*Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer&nbsp; $r_{\hspace{-0.05cm}f}$&nbsp; ist, das heißt bei gegebenem&nbsp; $Δf$&nbsp; mit flacherer Flanke.
-*Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass  &nbsp; ⇒  &nbsp; $r_{\hspace{-0.05cm}f}  = 1$,  $f_1 = 0$,  $f_2 = Δf$. Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:
+*Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass  &nbsp; ⇒  &nbsp; $r_{\hspace{-0.05cm}f}  = 1$,&nbsp;  $f_1 = 0$,&nbsp;  $f_2 = Δf$.&nbsp; Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm}  \frac{{\rm \Delta}f -|f|}{{\rm \Delta}f} \\
 \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad

@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
 Anhand dieser Grafik können folgende Aussagen getroffen werden:
 *Die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definierte&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Impulsdauer]]&nbsp;  $Δt$&nbsp; ist gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bandbreite&nbsp; $Δf$.
-*Eine schmalbandige Filterfunktion&nbsp; (kleines&nbsp; $Δf$) führt zu einer breiten&nbsp; (großes&nbsp; $Δt$) und gleichzeitig niedrigen Impulsantwort&nbsp; $h(t)$.
+*Eine schmalbandige Filterfunktion&nbsp; (kleines&nbsp; $Δf$)&nbsp; führt zu einer breiten&nbsp; (großes&nbsp; $Δt$)&nbsp; und gleichzeitig niedrigen Impulsantwort&nbsp; $h(t)$.
 *Das so genannte&nbsp;  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]&nbsp; von Zeitdauer und Bandbreite lässt sich am Beispiel des Gaußtiefpasses besonders anschaulich zeigen.
 *Die Frequenz– und Zeitbereichsdarstellungen sind prinzipiell von gleicher Form.&nbsp; Man sagt auch, dass die Gaußfunktion invariant gegenüber der Fouriertransformation ist.
@@ Zeile 104: / Zeile 104: @@
 ==Trapez–Tiefpass==
 <br>
-Die bisher in diesem Kapitel beschriebenen Tiefpassfunktionen hängen nur von einem Parameter – der äquivalenten Bandbreite $Δf$ – ab. Dabei war die Flankensteilheit für einen gegebenen Filtertyp fest vorgegeben.
+Die bisher in diesem Kapitel beschriebenen Tiefpassfunktionen hängen nur von einem Parameter ab:&nbsp; der äquivalenten Bandbreite&nbsp; $Δf$.&nbsp; Dabei war die Flankensteilheit für einen gegebenen Filtertyp fest vorgegeben.
 Nun wird ein Tiefpass mit parametrisierbarer Flankensteilheit  beschrieben.
@@ Zeile 110: / Zeile 110: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Der Frequenzgang des '''Trapez–Tiefpasses''' lautet mit den Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2 \ge f_1$:
+Der Frequenzgang des&nbsp; $\text{Trapez–Tiefpasses}$&nbsp; lautet mit den Eckfrequenzen&nbsp; $f_1$&nbsp; und&nbsp; $f_2 \ge f_1$:
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1  \\  \frac{f_2 - \vert f \vert }{f_2 -f_1} \\
 \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad
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-Anstelle von $f_1$ und $f_2$ kann man zur Beschreibung von $H(f)$ auch folgende Parameter verwenden:
+Anstelle von&nbsp; $f_1$&nbsp; und&nbsp; $f_2$&nbsp; kann man zur Beschreibung von&nbsp; $H(f)$&nbsp; auch folgende Parameter verwenden:
-*die '''äquivalente Bandbreite''', ermittelt über das flächengleiche Rechteck:
+*die&nbsp; $\text{äquivalente Bandbreite}$, ermittelt über das flächengleiche Rechteck:
 :$$\Delta f = f_1 + f_2.$$
-*der '''Rolloff-Faktor''' (im Frequenzbereich) als Maß für die Flankensteilheit:
+*den&nbsp; $\text{Rolloff-Faktor}$&nbsp; (im Frequenzbereich) als Maß für die Flankensteilheit:
 :$$r_{\hspace{-0.05cm}f} = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1}.$$
 Als Sonderfälle sind in der allgemeinen Darstellung  enthalten:
-*der ideale rechteckförmige Tiefpass $(r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0)$,
+*der ideale rechteckförmige Tiefpass&nbsp; $(r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0)$,
-*der Dreiecktiefpass $(r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1)$.
+*der Dreiecktiefpass&nbsp; $(r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1)$.
-Die folgende Grafik zeigt für den Rolloff–Faktor $r_f  = 0.5 \ \Rightarrow \ f_2 = 3f_1$ links den Frequenzgang  $H(f)$ und rechts die Impulsantwort
+Die folgende Grafik zeigt für den Rolloff–Faktor&nbsp; $r_f  = 0.5 \ \Rightarrow \ f_2 = 3f_1$&nbsp; links den Frequenzgang&nbsp;  $H(f)$&nbsp; und rechts die Impulsantwort
 :$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) = {\sin(x)}/{x}.$$
-Der $\rm si$–Zeitverlauf des rechteckförmigen Tiefpasses mit gleicher äquivalenter Bandbreite ist zum Vergleich gestrichelt eingezeichnet.
+Der&nbsp; ${\sin(x)}/{x}$–förmige Zeitverlauf des rechteckförmigen Tiefpasses mit gleicher äquivalenter Bandbreite ist zum Vergleich gestrichelt eingezeichnet.
 [[Datei:P_ID846__LZI_T_1_3_S5_neu.png|right |frame|  Trapez–Tiefpass: Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]

@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Man bezeichnet ein LZI–System als '''Spalt&ndash;Tiefpass''', wenn der Frequenzgang die folgende Form hat:
+Man bezeichnet ein LZI–System als&nbsp; $\text{Spalt&ndash;Tiefpass}$, wenn der Frequenzgang die folgende Form hat:
 :$$H(f) = {\rm si}(\pi {f}/{ \Delta f})\hspace{0.7cm}{\rm{mit} }\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) ={\sin(x)}/{x}.$$}}
-Aus der linken Grafik ist zu erkennen, dass der Frequenzgang $H_{\rm STP}(f)$ des Spalt&ndash;Tiefpasses formgleich mit der Impulsantwort $h_{\rm KTP}(t)$ des Küpfmüllertiefpasses ist.
+Aus der linken Grafik ist zu erkennen, dass der Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm STP}(f)$&nbsp; des Spalt&ndash;Tiefpasses formgleich mit der Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm KTP}(t)$&nbsp; des Küpfmüller&ndash;Tiefpasses ist.
-[[Datei:P_ID844__LZI_T_1_3_S3_neu.png |right|frame|  Spalt&ndash;Tiefpass: Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]
+[[Datei:P_ID844__LZI_T_1_3_S3_neu.png |right|frame|  Spalt&ndash;Tiefpass:&nbsp; Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]
-Nach dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]]  muss deshalb auch die Impulsantwort $h_{\rm STP}(t)$ des Spalt&ndash;Tiefpasses die gleiche Form wie der Frequenzgang $H_{\rm KTP}(f)$ des idealen Tiefpasses aufweisen.
+Nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]]&nbsp;  muss deshalb auch die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm STP}(t)$&nbsp; des Spalt&ndash;Tiefpasses die gleiche Form wie der Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm KTP}(f)$&nbsp; des idealen Tiefpasses aufweisen.
-Mit $Δt = 1/ Δf$ gilt somit:
+Mit&nbsp; $Δt = 1/ Δf$&nbsp; gilt somit:
 :$$h(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\Delta f  \\  \Delta f/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c}  \text{für}  \\ \text{für} \\  \text{für}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert < \Delta t/2,}  \\ {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert  = \Delta t/2,}  \\ {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert > \Delta t/2.}  \\
 \end{array}$$
 Anhand der rechten Grafik sind folgende Aussagen ableitbar:
-*Auch der Spalt&ndash;Tiefpass ist in dieser Form akausal.
+*Auch der Spalt&ndash;Tiefpass ist in dieser Form akausal.&nbsp; Durch eine zusätzliche Laufzeit von&nbsp; $Δt/2$&nbsp; wird das System jedoch kausal und damit realisierbar.
-*Durch eine zusätzliche Laufzeit von $Δt/2$ wird das System jedoch kausal und damit realisierbar.
+*Der Spalt&ndash;Tiefpass wirkt als Integrator über die Zeitdauer&nbsp; $Δt$:
 :$$y(t) = x (t) * h (t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ t - \Delta t/2 }^{ t + \Delta t/2  } {x ( \tau  )}  \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
-*Ist $x(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_0 = k \cdot Δf$ (wobei $k$ ganzzahlig ist), so wird genau über $k$ Perioden integriert und es gilt $y(t) = 0$. Dies zeigen auch die Nullstellen von $H(f)$.
+*Ist&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine harmonische Schwingung mit der Frequenz&nbsp; $f_0 = k \cdot Δf$&nbsp; $($wobei&nbsp; $k$&nbsp; ganzzahlig ist$)$, so wird genau über&nbsp; $k$&nbsp; Perioden integriert und es gilt&nbsp; $y(t) = 0$.&nbsp; <br>Dies zeigen auch die Nullstellen von&nbsp; $H(f)$.
 ==Gauß–Tiefpass==
 <br>
-Eine häufig für systemtheoretische Untersuchungen verwendete Filterfunktion ist der Gaußtiefpass, der ebenfalls durch nur einen Parameter, nämlich die [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Bandbreite]] $Δf$, beschreibbar ist.
+Eine häufig für systemtheoretische Untersuchungen verwendete Filterfunktion ist der Gaußtiefpass, der ebenfalls durch nur einen Parameter, nämlich die&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Bandbreite]]&nbsp; $Δf$, beschreibbar ist.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Für den Frequenzgang und die Impulsantwort des '''Gaußtiefpasses''' gelten:
+Für den Frequenzgang und die Impulsantwort des&nbsp; $\text{Gauß&ndash;Tiefpasses}$&nbsp; gelten:
 :$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2}\hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.15cm}h(t) = \Delta f \cdot  {\rm e}^{-\pi(\Delta f \cdot  \hspace{0.03cm} t)^2} .$$}}
-Der Name geht auf den Mathematiker, Physiker und Astronomen [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl-Friedrich Gauß ]  zurück. Gauß hat sich zwar nicht selber mit dieser Thematik auseinandergesetzt, aber die mathematische Form von Frequenzgang und Impulsantwort weisen eine Ähnlichkeit mit der so genannten [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gaußformel]]  auf, die er für die Wahrscheinlichkeitsrechnung gefunden hat.
+Der Name geht auf den Mathematiker, Physiker und Astronomen&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl-Friedrich Gauß ]&nbsp;  zurück.&nbsp; Gauß hat sich zwar nicht selber mit dieser Thematik auseinandergesetzt, aber die mathematische Form von Frequenzgang und Impulsantwort weisen eine Ähnlichkeit mit der so genannten&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gaußformel]]&nbsp;  auf, die er für die Wahrscheinlichkeitsrechnung gefunden hat.
-[[Datei:P_ID845__LZI_T_1_3_S4_neu.png |right|frame| Gaußtiefpass: Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]
+[[Datei:P_ID845__LZI_T_1_3_S4_neu.png |right|frame| Gaußtiefpass:&nbsp; Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]
 Anhand dieser Grafik können folgende Aussagen getroffen werden:
-*Die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definierte [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Impulsdauer]]  $Δt$ ist gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bandbreite $Δf$.
+*Die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definierte&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Impulsdauer]]&nbsp;  $Δt$&nbsp; ist gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bandbreite&nbsp; $Δf$.
-*Eine schmalbandige Filterfunktion (kleines $Δf$) führt zu einer breiten (großes $Δt$) und gleichzeitig niedrigen Impulsantwort $h(t)$.
+*Eine schmalbandige Filterfunktion&nbsp; (kleines&nbsp; $Δf$) führt zu einer breiten&nbsp; (großes&nbsp; $Δt$) und gleichzeitig niedrigen Impulsantwort&nbsp; $h(t)$.
-*Das so genannte  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]] von Zeitdauer und Bandbreite lässt sich am Beispiel des Gaußtiefpasses besonders anschaulich zeigen.
+*Das so genannte&nbsp;  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]&nbsp; von Zeitdauer und Bandbreite lässt sich am Beispiel des Gaußtiefpasses besonders anschaulich zeigen.
-*Die Frequenz– und Zeitbereichsdarstellungen sind prinzipiell von gleicher Form. Man sagt auch, dass die Gaußfunktion invariant gegenüber der Fouriertransformation ist.
+*Die Frequenz– und Zeitbereichsdarstellungen sind prinzipiell von gleicher Form.&nbsp; Man sagt auch, dass die Gaußfunktion invariant gegenüber der Fouriertransformation ist.
 *Aufgrund der unendlichen Ausbreitung seiner Impulsantwort ist der Gaußtiefpass ebenso wie der ideale Tiefpass stark akausal und (exakt) nur mit unendlich großer Laufzeit realisierbar.
-*Allerdings ist zu berücksichtigen, dass $h(t)$ bereits bei $t = 1.5  \cdot Δt$ auf $1‰$ seines Maximalwertes abgeklungen ist. Für $t = 3  \cdot Δt$ ergibt sich sogar $h(t) ≈ 5 · 10^{–13} · h(0)$.
+*Allerdings ist zu berücksichtigen, dass&nbsp; $h(t)$&nbsp; bereits bei&nbsp; $t = 1.5  \cdot Δt$&nbsp; auf&nbsp; $1‰$&nbsp; seines Maximalwertes abgeklungen ist.&nbsp; Für&nbsp; $t = 3  \cdot Δt$&nbsp; ergibt sich sogar&nbsp; $h(t) ≈ 5 · 10^{–13} · h(0)$.
 *Diese Zahlenwerte machen deutlich, dass man den Gaußtiefpass durchaus auch für praxisnahe Simulationen heranziehen kann, solange Laufzeiten keine systembegrenzende Rolle spielen.
-*Die Sprungantwort $σ(t)$ lautet mit der Gaußschen Fehlerfunktion $ϕ(x)$, die in Formelsammlungen meist tabellarisch angegeben wird:
+*Die Sprungantwort&nbsp; $σ(t)$&nbsp; lautet mit der Gaußschen Fehlerfunktion&nbsp; $ϕ(x)$, die in Formelsammlungen meist tabellarisch angegeben wird:
 :$$\sigma(t) =  \int_{ -\infty }^{ t  } {h(\tau)}  \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = {\rm \phi}\left( \sqrt{2 \pi }\cdot{t}/{\Delta t} \right) \hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int_{ -\infty }^{ x  } {{\rm e}^{-u^2/2}}  \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$