Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:27:50Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:27 Uhr
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Linear_and_Time_Invariant_Systems/Some_Low-Pass_Functions_in_Systems_Theory]]

Maintenance script: Fix 6 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

2026-02-27T14:00:05Z

Fix 6 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

← Nächstältere Version		Version vom 27. Februar 2026, 16:00 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:

	Mit  $Δt = 1/ Δf$  gilt somit:		Mit  $Δt = 1/ Δf$  gilt somit:
	:$$h(t) = h_{\rm STP}(t)= \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\Delta f \\ \Delta f/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{{10}c} \text{für} \\ \text{für} \\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert < \Delta t/2,} \\ {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert = \Delta t/2,} \\ {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert > \Delta t/2.} \\		:$$h(t) = h_{\rm STP}(t)= \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\Delta f \\ \Delta f/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{{10}c} \text{für} \\ \text{für} \\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert < \Delta t/2,} \\ {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert = \Delta t/2,} \\ {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert > \Delta t/2.} \\ \end{array}$$
	\end{array}$$
	Anhand der rechten Grafik sind folgende Aussagen ableitbar:		Anhand der rechten Grafik sind folgende Aussagen ableitbar:
	*Auch der Spalt–Tiefpass ist in dieser Form akausal.  Durch eine zusätzliche Laufzeit von  $Δt/2$  wird das System jedoch kausal und damit realisierbar.		*Auch der Spalt–Tiefpass ist in dieser Form akausal.  Durch eine zusätzliche Laufzeit von  $Δt/2$  wird das System jedoch kausal und damit realisierbar.
Zeile 111:		Zeile 110:
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Der Frequenzgang des  $\text{Trapez–Tiefpasses}$  lautet mit den Eckfrequenzen  $f_1$  und  $f_2 \ge f_1$:		Der Frequenzgang des  $\text{Trapez–Tiefpasses}$  lautet mit den Eckfrequenzen  $f_1$  und  $f_2 \ge f_1$:
	:$$H(f)= H_{\rm TTP}(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 - \vert f \vert }{f_2 -f_1} \\		:$$H(f)= H_{\rm TTP}(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 - \vert f \vert }{f_2 -f_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{{10}c} \text{für} \\ \text{für} \\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} {\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert < f_1,} \\ {f_1 \le \vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert \le f_2,} \\ {\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert > f_2.} \\ \end{array}$$}}
	\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad
	\begin{array}{*{10}c} \text{für} \\ \text{für}
	\\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
	{\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert < f_1,} \\
	{f_1 \le \vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert \le f_2,} \\
	{\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert > f_2.} \\
	\end{array}$$}}


Zeile 144:		Zeile 136:
	*Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer  $r_{\hspace{-0.05cm}f}$  ist, das heißt bei gegebenem  $Δf$  mit flacherer Flanke.		*Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer  $r_{\hspace{-0.05cm}f}$  ist, das heißt bei gegebenem  $Δf$  mit flacherer Flanke.
	*Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass   ⇒   $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$,  $f_1 = 0$,  $f_2 = Δf$.  Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:		*Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass   ⇒   $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$,  $f_1 = 0$,  $f_2 = Δf$.  Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:
	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm} \frac{{\rm \Delta}f -\|f\|}{{\rm \Delta}f} \\		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm} \frac{{\rm \Delta}f -\|f\|}{{\rm \Delta}f} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} {\hspace{1cm} \left\| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right\| \le {\rm \Delta}f ,} \\ {\hspace{1cm}\left\|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right\| \ge {\rm \Delta}f } \\ \end{array}, \hspace{1cm} h(t) = \Delta f \cdot {\rm sinc}^2(\Delta f \cdot t )\hspace{0.4cm}{\rm{mit}}\hspace{0.4cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$
	\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad
	\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
	\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
	{\hspace{1cm} \left\| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right\| \le {\rm \Delta}f ,} \\
	{\hspace{1cm}\left\|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right\| \ge {\rm \Delta}f } \\
	\end{array}, \hspace{1cm}
	h(t) = \Delta f \cdot {\rm sinc}^2(\Delta f \cdot t )\hspace{0.4cm}{\rm{mit}}\hspace{0.4cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$

	==Cosinus-Rolloff-Tiefpass==		==Cosinus-Rolloff-Tiefpass==
Zeile 165:		Zeile 150:
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Mit den Eckfrequenzen  $f_1 = Δf · (1 – r_{\hspace{-0.05cm}f})$   und  $f_2 = Δf · (1 + r_{\hspace{-0.05cm}f})$  lautet der Frequenzgang des  $\text{Cosinus–Rolloff–Tiefpasses}$:		Mit den Eckfrequenzen  $f_1 = Δf · (1 – r_{\hspace{-0.05cm}f})$   und  $f_2 = Δf · (1 + r_{\hspace{-0.05cm}f})$  lautet der Frequenzgang des  $\text{Cosinus–Rolloff–Tiefpasses}$:
	:$$H(f) = H_{\rm CRO}(f) =\left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \cos \left( \frac{ \vert f \vert - f_1}{f_2 -f_1}\cdot \pi/2\right) \\		:$$H(f) = H_{\rm CRO}(f) =\left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \cos \left( \frac{ \vert f \vert - f_1}{f_2 -f_1}\cdot \pi/2\right) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{{10}c} \text{für} \\ \text{für} \\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} {\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert < f_1,} \\ {f_1 \le \vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert \le f_2,} \\ {\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert> f_2.} \\ \end{array}$$}}
	\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad
	\begin{array}{*{10}c} \text{für} \\ \text{für}
	\\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
	{\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert < f_1,} \\
	{f_1 \le \vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert \le f_2,} \\
	{\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert> f_2.} \\
	\end{array}$$}}


	[[Datei:P_ID848__LZI_T_1_3_S6_neu.png\|frame\| Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort\|class=fit]]		[[Datei:P_ID848__LZI_T_1_3_S6_neu.png\|frame\| Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort\|class=fit]]
	Die Grafik zeigt links  $H(f) = H_{\rm CRO}(f)$  sowie rechts die Impulsantwort		Die Grafik zeigt links  $H(f) = H_{\rm CRO}(f)$  sowie rechts die Impulsantwort
	:$$h(t) = h_{\rm CRO}(t) =\Delta f \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm sinc}( \Delta f \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} t )\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}		:$$h(t) = h_{\rm CRO}(t) =\Delta f \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm sinc}( \Delta f \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} t )\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \frac {\cos(\pi \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot \Delta f \cdot t )}{1 - (2 \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t)^2}.$$
	\frac {\cos(\pi \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot \Delta f \cdot t )}{1 - (2 \cdot
	r_f \cdot \Delta f \cdot t)^2}.$$

	Für diese Grafiken wurde der Rolloff–Faktor $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0.5$ verwendet, das heißt, es gilt $f_2 = 3 \cdot f_1$.		Für diese Grafiken wurde der Rolloff–Faktor $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0.5$ verwendet, das heißt, es gilt $f_2 = 3 \cdot f_1$.
Zeile 227:		Zeile 203:

	Damit lauten die Beschreibungsgrößen im Zeitbereich:		Damit lauten die Beschreibungsgrößen im Zeitbereich:
	:$$h_{\rm HP}(t) = \delta (t) - h_{\rm TP}(t),\hspace{1cm}		:$$h_{\rm HP}(t) = \delta (t) - h_{\rm TP}(t),\hspace{1cm} \sigma_{\rm HP}(t) = \gamma (t) - \sigma_{\rm TP}(t). $$
	\sigma_{\rm HP}(t) = \gamma (t) - \sigma_{\rm TP}(t). $$

	Hierbei bezeichnen:		Hierbei bezeichnen:

Guenter am 1. Juni 2021 um 13:05 Uhr

2021-06-01T13:05:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juni 2021, 15:05 Uhr
Zeile 239:		Zeile 239:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen  $\rm si$–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort ~~auszeichnet~~.		Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich auszeichnet durch
			*einen  $\rm si$–förmigen Frequenzgang,
			*eine rechteckförmige Impulsantwort und
			*eine linear ansteigende Sprungantwort.


	Diese sind in der oberen Grafik dargestellt.  Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen.		Diese sind in der oberen Grafik dargestellt.  Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen.
Zeile 245:		Zeile 249:

	Man erkennt, dass		Man erkennt, dass
	*$H_{\rm HP}(f = 0)$  stets ~~den Wert~~  $0$  ~~besitzt~~, wenn  $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$~~  ist~~,		*$H_{\rm HP}(f = 0)$  stets gleich  $0$  ist, wenn  $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$,
	*demzufolge das Integral über  $h_{\rm HP}(t)$  ebenfalls Null ergeben muss,		*demzufolge das Integral über  $h_{\rm HP}(t)$  ebenfalls Null ergeben muss,
	*und die Sprungantwort  $σ_{\rm HP}(t)$  gegen den Endwert Null tendiert.}}		*und die Sprungantwort  $σ_{\rm HP}(t)$  gegen den Endwert Null tendiert.}}

Guenter am 1. Juni 2021 um 12:12 Uhr

2021-06-01T12:12:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juni 2021, 14:12 Uhr
Zeile 236:		Zeile 236:


			[[Datei: P_ID851__LZI_T_1_3_S7_neu.png \|right\|frame\| Konstruktion von Hochpassfunktionen aus den entsprechenden Tiefpässen\|class=fit]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen  $\rm si$–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet.  Diese sind in der ~~nachfolgenden~~ Grafik dargestellt.		Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen  $\rm si$–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet.

			Diese sind in der oberen Grafik dargestellt.  Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen.

	~~Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen.~~
	~~[[Datei: P_ID851__LZI_T_1_3_S7_neu.png \|right\|frame\| Konstruktion von Hochpassfunktionen aus den entsprechenden Tiefpässen\|class=fit]]~~

	Man erkennt, dass		Man erkennt, dass
	*$H_{\rm HP}(f = 0)$  ~~immer~~ den Wert  $0$  besitzt, wenn  $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$  ist,		*$H_{\rm HP}(f = 0)$  stets den Wert  $0$  besitzt, wenn  $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$  ist,
	*demzufolge das Integral über  $h_{\rm HP}(t)$  ebenfalls Null ergeben muss, ~~und~~		*demzufolge das Integral über  $h_{\rm HP}(t)$  ebenfalls Null ergeben muss,
	*~~auch~~ die Sprungantwort  $σ_{\rm HP}(t)$  gegen den Endwert Null tendiert.}}		*und die Sprungantwort  $σ_{\rm HP}(t)$  gegen den Endwert Null tendiert.}}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

Guenter am 31. Mai 2021 um 10:18 Uhr

2021-05-31T10:18:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Mai 2021, 12:18 Uhr
Zeile 218:		Zeile 218:
	==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==		==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==
	<br>		<br>
	Bisher wurden in diesem Kapitel ~~fünf~~ häufig verwendete systemtheoretische Tiefpassfunktionen betrachtet. Für jede einzelne Tiefpassfunktion lässt sich auch eine äquivalente Hochpassfunktion angeben.		Bisher wurden in diesem Kapitel sechs häufig verwendete systemtheoretische Tiefpassfunktionen betrachtet.  Für jede einzelne Tiefpassfunktion lässt sich auch eine äquivalente Hochpassfunktion angeben.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Ist $H_{\rm TP}(f)$ eine systemtheoretische TP–Funktion mit $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$, so ist die ~~'''~~äquivalente Hochpassfunktion~~'''~~:		Ist  $H_{\rm TP}(f)$  eine systemtheoretische Tiefpass–Funktion mit  $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$, so ist die  $\text{äquivalente Hochpassfunktion}$:
	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$}}		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$}}

Zeile 231:		Zeile 231:

	Hierbei bezeichnen:		Hierbei bezeichnen:
	*$h_{\rm HP}(t)$  und  $h_{\rm TP}(t)$ die Impulsantworten von Hoch– und Tiefpass,		*$h_{\rm HP}(t)$  und  $h_{\rm TP}(t)$  die Impulsantworten von Hoch– und Tiefpass,
	*$σ_{\rm HP}(t)$  und  $σ_{\rm TP}(t)$ die dazugehörigen Sprungantworten,		*$σ_{\rm HP}(t)$  und  $σ_{\rm TP}(t)$  die dazugehörigen Sprungantworten,
	*$γ(t)$ die Sprungfunktion als Ergebnis der Integration über die Diracfunktion $δ(t)$.		*$γ(t)$  die Sprungfunktion als Ergebnis der Integration über die Diracfunktion  $δ(t)$.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen $\rm si$–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet. Diese sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt.		Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen  $\rm si$–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet.  Diese sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt.

	Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen.		Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen.
Zeile 244:		Zeile 244:

	Man erkennt, dass		Man erkennt, dass
	*$H_{\rm HP}(f = 0)$ immer den Wert $0$ besitzt, wenn $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$ ist,		*$H_{\rm HP}(f = 0)$  immer den Wert  $0$  besitzt, wenn  $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$  ist,
	*demzufolge das Integral über $h_{\rm HP}(t)$ ebenfalls Null ergeben muss, und		*demzufolge das Integral über  $h_{\rm HP}(t)$  ebenfalls Null ergeben muss, und
	*auch die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$ gegen den Endwert Null tendiert.}}		*auch die Sprungantwort  $σ_{\rm HP}(t)$  gegen den Endwert Null tendiert.}}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

Guenter am 30. Mai 2021 um 09:01 Uhr

2021-05-30T09:01:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2021, 11:01 Uhr
Zeile 215:		Zeile 215:

	Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms\|Definition und Aussagen des Augendiagramms]].		Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms\|Definition und Aussagen des Augendiagramms]].


	==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==		==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==

Guenter am 30. Mai 2021 um 09:00 Uhr

2021-05-30T09:00:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2021, 11:00 Uhr
Zeile 215:		Zeile 215:

	Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms\|Definition und Aussagen des Augendiagramms]].		Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms\|Definition und Aussagen des Augendiagramms]].

Guenter am 30. Mai 2021 um 08:41 Uhr

2021-05-30T08:41:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2021, 10:41 Uhr
Zeile 214:		Zeile 214:


	Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe ~~Buch~~  [[Digitalsignalübertragung]].		Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich\|Nyquistkriterien]]  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms\|Definition und Aussagen des Augendiagramms]].

Guenter am 29. Mai 2021 um 14:57 Uhr

2021-05-29T14:57:36Z

Änderungen zeigen

Guenter am 29. Mai 2021 um 12:48 Uhr

2021-05-29T12:48:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2021, 14:48 Uhr
Zeile 124:		Zeile 124:
	*die  $\text{äquivalente Bandbreite}$, ermittelt über das flächengleiche Rechteck:		*die  $\text{äquivalente Bandbreite}$, ermittelt über das flächengleiche Rechteck:
	:$$\Delta f = f_1 + f_2.$$		:$$\Delta f = f_1 + f_2.$$
	*den  $\text{Rolloff-Faktor}$  (im Frequenzbereich) als Maß für die Flankensteilheit:		*den  $\text{Rolloff-Faktor}$  (im Frequenzbereich)  als Maß für die Flankensteilheit:
	:$$r_{\hspace{-0.05cm}f} = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1}.$$		:$$r_{\hspace{-0.05cm}f} = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1}.$$
	Als Sonderfälle sind in der allgemeinen Darstellung enthalten:		Als Sonderfälle sind in der allgemeinen Darstellung enthalten:
Zeile 138:		Zeile 138:

	Die Grafik sowie obige Gleichungen erlauben folgende Aussagen:		Die Grafik sowie obige Gleichungen erlauben folgende Aussagen:
	*Die Trapezform entsteht zum Beispiel durch die Faltung zweier Rechtecke der Breiten $Δf$ und $r_f \cdot Δf$.		*Die Trapezform entsteht zum Beispiel durch die Faltung zweier Rechtecke der Breiten  $Δf$  und  $r_f \cdot Δf$.
	*Entsprechend dem Faltungssatz ist somit die Impulsantwort das Produkt zweier $\rm si$–Funktionen mit den Argumenten $π · Δf · t$ und $π · r_{\hspace{-0.05cm}f} · Δf · t$.		*Entsprechend dem Faltungssatz ist somit die Impulsantwort das Produkt zweier  $\rm si$–Funktionen mit den Argumenten  $π · Δf · t$  und  $π · r_{\hspace{-0.05cm}f} · Δf · t$.
	*Die erste $\rm si$–Funktion ist für alle Werte von $r_{\hspace{-0.05cm}f}$ Bestandteil der Gleichung für $h(t)$ und führt stets zu äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand $1/Δf$.		*Die erste  $\rm si$–Funktion ist für alle Werte von  $r_{\hspace{-0.05cm}f}$  Bestandteil der Gleichung für  $h(t)$  und führt stets zu äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand  $1/Δf$.
	*Für $0 \lt r_{\hspace{-0.05cm}f} \lt 1$ gibt es weitere Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_{\hspace{-0.05cm}f}$.		*Für  $0 \lt r_{\hspace{-0.05cm}f} \lt 1$  gibt es weitere Nullstellen bei Vielfachen von  $Δt/r_{\hspace{-0.05cm}f}$.
	*Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer $r_{\hspace{-0.05cm}f}$ ist, das heißt bei gegebenem $Δf$ mit flacherer Flanke.		*Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer  $r_{\hspace{-0.05cm}f}$  ist, das heißt bei gegebenem  $Δf$  mit flacherer Flanke.
	*Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass   ⇒   $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$, $f_1 = 0$, $f_2 = Δf$. Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:		*Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass   ⇒   $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$,  $f_1 = 0$,  $f_2 = Δf$.  Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:
	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm} \frac{{\rm \Delta}f -\|f\|}{{\rm \Delta}f} \\		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm} \frac{{\rm \Delta}f -\|f\|}{{\rm \Delta}f} \\
	\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad		\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad