Lineare zeitinvariante Systeme/Einige Ergebnisse der Leitungstheorie - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:27:49Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Linear_and_Time_Invariant_Systems/Some_Results_from_Line_Transmission_Theory]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:37:53Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	:$$ I = (U + {\rm d}U) \cdot (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.05cm}') \cdot {\rm d}x + (I + {\rm d}I)\hspace{0.05cm}. $$		:$$ I = (U + {\rm d}U) \cdot (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.05cm}') \cdot {\rm d}x + (I + {\rm d}I)\hspace{0.05cm}. $$
	Für sehr kurze Leitungsabschnitte  $($infinitesimal kleines  ${\rm d}x)$  und bei Vernachlässigung der kleinen Größen zweiter Ordnung  $($zum Beispiel  ${\rm d}U · {\rm d}x)$  kann man nun zwei Differentialquotienten bilden,  deren gemeinsame Betrachtung zu einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung führt:		Für sehr kurze Leitungsabschnitte  $($infinitesimal kleines  ${\rm d}x)$  und bei Vernachlässigung der kleinen Größen zweiter Ordnung  $($zum Beispiel  ${\rm d}U · {\rm d}x)$  kann man nun zwei Differentialquotienten bilden,  deren gemeinsame Betrachtung zu einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung führt:
	:$$\frac{ {\rm d}U}{ {\rm d}x} = - (R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}') \cdot I,\hspace{0.5cm} \frac{ {\rm d}I}{ {\rm d}x} = - (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.05cm}')		:$$\frac{ {\rm d}U}{ {\rm d}x} = - (R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}') \cdot I,\hspace{0.5cm} \frac{ {\rm d}I}{ {\rm d}x} = - (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.05cm}')\cdot U\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{{\rm d}^2U}{{\rm d}x^2} = (R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}') \cdot (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.05cm}')\cdot U\hspace{0.05cm}.$$
	\cdot U\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{{\rm d}^2U}{{\rm d}x^2} = (R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}') \cdot (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.05cm}')
	\cdot U\hspace{0.05cm}.$$
	Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet:		Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet:
	:$$U(x) = U_{\rightarrow}(x=0) \cdot {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} + U_{\leftarrow}(x=0) \cdot {\rm e}^{\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} \hspace{0.05cm}.$$		:$$U(x) = U_{\rightarrow}(x=0) \cdot {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} + U_{\leftarrow}(x=0) \cdot {\rm e}^{\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} \hspace{0.05cm}.$$
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	Diese schaltungstechnische Vereinfachung hat folgende Auswirkungen:		Diese schaltungstechnische Vereinfachung hat folgende Auswirkungen:
	*Der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f)$  der Leitung aus Sicht der Quelle hängt vom Übertragungsmaß  $γ(f)$, der Leitungslänge  $l$, dem Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}(f)$  sowie dem Abschlusswiderstand  $R_2$  ab:		*Der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f)$  der Leitung aus Sicht der Quelle hängt vom Übertragungsmaß  $γ(f)$, der Leitungslänge  $l$, dem Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}(f)$  sowie dem Abschlusswiderstand  $R_2$  ab:
	:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}{Z_{\rm W}(f)+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}{\rm tanh}(x) = \frac {{\rm sinh}(x)}{{\rm cosh}(x)} = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C} \hspace{0.05cm}.$$
	{Z_{\rm W}(f)+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
	{\rm mit}\hspace{0.5cm}{\rm tanh}(x) = \frac {{\rm sinh}(x)}{{\rm cosh}(x)} = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C} \hspace{0.05cm}.$$
	*Durch diese schaltungsbedingte Vereinfachung   ⇒   $Z_{\rm 2}(f) = R_2$  kommt es zu Reflexionen am Leitungsende. Diese reduzieren die am Empfänger verfügbare Leistung und erhöhen so die Leitungsdämpfung.		*Durch diese schaltungsbedingte Vereinfachung   ⇒   $Z_{\rm 2}(f) = R_2$  kommt es zu Reflexionen am Leitungsende. Diese reduzieren die am Empfänger verfügbare Leistung und erhöhen so die Leitungsdämpfung.
	*Zur Bewertung eines solchen fehlangepassten Systems wurde die  '''Betriebsdämpfung'''  (&bdquo;Dämpfung im Betrieb”) wie folgt definiert:		*Zur Bewertung eines solchen fehlangepassten Systems wurde die  '''Betriebsdämpfung'''  (&bdquo;Dämpfung im Betrieb”) wie folgt definiert:
	:$${ a}_{\rm B}(f) \hspace{0.15cm}{\rm in} \hspace{0.15cm}{\rm Neper}\hspace{0.15cm}{\rm (Np)} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {\|U_0(f)\|}{2 \cdot \|U_2(f)\|} \cdot \sqrt{{R_2}/{R_1}}		:$${ a}_{\rm B}(f) \hspace{0.15cm}{\rm in} \hspace{0.15cm}{\rm Neper}\hspace{0.15cm}{\rm (Np)} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {\|U_0(f)\|}{2 \cdot \|U_2(f)\|} \cdot \sqrt{{R_2}/{R_1}} = \alpha (f ) \cdot l + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_1(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_2(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|1 - r_1(f) \cdot r_2(f) \cdot {\rm e}^{-\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}\| \hspace{0.05cm}.$$
	= \alpha (f ) \cdot l + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_1(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_2(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|1 - r_1(f) \cdot r_2(f) \cdot {\rm e}^{-\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}\| \hspace{0.05cm}.$$

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=

Guenter am 5. November 2021 um 16:43 Uhr

2021-11-05T16:43:36Z

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Für sehr kurze Koaxialleitungen, wie sie für Verbindungen von Hochfrequenz–Messgeräten im Labor verwendet werden, kann von  $R\hspace{0.05cm}' \approx 0$ und $G\hspace{0.05cm}' \approx 0$  ausgegangen werden. Man spricht dann von einer  '''verlustlosen Leitung'''.  Für eine solche vereinfachen sich die obigen Gleichungen:		$\text{Definition:}$  Für sehr kurze Koaxialleitungen, wie sie für Verbindungen von Hochfrequenz–Messgeräten im Labor verwendet werden, kann von  $R\hspace{0.05cm}' \approx 0$ und $G\hspace{0.05cm}' \approx 0$  ausgegangen werden. Man spricht dann von einer  '''verlustlosen Leitung'''.  Für eine solche vereinfachen sich die obigen Gleichungen:
	*Dämpfungsmaß   &~~rArr~~;   ~~Dämpfungsfunktion~~  $a~~(f)$~~  ~~pro Länge~~  $l$:		*'''Dämpfungsmaß''':       $($Bitte beachten Sie den Unterschied zwischen  "a"  and  "alpha"$)$
	:$$\alpha(f) = a(f)/l = 0\hspace{0.05cm}.$$		:$$\alpha(f) = \frac{\text{Dämpfungsfunktion }\ a(f)} {\text{Leitungslänge }\ l } = 0\hspace{0.05cm}.$$
	*Phasenmaß ~~  ⇒   Phasenfunktion  $b(f)$  pro Länge  $l$~~:		*'''Phasenmaß''':
	:$$\beta(f) = b(f)/l = 2\pi \cdot f \cdot \sqrt{L\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.05cm}' }\hspace{0.05cm}, $$		:$$\beta(f) = \frac{\text{Phasenfunktion }\ b(f)} {\text{Leitungslänge }\ l } = 2\pi \cdot f \cdot \sqrt{L\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.05cm}' }\hspace{0.05cm}, $$
	*Wellenwiderstand:		*Wellenwiderstand:
	:$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{ {L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.05cm}'} }\hspace{0.05cm}.$$}}		:$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{ {L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.05cm}'} }\hspace{0.05cm}.$$}}
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	==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==		==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==
	<br>		<br>
	Die Wahl des Abschlusswiderstandes  $Z_2(f) = Z_{\rm W}(f)$  verhindert die Entstehung einer reflektierten Welle am Leitungsende.  Eine exakte Anpassung dieser Widerstände ist aber in der Praxis meist nur in einem sehr eingeschränkten Frequenzbereich möglich, zum Beispiel		Die Wahl des Abschlusswiderstandes  $Z_2(f) = Z_{\rm W}(f)$  verhindert die Entstehung einer reflektierten Welle am Leitungsende.  Eine exakte Anpassung dieser Widerstände ist aber in der Praxis meist nur in einem sehr eingeschränkten Frequenzbereich möglich, zum Beispiel
			[[Datei:P_ID1796__LZI_T_4_1_S4_neu.png \|right\|frame\| Leitung der Länge  $l$  mit Ohmschen Abschlüssen]]

	*wegen der komplizierten Frequenzabhängigkeit des Wellenwiderstandes,		*wegen der komplizierten Frequenzabhängigkeit des Wellenwiderstandes,
	*bei Kabeln unterschiedlicher Bauform entlang einer Verbindung,		*bei Kabeln unterschiedlicher Bauform entlang einer Verbindung,
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	Daher werden in realen Systemen der Innenwiderstand  $R_1$  der Quelle und der Abschlusswiderstand  $R_2$  meist reell und konstant gewählt.  Zum Beispiel wurde bei  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN\|ISDN]]  (Integrated Services Digital Network)  $R_1 = R_2 = 150 \ \rm Ω$  festgelegt.		Daher werden in realen Systemen der Innenwiderstand  $R_1$  der Quelle und der Abschlusswiderstand  $R_2$  meist reell und konstant gewählt.  Zum Beispiel wurde bei  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN\|ISDN]]  (Integrated Services Digital Network)  $R_1 = R_2 = 150 \ \rm Ω$  festgelegt.

	~~[[Datei:P_ID1796__LZI_T_4_1_S4_neu.png \|center\|frame\| Leitung der Länge  $l$  mit Ohmschen Abschlüssen]]~~

	Diese schaltungstechnische Vereinfachung hat folgende Auswirkungen:		Diese schaltungstechnische Vereinfachung hat folgende Auswirkungen:
Zeile 187:		Zeile 187:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Bitte beachten Sie:}$  In den nun folgenden Kapiteln für ~~&bdquo;~~Koaxialkabel~~”~~ und ~~&bdquo;~~Kupfer-Doppelader~~”~~ wird nur noch die Wellendämpfung  $α(f) · l$  weiter betrachtet und damit die Auswirkungen einer Fehleranpassung vernachlässigt.}}		$\text{Bitte beachten Sie:}$  In den nun folgenden Kapiteln für
			*Koaxialkabel und
			*Kupfer-Doppelader

			wird nur noch die Wellendämpfung  $α(f) · l$  weiter betrachtet und damit die Auswirkungen einer Fehleranpassung vernachlässigt.}}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

Guenter am 5. November 2021 um 13:23 Uhr

2021-11-05T13:23:51Z

Guenter am 6. November 2019 um 11:11 Uhr

2019-11-06T11:11:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2019, 13:11 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	*Ebenso ist der  '''Kapazitätsbelag'''  $C\hspace{0.05cm}'$  eine infinitesimal kleine Größe, der ebenso wie  $L'$  nur wenig von der Frequenz abhängt.		*Ebenso ist der  '''Kapazitätsbelag'''  $C\hspace{0.05cm}'$  eine infinitesimal kleine Größe, der ebenso wie  $L'$  nur wenig von der Frequenz abhängt.
	*Der  '''Ableitungsbelag'''  $G\hspace{0.05cm}'$  berücksichtigt die Verluste des Dielektrikums zwischen den Drähten. Er nimmt etwa proportional mit der Frequenz zu.		*Der  '''Ableitungsbelag'''  $G\hspace{0.05cm}'$  berücksichtigt die Verluste des Dielektrikums zwischen den Drähten. Er nimmt etwa proportional mit der Frequenz zu.
	*Den weitaus größten (negativen) Einfluss auf die Signalübertragung hat der  '''Widerstandsbelag'''  $R\hspace{0.05cm}'$, der für hohe Frequenzen aufgrund des [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\|Skineffekts]] nahezu proportional mit der Wurzel der Frequenz ansteigt.		*Den weitaus größten (negativen) Einfluss auf die Signalübertragung hat der  '''Widerstandsbelag'''  $R\hspace{0.05cm}'$, der für hohe Frequenzen aufgrund des so genannten  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\|Skineffekts]]  nahezu proportional mit der Wurzel der Frequenz ansteigt.

Guenter am 6. November 2019 um 11:10 Uhr

2019-11-06T11:10:24Z

Guenter am 6. November 2019 um 10:53 Uhr

2019-11-06T10:53:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2019, 12:53 Uhr
Zeile 110:		Zeile 110:
	*Die resultierende (blaue) Welle  $U(x)$  ergibt sich aus der phasenrichtigen Addition dieser beiden für sich allein nicht sichtbaren Anteile.		*Die resultierende (blaue) Welle  $U(x)$  ergibt sich aus der phasenrichtigen Addition dieser beiden für sich allein nicht sichtbaren Anteile.

	*Mit zunehmendem  $x$  wird  $U(x)$  ebenso wie  $U_→(x)$  wegen der Leitungsdämpfung kleiner. Auch die rücklaufende Welle  $U_←(x)$  wird mit zunehmender Länge ~~gedämpft, allerdings~~ von rechts nach links.}}		*Mit zunehmendem  $x$  wird  $U(x)$  ebenso wie  $U_→(x)$  wegen der Leitungsdämpfung kleiner. Auch die rücklaufende Welle  $U_←(x)$  wird mit zunehmender Länge  (von rechts nach links)  gedämpft.}}

	==Verlustlose und verlustarme Leitungen==		==Verlustlose und verlustarme Leitungen==
	<br>		<br>
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Für sehr kurze Koaxialleitungen, wie sie für Verbindungen von Hochfrequenz–Messgeräten im Labor verwendet werden, kann von  $R\hspace{0.05cm}' \approx 0$ und $G\hspace{0.05cm}' \approx 0$  ausgegangen werden. Man spricht dann von einer '''verlustlosen Leitung'''.		$\text{Definition:}$  Für sehr kurze Koaxialleitungen, wie sie für Verbindungen von Hochfrequenz–Messgeräten im Labor verwendet werden, kann von  $R\hspace{0.05cm}' \approx 0$ und $G\hspace{0.05cm}' \approx 0$  ausgegangen werden. Man spricht dann von einer  '''verlustlosen Leitung'''.  Für eine solche vereinfachen sich die obigen Gleichungen:
			*Dämpfungsmaß   ⇒   Dämpfungsfunktion  $a(f)$  pro Länge  $l$:
	Für eine solche vereinfachen sich die obigen Gleichungen:
	*Dämpfungsmaß   ⇒   Dämpfungsfunktion $a(f)$ pro Länge  $l$:
	:$$\alpha(f) = a(f)/l = 0\hspace{0.05cm}.$$		:$$\alpha(f) = a(f)/l = 0\hspace{0.05cm}.$$
	*~~Phasenfunktion~~   ⇒   Phasenfunktion $b(f)$ pro Länge  $l$:		*Phasenmaß   ⇒   Phasenfunktion  $b(f)$  pro Länge  $l$:
	:$$\beta(f) = 2\pi \cdot f \cdot \sqrt{L\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.05cm}' }\hspace{0.05cm}, $$		:$$\beta(f) = b(f)/l = 2\pi \cdot f \cdot \sqrt{L\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.05cm}' }\hspace{0.05cm}, $$
	*Wellenwiderstand:		*Wellenwiderstand:
	:$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{ {L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.05cm}'} }\hspace{0.05cm}.$$}}		:$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{ {L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.05cm}'} }\hspace{0.05cm}.$$}}


	Sind  $L\hspace{0.05cm}'$  und  $C\hspace{0.~~05cm~~}'$  im betrachteten Frequenzbereich konstant, so ist der (reelle) Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}(f)=Z_{\rm W}$  ebenfalls frequenzunabhängig und das Phasenmaß  $β(f)$  proportional zur Frequenz.		Sind  $L\hspace{0.05cm}'$  und  $C\hspace{0.08cm}'$  im betrachteten Frequenzbereich konstant, so ist der (reelle) Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}(f)=Z_{\rm W}$  ebenfalls frequenzunabhängig und das Phasenmaß  $β(f)$  proportional zur Frequenz.
	*Das bedeutet, dass eine verlustlose Leitung stets verzerrungsfrei ist.		*Das bedeutet, dass eine verlustlose Leitung stets verzerrungsfrei ist.
	*Das Ausgangssignal weist gegenüber dem Eingangssignal lediglich eine Laufzeit auf.		*Das Ausgangssignal weist gegenüber dem Eingangssignal lediglich eine Laufzeit auf.
Zeile 134:		Zeile 132:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Man spricht ~~in diesem Fall~~ von einer '''verlustarmen Leitung''', wenn die Leitung etwas länger ist, aber noch nicht als lang bezeichnet werden kann. }}		Man spricht von einer  '''verlustarmen Leitung''', wenn die Leitung etwas länger ist, aber noch nicht als lang bezeichnet werden kann. }}


	Die angegebene Formel für das Dämpfungsmaß  $\alpha(f)$  soll nun für den nicht ganz der Wirklichkeit entsprechenden Fall konstanter Leitungsbeläge ausgewertet werden.		Die angegebene Formel für das Dämpfungsmaß  $\alpha(f)$  soll nun für den nicht ganz der Wirklichkeit entsprechenden Fall konstanter Leitungsbeläge ausgewertet werden.
	*Oberhalb einer '''charakteristischen Frequenz'''  $f_∗$, die von  $R\hspace{0.05cm}', \ L\hspace{0.05cm}', \ G\hspace{0.~~05cm~~}'$  und  $C\hspace{0.~~05cm~~}'$ abhängt, kann  $R\hspace{0.05cm}'$  als sehr klein gegenüber  $ωL\hspace{0.05cm}'$  und $G\hspace{0.05cm}'$  als sehr klein gegenüber  $ωC\hspace{0.~~05cm~~}'$  angenommen werden. Damit ergibt sich die Näherungsformel, die häufig als '''schwache Dämpfung''' bezeichnet wird:		*Oberhalb einer  '''charakteristischen Frequenz'''  $f_∗$, die von  $R\hspace{0.05cm}', \ L\hspace{0.05cm}', \ G\hspace{0.08cm}'$  und  $C\hspace{0.08cm}'$ abhängt, kann  $R\hspace{0.05cm}'$  als sehr klein gegenüber  $ωL\hspace{0.05cm}'$  und $G\hspace{0.05cm}'$  als sehr klein gegenüber  $ωC\hspace{0.08cm}'$  angenommen werden. Damit ergibt sich die Näherungsformel, die häufig als  '''schwache Dämpfung'''  bezeichnet wird:
	:$$\alpha_{_{ {\rm I} } }(f) = {1}/{2} \cdot \left [R\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{C\hspace{0.05cm}'}/{ L\hspace{0.05cm}'} } + G\hspace{0.~~05cm~~}' \cdot \sqrt{{L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.~~05cm~~}'} }\right ] \hspace{0.05cm}.$$		:$$\alpha_{_{ {\rm I} } }(f) = {1}/{2} \cdot \left [R\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{C\hspace{0.05cm}'}/{ L\hspace{0.05cm}'} } + G\hspace{0.08cm}' \cdot \sqrt{{L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.08cm}'} }\right ] \hspace{0.05cm}.$$

	*Für kleine Frequenzen  $(f < f_∗)$  ist dagegen  $R\hspace{0.05cm}'$  sehr viel größer als  $ωL\hspace{0.05cm}'$  und  $G\hspace{0.~~05cm~~}'$  sehr viel größer als  $ ωC\hspace{0.~~05cm~~}'$  zu berücksichtigen und man erhält eine zweite obere Schranke, die man in der Literatur oft als '''starke Dämpfung''' bezeichnet:		*Für kleine Frequenzen  $(f < f_∗)$  ist dagegen  $R\hspace{0.05cm}'$  sehr viel größer als  $ωL\hspace{0.05cm}'$  und  $G\hspace{0.08cm}'$  sehr viel größer als  $ ωC\hspace{0.08cm}'$  zu berücksichtigen und man erhält eine zweite obere Schranke, die man in der Literatur oft als  '''starke Dämpfung'''  bezeichnet:
	:$$\alpha_{_{ {\rm II} } }(f) = \sqrt{ 1/2 \cdot \omega \cdot {R\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.~~05cm~~}'} }\hspace{0.1cm} \bigg \|_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$		[[Datei:P_ID1795__LZI_T_4_1_S3_kleiner_neu.png \|frame\| Dämpfungsmaß  $α(f)$  und Schranken \| rechts]]
			:$$\alpha_{_{ {\rm II} } }(f) = \sqrt{ 1/2 \cdot \omega \cdot {R\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.08cm}'} }\hspace{0.1cm} \bigg \|_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$

	~~[[Datei:P_ID1795__LZI_T_4_1_S3_kleiner_neu.png \|frame\| Dämpfungsmaß  $α(f)$  und Schranken \| rechts]]~~		Die Grafik zeigt das Dämpfungsmaß  $α(f)$  bei konstanten Leitungsbelägen nach der exakten  (aber komplizierteren)  Formel und die beiden Schranken  $α_{\rm I}(f)$  und  $α_{\rm II}(f)$.
	Die Grafik zeigt das Dämpfungsmaß  $α(f)$  bei konstanten Leitungsbelägen nach der exakten, aber ~~komplizierten~~ Formel und die beiden Schranken  $α_{\rm I}(f)$  und  $α_{\rm II}(f)$.

	Man erkennt aus dieser Darstellung:		Man erkennt aus dieser Darstellung:
	*Sowohl  $α_{\rm I}(f)$  als auch  $α_{\rm II}(f)$  sind obere Schranken für  $α(f)$.		*Sowohl  $α_{\rm I}(f)$  als auch  $α_{\rm II}(f)$  sind obere Schranken für  $α(f)$.
	*Die charakteristische Frequenz  $f_∗$  ist der Schnittpunkt von  $α_{\rm I}(f)$  und  $α_{\rm II}(f)$.		*Die charakteristische Frequenz  $f_∗$  ist der Schnittpunkt von  $α_{\rm I}(f)$  und  $α_{\rm II}(f)$.
	*Für  $f \gg f_∗$  gilt  $α(f) ≈ α_{\rm I}(f)$, für  $f \ll f_∗$  dagegen  $α(f) ≈ α_{\rm II}(f)$.		*Für  $f \gg f_∗$  gilt  $α(f) ≈ α_{\rm I}(f)$,  für  $f \ll f_∗$  dagegen  $α(f) ≈ α_{\rm II}(f)$.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==		==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==

Guenter am 6. November 2019 um 10:36 Uhr

2019-11-06T10:36:44Z

Änderungen zeigen

Guenter am 28. November 2018 um 14:13 Uhr

2018-11-28T14:13:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2018, 16:13 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:
	==Wellenwiderstand und Reflexionen==		==Wellenwiderstand und Reflexionen==
	<br>		<br>
	Wir betrachten ~~nun~~ eine homogene Leitung der Länge  $l$, an dessen Eingang eine harmonische Schwingung  $U_0(f)$  mit der Frequenz $f$ anliegt.		Wir betrachten eine homogene Leitung der Länge  $l$, an dessen Eingang eine harmonische Schwingung  $U_0(f)$  mit der Frequenz $f$ anliegt.
	*Der Sender besitzt den Innenwiderstand  $Z_1$, der Empfänger den Eingangswiderstand  $Z_2$ (gleichzeitig Abschlusswiderstand der Leitung).		*Der Sender besitzt den Innenwiderstand  $Z_1$, der Empfänger den Eingangswiderstand  $Z_2$ (gleichzeitig Abschlusswiderstand der Leitung).
	*Wir gehen vereinfachend davon aus, dass  $Z_1$  und  $Z_2$  reelle Widerstände sind.		*Wir gehen vereinfachend davon aus, dass  $Z_1$  und  $Z_2$  reelle Widerstände sind.

Guenter am 28. November 2018 um 14:12 Uhr

2018-11-28T14:12:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2021, 15:23 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==		== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
	<br>		<br>
	Ein Sonderfall kausaler und zeitinvarianter Systeme sind elektrische Leitungen. Hier muss aufgrund der Hilbert–Transformation stets von einem komplexwertigen Frequenzgang  $H(f)$  und stark unsymmetrischen Impulsantworten  $h(t)$  ausgegangen werden.		Ein Sonderfall kausaler und zeitinvarianter Systeme sind elektrische Leitungen.  Hier muss aufgrund der Hilbert–Transformation stets von einem komplexwertigen Frequenzgang  $H(f)$  und stark unsymmetrischen Impulsantworten  $h(t)$  ausgegangen werden.

	Das vierte Kapitel bringt eine zusammenfassende Darstellung leitungsgebundener Übertragungskanäle, im Einzelnen		Das vierte Kapitel bringt eine zusammenfassende Darstellung  »leitungsgebundener Übertragungskanäle«,  im Einzelnen

	*wichtige Ergebnisse und Beschreibungsgrößen der Leitungstheorie, insbesondere Leitungsbeläge, Übertragungsmaß, Dämpfungsmaß, Phasenmaß, Wellenwiderstand und die Betriebsdämpfung zur Berücksichtigung von Fehlanpassungen und Reflexionen,		*wichtige  »Ergebnisse und Beschreibungsgrößen der Leitungstheorie«,  insbesondere Leitungsbeläge, Übertragungsmaß, Dämpfungsmaß, Phasenmaß, Wellenwiderstand und die Betriebsdämpfung zur Berücksichtigung von Fehlanpassungen und Reflexionen,
	*die Frequenzgänge und die Impulsantworten von Koaxialkabeln, bei denen aufgrund der guten Schirmung alle anderen Störungen gegenüber dem Thermischen Rauschen (gaußverteilt und weiß) vernachlässigbar sind, und		*die  »Frequenzgänge und die Impulsantworten von Koaxialkabeln«,  bei denen aufgrund der guten Schirmung alle anderen Störungen gegenüber dem Thermischen Rauschen  (gaußverteilt und weiß)  vernachlässigbar sind,  und
	*die Beschreibung symmetrischer Kupferleitungen, die das wichtigste Übertragungsmedium im Zugangsnetz von Telekommunikationssystemen darstellen. Da viele Doppeladern in einem Kabel parallel laufen, kommt es aufgrund kapazitiver und induktiver Kopplungen zu Nebensprechen.		*die Beschreibung  »symmetrischer Kupferleitungen«,  die das wichtigste Übertragungsmedium im  »Zugangsnetz von Telekommunikationssystemen«  darstellen.  Da viele Doppeladern in einem Kabel parallel laufen,  kommt es hier aufgrund kapazitiver und induktiver Kopplungen zu Nebensprechen.


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	==Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsabschnitts==		==Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsabschnitts==
	<br>		<br>
	Zur Herleitung der Leitungsgleichungen wird zunächst ein sehr kurzer Leitungsabschnitt der Länge  ${\rm d}x$  betrachtet, so dass sich die Werte für Spannung und Strom am Leitungsanfang  $(U$  bzw.  $I$  bei  $x)$  und Leitungsende  $(U + {\rm d}U$  sowie  $I + {\rm d}I$  bei  $x + {\rm d}x)$  nur geringfügig unterscheiden. Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Modell.		Zur Herleitung der Leitungsgleichungen wird zunächst ein sehr kurzer Leitungsabschnitt der Länge  ${\rm d}x$  betrachtet,  so dass sich die Werte für Spannung und Strom am Leitungsanfang  $(U$  bzw.  $I$  bei  $x)$  und Leitungsende  $(U + {\rm d}U$  sowie  $I + {\rm d}I$  bei  $x + {\rm d}x)$  nur geringfügig unterscheiden.  Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Modell.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Oder anders ausgedrückt:}$		$\text{Oder anders ausgedrückt:}$

	Die Leitungslänge  ${\rm d}x$  sei sehr klein gegenüber der Wellenlänge  $\lambda$  der sich entlang der Leitung ausbreitenden elektromagnetischen Welle, die sich ergibt, da		Die Leitungslänge  ${\rm d}x$  sei sehr klein gegenüber der Wellenlänge  $\lambda$  der sich entlang der Leitung ausbreitenden elektromagnetischen Welle,  die sich ergibt,  da
	*mit dem Strom ein magnetisches Feld verbunden ist,		*mit dem Strom ein magnetisches Feld verbunden ist,
	*die Spannung zwischen den Leitern ein elektrisches Feld bewirkt. }}		*die Spannung zwischen den Leitern ein elektrisches Feld bewirkt. }}
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	[[Datei:P_ID1792__LZI_T_4_1_S1_neu.png \|right\|frame\| Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsabschnitts]]		[[Datei:P_ID1792__LZI_T_4_1_S1_neu.png \|right\|frame\| Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsabschnitts]]
	Alle infinitesimalen „Bauelemente” im rechts skizzierten Ersatzschaltbild sind bei homogenen Leitungen ortsunabhängig:		Alle infinitesimalen „Bauelemente” im rechts skizzierten Ersatzschaltbild sind bei homogenen Leitungen ortsunabhängig:
	*Die Induktivität des betrachteten Leitungsabschnitts beträgt  $L\hspace{0.05cm}' · {\rm d}x$, wobei man  $L'$  als  '''Induktivitätsbelag'''  bezeichnet.		*Die Induktivität des betrachteten Leitungsabschnitts beträgt  $L\hspace{0.05cm}' · {\rm d}x$,  wobei man  $L'$  als  '''Induktivitätsbelag'''  bezeichnet.
	*Ebenso ist der  '''Kapazitätsbelag'''  $C\hspace{0.05cm}'$  eine infinitesimal kleine Größe, der ebenso wie  $L'$  nur wenig von der Frequenz abhängt.		*Ebenso ist der  '''Kapazitätsbelag'''  $C\hspace{0.05cm}'$  eine infinitesimal kleine Größe,  der ebenso wie  $L'$  nur wenig von der Frequenz abhängt.
	*Der  '''Ableitungsbelag'''  $G\hspace{0.05cm}'$  berücksichtigt die Verluste des Dielektrikums zwischen den Drähten. Er nimmt etwa proportional mit der Frequenz zu.		*Der  '''Ableitungsbelag'''  $G\hspace{0.05cm}'$  berücksichtigt die Verluste des Dielektrikums zwischen den Drähten.  Er nimmt etwa proportional mit der Frequenz zu.
	*Den weitaus größten (negativen) Einfluss auf die Signalübertragung hat der  '''Widerstandsbelag'''  $R\hspace{0.05cm}'$, der für hohe Frequenzen aufgrund des so genannten  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\|Skineffekts]]  nahezu proportional mit der Wurzel der Frequenz ansteigt.		*Den weitaus größten  (negativen)  Einfluss auf die Signalübertragung hat der  '''Widerstandsbelag'''  $R\hspace{0.05cm}'$,  der für hohe Frequenzen aufgrund des so genannten  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\|Skineffekts]]  nahezu proportional mit der Wurzel der Frequenz ansteigt.


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	:$$ U = I \cdot (R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}') \cdot {\rm d}x + (U + {\rm d}U)\hspace{0.05cm},$$		:$$ U = I \cdot (R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}') \cdot {\rm d}x + (U + {\rm d}U)\hspace{0.05cm},$$
	:$$ I = (U + {\rm d}U) \cdot (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.05cm}') \cdot {\rm d}x + (I + {\rm d}I)\hspace{0.05cm}. $$		:$$ I = (U + {\rm d}U) \cdot (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.05cm}') \cdot {\rm d}x + (I + {\rm d}I)\hspace{0.05cm}. $$
	Für sehr kurze Leitungsabschnitte  $($infinitesimal kleines  ${\rm d}x)$  und bei Vernachlässigung der kleinen Größen zweiter Ordnung  $($zum Beispiel  ${\rm d}U · {\rm d}x)$  kann man nun zwei Differentialquotienten bilden, deren gemeinsame Betrachtung zu einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung führt:		Für sehr kurze Leitungsabschnitte  $($infinitesimal kleines  ${\rm d}x)$  und bei Vernachlässigung der kleinen Größen zweiter Ordnung  $($zum Beispiel  ${\rm d}U · {\rm d}x)$  kann man nun zwei Differentialquotienten bilden,  deren gemeinsame Betrachtung zu einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung führt:
	:$$\frac{ {\rm d}U}{ {\rm d}x} = - (R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}') \cdot I,\hspace{0.5cm} \frac{ {\rm d}I}{ {\rm d}x} = - (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.05cm}')		:$$\frac{ {\rm d}U}{ {\rm d}x} = - (R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}') \cdot I,\hspace{0.5cm} \frac{ {\rm d}I}{ {\rm d}x} = - (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.05cm}')
	\cdot U\hspace{0.3cm}		\cdot U\hspace{0.3cm}
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	:$$U(x) = U_{\rightarrow}(x=0) \cdot {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} + U_{\leftarrow}(x=0) \cdot {\rm e}^{\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} \hspace{0.05cm}.$$		:$$U(x) = U_{\rightarrow}(x=0) \cdot {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} + U_{\leftarrow}(x=0) \cdot {\rm e}^{\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} \hspace{0.05cm}.$$

	Der Spannungsverlauf hängt außer vom Ort  $x$  auch von der Frequenz  $f$  ab, was in der hier angegebenen Gleichung nicht explizit vermerkt ist.		Der Spannungsverlauf hängt außer vom Ort  $x$  auch von der Frequenz  $f$  ab,  was in der hier angegebenen Gleichung nicht explizit vermerkt ist.

	Formelmäßig erfasst wird diese Frequenzabhängigkeit durch das  '''Übertragungsmaß'''		Formelmäßig erfasst wird diese Frequenzabhängigkeit durch das  '''Übertragungsmaß'''
	:$$\gamma(f) = \sqrt{(R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot L\hspace{0.05cm}') \cdot (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot C\hspace{0.05cm}')} = \alpha (f) + {\rm j} \cdot \beta (f)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\gamma(f) = \sqrt{(R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot L\hspace{0.05cm}') \cdot (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot C\hspace{0.05cm}')} = \alpha (f) + {\rm j} \cdot \beta (f)\hspace{0.05cm}.$$

	Die beiden letzten Gleichungen beschreiben gemeinsam den Spannungsverlauf entlang der Leitung, der sich aus der Überlagerung einer in positiver  $x$–Richtung laufenden Welle  $U_→(x)$  und der Welle  $U_←(x)$  in Gegenrichtung zusammensetzt.		Die beiden letzten Gleichungen beschreiben gemeinsam den Spannungsverlauf entlang der Leitung,  der sich aus der Überlagerung einer in positiver  $x$–Richtung laufenden Welle  $U_→(x)$  und der Welle  $U_←(x)$  in Gegenrichtung zusammensetzt.

	*Der Realteil  $α(f)$  des komplexen Übertragungsmaßes  $γ(f)$  dämpft die sich ausbreitende Welle und wird daher  '''Dämpfungsmaß'''  genannt.  Diese stets gerade Funktion   ⇒   $α(–f) = α(f)$  ergibt sich aus obiger  $γ(f)$–Gleichung wie folgt:		*Der Realteil  $α(f)$  des komplexen Übertragungsmaßes  $γ(f)$  dämpft die sich ausbreitende Welle und wird daher  '''Dämpfungsmaß'''  genannt.  Diese stets gerade Funktion   ⇒   $α(–f) = α(f)$  ergibt sich aus obiger  $γ(f)$–Gleichung wie folgt:

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2019, 13:10 Uhr
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	==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==		==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==
	<br>		<br>
	Die Wahl des Abschlusswiderstandes  $Z_2(f) = Z_{\rm W}(f)$  verhindert die Entstehung einer reflektierten Welle am Leitungsende. Eine exakte Anpassung dieser Widerstände ist aber in der Praxis meist nur in einem sehr eingeschränkten Frequenzbereich möglich, zum Beispiel		Die Wahl des Abschlusswiderstandes  $Z_2(f) = Z_{\rm W}(f)$  verhindert die Entstehung einer reflektierten Welle am Leitungsende.  Eine exakte Anpassung dieser Widerstände ist aber in der Praxis meist nur in einem sehr eingeschränkten Frequenzbereich möglich, zum Beispiel
	*wegen der komplizierten Frequenzabhängigkeit des Wellenwiderstandes,		*wegen der komplizierten Frequenzabhängigkeit des Wellenwiderstandes,
	*bei Kabeln unterschiedlicher Bauform entlang einer Verbindung,		*bei Kabeln unterschiedlicher Bauform entlang einer Verbindung,
	*bei Berücksichtigung fertigungsbedingter Toleranzen		*bei Berücksichtigung fertigungsbedingter Toleranzen.


	Daher werden in realen Systemen der Innenwiderstand  $R_1$  der Quelle und der Abschlusswiderstand  $R_2$  meist reell und konstant gewählt. Zum Beispiel wurde bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN\|ISDN]] (Integrated Services Digital Network) $R_1 = R_2 = 150 \ \rm Ω$  festgelegt.		Daher werden in realen Systemen der Innenwiderstand  $R_1$  der Quelle und der Abschlusswiderstand  $R_2$  meist reell und konstant gewählt.  Zum Beispiel wurde bei  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN\|ISDN]]  (Integrated Services Digital Network)  $R_1 = R_2 = 150 \ \rm Ω$  festgelegt.

	[[Datei:P_ID1796__LZI_T_4_1_S4_neu.png \|center\|frame\| Leitung der Länge $l$ mit Ohmschen Abschlüssen]]		[[Datei:P_ID1796__LZI_T_4_1_S4_neu.png \|center\|frame\| Leitung der Länge  $l$  mit Ohmschen Abschlüssen]]

	Diese schaltungstechnische Vereinfachung hat folgende Auswirkungen:		Diese schaltungstechnische Vereinfachung hat folgende Auswirkungen:
	*Der Eingangswiderstand der Leitung aus Sicht der Quelle hängt vom Übertragungsmaß  $γ(f)$, der Leitungslänge  $l$, dem Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}(f)$  sowie dem Abschlusswiderstand  $R_2$  ab:		*Der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f)$  der Leitung aus Sicht der Quelle hängt vom Übertragungsmaß  $γ(f)$, der Leitungslänge  $l$, dem Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}(f)$  sowie dem Abschlusswiderstand  $R_2$  ab:
	:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
	{Z_{\rm W}(f)+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}		{Z_{\rm W}(f)+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
	{\rm mit}\hspace{0.5cm}{\rm tanh}(x) = \frac {{\rm sinh}(x)}{{\rm cosh}(x)} = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C} \hspace{0.05cm}.$$		{\rm mit}\hspace{0.5cm}{\rm tanh}(x) = \frac {{\rm sinh}(x)}{{\rm cosh}(x)} = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C} \hspace{0.05cm}.$$
	*Durch diese schaltungsbedingte Vereinfachung  $(Z_{\rm 2}(f) = R_2)$  kommt es zu Reflexionen am Leitungsende. Diese reduzieren die am Empfänger verfügbare Leistung und erhöhen so die Leitungsdämpfung.		*Durch diese schaltungsbedingte Vereinfachung   ⇒   $Z_{\rm 2}(f) = R_2$  kommt es zu Reflexionen am Leitungsende. Diese reduzieren die am Empfänger verfügbare Leistung und erhöhen so die Leitungsdämpfung.
	*Zur Bewertung eines solchen fehlangepassten Systems wurde die '''Betriebsdämpfung''' (&bdquo;Dämpfung im Betrieb”) wie folgt definiert:		*Zur Bewertung eines solchen fehlangepassten Systems wurde die  '''Betriebsdämpfung'''  (&bdquo;Dämpfung im Betrieb”) wie folgt definiert:
	:$${ a}_{\rm B}(f) \hspace{0.15cm}{\rm in} \hspace{0.15cm}{\rm Neper}\hspace{0.15cm}{\rm (Np)} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {\|U_0(f)\|}{2 \cdot \|U_2(f)\|} \cdot \sqrt{{R_2}/{R_1}}		:$${ a}_{\rm B}(f) \hspace{0.15cm}{\rm in} \hspace{0.15cm}{\rm Neper}\hspace{0.15cm}{\rm (Np)} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {\|U_0(f)\|}{2 \cdot \|U_2(f)\|} \cdot \sqrt{{R_2}/{R_1}}
	= \alpha (f ) \cdot l + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_1(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_2(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|1 - r_1(f) \cdot r_2(f) \cdot {\rm e}^{-\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}\| \hspace{0.05cm}.$$		= \alpha (f ) \cdot l + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_1(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_2(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|1 - r_1(f) \cdot r_2(f) \cdot {\rm e}^{-\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}\| \hspace{0.05cm}.$$
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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Diese Gleichung soll nun anhand des obigen (für ISDN gültigen) Blockschaltbildes diskutiert werden. Wir betrachten dabei den allgemeinen Fall eines fehlangepassten Systems   ⇒   $R_2 ≠ Z_{\rm W}(f)$:		Diese Gleichung soll nun anhand des obigen (für ISDN gültigen) Blockschaltbildes diskutiert werden.  Wir betrachten dabei den allgemeinen Fall eines fehlangepassten Systems   ⇒   $R_2 ≠ Z_{\rm W}(f)$:
	*Die oben definierte Betriebsdämpfung setzt die tatsächliche vom Sender zum Empfänger übertragene Wirkleistung in Bezug zum bestmöglichen Fall (vernachlässigbare Leitungslänge, vollständige Anpassung).		*Die oben definierte Betriebsdämpfung setzt die tatsächliche vom Sender zum Empfänger übertragene Wirkleistung in Bezug zum bestmöglichen Fall (vernachlässigbare Leitungslänge, vollständige Anpassung).
	*Bei Widerstandsanpassung ist die Betriebsdämpfung gleich der '''Wellendämpfung'''~~, das heißt, in~~ diesem anzustrebenden Fall ist nur der erste Term obiger Gleichung wirksam:		*Bei Widerstandsanpassung ist die Betriebsdämpfung gleich der  '''Wellendämpfung'''.  In diesem anzustrebenden Fall ist nur der erste Term obiger Gleichung wirksam:
	:$$a_{\rm B}(f) = \alpha (f ) \cdot l \hspace{0.05cm}.$$		:$$a_{\rm B}(f) = \alpha (f ) \cdot l \hspace{0.05cm}.$$
	*Der zweite und der dritte Term berücksichtigen die Leistungsverluste durch Reflexion an den Übergängen Sender   →   Leitung und Leitung  →  Empfänger. Für diese beiden '''Stoßdämpfungen''' gilt:		*Der zweite und der dritte Term berücksichtigen die Leistungsverluste durch Reflexion an den Übergängen Sender   →   Leitung und Leitung  →  Empfänger. <br>Für diese beiden  '''Stoßdämpfungen'''  gilt:
	:$$q_1(f)= \frac {R_1 + Z_{\rm W}(f)}{2 \cdot \sqrt{R_1 \cdot Z_{\rm W}(f)} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}q_2(f)= \frac {R_2 + Z_{\rm W}(f)}{2 \cdot \sqrt{R_2 \cdot Z_{\rm W}(f)} } \hspace{0.05cm}.$$		:$$q_1(f)= \frac {R_1 + Z_{\rm W}(f)}{2 \cdot \sqrt{R_1 \cdot Z_{\rm W}(f)} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}q_2(f)= \frac {R_2 + Z_{\rm W}(f)}{2 \cdot \sqrt{R_2 \cdot Z_{\rm W}(f)} } \hspace{0.05cm}.$$
	*Die '''Wechselwirkungsdämpfung''' (vierter Term) beschreibt die Auswirkung einer mehrfach reflektierten Welle, die sich – je nach Leitungslänge – dem Nutzsignal am Empfänger konstruktiv oder destruktiv überlagert. Für ~~die~~ Reflexionsfaktoren gilt:		*Die  '''Wechselwirkungsdämpfung'''  (vierter Term) beschreibt die Auswirkung einer mehrfach reflektierten Welle, die sich – je nach Leitungslänge – dem Nutzsignal am Empfänger konstruktiv oder destruktiv überlagert.  Für diese Reflexionsfaktoren gilt:
	:$$r_1(f)= \frac {R_1 - Z_{\rm W}(f)}{R_1 + Z_{\rm W}(f)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}r_2(f)= \frac {R_2 - Z_{\rm W}(f)}{R_2 + Z_{\rm W}(f)} \hspace{0.05cm}.$$}}		:$$r_1(f)= \frac {R_1 - Z_{\rm W}(f)}{R_1 + Z_{\rm W}(f)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}r_2(f)= \frac {R_2 - Z_{\rm W}(f)}{R_2 + Z_{\rm W}(f)} \hspace{0.05cm}.$$

			Die verschiedenen Anteile der Betriebsdämpfung  $a_{\rm B}(f)$  werden in der  [[Aufgaben:4.3_Betriebsdämpfung\|Aufgabe 4.3]]  für ein praxisrelevantes Beispiel berechnet.}}

	~~:Die verschiedenen Anteile der Betriebsdämpfung $a_{\rm B}(f)$ werden in der [[Aufgaben:4.3_Betriebsdämpfung\|Aufgabe 4.3]] für ein praktisches Beispiel berechnet.~~

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2018, 16:12 Uhr
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	==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==		==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==
	<br>		<br>
	Die Wahl des Abschlusswiderstandes $Z_2(f) = Z_{\rm W}(f)$ verhindert die Entstehung einer reflektierten Welle am Leitungsende. Eine exakte Anpassung dieser Widerstände ist aber in der Praxis meist nur in einem sehr eingeschränkten Frequenzbereich möglich, zum Beispiel		Die Wahl des Abschlusswiderstandes  $Z_2(f) = Z_{\rm W}(f)$  verhindert die Entstehung einer reflektierten Welle am Leitungsende. Eine exakte Anpassung dieser Widerstände ist aber in der Praxis meist nur in einem sehr eingeschränkten Frequenzbereich möglich, zum Beispiel
	*wegen der komplizierten Frequenzabhängigkeit des Wellenwiderstandes,		*wegen der komplizierten Frequenzabhängigkeit des Wellenwiderstandes,
	*bei Kabeln unterschiedlicher Bauform entlang einer Verbindung,		*bei Kabeln unterschiedlicher Bauform entlang einer Verbindung,
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	Daher werden in realen Systemen der Innenwiderstand der Quelle und der Abschlusswiderstand meist reell und konstant gewählt: Zum Beispiel wurde ~~für~~ [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN\|ISDN]] (Integrated Services Digital Network) ~~für den Innenwiderstand~~ $R_1~~$ und den Abschlusswiderstand $~~R_2~~$ jeweils $~~150 \ \rm Ω$ festgelegt.		Daher werden in realen Systemen der Innenwiderstand  $R_1$  der Quelle und der Abschlusswiderstand  $R_2$  meist reell und konstant gewählt. Zum Beispiel wurde bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN\|ISDN]] (Integrated Services Digital Network) $R_1 = R_2 = 150 \ \rm Ω$  festgelegt.

	[[Datei:P_ID1796__LZI_T_4_1_S4_neu.png \|center\|frame\| Leitung der Länge $l$ mit Ohmschen Abschlüssen]]		[[Datei:P_ID1796__LZI_T_4_1_S4_neu.png \|center\|frame\| Leitung der Länge $l$ mit Ohmschen Abschlüssen]]

	~~Dies~~ hat folgende Auswirkungen:		Diese schaltungstechnische Vereinfachung hat folgende Auswirkungen:
	*Der Eingangswiderstand der Leitung aus Sicht der Quelle hängt vom Übertragungsmaß $γ(f)$, der Leitungslänge $l$, dem Wellenwiderstand $Z_{\rm W}(f)$ sowie dem Abschlusswiderstand $R_2$ ab:		*Der Eingangswiderstand der Leitung aus Sicht der Quelle hängt vom Übertragungsmaß  $γ(f)$, der Leitungslänge  $l$, dem Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}(f)$  sowie dem Abschlusswiderstand  $R_2$  ab:
	:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
	{Z_{\rm W}(f)+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}		{Z_{\rm W}(f)+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
	{\rm mit}\hspace{0.5cm}{\rm tanh}(x) = \frac {{\rm sinh}(x)}{{\rm cosh}(x)} = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C} \hspace{0.05cm}.$$		{\rm mit}\hspace{0.5cm}{\rm tanh}(x) = \frac {{\rm sinh}(x)}{{\rm cosh}(x)} = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C} \hspace{0.05cm}.$$
	*Durch diese schaltungsbedingte Vereinfachung $(Z_{\rm 2}(f) = R_2)$ kommt es zu Reflexionen am Leitungsende. Diese reduzieren die am Empfänger verfügbare Leistung und erhöhen so die Leitungsdämpfung.		*Durch diese schaltungsbedingte Vereinfachung  $(Z_{\rm 2}(f) = R_2)$  kommt es zu Reflexionen am Leitungsende. Diese reduzieren die am Empfänger verfügbare Leistung und erhöhen so die Leitungsdämpfung.
	*Zur Bewertung eines solchen fehlangepassten Systems wurde die '''Betriebsdämpfung''' (Dämpfung im Betrieb) wie folgt definiert:		*Zur Bewertung eines solchen fehlangepassten Systems wurde die '''Betriebsdämpfung''' (&bdquo;Dämpfung im Betrieb”) wie folgt definiert:
	:$${ a}_{\rm B}(f) \hspace{0.15cm}{\rm in} \hspace{0.15cm}{\rm Neper}\hspace{0.15cm}{\rm (Np)} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {\|U_0(f)\|}{2 \cdot \|U_2(f)\|} \cdot \sqrt{{R_2}/{R_1}}		:$${ a}_{\rm B}(f) \hspace{0.15cm}{\rm in} \hspace{0.15cm}{\rm Neper}\hspace{0.15cm}{\rm (Np)} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {\|U_0(f)\|}{2 \cdot \|U_2(f)\|} \cdot \sqrt{{R_2}/{R_1}}
	= \alpha (f ) \cdot l + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_1(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_2(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|1 - r_1(f) \cdot r_2(f) \cdot {\rm e}^{-\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}\| \hspace{0.05cm}.$$		= \alpha (f ) \cdot l + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_1(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|q_2(f)\| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}\|1 - r_1(f) \cdot r_2(f) \cdot {\rm e}^{-\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}\| \hspace{0.05cm}.$$

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Diese Gleichung soll nun anhand des obigen (für ISDN gültigen) Blockschaltbildes diskutiert werden. Wir betrachten dabei den allgemeinen Fall eines fehlangepassten Systems   ⇒   $R_2 ≠ Z_{\rm W}(f)$:		Diese Gleichung soll nun anhand des obigen (für ISDN gültigen) Blockschaltbildes diskutiert werden. Wir betrachten dabei den allgemeinen Fall eines fehlangepassten Systems   ⇒   $R_2 ≠ Z_{\rm W}(f)$:
	*Die oben definierte Betriebsdämpfung setzt die tatsächliche vom Sender zum Empfänger übertragene Wirkleistung in Bezug zum bestmöglichen Fall (vernachlässigbare Leitungslänge, vollständige Anpassung).		*Die oben definierte Betriebsdämpfung setzt die tatsächliche vom Sender zum Empfänger übertragene Wirkleistung in Bezug zum bestmöglichen Fall (vernachlässigbare Leitungslänge, vollständige Anpassung).
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Bitte beachten Sie:}$  In den nun folgenden Kapiteln für &bdquo;Koaxialkabel” und &bdquo;Kupfer-Doppelader” wird nur noch die Wellendämpfung $α(f) · l$ weiter betrachtet und damit die Auswirkungen einer Fehleranpassung vernachlässigt.}}		$\text{Bitte beachten Sie:}$  In den nun folgenden Kapiteln für &bdquo;Koaxialkabel” und &bdquo;Kupfer-Doppelader” wird nur noch die Wellendämpfung  $α(f) · l$  weiter betrachtet und damit die Auswirkungen einer Fehleranpassung vernachlässigt.}}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==