Lineare zeitinvariante Systeme/Einige Ergebnisse der Leitungstheorie - Versionsgeschichte

Guenter am 5. November 2021 um 16:43 Uhr

2021-11-05T16:43:36Z

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp; Für sehr kurze Koaxialleitungen, wie sie für Verbindungen von Hochfrequenz–Messgeräten im Labor verwendet werden, kann von &nbsp;$R\hspace{0.05cm}' \approx 0$ und $G\hspace{0.05cm}' \approx 0$&nbsp; ausgegangen werden. Man spricht dann von einer&nbsp; '''verlustlosen Leitung'''. &nbsp;Für eine solche vereinfachen sich die obigen Gleichungen:
-*Dämpfungsmaß &nbsp; &rArr; &nbsp;  Dämpfungsfunktion&nbsp; $a(f)$&nbsp; pro Länge &nbsp;$l$:
+*'''Dämpfungsmaß''': &nbsp;  &nbsp;  &nbsp;  $($Bitte beachten Sie den Unterschied zwischen&nbsp; "a"&nbsp; and&nbsp; "alpha"$)$
-:$$\alpha(f)  = a(f)/l = 0\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\alpha(f) = \frac{\text{Dämpfungsfunktion }\ a(f)} {\text{Leitungslänge }\ l } = 0\hspace{0.05cm}.$$
-*Phasenmaß &nbsp; &rArr; &nbsp;  Phasenfunktion&nbsp; $b(f)$&nbsp; pro Länge &nbsp;$l$:
+*'''Phasenmaß''':
-:$$\beta(f)  = b(f)/l =  2\pi \cdot f \cdot \sqrt{L\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.05cm}' }\hspace{0.05cm}, $$
+:$$\beta(f)  = \frac{\text{Phasenfunktion }\ b(f)} {\text{Leitungslänge }\ l } =  2\pi \cdot f \cdot \sqrt{L\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.05cm}' }\hspace{0.05cm}, $$
 *Wellenwiderstand:
 :$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{ {L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.05cm}'} }\hspace{0.05cm}.$$}}
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 ==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==
 <br>
 Die Wahl des Abschlusswiderstandes &nbsp;$Z_2(f) = Z_{\rm W}(f)$&nbsp; verhindert die Entstehung einer reflektierten Welle am Leitungsende.&nbsp; Eine exakte Anpassung dieser Widerstände ist aber in der Praxis meist nur in einem sehr eingeschränkten Frequenzbereich möglich, zum Beispiel
 *wegen der komplizierten Frequenzabhängigkeit des Wellenwiderstandes,
 *bei Kabeln unterschiedlicher Bauform entlang einer Verbindung,
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 Daher werden in realen Systemen der Innenwiderstand &nbsp;$R_1$&nbsp; der Quelle und der Abschlusswiderstand &nbsp;$R_2$&nbsp; meist  reell und konstant gewählt.&nbsp; Zum Beispiel wurde bei&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]&nbsp; (Integrated Services Digital Network)&nbsp; $R_1 = R_2 = 150 \ \rm Ω$&nbsp; festgelegt.
 Diese schaltungstechnische Vereinfachung hat folgende Auswirkungen:
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp; In den nun folgenden Kapiteln für &bdquo;Koaxialkabel&rdquo; und &bdquo;Kupfer-Doppelader&rdquo; wird nur noch die Wellendämpfung&nbsp; $α(f) · l$&nbsp; weiter betrachtet und damit die Auswirkungen einer Fehleranpassung vernachlässigt.}}
+$\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp; In den nun folgenden Kapiteln für
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 == # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Ein Sonderfall kausaler und zeitinvarianter Systeme sind elektrische Leitungen. Hier muss aufgrund der Hilbert–Transformation stets von einem komplexwertigen Frequenzgang &nbsp;$H(f)$&nbsp; und stark unsymmetrischen Impulsantworten &nbsp;$h(t)$&nbsp; ausgegangen werden.
+Ein Sonderfall kausaler und zeitinvarianter Systeme sind elektrische Leitungen.&nbsp; Hier muss aufgrund der Hilbert–Transformation stets von einem komplexwertigen Frequenzgang &nbsp;$H(f)$&nbsp; und stark unsymmetrischen Impulsantworten &nbsp;$h(t)$&nbsp; ausgegangen werden.
-Das vierte Kapitel bringt eine zusammenfassende Darstellung leitungsgebundener Übertragungskanäle, im Einzelnen
+Das vierte Kapitel bringt eine zusammenfassende Darstellung&nbsp; &raquo;leitungsgebundener Übertragungskanäle&laquo;,&nbsp; im Einzelnen
-*wichtige Ergebnisse und Beschreibungsgrößen der Leitungstheorie, insbesondere Leitungsbeläge, Übertragungsmaß, Dämpfungsmaß, Phasenmaß, Wellenwiderstand und die Betriebsdämpfung zur Berücksichtigung von Fehlanpassungen und Reflexionen,
+*wichtige&nbsp; &raquo;Ergebnisse und Beschreibungsgrößen der Leitungstheorie&laquo;,&nbsp; insbesondere Leitungsbeläge, Übertragungsmaß, Dämpfungsmaß, Phasenmaß, Wellenwiderstand und die Betriebsdämpfung zur Berücksichtigung von Fehlanpassungen und Reflexionen,
-*die Frequenzgänge und die Impulsantworten von Koaxialkabeln, bei denen aufgrund der guten Schirmung alle anderen Störungen gegenüber dem Thermischen Rauschen (gaußverteilt und weiß) vernachlässigbar sind, und
+*die&nbsp; &raquo;Frequenzgänge und die Impulsantworten von Koaxialkabeln&laquo;,&nbsp; bei denen aufgrund der guten Schirmung alle anderen Störungen gegenüber dem Thermischen Rauschen&nbsp; (gaußverteilt und weiß)&nbsp; vernachlässigbar sind,&nbsp; und
-*die Beschreibung symmetrischer Kupferleitungen, die das wichtigste Übertragungsmedium im Zugangsnetz von Telekommunikationssystemen darstellen. Da viele Doppeladern in einem Kabel parallel laufen, kommt es aufgrund kapazitiver und induktiver Kopplungen zu Nebensprechen.
+*die Beschreibung&nbsp; &raquo;symmetrischer Kupferleitungen&laquo;,&nbsp; die das wichtigste Übertragungsmedium im&nbsp; &raquo;Zugangsnetz von Telekommunikationssystemen&laquo;&nbsp; darstellen.&nbsp; Da viele Doppeladern in einem Kabel parallel laufen,&nbsp; kommt es hier aufgrund kapazitiver und induktiver Kopplungen zu Nebensprechen.
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 ==Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsabschnitts==
 <br>
-Zur Herleitung der Leitungsgleichungen wird zunächst ein sehr kurzer Leitungsabschnitt der Länge &nbsp;${\rm d}x$&nbsp; betrachtet, so dass sich die Werte für Spannung und Strom am Leitungsanfang &nbsp;$(U$&nbsp; bzw.&nbsp; $I$&nbsp; bei&nbsp; $x)$&nbsp; und Leitungsende &nbsp;$(U + {\rm d}U$&nbsp; sowie &nbsp;$I + {\rm d}I$&nbsp; bei &nbsp;$x + {\rm d}x)$&nbsp; nur geringfügig unterscheiden. Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Modell.
+Zur Herleitung der Leitungsgleichungen wird zunächst ein sehr kurzer Leitungsabschnitt der Länge &nbsp;${\rm d}x$&nbsp; betrachtet,&nbsp; so dass sich die Werte für Spannung und Strom am Leitungsanfang &nbsp;$(U$&nbsp; bzw.&nbsp; $I$&nbsp; bei&nbsp; $x)$&nbsp; und Leitungsende &nbsp;$(U + {\rm d}U$&nbsp; sowie &nbsp;$I + {\rm d}I$&nbsp; bei &nbsp;$x + {\rm d}x)$&nbsp; nur geringfügig unterscheiden.&nbsp; Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Modell.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Oder anders ausgedrückt:}$&nbsp;
-Die Leitungslänge &nbsp;${\rm d}x$&nbsp; sei sehr klein gegenüber der Wellenlänge &nbsp;$\lambda$&nbsp; der sich entlang der Leitung ausbreitenden elektromagnetischen Welle, die sich ergibt, da
+Die Leitungslänge &nbsp;${\rm d}x$&nbsp; sei sehr klein gegenüber der Wellenlänge &nbsp;$\lambda$&nbsp; der sich entlang der Leitung ausbreitenden elektromagnetischen Welle,&nbsp; die sich ergibt,&nbsp; da
 *mit dem Strom ein magnetisches Feld verbunden ist,
 *die Spannung zwischen den Leitern ein elektrisches Feld bewirkt. }}
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 [[Datei:P_ID1792__LZI_T_4_1_S1_neu.png |right|frame| Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsabschnitts]]
 Alle infinitesimalen „Bauelemente” im rechts skizzierten Ersatzschaltbild sind bei homogenen Leitungen ortsunabhängig:
-*Die Induktivität des betrachteten Leitungsabschnitts beträgt &nbsp;$L\hspace{0.05cm}' · {\rm d}x$, wobei man &nbsp;$L'$&nbsp; als&nbsp; '''Induktivitätsbelag'''&nbsp; bezeichnet.
+*Die Induktivität des betrachteten Leitungsabschnitts beträgt &nbsp;$L\hspace{0.05cm}' · {\rm d}x$,&nbsp; wobei man &nbsp;$L'$&nbsp; als&nbsp; '''Induktivitätsbelag'''&nbsp; bezeichnet.
-*Ebenso ist der&nbsp; '''Kapazitätsbelag''' &nbsp;$C\hspace{0.05cm}'$&nbsp; eine infinitesimal kleine Größe, der ebenso wie &nbsp;$L'$&nbsp; nur wenig von der Frequenz abhängt.
+*Ebenso ist der&nbsp; '''Kapazitätsbelag''' &nbsp;$C\hspace{0.05cm}'$&nbsp; eine infinitesimal kleine Größe,&nbsp; der ebenso wie &nbsp;$L'$&nbsp; nur wenig von der Frequenz abhängt.
-*Der&nbsp; '''Ableitungsbelag''' &nbsp;$G\hspace{0.05cm}'$&nbsp; berücksichtigt die Verluste des Dielektrikums zwischen den Drähten. Er nimmt etwa proportional mit der Frequenz zu.
+*Der&nbsp; '''Ableitungsbelag''' &nbsp;$G\hspace{0.05cm}'$&nbsp; berücksichtigt die Verluste des Dielektrikums zwischen den Drähten.&nbsp; Er nimmt etwa proportional mit der Frequenz zu.
-*Den weitaus größten (negativen) Einfluss auf die Signalübertragung hat der&nbsp; '''Widerstandsbelag''' &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, der für hohe Frequenzen aufgrund des so genannten&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skineffekts]]&nbsp;  nahezu proportional mit der Wurzel der Frequenz ansteigt.
+*Den weitaus größten&nbsp; (negativen)&nbsp; Einfluss auf die Signalübertragung hat der&nbsp; '''Widerstandsbelag'''&nbsp; $R\hspace{0.05cm}'$,&nbsp; der für hohe Frequenzen aufgrund des so genannten&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skineffekts]]&nbsp;  nahezu proportional mit der Wurzel der Frequenz ansteigt.
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 :$$ U   =  I \cdot (R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}  \cdot \omega  L\hspace{0.05cm}') \cdot {\rm d}x + (U + {\rm d}U)\hspace{0.05cm},$$
 :$$ I  =  (U + {\rm d}U) \cdot (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j}  \cdot \omega  C\hspace{0.05cm}') \cdot {\rm d}x + (I + {\rm d}I)\hspace{0.05cm}. $$
-Für sehr kurze Leitungsabschnitte&nbsp; $($infinitesimal kleines &nbsp;${\rm d}x)$&nbsp; und bei Vernachlässigung der kleinen Größen zweiter Ordnung&nbsp; $($zum Beispiel &nbsp;${\rm d}U · {\rm d}x)$&nbsp; kann man nun zwei Differentialquotienten bilden, deren gemeinsame Betrachtung zu einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung führt:
+Für sehr kurze Leitungsabschnitte&nbsp; $($infinitesimal kleines &nbsp;${\rm d}x)$&nbsp; und bei Vernachlässigung der kleinen Größen zweiter Ordnung&nbsp; $($zum Beispiel &nbsp;${\rm d}U · {\rm d}x)$&nbsp; kann man nun zwei Differentialquotienten bilden,&nbsp; deren gemeinsame Betrachtung zu einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung führt:
 :$$\frac{ {\rm  d}U}{ {\rm  d}x}  =  - (R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  L\hspace{0.05cm}')  \cdot I,\hspace{0.5cm} \frac{ {\rm  d}I}{ {\rm  d}x}  =  - (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j}  \cdot \omega  C\hspace{0.05cm}')
   \cdot U\hspace{0.3cm}
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 :$$U(x)  =  U_{\rightarrow}(x=0) \cdot  {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x}  + U_{\leftarrow}(x=0) \cdot  {\rm e}^{\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x}   \hspace{0.05cm}.$$
-Der Spannungsverlauf hängt außer vom Ort &nbsp;$x$&nbsp; auch von der Frequenz &nbsp;$f$&nbsp; ab, was in der hier angegebenen Gleichung nicht explizit vermerkt ist.
+Der Spannungsverlauf hängt außer vom Ort &nbsp;$x$&nbsp; auch von der Frequenz &nbsp;$f$&nbsp; ab,&nbsp; was in der hier angegebenen Gleichung nicht explizit vermerkt ist.
 Formelmäßig erfasst wird diese Frequenzabhängigkeit durch das&nbsp; '''Übertragungsmaß'''
 :$$\gamma(f)  =  \sqrt{(R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot 2\pi f \cdot  L\hspace{0.05cm}')  \cdot  (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j}  \cdot  2\pi f \cdot   C\hspace{0.05cm}')} = \alpha (f) + {\rm j}   \cdot \beta (f)\hspace{0.05cm}.$$
-Die beiden letzten Gleichungen beschreiben gemeinsam den Spannungsverlauf entlang der Leitung, der sich aus der Überlagerung einer in positiver &nbsp;$x$–Richtung laufenden Welle &nbsp;$U_→(x)$&nbsp; und der Welle &nbsp;$U_←(x)$&nbsp; in Gegenrichtung zusammensetzt.
+Die beiden letzten Gleichungen beschreiben gemeinsam den Spannungsverlauf entlang der Leitung,&nbsp; der sich aus der Überlagerung einer in positiver &nbsp;$x$–Richtung laufenden Welle &nbsp;$U_→(x)$&nbsp; und der Welle &nbsp;$U_←(x)$&nbsp; in Gegenrichtung zusammensetzt.
 *Der Realteil &nbsp;$α(f)$&nbsp; des komplexen Übertragungsmaßes &nbsp;$γ(f)$&nbsp; dämpft die sich ausbreitende Welle und wird daher&nbsp; '''Dämpfungsmaß'''&nbsp; genannt.&nbsp; Diese stets gerade Funktion &nbsp; &rArr; &nbsp;  $α(–f) = α(f)$&nbsp; ergibt sich aus obiger &nbsp;$γ(f)$–Gleichung wie folgt:

@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 *Ebenso ist der&nbsp; '''Kapazitätsbelag''' &nbsp;$C\hspace{0.05cm}'$&nbsp; eine infinitesimal kleine Größe, der ebenso wie &nbsp;$L'$&nbsp; nur wenig von der Frequenz abhängt.
 *Der&nbsp; '''Ableitungsbelag''' &nbsp;$G\hspace{0.05cm}'$&nbsp; berücksichtigt die Verluste des Dielektrikums zwischen den Drähten. Er nimmt etwa proportional mit der Frequenz zu.
-*Den weitaus größten (negativen) Einfluss auf die Signalübertragung hat der&nbsp; '''Widerstandsbelag''' &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, der für hohe Frequenzen aufgrund des  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skineffekts]]  nahezu proportional mit der Wurzel der Frequenz ansteigt.
+*Den weitaus größten (negativen) Einfluss auf die Signalübertragung hat der&nbsp; '''Widerstandsbelag''' &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, der für hohe Frequenzen aufgrund des so genannten&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skineffekts]]&nbsp;  nahezu proportional mit der Wurzel der Frequenz ansteigt.

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 ==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==
 <br>
-Die Wahl des Abschlusswiderstandes &nbsp;$Z_2(f) = Z_{\rm W}(f)$&nbsp; verhindert die Entstehung einer reflektierten Welle am Leitungsende. Eine exakte Anpassung dieser Widerstände ist aber in der Praxis meist nur in einem sehr eingeschränkten Frequenzbereich möglich, zum Beispiel
+Die Wahl des Abschlusswiderstandes &nbsp;$Z_2(f) = Z_{\rm W}(f)$&nbsp; verhindert die Entstehung einer reflektierten Welle am Leitungsende.&nbsp; Eine exakte Anpassung dieser Widerstände ist aber in der Praxis meist nur in einem sehr eingeschränkten Frequenzbereich möglich, zum Beispiel
 *wegen der komplizierten Frequenzabhängigkeit des Wellenwiderstandes,
 *bei Kabeln unterschiedlicher Bauform entlang einer Verbindung,
-*bei Berücksichtigung fertigungsbedingter Toleranzen
+*bei Berücksichtigung fertigungsbedingter Toleranzen.
-Daher werden in realen Systemen der Innenwiderstand &nbsp;$R_1$&nbsp; der Quelle und der Abschlusswiderstand &nbsp;$R_2$&nbsp; meist  reell und konstant gewählt. Zum Beispiel wurde bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] (Integrated Services Digital Network) $R_1 = R_2 = 150 \ \rm Ω$&nbsp; festgelegt.
+Daher werden in realen Systemen der Innenwiderstand &nbsp;$R_1$&nbsp; der Quelle und der Abschlusswiderstand &nbsp;$R_2$&nbsp; meist  reell und konstant gewählt.&nbsp; Zum Beispiel wurde bei&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]&nbsp; (Integrated Services Digital Network)&nbsp; $R_1 = R_2 = 150 \ \rm Ω$&nbsp; festgelegt.
-[[Datei:P_ID1796__LZI_T_4_1_S4_neu.png |center|frame| Leitung der Länge $l$ mit Ohmschen Abschlüssen]]
+[[Datei:P_ID1796__LZI_T_4_1_S4_neu.png |center|frame| Leitung der Länge&nbsp; $l$&nbsp; mit Ohmschen Abschlüssen]]
 Diese schaltungstechnische Vereinfachung hat folgende Auswirkungen:
-*Der Eingangswiderstand der Leitung aus Sicht der Quelle hängt vom Übertragungsmaß &nbsp;$γ(f)$, der Leitungslänge &nbsp;$l$, dem Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}(f)$&nbsp; sowie dem Abschlusswiderstand &nbsp;$R_2$&nbsp; ab:
+*Der Eingangswiderstand&nbsp; $Z_{\rm E}(f)$&nbsp; der Leitung aus Sicht der Quelle hängt vom Übertragungsmaß &nbsp;$γ(f)$, der Leitungslänge &nbsp;$l$, dem Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}(f)$&nbsp; sowie dem Abschlusswiderstand &nbsp;$R_2$&nbsp; ab:
 :$$Z_{\rm E}(f)  =  Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
   {Z_{\rm W}(f)+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
 {\rm mit}\hspace{0.5cm}{\rm tanh}(x)  =  \frac {{\rm sinh}(x)}{{\rm cosh}(x)} = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C} \hspace{0.05cm}.$$
-*Durch diese schaltungsbedingte Vereinfachung &nbsp;$(Z_{\rm 2}(f) = R_2)$&nbsp; kommt es zu Reflexionen am Leitungsende. Diese reduzieren die am Empfänger verfügbare Leistung und erhöhen so die Leitungsdämpfung.
+*Durch diese schaltungsbedingte Vereinfachung &nbsp; &rArr; &nbsp; $Z_{\rm 2}(f) = R_2$&nbsp; kommt es zu Reflexionen am Leitungsende. Diese reduzieren die am Empfänger verfügbare Leistung und erhöhen so die Leitungsdämpfung.
-*Zur Bewertung eines solchen fehlangepassten Systems wurde die '''Betriebsdämpfung''' (&bdquo;Dämpfung im Betrieb&rdquo;) wie folgt definiert:
+*Zur Bewertung eines solchen fehlangepassten Systems wurde die&nbsp; '''Betriebsdämpfung'''&nbsp; (&bdquo;Dämpfung im Betrieb&rdquo;) wie folgt definiert:
 :$${ a}_{\rm B}(f) \hspace{0.15cm}{\rm in} \hspace{0.15cm}{\rm Neper}\hspace{0.15cm}{\rm (Np)} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {|U_0(f)|}{2 \cdot |U_2(f)|} \cdot \sqrt{{R_2}/{R_1}}
 =  \alpha (f ) \cdot l + {\rm ln}\hspace{0.1cm}|q_1(f)| + {\rm ln}\hspace{0.1cm}|q_2(f)| +  {\rm ln}\hspace{0.1cm}|1 - r_1(f) \cdot r_2(f) \cdot {\rm e}^{-\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}| \hspace{0.05cm}.$$
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Diese Gleichung soll nun anhand des obigen (für ISDN gültigen) Blockschaltbildes diskutiert werden. Wir betrachten dabei den allgemeinen Fall eines fehlangepassten Systems  &nbsp; &rArr; &nbsp; $R_2 ≠ Z_{\rm W}(f)$:
+Diese Gleichung soll nun anhand des obigen (für ISDN gültigen) Blockschaltbildes diskutiert werden.&nbsp; Wir betrachten dabei den allgemeinen Fall eines fehlangepassten Systems  &nbsp; &rArr; &nbsp; $R_2 ≠ Z_{\rm W}(f)$:
 *Die oben definierte Betriebsdämpfung setzt die tatsächliche vom Sender zum Empfänger übertragene Wirkleistung in Bezug zum bestmöglichen Fall (vernachlässigbare Leitungslänge, vollständige Anpassung).
-*Bei Widerstandsanpassung ist die Betriebsdämpfung gleich der '''Wellendämpfung''', das heißt, in diesem anzustrebenden Fall ist nur der erste Term obiger Gleichung wirksam:
+*Bei Widerstandsanpassung ist die Betriebsdämpfung gleich der&nbsp; '''Wellendämpfung'''.&nbsp; In diesem anzustrebenden Fall ist nur der erste Term obiger Gleichung wirksam:
 :$$a_{\rm B}(f) =  \alpha (f ) \cdot l \hspace{0.05cm}.$$
-*Der zweite und der dritte Term berücksichtigen die Leistungsverluste durch Reflexion an den Übergängen Sender &nbsp; &rarr; &nbsp; Leitung und Leitung&nbsp; &rarr; &nbsp;Empfänger. Für diese beiden '''Stoßdämpfungen''' gilt:
+*Der zweite und der dritte Term berücksichtigen die Leistungsverluste durch Reflexion an den Übergängen Sender &nbsp; &rarr; &nbsp; Leitung und Leitung&nbsp; &rarr; &nbsp;Empfänger. <br>Für diese beiden&nbsp; '''Stoßdämpfungen'''&nbsp; gilt:
 :$$q_1(f)= \frac {R_1 + Z_{\rm W}(f)}{2 \cdot \sqrt{R_1 \cdot Z_{\rm W}(f)} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}q_2(f)= \frac {R_2 + Z_{\rm W}(f)}{2 \cdot \sqrt{R_2 \cdot Z_{\rm W}(f)} } \hspace{0.05cm}.$$
-*Die '''Wechselwirkungsdämpfung''' (vierter Term) beschreibt die Auswirkung einer mehrfach reflektierten Welle, die sich – je nach Leitungslänge – dem Nutzsignal am Empfänger konstruktiv oder destruktiv überlagert. Für die Reflexionsfaktoren gilt:
+*Die&nbsp; '''Wechselwirkungsdämpfung'''&nbsp; (vierter Term) beschreibt die Auswirkung einer mehrfach reflektierten Welle, die sich – je nach Leitungslänge – dem Nutzsignal am Empfänger konstruktiv oder destruktiv überlagert.&nbsp; Für diese Reflexionsfaktoren gilt:
-:$$r_1(f)= \frac {R_1 - Z_{\rm W}(f)}{R_1 + Z_{\rm W}(f)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}r_2(f)= \frac {R_2 - Z_{\rm W}(f)}{R_2 + Z_{\rm W}(f)} \hspace{0.05cm}.$$}}
+:$$r_1(f)= \frac {R_1 - Z_{\rm W}(f)}{R_1 + Z_{\rm W}(f)} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}r_2(f)= \frac {R_2 - Z_{\rm W}(f)}{R_2 + Z_{\rm W}(f)} \hspace{0.05cm}.$$
 {{BlaueBox|TEXT=

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 *Die resultierende (blaue) Welle &nbsp;$U(x)$&nbsp; ergibt sich aus der phasenrichtigen Addition dieser beiden für sich allein nicht sichtbaren Anteile.
-*Mit zunehmendem &nbsp;$x$&nbsp; wird &nbsp;$U(x)$&nbsp; ebenso wie &nbsp;$U_→(x)$&nbsp; wegen der Leitungsdämpfung kleiner. Auch die rücklaufende Welle &nbsp;$U_←(x)$&nbsp; wird mit zunehmender Länge gedämpft, allerdings von rechts nach links.}}
+*Mit zunehmendem &nbsp;$x$&nbsp; wird &nbsp;$U(x)$&nbsp; ebenso wie &nbsp;$U_→(x)$&nbsp; wegen der Leitungsdämpfung kleiner. Auch die rücklaufende Welle &nbsp;$U_←(x)$&nbsp; wird mit zunehmender Länge&nbsp; (von rechts nach links)&nbsp; gedämpft.}}
 ==Verlustlose und verlustarme Leitungen==
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Für sehr kurze Koaxialleitungen, wie sie für Verbindungen von Hochfrequenz–Messgeräten im Labor verwendet werden, kann von &nbsp;$R\hspace{0.05cm}' \approx 0$ und $G\hspace{0.05cm}' \approx 0$&nbsp; ausgegangen werden. Man spricht dann von einer '''verlustlosen Leitung'''.
+$\text{Definition:}$&nbsp; Für sehr kurze Koaxialleitungen, wie sie für Verbindungen von Hochfrequenz–Messgeräten im Labor verwendet werden, kann von &nbsp;$R\hspace{0.05cm}' \approx 0$ und $G\hspace{0.05cm}' \approx 0$&nbsp; ausgegangen werden. Man spricht dann von einer&nbsp; '''verlustlosen Leitung'''. &nbsp;Für eine solche vereinfachen sich die obigen Gleichungen:
+*Dämpfungsmaß &nbsp; &rArr; &nbsp;  Dämpfungsfunktion&nbsp; $a(f)$&nbsp; pro Länge &nbsp;$l$:
 :$$\alpha(f)  = a(f)/l = 0\hspace{0.05cm}.$$
-*Phasenfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp;  Phasenfunktion $b(f)$ pro Länge &nbsp;$l$:
+*Phasenmaß &nbsp; &rArr; &nbsp;  Phasenfunktion&nbsp; $b(f)$&nbsp; pro Länge &nbsp;$l$:
-:$$\beta(f)  =  2\pi \cdot f \cdot \sqrt{L\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.05cm}' }\hspace{0.05cm}, $$
+:$$\beta(f)  = b(f)/l =  2\pi \cdot f \cdot \sqrt{L\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.05cm}' }\hspace{0.05cm}, $$
 *Wellenwiderstand:
 :$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{ {L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.05cm}'} }\hspace{0.05cm}.$$}}
-Sind &nbsp;$L\hspace{0.05cm}'$&nbsp; und &nbsp;$C\hspace{0.05cm}'$&nbsp; im betrachteten Frequenzbereich konstant, so ist der (reelle) Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}(f)=Z_{\rm W}$&nbsp; ebenfalls frequenzunabhängig und das Phasenmaß &nbsp;$β(f)$&nbsp; proportional zur Frequenz.
+Sind &nbsp;$L\hspace{0.05cm}'$&nbsp; und &nbsp;$C\hspace{0.08cm}'$&nbsp; im betrachteten Frequenzbereich konstant, so ist der (reelle) Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}(f)=Z_{\rm W}$&nbsp; ebenfalls frequenzunabhängig und das Phasenmaß &nbsp;$β(f)$&nbsp; proportional zur Frequenz.
 *Das bedeutet, dass eine verlustlose Leitung stets verzerrungsfrei ist.
 *Das Ausgangssignal weist gegenüber dem Eingangssignal lediglich eine Laufzeit auf.
@@ Zeile 134: / Zeile 132: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Man spricht in diesem Fall von einer '''verlustarmen Leitung''', wenn die Leitung etwas länger ist, aber noch nicht als lang bezeichnet werden kann. }}
+Man spricht von einer&nbsp; '''verlustarmen Leitung''', wenn die Leitung etwas länger ist, aber noch nicht als lang bezeichnet werden kann. }}
 Die angegebene Formel für das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; soll nun für den nicht ganz der Wirklichkeit entsprechenden Fall konstanter Leitungsbeläge ausgewertet werden.
-*Oberhalb einer '''charakteristischen Frequenz''' &nbsp;$f_∗$, die von &nbsp;$R\hspace{0.05cm}', \ L\hspace{0.05cm}', \ G\hspace{0.05cm}'$&nbsp; und &nbsp;$C\hspace{0.05cm}'$ abhängt, kann &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$&nbsp; als sehr klein gegenüber &nbsp;$ωL\hspace{0.05cm}'$&nbsp; und $G\hspace{0.05cm}'$&nbsp; als sehr klein gegenüber &nbsp;$ωC\hspace{0.05cm}'$&nbsp; angenommen werden. Damit ergibt sich die Näherungsformel, die häufig als '''schwache Dämpfung''' bezeichnet wird:
+*Oberhalb einer&nbsp; '''charakteristischen Frequenz''' &nbsp;$f_∗$, die von &nbsp;$R\hspace{0.05cm}', \ L\hspace{0.05cm}', \ G\hspace{0.08cm}'$&nbsp; und &nbsp;$C\hspace{0.08cm}'$ abhängt, kann &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$&nbsp; als sehr klein gegenüber &nbsp;$ωL\hspace{0.05cm}'$&nbsp; und $G\hspace{0.05cm}'$&nbsp; als sehr klein gegenüber &nbsp;$ωC\hspace{0.08cm}'$&nbsp; angenommen werden. Damit ergibt sich die Näherungsformel, die häufig als&nbsp; '''schwache Dämpfung'''&nbsp; bezeichnet wird:
-:$$\alpha_{_{ {\rm I} } }(f)  = {1}/{2} \cdot \left [R\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{C\hspace{0.05cm}'}/{ L\hspace{0.05cm}'} } + G\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.05cm}'} }\right ] \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\alpha_{_{ {\rm I} } }(f)  = {1}/{2} \cdot \left [R\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{C\hspace{0.05cm}'}/{ L\hspace{0.05cm}'} } + G\hspace{0.08cm}' \cdot \sqrt{{L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.08cm}'} }\right ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Für kleine Frequenzen &nbsp;$(f < f_∗)$&nbsp; ist dagegen &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$&nbsp; sehr viel größer als &nbsp;$ωL\hspace{0.05cm}'$&nbsp; und &nbsp;$G\hspace{0.05cm}'$&nbsp; sehr viel größer als &nbsp;$ ωC\hspace{0.05cm}'$&nbsp; zu berücksichtigen und man erhält eine zweite obere Schranke, die man in der Literatur oft als '''starke Dämpfung''' bezeichnet:
+*Für kleine Frequenzen &nbsp;$(f < f_∗)$&nbsp; ist dagegen &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$&nbsp; sehr viel größer als &nbsp;$ωL\hspace{0.05cm}'$&nbsp; und &nbsp;$G\hspace{0.08cm}'$&nbsp; sehr viel größer als &nbsp;$ ωC\hspace{0.08cm}'$&nbsp; zu berücksichtigen und man erhält eine zweite obere Schranke, die man in der Literatur oft als&nbsp; '''starke Dämpfung'''&nbsp; bezeichnet:
-:$$\alpha_{_{ {\rm II} } }(f)  =  \sqrt{ 1/2 \cdot \omega  \cdot {R\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.05cm}'} }\hspace{0.1cm} \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
+[[Datei:P_ID1795__LZI_T_4_1_S3_kleiner_neu.png |frame| Dämpfungsmaß &nbsp;$α(f)$&nbsp; und Schranken | rechts]]
-[[Datei:P_ID1795__LZI_T_4_1_S3_kleiner_neu.png |frame| Dämpfungsmaß &nbsp;$α(f)$&nbsp; und Schranken | rechts]]
+Die Grafik zeigt das Dämpfungsmaß &nbsp;$α(f)$&nbsp; bei konstanten Leitungsbelägen nach der exakten&nbsp; (aber komplizierteren)&nbsp;  Formel und die beiden Schranken &nbsp;$α_{\rm I}(f)$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm II}(f)$.
 Man erkennt aus dieser Darstellung:
 *Sowohl &nbsp;$α_{\rm I}(f)$&nbsp; als auch &nbsp;$α_{\rm II}(f)$&nbsp; sind obere Schranken für &nbsp;$α(f)$.
 *Die charakteristische Frequenz &nbsp;$f_∗$&nbsp; ist der Schnittpunkt von &nbsp;$α_{\rm I}(f)$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm II}(f)$.
-*Für &nbsp;$f \gg f_∗$&nbsp; gilt &nbsp;$α(f) ≈ α_{\rm I}(f)$, für &nbsp;$f \ll f_∗$&nbsp; dagegen &nbsp;$α(f) ≈ α_{\rm II}(f)$.
+*Für &nbsp;$f \gg f_∗$&nbsp; gilt &nbsp;$α(f) ≈ α_{\rm I}(f)$,&nbsp; für &nbsp;$f \ll f_∗$&nbsp; dagegen &nbsp;$α(f) ≈ α_{\rm II}(f)$.
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 ==Einfluss von Reflexionen – Betriebsdämpfung==

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 ==Wellenwiderstand und Reflexionen==
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-Wir betrachten nun eine homogene Leitung der Länge &nbsp;$l$, an dessen Eingang eine harmonische Schwingung &nbsp;$U_0(f)$&nbsp; mit der Frequenz $f$ anliegt.
+Wir betrachten eine homogene Leitung der Länge &nbsp;$l$, an dessen Eingang eine harmonische Schwingung &nbsp;$U_0(f)$&nbsp; mit der Frequenz $f$ anliegt.
 *Der Sender besitzt den Innenwiderstand &nbsp;$Z_1$, der Empfänger den Eingangswiderstand &nbsp;$Z_2$ (gleichzeitig Abschlusswiderstand der Leitung).
 *Wir gehen vereinfachend davon aus, dass &nbsp;$Z_1$&nbsp; und &nbsp;$Z_2$&nbsp; reelle Widerstände sind.