Lineare zeitinvariante Systeme/Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern - Versionsgeschichte

Guenter am 27. November 2023 um 16:15 Uhr

2023-11-27T16:15:39Z

Guenter am 21. November 2021 um 15:50 Uhr

2021-11-21T15:50:34Z

Guenter am 21. November 2021 um 15:40 Uhr

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Guenter am 20. November 2021 um 14:55 Uhr

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2021-11-20T14:34:10Z

Guenter am 8. November 2019 um 08:57 Uhr

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Guenter am 8. November 2019 um 08:46 Uhr

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Guenter am 7. November 2019 um 18:00 Uhr

2019-11-07T18:00:29Z

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 Man erkennt aus dieser Darstellung:
 *Dämpfungsmaß &nbsp;$α(f)$&nbsp; und Dämpfungsfunktion &nbsp;$a_{\rm K}(f) = α(f) · l$&nbsp; hängen signifikant vom Leitungsdurchmesser ab. Die seit 1994 verlegten Kabel  mit &nbsp;$d = 0.35 \ \rm (mm)$&nbsp; und  &nbsp;$d = 0.5$&nbsp; haben etwa ein um &nbsp;$10\%$&nbsp; größeres Dämpfungsmaß als die älteren Leitungen mit  &nbsp;$d = 0.4$&nbsp; und &nbsp;$d= 0.6$.
-*Dieser mit den Herstellungs– und Verlegungskosten begründete kleinere Durchmesser vermindert allerdings die Reichweite &nbsp;$l_{\rm max}$&nbsp; der auf diesen Leitungen eingesetzten Übertragungssysteme signifikant, so dass im schlimmsten Fall teuere Zwischengeneratoren eingesetzt werden müssen.
+*Dieser mit den Herstellungs– und Verlegungskosten begründete kleinere Durchmesser vermindert allerdings die Reichweite &nbsp;$l_{\rm max}$&nbsp; der auf diesen Leitungen eingesetzten Übertragungssysteme signifikant, so dass im schlimmsten Fall teuere Zwischenregeneratoren eingesetzt werden müssen.
 *Die heute üblichen Übertragungsverfahren für Kupferleitungen belegen allerdings nur ein relativ schmales Frequenzband, zum Beispiel sind dies bei &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|$\rm ISDN$]]&nbsp; ("Integrated Services Digital Network") &nbsp; $120\ \rm  kHz$&nbsp; und bei &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|$\rm DSL$]]&nbsp; ("Digital Subscriber Line")&nbsp; etwa&nbsp; $1100 \ \rm kHz$.&nbsp; Für &nbsp;$f = 1 \ \rm MHz$&nbsp; beträgt das Dämpfungsmaß für ein 0.4 mm–Kabel etwa &nbsp;$20 \ \rm dB/km$, so dass selbst bei einer Kabellänge von &nbsp;$l = 4 \ \rm km$&nbsp; der Dämpfungswert nicht über &nbsp;$80 \ \rm dB$&nbsp; liegt.
 *Eine Ausnahme bildet &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL–Systeme#VDSL_.E2.80.93_Very.E2.80.93high.E2.80.93speed_Digital_Subscriber_Line|$\rm VDSL$]]&nbsp; ("Very High Data Rate Digital Subscriber Line"), das zum Beispiel die Deutsche Telekom in größeren Städten anbietet.&nbsp; Hier geht der Frequenzbereich bis &nbsp;$30 \ \rm MHz$. Deshalb wurden hierfür Glasfaserverbindungen bis zum Kabelverzweiger verlegt, um die noch mit Kupfer zu überbrückende Länge klein zu halten.&nbsp; Man spricht von "Fibre–to–the–Cabinet"&nbsp; $\rm (FttC)$.

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 *Hier wurde für der in&nbsp; [PW95]<ref name="PW95"/>&nbsp; angegebene  Phasenkoeffizient &nbsp;$b_2 = 8.260 \ \rm rad$&nbsp; beibehalten.
 *Stattdessen wurde der Dämpfungskoeffizient &nbsp;$a_2 = 6.177 \ \rm Np$&nbsp; an den Phasenkoeffizienten angepasst (also vergrößert): &nbsp; $a_2\hspace{0.01cm}' = 8.260 \ \rm Np$.
-*Die untere (rote) Impulsantwort &nbsp; ⇒ &nbsp;  (''Worst Case'')&nbsp; ist weniger als halb so hoch und deutlich breiter als die obere Impulsantwort &nbsp;  ⇒ &nbsp;  (''Best Case'').
+*Die untere (rote) Impulsantwort &nbsp; ⇒ &nbsp;  ("Worst Case")&nbsp; ist weniger als halb so hoch und deutlich breiter als die obere Impulsantwort &nbsp;  ⇒ &nbsp;  ("Best Case").
 *Die tatsächliche (normierte) Impulsantwort &nbsp;$T \cdot h_{\rm K}\hspace{0.01cm}'(t)$&nbsp; wird wohl dazwischen liegen. Genauere Aussagen erlauben wir uns nicht.}}

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 :$$\alpha_0  = 0.59\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1  = 0.10\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2  = 1.69\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } } \hspace{0.05cm}.$$
-Das Phasenmaß dieser Leitung ist ebenfalls in&nbsp; [PW95]<ref name="PW95">Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.: ''Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im
+Das Phasenmaß dieser Leitung ist ebenfalls in&nbsp; [PW95]<ref name="PW95"/>&nbsp; angegeben:
 :$$b_{\rm K}(f)  =  \beta_1 \cdot f +  \beta_2 \cdot \sqrt {f}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \beta_1  = 32.9\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \beta_2  = 2.26\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$
 Als Normierungsgröße der Zeit eignet sich die Symboldauer &nbsp;$T = 1/R ≈ 33 \ \rm  ns$.
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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Dieses Beispiel zeigt Näherungen der Impulsantwort einer Zweidrahtleitung&nbsp; $($Länge $\text{1.8 km}$,  Durchmesser $\text{0.4 mm)}$, so dass entsprechend&nbsp; [PW95]<ref name="PW95">Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.: ''Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im
+$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Dieses Beispiel zeigt Näherungen der Impulsantwort einer Zweidrahtleitung&nbsp; $($Länge $\text{1.8 km}$,  Durchmesser $\text{0.4 mm)}$, so dass entsprechend&nbsp; [PW95]<ref name="PW95"/>&nbsp; von folgenden Kenngrößen auszugehen ist:
 [[Datei:P_ID2846__LZI_T_4_3_S5c_v2.png |frame| Zur Impulsantwort einer&nbsp; $\text{0.4 mm}$&nbsp; Zweidrahtleitung]]
 :$$a_0 = 1.057\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}

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-die durch die Ortsvermittlungsstelle voneinander getrennt sind.&nbsp; Die Grafik zeigt die Netzinfrastruktur bei&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|$\rm ISDN$]]&nbsp;  (''Integrated Services Digital Network'').
+die durch die Ortsvermittlungsstelle voneinander getrennt sind.&nbsp; Die Grafik zeigt die Netzinfrastruktur bei&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|$\rm ISDN$]]&nbsp;  ("Integrated Services Digital Network").
 Ursprünglich basierte das gesamte Fernsprechnetz auf Kupferleitungen.&nbsp; Mitte der 1980–Jahre wurden aber im Weitverkehr die (vorwiegend koaxialen) Kupferkabel durch Glasfaser ersetzt, da der stetig wachsende Bandbreitenbedarf nur mit optischer Übertragungstechnik befriedigt werden konnte.
 <br clear=all>
-*Glasfasern im Teilnehmeranschlußbereich sind wegen der immens hohen Verlegekosten bis heute (2009) nicht wirtschaftlich, allerdings gibt es schon lange Planungen zu&nbsp; ''Fiber–to–the–Building''&nbsp; (FttB) bzw.&nbsp; ''Fiber–to–the–Home''&nbsp; (FttH).
+*Glasfasern im Teilnehmeranschlußbereich sind wegen der immens hohen Verlegekosten bis heute (2009) nicht wirtschaftlich, allerdings gibt es schon lange Planungen zu&nbsp; "Fiber–to–the–Building"&nbsp; $\rm (FttB)$&nbsp; und&nbsp; "Fiber–to–the–Home"&nbsp; $\rm (FttH)$&nbsp;.
-*Vielmehr ist man in den letzten zwanzig Jahren den Weg gegangen, durch die Entwicklung und die Verbesserung hochratiger Übertragungssysteme wie&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|$\rm DSL$]]&nbsp;  (''Digital Subscriber Line'')&nbsp; über das konventionelle, auf Kupferleitungen basierende Zugangsnetz ausreichend Kapazität bereitzustellen.
+*Vielmehr ist man in den letzten zwanzig Jahren den Weg gegangen, durch die Entwicklung und die Verbesserung hochratiger Übertragungssysteme wie&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|$\rm DSL$]]&nbsp;  ("Digital Subscriber Line")&nbsp; über das konventionelle, auf Kupferleitungen basierende Zugangsnetz ausreichend Kapazität bereitzustellen.
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 [[Datei:P_ID1807__LZI_T_4_3_S1b_neu.png |right|frame| Bündelung und Verdrillung von Kupferadern]]
-*das ''Hauptkabel''&nbsp; mit bis zu&nbsp; $2000$&nbsp; Doppeladern als Verbindung zwischen Ortsvermittlungsstelle und dem Kabelverzweiger,
+*das&nbsp; "Hauptkabel"&nbsp; mit bis zu&nbsp; $2000$&nbsp; Doppeladern als Verbindung zwischen Ortsvermittlungsstelle und dem Kabelverzweiger,
-*das ''Verzweigungskabel''&nbsp; zwischen Kabel– und Endverzweiger, mit bis zu&nbsp; $300$&nbsp; Doppeladern und deutlich kürzer als ein Hauptkabel&nbsp; $($maximal&nbsp; $\text{500 m)}$,
+*das&nbsp; "Verzweigungskabel"&nbsp; zwischen Kabel– und Endverzweiger, mit bis zu&nbsp; $300$&nbsp; Doppeladern und deutlich kürzer als ein Hauptkabel&nbsp; $($maximal&nbsp; $\text{500 m)}$,
-*das ''Hausanschlußkabel&nbsp; zwischen Endverzweiger und der Netzabschlußdose beim Teilnehmer mit zwei Doppeladern.
+*das&nbsp; "Hausanschlußkabel"&nbsp; zwischen Endverzweiger und der Netzabschlußdose beim Teilnehmer mit zwei Doppeladern.
 <br clear=all>
 Zur Verminderung des Nebensprechens auf benachbarte Leitungspaare durch induktive und kapazitive Kopplungen und zur Erhöhung der Packungsdichte werden jeweils zwei Doppeladern zu einem so genannten&nbsp; &bdquo;Sternvierer&rdquo;&nbsp; verseilt.&nbsp; Die untere Grafik zeigt einen solchen Sternvierer und ein Bündelkabel.
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-Verschiedene Netzbetreiber haben &nbsp;$α(f)$&nbsp; und &nbsp;$Z_{\rm W}(f)$&nbsp; gemessen und daraus empirische Gleichungen abgeleitet.&nbsp; Wir beziehen uns hier auf die in&nbsp; [PW95]<ref name="PW95">Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.: ''Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im
+Verschiedene Netzbetreiber haben &nbsp;$α(f)$&nbsp; und &nbsp;$Z_{\rm W}(f)$&nbsp; gemessen und daraus empirische Gleichungen abgeleitet.&nbsp; Wir beziehen uns hier auf die in&nbsp; [PW95]<ref name="PW95">Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.:   "Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im
-Frequenzbereich bis 30 MHz.'' Deutsche Telekom AG, Forschungs- und Technologiezentrum
+Frequenzbereich bis 30 MHz". Deutsche Telekom AG, Forschungs- und Technologiezentrum
 Darmstadt, 1995.</ref>&nbsp; dokumentierten Arbeiten von M. Pollakowski und H.W. Wellhausen vom Fernmeldetechnischen Zentralamt der Deutschen Bundespost in Darmstadt.
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 *Dämpfungsmaß &nbsp;$α(f)$&nbsp; und Dämpfungsfunktion &nbsp;$a_{\rm K}(f) = α(f) · l$&nbsp; hängen signifikant vom Leitungsdurchmesser ab. Die seit 1994 verlegten Kabel  mit &nbsp;$d = 0.35 \ \rm (mm)$&nbsp; und  &nbsp;$d = 0.5$&nbsp; haben etwa ein um &nbsp;$10\%$&nbsp; größeres Dämpfungsmaß als die älteren Leitungen mit  &nbsp;$d = 0.4$&nbsp; und &nbsp;$d= 0.6$.
 *Dieser mit den Herstellungs– und Verlegungskosten begründete kleinere Durchmesser vermindert allerdings die Reichweite &nbsp;$l_{\rm max}$&nbsp; der auf diesen Leitungen eingesetzten Übertragungssysteme signifikant, so dass im schlimmsten Fall teuere Zwischengeneratoren eingesetzt werden müssen.
-*Die heute üblichen Übertragungsverfahren für Kupferleitungen belegen allerdings nur ein relativ schmales Frequenzband, zum Beispiel sind dies bei &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|$\rm ISDN$]] (''Integrated Services Digital Network'') &nbsp; $120\ \rm  kHz$&nbsp; und bei &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|$\rm DSL$]] (''Digital Subscriber Line'')&nbsp; etwa&nbsp; $1100 \ \rm kHz$.&nbsp; Für &nbsp;$f = 1 \ \rm MHz$&nbsp; beträgt das Dämpfungsmaß für ein 0.4 mm–Kabel etwa &nbsp;$20 \ \rm dB/km$, so dass selbst bei einer Kabellänge von &nbsp;$l = 4 \ \rm km$&nbsp; der Dämpfungswert nicht über &nbsp;$80 \ \rm dB$&nbsp; liegt.
+*Die heute üblichen Übertragungsverfahren für Kupferleitungen belegen allerdings nur ein relativ schmales Frequenzband, zum Beispiel sind dies bei &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|$\rm ISDN$]]&nbsp; ("Integrated Services Digital Network") &nbsp; $120\ \rm  kHz$&nbsp; und bei &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|$\rm DSL$]]&nbsp; ("Digital Subscriber Line")&nbsp; etwa&nbsp; $1100 \ \rm kHz$.&nbsp; Für &nbsp;$f = 1 \ \rm MHz$&nbsp; beträgt das Dämpfungsmaß für ein 0.4 mm–Kabel etwa &nbsp;$20 \ \rm dB/km$, so dass selbst bei einer Kabellänge von &nbsp;$l = 4 \ \rm km$&nbsp; der Dämpfungswert nicht über &nbsp;$80 \ \rm dB$&nbsp; liegt.
-*Eine Ausnahme bildet &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL–Systeme#VDSL_.E2.80.93_Very.E2.80.93high.E2.80.93speed_Digital_Subscriber_Line|$\rm VDSL$]]&nbsp; (''Very High Data Rate Digital Subscriber Line''), das zum Beispiel die Deutsche Telekom in größeren Städten anbietet.&nbsp; Hier geht der Frequenzbereich bis &nbsp;$30 \ \rm MHz$. Deshalb wurden hierfür Glasfaserverbindungen bis zum Kabelverzweiger verlegt, um die noch mit Kupfer zu überbrückende Länge klein zu halten.&nbsp; Man spricht von ''Fibre–to–the–Cabinet'' (FttC).
+*Eine Ausnahme bildet &nbsp;[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL–Systeme#VDSL_.E2.80.93_Very.E2.80.93high.E2.80.93speed_Digital_Subscriber_Line|$\rm VDSL$]]&nbsp; ("Very High Data Rate Digital Subscriber Line"), das zum Beispiel die Deutsche Telekom in größeren Städten anbietet.&nbsp; Hier geht der Frequenzbereich bis &nbsp;$30 \ \rm MHz$. Deshalb wurden hierfür Glasfaserverbindungen bis zum Kabelverzweiger verlegt, um die noch mit Kupfer zu überbrückende Länge klein zu halten.&nbsp; Man spricht von "Fibre–to–the–Cabinet"&nbsp; $\rm (FttC)$.
 ==Umrechnung zwischen $k$– und $\alpha$–Parametern==

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 ==Störungen auf Zweidrahtleitungen==
 <br>
-Bei Übertragungssystemen über Zweidrahtleitungen kann vom gleichen &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Koaxialkabel#Einige_Bemerkungen_zu_Koaxialkabelsystemen|Blockschaltbild]]&nbsp;  wie bei den Koaxialkabelsystemen ausgegangen werden, wobei nun
+Bei Übertragungssystemen über Zweidrahtleitungen kann vom gleichen &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#Besonderheiten_von_Koaxialkabelsystemen|Blockschaltbild]]&nbsp;  wie bei den Koaxialkabelsystemen ausgegangen werden, wobei nun
 *für den Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; und die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; die in diesem Abschnitt angegebenen Gleichungen zu verwenden sind,
 *das weiße Rauschen &nbsp;$N_0$&nbsp; nicht mehr die  dominante Störungsursache ist, sondern nun das&nbsp; '''Nebensprechen'''&nbsp; ''(Crosstalk)''&nbsp; aufgrund von kapazitiver bzw. induktiver Kopplung benachbarter Doppeladern als stochastische Störung überwiegt.

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 Zur Berechnung des Frequenzgangs &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; sollte man stets vom gemessenen Dämpfungsmaß
 :$$\alpha (f) = k_1 + k_2  \cdot (f/f_0)^{k_3}= \alpha_{\rm I} (f) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz}$$
-ausgehen. Will man dagegen die dazugehörige Zeitfunktion in Form der Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; ermitteln, so ist es günstiger, wie im  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Interpretation_und_Manipulation_dieser_Impulsantworten|übernächsten Abschnitt]] gezeigt, wenn das Dämpfungsmaß in der Form dargestellt werden kann, wie es auch für Koaxialkabel üblich ist:
+ausgehen. Will man dagegen die dazugehörige Zeitfunktion in Form der Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; ermitteln, so ist es günstiger, wie im&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Interpretation_und_Manipulation_der_einzelnen_Impulsantworten|übernächsten Abschnitt]]&nbsp; gezeigt, wenn das Dämpfungsmaß in der Form dargestellt werden kann, wie es auch für Koaxialkabel üblich ist:
 :$$\alpha(f)  = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f}= \alpha_{\rm II} (f).$$

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 Bei Übertragungssystemen über Zweidrahtleitungen kann vom gleichen &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Koaxialkabel#Einige_Bemerkungen_zu_Koaxialkabelsystemen|Blockschaltbild]]&nbsp;  wie bei den Koaxialkabelsystemen ausgegangen werden, wobei nun
 *für den Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; und die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; die in diesem Abschnitt angegebenen Gleichungen zu verwenden sind,
-*das weiße Rauschen &nbsp;$N_0$&nbsp; nicht mehr die  dominante Störungsursache ist, sondern nun das '''Nebensprechen''' ''(Crosstalk)'' aufgrund von kapazitiver bzw. induktiver Kopplung benachbarter Doppeladern als stochastische Störung überwiegt.
+*das weiße Rauschen &nbsp;$N_0$&nbsp; nicht mehr die  dominante Störungsursache ist, sondern nun das&nbsp; '''Nebensprechen'''&nbsp; ''(Crosstalk)''&nbsp; aufgrund von kapazitiver bzw. induktiver Kopplung benachbarter Doppeladern als stochastische Störung überwiegt.
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 Wie die Grafik verdeutlicht, unterscheidet man zwischen
-*'''Nahnebensprechen''' ''(Near–End–Crosstalk'' &nbsp; ⇒ &nbsp; NEXT): <br>Der störende Sender speist sein Signal am selben Ende des Kabels ein, an dem der betrachtete Empfänger platziert ist.
+*'''Nahnebensprechen'''&nbsp; ''(Near–End–Crosstalk'' &nbsp; ⇒ &nbsp; NEXT): <br>Der störende Sender speist sein Signal am selben Ende des Kabels ein, an dem der betrachtete Empfänger platziert ist.
-*'''Fernnebensprechen''' ''(Far–End–Crosstalk'' &nbsp; ⇒ &nbsp; FEXT): <br>Der störende Sender und der gestörte Empfänger befinden sich an entgegengesetzten Kabelenden.
+*'''Fernnebensprechen'''&nbsp; ''(Far–End–Crosstalk'' &nbsp; ⇒ &nbsp; FEXT): <br>Der störende Sender und der gestörte Empfänger befinden sich an entgegengesetzten Kabelenden.
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Ohne Herleitung:}$&nbsp;
-Wir betrachten deshalb  im Folgenden ausschließlich das $\text{Nahnebensprechen (NEXT)}$. Bei diesem lässt sich das [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine|Leistungsdichtespektrum]]  (LDS) des Störsignals &nbsp;$n(t)$&nbsp; unter Berücksichtigung des unvermeidbaren thermischen Rauschens &nbsp;$(N_0/2)$&nbsp; wie folgt darstellen:
+Wir betrachten deshalb  im Folgenden ausschließlich das&nbsp; $\text{Nahnebensprechen  (NEXT)}$.&nbsp; Bei diesem lässt sich das&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp;  (LDS) des Störsignals &nbsp;$n(t)$&nbsp; unter Berücksichtigung des unvermeidbaren thermischen Rauschens &nbsp;$(N_0/2)$&nbsp; wie folgt darstellen:
 :$${\it \Phi}_n(f)  =  {N_0}/{2}+{\it \Phi}_{\rm NEXT}(f) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm mit} \hspace{0.3cm}{\it \Phi}_{\rm NEXT}(f)  = {\it \Phi}_{s}(f) \cdot\vert H_{\rm NEXT}(f)\vert ^2 \approx {\it \Phi}_{s}(f) \cdot [K_{\rm NEXT} \cdot f]^{3/2}\hspace{0.05cm}.$$}}
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 Zu dieser Gleichung ist anzumerken:
 *Die Gleichung ergibt sich durch Integration der lokalen Kopplungen über die gesamte Länge eines kurzen Abschnitts, wobei die Kopplungen zwischen allen Kupferleitungen durch Querkapazitäten und –Induktivitäten modelliert werden.
-* ${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; ist das LDS des störenden Senders, woraus sich durch Integration die Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; ergibt. Nimmt man an, dass die gestörte Übertragung das gleiche Sendesignal und damit auch das gleiche LDS &nbsp;${\it \Phi}_s(f)$&nbsp;  wie der Störer verwendet, so wird deutlich, dass durch eine Erhöhung von &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; lediglich der (relative) Einfluss des thermischen Rauschens &nbsp;$(N_0/2)$&nbsp; vermindert wird.
+* ${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; ist das LDS des störenden Senders, woraus sich durch Integration die Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; ergibt.&nbsp; Nimmt man an, dass die gestörte Übertragung das gleiche Sendesignal und damit auch das gleiche LDS &nbsp;${\it \Phi}_s(f)$&nbsp;  wie der Störer verwendet, so wird deutlich, dass durch eine Erhöhung von &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; lediglich der (relative) Einfluss des thermischen Rauschens &nbsp;$(N_0/2)$&nbsp; vermindert wird.
-*Der das Nahnebensprechen quantifizierende Faktor &nbsp;$K_{\rm NEXT}$&nbsp; hängt stark vom Adernabstand ab, ebenso vom Unsymmetriegrad entlang des Kabels. Dagegen ist dieser Faktor &nbsp;$K_{\rm NEXT}$&nbsp; nahezu unabhängig vom Leiterdurchmesser &nbsp;$d$&nbsp; und von der Leitungslänge &nbsp;$l$.
+*Der das Nahnebensprechen quantifizierende Faktor &nbsp;$K_{\rm NEXT}$&nbsp; hängt stark vom Adernabstand ab, ebenso vom Unsymmetriegrad entlang des Kabels.&nbsp; Dagegen ist dieser Faktor &nbsp;$K_{\rm NEXT}$&nbsp; nahezu unabhängig vom Leiterdurchmesser &nbsp;$d$&nbsp; und von der Leitungslänge &nbsp;$l$.
-*Das Produkt &nbsp;$K_{\rm NEXT} · f$&nbsp; (dimensionslos) ist im gesamten Betriebsbereich der Leitung, zum Beispiel für alle Frequenzen &nbsp;$0 ≤ f ≤ 30 \ \rm MHz$, stets sehr viel kleiner als $1$. Die Nebensprechstörung steigt mit der Frequenz stark $($das heißt mit dem Exponenten $1.5)$ an.
+*Das Produkt &nbsp;$K_{\rm NEXT} · f$&nbsp; (dimensionslos) ist im gesamten Betriebsbereich der Leitung, zum Beispiel für alle Frequenzen &nbsp;$0 ≤ f ≤ 30 \ \rm MHz$, stets sehr viel kleiner als $1$.&nbsp; Die Nebensprechstörung steigt mit der Frequenz stark $($das heißt mit dem Exponenten $1.5)$ an.
-*In [PW95]<ref name="PW95"/> werden nach einer Messreihe über 40 Doppeladern für die Frequenz &nbsp;$f = 10 \ \rm MHz$&nbsp; folgende Werte genannt (für &nbsp;$f = 30 \ \rm MHz$&nbsp; sind diese Werte noch mit &nbsp;$3^{3/2} ≈ 5.2$&nbsp; zu multiplizieren):
+*In&nbsp; [PW95]<ref name="PW95"/>&nbsp; werden nach einer Messreihe über vierzig Doppeladern für die Frequenz &nbsp;$f = 10 \ \rm MHz$&nbsp; folgende Werte genannt&nbsp; $($für &nbsp;$f = 30 \ \rm MHz$&nbsp; sind diese Werte noch mit &nbsp;$3^{3/2} ≈ 5.2$&nbsp; zu multiplizieren$)$:
 :* ungünstigster Fall: &nbsp; $|H_{\rm NEXT}(f = 10 \ \rm MHz)|^2 ≈ 0.001$,
 :* Mittelung über 40 Adern: &nbsp; $|H_{\rm NEXT}(f = \ \rm 10 MHz)|^2 ≈ 0.0004$.
-*Die Werte gelten für das Im–Vierer–Nahnebensprechen (störender Sender und gestörter Empfänger im gleichen Sternvierer).
+*Die Werte gelten für das Im–Vierer–Nahnebensprechen&nbsp; (störender Sender und gestörter Empfänger im gleichen Sternvierer).
 *Nahnebensprechstörungen zwischen weiter entfernten Adern weisen zwar die gleiche Frequenzabhängigkeit auf, sind aber kleiner als das Im–Vierer–Nahnebensprechen:
 :* Nahnebensprechen zwischen benachbarten Sternvierern um ca. &nbsp;$5 \ \rm dB$,
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Um solche Nahnebensprechstörungen zu vermeiden oder zumindest zu vermindern, werden benachbarte Doppeladern häufig mit ganz unterschiedlichen Signalen (analoge Telefonie, ISDN, DSL oder andere breitbandige Dienste) belegt, die möglichst auch noch unterschiedliche Frequenzbänder benutzen.
+*Um solche Nahnebensprechstörungen zu vermeiden oder zumindest zu vermindern, werden benachbarte Doppeladern häufig mit ganz unterschiedlichen Signalen&nbsp; (analoge Telefonie, ISDN, DSL oder andere breitbandige Dienste)&nbsp; belegt, die möglichst auch noch unterschiedliche Frequenzbänder benutzen.
 *Durch geschickte Auswahl der Doppeladern können nun benachbarte Adern mit Signalen belegt werden, deren Spektren möglichst wenig überlappen, wodurch die Nebensprechstörungen vermindert werden.}}

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 Die folgende Grafik zeigt die (normierten) Impulsantworten &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$&nbsp; für zwei beispielhafte Kupferkabel, nämlich
-[[Datei:P_ID1820__LZI_T_4_3_S5_v4.png |right|frame| Impulsantwortnäherungen von Normalkoaxialkabeln (oben) und 0.4 mm Zweidrahtleitung (unten)]]
+[[Datei:P_ID1820__LZI_T_4_3_S5_v4.png |right|frame| Impulsantwortnäherungen von Normalkoaxialkabeln (oben) und&nbsp; $\text{0.4 mm}$&nbsp; Zweidrahtleitung (unten)]]
-*für das $\text{Normalkoaxialkabel 2.6/9.5 mm}$ bei $\text{10.1 km}$ Länge (oben), wobei gilt:
+*für das&nbsp; $\text{Normalkoaxialkabel 2.6/9.5 mm}$&nbsp; bei&nbsp; $\text{10.1 km}$&nbsp; Länge (oben), wobei gilt:
 :$$a_0 = 0.016\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
 a_1 = 0.020\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
@@ Zeile 220: / Zeile 219: @@
 *Die beiden Kabellängen wurden so gewählt, dass sich genau gleiche &nbsp;$a_2$–Parameter ergeben.
 *Für die Zweidrahtleitung wurde der Phasenwert &nbsp;$b_2  ⇒  b_2\hspace{0.01cm}'$&nbsp; so angepasst, dass sich wie beim Koaxialkabel für &nbsp;$b_2\hspace{0.05cm}' = 6.177 \ \rm rad$&nbsp; und &nbsp;$a_2 = 6.177 \ \rm Np \ (≈ 53 \ dB)$&nbsp; gleiche Zahlenwerte ergeben.
+Die roten Kurven berücksichtigen auch die &nbsp;$a_0–, &nbsp;a_1–$ und &nbsp;$b_1–$Terme.&nbsp; Die rote Kurve des Koaxialkabels ist die tatsächliche (normierte) Impulsantwort &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$.
 Aus diesen Darstellungen erkennt man weiter:
-*Beim Koaxialkabel können der &nbsp;$a_0–$Term und der &nbsp;$a_1–$Term vernachlässigt werden. Der dadurch entstehende relative Fehler beträgt nur &nbsp;$3.5\%$.
+*Beim Koaxialkabel können der &nbsp;$a_0–$Term und der &nbsp;$a_1–$Term vernachlässigt werden.&nbsp; Der dadurch entstehende relative Fehler beträgt nur &nbsp;$3.5\%$.
-*Nicht zu vernachlässigen ist dagegen die Phasenlaufzeit &nbsp;$τ_{\rm P}$, also der &nbsp;$b_1–$Term. Beim Koaxialkabel ergibt sich &nbsp;$τ_{\rm P}/T ≈ 350$, während bei der Zweidrahtleitung &nbsp;$τ_{\rm P}/T ≈ 94$&nbsp; gilt (beachten Sie die unterschiedlichen  Zeitmaßstäbe).
+*Nicht zu vernachlässigen ist dagegen die Phasenlaufzeit &nbsp;$τ_{\rm P}$, also der &nbsp;$b_1–$Term.&nbsp; Beim Koaxialkabel ergibt sich &nbsp;$τ_{\rm P}/T ≈ 350$, während bei der Zweidrahtleitung &nbsp;$τ_{\rm P}/T ≈ 94$&nbsp; gilt&nbsp; (beachten Sie die unterschiedlichen  Zeitmaßstäbe).
-*Bei der Zweidrahtleitung (unten) darf man Gleichsignaldämpfung &nbsp;$(a_0)$&nbsp; und Querverlust &nbsp;$(a_1)$&nbsp; nicht vernachlässigen: &nbsp; Die rote Näherung &nbsp;$T · h_{\rm K}\hspace{0.01cm}'(t)$&nbsp; ist um &nbsp;$70\%$&nbsp; niedriger als die blaue und zudem etwas breiter.}}
+*Bei der Zweidrahtleitung (unten) darf man Gleichsignaldämpfung &nbsp;$(a_0)$&nbsp; und Querverlust &nbsp;$(a_1)$&nbsp; nicht vernachlässigen: &nbsp; <br>Die rote Näherung &nbsp;$T · h_{\rm K}\hspace{0.01cm}'(t)$&nbsp; ist um &nbsp;$70\%$&nbsp; niedriger als die blaue und zudem etwas breiter.}}
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Dieses Beispiel zeigt Näherungen der Impulsantwort einer Zweidrahtleitung $($Länge $\text{1.8 km}$,  Durchmesser $\text{0.4 mm)}$, so dass entsprechend [PW95]<ref name="PW95">Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.: ''Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im
+$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Dieses Beispiel zeigt Näherungen der Impulsantwort einer Zweidrahtleitung&nbsp; $($Länge $\text{1.8 km}$,  Durchmesser $\text{0.4 mm)}$, so dass entsprechend&nbsp; [PW95]<ref name="PW95">Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.: ''Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im
 Frequenzbereich bis 30 MHz.'' Deutsche Telekom AG, Forschungs- und Technologiezentrum
-Darmstadt, 1995.</ref> von folgenden Kenngrößen auszugehen ist:
+Darmstadt, 1995.</ref>&nbsp; von folgenden Kenngrößen auszugehen ist:
 :$$a_0 = 1.057\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
 a_1 = 0.147\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
@@ Zeile 244: / Zeile 242: @@
 b_2 = 8.260\,{\rm rad}\hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2846__LZI_T_4_3_S5c_v2.png |frame| Zur Impulsantwort einer 0.4 mm Zweidrahtleitung]]
+Das obere Diagramm – gleich dem unteren Diagramm im&nbsp; $\text{Beispiel 4}$ – zeigt zwei Näherungen
-Das obere Diagramm – identisch mit dem unteren Diagramm im $\text{Beispiel 4}$ – zeigt zwei Näherungen bei
+*bei Vernachlässigung der &nbsp;$a_0–, \ a_1–$&nbsp; und &nbsp;$b_1–$Terme  (blaue Kurve),
-*Vernachlässigung der &nbsp;$a_0–, \ a_1–$ und &nbsp;$b_1–$Terme  (blaue Kurve),
+*bei Berücksichtigung der &nbsp;$a_0–, \ a_1–$&nbsp; und &nbsp;$b_1–$Terme (rote Kurve).
 Für dieses obere Diagramm haben wir weiterhin den in [PW95]<ref name="PW95"/> angegebenen &nbsp;$a_2–$Koeffizienten übernommen und den genannten Koeffizienten &nbsp;$b_2 = 8.260 \ \rm rad$&nbsp;  auf &nbsp;$b_2\hspace{0.01cm}' = 6.177 \ \rm rad$&nbsp; herabgesetzt.
-''Anmerkung'': &nbsp; <br>Im Gegensatz zum Koaxialkabel im &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Interpretation_und_Manipulation_der_einzelnen_Impulsantworten|$\text{Beispiel 3}$]]&nbsp; ist hier wegen &nbsp;$b_2\hspace{0.01cm}' ≠ b_2$&nbsp; die rote Kurve &nbsp;$T · h_{\rm K}\hspace{0.01cm}'(t)$&nbsp; ebenfalls nur eine Näherung, was in der Grafik durch das Hochkomma vermerkt ist.
+''Anmerkung'': &nbsp; Im Gegensatz zum Koaxialkabel im &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Interpretation_und_Manipulation_der_einzelnen_Impulsantworten|$\text{Beispiel 3}$]]&nbsp; ist hier wegen &nbsp;$b_2\hspace{0.01cm}' ≠ b_2$&nbsp; die rote Kurve &nbsp;$T · h_{\rm K}\hspace{0.01cm}'(t)$&nbsp; ebenfalls nur eine Näherung, was in der Grafik durch das Hochkomma vermerkt ist.
+<br clear=all>
 Ohne die Korrektur &nbsp;$b_2\hspace{0.01cm}' = a_2 ·  \text{rad/Np}$&nbsp; wäre die &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert–Transformation]], die den  Zusammenhang zwischen Betrag und Phase bei realen und damit   &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalphasensystem minimalphasigen Systemen]&nbsp; herstellt,  nicht erfüllt. Deshalb ergäbe sich eine akausale Impulsantwort.
@@ Zeile 259: / Zeile 256: @@
 Wir betrachten nun einen zweiten Ansatz, der im unteren Diagramm dargestellt ist:
-*Hier wurde für der in [PW95]<ref name="PW95"/> angegebene  Phasenkoeffizient &nbsp;$b_2 = 8.260 \ \rm rad$&nbsp; beibehalten und stattdessen der Dämpfungskoeffizient &nbsp;$a_2 = 6.177 \ \rm Np$&nbsp; an den Phasenkoeffizienten angepasst (also vergrößert): &nbsp; $a_2\hspace{0.01cm}' = 8.260 \ \rm Np$.
+*Hier wurde für der in&nbsp; [PW95]<ref name="PW95"/>&nbsp; angegebene  Phasenkoeffizient &nbsp;$b_2 = 8.260 \ \rm rad$&nbsp; beibehalten.
-*Die untere (rote) Impulsantwort &nbsp; ⇒ &nbsp;  ''Worst Case'' ist weniger als halb so hoch und deutlich breiter als die obere Impulsantwort &nbsp;  ⇒ &nbsp;  ''Best Case.''
+*Stattdessen wurde der Dämpfungskoeffizient &nbsp;$a_2 = 6.177 \ \rm Np$&nbsp; an den Phasenkoeffizienten angepasst (also vergrößert): &nbsp; $a_2\hspace{0.01cm}' = 8.260 \ \rm Np$.
 *Die tatsächliche (normierte) Impulsantwort &nbsp;$T \cdot h_{\rm K}\hspace{0.01cm}'(t)$&nbsp; wird wohl dazwischen liegen. Genauere Aussagen erlauben wir uns nicht.}}