Lineare zeitinvariante Systeme/Eigenschaften von Koaxialkabeln - Versionsgeschichte

Guenter am 23. November 2023 um 17:46 Uhr

2023-11-23T17:46:26Z

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 *Das System &nbsp;$\text{PCM 480}$&nbsp; – ausgelegt für 480 gleichzeitige Telefonate – mit der Bitrate &nbsp;$R ≈ 35 \ \rm Mbit/s$&nbsp; wurde sowohl für das Normalkoaxialkabel&nbsp; $($mit&nbsp; $l = 9.3 \ \rm km)$&nbsp; als auch für das Kleinkoaxialkabel&nbsp; $($mit&nbsp; $l = 4 \ \rm km)$&nbsp; spezifiziert. Die&nbsp; &nbsp;$\rm a_∗$–Werte &nbsp;$10.4\ \rm  Np$&nbsp; bzw. &nbsp;$9.9\ \rm  Np$&nbsp; liegen in der gleichen Größenordnung.
 *Das Übertragungssystem &nbsp;$\text{PCM 1920}$&nbsp; der vierten Hierarchiestufe&nbsp; (spezifiziert für das Normalkoaxialkabel)&nbsp; mit &nbsp;$R ≈ 140 \ \rm Mbit/s$&nbsp; und  &nbsp;$l = 4.65 \ \rm km$  wird durch &nbsp;$\rm a_∗ = 10.6 \ \rm Np$&nbsp; bzw. &nbsp;$10.6 \ {\rm Np}· 8.688 \ \rm dB/Np ≈ 92\ \rm dB$&nbsp; parametrisiert.
-*Obwohl das System &nbsp;$\text{PCM 7680}$&nbsp; demgegenüber zwar die vierfache Kapazität &nbsp;$R ≈ 560 \ \rm Mbit/s$&nbsp; aufweist, ist die charakteristische Kabeldämpfung mit &nbsp;$\rm a_∗ ≈ 61 \ dB$&nbsp; aufgrund des besseren Mediums &bdquo;Normalkoaxialkabel&rdquo; und der um den Faktor&nbsp; $3$&nbsp; kürzeren Kabelabschnitte &nbsp;$(l = 1.55 \ \rm km)$&nbsp; deutlich geringer.
+*Obwohl das System &nbsp;$\text{PCM 7680}$&nbsp; demgegenüber zwar die vierfache Bitrate &nbsp;$R ≈ 560 \ \rm Mbit/s$&nbsp; aufweist, ist die charakteristische Kabeldämpfung mit &nbsp;$\rm a_∗ ≈ 61 \ dB$&nbsp; aufgrund des besseren Mediums &bdquo;Normalkoaxialkabel&rdquo; und der um den Faktor&nbsp; $3$&nbsp; kürzeren Kabelabschnitte &nbsp;$(l = 1.55 \ \rm km)$&nbsp; deutlich geringer.
 *Aus diesen Zahlenwerten geht auch hervor, dass bei Koaxialkabelsystemen die Kabellänge &nbsp;$l$&nbsp; kritischer ist als die Bitrate &nbsp;$R$.&nbsp; Will man die Kabellänge verdoppeln, muss man die Bitrate um den Faktor &nbsp;$4$&nbsp; herabsetzen.

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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Die Abbildung zeigt für die charakteristischen Kabeldämpfungen &nbsp;$\rm a_∗ = 40 \ \rm dB$, &nbsp;$60 \ \rm dB$, &nbsp;$80 \ \rm dB$&nbsp; und &nbsp;$100 \ \rm dB$&nbsp; jeweils
+Die Abbildung zeigt für die charakteristischen Kabeldämpfungen &nbsp;&nbsp;$\rm a_∗ = 40 \ \rm dB$, ... ,&nbsp; $100 \ \rm dB$&nbsp;&nbsp; (kleinere &nbsp;$\rm a_∗$&ndash;Werte sind nicht praxisrelevant)&nbsp; jeweils
 [[Datei:P_ID1804__LZI_4_2_S4_90.png |right|frame| Impulsantwort und Rechteckantwort&nbsp; (Empfangsgrundimpuls)&nbsp; des Koaxialkabels]]
 *die normierte Koaxialkabelimpulsantwort &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$ &nbsp; <br>&rArr; &nbsp; Impulsantwort&nbsp; (durchgezogene Kurven),
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-Kleinere Werte von &nbsp;$\rm a_∗$&nbsp; sind für die Praxis nicht relevant.&nbsp; Man erkennt:
+Man erkennt:
 *Mit &nbsp;$\rm a_∗ = 40 \ \rm dB$&nbsp; ist die normierte Rechteckantwort &nbsp;$g_r(t)/s_0$&nbsp; an der Spitze geringfügig&nbsp; (etwa um den Faktor $0.95)$&nbsp; kleiner als die normierte Impulsantwort &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$.&nbsp; Hier gibt es eine kleine Differenz zwischen Impulsantwort und Rechteckantwort.
 *Dagegen sind für den Fall &nbsp;$a_∗ ≥ 60 \ \rm dB$&nbsp; die Rechteckantwort und die Impulsantwort innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden.

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 :$$b_1\hspace{0.1cm}{(\rm in }\hspace{0.15cm}{\rm rad)}= \beta_1 \cdot l \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm} {\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.1cm}{(\rm in }\hspace{0.15cm}{\rm Np)}= \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$$
-Zur Zeitbereichsdarstellung kommt man durch Anwendung der&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]]&nbsp; und des&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatzes]]:
+Zur Zeitbereichsdarstellung kommt man durch Anwendung der&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]]&nbsp; und des&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]:
 :$$h_{\rm K}(t)  = \mathcal{F}^{-1} \left \{ {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} b_1
   f}\right \} \star\mathcal{F}^{-1} \left \{ {\rm e}^{-2{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \sqrt{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f/R} }\right \} \hspace{0.05cm}.$$

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 ==Besonderheiten von  Koaxialkabelsystemen==
 <br>
-Geht man von binärer Übertragung mit NRZ–Rechteckimpulsen&nbsp; $($Symboldauer $T)$&nbsp; und einem koaxialen Übertragungskanal aus, so ergibt sich das folgende Systemmodell:
+Geht man von binärer Übertragung mit NRZ–Rechteckimpulsen&nbsp; $($Symboldauer $T)$&nbsp; und einem koaxialen Übertragungskanal aus,&nbsp; so ergibt sich das folgende Systemmodell:
 [[Datei:P_ID1805__LZI_4_2_S5_neu.png |right|frame| Binäres Übertragungssystem mit Koaxialkabel]]
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 Insbesondere ist zu beachten:
 *Bei einer Simulation lässt man zweckmäßigerweise die Laufzeit des Koaxialkabels außer Betracht.
-*Dann gilt für den Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t)$&nbsp; mit ${\rm a}_{\rm \star}$ in Neper näherungsweise:
+*Dann gilt für den Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t)$&nbsp; mit $({\rm a}_{\rm \star}$ in Neper$)$&nbsp; näherungsweise:
-:$$g_r(t) \approx s_0 \cdot T \cdot h_{\rm K}(t)  =  \frac {s_0 \cdot {\rm a}_{\rm \star}/\pi}{ \sqrt{2    \cdot(t/T)^3}}\cdot {\rm e}^{  -{{\rm a}_{\rm \star}^2}/( {2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T}) } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$g_r(t) \approx s_0 \cdot T \cdot h_{\rm K}(t)  =  \frac {s_0 \cdot {\rm a}_{\rm \star}/\pi}{ \sqrt{2    \cdot(t/T)^3}}\cdot {\rm e}^{  -{{\rm a}_{\rm \star}^2}/( {2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T}) } \hspace{0.05cm}.$$
-*Wegen der guten Abschirmung der Koaxialkabel gegenüber anderen Störungen ist das&nbsp; [[Aufgaben:1.3Z_Thermisches_Rauschen|thermische Rauschen]]&nbsp;  die dominante Störursache.&nbsp; Das Störsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; ist in diesem Fall gaußverteilt und weiß und wird durch die (zweiseitige) Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0/2$&nbsp; beschrieben.
+*Wegen der guten Abschirmung der Koaxialkabel gegenüber anderen Störungen ist das&nbsp; [[Aufgaben:1.3Z_Thermisches_Rauschen|thermische Rauschen]]&nbsp;  die dominante Störursache.&nbsp;
-*Der weitaus größte Rauschanteil entsteht in der Eingangsstufe des Empfängers, so dass man das Rauschsignal  &nbsp;$n(t)$&nbsp; zweckmäßigerweise an der Schnittstelle&nbsp; &bdquo;Kabel–Empfänger&rdquo;&nbsp; addiert.&nbsp; Mit den Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\nu}$&nbsp; gilt dann für das Empfangssignal:
+*Das Störsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; ist in diesem Fall gaußverteilt und weiß und wird durch die (zweiseitige) Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0/2$&nbsp; beschrieben.
 :$$r(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+ \infty}a_{\nu}\cdot g_r(t - \nu \cdot T)+ n(t) \hspace{0.05cm} .$$
-*Dieser Rauschadditionspunkt ist auch deshalb sinnvoll, da durch den Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; alle entlang des Kabels akkumulierten Rauschstörungen  entscheidend gedämpft werden.
+*Dieser Rauschadditionspunkt ist auch deshalb sinnvoll,&nbsp; da durch den Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; alle entlang des Kabels akkumulierten Rauschstörungen  entscheidend gedämpft werden.
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 Geht man von binärer Übertragung mit NRZ–Rechteckimpulsen&nbsp; $($Symboldauer $T)$&nbsp; und einem koaxialen Übertragungskanal aus, so ergibt sich das folgende Systemmodell:
-[[Datei:P_ID1805__LZI_4_2_S5_neu.png |center|frame| Binäres Übertragungssystem mit Koaxialkabel]]
+[[Datei:P_ID1805__LZI_4_2_S5_neu.png |right|frame| Binäres Übertragungssystem mit Koaxialkabel]]
 Insbesondere ist zu beachten:
-*Bei einer Simulation lässt man zweckmäßigerweise die Laufzeit des Koaxialkabels außer Betracht. Dann gilt für den Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t)$&nbsp; näherungsweise:
+*Bei einer Simulation lässt man zweckmäßigerweise die Laufzeit des Koaxialkabels außer Betracht.
 :$$g_r(t) \approx s_0 \cdot T \cdot h_{\rm K}(t)  =  \frac {s_0 \cdot {\rm a}_{\rm \star}/\pi}{ \sqrt{2    \cdot(t/T)^3}}\cdot {\rm e}^{  -{{\rm a}_{\rm \star}^2}/( {2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T}) } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$
 *Wegen der guten Abschirmung der Koaxialkabel gegenüber anderen Störungen ist das&nbsp; [[Aufgaben:1.3Z_Thermisches_Rauschen|thermische Rauschen]]&nbsp;  die dominante Störursache.&nbsp; Das Störsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; ist in diesem Fall gaußverteilt und weiß und wird durch die (zweiseitige) Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0/2$&nbsp; beschrieben.

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−	Wir weisen Sie auf das interaktive Applet  [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln\|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]  hin, das die hier behandelte Thematik zum Inhalt hat.	+	Wir weisen Sie auf das interaktive SWF–Applet  [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln\|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]  hin,  das die hier behandelte Thematik zum Inhalt hat.

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 [[Datei:LZI_T_4_2_S3_vers2.png |right|frame| Impulsantwort eines Koaxialkabels mit der charakterischten Dämpfung &nbsp;$\rm a_∗ = 60 \ dB$]]
 *Dargestellt ist die normierte Impulsantwort &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$&nbsp; eines Koaxialkabels mit  &nbsp;$\rm a_∗ = 60 \ dB  \ \ (6.9\  Np)$.
-*Die Dämpfungsmaßparameter  &nbsp;$α_0$&nbsp; und &nbsp;$α_1$&nbsp; können somit vernachlässigt werden, wie auf der letzten Seite gezeigt wurde..
+*Die Dämpfungsmaßparameter  &nbsp;$α_0$&nbsp; und &nbsp;$α_1$&nbsp; können somit vernachlässigt werden, wie auf der letzten Seite gezeigt wurde.
 *Für die linke Grafik wurde zudem der Parameter &nbsp;$β_1 = 0$&nbsp; gesetzt.
-Wegen der Parametrisierung durch den hierfür geeigneten Parameter &nbsp;$\rm a_∗$&nbsp; und der Normierung der Zeit auf die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; gilt die linke Kurve für Systeme mit Klein– bzw. Normalkoaxialkabel, unterschiedliche Längen und verschiedene Bitraten gleichermaßen, zum Beispiel für ein
+Wegen der Parametrisierung durch den hierfür geeigneten Koeffizienten &nbsp;$\rm a_∗$&nbsp; und der Normierung der Zeit auf die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; gilt die linke Kurve für Systeme mit Klein– bzw. Normalkoaxialkabel, verschiedene  Längen und unterschiedliche Bitraten gleichermaßen,&nbsp; zum Beispiel für
-*Normalkoaxialkabel&nbsp; $\text{2.6/9.5 mm}$,&nbsp; Bitrate &nbsp;$R = 140 \ \rm Mbit/s$,&nbsp; Kabellänge &nbsp;$l = 3 \ \rm km$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  System $\rm A$,
+*das Normalkoaxialkabel&nbsp; $\text{2.6/9.5 mm}$,&nbsp; Bitrate &nbsp;$R = 140 \ \rm Mbit/s$,&nbsp; Kabellänge &nbsp;$l = 3 \ \rm km$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  System&nbsp; $\rm A$,
-*Kleinkoaxialkabel&nbsp; $\text{1.2/4.4 mm mm}$,&nbsp; Bitrate &nbsp;$R = 35 \ \rm Mbit/s$, Kabellänge &nbsp;$l = 2.8 \ \rm km$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  System $\rm B$.
+*das Kleinkoaxialkabel&nbsp; $\text{1.2/4.4 mm}$,&nbsp; Bitrate &nbsp;$R = 35 \ \rm Mbit/s$, Kabellänge &nbsp;$l = 2.8 \ \rm km$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  System&nbsp; $\rm B$.
 Man erkennt, dass sich selbst bei dieser moderaten Kabeldämpfung &nbsp;$\rm a_∗ = 60 \ \rm dB$&nbsp; die Impulsantwort aufgrund des Skineffektes &nbsp;$(α_2 = β_2 ≠ 0)$&nbsp; schon über mehr als&nbsp; $200$&nbsp; Symboldauern erstreckt. Da das Integral über &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; gleich &nbsp;$H_{\rm K}(f = 0) = 1$&nbsp; ist, wird der Maximalwert  sehr klein:
 :$${\rm Max}\big [h_{\rm K}(t)\big ] \approx 0.03.$$
-In der rechten Grafik sind die Auswirkungen des Phasenparameters &nbsp;$β_1$&nbsp; zu sehen. Beachten Sie die unterschiedlichen Zeitmaßstäbe der linken und der rechten Skizze:
+In der rechten Grafik sind die Auswirkungen des Phasenparameters &nbsp;$β_1$&nbsp; zu sehen.&nbsp;  Beachten Sie die unterschiedlichen Zeitmaßstäbe der linken und der rechten Skizze:
-*Beim System $\rm A$ &nbsp;$(β_1 = 21.78 \ \rm rad/(km · MHz)$, &nbsp;$T = 7.14\ \rm  ns)$&nbsp; führt &nbsp;$β_1$&nbsp; zu einer Laufzeit von
+*Beim System&nbsp;  $\rm A$ &nbsp;$(β_1 = 21.78 \ \rm rad/(km · MHz)$, &nbsp;$T = 7.14\ \rm  ns)$&nbsp; führt &nbsp;$β_1$&nbsp; zu einer Laufzeit von
-:$$\tau_{\rm A}= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} =\frac {21.78\, { {\rm rad} }/{ {(\rm km \cdot MHz)} }\cdot 3\,{\rm km} }{2\pi} = 10.4\,{\rm \mu s}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau_{\rm A}\hspace{0.05cm}' = {\tau_{\rm A} }/{T} \approx 1457\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\tau_{\rm A}= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} =\frac {21.78\, { {\rm rad} }/{ {(\rm km \cdot MHz)} }\cdot 3\,{\rm km} }{2\pi} = 10.4\,{\rm &micro; s}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau_{\rm A}\hspace{0.05cm}' = {\tau_{\rm A} }/{T} \approx 1457\hspace{0.05cm}.$$
-*Dagegen erhält man für das System $\rm B$ &nbsp;$(β_1 = 22.18 \ \rm  rad/(km · MHz)$, &nbsp;$T = 30 \ \rm  ns)$:
+*Dagegen erhält man für das System&nbsp;  $\rm B$ &nbsp;$(β_1 = 22.18 \ \rm  rad/(km · MHz)$, &nbsp;$T = 30 \ \rm  ns)$:
 :$$\tau_{\rm B}= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} =\frac {22.18\, { {\rm rad} }/{ {(\rm km \cdot MHz)} }\cdot 2.8\,{\rm km} }{2\pi} = 9.9\,{\rm &micro; s}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau_{\rm B}\hspace{0.05cm}' ={\tau_{\rm B} }/{T} \approx 330\hspace{0.05cm}.$$
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Bei der Simulation und Optimierung von Nachrichtensystemen verzichtet man meist auf den Phasenterm mit &nbsp;$b_1 = β_1 · l$, da dieser ausschließlich eine&nbsp; (oft nicht störende)&nbsp; Laufzeit  zur Folge hat, aber keine Signalverzerrung.}}
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Bei der Simulation und Optimierung von Nachrichtensystemen verzichtet man meist auf den Phasenterm mit &nbsp;$b_1 = β_1 · l$,&nbsp; da dieser ausschließlich eine&nbsp; (oft nicht störende)&nbsp; Laufzeit  zur Folge hat, aber keine Signalverzerrung.}}
 ==Empfangsgrundimpuls==
@@ Zeile 139: / Zeile 140: @@
 Mit dem Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und der Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; ergibt sich für den Empfangsgrundimpuls:
 :$$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Verwendet man am Sender einen NRZ–Rechteckimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; mit Amplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; und Dauer &nbsp;$Δt_s = T$, so ergibt sich für den Grundimpuls am Ausgang des Koaxialkabels:
+Verwendet man am Sender einen NRZ–Rechteckimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; mit Amplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; und Dauer &nbsp;$Δt_s = T$,&nbsp; so ergibt sich für den Grundimpuls am Ausgang des Koaxialkabels:
 :$$g_r(t) = 2 s_0 \cdot \left [ {\rm Q} \left (\frac {{\rm a}_{\rm \star}/\sqrt {\pi}}{ \sqrt{ (t/T - 0.5)}}\right  ) -
   {\rm Q} \left (\frac {{\rm a}_{\rm \star}/\sqrt {\pi}}{ \sqrt{ (t/T + 0.5)}}\right  ) \right ]\hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei bezeichnet  &nbsp;$\rm a_∗$&nbsp; die charakteristische Kabeldämpfung in Neper und  &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]].
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
 Die Abbildung zeigt für die charakteristischen Kabeldämpfungen &nbsp;$\rm a_∗ = 40 \ \rm dB$, &nbsp;$60 \ \rm dB$, &nbsp;$80 \ \rm dB$&nbsp; und &nbsp;$100 \ \rm dB$&nbsp; jeweils
-*die normierte Koaxialkabelimpulsantwort &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Impulsantwort (durchgezogene Kurven), und
+[[Datei:P_ID1804__LZI_4_2_S4_90.png |right|frame| Impulsantwort und Rechteckantwort&nbsp; (Empfangsgrundimpuls)&nbsp; des Koaxialkabels]]
-*den auf die Sendeamplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; normierten Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Rechteckantwort  (gepunktete Linie).
+*die normierte Koaxialkabelimpulsantwort &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$ &nbsp; <br>&rArr; &nbsp; Impulsantwort&nbsp; (durchgezogene Kurven),
+*den auf die Sendeamplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; normierten Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t)$ &nbsp; <br>&rArr; &nbsp; Rechteckantwort&nbsp;  (gepunktete Linie).
-Man erkennt aus dieser Darstellung:
+Kleinere Werte von &nbsp;$\rm a_∗$&nbsp; sind für die Praxis nicht relevant.&nbsp; Man erkennt:
 *Mit &nbsp;$\rm a_∗ = 40 \ \rm dB$&nbsp; ist die normierte Rechteckantwort &nbsp;$g_r(t)/s_0$&nbsp; an der Spitze geringfügig&nbsp; (etwa um den Faktor $0.95)$&nbsp; kleiner als die normierte Impulsantwort &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$.&nbsp; Hier gibt es eine kleine Differenz zwischen Impulsantwort und Rechteckantwort.
 *Dagegen sind für den Fall &nbsp;$a_∗ ≥ 60 \ \rm dB$&nbsp; die Rechteckantwort und die Impulsantwort innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden.
-*Bei einem RZ–Impuls wäre die obige Gleichung für den Empfangsgrundimpuls noch mit dem Tastverhältnis &nbsp;$Δt_s/T$&nbsp; zu multiplizieren.&nbsp; In diesem Fall ist &nbsp;$g_r(t)/s_0$&nbsp; mindestens um diesen Faktor kleiner als &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$.
+*Bei einem RZ–Sendegrundimpuls wäre die obige Gleichung noch mit dem Tastverhältnis &nbsp;$Δt_s/T$&nbsp; zu multiplizieren.&nbsp; In diesem Fall ist &nbsp;$g_r(t)/s_0$&nbsp; mindestens um diesen Faktor kleiner als &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$.
 *Die so modifizierte Gleichung stellt auch eine gute Näherung für andere Sendegrundimpulse dar, so lange &nbsp;$\rm a_∗≥ 60 \ \rm dB$&nbsp; hinreichend groß ist.&nbsp; $Δt_s$&nbsp; gibt dann die&nbsp;[[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Gau.C3.9Fimpuls|äquivalente Impulsdauer]]&nbsp; des Sendegrundimpulses an.}}

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 Zu berücksichtigen ist hierbei:
 *Der erste Term liefert die um die Phasenlaufzeit &nbsp;$τ_{\rm P} = b_1/2π$&nbsp; verschobene Diracfunktion &nbsp;$δ(t – τ_{\rm P})$.
-*Der zweite Term lässt sich analytisch geschlossen angeben. Wir schreiben hierfür &nbsp;$h_{\rm K}(t + τ_P)$, sodass die Phasenlaufzeit &nbsp;$τ_{\rm P}$&nbsp; nicht weiter berücksichtigt werden muss.
+*Der zweite Term lässt sich analytisch geschlossen angeben.&nbsp;   Wir schreiben hierfür &nbsp;$h_{\rm K}(t + τ_P)$,&nbsp;  sodass die Phasenlaufzeit &nbsp;$τ_{\rm P}$&nbsp; nicht weiter berücksichtigt werden muss.
 :$$h_{\rm K}(t + \tau_{\rm P})  = \frac {{\rm a}_{\rm \star}}{\pi \cdot \sqrt{2 \cdot R  \cdot t^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {{\rm a}_{\rm \star}^2}{ {2\pi \cdot R\cdot t}} \right ]\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}{\rm in\hspace{0.15cm} Np}\hspace{0.05cm}.$$
-*Da auch die Bitrate &nbsp;$R$&nbsp; bereits bei der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_∗$&nbsp; berücksichtigt wurde, lässt sich diese Gleichung mit der normierten Zeit &nbsp;$t\hspace{0.05cm}' = t/T$&nbsp; einfach darstellen:
+*Da auch die Bitrate &nbsp;$R$&nbsp; bereits bei der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_∗$&nbsp; berücksichtigt wurde,&nbsp; lässt sich diese Gleichung mit der normierten Zeit &nbsp;$t\hspace{0.05cm}' = t/T$&nbsp; einfach darstellen:
 :$$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}' + \tau_{\rm P}\hspace{0.05cm} ')  = \frac {1}{T} \cdot \frac {{\rm a}_{\rm \star}}{\pi \cdot \sqrt{2   \cdot t\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {{\rm a}_{\rm \star}^2}{ {2\pi \cdot t\hspace{0.05cm}'}} \right ]\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}{\rm in\hspace{0.15cm} Np}\hspace{0.05cm}.$$
 :Hierbei bezeichnet&nbsp; $T = 1/R$&nbsp; die Symboldauer eines Binärsystems und es gilt &nbsp;$τ_{\rm P} \hspace{0.05cm}' = τ_{\rm P}/T$.
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 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 Die Ergebnisse dieser Seite werden durch die folgende Grafik beispielhaft verdeutlicht.
 *Dargestellt ist die normierte Impulsantwort &nbsp;$T · h_{\rm K}(t)$&nbsp; eines Koaxialkabels mit  &nbsp;$\rm a_∗ = 60 \ dB  \ \ (6.9\  Np)$.
-*Die Dämpfungsmaßparameter  &nbsp;$α_0$&nbsp; und &nbsp;$α_1$&nbsp; sind somit vernachlässigt.
+*Die Dämpfungsmaßparameter  &nbsp;$α_0$&nbsp; und &nbsp;$α_1$&nbsp; können somit vernachlässigt werden, wie auf der letzten Seite gezeigt wurde..
 *Für die linke Grafik wurde zudem der Parameter &nbsp;$β_1 = 0$&nbsp; gesetzt.
-Wegen der Parametrisierung mittels der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_∗$&nbsp; und der Normierung der Zeit auf die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; gilt die linke Kurve für Systeme mit Klein– bzw. Normalkoaxialkabel, unterschiedliche Längen und verschiedene Bitraten gleichermaßen, zum Beispiel für ein
 *Normalkoaxialkabel&nbsp; $\text{2.6/9.5 mm}$,&nbsp; Bitrate &nbsp;$R = 140 \ \rm Mbit/s$,&nbsp; Kabellänge &nbsp;$l = 3 \ \rm km$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  System $\rm A$,
 *Kleinkoaxialkabel&nbsp; $\text{1.2/4.4 mm mm}$,&nbsp; Bitrate &nbsp;$R = 35 \ \rm Mbit/s$, Kabellänge &nbsp;$l = 2.8 \ \rm km$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  System $\rm B$.

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-In dieser Grafik eingezeichnet sind die vom&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Comit%C3%A9_Consultatif_International_T%C3%A9l%C3%A9phonique_et_T%C3%A9l%C3%A9graphique '''CCITT''']&nbsp; (Comité Consultatif International Téléphonique et Télégraphique)&nbsp; in den 1970–Jahren vorgeschlagenen PCM–Systeme der Hierarchiestufen&nbsp; $3$&nbsp; bis&nbsp; $5$. Man erkennt:
+In dieser Grafik eingezeichnet sind die vom&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Comit%C3%A9_Consultatif_International_T%C3%A9l%C3%A9phonique_et_T%C3%A9l%C3%A9graphique "CCITT"]&nbsp; (Comité Consultatif International Téléphonique et Télégraphique)&nbsp; in den 1970–Jahren vorgeschlagenen PCM–Systeme der Hierarchiestufen&nbsp; $3$&nbsp; bis&nbsp; $5$. Man erkennt:
 *Bei all diesen Systemen zur PCM–Sprachübertragung nimmt die charakteristische Kabeldämpfung Werte zwischen&nbsp; $7 \ \rm Np \ \ (≈ 61 \ dB)$&nbsp; und&nbsp; $10.6 \ \rm Np \ \ (≈ 92 \ dB)$&nbsp; an.
 *Das System &nbsp;$\text{PCM 480}$&nbsp; – ausgelegt für 480 gleichzeitige Telefonate – mit der Bitrate &nbsp;$R ≈ 35 \ \rm Mbit/s$&nbsp; wurde sowohl für das Normalkoaxialkabel&nbsp; $($mit&nbsp; $l = 9.3 \ \rm km)$&nbsp; als auch für das Kleinkoaxialkabel&nbsp; $($mit&nbsp; $l = 4 \ \rm km)$&nbsp; spezifiziert. Die&nbsp; &nbsp;$\rm a_∗$–Werte &nbsp;$10.4\ \rm  Np$&nbsp; bzw. &nbsp;$9.9\ \rm  Np$&nbsp; liegen in der gleichen Größenordnung.